Introducción Este manual de cálculo integral y series es una ayuda preparada para los estudiantes que tienen que cursar esta materia y para los amantes de las matemáticas. En este se empieza con una retroalimentación al cálculo diferencial con el objetivo de reforzar los conocimientos principalmente de límites y derivadas. Entre los contenidos se encuentran tiene: Diferencia entre calculo Diferencial e integral, Derivación logarítmica, derivadas por formulas, formas indeterminadas y límites por la Regla de L°Hoppital , historia del cálculo integral, primitiva de una función, integral definida e indefinida, Resolución
de
sustitución,
integrales
integrales
inmediatas,
integrales
trigonométricas,
por
Integrales
el por
método
de
identidades
trigonométricas, integrales por partes, integrales cíclicas, método tabular, integrales de potencias de la distintas funciones trigonométricas, integrales de ángulos
distintos, método de sustitución trigonométrica inversa,
integración por tabla, integrales que contienen polinomios cuadráticos, método de fracciones parciales, método de Heaviside, integración de funciones racionales de seno y coseno, Integrales con valor absoluto, sumatoria y propiedades, estimación de áreas , sumas de Riemann, Reglas de Simpson, Reglas del trapecio, integral definida, Teoremas fundamentales del
cálculo,
áreas
entre
curvas,
integrales
impropias,
integrales
convergentes y divergentes, volumen de sólidos de revolución, método de los discos, método de las arandelas, series, serie de Maclaurin, serie de Taylor y serie de Fourier. Al final de cada unidad hay actividades de ejercicios para que el lector se pueda ejercite. Se espera que este manual sea de mucha ayuda.
Wilton
Oltmanns
Revisado el 18 de enero del 2015
2
Cálculo El cálculo
elemental incluye
dos procesos
que son fundamentales en
el
análisis matemático:
El cálculo diferencial:
E l cálculo Integral:
Estudia el cambio que hay en las funciones. Define la pendiente de la recta tangente de la función en un punto determinado.
cuales se continuas.
forman
Permite hallar el área de figuras curvas las por regiones limitadas por funciones
Defi ni ció n y pr opied ade s de la
función l og aritmo natural.
La función logaritmo natural se define como
Propiedades de los logaritmos.
ln x
x
1
1 dt , x 0 . t
Si a y b son números positivos y n es
racional, se satisfacen las siguientes propiedades. 3) ln P n =n ln P
1. ln1=0 2. ln (PQ)=
ln P + ln Q
4) ln (P/Q)= ln P
– ln Q
Derivada de la función logaritmo natural. Sea u una función derivable en x 1.
d (ln x) dx
1
x
,x
0
2.
d 1 du u (lu) dx udx u
'
,u
0
3
Derivación logarítmica. Se llama derivación logarítmica al proceso de utilizar los logaritmos como ayuda en la derivación de funciones no logarítmicas. Ejempló.
Ejemplo: Hallar la derivada de y
x 2 3x 2 2
,x 1
( x 1) 1. Se Reescribe
y
la función.
x
2
3x 2
( x 1) 2
2. Se aplica logaritmo en ambos miembros. 3. Aplicando las propiedades logarítmicas ln y 2lnx 12 ln(3 x 2) 2ln( x 1)
, x 1
x 2 3x 2 ( x 1) 2
ln y ln en
ambos
miembros.
y ' 2 13 2 y x 2 3x 2 x 1 2 1 3 2 y' y x 2 3x 2 x 1
4. Derivar en ambos lados. 5. Despejar a y
Ejemplo 2: Hall ar la derivada de y
Lny Resolviendo
y' y
( x 1) 4
Ln 7
( x 1) 4 7
x2
Lny 4(Ln x
x9 2
2
y ' 2 1 3 2 x 3x 2 2 x 2 3x 2 x 1( x 1)
6. Sustituyendo a y por el paso 1.
1)
1 7
4 1 1 9 x 8 4( ) y ' ( ) x 1 7 x9 2 x 1
Ln ( x 9 1
2) 9 x8
7 x
9
2
( x 1) 4 7 x2
4
Resolución de derivadas por fórmulas Sean u y v funciones de x.
1. L a r egla de la constante
Ejemplo 1: Resolver las siguientes d erivadas
d ( x 3 1)(5 x 1) dx
df d c( ) 0 dx dx
Esta es la derivada de un producto, por lo tanto se tiene que: 2.Re gla de una
vari able
dy dx
r espe cto a ell a mi sma
df dx
dx ( )
1
dx
d 1) (5 x 1) (5 x 1) dx dx ( x31) 5 (5 x1) 3 x
( x 3
d
( x3
1)
5 x 3 15 x 2 3 x 5
3 .Re gl a de l m úl ti pl o constante. d cu (
)
dx
4. Regla de
d dx
du c dx
l a s potenci as .
u n nu nu1 '
Ejemplo 2: Resolver
dy d d d x2 6 x dx dx dx dy dx 2 x 6
d ( x 2 6 x 4) dx
dx
4
5. Re gl a de l a s um a d dx
u v uv '
'
6. Re gla de l producto:
d uv uv 'vu ' dx
7. Deri vada de l coci ent e.
d u dx v
vu u'v2 v
'
5
Derivadas de funciones trigonométricas d
8) 9) 10)
dx d dx d
Senu( )
cos uu
Co s(u )
senu u.
'
Tan(u )
secu 2u.
'
. '
d 2 ucosec u 11) Cotu ( ) . ' dx d 12) Secu ( ) usec uu. tan . ' dx d 13) Cosecu( ) co sec u.cot u.u '
dx
dx
Ejemplo:Derivar y = Sen (x
2
9) y ' 2cx os( x29)
Derivadas de funciones exponenciales
14. fu nci ón pote nci al i nve r sa d 1 n dx u
nu ' u n1
15. Derivadas
d
para r aíz (n- esima )
n u
dx Ejemplo: Derivar y9 =x 2
2x
3 y '
16. Deri vad a de la f un ció n exponencial x
.ln
d a b) a a (u ) dx
u
.ln.u
17. D er ivada d e la f un ció n e xponencial n
e d( x) a) e dx
x
d du eb) ( ) dx
u
n 1
n u
9 9 x 2 3
d a) a ( ax )a dx
u' n
8
en bas e a . '
atur al.
u
dx
6
18) Derivada de una función elevada a otra función.
d v ( u) vu. uv.1 'u+ dx
v . Ln u.v '
Derivadas de funciones Logaritmicas 18 . Derivada d
e la f unción logaritmo n
atur al.
d u' Ln(u) , u 0 dx u
19. D er ivada de la f un ció n l ogari tmo de cimal
.
d u' Loga (u ) dx u a .ln
Ejemplo: Derivar y Ln =
+ Cosx
3
x
1
1 Senx d 2 Cosx + 3 x 1 3 3 x 1 dy dx dx Cosx x + 3 1 Cosx + 3 x 1
7
Cálculo Integral Práctica: 1 Apellidos:………………………………….……………….… Matrículas:……………………….. Grupo: ……………Fecha: ………..…………Profesor(a): …………………….…………….…
Práctica de funciones logarítmicas y exponenciales. I . Deriva las siguienttes funciónes:II . Halle la derivada de las funciones x52 x
1.y=ln
exponenciales dadas: x 4 senx 3 ln x
1. y = e
2.y=Log 29
x 45
5
2. y = Tan e
3.y=ln
26
1x 3 x43
x 7 sec x
3.y=e
cot 8 x 6
sen ln
x 3
x 5
5. y = 3
4
x 5 6 x3 9
3
Cot 9e
4. y =
7
x
2
x 5 cos
6
5. y = x 3cos e sen 5 x
x3 1 x 4 6
2x 7
8
6. y = 7
x 5 2 x 3
6. y=
x e x
x3 6 x 2 4. y =
7
3
sen3 x 2 senx 8
cos 5 x x
7. e=y
9
3 4 x5 2 26x 8 5x 2
6
3
2x 2 3 8.y= x Tan
7. y=ln
ln x senx
4
.e
x
senx
23
9.y= Cosec x9
x (ln cos
)
8
III . Encuentre la derivada de las funciones exponenciales
x x 8
2
1. y = 5
senln 2 x
IV . Determine la derivada de cada función: 1. y = log 2 senx x 5
cos x2 3 x4
tan x x
2.y=4
7
3. y = sec 10
x
6
lncos x
Sen5x x T an e x cos x
2. y = log4
16
4.y=log
10
5. y = log
18
ln x3 x2 6 x Cotx
4. y = 6
cot x 3
5. y = 6
x ln x
x cot 3
3.y=log
2
sec6 x
x
x 62 tan cos x *
5
7x
5
cos lnx 5x
6. y = 12
sec x
7. y = 16
3
sen4
senx
2
tan sen x
8.y=10
x2
sec x 9 e3 x
ecos2 x
ln 4 x
cos x
9. y = 6
"La cara es el espejo del alma, y los ojos confiesan en silencio los secretos del corazón" (San Jerónimo)
9
20. D eri vadas de l as f u n ci on es tr i gon ométr i cas i n ver sas.
d u ' d (arcsenu ) 2 dx 1 u d u ' d (arc tan u dx u 1 2 d u ' d (arc sec u ) 2 dx u u 1
u dx u dx u dx
' 1 u2
(arccosu )
arc( u cot ) u
arcc ( u sc ) u u
' 1
2
' 2
1
26. Deri vac ión e in teg r ació n de fun ciones hi pe r ból icas .
d ( senhu) (cosh u )u ' dx d (cosh u ) senhu ( u) ' dx d (tanh u ) (sec u 2 ) ' h dx
d dx d dx
(coth u)
(csc 2 u) u'
(sec hu
hu (sec uutanh ) '
d hu (csc
dx
32. Deri vac ión de f un ciones hiperbó
d u ' d [ senh1u ] 2 dx u 1 d u1 ' d [tanuh ] dx u 1 2 'd u d u [secu h 1 ] dx uu 1 2
u
)
co uh [
u hc dx
coth ) '
li cas in ve r sas .
] cosh1u
[ dx
u dx
hu ) (csc u
t u
[ sc uu
'
1
]
1
]
u 1 ' 2
1
2
' 1
2
Ej emplos: H all ar l a de r i vad a de las fun ciones dada s.
1) y Arcsen( x 2 4) y '
2x
1 x2 4
2
2) y Sech x 6 3 x 1
y '
6 x 3 Sech x3 x 1 Tanh 5
6
x6
3x 1
10
Cálculo Integral Práctica: 2 Apellidos:………………………………….……………….… Matrículas:………………………….. Grupo: ……………Fecha: ………..…………Profesor(a): …………………….…………….…
Práctica de funciones trigonométricas inversas e hiperbólicas: I . Halle la derivada de las siguientes funciones:
ln x 7
1. y= arcsen x 5 tanh x
x99 x5
2. y= arctan
3. y = arcsec 4 csc x
e
II. Determine la derivada de cada función: 1.y=senh x8 ln x
arccos x x
2. y tanh arcsenx x
x4 3. y
4. y=11
5. y=
sen x 9arccos
ln arc cot x
x 5 3 arctan
6 x 3
x2
x
7 xsec h9
arc sec x
6
7. y= Arccos
8.y=Sen
9. 14 =y
x6
x
3 log
2
9
10
sen x 3
arcsec ln x arctan x 8
senx x x9 5
9
7
x 3
senx
senhxtanh x11
senx3
tanh x
cosh x e4 x
x ln arctan
senh e 4 x tan x
ln
x tan e x coth ln x5
6. y log
7. ln
11 x arc x 4 sec
x 10
4. y cos ch x8
5. y
6.y=6
8. y 13
9
x 25 x4
coth
tanh ln x
x
6
10. y = A rcsen
x ln x
François de la Rochefoucauld. Escritor francés.
11
Indeterminaciones y Límites Las formas indeterminadas 0
A
y
0
Se le llama formas
el límite exista, ni
indeterminadas porque no
indican cual es
en caso de existir.
, 0, , 0 , , 0 0 ,1 , 0
Las más comunes son
garantizan que
Regla de L’HÔpital Sean f y g funciones que son derivables en un intervalo abierto (a,b) conteniendo un c (a,b) . Asumir que g´(x) existe para todo x en (a,b),
f ( x) cuando x tiene a c g ( x)
excepto posiblemente el propio c. si el límite de produce
L im x c
la
form a
indeterminada
0 , , 0
entonces
,
f ( )x ´(f ) x L im x c´( g () x g) x
Supuesto que el límite de la derecha existe es infinito). Este resultado f ( x) también aplica si el límite de
g ( x)
cualquiera de las formas indeterminadas
Ej emplo 1. Encu
lim x 0
entr e el
x 0
2 x senx
x
0 0
.
2 x senx x
2 x senx 2(0) sen0 0 0 0 x 0 0 0
forma indeterminada
x 0 lim
lim
cuando x tiende a C produce
, , , ó
Como el cálculo directo nos lleva a la
podemos aplicar la regla de L’HÔpital.
2 cos x x 0 lim
1
x0 2 lim cos x2c
os 0
211
12
Lim
Ej empl o 2. H all e el l ími te de
Evaluando se tienes que Lim x2
x2
ln(3x 5)
Tan(x
ln(3x 5)
Tan(x 2)
2)
0 0 3
Ahora plicando regla de L'Hopital Lim x2
3 3 3x 5 Lim 3 Sec2 x( 2) x2 x(3 Sec 5) x 2 ( 2) 1
Ej empl o 3. D ete r mi ne e l l ími te L im(cos x)Cotx x 0
1. Evaluando directamente se tiene que
L im(cos x)cot x x 0
2. Ahora se aplica logaritmo natural
Ln y im l
x 0
(cos0)cot 0 1
(cos Ln ) x
csc x
3. Aplicando propiedades logarítmicas y evaluando
lny = lim1 n(cos x )
Cotx
nx xcot lim x 0
x 0
(cot0 )1
1 cos n
cos 0 .0
4. Para aplicar el Hoppital se debe obtener las indeterminaciónes
0 0
ó
En la expresión (2) aplicar identidades trigonométricas y evaluar 5.
6.
cotx1n cos x lim Ln cos x 0 lim x 0 x 0
Tanx
0
7. Ahora si se puede aplicar la regla de Hoppital
Lny lim x 0
Ln cos x
lim Senx x
0
Tanx
Lny
enx S lim x 0 Cosx Secx
Senx lim
x 0
1
0
8. Como La variable dependiente esta afectada por un logaritmo se aplica la operación inversa de esta.
y Lny 0 e Ln e0
y 1
Lxim(cos x)Cotx 0
1
13
Cálculo Integral Práctica: 3 Apellidos:………………………………….……………….… Matrículas:………………………….. Grupo: ……………Fecha: ………..…………Profesor(a): …………………….…………….… I. Busca el límite de las siguientes funciones: 1. y= lim
x2
x2 x2 4
2. y lim
x2
x2
11. lim
x3 8 x2
x 3
e x e2
12. lim
ex 1 tan3 x
x 0
3x2 x 5 3. y lim x 5 x 2 6 x 3
e 3 x e 3 x x 0 senx
13. lim 4. y lim x 2 e x x
14. lim x
1
5. y lim cos x x 2
x
x2 x
x0
6. y lim
sen 2 x sen 3 x
15. lim tan x
7. y lim
e x e3 x 3
16. lim
x0
x 3
8. y lim 1 x
1 x
x 0
x
x
5 2 9. y lim 2 x 3 x 9 x 3 10. y lim
x0
x5 3x 2 x2 8x
18. lim x
19.lim
x
senx
7 x2 4 x
x3 2 x 2
17. lim cos x 0
1
x
4 x2
x
x x 2 5 x 2
x
Samuel Johnson. Ensayista, poeta y dramaturgo inglés.
14
Cálculo Integral En el siglo III a.c Arquímedes y otros griegos empezaron a investigar cómo conseguir el área y volumen de cualquier figura geométrica. Dieron una regla general para calcular la medida del área de un rectángulo (b.h), por tal razón el área de un tri an gulo rectángulo es (1/2.b.h). Se sabe que la trigonometría nos proporciona fórmulas para hallar la medida de c ualquier clase de triángulo (1/2b.h senθ) . Los pitagóricos inventaron que un polígono se puede descomponer en triángulos, entonces su área se consigue mediante la suma de las áreas de los triángulos en que se ha dividido (Método del agotamiento). Este procedimiento de medir áreas sólo es aplicable a figuras planas limitadas por segmentos de rectas y es un aproximado. En esa época los griegos no encontraron una expresión general por falta de herrami entas (limite). La ciencia queda al desnudo con la quema de la biblioteca de Alejandría (S. III d.c), años más tarde (1600) Johane Keepler Comienza a investigar sobre área de figuras curvas y funciones, acertó en muchas cosas pero no pudo encontrar un m étodo gen eral . Después Pierret Fermat y Renet Descartes (Franceses) combinan algebra y geometría (descripción de figuras a través de ecuaciones). Finalmente ha mediado del siglo XVII se logra inventar un método general para buscar área bajo curva, a ese método se le llamo integración. El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en la cual se estudia el cálculo a partir del proceso de integración o anti-derivación. Fue inventado por Leibniz, Newton y Barrow, éste último junto a Newton, crearon el Teorem a fundament al del cál culo integral que propone que la derivación y la integración son procesos inversos. La integración es una herramienta para calcular mucho más que áreas y volúmenes. Tiene aplicaciones en estadística, economía, ciencias e ingeniería. Permitiéndo calcular rangos de aplicaciones de probabilidad y prom edios de consu mo de energí a, así como la fuerza del agua contra las compuertas de una presa. Su objetivo es permitir calcular efectivamente muchas cantidades, dividiéndola en partes más pequeña y sumando después en total cada trozo.
15
Función primitiva, antiderivada o integral. Es la relación dependiente de datos sobre uno o más valores que declaran los límites de un área. A través de la primitiva se encuentran una familia de funciones que solo difieren en la constante. Por lo que
f ( x)dx F ( x) c
dy ( F( x)) c dx
f ( x) ,
eso indica que la operación inversa de la integración es la derivación y viceversa. La función f (x) posee infinitas integrales que solo se diferenciaran en una constante (c).
Tipos de Integrales. Hay dos tipos de integrales, las cuales son la número y la integral
integral definida cuyo resultado es un
indefinida mediante la cual se obtiene otra función.
En este manual empezaremos por el estudio de las integrales indefinidas Las cuales formar parte de ecuaciones y descripciones de modelos en el gran marco de las teorías de matemáticas puras y aplicadas. El diferencial es el que nos indica respecto a cual variable es que vamos a integral.
( )d la integración se va a realizar respecto a , no sobre .
16
Resolución de integrales Por medio de integración inmediata. Para resolver integrales de este tipo es conveniente que el estudiante memorice una serie de integrales fundamentales
1.
Integral de Cero
2.
Integral del diferencial de una variable
3.
: Será igual a una constante.
0dx C
: Es igual a la variable más una constante. dx x C
La integral del producto de una constante por
una función
:
Es igual al producto de la constante por la integral de la función.
kf (x )dx
k f x(dx)
4 . La integral de la suma (o diferencia) de dos funciones:
Es igual a la
suma (o diferencia) de las integrales de cada una de ellas.
f ( x) g ( x )dx f ( x)dx g ( x)dx 5.
Integral de un a función exponencia l: Es igual a la base de la función elevada al exponente decir, para
n 1 . 6.
exponente aumentado en uno
aumentado
y dividido
en uno, más una constante,
es
n 1 de una forma general tenemos que ,
u
n
por el
x n 1
,
c x número 1 Para todon real n
u n 1 C n 1
integral de la función exponencial
e e .du e C u
u
Reglas para la integración de este tipo: 1. 2. 3. 4.
Se reescribe la función ponerla de tal forma que se pueda integral. Se integra. Reducción de términos semejantes. Escribir el resultado de la integral.
19
6
a.dx x
4
b. x
x 61 x7 C 6 1 7
x 3 1 dx 3 c x 3 c
x 4 x 3x dx 1) x dx 4 x dx 3 x dx
c. x(
5
1 6
5
3
x2
1
f . x 2 dx
3 2
2
3
c 3 .x c 2
2
4
5
x 41 5( x c) 4 1
xdx5 4
d . x5dx4
2
4
4 5
1 2
x6512 x 3 x x
xdx
dx
x c
En los siguientes ejemplos hay que desarrollar el numerador. Ejemplo g:
168dx (4) x dx
Ejemplo h:
(1 e d)| x dx
x3 dx x 6 dx 16 x 2 x 4
3 2
x 2
e2dx
x
e dx x2x e
e 2 xc
1 2
1 7 x 7 2x
c
.
Solo si estás dispuesto a ir demasiado lejos sabrás lo lejos que puedes llegar. Autor pendiente
Resolución de integrales por el método de sustitución o cambio de variable. Las operaciones de integración de funciones pueden llegar a ser muy complicadas, para facilitarlas se han ideado diversos procedimientos generales, de los cuales uno
de los métodos
más importante
para la resolución de
método de sustitución
integrales complicadas es el llamado
variable . Esta técnica consiste en introducir una nueva variable (
o
cambio de u ) para
sustituir a una expresión apropiada del integrando, de manera que la expresión resultante sea más fácil de integrar. Ha
y que tomar en cuenta que si tenemos a u
también debemos tener su diferencial por lo tanto debemos derivar.
7 . La función logaritmo natural y la integración. Sea u una función derivable de x.
a.
dx x
ln x c
(1 e )edx udu | c x 5
x
5
b.
u6 6
du u
ln u c
(1 e x ) 6 c 6
u 1 e xdu , edxx
2 dx 2 x ; haciendo
3x 2
x
3
u x 3 2 x el denominador y luego derivando para obtener
el numerado y sustituir cada valor y obtenemos de resultado a
du 3x du LnU u
2
2dx
x lim
3
, por lo tanto tenemos que
2x c
26
x x1dx 2
x x1dx
1 du u u
1 2
2
x
2
du 1y
xdx 2
despejando a du se tiene que: du
2
1 2
xdx
, aplicando la regla logarítmica para la integración:
u1du
Ejemplo4:
1 2
x
u lnc x
1 2
ln c
2
1
2x 1 dx L x 2 x 6 x6
Esta integral es inmediata ya
2
que el numerador es exactamente la derivada del denominador la siguiente también solo que tenemos que acomodar el numerador a través de artificios matemáticos.
Ejemplo5:
x 1 1 x 2 2 x 6 dx 2 c
Ejemplo 6 : Resuelva la siguiente integral x 4
z 1 x5,
1
z 5
dz5 x 4 dx
x 43 1 x5 dx
3 20
3
1
1
3
dz
3
1 x5 dx
13
4 z 3 5 4
4
x5 c
27
Resolución de integrales trigonométricas y potenciales aplicando el método de sustitución.
e u .du e u
8)
a u .du
9)
C
au ln a
C
senu.du cos u C
10)
cos u.du senu C
11)
14) ctgu.du ln senu C 13) tgu.du ln(sec u C )
15)
ó ln - csc
sec u.du ln sec .u tgu
x c
C
cos ecu .du ln cos ec.u ctgu 16)
ó -lnc xosc
C
a) Demostración de la integral de la
tan xdx
sin x dx cos x
tangente.
1 ( sin xdx) cos x
sea u cosx , du xdx sin al hacer las sustituciones respectivas , se obtie ne 1 du 1 n u c1 n u 1 c1 cos tan xdx n u
1
x, c
tan xdx ln sec x c
28
b) Demostración de la integral de la cotangente.
si u sin x du cos xdx
co t xdx
du ln u ln senx c u
c) Demostración de la integral de la secante Secxdx .
Multiplicando ydividiendo el integrandopor secx+tanx
Resolviendo por el método de sutitución trigonométrica
Secxdx lns ec x tan x c d)Demostración de la integral de la cosecante Cscxdx Multiplicando ydividiendo el integrando por cscx-cotx
Cscxdx Ln Cscx cot x C
Por lo que
1
cos 9 x dx 9zdz cos z 9x
1 senz 9 1 = sen9 x c 9
dz 9dx
29
Resolver senx 7 1 c os xd x
u 11 cosx , du senxd 1
udu
7
u
8
7
= 78
87
7
x 8
1x ccos
Resolución de integrales aplicando ident y sustitución
idades
trigonométricas.
Las integrales trigonométricas vistas en cu rsos anteriores son de mucha importancia, pues las vamos a usar para poder integrar fácilmente.
Ejemplo 1: Hallar Como
(tan 2 x 1) dx
tan 2 x 1 sec 2 x , entonces
(tan 2 x 1)dx
Aplicando
sec2 xdx sec xdx
la fórmula 15 tendremos
que:
sec xdx ln sec x tan x c cox senx
Ejemplo 2:
1
u senx 1 du
duu ln u c
dx
cos x ln senx
1c
sen d 2
como sen 2
Ejemplo 3:
1 cos 2 2
Entonces sera
1
2d cos 2 d ; La primera es una integral directa y la segunda por sustitucion.
sen d 2
1 2
1
4
sen2
c
“Libros, caminos y dias dan al hombre sabiduria”. Proverbio árabe.
30
Ejemplo 4: Resolver
Sen z +Tan z dz Sec z
1
zdz z Sec zdz Sen Senz +Tan z+Tanz Cos = Senz Coszdz + Senz dz, Resolviend
o cada integral
1
I
1
Senz Coszdz
Sen z +Tan z dz Sec z
s 2z+cen& 1 2
sen z - cosz
+ I
2
zdz= Sen
-cos z +c
+c
El hombre que tiene lengua no es hombre, si no puede con ella conquistar a una mujer.
William Shakespeare
31
Cálculo Integral Práctica: 4 Apellidos:………………………………….……………….… Matrículas:………………………….. Grupo: ……………Fecha: ………..…………Profesor(a): …………………….…………….…
Integrales inmediatas y sustitución
1
2.
r r
3.
x 9dx
3 4
1 25 1 4 3 5. 5. y2 y y 5 dy
7.
(4e
y 9t
1 Lnx
x
dx
14.
5w
15)
4.
6.
3
2 13. Sen Cosd
dx
2 y3 3 y
12. Cos7d
dr 4
2
x
11.
9
2
4
dw
u3 4 u2
du
dy
7Sen 6t dt)
Ln 2 xdx x
8.
9.
2 3x dx
5
2 3 10. 2 z( z 4) dz
33
II. Resuelve las siguientes integrales: 1)
2)
tan
2
4)
cot x
12)
dx
5 ln x 3x
e arc secx 1 x
x 7
x3
9
dx
x
14)
2x 3 dx
15)
2
dx
cos x
2
dx
13) x 2 x 4dx
tan x
sec xe
dx
arc cot
tan arccos x 1 x2
dx
3
dx
1 x2
6
8)
9)
x ln
10)
2
1 1 dx c sec 2 x sec 2 x
7)
11)
dx
x
1 sec x 5 1 cos x
6)
x11 dx
4
sen
3)
5)
2
1 x 2 arccos x 7
x
x
dx
7 ln x
dx
Las personas no cambian por el simple hecho de cambiar, sino, cuando hacen conciencia de que realmente deben cambiar. Wilton Oltmanns
34
Integración por partes El método de integración por
parte
surge cuando
hay un producto fruto
de
combinaciones de funciones, tal como una algebraica unida a una trigonométrica,
una
trigonométrica inversa
algebraica
unida
a
y una l ogarítmica solas,
una
logarítmica,
aunque también
una
puede ser
una trigonométrica con una transcendente cualquiera, etc. Debido a que no hay una integral inmediata para resolver un producto de integrales, ha sido necesario crear un método para darle solución a estas. Sean u y v funciones de x con derivadas continuas. Demostración:
udv uv vdu
c
d( uv) udv vdu Despejando a udv udv d (uv ) -vdu ahora se integra udv duv - vdu c Derivando a (uv)
y se obtiene
udv uv - vdu
c
Not a: Cuando se está frente a una integral por partes, es convenient e seleccionar como integración y como
dv la parte más complicada, pero de más fácil
u
el resto. Luego se hacia el proceso de integración
cuantas veces sea necesario
35
Regla nemotécnica:
Para elegir la función se puede usar una de las siguiente sabiendo que esta sera la función de la izquierda.
1.
L ogarítmicas, I nversas trigonométricas, A lgebraicas, T rigonométricas, E xponenciales. ⇒ L I A T E .
2.
I nversas trigonométricas, L ogarítmicas, T rigonométricas ⇒ I L P E T
P otenciales,
reglas
E xponenciales,
Nota: Elegim os si empre "u" como l a función si tuada más a l a izquierda de la palabra ILPET, LIATE O ALPES.
El hombre que tiene lengua no es hombre, si no puede con ella conquistar a una mujer.
William Shakespeare
36
Resuelva las siguientes integrales:
xe dx x
Ejemplo 1: Re solver si u x du dx dv e
x
v e
x
acoplando x.e x .dx ala fórmula ud v u v vd u c xex e x dx xex e x c
ln .d
Ejemplo 2 :Re solver si u ln dv d
1
du d
v
acoplando n .
l
2
2 d a
la fórmula udv uv
2 1 ln d 2 2
2 2 ln C 4 2
Ejemplo 3 : Re solver
xe
u x
du dx 2x dv e d x Integrando a
dv e
2x
2x
xe
2x
dx uv dx
xe2 x 2
vdu
e2 x 4
c
c
dx
dx v
Aplicando el métdo nt de i
xe
2x
vdu
e2 x
2 egración tenemos que :
xe2 x 2
e2 x 2
dx
C
A veces se tendría que aplicar varias veces este método hasta llegara a resolver definitivamente la integral, debemos tener en cuanta tal como ya lo vimos en los ejercicios anteriores que se debe llegar a resolver una sola integral y que la misma sea directa.
37
Ejemplo 4 : Resolver
si u x 2 dv cos
x
2
x
2
cos xdx
du 2 xdx xdx v senx
cos xdx x 2 senx 2 x..senx dx
Re solviendo. x senx . dx si u x du dx
dv senxdxv
cos x
cosxdx
x cos x
x cos x senx
os x Uniendo x senx(c
2 x ) senx xsenx x
2
Ejemplo 5: Resolver u : Arctanx;
du=
xcossenx c
Arctan x dx 1
v x;
dx ; dv dx 1 x2
vdu udv uv c
x dx Arctan
xarctan x
1 1x
2
dx
La siguiente integral se resuelve por sustitución 1
1 x
2
dx
z 1 x2 ;
dz 2xdx ;
dx
dz 2x
x dz 1 dz 1 Ln 1 x 2 c z 2x 2 z 2
Arctan x dx xTan
1
x
1 2
Ln 1 x 2
c
38
Integrales cíclicas Son aquellas que vuelven a su integral srcinal por lo tanto hay que hacer algunos arreglos para obtener su resultado final.
solver e x senxdx
Ejemplo 6 :Re
u senx du cos xdx x dv e dx v e x Aplicando el métdo de int egración tenemos que :
e senx dx e senx e x
x
x
cos xdx
Dado que la integral de la derecha es por parte, aplicamos el m étdo de nuevo.
e
x
cosxdx e
x
e e senxdx
cos x
x
x
x xcos e senxdx
u cosxd u senx x dv e dx
dv
e dv x v ;e
x
Como se puede obsevar la integral srcinal se repite, porque es cíclica,
e senxdx e senx x
x
x
e x cos x
x
x
e senxdx e senxdx 2 e senxdx e senx e e senx e e senxd x 2 x
x c e senxdx
x
x
x
e senx e x coxs c x
x
cxos
cos x c
c
Eje mpl o 7 : Res olv ersen2 x d
. senx dx senx
Reescribiéndola tenemos
dv senx.dx v cos x u senx du cos x.dx Aplicamos el método:
sen 2 x.dx senx. cos x
cos 2 x.dx
39
Aplicando identidades trigonométricas
sen 2 x.dx senx. cos x
1 sen 2 x .dx
Luego operamos de acuerdo a las propiedades ya vistas de las integrales:
sen2 x.dx senx. cos x
dx sen2 x.dx
Luego operamos algebraicamente:
sen 2 x.dx
sen 2 x.dx senx. cos x
sen x.dx 2
nx se . cxosx 2
dx
2
2 sen x.dx senx. cos x x
C
EJercicios: Resolver
.
ln x
x
dx
. e x cosxdx
.x sen x e2 x
3 d
sol:
2 sen3 xe2 x c 13
3cos 3xe 2 x 13
40
Método Tabular Es otro método de resolución de integrales que se usa frecuentemente sustitución del método de integrales por partes, pero este es una técnica matemática más fácil. Su inventor fue Dan Rosen profesor de la universidad de Hofstra. Este método es para integrales que tienen la forma:
x
n
axn cos axdx, n x senaxdx ,
x e
dx
Procedimiento: Según el prof. ing. gil Sandro Gómez. Para calcular
f x g x
) en la columna “D”
funciones a derivar (fx funciones a Signos
integral (gx).
Derivadas f x
Df x
D2 f x
...
Dn f x
Los signos
y en l a columna “I”
las
van alternándose.
Integrales g x
I ( g )
x
I 2 (g) x
...
dx construye una tabla, donde se puedan poner las
...
I n ( g ) x1
Se continúa este proceso hasta que:
La función a la izquierda se convierta en cero. En este caso siempre debe ser una algebraica.
El producto de las funciones en el último reglón se pueda integrar.
41
El producto de las funciones sea un múltiplo constante del producto de las funciones en el primer reglón.
Resuelva la integral dada utilizando el método tabular. Ejemplo : Re solver Signos
x e dx 4
x
u y sus derivada sus sint
dv y
egrales
x4
-
4x 2 12x
ex e
-
24x
ex
24
ex
-
0
ex
ex x
3
x 4 e x dx xe
4
xex 4x
3
x
12 e 2e x 24x x C
Resolucion de Integrales Trigonométricas con exponentes enteros. Hay varios casos de este tipo de integrales, pero es bueno
reconocer que
los más comunes son del tipo.
sen
mn
x cos xdx
y
sec
mn
xtan
xdx
a) I nt egr al es que conti enen pot en cias de s enos y c os enos
Caso 1 . Si la potencia del seno es impar y positiva, conservar un factor seno y pasar los factores restantes a cosenos. Entonces, desarrollar e integrar.
sen
1 k x cos xdx k n sen 2 cos x
m n
n
k
os xc sen 2
xdx sen 2cos x
xsenxdx
k n
xsenxdx cos2 x 1 cos
n
xsenxdx
42
sen xdx senx x .sen x.dx senx. sen senx . 1 2 cos x cos x .dx 5
Ejemplo 1: Resolve r
sen x.dx sen x.dx 5
4
5
Tenemos
2
2
tres
integrales
2
senx .dx
4
que
se
2
.dx senx 1 cos 2 x .dx
res uelven
2 senx .cos.2 x dx
p or
metod os
senx .cos.4 x dx
anteriormente
vistos,
como a) se resuelve directamente, b) y c) por sustitucion.
b) senx
a ) s enxdx . cos x C 2
.cosxdx .
4 c ) senx .cosxdx .
1
cos 3 x C
2
3 cos 5 x C 5
3
u cos x . dx du senx dx
du senx
du u5 du u 4 . C 3 senx 5 Arnando la integral srcinal te ndremos :
senx .u 4 .
sen x.dx xcos 5
2 3
C
cos 5 x 5
3
1 5
x cos 3 xC cos 5
Ejemplo 2: Resolver
sen xcosx dx 3
u senx du cos x Sustituyendo tenemos que : 1
sen x cos xdx u du 4 u 3
3
sen4 x 4
4
1
c sen4 x c 4
C
Caso 2. Si la potencia del
coseno
es impar y positiva, conservar un
factor
coseno y pasar los factores restantes a senos. Entonces, desarrollar e integrar.
sen x cos c os x m n
2
xdxm k sen cos x m 2 k1 xdx sen cos x k
m m 2 cosxsen xdx sen x 1 sen x
k
2
x cos
xdx
cosxdx
43
Ejemplo 3: Resolver
sen xcos xdx 5
3
Sacamos un factor coseno y lo otro lo convertimos en seno:
(sen x cos x sen x cos cos xdx sen x(1s en x) cos xdx u u u du u du C sen x cos xdx sen x cos xdx 6 7 5
2
5
2
5
6
5
7
5
7
7
sen x
Hacemos :
sen7 x cos x)dx
6 sen x 6
7
7
C
u senx du cos xdx
Caso 3.
Si las potencias de ambos son pares y no negativas, usar
repetidamente las identidades.
sen2 x
1 cos 2 x 2
y
cos2 x
1 cos 2 x 2
Nota: para potencias diferentes consultar libros de tablas matemáticas.
44
Ejemplo 4: Resolver cos 4x. dx
cos.x dx cos 4
cos a)
4
1 4
x.dx
1
1
4
dx x
2
2
x .dx
2
dx
1
2
1 cos 2 x 2 .dx
cos 2 x.dx
1
Sustituyendo y resolviend o :
4 1
8
2
cos
4
1 32
sen4 x
1
1
4
4
x.dx
cos 2 2 x.dx
x
cosu
22
.
du
1 4
1 enu 4
udu . s cos
x 1 1 cos 4dx . dx x dxcos 4 dx . 2 8
1
cos x2dx. 4
.x
1 2.cos 2 x cos 2 2 x .dx
u 2 x du 2dx . dx du 2
1
4
4
4
1 b) 2 cosx2.dx
c)
1
1
1
sen 2x
.x 83
1 2
sen4 x
sen x 1 8
3
1
1
8
4
32
x dx
1 4 1 8
2 cos 4 .
x ens x 2 sen x 4C
Ejemplo5 :R e solver s en 2xcos 2xdx
Aplicamos la identidad del ángulo duplo : sen 2 x 1 cos 2 x ~ (2), cos 2 x 1 cos 2 x ~ (3) 2 2 Sustituyendo (2) (3)y (1) en tenemos que : 2x 1c os 2
1c os 2 x
2
dx
1c os 2 2 x dx 4
1 4
(1 cos
2
2 x) dx ~ (4)
Utilizamos la identidad del ángulo duplo otra vez : cos 2 2 x
1 cos 4 x
2 Sust . (5) en (4): 1
(1 (
1 cos 4 x )dx 2
4
1 4
1 2
cos4 x ) dx 4
~ (5)
1 4
(1 dx 1 8
4x 12 cosdx 4 ) 1 8
4 cosxdx
1 4
(1 x 8
1 2
dxcos44 x )
321 cos zdz 8x sen324 x C
Hacemos z 4 x dz 4dx De a hí que : dx
dz 4
45
Integrales que contienen potencias de secante tangente y cotangente
–
-
cosecante.
Caso 4. Si la potencia de la secante o cosecante es par y positiva y hay factores tangentes o cotangente, conservar un factor secante o cosecante cuadrado y convertir los factores restantes en tangente o cotangente. Entonces desarrollar e integrar.
sec
1
x tan xdx kn (sec2 x)
2k n
tan x sec xdx (1 tan x) kn 2
2
1
2
tan x sec xdx
Caso 5. Si la potencia de la tangente o cotangente es impar y positiva y hay factores secante o cosecante, se debe conservar un factor secante tangente o cosecante cotangente y convertir todos los demás en secante o secante y luego desarrollar e integrar.
sec
mk
x tan 2
Caso 6.
m 1
xdxk sec
Si la tangente
1
m 2 x(tan) x seck x tan dx sec
o cotangente están
1
x(sec 2 x 1)s ec x tan xdx
solas y
su potencia (n)
es
cualquier entero positivo, se convierte un factor cuadrático de ellos en
sec2 x o c sc2 x y se deja
todo lo demás en tangente o cotangente. A
plicar
este proceso tantas veces sea necesario hasta obtener una tangente o cotangente de n=1, la cual se hará inmediatamente.
tan
n
Caso 7.
xdx tan n 2 x(tan 2 x) dx tan n 2 x(sec 2 x 1)dx Si se tiene una integral de la forma
sec
m
xdx se aplican los
siguientes criterios. a) Para m par aplicar el caso 4 b) Para m impar aplicar la integración por parte.
Caso 8 . Si ningunas de las guías anteriores aplican tratar de convertir el integrando en senos y cosenos.
46
tan x sec xdx tan x sec x sec xdx tan (tan x sec x tan x sec x)dx tan x sec 2
4
2
2
2
24
2
2
2
2
x(1 tan 2 x)sec 2 xdx
2
xdx
tan
4
x sec 2 xdx ~ ()a
Hacemos : u tan x
~ (b)
2
du sec xdx
u3
4 u 2du u du
3
Sustituyendo (b )en (a ) :
u5 5
C
tan 3 x
3
tan 5 x
5
C
Ejemplo 7. Calcule el integral.
tan x sec xdx tan x sec x sec x tan xdx (sec x 1) sec x sec x tan xdx (sec sec x tan x sec x sec x tanx)dx sec x sec x tan xdx sec x tan x sec xdx ~ (a ) 3
3
2
4
2
2
2
4
2
2
Hacemos : u sec x
~( b)
du secx tan xdx u du u du 4
3
uu5
3
C 5
Sustituyendo (b )en (a) :
3
x sec x5
sec3
5
3
C
47
Cálculo Integral Práctica: 5 Apellidos:………………………………….……………….… Matrículas:………………………….. Grupo: ……………Fecha: ………..…………Profesor(a): …………………….…………….…
Integrales por parte y trigonometricas:
xsen2xdx x 2. xsen dx 5 3. x cos xdx
1.
x2 2
5. e sen 2xdx 6. x e dx 3
4. 5e x dx cos x
x 1 R : cos 2 x sin 2 x c 2 4 x x R : 5x cos 25sin c 5 5 R : xsenx cos x c x
2
R : cos x
2
1
1 1
3
5
7. sen5 xdx 2
4
5
3
2
11. tan 6 xdx
13. sec x
12. sec 6 xtan 2 xdx
2
R :?
5 x
8. sen x cos xdx 9. tan xdx 10. sen x cos xdx
x
10e 2 c R :2 ecos x cos x 1 c 2
R : 5x e 2
R:
cos3 x
5
cos x c
1 1 x sen4 x sen3 2 x c 8 2 8 6
1 4 2 tan x tan x ln cos x 2 1 5 3 R : cos x cos x c 5 3 R :? R:
1
4 1
c
R :?
3
48
x
13)
cos
14)
x arctan ln xdx
15)
2
2
x
dx xdx
17)
ln cxcos
1
x
R:
2
16) x3ln xdx............
R: xTanx
3
3 xarctan
2l x n2 x 2 x
R: ln
1
6x2
1 ln(1 6
)x 2 c
x xc
x4 (4ln x 1) c 16
arcsen2 xdx....... xarcsen2 x
1 2
1 4x
sen 24 x c 12
1 12 x 8 sen2 32
19) sen4 xdx................
c
1
18) sen52 x cos2x dx....
2
x sen4 x
1 20) Sec 2x Tanxdx ................ Tan 2x c 2
21)
x
22)
e C os 2dx
2
Cos 3xdx
"Tener hijos no nos convierte en padre, del mismo modo tener un pian o no nos convierte
en pianista". (Michael Levine)
49
Integrales que contienen los productos seno-coseno de ángulos distintos. En este tipo de integrales es necesario convertir dicho producto en función de una suma. Su demostración está en el manual de precálculo en la parte de trigonometría. Aquí se dan las formulas directamente. Se debe tomar en cuenta que m y n son las veces que se rep
ite un ángulo y que
≠ .
Fórmula s 17:Pr oductos sen mx. sen nx sen.cos mx
nx (
cos mx.cos nx
1)
8Sen5
x Sen
Senmx Sennx
1 (cos[ m ]n x cos[ m ]) n x 2 [ 12 sen ] m s n[x en] m) n x 1(cos[ m nx ] m ncos[ x ] ) 2
x dx 1
Cos m n x Cos m n x 2 1 Sen 8 x5 Sen . xdx 8 5C os 8 x 5Cos 2 1 13 3 Cos x dx Cos xd x 2
Cos 3x dx
1 Cosu du du 3dx 3 dx du
u 3x
x
1 1 1 2 Cosud u Cos dz 13 3 1 1 1 2 Senu Sen z c 13 3 1 Sen 26 1 Sen 3x Sen 13 x c 6 26
1
6 1
Sen u
50
2)
Sen6x Cos 2xd x 1
Senmx Cosnx
m n x Sen
2
1
Sen6x Cos 2 x
Sen m
Sen xdx 8
Sen x 4dx
n x
2
Sen4xdx
1 Senu du 4
u4 x
1 2
du 4dx dx 1 8
du 4
Cos4 x
1 16
Cos8 x
3). Cos10 x Cos3xdx
Cosmx Cosnx
1 2
m n x Cos m Cos
n x
Sen10x Cos x3 1 Cos xdx 7 1Cos xdx 13 2 2 1 1 1 1 Sen 7x Sen x 16 27 2 13
1 14
Sen7x
1 26
Sen13x c
Transformarte en la persona que tu realmente quieres ser
51
Método de sustitución trigonométrica inversa. Para aplicar el método es necesario usar el Teorema de Pitágoras y las identidades trigonométricas. Se hará uso de un triángulo rectángulo desde donde se sacaran todas las funciones que serán sustituidas en el ejercicio.
Ejemplo1: Resuelve
dx 16 x 2
Sustituyendo en la integral!
4cos d
16 4 Sen
2
4cos d
16 16 Sen 2 4cos d
16 1 Sen 2
d d Cos 4 4cos 1 Sen Cos 2
2
Cos d d C Cos x arcSen C aplicam os la inversa 4
arcSen arcSen
x 4
arcSenx x , solucion : arcSen C 4 4
52
Ejemplo 2 : Resuelve
x
dx 2
4 x2
Haciendo sustitucionesde Sen
x 2
, x 2 Sen , dx = 2cos d
Ahora sustituyendo en la integral se tiene que :
2Cos d
2Sen
2
4 2Sen
2
2Cos d 4 4Sen 2Cos d
2
4 Sen 2
4 1 Sen
4 Sen
2
2 Cos d 14 2 Sen 2 Cos
2
2
Cosd d 14 14 Sen 2Cos Sen 2 Ahora aquí debemos aplicar iden tidades
trigonométricas, pues recordemos 1 que senx
1
Coscx 4 cosec 2d
1
Cot c , peroCot 4
solución :
4 x 4x
4 x2
x
2
C
53
Ejempl o 3: R esuelve
x2
25
dx
25
dx
2
5 25 tan sec
x
5tan (5 sec 5 tan 25
3
x3 2
3
x3
2
2
d )
d
25
25 tan 2
3 2 5 125 tan sec d
25 tan
125 tan
3
2
1
125 tan2 sec tan d
sec
125 sec 2 1 sec tan d 125 sec 2 sec tan d 125 sec tan d u sec du;
d sec tan
udu d
2
u
125 u 2 du 125 sec 125u 3 3
125sec c 3
2
125 3
x
25 125 x 2 25 5 3 1 x 2 25 25 x 2 25 c 3 5
54
Integración por Tabla El método de sustitución trigonométrica puede ser muy útil cuando
u u( x ) .
aparecen expresiones algebraicas como la siguientes, sabiendo que Lo que debemos es memorizar estas fórmulas y en vez de irnos por el método anterior, sustituir tal como la igualdad.
du
18)
u a a
19)
u
20)
a
21)
2
2
2
du a
2
du u
2
2
1 u arctan a
C
du 22)
u a
1 u a .ln C a 2 ua
du 23)
u aln uauC
1 a u ln C a 2 a u
du 24)
u
du a2 u2
u arcsen c a
2
2
2
2
2
2
2
2
u2 a2
ln uauC
25)Ln u du
1
u
a
a
arc sec
C
u Lnu - u +C
La descomponemos en dos integrales en la cual en la primera aplicamos la fórmula 1 y en la otra una integral por sustitución. 1 2x
1 x
2
dx
1
1 x
2
dx
2x
1 x
2
dx arctg x L(1 x 2 ) C
Integrales que contienen polinomios cuadráticos. Muchas integrales que contienen una raíz cuadrada o potencias negativas de un polinomio de la forma
ax 2 bx c
completar cuadrado. Tienen la forma
1)
x
2
2)
x
2
3)
ax
dx 2
bx c
ó
ax
dx 2
bx c
.
dx dx Tan1 (x 1) c 2 x 2 ( x 1)2 1
dx
x
se pueden simplificar con el proceso de
4x 5 2
dx
6 x 13
dx ( x 2)2 1
Tan1 (x 2) c
dx 1 Arc tan( x 3) c ( x 3)2 4 2 2
55
x
4)
dx 2
4x 7
Podemos escr ibir el denominador como
x 2 3 2
cuadrados donde tenemos que
u2
a2
la suma de dos
.
En est a forma de cuadrados compl etados tenemos que u x 2 y a 3 por lo tanto dx dx 1 x Arc tan( x 2 4x 7 (x 2)2 3 3
5) Encuentre laint egral de
x
2 3
5 3x 2
4x 5
)C
dx
Completando al cuadrado el denominador para transformarlo en el tema anterior. Descomponiendo distributivamente
x2 4x 5
x 4x 4 1 x 2 1 2
5 3x
dx
2
5x
4x 5
sec2 d
dx x 2 1 2
tan
tan 1 3 2
5 3 5 3
sen cos du
5 3x
2sec2 d tan 2 1 tan 2 sec sec2 d 2 d 5 2 3 sec sec 1 2 5 d 3 tan 2 d
5
x2 x tan 2 dx sec2 d tan
2
d 6 d
11 3ln u c u cos du sen d arctan x 2 11 3ln cos c
11arctan x 2
3ln
c x 22 1 1
u
56
Ejemplo 6 : 4x
2
2x 1
4 x 4 x 15 2
4 x 15
4x
2
2
4 4 4x 2 2
15
Solucion
2 x 2 2 194 x2 2 2x 2 4 2 2 15 1 11 x 2 x x 2 x 4 2 2 1 1 x x 4 2 2 2 1 x 4 2 x2
2 1 12 x
x 2 x
1 4
d d sec 1 2 dx dx x 4 sec tan 2 dx 4
2
1 4
19 5 4
2x 1
2 x 1
16 tan d 4 sec 2 2 sec 4 sec 2 16 4 sec 2 2 sec tan d 2 16 sec 16 2 2 sec tan d 1 4 sec 2 16
4
1 16
15 4
dx
2
4 8
tan
4 sec 2 2 sec d tan 2
sec
2 8
d 1 tan 2 4
4x2 4x
x 2x1 1 4 dx
1 sec
2
d
tan 2
sec d tan
2
2
2
2
u tan du ;
Transformado 2
2 x 12 4 2x 1
16
2x 1
2 x 1 16 dx 2
sec
2x 1 4
, 4sec 2 x 1, 4s
ec 1 2 x
sec d 2
1 du 1 2 u 4 1 1 ln u 2 4 1 ln tan 2
1 cos
sen
d
cos
1 d sen
cos c d 1 ln cos c 4
cot
c
57
Método de fracciones parciales Función racional:
Es una función que puede expresarse como el cociente
de dos polinomios. Es decir,
R( x)
P( x) ; Q( x)
Donde
P ( x) y Q( x)
son polinomios.
E l métod o de f r acci on es par ci al es: Es una técnica descompone un polinomio integrar
R( x)
Donde
cierta
P( x)
algebraica
R( x) en una suma de términos.
clase
de
funciones
Nos
que permite
racionales
p( x) F1 ( x) F2 ( x) ... Fk ( x)
Q( x)
p ( x) es un polinomio y
Fi ( x) es una expresión que puede integrarse
con facilidad. Esta integral cuyo integrando, está constituido por expresiones fraccionarias, que por lo general son de fácil solución. Al momento de intentar resolver este tipo de integrales, es importante tener en cuenta los siguientes criterios:
Criterio1: Si el numerador de la integral dada, es de menor grado que el denominador, se debe –si es posible- aplicar el proceso de factorización.
Criterio2: Si el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador, se debe resolver primero la división de polinomios.
Fracción parcial Simple: Es cualquier fracción propia de polinomios, es decir, el grado del numerador es estrictamente menor que el grado del denominador.
sí,
3
5 2
4;
2
3
x 3 ; 2 13
.
58
Muchas veces la dificultad al resolver integrales por este método, estriba en que el estudiante debe tener conocimientos previos de precálculo el cual debe dominar, por lo menos, una técnica que le permita resolver los sistemas de ecuaciones, que se generan al momento de intentar calcular dichas constantes. Una vez determinadas las mencionadas constantes, se obtienen integrales que por lo general se resuelven aplicando los métodos ya expuestos, por esta razón, es conveniente que el estudiante los domine todos. Descomponer factorialmente el polinomio q(x), es decir, se hallan las raíces de la ecuación
q(x) = 0, el cual es el denominador. Al realizar la mencionada descomposición, es posible encontrar resultados distintos y éstos se pueden clasificar en cuatro casos:
Primer caso: 1.
Fracción impropia
: Si p(x)/q(x) es una fracción impropia (es
decir, si el grado de numerador es mayor o igual al grado del denominador), dividir el denominador para obtener
px r x c x qx q x Donde: p(x) es el dividendo, q(x) el divisor, c(x) el cociente y r(x) el resto y se cumple que q(x) es de mayor grado que r(x). Ahora aplicando el símbolo integral a ambos miembros y los respectivos diferenciales, se obtiene:
px r x r x cx dx cx dx dx qx qx qx
59
Ej emplo 1: Re suelve
x2 1 dx x 1
Se resuelve realizando previamente la división, a través de la cual obtenemos el cociente x+1
x2 1 x 1
dx
y el resto 2 que es símbolo de 2
( x 1 x 1)dx
Ej emplo 2: Re suelva
x2 2
p x r x c x q x qx
x 2L x 1 C
x2 x 3 dx x2
Dividimos el numerador por el denominador y luego aplicamos integramos cada parte. 2
x
x 3 x 3 9 x 2 x 2 2 x x3 9 dx x 3 dx x2 x2 x 3 dx 9 xdx 2
2
x 3 x 9 ln x 2 c 2
60
2do Caso: Factores lineales. 2.a) Factores en el denominador lineales distintos . La integral dada debe escribirse en función de un cociente compuesto por: Constantes (A, B, C, etc) en el numerador y dichos factores en el denominador. Como se muestra a continuación:
Qx
es
un
polinomio
Qx x a x 1 a x a2
x a 3
que
tiene
...
n
x
1 2
x6
reales
distintas,
es
decir,
, por lo tanto:
Px A A x an Integrando 1 2 ... Qx x a 1x a x 2 a n n
Ejemplo 3 : Re solver
raíces
Px
A1
Qx dx (x ax
1
ax
A2
a2
...
x an dx ) n
n
dx
Factorizamos el polinomio que est á enel denominador.
x 2 x 6
x
1 2
x
6
x 3
x2 1
dx x 3 x 2
dx
A B x 3 x 2 A x 2 Bx 3
dx 1 Ax 2 A Bx
3B 1
El coeficiente de x es 0x 1, mult iplicando por x 3 x:2 Como mas abajo se formo un sistema de ecuaciones
A B 0
2 A 3 B 1 B
1
1
5 5
; A
1
ln 5x 3
1
ln x 5
l n 5x 2
1
x
2
1 dx
53 x
5
ln x 3
dx
1
;
x 6dx ln
5
52 x
c
2
c
x 2 x 3 c 61
Ejemplo 4: Resolver
4 ( x
x 2 16 x
1 x 4 x 4 1
A
1 Ax
2
4)
dx
x 4 1 A x 4 B x 2 16
dx
x -16
4 A Bx
B
x 4
x
4 4B
Ax Bx 0 x
x A B 0 A B 0 A B 0 4 A 4B 0
4 A 4 B 1
4 A 4B 1 8B 1
A 1 8 1
B1 8
1 8
x 2 16 x4 1 dx 1
8
x 4
1 8
8
1 8
x4 dx
x 4 18 ln
ln x 4
1
ln x
8
4
1 8
ln x
4
x4 c
62
Ejemplo5
: Re solver
4 x 2 18 x 38
x
3
4 x 2 18 x 38
x
3
4 x 2 18 x 38 dx dx x 5 x 3 x x 3 x1x2
2
Re solviendo al g A x 1 x 1
dx
x2 5x 3
Bx 3
4 x 2 18 x 38 dx 2 3 1
4 x 18 x 38 A B C x 3 x 1 x 3 x 1 x 1 C x 3 x 1 4x 18 x 38 2
ebraicamente
2
2
x 1
2
2
2
Operando y luego resolviendo el sistema de ecuaciones
A B 4 18 2 A 2B C A 3B 3C 38 A 8, B 4, c 6 8
dx
4
dx
dx
x 1 x 1 8ln x 3 4ln x 1 6 x 1 dx x 1 c ln x 3 ln x 1 6 x3
6
2
2
c
1
8
4
1
ln
x 3 x 1
8
4
6
x 1
C
63
Método de Heaviside para factores lineales distintos. Si se tienen funciones parciales
xa x
P x sumando el grado de p x R x y los factores R x
de R x son todos lineales distintos R x
b x c , , , x
z .
para aplicar este metodo hacer los siguientes pasos: 1. Escribir el cociente R x en forma factorizada:
P x R x
p x
x a x b x c ,,,
x
z
2. Eliminar uno a uno los factores de R
x , reemplazando
cada x en los factores por el numero que la elimina.
p x cuando x a x b x c , ,, x z p x B cuando x b x a x c , ,, x z p x C cuando x c x a x b , , , x z A
3. Escribir el desarrollo de P x como: R x
P x A B C R x x a x b
Z x c
,,,
x
z
x 2 3 x 10 Ejemplo: resolver dx 3 x 2x x 2 por el metodo de Hearside.
x
x 2 3 x 10 dx 2x x 2
3
x 2 3 x 10
x 1 x 1 x 2
dx
Como todos son lineales distintos podemos aplicar este metodo.
x 2 3 x 10 x 1 x 1 x 2 A
A
x 1
B x 1
C x 2
cuando x 1 es el valor que la anula 6 1
x 2 3 x 10 A= x 1 x 2
6
64
B cuando x 1 es el valor que la anula B
12 x 2 3 x 10 6 x 1 x 2 2 C cuando
x 2 es el valor que la anula.
12 x 2 3 x 10 C= 4 x 1 x 1 3 1 6 4 x 1 x 1 x 2 dx
dx
dx
dx
6 x 1 x 1 x 2 6 ln x 1 ln x 1 ln x 2 c 6 ln x 1 ln x 1 ln x 2 c x 12 x 2 3 x 10 x 3 2x x 2 dx ln x 1 x 2 c
2.b) Factores lineales repetidos en el denominador. m Para cada factor lineal ( px q) , la descomposición en fracciones debe incluir la suma siguiente de
A1 ( px q)
A2 ( px q) 2
simples
( m=n) fracciones.
...
Am ( px q) m
La integral dada debe escribirse en función de un cociente compuesto por: Constantes (A, B, C, etc) en el numerador y dichos factores en el denominador, como se muestra a continuación:
p x
A
B
z
... qx ax b ax b ax b 2
n
65
x5
x 1
Ejemplo : Re solver x5
x 1
3
dx
x
3
dx
x5 , dividiendo tenemos 3x 2 3x 1
3
x3 3 x 2 3 x 1
x5
x 3 x 3 x 5
4
x 3x 2
3
2
3x 3x x 4
3
6x
2
3 x 4 9 x 3 9 x 2 6 x3 8 x 2 3x
6 x 3 18 x 2 18 x 6 10
Aplicando i
egrales nt
3
x 1
Multiplicar
x 33 x 3
x
x1dx x
6 dx
10 x 2 15 x 6
x :
2 10 x156
x 2 3x
6x 2
15
3
A
B
2
2
C
x 1 x 1 por x 1
2
3
x 1
6
10 156x 2 x dx 3 x 1
dx
3
1015 10 15 10 15
6
x 2 1 x
x A1
6
x 21x
A x
6
x 2 x
2
2
B 2
x
C
x
Bx
Ax Ax
A
Bx B C
2
2
B
C
Se formó un sistema de ecuacion de 3*3 cuya solucion será:
2 A B 15 A B C 6 B 1 5 2 A
10dx
A 10, B 5, C 1 dx 5
dx 1
x 1 x 1 x 1 10 ln x 1 5 x 1 dx 2
dx
3
2
1
10 ln x 1 5 x11 10 ln x 1
10 x 1
x 1 2
dx
5
x 1 x 3
dx 1
2
x 1
3
dx
2
5 1 c x 1 2 x 1 2
3
x3
3x 2 6 x 2
10 ln x 1
5 1 c x 1 2 x 1 2
66
Método de la diferenciación en factores lineales repetidos. Este es otro método de determinar las constantes que aparecen en las fracciones parciales. Ejemplo:Resolver
x 2 3x 4 3
3
x2
solucion:
x 2
x 2 3x 4
dx
A B C 2 x 2 x 2 x dx2 3
dx
Ahora se procede a eliminar las fracciones para determinar el valor de las constantes A,B,C
x 2 3 x 4 A x 2 B x 2 2
C
a) Para encontrar el valor de C basta con buscar un valor de X que anule todas las demas constantes en este caso seria x=2 y sustituimos
A x2
2
B x 2 C x 2
3x 4
x=2
B 0
A 0
C 6 c6
67
b) Ah ora s e deriva la misma expresión de
a
en ambos lados.
2A x 2 B 0 23x 2Ax 2 B 2 x
3
Como se puede ob servar para obtener a B se sustituye x=2 para eliminar la constante A y asi se obtiene el valor de B.
2 2A 2 2 B 2
3
B7 c) Para obtener C 2A x 2 B 2 x
3derivar
2A=2 A= 1 Eso implica que:
A
B
2
1
x 2 dx dx
7 dx x2
dx
ln x
2
x 2
I2
d z x dx 2 z
6 dx
x 2
3
dx
2
I1
dx
3
x 2 7 x 2 6 dx
C
x 2 x 2 x 2
x2
3
c 1
2
z x 2;
=
z
2
1
1
z
x2
2 z dz
1
d z dx I3
dx
x 2
x 2 3x 4
x 2
2
3
1
2 x 2
dx I1 I 2
2
I3
ln x 2
1 1 x 2 2 x 2 2
C
68
3cer caso Factores cuadráticos 3a) Factores cuadráticos repetidos. La descomposición en fracciones simples debe incluir la suma siguiente de
n
(ax 2 bx c )n .
fracciones en
Ax B
Cx D
W ... 2 X 2 ) ax bx ( c
2 (ax 2 bx c ) ax ( bx c
Z )n
La integral dada debe escribirse en función de un cociente compuesto por: Polinomios de grado uno en el numerador y dichos factores en el denominador, como se muestra a continuación:
px
qx ax Ejemplo : Re solver
x
2
ux
x dx 1
1 1 ; B ; C 2 2 2 dx 1 x dx 1 dx x 1 2 x 2 12 x2 1
1 2 1 2
1
ln x 1
lnx 1 1
ln x 1 ln x
2
1
2 u 1 du
2 1
4
2
4
du
u
ln u
1 2
arctan x arctan x
arctan x
1 ln x 2 1
2
xdx
ln
x 1 4
x
2
1
arctan x 2
c
c
arctan x
1
du 2 x du 2
1
2
n
2
1
0 AC 1
2
bx c
1
BC
Wx Z 2
2
A B 0
1
2
2
1
x 1 x
1 A x2 1 Bx C
siA
Cx D
ax bx c ... ax
x 1 x 1dx
Multiplicamos por
Ax B 2 bx c
c
c
69
3B) Factores cuadráticos distintos.
La integral dada debe escribirse en
función de un cociente compuesto por: Polinomios de grado uno, en el numerador y dichos factores en el denominador, como se muestra a continuación:
p x
qx ax
Ax B Cx D ... 2 bx c cx 2 dx e
(ax
Para cada factor cuadrático
2
bx c
n
) , Factorizar completamente el
denominador en fracciones de los tipos:
()px q
m
ax2 )bx c
( y
n
y
donde ax 2 bx c es irreducible denominadores
que
nos
den
recordando
raíces
complejas
que
Cuando
entonces
tengamos
tendremos
Ax B, Cx D sobre el polinomio.
Ejemplo 7: Calcula la integral.
2 x 3 5 x 2 16 x dx x 5 8 x 3 16 x
x 2 x 2 5 x 16 x x 4 8 x 2 16
dx
2 x 2 5 x 16
x
2
4
2
Ax B Cx D dx 2 x2 4 x2 4
Ax B x
4 Cx
Mult . por x 2 4 2
2
A 0, B 2, C 5 x tan x 2 tan 2 du u x 2 4 xdx 2
D 2x2
dx
5x
2 sec 2
16
d
70
x 2
2
4
2
dx
x
2
4
4 4
5x 4 dx 2 2 4
x
dx
2sec 2 d
2
4
2 tan
2
4
sec 2 d 4 tan 2
4
sec 2 d
tan
2
d 1
c
arctan 2x c 5
x
5
x 2
4
du
2u
2
dx 8
2
16 sec 4 d
d
1 cos 2 2
1 cos
d
dz d2
x 2 3 x arctan 2 2 1
2
arctan
2
2 ; dz d; 2
2
d
sec
2
sec 2
4
4 sec 2
5
dx 2
2 sec 2 d
8
u 1 16
z
x
cos 2 d
1
d
2
1
cos2
2
d
1 senz 4 1 sen 2 2 4 1 x sen 2 arctan c 4 2
2
5 2 x2
1 sen 2 arctan x c 2 4 4
71
Ejemplo 8: Resolver la siguiente ni tegral
2 x 3x 2
x x 5
4
x 1
dx
Factorizando el denominador aplicando unos de los métodos ya conocidos 4 x5 x x 11 x
como es el método de Ruffini tenemos que: por lo qu e t enemos.
x
2
3x 2
x 1 x 1 x 1 dx 2
2
x 1
2
x
2
1
Observando cada uno de los
miembros del divisor lo expresaremos en la forma.
Q x R x
A xa
B x b
Mx n x2 d
C
x b
2
Ha de hacer notar que la última parte tiene esa forma por tener raíces complejas.
A
x 2 3x 2
B
C
x 1 x 1 x 1 dx = x 1 x 1 x 1 2
A
B
x 1 x 1
2
C
x 1
2
Mx n x 2 1
2
Mx n
dx por lo tanto
x 2 1
x 2 3x 2
x 1 x
1
2
x
2
1
A x 2 x2 1 B x 1 x 1 x2 1 C x 1 x2 1 M x 2
N
x 1 x 2 2 x 1
x 2 3x 2 A x 22 2x 1 x 1 B x2 1 x2 1 Cx3 x 2 1 Mx
N
x 1 x 2 2x 1
x 2 3x 2 A x 4 2 x3 2x2 2x 1 B x 4 1 C x3 x2 x 1 M x4 x3 x 1
N x3 x 2 x 1
x 2 3x 2
72
Ahora se forma un sistema de ecuación
B
M C M N C N C M N B C M N
A
2 B 2A
2 B A
0 0
1 3 2
Ponerlo en forma para resolver por Gauss.
B 0C A M 2A 0B C M 2A 0B C 0M 2 A 0 B C M A B C M
0N
0
N
0
N
1
N
3
N
2
Resolviendo el sistema obtenido obtuvimos:
A 1; 8
B
5 ;
3; 4
C
8
1; 2
M
N
3 2
Sustituyendo en la integral:
1 5 8 8 x 1 x 1 1
dx
3
d5 x
8 x 1 8 x
4 x 1
x 32 dx x 1
1
2
2 2
3dx 1
x1
4 x 1 2 2
x
2
dx 3 dx 2 1 2 x 1
73
Resolviendo detenidamente cada integral
a) b)
1
dx
8 x 1
5
1 du 8
u ln u
dx
1
ln x 1 C 8
5
ln x 1 C
8 x 1
8
3 dx 3 dz 31 4 x 12 44z2 z c) z x 1 dz dx 1 x 1 1 dv 1 dx ln v 2 x2 1 2 2 v 4
d)
1 4
3
C
4 x 1
ln x 2 1 C
v x2 1 dv 2xdx
e)
3
dx
2 x2 1
3 2
arctan x
Solución:
x
x 2 3x 2 5
x4 x 1
dx
l
1 8
n x 1
5 8
ln x
1
3
4 x 1
1 4
ln x2
1
3 2
arctanx C
74
Cálculo Integral Práctica: 6 Apellidos:………………………………….……………….… Matrículas:……………………….. Grupo: ……………Fecha: ………..…………Profesor(a): …………………….…………….…
Integrales con ángulos repetidos, fracciones parciales y complexión de cuadrados. I. Integrales con angulos repetidos
2) cos9 x cos12 xdx 3) cos2 5 x cos12 xdx
1) sen7 x sen 3 xdx
II. Resuelva
dx
4)
5)
x
6) 7)
100 x 2 dx 4x2 1 dx
1 x 1
x
dx
9)
y
11)
5 dx
8)
10)
2
16 x 2
dy 2
9
dx 25 x 2 9 dx 25 x 2 9
2
III. Integrales por fracciones parciales.
dx
12)
x
17)
x
18)
x 2
19)
x 1
x2 x x 11 13) 2 dx x 3x 4 3 x 13 14) 2 x 3 x 10 17 x 3 15) 2 dx 3x x 2 7 x 2 2 x 3dx 16) 2 x 1 32x x 3 3
dx
9
2
x2
dx
3
x
3
dx
IV. Resolver las siguientes integral es por complexion de cuadrados. 20)
x
dx 2
5x
8 x 19 dx
21)
2
23) x 2
6 x 13dx
15 x 20 2x 1 22) 2 dx x 2x 2 2x
75
Integración
de funciones
racionales
de seno y coseno
Hay integrales que a veces se nos complica resolverla por los métodos anteriormente vistos, por lo que si el integrando es una función racional de de Sen( u) ^ Cos(u
debemos reducirla a
una función racional
1 z Tan u , para obtener las 2
asumiendo que
formulas
de z, Por lo
que
del seno, coseno y el
diferencial en función de z partiremos de las identidades del ángulo duplo.
1. Demostrac ión d e Sen u. Sen 2u =2sen( u).Cos u( );
Ahora
Sen (
Como
u=
1 2
u tenemos que
multiplicamos
por
u1 Cos u 1 2 2
1 Cos 2u Sen (u) Cos 1u 2
2sen. =u)
1 1 Sec2 u 2
1 2Tan u . 2
sustituciones de
Tan 2 u
1 1 Sen ( u) = 2sen u Cos . u 2 2
1 Cos u 2 1 Cos u 2
1 2 u* Cos 2 Sen Cos u 1 2
y
obtenemos
u
2
1 2
que
1 2Tan u 2 . 1 1 2 Tan 1 u 2 1 Tan 2 u 2 2 1 2z z Tan u tenemos que Sen(u ) 2 1 z2
1
1
;
ahora
haciendo
76
2. Demostración de Como
Cos(u ) 2Cos
coseno
obtendremos
Cos U. 2
1 u 2
1 aplicando identidades trigonométricas para el Cosu( )
que
2
1 S ec u 2 2
operando algebraicamente 1 2 1 Tan2 u 1 1Tan u 2 2 2 1 1 1 Tan 2 u 1 Tan 2u 1 Tan 1 u 2 2 2 2
Cos(u )
1 Cosu ( ) Tan u
2
2 1 2
1
y
1
1 z2 1 z2
c) Demostración del diferencial 1 1 1 z Tan u dz Sec2 u.du por lo que aplicando identidades y luego 2 2 2 haciendo transposición de términos tendremos Como
1 Tan u du 2
dz
2
dz2 z (1
2
Sen(u)
En conclusión:
2z 1 z
2dz )du du 1 z 2 .
; 2
Cos(u)
Ejemplo 1. Calcule la siguiente integral
2dz 8dz 2 z 2 1 z 1 Cos u 1 z2 2 1 1 2 z2 1 z 1 4 du
4
4 du tenemos que
1 Cos u
que
4 dz
1 z2 1 z
2
;
du
2dz 1 z
2
4 du
1 Cos u 4 z Como ya sabemos que
1 z Tan u 2
1
4Tan 2u C
77
Cálculo Integral Práctica: 7 Apellidos:………………………………….……………….… Matrículas:……………………….. Grupo: ……………Fecha: ………..…………Profesor(a): …………………….…………….…
Integrales de seno y coseno 1)
dx
1 senx cos x
2)
senx cos x
1 cos x
ln 1 tan
dx
4) 5) 6)
7)
dx
senx tan x
- se
3 2senx dx
ln
dx
x c 2 1 x 2 x c lntan c 2 2 2
1 4
1
senx
3
3 2 senx
c
3 tan x +c 2 x tan 2 x tan 1 2
2 arctan 3
2 cos x
dx
lnt an
cot x
1 senx cos x
c
ln 1ccx os
cos x
3) cos ecxdx
x
2
ln
"Un país con grandes desigualdades sociales mata de hambre a los de abajo, de miedo a los de arriba, y deja sin libertad y sin fe licidad a todos" (Juan)
78
Sumatoria y área de figuras planas Para definir el área de una región en el plano cartesiano, acotada por una
x = a y x = b , hay que
curva y=f(x) y las rectas
hallar la
suma de muchos
términos; por lo que hay que utilizar la expresión de sumatoria.
Sumatoria:
Dado un conjunto de números (bibi, ib1 , n
b b b b k i i
i
n b2 ...
1
,
k 1
,
n2b,...,
) , su suma la representamos como
donde
: denota sumatoria
bk : representa el k-ésimo término k
: se llama índice de sumatoria y adquiere valores enteros sucesivos.
i:
Extremo inferior,
n : Extremos superior.
Ejemplos: Resuelve por sustitución directa. 4
a)
k
(1) (2) (3) (4) 1 4 9 16 30
22222
k 1
Sustituir k por 1,2,3,4 realizar las operaciones indicadas. 5
b)
k2 23 24
2 5
k 3
2kk 1 2((2)2) 1 2
2
c)
2
k 2
4
1
1
47 30
(1)2 0 (2)( 1) 1 2(0) 1
2
1
2
0 1 3 1 3 5 3 5
1
2
2(1) 1 2(2) 1
8 5
79
Sumatoria por propiedades 1)
Regla del valor constante:
Es igual a la constante multiplicada por
el extremos superior. n
c cn ,c : constante
1)
k 1
2)
Regla del múltiplo constante:
Es igual a la constante por la
sumatoria de la secuencia. n
2)
n
c a c a c , : constante .
k
k
k1
3)
k 1
Regla de la suma
: Es igual a la suma de la sumatoria de cada
secuencia. n
3)
a b
n
n
k 1
k 1
akk b
kk
k 1
4 ) Regla de la resta:
Es igual a la resta de la sumatoria de cada
secuencia. n
4)
( a b k k
k 1
) a k
n
k 1
b
k
Regla para cuando 5)
n
k 1
k 1
b
5)
( f) k ka
b c
( f
Si n z ,Entonces
7 ) Regla de la potenciación de sumatoria. n
k k 1
n(n 1) 2
n 2 (n 1)2 4 k 1 k n
n
k
2
n(n 1)(2n 1)
k 1
n
3
k ) c
kac
k 1
k4
nn(
6
1)(6 n n3 n9 2
1)
30
80
Ejempl os: Hallar la suma a
través de sumatorias.
(Asumir que k=i)
5
( i
1)
2
3)
i 1
5
5
i 1
i 1
( i2 3) i 2
5
(3) i 1
20
20
2)
(3 k)( k 2) k 1
1
(nn1)(2 n 2
n(n 1)(2n 1) 5(3) 6
1) n3n
(
20
2 ( 3i i 6 ) i 3 i 2
k 1
1)
k 1
1
0(20 2 2
5(6)(11)
5 55 115 70 6
20
6
3
1)nn nn( 1)(2 n ( 1) ( ) 6( 6 2
k 1
si obtenemos
133,560.
1)(2(20) 1) 3 20(20 1)
)
8 ,610 1260 7,350 20
3) Hacer la sumatoria
de
3k( k
k
2
2)
1
Estimaci ón de áreas a través de
sumas finitas.
Es a través de la cual podemos encontrar una proximidad del área de figuras geométricas que no tienen formulas especifica. Sea
y=f(x)
una curva;
acotada en
positivo po r x a x b . C ontinúa en el cual formara la región.
el eje
a , b
Para hallar el área debemos dividir la región en intervalos cuya longitud Serán rectángulos cuya A=b.h.
81
Ejemplo: Encontrar el área de la curva y 2 x 2 entre las rectas verticales x 0 y x 1 . Buscando la altura para luego hacer la gráfica, por lo que se evalua la
1 función y los resultados son: (0,2); , 4
31
1 7 3 23 , ; 2 ,4 ; 4 16
16
.Aquíencada
rectángulo se incluye el extremo final.
Como se dividió el área en 4 rectángulos, tenemos 1 que:b = , h = y, aplicando sumatoria se tiene que 4 1 1 31 1 7 1 23 S 2 4 4 16 4 4 4 16
1 31 7 23 S 2 64 16 64 71 S 2.21875 unid2 32
Sumas de Riemann
Bernard Riemann fue un matemático Alemán que murió a la temprana edad de 40 años. (1826-1866). Su suma es un método matemático utilizado para aproximar el área total bajo la gráfica de una curva.
Aplicaciones La determinación del área por este método es solo una de las muchas aplicaciones que implican el límite de una suma. Un enfoque similar puede utilizarse para determinar cantidades tan diversas como longitudes de arco, valores medios, centroides, volúmenes y áreas superficiales. Sea f : [ D] R , continua en [a, b] contenido en D, siendo P un conjunto de intervalos abiertos de particiones I, tales como p a [( x0 , x1 );( x1, x2 ) b ...nn ( x 1, x )] por lo tanto P se define como la suma de Riemann.
S
Lim
n
n cf x
(
i 1
i
).
x Donde:
ba n
y
ci a i x
f (ci) es el valor mínimo absoluto de f en i-Enésima sub-intervalo. Esto significa
0, n N
n
0/ f ci x( A)
i 1
82
Resolución de Área por sumatorias de Riemann. 1. 2. 3. 4.
5.
Desarrollar operaciones si es necesario. Despejar las constantes Aplicar las propiedades de las sumatorias Reducir términos semejantes Aplicar limite cuando n tiende a infinito
.
2i 2 s i 1 n n n
n
Ejemplo: Buscar el límite de
n
sn
2i 2
n n 2 2 n i n n i 1 i 1
sn
sn
lim 2
n
lim
2 n
1
n
n 1 2
n
0
2
y x2
x
b a 30 n n
La definición dice que
3 n
y
A
x 0^ x 3
ci a i x i0x i x n
Lim
f (c ).x n i
por lo que
i 1
n
n
S xi x( i x) 2 .x i i 1
n
( 2
i 1
2
3 3 i 2 . n n i 1
n
)2 .
27 n3
2 1
Operando con i=k cuadratico tenemos que por definicion da
s
9 n3
2n 3 3n 2 n 2
Al tomar el límite cuando n tiende a infinito ( ), se hace para buscar que al incrementarse el número de rectángulos, el valor del área obtenido por la suma de Riemann se aproxime al valor real del área bajo la curva. Por tanto: por lo tanto
Dada la funcion y=3x
2
Unid cuadráticas.
limitada por las rectas x=1 x=3
83
b a 3 1 n n Ci a xi 1xi
2 n
x
A lim n
A lim
n
n
f(
ci) x
i 1 n
3 1
xi 2 x lim
i 1
n
n
3 1 i 1
2i n
2
2 n
6 4 4 2 lim n n 1 n i n 2 i
ahora aplicamos propie+dades de la sumatoria asumiendo que n es co nstante. =lim
n
6 n
4 n 4 n n 1 i 2 i2 i 1 n i 1 n i 1
aplicando ahora las potencias de i o k.
1 2 1 6 4 n 1 4n n lim n 2 n n n 6 n 2 6 2 lim n2 n 1 n n2 32 1 n n 3n 6 Multiplicando por . y aplicando prop.limites n A=l im 6 n n
lim 12 lim n n
12 lim 8 n
12 4 lim 2 6 12 n n n A 26 unid 2
lim n
8
84
Cálculo Integral Práctica: 8 Apellidos:………………………………….……………….… Matrículas:……………………….. Grupo: ……………Fecha: ………..…………Profesor(a): …………….…………….…………….. Tema I. Encuentre el valor de la sumatorias encontradas: 7
1
2k 3
1)
k
5)
k 1
k 3
6
3
k
k 1
2)
5 k 1 k 1 k
6)
k 3
k 3
10
2k 1
3)
4
2
7
)
k 5
k 1
n 100
4)
k
2
k
2
8)
k 1
3
2 k
k 0
Tema II. Calcular la suma usandosla propiedades: 10
9)
i
2
1, sol: 375
i 1 20
i 1,
10)
2
sol:10
i 1 15
1 n i 1,
11)
i 1
2
2
n
i 2i
12)
sol: 0.3
1 sol ,
4n 3n n 3
:
6n
i 1 25
13)
2i i
2
1, sol :1 0, 400
i 1
Tema III. Buscar una aproximacion de area en:
14) y x 2, 1, 5
15) y x x 6 , 1,3 2
85
Tema IV. Busca el limite de las siguientes sumatorias: 16)s n lim n
17) sn
2 n n
i
2
i 1
1
n
, sn
1 3
n 2 3i n3
n
i 1
Tema V. Busca el area a traves de suma de Rieman, haga la ilustracion grafica :
18)Dado y=x 2 en 0,8
19)Dado y 3 x 2 enx=0 ^ x=1 20)Dado y 3 x 4 enx=2 ^ x=6 Tema VI. Busca el valor de las siguientes integrales definidas: 21)
3x 1
x dx x2 1 e dx 23) 1 x 22)
8
2 x x 1 ,dx :sol
3
1 3
sol :
,
2
3 ln
8 3
,sol :1
2
25) 24)
0
senxdx
sol :1
,
2
0
3
4
sen x cos xdx
,sol :
2 35
Tema VII. Valor medio para integrales 26) Determina el valor medio de f
x 3 x
2
2en x
el intervalo 1,4
27) Determina el valor de f
x
0
2 cos xsen 2 xdx
86
Tema VIII. Buscar el valor de area de : 1
28)
4
0
2x 1
29)
7
x 3 x 1dx
1
0
dx 2
2 x 30) edx 0
32) 31)
0
4
sen2 sen3 d
sen2 xdx
u2 1209 28
u2
e2 1 u 2 2e 3 2 10
2
u2
No esperes que lleguen las circunstancias ideales ni la mejor ocasión para actuar, porque tal vez no lleguen nunca.
Autor pendiente
87
Método de Simpson Es una manera de obtener una estimación más exacta de una integral. Usa polinomios de orden superior para conectar los puntos. Por ejemplo, si hay un punto medio extra entre y , entonces los tres puntos se pueden conecta r con un polinomio tercer orden. A las fórmulas resultantes de calcular la integral bajo estos polinomios se les llaman Reglas de Simpson.
de
Regla de Simpson 1/3. Se utiliza cuando la integral es complicada y no se puede resolver por ningún método. La regla de Simpson de 1/3 proporciona una aproximación más precisa, ya que consiste en conectar grupos sucesivos de tres puntos sobre la curva mediante parábol as de segun do grado y sumar las áreas bajo l as parábolas para obtener el área aproximada bajo la curva. Se resuelve mediante la fórmula:
b
b
a
a
h
f ( x)dx
ba f (a) 4 f
3
b a f (a) 4 f (c) f (b) 6
f ( x)dx
Ejemplo 1: Resolver
f ( x)dx
2
f (ba)b donde h , ; 2
2
3
1
2
3
1
( )
h
2
Ejemplo 2 : Resuelve
3 f (1) 4 f f (2) 6 2 3 x2 1
* f (1.5) * f (2)
2 3
1 2
1
3
3
x2 1
3(1)2 1 3
(1.5) 2 1
x 1 3(2) 1 3
x 2 1dx
2
2
0
3
53
1.2599 3.5
1.5183
1.7100
0.1667 1.2599 4(1.5183) 1.7100
0
x2
dx
fa ( )fc4 fb ba 6 f (0) 4 f 0.5 f (1) 1 0 6 0.5 1 4e e 1.4757 unid 2 1
e
23
1
e
Organizando los datos a=0; c=0.5; b=1
2 1
* f (1)
usar
x 2 1 dx por medio del método de Simpson.
ab ba ( )f a4 f bf (2)3 2
x 1dx
igual
, a. b
, ceselpuntomediode
ab h ba (f )a 4 f ; (f )bdonde 3 2
2
es
x2
dx
( )
6
x 2 1 dx 1.5075 unid 2
88
Regla del trapecio La Regla o Método de los Trapecio es una técnica de aproximación que se utiliza para encontrar áreas bajo curvas. Una de las formas para aproximar una integral definida es utilizar n números de trapecios. Las integrales definidas son límites de las Sumas de Riemann, cualquiera de estas sumas se pueden utilizar como una aproximación tomando como referencia la fórmula de este método que supone que f(x) es continua y positiva en el intervalo [a, b] en n sub-intervalos de iguales longitud.
b
a
f ( x)dx
x 2
f (x ) 2 f ( x ) 2 f ( x) ... 0
x
Donde:
Si M R y|
1
3
(
f ) xn 1 () f xn
ba , el error se puede estimar al utilizar la regla del trape n
cio:
M f( )| x , x[ , a] b el error que se comete al usar
la regla del trapecio no es mayor que:
f ( x )(b a ) 3 12 n 2
2
f ( x) x en el intervalo
Ejemplos: Hallar el área bajo la curva de la
x 1 , x 2 .
Con n 4 se tiene que:
x
2 1
1
4
4
0.25
Luego, se sustituye en la ecuación para buscar el área y se tiene: 2
x
2
dx
1
0.25 2
f (1)
2 f (1.25)
2 f (1.5)
2 f (1.75)
f (2)
A continuación, se evalúa la función con los valores dados y se tiene:
0.25 2
(1 3.125 4.5
6.125 4)
0.25 2
(18.75) 2.34575 unid .2
89
Y ese será el valor del área bajo la curva en los intervalos dados.
f ( x)(b a)3
Calculando el error:
12n
2
=
2(2 1)3 12(4)2
= 0.04166666667
Así se ve que la inexactitud de la regla del trapecio. Sin embargo, para funciones lineales esta regla es exacta. También podemos comparar el resultado mediante el teorema fundamental del cálculo: 2
x 2 dx
1
x3 2 8 1 7 |1 3 3 3 2
f ( x) 3sen x;x 0;x
Ejemplo 2:
x 0
30 6 1
1
3; n
6
1 2
3senxdx 4 f (0) 3
2.33333 unid.2
2(f
1
3
2
2
) 2(f 1) 2( f
) 2(f 2) 2(f
5 2
)
f (3)
3sen (0) 2(3 sen(0.5)) 2(3 sen(1)) 2(3sen(1.5)) 2(3sen(2)) 2(3sen(2.5)) 3sen(3) 4 5.84 unid.2
90
Ejemplo 3:
1
x dx 2
2 f (3.25) 2 f (3.875) 2 f (4.5) 0.625 f (2) 2 f (2.625) 2
0.625 1 2
n8
72 0.625 8
x 7
1 f( x) ; x 2, x7, x
2
2f (5.125) 2 f (5.75)
2 f (6.375)
f (7))
1 1 1 1 1 1 1 1 2( ) 2( ) 2( ) 2( ) 2( ) 2( ) 2( ) 2( ) 2.625 3.25 3.25 3.875 4.5 5.125 5.75 6.375
1 f ( ) 7
0.625(4.0325) 1.26 unid.2 2
"Aunque esperes encontrar la felicidad en la meta, no te olvides nunca de divertirte durante el camino" (Juan)
91
La integral definida La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas. La integral definida de la función entre los extremos b
f ( x)dx siendo a y b rectas de x.
del intervalo [a, b] se denota como
a
Primer Teorema fundamental del cálculo En relación con la controversia de quien fue el inventor del cálculo de Isaac Newton y Gottfried Leibniz en el siglo XVIII, surgió a partir de esa época una forma de demostrar el cálculo de diferentes maneras, una es el cálculo diferencial o método de las fluxiones por Newton, la otra se le llamo Integrales. El teorema fundamental del cálculo era investigado tiempos atrás de tal forma que Newton le dio seguimient o dando lugar así a la derivación, est a última era la manera de estudiar las áreas y los volúmenes a diferencia de la integración que estudia algo más de lo que se había investigado a través de las derivadas de figuras cuadráticas, el área debajo de figuras curvas. La importancia del primer teorema fundamental del cálculo radica en la relación existente entre el cálculo integral y el cálculo diferencial, es decir el mismo consiste en demostrar
que la integración y l
a derivación s on operaciones
inversas
Este esblece que : Dada una función f int egrable en a, b ,
definimos F sobre a ,b po r F x Si f es continua en c
x
fa t dt
a ,b ,entonces F es f c
derivablee nc y F ' c
92
Segundo Teorema Fundamental del Cálculo Este teorema es una propiedad de las funciones continuas que permite calcular fácilmente el valor de la integral definida a partir de cualquiera de las primitivas de la función.
Si f es continua en a,b y F es una integral de f en a,b
b
a f x dx F b F a Demostración : x
f t dt
1) Sea g(x)=
a
2) Por el primer Teorema fundamental el cálculo.
F' x
f (x) g ' x x
3) Evaluar a
, c
/F x
g ( x) c
x g( x) cen a, b ; tomando en cuenta valor final
menos el valor inici al.
F b
g b c
F a gac
F b
F a g b c
y
,
g a
por lo que se tiene que :
c x
f t dten el punto c a evaluar, talcomoevaluarag(b)= f t ydt g(a)= f t dt F b F a f t dt f t dt ,Como se sabeque f t d t0
Ahora aplicando el paso 1, g(x)=
a
b
a
a
a
b
a
a
a
a
a
b
b
F b F a a f t dt af x dx
93
1
Ejemplo 1 : Calcular x 2 dx 0
3
x3
la funcion que la satisface es F x Aplicandoel teorema
1
0
x 2 dx F 1
F 0
3
0
1
3
3
3
Ejemplo 2 : Calcular el área bajo la curvadxx
F x
x3 Aplicandoelteorema 3
3
1
2
2
0
8
0
8
3
3
3
unid 2
.
unid 2
Henri Lebesgue La figura del matemático francés
Henri Lebesgue (1875-1941) resultó fundamental para la
sistematización del cálculo integral y su aplicación a las modernas teorías de las ciencias naturales y económicas.
94
Propiedades de las integrales definidas Para facilitar el cálculo de una integral definida sin tener que recurrir al método de sumatorias de Riemanns en donde se estableció que
b
a
f ( x )dx lim x
n
f ( ) x, i
i
i 1
Se proporcionan las siguientes propiedades fundamentales. 1) Si a > b, entonces
b
a
f ( x)dx
a
b
f ( x)dx
2) Si f(a) existe, entonces a
a
f ( x)dx 0
3) Si k es una constante cualquiera, entonces b
a
kdx k b ( a )
4) Si la función f es integrable en [a, b] y, k es una constante arbitraria, entonces
b
a
b
kf (x )dx k f x(dx) a
5) Si las funciones
f y g son integrables
en [a, b], entonces f
g
también es integrable en [a, b] y b
b
a f (x) g(x) a
6) Si f es integrable en [a, b], [
b
a
f ( x)dx
c
f ( x )dx
a
7) Si f es integrable
b
a
f ( x)dx
a
g (x)dx a
a, c] y [c, b], y a< c < b, entonces
b
c
f ( x )dx
en un intervalo c
b
f ( x)dx
f ( x)dx
b
c
cerrado 1 y, (a, b, c)
entonces 1,
f ( x)dx
95
x
8) Si f es in te gr ab le en [a , b] y f (x)
b
a
0
[a , b] , en to nc es
f ( x )dx 0
9) Si las funciones
f y g son integrables
en [a, b] y f (x)
g (x)
x
[a, b], entonces
b
a
f ( x)dx
b
a
g ( x)dx
Ejemplos: Evalúa las siguientes integrales.
1.
3
2
x3 3
x2dx
0
3
(3)3 (2 )2
2
3
27 4
23
3
3
3
3
cos cos 0
senxdx cos x0
1 1 2
2.
2
5
( x 2 x 1) dx si a b
Aplicandopropiedad1. -
5
2
x3 x2 ( x +x-1)dx=- + -x 3 2
125 3
25
8
2
3
117 3
25
93
2
2
5
2
2
(f )x dx
a
b
(f )x dx
5
2
5
b
a
2
3.
2
( sen 5cos
2) d
cos 5sen 2
2
cos 2 5sen 2( ) cos 2 4.
5sen
2
1 5(0) 2 (1) 5(0) 2 1 2 1 2 2
96
Valor promedio de una función Si f e s i nte grab le en e l i nte rva lo cerr ado [a, b], entonces el valor promedio de f en el intervalo es
1
(b a)
b
a
f ( x)dx
f ( x) x3 ; [0, 2]
Ejemplo: Determine el valor promedio de
1
ba
b
a
f ( x ) dx
1 20
2 0
x 3dx
1 x4
2 4
2 0
1 16 16 2 es el valor promedio de f( x) 2 4 8
Teorema del valor medio para cálculo integral. El teorema del valor medio para integrales establece que en alguna parte entre los rectángulos inscritos y circunscritos hay un rectángulo cuya área es precisamente igual al área de la región bajo la curva. Enunciado:
Si f e s c ont inu a e n e l int erv alo cer rado [a, b], entonces existe un número c en el intervalo cerrado [a, b] tal que
f (c )
1
ba
b
a
f ( x) dx
Ejemplo : Encuentre el área de la función
es lo mismo decir f (c)(b a)
fx x 2 3 en
b
a
f ( x)dx
1,3
Como la funci ón es continua en 1, 3 se puede aplicar el teorema de la media.
f (c )
1
b
dxf ba a
( ) xx
1 27 1 ( 9) ( 3 3) 2 3
1
3
2 3 3 1 1 1
8
2
3
(0
)
1 x3 2 3
8 6
3
3x 1
f (c )
4 3
Buscando ahora el valor de c tenemos que: c2
3 4 c2 13 c 13 3
3
3
97
Integrales con Valor Absoluto Estas son
muy útil para cualquier proceso
de identificar áreas
bajo curvas,
no importando si esta tiene partes bajo o sobre el eje x. Formalmente, el valor absoluto o módulo de todo número real está definido por:
a, si a 0 a, si a 0
a
El valor absoluto nunca negativo
de A siempre
Propieda des del valor
absoluto.
será
mayor
o
igual
que cero y
1) Valor absoluto de la suma algebraica de varios números
|x+y|=|x|+|y| 2) Valor absoluto de la diferencia de numero reales
|x-y |-|x+y| 3) El valor absoluto de un producto
|xyz|=|x||y||z| 4) El valor absoluto de un cociente
x
=
y
x y
Ej emplo 1: R esolver la s igu iente int egra l con valor abs
f x
4
0
olu to.
x 2 4 x 3 dx
98
a) Si integramos esta función sin valor absoluto daría lo siguiente. 4
x3 0 4 x 3 dx 32 x23 x 0 3 3 64 (4) (0) 2(4) 2 3(4) 2(0)2 3(0) 32 12 3 3 3 F x
4
x2
.
4 F ( x) Und 2 3 A nivel gráfico la solución de la función sin valor absoluto son la suma de las partes que estan en amarill o.
b ) Resoluci ón con valor absoluto. Las integrales definidas con valor absoluto debemos separarla a partir de los puntos donde el módulo se hace cero. Se debe encontrar la sumatoria de las áreas que proyecta esa función en los puntos donde está evaluada, para ellas se encuentra el área bajo la curvas de la suma de las regiones ya sean negativas o positivas.
99
El asunto radica que al integrar una función con valor absoluto vemos que el área que antes se restaba ahora se suma, pues, la parte que tenemos de azul es la que tendremos sumando.
La integral dada es f x
4
0
x 2 4 x 3 dx
Para resolver esta integral empezamos por la definición de valor absoluto 2
x 4 x 3 , x 0 y luego se x2 4 x 3 2 x 4 x 3 , x 0
busca los
x 2 4 x 3 x 1 x 31 x1
ecuación
El ejercicio
valores que
anulan la
x32
pide que se evalúe la integral
en el intervalo 0,4
pero ya se
conocen los valores que anulan la función, por lo que hay que hacer diferentes se rompe
intervalos
hasta
0, 4 0,1; 1, 3 ;
3, 4
donde
esta
la integral
se
anules,
es
decir
en 3 partes debido a los intervalos
que se forman entre esos valores conforme a la definición del valor absoluto.
x 1
0
2
x 4x 3 dx
4x 3 dx
3
2
1
Como se observa la parte en el intervalo de
4
3
x2
4x
1, 3
esta en forma negativa, es
3 dx
por la definición de val or absoluto como est a queda por debaj o de l a gráfica obligatoria mente se cambia el signo.
100
1
3 x
Re a solviendo 4
0
2
x
3
dx4 3 x
4
3
x dx 4
2
1
3
x2
x
dx
13 2 03 0 2 3 0 1 2 3 4 und 2 2 1 3 1 2 3 3 3 3 3 0 3 3 3 3 31 9 18 9 4 4 und 2 x3 2x2 3x 33 2 32 3 3 13 2 1 2 3 3 1 4 4 3 2 33 x3 64 4 2 2 x2 3x 2 4 3 4 23 3 3 32 12 9 18 9 und 2 3 3 3 3 3 3 x3
1
2 x2 3x
f x
4
0
x2 4 x 3 dx
Ejemplo 2: Resolveer
0 2 2
2
2
2
4
4
4
12
3
3
3
3
3
2
4 unid2
0
x dx xdx
32 0 2 2
2
0
2
9 2
3
xdx 0
13 2
x2 2
0
2
x2 2
3
0
und 2
101
Áreas entre curvas f ( x) g ( x), siy=g(x)
Si f (x) y g (x) son funciones continuas en [a,b]tal que está por debajo de y=f(x) en el intervalo dad.
Su área
se calcula
mediante
la
fórmula
b
a
n
( f ( x) g ( x)) dx Lim (f ( xi ) g ( xi )( xi ) n
Vemos
que
i 1
(f(x)-g(x)
representa
la
altura de un rectángulo diferencial.
Ejemplo 1: Hallar el área de la región encerrada por las curvas. f ( x) x2 x 2 ( g) x 4 1)
x
2
x2 f ( x) g ( x)
Buscando la intersección de las graficas
x 2 4 x 2x x
x 1
2
1 4(2)(6)
2(2)
S
6 0, donde a
2
1 49
x
4
x
2,b 1 7 4
1,c=-6 Las intersecciones son
x 12
x2
3 2
b
a g x( )f x dx ( ) 2
3 ( 4 x 2 ) ( x 2 x
2 ) dx
2
2
3 (4 x 2 x 2 x
2)dx
2
2
3 (6 x 2 x 2 )dx 2
6 x x 2 x 3 2 3 1
2
2
3 2
Ahora Evaluando
6(2) 1 (2)2 2
2 3
6 3 1 32 2 2 2 2
3
(2) 3
3
2
3
243
14.29 u 2
24
102
Área entre una curva y el eje Y Este tipo de curva está limitado a la izquierda por
el ejes de las Y y queda entre d y c y d , su curva será X= h(y) por lo tanto
c
c
h(y dy ) .
2
x 2 y está limitado por las rectas
Ejemplo: Si una parábola Calcular el área de la figura. d
d
y 1 y 1 .
1
(2y dy2 )
h (ydy )
1
3 1
y 3
2y
1
2(1)
3
1
1 5 2( 1) ( ( 3 3 10
A
5 3
)
10 3
unid 2
3
Ejemplo: Encuentra el área entre las curvas f ( x) 2 x2 3 S
(g )x
e x en 0,
3 2
b
f x ( gx) dx a
3 2
2 x 3 e 1 dx 2 x e 4 dx
x
2
0
3/ 2
2
x
0
2 x 3 4 x e x 3
3 2 0
2 3 2 3 3 3/ 2 3 2 4 2 e 3 0 3.768 3 1 2.77unid 2
3
4 0
e0
103
Área de una región de una curva bajo o sobre una recta. Se aplica el mismo procedimiento vista anteriormente.
f ( x)6 x 2
Ejemplo: Buscar el area de la curva
( g) x x entre las rectas
x=-1^x=1.
f ( x) g ( x)dx 6 b
1
a
1
1
x dx 6 x
6 x 1
2
1 2
x x
2
2
( x) dx
1
3
3
x
1
1
6 1 1 1 2 1 13 6 1 1 2 3 2 1 1 1 1 6 6 2 3 2 3 31 37 34 11.33unid 2 6 6 3
1
2
1
3
1
3
Longitud del arco de una curva Es la distancia o camino recorrido por un punto a lo largo de una curva en un intervalo dado.
Teorema: Si f(x) ^f´(x) son continuas en [a,b] la longitud de arco de la curva y=f(x) desde(a,f(a) al punto (b,f(b)) viene dada por
L
b
a
1 f ' ( x ) 2 dx
s longitud de Arco po r s x y dividiendo x y s s x x x x 2
2
2
2
s x 1
2
2
2
2
2
2
y x
2
2
1
2
2
y'
x
2
d ( s )
1 y '
s 1 y ' dx
dx
2
104
f ( x) x 2 x 6
Ejemplo 1: Calcular la longitud de arco de
en el
in terval o [- 1,1]. H ace r el bosque j o de l a gráf i ca. L
b
1 y ' 2 dx
a
Y x x 2 L
1
1
1
1 1
L
y6 x ' 2
2x 1
2
2
1
2 x 1 dx 2
1dx
por formulatenemos Re solviendo 1
u 2 a du2
u u a 2 2
a2 u a c 2 2 1 Ln1 2x 1 2
Ln u
2
2 x 1 (2x 1)12 2
L
2
2x
1 2 1 L n 1 2 2 4.7434 0.909 0.707 0.4407 L 6.8001 unidades
3 10 2
1 Ln 31 2
0
1 2
2
1 _1
1
Ejemplo 2: Halle la longitud de la curva de la función. 1 Y x 6
y
1
2
elintervalo 0
4en3/ 2
x 2 4 3/2en0,3 6 13 y ' x 2 4 1/2 2x 6 2
1
3
0 1
2
3
0
1
3
44 x2
L 1 ( y ') 2 dx
L
x
3
1 0
2
x
L 2 3
1 2
x x 2 4 1/2
x x 2 4 2 2
x2 2 x 4 dx 4
4 x4 4 x 2 4 4 dx 4
3
0
1
3
2 x 2
x 4 4 x 2 4 dx L
1 x 3
y'
0
2
dx
3 1 1 0 2 x 2 9 6 0 2 15
1
3
0
3
x 4 4 x 2 4 dx 4
2 x dx 2 2
0
15 L= 2 unid .
105
Ej emplo 3: Cal b
L
L
1
a 1
0
1
2 f ( x) x 3/ 2 ,10,1 3
cular la l ongitud de
arco de
y '
23
x
2
dx y ' 2
dx
1
x 32
1
0
1 2
x
x dx 3
1
0
1
1 x dx
1
x dx
1
2
evaluando 1 1 3 2
3
L
2 3
2
2u 2
1
2
0
2
31
u du
0
2
3 2
3 2
3 1 x
3
2 (2) 3
2
3 2
(1)
3 2
1 0
2 1 unid
106
Cálculo Integral Práctica: 9 Apellidos:………………………………….……………….… Matrículas:…………………………………
Grupo: …………………Fecha…………..…………Profesor(a):…………….……………
I. Hallar el área entre las siguientes curvasy haga un bosquejo la degráfica.
a)f x x 2xg x2 ; x b)f x
x1 g
cy) x
2
x2 ; ; 0,1
y 2;2 d )y x x y2 ;x 2 ey) x 4 x4;y4 16 2 f )x y ; x y 2 g ) y 2senx; y sen2 x;0 x 2
2
h) Encuentre el area de la regiónconforma de helipce , acotada por la cur va 3
x y
0 y la recta x
y
0.
II . Buscar la siguiente longitud de curvas.Via calculadora hagaun bosquejo. y
1 3
3
x2 2 de x 0 a x 3
2 y x3 de
x 0 a
x 4
107
Integrales impropias Integrales Impropias:
La definición de integral definifa
b
a
f ( x) dx requiere que el intervalo
a, b sea finito
y que además f x sea continua en dicho intervalo, pero si hay int egrales que no cumplen estas condiciones ya sea porque uno o los dos limites de integración sean infinito o quizás porque dentro del intervalo hay descontinuidades, entonces las integrales se le llama impropia. Propiedades de las integrales impropias con limites de integración infinitos.
1. si f es continua en a,
f x dx lim b
a
b
f x dx
a
2. si f es continua en - ,b b
f x a
dx lim
b
f x dx
a a
3. si f x es continua en el inte rvalo c
f x
=
f
dx
x dx
c
f x dx lim
c
a
,
a
f x dx lim
b
b
c
f x dx
En los dos primeros casos si el limite existe la integral es convergente de lo contrario es divergente. En el caso 3 la integral impropia a la izquierda diverge si cualquiera de las integralesa la derecha divergen. Ejemplos: Diga si las siguientes integrales son convergente o divergentes. a)
2
2
1
x 2 dx x 2 dx lim
b 2
b
lim x3 3 b 2
1
x 2 dx lim b
b
2
x3 3 2
b
x 2 dx lim
1
lim b3 8 b 3 3
b
8
Esta integral es divergente.
108
b)
6
1
-4 =
x
e 4 dx x
x
b
b
x 44lim e e 6
4 edx lim edx lim4 4e
b 6
b
4 32 32 e e 4 e e =-
b
3
4 o e
4
2
3
b
3
4
2
.
e2
La integral es convergen
te.
Integrales impropias con discontinuidadesinfinitas. Propiedades
1. si f es continua en a, b y tiene una descontinuidad infinita en b a
f x dx lim c b
b
c
f x dx
a
2. si f es continua en a, b y tiene una descontinuidad infinita en a, b
f x dx lim c a
a
b
c
f x dx
b a c , excepto para algun
3. si f es continua enb a,
, donde f tiene
una descontinuidad infinita b
c
f x dx f a
a
a
x dx
c
f x dx
En el caso 1 y 2 la integral impropia converge si el limite xiste, e de otra forma es divergente, mientras que en el caso 3 la integral mpropia i en la izquierda diverge si cualquiera de la integrales impropiasa la derecha diverge.
c) Resolver
1
x ln x. 0
Analizamos si f x es continua en 0,1
f x x ln x f 1 1ln1 1 0 0 f 0 0 ln 0 0 0.
109
f x es descontinua en el limite inferior. 1
1
0
a 0 a
x
2
x 2 dx x
x ln xdx lim x ln xdx lim 2 ln x 2 u ln x du dx x dv xdx
2 v x 2
a 0
2
x lim a 0 2
=
1 ln x - xdx 2
1
lim a 0
x2 x2 x ln 2 4 a
lim a 0
1 2
2
ln1
1
2
4
a2 a2 2 ln a 4
a2 a2 1 1 lim ln a 0 ln 00 0. a 0 4 2 4 4 4 Nos dio una indeterminada por lo que debemos destruirla por medio de 1
L`Hòpital.
a2 lna 2
ln a 1 ln 0 1 2 2 1 2 a 0 ahora s i se puede aplicar la regla de l`Hòrbital. lim a 0
1 a lim 2 2 a 0 3 a 1
1
lim a 2 ln a 2 a 0
1
a2 2
1 2
0
2
1
2
lim a0
lim 0 a 0
0
1
1
2
Sustituyendo tenemos:
1
2
2
1 4
0
1 4
x ln xdx 4 0
0
sustituyendo tenemos:
1
xln 0
xdx
1 4
0
110
Cálculo Integral Práctica: 10 Apellidos:………………………………….……………….… Matrículas:………………………………… Grupo:…………………Fecha…………..…………Profesor(a):…………….……………
I. Diga si las siguientes integrales impropias es divergente o convergente.
2)
1)
0
x3 dx
0
0
2
x
3) dx ex
dx
) x x2 dx3 e cosxdx
3
2
4
x
4) 5)
0
2 dx 4 x2
111
Volumen de Sólidos de Revolución Hay sólidos que para hallar su área o volumen tienen formulas fijas tales como: 1) Cilindro: V= r 2 h; Al=2 rh Otras de las aplicaciones
; At=AL+2B 2) Cono: h r v=
de las integrales es
1 r 3
2
que permiten
3) Esfera:
4 3
.
3
encontrar el
volumen de un sólido tridimensional. Estos cuerpos se usan mucho en ingeniería, mecatronica, manufactura. Entre estos encontramos embudos, ejes, píldoras, botellas, pistones, cilindros, conos, esfera.
Método de los Discos Para encontrar el volumen de un sólido de revolución con el método de los discos usar:
b
R dx cuando el eje de revolución sea horizontal. b) v= R dy cuando el eje de revolución sea vertical.
a) v=
2
x
a
b
2
y
a
Ejemplos: encontrar el volumen del sólido formado cuando se hace girar 0 , Dibujar la gráfica. la gráfica y= senx en el intervalo
2
f x =senx en el intervalo 0, 2 v=
b
a
2
R( x ) dx v 2 sen2dx 0
Resolviendo la integral
1 1 v x senx x cos 2 2 2 0
1
1
2
2
sen2dx x senx cos x 1 2 s2
1 2
en cos 2 2
1 1 1 2 0 2 sen0 cos 0 4 2 1 0 4
112
Ej emplo 1: E ncontrar acotada por
f x x
el vo lu me n de l so li do formado al gir 2
2 y la r ecta g(x)= 3x al
ar l a reg ió n 1 r ede dor de l a rec ta y 2
a) buscando intersección para establecer los limites. R x R x
f x g x x2 3x 2 x 2 x
v
aR (dx x) x1x dx3
v
x2
b
1
2
2
2
2
4
x 2dx 12 x 6 x 3 13
x5 3 13 x4 x3 3 5 2
6x
2
4
4x
13 3 2
3
1 3 2 5 2 1 4 1
2
6 24
32 104 1 24 24 8 3 5 5 16 31 1 15 30 30
1x2
2
2
2 5 3 4 2 2 5
v
1 ;2x1
3 2
13 3
6
4
13 3 1
6
3
1
2
4
1 30
El Método de las Arandelas
Una arandela se forma al
hacer
girar
un
rectángulo alrededor del eje, tendrá un hueco en el medio por lo que referente al eje tendrá un radio menor y un radio mayor, es una corona donde está su volumen, es decir
V R r2 w V=
2
aplicando integrales se tiene que
R r b
a
2
( x)
( x)
2
dx
113
Ejemplo 2: encontrar el volumen del solido formado al girar la región interseca da por y x ^ y x3 alrededor del eje x. la intersección de los graficos de ambas funciones esta
en el intervalo 0,1 por lo que ahi es que se va a buscar el volumen cuando la figura formada gire. v=
R r 1
2
( x)
0
2
( y)
dx
x3 x 6 dx v 0 3 1 1 4 v= 0 212 3 7 v=
1
x
2
1
x7 7 0 4
1
Series Sucesión:
es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números
reales.
Ejemplos: a 1
a n 5n1
a4; 2 9;a
Serie:
14 ;3 a
19 ; a4
24
5
es la suma de los términos de una sucesión.
Ejemplos: a n
x 2345 x x =1-x+ 2345
x
...
114
Serie de Laurent
z z0 , entonces no podemos aplicar el
Si f(z) no es analítica en un punto
teorema de Taylor en ese punto; pero si podemos hallar una representación
z z que representa
en serie de potencia tanto negativa como positiva de
0
una singularidad para eso utilizamos el teorema de Laurent.
Teorema:
Sea f(z) analítica
en un dominio anular
R1 Z Z0
R2
y sea C
z0 , orientado positivamente y
un contorno cerrado simple entorno a
contenido en dicho dominio, entonces en todo tipo z de la corona o dominio; f(z) admite la representación en serie.
f z
cnz z0
n
parte Analitica
a z z
n
n
0
n 0
an
bn son coeficientes; R z z R1
0
2
parte principal bn
z z n 1
n
0
es una corona donde la serie
serà covergente. Para conseguir los coeficientes utilizaremos la integral de Cauchy donde 1) an
1 2 i
f z dz
z z
1 n
c
para n 0,1, 2,3, 4,5,, ,
0
y 2)bn
1 2 i
f z dz
z z
1 n
c
para
n 1, 2,3, 4,, , ,
0
podemos decir que
115
3) Cn
1 2 i
f Z dz
z z
para n 0; 1; 2; 3,, ,
1 n
0
como lo interesante es 2 entonces este integrando tambien lo podemos expresar como
bn
1 2 i
fzdz
z z
1 n
c
0
1 zzfz dz 2 i c
n 1 0
Convergencia:
como la serie està centrada en z=z0 definida como
C z z n
n
0
C , z , z ; la convergencia està cetrada en la corona: 1) z, ,r r z C /R Z Z R n
0
0
2
1
0
1
Donde R 1 R2; pero si R
2
0
2
R1entonces la convergencia esta en el vacio,
es lo mismo que decir que la serie es divergente. los radios se pueden definir como 1
1
n
R
1
n
lim sup
c n
y
R
2
n
lim
sup c n
1 n
Es bueno hacer notar que si la parte principal en la serie de Laurent
se hace cero, es decir si
bn z z 0
n
0 que la serie es de Taylor
n 1
y solo queda la parte analítica
an z z 0
n
cuya convergencia
n 0
es punteado o abierto. 0 z z0 Ró2 pero si z 0
R1 z z0 ó R2 z0 R1
0
z
R2
z0
la serie de Taylor se llama serie de MacLaurin.
116
Empezando con series es bueno recordar que: 1 1 z
z n ; para z 1 su desarrollo de sus derivados son n 0
n! z 1 z n 1 : n 0,1, 2, 3, , , n
1 1 z
1 z z 23456 z z z
para
1 1 2
z
...
1n z 1 n , z 1 1
1 1 z z 2 z 3 z 4 z 5 ... 1 z por lo que si z es por toda potencia es par y se alteran los signos. 1
1 z 24681z z
z z 0 ...
Ejemplo: Desarrollar f
z 1z2 zz en
1 z2
2
factorizando f
3
z 1z 2 zz 3
2 5
5
z 1
1 2z2
porloque z 1 z 2 3
1 2 z 2 2 1 z 1 tendremos z 3 1 z 2 1 z 2 1 z2 2 1 z 2 1 1 2 :porloque 2 2 1 z2 1 z 1 z 1 1 2z2
f z
2
2 1 1 z2 z 1
3
117
Serie de Taylor Sea f una función con derivadas de todos los órdenes en el intervalo (a-r,
x a r . La serie de Taylor en x=a se representa como:
a+r) que es lo mismo
f z
fa
f' a z 4
IV
f
a 4!z a
a
f''a
z a
2
f ''' a
2!
za
3
3!
n 1
n 1
... f
a za n 1!
Demostración:
1) sea f z
a0 a1 z a a2 z a a3 z a 2
3
a4 z a
4
...
2) Derivando:
f ' z
2a z a 3a z a f '' z 2a 6a z a 12a z a f ''' z 6 a 24a z a ... f z 24a ... 2
a1
2
2
4a4 z
3
3
2
4
3
a
3
...
...
4
IV
4
3) Evaluando (2) cuando z=a
f a f ' a
a0 f I a a1 fa z a
f '' a 2a2
a2
f ''' a 6 a3 a3 f IV a 24 a4
f z
fa
a4
a
2! f ''' a
f ''
6
4
...
f
24
a
a
2 f ''' a
z a z
6
f IV a
f' a z
f IV a z a 4!
f ''
fn1 a
IV
a
24
f''a
a
2!
3
z
z a
za
2
a
2
4
f ''' a
za
3
3!
n 1
n 1 !
118
Ejemplo: Encuentra la serie de Taylor para f x ln x en a=2.
f x
f I a
f 0
x a
f a
1!
x a
II
f III a
2!
xa
3
,,,
3!
f x ln x ..............ln2.................ln2 f ' x
1
x
1
x 1................ ................. 2
1 2
2
1
2
1 f '' x x ................. 2 ................. 2 3 3 1 1 f ''' x 2 x 3 ............2 2 ...............2 2 4 4 3! 1 4 f x 3 2 x 4 ..... 3 2 12 .................. 2 5 5 1 1 5 f x 43 2 x 5.....4 3 2 2 .................4! 2 6 1 6 f x 5 43 2 x 6 ....... 54 3 2 2 ......... 5! 12 2
ln x ln 2
1 x 2
2
x 2 2 1 12 2!
1!
x 2 1 4! 1 3! 12 4! 2 4
4
2
2
5
x 2
5
1
3
x2
2
6
3
3 1
5! 1 5! 2
6
x 2 2!
,,,
Tenemos pues que:
2 ln x ln
1 n 1
ln a ln a
1 n 1
1 x 2 n 1 ! 2 n! n n 1 x 2
n 1
n
n
2n.n !
119
Serie de MacLaurin
Se cumple cuando a=0. tenemos que:
f x
f 0 f ' 0 0!
f 0 f ' 0
x a 1
1!
f '' 0 x a
x 0 1
2!
f '' 0
f x
1! 0! f'' 0 x f ' x f0 f ' 0 x 2! 2
2
x 0
f ''' 0 x a
3
,,,
3! 2
x0
f ''' 0
2!
3
3!
f ''' 0 x3
f
3!
IV
0 x4 4!
,,,
Ejemplo: Hallar la serie de Maclaurin de e x.
f x ex . f x f x f ' x
f 0 f' 0 x 0!
1!
x e f 0 e0 0
x
x2
x3
x4
2!
3!
4!
1 x
2!
3!
,,,
1
0
x
ex
f ''' 0 x 3
1
f '0 e f '' x e f ''0 e f ''' x e f ''' 0 e e x
f '' 0 x 2
0
1
1
...
120
Serie de Fourier La series de Fourier ha sido uno de los más grandes aportes hec ho en el siglo XIX
y este h a generado un
gran número de trabajos de Investigación y han dado nombre a una de las áreas más importantes del Análisis Análisis
Matemático, Armónico. Son
el Análisis de Fourier muchas las cuestiones
o
matemáticas básicas y atractivas que las series de Fourier plantean.
Jean Baptiste Joseph Fourier El problema de si una función cualquiera puede representarse mediante una serie trigonométrica reaparece más tarde con el matemático francés J. Fourier (1768-1830).
En una memorable sesión de la Academia Francesa de las Ciencias, el día 21 de diciembre de 1807, Fourier presentaba un trabajo que iba a abrir un nuevo capítulo en la historia de la matemática: la creación del Análisis Armónico o, como también se le conoce a partir de sus trabajos, el Análisis de Fourier.
Fourier había deducido una ecuación que describía la conducción del calor a través de los cuerpos sólidos, la ecuación del calor y un método para resolverla, el método de separación de variables, procedimiento que, en cierto modo, había sido utilizado ya por Bernoulli para su solución,
121
Aunque es Fourier quien lo empieza a usar de una manera sistemática en la resolución de Ecuaciones en Derivadas Parciales. La aplicación de la técnica de separación de variables a la ecuación del calor, le condujo a escribir la solución en forma de serie trigonométrica.
Aunque la representación de una función en serie trigonométrica se hab
ía
Considerado antes de Fourier, pero Fourier puso de manifiesto la correspondencia entre función y coeficientes.
Sin embargo, tampoco el trabajo de Fourier fue aceptado a la primera, teniendo como parte del auditorio a matemáticos como J.L. Lagrange (17361813), P.S. Laplace (1749-1827) y A.M. Legendre (1752-1833), que criticaron abiertamente la falta de rigor del tratamiento de Fourier. De hecho, Fourier tuvo que rehacer su trabajo ya que su memoria no fue aceptada en un primer momento. No obstante, finalmente sus ideas fueron aceptadas y fueron expuestas, años después, en su obra de 1822, Theorie analytique dela chaleur .
Serie de Fourier. Definición
Sea f x una función periodica definida en un intervalo -L
L
L
f ( x)dx existe. Entonces
f x a0
a n 1
n
x Lo
,L Ltal que
nx nx b sen n L L
cos
Donde: ao
L
L f ( x)dx
an
1 L
n x f x cos L d;x
n1,2,3, 4,5...
bn
1 L
f xsen
n x dx L ;n
1, 2,3, 4,5...
L
L
L
L
122
an
^
bn son coeficientes correspondiente a la función f(x) y al mismo
tiempo cumplen las condiciones de Dirichlet para que la serie converja es posible que se cumpla la identidad de Parseval.
Funciones pares e impares: Decimos que una función f(x) es par si f (-x) = f(x). Decimos que un función f(x) es impar si f (-x) = -f(x)
Propiedades:
El producto de dos funciones pares es par
El producto de dos funciones impares es par
El producto de una función par por una impar es impar.
Si f (x) es par
a
2
f ( x)dx 2 f ( x)dx
a
0
a
f ( x)dx 0
Si f (x) es impar
a
Desarrollo en serie de Fourier de una función par: Sea f (x) una
función par. Vamos
a calcularle
su serie de Fourier
en el
intervalo [-L, L]:
a0
1
L
L
f x(dx) L
2 )] f x dx ( ) L0
fes [ par ( ,
L
an
1
L
fx ( L L
n ) cosxdx L
fx
2
L
L 0
( xdx ) cos
n L
Por ser f (x) y cos(x)
123
Producto de Funciones bn
L
1
n xdx L
f x(sen ) L L
0 Por ser el producto de una función par f (x) por una
impar (sin x) una función impar. Luego
a0 n an cos 2 n 1 L
f ( x)
Es decir, la serie de Fourier de una función par en el inter
valo [-L,
L] es una
serie en la que solo aparecen Cosenos.
Desarrollo en serie de Fourier de una función impar: a0 an 0
Haciendo cálculos análogos se obtiene
Es decir, la serie de Fourier de una función impar en el intervalo [-L, L] es una serie en la que solo aparecen senos.
f ( x)
n 1
n an sen L
x
Ejemplo: Calcular la serie de fourier de f x
en el intervalo-
x .
Procedemos a buscar los coeficientes: i) a0
1
2L
L
fxdx
L
2 2 2 2 1
2
1
xd 2
2 2 2 2 2 1
x
0
x2 2 2 1
a0
0
124
ii ) an ? an
xn xf cosdx L L 1
L
L
x
1
xn
dx cos
11 x cos nx dx 2 cos nx xsen nx n n 1 1 1 1 2 cos n xsen n sen 1n nn n 2cos n n 1
1
x 1 12 cos n senn 12 cos n x sen n n n n n 1 1 x x 2 cos n sen n senn n n 12 cos n n n 1 2x senn : como n 1, 2,3, ,, n 1
1
2 xsen
0
an 0
?
iii ) b n
x es una función impar tendremos que
como f x
a 0 y
a;
n
0
1
b ?; pero como n
x ndx L n x dx L
L
bn
f xsen L
bn
2
L L
f x sen L 0
es equivalente decir ; esto significa que la serie de fourier
de una función impar es una serie infinita de funciones
b sen nL x
seno. f x
n
n 1
125
1
xsen nx dx
bn
2
xsen nx dx 2 0
Integrando por parte
2
nx dx xsen 0
1 x sen n cos nx n 2 n 0
evaluando:
n 12 sen 0 0 cos 0 12 sen n cos n n n n 21 1 0 n n 2 sen 0 n cos0 sen n cos n n2 2 2 2 cos n cos n cos n n n n 2
bn
2
n
cos n
iiii) pero! cuál es la bendita serie?
x
como ya dijimos que f
b sen
n 1
bn
2
n
f x
2
n
cos n
2 n
1
n 1
1
n
n x L
n 1
.sen nx
n 1
Haciendo algunas evaluaciónes para ver la serie n 1, 2,3, 4,5,6, , ,
f x 2 senx sen 2 x
2 3
sen3 x
1 2
sen 4 x ...
126
f ( x) x ; [0, 2]
2. Encuentre la serie de Fourier para f ( x) a0
a
cos
n
n 1
a
2
1
0
nx nx bn sin L L
xdxa 20
0
a
1 x
2
2 xn an x cos dx a 20 2
x cos
Integrando por parte:
4
an
sin( n )
4 (n ) 2 4 (n ) 2
Función par
1 2
(2)
0
1
2
x
xn
n
dxcos( 0
2
)
nx x n2x nx 4 dx sin( ) cos( ) 2 2 (n ) 2 2 n
2x n x 4 n x 2 sin( ) cos( ) 0 2( n )2 2 n
n an
2 0
an
Evaluando:
an
1 22 02 0 a 2 2 2
2
2 2
n
4 0 4 cos(0) 2cos(n ) sin(0) 2 n ( ) ( ) n
cos(n ) (1) n
4 (n )2 4
(n )2
bn 0
La serie de Fourier es:
f ( x)
a0 n 1 4 4 n ( ancos( )) (1)n cos 2 2 2 n 1 L 2 n 1 (n ) (n ) 2
127
f ( x) x2 x 2;[0, 2]
3 . Encuentre la serie de Fourier para f ( x) a0
(a
cos
n
n 1
2
1 a0 x a2 3 4 2
nx L
nx bn sin
1 x3 x 0 2 3
L
) 2
x2 2
2
3
Evaluando:
a0
an
1
13 3
2
xx[ 2 3]cos( dx
n x
2 2
2
)
Integrando por parte: 1 2x2 n x 8x n x [ sin( ) cos( ) 2 n 2 (n )2
an
16 (n n)3
sin(
nx x n 2x nx 4 nx ) sin( ) cos( 2 2 n 2 n ( )2
)
6
sin(
2
)]22
Evaluando: 16n cos( n
) n16sin( n
an
bn
xx[ 2 3]sin( dx
(n ) 1
2
2 2
n x 2
) 14( n
2
) sin(
)
3
)
Integrando por parte:
2 x 2 n x 8 n x 16 n x 2x n x cos( ) sin( ) 3 sin( ) cos( ) 2 ( n) 2 2n ( ) 2 2 1 nn bn 2 4 nx 6 nx (n )2 sin( 2 ) n cos( 2 )
2
2
128
Evaluando:
bn
16n cos(n
) 8 sin( n
(n ) 2
La serie de Fourier es:
f ( x) a0
(a
n
cos(
n 1
nx nx ) bn sin( )) L L
16n cos( n ) 16sin( n n ) n14( n x ) 2 sin( 3 (n ) 13 f ( x) 3 n 1 16n ncos( ) n8sin(nx ) sin() ] [ (n ) 2 2
Como, sin(n
)
cos(
2
)
)=0, entonces:
f ( x)
13 3
16 cos(n (n )2 n 1
) nx cos(
n 8cos( nx ) 2 n
)
sin(
2
)
129
Cálculo Integral Práctica: 11 Apellidos:………………………………….……………….… Matrículas:…………………………. Grupo: ……………Fecha: ………..…………Profesor(a): …………………….…………….…
1) Encontrar el volumen del solido formado cuando y=cosx en 0,
2
gira al rededor del eje de las X. 2) Encontrar la serie de y = cosx en a=0 y = lnx en a=5
x
3) Encontrar la serie de fourier en f x
2
en el metodo de
,l l.
130
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Revisado el 18 de Enero del 2014
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