Licence de Physique Et Applications

Licence de Physique et Applications

Année 2008-2009

MÉCANIQUE DES FLUIDES TRAVAUX DIRIGÉS TD 1 :

Statique des fluides

TD 2 :

Cinématique des fluides

TD 3 :

Dynamique des fluides parfaits

TD 4 :

Dynamique des fluides réels

TD 1 Hydrostatique Loi fondamentale de l’hydrostatique Dans tous les exercices suivants, hormis l’exercice 6, le fluide est incompressible et en équilibre.

Exercice 1 - Mesure d’une pression par un tube piézométrique Soit un point M d’un liquide en équilibre. Faisons déboucher en M un tube transparent dans lequel la surface libre du liquide se fixe à la hauteur verticale z au-dessus de M. Le niveau A atteint par le liquide dans le tube s’appelle niveau piézométrique. La pression atmosphérique régnant à la surface libre du liquide dans le tube est pa. Montrer que la mesure de la pression pM en M peut se faire par la mesure de la hauteur z en donnant la relation qui relie les deux variables. A.N. Quelles sont les hauteurs de fluide correspondant à une différence de pression de 1 atm dans les 3 3 deux cas suivants : le fluide est du mercure (ρ = 13 600 kg/m ) ; le fluide est de l’eau (ρ = 1 000 kg/m ).

Exercice 2 - Manomètre simple dérivé du tube de Torricelli

vide

L’appareil représenté sur la figure ci-contre permet de mesurer la pression d’un fluide, un gaz par exemple, par la mesure de la longueur L. Le gaz est en contact avec un seul liquide. Exprimer p en fonction de L. Montrer que la sensibilité ∆L/∆p augmente si le liquide a une faible masse volumique (eau, alcool au lieu du mercure) et si l’angle α du tube avec l’horizontal diminue.

Exercice 3 – Siphon Un siphon est essentiellement constitué par un tube en J renversé, dont les deux extrémités ouvertes plongent dans deux récipients situés à des niveaux différents. Supposons qu’un robinet soit placé à l’extrémité inférieure et soit tout d’abord fermé. Les deux récipients contiennent un même liquide et le siphon est aussi rempli intégralement de ce liquide. Exprimer la pression au point B’ au-dessus du robinet en fonction de la pression B’’ dans le récipient inférieur. Que se passe-t-il lorsque l’on ouvre le robinet ?

1

Exercice 4 - Tube en U Un tube en U de section uniforme contient du mercure. Dans une des branches, on verse de l’eau ; dans l’autre, on verse de l’alcool. On constate que les surfaces libres de l’eau et de l’alcool (surfaces en contact avec l’atmosphère) sont dans un même plan horizontal et que le mercure présente une différence de niveau de 0,5 cm entre les deux branches du U. Faire un schéma représentatif du système. Calculer les hauteurs h et h’ d’eau et d’alcool. 3

On donne : masse volumique du mercure : 13,6 g/cm 3 masse volumique de l’alcool : 0,8 g/cm

Exercice 5 - Manomètre à deux liquides La figure montre un manomètre différentiel à deux liquides non miscibles de masses volumiques ρ et ρ’ voisines. Pour que la surface de séparation des deux liquides puisse subsister, il faut que le liquide le plus dense soit au-dessous ; dans le cas de la figure, il faut donc que ρ < ρ’. Si la pression étudiée p augmente de ∆p, le niveau de la surface de séparation des deux liquides baisse de z. Exprimer ∆p et la sensibilité z/∆p en fonction de ρ, ρ’ et des sections droites s et S du tube et des cuves. 3

A.N. On utilise souvent l’eau à 20 °C (ρ = 998 kg/m ) et l’aniline à 20 °C 3 (ρ’ = 1 022 kg/m ). Calculer la variation de pression correspondant à une variation de niveau z de 1 mm, si S/s = 100. Comparer à un manomètre à liquide simple (exercice 2 avec α = π/2).

Exercice 6 - Répartition de pression dans l’océan Considérons un océan en équilibre isotherme. La masse volumique de l’eau varie avec la pression selon -10 -1 5 la loi ρ = ρ0 (1 + a(p − p0 )) où a = 10 Pa . La profondeur est notée h. Pour h = 0, p = p0 = 10 Pa et ρ = ρ0 3

3

= 10 kg/m . Donner la loi p(h). Que devient cette loi pour des profondeurs faibles ? A.N. : h = 1 km. Quelle est l’erreur relative commise en utilisant la loi approchée ?

2

Forces hydrostatiques z

Exercice 7 - Force de pression Une porte rectangulaire de 2 m de large est placée dans la paroi verticale d'un réservoir contenant de l'eau (voir figure ci-contre). On souhaite que cette porte s'ouvre automatiquement quand le niveau d'eau par rapport au bord supérieur de la porte dépasse 10 m.

0

H = 10 m

dz

h=4m

1. Établir l'expression littérale de la force de pression exercée sur la porte en fonction du niveau d'eau H, de la hauteur h de la porte et de sa largeur l. 2. Évaluer numériquement l'intensité de la force exercée pour une porte de 4 m de haut et un niveau H = 10 m.

Exercice 8 - Forces sur les parois d’un vase Préliminaire : Calculer la poussée qui s’exerce sur une surface plane rectangulaire de longueur L et dont la largeur est la trace AB, inclinée d’un angle α par rapport à l’horizontal. Calculer la force de pression du liquide sur chacune des parois du vase décrit ci-dessous. Quelle est la résultante ? La comparer au poids du liquide. α

A

α h

Les deux parois latérales sont inclinées d’un angle α. Les deux autres parois sont verticales. La base est carrée.

B

a

Exercice 9 - Aréomètre Un aréomètre sert à mesurer la densité d’un liquide. C’est une sphère de volume V surmontée d’un tube capillaire gradué de section s et de longueur l. L’ensemble est étanche et lesté de façon que, lorsque l’appareil est plongé dans l’eau pure (de masse volumique ρ0), le niveau de l’eau arrive à la graduation 0. Si on le plonge dans un liquide de masse volumique ρ, l’appareil flotte et s’enfonce d’une hauteur x. La masse volumique ρ est-elle plus grande ou plus petite que ρ0 ? Exprimer la densité d = ρ / ρ0 en fonction de x et en déduire la sensibilité de l’appareil σ = ∆x / ∆d. Pour quel liquide le densimètre est-il le plus précis ? Préciser le domaine de validité de l’appareil. -5 3 -5 2 A.N. : V = 10 m ; s = 10 m ; l = 12 cm.

Exercice 10 - Corps flottant Un glaçon flotte dans un verre d’eau plein à ras bord. Le glaçon fond, le verre déborde-t-il ? Quelle proportion du volume total d’un iceberg représente la partie immergée, sachant que la masse volumique 3 3 de la glace est de 900 kg/m et celle de l’eau salée 1 025 kg/m ? Que pensez-vous de l’augmentation de l’eau des océans due à la fonte des icebergs ? 3

Cinématique des fluides

TD 2

Trajectoires et lignes de courant Exercice 1 Un écoulement est défini par les composantes du vecteur vitesse : u = u0, v = v0 + at, w = 0 Étudier les lignes de courant et les trajectoires.

Rotation et déformation Exercice 2 On considère un écoulement permanent dont le champ de vitesse admet comme composantes, en coordonnées cylindriques et pour r ≠ 0 : v r = 0,

v θ = Ar +

B , r

vz = 0

où A et B sont deux constantes. Le mouvement se fait-il de façon isovolume ? Calculer les composantes du rotationnel et du tenseur des vitesses de déformation. Après avoir identifié les lignes de courant, discuter les cas particuliers A = 0 et B = 0 et interpréter physiquement les résultats.

4

Dynamique des TD 3 fluides parfaits Conservation de la masse. Débit massique Exercice 1 – Expression macroscopique d’un bilan de masse Ω

On examine une partie fixe Ω de l’espace, constamment emplie de fluide.

A

V

1. On note son volume V, sa frontière A et m(t) la masse de fluide que cette partie Ω contient à l’instant t. En faisant un bilan de masse sur le dm(t ) volume V, exprimer le taux de variation dt de masse par rapport au temps.

v n

Le volume de contrôle V est fixe. Sa surface est A. La normale extérieure en v un point de cette surface est n .

2. On applique ce qui précède à la partie Ω de volume V constituée par un élément de conduit de section d’entrée A1 et de section de sortie A2. L’écoulement sera considéré unidimensionnel en entrée et en sortie. La vitesse dans la section Ai est notée vi. v n

r v2

r v1

A1

dm(t ) ? dt Que devient cette expression lorsque l’écoulement est stationnaire ?

Quelle est alors l’expression de

A2

Que devient cette expression lorsque l’écoulement est stationnaire et incompressible ?

Exercice 2 – Champ de vitesse Soit un fluide incompressible, de masse volumique ρ, s’écoulant dans un tuyau horizontal d’axe Ox de section circulaire, avec un rétrécissement. Le champ de vitesse est :

r r r v = v x ( x ) e x − αrer où α est une constante donnée. 1. L’écoulement est-il permanent (= stationnaire) ? 2.

En vous aidant de l’équation de continuité (équation locale traduisant la conservation de la masse) d’un fluide incompressible, calculer v x ( x ) sachant que v x ( 0 ) = v 0 est donné.

3. Calculer le débit massique à travers l’entrée du tuyau de rayon R. Calculer le débit à la sortie du tuyau. r 4. Calculer le champ d’accélération du fluide a .

5. L’écoulement est-il rotationnel ou irrotationnel ? 5

Théorème de Bernoulli Exercice 3 – Écoulement à travers un ajutage Une cuve est remplie d’eau (voir schéma ci-dessous). On supposera que le niveau A dans la cuve est constant. Le fluide s’écoule par un trou de diamètre D situé dans le fond de la cuve. L’eau sera considérée comme un fluide parfait incompressible. 1. Énoncer le théorème de Bernoulli pour un fluide parfait en précisant la signification des différents termes.

z atmosphère

2. Appliquer le théorème de Bernoulli entre les points A et B et déterminer l’expression littérale de la vitesse vB au niveau du trou.

A H

3. Donner les relations permettant de calculer le débit-volume et le débit-masse au point B. 4. Calculer numériquement la vitesse vB et le débit-volume au point B. 5. En fait, le débit réel vaut 0,92 L/s. Comparer à la valeur trouvée ci-dessus. On explique en partie cette différence par une contraction de la veine liquide à la sortie de l’orifice. En déduire le diamètre D’ de la veine liquide à la sortie de la cuve.

0 B atmosphère

Valeurs numériques : H = 0,82 m

D = 2,0 cm

ρ = 1000 kg/m

3

Exercice 4 – Mesure de débit avec un Venturi incliné Une des méthodes peu coûteuses employées pour la mesure du débit dans une canalisation est l’utilisation d’un tube de Venturi. Il est proposé de démontrer qu’avec cet instrument, il est possible, en supposant que l’écoulement stationnaire est unidimensionnel au moins dans les sections A0 et A1 et que le fluide circulant est dénué de viscosité, de calculer le débit de ce fluide, et ceci sans qu’intervienne l’inclinaison éventuelle de l’appareil. Le fluide en écoulement est une huile incompressible 3 de masse volumique ρ = 820 kg/m . La section A0 d’entrée dans le Venturi est caractérisée par son diamètre D0 = 125 mm. La seconde prise de pression statique est en section A1 où le diamètre est D1 = 50 mm. A l’intérieur du tube en U où aboutissent les prises de pression est placé un fluide de mesure 3 de masse volumique ρm = 13 600 kg/m (mercure). L’inclinaison du tube et les différentes cotes de niveaux sont repérées par rapport à une base horizontale arbitraire. En supposant qu’une ligne de courant (au moins) passe par des points voisins de chacun des orifices de prise de pression, calculer la valeur du débit volumique d’huile, lorsque la dénivellation observée dans le 2 tube en U est ∆h = 200 mm. On prendra g = 9,81 m/s . 6

On procède d’une autre manière pour aboutir au résultat. On supprime l’hypothèse de la ligne de courant passant par les deux orifices et on suppose à la place que l’écoulement est rectiligne en chacune des deux sections A0 et A1. Retrouver le résultat précédent en vous appuyant sur la ligne de courant médiane.

Exercice 5 – Jet décoratif Conformément au croquis ci-dessous, la conduite d’amenée d’un jet d’eau à caractère décoratif a un diamètre intérieur d1 = 0,8 m et se termine par un embout d2 = 0,1 m. La hauteur du jet d’eau est de 160 3 m et sa sortie est située à 2 m au-dessus de l’axe de la tuyauterie. On donne ρeau = 1 000 kg/m . On néglige les différentes pertes de pression et les variations de pression atmosphérique dues aux différences d’altitude (p0 = 101 325 Pa).

z (m)

a. Calculer la pression totale du fluide, définie par p + ρgz 2 + ρv /2, au point 3, sommet du jet. En déduire la vitesse de l’eau à la sortie du jet, v2, en utilisant le théorème de Bernoulli entre 2 et 3.

& puis la vitesse v1 b. Calculer le débit massique d’eau m dans la conduite d’amenée. c. Toujours par application du théorème de Bernoulli, calculer la pression p1 qui règne dans la conduite d’amenée au niveau de l’axe. p1’

d. Déterminer la pression p1’ indiquée par le manomètre piqué sur la paroi de la conduite d’amenée.

Bilan de la quantité de mouvement sous forme globale (théorème d’Euler) Exercice 6 – Effort subi par un diffuseur Un fluide incompressible, de masse volumique ρ, circule dans un conduit dont la section augmente 1 progressivement , passant de Ae à As > Ae. On pose α = Ae/As (0 ≤ α ≤ 1). Un tel écoulement soumet la conduite à un effort F qu’il s’agit de calculer en négligeant les forces de pesanteur et de viscosité. Les profils de vitesse et de pression seront pris uniformes dans les deux sections Ae et As. Exprimer F en fonction des grandeurs d’entrée et de sortie ; puis, en appliquant le théorème de Bernoulli entre l’amont et l’aval du diffuseur, exprimer le résultat à partir des valeurs prises dans la section d’entrée.

S As Ae

vs

ve r ne

r ns

1 Le résultat n’aura de sens en pratique qu’en l’absence de décollement dans le divergent. Cette condition est en général vérifiée pour une valeur de l’angle du divergent inférieure ou de l’ordre de 7 à 8 degrés.

7

Exercice 7 – Poussée d’un moteur à réaction La figure ci-dessous représente le modèle du moteur qui sert de base à l’analyse. Nous utilisons un système de coordonnées en translation uniforme avec le moteur ; dans ce système, le moteur est au repos et le fluide situé en amont se dirige vers le moteur à la vitesse v0. La section d’entrée du fluide dans le volume de contrôle (voir figure) est placée suffisamment en amont du moteur de telle sorte que la pression et la vitesse qui règnent dans cette section soient respectivement p0 et v0 (les conditions à l’infini amont dans l’écoulement libre). La section de sortie du fluide est la section de sortie du moteur et les conditions qui règnent dans cette & et le débit sortant, constitué section d’éjection sont pe, ve. Le débit masse rentrant dans le moteur est m a & = m & +m & . par la somme du débit d’air et du débit de carburant est : m e a f

Calculer la poussée développée par le moteur en appliquant le théorème des quantités de mouvement. On négligera les forces de pesanteur. A.N. : Un turboréacteur propulse un avion à une vitesse constante de 300 m/s. Le débit masse d’air qui passe dans le turboréacteur est de 90 kg/s, le débit de carburant est de 2 kg/s. La vitesse d’éjection des gaz est de 620 m/s et la pression d’éjection est égale à la pression ambiante.

Volume de contrôle pour la détermination de la poussée d’un turboréacteur.

8

Dynamique des TD 4 fluides réels Viscosité Exercice 1 – Palier lubrifié On considère un axe de rayon R = 2 cm en rotation à N = 7200 tours/min dans un palier lubrifié. On supposera que l’espacement entre l’axe et le palier est constant et égal à h = 0,04 mm. La viscosité de l’huile est 0,020 poiseuilles et sa 3 masse volumique est ρ = 920 kg/m . Le palier mesure 5 cm de longueur. On tiendra compte du fait que la distance entre l’axe et le palier est petite devant le rayon moyen. On suppose que la charge sur l’axe est très faible, de telle sorte que les forces de frottement associées à la viscosité sont seules importantes. Calculer la contrainte agissant sur le fluide au niveau de l’axe, la force de frottement développé sur l’axe, le couple correspondant et la puissance nécessaire pour faire tourner l’axe.

Équation de Navier-Stokes Exercice 2 – Écoulement de Couette On considère l’écoulement laminaire et permanent d’un fluide visqueux newtonien, incompressible, entre deux plaques parallèles horizontales espacées d’une distance h. La plaque supérieure est en mouvement à la vitesse V, alors que la plaque inférieure est statique. Les deux plaques sont considérées de dimensions infinies dans les deux directions x et y. L’écoulement est unidimensionnel, parallèle à la direction x. On note µ le coefficient de viscosité dynamique du fluide et ρ sa masse volumique. On étudie le régime permanent. z

V

h x 1.

Écrire l’équation de continuité, compte tenu des hypothèses.

2.

Écrire les équations de bilan des quantités de mouvement. On posera, sans le démontrer, que la pression ne varie pas suivant x (car plaques infinies).

3.

Montrer que la pression varie, sur une verticale, suivant une loi hydrostatique.

9

4.

Déterminer la distribution de vitesse entre les plaques en intégrant l’équation du mouvement et en utilisant les conditions aux limites correspondantes.

5.

Considérons la situation pour laquelle le fluide est de l’huile pour moteur et h = 3 mm. La vitesse de la plaque en mouvement est V = 10 m/s. On suppose que les propriétés de l’huile sont constantes. On donne : 3 ρ = 888,2 kg/m -6 2 ν = µ/ρ = 900 10 m /s Déterminer les contraintes de viscosité et en déduire l'expression de la force par unité de surface nécessaire pour assurer le mouvement de la plaque supérieure à vitesse constante V.

Exercice 3 – Écoulement de Poiseuille plan On considère une géométrie idéale où le fluide incompressible de viscosité µ s’écoule entre deux plans fixes parallèles distants d’une largeur 2h. On suppose en outre que le fluide est non pesant (forces de gravité négligeables) et que le mouvement est permanent (stationnaire dans le temps), rectiligne, parallèle aux plans et bidimensionnel. y +h Sens du x

mouvement -h

Conformément aux notations de la figure, on prend l’axe des x colinéaire à celui du mouvement, la direction normale aux plans étant prise pour axe y. L’axe z, orthogonal au plan de la figure complète le trièdre orthonormé. On désigne par vx, vy et vz les composantes du vecteur vitesse dans le repère ainsi constitué et par p la pression. En raison du caractère plan de l’écoulement on a, pour toute fonction du champ de celui-ci ∂ ∂z = 0 , et par raison de stationnarité ∂ ∂t = 0 . Le problème dynamique posé par cet écoulement se réduit donc à la détermination des quatre fonctions scalaires vx(x,y), vy(x,y), vz(x,y) et p(x,y) entre les deux plans. 6. Traduisez le caractère parallèle du mouvement et écrivez l’équation de continuité. 7. Écrire les équations de bilan des quantités de mouvement (en les simplifiant au maximum compte tenu des hypothèses). 8. Comment la pression varie-t-elle sur une verticale (suivant y) ? De quelle variable dépend la vitesse vx ? re Réécrivez alors la 1 équation de Navier-Stokes sous la forme d’une égalité de deux fonctions inconnues à variables séparées. 9. En déduire la loi de variation longitudinale (suivant x) de la pression. On notera p0 la pression de référence en x = 0, et A la constante qui subsiste après l’intégration. 10. Déterminez le profil de vitesse entre les plaques en fonction de A. Que vaut la vitesse maximale en fonction de h, µ et A ? Quel est le signe de A ? Que vaut la vitesse moyenne ? Exprimer A en fonction du débit volumique par unité de largeur (largeur = dimension suivant z). 11. Déduire des résultats précédents le tenseur des contraintes visqueuses et calculer la contrainte de cisaillement τ xy en fonction de A. Que vaut en particulier le frottement τp à la paroi supérieure.

10

12. Exprimer A en fonction de

τp . En déduire l’expression de la perte de pression le long de l’écoulement

dp en fonction de τp . dx

Écoulements laminaires et écoulements turbulents. Pertes de charge Exercice 4 – Écoulement laminaire dans une canalisation2 1.

Soit une conduite horizontale dans laquelle circule une huile de masse volumique ρ = 800 kg/m et de viscosité µ = 0,10 Pl. La longueur de la conduite est de 10 km et son diamètre de 100 mm. Le débit à 3 assurer étant de 20 m /h, quelle est la puissance à prévoir ?

2.

On considère une canalisation inclinée de 10 m de longueur où s’écoule le même fluide que précédemment. Le diamètre de la canalisation est de 20 mm et la différence de niveau entre l’entrée et la sortie est de 5 m.

3

La pression dans la section basse 1, p1, est maintenue égale à 3 bars, la pression dans la section haute, p2, étant égale à 1,5 bars. Vérifier d’abord que l’écoulement se fait bien de bas en haut (dans le sens 1 → 2), puis calculer le débit de liquide dans la canalisation ainsi que le nombre de Reynolds de l’écoulement.

Exercice 5 - Dimensionnement d’une canalisation 1.

Une conduite assure un débit liquide permanent de 50 L/s. Quel diamètre de conduite permettrait d’obtenir un Reynolds de 2000 ? Conclure.

2.

Faire la même évaluation en supposant cette fois que le nombre de Reynolds vaut 10 . Calculer le facteur de frottement dans le cas d’une conduite hydrauliquement lisse. Déterminer la longueur de la 6 canalisation si la variation de pression entre l’entrée et la sortie vaut 10 Pa. Conclure.

3.

On envisage maintenant une conduite hydrauliquement lisse de 1 km de longueur. La variation de 6 pression entre l’entrée et la sortie vaut 10 Pa et le débit volumique est encore de 50 L/s. Déterminer le diamètre de la canalisation.

5

Données : le fluide considéré est de l’eau. On supposera qu’il s’agit d’un liquide incompressible pour 3 3 -3 -1 -1 lequel ρ = 10 kg/m et µ = 10 kgm s . Pour des écoulements turbulents en conduite hydrauliquement 5 lisses et un nombre de Reynolds inférieur ou égal à 10 , le facteur de frottement (ou coefficient de perte de 3 charge linéaire ) est donné par la formule de Blasius :

λ = 0,316(Re )−1 4 5

Pour des nombres de Reynolds supérieurs à 10 , on peut utiliser la formule de Nikuradsé : 1 λ

(

)

= 2 log λRe − 0,8

∆pt 32µvm = L D2 ∆Pt L 3 On rappelle que ce coefficient est défini par λ = 1 ρv 2 D 2 m 2

On rappelle la formule de Poiseuille :

11

Représentation monodimensionnelle d’un écoulement permanent en conduite Exercice 6 – Estimation des coefficients de répartition Les problèmes des écoulements en conduite qui sont strictement tridimensionnel sont ramenés, pour simplification, à des problèmes monodimensionnels selon l’abscisse x, en rapportant en chaque x des grandeurs moyennes dans la section droite d’abscisse x. Pour bien peser cette approximation très usuelle, nous allons en faire l’analyse sur un écoulement laminaire et un écoulement turbulent. On considère l’écoulement d’un fluide incompressible dans un conduit de section circulaire de rayon R et on envisage : (a) un écoulement unidimensionnel de vitesse uniforme v0 ;

 r2  (b) un écoulement laminaire de profil de vitesse dans une section droite : v ( r ) = v L  1 − 2  ;  R  5

(c) un écoulement correspondant à un nombre de Reynolds Re = 10 . Le profil de vitesse est bien 1

r n  représenté par : v ( r ) = v T  1 −  avec n = 7.  R Pour effectuer la comparaison, on suppose que les trois écoulements assurent le même débit massique & . m 1.

Déterminer les valeurs de vL et vT en fonction de v0.

2.

Calculer les débits de quantité de mouvement et d’énergie cinétique.

3.

En déduire les coefficients de répartition de quantité de mouvement β et d’énergie cinétique α, définis respectivement par : β=

1 ρv 2 dA & ∫∫ mv A

α=

1 & 2 mv

∫∫ ρv dA 3

A

12