LIMIT DAN KONTINUITAS
lim
( x , y )→ ( a ,b )
f ( x, y) = L
Fungi f mempunyai limit L, (x,y) mendekati (a,b) Untuk setiap ε > 0 interval terbuka (L-ε, L+ε) pada sumbu-w. Jika 0 < ( x − a) 2 + ( y − b) 2
< δ ,
maka f ( x, y) − L
<
ε
Definisi:
Anggap f fungsi dari 2 variabel yang didefinisikan didefinisikan melalui interior lingkaran dengan pusat (a,b), kecuali terhadap (a,b) sendiri. Limit f(x,y), (x,y) mendekati (a,b) adalah L, ditulis
lim
( x , y )→ ( a ,b )
f ( x, y) = L
Untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sedemikian hingga Jika 0 < ( x − a) 2 + ( y − b) 2
Contoh:
< δ ,
Buktikan bahwa
maka f ( x, y) − L
x 2 − y 2
lim
( x , y ) → ( 0, 0,0 )
x 2 + y 2
<
ε
tidak ada
Jika (x,y) mendekati (0,0) melalui (x,0) atau y = 0, maka
Jika (x,y) mendekati (0,0) melalui (0,y) atau x = 0, maka
Jika (x,y) mendekati (0,0) melalui y = 2x, maka f ( x, y) =
f( x, 0) =
(f0, )y = x2 − y2 x2 + y2
=
x 2 x 2 − y
Contoh:
Jika f ( x, y) =
Buktikan bahwa
x 4 + y 2
lim
( x , y ) → ( 0, 0,0 )
x2 + 4 x2
f ( x, y) tidak ada.
Jika (x,y) mendekati (0,0) melalui garis-garis garis-garis y = mx, m ≠ 0, maka 2
lim
( x, y)→ ( 0 ,0 )
x y
4
2
2
=
x+ y
lim
( x, y)→ ( 0, 0 )
x( m)x
4
2
=
x + ( mx)
lim
mx
( x, y)→ ( 0 ,0 )
2
x + m2
=
0
Jika (x,y) mendekati (0,0) melalui parabola y = x 2 , maka
lim
( x, y)→ ( 0 ,0 )
x2 y 4
x
+
2
y
=
lim
( x, y)→ ( 0, 0 )
x2 ( x2 ) 4
2 2
x + ( x)
=
lim
( x, y)→ ( 0, 0 )
x4 4
2 x
=
1 2
= −1,
x2 − 4 x2
,
x≠ 0
2
y 2
Jadi f(x,y) tidak mempunyai limit
x 2 y
= 1,
=
y≠ 0 −3
5
Jadi f(x,y) tidak mempunyai limit. Kontinuitas
Fungsi f dari 2 variabel adalah kontinu di titik interior (a,b) dari daerah R jika f(a,b) ada, lim f ( x, y) = f ( a, b) . f(x,y) mempunyai limit, (x,y) mendekati (a,b) dan ( x , y )→ ( a ,b )
Definisi:
Fungsi f dari 3 variabel didefinisikan melalui interior bola dengan pusat (a,b,c), kecuali di (a,b,c) sendiri. Limit f(x,y,z), (x,y,z) mendekati (a,b,c) adalah L, ditulis lim f ( x, y, z) = L ( x , y , z )→ ( a ,b ,c )
Untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sedemikian hingga Jika 0 < ( x − a) 2
+(
y − b) 2 + ( z − c) 2
< δ ,
maka f ( x, y, z) − L
<
ε
Kontinuitas
Fungsi f dari 3 variabel adalah kontinu di titik interior (a,b,c) dari suatu daerah jika f(a,b,c) ada, f(x,y,z) mempunyai limit, (x,y,z) mendekati (a,b,c) dan lim f ( x , y, z) = f ( a, b, c) . ( x , y , z )→ ( a ,b ,c )
Teorema
Jika fungsi f dari 2 variabel kontinu di (a,b), dan fungsi g dari 1 variabel kontinu di f(a,b), maka fungsi h, yang didefinisikan h(x,y) = g(f(x,y)) kontinu di (a,b). Contoh:
2
Jika h( x, y ) = e x
Misal f ( x, y) = x2
+ 5 xy +
+5
xy+ y3
, buktikan bahwa h kontinu untuk setiap (a,b)
y3 dan g( t) = et , sedangkan h(x,y) = g(f(x,y))
f fungsi polynomial, kontinu untuk setiap (a,b), g kontinu di setiap t = f(a,b) Maka h kontinu di setiap (a,b). Latihan
Carilah limitnya, jika ada. 1.
2.
3.
4.
5.
lim
( x , y ) → ( 0,0 )
lim
( x , y ) → ( 0,0 )
lim
( x , y ) → ( 0,0 )
lim
( x , y) → (1, 2)
lim
( x , y ) → ( 0,0 )
x 2 − 2 3 + xy 2 x 2 − y 2 x 2 + 2 y 2 4 x 2 y x 3 + y 3 xy− 2 x− y+ 2 2
x
+
y2
−2
x − 4 y+ 5
3 x3 − 2 x2 y + 3 y2 x − 2 y3 x 2 + y 2