1
LIMIT DAN KONTINUITAS
LIMIT TERHINGGA
Satu definisi yang seluruhnya diungkapkan dengan sifat-sifat bilangan riil, pertama kali dirumuskan oleh ahli matematika Perancis Augustin Louis Cauchy (1787 1875). Definisi yang dipakai sampai saat ini dapat dijelaskan dengan mudah dengan menggunakan konsep limit.
Pada awal perkembangan ilmu kalkulus, hampir semua fungsi yang dihadapi merupakan fungsi kontinu dan tidak ada keberanian dari para ilmuwan untuk mengungkapkan arti yang pas dari kontinuitas.baru pada awal abad XIX, setelah dijumpai persoalan-persoalan fisis untuk fungsi yang diskontinu dan kemudian dikembangkannya teoritentang panas oleh J.B.J. Fourier (1758 1830), para matematikawan mulai melirik beberapa teorema fungsi dan kontinuitas.
Untuk dapat menentukan limit suatu fungsi di suatu titik, terlebih dulu perlu dilakukan suatu taksiran kasar. Kemudian dari taksiran-taksiran kasar tersebut dibuktikan dengan menggunakan definisi limit. Kadang-kadang juga untuk menentuka limit suatu fungsi di suatu titik dengan cara membandingkan dengan dua fungsi lain yang limitnya di titik yang sama diketahui.
Pandanglah suatu fungsi f(x) apabila variabel bebas x terus-menerus bergerak sehingga mendekati nilai tertentu a:
limx afx=L 8 1
Pernyataan diatas dapat dibaca, "Limit fungsi f(x) untuk nilai x yang bergerak mendekati a adalah L". Artinya, jika variabel bebas x bergerak secara kontinu sehingga mendekati nilai tertentu a, maka fungsi f(x) pun akan bergerak secara kontinu sehingga akan mendekati nilai tertentu L.
Pada definisi limx af(x), tidak ada pertanyaan apa-apa mengenai tingkah laku fungsi f(x) di titik a itu sendiri. Pada definisi itu hanya diizinkan harga-harga f(x) di sekitar a dan sama sekali tidak mempedulikan fungsi di titik a. Selanjutnya, meskipun f(x) terdefinisi di titik a, tidak perlu f(a) = limx af(x). Dalam hal f(a) = limx af(x), maka dikatakan bahwa fungsi f(x) kontinu di titik a.
Pandanglah semua fungsi f(x) = 5x + 5 di sekitar x = 2 yang didefinisikan sebagai berikut:
limx 2f(x) = limx 25x+5
f(x) didekati dari kiri atau limit kiri (x 2 )
f(1,9) = 14,5
f(1,99) = 14,95
f(1,999) = 14,995
f(1,9999) = 14,9995
f(1,99999) = 14,99995
f(1,999999) = 14,999995
f(1,9999999) = 14,9999995
f(1,99999999) = 14,99999995
f(1,999999999) = 14,999999995
f(x) didekati dari kanan atau limit kanan (x 2+)
f(2,000000001) = 15,000000005
f(2,00000001) = 15,00000005
f(2,0000001) = 15,0000005
f(2,000001) = 15,000005
f(2,00001) = 15,00005
f(2,0001) = 15,0005
f(2,001) = 15,005
f(2,01) = 15,05
f(2,1) = 15,5
Jadi secara kasar harga-harga f(x) dapat dibuat sedekat mungkin pada angka 15 dengan memilih x yang cukup dekat dengan 2, tetapi x 2. Situasi diatas dapat dituliskan: limx 25x+5=15.
Seringkali perlu menentukan hasil limx af(x) di mana antara nilai f(x) yang didekati dari kanan mempunyai hasilyang berbeda. Untuk pengertian ini, maka bibutuhkan suatu konsep limit yang didekati dari arah kiri dan arah kanan di titik a. Dengan asumsi yang sama juga diperlukan konsep kontinuitas kiri dan kontinuitas kanan di titik a.
Pandanglah limit suatu fungsi yang didekati dari kiri:
limx a-f(x) = L 8 2
Sedang untuk limit suatu fungsi yang didekati dari kanan adalah:
limx a+f(x) = L 8 3
Di bawah ini disajikan beberapa ilustrasi suatu limit yang didekati baik dari arah kiri (x a-) maupun yang didekati dari arah kanan (x a+).
Melalui kajian visual dapat diperiksa bahwa, limit fungsi akan memenuhi sifat-sifat berikut:
limx akfx=k limx af(x) dengan k suatu konstanta
limx a fx±gx=limx afx gx
limx afxgx=limx afxlimx agx asalkan limx agx 0
limx anf(x) = nlimx a f(x) asalkan limx a f(x) >0, n bilangan genap
Contoh 1
Hitunglah limx 5(2x2-3x+8)
Dengan menggunakan teorema (1) dan (2) penyelesaian selengkapnya:
limx 5(2x2-3x+8) = limx 52x2-limx 53x+limx 58
= 50-15+8
= 43
Tentukan limx 220x-48-x
Dengan menggunakan teorema (3) diperoleh:
limx 220x-4=36 dan limx 28-x=6 sehingga,
limx 220x-48-x = limx 220x-4limx 28-x
= 366
= 6
Tentukan limx 2x3-2x-4x2-5x+6
Dapat diuraikan limx 2x3-2x-4x2-5x+6 = limx 2(x2+2x+2) (x-2)x-3(x-2)
= limx 2(x2+2x+2)x-3
= 4+4+22-3
= -10
Tentukan limx 1x – (2x-1)(x-1)
Bentuk di atas dapat diubah menjadi:
limx 1x – (2x-1)(x-1) = limx 1x – (2x-1)(x-1) . x+(2x-1)x+(2x-1)
= limx 1x-(2x-1)x-1 [x+(2x-1)]
= limx 1-(2x-1)x-1[x+(2x-1)]
= limx 1-1[x+(2x-1)]
= -11+(2-1)
= -11+1
= -12
Contoh 2. Hitunglah fungsi limit-limit berikut:
Tentukan limx 02- (4-3x)x
limx 02- 4-3xx = limx 02- 4-3xx.2+ 4-3x2+ 4-3x)
= limx 04-(4-3x)x[2+(4-3x)]
= limx 03xx[2+(4-3x)]
= limx 032+(4-3x)
= 32+(4
= 34
Tentukan fx+h -f(x)h jika diketahui f(x) = 3x2+2x+6. Dengan menghitung f(x+h) = 3(x+h)2+2(x+h), maka:
limh 0fx+h-f(x)h = limh 0[3x+h)2+2x+h+6-[3x2+2x+6]h
= limh 0[3x2+6xh+3h2+(2x+2h)+6-[3x2+2x+6]h
= limh 0(6xh+3h2+2h)h
= limh 06x+3h+2
= 6x+2
LIMIT SEMU (TAK TERHINGGA)
Apabila suatu fungsi f(x) terdefinisikan untuk semua bilangan nyata, maka dapat dinyatakan bagaimanakah kelakuan nilai fungsi f(x) untuk nilai x yang wnjadi sangat besar atau kecil atau sebaliknya kelakuan nilai fungsi f(x) di sekitar suatu titik di mana f(x) menjadi sangat besar dan dapat juga sebagai gabugan dari keduanya. Dengan kalimat lan, nilai fungsi f(x) menjadi besar tanpa batas pada saat x menuju a dari kiri maupun ketika x menuju a dari arah kanan
limx a- fx= dan limx a+ fx=
Sehigga, jika fugsi f(x) tersebut didekati dari dua arah menjadi:
limx a fx=
Untuk fungsi yang negative sangat kecil sekali (baik yang didekati dari arah kiri maupun kanan) dapat dituliskan:
limx a fx=
Jika bentuknya sudah pecahan: dibagi pangkat tertinggi
Jika bentuknya belum pecahan: dikali sekawan, baru dibagi pangkat tertinggi
Sifat operasi dengan :
Cara cepat!
Untuk bentuk pecahan:
Jika pangkat pembilang (atas) > penyebut (bawah), hasil =
Jika pangkat pembilang (atas) < penyebut (bawah), hasil =0
Jika pangkat pembilang (atas) = penyebut (bawah), hasil =koefisien pangkat tertinggi atas : koefisien pangkat tertinggi bawah
Cara Penyelesaian Limit dengan Perhitungan:
1. Substitusi langsung
Contoh:
2. Pemfaktoran (biasanya untuk bentuk 0/0)
Contoh:
Ingat:
(a2 – b2) = (a – b)(a + b)
(a3 + b3) = (a + b)(a2 – ab + b2)
(a3 – b3) = (a – b)(a2 + ab + b2)
3. Dikali sekawan (jika ada bentuk akar)
Contoh:
FUNGSI KONTINU
Definisi
Suatu fungsi f(x) dikatakan kontinu di x = a jika:
(i) terdefinisi
(ii) ada
(iii) =
Ringkasnya f(x) dikatakan kontinu di x = a jika =.
Jika kontinu pada setiap titik dari suatu interval maka dikatakan kontinu pada interval tersebut. Jika satu atau lebih dari syarat-syarat kontinuitas di atas tidak dipenuhi, maka dikatakan diskontinu (tidak kontinu) di x = a.
Contoh:
Diberikan fungsi :
dan
Selidikilah kontinuitas fungsi f (x) dan g(x) di x = 2 !
Penyelesaian:
Akan diselidiki kontinuitas fungsi f (x) di x = 2.
(1) (terdefinisi)
(2) (ada)
(3) (syarat dipenuhi)
Jadi kontinu di x = 2.
Akan diselidiki kontinuitas fungsi g (x) di x = 2.
(1) (terdefinisi)
(2) (ada)
(3) (syarat tidak dipenuhi)
Jadi diskontinu di x = 2.
Ilustrasi:
Limit fungsi di atas dapat di selidiki dari dua arah yaitu:
Limit Fungsidi atas dapat diselidiki dari dua arah yaitu:
lim 0+fx= -1lim 0+fx= 00 1 sehingga lim 0+fxtidak adadiskontinu di x=0 tidak dapat di hapus
Selidikilah kontinuitasnya di x = 1 dari fungsi berikut:
fxx2 -1x-13 untuk x 1untuk x =1
Dapat diselidiki : lim x 1-fx=limx2- 1x-1=limx-1x+1x-1
= lim x+1
Pada limx 1-f(x) = limx 1-(x+1) = 2
Pada limx 1+f(x) = limx 1+(x+1) = 2
Bentuk-Bentuk Tak Tentu
Dalam perhitungan limit seringkali kita. menghadapi kasus-kasus limit dalam bentuk-bentuk taktentuberikut INI:
limx af(x) = limx ag(x) = 0, di cari limx af(x)g(x)
limx af(x) = limx ag(x) = 0, di cari limx a f(x)g(x)
limx af(x) = limx ag(x) = , di cari limx af(x)g(x)
limx af(x) = limx ag(x) = , di cari limx afx- g (x)
limx af(x) =0, limx ag(x) = , di cari limx afx- g (x)
limx af(x) = , limx ag(x) = 0, di cari limx a f(x)g(x)
limx af(x) =1, limx ag(x) = , di cari limx a f(x)g(x)
Teorema L'hospital
Bentuk-bentuk tak tentu baik (o/o maupun ( / ) dapat diselesaikan dengan nggunakan pendekatan teoremi 1'Hospital. Jika suatu fungsi h(x) dan g(x) dua fungsi yang masing-masing mempunyai turunan (fungsi turunan. akan dibicarakan. pada Bab-IX) maka:
LimX ah (x)g(x)= LimX ah, (x)g,(x)
Contoh 6. Hitunglah limit suatu fungsi berikut ini
limf x= 8x+34x-2 bentuk tak tentu /
Misal: h(x)=8x+ 3 h' (x) = 8
g(x)=4x- 2 g'(x)=4
Dengan mensubstitusikari harga-harga di atas pada rumus 8-5 maka:
lim x fx= limx h'(x)g'(x) = limx 84=2
Jadi , limx 8x+34x-2=2
limx fx= x2- 5x+6 6x-12 Bentuk tak tentu oo
Misal: h(x) = x2-5x+6, h' (x)= 2x-5
g(x)=6x -12, g'(x)=6
lim x 2fx= limx 2h'(x)g'(x) = limx 22x-56
=2(2)-56=- 1/6
Jadi, limx 2x2-5x+66x-12
lim x 2fx= x2 + x-12x2 + 3x-18 bentuk tak tentu o/o
Misal : h(x) = x2 + x – 12 h'(x) = 2x +1
g (x) = x2+3x—18 g'(x)=2x+3
lim x 3fx= limx 3h'(x)g'(x) lim x 3fx= limx 32x+12x+3
2(3)+12(3)+3
Jadi, lim x 3fx= x 2+x-12x 2+3x-18=7/9
Limit Fungsi Eksponensial dan Logaritma
Pada pasal berikut akan dibahas perhitungan-perhitungan Limit yang menyangkut fungsi eksponensial dan fungsi logaritma. Menurut pasal 3-2 diperoleh:
e = limx (1+1/x)2
Misalkan n = 1/x, maka untuk x diperoleh n = 0. Dengan demikian rumus 8-6 dapat pula ditulis. dalarn bentuk:
e = limx 0(1+1/x)1/n
Karena fungsi eksponensial dan fungsi logaritma kontinu, maka dengan mengambil togaritma natural maaing-masing ruas dan rumus 8-7 diperoleh:
e = limx 0(1+1/x)1/n
= limx 0(1+1/x)1/n
= limx 0in (1+n)n
Jika suatu limit fungsi lim (1 + f(x)g(x) maka dapat dicari
penyelesaian dengan mudah yaitu dengan mengambil logaritma sebagai berikut:
in limx a1+f(x)g(x) = limx a limx a1+f(x)g(x)
= limx ain {1+f(x)
= limx ag(x) fxin 1+f(x)f (x)
= limx ag(x)fx in 1+f(x)f (x)
Karena limx a in 1+f(x)f (x)= 1, maka rumus 8-9 menjadi:
limx a1+f(x)g(x)= efx.f(x)
Dengan menarik Iogaritma natural elog b= c ke dalam bentuk eksponensial ec = b, rumus 8-10 dapat ditulis lebib sederhana yaitu,
limx a1+f(x)g(x)= efx.f(x)
Contoh 7 di ketahui, L = limx 1+3/x4x+2 hituglah l!
L = limx 1+3/x4x+2
In L = in limx 1+3/x4x+2 = L = limx (4x+2) in (1+3/x)
= limx 4x+2.3x in 1+3x3x= limx 4x+2(3/x)
= limx 34+2/x)= 12 sehingga L = e12
Jadi, limx 1+3/x e12= 12 sehingga L = e12
Contoh 8 diketahui, limx (1+12x)3/x hitunglah L!
L = , limx (1+12x)3/x
In = limx (1+12x)3/x =, limx 3/xin(1+12x)
= limx 3xin(1+12x) in (1+12x)1+12x = limx (3/x+36)
= 36 sehingga = e36
Jadi, limx (1+12x)3/x = e36
Penggunaan konsep limit untuk masalah yang tidak mungkin mencapai harga yang didealkan, tetapi hanya mendekati harga tersebut. Misalnya, profit maksimum untuk suatu komoditas, resiko minimum dari suatu strategi, masa pakai maksimum suatu barang, dll.
DAFTAR PUSTAKA
Wibisono, Yusuf. 1999. Manual Matematika Ekonomi. Yogyakarta: Gajah Mada University Press.