7
Limit Fungsi Limit Fungsi di Suatu Titik dan di Tak Hingga Sifat Limit Fungsi untuk Menghitung Bentuk Tak Tentu Fungsi Aljabar dan Trigonometri
Cobalah kamu mengambil kembang gula-kembang gula dalam sebuah tempat dengan genggaman sebanyak lima kali. Setelah dihitung, pengambilan pertama terdapat 5 bungkus, pengambilan ke dua 6 bungkus, pengambilan penga mbilan ke tiga 5 bungkus, pengambilan ke empat 7 bungkus, dan pengambilan kelima 6 bungkus. Jika dirata29
rata pada pengambilan pertama, ke dua, sampai ke lima adalah 5 = 5,8 dan dikatakan hampir mendekati 6. Dalam contoh sehari-hari, banyak sekali kamu temukan katakata hampir, mendekati, harga batas, dan sebagainya.Pengertian tersebut sering dianalogikan dengan pengertian limit. Limit merupakan konsep dasar atau a tau pengantar dari deferensial dan integral pada kalkulus. Untuk lebih jelasnya, dalam bab ini kamu akan mempelajari konsep limit fungsi dalam pemecahan masalah.
Limit Fungsi
197 19 7
Limit Fungsi
Menjelaskan secara intuitif arti limit fungsi di suatu titik dan di tak hingga
Arti limit fungsi di satu titik melalui perhitungan nilai-nilai di sekitar titik tersebut
• • • • •
19 8
Arti Artilimit limitfungsi fungsi diditak hingga tak hingga
Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar dan trigonometri
Menghitung limit fungsi aljabar
limit fu fungsi limi li mitt fu fung ngsi si ta tak k hi hing ngga ga limi li mitt fun fungs gsii ber berhi hing ngga ga lim li mit fu fun ngs gsii alj aljab abar ar limi li mitt fun fungs gsii tri trigo gono nome metr trii
Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA
Menghitung limit fungsi trigonometri
Pengertia n Limit Fungsi di Suatu Titik dan di Tak Pengertian Hingga
A
1. Limit Limit Fungsi Fungsi di Satu Titik Titik Melalui Melalui Perhitu Perhitunga ngan n Nilai-Nil Nilai-Nilai ai di Sekitar Titik Tersebut Diketahui fungsi f fungsi f :: R → R yang ditentukan oleh f oleh f ( x) x) = 2 x – 1. Jika variabel x variabel x diganti dengan 3, maka f maka f (3) (3) = 2 ⋅ 3 – 1 = 5. Berapakah nilai yang akan didekati f didekati f ( x) x) jika variabel x variabel x mendekati 3? Untuk menjawab persoalan ini diperlukan tabel sebagai berikut. x
1,5
1,75
2,5
2,75
2,85
2,95
2,97
2,98
2,99
….
f ( x) x)
2
2,5
4
4,5
4,7
4,9
4,94
5,96
4,98
…..
Dari tabel dapat dilihat jika x jika x mendekati 3 dari pihak kurang dari 3, maka nilai f nilai f ( x) x) mendekati 5. Apakah nilai f ( x) x) akan mendekati 5 jika x lebih besar dari 3? Untuk menjawabnya kita lihat tabel berikut ini.
x
…..
3,01 3 ,01
3,10
3,25
3,50
3,50
3,75
4,25
….
f ( x) x)
…..
5,02 5,0 2
5,20
5,50
6,00
6,50
6,50
7,50
…..
Dari tabel dapat dilihat bahwa jika x mendekati 3 dari pihak lebih dari 3 maka nilai f ( x) x) mendekati 5, sehingga dikatakan bahwa fungsi f fungsi f ( x) x) = 2 x – 1 mempunyai limit 5 untuk x x mendekati 3 dan ditulis “jika f “jika f ( x) x) = 2 x – 1, maka lim 2 x − 1 = 5 ”. Grafiknya dapat kamu amati
Y 5 4 3 2 1
x →3
0 –1
pada gambar di samping. Dari penjelasan di atas, kamu juga dapat
X 1
2
3
–2
x 2 + x − 6 menentukan nilai dari lim . Nilai x → 2 x − 2 x 2 + x − 6 f ( x) x) = untuk x untuk x mendekati 2 dapat x − 2 disajikan dengan tabel sebagai berikut.
x
1,75 1,85 1,95 1,97 1,99 1,999 …
2
… 2,001 2,01 2,1 2,2 2,9 3,1
f ( x) x) 3,75 4,85 4,95 4,97 4,99 4,999 …
0 0
… 5,001 5,001 5,01 5,1 5,2 5,9 6,1 0
Dari tabel dapat dilihat jika variabel x variabel x = 2, maka f maka f (2) (2) = 0 yaitu suatu bentuk tak tentu, tetapi jika x jika x mendekati 2 dari arah kiri maka nilai f nilai f ( x) x) mendekati 5. Demikian juga jika x jika x mendekati 2 dari arah kanan maka nilai f nilai f ( x) x) mendekati 5. Limit Fungsi
199 19 9
Oleh karena itu dapat ditulis: x 2 + x − 6 lim =5 x → 2 x − 2 Dari uraian di atas, secara intuitif limit dapat didefinisikan sebagai berikut. lim f ( x) = L artinya jika x mendekati a (tetapi x ≠ a ) maka
x → a
f ( x) x) mendekati nilai L nilai L..
2. Si Sifa fat-S t-Sifa ifatt Li Limit mit Fu Fung ngsi si Apabila k suatu k suatu konstanta, f konstanta, f dan dan g g merupakan merupakan fungsi-fungsi fungsi-fungsi yang mempunyai limit untuk x x → a, a ∈ R maka berlaku: a. b.
lim k = k
x → a
f ( x) = f ( a)
lim
x → a
c.
lim k ⋅ f ( x)
d.
lim { f ( x) ± g( x)} ) } = lim f ( x) ± lim g( x)
e.
lim
f.
f ( x) lim x → a g( x)
g.
x→ a
= k ⋅ lix→ma f ( x)
x→ a
x→ a
lim
x→ a
x→ a
{ f ( x) ⋅ g( x)} = lxi→ma
(
=
lim f ( x )
x → a
lim g( x)
x→ a
f ( x) ⋅ li lim g( x) x→ a
, untuk lim g ( x ) x → a
x → a n
f ( x) )
= (lix→ma
≠
0
n
f( x)
)
Untuk lebih memahami tentang sifat-sifat limit fungsi, pelajarilah contoh soal berikut. Contoh soal
Diketahui f Diketahui f ( x) x) = 2 x – 5 dan g dan g ( x) x) = 3 x2 + 4 x . Tentukan: 1. lim f ( x) + lim g( x) x →3
x →3
2. lim { f ( x) + g( x)} x →3
Penyelesaian
1.
2 lim f ( x) + lim g( x) = lim (2 x− 5) + lim (3 x + 4 )x x →3 x →3
x →3
x →3
= 2 ⋅ 3 – 5 + 3 ⋅ 32 + 4 ⋅ 3 = 6 – 5 + 3 ⋅ 9 + 12 = 1 + 27 + 12 = 40
20 0
Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA
2 lim { f ( x) + g( x)} ) } = xli→m3 {(2 x− 5) + (3 x + 4 x)}
2.
x →3
2 = xli→m3 (3 x
+ 6 x − 5)
= 3 ⋅ 32 + 6 ⋅ 3 – 5 = 3 ⋅ 9 + 18 – 5 = 27 + 18 – 5 = 40
3. Li Limit mit Fu Fung ngsi si di di Tak Tak Berh Berhin ingg gga a x) = x2 . Jika dibuat tabel untuk x x bilangan sebagai berikut. Diketahui f Diketahui f ( x) x
1
2
3
4
….
10
….
100
….
200
…
f ( x) x)
2
1
2 3
1 2
….
1 5
….
1 50
….
1 1.000
…
Apabila nilai x nilai x makin besar, ternyata nilai f nilai f ( x) x) makin lama makin kecil. Apabila x Apabila x maka nilai x2 akan mendekati nol, dikatakan limit dari x2 untuk x untuk x mendekati tak berhingga adalah nol dan ditulis:
besar sekali atau x atau x mendekati tak berhingga, ditulis x
→ ∞,
lim 2 x =0
x →∞
Sekarang perhatikan contoh berikut ini. 2 x . x + 1
Hitunglah lim x →∞
Untuk menjawab limit tersebut, dapat dicoba dengan tabel berikut ini.
x
1
2
3
….
10
….
100
….
1.000
…
2 x x 1
1
4 3
3 2
….
20 11
….
200 101
….
2.000 1.001
…
Apabila x Apabila x menjadi semakin besar, maka nilai bahwa L bahwa L = lim x →∞
2 x akan mendekati 2. Dikatakan x + 1
2 x = 2. x + 1
Limit fungsi yang berbentuk lim
f ( x)
x →∞ g ( x)
dapat diselesaikan dengan cara membagi bagian
pembilang f pembilang f ( x) x) dan bagian penyebut g penyebut g ( x) x) dengan x dengan xn, n adalah pangkat tertinggi dari f dari f ( x) x) atau g atau g ( x) x) untuk setiap n bilangan positip dan a bilangan real, maka: lim
a
x →∞ x n
=0
Limit Fungsi
201 20 1
Dari contoh itu dapat ditulis: 2 x
2 x lim x →∞ x + 1
x x →∞ x +1 x 2 = xlim →∞ 1 1 + x = lim
=
2
1+ 0
=
(pembilang, penyebut dibagi x dibagi x)) 1 = 0 ⎟ x
m ⎜ xli→∞
2 =2 1
Contoh soal
Hitunglah limit dari: 1.
2.
3 x − 1 lim 2 x →∞ x + 5 x − 3
4 x 2 + 2 x + 1 lim x →∞ 5 x − 4
3.
2 x 2 − x + 5 lim x →∞ x 2 − 3 x + 2
Penyelesaian
1. lim x →∞
3 x − 1 x + 5 x − 3 2
3 x − 1 x 2 = lim x →∞ x 2 + 5 x − 3 x 2 3 x x2
= xlim →∞ x 2 x2 =
2 x − x + 5 2 x − 3 x + 2 2
2. lim x →∞
+
(pembilang dan penyebut dibagi x dibagi x2)
− x12 5 x2
−
3 x2
0−0 =0 = 0 1+ 0 − 0 1
2 x2 − x + 5 x2 = lim (pembilang dan penyebut dibagi x dibagi x2) x →∞ x2 − 3 x + 2 x2 2 x2 − x + x2 x2 lim = x →∞ x2 3x − x2 + x2
= xlim →∞
=
20 2
3 1 x − x2 = xlim →∞ 5− 3 1 + x x2
1 2 − x
+ x52
3 1 − x
+ x22
2−0+0 1− 0 + 0
=2 1
5 x2 2 x2
=2
Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA
3.
lim
4 x
+ 2x +1 5 x − 4
4 x2
2
x →∞
= xlim →∞
+ 2x + 1
x2 5 x − 4 x2
(pembilang dan penyebut dibagi x dibagi x2)
4 x2 + 2 x + 1 x2 x2 x2 = lim 5 x − 4 x →∞ x2 x2 =
4+0+0 0−0
=4 0
=
2+ 1 4 + x x2 = xlim 5 4 →∞ x − x2
∞
4 4 adalah bentuk tak terdefinisi, tetapi karena angka 0 pada bukan 0 0 angka nol tetapi angka yang kecil sekali sehingga suatu bilangan dibagi kecil sekali hasilnya besar sekali atau ∞ . Bentuk
f ( x) adalah x →∞ g ( x)
Dari contoh-contoh diatas dapat diambil kesimpulan nilai dari lim
sebagai berikut. 1. Jika Jika dera deraja jatt dar darii pem pembi bila lang ng f f ( x) x) lebih besar daripada derajat penyebut g penyebut g ( x), x), maka f ( x) = x →∞ g ( x )
nilai lim
∞.
2.
f ( x) x) sama dengan derajat penyebut g ( x), x), maka nilai Jika Jika dera deraja jatt dar darii pem pembi bila lang ng f penyebut g f ( x) lim = real. x →∞ g ( x )
3.
f ( x) x) lebih kecil daripada derajat penyebut g x), maka Jika Jika dera deraja jatt dar darii pem pembi bila lang ng f penyebut g ( x), f ( x) nilai xlim = 0. →∞ g ( x) Untuk lebih memahami, pelajarilah contoh berikut.
Contoh soal
Hitunglah limit berikut. 1. 2.
lim
x →∞
lim
x →∞
⎛ 3 x − 2 x ⎞ ⎜ x − 1 x + 1 ⎟ ⎝ ⎠ ( x2 + 2 x − x2 − 4 x)
Penyelesaian
1.
lim
x →∞
⎛ 3 x − 2 x ⎞ ⎜ x − 1 x + 1 ⎟ ⎝ ⎠
= xlim →∞
3 x( x + 1) − 2 x( x − 1) ⎜ ( x − 1)( x + 1) ⎟
= xlim →∞
⎛ 3 x2 + 3 x− 2 x2 + 2 x⎞ ⎜ ⎟ x 2 − 1 ⎝ ⎠ Limit Fungsi
203 20 3
x 2 + 5 x = xlim →∞ x 2 − 1
+ 5x
x2
x2 x2 − 1 x2
= lim x →∞
x2 x2 = lim x →∞ x2 x2
1+ 0 1− 0
=
2.
lim
x →∞
(
+ 2 x−
2
x
= lim x →∞
= lim
( x − 4 x) ⋅ (
+ 2 x−
(
x2
+ 2 x) 2 − ( x2 + 2 x +
2
x2
+ 2 x+
x2
− 4 x)
x2
+ 2 x+
x2
− 4 x)
− 4 x) 2 x2 − 4 x x2
+ 2 x − ( x2 − 4 x) x 2 + 2 x + x2 − 4 x
x2
+ 2 x− x 2 (1 + x2 ) + x2
= lim x →∞
+4x x 2 (1 − 4x )
x2
6 x
= xlim →∞
x
(
1 + x2
+
1 − 4x
)
6
= lim x →∞
20 4
− x12
5 1 + x = lim x →∞ 1 − 12 x
− 4 x)
x
= xlim →∞
=
+ 5xx2
=1
(
2
x →∞
=
2
x
(pembilang dan penyebut dibagi x dibagi x2)
1 + x2
+
1 − 4x
6 1+ 0 + 1− 0 6 1+ 1
=
6 =3 2
Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA
7.1 Kerjakan soal-soal dibawah ini dengan benar.
f ( x) x) = 3 x – 5. 1. a . Gambarlah gr grafik f b. Lengka Lengkapil pilah ah tabel tabel beriku berikut. t.
x
0,1 0,2 0,2 0,3 0,4 0,5 0,5 … 0,99 1 1,001 1,001 … 1,01 1,2 1,3
f ( x) x) = 3 x – 5 c. Carilah ni nilai lim f ( x) = 3 x− 5 . x →1
2. Leng Lengka kapi pila lah h tabel tabel beri beriku kut. t. x
1,0 1,1 …. 1,9 1,999 2 2,001 2,002 …. 2,1 2,2 2,3 2,3 2,4 2,5 2, 5
f ( x) x) = x 4 x2 2
3. Cari Carilah lah limi limit-l t-lim imit it beri beriku kut. t. 2 x + 5 a. lim x →∞ x − 1 x + 2 b. lim 2 x →∞ x + x − 1
c. lim x →∞
x 2
− 2x +1 x + 3
4. Cari Carilah lah limi limit-l t-lim imit it beriku berikut. t. 5 x 2 − 2 b. lim x →∞ x
3 x − 1 a. lim x x →∞ 3 + 5 5. Cari Carilah lah limi limit-l t-lim imit it beriku berikut. t. a. lim x →∞
B
x2
+ 4 x−
b. lim
x
x →∞
x2
+ 6 x− ( x− 4)
Sifat Limit Fungsi untuk Menghitung Bentuk Tak Tentu Fungsi Aljabar dan Trigonometri
1. Men Menghi ghitun tung g Limit Limit Fun Fungsi gsi Alj Aljaba abar r Perhatikan fungsi f fungsi f ( x) x) = 2 x pada tabel di bawah ini. x
0
f ( x) x) = 2 x
1
1,5 1,7 3
3,5
2 4
2,5 2,6 2,75 2,85 2,95 2,98 2,999 …. 5
5,2
5,5
5,70 5,90 5,96 5,998 …
Limit Fungsi
3 6
205 20 5
Dari tabel terlihat jika nilai x nilai x diperbesar hingga mendekati 3, maka nilai f nilai f ( x) x) mendekati 6, dikatakan bahwa limit dari 2 x untuk x x mendekati 3 adalah 6 ditulis: lim 2 x = 6
x →3
Menentukan limit dengan cara di atas ternyata lambat dan tidak efisien. Misalkan untuk menyelesaikan lim f ( x) , maka dapat dilakukan dengan cara yang lebih cepat x → a
dengan menggunakan rumus sebagai berikut. 1.
Jika f (a) = C , maka nilai lim f ( x) = f (a) = C
2.
C C Jika f (a) = 0 , maka nilai lim f ( x) = 0 = x → a
3.
0 0 Jika f (a) = C , maka nilai lim f ( x) = C = 0 x → a
4.
x → a
∞
0 Jika f (a) = 0 , maka nilai lim f ( x) , maka sederhanakan atau ubahlah lebih dahulu x → a f ( x) x) hingga menjadi bentuk (1), (2), atau (3). bentuk f
Untuk lebih memahami, perhatikan contoh berikut. Contoh soal
1.
Hitu Hitung nglah lah nilai nilai limitlimit-li limi mitt beri beriku kutt ini. ini. a.
b.
lim (5 x + 7)
d.
x 2 − 2 x lim x →3 x − 3
− 3)
e.
x − 5 x →5 2 x + 1
f.
x 2 lim
x →− 2
lim (2 (2 x 2 x →1
c.
x 2 + 5 lim x →− 1 x 2 + 1
lim
x →3
− 8 x + 15 x − 3
Penyelesaian
a. b.
lim (5 x + 7) = 5 (–2) (–2) + 7 = –10 –10 + 7 = –3
x →− 2
lim ( 2 x 2 x →1
20 6
− 3)
= 2 ⋅ 12 – 3 = 2 – 3 ( − 1) 1) 2 + 5
= 1+ 5 = 6 +1 1+1 2
c.
x 2 + 5 lim x →− 1 x 2 + 1
d.
x 2 − 2 x 32 − 2 ⋅ 3 9 − 6 lim = = x →3 x − 3 3−3 0
e.
x − 5 5−5 0 0 = = = =0 x →5 2 x + 1 2 ⋅ 5 + 1 10 + 1 11
=
( −1) 1)
2
= –1
=3
= 3 =∞ 0
lim
Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA
f.
x 2 lim
x →3
− 8 x + 15 x − 3
=
Karena nilai limit = x 2 lim
x →3
2.
− 8 x + 15 x − 3
32
− 8 ⋅ 3 + 15 = 9 − 24 + 15 = 0 3−3 0 0
0 , maka perlu diubah lebih dahulu dengan jalan difaktorkan. 0 ( x − 5)( x − 3) = xli→m3 x − 5 = 3 – 5 = –2 ( x − 3)
= xlim →3
Hitu Hitung nglah lah limi limitt-li limi mitt beri beriku kut. t. a. lim
1 − x + 1 x →0 x 2 − x
x − 1
x →1
b. lim x →0
c. lim
x − 1 x + 2 − 2 x
Penyelesaian
a.
lim x →1
x − 1 x − 1
=
1−1
= 1−1 = 0 1 −1 1 −1 0
Jadi harus diubah lebih dahulu dengan jalan dikalikan dengan sekawannya. lim x →1
x − 1 x − 1
= lim x →1
=
lim
=
lim
=
b.
lim
x →0
( x − 1)
⋅(
x + 1)
( x − 1) ( x + 1) ( x − 1)( x + 1)
x →1
( x )
2
− 12
( x − 1)( x + 1) x →1 x − 1
(
lim x
x →1
x + 2 − 2 = x
+ 1)
1 +1 = 1+1=2
=
0+2 − 2 0
=
2− 2 0
=0 0
Jadi harus diubah lebih dahulu dengan jalan dikalikan dengan sekawannya. lim
x →0
( x + 2 − 2 ) ( x + 2 + 2 ) x + 2 − 2 ⋅ = lim x →0 x x ( x + 2 + 2) = xlim →0
( x + 2 ) 2 x(
−( x+2 +
2 )2 2)
x + 2 − 2 = xlim →0 x( x + 2 + 2 ) Limit Fungsi
207 20 7
x = lim x →0 x( x + 2 + 2 ) =
=
c.
1
=1
x →0
=
2+ 2
1 x + 2 + 2 1 2 2
×
2 2
2
4
1− 0 +1 1 − x + 1 = x →0 x 2 − x 02 − 0 lim
lim
1
=
0+2 + 2 2 2⋅ 2
=
= 1−
1
0
= 1− 1 = 0 0
0
Jadi harus diubah lebih dahulu dengan jalan dikalikan dengan sekawannya. 1 − x + 1 2 x →0 x − x lim
= xlim →0
(1 +
x + 1) x + 1)
=
=
lim
x →0
x →0
h →0
− x)
⋅
( x + 1) 2 − lim 2 x →0 ( x − x)(1 + x+ 1)
= lim
Carilah lim
( x
2
12
= xlim →0
3.
(1 − x + 1) (1 +
1 − ( x + 1) 2
( x
−
x)(1 +
x+ 1)
1 − x − 1 x( x− 1)(1 +
x+ 1)
− x x− 1)(1 +
x+ 1)
x(
=
−1 x →0 ( x − 1)(1 +
x + 1)
=
−1 (−1)(1 + 1)
−1 = 1 −2 2
lim
=
=
f ( x) x) = 2 x + 3
b. b.
f ( x) x) = 3 x2 – x x
Penyelesaian
20 8
0 + 1)
f ( x + h) − f ( x) , jika diketahui fungsi f fungsi f ( x) x) di bawah ini. h
a.
a.
−1 (0 − 1)(1 +
f ( x) x) = 2 x + 3 f ( x x + h) = 2 ( x x + h) + 3 = 2 x + 2h 2h + 3
Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA
lim h →0
f ( x + h) − f ( x) h
=
2 x+ 2 h+ 3 − (2 ( 2 x+ 3) h →0 h
lim
2 x+ 2 h+ 3 − 2 x− 3 h →0 h
= lim
b.
2h h →0 h
=
lim
=
lim 2 = 2 h →0
f ( x) x) = 3 x2 – x x f ( x x + h) = = =
3( x + h)2 – ( x + h) 3( x x2 + 2 xh + h2) – x – x – h – h x – h 3 x2 + 6 xh + 3h2 – x – h
f ( x + h) − f ( x) lim h →0 h
2
=
lim
3x
+ 6 xh + 3 h2 − x− h− (3 x2 − h
h →0
3 x2
+ 6 xh+ 3 h2 − x− h− 3 x2 +
=
lim
=
6 xh+ 3 h2 lim h →0 h
= =
x)
x
h
h →0
−
h
⎛ 6 xh 3 h2 h⎞ + − lim ⎜ h →0 h h ⎟ ⎝ h ⎠ lim (6 x + 3h − 1) h →0
= 6 x + 3 ⋅ 0 – 1 = 6 x – 1
Buatlah kelasmu menjadi beberapa kelompok, lalu kerjakan soal-soal berikut secara berkelompok. 1. 2.
1 2 ⎞ ⎛ − ⎜ ⎟ x → 2 x − 2 ⎝ 2 x 2 − x − 3 x2 + x ⎠ 1 + 2 + 3 + .... + x lim lim
x →∞
3
2
x Cocokkan dengan kelompok lain adakan diskusi kelas.
Ingat!!
S n = 12 n {2a {2a + (n (n – 1)b 1)b} di mana: S n = jumlah n suku a = suku pe pertama b = beda beda (se (seli lisi sih h suku suku-s -suk uku u yang berurutan) n = ban banyakny aknyaa suku suku
Limit Fungsi
209 20 9
7.2 Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar.
1. Tentuka entukan n nilai nilai limit limit beriku berikut. t. a. lim (2 x + 7)
b. lim ( x 2 x →1
x →− 2
2. Diketahui f ( x) x) =
+ 4 x − 9)
lim x →5 x 2
c.
2 x − 3 − 4x +1
⎧ x − 2 , untuk x < 4 ⎨ x2 + x− 7 , un untuk x≥ 4 ⎩
Hitunglah nilai limit berikut. b. lim f ( x)
a. lim f ( x)
x →5
x →1
3. Hitu Hitung nglah lah nilai nilai limit limit ber berik ikut ut ini ini.. x 2 − 9 a. lim x →− 3 x + 3
4. Carilah lim h →0
b.
2 x 2 − 5 x + 2 lim x → 2 x − 2
c. lim
x2
x →3
−
x2
−6 x
x − 3
f ( x + h) − f ( x) , jika diketahui fungsi di bawah ini. h b. f ( x) x) = x = x2 + 3 x – 1
a. f ( x) x) = 3 x + 2
5. Tentuka entukan n nilai nilai limit limit beri berikut kut ini. ini. 2 − 5 − x x →1 x − 1
b. lim
a. lim
x →0
x +
x
x
6. Jika ika dik diketah tahui f ( x) x) = 3 x – 2 dan g dan g ( x) x) = x = x2 + x – 3, tentukan: a. xli→m2 { f ( x) − g( x)}
b. lim { f ( x)}2
c.
x →1
g ( x) x →0 f ( x) lim
2. Men Menghi ghitun tung g Limit Limit Fungs Fungsii Trigon Trigonome ometri tri B
D
r
O
x r
C
A
Perhatikan gambar di samping. Dari gambar di samping diketahui panjang jari-jari lingkaran = r , besar sudut AOB sudut AOB adalah x adalah x radian, BC radian, BC dan dan AD AD tegak lurus OA untuk 0 < x < x < 1 π 2 BC = sin x sin x OB
⇒ BC = BC = OB sin x sin x BC = BC = r sin r sin x x
21 0
Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA
AD = tan x tan x OA
⇒ AD
= r tan r tan x x < L juring OAB < L
LΔ OBC 1 OC BC ⋅ 2⋅ 1 OC r sin x ⋅ r sin x 2⋅
⋅ ⋅
1 OC r sin 2 1 r 2 2
< <
< <
cos x cos x sin x sin x
<
cos x cos x sin x sin x
<
cos x cos x
<
lim cos x
x →0
cos 0
x →0
1 x 2 r 2 1 x r 2 2 ⋅
<
1 x r 2 2 1 r 2 2
OAD
1 OA AD ⋅ 2⋅ < 1 ⋅ OA ⋅ r ⋅ tan x tan x 2 <
⋅
x
OC sin x r sin x
Maka lim
= OA tan x tan x
⋅ ⋅
<
1 OA r tan x 2 1 r 2 2
< OA tan x r tan x x < r tan x r tan x x < tan x tan x : sin x sin x x 1 sin x < cos cos x x x 1 lim < lim x →0 sin x x →0 cos x
:
1 2 r 2
Ingat!!
x
< lim x →0
< lim
x < sin x
1
< lim
x < 1 sin x
x →0
B
x
A
Luas juring
=
x πr 2 2π
=
1 x r 2 2
x 1 < sin x cos0
1
x →0
r O
1 1
x sin x = 1 atau lim =1 x →0 sin x x
Dari persamaan: cos x cos x sin x sin x < x < tan x tan x cos x sin x tan x
<
x < tan x tan x tan x
cos x sin x sin x cos x
<
x tan x
<1
cos x ⋅ cos x ⋅ sin x < x sin x tan x
<1
cos2 x <
: tan x tan x
x <1 tan x
Limit Fungsi
211 21 1
lim co c os2 x < lim
x tan x
<1
1 < lim
x tan x
<1
x →0
x →0
x →0
Maka lim x →0
x tan x = 1 atau lim =1 x →0 x tan x
Dengan cara yang sama didapat rumus: lim
x sin x
=
1
⇒
lim
sin x x
=
1
⇒
lim
x tan x
=
1
⇒
lim
tan x x
=
1
⇒
x →0
x →0
x →0
x →0
lim
ax sin ax
=
1
lim
sin ax ax
=
1
lim
ax tan ax
=
1
lim
tan ax ax
=
1
x →0
x →0
x →0
x →0
Untuk lebih memahami tentang limit fungsi trigonometri, perhatikan perhati kan contoh berikut. Contoh soal
1.
Cari Carila lah h nil nilai ai lim limit it beri beriku kut. t. a. b.
lim
x →0
lim
x →0
sin2 x 3 x
c. lim
4tan5 x 3 x
d. lim
2 x tan4 x
x →0
5 x 3sin3 x
x →0
Penyelesaian
a.
lim
x →0
sin2 x sin 2 x 2 x ⋅ = lim x →0 3 x 3 x 2x = lim x →0
= 1⋅ b.
lim
x →0
5 x 3siin 3 x = 3s
sin 2 x 2 x ⋅ 2 x 3 x
2 = 2 3 3 5 x 3 sin 3 x
⋅ 3x
3 x = xlim →0 3 sin 3 x
⋅ 5x
lim
x →0
1 3 x ⋅ = xlim →0 3 sin 3 x = 21 2
3x 3x
⋅ 5x 3x
1 1 5 = 5 3⋅ ⋅ 3 9
Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA
c.
lim
x →0
4 tan 5 x 4 tan 5 x 5 x ⋅ = lim x →0 3 x 3 x 5x = lim x →0
4 tan 5 x 5 x ⋅ 5 x 3x
= 4⋅ 1 ⋅ d.
lim
x →0
2 x = lim x →0 tan4 x
2 x ⋅ 4x tan 4 x 4 x
= lim x →0
4 x ⋅ 2x tan 4 x 4 x
2 = 1 4 2
= 1⋅ 2.
5 = 20 = 6 2 3 3 3
Cari Carila lah h lim limit it ber beriku ikut. a. b.
lim
2sin5 x tan2 x
lim
3tan4 x sin6 x
x →0
x →0
c.
lim 2 x ⋅ cot x
x →0
Penyelesaian
a.
lim
x →0
2sin5 x = tan2 x
2 sin 5 x 2 x 5 x ⋅ ⋅ tan 2 x 2 x 5 x
lim
x →0
2 sin 5 x 2 x 5 x ⋅ ⋅ 5 x tan 2 x 2 x
= lim x →0
= 2⋅ 1⋅ 1⋅ b.
lim
x →0
x →0
3 tan 4 x 6 x 4 x ⋅ ⋅ 4 x sin 6 x 6 x
= 3⋅ 1⋅ 1⋅ lim 2 x ⋅ cot x = lim x →0
x → 0
x →0
4 = 2 6
2 x tan x
= lim2 ⋅ 3.
= 5
3 tan 4 x 4 x 6 x 3tan4 x ⋅ ⋅ = lim x →0 sin 6 x 4 x 6 x sin6 x = lim
c.
5 2
Ingat!!
x = 2⋅ 1 = 2 tan x
tan x tan x cot x cot x = 1
Cari Carila lah h lim limit it ber beriku ikut. a. lim
2 − 2 cos 2 x x 2
b. lim
cos2 x x − π 4
x →0
x →
π 4
c.
lim h →0
sin( x+ h) − sin x h
Limit Fungsi
213 21 3
Penyelesaian
a.
2(1 − cos 2 x) 2 − 2 cos 2 x lim lim = x →0 x →0 x 2 x 2
= lim
= lim
2{1 − (1 − 2 sin 2 x)} x 2
x →0
2 (1 − 1 + 2 sin 2 x) x 2
x →0
Ingat!!
2(2 sin 2 x) = lim x →0 x 2
cot 2 x = 1 – 2 sin2 x
4sin 2 x = xlim0 → x 2 2
⎛ sin x ⎞ = 4 xli→m0 ⎜ ⎟ ⎝ x ⎠ = 4 ⋅ 12 = 4 b.
lim x →
π 4
cos 2 x x − π 4
Ingat!!
π
A + B) B) = cos A cos ( A cos A cos B cos B – sin A sin A sin B sin B cos ( A A – B) B) = cos A cos A cos B cos B + sin A sin A sin B sin B
misal y = x – 4
π
x = y + 4
maka y = 0 → π4 , maka y cos 2 ( y + π ) 4
x untuk x lim
y → 0
y
= = = = = = =
c.
sin ( x+ h) − sin x lim h →0 h
=
=
21 4
lim
cos ( 2 y + π ) 2 y
y → 0
− sin 2 y ⋅ sin π2 ) (cos 2 y ⋅ cos π 2 lim y → 0 y lim
y → 0
lim
y → 0
lim
y → 0
lim
(cos 2 y ⋅ 0 − sin 2 y ⋅1) y (0 − sin 2 y) y
− sin 2 y y
2y
− sin 2 y
2 y –1 ⋅ 2 = –2 y → 0
lim
⋅ 2y ⋅ 2y y
2 cos 1 {( x + h) + x} ⋅ sin 1 {( x + h) − x} 2
2
h
h →0
lim h →0
2 cos ( x+ 1 h) ⋅ si sin 1 h 2
h
Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA
2
2 cos ( x+ 12 h) sin 12 h = lim h →0 2 ⋅ 12 h = lim cos ( x + h →0
1 h) ⋅ 2
Ingat!!
sin 12 h 1h 2
sin A sin A + sin B sin B = 2 sin
1 ( A + B) B) 2
sin A sin A – sin B sin B = 2 cos
1 ( A A + B) B) ⋅ 2
x + 1 ⋅ 0) ⋅ 1 = cos ( x 2 = cos x cos x
sin
1 A – B) B) ( A 2
7.3
Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar.
1. Cari Carila lah h limi limitt beri beriku kut. t. a. lim
sin 3 x 5 x
c.
b. lim
4 x 2sin x
d.
x →0
x →0
lim
6 tan x 4 x
lim
7 x 5sin5 x
lim
tan8 x 4sin4 x
lim
3tan2 x 2tan3 x
x →0
x →0
2. Cari Carila lah h limi limitt beri beriku kut. t. a. lim
2sin5 x 3sin2 x
c.
b. lim
4sin2 x tan4 x
d.
x →0
x →0
x →0
x →0
3. Tentu entuka kan n nil nilai ai dar dari: i: x sin3x a. lim 2 x →0 tan x
b.
sin 43 x
lim
3 x
x →0
4. Hitu Hitung ngla lah h nila nilaii dari dari:: a. lim x →
1 π 2
1 + cos 2 x cos x
b.
lim x →
1 π 4
tan x − 1 cos2 x
5. Hitu Hitung ngla lah h nila nilaii dari dari:: 1 − cos 2 x x →0 x 2
a. lim
b.
lim
x →0
tan 3 x sin x x 2
Limit Fungsi
215 21 5
1.
Pengertian li limit Limit sering dikatakan sebagai nilai pendekatan.
2.
Limi imit tak tak berh erhing ingga f ( x) Untuk mengerjakan limit menuju tak berhingga berbentuk lim berlaku x →∞ g ( x ) sebagai berikut. a. Jika Jika dera deraja jatt dar darii pem pembi bila lang ng f f ( x) x) lebih besar daripada derajat penyebut g penyebut g ( x), x),
f ( x) adalah x →∞ g ( x)
maka nilai lim b. b.
∞.
Jika Jika dera deraja jatt dar darii pem pembi bila lang ng f f ( x) x) sama dengan derajat penyebut g penyebut g ( x), x), maka f ( x) adalah real. x →∞ g ( x)
nilai lim c.
Jika Jika dera deraja jatt dar darii pem pembi bila lang ng f f ( x) x) lebih kecil daripada derajat penyebut g penyebut g ( x), x), f ( x) adalah 0. x →∞ g ( x)
maka nilai lim 3.
Limit be berhingga Untuk mengerjakan limit menuju berhingga berbentuk lim f ( x) berlaku sebagai x → a
berikut. a.
Jika f (a) = C , maka nilai lim f ( x) = C. x → a
C , maka nilai lim f ( x) = ∞ . 0 x → a 0 c . Jika f (a) = , maka nilai lim f ( x) = 0. C x → a 0 d. Jika f (a) = , maka nilai lim f ( x) harus diubah lebih dahulu supaya 0 x → a berbentuk a, berbentuk a, b, atau c. b.
4.
Jika f (a) =
Sifat-sifat li limit Apabila k suatu k suatu konstanta, f konstanta, f dan dan g g adalah adalah fungsi-fungsi yang mempunyai limit untuk x x mendekati a, maka berlaku: a. b.
21 6
lim
x → a
f ( x) = f ( a)
lim k = k
x → a
c.
lim k ⋅ f ( x ) = k ⋅ lim f ( x )
d.
lim { f ( x) ± g( x)} = lim f ( x) ± lim g( x)
x→ a
x→ a
x→ a
x→ a
x→ a
Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA
{ f ( x) ⋅ g( x)} = lxi→ma
e.
lim
f.
f ( x) lim x → a g( x)
x→ a
g.
lim
x→ a
(
=
lim f ( x)
x → a
lim g( x)
f ( x) )
=
(li→m x
a
x→ a
, lim g ( x) x → a
x → a
n
f ( x) ⋅ li lim g( x)
≠
0
n
f( x)
)
I.
Pili Pilihla hlah h sala salah h satu satu jaw jawab aban an yan yang g pali paling ng tep tepat at..
1.
Nilai lim x 2 x →5
−9
adalah ….
a. 2
d. 5
b. 3
e. 6
c. 4 2.
x − 4 adalah .… x → 2 3 − x
Nilai lim a. 3
d.
b. 1
e. –
1 3 1 3
c. 0 3.
4.
2 x 2 − 2 Nilai lim = …. x →1 x − 1 a. 0 b. 1 c. 2 2 x − 1 adalah …. x →∞ 3 − x
Nilai lim a. –2
b. –1 c. 0 5.
d. 4 e. 6
d. 2 3 e. 2
6 − 4 x 4 Nilai lim adalah …. x →∞ 2 + x 4 a. –6 d. 4 b. –4
e. 6
c. 3 Limit Fungsi
217 21 7
6.
x2
Nilai lim x →∞
+ 2 x−
x2
+
x adalah ….
3 2 b. – 1 2 c. 1 2 a. –
7.
d. 1 e.
x 2 − 9 Nilai lim adalah …. x →− 3 x + 3 a. 6
b. 4
3 2
d. –2
e . –6
c. –4 8.
x 2 − x − 6 Nilai lim adalah …. x →− 2 x + 2 a. –5 d. 5
b. –2
e. 2
c. –1 2 +3 Nilai lim x adalah …. x →∞ 2 − 1 a. 2 x
9.
b. 1
d. 0 e . –3
c . –1 x − 8 10. Nilai lim 3 adalah …. x →8 x − 2 a. 12
d. 8
b. 10
e. 4
c. 6 11. J i k a
lim f ( x) = 3 ,
x →0
lim g ( x ) = −5 , dan
x →0
lim h( x)
x →0
(2 f ( x) + g( x)) )) 2 lim adalah …. x → 0 h ( x) a. 1 2 b. 2
d. 4 e. 16
c. 8 12.
⎛ x2 − 8 + Nilai lim ⎜ x → 2 − x 2 ⎝
x2 − 2 x⎞ = …. 2 x − 4 ⎟ ⎠
a. 3 b. 5
d. 8 e.
∞
c. 9 21 8
Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA
=
1 , maka nilai dari 2
13. Nilai lim x → 2
4 − x 2 3 − x
2
+5
= ….
a. 3
d. 6
b. 4
e. 7
c. 5 14. Nilai lim x →0
4 x
= ….
1 + 2 x − 1 − 2 x
a. 2
d. –1
b. 1
e . –2
c. 0 15. Nilai lim x →1
x − 2 x − 1 = …. x − 1
a. 1 b. 1 2
d. –1 e. 0
c . – 1 2 3 sin 5 x = …. x →0 sin 3 x
16. Nilai lim 5 3 5 b. 2 c. 4 a.
d. 3 e. 5 1 − cos x = …. x →0 x sin x
17. Nilai lim 2 3 b. 1 2 c. 0
1 d. 3
a.
e. –1
18. Nilai lim x →0
1 − cos 2 x x 2
= ….
a. 1 4 b. 1 2 c. 3 2
d. 1 e. 2
19. Nilai lim x →0
a. 1 2 b. 1
tan x − sin x = …. 3 x d. 2 e. 6
c. 4 Limit Fungsi
219 21 9
1 − sin x = …. 1π 1 x → π x − 2 2
20. Nilai lim a. –2
d. 0
b. –1
e. 2
c. 1 II. Kerjak Kerjakan an soal-so soal-soal al di bawah bawah ini ini dengan dengan benar benar..
1.
Hitu Hitung ngla lah h nila nilaii limi limitt beri beriku kutt ini. ini. x 2 + x + 3 a. lim x →∞ x 2 − 5 x2
b. lim x →∞
2.
+ 3 x−
x 2 c. lim x x →∞ 2
+5 −3
x
Hitu Hitung ngla lah h nila nilaii limi limitt beri beriku kutt ini. ini. x − 3 a. lim 2 x →3 x + 9
2
c. lim x x →− 1 x 2
+ x−5 − x+4
3 x + 2 x →− 2 x + 2
b. lim 3.
Hitu Hitung ngla lah h nila nilaii limi limitt beri beriku kutt ini. ini. a. lim
x − 4
−2 x 2 − 4 lim x → 2 x 2 − 3 x + 2
x → 4
b.
4.
2 x c. lim − x x →0 2 x
x
Hitunglah limit lim h →0
f ( x + h) − f ( x) untuk f f ( x) x) berikut ini. h
x) = 3 x a . f ( x) b. b. f ( x) x) = x2 c . f ( x) x) = 2 x2 – 3 5.
Hitu Hitung ngla lah h nila nilaii limi limitt beri beriku kutt ini. ini. a.
lim
2tan3 y y → 0 sin2 y
d.
b.
cos2 x x → 45 cos x − sin x
e.
c.
1 + cos 2 x 1 cos x x → π
lim
lim
y → 0
1 − cos y y
2
lim x sin
x →∞
1 x
lim 2
22 0
Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA
