LÍMITES Y SUS APLICACIONES: APLICACIONES: Límites: El cálculo está basado principalmente en límites, ya que los 2 pilares más grandes del mismo son aplicaciones de los límites. Por ahora nos concentraremos en definir que son, como se utilizan, y sus aplicaciones.
Definición intuitiva: Ciertas funciones tienen un comportamiento singular e interesante cerca de ciertos puntos, por lo que es necesario empezar a estudiar el concepto de límite. Ahora veremos el comportamiento de la siguiente función mientras sus valores se acercan a un determinado punto: Si y= 2x+3 x 1.9 1.95 1.99 2.01 2.05 2.1
y 6.8 6.9 6.9 7.02 7.1 7.2
Por lo visto en el ejemplo anterior se puede definir intuitivamente que: Lim (2x+3)= 7 X->2
Definición Formal: Observando la gráfica de una función cualquiera, por ejemplo: Y L+ε
L
ε
f(x) L-ε L-ε
Xo
X δ
x
Analizando el grafico anterior podemos observar que:
1.- Trabajando en el eje x: Xo- δ < X < Xo+ δ Xo- δ- Xo < X-Xo < Xo+ δ- Xo - δ < X-Xo < δ |X-Xo| < δ
2.- Trabajando en el eje y: L- ε < f(x) < L+ ε L- ε- L < f(x)-L < L+ ε- L - ε < f(x)-L < ε |f(x)-L| < ε
Por lo tanto se puede concluir que, para que exista: Lim f(x) = L x->Xo
Debe de cumplirse que: 0 < |X-Xo| < δ => |f(x)-L| < ε
De esta manera queda demostrado el límite formalmente, si se cumplen estas inecuaciones es posible obtener una relación entre δ y ε, lo cual asegura que el límite en un punto existe.
Nota: No es necesario que la función esté definida en el punto para la existencia del límite, en esta parte entran en juego los límites laterales que son más utilizados para saber si una función a trozos tiene o no límite, si los límites laterales izquierdo y derecho son iguales, podemos afirmar que esa función si tiene límite en el punto estudiado.
Indeterminaciones: En el estudio de los límites de funciones, al momento de querer obtener un valor numérico nos vamos a topar con ciertas dificultades para sus cálculos, ya que
sus resultados son incoherentes, a este tipo de expresiones les vamos a llamar indeterminaciones, las cuales pueden tener las siguientes formas:
1.- 0/0 2.- ∞/ ∞ 3.- (∞) - (∞) 4.- 0 (∞) 5.- 1^ (∞) 6.- 0^ (0) 7.- ∞^ (0) Estas indeterminaciones deben ser destruidas por medio de artificios matemáticos y fórmulas para la resolución de límites.
Cálculo de Límites Trascendentales: 1.- Lim (Sen(x)/x)= 1 x->0 2.- Lim ([1- Cos(x)]/x)= 0 x->0 3.- Lim (1+u) ^ (1/u) = e x->0 4.- Lim (1+ [1/u]) ^ (u) = e x->∞ 6.- Lim ([e^ x -1]/x)= 1 x->0 5.- Lim ([1+ln(x)]/x)= 1 x->0
Basta con unas cuantas fórmulas para resolver las indeterminaciones de los límites trascendentales, las cuales están escritas arriba, gracias a esto podemos aplicar una serie de artificios matemáticos y encontrar soluciones de una manera rápida y eficiente.
Aplicaciones De los Límites: Los límites tienen una gran variedad de aplicaciones, las cuales dependen de las diferentes ramas en las que sean utilizadas, las cuales veremos a continuación con su respectiva explicación para su uso práctico:
1.- Matemáticas: Su aplicación en las matemáticas es referente a determinar la continuidad de funciones y cálculo de asíntotas.
A) Para determinar si una función es continua, es necesario que se cumplan 3 condiciones:
- f(a) existe - Lim f(x) existe x->a
- Lim f(x) = f(a) x->a
B) Para calcular asíntotas se tiene que: - Asíntota horizontal: Lim f(x) = a, donde y= a es la asíntota. x->∞
- Asíntota Vertical: Lim f(x) = ∞, donde x= a es la asíntota. x->a
- Asíntota Oblicua: de la forma y= mx +b Dónde: m= Lim [f(x)/x] x->∞ b= Lim [f(x) – mx] x->∞
2.- Física: Los límites se aplican en la obtención de la velocidad instantánea: Suponga que tiene la ecuación del espacio recorrido y esta está en función del tiempo s= f (t), suponga que se quiere calcular la velocidad media en un intervalo de tiempo definido en [t, t+h], la cual está definida por: Vm=
ΔS = [f (t+h)- f (t)] Δt
t+ h- t
Entonces la Velocidad instantánea Vi, en cualquier punto de la trayectoria estaría dada por:
Vi= Lim Vm = Δt->0
Lim
Δs =
Δt->0 Δt
Lim
[f (t+h) – f (t)]
h->0
h
Note que este problema tiene una semejanza con la definición formal de la derivada, que también es basada en límites.
3.- Administración: Se utilizan para poder generar gráficas que nos dan el nivel de producción, para encontrar el menor costo posible de un producto y obtener la mayor ganancia para una misma empresa. Un ejemplo de la aplicación sería: Dada una función C(x), que determina los costos. El costo se lo puede calcular determinando el límite de la función cuando la variable tiende a cierto valor “a”. Lim C(x) x->a
Referencias: A) Webgrafía: 1.http://ezp1.espe.edu.ec:2050/lib/espesp/reader.action?docID=1080398 5&ppg=255 2.http://ezp1.espe.edu.ec:2050/lib/espesp/reader.action?docID=1041140 4 3.http://ezp1.espe.edu.ec:2050/lib/espesp/reader.action?docID=1004813 9&ppg=4
B) Bibliografía: Ing. Moisés Villena, 2015, El Libro Negro Cálculo Diferencial e Integral, Ecuador, Academia de Ciencias Exactas Apol.
