Circuitos eléctricos
Linealidad en Circuitos Eléctricos
Existente dos vertientes importantes en los circuitos eléctricos respecto al término de linealidad, el primero es la linealidad de un elemento del circuito eléctrico y la otra es la propia linealidad del circuito. Un elemento del circuito es lineal sí su relación de voltaje y corriente obedece el principio de homogeneidad y de aditividad. Por su parte un circuito es lineal si todas las variables en él, sin excepción alguna obedecen el principio de homogeneidad y aditividad, es decir el principio de superposición. De manera intuitiva es fácil entender que un circuito formado por elemento lineales será un circuito lineal, pero qué pasa cuando se emplean fuentes independientes, las cuales son elementos no lineales. El principio de homogeneidad se refiere a lo siguiente; sí la señal de entrada de un circuito se pondera por una constante determinada, por ejemplo
circuito también estará ponderada por la constante .
, entonces la señal de salida en el
El principio de aditividad se refiere a lo siguiente; sí un circuito es excitado de manera separada por señales de entrada diferentes, entonces cada una de esas señales de entrada originara una señal de salida propia. Ahora, sí el circuito es excitado por una señal que es la suma de todas las señales de entrada previas, por tanto, la señal de salida será una señal formada por la suma de las señales de salida previamente obtenidas. Ejemplo de linealidad de los elementos de un circuito eléctrico Linealidad del resistor La relación de voltaje y corriente de un resistor está determinada por la ley de Ohm como a continuación se muestra:
Sí al resistor se le aplica una corriente , en consecuencia, se tendrá un voltaje resultante , donde . Ahora, sí se le aplica una segunda corriente al mismo resistor, el voltaje resultante para esta segunda corriente es igual a , donde 1
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. Pero si al mismo resistor se le aplica una corriente , la cual está determinada por e , como se muestra en la expresión siguiente: Bajo esta consideración, el voltaje de salida es igual a , entonces: La expresión anterior demuestra que se cumple el principio de aditividad. Por otro lado, si la corriente a:
uno se le pondera por una constante , entonces el voltaje de salida es igual
La expresión anterior demuestra que se cumple el principio de homogeneidad. En conclusión, el resistor es un elemento lineal, porque la relación de voltaje y corriente cumple con el principio de homogeneidad y el principio de aditividad. Linealidad del capacitor En el caso del capacitor la relación de voltaje y corriente está determinada por las expresiones siguientes:
1 Considerando la condición inicial 0, así como la corriente de entrada , por tanto, se tiene la siguiente expresión:
1 2
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1 0 Sí se considera una segunda corriente , bajo la misma condición inicial, se tiene las siguientes expresiones:
1 1 0 Al considerar una tercera corriente formada por la suma de las corrientes e , entonces se tiene lo siguiente:
es igual a: 1 1 1 1
El voltaje de salida
La expresión anterior demuestra que el capacitor cumple con el principio de aditividad. Ahora, si la corriente es igual a:
se le pondera por una constante , entonces el voltaje de salida 1 1
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Por tanto, el capacitor también cumple con el principio de homogeneidad, finalmente se puede decir que el capacitor es un elemento lineal porque cumple con el principio de homogeneidad y aditividad.
Linealidad del inductor
Para el caso del inductor la relación de voltaje y corriente está determinada por las expresiones siguientes:
1 Considerando la corriente de entrada , se tiene la siguiente expresión: Sí se considera una segunda corriente , se tiene la siguiente expresión: Al considerar una tercera corriente formada por la suma de las corrientes e , entonces se tiene lo siguiente:
es igual a:
El voltaje de salida
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La expresión anterior demuestra que el capacitor cumple con el principio de aditividad. Ahora, si la corriente es igual a:
se le pondera por una constante , entonces el voltaje de salida
Por tanto, el capacitor también cumple con el principio de homogeneidad, finalmente se puede decir que el capacitor es un elemento lineal porque cumple con el principio de homogeneidad y aditividad. Ejemplos de circuitos lineales y no lineales Imaginemos un circuito eléctrico formado por un solo resistor, la relación de voltaje y corriente del resistor es la siguiente:
Considerando esta relación de voltaje, si excitamos el circuito con una corriente
el
. Sí se excitael mismo circuito con una señal , entonces el voltaje obtenido es igual a . Para comprobar el principio de aditividad se considera una tercer corriente formada por la suma de las corrientes e , como resultado se obtiene la siguiente expresión del voltaje obtenido: 2 voltaje obtenido es igual a
Por tanto,
En consecuencia, el circuito no cumple con el principio de aditividad. Para comprobar el principio de homogeneidad se pondera la corriente de entrada entonces el voltaje de salida es igual a:
con la constante ,
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La expresión anterior demuestra que el circuito tampoco satisface el principio de homogeneidad. Por las razones anteriores el circuito es un circuito lineal. Las siguientes gráficas muestran la relación de voltaje de un circuito lineal y un circuito no lineal
.
Circuito lineal
Circuito no lineal
4
4
3
3
e j ) a t ( t 2 l v o V
e j ) a t ( t 2 l v o V
1
1
0.5
1.0
i(t) Corriente
1.5
2.0
0.5
1.0
1.5
2.0
i(t) Corriente
En el análisis de circuitos usualmente se recurre a linelizar el circuito para poder realizar dicho análisis desafortunadamente la linealización trae como consecuencia que se pierda información.
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Referencias
[1]
Suresh Kamar, K. S. “Electric Circuits and Networks”, Pearson Education, India, 2009.
[2]
Morales Guillermo, “Análisis de circuitos eléctricos en DC: nueva metodología de enseñanza”, Editorial. Limusa, 2005.
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