UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULT ACULTAD DE INGENIERÍA INGENI ERÍA AMBIENTAL Y DE RECURSOS NATURALES
ESCUELA PROFESIONAL PROFESIONAL DE INGENIERÍA AMBIENTAL AMBIENTAL
CURSO
:
Métodos Numéricos
DOCENTE
:
Mg. Cesar Victoria Barrós
ALUMNA
:
CHÁVEZ MODESTO, Jeie! "erso# EST$C%&N EST$C%&N EST$C%&N, EST$C%&N, Ed'i#s (a) *OS$D$ DE+"$DO, Je##ier Caro!ai# *OZO B(%TO, Stea#o $#dreé *-M$((-M% MED%N$, "ia#e!!a Je##ier
Universidad Nacional del Callao Facultad de Ingeniería Ambiental y De Recursos Naturales MONOGRAFÍA FINA ! IN"AI#ACI$N D" FUNCION"% &O'"NCIA"%
INTRODUCCIÓN Sabemos que muchas de las ecuaciones que describen el comportamiento del movimiento de alguna partícula o de algún contaminante son no-lineales y sólo es posible resolverlas mediante un procedimiento que consiste en aproximar un modelo no lineal por otro que sí lo es y que cumple, por lo tanto, las propiedades
de
los
sistemas
lineales,
en
particular
el
principio
de
superposición. Este procedimiento es la linealización, el cual puede predecir el comportamiento alrededor de un punto de trabao con una cierta exactitud para peque!as oscilaciones alrededor del mismo. "na motivación para la linealización es que el comportamiento din#mico de muchos sistemas no lineales dentro de un rango de variables puede ser aproximado a modelos de sistemas lineales. Siendo ese el caso, podemos usar t$cnicas bien desarrolladas de an#lisis y síntesis de sistemas lineales para analizar un sistema no lineal. %odremos notar que tal aproximación no tendr# validez universal, sino, únicamente en el entorno del punto de &uncionamiento elegido, por lo que su aplicación est# indicada para aquellos sistemas cuyas se!ales su&ren peque!as variaciones alrededor de sus valores de equilibrio. 'ig. ( )epresentación de &unciones
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ÍNDICE
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LA LINEALIZACIÓN *uando se gra&ican datos de dos variables medidas experimentalmente, es &recuente que no se presente una dependencia lineal entre ellas. "sualmente se presentan curvas en las que no es cil decidir el tipo de dependencia que existe entre las variables. En este laboratorio, se van a dar las pautas para decidir si la curva de datos experimentales sigue una tendencia exponencial, es decir donde la relación entre dos variables experimentales medidas se austa a una &unción del tipo
, donde +, * y son constantes reales. %ara
ello, se har# uso del papel semilogarítmico y de las t$cnicas de linealización con base en las propiedades de los logaritmos. En caso de que la tendencia de los datos sea de tipo exponencial, el paso a seguir es determinar los valores de + y , esto solo es posible mientras que *, la base de la potencia, sea conocida.
Fundamentos teóricos
'ig . atos experimentales que aparentan tener tendencia exponencial.
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"na &unción exponencial a primera vista puede reconocerse cuando hay un r#pido crecimiento de una variable a medida que aumenta la otra /exponencial creciente0, o porque una variable tiende asintóticamente hacia un cierto valor constante a medida que se incrementa inde&inidamente la otra /exponencial decreciente0, como se aprecia en la &ig. . Sin embargo, esto no es criterio certero, pues dependiendo de los valores de +, * y , suele ocurrir que el crecimiento o la tendencia asintótica de la &unción no sea tan evidente. %ara decidir este tipo de comportamiento exponencial de manera r#pida suele usarse el papel semilogarítmico /&ig.10.
'ig1. En el papel semilogarítmico mostrado pueden gra&icarse datos que crecen aceleradamente hasta (22.222 /(2 30 veces su valor inicial. Este tipo de papel posee la característica de tener escala milimetrada, o normal, en su ee horizontal y escala exponencial en su ee vertical. e esta &orma, la unidad principal en su ee vertical est# dada por potencias de diez. En la &ig.1 puede observarse cómo gra&icar valores que se extienden verticalmente desde el rango 2.2( hasta (222 unidades.
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*uando se gra&ican datos en un papel semilogarítmico, y su tendencia en este tipo de papel es lineal, puede asegurarse que las variables gra&icadas obedecen a una relación exponencial, como se observa en la &ig.4. El hecho de que al gra&icarse una &unción exponencial en papel semilogarítmico se obtenga una línea recta, se debe a un simple cambio de escala en el ee vertical que produce la impresión visual de una tendencia rectilínea.
'ig4. *omparación entre datos gra&icados en a0 %apel milimetrado y b0 %apel semilogarítmico. "na vez que se obtiene esta tendencia lineal en papel semilogarítmico, el paso a seguir es hallar la ecuación que rige la tendencia de los datos. %ara ello debe linealizarse la &unción expresada en la &ig.4a. 1.
El número de Euler !e sa"e #ue$ %or ser e&%onencial$ la ecuación #ue ri'e esta tendencia est( dada %or) /(0 onde, como se mencionó anteriormente, debe conocerse * de antemano. "na gran variedad de &enómenos &ísicos curiosamente obedece a la base
5.6(77.., el cual es conocido como número de
Euler. Este número irracional es la base de los logaritmos neperianos o naturales.
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%ara &amiliarizarse un poco con este número, se enuncian a continuación algunas de sus propiedades, y se aclara la notación usada. %or eemplo
signi&ica . 6(77.. elevado a la
. +lgunos libros usan la
notación exp/x0 para decir lo mismo. +sí,
representa .6(77...
elevado al cubo, que expresado en &orma de ecuación es8
/.6(77...0152.2733
/0
El logaritmo natural toma como base el número de Euler, esto se puede expresar como loge5ln. +l de&inirse el logaritmo como el número al cual debe elevarse la base para obtener la potencia, la ec. puede expresarse tambi$n así8 loge 2.2733 5 ln 2.2733 5 1 %uede observarse que
/10
y ln x son &unciones inversas, porque se
cumple8 loge e 5 ln e 5 (
/40
Expuestas las propiedades del número de Euler, y debido a su &recuencia de aparición en sinnúmero de &enómenos &ísicos, en lo subsiguiente se usar# este número como base para el tratamiento teórico de este laboratorio. 2.
Lineali*ación de 'r(+icas de +unciones e&%onenciales +doptando como base el número de euler, la ec.( queda expresada como8 /30 9a linealización es una t$cnica matem#tica para hallar la ecuación que rige dos variables dependientes, mediante la trans&ormación de la gr#&ica de la &unción en una línea recta, con el obeto de interpretar el signi&icado &ísico de la pendiente y el intercepto obtenidos. Esto signi&ica
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que en la ec.3 deben hallarse los valores de + y a, e interpretarlos &ísicamente. %ara hallar + y a, se procede a aplicar logaritmos a la ec.3, así8 /:0 Si hacemos una sustitución en la que cambiemos ln y por una nueva variable
, la ec.: se trans&orma en8 /60
9a cual, por comparación con la ecuación general de la recta8 /70 arroa como resultado las siguientes identidades8 /;a0 /;b0 3.
Inter%retación 'r(+ica +nalogía entre una &unción no lineal de cierta curvatura cuya representación lineal es la línea recta que pasa tangente en uno de sus puntos y las ecuaciones que describen un sistema din#mico no lineal cuya representación lineal se obtiene a partir de las derivadas parciales de la misma &unción con respecto a sus variables. *onsidere que una determinada &unción &/t0 es no lineal. %or lo tanto, esta se representa como una gr#&ica con ciertas curvaturas dependiendo de los t$rminos que contenga. El comportamiento no lineal de esta curva obedece a cada uno de los t$rminos que contiene. Suponiendo que se desea analizar la &orma lineal en que se comporta esta curva, entonces se deber
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un sistema din#mico no lineal se realiza de manera similar. 9as ecuaciones de los sistemas no lineales se pueden entender de la misma &orma que se describe este comportamiento gr#&ico de una curva. 9a interpretación gr#&ica de una linealización es encontrar la &orma de la línea tangente en un punto de la &unción de una curva. Este punto se tomar# en cuenta como el punto de operación o el punto de equilibrio. curva x/t0 entonces la tangente en el punto de linealización t 5 t( es x/t(0, y la línea que describe el comportamiento del sistema en dicho punto es la tangente a dicho punto. En una vecindad alrededor de este punto se dice que la tangente no cambia, de igual manera suceder# alrededor del punto de operación para el cual se encuentra la linealización del sistema din#mico. %oner una gr#&ica describiendo esta interpretación usando =atlab.
8igura 5 4.
No linealidades
t,%icas
4.1.
Relaciones matemáticas no lineales. Ejemplo:
9a
relación
entre la
potencia
que
cede una
resistencia el$ctrica y la intensidad que circula por ella es cuadr#tica.
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'igura :.
4.2.
9a salida de un componente puede saturarse a niveles altos de una se!al de entrada. Ejemplos:
-
"n ampli&icador electrónico es lineal en un intervalo especí&ico, pero presenta una saturación a altos voltaes de entrada.
-
El posicionador el$ctrico de una v#lvula no puede abrirse m#s del (22> ni cerrarse menos del 2>.
4.3.
%uede haber una zona muerta /rango de variaciones de entrada en las que el componente es insensible0 que a&ecte a las se!ales de peque!a magnitud Ejemplo:
SEMEST(E /012B 0/
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Si un motor * est# parado se necesita una tensión de alimentación no nula por encima de cierto umbral para que el motor supere la &ricción est#tica y empiece a girar.
4.4.
%ueden existir sistemas con hist$resis. Ejemplo:
?uelgo est#tico en los engranaes entre motor y carga. Sea @, el desplazamiento de la parte in&erior del engranae /motor0 e A el desplazamiento de la parte superior /carga08 -
*uando empieza a moverse el engranae motor en la dirección positiva, hasta que no se ha desplazado una distancia /h0 el engranae de la carga no empieza a moverse, y a partir de ese momento lo hacen de &orma conunta.
-
+lgo similar sucede cuando los engranaes motor y carga se est# moviendo simult#neamente hacia la derecha, y el engranae motor comienza a moverse en la dirección izquierda.
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