-40-
LINGKARAN PENDAHULUAN Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik (himpunan titik-titik) yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Titik tersebut disebut pusat lingkaran, sedangkan jarak yang sama tersebut sering disebut jari-jari (radius) dan dilambangkan dengan r.
1. LINGK LINGKARA ARAN N DENGAN DENGAN PUSAT PUSAT (0,0) (0,0) Y
r P(x , y)
OP = r !
"engan menggunakan rumus jarak #
OP = r ⇒
x 2 + y 2 = r atau
x
2
+
y
2
=
2
r
Persamaan di atas merupakan persamaan lingkaran dengan pusat (,) dan berjari-jari r.
$%nt%h & ' Tentukan pusat pusat dan jari-jari jari-jari lingkaran x 2 + y 2 = 10 aab
' ** ******.
$%nt%h + ' Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik (,) dan melalui titik (-+,) aab
' ******..
LATIHAN SOAL
&.
ambarlah ambarlah pada pada bidang bidang $arte $artesius sius daera daerah h dari himpunan himpunan berikut berikut '
a. b. c.
{ ( x, y ) x { ( x, y ) x { ( x, y ) x
2
+ y 2 = 16}
2
+ y 2 < 16}
2
+ y 2 > 16}
+. Tentukan Tentukan persama persamaan an lingkaran lingkaran dengan dengan pusat pusat O dan dan berjari berjari-jari -jari ' a. b. & /. Tentukan Tentukan persama persamaan an lingkaran lingkaran dengan dengan pusat pusat O dan dan melalui melalui titik titik ' a. (,) b. (-,-/)
Matema Matematik tika a kls XI IPA
-41-
. Tentukan jari-jari lingkaran ' a. x 2 + y 2 = 32
b. 2 x + 2 y = 36 2
2
5.
Tentukan nilai m jika titik (-+,m) terletak pada lingkaran x + y = 13 0
6.
Tentukan nilai m jika titik (m,m) terletak pada lingkaran x 2 + y 2 = 200 0
2
2
1. 2isi-sisi persegi panjang mempunyai persamaan ' y = 3, y = -3, x = 3 dan x = -3. Tentukan persamaan lingkaran ' a. yang menyinggung semua sisi persegi tersebut b. yang melalui semua titik sudut persegi tersebut 8.
Tentukan k%%rdinat titik p%t%ng lingkaran x + y = 100 dengan masing-masing garis berikut, kemudian hitunglah panjang tiap tali busur yang terp%t%ng dari ' a. x = 3 b. y = -4 2
2
2. PERSAMAAN LINGKARAN YANG BERPUSAT DI TITIK (a,b)
Y r
P(x,y)
5(a,b)
!
"engan menggunakan rumus jarak akan didapat '
( x − a) 2 + ( y − b) 2 = r 2 Persamaan di atas merupakan persamaan lingkaran dengan pusat (a,b) dan berjari-jari r. 6umus di atas bisa juga didapat dari pergeseran persamaan lingkaran dengan pusat (,) sebesar a b . $%nt%h & ' Tentukan pusat dan jari-jari dari lingkaran ( x − 3) + ( y + 5) = 100 2
aab
2
' *******.
$%nt%h + ' Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (-+,/) dan melalui titik (,) aab
' ******..
Matematika kls XI IPA
-42-
3. PERSAMAAN UMUM LINGKARAN Pada persamaan lingkaran dengan pusat (a,b) dan berjari-jari r jika diuraikan maka akan didapat persamaan umum lingkaran. 2 2 2 2 2 2 2 2 ( x − a) + ( y − b) = r ⇔ x + y − 2ax − 2by + a + b − r = 0 5isal ' − 2a = A,
− 2b = B dan a 2 + b 2 − r 2 = C maka persamaan di atas menjadi '
x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0 Yang merupakan persamaan umum lingkaran dengan pusat ( −
r =
(−
1 2
1 2
A,− 12 B ) dan berjari-jari
A) 2+ ( − 12 B ) 2 − C
$%nt%h / ' Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran x 2 + y 2 + 10 x − 8 y − 8 = 0 aab
' *****..
LATIHAN SOAL
&.
Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat (-,+) dan berjari-jari 4 0
+. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat (-+,) dan melalui titik (,/) 0 /. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran ' a. ( x − 1) 2+ ( y + 3) 2 = 25
b.
( x − 5) 2 + y 2 = 2
. Tentukan persamaan lingkaran yang menyinggung sumbu ! dan sumbu Y serta mempunyai jari-jari 0 . Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (/,-) dan menyinggung sumbu Y 0 4. Tentukan persamaan lingkaran yang berjari-jari + dan menyinggung sumbu ! negati7 dan sumbu Y p%siti7 0 1. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran ' a. x 2 + y 2 − 4 x + 8 y − 5 = 0
b. x 2 + y 2 + 6 x = 0 3. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik-titik 8(/,&), 9(-+,4) dan $(-,-/) 0 :. "iketahui segitiga 89$ dengan 8(,-&), 9(+,/) dan $(&,4). Tentukan persamaan lingkaran luar segitiga 89$ 0
Matematika kls XI IPA
-43-
4. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN 4.1Pe!a"aa# Ga$! S$#%%&#% 'a#% Mea&$ T$$* Pa+a L$#%*aa# Y
P ( x1 , y1 )
! g
aris g menyinggung lingkaran dengan pusat dan berjari-jari r. y1 x1 radien garis OP adalah , sehingga gradien garis g karena tegak lurus dengan OP adalah . x1 y1 adi persamaan garis g dengan gradien -
y − y1 = −
x1 y1
x1 y1
dan melalui titik P ( x1 , y1 ) adalah '
( x − x1 ) ⇔ x1 x + y1 y = x1 + y1 2
2
;arena x1 + y1 = r 2 maka persamaan garis singgung g adalah ' 2
2
x1 x + y1 y = r
2
$%nt%h & ' Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x + y = 10 di titik (/,&) 2
aab
2
' *****.
Persamaan garis singgung pada lingkaran ( x − a) + ( y − b) = r di titik P ( x1 , y1 ) adalah ' 2
2
2
( x1 − a ) ( x − a ) + ( y1 − b ) ( y − b ) = r 2
4.2Pe!a"aa# Ga$! S$#%%&#% L$#%*aa# +e#%a# Ga+$e# " g Y
Matematika kls XI IPA
Persamaan garis g misalnya y = mx < disubstitusikan ke persamaan lingkaran 2 2 2 x + y = r maka dengan syarat garis menyinggung kur>a yaitu " = akan didapat !
c = ± r m 2 + 1
-44-
y = mx ± r
adi persamaan garis singgung g adalah '
m +1 2
$%nt%h + ' Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x + y = 16 yang sejajar garis y = 2 x − 1 2
aab
2
' radien y = 2 x − 1 adalah m1 = + maka gradien garis singgung pada lingkaran adalah
m2 = m1 = 2 Persamaan garis singgung pada lingkaran x 2 + y 2 = 16 dengan gradien + adalah ' 2 y = 2 x ± 4 2 + 1 atau y = 2 x ± 4 5
4.3 Pe!a"aa# Ga$! S$#%%&#% Mea&$ T$$* D$ L&a L$#%*aa# $%nt%h / ' Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x 2 + y 2 = 13 yang melalui titik (,&) aab
2 2 ' 5isal titik singgungnya ( x1 , y1 ) pada lingkaran x + y = 13 , maka persamaan garis
singgungnya adalah x1 x + y1 y = 13 . Persamaan garis singgung tersebut melalui titik (,&) maka 5 x1 + y1 = 13 *** (&) 2 2 Titik ( x1 , y1 ) pada lingkaran x 2 + y 2 = 13 maka x1 + y1 = 13 ***** (+) 2ubstitusi (&) ke (+) '
x1 + (13 − 5 x1 ) 2 = 13 ⇔ ( x1 − 2 ) ( x1 − 3) = 0 ⇒ x1 = 2 atau x2 = 3 2
2ubstitusi x1 = 2 dan x2 = 3 ke y1 = 13 − 5 x1 sehingga didapat titik singgung (+,/) dan (/,-+). Persamaan garis singgung di titik (+,/) adalah +x < /y = &/ Persamaan garis singgung di tiitk (/,-+) adalah /x ? +y = &/
LATIHAN SOAL 1.
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x + y = 10 di titik (-/,-&) 0
2.
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran
3.
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran ( x + 2) 2 + ( y − 3) 2 = 25 di titik (+,4) 0
4.
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x 2 + y 2 + 6 x − 4 y = 45 di titik (+,4) 0
5.
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x + y = 25 yang bergradien
2
x
2
2
2
+
y
2
=
169 yang
2
berabsis 0
4 3
0
6.
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x + y = 25 yang tegak lurus garis x ? /y = 4 0
7.
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran ( x + 1) + ( y − 5) = 10 yang bergradien ?/ 0
2
Matematika kls XI IPA
2
2
2
-45-
8.
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x 2 + y 2 − 6 x + 2 y − 6 = 0 yang bergradien
1 2
0
9.
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x 2 + y 2 = 25 yang melalui titik (1,&) 0
10.
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x 2 + y 2 − 4 y − 20 = 0 yang melalui titik (-+,) 0
Matematika kls XI IPA
