Prof. Judith Margarita Tirado Lule
ALGEBRA LINEAL
LISTA DE EJERCICIOS
SISTEMAS DE ECUACIONES 1. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones aplicando el método de Gauss: x1 2 x2 3 x3 x4 0 2 x 3 y 1 2 x1 5 x2 8 a) 2 x y 3 b) x1 14 x3 8 x4 15 x - 3y -2 - 2 x1 3 x2 14 x3 2 x4 10 2. 45 marineros de la Academia Naval a bordo de un bote con 15 miembros de la tripulación tienen alimentos para 30 días. 12 días después, rescatan a 10 personas en una lancha inflable con alimentos para 4 días. ¿Cuánto tiempo durará el suministro total de alimentos, si al personal en el bote se le da la misma ración? Sol. 16 días.
3. Una tienda de helados vende sólo helados con soda y malteadas. Se pone 1 onza de jarabe y 4 onzas de helado en un helado con soda, y 1 onza de jarabe y 3 onzas de helado en una malteada. Si la tienda usa 4 galones de helado y 5 cuartos de jarabe en un día, ¿Cuántos helados con soda y cuántas malteadas vende? (1 cuarto = 32onzas; 1 galón = 128 onzas) Sol. 32 sodas y 128 malteadas 4. Supón que la matriz es el resultado de una reducción Gaussiana ¿Cuántas soluciones tiene el sistema? ¿Cuáles son?
1 2 4 a) 0 1 6 0 0 0
1 7 / 2 5 / 2 b) 0 1 3 / 4 0 2 0
0 1 2 3 c) 0 0 0 0 0 0 0 0
5. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones aplicando el método de Gauss-Jordan x1 2 x 2 3 x3 11
a)
4 x1 x 2 x3 4
x1 x 2 x3 7
b)
2 x1 x 2 3 x3 10
2 x1 2 x 2 3 x3 0
2 x 2 5 x3 6
c)
x1 2 x3 4
2 x1 6 x2 4 x3 2 x 4 4
d)
2 x1 4 x 2 2
2 x1 4 x2 3 x3 0
5 x1 13 x 2 10 x3 0
x1 x3 x 4 5
3 x1 2 x 2 2 x3 2
x1 x 2 x3 0
e)
4 x1 x 2 5 x3 9
x1 x 2 4
f)
2 x1 3 x 2 7 3 x1 2 x 2 2
1
x1 2 x 2 x3 x 4 2
g)
3 x1 2 x 3 2 x 4 5 4 x 2 x3 x 4 1
2 x1 x 2 0
h)
x1 6 x 2 2 x3 7 6. Dado el sistema de ecuaciones lineales
3 x1 5 x 2 0 7 x1 3 x 2 0
2 x1 3 x 2 0 ax by 0,
cx dy 0
a) Muestra que si x x0 , y y0 es una solución, entonces para todo k , x kx0 , y ky0 también es solución b) Muestra que si x x0 , y y0 y x x1 , y y1 son dos soluciones, entonces x x0 x1 , y y0 y1 también es solución 7. Muestra que el sistema es inconsistente si c 2a 3b 2 x1 x 2 3 x3 a 3 x1 x 2 5 x3 b
5 x1 5 x 2 21 x3 c 8. Dado el sistema 2 x y 5 , 4 x 2 y t . Determina t de modo que el sistema: a) Tenga solución única b) Tenga una infinidad de soluciones c) No tenga solución 9. ¿Para que valor de k tendrá soluciones no triviales el siguiente sistema? 2 x1 3 x2 5 x3 0
x1 7 x2 x3 0 4 x1 11 x2 kx3 0
10. Encuentra la ecuación del polinomio de grado dos cuya gráfica pasa por los puntos: a) (1,0), (-1,6) y (2,0) b) (1,14). (2,22) y (3,32) 11. Balancea la ecuación química de cada reacción. a) FeS2 + 02 Fe2O3 + SO2 b) C7H6O2 + O2 H2O + CO2 c) Na2CO3 + C + N 2 NaCN + CO 12. En la figura 1 se muestra una red de acequias de irrigación con los flujos medidos en millares de litros por día. a) Establece y resuelve un sistema de ecuaciones lineales para hallar los flujos posibles f 1, f 2 , f 3 , f 4. y f 5. b) ¿Cuáles son los posibles flujos mínimo y máximo en cada tubería? c) Supongamos que DC está cerrado. ¿Qué amplitud de flujo necesitará ser mantenida a través de DB?
2
13. El centro de Ciudad Gótica se compone de calles de un solo sentido, y se ha medido el flujo de tránsito en cada intersección. En el área de la ciudad que aparece en la figura 2, las cifras representan el número promedio de vehículos por minuto que entran y salen de los puntos de intersección A, B, C. y D durante las horas de trabajo. a) Establece y resuelve un sistema de ecuaciones lineales para hallar los flujos posibles f 1, f 2 , f 3 y f 4. b) Si el tránsito es regulado en CD de manera que f 4 = 10 vehículos por minuto, ¿Cuáles serán los flujos promedio en las otras calles? c) ¿Cuáles son los posibles flujos mínimo y máximo en cada calle? d) ¿Cómo cambiaría la solución si todas las direcciones fueran invertidas? 100
A 10
20
2
1
10
5
A
150
B
1
B 2
3
3 4
15
4
15
D 5
150
C
200 10
D
C
15
Figura 1 Figura 2
14. Encuentra la descomposición en fracciones parciales de la siguiente igualdad. x 1 A Bx C Dx E ( x 1)( x 2 1)( x 2 4)
x 1
x 2 1
x 2 4
15. Realiza la descomposición en fracciones parciales de:
6 x 2 15 x 22 ( x 3)( x 2 2) 2
16. Un padre desea distribuir sus bienes raíces, cuyo valor es de $234, 000, entre sus 4 hijas, de la manera siguiente: 2/3 de las propiedades deben dividirse por igual entre las hijas. Para el resto, cada hija debe recibir $3,000 cada año hasta su vigésimo primer cumpleaños. Como entre ellas se llevan 3 años ¿Cuánto recibirá cada una de los bienes de su padre? ¿Qué edades tienen ahora las hijas? 17. Un comerciante internacional necesita, en promedio, cantidades fijas de yenes japoneses, francos franceses y marcos alemanes para cada uno de sus viajes de negocios. Este año viajó 3 veces. La primera cambio un total de $2,400 a la siguiente paridad: 100 yenes, 1.5 francos y 1.2 marcos por dólar. La segunda vez cambio un total de $2,350 con las siguientes tasas: 100 yenes, 1.2 francos y 1.5 marcos por dólar. La tercera vez cambio $2,390 en total a 125 yenes, 1.2 francos y 1.2 marcos por dólar respectivamente. ¿Qué cantidad de yenes, francos y marcos compró cada vez? Sol. 80000 yenes, 900 francos y 1200 marcos. 18. En un zoológico hay aves (de dos patas) y bestias (de cuatro patas). Si el zoológico contiene 60 cabezas y 200 patas ¿Cuántas aves y cuántas bestias viven en él?
3
MATRICES 3 1 2 3 y B , resuelve la siguiente ecuación para X: 4 2 1 1
19. Dadas las matrices A
3(2A + B + X) = 5(X – A + B) 20. a) Si A = (r, 1, -2)
y B = (1, 3, -1) determina un valor de r de modo que ABT=0.
b) Si A=(1, r, 1) y B=(-2,2,5) para que valores de r ABT = 0
Sol. a) r=-5
b) r= 1
21. Si x es un vector de tamaño n. a) ¿Es posible que x•x sea negativo? b) Si x•x=0 ¿Quién es el vector x? 22. Sean Amxn con entradas reales, muestra que si AAT=0mxm entonces A=0mxn 23. Si A y B son matrices diagonales nxn ¿Es cierto que AB=BA? 24. Encuentra la matriz resultante 2 3 4 1 8 20 i ) Sol. - 1 2 0 6 - 4 11
1 ii ) 0 - 2 1 iii) - 2 1
6
7
4
2
3 4
1
4
3 5
6 2
3 5 1 0 4 2
3 5 0 6 3 1
18 15 35 Sol. 9 21 13 10 9 9
x encuentra un vector no nulo b tal que Ab = 6b y 8 6 0 2 I 26. Encuentra la matriz A 2x2 tal que A 1 3
2
25. Sea A
6
27. Sean a11, a12, a21, y a22 números reales dados tales que a11a22 – a12a21 ≠ 0. Encuentra la a11 a12 B I matriz B tal que a a 22 21 28. Se dice que u y v son ortogonales si u•v=0 ¿Cuáles de los siguientes vectores son ortogonales? a) (2,-3) , (3,2) b) (1, 4, -7) , (2, 3, 2) c) (1, 0, 1, 0) , (0, 1, 0, 1) d) (a, 0, b, 0, c) , (0, d, 0, e, 0)
4
29. a)Determina el número α tal que (1, -2, 3, 5) es ortogonal a (-4, α, 6,-1) b) Determina los números α y β tales que (1, α, 2, 3) y (4, 5, -β, 7) son ortogonales.
1 3 0 30. Si A 4 5 1 , 3 8 0
1 1 - 2 2 0 - 2 B 3 0 4 , C 4 7 - 5 determina, sin calcular toda -1 3 2 1 0 -1
la matriz, los siguientes elementos de la matriz D=2(AB)+C2 a) d11 b) d21 c) d32
Sol. a) -14
31. A4x2 , B2x6, C3x4 , D6x3 determina el tamaño de los productos siguientes: a) ABC b) ABD c) CAB d) DCAB e) A 2DCB 32. Si n es un entero positivo y A y B matrices tales que AB=BA demuestra que (AB)n=AnBn 33. Sean A y B matrices diagonales del mismo tamaño. Demuestra que: a) A+B es diagonal b) cA es diagonal c) AB es diagonal 34. Si A y B son matrices diagonales del mismo tamaño, demuestra que AB=BA 35. Sean A y B dos matrices nxn. ¿Qué condiciones deben cumplir A y B para que (A + B)2 = A2 + 2AB + B2?
DETERMINANTES 1 1 0 36. Si A 2
1 4
1
5 6
encuentra A
a) expandiendo por cofactores por la fila 2 b)usando el método pivotal c) usando el esquema de Sarrus 37. Si A=diag(a1, a2,…, an) y B= diag(b1, b2,…, bn) demuestra que |AB|=|A||B|
5
38. Si
a11 a) 2a21 a31
a11
a12
a13
a21
a22
a23 8
a31
a32
a33
Evalúa los siguientes determinantes
3a11 3a12 3a13
a12
a13
2a22
2a23
a32
a33
Sol. 16
2a11 3a21
2a12 3a22
2 a13 3a 23
a31
a32
a33
a21
a22
a 23
c)
b) 2a 21
2a 22
2a 23
5a31
5a32
5a33
Sol. -240
Sol. -16
39. Usando las propiedades encuentra el determinante de las siguientes matrices: 2 -1
0
4
1
3
1
-1
2
0
a) 3
2
-2
5
1
0
0
4
-1 6
3
2
1
-1 1
c)
-2
0
0
1
2 -1 4
3
0
-1 5
4
2
3
Sol. 138
-2
3 1
b) 4
6 5
0
2 1
7 Sol. 274
d)
0
2
2
3
-2 1
5
-2
0
1
-3
8
-2 6
4
Sol.
1
40. Para que valores de a ocurre que 0 1 3 1
3a
0 14
a
2
a
2
4
3 -4
a
1
0
4
0
0
1
Sol.
-30
41. Demuestra que en general no se cumple que |A+B|=|A|+|B| 42. Demuestra que si A es triangular, entonces |A|≠0 si y solo si todos los elementos en s u diagonal son diferentes de cero. 43. Utiliza operaciones elementales por renglón para verificar que: a b 1 a
a 1 b
a) b c 1 b b 1 c ca 1 c
c 1 a
b)
1 a
bc
1 a
a2
1 b
ca 1 b
b2
1 c
ab
c2
1 c
6
INVERSA DE UNA MATRIZ 44. Usa determinantes para encontrar si la matriz es no singular, calcula la inversa por el método de Gauss-Jordan en los casos que sea posible.
4 7 1 3
- 3
a)
b)
6
2 4 - 7 e) 0 1 3 0 0 9
1
- 1
6 4 3 2
7 2 3 1
c)
1 2 3 f) 2 4 6 7 3 - 1
d)
1 - 2 3 g) 4 - 3 2 1 -1 1
45. Encuentra la inversa de la matriz, con la definición A 1 1 2 3 b) 0 1 2 4 5 3
1 4 a) 3 2
1 A
Adj ( A)
0 3 3 c) 1 2 3 1 4 6
46. Para que valores de K la matriz las siguientes matrices son invertibles: 3 k - k k k 0 a) A 0 k 1 1 b) B k 2 2 k k - 8 k - 1 0 k k 47. Resuelve el sistema usando la Regla de Cramer: a)
1
x
2 x1
3 x1
3x 2
4x 3
3
6x 2
9x 3
5
x 2 - 2x 3
7
b)
1
2x 2
x3
9
1
3x 2
x3
4
x
x
1
x
4x 2
x3
7
48. Un mercader cafetero vende tres mezclas de café. Una bolsa de la mezcla de la casa contiene 300gramos de grano colombiano y 200 gramos de grano francés tostado. Una bolsa de la mezcla especial contiene 200 gramos de grano colombiano, 200 gramos de la variedad de Kenia y 100 gramos de grano francés tostado. Una bolsa de la mezcla gourmet contiene 100 gramos de grano colombiano, 200 gramos de grano de Kenia y 200 gramos de francés tostado. El comerciante tiene disponibles 30 kilos de grano de Colombia, 15 kilos del de Kenia y 25 kilos del café tostado de Francia. Si deseamos utilizar la totalidad de los granos, ¿Cuántas bolsas de cada tipo de mezcla pueden hacerse? a) Plantea el sistema de ecuaciones. b) Escribe el sistema en forma matricial. c) Encuentra la solución utilizando la inversa de la matriz de coeficientes. 49. “Manufacturas PATITO S.A. de C.V.” fabrica tr es tipos de computadora personal: Ciclón, Cíclope y Cicloide. Para armar una Ciclón se necesitan 10 horas, otras 2 para probar sus componentes y 2 horas más para instalar sus programas. El tiempo requerido para la Cíclope es de 12 horas en su ensamblado, 2.5 para probar y 2 horas para instalarla. La Cicloide, que es la más sencilla de la línea, necesita 6 horas de armado, 1.5 horas de prueba y 1.5 horas de instalación. Si la fábrica de esta empresa dispone de 1560 horas para armar, 340 horas para probar y 320 horas para instalar. ¿Cuántas PC de cada tipo puede producir en un mes? 7
a) Plantea el sistema de ecuaciones b) Escribe el sistema en forma matricial c) Encuentra la solución utilizando la inversa de la matriz de coeficientes por el método de la adjunta de una matriz.
ESPACIO VECTORIAL 50. Sea V el conjunto de todos los números reales con las operaciones u v = 2u − v, y c•u = cu. ¿Es V un espacio vectorial? Si la respuesta es si pruébalo, si la respuesta es no da un contraejemplo de alguna propiedad que no se cumpla. 51. Sea R con operaciones definidas como α•x=α(x) y x y= max(x,y) ¿Es un espacio vectorial? 52. V= R con u v = u – v (resta ordinaria) y c•u = cu (multiplicación ordinaria) ¿Es V un espacio vectorial?
SUBESPACIOS VECTORIALES 53. Determina si W es un subespacio vectorial de M2x2 a b a a) W | a , b b) W b a c
a b | ad 0 c d
b
| a d 1 d
a b | a d 0 c d
c) W
d) W
54. Si V1 y V2 son subespacios de Rn, demuestra que V1∩V2 es un subespacio vectorial de n
R
55. Si W1 y W2 son subespacios vectoriales de V y W1+W2 es el conjunto de todos los vectores v V tales que v = w1+w2 donde w1 W1 y w2 W2. Demuestra W1+W2 es un subespacio vectorial de V.
ESPACIO GENERADO 56. ¿Es v una combinación lineal de los vectores dados? a) v (2,1, 5);
5 1 ; 1 9
b) v
v1 (1, 2,1),
v 2 (1, 0, 2),
1 1 , 0 3
v1
v3 (1,1, 0)
1 1 , 0 2
v2
2 2 1 1
v3
8
a 2b ; 4 a 3 b
c) v
1 d) v 2 ; 0
1 , 4
v1
1 v1 1 , 1
2 3
v2
0 v 2 1 1
57. Describe el conjunto V de todas las combinaciones lineales de los vectores dados: a) (1, 0), (0, 1) b) (1, 0, 0), (0, 1, 0) 58. Calcula el o los valores de k tales que k sea 2 2k
a)
una combinación lineal de
0 y 2 1
1 0 k
0 sea una combinación lineal de las columnas de 1
b)
1 k 1 0 k 0
59. En P2 sean v1=2t2 + t + 2, v2=t2 – 2t, v3=5t2 – 5t + 2, Si u= t2 + t + 2 ¿Está u en gen{ v1, v2, v3, v4}?
v4= – t2 – 3t – 2.
60. Prueba que si S1={v1, v2,…, vn, vn+1}genera un espacio vectorial V y vn+1 es una c. l. de {v1, v2,…, vn} entonces S2={v1, v2,…, vn} también genera a V. 61. Sea V un espacio vectorial tal que gen{v1, v2}=V. Sean u1, u2 V tales que u1=a1v1+a2v2 y u2=b1v1+b2v2 en donde a1 b2 – a2 b1 ≠0. Prueba que gen{u1, u2}= V 62. Demuestra que para cualesquiera vectores u, v de un espacio vectorial V gen{u, v}= gen {u+v, u-v} 63. a) Escribe tres vectores en el subespacio de R3 generado por los vectores (1,2,3), (1,2,0). c) Escribe tres vectores en el subespacio de R2 generado por el vector (1, 2). 64. Sea U el subespacio R3 generado por los vectores (1, 2, 3) y (-1, 2, 5). Sea V el subespacio de R3 generado por los vectores (1,6,11) y (2, 0, -2). Demuestra que U = V 65. Proporciona tres funciones del espacio vectorial generado por g(x) = 2x2 + 3 y h(x) = x2 + 3x – 1 66. Sean v, v1 y v2 vectores en un espacio vectorial V. Sea v una combinación lineal de v1 y v2. Si c1 y c2 son escalares distintos de cero, demuestra que v también es una combinación lineal de c1v1 y c2v2
INDEPENDENCIA LINEAL 67. Determina si los vectores son linealmente independientes o linealmente dependientes. a) v1 = (-1, 1, 0, 0), v2 = (-2, 0, 1, 1) b) v1 = (1, 0, 1, 2), v2 = (0, 1, 1, 2 ), v3 = (1, 1, 1, 3), c) v1 = (1, 2, -1), v2 = (1, -2, 1), v3 = (-3, 2, -1), v4 = (2, 0, 0) 9
d) P1 = t2 + t + 2, P2 = 2t2 + t, P3 = 3t2 + 2t + 2 e) x1 = (1, 2, 0, 1), x2 = (1, 0, -1, 1), x3 = (1, 6, 2, 0) 68. Encuentra el o los valores de t para los cuales son l.i. los conjuntos siguientes: a) {(3, t), (6, t-1)} b) {(2, -t), (2t+6, 4t)} 69. Determina si los conjuntos siguientes son l.i. o l.d. a) {f, g, h} con f(x) = 2x2 +1,
g(x) = x2 + 4x,
1 0 0 2 0 0 0 0 , , , 0 0 0 0 3 0 0 4
h(x) = x2 – 4x + 1
1 2 1 2 1 2 , , 1 0 1 1 5 3
b)
c)
70. Sea {v1, v2, v3} l.i. en V. Sea α un escalar distinto de cero, demuestra que los siguientes conjuntos son l.i. a) {v1, v1+v2, v3} b) {v1, α v2, v3} c) {v1, v1 + α v2, v3} 71. Sea {v1, v2} l.i. en V. Demuestra que si v3 no tiene la forma conjunto {v1, v2, v3} es l.i.
av1 + bv2 entonces el
BASES Y DIMENSIONES 72. Di si los vectores dados forman una base para el espacio vectorial V. a) v1= (1, 0, 1, 0) v2= (0, 1, -1, 2) v3 = (0, 2, 2, 1) V = R4
1 0 0 0
b) v1
c) v1= 1 – x2, d) v1 = x2 – 1,
0 1 0 0
v2
v2 = x v2 = x – 2,
0 0 1 0
v3
0 0 0 1
v4
V=M2x2
V = P2 v3 = x2 – 3
V = P2
e) Encuentra una base en R3 para e l conjunto de vectores en el plano 2x – y – z = 0 f) v1 = (1, 1, 1)
v2 = (0, 1, 2)
v3 = (3, 0, 1)
V = R3
73. Encuentra una base y la dimensión para el espacio solución del sistema homogéneo Ax = 0 dado: a) x – y = 0 b) x – 3y + z = 0 c) 2x – 6y + 4z = 0 – 2x + 2y = 0 – 2x + 2y – 3z = 0 – x + 3y – 2z = 0 4x – 8y + 5z = 0 – 3x + 9y – 6z = 0 74. a) Encuentra una base de R2que incluya al vector (1, 2) b) Encuentra una base de R3 que incluya a los vectores (-1, 0, 2) y (0, 1, 1) 75. ¿El conjunto de vectores {(1, 2, 1), (2, 1, 3), (3, 3, 4), (1, 2, 0)} generan a R3? si es así ¿Cuáles son los vectores que están en la base?
10
76. Sea S {v1 , v2 , v3, v4 , v5 } un conjunto de vectores en R4, donde v1 (1, 2, 2,1), v2 (3, 3, 9, 6), v3 (2,1,1, 1), v4 (3, 0, 4,5) y v5 (9,3,7, 6). Determina una base para el conjunto generado por S . 77. Considera los vectores w1 (1, 1,3) y w2 (4,1,6) del espacio vectorial R3. Determina el espacio vectorial generado por estos vectores. 78. Determina una base para cada subespacio de R3, indicando también su dimensión. a) { v | v = (a, a, 2a) con a R } b) { v | v = (a, 2b, a+3b) con a, b R} c) { v | v = (a, b, c) con a+b+c=0 y a, b, c R } 79. Sea u = (u1, u2) un vector distinto de cero en R2. Demuestra que el conjunto de vectores ortogonales a u forman un subespacio de dimensión uno de R3. [Se dice que dos vectores son ortogonales cuando el producto punto entre ellos da como resultado el cero. Si v = (a, b) y w = (c, d) se dice que v y w son ortogonales si y solo si v•w = 0] 80. ¿Para qué valores de a los vectores (a, 1, 0), (1, 0, a), (1+a, 1, a) forman una base para 3 R ? 81. Determina una base para el espacio nulo de (λI3 – A)x = 0 si λ = – 2 y 3 0 1
A 2
0
1 0
0 2
82. Determina una base para el espacio generado por los renglones de la matriz 1 2 0 3 4
3 A 2 1
2
8
1
3
7
2
2
0
4
4 ¿Cuál es la dimensión de tal espacio? 3
3
83. Encuentra el rango y la nulidad de A 1 2 0 1 1 -2 2 3 0 1 2 a) b) -1 -1 0 1 2 3 0 3 0 1 6 0 -1 5
1 4 3 12 d) 2 1 0 1
1 6 3 0 1 3 1 2
3 7 2 5 c) 5 1 3 0
3
5 3
4
2 4 0 1 e) 1 0 3 2 2 1 7 1
11
CAMBIO DE BASE 84. Deduce el polinomio P, a partir de la base B de
Pn y
el vector de coordenadas PB .
- 3 a) B 1 2x , 5x, PB 6
b) B 1 x 2x 2 , x 2 , 1 2x , PB
4 3 -2
a c) B 2 2x , 3 3x, PB b 85. Calcula el vector de coordenadas PB a partir de la base B y el vector P. a) B 7 4 x , 2 3 x , P 17 6 x b) B 1 2 x 2 x 2 , 2 x x 2 , 1 2 x ,
P 1 6 x 8 x 2
1 1 1 0 2 0 1 2 , 0 0 , 1 0 , 3 4 una base de M 2 x 2 Calcula: 0 0 4 3 a) M si M B 8 10 4 -1 b) El vector de coordenadas de M si: M -4 -4
86. Sea B
87. Encuentra la matriz de transición de v1 , v 2 a w 1 , w 2 si v1 1,1 , v 2 1,2 , w 1 1,3 y w 2 1,4 88. Si S 1, 2,1 , 0,1,1 , 2, 2,1 y T 1,1, 0 , 0,1, 0 , 0,1,1 son bases para R3
2 y si v S 0 1 a) Encuentra T T S y T S T b) Usando a) encuentra vT c) ¿Cuánto vale T T S T S T ? 89. Si S v1 , v 2 y T t, t 1 son dos bases para P 1 y la matriz de transición de S a T es
2 3 encuentra los vectores de S. 1 2 12
90. Usando el método de Gram-Schmidt determina una base ortonormal para V si: 3 0 2 4 1 0 2 2 a) V gen 2 , 2 b) V gen , , 1 5 1 1 2 1 0 2
1 2 91. Construye una base ortonormal para R 3 que contenga los vectores v1 2 y v2 3 1 1
TRANSFORMACIÓN LINEAL. 92. Determina cuales de las siguientes transformaciones son lineales. a) T : R2 R con T x, y x y b) T : R2 R3 con T x, y x, y, z cuando i) z 0 ,
ii) z 1
c) T : R R3 con T x x, 2 x,3x d) T : R2 R 2 con T x, y x 2 , y e) T : R3 R3 con T x, y, z x 2 y, x y z ,3z
1 2 93. Sea T : R2 R3 definida por la matriz A 1 3 encuentra la imagen de 1 2 1 3 5 x , y , z 1 2 2 94. Sean T1 u A1u y T2 u A2u definidas por las matrices
A1
y
A2 .
Sea T T1 T 2 .
Encuentra la matriz que define T y utilízala para determinar la imagen del vector x bajo T : 1 2 1 0 5 a) A1 , A2 , x 3 0 1 5 2
2 2 3 2 1 1 , x 3 b) A1 , A 2 2 0 1 0 4 95. Sean U , V y
W
espacios vectoriales. Sean T1 U V y T2 : V W dos
transformaciones lineales. ¿Es igual T1 T 2 y T2 T 1 ? 96. a) Comprueba que T : R m R m tal que T x x b con b 0 es no lineal. (Esta es la traslación de R m ).
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b) Determina la dimensión de A y b y demuestra que T : R n R m tal que T u Au b con b 0 no es lineal. (A esta transformación se le llama transformación afín).
NÚCLEO, IMAGEN E ISOMORFISMO. 97. Considera las siguientes transformaciones lineales. Determina el rango y la imagen de cada una de ellas y demuestra que dim ker T dim imagen T dim V . Menciona cual(es) es (son) una transformación lineal. a) T : R 2 R3 definida por T x, y x 2 y, 2 x 4 y, 0 b) T : P3 P 2 definida por T a bx cx 2 dx3 a b b d x c d x 2 c) T : R 2 R4 definida por T x, y 2 x y , x y, x y , x 2 y
x 1 2 3 x d) T : R3 R3 definida por T y 2 2 3 y z 3 3 3 z 98. Si
B es
una matriz n n , demuestra que L : M nn M nn tal que L A AB es un
isomorfismo.
REPRESENTACIÓN MATRICIAL DE UNA T. L. 99. Sea T : V W una transformación lineal y sean respectivamente. Encuentra la matriz siguientes transformaciones lineales.
L con
B1
respecto a
y
B2
B1
y
las bases para B2 para
V
y
W
cada una de las
1 0 0 x y x 2 1 a) T : R 2 R3 tal que T x y con B1 , y B2 0 , 1 , 0 y 5 1 0 0 1 2 x 3 y 1 1 1 x 2 x y z b) T : R3 R2 tal que con B1 0 , 1 , 1 T y 1 0 1 z y 3z 1 2 B2 , 1 3
y
1 0 0 x y x 2 1 c) T : R 2 R3 tal que T 2 x y con B1 , y B2 1 , 2 , 2 y y 1 2 0 0 5 100.Sea L : P1 P 2 definida como L P t tP t . a) Determina la matriz de para
L con
respecto a las bases
S y T con
S t ,1 y T t 2 , t ,1
y P 2 respectivamente. P 1
b) Si P t 3t 2 encuentra L P t usando el inciso a) 14
VALORES Y VECTORES PROPIOS, DIAGONALIZACIÓN. 101.Calcula los valores, vectores propios y espacios propios de las siguientes matrices.
1 1 b) 1 2 0 1 4 1 2 3 d) 2 1 2 1
2 2 a) 5 1 5 4 2 c) 4 5 2 2 2 2
0
1 1 0
1
0 2
1 3
0
5
102.Demuestra que si A es una matriz diagonal, entonces los valores propios de componentes de la diagonal de A . 103.En los siguientes problemas determina si la matriz encuentra las matrices C y D tales que C 1 AC D .
- 5
1
3 0 0 c) A 0 0 1 0 0 2 - 3 - 7 - 5 e) A 2 4 3 1 2 2 104.Demuestra que si C . 105.Si
A es
A es
semejante a
las
es diagonalizable. Si lo es,
1 1 2 b) A 1 2 1 0 1 1 7 - 2 - 4 d) A 3 0 - 2 6 - 2 - 3 2 2 0 0 5 1 0 0 e) A 0 0 2 1 0 5 2 0
- 2 - 2
a) A
A
A son
B y B
es semejante a
C ,
entonces
A es
semejante a
semejante a B , demuestra que det A det B
106. Demuestra que si los valores propios de A son de A son
1 , 2 ,..., k
entonces los valores propios
1 , 2 ,..., k
- 1 0 Calcula D22 0 1
107. Sea D
108. Demuestra que si A es semejante a B entonces An es semejante a Bn para todo n N 109. Si A es diagonalizable encuentra Am
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- 2 0 3 110. Utiliza la diagonalización para encontrar A2, A3 y An con A 0 1 0 3 0 - 2
DIAGONALIZACIÓN ORTOGONAL 111. En los siguientes problemas encuentra la matriz Q que diagonaliza ortogonalmente a la matriz A y verifica que Qt AQ D , es una matriz diagonal cuyas componentes diagonales son los valores propios de A 3 4 1 1 a) A b) A 1 1 4 3
3 2 2 c) A 2 2 0 2 0 4
1 2 2 d) A 2 1 2 2 2 1
112. Muestra que si las matrices A y B son ortogonales, entonces AB también lo es.
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