CORSO CORSO DI ALGEBRA ALGEBRA LINEAR LINEARE E A.A. A.A. 2013/1 2013/14 4 (Docente: Fabio Zuddas) Dimostrazioni da portare all’esame orale (aggiornato al 18-12-13) (IMPOR (IMPORT TANTE: ANTE: il programm programmaa del corso corso comprend comprendee anche anche altri altri teoremi teoremi,, non conten contenuti uti nella nella seguen seguente te lista, lista, dei quali quali bisogna bisogna comunq comunque ue conoscer conosceree l’enunciato l’enunciato.. Per il dettaglio dei teoremi compresi nel programma, si veda il Registro delle Lezioni caricato nel Materiale Didattico. ). 1) L’insieme delle soluzioni di un sistema omogeneo di m equazioni in n incognite, a coefficienti in K, `e un sottospazio vettoriale di Kn . [pag. 51 di Geometria 1 (Sernesi)] 2) Teorema sulla struttura dell’insieme delle soluzioni di un sistema non omogeneo [Proposizione 3.1, pag. 45 di Geometria 1 (Sernesi)] 3) La somma e l’intersezione di due sottospazi sono ancora sottospazi 4) k vettori v1 , . . . , vk in uno spazio vettoriale V sono linearmente dipendenti se e solo se uno di loro si scrive come combinazione lineare dei rimanenti. [Appunti sul Materiale Didattico] 5) Le coordinate di un vettore rispetto a una base fissata sono univocamente determinate. [Appunti sul Materiale Didattico] 6) Il rango per p er righe `e uguale al rango per colonne [Appunti sul Materiale Didattico] 7) Una matrice `e invertibile se e solo se ha h a rango massimo [Appunti sul Materiale Didattico] 8) (Teorema (Teorema di Rouch´ Rouch´e-Capelli) e-Capelli) Un sistema sistema di equazioni equazioni lineari Ax = b di m equazioni in n incognite `e compatibile compatibile se e solo se il rango della matrice A `e uguale al rango della matrice completa (A|b); in tal caso, lo spazio delle soluzioni `e un sottospazio affine di dimensione n − rg (A) (in particolare, pa rticolare, la soluzione soluzion e `e unica unic a se e solo so lo se rg r g (A) = n ). [Teorema 5.7, pag. 71 di Geometria Geometria 1 (Sernesi)] (Sernesi)] 9) Una matrice quadrata `e invertibile se e solo se ha determinante d eterminante diverso da zero [Appunti sul Materiale Didattico] 1
10) Se una matrice A ∈ M n (K) `e invertibile allora A−1 = det1(A) cof (A)T . [Corollario 6.10, pag. 81 di Geometria 1 (Sernesi)] 11) (Teorema di Cramer) Sia Ax = b un sistema di equazioni lineari di n equazioni in n incognite, con rg (A) = n. Allora l’unica soluzione del (B ) sistema `e (v1 , . . . , vn), dove v k = det e B k `e la matrice che si ottiene det(A) da A sostituendo alla k-esima colonna di A il vettore dei termini noti b. [Corollario 6.11, pag. 82 di Geometria 1 (Sernesi)] k
12) Il nucleo Ker(T ) e l’ immagine Im(T ) di un’applicazione lineare sono sottospazi (rispettivamente del dominio e del codominio). [Appunti sul Materiale Didattico] 13) Un’applicazione lineare T `e iniettiva se e solo se Ker(T ) = { 0}. [Proposizione 11.5, pag. 138 di Geometria 1 (Sernesi)] 14) (Teorema della dimensione) Sia T : V → W un’applicazione lineare: allora dim(V ) = dim(Ker(T )) + dim(Im(T )). [Proposizione 11.6, pag. 138 di Geometria 1 (Sernesi)] 15) Sia T : V → W un’applicazione lineare. Si ha: se T `e iniettiva allora dim(V ) ≤ dim(W ); se T `e suriettiva allora dim(V ) ≥ dim(W ); se T `e bigettiva allora dim(V ) = dim (W ); se dim(V ) = dim (W ) allora T `e iniettiva se e solo se `e suriettiva. [Appunti sul Materiale Didattico] 16) Matrici associate a uno stesso endomorfismo di V rispetto a basi diverse di V sono simili [Appunti sul Materiale Didattico] 17) Matrici simili hanno lo stesso determinante [Appunti sul Materiale Didattico] 18) L’autospazio associato a un autovalore `e un sottospazio [Appunti sul Materiale Didattico] 19) Il polinomio caratteristico di un automorfismo non dipende dalla base scelta [Appunti sul Materiale Didattico] 20) Autovettori di un endomorfismo relativi a autovalori distinti sono linearmente indipendenti. [Proposizione 13.7, pag. 163 di Geometria 1 (Sernesi)] 21) La molteplicit` a geometrica `e minore o uguale alla molteplicit` a algebrica [pag. 171 di Geometria 1 (Sernesi)]
2
22) Un endomorfismo `e diagonalizzabile se e solo se per ogni autovalore la molteplicit`a algebrica `e uguale a quella geometrica [Appunti sul Materiale Didattico] 23) Un endomorfismo su uno spazio di dimensione n che ha n autovalori distinti `e diagonalizzabile [Appunti sul Materiale Didattico] 24) Matrici associate a una stessa forma bilineare rispetto a basi diverse sono congruenti [pag. 194 di Geometria 1 (Sernesi)] 25) (Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz) | v, w| ≤ v w e l’uguaglianza si ha se e solo se v e w sono linearmente dipendenti. [Proposizione 17.1, pag. 210 di Geometria 1 (Sernesi)] 26) (Le tre propriet` a della norma): (i) v ≥ 0 e v = 0 se e solo se v `e il vettore nullo; (ii) cv = | c|v ; (iii) v + w ≤ v + w. [pag. 210 di Geometria 1 (Sernesi)] 27) Autovettori di un endomorfismo autoaggiunto (i.e. T (v ), w = v, T (w)) relativi a autovalori distinti sono ortogonali. [Appunti sul Materiale Didattico] 28) Gli endomorfismi unitari preservano norma e angolo tra vettori e sono invertibili. [Appunti sul Materiale Didattico] 29) Data una matrice A ∈ M n(R) simmetrica, esiste una matrice ortogonale M tale che M −1 AM = T M AM `e diagonale. [Appunti sul Materiale Didattico] 30) Una forma bilineare simmetrica b(x, y ) = T xAy su Rn `e definita positiva se tutti gli autovalori di A sono strettamente positivi(definita negativa se sono tutti strettamente negativi, semidefinita positiva se sono tutti maggiori o uguali di zero, semidefinita negativa se sono tutti minori o uguali di zero, indefinita se esistono un autovalore positivo e uno negativo). [Appunti sul Materiale Didattico]
3
