Lista de ejercicios ejercicios No. 1
Conjuntos, espacio muestral y probabilidad probabilidad
1._ De una encuesta aplicada a 60 estudiantes que asisten a la universidad, 9 habitan fuera del recinto universitario, 36 son estudiantes de licenciatura y 3 son estudiantes de licenciatura que habitan fuera del recinto. a) Encuentra el número de estudiantes que están estudiando su licenciatura, que habitan fuera del recinto o que satisfacen ambas características. b) ¿Cuántos estudiantes de licenciatura habitan en el recinto? c) ¿Cuántos estudiantes ya tienen su licenciatura y habitan en el recinto? 2._ Supón que en una familia hay dos niños de diferente edad y que nos interesa el sexo de estos niños. Se utiliza F para designar a una niña y M para un niño y un par FM para denotar que el niño con más edad es de sexo femenino y el más chico de sexo masculino. a) ¿Cuál sería el conjunto de todas las opciones en la familia? b) Si A es el conjunto de todas las posibilidades que no incluyen varones, B el subconjunto que contienen exactamente 2 varones y C el subconjunto que contiene al menos un varón. Lista los elementos de A, B, C, A ∩B, AUB, A ∩C, AUC, B∩ C, BUC y C ∩B’. 3._ Dos equipos de béisbol 1 y 2 tienen la misma capacidad y juegan el uno contra el otro una serie de 4 juegos, registrando el resultado de cada juego. a) ¿Cuáles son los resultados posibles? b) Si A es el conjunto de resultados en que el equipo 1 gana exactamente 3 veces, lista los elementos de A. 4._ Una instalación consta de dos caldera y un motor. Sea A el evento de que el motor está en buenas condiciones, mientras que los eventos Bk ,k=1, 2 son los eventos de que la k-ésima caldera esté en buenas condiciones. El evento C es que la instalación pueda funcionar. Si la instalación funciona cada vez que el motor y al menos una caldera funciona, expresa C y C’ en términos de A y de los eventos Bk . 5._ Un experimento consiste en lanzar un dado y después una moneda una vez si el número en el dado es par. Si el número en el dado es impar, la moneda se lanza dos veces. Describe el espacio muestral asociado a este experimento. a) Dibuja el diagrama de árbol asociado al experimento. b) ¿Cuál es el espacio muestral?. c) Si se definen los eventos A: Cae número par y al menos una cara. B: El número del dado es impar y la moneda cae en cara en cada lanzamiento. C: El número es impar y aparece sólo una cruz en dos lanzamientos de la moneda. Lista los elementos de cada uno de los eventos. 6._ Experimento: Seleccionar un número real. a) Identifica el espacio muestral. b) Sean los eventos A = { x | 1 ≤ x ≤ 5 } , B = { x | 3 < x ≤ 7 } , C = { x | x ≤ 0 } . Describe y grafica cada uno de los siguientes AU B) ∩ C eventos: A’, AU B, ∩ BC ’, ’, A’∩ B’∩C ’, ’, ( A 7._ a) Lista los elementos de cada uno de los eventos siguientes. A={1, 3} B={x|x es un número en un dado} C= {x|x2-4x+3=0} D= {x|x es el número de caras cuando se lanzan seis monedas} b) ¿Cuáles son iguales? 8._ Sean A, B y C tres eventos asociados con un experimento. Expresar las siguientes proposiciones verbales en notación de conjuntos. a) Al menos uno de los eventos ocurre. b) Exactamente uno de los eventos ocurre. c) Exactamente dos de los eventos ocurre. 9._ Un mecanismo puede ponerse en cuatro posiciones, digamos a, b, c y d. Hay 8 de tales mecanismos en un sistema. a) ¿De cuántas maneras puede instalarse este sistema? b) Supóngase que dichos mecanismos están instalados en algún orden (lineal) preasignado. ¿De cuántas maneras posibles se instalan los mecanismos, si dos mecanismos adyacentes no están en la misma posición?
c) ¿Cuántas manera son posibles si sólo se usan las posiciones a y b con la misma frecuencia? d) ¿Cuántas maneras son posibles si sólo se usan dos posiciones diferentes y una de ellas aparece tres veces más a menudo que la otra? 10._ En una habitación 10 personas tienen insignias numeradas del 1 al 10. Se eligen tres personas al azar y se les pide que dejen la habitación simultáneamente y se anotan los números de las insignias. ¿Cuál es la probabilidad de que el número a) menor de las insignias sea 5? b) Mayor de las insignias sea 5? 11._ Diez fichas numeradas del 1 al 10 se mezclan en una palangana. Se sacan de la palangana dos fichas numeradas (X, Y) una y otra vez sin sustitución. ¿Cuál es la probabilidad de que X+Y=10? 12._ Un lote consta de 10 artículos sin defecto, 4 con pequeños defectos y 2 con defectos graves. Se elige un artículo al azar. Encontrar la probabilidad de que: a) no tenga defectos b) No tenga defecto grave. c) Que no tenga defectos 13._ Supóngase que A, B y C son eventos tales que P(A)=P (B)=P(C)=1/4, P(A ∩ B)=P (B∩C)=0 y P(A∩C)=1/8. Calcula la probabilidad de que al menos uno de los eventos A, B o C ocurra. 14._ Una caja contiene n esfera numeradas del 1 al n. Se escogen 2 esferas al azar. Encuentra Encuentra la probabilidad de que los números sobre las esferas sean enteros consecutivos, si: a) las esferas se escogen sin sustitución. b) las esferas se escogen con sustitución. 15._ De 6 números positivos y 8 números negativos se eligen 4 números al azar sin sustitución y se multiplican. ¿Cuál es la probabilidad de que el producto sea un número positivo? 16._ r números (0
24._ Supóngase que de N objetos se eligen n al azar, con sustitución. ¿Cuál es la probabilidad de que ningún objeto sea elegido más de una vez? Supón que n
Respuestas a los problemas del ejercicio 1
1) a) 42, b) 33, 33, c) c) 18 18 2) a) S={ff, S={ff, fm, mf, mm} b) A={ff}, A={ff}, B={mm}, B={mm}, C={fm, C={fm, mf, mm}, A ∩B=Ø, AUB={ff, mm}, A ∩C= Ø, Ø, AUC={ff, fm, mf}, B∩C={mm}, BUC={fm, mf, mm} , C ∩B’={fm, mf} 3) a) S={(1111), S={(1111), (1112), (1112), (1121), (1211), (1211), (2111), (2111), (1122), (1212), (1212), (2112), (1221), (1221), (2121), (2121), (2211), (2221), (2221), (2212), (2212), (2122), (1222), (2222)} b) A={(1112), A={(1112), (1121), (1211), (2111)} 4) C = A( B1
∪ B2 )
y C ' = ( A'∪ B1 ' )( A'∪B2 ' )
5) b) S= {1cc,1cx, {1cc,1cx,1xc, 1xc, 1xx, 2c, 2x, 3cc, 3cx, 3xc, 3xx, 4c, 4x, 5cc, 5cx, 5xc, 5xx, 6c, 6x} 3cc, 5cc}, C={1cx, 1xc, 3cx, 3xc, 5cx, 5xc} 6) a) S=R, S=R, b) A’={x A’={x | x<1, x<1, x>5}, x>5}, AUB=[ AUB=[1, 1, 7], B ∩C’=(3, 7]=B, A’ ∩B’∩C’= (0, 1)U(7,
c) A={2c,4c, A={2c,4c, 6c}, B={1cc, B={1cc,
∞ ).
7) B={1, 2, 3, 4, 5, 6}, C={1, C={1, 3}, D={0, D={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, A=C 8) a) AUBUC BUC, b) (A ∩B’∩C’)U(A’∩B’∩C), 9) a) 48
b) 4(37)
10) a) 1/12 1/12
b) 1/2 1/200
c) 70
c) (A∩B∩C’)U(A’ ∩B∩C)U(A∩B’∩C)
d) (A∩ B∩C)’
d) 336
11) 4/45 12) a) 5/8 5/8
b) 7/8
c) ¾
13) 5/8 14) a) 1/n 1/n
b) (n-1)/ (n-1)/nn2
15) 15) 0.50 0.5044 16) 16) 10!/ 10!/10 10r (10-r)! 17) 5/8 18) ¼ 19) a) 4/9
b) 7/9
20) a) 0.08
b) 0.16
c) 1/9 c) 0.14
d) 0.84
21) P(A∩B)=P(A)=0.4 B)=P(A)=0.4 si A está contenido en B
y P(A ∩B)=0.1 si AUB= S
22) 1 – 365(364) 365(364)…(365 …(365 – r + 1)/365 1)/365r 23) 0.24
Lista de ejercicios No. 2
Probabilidad condicional, independencia y Teorema de Bayes.
1._ Se ha observado que los hombres y las mujeres reaccionan de una manera diferente en ciertas circunstancias; 70% de las mujeres reacciona positivamente en dichas circunstancias, mientras que el porcentaje en los hombres es solamente del 40%. Se sometió a prueba un grupo de 20 personas, 15 mujeres y 5 hombres, y se les pidió llenar un cuestionario para descubrir sus reacciones. Una respuesta escogida al azar de las 20 resultó negativa. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido contestada por un hombre? 2._La probabilidad de que un doctor diagnostique de manera correcta una enfermedad particular es 0.7. Dado que el Dr. Hace un diagnóstico incorrecto, la probabilidad de que el paciente presente una demanda es 0.9. ¿Cuál es la probabilidad de que el Dr. haga un diagnóstico incorrecto y el paciente lo demande? 3._ Se dio a una nueva secretaria n contraseñas para la computadora, pero solamente una de ellas dará acceso a un archivo. La secretaria no sabe cuál es la contraseña correcta y por tanto, escoge una al azar y la prueba. Si la contraseña es incorrecta, la quita y selecciona aleatoriamente otra de las que quedan, continuando de esta manera hasta encontrar la contraseña correcta. a) ¿Cuál es la probabilidad de que obtenga la contraseña correcta en el primer intento? b) ¿Cuál es la probabilidad de que obtenga la contraseña correcta en el segundo intento? Y ¿en el tercero? c) Se estableció un sistema de seguridad de tal manera que si se intentan 3 contraseñas incorrectas antes de encontrar la buena se cierra el archivo y se niega el acceso. Si n=7, ¿Cuál es la probabilidad de que la secretaria tenga acceso al archivo? 4._ Un estudiante contesta una pregunta que ofrece cuatro soluciones posibles en un examen de opción múltiple. Suponga que la probabilidad de que el estudiante sepa la respuesta a la pregunta es de 0.8 y la probabilidad de que tenga que contestar al azar es 0.2. Suponga que la probabilidad de seleccionar la respuesta correcta al azar es 0.25. Si el estudiante contesta correctamente la pregunta, ¿Cuál es la probabilidad de que realmente sepa la respuesta correcta? 5._ Cuando la rueda de una ruleta se hace girar una vez, hay 38 posibles resultados: 18 rojos, 18 negros y 2 verdes (si el resultado es verde, la casa gana todo). Si una rueda se hace girar dos veces, los (38)(38) resultados son igualmente probables. Si nos dicen que en dos giros de la rueda por lo menos uno resulta verde, ¿Cuál es la probabilidad de que ambos resultados sean verdes? 6._ En una gran universidad, en la interminable búsqueda de un texto satisfactorio, el departamento de estadística ha probado un texto diferente en cada uno de tres semestres. Durante el primer semestre, 500 estudiantes emplearon el texto del profesor Media, en el segundo semestre 300 estudiantes usaron el del profesor Mediana, y en el tercer semestre 200 estudiantes usaron el del profesor Moda. Un estudio hecho al final de cada semestre demostró que 200 estuvieron satisfechos con el del profesor Media, 150 con el del profesor Mediana y 160 con el del profesor Moda. Si se selecciona al azar un estudiante que llevó estadística durante uno de estos semestres y reconoce estar satisfecho con el texto, a) ¿Qué libro es más probable que el estudiante haya empleado: el libro de Media, de Mediana o de Moda? b) ¿Quién es el autor menos probable? 7._ La urna 1 contiene x esferas blancas y y rojas. La urna 2 contiene z blancas y v rojas. Se escoge una esfera al azar de la urna 1 y se pone en la urna 2. Entonces se escoge una esfera al azar de la urna 2. ¿Cuál es la probabilidad de que esta esfera sea blanca? 8._ Se lanzan 2 dados y puesto que muestran números diferentes , ¿Cuál es la probabilidad de que una cara sea 4? 9._ Un prisionero político será enviado a Siberia o a los Urales. Las probabilidades de que lo envíen a estos dos lugares son 0.6 y 0.4 respectivamente. Se sabe además que si un residente de Siberia se elige al azar hay una probabilidad de 0.5 de que lleve un abrigo de piel, en tanto que la probabilidad para lo mismo es de 0.7 en los Urales. Al llegar al exilio, la primera persona que ve el prisionero no lleva un abrigo de piel ¿Cuál es la probabilidad de que esté en Siberia? 10._ En el último año de un grupo de 100 estudiantes de educación media superior, 42 estudiaron matemáticas, 68 sicología, 54 historia, 22 matemáticas e historia, 25 matemáticas y sicología, 7 estudiaron historia pero no estudiaron matemáticas ni sicología, 10 estudiaron las tres materias y 8 no estudiaron ninguna de las tres. Si se elige al azar a un estudiante, determina la probabilidad de que: a) Una persona inscrita en sicología estudie las tres materias. b) Una persona que no estudia sicología esté tomando tanto historia como matemáticas. 11._ Una ciudad tiene dos carros de bomberos que operan de forma independiente. La probabilidad de que un carro específico esté disponible cuando se le necesite es 0.96. ¿Cuál es la probabilidad de que a) ninguno esté disponible cuando se le necesite?
b) Un carro de bomberos esté disponible cuando se le necesite? 12._ Supóngase que A y B son eventos independientes, tales que la probabilidad de que no ocurra ninguno de los dos es a y la probabilidad de que ocurra B es b. Demuestra que P(A)=(1- b-a)/(1-b). 13._ Tres equipos de radar, que trabajan independientemente están disponibles para detectar cualquier avión que vuela sobre cierta área. Cada equipo tiene probabilidad de 0.02 de no detectar un avión que vuele en el área. Si un avión entra por casualidad al área, ¿Cuál es la probabilidad de que a) no sea detectado? b) Sea detectado por los tres equipos de radar? 14._ Un detector de mentiras muestra una lectura positiva (es decir, indica una mentira) en 10% de los casos cuando la persona dice la verdad y en 95% de los casos cuando la persona miente. Suponga que se sospecha de dos personas de haber cometido un delito, que fue ejecutado por una sola persona, y de hecho sólo una de ellas es la culpable. ¿Cuál es la probabilidad de que el detector a) muestre una lectura positiva para los dos sospechosos? b) Muestre una lectura positiva para el sospechoso culpable y una lectura negativa para el inocente? c) Esté completamente equivocado, es decir, que indique una lectura positiva para el inocente y una negativa para el culpable? d) Dé una lectura positiva para cualquiera de los dos o para ambos sospechosos? 15._ Una red de comunicaciones tiene un sistema incorporado de seguridad contra fallas. Si en este sistema falla la línea I, se utiliza la línea II como emergencia; si también falla la línea II, se utiliza la línea III. La probabilidad de que falle cualquiera de estas tres líneas es 0.1 y las fallas de estas líneas son independientes. ¿Cuál es la probabilidad de que este sistema de tres líneas no falle totalmente? 16._ La víctima de un accidente morirá a menos de que reciba en los próximos 10 minutos una cantidad de sangre tipo A, Rh positivo, que sea suministrada por un solo donante. Se tarda 2 minutos en definir el tipo de sangre de un posible donante y 2 minutos en realizar la transfusión. Hay una gran cantidad de donantes diferentes cuyo tipo de sangre se desconoce y 40% de ellos tienen el tipo de sangre A, Rh positivo. ¿Cuál es la probabilidad de que sobreviva la víctima si solamente se dispone de un equipo para determinar el tipo de sangre? 17._ Un número binario está compuesto sólo de los dígitos 0 y 1 (Por ejemplo 1011, 1100, etc). Estos números tienen un papel importante en el uso de los computadores electrónicos. Supóngase que un número binario está formado por n dígitos. Supóngase que la probabilidad de que aparezca un dígito incorrecto es p y que los errores en dígitos diferentes son independientes uno de otro. ¿Cuál es la probabilidad de formar un número incorrecto? 18._ Dos personas lanzan tres monedad reglares cada una. ¿Cuál es la probabilidad de que obtengan el mismo número de caras? 19._ Considera el diagrama de un sistema electrónico que muestra las probabilidades de que los componentes del sistema operan de modo apropiado. ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema opere si el ensamble III y al menos uno de los componentes en los ensambles I y II deben operar para que funcione el ensamble? Supóngase que los componentes de cada ensamble operan independientemente y que la operación de cada ensamble también es independiente. I
II
III
0.8 0.8 0.9
0.99 0.9
0.9
20._ Considera el ensamble serie-paralelo que se muestra abajo. Los valores Ri (i=1,2,...,5)son las confiabilidades de los 5 componentes indicados, esto es, Ri = probabilidad de que la unidad i funcione de manera adecuada. Los componentes operan de manera mutuamente independiente y el ensamble falla sólo cuando se rompe la trayectoria de A a B. Expresa la confiabilidad del ensamble como una función de R1,...,R5.
