Cálculo Jonas Lachini
Jonas Lachini
CÁLCULO
Belo Horizonte Novembro de 2013
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Edição Grupo Ănima Educação Coordenação Geral Anderson Ceolin Soares Coordenação Pedagógica Cláudia Silveira da Cunha Coordenação de Produção de Materiais Patrícia Ferreira Alves Designer Instrucional Carla Cristini Justino de Oliveira Carolina Coelis Gomides Débora Cristina Cordeiro Campos Leal Ediane Cardoso de Araujo Fernandes Kênia da Silva Cunha Cajahiba Laura Boaventura de Melo Naiara Xavier dos Santos Diagramação Daniele Bagno Tondato Gleidson Franco Capa e Ilustração Alexandre de Souza Paz Leonardo Antonio Aguiar Revisão Mariana Elizabeth da Silva Oliveira Sandra Rocha Ribeiro Normalização Bibliográfica Patrícia Bárbara de Paula
CONHEÇA
O AUTOR Jonas Lachini é licenciado em Matemática, com especialização em Metodologia de Ensino e mestrado em Educação. Trabalha como professor há mais de 40 anos, tendo lecionado
nos
Ensinos
Fundamental,
Médio, de Graduação e Pós-Graduação. Atualmente, é professor da PUC Minas. Nessa universidade, leciona Cálculo para cursos presenciais de Engenharia.
APRESENTAÇÃO
DA DISCIPLINA Você está começando um programa de
As páginas do livro, do caderno ou da
estudos de Cálculo Diferencial e Integral.
internet podem servir de lembrete: a
É como um circuito que você deverá
palavra página vem de pagus, termo latino
percorrer para ir incorporando algumas
utilizado para indicar o pedaço de terra,
ideias que, embora antigas, estão na
cercado e cultivado por alguém ou por um
base da tecnologia atual. A tarefa de
grupo de pessoas, com vistas a garantir
um profissional de qualquer área é
a própria subsistência. Uma página é o
transformar ciência em tecnologia, ou
terreno que você precisará cultivar para
seja, transformar conhecimento em algo
garantir
útil para o desenvolvimento humano e
profissional capaz de intervir no mundo de
sustentado da sociedade.
maneira inteligente.
Cada vez que for cumprir uma etapa deste
Estude
programa, lembre-se de que está fazendo
exemplos. Use lápis e papel, sublinhe
um grande investimento em você mesmo,
partes do texto que julgar importantes,
de longe seu maior capital! Lembre-se
assim como alguém que está cavando um
também de que é você que precisará
terreno ou examinando os detalhes de um
estudar Cálculo; ninguém poderá fazer isso
objeto. Ler é sinônimo de investigar!
seu
com
desenvolvimento
particular
atenção
por você. Pense em uma aula de ginástica: você é quem faz a aula; o professor orienta! Esse programa foi estruturado para ajudálo a estudar; não é um programa fácil porque não existem caminhos fáceis para se trabalhar com o conhecimento!
como
Que você tenha pleno sucesso!
os
UNIDADE 1 Funções e Modelos O que é uma função A função é uma fábrica de pares ordenados Várias maneiras de representar uma função
002 003 004 005 006
UNIDADE 2 Funções lineares Como crescem os adolescentes O gráfico do crescimento de um adolescente Como achar uma fórmula para o crescimento de um adolescente A equação de uma reta Famílias de funções lineares
014 015 016 017 017 018 020
UNIDADE 3 027 Funções quadráticas028 Construindo quadrados com varetas 029 Viajando com uma laranja 030 A fórmula e o gráfico de uma função quadrática 030 As raízes ou os zeros de uma função quadrática 031 O gráfico da função quadrática 032
UNIDADE 4 Funções potências e funções polinomiais Funções potências Funções polinomiais
038 039 040 047
5 6 7 8
UNIDADE 5 Funções racionais Funções racionais Novas funções obtidas a partir de outras funções Noções sobre derivadas
058 059 060 064 067
UNIDADE 6 Taxa de variação constante Crescimento e decrescimento de funções Taxa de variação constante
069 070 071 072
UNIDADE 7 Derivada em um ponto Taxa de variação variável Taxa de variação média Derivada em um ponto ou taxa de variação instantânea Exercícios
078 079 080 081 085 090
UNIDADE 8 Cálculo da Derivada Velocidade média e velocidade instantânea Taxa de variação média e taxa de variação instantânea A função derivada Duas derivada
094 095 096 097 101 103
REFERÊNCIAS 106
CÁLCULO
FUNÇÕES E MODELOS
A
Matemática estuda os aspectos quantitativos dos fenômenos. Um jeito de fazer isso é por meio das funções; elas servem para ler e descrever situações e acontecimentos. Durante todo o estudo de Cálculo, você estará lidando com funções. Vale a pena
saber trabalhar com elas! As funções comparecem em praticamente todos os ramos da Matemática. Podemos mesmo dizer que o Cálculo Diferencial e Integral, uma das obras mais brilhantes da humanidade, está todo voltado para o estudo de funções. Durante este curso de Cálculo, lidaremos o tempo todo com funções: as maneiras de representar uma função, o limite e a continuidade de uma função, a derivada e a antiderivada de uma função. Talvez você esteja acostumado a pensar que função é uma fórmula e não veja nenhuma importância em saber ler tabelas ou gráficos e nem qual o domínio e a imagem de uma função. É comum que gostemos mais de manipular expressões, de fazer contas e resolver, de maneira mecânica, as questões que encontramos ou que nos são postas. Com a chegada das calculadoras e dos computadores, a habilidade de fazer muitos cálculos passou a ter menos importância; atualmente, mais vale conhecer bem os conceitos e saber quando e como aplicá-los. Nessa primeira parte, constituída de cinco capítulos, estudaremos o comportamento das funções algébricas; usaremos, para isso, tabelas, fórmulas, gráficos e textos descritivos, que
007
unidade 1
CÁLCULO
são as maneiras mais comuns de representar funções. Embora esses capítulos abranjam conteúdos que você certamente já conhece, é bom que os estude de modo a melhorar a percepção a respeito das funções: isso é fundamental para fazer um bom curso de Cálculo.
O QUE É UMA
FUNÇÃO
Na linguagem do dia a dia, dizemos que
que acontecem em diversos campos da
o preço de uma corrida de táxi está em
ciência. Essas funções são chamadas
função da distância percorrida. Nesse
de modelos matemáticos porque servem
caso, a palavra função expressa a ideia de
para representar com bastante precisão
que o conhecimento de um fato ou de um
o comportamento das grandezas que
valor (a distância percorrida) nos diz algo a
interferem numa situação ou fenômeno.
respeito de outro fato ou de outro valor (o Por meio de um exemplo, vamos estudar
preço de uma corrida).
o que é uma função. Descreveremos Em Matemática, estudamos os aspectos
também o que é o domínio e o que vem a
quantitativos
são
ser a variação ou a imagem de uma função.
aspectos que podem ser medidos e
Tente estudar com detalhes as situações
expressos por meio de números. Este é um
apresentadas neste texto; essa é uma
dos motivos pelos quais as funções mais
oportunidade para você aprender a ler
importantes, em Matemática, são aquelas
tabelas e gráficos, melhorar sua habilidade
em que o conhecimento de um número
de descrever situações e, sobretudo,
nos fornece informações sobre outro
desenvolver sua capacidade de pensar,
número. Por exemplo, se conhecemos o
que aqui é vista como a habilidade de
comprimento do lado de um quadrado,
estabelecer relações.
de
um
fenômeno;
podemos calcular a medida da área desse quadrado; se soubermos a velocidade de um carro, podemos estimar quanto tempo levará para percorrer determinada distância. Muitas
funções
unidade 1
De 10 a 20 de janeiro de 2010, foram registradas em certa cidade as seguintes temperaturas máximas:
são
utilizadas
para
descrever fenômenos físicos ou situações
008
Exemplo 1
CÁLCULO
TABELA 1 Data
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Temperatura 23 25 25 26 28 25 22 24 26 28 28 (ºC) Fonte: Elaborada pelo autor.
Em linguagem matemática, escrevemos: D (ƒ) = {10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20} A variação ou a imagem de uma função é o conjunto dos valores efetivamente
Na Tabela 1, existe uma relação entre as
assumidos
pela
variável
dependente.
datas e as temperaturas máximas. A cada
Nesse exemplo, a imagem é o conjunto dos
dia, de 10 a 20 de janeiro, está associada
valores da temperatura máxima registrados
uma única temperatura máxima. Podemos
no período de 10 a 20 de janeiro de 2010.
observar que, em um mesmo dia, ocorre
Em linguagem matemática, escrevemos:
apenas uma temperatura máxima. Im (ƒ) = {22, 23, 24, 25, 26, 28} Este é um exemplo de função. Embora não exista fórmula para a temperatura (senão não precisaríamos dos institutos de meteorologia), a temperatura satisfaz a definição de função: cada dia t tem uma
A FUNÇÃO É UMA
FÁBRICA DE PARES ORDENADOS
única temperatura máxima m associada a ele.
Podemos considerar uma função como uma máquina que fabrica pares ordenados
Uma grandeza m é uma função de outra
de números ou de elementos. No exemplo
grandeza t se, a cada valor de t, estiver
da Tabela 1, quando colocamos nessa
associado um único valor de m. Quando
máquina t = 10 , obtemos m = ƒ(10) = 23;
isso acontece, dizemos que m é o valor da
formamos, assim, o par ordenado (10,
função ou a variável dependente, e que t é
23). Com base nessa ideia, a função é
a variável independente ou argumento da
um conjunto de pares ordenados e, nesse
função. Usando símbolos matemáticos,
exemplo da tabela, temos:
escrevemos: m = ƒ(t) , em que ƒ é o nome da função.
F = {(10,23), (11,25), (12,25), (13,26), (14, 28), (15,25), (16,22), (17,24), (18,26), (19,28),
O domínio de uma função é o conjunto dos
(20,28)}
possíveis valores da variável independente.
009
unidade 1
Nesse exemplo, o domínio é o conjunto dos
A tecla
dias do período de 10 a 20 de janeiro de 2010.
exemplo de função como máquina de fazer
ou x de uma calculadora é um
CÁLCULO
pares ordenados: quando pressionamos a
O conjunto B é o contradomínio da função:
tecla
ou x e damos o input 16, aparecerá
CD(ƒ) = {2, 8, 16}. A um mesmo elemento
no visor o output 4. Assim, a calculadora
de B pode chegar mais de uma flecha; isso
forma o par ordenado (16, 4), ou seja, (16,
significa que um elemento de B pode ser
16 ). De modo geral, a máquina x fabrica
imagem de mais de um elemento de A. O
pares ordenados (x,
x ). Na notação
conjunto B pode ter elementos aos quais não chega nenhuma seta, ou seja, pode
funcional, escrevemos: ƒ(x) = x .
existir elemento de B que não seja imagem Já tivemos oportunidade de observar que
de nenhum elemento de A. O conjunto
este operador
ou x só pode ser usado
dos elementos de B aos quais chega pelo
para x ≥ 0. Assim, se digitarmos -9 e, na
menos uma flecha é a imagem da função.
sequência, acionarmos o operador
ou x ,
No exemplo, temos: Im(ƒ) = {2, 8}. Observe
a calculadora vai escrever error , indicando
que sempre o conjunto-imagem é um
que saímos do domínio da função.
subconjunto de B.
O processo de formar pares ordenados
De modo geral, o número de elementos
pode ser representado também por meio de
ou de pares ordenados de uma função é
um diagrama de flechas, como na Figura 1.
muito grande, o que torna inviável escrever todos eles; devido a isso, utilizam-se
FIGURA 1
duas outras formas de representação: os
1
2
5
8
7
16
gráficos e as fórmulas. As fórmulas usadas para representar funções são também chamadas de equações, leis de associação ou leis de formação.
Fonte: Elaborada pelo autor.
Nesse diagrama, o conjunto A é o domínio da função: D(ƒ) = {1,5,7} . De cada elemento de A sai uma única flecha; isso significa que um elemento de A está associado a um único elemento de B. Assim, por exemplo, ƒ(5) = 8 . Observe também que nenhum elemento de A é desprovido de flecha.
VÁRIAS MANEIRAS DE
REPRESENTAR UMA FUNÇÃO
As funções podem ser representadas de maneiras diferentes. Assim, a função que fornece as temperaturas máximas em função do tempo, que foi representada por meio da Tabela 1, também pode ser
010
unidade 1
CÁLCULO
representada pelo Gráfico 1. GRÁFICO 1
pessoa é mais facilmente observado em um eletrocardiograma, que é o gráfico de uma função, e a distribuição de renda no Brasil fica melhor evidenciada por meio de um gráfico em forma de pizza. Exemplo 2 Quando uma bola é chutada para cima, a altura da bola depende do tempo decorrido
Fonte: Elaborada pelo autor.
Nesse gráfico, estão representados os pares ordenados que constituem a função. O gráfico é formado por pontos separados e cada um
desde o momento do chute. a) Esse fato pode ser representado por meio da seguinte tabela de valores. TABELA 2
deles representa um elemento da função: F = {(10, 23), (11,25), (12, 25), (13, 26), (14, 28), (15, 25), (16, 22), (17,24), (18,26), (19,28), (20,28)} O primeiro termo de cada um desses pares
Tempo t 0 0,5 (em segundos)
1,0
1,5
2,0
2,5 3,0
Altura ƒ (t) 0 6,25 10,00 11,25 10,00 6,25 0 (em metros) Fonte: Elaborada pelo autor.
é medido sobre o eixo horizontal onde
Na Tabela 2, estão indicados sete dentre os
normalmente são colocados os valores do
infinitos pares ordenados que constituem
domínio da função; o segundo termo de
a função: (0, 0), (0,5; 6,25), (1,0; 10,00), (1,5;
cada um desses pares é medido sobre o eixo
11,25), (2,0; 10,00), (2,5; 6,25) e (3,0; 0). Os
vertical, onde normalmente são colocados os
elementos da primeira linha da tabela são
valores do contradomínio da função.
do domínio da função; os elementos da segunda linha são do contradomínio da
Nos exemplos seguintes, vamos representar
função.
funções por meio de uma tabela, de um gráfico, de uma fórmula e da descrição verbal.
A representação de uma função por meio
São essas as quatro maneiras mais usuais
de uma tabela é muito utilizada para indicar
de se representar uma função. Em geral,
as medidas obtidas em experimentos
existe a maneira mais adequada para se
científicos.
representar uma função, dependendo do uso
011
unidade 1
que se precisa fazer dela. Assim, por exemplo,
b) Podemos, também, usar um gráfico para
o padrão dos batimentos cardíacos de uma
representar essa função.
CÁLCULO
GRÁFICO 2
escrevendo uma frase completa por meio de símbolos matemáticos: o primeiro membro da equação, ƒ(t), é o sujeito da frase; o sinal de igualdade, = (é igual a), é o verbo e o segundo membro da equação, - 5t2 + 15t, é o predicativo. Em geral, a fórmula de uma função é conseguida por meio de muitas experimentações feitas com o fenômeno físico que se pretende descrever ou modelar.
Fonte: Elaborada pelo autor.
d) Além disso, uma função pode ser
Para construir o Gráfico 2, foram plotados
representada por meio de descrição verbal.
em um sistema de coordenadas cartesianas três dos pares ordenados da tabela: (0, 0),
O fenômeno apreciado nesse exemplo pode
(1,5; 10,25) e (3,0; 0). A seguir, esses pontos
ser descrito verbalmente, como feito a
foram ligados por meio de uma curva
seguir:
contínua, traçada sem tirar o lápis do papel (ou mantendo o mouse pressionado). Fazer
“Quando uma bola é chutada para o alto, a
um traço contínuo sugere que, para qualquer
sua altura em relação ao solo é a função
instante considerado entre 0 e 3 segundos,
do tempo decorrido desde o momento do
existe uma altura correspondente para a bola
chute, ou o instante inicial, até o momento
chutada. O traço contínuo é uma invenção
em que toca o solo, ou o instante final. No
engenhosa da matemática para representar
caso em estudo, a altura da bola no instante
fenômenos que ocorrem, aparentemente,
t = 0 é zero, no instante t = 1,5 é 11,25 e no
sem dar saltos.
instante t = 3 volta a ser zero.”
c) Para efeito de manipulação algébrica e de
Das quatro representações propostas para o
análise matemática, essa função pode ser
exemplo, as de mais fácil leitura são a tabela
representada pela fórmula.
e o gráfico. A de mais fácil manipulação computacional é a fórmula. A descrição
ƒ (t) = - 5t2 + 15t
012
unidade 1
verbal de uma função nem sempre consegue
A descrição de uma função por meio de uma
explicitar todos os detalhes de um fenômeno;
fórmula é a mais resumida delas; na fórmula,
existem situações que só conseguimos
utilizamos
codificada.
descrever por meio de gráficos, tabelas
Quando escrevemos ƒ(t) = 5t2 + 15t, estamos
ou de fórmulas; isso significa que existem
uma
linguagem
CÁLCULO
situações que só podem ser descritas por
GRÁFICO 3
meio da linguagem matemática. Você pode entender melhor esta última afirmativa se pensar que o computador é um artefato matemático! Nos programas para
computadores,
substituem-se
cores, sons e palavras por sequências de números formados pelos algarismos 0 e 1; o computador compara e ordena
Fonte: Elaborada pelo autor.
essas sequências numéricas de acordo
c) Por meio de uma fórmula, podemos
com o programado. Se é verdade que um
escrever:
gesto vale mais que mil palavras, também é verdade que uma equação matemática vale por milhares de palavras.
ƒ(t) = 40t, 0 ≤ t ≤ 30 As variáveis ѵ e t se relacionam pela igualdade ѵ = 40t, com 0 ≤ t ≤ 30 . Para cada
Exemplo 3
valor atribuído à variável t, corresponde um
Considere um tanque com 1200l de
único valor para a variável ѵ. A relação ѵ=40t
capacidade e uma torneira que despeja
é a lei de associação ou a lei de formação
nele 40l de água por minuto. O volume de
da função.
água despejada é função do tempo em que d) Uma possível descrição verbal dessa
a torneira ficar aberta.
função é a seguinte: a) O fenômeno de enchimento do tanque em função do tempo pode ser descrito por
O volume de água despejado no tanque é
meio da tabela a seguir:
função do tempo decorrido desde o instante em que a torneira foi aberta. A torneira é
TABELA 3
aberta quando o tanque está vazio e
Tempo t (em minutos)
0
1
Volume ѵ (em litros)
0
40 80 120 ... 1160 1200
2
3
...
29
30
Fonte: Elaborada pelo autor.
b) Por meio de um gráfico, a função fica assim descrita:
013
unidade 1
despeja no tanque 40 litros a cada minuto. Como a capacidade do tanque é de 1200 litros, serão necessários 30 minutos para que essa torneira encha completamente o tanque.
CÁLCULO
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Orientações: A resolução e comentários dos exercícios contêm os diversos conceitos estudados e ajudam na fixação desses conceitos. Servem ainda como sugestões para a resolução dos exercícios propostos ou das questões de atividades. Sempre que tiver dúvida a respeito de qualquer afirmativa aqui feita, procure esclarecimento, revendo os textos estudados ou solicitando orientação. Para o estudo desses exercícios, você deve dispor de lápis e papel. Não se pode fazer esse estudo como se faz a leitura de notícias de jornal; é preciso estar atento aos detalhes e, ao final, compor uma visão bem completa do problema.
1) Um radar eletrônico flagra certo automóvel andando a 108 km/h em uma avenida de Belo Horizonte, às duas horas da manhã. Considerando que o carro se manteve nessa mesma velocidade por 1 minuto: a) construa uma tabela que relacione a distância percorrida por ele em função do tempo no intervalo entre 02:00 e 2:01; b) escreva uma fórmula que expresse a relação entre a distância percorrida (em metros) e o tempo (em segundos) para o carro nesse intervalo de tempo; c) esboce o gráfico da função obtida no item anterior.
Solução a) Começamos por expressar a velocidade em metros por segundo
108 km 108000 m = = 30 m/s 1h 3600 s Atribuindo valores ao tempo t e à distância D, temos a tabela a seguir:
014
unidade 1
CÁLCULO
TABELA 4 Tempo (s) Distância (m)
0 0
10
300
20
30
40
600
900
1200
50 1600
60 1800
Fonte: Elaborada pelo autor.
b) Considerando que a cada segundo o carro percorre 30m, temos a seguinte equação que relaciona a distância D com cada instante t do tempo: D (t) = 30t, 0 ≤ t ≤ 60 c) O gráfico da função foi feito no winplot: GRÁFICO 4
Fonte: Elaborada pelo autor.
2) Certo estacionamento cobra R$7,00 por hora, mas possui uma promoção em que o cliente pode comprar um selo no valor de R$60,00 com o qual passa a pagar apenas R$1,00 por hora. Com base nessas informações: a) escreva uma equação para cada situação de pagamento; b) faça o gráfico das duas funções em um mesmo sistema de coordenadas; c) através do gráfico determine a partir de quantos dias passa a ser vantajoso comprar o selo promocional.
015
unidade 1
CÁLCULO
Solução a) Sendo f a função para situação normal e t o tempo em horas, temos: ƒ(t) = 7t Sendo g a função, quando se usa o selo, e t o tempo em horas, temos: g(t) = 60 + t b) O Gráfico 5 representa as duas funções. GRÁFICO 5
Fonte: Elaborada pelo autor.
c) Com base no gráfico, podemos concluir que, a partir da décima hora de uso do estacionamento, comprar o selo promocional se torna mais vantajoso. 3) Uma caixa aberta em cima tem um volume de 12m3 . O comprimento da base é o dobro da largura. O material da base custa R$10,00 por metro quadrado, ao passo que o material das laterais custa R$8,00 por metro quadrado. Expresse o custo total do material em função da largura da base.
Solução Consideremos a caixa representada no diagrama ao lado, na qual a é a medida da largura da base, 2a o comprimento e h a altura.
h 2a
016
unidade 1
a
CÁLCULO
Assim, o custo total da caixa, em reais, é dado por: C = (2a • a) 10 + 2a • h • 8 + 2 • 2a • h • 8 → C = 20a2 + 48ah Por outro lado, o volume da caixa, em metros quadrados, é ѵ = 2a • a • h. Fazendo ѵ = 12, obtemos 12 = 2a2h → h = 6 a2 Substituindo este valor de h na equação do custo total, C = 20a2 + 48ah, temos: C = 20a2 + 48ah • 6 → C(a) = 20a2 + 288 a a2 Portanto, a equação C(a) = 20a2 + 288 expressa o custo C da caixa em função da largura a de a sua base. d) O gráfico da função foi feito no winplot: GRÁFICO 6
Fonte: Elaborada pelo autor.
017
unidade 1
CÁLCULO
FUNÇÕES LINEARES
N
este capítulo, estudaremos as funções lineares. Elas aparecem com bastante frequência no dia a dia, como, por exemplo, no cálculo do custo de uma corrida de táxi, que é proporcional à distância percorrida, e na conta de telefone, cujo valor é
proporcional ao tempo utilizado nas ligações. As funções lineares são usadas para descrever situações nas quais o crescimento ou o decrescimento da variável dependente é proporcional ao crescimento da variável independente. Assim, dizemos que uma função é linear se qualquer variação na variável independente provoca uma variação proporcional na variável dependente.
019
unidade 2
CÁLCULO
COMO CRESCEM OS
Em Matemática, costuma-se representar a
ADOLESCENTES
taxa de variação de uma função por meio ∆y da fração , em que o numerador ∆y ∆x
Em geral, as meninas crescem de 6 a 8
representa o incremento ou a variação da
centímetros por ano entre os 12 e os 16
variável dependente e o denominador ∆x
anos, enquanto os meninos crescem de 8
representa o incremento ou a variação da
a 10 centímetros por ano, entre os 13 e os
variável independente. O símbolo ∆ é a letra
18 anos. A Tabela 5 mostra a evolução da
delta do alfabeto grego, correspondente
altura de certo adolescente dos treze aos
ao D do alfabeto latino, sendo usada para
dezoito anos.
indicar a diferença entre dois valores da variável que o sucede; ∆y (leia-se
TABELA 5 Idade
13
Altura (em centímetros)
14
15
“delta y”), por exemplo, indica a diferença 16
17
18
131 140 149 158 167 176
Fonte: Elaborada pelo autor.
Como, a cada ano, a altura aumenta 9cm, podemos afirmar que a altura desse adolescente é uma função linear de sua idade, na fase dos 13 aos 18 anos. A fração
140 - 131 9 = indica que a altura 14 - 13 1
aumenta 9cm quando a idade aumenta 1
ano. Essa fração é chamada de taxa de variação da altura em relação ao tempo. GRÁFICO 6
y1 - y0; pode-se, pois, escrever: ∆y = y1 - y0 ou ∆y = ƒ(x1) - ƒ(x0). Incremento significa uma variação que pode ser para mais ou para menos; existe também o caso em que o incremento da variável dependente é nulo, situação característica de uma função constante. Na função linear, a taxa de variação é sempre a mesma, quaisquer que sejam os pontos ou pares ordenados considerados. No exemplo que estamos estudando, indicando a altura pela letra h e a idade pela letra t, podemos escrever: ∆h 149 - 131 18 9 = = = 15 - 13 2 1 ∆t
A taxa de variação é sempre a razão entre a variação da variável dependente (numerador) e a variação da variável independente (denominador). Para saber qual é a unidade de medida dessa taxa de Fonte: Elaborada pelo autor.
020
unidade 2
variação, basta verificar qual é a unidade
CÁLCULO
de medida de cada uma das variáveis nela
de coordenadas cartesianas: no eixo
envolvidas. Nesse exemplo, temos:
horizontal, assinalamos os valores da
∆h
variável independente e por eles traçamos
∆t
=
9 centímetros 9 centímetros por ano = 1 ano
retas paralelas ao eixo vertical; no eixo
Observe que , nesse caso, significa dividido
vertical, assinalamos os valores da variável
por; de modo semelhante, quando dizemos
dependente e por eles traçamos retas
10% (dez por cento) estamos nos referindo
paralelas ao eixo horizontal; as interseções
à taxa ou à fração
10 100
.
dessas retas são os pares ordenados que constituem o gráfico da função. Observe que cada ponto do gráfico da função ƒ é um
O GRÁFICO DO
CRESCIMENTO DE UM ADOLESCENTE A relação existente entre a idade e a altura, no exemplo que estamos estudando, é uma função linear que pode ser representada por meio do Gráfico 7. GRÁFICO 7
par ordenado de números reais. Podemos considerar o gráfico de uma função como sendo a trajetória de um ponto no plano cartesiano. No exemplo que
estamos
estudando,
a
variável
independente t se desloca ao longo do eixo horizontal da esquerda para a direita, fazendo com que a variável dependente h se mova para cima no eixo vertical. Esse duplo movimento faz com que o par ordenado (t, h) descreva a linha que é o gráfico da função h = 131 + 9t.
Fonte: Elaborada pelo autor.
Quando o domínio e o contradomínio de uma função ƒ são subconjuntos do
COMO ACHAR UMA FÓRMULA PARA O
CRESCIMENTO DE UM ADOLESCENTE
conjunto de números reais R, dizemos
021
unidade 2
que ƒ é uma função real de variável real
Podemos estabelecer uma fórmula que nos
ou, simplesmente, uma função real. Nesse
dá a altura h, em centímetros, como função
caso, podemos fazer uma representação
da idade t, em anos, contados a partir de
geométrica da função ƒ num sistema
13 (a idade de 13 anos correspondendo ao
CÁLCULO
zero, ou seja, 13 é o início da contagem da
Uma função linear é dada pela fórmula
idade):
y = mx + b, sendo m e b números reais. Nessa
h = 131 + 9t.
igualdade, y é a variável dependente e x é a variável independente; m é a inclinação da
A altura, que inicialmente é de 131cm,
reta ou o coeficiente angular da reta ou a
aumenta 9cm a cada ano. O coeficiente
taxa de variação de y em relação à variação
9 nos informa a taxa de crescimento da
de x; b é o coeficiente linear da reta ou o
altura; geometricamente, 9 é a inclinação
valor de y quando x é zero ou a interseção
da reta de equação h = 131 + 9t; fisicamente,
vertical. Observe que, se m = 0, a equação
é a taxa de variação da altura em relação à
da reta fica sendo y = b, que é uma reta
idade, ou seja, 9 centímetros por ano.
horizontal. Se a reta não tiver inclinação,
GRÁFICO 8
sua equação assume a forma x = k, que é uma reta vertical; lembre-se de que x = k não é uma função. Para chegarmos à fórmula ou à equação de uma reta, precisamos determinar o valor de m e o valor de b. Vamos considerar três maneiras de resolver esse problema. Exemplo 1
Fonte: Elaborada pelo autor.
∆h 176 - 131 45 = = =9 5-0 ∆t 5
Determinar a equação da reta que passa pelos pontos A = (-2,7) e B = (1,-4). a) Cálculo de m (o coeficiente angular ou a
A EQUAÇÃO
taxa de variação):
DE UMA RETA
m = 7 - (-4) = 11 = - 11 -2-1 -3 3
Encontrar a equação de uma reta ou a
b) Cálculo de b (interseção vertical ou
fórmula da função linear é uma questão
coeficiente linear):
que aparece com muita frequência em problemas de Cálculo. Vale a pena dominar bem esse assunto.
Sabendo que m = -
, podemos escrever
que a equação da reta é y = -
x + b.
Como o ponto B = (1,-4) pertence a essa
022
unidade 2
CÁLCULO
reta, temos a igualdade -4=
.1+ b ,
obtida substituindo, na equação da reta, x por 1 e y por – 4. Dessa igualdade, podemos concluir que b =
Com os valores de m e de b calculados anteriormente, a equação da reta fica sendo y = 2 x + 29 . 5 5
. Exemplo 3
c) Equação da reta ou fórmula da função linear:
Determinar a equação da reta que passa pelos pontos R = (2, 3) e S = (-4, -7).
Com os valores de m e de b calculados anteriormente, a equação da reta fica 11 1 sendo: y= - x . 3 3
Podemos resolver esse problema utilizando a igualdade y - y1 = m( x - x1) , que é a equação da reta com inclinação m e que passa pelo ponto ( x1 - y1) . Para isso, procedemos do
Exemplo 2
seguinte modo:
Determinar a equação da reta que passa pelos pontos m = (2, 5) e P = (-3, 7). Outra maneira de resolver esse problema é considerar que os pontos m = (2, 5) e P=(-3,7) pertencem à reta y = mx + b e que, portanto, suas coordenadas verificam essa equação. Assim, temos:
3+ 7 2+ 4
=
10 6
=
5 3
b) Equação da reta que passa pelo ponto R = 5 (2, 3) e tem inclinação m = : 3
então, 5 = m • 2 + b , ou seja, 2m + b = 5 .
Se ao invés do ponto R = (2, 3), utilizarmos 5 as coordenadas do ponto S = (-4, -7) e m = , 3
b) Se P = (-3, 7). pertence à reta y = mx + b,
chegaremos à equação
então, 7 = m(-3) + b, ou seja, -3m + b = 7 . c) Os valores de m e de b são a solução do sistema de equações 2 seja, m = - e b = - 29 . 5 5
-3m + b = 7 , ou 2m + b = 5
d) Equação da reta ou fórmula da função linear:
unidade 2
m=
5 y 3 = ( x 2) ou, na forma explícita, 3
a) Se m = (2, 5) pertence à reta y = mx + b,
023
a) Cálculo do coeficiente angular m:
ou
, a mesma equação obtida com as coordenadas de R. Tal resultado tem por base a ideia da geometria plana de que por dois pontos passa uma única reta, ou seja, dois pontos sempre são colineares.
CÁLCULO
FAMÍLIAS DE
FUNÇÕES LINEARES As funções lineares podem ser descritas pelas fórmulas y = mx + b, y = mx ou y = b Nessas fórmulas, as constantes m e b são chamadas de parâmetros. Atribuindo a esses parâmetros diversos valores,
positivo); se m for negativo, a função será decrescente e seu gráfico será uma reta inclinada para a esquerda. Na Figura 3, está representada outra família de retas, obtida por meio da variação do parâmetro b. São retas paralelas, ou seja, retas que têm a mesma inclinação m = 1 . FIGURA 3
podemos gerar famílias de funções. A Figura 2 representa o que acontece com uma reta y = mx à medida que fazemos o parâmetro m assumir diferentes valores. Essas retas formam uma família de funções que têm uma característica comum: todas elas passam pelo ponto (0, 0). FIGURA 2
Fonte: Elaborada pelo autor.
Retas paralelas não verticais representam funções lineares que têm a mesma taxa de variação. A família de retas representadas na Figura 4 é de retas horizontais. Também essa família é obtida por meio da variação do Fonte: Elaborada pelo autor.
O parâmetro m é a taxa de variação da função linear. Se m for positivo, a função será crescente e seu gráfico será uma reta inclinada para a direita (forma um ângulo agudo com o semieixo horizontal
024
unidade 2
parâmetro b; as retas são paralelas e têm inclinação m = 0 .
CÁLCULO
FIGURA 4
Agrupar
em
famílias
funções
com
características comuns é um processo utilizado
na
modelagem
matemática.
Modelar um fenômeno, no Cálculo, significa descrever esse fenômeno por meio de uma função matemática. Para modelar um fenômeno ou uma situação, escolhe-se uma família de funções e, depois, por meio de dados experimentais, ajustam-se os Fonte: Elaborada pelo autor.
Funções que têm taxa de variação m = 0 são funções constantes. Na Figura 5, estão representadas retas verticais. Apesar de constituírem uma família de retas, elas não são funções. FIGURA 5
Fonte: Elaborada pelo autor.
025
unidade 2
parâmetros.
CÁLCULO
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Orientações: A resolução e comentários dos exercícios contêm os diversos conceitos estudados e ajudam na fixação desses conceitos. Servem ainda como sugestões para a resolução dos exercícios propostos ou questões de atividades. Sempre que tiver dúvida a respeito de qualquer afirmativa aqui feita, procure esclarecimento, revendo os textos estudados ou solicitando orientação. Para o estudo desses exercícios, você deve dispor de lápis e papel. Não se pode fazer esse estudo como se faz a leitura de notícias de jornal; é preciso estar atento aos detalhes e, ao final, compor uma visão bem completa do problema.
1) Para animar uma festa de formatura, o conjunto A cobra uma taxa fixa de R$400,00, mais R$90,00 por hora. Pelo mesmo serviço, o conjunto B cobra R$600,00, mais R$60,00 por hora. Com base nessas informações: a) escreva a fórmula do preço a ser pago ao conjunto A e a fórmula do preço a ser pago ao conjunto B em função do tempo de duração da festa; b) esboce o gráfico de cada uma dessas funções; c) observando os gráficos, descreva o significado do ponto em que eles se interceptam.
Solução a) Sendo t o tempo em horas e CA o preço em reais a ser pago ao conjunto A, podemos escrever CA(t) = 400 + 90t. De modo semelhante, sendo t o tempo em horas e CB o preço em reais a ser pago ao conjunto B, temos: CB(t) = 600 + 60t. Essas duas funções são lineares e o gráfico de cada uma delas é uma reta e ambas estão definidas para t ≥ 0.
026
unidade 2
CÁLCULO
b) Um esboço do gráfico de cada uma dessas funções está a seguir: GRÁFICO 9
Fonte: Elaborada pelo autor.
c) O ponto de interseção dos gráficos corresponde ao tempo t de duração da festa para o qual o preço a ser pago a cada conjunto é o mesmo, ou seja, CA = CB . Assim, 400 + 90t = 600 + 60t; resolvendo essa equação, temos: t = 6h 40min. Se a festa durar mais de 6h 40min, será mais barato contratar o conjunto B; caso a festa dure menos de 6h 40min, contratar o conjunto A será mais barato. 2) O custo de uma caixa de uvas frescas, numa viticultura, é de R$15,00, mas o preço cai R$0,30 a cada dia. Obtenha o custo de uma caixa que já foi colhida há t dias. Solução O preço da caixa, em função do número de dias passados depois de colhidas as uvas pode ser expresso por meio da Tabela 6: TABELA 6 t (dias)
0
1
C(t) (reais)
15,00
14,70
2
3
14,40 14,10
...
...
?
?
0,30
0
Fonte: Elaborada pelo autor.
Essa é uma função linear porque o preço diminui a uma taxa constante. Podemos determinar a lei de associação dessa função:
027
unidade 2
CÁLCULO
a) Cálculo do coeficiente angular ou da taxa de variação:
b) Equação da reta que passa pelo ponto (0, 15) e tem coeficiente angular m = -0,30: y - 15 = - 0,30 (x - 0) ou, explicitando y, y = - 0,30x + 15 No problema que estamos resolvendo, a variável dependente é o custo C e a variável independente é o tempo t. Assim a função custo é dada pela equação C(t) = - 0,30t + 15 O gráfico dessa função está representado abaixo: GRÁFICO 10
Fonte: Elaborada pelo autor.
Por meio da fórmula C(t) = - 0,30t + 15, fica fácil determinar em quantos dias a caixa de uvas perde completamente seu valor. Basta fazer C(t) = 0 , condição que leva à igualdade 0 = - 0,30t + 15. Resolvendo essa equação, obtemos t =
15 0, 30
→ t = 50. Assim, podemos afirmar que, depois de
50 dias de colhidas as uvas, a caixa dessas frutas perde completamente seu valor. 3) Um carro parte do ponto P no instante t = 0 e viaja a 80km/h. a) Escreva uma função y = d(t) para a distância que o carro percorre em t horas saindo do ponto P. b) Faça o gráfico de y = d(t). c) Qual é o coeficiente angular do gráfico feito em (b) e qual sua relação com o carro? d) Crie uma situação em que o coeficiente linear de y = d(t) valha 30.
028
unidade 2
CÁLCULO
Solução a) A distância percorrida pelo carro em t horas é uma função linear, dada por y = 80t , onde y é a distância medida em quilômetros e t é o tempo, em horas. b) O gráfico é uma semirreta com origem no ponto (0, 0) e está representado a seguir: GRÁFICO 11
Fonte: Elaborada pelo autor.
c) O coeficiente angular da reta y = 80t é 80 e corresponde à velocidade do carro, que é a taxa de variação da distância em relação ao tempo. d) Podemos considerar a função y = 30t que fornece a distância, y, percorrida por um carro que parte do ponto P no instante t = 0 e anda a uma velocidade de 30km/h 4) Um círculo tem centro na origem e raio 5. Determine a equação da reta tangente a este círculo no ponto (3, 4). Solução A figura abaixo representa a situação considerada no problema. FIGURA 6
Fonte: Elaborada pelo autor.
029
unidade 2
CÁLCULO
Sejam m o coeficiente angular da reta tangente e m1 o coeficiente angular da reta que contém o raio do círculo. Como a reta tangente a um círculo é perpendicular ao raio que termina no ponto de tangência, o coeficiente angular da reta tangente é: m=
1 4-0 4 4 = , onde m1 = . Assim, m = e a equação da reta tangente ao círculo no m1 3-0 3 3
ponto (4, 3) , é y - 4 = -
030
unidade 2
(x - 3) ou 3x + 4y - 25 = 0
CÁLCULO
FUNÇÕES QUADRÁTICAS
N
este capítulo, estudaremos a função quadrática ou função do segundo grau. Seu gráfico é uma parábola, termo de origem grega que significa jogar longe (para – longe, balein – jogar). Ela aparece na descrição da queda de corpos, no movimento
de projéteis, no estudo de ótica (lentes e espelhos) e de outros fenômenos. Você já conhece esta função! É dela que vêm as equações e inequações do segundo grau, que você estuda desde o Ensino Fundamental. É importante que você saiba manipular bem esta função e, sobretudo, conheça bem o seu gráfico e suas propriedades.
032
unidade 3
CÁLCULO
CONSTRUINDO
5 cm 2 (centímetros 1cm 9 cm 2 quadrados por centímetro) e outra de . 1cm
da função área: uma de
QUADRADOS COM VARETAS Um artesão constrói quadrados com varetas cujos comprimentos, medidos em centímetros, são números inteiros que variam de um a dez centímetros. A medida da área A de cada quadrado é função do comprimento do seu lado l. Na Tabela 7 estão alguns valores do lado l e os valores
A variação da área é proporcional à variação do quadrado do comprimento do lado. Em matemática, escrevemos: A = kl2 (onde k é a constante de proporcionalidade). Como o ponto (3, 9) pertence ao gráfico dessa função, temos: 9 = k • 32 → k = 1 . Assim, a função é dada pela fórmula: A = l2. GRÁFICO 12
correspondentes da medida da área A. TABELA 7 Idade
1
2
3
A (em centímetros quadrados)
1
4
9 16 25 ...
4
5
...
9
10
81 100
Fonte: Elaborada pelo autor.
Observando os valores dessa tabela, podemos concluir que não se trata de uma função linear porque a taxa de variação da medida da área em relação à variação do comprimento do lado não é constante.
No Gráfico 12 da função A = l2 , cujo domínio
Podemos verificar, por exemplo, que,
é D = {1, 2, 3,...,10} e cujo conjunto imagem
quando o comprimento do lado passa
é Im = {1, 4, 9, 16, ..., 100} . Observe que esse
de 2 cm para 3 cm, a medida da área do
gráfico é constituído de pontos separados
quadrado passa de 4cm2 para 9cm2 ,
porque no domínio da função aparecem
ou
;
apenas números inteiros. Ligando esses
porém, quando o comprimento do lado
pontos por um traço contínuo, obtemos
vai de 4 cm para 5cm, a medida da área
uma curva que é o segmento de uma
varia de 16cm2 para 25cm2, ou seja,
parábola.
seja,
.
Esses
valores mostram duas variações distintas
033
unidade 3
Fonte: Elaborada pelo autor.
CÁLCULO
VIAJANDO COM
UMA LARANJA Uma laranja é jogada verticalmente para o alto, com velocidade de 15 metros por segundo, no instante t = 0 . Sua altura h (em metros) acima do solo, no instante t (em segundos), é dada pela equação h = - 5t2 + 15t .
Resolvendo essa equação, temos t = 0 ou t = 3 . O movimento da laranja ocorre, pois, entre t = 0 , instante em que a laranja é jogada, e t = 3 , momento em que cai no chão. Na metade de sua viagem, no instante t = 1,5s , a laranja atinge o ponto mais alto: h(1,5) = - 5 • (1,5)2 + 15 • 1,5 = 11,25m. A laranja se encontra a 10 metros do chão nos instantes t = 1s e t = 2s ; a altura é igual
O gráfico dessa função h é uma parábola voltada para baixo. Observe, à esquerda no Gráfico 13, a trajetória da laranja, que só se movimenta na vertical e cai no mesmo ponto do qual partiu. A parábola, à
a 5 metros para t = 0,38s e também para t = 2,62s . Podemos observar que a taxa de variação da altura h é positiva quando a laranja está subindo e negativa quando a laranja está descendo:
direita na mesma figura, não é o gráfico da trajetória, mas sim da altura h em função do tempo t; em outros termos, a parábola
(velocidade média com que a laranja sobe);
indica a variação da altura em relação à variação do tempo.
(velocidade média com que a laranja desce).
GRÁFICO 13 As funções A = l2 e h = - 5t2 + 15t são exemplos de funções quadráticas, também chamadas
de
funções
do
segundo
grau porque o maior grau da variável independente é dois.
A FÓRMULA E O GRÁFICO Fonte: Elaborada pelo autor.
DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA
As interseções do gráfico com o eixo
034
unidade 3
horizontal são obtidas fazendo-se h = 0 na
De modo geral, a função quadrática tem a
fórmula da função, ou seja, 0 = - 5t2 + 15t.
forma y = ax + bx2 + c , onde a, b e c são
CÁLCULO
números reais, com a ≠ 0 . O gráfico da
da origem, fato que indica ser essa função
função quadrática é sempre uma parábola,
decrescente no intervalo (-∞, 0] ; por outro ∆y lado, a taxa de variação é positiva , o ∆x
côncava para cima ou côncava para baixo. O Gráfico 14 representa a função quadrática y = x2 . O valor da variável dependente y é proporcional ao valor do quadrado da
que mostra ser essa função crescente no intervalo [0, ∞). Lembre-se de que ∆x é sempre positivo.
variável independente x. GRÁFICO 14
AS RAÍZES OU OS ZEROS
DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA
Uma raiz ou um zero de uma função y = ƒ(x) é o valor de x para o qual ƒ(x) = 0 . Geometricamente, os zeros de uma função são os valores de x em que o seu gráfico cruza ou toca o eixo x (o eixo x é a reta y = 0). Nem toda função tem gráfico que
Fonte: Elaborada pelo autor.
toca ou cruza o eixo horizontal; portanto,
Na Tabela 8, estão alguns valores de x e os
nem toda função tem zeros ou raízes. A
correspondentes valores de y; na terceira
função y = x2 + 4, por exemplo, não tem
linha, estão valores da variação ∆y para
zeros.
uma variação ∆x = 1. O gráfico da função y = ax + bx2 + c , com
TABELA 8 x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y = x2
9
4
1
0
1
4
9
-5
-3
-1
1
3
5
∆y
Fonte: Elaborada pelo autor.
A taxa de variação
Quando a> 0 , a parábola se abre para cima e existem três possibilidades para os zeros
∆y ∆x
Figura 7. é negativa
correspondentes a valores de x à esquerda
unidade 3
sejam os valores dos coeficientes a, b e c.
dessa função e essas são mostradas na
quando são tomados dois valores de y
035
a ≠ 0, é uma parábola, quaisquer que
CÁLCULO
FIGURA 7
O GRÁFICO DA
FUNÇÃO QUADRÁTICA O problema de construir o gráfico de uma função quadrática dada por meio de sua fórmula é bem simples (mesmo sem utilizar uma calculadora), conforme podemos verificar nos dois exemplos a seguir. Exemplo 1 Esboce o gráfico da função ƒ (x) = 3x2 - 2x - 1. a) Determinamos as coordenadas do Fonte: Elaborada pelo autor.
vértice:
Como já sabemos, as raízes da equação quadrática y = ax2 + bx + c = 0 são dadas pela fórmula.
b) Determinamos dois pontos da parábola, um à esquerda do vértice e As três possibilidades
mostradas na Figura 7 correspondem,
ƒ (-1) = 3(-1)2 - 2(-1) - 1 = 4 . O ponto (-1,
respectivamente, às condições algébricas:
4) pertence ao gráfico de ƒ
b2 - 4ac > 0 (duas raízes reais distintas)
ƒ (2) = 3 • 22 - 2 • 2 - 1 = 7. O ponto (2, 7)
b2 - 4ac = 0 (uma raiz real dupla) b2 - 4ac < 0 (sem raízes reais) O ponto mais baixo do gráfico da função quadrática é o vértice da parábola e suas b coordenadas são xv = e yv = (onde 2a 4a b2 - 4ac). Observe que yv = ƒ ( -
036
unidade 3
outro à direita do vértice:
b ) 2a
pertence ao gráfico de ƒ. c) Plotamos os pontos (-1, 4), (2, 7) e 1 4 ( , ), ligando-os por meio de 3 3 uma curva que tenha a forma de uma parábola. A reta vertical que passa pelo vértice é o eixo de simetria da parábola; ela funciona como um espelho que reflete à direita o traço desenhado a sua esquerda e vice-versa. Veja o
CÁLCULO
Gráfico 15.
1
(-2, 0), (3, 0) e ( , 100), e considerando-se GRÁFICO 15
2
que o domínio dessa função é o intervalo [0, 3 ], podemos esboçar o gráfico de h. GRÁFICO 16
Fonte: Elaborada pelo autor.
Exemplo 2 Uma bola é atirada para cima do topo de
Fonte: Elaborada pelo autor.
um edifício com 96 pés de altura, com
Também é bem simples o problema de
velocidade inicial de 16 pés por segundo.
achar uma possível fórmula para a função
Sua altura h (em pés) acima do solo, t
quadrática dada por meio de seu gráfico ou
segundos após ser atirada, é dada pela
de uma tabela de valores. Consideremos
função h = 96 + 16t - 16t2 . Esboce o gráfico
dois exemplos.
da altura versus tempo. Exemplo 3 a) Determinamos as raízes da função: 16t2 - 16t - 96 = 0 →
16 ± 80 32
→ t = -2 ou t = 3.
b) Determinamos o vértice da parábola: tV =
2+3 2
=
1 2
Determine uma possível fórmula para a função quadrática do Gráfico 17. GRÁFICO 17
(a abscissa do vértice é a
média aritmética das raízes) 1
hv = h( ) = 96 + 8 - 4 =100 (a ordenada do 2
vértice é h(tv ). c) Plotando-se os três pontos determinados,
037
unidade 3
Fonte: Elaborada pelo autor.
CÁLCULO
a) No gráfico, aparecem as raízes da
função que dá a altitude y (em quilômetros)
função x = - 1 e x = 3 . Então, a função
em função do tempo, t minutos após a
é da forma y =a ( x + 1 ) ( x - 3 ) . Como
decolagem.
a parábola é côncava para baixo, a é negativo.
podemos fazer a seguinte tabela de
b) Não há como calcular o valor de a porque não foram dadas as coordenadas de nenhum ponto fora do eixo x. Assim o problema tem muitas respostas.
y no ponto (0, 4), podemos determinar o valor de a, fazendo y(0) = 4 . Então, temos: 4 = a ( 0 + 1) (0 - 3) → a = -
4
3
.
d) Assim, a função tem como fórmula 4
3
(x + 1) (x - 3) ou, efetuando o
produto, y = -
.
Neste exemplo, a função quadrática é dada por meio de um gráfico. No exemplo seguinte, examinamos uma função do segundo grau dada por meio de uma tabela. Exemplo 4 Suponha que uma espaçonave, lançada do solo, suba até uma altitude de 192 km, e depois caia no mar, totalizando um voo de 16 minutos. Determine a fórmula da
038
unidade 3
valores: TABELA 9 t (em minutos)
0
8
16
y (em quilômetros)
0
192
0
Fonte: Elaborada pelo autor.
c) Estimando que o gráfico corte o eixo
y= -
a) Com os dados do problema,
b) Com os valores da tabela, podemos escrever y = a(t - 0) (t - 16) e, considerando que o ponto (8, 192) pertence à curva, 192 = a (8 - 0) (8 - 16) → a = -3. c) Assim, a função tem como fórmula y = -3(t - 0) (t - 16) ou, efetuando o produto, y =-3t2 + 48ƒ, com 0≤ t ≤ 16.
CÁLCULO
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Orientações: A resolução e comentários dos exercícios contêm os diversos conceitos estudados e ajudam na fixação desses conceitos. Servem ainda como sugestões para a resolução das questões das atividades. Sempre que tiver dúvida a respeito de qualquer afirmativa aqui feita, procure esclarecimento, revendo os textos estudados ou solicitando orientação pelo correio acadêmico. Para o estudo desses exercícios, você deve dispor de lápis e papel. Não se pode fazer esse estudo como se faz a leitura de notícias de jornal; é preciso estar atento aos detalhes e, ao final, compor uma visão bem completa do problema.
1) Na figura, estão os gráficos da reta r e da parábola y = x2 - 3x. Determine a equação da reta r e o valor da ordenada b, sabendo que os pontos de interseção dessas curvas (a reta e a parábola) são B = (-1, y1) e A = (2, y2). FIGURA 8
Fonte: Elaborada pelo autor.
Solução Os pontos B(-1, y1) e A(2, y2) pertencem à parábola y = x2 - 3x . Portanto, y1 = (-1)2 - 3(-1) = 4 e
y2 = 22 - 3 • 2 = -2.
Assim, os pontos comuns à parábola e à reta r são (-1, 4) e (2, -2) . Então, r é a reta que passa por esses dois pontos e, em consequência, seu coeficiente angular é equação é y - 4 = -2(x + 1) ou y = -2x + 2.
039
unidade 3
e sua
CÁLCULO
Como o ponto (0, b) está sobre a reta r, temos: b = -2 • 0 + 2 → b =2 . 2) O gráfico da função ƒ(x) = ax2 + bx + c passa pelo ponto (5, 8) , tem vértice em (2, -1) e corta o eixo das ordenadas no ponto (0, 3) . Com base nessas informações: a) estabeleça a equação dessa função; b) determine as suas raízes; c) esboce seu gráfico. Solução a) Se o ponto (5, 8) pertence ao gráfico da função ƒ(x) = ax2 + bx + c , podemos escrever: a • 52 + 5b +c = 8 → 25a + 5b + c = 8. Como (2, -1) é o vértice da parábola ƒ(x) = ax2 + bx + c, 2 = -
b 2a
→ b = -4a .
Já que o ponto (0, 3) pertence à parábola ƒ(x) = ax2 + bx + c , temos: a • 02 + b • 0 + c = 3 → c = 3 . Usando as igualdades encontradas até aqui, podemos achar o valor dos parâmetros da equação da parábola, conforme indicado a seguir:
Então, a equação da parábola é ƒ(x) = x2 - 4x + 3 b) Para determinar as raízes, resolvemos a equação: x2 - 4x + 3 = 0 → x =
4±2 2
→ x = 1 ou x = 3
c) O gráfico da função ƒ(x) = x2 - 4x + 3 está a seguir: GRÁFICO 18
Fonte: Elaborada pelo autor.
040
unidade 3
CÁLCULO
3) Escreva uma possível fórmula para a função quadrática cujo gráfico aparece a seguir: GRÁFICO 19
Fonte: Elaborada pelo autor.
Solução Supondo que a função tenha como raízes x = -2 e x = 3 , podemos afirmar que sua equação é da forma f(x) = k(x + 2)(x - 3) , uma vez que a função é quadrática. Além disso, estimando que o gráfico corte o eixo das ordenadas no ponto (0, 12) , temos: f(0) = 12 → k(0 + 2) (0 - 3) = 12 → k = - 2. Portanto, uma possível fórmula para a função representada nesse gráfico é ƒ(x) = -2x2 + 2x + 12.
041
unidade 3
CÁLCULO
FUNÇÕES POTÊNCIAS E FUNÇÕES POLINOMIAIS
C
omeçamos este capítulo com o estudo das funções potências. Preste atenção na influência que o grau tem na função potência, no formato de seu gráfico, nos fenômenos que é possível descrever com estas funções e no que ocorre quando a
variável independente assume valores muito grandes em módulo, negativos ou positivos.
A seguir, abordaremos as funções polinomiais. São as funções obtidas a partir das funções potências. Observe como o termo de maior grau comanda as funções polinomiais e o que ocorre quando a variável independente assume valores muito grandes em módulo, negativos ou positivos. Reconhecer o formato dos gráficos dessas funções o ajudará a identificar os fenômenos ou situações que é possível descrever com as mesmas.
043
unidade 4
CÁLCULO
FUNÇÕES
POTÊNCIAS
FUNÇÃO POTÊNCIA
No estudo de Geometria, as funções
Função potência é aquela na qual a
potência são utilizadas com bastante
variável dependente é proporcional a
frequência. A título de ilustração, podemos
uma potência da variável independente.
considerar o perímetro P de um quadrado
As funções potência são uma importante
como função do comprimento de seu lado
família de funções; elas aparecem em
l; essa relação é dada pela fórmula P = 4l
muitas situações como as do item 4.1 e as
e nos diz que o perímetro é diretamente
exemplificadas a seguir.
proporcional ao comprimento do lado ou à potência um de seu lado l; significa, por
a) O volume V de uma esfera é proporcional
exemplo, que se dobrarmos a medida do
à terceira potência de seu raio r: V=
lado de um quadrado, seu perímetro será
Desse modo, se dobrarmos o raio de uma
duplicado, ou seja, será multiplicado por 21.
esfera, seu volume aumentará oito vezes:
Também a área A de um quadrado é função do comprimento de seu lado l e pode ser expressa pela equação A = l2. Essa igualdade nos diz que a área é diretamente
3
�r3.
4
� (2r)3 = 8 • �r3. 3
b) A medida do lado l de um quadrado é proporcional à potência
1
2
da medida de sua
área A: A = l1/2 ou A = √l. Se quadruplicarmos
do lado; isso significa, por exemplo, que
a área de um quadrado, seu lado será
medida de sua área ficará quatro vezes maior, ou seja, será multiplicada por 22. De modo semelhante, o volume V de um cubo é função do comprimento de sua aresta l, função que tem a fórmula V = l3. Essa equação estabelece que o volume do cubo é diretamente proporcional ao cubo de sua aresta; assim, por exemplo, se dobrarmos a aresta de um cubo, seu volume ficará oito vezes maior, ou seja, será multiplicado por 23.
unidade 4
4
3
proporcional ao quadrado do comprimento se dobrarmos o lado de um quadrado, a
044
V=
4
duplicado: l = (4A)1/2 = 2 • A1/2. c) A Lei de Newton da Gravitação diz que a força de atração gravitacional g sobre uma massa unitária a uma distância r da Terra é proporcional ao inverso da potência dois de r: g = k •
1 r2
, onde k é uma constante positiva.
Podemos escrever g =
k r2
ou g = kr-2. Se
dobrarmos a distância r, o valor de g ficará 1 quatro vezes menor: g = k • . 4
CÁLCULO
A Tabela 10 mostra a influência de potências no valor das funções. Observe como essas potências interferem na taxa de variação de cada função quando x varia de uma unidade. TABELA 10 y = x2
∆1y
∆2y
y=x3
x
y=x
0
0
1
1
1
1
1
1
1
2
2
1
4
3
8
7
3
3
1
9
5
27
19
4
4
1
16
7
64
37
5
5
1
25
9
125
61
0
∆3y
0
Fonte: Elaborada pelo autor.
Na Figura 9, você pode observar o efeito das potências no gráfico das funções. FIGURA 9
Fonte: Elaborada pelo autor.
Em geral, uma função potência tem a forma y = ƒ(x) = kxp, em que k e p são constantes quaisquer. Nos itens subsequentes, vamos comparar várias funções potências entre si. Se possível, faça esse estudo comparativo usando uma calculadora ou um software (Yag, winplot) para traçado de gráficos.
FUNÇÕES COM POTÊNCIAS INTEIRAS E POSITIVAS Primeiramente, vamos considerar funções n
do tipo y = x , sendo n um número inteiro positivo. Essas funções se dividem em
045
unidade 4
dois grupos: o de potências ímpares e o de potências pares.
CÁLCULO
Na Figura 10 estão os gráficos das funções
As observações feitas anteriormente nos
y = x, y = x3 e y = x5. São funções potências
gráficos podem ser comprovadas por
ímpares de graus respectivamente iguais a
meio de desigualdades algébricas. Assim,
1, 2 e 3.
querendo comparar as funções y = x3 e FIGURA 10
y = x5 , podemos investigar as soluções da inequação x3 ≤ x5. Resolvendo essa desigualdade, temos: x3 ≤ x5 → x3 - x5 ≤ 0 → x3 (1 - x2) ≤ 0 → -1 ≤ x ≤ 0 ou x ≥ 1. O resultado obtido algebricamente indica que o gráfico de y = x3 está abaixo do gráfico de y = x5 quando x estiver entre -1 e 0, bem como quando x for maior do que 1.
Fonte: Elaborada pelo autor.
Toda função potência ímpar (y = x, y = x3 e y = x5 ,etc.) é crescente e seu gráfico é simétrico em relação à origem. Também podemos notar que o gráfico de toda função potência ímpar da forma y = xn, com n> 1 , é “retorcido” na origem; à esquerda
Consideremos agora as funções potências pares. Na Figura 11 estão os gráficos das funções y = x2, y = x4 e y = x6, que são potências pares com graus respectivamente iguais a 2, 4 e 6. FIGURA 11
da origem, o gráfico tem concavidade voltada para baixo e, à direita da origem, o gráfico é côncavo para cima. Ainda podemos verificar que os gráficos têm pontos comuns em x = -1, x = 0 e x = 1; para 0< x < 1 , o gráfico da função y = x5 está abaixo do gráfico de y = x3 que, por sua vez, está abaixo do gráfico de y = x ; quando x é maior do que 1, a ordem em que estão os gráficos é outra: o gráfico de
Fonte: Elaborada pelo autor.
y = x5 está acima do gráfico de y = x3 que,
Toda função potência par (y = x2, y = x4,
por sua vez, está acima do gráfico de y = x .
y = x6 etc.) é decrescente para x pertencente ao intervalo (-∞, 0] e é crescente para x
046
unidade 4
CÁLCULO
pertencente ao intervalo [0, +∞). Com
Na Figura 13, aparecem os gráficos de
isso, o gráfico tem a forma de U e é
funções potências para valores de x
simétrico em relação ao eixo y. Todas as
maiores que 1. Podemos constatar que,
funções potências pares têm gráficos com
quanto maior a potência de x, mais rápido
concavidade voltada para cima, enquanto
cresce a função. Assim, o gráfico da função
todas as funções potências ímpares (n > 1)
y = x5 está acima do gráfico da função
têm gráficos côncavos para baixo se x < 0 e
y = x4 que é maior do que a função y = x2 .
côncavos para cima se x > 0 .
FIGURA 13
A Figura 12 mostra um zoom feito no gráfico de funções potências para valores de x entre 0 e 1. Nesse intervalo, y = x é maior que y = x2, que é maior que y = x3, e assim por diante. FIGURA 12
Fonte: Elaborada pelo autor.
O que foi constatado por meio dos gráficos é confirmado pelos valores da Tabela 12. TABELA 12
Fonte: Elaborada pelo autor.
Os valores apresentados na Tabela 11 confirmam o que foi observado na Figura 12. TABELA 11 x
0
0,2
0,5
0,8
1
y=x
0
0,2
0,5
0,8
1
y = x2
0
0,04
0,25
0,64
1
y = x3
0
0,008
0,125
0,512
1
y = x5
0
0,0032 0,03125 0,32768
Fonte: Elaborada pelo autor.
047
unidade 4
1
x
1
2
3
4
5
y=x
1
2
3
4
5
y = x2
1
4
9
16
25
y = x3
1
8
27
64
125
4
y=x
1
16
81
256
625
y = x5
1
32
243
2024
3125
Fonte: Elaborada pelo autor.
Para x > 1, as potências mais altas crescem de maneira bem rápida e têm valores comparativamente muito maiores. Fazendo x = 1000 , por exemplo, x5 = 10005
CÁLCULO
FIGURA 14
que é mil vezes maior do que x4 = 10004 . Por outro lado, para valores de x entre zero e um, as potências mais altas são bem menores; fazendo x = 0,001 , por exemplo, x5 = (0,001)5 é mil vezes menor do que x4 = (0,001)4.
FUNÇÕES COM POTÊNCIA ZERO OU COM
POTÊNCIAS INTEIRAS NEGATIVAS
Fonte: Elaborada pelo autor.
A função y = x0 é a função constante
FIGURA 15
y = 1 e seu gráfico é uma reta horizontal. Dizer que uma função é constante significa dizer que, para qualquer valor da variável independente, o valor da variável dependente é sempre o mesmo. Assim, se ƒ(x) = 1, podemos escrever ƒ(-5) = ƒ(�) = ƒ(- √2) =1. Usualmente, as potências negativas são escritas de duas maneiras: y = x-1 é a 1 mesma função potência y = ; a fórmula x 1 y = x-2 pode ser escrita na forma y = . x2
Na Figura 14, estão os gráficos das funções y=
1 x
ey=
de y =
1 x2
1
; na Figura 15, estão os gráficos
x3
ey=
1
.
x4
Fonte: Elaborada pelo autor.
Para as potências negativas ímpares (Figura 14), os gráficos são simétricos em relação à origem, ao passo que as potências negativas pares (Figura 15) têm gráficos simétricos em relação ao eixo y. Para valores de x maiores que um, o gráfico da função y = função y =
1 x2
1 x4
está abaixo do gráfico da
; quando x está entre zero e
um, ocorre o contrário, ou seja, o gráfico da função y =
048
unidade 4
1 x4
está acima do gráfico da
CÁLCULO
função y =
1 x2
Essa curva é conhecida como uma
.
hipérbole retangular. Por ser o valor da
As funções com potências negativas são usadas para modelar diversos fenômenos ou situações, como a lei exibida no exemplo a seguir.
pressão sempre maior do que zero, o Gráfico 20 apresenta apenas um ramo dessa hipérbole. O eixo vertical é uma assíntota da curva, mostrando que, à medida que o volume tende para zero, a pressão tende para infinito; o eixo horizontal também é
Exemplo 1
uma assíntota da curva, indicando que, à
A Lei de Boyle para um gás ideal estabelece
medida que o volume tende para infinito,
uma relação exata entre a pressão p
a pressão tende para zero. Para indicar
e o volume v, dado que a temperatura
que o volume tende para infinito, usa-se a
permaneça constate: pv = k. Imagine,
notação v→+∞ (lê-se v tende a infinito);
por exemplo, uma quantidade fixa de
para indicar que a pressão tende para zero,
ar no interior do cilindro de um motor.
escrevemos p → 0 (lê-se p tende a zero).
Movimentando-se os pistões, o volume
Uma reta é assíntota de uma curva quando
de ar diminui e a pressão aumenta ou,
a distância entre um ponto móvel da curva
reciprocamente, o volume aumenta e a
e essa reta fica cada vez menor; significa
pressão diminui. Reescrevendo a Lei de k Boyle, temos: p = ou p = kv-1. A relação v k p = equivale a dizer que p é inversamente v proporcional a v. Para valores positivos de k k, o gráfico da função p = tem a forma v ilustrada a seguir.
dizer que a distância entre um ponto móvel
GRÁFICO 20
da curva e a assíntota tende para zero.
FUNÇÕES COM
POTÊNCIAS FRACIONÁRIAS Observações feitas por biólogos têm mostrado que o número de espécies encontradas em uma ilha varia de acordo com o tamanho da mesma. Sendo A a área da ilha e N o número de espécies, temse aproximadamente a função N = k ou N = kA1/3, onde k é uma constante que depende da região mundial em que se encontra a ilha.
Fonte: Elaborada pelo autor.
049
unidade 4
CÁLCULO
TABELA 13
A fórmula dessa função envolve uma potência fracionária de A, que é a variável
x
y=x
independente.
0
fracionárias são da forma y = kxm/n ou y = k
As
funções
potências
, com m e n inteiros, n > m e n ≠ 0.
Com frequência, restringimos o domínio dessas funções para x ≥ 0 porque raízes em que n é par não estão definidas para x < 0.
1/2
1/3
y=x
y=x
0
0
0
0,25
0,25
0,5
0,49
0,49
0,7
0,64
0,64
0,8
0,81
0,81
0,9
1
1
1
1
Fonte: Elaborada pelo autor.
Muitas calculadoras não nos permitem elevar um número negativo a uma potência
Para x > 1, a situação fica invertida: o gráfico
fracionária.
da função y = x1/3 fica abaixo de y = x1/2 que, por sua vez, fica abaixo de y = x. A Tabela
Na Figura 16, aparecem os gráficos das
14 confirma essa observação.
funções y = x , y = x1/2 e y = x1/3. FIGURA 16
TABELA 14 1/2
y=x
x
y=x
1
1
1
25
25
5
49
49
7
64
64
8
81
81
9
100
100
10
y = x1/3 1
Fonte: Elaborada pelo autor.
Na Figura 17, estão os gráficos de y = x, Fonte: Elaborada pelo autor.
Quando x está entre 0 e 1, o gráfico da
y = x2 e y = x1/2, com x≥ 0 . FIGURA 17
função y = x1/3 fica acima de y = x1/2 que, por sua vez, fica acima de y = x. A Tabela 13 confirma essa observação.
Fonte: Elaborada pelo autor.
050
unidade 4
CÁLCULO
O gráfico de y = x2 cresce cada vez mais
18 estão possíveis formas de gráficos de
depressa quando x aumenta; ele é côncavo
polinômios com an positivo, ou seja, com o
para cima. Enquanto isso, o gráfico de
coeficiente de an maior do que zero.
y = x1/2 cresce cada vez mais devagar e é
FIGURA 18
côncavo para baixo. A taxa de crescimento de y = x é sempre a mesma e seu gráfico não tem concavidade. Mesmo assim, essas três funções tendem para infinito à
Fonte: Elaborada pelo autor.
medida que x aumenta.
O gráfico de polinômio de grau 2 (à
FUNÇÕES
esquerda) só dá uma “volta”; o de grau 3 dá
POLINOMIAIS
duas “voltas”; o de grau 4, três “voltas” e o de grau 5, quatro “voltas”. De modo geral,
As
funções
multiplicadas
potências por
um
podem escalar
e
ser
o gráfico do polinômio de grau n dá, no
os
máximo, (n - 1)voltas.
resultados, somados. Por meio dessas duas operações feitas sobre funções
Na Figura 19 estão possíveis formas de
potências com expoentes naturais –
gráficos de polinômios com an negativo, ou
multiplicação por um escalar e adição
seja, com o coeficiente de xn menor do que
– obtemos os polinômios ou as funções
zero.
polinomiais da forma y = anxn + an-1xn-1 +...+ a2x2 + a1x + a0, em que n é um número
FIGURA 19
natural, chamado grau do polinômio (desde que an ≠ 0). A função linear y = mx + b é a função polinomial y = a1x + a0 de grau um ou do primeiro grau; a função quadrática y
Fonte: Elaborada pelo autor.
= ax2 + bx + c é a função polinomial y = a2x2
COMO ENCONTRAR A FÓRMULA DE
+ a1x + a0 de grau dois ou do segundo grau.
O GRÁFICO DE
UMA FUNÇÃO POLINOMIAL
051
unidade 4
UMA FUNÇÃO POLINOMIAL
Por meio de exemplos, vamos estudar como fazer para encontrar a fórmula ou
A forma do gráfico de uma função
a equação de uma função polinomial,
polinomial depende de seu grau. Na Figura
quando conhecemos seu gráfico ou uma
CÁLCULO
tabela de valores.
(-3, 0), (3, 0) e (0, 5) pertencem ao gráfico de ƒ; daí podermos escrever ƒ(-3) = 0, ƒ(3) = 0
Exemplo 2
e ƒ(0) = 5.
Encontre uma possível fórmula para o polinômio que o Gráfico 21 está
Portanto, temos o sistema de equações:
representando.
→c=5ea= GRÁFICO 21
5 9
.
Assim, uma possível fórmula do polinômio é ƒ(x) =
5 9
x2 + 5.
Observe que g(x) =
5
x4 + 5 também 81
satisfaz às condições do problema: seu gráfico tem concavidade voltada para baixo e passa pelos pontos (-3, 0), (3, 0) e (0, 5). Isso nos leva a afirmar que o problema tem várias respostas e existem muitas funções Fonte: Elaborada pelo autor.
As interseções horizontais indicam os
polinomiais cujo gráfico se assemelha ao apresentado neste exemplo.
zeros da função e sugerem que o polinômio precisa ter os fatores (x + 3) e (x - 3). Então, podemos escrever: ƒ(x) = k(x + 3) (x - 3) Para encontrar k, usamos o fato de que
Exemplo 3 Encontre uma possível fórmula para a função polinomial dada pela tabela de valores: TABELA 15
o gráfico de ƒ corta o eixo y no ponto de ordenada 5, o que nos permite escrever ƒ(0) = 5. Assim, temos: 5 = k(0 + 3)(0 - 3) 5 5 → k = . Portanto, ƒ(x) = (x + 3) (0 - 3) 9 9 5 2 ou, efetuando o produto, ƒ(x) = x + 5. 9 Outra maneira de resolver o problema é considerar o gráfico como sendo o de uma parábola côncava para baixo e cuja equação é do tipo ƒ(x) = ax2 + c . Os pontos
052
unidade 4
x
-3
0
1
2
ƒ(x)
0
-12
0
0
Fonte: Elaborada pelo autor.
Na Tabela 15, aparecem três zeros da função, fato que sugere como possível fórmula para o polinômio: ƒ(x) = k(x + 3) (x - 1)(x - 2).
CÁLCULO
Como (0, -12) é um ponto do gráfico, temos
O gráfico se assemelha ao de um polinômio
ƒ(0) = -12. Em consequência, podemos
cúbico, ou seja, pode ser o gráfico de uma
escrever k(0 + 3) (0 - 1)(0 - 2) = -12 → k = -2.
função polinomial de grau três, com zeros em x = -3 e em x = 2. Em x = -3, o gráfico cruza o eixo
Assim, uma das possíveis fórmulas para
horizontal, ao passo que em x = 2, o gráfico toca
esse polinômio é:
o eixo horizontal, mas não o cruza. Dizemos que
ƒ(x) = -2(x + 3) (x - 1)(x - 2) ou, resolvendo o produto, ƒ(x) = -2x3 + 14x -12. Um esboço do gráfico de f está na Figura 20. FIGURA 20
x = -3 é um zero simples ou uma raiz simples, enquanto x = 2 é um zero de segunda ordem ou uma raiz dupla da função. Para encontrar uma fórmula para f, imagine que seu gráfico estivesse um pouco mais para baixo, de modo que f tivesse um zero próximo de x = -3 (em x = -2,9 , por exemplo) e dois zeros perto de x = 2 (por exemplo, em x = 1,9 e em x = 2,1). Então, poderíamos escrever ƒ(x) ≈ k(x + 2,9) (x - 1,9) (x - 2,1). Agora, deslocando o gráfico de f para a posição
Fonte: Elaborada pelo autor.
original, o zero x = -2,9 se desloca para x = -3; o zero x = 1,9 vai para x = 2 e o zero x = 2,1 também
Exemplo 4
chega em x = 2. Assim, podemos escrever:
Encontre uma possível fórmula para o
ƒ(x) = k(x + 3)(x - 2)(x - 2) ou ƒ(x) = k(x + 3) (x - 2)2 .
polinômio cujo gráfico é apresentado na Figura 21.
Não é possível calcular k porque não foram FIGURA 21
dadas as coordenadas de outro ponto do gráfico de f fora do eixo x. Podemos atribuir a k qualquer valor positivo; com isso, iremos alongar ou contrair o gráfico, sem alterar os zeros da função. Uma raiz dupla gera um fator repetido na fórmula da função. Observe que, para x > 2, o
Fonte: Elaborada pelo autor.
fator (x - 2)2 é positivo e, para x < 2, o fator (x - 2)2 ainda é positivo. Isso significa que a
053
unidade 4
CÁLCULO
função f não troca de sinal na vizinhança
O gráfico de f e a forma fatorada indicam
de x = 2. Por outro lado, na vizinhança do
que – 2, 0 e 2 são os zeros dessa função.
zero simples, x = -3, a função f muda de
Os zeros ou as raízes de f dividem o eixo x
sinal (no caso, passa de negativa para
em quatro intervalos e, em cada um desses
positiva).
intervalos, a função tem o sinal indicado na Tabela 16.
A VARIAÇÃO DE SINAL
DE UMA FUNÇÃO POLINOMIAL Em
diversas
situações,
interessa-nos
TABELA 16 -2
0
-
+
2 -
+
Fonte: Elaborada pelo autor.
saber como é a variação de sinal de uma
Nos intervalos em que o gráfico de f está
função. Estudar o sinal de uma função é
abaixo de eixo x, o sinal de y é negativo (-);
o mesmo do que determinar os valores da
nos intervalos em que o gráfico de f está
variável independente para os quais essa
acima do eixo x , o sinal de y é positivo (+).
função ou a variável dependente é positiva ou negativa; merecem atenção também
Podemos fazer o estudo da variação do
os zeros da função, valores da variável
sinal de y combinando os sinais dos fatores
independente nos quais podem ocorrer
em que se decompõe a função polinomial.
mudanças de sinal da função.
Para y = x(x + 2) (x - 2), temos a Tabela 17. TABELA 17
Exemplo 5
-2
0
2
A Figura 22 apresenta o gráfico da função
x
-
-
+
+
f definida por y = x3 - 4x, cuja fórmula pode
x+2
-
+
+
+
ser reescrita na forma de um produto
x-2
-
-
-
+
y=x(x+2)(x-2)
-
+
-
+
y = x(x + 2) (x - 2). FIGURA 22
Fonte: Elaborada pelo autor.
Exemplo 6 A Figura 23 apresenta o gráfico de y = (x2 + 1) (3 - x) (x + 1) ou, na forma expandida, ƒ(x) = -x4 + 2x3 + 2x2 + 2x + 3.
Fonte: Elaborada pelo autor.
054
unidade 4
CÁLCULO
TABELA 19
FIGURA 23
-2
0
2
x + 1
+
+
+
-x + 3
+
+
-
x+1
-
+
+
y=(x +1)(3-x)(x+1)
-
+
-
2
2
Fonte: Elaborada pelo autor.
FAZENDO X AUMENTAR
ARBITRARIAMENTE Outro aspecto que interessa no estudo
Fonte: Elaborada pelo autor.
Por inspeção do gráfico e da forma fatorada, concluímos que a função f tem dois zeros: x = -1 e x = 3. Esses zeros dividem o eixo x em três intervalos e, em cada um deles, f tem um sinal, conforme indicado na Tabela 18. TABELA 18 -1 +
de funções é saber o que acontece com a variável dependente quando a variável independente assume valores cada vez maiores, negativos ou positivos. Nos exemplos 6 e 7, abordados a seguir, vamos estar atentos a esses fatos. Exemplo 7
3 -
+
Fonte: Elaborada pelo autor.
Reiterando o que foi dito no Exemplo 6, nos intervalos em que o gráfico de f está abaixo
O gráfico de ƒ(x) = x3 - 4x + 2 está representado na Figura 24 juntamente com o gráfico de g(x) = x3. FIGURA 24
do eixo x, o sinal de y é negativo (-); no intervalo em que o gráfico de f está acima do eixo x, o sinal de y é positivo (+). A Tabela 19 traz o estudo da variação de sinal de f por meio da combinação de sinais
Fonte: Elaborada pelo autor.
dos fatores presentes na lei de definição da função.
Quando x é numericamente grande, ou seja, quando x está bem para a esquerda ou bem para a direita, os gráficos dessas funções
055
unidade 4
CÁLCULO
ficam cada vez mais próximos. Significa que, à medida que os valores de x aumentam, o valor de y no gráfico de ƒ tende a ser igual ao valor de y no gráfico de g.
Exemplo 8 Vamos observar os gráficos das funções ƒ(x) = x4 e g(x) = x4 + 2x3 - 5x2 - 6x, que estão nas três figuras a seguir. FIGURA 25
A fórmula de ƒ pode ser reescrita: 4 2 ƒ(x) = x3 • (1 - + ); nessa forma, podemos x2
x3
observar que, para grandes valores de x, a expressão entre parênteses está bem perto de 1 e, portanto, y está bem perto de x3. Usando símbolos matemáticos, escrevemos: Fonte: Elaborada pelo autor.
Na Figura 26, estamos olhando o gráfico bem de perto, os gráficos parecem muito (Lê-se: “limite de x3 - 4x + 2, quando x tende
diferentes.
para mais infinito, é igual a limite de x3,
FIGURA 26
quando x tende para mais infinito”.) Essa frase nos diz que, para valores de x numericamente grandes e positivos, podemos trocar ƒ(x) = x3 - 4x + 2 pela função g(x) = x3.
Fonte: Elaborada pelo autor.
De modo semelhante, para valores de
Quando
x numericamente grandes e negativos,
mantendo a mesma janela, os gráficos
podemos trocar ƒ(x) = x3 - 4x + 2 pela função
continuam parecendo bastante diferentes.
g(x) = x3. Usando a sintaxe matemática, escrevemos:
O código
nos
afastamos
FIGURA 27
ƒ(x) substitui a pergunta:
“De que valor se aproxima ƒ(x) quando x se torna arbitrariamente grande?”.
056
unidade 4
Fonte: Elaborada pelo autor.
um
pouco,
CÁLCULO
Entretanto, quando olhamos de longe, na Figura 27, esses dois gráficos são muito parecidos. Isso acontece porque o termo de maior grau, x4, domina os demais termos para valores grandes de x. Na Tabela 20 estão os valores das duas funções e as diferenças entre elas para x = -20, x = -15, x = 15 e x = 20. TABELA 20
x
– 20
– 15
15
20
ƒ(x) = x4
160 000
50 625
50 625
160 000
142 120
42 840
56 160
173 880
17 880
7 785
- 5 535
- 13 880
g(x) = x4 + 2x3 - 5x2 - 6x ƒ(x) - g(x) Fonte: Elaborada pelo autor.
Apesar das diferenças serem grandes quando vistas na tabela, elas são muito pequenas se comparadas à escala vertical (-104 a -105) e, por isso, não podem ser vistas no gráfico. A observação dos gráficos da Figura 27 e dos valores da Tabela 20 nos permite escrever, usando a simbologia matemática:
O símbolo x → ∞ indica que x tende para valores numericamente muito grandes, positivos ou negativos.
057
unidade 4
CÁLCULO
FUNÇÕES RACIONAIS
C
omeçamos este capítulo com o estudo do comportamento de funções racionais. Poderemos notar que, muitas vezes, fica mais fácil esboçar o gráfico de funções quando, em vez de fazer uma tabela, observarmos alguns aspectos qualitativos da
função. Entre esses aspectos qualitativos, ocupam lugar de destaque os que se referem ao comportamento da função para valores próximos dos zeros do denominador e os que indicam o que acontece com a função quando a variável independente assume valores numericamente muito grandes.
A seguir, estudaremos como podemos obter novas funções a partir de uma função dada. Esse processo serve para abordar problemas que envolvem o deslocamento horizontal ou o deslocamento vertical de uma função, quando seu gráfico está representado em um sistema de coordenadas cartesianas.
059
unidade 5
CÁLCULO
FUNÇÕES
RACIONAIS
Frequentemente, o gráfico de uma função racional apresenta assíntotas verticais, assíntotas
horizontais
ou
assíntotas
As funções racionais resultam da divisão
oblíquas. As assíntotas verticais ocorrem
de polinômios e podem ser escritas na
nos valores de x que anulam o denominador.
forma ƒ(x) =
p(x)
, com q(x) ≠ 0. Elas
As assíntotas horizontais ocorrem quando
q(x) têm certa semelhança com os números p racionais, números da forma x = , em que q
f se aproxima de um determinado valor
p e q são números inteiros, com q ≠ 0 . Em
ou
ambos os casos, é preciso fazer a ressalva
ocorrem quando a diferença entre o grau
de que o denominador é diferente de zero,
do numerador e o grau do denominador,
porque zero não pode ser divisor.
nessa ordem, for igual a um.
ASSÍNTOTAS DO GRÁFICO
DE UMA FUNÇÃO
numérico à medida que x tende para um número arbitrariamente grande, positivo negativo.
Como
saber
As
assíntotas
se
existe
oblíquas
assíntota
horizontal?
A palavra assíntota vem do grego e
Se o gráfico de uma função y = ƒ(x) se
significa “que não pode coincidir”. Uma
aproxima de uma reta horizontal y = c
reta s chama-se assíntota de uma curva
quando x assume valores muito grandes,
C quando a distância entre a reta s e um
positivos ou negativos, dizemos que a
ponto que se move sobre a curva C se
reta y = c é uma assíntota horizontal.
aproxima de zero. Na Figura 28, estão retas
Em linguagem matemática, escrevemos:
que são assíntotas das curvas dadas. FIGURA 28
Se ƒ(x) → c, quando x → +∞ ou ƒ(x) → c, quando x → -∞, então y = c é uma assíntota horizontal. Outro modo de escrever é: Se
ou
então y = c é uma assíntota horizontal.
Fonte: Elaborada pelo autor.
060
unidade 5
,
CÁLCULO
9 Im = ] -∞, 1 [U [ , +∞[ . À esquerda de zero, 4 a função é decrescente e, à direita de zero,
Como saber se existe assíntota vertical? Se o gráfico de uma função y = ƒ(x) se
a função é crescente.
aproxima de uma reta vertical x = d quando
FIGURA 29
x assume valores muito próximos de d, pela direita ou pela esquerda, dizemos que a reta x = d é uma assíntota vertical. Em linguagem matemática, escrevemos: Se ƒ(x) → +∞ ou ƒ(x) → -∞, quando x → d+ ou x → d-, então x = d é uma assíntota vertical.
Fonte: Elaborada pelo autor.
Outro modo de escrever é: Se
ou
a) A equação da função na forma de ,
produto, ƒ(x) =
então x = d é uma assíntota vertical.
analisamos
o
comportamento de funções racionais, por meio de exemplos.
Os zeros do denominador sugerem a existência de assíntotas verticais. No gráfico, podemos observar que, quando x se aproxima de -2 pela esquerda (ou
negativo. Usando símbolos matemáticos, x2 - 9
x2 - 4
. O gráfico da função
tem três ramos: um está à esquerda da reta x = -2 e abaixo da reta y = 1; outro está à direita da reta x = 2 e abaixo da reta y = 1; o terceiro desses ramos está entre as retas x = -2 e x = 2, é côncavo para cima e 9 seu ponto mais baixo é (0, ). O domínio 4 da função é D = - { -2, 2} e a variação é
unidade 5
, nos
de ƒ vai se tornando cada vez maior e
A Figura 29 apresenta o gráfico da função
061
(x - 2)(x + 2)
por valores menores do que - 2), o valor
Exemplo 1
racional ƒ(x) =
(x - 3)(x + 3)
anula para x = -2 e para x = 2.
FUNÇÕES RACIONAIS sequência,
x2 - 4
=
possibilita verificar que o denominador se
ESTUDO DO COMPORTAMENTO DE Na
x2 - 9
escrevemos: = -∞ De modo análogo, quando x se aproxima de -2 por valores maiores do que -2 (ou pela direita de -2), o valor de ƒ vai se tornando cada vez maior e positivo. Usando a sintaxe matemática, escrevemos:
CÁLCULO
= -∞
negativos, a função
Esse comportamento da função para valores muito próximos de -2 indica que
se
aproxima arbitrariamente da reta y = 1, = 1.
escrevemos:
a reta x = -2 é uma assíntota vertical do gráfico de ƒ.
De
Também a reta x = 2 é uma assíntota vertical do gráfico de ƒ, conforme podemos
para
modo
análogo,
valores
quando
numericamente
e positivos, a função
x
tende
grandes se
constatar na Figura 29 e por meio dos
aproxima arbitrariamente da reta y = 1.
limites:
Usando a notação de limite, escrevemos: = +∞ e
= -∞
Considerar o comportamento de f, quando
No
x se aproxima de -2 ou de 2, mostrando
em consideração que o numerador e o
que as retas x = -2 e x = 2 são assíntotas
denominador são funções polinomiais;
verticais, é de grande valia para o traçado
nesse caso, quando x → ±∞, somente as
de um esboço do gráfico da função.
potências mais altas realmente importam.
cálculo
desses
limites,
levamos
Assim, podemos escrever: b) Para ver o que acontece quando x assume valores grandes, positivos ou negativos, vamos observar a Tabela 21: O comportamento de f, quando x se torna
TABELA 21
arbitrariamente grande, indica que a reta y = 1 é assíntota horizontal do gráfico
x ± 10
0,94895
± 100
0,99949
± 1000
0,99999
dessa função, aspecto que nos permite fazer um esboço do gráfico sem recorrer a tabelas de valores.
Fonte: Elaborada pelo autor.
c) Os zeros do numerador dão origem às
À medida que x assume valores grandes,
interseções com o eixo horizontal. Fazendo
negativos ou positivos, y se aproxima de 1.
x2 - 9 = 0, obtemos os zeros do numerador: x = -3 ou x = 3 . Então, os pontos (-3, 0) e
062
unidade 5
Para indicar que, quando x tende para
(3, 0) são as interseções do gráfico de f
valores
com o eixo x.
numericamente
grandes
e
CÁLCULO
2 Ao fazer x = 0, temos: ƒ(0) = 0 - 9 →ƒ(0) = 02 - 4 9 ; assim, o ponto (0, 9 ) é a interseção do 4 4 gráfico de f com o eixo vertical.
d) Para valores de x maiores do que 2 ou para valores de x menores do que -2, o gráfico de ƒ fica sempre abaixo de y = 1. Algebricamente, podemos mostrar isso fazendo ƒ(x) < 1 , ou 2 - 9< 1 . seja, resolvendo a desigualdade 2 -4 2
- 9 < 1→ 2 -4
→
2
-9< 0 → 2 -4
< 0
obtida por meio da divisão do numerador pelo denominador da função racional. O que está entre parênteses indica que a reta y = x + 1 é uma assíntota oblíqua do gráfico de f. Tal aspecto pode ser constatado algebricamente; para isso, basta considerar que, quando x assume valores arbitrariamente grandes, negativos ou positivos, o termo 1 tende para zero, x-2 ou seja, que
; assim, a distância
entre o gráfico de f e a reta y = x + 1 se aproxima arbitrariamente de zero.
< 0 → x < -2 ou x > 2
Para -2 < x < 2, o gráfico da função f está acima de y = 9 , o que podemos mostrar 4 2 - 9> 9 . resolvendo a desigualdade 2 -4 4
O denominador x - 2 se anula para x = 2, o que sugere a existência de uma assíntota vertical. Usando a notação de limite, podemos escrever:
Exemplo 2 = -∞
Vamos estudar, neste exemplo, as assíntotas do gráfico da função ƒ(x) =
, que está
apresentado na Figura 30. FIGURA 30
e
=∞
Nesses limites, -ε indica um número negativo arbitrariamente próximo de zero, enquanto +ε indica um número positivo tão próximo de zero quanto se queira. Esses limites mostram que a reta x = 2 é uma assíntota vertical do gráfico de f.
Fonte: Elaborada pelo autor.
A fórmula da função pode ser reescrita na forma ƒ(x) = = (x + 1) + 1 , x-2
063
unidade 5
Exemplo 3 Na Figura 31 está o gráfico da função f(x) =
x2 + 3x x2 + 1
CÁLCULO
FIGURA 31
de operações sobre a função y = x. Assim, por exemplo, a função y = 3x - 8 pode ser vista como resultante de operações sobre y = x: 1) Multiplicando x por 3, temos y1 = 3x .
Fonte: Elaborada pelo autor.
2)Somando ( – 8 ) a 3x, temos y1= 3x - 8.
A análise do gráfico nos permite afirmar que a reta y = 1 é uma assíntota do gráfico
No gráfico, essas operações assumem
da função f. Também podemos verificar
o aspecto de movimentos feitos com a
isso algebricamente por meio do limite:
função y = x, conforme apresentado na Figura 32. FIGURA 32
O denominador dessa função racional não tem zeros, o que faz com que não existam assíntotas verticais. A função tem como raízes x = -3 e x = 0; é negativa no intervalo ] -3, 0[ e positiva quando x está no intervalo ]- ∞, -3[ ou em ]0, +∞[ .
NOVAS FUNÇÕES OBTIDAS
A PARTIR DE OUTRAS FUNÇÕES
Na função linear y = x, a variável independente está elevada à potência um (x = x1). Se multiplicarmos x pelo parâmetro m obteremos a função y = mx; se, na mesma função, trocarmos x por x + b, obteremos a função y = x + b. De modo geral, podemos perceber a função y = mx + b como uma nova função obtida por meio de uma sequência
064
unidade 5
Fonte: Elaborada pelo autor.
CÁLCULO
Na função y = x2, a variável independente está elevada à potência dois. Ao multiplicar x2 pelo parâmetro m, obteremos a função
comparando os gráficos de y = x2, y = 3x2 e, y = 1 x2 representados, nessa ordem, na 3 Figura 34.
y = mx2; se trocarmos x por x + n, obteremos
FIGURA 34
a nova função y = (x + n)2 ou y = x2 + 2nx + n2 . De modo geral, podemos enxergar a função y = ax2 + bx + c como uma nova função obtida por meio de uma sequência de operações sobre y = x2. Assim, por exemplo, a função y = 3x2 - 6x + 2 pode ser vista como resultante de operações sobre y = x2: 1) Multiplicando x2 por 3, temos y1 = 3x2. 2) Trocando x por x - 1, temos y2 = 3(x - 1)2, ou seja, y2 = 3x2 - 6x + 3 .
3) Somando (- 1) a 3(x - 1)2, temos y3 = 3(x - 1)2 - 1 ou y3 = 3x2 - 6x + 2. Fonte: Elaborada pelo autor.
Na Figura 33, aparecem essas operações como movimentos feitos com o gráfico da função y = x2.
Um sinal negativo realiza uma reflexão do gráfico em torno do eixo x. Um exemplo desse movimento está na Figura 35, onde
FIGURA 33
aparecem os gráficos de y = x2 - 2x e y = -(x2 - 2x) . FIGURA 35
Fonte: Elaborada pelo autor.
Em geral, multiplicar uma função por uma constante expande ou contrai seu gráfico verticalmente. Podemos verificar isso
065
unidade 5
Fonte: Elaborada pelo autor.
CÁLCULO
Substituir x por x - a translada o gráfico
FIGURA 37
para a direita, em a unidades (ou para a esquerda se a for negativo). Na Figura 36 estão, respectivamente, os gráficos das funções y =
,y=
ey=
.
FIGURA 36
Fonte: Elaborada pelo autor.
Substituir y por y - b translada o gráfico para cima, em b unidades (ou para baixo, se b for negativo). O efeito dessa troca pode ser visto na Figura 37 onde estão os gráficos das funções y = x3 - x, y - 2 = x3 - x e y + 2 = x3 - x.
066
unidade 5
Fonte: Elaborada pelo autor.
CÁLCULO
NOÇÕES SOBRE DERIVADAS
N
os três capítulos desta segunda parte da apostila, começamos o estudo de Cálculo. Essa disciplina é um conteúdo de Matemática, usualmente chamado de Cálculo Diferencial e Integral. Este cálculo é diferencial porque trata de questões relacionadas
à rapidez com que as coisas se movem, aumentam ou diminuem: como aumenta ou diminui, por exemplo, a área de um quadrado, quando seu lado muda de valor; como aumenta ou diminui o montante de uma aplicação à medida que o tempo passa. Por abordar questões que envolvem certos tipos de somas que apresentam um número cada vez maior de parcelas, as quais vão se tornando cada vez menores, este cálculo é também chamado de cálculo integral. Quase todas as ideias e aplicações do Cálculo giram em torno de dois problemas geométricos, apresentados de maneira simples na Figura 38. FIGURA 38
Fonte: Elaborada pelo autor.
067
unidade 5
CÁLCULO
PROBLEMA 1 O problema básico do cálculo diferencial é o problema das tangentes: calcular a inclinação da reta tangente ao gráfico da curva y = f(x) no ponto P.
PROBLEMA 2 O problema básico do cálculo integral é o problema das áreas: calcular a medida da área da região limitada pelos gráficos de y = f(x), y = 0, x = a e x = b. O problema da inclinação da tangente leva a medir a rapidez de variação de uma grandeza em relação à variação de outra grandeza e conduz à ideia de derivada ou diferencial. Por sua vez, o estudo da medida de áreas leva a considerar somas com muitas parcelas, que ficam cada vez menores à medida que seu número aumenta, e conduz ao conceito de integral. O problema do cálculo de áreas por meio de somas de infinitas pequenas parcelas foi utilizado por Arquimedes (287 – 212 a.C.), a quem muitos historiadores atribuem a origem dos métodos de integração. Também Kepler (1571 – 1630), Galileu (1564 – 1642) e Cavalieri (1598 – 1647), entre outros, empregaram métodos semelhantes ao de Arquimedes para calcular áreas e volumes. O problema envolvendo tangentes e curvas foi estudado no início do século XVII, por Descartes (1596 – 1650) e Fermat (1601 – 1665). Até a segunda metade do século XVII, os dois processos – o de calcular áreas e o de aproximar curvas por meio de tangentes – foram estudados separadamente, como se diferenciação e integração fossem questões independentes. A partir dos trabalhos de Newton (1642 – 1727) e Leibniz (1646 – 1716), as relações de interdependência entre esses dois processos foram reconhecidas, fazendo surgir uma nova disciplina, o Cálculo Diferencial e Integral. Nesta parte da apostila, optamos por fazer uma apresentação do Problema 1, dando ênfase às noções de derivada, explicadas de modo intuitivo, sem maiores compromissos com a formalização. Consideramos que, após essa visão geral, estaremos mais bem preparados para uma abordagem do Cálculo Diferencial, ficando em condições de compreender as inúmeras aplicações dessa disciplina nas diferentes áreas científicas e tecnológicas.
068
unidade 5
CÁLCULO
TAXA DE VARIAÇÃO CONSTANTE
N
o estudo de Cálculo, vamos trabalhar com funções reais de variáveis reais, aquelas que têm como domínio e como imagem um subconjunto de números reais. Consideramos que as grandezas são representadas por números e que as relações
de interdependência entre grandezas são traduzidas matematicamente por funções. Dizemos que uma grandeza y é uma função de outra grandeza x quando os valores de x e de y estão relacionados de tal forma que a cada valor de x corresponde um único valor de y. Para representar funções, utilizam-se tabelas, gráficos, descrições verbais ou, quando possível, fórmulas matemáticas.
070
unidade 6
CÁLCULO
CRESCIMENTO E
FIGURA 40
DECRESCIMENTO DE FUNÇÕES As funções se caracterizam pela maneira de variar, ou seja, pela forma como crescem
Fonte: Elaborada pelo autor.
ou decrescem. Quando conhecemos o
As que estão à esquerda são crescentes no
gráfico de uma função, fica fácil identificar
intervalo [a, b]:
os intervalos nos quais essa função está crescendo (aumentando) ou decrescendo (diminuindo). FIGURA 39
• z
cresce
cada
vez
mais
cada
vez
mais
rapidamente; • w
cresce
lentamente; • y
cresce
com
uma
rapidez
constante. Já as funções da direita são decrescentes no intervalo [c, d]: Fonte: Elaborada pelo autor.
• v A função representada na Figura 39 é crescente no intervalo [a, b] e é decrescente no intervalo [b, c]. Lembre-se de que x varia sempre da esquerda para a direita. Assim, dizemos que uma função é crescente se, a um aumento no valor de x no intervalo
decresce
cada
vez
mais
cada
vez
mais
rapidamente; • u
decresce
lentamente; • t decresce com uma rapidez constante.
considerado, corresponder um aumento no valor de y. Por outro lado, dizemos que uma
Observe como ficaria a variação de cada
função é decrescente se, a um aumento
uma das funções que estão à esquerda na
no valor de x no intervalo considerado,
Figura 41.
corresponder uma diminuição no valor de y. A Figura 40, onde estão seis funções, sugere que existem diferentes formas de crescimento ou de decrescimento.
071
unidade 6
CÁLCULO
FIGURA 41
é uma reta ou um segmento de reta, conforme podemos observar na Figura 42. FIGURA 42
Fonte: Elaborada pelo autor.
TAXA DE
VARIAÇÃO CONSTANTE
Fonte: Elaborada pelo autor.
Na função linear y = mx + b, o número m é a taxa de variação de y em relação a x. Indicamos essa taxa de variação pela
Para indicar a rapidez com que uma função
fração ∆y. Essa fração tem o nome de taxa
cresce ou decresce, utilizamos a ideia de
de variação porque seu numerador, ∆y,
taxa de variação, conceito que passamos
indica a variação de y e seu denominador,
a estudar. Desde já, podemos ter em mente
∆x, indica a variação de x. Tanto para y
que derivada é uma taxa de variação e a
quanto para x, a variação é a diferença
inclinação de uma tangente.
entre um valor final e um valor inicial.
∆x
Escrevemos isso da seguinte forma: A função linear y=mx+b é um modelo matemático que serve para descrever a interdependência entre duas grandezas que são diretamente proporcionais. Nesse tipo de relação, quando x varia de uma unidade, a partir de um ponto qualquer, o valor de y varia de unidades. Isso significa que y varia a uma taxa constante, sempre igual a m. O gráfico dessa função linear
072
unidade 6
variação de y = ∆y = ƒ(x2) - ƒ(x1) variação de x = ∆x = x2 - x1 taxa de variação de y em relação a ƒ(x2) -ƒ(x1) x = ∆y = . x2 -x1 ∆x No lugar da expressão taxa de variação, podemos usar razão de variação ou quociente de variação.
CÁLCULO
Do exame atento da Figura 42 e com o uso da ideia de taxa de variação, podemos estabelecer algumas conclusões a respeito da função linear y = mx + b : • Quando m é positivo, a função é crescente para todo x; quando m é negativo, a função é decrescente. • Uma função é crescente quando sua taxa de variação é positiva; uma função é decrescente se sua taxa de variação é negativa. • Quando x aumenta 1 → y aumenta ou diminui m. Quando x aumenta 2 → y aumenta ou diminui 2m. Quando x aumenta k → y aumenta ou diminui k•m.
m = ∆y → taxa de variação de y em relação a x.
y = mx + b
m > 0 indica função crescente.
m < 0 indica função decrescente.
m = 0 indica função comstante
∆x
A taxa de variação da função linear y = mx + b é m = ∆y . Essa taxa de variação é constante,
∆x
ou seja, tem sempre o mesmo valor. Isso quer dizer que, quaisquer que sejam os valores de x1 e x2, ou seja, qualquer que seja o intervalo de variação de x,
ƒ(x2) -ƒ(x1) ∆y = = m. x2 -x1 ∆x
Pensando na Geometria, o gráfico de uma função linear é uma reta. Essa taxa de variação da
função linear y = mx + b, m = ∆y , é a inclinação dessa reta. Chamada de coeficiente angular
∆x
da reta, essa inclinação pode ser calculada pela tangente trigonométrica do ângulo que a reta forma com o eixo das abscissas, conforme indicado na Figura 43. FIGURA 43
Fonte: Elaborada pelo autor.
073
unidade 6
CÁLCULO
Exemplo 1 Em certa cidade, a quantia C, em reais, a ser paga por uma corrida de táxi de x quilômetros é dada pela função C(x) = 7 + 4x. Com base nessas informações: a) estabeleça a taxa de variação de C em relação a x, quando x varia de x1 = 3 a x2 = 8; b) determine o custo de uma corrida de 12km; c) calcule quantos quilômetros são percorridos quando uma corrida sai por R$49,00; d) esboce o gráfico da função, supondo que seu domínio é [0, 20]. Solução a) Para estabelecer a taxa de variação de C em relação a x, quando x varia de x1 = 3 a x2 = 8, fazemos:
variação de C = ∆C = C(x2) - C(x1) = C(8) - C(3) = 39 - 19 = 20 reais.
variação de x = ∆x = x2 - x1 = 8 - 3 = 5 quilômetros Assim, temos:
variação de C em relação a x = ∆C =
∆x
= 4R$/km
N essa taxa de variação, o numerador é medido em reais e o denominador é medido em quilômetros. Por isso a unidade de medida da taxa de variação é reais por quilômetro:
∆C = 4R$/km. ∆x b) Determinar o custo de uma corrida de 12 km significa determinar o valor da função C(x) = 7 + 4x quando x = 12. Para isso, fazemos: C(12) = 7 + 4 • 12 = 55 reais. c) Calcular o número de quilômetros percorridos em uma corrida que custa R$49,00 significa achar o valor de x para o qual C(x) = 49. Para isso, fazemos: c(x) = 7 + 4x = 49 → 4x = 41 → x =
41 4
= 10,25 quilômetros.
d) A Figura 44 traz um esboço do gráfico de C(x) = 7 + 4x.
074
unidade 6
CÁLCULO
FIGURA 44
escrever: v(0) = a • 0 + b= 27.000 → b = 27.000 e, assim, v(t) = at + 27.000. De acordo com o enunciado do problema, o sistema tem valor zero após nove anos de uso; assim, podemos escrever:
Fonte: Elaborada pelo autor.
Exemplo 2 Certa gráfica compra um sistema de impressão por R$27.000,00. Após nove anos, o sistema está obsoleto e não tem mais nenhum valor comercial. Com base
V(9) = 0 → a • 9 + 27.000 = 0 → a = -3.000 Desse
modo,
a
equação
é
V(t) = - 3.000t + 27.000. b) O valor desse sistema, após cinco anos de uso é: V(5) = - 3.000 • 5 + 27.000 = 12.000 reais.
nessas informações e supondo que a depreciação desse sistema seja linear: a) escreva uma equação que relacione o valor v desse sistema e o tempo t transcorrido após a compra; b) estime o valor desse sistema após cinco anos de uso; c) estabeleça após quanto tempo o valor
c) Para estimar após quanto tempo o valor desse sistema será igual a 30% do valor de compra, fazemos: 0,30 • 27.000 = - 3.000x + 27.000 → x = 6,3 anos. d) A Figura 45 traz o gráfico da função V(t) = - 3.000x + 27.000. FIGURA 45
do sistema será igual a 30% do valor de compra; d) esboce o gráfico da função obtida no item (a). Solução a) A equação que relaciona o valor V desse sistema e o tempo t transcorrido após a compra é da forma: V(t) = at + b . Como o valor de compra é R$27.000,00, podemos
075
unidade 6
Fonte: Elaborada pelo autor.
CÁLCULO
Na função V(t) = - 3.000x + 27.000, a taxa
proporcionais. Como, quando x aumenta
de variação de V em relação a t é negativa
de 0 até 3, y aumenta de 5 até 17,
e é medida em reais por ano: ∆V = - 3.000
∆t
reais/ ano . Dizer que a taxa de variação é negativa significa dizer que a função é decrescente; nesse caso, significa que o preço do sistema diminui R$3.000,00 quando o tempo aumenta de um ano.
taxa de variação de y em relação a x =
17-5 3-0
=
12 3
=4
b)A função representada é linear e sua equação é da forma y = mx + b , em que
Geometricamente, a taxa de variação negativa indica que o coeficiente angular da reta é negativo e que ela está inclinada para a esquerda.
é a taxa de variação e b é o valor inicial de y, ou seja, m = 4 e b = 5. Assim, a equação dessa função é y = 4x + 5 Exemplo 4
Exemplo 3 Primeiramente,
podemos escrever:
Em certa residência, um botijão, que contém determine
a
taxa
de
variação da função representada na Figura 46. A seguir, estabeleça a equação dessa função.
13 kg de gás de cozinha, é comprado por R$74,00, sendo consumido à razão de 0,5 kg por dia. Do valor total pago por esse botijão, cerca de 30% (R$22,00) cobrem os custos operacionais e os outros 70%
FIGURA 46
(R$52,00) se referem ao preço do gás nele contido. Com base nessas informações: a) escreva uma função M = ƒ(t) que forneça a massa M de gás no botijão, medida em quilogramas, após t dias de uso; b) escreva uma função C = g(t) que represente o gasto C, em reais, somente
Fonte: Elaborada pelo autor.
Solução a) Esse gráfico, por ser uma reta, indica que as grandezas x e y têm variações
076
unidade 6
com o gás, durante t dias de uso; c) esboce em um mesmo sistema de coordenadas os gráficos dessas duas funções;
CÁLCULO
d) determine as coordenadas do ponto de
d) O ponto de interseção desses gráficos
interseção desses gráficos e escreva a
é P (5,2; 10,4). A unidade de medida
unidade de medida de cada uma dessas
da abscissa 5,2 é dia; a unidade de
coordenadas.
medida da ordenada 10,4 é reais quando consideramos a função C(t) = 2t e é
Solução
quilogramas quando nos referimos à
a) A massa M de gás no botijão, após t dias de uso, é dada por: M(t) = - 0,5t + 13. Nessa equação, a taxa de variação de M em relação a t é - 0,5t kg/dia. O valor negativo indica que a massa diminui de quando t aumenta de 1 dia. b) O custo C do gás consumido durante t dias é dado por: C (t) = 2t . Nessa equação, a taxa de variação de C em relação a t é
4 reais kg
•
0,5 kg dia
= 2 reais/dia. Essa taxa
indica que o custo aumenta de R$2,00 quando t aumenta de 1 dia. c) A Figura 47 traz um esboço dos gráficos dessas funções: FIGURA 47
Fonte: Elaborada pelo autor.
077
unidade 6
função M(t) = - 0,5t + 13.
CÁLCULO
DERIVADA EM UM PONTO
A
s funções lineares da forma y = mx + b crescem ou decrescem a uma taxa de variação constante. Isso quer dizer que as duas grandezas x e y, relacionadas por essa lei, têm variações proporcionais, ou seja, que a taxa de variação de y em relação a x é
constante e, ainda, que o gráfico correspondente é uma reta de inclinação m.
079
unidade 7
CÁLCULO
Podemos observar que a variação de V por
TAXA DE VARIAÇÃO
VARIÁVEL
unidade de t é positiva e aumenta à medida
Se duas grandezas x e y não têm variações
dessas ações aumenta cada vez mais
proporcionais, a lei que estabelece a
depressa, ou seja, a função V(t) = t2 + 7
interdependência entre elas não é mais
cresce cada vez mais rapidamente.
que t aumenta. Em outros termos, o valor
da forma y = mx + b, a taxa de variação de y em relação a x é variável e o gráfico
Isso que percebemos pelo exame do gráfico
não é uma reta. Nesse caso, dizemos
pode ser descrito algebricamente por meio
que as grandezas x e y, relacionadas pela
de taxas de variação de V em relação a t:
lei y = ƒ(x) têm taxa de variação variável.
= 1 real/ mês.
Na sequência, vamos observar algumas dessas funções.
= 11 reais/ mês.
Exemplo 1 =
Consideremos que o valor V de uma ação, medido em reais, varia ao longo do tempo t, medido em meses, de acordo com a função V(t) = t2 + 7. Essa função pode ser descrita por meio da Tabela 22.
Exemplo 2 Consideremos que a temperatura T, medida em graus centígrados, varie no decorrer do tempo t, medido em horas, de acordo com
TABELA 22 0
1
2
3
4
5
6
7
L
V
7
8
11
16
23
32
43
56
L
ser descrita por meio da Tabela 23. TABELA 23
Fonte: Elaborada pelo autor. 2
O gráfico de V(t) = t + 7 está na Figura 48. FIGURA 48
t + 7. Essa função pode
a função T(t) =
t
t
0
1
2
T
7,0 8,0 8,4
3
4
080
unidade 7
5
6
8,7 9,0 9,2 9,5
7
...
9,7
...
Fonte: Elaborada pelo autor.
O gráfico de T(t) =
t + 7 está na Figura 49.
FIGURA 49
Fonte: Elaborada pelo autor.
13 reais/ mês.
Fonte: Elaborada pelo autor.
CÁLCULO
Podemos observar que a variação de T por
Podemos observar que a variação de Q
unidade de t é positiva e diminui à medida que
por unidade de p é negativa e tem valor
t aumenta. A função T(t) = t + 7 cresce cada
absoluto cada vez menor. Dito de outra 2 maneira, a função Q(p) = + 7 decresce p cada vez mais lentamente.
vez mais lentamente. No gráfico, percebemos que os “degraus” têm alturas cada vez menores.
Algebricamente,
as
taxas
de
variação, embora permaneçam positivas, vão
Esse decrescimento cada vez mais lento
diminuindo à medida que o tempo aumenta:
pode ser visto nas taxas de variação:
= 1 grau / hora.
= -1 milhar de
= 0,3 grau / hora.
unidades/ real = -1.000 unidades/ real
= 0,2 grau / hora.
= - 0,17milhar de unidades/ real = -170 unidades/ real
Exemplo 3 Consideremos que a demanda Q de um produto, medida em milhares de unidades comercializadas, em função do preço p, medido em reais, seja dada pela função 2 Q(p) = + 7, p > 0 Essa relação entre Q e p p pode ser descrita pela Tabela 24. TABELA 24 p Q
1
2
3
4
5
6
7
9,00 8,00 7,67 7,50 7,40 7,33 7,29
2 p
TAXA DE VARIAÇÃO
MÉDIA
Nos exemplos do item anterior, estudamos
...
a variação da variável dependente quando
+ 7 está na Figura 50.
FIGURA 50
de unidades/ real = -40 unidades/ real
...
Fonte: Elaborada pelo autor.
O gráfico de Q(p) =
= -0,04 milhar
a variável independente varia de uma unidade.
Nos
gráficos,
os
“degraus”
aparecem com larguras iguais e medindo uma unidade. Nas taxas de variação calculadas, o denominador é sempre 1. Vamos examinar agora o que acontece com a taxa de variação quando consideramos intervalos maiores do que 1, ou seja,
Fonte: Elaborada pelo autor.
081
unidade 7
CÁLCULO
quando aumentamos a largura do “degrau”. Essa análise nos levará ao conceito de taxa de variação média.
unidade de x, em média, entre x1 e x2. • Podemos observar que essa razão é a inclinação da reta que passa
Dados uma função qualquer y = ƒ(x) e um
pelos pontos (x1, ƒ(x1)) e (x2, ƒ(x2)).
intervalo I = [x1, x2], chamamos de taxa de
• A taxa de variação média é a
variação média de y em relação a x, quando
taxa de variação da função linear
x varia de x1 até x2, com x2 > x1, à razão
determinada pela reta que passa
ƒ(x2) -ƒ(x1) . x2 -x1
pelos pontos (x1, ƒ(x1)) e (x2, ƒ(x2)) . • A equação dessa reta é da forma
Considerando y1 = ƒ(x1) e y2 = ƒ(x2), temos as seguintes igualdades: • variação de y = ∆y = y2 - y1 = ƒ(x2) - ƒ(x1)
∆x
Vamos detalhar essas ideias por meio de exemplos.
• variação de x = ∆x = x2 - x1 • taxa de variação média de y em relação ax=
y - ƒ(x1) = ∆y (x - x1).
∆y y2 -y1 ƒ(x2) -ƒ(x1) = = x2 -x1 ∆x x2 -x1 FIGURA 51
Exemplo 4 Retomemos a função V(t) = t2 + 7, estudada no Exemplo 1 do item anterior e cujo gráfico está na Figura 52. FIGURA 52
Fonte: Elaborada pelo autor.
O exame atento do gráfico da Figura 51 nos permite perceber o significado geométrico Fonte: Elaborada pelo autor.
da taxa de variação média. • A
taxa
de
variação
média
corresponde à variação de y por
082
unidade 7
Entre os instantes t1 = 1 e t2 = 5, temos as seguintes variações:
CÁLCULO
variação de t = ∆t = 5 - 1 = 4 meses
S(t) = t2 + 10, sendo a distância S medida em metros e o tempo t, em segundos.
variação de V = ∆V = V(5) - V(1) = 32 - 8 = A função S(t) = t2 + 10 pode ser descrita por
24 reais taxa de variação média = Tm =
∆V V(5) - V(1) 24 reais = 6 reais/ mês = = ∆t 5-1 4 meses A taxa média encontrada, Tm = 6 reais/ mês , indica que, entre t1 = 1 e t2 = 5 , a variação do
meio da Tabela 25. TABELA 25 t
0
1
2
3
4
5
6
7
...
S
10
11
14
19
26
35
46
59
...
Fonte: Elaborada pelo autor.
valor V das ações por unidade de tempo t foi,
A Figura 53 traz o gráfico da função
em média, igual a 6 reais. É como se, a cada
S(t) = t2 + 10.
mês, o valor das ações aumentasse 6 reais.
FIGURA 53
Sob o aspecto gráfico, a taxa média
encontrada, ∆V= 6, é a taxa de variação
∆t
da função linear determinada pela reta que passa pelos pontos (1, 8) e (5, 32). Escrever a equação dessa reta é escrever a equação de uma reta que passa pelo ponto (1, 8) e tem inclinação ∆V= 6:
Fonte: Elaborada pelo autor.
V - 8 = 6(t - 1) ou V = 6t + 2
Entre os instantes t1 = 1 e t2 = 6, temos as
∆t
seguintes variações: Chegamos ao mesmo resultado ao escrever a equação da reta que passa pelo ponto (5, 32) e tem inclinação ∆V= 6:
∆t
V - 32 = 6(t - 5) ou V = 6t + 2
variação de t = ∆t = 6 - 1 = 5 segundos variação de S = ∆S = S(6) - S(1) = 46 - 11 = 35 metros taxa de variação média = Tm =
Exemplo 5 Consideremos uma partícula que se desloca
083
unidade 7
∆S V(6) - V(1) 35 metros = = = 7m/s ∆t 6-1 5 segundos
em linha reta, de modo que sua posição
A taxa média encontrada, Tm = 5 m/s, indica
em relação a 10, marco inicial de seu de
que entre, t1 = 1 e t2 = 5, a variação do valor
seu movimento, seja dada pela função
da distância S percorrida pela partícula por
CÁLCULO
unidade de tempo t foi, em média, igual a 5
A taxa de variação média da posição em
metros.
relação ao tempo, ou seja, a velocidade média desse carro é igual à velocidade que
Como ∆S é a variação da distância, medida
ele deveria ter em movimento uniforme
em metros, e ∆t é a variação do tempo,
para realizar o mesmo percurso. É como
medido em segundos, a taxa média de
se o carro “seguisse”, entre os instantes t1
variação ∆S indica a velocidade média da
e t2, a reta secante, em vez de “seguir” o
partícula, em metros por segundo. Desse
gráfico da curva y = S(t) .
∆t
modo, podemos escrever: velocidade média da partícula = ∆S = 35 metros = 7 m/s. 5 segundos
∆t
Para indicar algebricamente a velocidade média, escrevemos: S2 -S1 = t2 -t 1
vm = ∆S =
∆t
Geometricamente ou, sob o aspecto gráfico, a taxa média encontrada, ∆S = 7,
∆t
é a inclinação da que passa pelos pontos (1, 11) e (6, 46). A equação dessa reta é S - 11 = 5(t - 1) ou S = 5t+ 6.
A equação da reta que passa pelos pontos (t1, ƒ(t1)) e (t2, ƒ(t2)) é da forma: S - S(t1) = ∆S (t - t1) ou S - S(t1) = vm (t - t1)
∆t
Exemplo 7 Exemplo 6
Consideremos
Consideremos um carro que, entre os
uma
função
qualquer
y = ƒ(x), representada na Figura 55.
instantes t1 e t2, se desloca do marco
FIGURA 55
quilométrico S1 ao marco quilométrico S2, segundo a equação da função posição y = S(t), cujo gráfico está na Figura 54. FIGURA 54
Fonte: Elaborada pelo autor.
A partir das informações contidas nessa figura, podemos estabelecer as seguintes variações: Fonte: Elaborada pelo autor.
084
unidade 7
CÁLCULO
∆y = ƒ(3 + h) - ƒ (3)
∆x = (3 + h) - 3 = h
Tm = ∆y = f(3 + h) - f(3) ∆x h
A taxa de variação média de uma função entre os pontos (x1, ƒ(x1)) e (x2, ƒ(x2)) é o número real m = ∆y =
∆x
.
A reta de inclinação ∆y e que passa
Esse número é a inclinação da reta
pelos pontos (3, ƒ(3)) e (3+ h, ƒ(3 + h)) tem
y = mx + b, determinada por esses pontos.
∆x
equação:
A equação dessa reta é y - ƒ(x1) = ∆y (x - x1).
∆x
y - ƒ(3) = ∆y (x - 3)
∆x
O gráfico de y = ƒ(x) em um intervalo pode ter diferentes aspectos, conforme podemos ver na Figura 56.
A taxa de variação média nos fornece informações sobre a rapidez com que a função varia em um determinado intervalo. Ela não nos informa sobre como a função
FIGURA 56
está variando em um ponto específico, ou seja, ela não nos informa com que rapidez a função y está aumentando ou diminuindo para um determinado valor de x. Utilizando o que foi visto no Exemplo 5, a taxa de variação média nos fornece a velocidade média entre os instantes t1 e t2; mas nada nos diz a respeito da velocidade no instante t1 ou no instante t2 . É isso que
Fonte: Elaborada pelo autor.
vamos estudar a seguir: o que vem a ser
No entanto, podemos observar que, para
velocidade instantânea ou taxa de variação
qualquer uma dessas funções, a taxa de
instantânea?
variação média, quando x varia de 3 até 8, é a mesma: Tm = ∆y =
∆x
=
= 2,4.
A unidade de medida dessa taxa de variação média é a unidade de medida do numerador sobre a unidade de medida de denominador. Assim, por exemplo, se y for
A noção de taxa de variação instantânea
medido em reais e x, em dias, temos:
ou derivada em um ponto se fundamenta
Tm =
085
unidade 7
DERIVADA EM UM PONTO OU TAXA DE VARIAÇÃO INSTANTÂNEA
=
= 2,4 reais/ dia
na ideia de que uma curva pode parecer uma reta nas proximidades de um ponto.
CÁLCULO
Podemos perceber isso ao fazer um zoom
As situações apresentadas nos gráficos da
na parte do gráfico de uma curva que
Figura 59 podem nos ajudar a perceber o
contém o ponto P, conforme mostrado na
que significa dizer que uma reta é tangente
Figura 57.
a uma curva em um ponto P. FIGURA 57
FIGURA 59 – Situações em que a reta tangente ou não
r C
P
Fonte: Elaborada pelo autor.
r
Assim, a rapidez com que uma função varia em um ponto pode ser associada à
C
P
taxa de variação da função y = mx + b que
C
melhor se aproxima da função dada no ponto P(x0, ƒ(x0)).
RETA
P
r
A reta r é tangente à curva C no ponto P.
TANGENTE
C
De todas as retas que passam pelo ponto
P
P(x0, ƒ(x0)), a que mais se aproxima do gráfico da curva y = ƒ(x) no ponto de
C
abscissa x0 é a reta tangente à curva nesse
P
ponto, conforme podemos observar na Figura 58. FIGURA 58
r
r
r
C P
A reta r não é tangente à curva C no ponto P. Fonte: Elaborada pelo autor.
Por ora, tomamos essa noção intuitiva de reta tangente para estudarmos as taxas de Fonte: Elaborada pelo autor.
086
unidade 7
variação de uma função qualquer.
CÁLCULO
Para caracterizar a rapidez com que uma função y = ƒ(x) varia em um ponto x0, utilizamos a ideia de taxa de variação de
A taxa de variação instantânea de y = ƒ(x) no ponto x0 é o númeto real m = ƒ'(x0).
y = ƒ(x) no ponto (x0, ƒ(x0)). Essa taxa de
Esse número real é a inclinação da reta
variação é a inclinação da curva y = ƒ(x)
y = mx + b, que é a reta tangente ao gráfico
no ponto (x0, ƒ(x0)). Também chamada de
da curva y = ƒ(x) no ponto (x0, ƒ(x0)).
taxa de variação instantânea de y = ƒ(x) no ponto (x0, ƒ(x0)), essa taxa é a inclinação da tangente ao gráfico da curva y = ƒ(x) no ponto (x0, ƒ(x0)). Podemos verificar o sentido gráfico dessas ideias na Figura 60.
A equação dessa reta tangente é y - ƒ'(x0) = ƒ'(x0)(x - x0). Para detalhar as ideias estudadas, vamos considerar alguns exemplos.
FIGURA 60 Exemplo 7 Consideremos, na Figura 61 e na Figura 62, cada gráfico da função y = ƒ(x) e o respectivo gráfico da reta tangente no Fonte: Elaborada pelo autor.
ponto (x0, ƒ(x0)). FIGURA 61
DERIVADA EM
UM PONTO A taxa de variação instantânea da função y = ƒ(x) no ponto (x0, ƒ(x0)) é chamada de derivada da função y = ƒ(x) no ponto de abscissa x0. Seu valor é usualmente indicado por ƒ'(x0) . (Lê-se: “efe linha de xis zero”.) Como fizemos para a taxa de variação
Na Figura 61, a derivada ou a taxa de
média, também associamos a taxa de
variação de y = ƒ(x) é ƒ'(x0) = m.
variação instantânea de uma função à inclinação de uma reta, conforme indicado no quadro a seguir.
087
unidade 7
Fonte: Elaborada pelo autor.
Aqui temos ƒ'(x0) > 0.
CÁLCULO
FIGURA 62
velocidade da partícula no instante t1 a velocidade que ela teria se seu movimento se tornasse, a partir desse instante, um movimento uniforme. A velocidade da partícula no instante t1 é a taxa de variação da posição S em relação ao tempo t, ou seja, é a derivada de S em relação a t no instante t1. Podemos, pois,
Fonte: Elaborada pelo autor.
escrever:
Na Figura 62, a derivada ou a taxa de variação de y = ƒ(x) é ƒ'(x0) = m.
Desse modo, podemos dizer que a
Aqui temos ƒ'(x0) < 0.
velocidade no instante t1 é a velocidade do movimento uniforme que melhor se
Exemplo 8 Consideremos
v(t1) = S'(t1) ou v(t1) = m
uma
partícula
com
movimento não uniforme. A função posição dessa partícula é dada pela função S = ƒ(t), cujo gráfico está na Figura 63. FIGURA 63
aproximaria, nesse instante, do movimento considerado. Graficamente, é como se a partícula, a partir desse instante, em vez de seguir o gráfico da função posição, passasse a seguir o gráfico da reta tangente S = mt + b. Exemplo 9 Consideremos o gráfico de y = ƒ(x) na Figura 64 e as retas tangentes a esse gráfico nos
Fonte: Elaborada pelo autor.
A velocidade em um movimento uniforme
pontos x1, x2 e x3. FIGURA 64
é um valor constante; esse valor é a razão constante da distância percorrida pela partícula em cada unidade de tempo. Já em um movimento não-uniforme, a velocidade da partícula varia de um instante para o outro. Assim sendo, entendemos por
088
unidade 7
Fonte: Elaborada pelo autor.
CÁLCULO
Nos pontos de abscissas x1 e x3, a
seja, ƒ'(x0) = 0.
taxa de variação de y = ƒ(x) é positiva e as respectivas retas tangentes estão
As tangentes aos respectivos gráficos são
inclinadas para a direita; no ponto de
horizontais: isso significa que a inclinação
abscissa x2, a taxa de variação de y = ƒ(x) é
dessas tangentes é zero. A equação de
negativa e a respectiva reta tangente está
cada uma dessas tangentes é y = ƒ(x0).
inclinada para a esquerda. Exemplo 11 Exemplo 10
Examinemos os gráficos da Figura 66.
Analisemos as funções da Figura 65 e
FIGURA 66
as tangentes a seus gráficos no ponto (x0, ƒ(x0)). FIGURA 65
Fonte: Elaborada pelo autor.
O gráfico da esquerda apresenta uma função que não é contínua no ponto (x0, ƒ(x0)). Os dois outros gráficos são angulosos (pontudos)
nos
respectivos
pontos
(x0, ƒ(x0)). Nesses três casos, não existe a derivada nos respectivos pontos (x0, ƒ(x0)), ou seja, não existe ƒ'(x0). Fonte: Elaborada pelo autor.
Nessas duas funções, a taxa de variação no ponto (x0, ƒ(x0)) é nula. A derivada no ponto (x0, ƒ(x0)) vale zero, ou
089
unidade 7
Para que exista derivada em (x0, ƒ(x0)), é necessário que o gráfico admita uma reta tangente nesse ponto. Isso ocorre somente quando a curva for suave (não tem alterações bruscas) no ponto considerado.
CÁLCULO
Exemplo 12
d. y =
Observemos os gráficos da Figura 67.
2 x
+5
e. y = 72 - 8x
FIGURA 67 2. Determine a velocidade média de um carro entre as e as 8h e as 10h de um dia, sabendo que às 8h ele estava no quilômetro 50 e às 10h estava no quilômetro 220 da mesma rodovia. Após Fonte: Elaborada pelo autor.
isso, responda às perguntas seguintes:
Não existe derivada dessas funções nos
a. É possível afirmar que o carro não
respectivos pontos (x0, ƒ(x0)), porque a reta
ultrapassou os 85 km/ h? Justifique
tangente, em cada um desses pontos, é
sua resposta.
vertical (paralela ao eixo y) e sua equação não é da forma y = mx + b. Nos dois casos apresentados na Figura 67, as retas tangentes têm equação x = x0.
b. Supondo que durante esse percurso o carro esteve parado durante 10 minutos, o que se pode afirmar sobre sua velocidade máxima em relação a sua velocidade média no
EXERCÍCIOS 1. Primeiramente, construa uma tabela para cada uma das funções dadas, indicando os valores de y quando x assume valores inteiros de 0 a 4; observe a variação de y por unidade de variação de x no intervalo considerado. A seguir, calcule a taxa de variação média entre x1 = 1 e x2 = 4 para cada uma delas. a. y = 3x2 - 7 b. y = x3 + 7 c. y =
090
unidade 7
x+5
intervalo considerado? Justifique sua resposta. 3. A inclinação do gráfico de uma função y = ƒ(x) no ponto x0 é a inclinação da reta tangente a esse gráfico no ponto (x0, ƒ(x0)). Essa inclinação é a taxa de variação da função y = ƒ(x) no ponto (x0, ƒ(x0)) e essa taxa de variação é chamada de derivada da função y = ƒ(x) no ponto (x0, ƒ(x0)). Com base nessa informação, determine o sinal da derivada no ponto de abscissa x0 para cada uma das funções cujos gráficos aparecem a seguir.
CÁLCULO
FIGURA 68
4. Dados os pontos de abscissas x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8 e x9 que pertencem ao gráfico de y = ƒ(x), determine o sinal da derivada dessa função em cada um desses pontos e indique os pontos onde a derivada se anula. FIGURA 69
Fonte: Elaborada pelo autor.
5. O gráfico de y = ƒ(x) está representado abaixo. Determine o valor da derivada dessa função nos pontos de abscissas x1 = 7 e x2 = 3 . FIGURA 70
Fonte: Elaborada pelo autor.
6. Determine a derivada de y = ƒ(x) no ponto de abscissa x0, sabendo que a reta tangente ao gráfico no ponto (x0, ƒ(x0)) é paralela à reta y = 2x - 6. 7. Determine a derivada de y = ƒ(x) no ponto Fonte: Elaborada pelo autor.
091
unidade 7
de abscissa x0, sabendo que a reta
CÁLCULO
tangente ao gráfico no ponto (x0, ƒ(x0)) é 1 perpendicular à reta y = 5 - x. 3
8. Determine a derivada de y = ƒ(x) no ponto de abscissa x0, sabendo que a reta tangente ao gráfico no ponto (x0, ƒ(x0)) é paralela à reta que passa por A(2 , -3) e B(1, -5). 9. Determine a equação das retas r e s, tangentes ao gráfico de y = ƒ(x). FIGURA 71
Fonte: Elaborada pelo autor.
Fonte: Elaborada pelo autor.
10. Determine a taxa de variação de cada função y = ƒ(x) no ponto indicado e escreva a equação da tangente de cada
11. Na figura, as retas r e s são tangentes à curva de equação y = ƒ(x) e, além disso, são paralelas à reta t, de equação y = 3x + 9. FIGURA 73
uma delas nesse ponto. FIGURA 72
Fonte: Elaborada pelo autor.
Com base nessas informações, determine o valor da derivada dessa função em cada um dos pontos assinalados.
092
unidade 7
CÁLCULO
12. Calcule, nos pontos de abscissas 5, -5, 13 e -13, a derivada da função y = ƒ(x), cujo gráfico é o semicírculo representado. FIGURA 74
Fonte: Elaborada pelo autor.
13. Em cada caso, indique se existe ou não, no ponto indicado, a derivada da função representada. FIGURA 75
Fonte: Elaborada pelo autor.
093
unidade 7
CÁLCULO
CÁLCULO DA DERIVADA
A
té agora, calculamos a derivada de uma função em um ponto determinado por meio da análise do gráfico. Para issso, consideramos a derivada de uma função y = ƒ(x) no ponto (x1 ƒ(x1)) como a inclinação da reta tangente a seu gráfico e também como a
inclinação da curva nesse ponto. Examinar como é a inclinação de uma curva ou a inclinação da tangente a essa curva em um ponto determinado pode ser feito quando a função é dada por meio de uma tabela ou de seu gráfico. FIGURA 76
Como calcular ƒ'(x0) = m? Fonte: Elaborada pelo autor.
Estudaremos neste capítulo como podemos calcular a derivada de uma função y = ƒ(x) no ponto (x1, ƒ(x1)) quando essa função é dada por meio de uma equação. Procuraremos, em outros termos, responder à pergunta que está posta na Figura 76: como calcular m = ƒ'(x1)? Admitimos que a reta tangente ao gráfico existe e que sua equação é da forma y = mx + b, sendo a = ƒ'(x1). Vamos, pois, procurar um jeito de calcular o valor de m a partir da lei que define y = ƒ(x).
095
unidade 8
CÁLCULO
VELOCIDADE MÉDIA
Durante essa hora, a velocidade em cada
E VELOCIDADE INSTANTÂNEA
instante pode ter variado bastante. Para obter uma aproximação melhor da
Vamos analisar o caso de um carro em movimento
não
uniforme.
Queremos
determinar a velocidade do carro, em hm/h, no instante t1. Essa é a velocidade que o carro teria se seu movimento se tornasse uniforme a partir do instante t1. Podemos
velocidade do carro no instante t1, podemos dividir uma hora em sessenta minutos e observar a distância percorrida em um 1 minuto a partir de t1, sendo 1min = h. No 60 intervalo de um minuto, contado a partir de t1, a velocidade média é o valor da fração
vizualizar isso no gráfico da Figura 77. FIGURA 77
.
Multiplicando a distância percorrida em um minuto por 60, temos o percurso esperado em uma hora, caso o carro continue com a mesma velocidade observada durante esse minuto. Essa situação vem ilustrada
Fonte: Elaborada pelo autor.
na Figura 78. Se deixarmos transcorrer uma hora a partir
FIGURA 78
de t1 e constatarmos que, nesse intervalo, o carro percorreu, por exemplo, 80 km, isso não é suficiente para concluir que a velocidade no instante t1 é de 80km/h. Podemos, simplesmente, dizer que o carro andou em velocidade média de 80km/h no intervalo considerado. No intervalo de uma hora, a velocidade média é o valor da fração .
096
unidade 8
Fonte: Elaborada pelo autor.
CÁLCULO
Obtemos uma aproximação ainda melhor
Se considerarmos n suficiente grande,
observando a variação da distância percorrida 1 em um segundo, a partir de t1, sendo 1s = 3600 h . No intervalo de um segundo, contado a partir
podemos afirmar que a velocidade média 1 no intervalo é a velocidade no instante t1. n
Podemos escrever:
de t1, a velocidade média é o valor da fração
v(t1). . Multiplicando a distância percorrida em um
Quanto menor o intervalo de tempo considerado
para,
a
partir
dele,
segundo por 3.600, obtemos o percurso
fazermos a projeção do percurso que
esperado em uma hora, caso o carro continue
seria realizado em uma hora, mais o
a se deslocar com a mesma velocidade
valor obtido se aproxima do valor da
observada durante esse segundo.
velocidade no instante t1. Para efeito de cálculo, usaremos a igualdade:
Obtemos uma aproximação mais precisa se, dividindo uma hora em n pequenos intervalos, observarmos a distância percorrida na enésima parte da hora, a partir de t1, sendo 1 essa enésima parte igual a h. No intervalo n 1 de , contado a partir de t1, a velocidade n
média é o valor da fração
v(t1)
, para n
arbitrariamente grande. Usando a ideia de que a velocidade no instante t1 é a derivada da função posição, podemos escrever: S'(t1) ≈
, para n
arbitrariamente grande.
. Multiplicando a distância percorrida na enésima parte de uma hora por n, obtemos
097
unidade 8
TAXA DE VARIAÇÃO MÉDIA
E TAXA DE VARIAÇÃO INSTANTÂNEA
o percurso esperado em uma hora, caso o
O processo utilizado para estimar a
carro continue a se deslocar com a mesma
velocidade do carro em um instante t1,
velocidade observada durante essa enésima
pode ser aplicado no caso de uma função
parte.
qualquer y = ƒ(x).
CÁLCULO
FIGURA 79 A taxa de variação média no intervalo valor da fração:
1 n
éo
. Fonte: Elaborada pelo autor.
Para calcular ƒ'(x1), podemos considerar, inicialmente, a taxa de varição média mostrada na Figura 79:
Se considerarmos n suficiente grande, podemos afirmar que a taxa de variação 1 média no intervalo é a taxa de variação n
.
no ponto de abscissa x1, ou seja, é a derivada da função y = ƒ(x) nesse ponto. Escrevemos:
O valor obtido para essa taxa de variação média pode diferir muito da derivada ƒ'(x1), uma vez que a reta tangente no ponto (x1, ƒ(x1)) pode estar muito afastada do gráfico de y =
ƒ'(x1).
ƒ(x) no ponto de abscissa x1 + 1. Para obter um valor aproximado da derivada,
Quanto menor o intervalo considerado
podemos fazer x variar não de 1, mas de 1 , a partir de x1, e calcular a variação
para, a partir dele, fazermos a projeção
n
correspondente de y = ƒ(x), conforme ilustrado na Figura 80. FIGURA 80
da variação da função y = ƒ(x) para cada unidade de variação de x, mais o valor obtido se aproxima do valor da taxa de variação no ponto de abscissa x1, que é a derivada ƒ'(x1). No cálculo da derivada em um ponto, usaremos a igualdade: ƒ'(x1) =
, para n
arbitrariamente grande.
Fonte: Elaborada pelo autor.
098
unidade 8
Chamando de An a diferença
,
CÁLCULO
ou seja, fazendo
= An
podemos escrever n • An ƒ'(x1).
valores de n • An se aproximam cada vez mais de um valor fixo m, então ƒ'(x1) = m. Usando a notação de limite, escrevemos:
Esse fato é apresentado na Figura 81. FIGURA 81 Por questão de economia, vamos fazer, na expressão ƒ'(x1) 1 n
1 n
• [ƒ (x1 + h) - ƒ(x1)] =
Podemos observar que, se n → ∞, h → 0.
Fonte: Elaborada pelo autor.
ƒ'(x1) pode ser
percebida considerando-se a variação
Com isso, em vez de dizer que se torna arbitrariamente grande, podemos dizer que se torna bem próximo de zero.
proporcional da reta y = mx + b, tangente à curva y = ƒ(x) no ponto (x1, ƒ(x1)): m = ƒ'(x1) =
Usando a notação de limite, escrevemos:
→ m = ƒ'(x1) = n• An
Quanto maior o valor de n, menor será o 1 intervalo e melhor será a aproximação
Exemplo 1
entre o o valor de m e o valor de ƒ'(x1).
Consideremos a função ƒ(x) = 3x2 + 7.
n
Para obter o valor exato de ƒ'(x1), analisamos
FIGURA 82
o valor de n • An, procurando descobrir de que valor n • An se aproxima quando n se torna arbitrariamente grande. Tentamos responder à pergunta: de que valor se aproxima n • An quando n assume valores arbitrariamente grandes? Se, para valores de n cada vez maiores, os Fonte: Elaborada pelo autor.
099
unidade 8
,
= h. Com essa troca, temos:
ƒ'(x1)
A aproximação n • An
n•
CÁLCULO
Vamos calcular sua derivada em cada um
b) Cálculo de ƒ'(-3):
dos pontos de abscissas x1 = 2, x2 = -3 e x3 = 0 a) Cálculo de ƒ'(2) :
ƒ(2) = 3 • 22 + 7 ƒ(2 + h) = 3(2 + h)2 + 7 = 3 • 22 +12h + 3h2 + 7 An = ƒ(2 + h) - ƒ(2) = 12h + 3h2 ƒ'(2)
1 n
ƒ(-3) = 3 • (-3)2 + 7 ƒ(-3 + h) = 3(-3 + h)2 + 7 = 3 • (-3)2 -18h + 3h2 + 7 An = ƒ(-3 + h) - ƒ(-3) = -18h + 3h2 ƒ'(-3)
1 n
(-18h + 3h2) = -18 + 3h
2
(12h + 3h ) = 12 + 3h
Usando a notação de limite, podemos
Usando a notação de limite, podemos escrever:
escrever:
Se o valor de h fica bem próximo de zero, o Quanto mais o valor de h fica próximo de
valor de (-18 + 3h) fica muito próximo de -18.
zero, mais o valor de (12 + 3h) se aproxima de
Assim, podemos concluir que ƒ'(- 3) = -18.
12. Por isso, podemos concluir que ƒ'(2) = 12. A reta tangente ao gráfico de ƒ(x) = 3x2 + 7,
100
unidade 8
A reta tangente ao gráfico de ƒ(x) = 3x2 + 7,
no ponto de abscissa x2 = -3, tem inclinação
no ponto de abscissa x1 = 2, tem inclinação
ƒ'(- 3) = -18 e passa pelo ponto (-3, ƒ(-3)) =
ƒ'(2) = 12 e passa pelo ponto (2, ƒ(2)) = (2, 19).
(-3, 34).
A equação dessa tangente é y - 19 = 12(x- 2)
A equação dessa tangente é y - 34 =
ou y = 12x - 5.
-18(x + 3) ou y = -18x + 20.
CÁLCULO
c) Cáclulo de ƒ'(0): ƒ(0) = 3 • 02 + 7 ƒ(0 + h) = 3(0 + h)2 + 7 = 3h2 + 7 An = ƒ(0 + h) - ƒ(0) = 3h2 ƒ'(0) ≈
1 n
(3h2) = 3h
Usando a notação de limite, podemos escrever:
Quanto mais o valor de h fica próximo de zero, mais o valor de (3h) se aproxima de 0. Assim, podemos concluir que ƒ'(0) = 0.
S(3) = -4,9 • 32 + 98 S(3 + h) = -4,9(3 + h)2 + 98 = -4,9 • 32 -29,4h - 4,9h2 + 98 An = S(3 + h) - S(3) = -29,4h - 4,9h2 v(3) = S'(3)
1 n
(-29,4h - 4,9h2) = -29,4 - 4,9h
A reta tangente ao gráfico de ƒ(x) = 3x2 + 7,
Usando a notação de limite, podemos
no ponto de abscissa x3 = 0, tem inclinação
escrever:
ƒ'(0) = 0 e passa pelo ponto (0, ƒ(0)) = (0, 7). A equação dessa tangente é y - 7 = 0(x - 0) ou y = 7. Quanto mais o valor de h se aproxima Exemplo 2 A altura de uma bola largada do alto de um edifício, em relação à rua, é dada pela pela função S(t) = -4,9t2 + 98, em que S é medida em metros e t, em segundos. Vamos calcular a velocidade dessa bola no instante t1 = 3.
de zero, mais o valor de (-29,12 - 4,9h) se aproxima de -29,4. Assim, podemos concluir que v(3) = S'(3) = - 29,4m/s.
A FUNÇÃO
DERIVADA
A velocidade no instante t1 = 3 é o valor
101
unidade 8
da derivada de S(t) = -4,9t2 + 98 nesse
Nos
instante.
derivada da função y = ƒ(x) em um ponto
itens
anteriores,
calculamos
a
CÁLCULO
de abscissa x = x1. Como resultado dessa
representada por ƒ'(x). Nesse caso que
operação, encontramos o número real
estamos analisando, ƒ'(x) = 3x2 é a função
ƒ'(x1) = m. Neste item, vamos calcular a
derivada da função ƒ(x) = x3
derivada de uma função em um ponto qualquer de abscissa x. Como resultado
A Figura 83 apresenta o gráfico de cada
dessa operação, vamos encontrar uma
uma dessas funções.
nova função, chamada função derivada. Exemplo 3
FIGURA 83 y f’(x) = 3x3
Determinar a derivada de ƒ(x) = x3 em um f’(x)
ponto genérico de abscissa x. Como fizemos para um ponto de abscissa determinada, fazemos para um ponto de abscissa x:
x 0
x
ƒ(x) = x3 ƒ(x + h) = (x+ h)3 = x3 + 3x2h + 3xh2 + h3 An = ƒ(x + h) - ƒ(x) = 3x2h + 3xh2 + h3 ƒ'(x) x1
1 n
(3x2h + 3xh2 + h3) = 3x2 + 3xh + h2
y f’(x) = 3x2
Usando a notação de limite, podemos escrever:
f’(x) x
Se o valor de h fica bem próximo de zero, o valor de (3x2 + 3xh + h2) fica muito próximo de 3x2. Assim, podemos concluir que ƒ'(x) = 3x2.
0
x
Fonte: Elaborada pelo autor.
O valor da função derivada ƒ'(x) em um ponto qualquer é a inclinação da reta
102
unidade 8
A derivada de uma função em um ponto
tangente ao gráfico da função ƒ(x) . Assim,
genérico (x, ƒ(x)) é também uma função,
no caso das funções da Figura 83, a
CÁLCULO
inclinação da reta tangente ao gráfico de
No intervalo ]-1, 1[ , a derivada y’ = 3x2 - 3
ƒ(x) = x3, no ponto (2, ƒ(2)) = (2, 8), é ƒ `(2)=
é negativa (seu gráfico está abaixo do
3 • 22 = 12.
eixo horizontal); nesse intervalo a função y = x3 - 3x é decrescente.
A equação dessa reta tangente é y - 8 = 12(x - 2) ou y = 12x - 16. Em geral, para calcular a derivada em um ponto de abscissa x0, é melhor calcular, primeiro, a derivada em um ponto qualquer, de abscissa x , obtendo a função derivada ƒ`(x). A seguir, calculamos o valor ƒ`(x0).
Isso ficará mais claro nos exemplos que vêm a seguir.
DUAS
DERIVADA Nos estudos sobre a função y = ƒ(x), feitos até agora, trabalhamos com duas derivadas: a derivada em um ponto de abscissa x1 e a derivada em um ponto qualquer.
Exemplo 4
• A derivada em um ponto de
A Figura 84 traz o gráfico da função y = x3 - 3x e o de sua derivada y’ = 3x2 - 3. FIGURA 84
abscissa x1 é um número real m tal que ƒ'(x1) =
1 h
• [ƒ (x1 + h) - ƒ(x1)] = m,
quando h fica bem próximo de zero. Ou, usando a notação de limite:
O número real m = ƒ'(x1) é sempre a inclinação da reta tangente ao gráfico de Fonte: Elaborada pelo autor.
y = ƒ(x) no ponto (x1 ƒ(x1)).
Podemos observar que o gráfico da
A equação dessa reta tangente é
derivada y’ = 3x2 - 3 está acima do eixo
y - ƒ(x1) = m • (x - x1) ou y - ƒ(x1) = ƒ'(x1) • (x - x1)
horizontal no intervalo ]-∞, -1[ e no intervalo
103
unidade 8
]1, +∞[ ; nesses dois intervalos, a derivada
Esse número real m = ƒ'(x1) é, também, uma
é positiva e, em consequência, a função
taxa de variação instantânea, formada
y = x3 - 3x é crescente.
pela razão entre a variação da grandeza
CÁLCULO
representada por e a variação da grandeza representada por x. • A derivada em um ponto qualquer é uma função ƒ'(x) tal que ƒ'(x) =
1 h
• [ƒ (x + h) - ƒ(x)] , quando h fica bem
próximo de zero.
EXERCÍCIOS
PROPOSTOS 1. Primeiramente, esboce o gráfico da função ƒ(x) = 5x2 - 3. A seguir calcule a derivada dessa função nos pontos onde x1 = 2, x2 = -2 e x3 = 0. Por fim, escreva a equação da tangente ao gráfico de ƒ nesses mesmos pontos.
Ou, usando a notação de limite: 2. Primeiramente, calcule a derivada no ponto de abscissa x1 = 1, de cada uma
das funções ƒ(x) = x2 e g(x) = x3. Depois Dizemos que a função y = ƒ(x) é derivável
disso, escreva a equação de cada uma das
em um ponto de abscissa x se ƒ'(x),
tangentes a ƒ e g no ponto de abscissa
nesse ponto, for um número real. Se isso
x1 = 1. Por fim, esboce os gráficos de ƒ e g
acontecer para todo ponto do domínio de
em um mesmo sistema de coordenadas e
y = ƒ(x), dizemos que y = ƒ(x) é derivável em
trace as tangentes encontradas.
todo seu domínio. 3. Calcule a derivada de cada uma das Em geral, as funções com as quais lidamos no Cálculo são deriváveis em todo seu domínio; algumas dessas funções não são deriváveis em pontos isolados. Podemos pensar que a derivada de y = ƒ(x) é a função que associa a cada valor de do domínio de y = ƒ(x) um único número real ƒ'(x).
funções no ponto de abscissa x1 ou t1: a. ƒ(x) = -3x2 + 12; x1 = 7 b. g(x) = x2 -7x; x1 = 4 c. h(x) = 3x2 + 2x - 1; x1 = 4 d.ƒ(t) = 3t2; t1 = 5 e. g(t) = 3t2 + 7; t1 = 5 f. h(t) = 3t2 -7' t1 = 5 4. Calcule a derivada de cada uma das funções em um ponto genérico de abscissa x: a. ƒ(x) = 3x2
104
unidade 8
CÁLCULO
b. g(x) = 11 - x2
O que vem depois
c. h(x) = x3 +5
Na sequência do trabalho com o Cálculo Diferencial e Integral, você terá possibilidade
5. Para cada uma das funções a seguir,
de estudar regras práticas de derivação, o
calcule a derivada ƒ'(x), esboce os gráficos
que simplificará o aspecto operatório para
de ƒ(x) e de ƒ'(x) em um mesmo sistema e
determinar derivadas. Você deverá abordar
compare essas duplas de gráficos:
novas funções, além das algébricas vistas
a. ƒ(x) = x2 b. ƒ(x) = x2 + � c. ƒ(x) = x2 - 1 6. Uma partícula desloca-se obedecendo à função horária s(t) = 5t2 + 15t + 30, sendo a distância medida em quilômetros e o tempo, em horas. Determine a velocidade dessa partícula no instante t = 3h. 7. A velocidade de uma partícula no instante t é dada pela função v(t) = t2 + 2t - 8, sendo a velocidade medida em metros por segundo. Com base nessas informações:
nesta apostila; são algumas das funções transcendentes – as funções exponenciais, as funções logarítmicas e as funções trigonométricas. A mais disso, certamente ficará entusiasmado ao perceber as inúmeras aplicações das derivadas em problemas que aparecem em quase todas as ciências e nas diferentes tecnologias desenvolvidas e que têm por base o Cálculo. Para quem pretende ser um profissional competente, vale a pena investir tempo no estudo de Cálculo: é uma disciplina que ajuda a ler e descrever fenômenos e situações, encontradas no trabalho com tecnologias; é, sobretudo, uma disciplina que pode ser decisiva
a) determine a aceleração média dessa
no aprender a pensar e a tomar decisões, duas
partícula no intervalo 2 ≤ t ≤ 5 ;
competências consideradas como as mais
b) determine a aceleração dessa partícula em um instante t;
importantes para o profissional do Século XXI, de acordo com pessoas que atuam na área de recursos humanos de empresas.
c) calcule a aceleração dessa partícula no instante t = 3s.
Agradecemos pelas críticas e sugestões, se feitas no intuito de melhorar esta apostila e o material disponibilizado no Curso. Para tanto, deixamos à disposição o endereço eletrônico
[email protected].
105
unidade 8
CÁLCULO
REFERÊNCIAS HUGHES-HALLET, Deborah et al. Cálculo de
SOUZA, Sérgio de Albuquerque. Usando o
uma variável. Rio de Janeiro: LTC Editora,
Winplot [Tutorial]. Disponível em:
2007.
goo.gl/3xngPw>. Acesso em: 05 fev. 2014.
LARSON, Ron; EDWARDS, Bruce H. Cálculo
STEWART, James. Cálculo. 6 ed. São Paulo:
com Aplicações. Rio de Janeiro: LTC Editora,
Cengage Learning, 2010.
2005. WINPLOT. Software gratuito. Aplicativo MACHADO, Nilson José. Noções de Cálculo.
computacional para a construção de
São Paulo: Scipione, 1988.
gráficos. Disponível em:
.
SIMMONS, George F. Cálculo com Geometria Analítica. São Paulo: McGraw-Hill, 1987. Site “E-calculo”. Disponibiliza aulas de cálculo. USP. Disponível em: . Acesso em: 05 fev. 2014. Site “Khan Academy”. Disponibiliza aulas de cálculo e outras disciplinas. Disponível em:
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Acesso em: 05 fev. 2014.
106
unidade 8
em: 05 fev. 2014.
Acesso
www.animaeducacao.com.br