Livro Modelos de Precificação e Ruina

Modelo Mode loss de Pre Preci cifi fica caçã çãoo e Ruína para Seguros de Curto Prazo

Paulo Pereira Ferreira

Modelo Mode loss de Pre Preci cifi fica caçã çãoo e Ruína para Seguros de Curto Prazo 1ª Edição - 2002 2ª Reimpressão - 2010

Rio de Janeiro 2010

1ª edição: outubro 2002 2ª reimpressão - Junho 2010 Escola Nacional de Seguros – Funenseg Rua Senador Dantas, 74 – Térreo, 2o, 3o, 4o e 14o andares Rio de Janeiro/RJ – Brasil – CEP 20031-205 Tel.: (21) 3380-1000 Fax: (21) 3380-1546 Internet: www.funenseg.org.br e-mail: faleconosco@funen [email protected] seg.org.br Impresso no Brasil/Printed in Brazil Nenhuma parte parte deste livro poderá poderá ser reproduzida ou transmitida, transmitida, sejam sejam quais forem os meios empregados: eletrônicos, mecânicos, fotográ ficos, gravação ou quaisquer outros, sem autorização por escrito da Escola Nacional de Seguros – Funenseg. Coordenação Editorial Diretoria de Pesquisa e Desenvolvimento Desenvolvimento/Núcleo /Núcleo de Publicações e-mail: publicacao@funen [email protected] seg.org.br Capa Larissa Medeiros Diagramação Info Action Editoração Eletrônica Ltda. – Me Revisão Maria Helena de Lima Hatschbach Thais Chaves Ferraz

Virginia L. P. de S. Thomé Bibliotecária Responsável pela elaboração da ficha catalográfica F443m

Ferreira, Paulo Pereira Modelos de precificação e ruína para para seguros de curto prazo / Paulo Pereira Ferreira. – Rio de Janeiro : FUNENSEG, 2010. 2010. 224 p.: il. ; 25 cm. ISBN 85-7052-397-1 1. Teoria Teoria do risco. 2. Tarifação Tarifação (Seguro). 3. Atuária. Atuária. 4. Precificação. 5. Distribuições de sinistros. 6. Processo de ruína. 7. Teoria da credibilidade. I. Título.

05-0498

CDU 368.01

Sumário Prefácio, xi Apresentação, xiii

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Tarifação, 1 TIPOS DE PRÊMIOS ..................................................................................................1 Prêmio de Risco ........................................................................................1 Prêmio Puro ..............................................................................................2 Prêmio Comercial .....................................................................................2 PRÊMIO INDIVIDUAL ................................................................................................3 MÉTODOS DE TARIFAÇÃO ........................................................................................5 Julgamento ou subjetivo ..........................................................................6 Sinistralidade ............................................................................................6 Prêmio Puro ..............................................................................................6 Tábua de mortalidade ..............................................................................6 PRINCÍPIOS DE CÁLCULO DE PRÊMIOS .....................................................................7 Princípio da Equivalência ........................................................................7 Princípio do Valor Esperado ....................................................................8 Princípio da Variância ..............................................................................8 Princípio do Desvio Padrão .....................................................................8 Princípio da Utilidade Zero .....................................................................9 Princípio Exponencial ............................................................................14 Princípio do Percentil .............................................................................14 PROPRIEDADES DESEJÁVEIS DE UM PRINCÍPIO DE CÁLCULO DE PRÊMIOS ............... 14 Carregamento de segurança não negativo ...........................................14 Perda Máxima .........................................................................................14 Consistência .............................................................................................15 Aditividade .............................................................................................15 Interatividade ..........................................................................................15 EXERCÍCIOS ..........................................................................................................16

Modelo do Risco Individual Anual, 19 O MODELO DO R ISCO INDIVIDUAL ANUAL ............................................................19 CÁLCULO DA FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO DE X i .....................................................20 EXEMPLO DE UTILIZAÇÃO DO MODELO .................................................................21 DISTRIBUIÇÃO DE S ind ..........................................................................................21 Por Convolução a Partir da Distribuição de X i ...................................21

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vi • Modelos de Preci ficação e Ruína para Seguros de Curto Prazo Pela Função Geratriz de Momentos .....................................................22 CÁLCULO DE E [ S ind ] e V [ S ind ] .............................................................................22 CASO EM QUE Bi É FIXADO PARA CADA APÓLICE ...................................................23 APROXIMAÇÃO NORMAL .......................................................................................25 EXERCÍCIOS ..........................................................................................................29

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Modelo do Risco Coletivo Anual, 33 O MODELO DO R ISCO COLETIVO ANUAL ..............................................................33 DISTRIBUIÇÃO DE S col ............................................................................................34 Por Convolução, a Partir das Distribuições de X e N ..........................34 Cálculo de p *n (x) e P *n (x) ................................................................35 X Discreto ...................................................................................35 X Contínuo ..................................................................................36 Pela Função Geratriz de Momentos ....................................................40 CÁLCULO DE E [ S ] E V [ S col ] .............................................................................41 Cálculo de E [ S col ] ...................................................................................41 Cálculo de V [ S col ] ...................................................................................41 EXERCÍCIOS ..........................................................................................................44 COL

4

MÉTODOS DE OBTENÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO DO VALOR DE 1 SINISTRO ..................47 Paramétrico .............................................................................................48 Não Paramétrico .....................................................................................48 DISTRIBUIÇÃO DO VALOR DE 1 SINISTRO COM LIMITE DE INDENIZAÇÃO ................48 AJUSTAMENTO DE DISTRIBUIÇÕES PARAMÉTRICAS .................................................49 1o Etapa: Determinação dos Parâmetros ..............................................49 2o Etapa: Teste de Aderência .................................................................49 PRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES PARAMÉTRICAS ...........................................................49 Log Normal .............................................................................................50 Utilização Prática ...............................................................................51 Pareto .......................................................................................................51 Utilização Prática ...............................................................................52 Gama ........................................................................................................52 Utilização Prática ...............................................................................54 EXERCÍCIOS ..........................................................................................................57

6

8

3

Distribuição da Variável Aleatória “Valor de 1 Sinistro”, 47

5

Distribuições para o Número de Sinistros, 59 DISTRIBUIÇÕES PARA O NÚMERO DE SINISTROS NO MODELO INDIVIDUAL. ..............59 Intervalo de Confiança para E [ N ] .........................................................61 DISTRIBUIÇÕES PARA O NÚMERO DE SINISTROS NO MODELO COLETIVO .................65 Distribuição de Poisson para N .............................................................66 Propriedades da Poisson ....................................................................66 Distribuição Binomial Negativa para N ..............................................67 Propriedades da Binomial Negativa ..................................................67 Interpretações para a Binomial Negativa .........................................68

Sumário • vii Interpretação Tradicional .............................................................68 Interpretação de Polya ..................................................................68 EXERCÍCIOS ..........................................................................................................71

6

Distribuições para o Sinistro Agregado, 73 DISTRIBUIÇÃO DE POISSON COMPOSTA PARA S ..................................................73 Função Geratriz de Momentos da Poisson Composta ........................ 73 Momentos da Poisson Composta ...........................................................74 Propriedades da Poisson Composta .....................................................77 Teorema 1 ...........................................................................................77 Teorema 2 ...........................................................................................78 DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL NEGATIVA COMPOSTA PARA S .....................................80 Função Geratriz de Momentos da Binomial Negativa Composta ...... 81 Momentos da Binomial Negativa Composta ........................................81 APROXIMAÇÕES PARA S .....................................................................................82 Aproximação Normal para S col .............................................................82 Aproximação Normal quando S col ~ Poisson Composta ( λ , P(x)) ...83 COL

COL

COL

Aproximação Normal quando S col ~ Binomial Negativa Composta (r, p, P(x)) ..........................................................................86 Aproximação Gama para S col ................................................................87 Aproximação Gama quando S col ~ Poisson Composta (λ , P(x)) ....... 88 Aproximação Gama quando S col ~ Binomial Negativa Composta (r, p, P(x)) .........................................................89 Outras Aproximações para S col .............................................................90

EXERCÍCIOS ..........................................................................................................92

7

8

Fórmula Recursiva de Panjer, 95 A FÓRMULA R ECURSIVA DE PANJER ......................................................................95 Poisson ( λ ) .............................................................................................96 Geométrica ( p ) ......................................................................................96 Binomial Negativa ( r , p ) ......................................................................96 DEMONSTRAÇÃO DA FÓRMULA R ECURSIVA DE PANJER ...........................................96 CONSIDERAÇÕES PRÁTICAS ...................................................................................99 X Discreto ...............................................................................................99 X Contínuo .............................................................................................99 EXERCÍCIOS ........................................................................................................101

Processo de Ruína – Período Finito, 103 O PROCESSO DE R UÍNA .......................................................................................103 PROBABILIDADE DE R UÍNA ..................................................................................106 Probabilidade Anual de Ruína ............................................................106 MODELO PRÁTICO DE R UÍNA ..............................................................................107 Cálculo da Probabilidade de Ruína em 1 ano ( δ ) ............................108 Cálculo da Reserva de Risco ( μ ) .......................................................108 Cálculo do Limite Técnico ( LT ) ........................................................110 Relação entre μ , δ e LT .................................................................... 111

viii • Modelos de Preci ficação e Ruína para Seguros de Curto Prazo Carregamento de Segurança não Positivo ...................................... 112 Carregamento de Segurança Positivo ............................................. 112 K ........................................................ 117 Cálculo de λ , E X RET e P RET Cálculo de λ .................................................................................. 117 K Cálculo de E X RET ....................................................................... 118 Quando X RET Possui Distribuição Paramétrica Conhecida ..... 118 A Partir dos Valores Observados de X RET .............................. 118 Cálculo de P .............................................................................. 118 RET EXERCÍCIOS ........................................................................................................124

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Processo de Ruína – Período In finito, 127

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Aplicações em Resseguro, 143

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Aplicações Diversas, 163

O PROCESSO DE R UÍNA EM UM PERÍODO INFINITO ..............................................127 PROCESSO DE POISSON COMPOSTO S (t ) ............................................................128 CÁLCULO DE ϕ ( μ ) NO CASO POISSON COMPOSTO ...........................................129 Conclusões sobre ϕ ( μ ) .......................................................................131 DISTRIBUIÇÃO DO 1º EXCEDENTE ABAIXO DE μ .................................................133 PERDA MÁXIMA AGREGADA ................................................................................134 Fórmula Aproximada Para ϕ ( μ ) .....................................................135 FÓRMULA APROXIMADA DE SOUZA MENDES PARA O CÁLCULO DO LT .................137 EXERCÍCIOS ........................................................................................................140

CONTRATOS DE R ESSEGURO ................................................................................143 Classi ficação dos Contratos de Resseguro ..........................................143 Contratos Proporcionais ..................................................................144 Contrato de Quota-Parte .............................................................144 Contrato de Excedente de Responsabilidade ou Surplus ...........144 Contratos Não Proporcionais ..........................................................148 Contrato Excesso de Danos ou Excess of Loss...........................148 Contrato de Catástrofe ................................................................151 Contrato de Stop Loss .................................................................152 Contrato de Stop Loss por Limite de Sinistralidade ............152 Contrato de Stop Loss por Limite de Perda .........................153 DISTRIBUIÇÃO DO SINISTRO R ETIDO ....................................................................157 Contrato de Excesso de Danos .............................................................157 Contrato de Excesso de Danos Conjugado Com um Contrato de Quota-Parte ......................................................................................157 Contrato de Excedente de Responsabilidade .....................................158 EXERCÍCIOS ........................................................................................................160

APLICAÇÕES PRÁTICAS NA PRECIFICAÇÃO ...........................................................163 Cálculo de λ ........................................................................................164 K Cálculo de E X ...............................................................................164

Sumário • ix

Quando X Possui Distribuição Paramétrica Conhecida .............164 A Partir dos Valores Observados de X .........................................164

Cálculo do Prêmio Puro Total ( P ) .....................................................164 ..........................................165 Cálculo do Prêmio Puro Individual ( P I ) Precificação de Seguros com Franquia ...............................................165 Franquia Proporcional ....................................................................165 Conceito ......................................................................................165 Modelo Atuarial ..........................................................................165 Franquia Dedutível ..........................................................................166 Conceito ......................................................................................166 Modelo Atuarial ..........................................................................166 Franquia Simples .............................................................................167 Conceito ......................................................................................167 Modelo Atuarial ..........................................................................167 Cuidados na Preci ficação de Seguros com Franquia .....................170 Precificação de Seguros a Primeiro Risco Absoluto e Cláusula de Rateio .............................................................................172 Primeiro Risco Absoluto .................................................................173 Características .............................................................................173 Comparação para IS 1 e IS 2 ...........................................................173 Cláusula de Rateio ...........................................................................174 Características .............................................................................174 Comparação para IS 1 e IS 2 ...........................................................174 Precificação Para a Reintegração Automática da Importância Segurada ....................................................................178 TARIFAÇÃO ESPECIAL PARA SEGUROS DE VIDA EM GRUPO ..................................180 EXERCÍCIOS ........................................................................................................182

12

Teoria da Credibilidade, 185 CONCEITO BÁSICO ..............................................................................................185 CREDIBILIDADE TOTAL .......................................................................................186 CREDIBILIDADE PARCIAL ....................................................................................189 Princípio da Flutuação Limitada ........................................................189 Princípio da Credibilidade Hiperbólica .............................................191 Comparação com o Princípio da Flutuação Limitada ......................193 Princípio da Credibilidade Bayesiana Empírica ...............................194 EXERCÍCIOS ........................................................................................................194

Bibliogra fia, 197 Apêndice 1 – Exposição ao Risco, 199 CÁLCULO DA EXPOSIÇÃO INDIVIDUAL .................................................................199 ENDOSSO DE CANCELAMENTO POR SINISTRO .......................................................202 CÁLCULO SIMPLIFICADO DA EXPOSIÇÃO AGREGADA............................................202

Apêndice 2 – Tabela Distribuição Normal Padronizada Acumulada, 205 Respostas dos Exercíos, 207

Prefácio Aceitei com muita satisfação o convite de preparar o prefácio para esta segunda reimpressão do livro “Modelos de Preci ficação e Ruína para Seguros de Curto Prazo”, de autoria do Paulo Pereira Ferreira. Acredito que um livro de Ciências Atuariais, especi ficamente de Teoria do Risco, que já caminha para a segunda reimpressão, após somente oito anos de sua primeira publicação, pode dispensar qualquer apresentação; o livro já fala por si mesmo e pelo seu autor. Desde o seu lançamento, este livro tem sido utilizado em cursos regulares de graduação em Atuária, assim como em cursos de Pós-graduação e MBA de Seguros e Atuária. Hoje, esta obra já está consagrada como biogra fia indispensável nos cursos de Atuária de nosso país. Paulo conseguiu aliar ao rigor técnico uma grande quantidade de exemplos apresentados de forma simples e sempre procurando associar a teoria atuarial com a prática do dia a dia. Em um mercado como o nosso, com pouquíssima literatura atuarial em português, este livro tem sido muito bem recebido. Possuidor de uma inteligência brilhante, um enorme conhecimento técnico e uma grande sim plicidade, Paulo é reconhecidamente um dos profissionais mais destacados do mercado. Aliado a estes dons, seu amor pelo Magistério e pela Atuária completam seu brilhante currículo. O entusiasmo com a publicação e sucesso desta obra levou-o a novas publicações no campo atuarial. Na nova obra publicada pela Funenseg em 2009, tive a honra de ser co-autora do livro “Aspectos Atuariais e Contábeis das Provisões Técnicas”, que esperamos caminhe na mesma trilha de sucesso deste livro de Teoria do Risco. Espero que sua veia literária não pare por aqui e que o Paulo continue proporcionando à comunidade atuarial os frutos de seu trabalho como Professor Universitário aliado à prática de sua experiência como Consultor Atuarial por tantos anos. Parafraseando o autor desta obra, saudações atuariais! Rio 12 de Abril de 2010 Cristina Mano Sócia Consultora da Towers Watson

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Apresentação Este livro é o resultado de 30 anos de vida pro fissional, sendo 29 deles dedicados ao magistério como professor do curso de ciências atuariais da Universidade Federal do Rio de Janeiro, tempo no qual tive um envolvimento constante e crescente com as ciências atuariais. Nesses 30 anos, diversos foram os momentos de descobertas, as quais, de tão fascinantes, passei a classificar como maravilhas atuariais. Neste livro, procurei destacar algumas destas maravilhas, as quais, nem sempre se encontram com o devido destaque em outros livros. A principal motivação para realizar este livro foi a elaboração da primeira literatura em língua portuguesa sobre a Teoria do Risco, área das ciências atuariais já bastante explorada em outras línguas, e que trata de modelos de precificação e ruína para seguros de curto prazo. Como motivação adicional, pretendi apresentar uma literatura que mesclasse o enfoque acadêmico com o enfoque profissional. Por este motivo, diversos exemplos práticos são apresentados neste livro, o que permite que outros pro fissionais, além dos atuários, possam, também, desfrutar das maravilhas atuariais. O capítulo 1 trata do processo de tarifação, apresentando os tipos de prêmios e métodos de tarifação, onde se inserem os métodos que utilizam a Teoria do Risco. Os capítulos 2 e 3 abordam os modelos do risco individual e coletivo, respectivamente. Pelo modelo do risco individual, precisamos conhecer a probabilidade de ocorrência de sinistro e de distribuição do valor de 1 sinistro, para cada risco individualmente, enquanto que no modelo do risco coletivo trabalhamos com o risco de forma agregada, utilizando as variáveis aletórias “número de sinistros” e “valor de 1 sinistro” para a carteira de seguros como um todo. Pela sua simplicidade , o modelo coletivo predomina em relação ao modelo individual, na utilização prática, o que faz algumas pessoas confundirem a Teoria do Risco com sendo a Teoria do Risco Coletivo. Nos capítulos 4 e 5 são apresentadas as principais distribuições de probabilidades para as variáveis aleatórias “valor de 1 sinistro” e “número de sinistros ocorridos em 1 ano” , res pectivamente, Estas distribuições de probabilidades servem de base para a determinação da distribuição de probabilidade do valor total de sinistros em 1 ano em uma carteira de seguros, a qual é abordada no capítulo 6. Devido à complexidade na obtenção da distribuição de probabilidade do valor total de sinistros em 1 ano, Panjer desenvolveu uma fórmula simples e recursiva para a obtenção da sua distribuição exata. A demonstração da fórmula recursiva de Panjer e a sua aplicação prática são apresentadas no capítulo 7. Os capítulos 8 e 9 tratam do processo de ruína em um período finito e infinito, respectivamente, apresentando o cálculo da probabilidade de ruína, do limite técnico e da reserva de risco.

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xii • Modelos de Preci ficação e Ruína para Seguros de Curto Prazo O capítulo 10 mostra algumas aplicações da Teoria do Risco na área de resseguro, apresentando os principais contratos de resseguro, com as suas distribuições do valor de 1 sinistro retido. No capítulo 11 são apresentadas diversas aplicações práticas no processo de preci ficação, tendo destaque especial as aplicações nos seguros com franquia. Uma das ferramentas mais modernas no processo de tarifação, chamada de Teoria da Credi bilidade, é abordada no capítulo 12, sendo apresentada tanto a credibilidade total, quanto a credibilidade parcial. O cálculo da exposição individual é uma das fases essenciais no processo de tarifação, não sendo, porem, abordado com profundidade na maioria dos livros de atuaria. O apêndice 1 procura preencher esta lacuna. A distribuição de probabilidade da variável aleatória “valor total dos sinistros em 1 ano” costuma se aproximar muito bem da distribuição Normal, apresentando excelentes resultados nas faixas de probabilidade de maior interesse nos processos de tarifação ou de ruína. Devido à sua importância prática, no apêndice 2 são indicados os valores da distribuição de probabilidade acumulada da Normal Padronizada. Assim como na maioria dos livros de Teoria do Risco que tratam de seguros de curto prazo, a taxa de juros não é considerada nos processos de preci ficação e ruína. Aqueles que nunca produziram um livro não podem imaginar o quanto de esforço próprio e de terceiros é necessário para concluí-lo. Por outro lado, todo esse esforço é plenamente recompensado a cada etapa do livro que se supera, até chegar à realização máxima com a sua conclusão. Agradeço a todos aqueles que direta ou indiretamente contribuíram para esta realização. Em especial sou grato a todos os companheiros da Tillinghast, que muito me ajudaram sob o ponto de vista acadêmico e operacional. Dentre esses companheiros, destaco o Carlos Eduardo Teixeira, a Cristina Mano e o Roberto Westenberger pelas suas contribuições acadêmicas, e a Claudia Gonçalves pela sua dedicação na montagem deste livro. Gostaria, também, de agradecer aos professores do Instituto de Matemática da Universidade Federal do Rio de Janeiro, que me ensinaram a ter respeito e amor pela vida acadêmica. Um agradecimento especial à Cristina Mano e Alexandre Goretkin pela revisão cuidadosa e entusiasmada deste livro. Agradeço à minha esposa Rosana, à minha mãe Alice e ao meu irmão Mário, pela compreensão da importância que a realização deste livro teve para mim, dando todo o incentivo para a sua conclusão, mesmo com o detrimento de um tempo maior de convivência familiar. Por último, gostaria de dedicar este livro aos meus filhos Felipe e Gabriel e ao meu pai Anibal que, enquanto esteve vivo, sempre me incentivou na minha vida pessoal, pro fissional e acadêmica, tendo servido como um modelo de humildade, simplicidade, honestidade, humanidade e postura ética. Saudações Atuariais.

Tarifação

Diversos são os conceitos e metodologias envolvidos no cálculo do preço pago pelo segurado, o qual denominamos de prêmio. Esses conceitos e metodologias e os diversos princípios de cálculo de prêmio serão abordados neste capítulo e ilustrados com alguns exemplos práticos. Os conceitos desenvolvidos neste capítulo podem ser classi ficados como básicos em um processo de preci ficação e serão, portanto, utilizados nos capítulos posteriores.

TIPOS DE PRÊMIOS No processo de precificação do custo de um seguro existem 3 tipos de prêmios:

Prêmio de Risco O prêmio de risco cobre o risco médio ( E [S ] ). P = E [S ]

Onde, S representa a variável aleatória “valor total das indenizações ocorridas em uma carteira de seguros” em um determinado tempo.

1

2 • Modelos de Preci ficação e Ruína para Seguros de Curto Prazo

Prêmio Puro O prêmio puro é igual ao prêmio de risco mais um carregamento de segurança estatístico ( θ ). P = E [S ] (1 + θ )

O carregamento de segurança serve como uma margem de segurança para cobrir as flutuações estatísticas do risco, de modo que exista uma probabilidade pequena dos sinistros superarem o prêmio puro.

Prêmio Comercial O prêmio comercial ( p) corresponde ao prêmio puro acrescido do carregamento para as demais despesas da seguradora ( a), incluída uma margem para lucro. π = απ + P

π

=

P

1 − α

=

E [S ] (1 + θ )

1 − α

Logo, E [S ]

π

=

1 − α (1 + θ )

Na prática E [S ] / π é a chamada sinistralidade esperada sobre o prêmio comercial. Alguns autores introduzem um quarto tipo de prêmio, chamado de prêmio bruto, o qual é igual ao prêmio comercial acrescido das despesas com impostos que incidem diretamente sobre o prêmio comercial e das despesas com custo de apólice.

Exemplo 1: Uma carteira de seguros foi preci ficada considerando-se 10% de carregamento de segurança e 30% de carregamento para despesas. Qual a sinistralidade esperada sobre o prêmio comercial e sobre o prêmio puro?

Tarifação • 3

Resposta: Sobre o prêmio comercial

Sobre o prêmio puro

PRÊMIO INDIVIDUAL Após calcularmos o prêmio comercial ( π ) suficiente para cobrir todos os sinistros esperados na carteira ( E [S ] ) e as demais despesas da seguradora ( απ), precisamos calcular o prêmio por cada unidade de exposição ao risco ( π i ) , ou seja: π i

=

π F

onde F é o total de exposição ao risco. Quando consideramos F como sendo o número de riscos expostos, π i representa o prêmio comercial individual a ser pago por cada segurado. Quando F é o total de importância segurada exposta , então π i é a taxa comercial individual a ser aplicada à importância segurada de cada apólice, resultando no prêmio comercial individual. No cálculo da exposição ao risco, conforme abordado no apêndice 1 deste livro, leva-se em consideração a relação entre o tempo em que o risco ficou exposto no período de análise e o tempo total do período de análise, mesmo que o risco tenha iniciado antes do período de análise. Um estudo detalhado de como calcular a exposição ao risco pode ser visto em TEIXEIRA 17.


Exemplo 2: Calcular o prêmio de risco individual anual, taxa de risco anual, prêmio puro individual anual, taxa pura anual, prêmio comercial individual anual e taxa comercial anual no ano t de um seguro com as seguintes características: a) Valor esperado do montante de sinistros produzidos na carteira no ano civil t é de $1.000.000; b) O número de riscos que produz esse montante de sinistros é de 1000 apólices com vigência anual iniciando-se em 1 de outubro do ano t-1 e mais 500 apólices com vigência semestral iniciando-se em 1 de setembro do ano t; c) A importância segurada (IS) de cada apólice é fixa em $50.000; d) Carregamento de segurança ( θ ) = 5%; e) O carregamento para despesas é de 50% do prêmio comercial.

Resposta: Vamos calcular inicialmente o número de riscos expostos e o total de IS expostas: As 1000 apólices com vigência anual, iniciando-se a vigência em 1 de outubro do ano t-1, ficaram expostas ao risco no ano t durante 9 meses de um total de 12 meses de vigência. Já as 500 apólices com vigência semestral iniciando-se em 1 de setembro do ano t ficaram expostas ao risco no ano t durante 4 meses de um total de 12 meses. Logo, o número de riscos expostos no ano t será de: 1000 ×

9 12

+ 500 ×

4 12

= 916,67

como cada risco possui uma IS constante de $50.000, logo, o total de IS exposta no ano t será de: 916,67 × $50.000 = $45.833.333,34 Prêmio de risco individual anual

E [S [

Nº Riscos Expostos

=

$1.000.000 916,67

= $1.090,91

Tarifação • 5

Taxa de risco anual

E [S [

Total IS Exposta

=

$1.000.000 $45.833.333,34

= 2,18%

Prêmio puro individual anual

Taxa pura anual

Prêmio comercial individual anual

Corresponde ao prêmio puro individual anual acrescido do carregamento para despesas (50%), ou seja:

Taxa comercial anual

Corresponde à taxa pura anual acrescida do carregamento para despesas (50%), ou seja:

Observe que as taxas de risco, pura e comercial também podem ser calculadas pela divisão do prêmio de risco, puro e comercial pela IS de cada apólice. Por exem plo, a taxa de risco pode ser calculada como segue:

MÉTODOS DE TARIFAÇÃO Podemos citar 4 métodos de tarifação:


Julgamento ou subjetivo Esse método é utilizado quando não se tem informação su ficiente no processo de tarifação. É um processo subjetivo, onde a tarifa é de finida pelo underwriter através de comparação com riscos similares. A teoria da credibilidade, que é abordada no capítulo 12, pode ser classi ficada dentro desse contexto, pois, por vezes, conjuga a experiência própria da seguradora com a experiência de outras seguradoras.

Sinistralidade A tarifa é atualizada em função da análise da sinistralidade. O prêmio de risco pode ser, por exemplo, calculado pela aplicação da sinistralidade (apurada sobre o prêmio comercial) ao prêmio comercial. Devemos tomar muito cuidado na utilização deste método em função de eventuais modificações na estrutura de prêmios no período sob análise. Se, por exem plo, a seguradora acabou de reduzir a sua tarifa, a sinistralidade passada ainda não reflete essa redução, e é inferior àquela que se teria caso a tarifa tivesse sido reduzida no início do período de análise. Caso aplicada ao prêmio comercial recente, conduzirá a um cálculo de prêmio de risco inferior ao necessário para equilibrar a carteira.

Prêmio Puro Este método começa com a estimativa do prêmio de risco, passando por um processo de regularização estatística (modelagem), e, por fim, adicionando-se um carregamento de segurança. O processo de modelagem não é abordado neste livro, mas é um componente importante no processo de tarifação, pois permite estimar o prêmio do seguro em classes de risco com pouca ou até nenhuma informação.

Tábua de mortalidade É o método utilizado nos seguros de vida e de anuidades. Trata-se de um método determinístico, pois aplica fórmulas determinísticas e probabilidades de morte definidas a partir de estudos prévios realizados por atuários, quando eles produzem as chamadas tábuas de mortalidade.

Tarifação • 7 As tábuas de mortalidade são construídas a partir de informações brutas de mortalidade, passando por um processo de regularização estatística, um processo de ajustamento analítico e finalmente é aplicado um carregamento de segurança; positivo, quando a tábua é utilizada em seguros de vida, ou negativo, quando a tábua é utilizada em seguros de anuidade. Apesar das tábuas já apresentarem uma margem de segurança para flutuações estatísticas, precisamos tomar muito cuidado na sua utilização, pois a margem de segurança embutida na tábua pode ser insu ficiente para grupos com um pequeno número de segurados, onde se espera uma maior flutuação no risco. (BOWERS, GERBER, HICKMAN, JONES and NESBITT) 1 apresentam uma abordagem mais moderna para a preci ficação dos seguros de vida e anuidades, incor porando os aspectos da flutuação estatística.

PRINCÍPIOS DE CÁLCULO DE PRÊMIOS Um princípio de cálculo de prêmio é uma função H : υ  → R que associa a cada distribuição de sinistros agregada S um número real P tal que P = H [S ]

Na verdade P é uma função de F S ( x ) Onde, F S ( x ) representa a função de distribuição acumulada de S no ponto x . O fluxo da operação para o segurador é o seguinte: Recebe P (fixo, não é variável aleatória) Paga S (variável aleatória) ® ganho = P − S (variável aleatória) Vejamos a seguir alguns princípios de cálculo de prêmios:

Princípio da Equivalência P = E [S ] = Prêmio de Risco ou Prêmio Estatístico.

Desta forma, se o segurador operar durante um número grande de anos, ele terá S 1 , S 2, , S n de sinistro agregado em cada ano, e, na média, o sinistro agregado será: S 1

+ S 2 +  + S n n

   → E [S ] n →∞

8 • Modelos de Preci ficação e Ruína para Seguros de Curto Prazo Se ele operar nessa base, entretanto, certamente se arruinará ao longo do tempo. Essa a firmação decorre de um teorema existente na teoria dos jogos, no qual, se a banca (seguradora) jogar contra um jogador (segurado) in finitamente mais rico (pois o fluxo de novos prêmios ao longo do tempo é inesgotável), com as mesmas chances ( ), então, ao longo do tempo, certamente a banca se arruinará.

Princípio do Valor Esperado P = E [S ] + θ E [S ] = E [S ](1 + θ )

Sendo: θ : Carregamento de segurança escolhido arbitrariamente; P : Prêmio Puro = Prêmio de Risco × (1 + θ ) .

Este princípio é bastante utilizado na prática, sendo muito comum a escolha de θ igual a 10%. Observam-se, também, escolhas ao redor de 5% e outras bem superiores a 10%, dependendo do grau de aversão ao risco da seguradora.

Princípio da Variância P = E [S ] + α Var [S ]

α

>0

Onde o fator α é escolhido arbitrariamente. Este princípio não possui aplicação prática, pois a escolha de α é dificultada pelo fato da variância possuir uma ordem de grandeza diferente da ordem de grandeza da média.

Princípio do Desvio Padrão P = E [S ] + β σ [S ]

β

>0

onde o fator β é escolhido arbitrariamente, sendo que na prática o fator β varia entre 1 e 2.

Tarifação • 9

Princípio da Utilidade Zero Seja μ ( x ) a função utilidade que o segurado/segurador associa a cada excedente x em relação à sua riqueza inicial W . Na prática utilizamos μ ( x ) que atende ao conceito de utilidade marginal, ou seja: – μ ′ ( x ) > 0 → μ ( x ) é crescente, pois quanto maior o x (dinheiro), maior a utilidade; – μ ′ ( x ) < 0 → quanto maior o x , menor o crescimento da utilidade para variações de x . Chama-se de côncava a função que obedece às propriedades acima, e, pode ser representada gra ficamente conforme apresentado no Gráfico 1.1:

μ ( x ) Excedente Marginal

x

Gráfico 1.1

Sejam: – μ ( x ) - Função utilidade associada ao segurado; – μ1 ( x ) - Função utilidade associada ao segurador; – S - Variável aleatória “valor do sinistro agregado”; – G - Prêmio aceito como bom pelo segurado devido à sua função utilidade; – H - Prêmio proposto pelo segurador devido à sua função utilidade.

10 • Modelos de Preci ficação e Ruína para Seguros de Curto Prazo Assim sendo, o prêmio que atende a este princípio de cálculo é aquele que não reduz a função utilidade do segurado em função da decisão de contratar ou não o seguro. Da mesma forma, para a seguradora, o prêmio a ser cobrado será aquele que não reduzirá a sua função utilidade pela decisão de aceitar o risco. Desta forma, então, podemos calcular o prêmio aceito pelo segurado ou pelo segurador que não reduzirá as respectivas funções utilidades conforme a seguir: a) Usando o μ ( x ) do segurado ® cálculo de G μ (W − G ) = E [μ (W − S )]

Onde: – E [ μ (W − S )] representa o quanto o segurado espera de utilidade se ele não fizer o seguro; – μ (W − G ) representa a utilidade do montante existente após o segurado contratar o seguro e pagar G . b) Usando μ1 ( x ) do segurador ® cálculo de H μ1 (W ) = E [μ1 (W + H − S )]

Onde: – E [ μ 1 (W + H − S )] representa o quanto o segurador espera de utilidade se ele aceitar o seguro; – μ 1 (W ) representa a utilidade do montante existente se o segurador não aceitar o seguro. Como G e H independem de W , então, μ (0) = E [μ (G − S )]

e

μ1 (0) = E [μ1 ( H − S )]

Daí o nome de Utilidade Zero.

Tarifação • 11

Exemplos de μ(x) e relação entre G, H e E[S] μ(x)

é Linear

μ(x) = ax + b

Se μ(x) é uma reta ® G = E (S ) , pois a riqueza cresce na mesma proporção que a função utilidade. Demonstração: Sob

o ponto de vista do segurado, o prêmio que mantém a sua

função utilidade será: μ (W − G ) = E [μ (W − S )] a (W − G ) + b = E [a (W − S ) + b] = a (W − E [S ]) + b

→ G = E [S ] Exemplo 3: Seja um segurado com a seguinte função utilidade linear, representada no Gráfico 1.2:

Gráfico 1.2

12 • Modelos de Preci ficação e Ruína para Seguros de Curto Prazo Dado que o montante de sinistros agregados pode assumir o valor zero com probabilidade de 50% e o valor $20.000 com probabilidade de 50%, calcular o prêmio G aceito pelo segurado de modo a não diminuir a sua função utilidade.

Resposta: μ(20.000) = 0 μ(0) = -1

P (S = 20.000) = 0,5 P (S = 0) = 0,5

Logo, E[S ] = 0,5 x $20.000 = $10.000 Para calcular G é só igualar: μ(20.000 - G) = E [ μ ($20.000 – S )] = μ ($20.000 - 0) P (S = 0) + μ($20.000 - $20.000) P (S = $20.000)

= 0 x 0,5 – 1 x 0,5 = –0,5 → $20.000 – G = $10.000

→ G=

$10.000 = E [S ]

Ou seja, o prêmio aceito como bom pelo segurado é igual ao valor esperado do sinistro agregado. e Neste caso, μ( x) atende ao princípio da utilidade marginal. Sob o ponto de vista do segurado, o prêmio que mantém a sua função utilidade será: μ (W − G ) = E [ μ (W − S )] ≤ μ ( E [W − S ]) = μ (W − E [S ])

A desigualdade acima é explicada pela chamada desigualdade de Jensen, onde se a função é côncava, como acontece com μ( x), então, E[ μ(S )] £ μ( E [S ]), sendo S uma variável aleatória qualquer. μ( x) é crescente, pois μ´ ( x)

>0

Logo, para que μ(W – G) ≤ μ(W – E [S ]), então,

Tarifação • 13 Da mesma forma, sob o ponto de vista do segurador H ≥ E [S ] , pois: μ 1 (W ) = E [ μ 1 (W + H − S )] ≤ μ 1 (W + H − E [S ])

Como μ1( x) é uma função crescente, logo, para que tenhamos atendida a desigualdade acima, então,

Observe que o segurado aceita pagar um prêmio superior à expectativa de sinistros, porém o segurador também só aceita o risco se o prêmio for superior à expectativa de sinistros. Desta forma, as partes somente chegarão a um acordo quando: G ≥ H ≥ E [S ] E, então, a utilidade esperada de nenhuma das partes será diminuída com o seguro.

Observações: A princípio pode parecer estranho que o segurado aceite pagar um prêmio G superior à expectativa de sinistro E [S ]. A justificativa está no fato de que a decisão de não fazer o seguro pode representar um decréscimo grande na utilidade, em função do pagamento dos sinistros. Este fato é mais relevante para os segurados com uma riqueza inicial pequena. A perda de um automóvel para um segurado que depende desse automóvel para a sua sobrevivência, como um taxista, por exemplo, é muito mais sentida do que a perda desse mesmo automóvel para um segurado rico. Esse segurado rico di ficilmente aceitará pagar um prêmio superior à expectativa de sinistros, e, muito provavelmente, decidirá pelo auto seguro. O grá fico a seguir ilustra essas duas situações:

Gráfico 1.3

14 • Modelos de Preci ficação e Ruína para Seguros de Curto Prazo A constatação acima é tão fascinante que pode ser classi ficada como uma das maravilhas atuariais. Pela sua diversidade a função utilidade do segurado/segurador deve ser pesquisada em cada caso.

Princípio Exponencial

Onde M S (a) representa a Função Geratriz de Momentos de S no ponto a. Esse princípio é um caso particular do princípio da utilidade zero, quando utilizamos a seguinte função utilidade:

Princípio do Percentil

Nesse caso, o prêmio é determinado de modo que exista uma probabilidade muito pequena (α) do montante de sinistros (S ) superar o total de prêmio puro ( P ). O valor de α é escolhido arbitrariamente, sendo que na prática α varia entre 1% e 10%.

PROPRIEDADES DESEJÁVEIS DE UM PRINCÍPIO DE CÁLCULO DE PRÊMIOS São cinco as propriedade desejáveis de um princípio de cálculo de prêmios:

Carregamento de segurança não negativo Ou seja,

Perda Máxima Seja o r S sinistro agregado máximo para a distribuição S , ou seja, r S é a perda máxima, então,

Tarifação • 15

Consistência H [S + C ] = H [S ] + C

sendo C = constante

Exemplo: num determinado seguro, caso a seguradora queira pagar C =$100.000 para todos os segurados, independentemente de haver ou não sinistro ao final do ano, então, ao prêmio de risco, devemos adicionar a constante C =$100.000.

Aditividade Se S 1 ⊥ S 2

→ H [S 1 + S 2 ] = H [S 1 ] + H [S 2 ]

Exemplo: O prêmio de 2 riscos que são independentes é a soma dos prêmios dos riscos individualmente.

Interatividade Se S e S ′ são riscos arbitrários, então, H [S ] = H [ H [S S ′] ] As propriedades acima são mais detalhadas em (BOWERS, GERBER, HICKMAN, JONES and NESBITT) 1. Pode-se demonstrar que os princípios da equivalência e exponencial são os únicos que satisfazem a todas as 5 propriedades acima. Como no princípio da equivalência o carregamento de segurança é nulo (implicando em ruína a longo prazo), o princípio exponencial é o que se apresenta como sendo o melhor sob o ponto de vista teórico. Na prática, porém, os princípios mais utilizados são o princípio do valor esperado, o princípio do desvio padrão e o princípio do percentil, dada a di ficuldade de se determinar a função utilidade do segurado/segurador. Apesar de o princípio do percentil ser o melhor entre esses 3 princípios, pois permite à seguradora dimensionar melhor o risco (a) que ela assume, nem sempre ele é utilizado em função da impossibilidade/dificuldade de se calcular a função de distribuição acumulada do sinistro agregado ( F S ( x )) .


EXERCÍCIOS 1) Determinar a sinistralidade esperada em uma carteira de seguros preci ficada considerando-se 5% de carregamento de segurança e 35% de carregamento para despesas. a) sobre o prêmio comercial b) sobre o prêmio puro

2) Calcular o prêmio comercial individual anual de um seguro com as seguintes características: •

Valor esperado do montante de sinistros produzidos na carteira no ano civil t é de $10.000.000;

•

O número de riscos que produz esse montante de sinistros é de 800 apólices com vigência anual iniciando-se em 1 de agosto do ano t-1 , 600 apólices com vigência semestral iniciando-se em 1 de maio do ano t e mais 300 apólices com vigência trimestral iniciando-se em 1 de outubro do ano t;

•

Carregamento de segurança ( q) = 10%;

•

O carregamento para despesas é de 30% do prêmio comercial.

3) Seja um segurado com uma função utilidade potencial fracionária, ou seja, μ ( x ) = x α

x > 0 ,

0<α <1

Onde o montante de sinistros agregados possui uma distribuição Uniforme (0, $10). Calcular o prêmio G aceito pelo segurado de modo a não diminuir a sua função utilidade, dado que α = 0,5 e que a riqueza inicial do segurado é de $10.

4) Refazer o exercício anterior, supondo que o seguro só cobre 50% dos sinistros.

Tarifação • 17 5) Seja a seguinte distribuição de probabilidades , referente ao valor dos sinistros agregados:

Valor do Sinistro ($)

0

10

20

30

40

Probabilidade

0,50

0,30

0,10

0,05

0,05

Determine o prêmio puro pelos seguintes princípios: a) Princípio do Desvio Padrão, supondo β = 1,282 ; b) Princípio da Equivalência; c) Princípio do Percentil, supondo α = 0,1 .

6) Seja um segurado com função utilidade linear, da forma a x + b . O montante de sinistros agregados assume o valor zero com probabilidade 0,8 e assume o valor $5 com probabilidade 0,2. Calcular o valor do prêmio G aceito pelo segurado, de modo tal que a sua função utilidade não seja diminuída pela decisão de contratar ou não o seguro, nas seguintes situações: a) a = 1 e b = 0 ; b) a = 1 e b = 1 .

7) A partir do exercício anterior, demonstre que se dois segurados possuem função utilidade linear diferindo apenas pelo valor b , então eles aceitarão pagar o mesmo prêmio G , considerando-se a mesma distribuição do valor dos sinistros agregados.

Modelo do Risco Individual Anual

No processo de preci ficação é importante conhecermos a distribuição do valor total dos sinistros produzidos em uma carteira de seguros em um determinado período. Neste capítulo desenvolveremos o modelo do risco individual para a determinação do valor total dos sinistros produzidos em uma carteira de seguros em 1 ano. No modelo do risco individual, todo o enfoque para obtenção do valor total dos sinistros é individual, pois utilizamos as distribuições do valor do sinistro e da ocorrência de sinistros individualmente em cada apólice. Cabe destacar que os conceitos utilizados neste capítulo e nos demais capítulos servem, também, para períodos diferentes do período anual tomado como base.

O MODELO DO R ISCO INDIVIDUAL ANUAL Neste modelo conhecemos a distribuição de sinistros de cada risco individualmente.

HIPÓTESES: 1. Conhecemos a probabilidade de ocorrência de sinistros em 1 ano de cada apólice (risco) → qi ;

19

20 • Modelos de Preci ficação e Ruína para Seguros de Curto Prazo 2. Conhecemos a distribuição da variável aleatória “valor do sinistro de cada apólice” → Bi ; 3. Desprezamos a probabilidade de mais de 1 sinistro por apólice; 4. Conhecemos o no de apólices ( n ) e não levamos em conta novas entradas e saídas; 5. Os riscos assumidos em cada apólice são independentes. Seja S ind = X 1 + X 2 Onde X 1

+  + X n

⊥ X 2 ⊥  ⊥ X n

e

= I i Bi

X i

Sendo: S ind - Variável aleatória “valor total das indenizações na carteira em 1 ano” ou

“variável aleatória valor do sinistro agregado da carteira em 1 ano”; X i - Variável aleatória que está associada ao sinistro da apólice i em 1 ano; I i - Variável aleatória “ocorrência de sinistro da apólice i em 1 ano”; Bi - Variável aleatória “valor do sinistro da apólice i dado que o sinistro ocorreu em 1 ano”. Sendo: I i

 1 com probabilidade qi = 0 com probabilidade pi = 1 − qi

Observações: 1) I i ~ Bernoulli ( qi ); 2) Bi é melhor definida por Bi / I i sinistro ocorreu. P ( I i

= 1) = qi

P ( I i

= 0) = p i

= 1 , ou seja, Bi só faz sentido dado que o E ( I i ) = q i

V ( I i ) = qi p i

CÁLCULO DA FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO DE X i F X i ( x ) = P ( X i

1

≤ x ) = ∑ P ( X i ≤ x, I i = k ) K = 0

= P ( X i ≤ x / I i = 1) P ( I i = 1) + P ( X i ≤ x / I i = 0) P (I i = 0)

Modelo do Risco Individual Anual • 21

= F B ( x ) qi + I ( x ) p i i

1 Onde, I ( x ) =  0

x ≥ 0 x < 0

EXEMPLO DE UTILIZAÇÃO DO MODELO Este modelo pode ser utilizado no cálculo do prêmio puro P . Existem vários métodos que podem ser utilizados para se calcular o prêmio puro, conforme abordado no capítulo 1. Basicamente o prêmio puro é calculado de tal forma que exista uma probabilidade muito pequena de que o montante de indenizações exceda o montante de prêmios puros, como por exemplo: – P = E S ind + K σ S ind – P é tal que F S ( P ) = 1 − α ind

– P = E S ind (1 + θ ) Onde θ é o carregamento de segurança. Dessa forma é importante conhecermos a distribuição de S ind ou, alternativamente, calcularmos E S ind e V S ind , os quais definem a distribuição Normal se aplicarmos o Teorema Central do Limite.

DISTRIBUIÇÃO DE

S ind

Podemos obter a distribuição de S ind de 2 maneiras:

Por Convolução a Partir da Distribuição de X i F S ind ( x ) = P S ind

≤ x = F X ∗ F X ∗  ∗ F X 1

2

n

O processo de convolução é um processo recursivo, onde primeiro se calcula a distribuição de X 1 e, a partir da distribuição de X 1 , se calcula a distri buição de X 1 + X 2 e, assim sucessivamente, até se calcular a distribuição de S ind = X 1 + X 2 +  + X n .


Pela Função Geratriz de Momentos

= M X (t ) M X (t ) M X (t ) 1

2

n

Assim, se conhecermos M X (t ) , obteremos M S (t ) ind

i

CÁLCULO DE

E [S ind ] E V S

ind

Hipóteses: I i ⊥ Bi e I i iid Ou seja, o valor do sinistro em cada apólice independe da sua ocorrência e as variáveis aleatórias ocorrência de sinistro em cada apólice são independentes e identicamente distribuídas. Desta forma, então, E [S

ind

V [S

ind

n

n

n

] = ∑ E [ X ] = ∑ E [ I ] E [ B ] = ∑ q E [ B ] i

i

i =1

i =1

n

n

i

] = ∑V [ X ] = ∑ E [V [ X i

i =1

i

i

i =1

i

/ I i ] ] + V [ E [ X i / I i ] ]

i =1

(1)

(2)

(2 ) = V [ E [ X i / I i ] ] = V [ E [ I i Bi / I i ] ] = V [ I i E [ Bi ] ] = E [ Bi ] 2 V ( I i )

→ V S ind = ∑ (1) + (2 ) n

n

i =1

i =1

n

n

= ∑V [ Bi ] qi + ∑ E [ Bi ] 2V [I i ] = ∑V [ Bi ] qi + ∑ E [ Bi ] 2 qi i =1

i =1

pi


CASO EM QUE Bi É FIXADO PARA CADA APÓLICE Seja Bi = C i Onde, C i - Valor fixado (constante) para a apólice de ordem i

Logo, V [ Bi ] = 0 E [S

ind

n

] = ∑ q C i

i

i =1

V [S

n

ind

] = ∑ p

i

qi C i2

i =1

Observações: 1) Este modelo se aplica ao seguro de vida, invalidez e todo aquele em que, em caso de sinistro, a indenização é conhecida antecipadamente para cada apólice; 2) Se Bi = C i = 1 , qi = q e pi = p , então,

Ou seja, S ind é a soma de n variáveis aleatórias com distribuição de Bernoulli ( q ) independentes, então: S ind

~ Binomial ( n, q )

Exemplo 1: Seja um seguro que cobre morte por qualquer causa com indenização fixa de $10.000 e invalidez total e permanente com indenização fixa de $5.000. As probabilidades anuais de sinistros em cada cobertura são de 0,001 e 0,0002, res pectivamente. Determinar as distribuições de I i , Bi e X i .


Resposta: a) Distribuição de I i P ( I i

= 1, Bi = $5.000) = 0,0002

Logo,

= 1) = 0,0012 ; P (I i = 0) = 0,9988 E [ I i ] = 0,0012 ; V [I i ] = 0,001199 P ( I i

b) Distribuição de Bi

P ( Bi

= $5.000 / I i = 1) =

P ( Bi

= $5.000, I i = 1) 0,0002 = = 0,167 P ( I i = 1) 0,0012

c) Distribuição de X i P ( X i

= 0) = 0,9988

P ( X i

= $5.000) = 0,0002

V [ X i ] = $104.879

Veja que podemos também calcular E [ X i ] e V [ X i ] utilizando as fórmulas desenvolvidas neste livro:

2

V [ X i ] = V [ Bi ] E [ I i ] + E [ Bi ] V [ I i ]


Veja também que: O que representa um elevado coe ficiente de variação, consequência de estarmos considerando somente um único segurado exposto ao risco.

APROXIMAÇÃO NORMAL Sob certas condições S ind ~ N ( E S ind , V S ind

)

a) Este modelo é aplicado quando não se conhece a distribuição de S ind , ou quando a sua obtenção é trabalhosa; b) Não basta atender somente às condições do Teorema Central do Limite, pois, além dos X i terem que ser independentes e identicamente distribuídos, o número de sinistros tem que ser grande e não somente o número de apólices ( n ). A partir dessas condições, pode-se calcular o prêmio ( P ) e o carregamento de segurança ( θ ), como segue: P (S ind ≥ P ) = α P (S ind ≤ P ) = 1 − α

Como S ind ~ N ( E S ind ,V S ind

Então,

Logo, P é tal que

)

26 • Modelos de Preci ficação e Ruína para Seguros de Curto Prazo Ou seja,

P = E S

+ Z 1− α σ S ind

ind

Para calcular o carregamento de segurança (θ ) é só levar em conta que P = E S ind

(1 + θ ) .

Logo, E [S ind ] (1 + θ ) = E [S ind ] + Z 1− α σ [S ind ]

→θ =

Z 1−α σ S ind E [S ind ]

Conclusões: a)

α

↓

Z 1− α

↑

θ

↑

b) Ou seja, quanto menor a probabilidade do sinistro agregado superar o prêmio puro total da carteira, maior terá que ser o carregamento de segurança. Da mesma forma, quanto maior o desvio padrão do sinistro agregado em relação à média do sinistro, maior será o carregamento de segurança.

Exemplo 2: Uma carteira de seguro de vida possui 3 faixas de importâncias seguradas, quais sejam: $10.000, $30.000 e $50.000. O número de apólices em cada faixa é de 200.000, 300.000 e 100.000, respectivamente. Em cada uma dessas 3 faixas a probabilidade de morte em 1 ano é de 0,01, 0,005 e 0,02 respectivamente. Calcular o

Modelo do Risco Individual Anual • 27 carregamento de segurança e o prêmio puro total anual de modo que a probabilidade do sinistro agregado superar o prêmio puro total anual não exceda a 5%, utilizando a aproximação Normal para S ind .

Resposta:

Exemplo 3: Calcular o prêmio puro anual individual que cada segurado, na faixa de importância segurada de $10.000, deve pagar no exemplo 2. Resposta:

28 • Modelos de Preci ficação e Ruína para Seguros de Curto Prazo Veja que aplicamos o carregamento de segurança calculado no exemplo 2, ou seja, considerando toda a carteira. Caso tivéssemos considerado somente a 1ª faixa de importância segurada, o carregamento de segurança seria calculado da seguinte forma:

Nesse caso o carregamento de segurança seria superior ao do exemplo 2, conduzindo, consequentemente, a um prêmio puro anual individual superior. Essa segunda abordagem de cálculo do prêmio puro anual individual conduz a um carregamento de segurança maior, pois diminui o número de riscos para os quais estamos calculando o carregamento de segurança, não admitindo, portanto, a com pensação de oscilação de riscos entre as 3 faixas. Devemos evitar o uso dessa segunda abordagem, pois ela é con flitante com o princípio da lei dos grandes números que rege a operação de seguros.

Exemplo 4: Dado que Bi variação de S ind . Resposta:

= C ,

qi

= q e n apólices, calcular o coe ficiente de


Veja que, quanto maior o número de apólices ( n ), menor será o coeficiente de variação. Por outro lado, quanto maior a probabilidade de sinistro ( q ) e quanto maior o número médio de sinistros ( n q ), menor também será o coe ficiente de variação, ou seja, para se reduzir o coe ficiente de variação e, consequentemente, reduzir o carregamento de segurança, precisa-se aumentar o número de apólices, conjuntamente com a probabilidade de sinistro. Não basta, por exemplo, ter um grande número de apólices em uma carteira que possua uma pequena probabilidade de sinistro, produzindo, consequentemente, um pequeno número de sinistros. Esse exemplo é importante para mostrar que, no seguro, a lei dos grandes números está muito mais relacionada ao número de sinistros do que ao número de apólices. Esta constatação também pode ser classi ficada como uma das maravilhas atuariais.

EXERCÍCIOS 1) Seja um seguro com as coberturas A, B e C, com indenização fixa de $1.000, $2.000 e $5.000, respectivamente. As probabilidades anuais de sinistros em cada cobertura são de 0,001, 0,002 e 0,0005, respectivamente. Determinar: a) Distribuição de X i b) σ [ X i ] E [ X i ]

2) A probabilidade de ocorrer um sinistro de vendaval em um seguro residencial é de 0,001. Seja uma carteira com 2.000 apólices e com o valor de cada sinistro ocorrendo de acordo com uma distribuição Exponencial ( α = 0,0001 ). Calcular o carregamento de segurança de modo que a probabilidade do sinistro agregado superar o prêmio puro total não exceda a 5%, utilizando a aproximação Normal para S ind .


3) Dado que a probabilidade de ocorrer o sinistro é de 0,01, calcular E [ X i ] e V [ X i ] nas seguintes situações: a) Distribuição do valor de 1 sinistro é fixa em $1.000 b) Distribuição do valor de 1 sinistro é Uniforme (0,$2.000) Analise o resultado, sob a ótica de que ambas as distribuições do valor de 1 sinistro possuem a mesma média.

4) Seja a distribuição do valor total das indenizações na carteira em 1 ano com função geratriz de momentos conforme abaixo: M S ind (t ) = (1 − 2t ) −9

t < 0,5

Calcular E S ind e V S ind .

5) Considere uma carteira com 200 apólices. Para cada apólice a probabilidade de ocorrer um sinistro é de 1/3 e Bi tem a seguinte função de densidade: f Bi ( x ) = 2(1 − x )

0

0< x <1 caso contrário

Calcular P (S ind >30) utilizando a aproximação Normal.

6) Uma seguradora cobre o risco de desmoronamento em um seguro residencial em uma carteira com 200 residências, conforme a seguinte distribuição de importância segurada (IS):

IS ($)

Número de Apólices

10.000 15.000 20.000 30.000 100.000

55 70 50 20 5

Modelo do Risco Individual Anual • 31 A probabilidade de ocorrer um desmoronamento em uma residência em 1 ano é de 0,01. Os valores dos sinistros seguem uma distribuição Uniforme (0,IS). Calcular: a) Média do número esperado de sinistros em 1 ano; b) Variância do número esperado de sinistros em 1 ano; c) Prêmio puro total anual que a seguradora deve cobrar de modo que a probabilidade do sinistro agregado anual superar o prêmio puro total anual não exceda a 5%, considerando uma aproximação Normal para o sinistro agregado;. d) Prêmio puro individual para cada segurado , considerando os parâmetros do item c); e) Taxa pura a ser aplicada à IS, considerando os parâmetros do item c); f) Carregamento de segurança, considerando os parâmetros do item c).

Modelo do Risco Coletivo Anual

Na construção do modelo do risco individual, abordado no capítulo 2, é utilizada a distribuição do valor do sinistro em cada apólice, assim como a distribuição da ocorrência de sinistros em cada apólice. Neste capítulo desenvolveremos o modelo do risco coletivo, o qual utiliza o conceito de risco agregado, onde a variável aleatória “sinistro total produzido por uma carteira de seguros”, também chamada de variável aleatória “sinistro agregado”, é interpretada como a soma dos sinistros de toda a carteira. No modelo do risco coletivo precisamos conhecer a distribuição do valor de cada sinistro, independentemente da apólice à qual o sinistro pertence, e conhecer a distribuição do número total de sinistros produzido em uma carteira. As principais formas de obtenção do sinistro agregado serão apresentadas neste capítulo, ilustradas com alguns exemplos práticos.

O MODELO DO R ISCO COLETIVO ANUAL Neste modelo, estudamos a distribuição de sinistros de uma carteira como um todo, sem nos preocuparmos com as características dos sinistros produzidos por cada apólice, como acontece no modelo do risco individual.

33


Descrição do Modelo: S col = X1 + X 2 ........+ X N Onde: S col - Variável aleatória que representa o sinistro agregado da carteira em um ano, ou variável aleatória que representa o valor total das indenizações da carteira em um ano; N - Variável aleatória que representa o número de sinistros na carteira em um ano; X i - Variável aleatória que representa o valor do i-ésimo sinistro na carteira. Veja que S col é uma soma das variáveis aleatórias X i , sendo o número de termos da soma também aleatório e igual a N .

Hipóteses: a) X 1 , X 2 , X N são independentes e identicamente distribuídas, sendo: p ( x ) - Função de probabilidade de X : P ( x ) - Função de distribuição acumulada de X .

b) X 1 , X 2 , X N são independentes de N Vejamos a seguir, como determinar a distribuição de S col , ou, alternativamente, calcular E[ S col ] e V S col , os quais definem a distribuição de S col . Se aplicarmos o Teorema Central do Limite, a distribuição de S col pode ser considerada Normal. TURLER 18, CRAMÉR 3 e BUHLMANN2 fazem uma descrição bastante detalhada do modelo do risco coletivo.

DISTRIBUIÇÃO DE

S col

Podemos obter a distribuição de S col de duas maneiras:

Por Convolução, a Partir das Distribuições de X e N F S col ( x ) =

∞

∑ P ( S n =0

col

≤ x N = n) P ( N = n)

Modelo do Risco Coletivo Anual • 35

F S col ( x ) = F S col ( x ) =

∞

∑ P ( X + X + ... + X 1

2

n

≤ x ) P ( N = n)

n =0

∞

∑ P

∗n

( x ) P ( N = n )

n =0

Da mesma forma, f S col ( x ) =

∞

∑ p

∗n

( x ) P ( N = n )

n =0

Observações: a) P ∗ n ( x ) e p ∗ n ( x ) são, respectivamente, a função de distribuição acumulada e a função de probabilidade da variável aleatória “valor de n sinistros” ( X ∗n ); b) Se X tem distribuição discreta, então, S col terá distribuição discreta; Se X tem distribuição contínua, então, S col terá distribuição contínua. Cálculo de p* n ( x ) e P * n ( x )

Para calcular p ∗ n ( x ) e P ∗ n ( x ) utiliza-se o processo de convolução, conforme desenvolvido a seguir: – X Discreto

Seja y um dos possíveis valores que X pode assumir, então, p ∗ n ( x ) = P ( X 1 + X 2

+ .... X n = x ) = ∑ P ( X 1 + X 2 + .... X n−1 = x − y ) P ( X n = y ) y

= ∑ p ∗ n −1 ( x − y ) p( y ) y

Onde p∗ n ( x ) é chamada de n-ésima convolução de p ( x ) , e pode ser representada por: p ∗ n

= p ∗ n−1∗ p

Da mesma forma, P ∗ n ( x ) =

∑ P

∗n −1

y

( x − y ) p( y ) Onde, P ∗ n = P ∗ n−1∗ P

36 • Modelos de Preci ficação e Ruína para Seguros de Curto Prazo – X Contínuo

Da mesma forma,

Logo, P ∗n

= P ∗ P ∗ P ∗∗ P

Ou seja, se M X (t ) é a Função Geratriz de Momentos associada a P( x ) ,então, a Função Geratriz de Momentos associada a P ∗n ( x ) será:

Observações: a) Se X ~ Gama ( α , β ), então, X ∗ n ~ Gama ( n α , β )

Demonstração: α

 β  M X (t ) =    β t −  

Gama ( n, β )

Conseqüência: Se X ~ Exponencial ( β ), então, X ∗ n ~ Gama ( n, β ) Pois, Exponencial ( β ) é uma Gama ( 1, β ) E, desta forma, então,

Modelo do Risco Coletivo Anual • 37 b) A determinação da distribuição de S col é extremamente trabalhosa, tanto quando X possui distribuição paramétrica conhecida, o que implica em cálculos complexos de integral e somatórios, tanto quando trabalhamos com distribuição empírica para X , o que requer recursos computacionais não triviais.

Exemplo 1: Uma carteira de seguros produz 0, 1 ou 2 sinistros com as respectivas probabilidades: 0,3; 0,4 e 0,3. Um sinistro dessa carteira assume os valores $1, $2 ou $3, com as respectivas probabilidades: 0,6; 0,3 e 0,1. Obter f S ( x ) e F S ( x ) x = 0, 1, 2, …6 col

col

Resposta: f S col ( x ) =

2

∑ p

∗n

( x ) P ( N = n )

n =0

Onde, p ∗ n ( x ) =

∑ p

∗ n −1

( x − y ) p( y )

y

Veja que as distribuições de N e X são:

n 0 1 2

P ( N = n )

0,3 0,4 0,3

x

1 2 3

p ( x )

0,6 0,3 0,1

p ∗o (0) = 1 p ∗1 (1) = 0,6

p ∗1 (2 ) = 0,3

p ∗1 (3) = 0,1

p ∗2 ( 4) = p ∗1 (2) p ∗1 (2) + p ∗1 (3) p ∗1 (1) + p ∗1 (1) p ∗1 (3)


F S col ( x ) =

x

∑ f

y = 0

S col

( y)

F S col (0) = 0,3

F S col (3) = 0,768 + 0,148 = 0,916 F S col (4) = 0,916 + 0,063 = 0,979 F S col (5) = 0,979 + 0,018 = 0,997 F S col (6) = 0,997 + 0,003 = 1

Observe como foi trabalhosa a obtenção do valor de n sinistros pelo processo de convolução, mesmo X possuindo somente 3 valores e dispostos de forma seqüencial. Quando o número de valores de X é grande, o processo de convolução é impraticável.

Exemplo 2: Calcular P ∗ n ( x ) e F S ( x ) , quando X possui distribuição Exponencial ( α ) e N possui distribuição de Poisson ( λ ). col

Resposta: a) Cálculo de P ∗ n ( x ) Sabemos que se X possui distribuição Exponencial ( α ), então,

Modelo do Risco Coletivo Anual • 39 p ( x ) = α e − α x

x

P ( x ) = 1 − e − α x

>0

x > 0

Logo,

Ao resolvermos esta integral, chegaremos ao seguinte resultado: ∗3

P ( x ) = 1 − e

− α x

(α x )2 (1 + α x + ) 2!

Desta forma, então, chegaremos à seguinte fórmula para P ∗ n ( x ) : ∗n

P ( x ) = 1 − e

− α x

n −1

∑ i =0

(α x ) i i!

Observe que lim P ∗n ( x ) = 1 − e − α x eα x n →∞

=0

O que é um resultado bastante interessante, pois mostra que quando o número de sinistros tende para infinito, a probabilidade do valor dos sinistros ser menor ou igual a um valor de x finito é igual a zero. b) Cálculo de F S ( x ) col

F S col ( x ) =

∞

∑ P n =0

∗n

 − α x n−1 ( α x ) i  e −λ λ n  ( x ) P ( N = n ) = ∑ 1 − e ∑  i!  n! n =o  i =0 ∞

Observe que o cálculo de F S ( x ) não é simples de ser realizado, mesmo col

quando se tem uma fórmula de finida para P ∗n ( x ) .


Pela Função Geratriz de Momentos Sabemos que: M X (t ) = E [e t X ] M N (t ) = E [e t N ] col

M S col (t ) = E [e t S

col

] = E E [e t S N ]

Seja:

= M X (t ) M X (t ) M X (t ) = M X (t ) n 1

2

n

Pois as variáveis X i são independentes. Logo, M S col (t ) = E M X (t ) N

= E e N log M ( t ) X

M S col (t ) = M N (log M X (t ) )

Desta forma, se conhecermos as distribuições de X e N , então, conheceremos M N (t ) e M X (t ) e, consequentemente, M S (t ) . col

Exemplo 3: Dado que N possui distribuição Geométrica ( p ) e que X possui distribuição Exponencial com parâmetro α , calcule M S (t ) . col

Resposta: Se N possui distribuição Geométrica ( p ), então,

Se X possui distribuição Exponencial ( α ), então,


α e − (α −t ) x = − ( α − t )

∞

0

= α

1

α α − t α − t

=

Como M S (t ) = M N (log M X (t ) ) , então, col

M S col (t ) =

p

α 1− q α − t

CÁLCULO DE E[ S col ] E

V S col

Cálculo de E[ S col ] E S col

= M S ′ (0) col

′ ′ (log1) M X (0) M S ′ col (0) = M N 1

= M N ′ (0) M X ′ (0) = E [ N ] E [ X ]

Podemos, também, calcular E S col como segue: col

E S

= E E S col N = E [ E [ X 1 + X 2 +  + X N N ]] = E [ N E [ X ]] = E [ N ] E [ X ]

Pois os X i são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com distribuição X . Este resultado é bastante intuitivo, pois o valor esperado do sinistro agregado é igual ao número médio de sinistros multiplicado pelo valor médio de 1 sinistro.

Cálculo de V S col V [S col ] = M S ′ col (0) − E [S col ]

2

= M S ′′ (0) − E [ X ] 2 E [N ]2 col


′′ (0) E [ X ] E [ X ] + M N ′ (0) ( E X 2 M S ′′col (0) = M N

− E [ X ] E [ X ])

= E [ N 2 ] E [ X ] 2 + E [ N ] E [ X 2 ] − E [ X ] 2 ) = E [ N 2 ] E [ X ]2 + E [ N ] V [ X ] Logo, V [S col ] = M S ′ col (0) − E [ X ] E [N ] 2

2

= E [ N 2 ] E [ X ] 2 + E [ N ] V [ X ] − E [ X ] 2 E [ N ] 2 = E [ X ] 2 ( E [ N 2 ] − E [ N ] 2 )+ E [ N ] V [ X ] = E [ X ] 2 V [ N ] + E [ N ] V [ X ] Podemos, também, calcular V S col como segue: V S col

= E V S col N + V E S col N = E [V [ X 1 + X 2 + X N N ]] + V [ E [ X 1 + X 2  X N N ]] = E [ N V [ X ]] + V [ N E [ X ] ] = V [ X ] E [ N ] + E [ X ] 2 V [ N ]

Pois os X i são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com distribuição X . Este resultado nos mostra que a variância do sinistro agregado é diretamente proporcional à variância do número de sinistros e à variância do valor de 1 sinistro.

Exemplo 4: Calcular E S col e V S col no exemplo 1. Resposta:


Podemos, também, calcular E S col e V S col conforme a seguir: E S col

= E [ N ] E [ X ]

V [S col ] = E [ N ] V [ X ] + E [ X ] V [ N ] 2

E [ N ] = 1 × 0,4 + 2 × 0,3 = 1 V [ N ] = 12

× 0,4 + 2 2 × 0,3 − 12 = 0,6 E [ X ] = 1 × 0,6 + 2 × 0,3 + 3 × 0,1 = 1,5

Logo, E S col

= 1 × 1,5 = 1,5

Exemplo 5: Calcular no exemplo 1, pela distribuição exata e pela aproximação Normal, o prêmio puro total de modo que a probabilidade do sinistro agregado superar o prêmio puro total ( P ) não exceda a 2,1%. Resposta: a) Pela distribuição exata

1 − F S ( P ) = 0,021 → F S ( P ) = 0,979 → P = 4 col

col

b) Pela aproximação Normal P = E S col

+ Z 0,979 σ S col

Veja que, apesar do número médio de sinistros ser de somente 1, pela aproximação Normal o prêmio puro total não ficou muito distante daquele calculado pela distribuição exata. Na prática, a aproximação Normal se comporta muito bem na cauda à direita da distribuição, o que é uma característica muito boa, pois é exatamente nessa região que estamos interessados para o cálculo de prêmios ou de probabilidade de ruína.

44 • Modelos de Preci ficação e Ruína para Seguros de Curto Prazo Veja, também, que, por exemplo, caso estivéssemos interessados em calcular o P de modo que , teríamos P = 1 pela distribuição exata, enquanto que pela aproximação Normal, teríamos:

E, neste caso, a aproximação Normal não é tão boa, pois estamos muito distantes da cauda à direita da distribuição.

EXERCÍCIOS 1) Suponha que a distribuição do valor de 1 sinistro seja idêntica à do exemplo 1, mas a distribuição do número de sinistros em 1 ano é uma Poisson com média igual a 1. Calcular: a) E S col b) V S col

2) Calcular a probabilidade do sinistro agregado ser igual a 0,1,2,3 e 4, em uma carteira em que N possui distribuição de Poisson ( λ = 2 ) e a distribuição do valor de 1 sinistro possui função de densidade conforme abaixo: p ( x ) = 0,1 x

x = 1,2 ,3 ,4

3) Calcular a probabilidade do valor de 4 sinistros ser igual ou inferior a $4.000, caso a distribuição do valor de 1 sinistro seja Exponencial ( α = 0,001 ).

4) Mostrar que caso a distribuição do valor de 1 sinistro seja Gama, então a média da distribuição do valor de n sinistros será igual a n vezes a média da distribuição do valor de 1 sinistro.

Modelo do Risco Coletivo Anual • 45 5) Seja N com distribuição Binomial ( n, p ). Determinar uma expressão para a função geratriz de momento de S col em função de n , p e da função geratriz de momentos de X.

6) Uma carteira de seguros produz 0 ou 1 sinistro com as respectivas probabilidades: 0,6 e 0,4. Um sinistro dessa carteira assume os valores $1 ou $2, com as respectivas probabilidades: 0,7 e 0,3. Obter: a) P (S col = 2 ); b) E S col ; c) V S col .

Distribuição da Variável Aleatória “Valor de 1 Sinistro”

Neste capítulo serão apresentadas as características das distribuições para o valor de 1 sinistro que se ajustam às principais carteiras de seguros. Serão, também, abordados os metódos para a obtenção dessas distribuições. As distribuições aqui apresentadas podem ser aplicadas tanto para o modelo individual (variável Bi ) quanto para o modelo coletivo (variável X ). Foi escolhida a notação do modelo coletivo (variável X ) como notação padrão para a variável aleatória “valor de 1 sinistro”.

MÉTODOS DE OBTENÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO DO VALOR DE 1 SINISTRO A distribuição do valor de 1 sinistro é obtida a partir de observação histórica da carteira, levando-se em conta fatores tais como: tendência, sazonalidade e in flação. Tendência e sazonalidade são tratadas estatisticamente com ferramentas de séries temporais. Nesse caso destacamos o amortecimento exponencial, o qual atribui um peso maior às informações de anos mais recentes. Os efeitos da inflação são eliminados ao se converter os sinistros para uma moeda estável. A moeda a ser utilizada deve ser aquela que melhor re flete a variação dos custos dos sinistros da carteira de seguros. Existem 2 métodos para a obtenção da distribuição do valor de 1 sinistro:

47


Paramétrico O método paramétrico é utilizado quando o número de dados é pequeno. Nesse caso, em função da experiência existente em relação a fenômenos semelhantes, atribuímos uma distribuição conhecida, por exemplo: Log-normal, Pareto, Gama, etc...

Não Paramétrico O método não paramétrico deve ser utilizado quando o número de dados é grande. Nesse caso, aplicamos a distribuição empírica. Segundo (HOGG AND KLUGMAN) 9 a utilização de distribuições paramétricas é muito mais conveniente do que a utilização de distribuições empíricas quando alterações paramétricas são necessárias para prever o futuro. Isto é, distribuições empíricas podem ser satisfatórias descrições de dados históricos. Entretanto, na maioria das vezes, é desejável fazer previsão em um tempo futuro e isto frequentemente pode ser feito mudando-se um parâmetro da distribuição paramétrica ajustada.

DISTRIBUIÇÃO DO VALOR DE 1 SINISTRO COM LIMITE DE INDENIZAÇÃO Seja L o limite de indenização da apólice e, seja Y a variável aleatória “valor de 1 sinistro sujeito ao limite L ”. Desta forma, então,

 X Y =   L

X ≤ L X > L

E o sinistro médio é igual a:

No item “ Principais Distribuições Paramétricas ”, serão apresentadas as fórmulas de E [ X; L] para as principais distribuições de probabilidade utilizadas para a distribuição do valor de 1 sinistro.

Distribuição Distribui ção da Variável Variável Aleatória “V “Valor alor de 1 Sinistro” • 49

AJUSTAMENTO DE DISTRIBUIÇÕES PARAMÉTRICAS O ajustamento dos dados de sinistros a uma distribuição paramétrica se dá em duas etapas:

1o ETAPA: Determinação dos Parâmetros Nesta etapa são estimados os parâmetros da distribuição. Para tal, podem ser utilizados diversos métodos, como por exemplo: método dos momentos, mínimos quadrados ou máxima verossimilhança. Pelo método dos momentos, os parâmetros da distribuição são determinados a partir dos momentos momentos amostrais ( mk ), sendo: n´

∑ Z

k i

m k

=

i =1

n´

Onde, Z i – Valor observado do i-ésimo sinistro; sinistros da amostra. amostra. n´ – Número de sinistros

No item “ Pri Princi ncipai paiss Dis Distri tribui buiçõe çõess Par Paramé amétri tricas cas ”, serão apresentados os parâmetros ajustados, pelo método dos momentos, das principais distribuições de pro babilidade utilizadas utilizadas para a distribuição distribuição do valor de 1 sinistro. sinistro.

2o ETAPA: Teste de Aderência Nesta etapa comparamos a distribuição ajustada com a distribuição analítica através de um teste de aderência à distribuição. Podem ser utilizados por exemplo o teste do Qui-quadrado ou o teste de Kolmogor Kolmogorov-Smirnov ov-Smirnov.. Para maiores detalhes detalhes sobre as distribuições de probabilidades probabilidades sugere-se sugere-se a con10 sulta a (HOSSAK, POLLARD AND ZEHNWIRTH) .

PRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES PARAMÉTRICAS A seguir encontram-se algumas das distribuições paramétricas mais utilizadas na prática. Uma abordagem mais abrangente abrangente sobre as distribuições paramétricas paramétricas é feita por (HOGG AND KLUGMAN) KLUGMAN)9.


Log Normal f (x) x

x Gráfico 4.1.

→ X ~ Log Normal ( μ , σ σ 2 ) Os principais momentos da Log Normal são:

 

E [ X k ] = exp k μ +

 

1

1 2 2  k σ  2 

 

Média = exp μ + σ 2  2

Variância = exp(2 μ + σ 2 ) exp(σ 2 ) − 1

Distribuição Distribui ção da Variável Variável Aleatória “V “Valor alor de 1 Sinistro” • 51

E as expressões para μ e σ , pelo método dos momentos, são:

Observação: Se X ~ Log Normal ( μ , σ σ 2 )

Normal ( μ , σ σ 2 )

Utilização Prática

Colisão nos seguros de automóveis e incêndio comum.

Pareto

Gráfico 4.2.

f X ( x ) =

α λ α

x

α +1

( λ + x )

α

 λ  F X ( x ) = 1 −    λ + x  ® X

~ Pareto ( λ ,α )

> 0 , α > o ,

λ

>o

52 • Modelos de Preci ficação e Ruína para Seguros de Curto Prazo Os principais momentos da Pareto são: E [ X

k

]=

λ k k ! k

∏ ( α − i )

α

> k

i =1

Média

=

λ α − 1

Variância =

α >1

λ 2 α 2

( α − 1) ( α − 2)

α >2

α −1

λ   λ  E [ X ; L] =  1 − α  α − 1   λ + L 

α α λ   λ    + ( α − 1)   + L    λ + L    λ + L 

E as expressões para α e λ , pelo método dos momentos, são: 2(m2

α

− m12 ) = m2 − 2m12

λ

=

m1m2 m2

− 2m12

Utilização Prática

Por possuir uma cauda longa, a distribuição de Pareto é utilizada no seguro de incêndio vultoso e resseguro de catástrofe.

Gama f X ( x ) =

β α − β x α −1 e x x ≥ 0 , α Γ ( α )

→ X ~ Gama ( α , β )

> o,

β

>o

Distribuição da Variável Aleatória “Valor de 1 Sinistro” • 53

Gráfico 4.3.

Os principais momentos da Gama são: k −1

E [ X

k

]=

∏ ( α + i ) i =0

β k

α Média = β

Variância =

α β 2

54 • Modelos de Preci ficação e Ruína para Seguros de Curto Prazo E as expressões para α e β , pelo método dos momentos, são: m12

α

=

β

=

− m12

m2

m1 m2

− m12

Observações: a) b)

é chamada de função Gama;

Γ ( α ) = ( α − 1)Γ (α − 1) ;

c) α inteiro →

Γ ( α ) = (α − 1)! ;

d) Gama ( 1, β ) ~ Exponencial ( β )

e) Se α

f)

r

= , 2

1  Γ    =  2 

r inteiro ≥ 0 , e, β

1 2

1 2 2 r

= → Gama ( , ) ~ X 12

π ;

g) X i iid ~ Gama ( α , β )

→

n

∑ X ~ Gama ( nα , β ) i

i =1

h) A distribuição Gama é assimétrica, mas tende a uma distribuição simétrica quando α cresce. Utilização Prática

A distribuição Gama tem uma aplicação prática no risco de colisão nos seguros de automóveis.


Exemplo 1: Dada a experiência de sinistros abaixo, calcular, pelo método dos momentos, os parâmetros das distribuições Log Normal e Gama. Valor de 1 sinistro ($)

Frequência

200 600 1.000 1.400 1.800 2.200 2.600 3.000 3.400

2% 24% 32% 21% 10% 6% 3% 1% 1%

Resposta: Observe que o gráfico do valor de 1 sinistro é representado como segue:

Gráfico 4.4.

Vamos agora calcular os momentos da amostra: Média amostral = m1 =0,02x$200+0,24x$600+………..+0,01x$3.400 = $1.216


Segundo momento amostral = m2 = 0,02x$2002+0,24x$6002+………..+0,01x$3.4002=$1.841.600 Variância amostral = m2 - m12 = $362.944 a) Log Normal

 

1

 

Média = exp μ + σ 2  = $1.216 2

Variância = exp(2 μ + σ 2 ) exp(σ 2 ) − 1 = $362.944 Desta forma, temos: μ = 6,993 e σ = 0,469 b) Gama Média =

α β

Variância =

= $1.216 α β 2

= $362.944

Desta forma, temos: α

= 4,0741 e β = 0,0034

Exemplo 2: Calcular a probabilidade de um sinistro ser superior a $4.000 no caso da aproximação Log Normal do exemplo 1. Resposta:

Esta pequena probabilidade é consequência da característica assintótica da Log Normal.


Exemplo 3: Dada a experiência de sinistros do exemplo 1, calcular o valor médio de 1 sinistro, sabendo-se que o valor de 1 sinistro possui distribuição Log Normal e, que, o valor máximo de indenização é de $1.800. Resposta: Sabemos do item “ Log Normal ” que:

Onde, L = $1.800 e, do exemplo 1, temos que μ

= 6,993 e σ = 0,469

Logo,

Veja que o valor médio de 1 sinistro sem limite de indenização, calculado no exemplo 1 é de $1.216.

EXERCÍCIOS 1) Calcular pelo método dos momentos o valor do parâmetro α de uma distribuição Exponencial ( α ) para a experiência de sinistros apresentada no exemplo 1. 2) Seja uma carteira de seguros com o valor de 1 sinistro seguindo uma distribuição Exponencial ( α = 0,001 ). Determinar o valor médio de 1 sinistro caso as indenizações sejam limitadas a $700.


3) Determinar os parâmetros λ e α de uma distribuição de Pareto ( λ ,α ), pelo método dos momentos, dado que o primeiro momento amostral é igual a 30 e o segundo momento amostral é igual a 50.000. 4) O valor da indenização a ser paga por uma seguradora obedece uma distribuição Uniforme em que a probabilidade de qualquer valor de indenização é fixa no intervalo [0 ; $100] . a) Qual o valor esperado da indenização ? b) Refaça o item anterior, considerando o valor da indenização limitado a $50.

Distribuições para o Número de Sinistros

Neste capítulo serão abordadas as distribuições para a variável aleatória “número de sinistros ocorridos em 1 ano” no modelo individual e no modelo coletivo. Serão apresentadas as características principais de cada distribuição e alguns exemplos práticos relacionados a cada distribuição. Será, também, desenvolvida uma estimativa para o número médio de sinistros em 1 ano, em função da observação de uma amostra. Será apresentado um processo de precificação a partir dessa estimativa, para as situações em que se determina a taxa de risco utilizando a frequência observada de sinistros.

DISTRIBUIÇÕES PARA O NÚMERO DE SINISTROS NO MODELO INDIVIDUAL Seja N a variável aleatória “número de sinistros ocorridos em 1 ano” em uma carteira com n apólices, então, pelo modelo individual, podemos de finir N como sendo: N =

n

∑ I i

i =1

Para determinar a distribuição de N , pode-se fazer uma analogia com a distribuição de S ind , conforme caso particular desenvolvido no item “ casos em que Bi

59

60 • Modelos de Preci ficação e Ruína para Seguros de Curto Prazo é fi xado para cada apólice ” do capítulo 2, onde os sinistros foram de finidos como

constantes e iguais a 1, e as probabilidades de sinistros foram de finidas como constantes e iguais a q . Logo, ind

S

n

n

n

i =1

i =1

i =1

= ∑ X i = ∑ I i Bi = ∑ I i

E a distribuição de S ind é Binomial ( n, q ), pois S ind é a soma de n variáveis aleatórias independentes com distribuição de Bernoulli ( q ). Ocorre que S ind , nesse caso, se confunde com a variável aleatória “número de sinistros ocorridos em 1 ano” ( N ), pois os valores dos sinistros são constantes e iguais a 1 e, consequentemente, o valor total dos sinistros em 1 ano é igual ao número total de sinistros em 1 ano. Logo, N ~ Binomial ( n, q )

Veja que:

Este é o modelo probabilístico usado nos seguros de vida, onde estimamos o número médio de mortes ocorridas em 1 ano ( d x ) como sendo: d x

= l x q x

Onde, l x - Número de sobreviventes no início do ano; q x - Probabilidade de uma pessoa de idade x falecer antes de atingir a idade x + 1 .

Cabe destacar que se n for suficientemente grande, então N passa a ter uma distribuição aproximadamente Normal.

Distribuições para o Número de Sinistros • 61

Exemplo1: Seja uma carteira de seguros com 10.000 apólices, onde cada apólice possui uma probabilidade anual de sinistro de 0,01. Calcular o número esperado de sinistros em 1 ano e o respectivo desvio padrão. Resposta: N ~ Binomial (

)

Exemplo 2: Determinar a probabilidade de o número de sinistros em 1 ano ser superior a 120 no exemplo 1, aproximando a distribuição de N por uma Normal. Resposta:

Intervalo de Confiança para E [ N ] Vejamos a seguir como determinar um intervalo de con fiança para E [ N ] a partir de uma observação do número de sinistros ocorridos em 1 ano. Parâmetros: I i - Variável aleatória que representa a ocorrência de sinistros na i-ésima apólice; n – Número de apólices expostas ao risco; q – Probabilidade de um sinistro ocorrer; f – Frequência absoluta do número de sinistros observados em uma amostra; q ′ - Uma observação de q , sendo: q ′ = f / n ; n ′ - uma observação de f em 1 ano. Onde: I i ~ Bernoulli ( q ) e I i ⊥ I j ,

∀ i , j

62 • Modelos de Preci ficação e Ruína para Seguros de Curto Prazo Supondo que todos os elementos da amostra têm a mesma distribuição que os elementos da população, podemos a firmar que: f =

n

∑ I

onde:

i

i =1

P ( I i

= 1) = q

P ( I i

= 0) = 1 − q

Logo, f ~ Binomial ( n, q ) Onde, Então, E [q ′] =

E [ f ] n

VAR [q ′] =

=q

1

q(1 − q )

n

n

VAR[ f ] = 2

O tipo de distribuição de q ′ continua, para todos os efeitos, sendo uma distri buição Binomial, cujos possíveis valores foram, porém, comprimidos entre 0 e 1, com intervalos de 1 / n , ao invés de variarem de 0 a n segundo os números naturais. Sendo o número de apólices expostas ao risco ( n ) suficientemente grande, podemos aproximar as distribuições de f e q ′ por distribuições Normais de mesma média e mesma variância. Em termos práticos, podemos considerar essa aproximação boa para e n (1 − q ) > 5 . Ou seja, Z = Isto é: P ( Z α / 2

≤

P ( Z α / 2

≤

q ′ − E [q ′]

σ [q ′]

q ′ − E [q ′]

σ [q ′] q′ − q q(1 − q )

~ N (0 ,1)

≤ Z 1−α / 2 ) = 1 − α ≤ Z 1− α / 2 ) = 1 − α

n P ( q ′ − Z 1− α / 2

q(1 − q ) n

≤ q ≤ q′ − Z α / 2

q (1 − q ) n

) = 1 − α

Distribuições para o Número de Sinistros • 63 Dado que Z 1− α / 2 será: q ′ − Z α / 2

q(1 − q ) n

= − Z α / 2 , então, o limite superior do intervalo de con fiança

= q′ + Z 1−α / 2

q ′(1 − q ′) n

Pois podemos substituir q por sua estimativa q ′ com muito boa aproximação. Assim, para calcularmos o limite superior da probabilidade q , basta substituir q ′ por sua observação

q=

q=

n´ n n´ n

+ Z 1−α / 2 + Z 1− α / 2

n´ 

n´ 

n

n

1 − 

 

n n´(n − n´) n3

Como , logo, o limite superior do intervalo de confiança para E [ N ] , α dado que ε = , será:

2

E [ N ] = n´+ Z 1−ε

n´(n − n´) n

Se n for suficientemente maior que n´ , então, logo, E [ N ] = n´+ Z 1−ε n´

n − n´ n

→1,

Este resultado é interessante, pois permite determinar um limite superior para E [ N ] a partir de n´ , sem se levar em conta o número de apólices expostas ao risco.

Observações: a) Esta formulação pode ser utilizada em processos de tarifação em que se utiliza unicamente a frequência de sinistros e se quer determinar frequências (taxas puras) que proporcionem uma probabilidade muito pequena ( ε ) de a frequência efetiva ultrapassar a frequência utilizada na tarifação.


b) O valor de n´ a ser considerado deve levar em conta as mutações da carteira. Por exemplo, se esperarmos um crescimento na produção, devemos trabalhar com n´ projetado para o ano seguinte.

Exemplo 3: Calcular a taxa pura anual, por classe de risco, de um seguro de roubo de bens, proporcional à frequência de ocorrência de sinistros em cada classe, dados: – Nível de significância no cálculo da taxa pura é igual a 1%; – Distribuição de sinistros e apólices expostas ao risco em 1 ano:

Classe

Número de sinistros Observados em 1 ano

Número de apólices expostas ao risco

I II III

800 300 250

10.000 5.000 5.000

Resposta: n´ = 800 + 300 + 250 = 1.350 n = 10.000 + 5.000 + 5.000 = 20.000 Taxa pura média

=

n´ n

+ Z 1−ε

n´(n − n´) n3

Veja que a taxa de risco média é igual a:

Logo, o carregamento de segurança global da carteira será:

Distribuições para o Número de Sinistros • 65 A taxa de risco em cada classe é igual à frequência de ocorrência, ou seja,

Classe

Taxa de risco

I II III

800/10.000= 8% 300/5.000 = 6% 250/5.000 = 5%

Logo, aplicando o carregamento de segurança global da carteira em cada classe, teremos as seguintes taxas puras:

Classe

Taxa pura

I II III

8% x 1,061 = 8,49% 6% x 1,061 = 6,37% 5% x 1,061 = 5,31%

DISTRIBUIÇÕES PARA O NÚMERO DE SINISTROS NO MODELO COLETIVO Conforme verificamos nos tópicos anteriores, os principais resultados para podermos trabalhar com o modelo coletivo são: ∞

F

col

S

( x ) =

∑ P

∗n

( x ) P ( N =

n

)

n =0

M S col (t ) = M N (log M X ( t ) ) col

E S

= E [ N ] E [ X ]

VAR[S col ] = VAR[ X ] E [ N ] + E [ X ] VAR[ N ] 2

Todos esses resultados dependem das distribuições de X e N . Para a distribuição de X já foram abordadas algumas distribuições paramétricas possíveis no capítulo 4. Vejamos a seguir duas distribuições importantes aplicáveis a N , quais sejam, Poisson e Binominal Negativa, sendo estas abordadas mais detalhadamente em (HART, BUCHANAN AND HOWE) 7.


Quando N tem distribuição de Poisson, dizemos que S col tem distribuição de Poisson Composta e, quando N tem distribuição Binominal Negativa, dizemos que S col tem distribuição Binomial Negativa Composta, conforme será abordado no ca pítulo 6.

Distribuição de Poisson para N Na maioria dos casos o processo de ocorrência de sinistros satisfaz às condições do processo de Poisson, quais sejam: a) A distribuição do processo do número de sinistros no intervalo de tempo t ( N t ) só depende da magnitude de t e não de quando o processo iniciou; b) Só é possível 1 sinistro no intervalo dt ; c) As variáveis aleatórias “número de sinistros” em intervalos de tempo não sobrepostos são independentes; d) A probabilidade de 1 sinistro no intervalo dt é λ dt ; e) P ( N 0

= 0) = 1 .

Uma descrição detalhada das características do processo de Poisson pode ser vista em LARSON 18. Assim, N t ~ Poisson ( λ t ) Ou seja, P ( N t = n ) =

e − λ t ( λ t ) n!

n

n = 0,1,2 

No modelo de risco anual, então:

Propriedades da Poisson

a) Seja T a variável aleatória “intervalo de tempo entre 2 sinistros”. É fácil demonstrar que T ~ Exp( λ ) , pois: P (T > t ) = P ( N t = 0 ) = e − λ

t

→ T ~ Exponencial ( λ )


Onde, E [T ] =

1 λ

Ou seja, o tempo médio entre 2 sinistros é igual a 1/ λ . Este resultado pode ser utilizado na definição do número de reguladores de sinistros pela seguradora. b) A média é igual à variância, ou seja: E [ N ] = V [N ] = λ c) M N (t ) = e λ (e −1) t

Distribuição Binomial Negativa para N Quando há indícios de que VAR[ N ] > E [ N ] , então a distribuição de Poisson para N não é adequada. Uma boa alternativa é utilizar a distribuição Binomial Negativa, onde: r > 0

 r + n − 1 r n  P ( N = n ) =   p q n  

n = 0,1,2, 

0 < p < 1 q = 1 − p

Logo, N ~ Binomial Negativa ( r , p ) Propriedades da Binomial Negativa

I)

;

II) II) Se

logo ,

IV) Se

;

, ou seja, N passa a ter distribuição Geométrica ( p ); , então a Binomial Negativa tende para uma Poisson;

V) Se N i , i 1 , r tem distribuição geométrica ( p ) e N i são independentes, então, N =

r

∑ N ~ Binomial Negativa ( r , p ) i

i =1


Demonstração da Propriedade V:

Como N i são independentes, então, M N (t ) = M N 1 (t ) M N 2 (t )  M N r (t ) r

 p   → M N (t ) =  t   1 − qe 

N ~ Binomial Negativa ( r , p )

Interpretações para a Binomial Negativa

Interpretação Tradicional Pela interpretação tradicional, a distribuição do número de fracassos até atingir o r-ésimo sucesso é Binomial Negativa ( r , p ), onde temos um experimento de Bernoulli, no qual: p = probabilidade de sucesso q = probabilidade de fracasso =

1 − p

Interpretação de Polya Uma urna contém N1 bolas vermelhas e N 2 bolas brancas. Extrai-se uma bola ao acaso s vezes com repetição. Após a extração de uma bola vermelha, esta volta à urna, juntamente com c bolas vermelhas. Assim, após o sorteio de uma bola vermelha, temos uma probabilidade maior de sorteio de uma bola vermelha na próxima extração. Isso gera uma distribuição Binomial Negativa para o número de bolas vermelhas na amostra. Pelas características acima, diz-se que a Binomial Negativa é uma distribuição com contágio. Aplicação Prática: Seja uma carteira de seguros com várias classes de risco.

Distribuições para o Número de Sinistros • 69 Cada classe possui distribuição de Poisson para o número de sinistros, mas com parâmetros λ diferentes dependendo da classe do risco. Se esses parâmetros λ ocorrem segundo uma distribuição Ω ~ Gama (α, β), então a distribuição do número de sinistros total da carteira possuirá distribuição Binomial Negativa conforme a seguir: N ~ Binomial Negativa

Demonstração: N

Ω = λ ~ Poisson(λ )

E [ N ] = E [ E [ N Ω]] = E [Ω] V [ N ] = E [V [ N Ω]] + V [ E [ N Ω ]] = E [Ω] + V [Ω]

Veja que V [ N ] > E [ N ] , o que não recomenda a distribuição de Poisson.

Ω ~ Gama ( α , β ) ∞

∫

P ( N = n ) = P ( N = n

Ω = λ ) μ ( λ ) d λ

0

∞

= =

β α λ n + α −1e −( β +1)λ d λ Γ ( α ) n! 0

∫

β α Γ (n + α ) n + α

Γ ( α )n! ( β + 1)

∞

λ n + α −1 −( β +1) λ ( β e Γ (n + α )

∫ 0

+ 1)n +α d λ

1 Γ (n + α ) β α = Γ ( α ) n! (1 + β ) α (1 + β )n ∞

Pois,

∫ 0

λ n + α −1 −( β +1) λ e ( β Γ (n + α )

+ 1)n +α d λ = 1 α

n

 n + α − 1  β   1  Então, P ( N = n ) =     1 + β     1 + β  n      


Logo, N ~ Binomial Negativa Esta demonstração também pode ser classi ficada como uma das maravilhas atuariais. O número de sinistros de perda parcial na carteira de automóveis costuma possuir distribuição Binomial Negativa. Este fato está comprovado na tese de mestrado de FERREIRA5, “Uma aplicação do método de Panjer à experiência brasileira de sinistros do ramo de automóveis”, onde foram observados 2844 sinistros em 1 ano, em um total de 7062,85 apólices expostas ao risco. Nessa tese, foi possível ajustar a distribuição do número de sinistros na carteira em 1 ano utilizando somente 1 ano de observação, pois, cada apólice de automóvel no Brasil pode produzir mais de 1 sinistro de perda parcial em 1 ano. A distribuição de probabilidade que melhor se ajustou à variável aleatória “número de sinistros por apólice em 1 ano” foi a Geométrica. Assim, a variável aleatória “número total de sinistros ocorridos em 1 ano na carteira” ( N ) foi ajustada por uma Binomial Negativa, na medida em que a soma de Geométricas independentes é Binomial Negativa. (DAYKIN, PENTIKAINEN AND PESONEN) 4 fazem uma abordagem bastante abrangente das principais características da distribuição Binomial Negativa, também chamada pelos autores de distribuição de Polya.

Exemplo 4: O coeficiente de sinistralidade sobre o prêmio puro para um con junto de apólices num dado período é de finido por: R =

S

período P

, onde S representa o sinistro agregado e P o prêmio puro agregado no

Suponha que: a) P = E [ X ] E [ N ] (1 + θ ) ; b) Todas as apólices iniciam suas vigências no início do período e terminam suas vigências no final do período.

Achar uma expressão para E [ R] e V [ R ]


Resposta:

 S  E [ R ] = E    P  V [ R ] =

1 P 2

=

E [S ] E [ X ] E [ N ](1 + θ )

V [S ] =

=

E [ X ] E [ N ] E [ X ] E [N ] (1 + θ )

=

1 1+θ

V [ N ] E [ X ] 2 + E [ N ]V [ X ]

( E [ X ] E [ N ](1 + θ ))2

Exemplo 5: Obter uma expressão para V [ R ] quando N possui distribuição de Poisson ( λ ) e quando N possui distribuição Binomial Negativa ( r , p ). a) N possui distribuição de Poisson ( λ ) E [ N ] = V [N ] = λ , logo, V [ R ] =

λ E [ X ] 2 + λ V [ X ]

( E [ X ] λ (1 + θ ))

2

=

E [ X 2 ]

λ ( E [ X ] (1 + θ ))

2

b) N possui distribuição Binomial Negativa ( r , p ) , logo,

EXERCÍCIOS 1) Seja N a distribuição do número de sinistros ocorridos em 1 ano em uma determinada carteira de seguro onde N possui distribuição de Poisson ( λ ). Determinar para a mesma carteira a distribuição do número de sinistros ocorridos em 1 ano com valor acima de um determinado valor de franquia, caso a probabilidade do valor de 1 sinistro superar a franquia seja de p . Suponha que a distribuição de N seja independente da distribuição de X .


2) Calcular a taxa pura na classe III , onde a taxa pura em cada classe é proporcional à frequência de ocorrência de sinistros de cada classe, dados: -

Nível de significância no cálculo da taxa pura ( ε ) é igual a 5%; Distribuição de sinistros e apólices expostas ao risco:

Classe

Número de sinistros observados em 1 ano

Número de apólices expostas ao risco

I

10

150

II

20

200

III

15

250

IV

100

500

3) Seja uma carteira de seguros com o número de sinistros ocorridos em 1 ano seguindo a distribuição de Poisson com λ = 1.000 , carregamento de segurança de 10% e distribuição do valor de 1 sinistro conforme a seguir:

Valor do sinistro ($) 200 500 1.000 1.550 2.500 3.000

Freqüência de ocorrência 0,35 0,25 0,20 0,15 0,03 0,02

Calcular o coeficiente de variação da sinistralidade calculada sobre o prêmio puro.

4) Provar que o coe ficiente de variação da sinistralidade calculada sobre o prêmio puro é igual ao coeficiente de variação da variável aleatória “sinistro agregado”.

Distribuições para o Sinistro Agregado

Neste capítulo serão abordadas as distribuições mais importantes para o valor total dos sinistros em 1 ano (sinistro agregado), e as principais características dessas distribuições. Serão apresentadas, também, algumas aproximações para o sinistro agregado, onde se destaca a aproximação Normal pela sua simplicidade e adequabilidade no ajustamento da distribuição do valor total dos sinistros.

DISTRIBUIÇÃO DE POISSON COMPOSTA PARA

S col

Quando N possui distribuição de Poisson ( λ ), dizemos que S col possui distri buição de Poisson Composta ( λ , P ( x ) ), de modo que: ∞

F s col ( x )

= ∑ P ( x ) n =0

∗n

e − λ λ

n

n!

Função Geratriz de Momentos da Poisson Composta Sabemos que a Função Geratriz de Momentos de S col é expressa por: M S col (t ) = M N (log M X (t ) )

73

74 • Modelos de Preci ficação e Ruína para Seguros de Curto Prazo Sabemos, também, que a Função Geratriz de Momentos da Poisson é expressa por: M N (t ) = exp(λ (e t − 1))

Logo, M S (t ) = exp(λ ( M X (t ) − 1)) col

Momentos da Poisson Composta E S col

= E [ N ] E [ X ] = λ E [ X ]

V [S col ] = V [ X ] E [ N ] + E [ X ] V [ N ] 2

= V [ X ] λ + E [ X ] 2 λ = λ E [ X 2 ]

Exemplo 1: Considere uma carteira de seguros com distribuição de Poisson Composta com λ = 2 e distribuição de X idêntica à do exemplo 1 do capítulo 3. Calcule: a) f S ( x ) para x = 0,1,2,3,4,5 e 6 e F S (6) b) Coeficiente de Variação de S col col

col

Resposta: a) Cálculo de f S ( x ) para x = 0,1,2,3,4,5 e 6 e F S (6) Pelo Exemplo 1 do Capítulo 3, temos a seguinte distribuição de X : col

x

p(x)

1 2 3

0,6 0,3 0,1

col

Distribuições para o Sinistro Agregado • 75 Sabemos que: f S ( x ) = col

p ∗ n ( x ) =

∑ p

∗ n −1

∞

∑ p

∗n

( x ) P ( N = n ) , onde,

n =0

( x − y ) p( y )

y

Como N possui distribuição de Poisson ( λ P ( N = n ) =

= 2 ), então,

e −2 2 n n!

Pelo exemplo 1 do Capítulo 3, já temos calculado: p ∗o (0) = 1 p ∗1 (1) = 0,6

p ∗1 (2 ) = 0,3

p ∗1 (3) = 0,1

Calcularemos a seguir as demais convoluções necessárias neste exercício: p ∗3 (3) = 0,6 × 0,6 × 0,6 = 0,216 p ∗3 (4 ) = 0,3 × 0,6 × 0,6 + 0,6 × 0,3 × 0,6 + 0,6 × 0,6 × 0,3 = 0,324 p ∗3 (6) = 0,3 × 0,3 × 0,3 + 6 × 0,6 × 0,3 × 0,1 = 0,135 p ∗4 (4 ) = 0,6 × 0,6 × 0,6 × 0,6 = 0,1296 p ∗4 (5) = 4 × 0,3 × 0,6 × 0,6 × 0,6 = 0,2592 p ∗4 (6) = 4 × 0,1 × 0,6 × 0,6 × 0,6 + 6 × 0,6 × 0,6 × 0,3 × 0,3 = 0,2808 p ∗5 (5) = 0,6 × 0,6 × 0,6 × 0,6 × 0,6 = 0,0778 p ∗5 (6) = 5 × 0,3 × 0,6 × 0,6 × 0,6 × 0,6 = 0,1944 p ∗6 (6) = 0,6 × 0,6 × 0,6 × 0,6 × 0,6 × 0,6 = 0,0467

Logo, f S col (0) = p ∗0 (0) P ( N = 0) = 1 × 0,1353 = 0,1353 f S col (1) = p ∗1 (1) P ( N = 1) = 0,1624


f S col (2) = p ∗1 (2) P ( N = 1) + p ∗2 ( 2) P ( N = 2) = 0,1786 f S col (3) = p ∗1 (3) P ( N = 1) + p ∗2 (3) P ( N = 2) + p ∗3 (3) P ( N = 3) = 0,1635 f S col (4) = p ∗2 (4) P ( N = 2) + p ∗3 (4) P ( N = 3) + p ∗4 ( 4) P ( N = 4) = 0,1270 f S col (5) = p ∗2 (5) P ( N = 2) + p ∗3 (5) P ( N = 3) + p ∗4 (5) P ( N = 5) + p ∗5 (5) P ( N = 5)

= 0,0912 f S col (6) = p ∗2 (6) P ( N = 2) + p ∗3 (6) P ( N = 3) + p ∗4 (6) P ( N = 4)

Logo,

b) Cálculo do Coeficiente de Variação de S col

= λ E [ X ] E [ X ] = 1 × 0,6 + 2 × 0,3 + 3 × 0,1 = 1,5 E S col

Logo,

= 2 × 1,5 = 3 V S col = λ E X 2 E X 2 = 12 × 0,6 + 2 2 × 0,3 + 32 × 0,1 = 2,7 E S col

Logo, V [S col ] = 2 × 2,7 = 5,4

→

σ [S col ] = 5,4

= 2,3238

E, o coeficiente de variação, será:

O que representa um elevado coe ficiente de variação. O principal motivo para isto é o reduzido número de sinistros, pois λ = 2 .

Distribuições para o Sinistro Agregado • 77

Propriedades da Poisson Composta Teorema 1

Sejam: S 1col , S 2col ,  S mcol variáveis aleatórias independentes de modo que: S icol ~ Poisson Composta ( λ i , P i ( x ) )

Então, m

col

S

= ∑ S icol ~ Poisson Composta ( λ , P ( x ) ) i =1

m

∑

Onde: λ =

e P ( x ) =

λ i

i =1

m

λ i P i ( x ) λ i =1

∑

Demonstração: A Função Geratriz de Momentos de S icol pode ser expressa por: M S col (t ) = i

exp( λ i ( M i (t ) − 1))

Onde, M i (t ) é a Função Geratriz de Momentos correspondente a P i ( x ) Dado que as variáveis aleatórias S icol são independentes, então, M S col (t ) =

m

∏ M

S i

i =1

col

m   (t ) = exp ∑ λ i ( M i (t ) − 1)  i =1 

Se multiplicarmos e dividirmos o somatório acima por

m

∑ λ i =1

M S col (t ) = exp(λ ( M X (t ) − 1)) , então, M S col

  m λ i   (t ) = exp λ  ∑ ( M i (t ) − 1)      i =1 λ 

Onde, λ =

m

∑

λ i

i =1

e P ( x ) =

m

λ i P i ( x ) λ i =1

∑

i

, e dado que:


Consequências: a) Várias partições de carteira com distribuição de Poisson Composta geram carteira com distribuição de Poisson Composta; b) Vários subintervalos de tempo com distribuição de Poisson Composta geram um intervalo de tempo, que é a soma dos subintervalos, com distribuição de Poisson Composta. Teorema 2

Se cada sinistro pode assumir apenas os valores x1 , x 2 , x m , com probabilidades: P ( X = x i ) = p (x i ) Seja N =

m

∑ N

i

i =1

Onde N i representa a variável aleatória “número de sinistros iguais a xi”. Com isso, S col pode ser escrito como: S col = x1 N 1 + x 2 N 2

+  + x m N m

Logo, se S col possui distribuição de Poisson Composta ( λ , P ( x ) ), então: a) N 1 , N 2 ,  , N m são independentes; b) N i ~ Poisson ( λ i ), onde: λ i = λ P ( X = x i ) . m

Conseqüência: λ

= ∑ λ i i =1

Este teorema é demonstrado por ( BOWERS, GERBER, HICKMAN, JONES AND NESBITT)1 .

Observações: a) Este é um método alternativo para determinar a distribuição de Poisson Composta, aplicável quando a distribuição do valor de 1 sinistro ( X ) é discreta. Mesmo quando uma distribuição contínua é selecionada, pode-se transformá-la em uma distribuição discreta para se obter uma aproximação para S col ;

Distribuições para o Sinistro Agregado • 79 b) A utilidade desse método é mais evidenciada quando temos um número pequeno de valores e sabemos que a Poisson Composta é conveniente para S col ; c) A rotina para se aplicar esse método é a seguinte: i) Calcula-se λ i = λ P ( X = x i ) , dado que conhecemos P ( X = x i ) ii) calcula-se P ( x1 N 1

= x ) dado que

iii) calcula-se P ( x 1 N 1 + x 2 N 2 = x ) = pois os N i são independentes

∑ P ( x N = x − y ) P ( x N = y ) , 1

1

iv) calcula-se recursivamente P (S col = x ) = P x1 N 1 + x 2 N 2 d) P ( xi N i

= x ) = P ( N i =

x xi

e

)=

2

2

y

− λ i

+  + x m N m = x

λ xi / x

i

 x     ! x  i 

Exemplo 2: Refazer o cálculo de f S ( x ) para x = 0,1,2 e 3 do exemplo 1, utilizando o método alternativo do Teorema 2. col

Resposta: λ 1 = λ P ( X = 1) = 2 × 0,6 = 1,2

= λ P ( X = 2) = 2 × 0,3 = 0,6 λ 3 = λ P ( X = 3) = 2 × 0,1 = 0,2 λ 2

f S col ( x ) = P (1 N 1

+ 2 N 2 + 3 N 3 = x )

P (1 N 1 = x ) = P ( N 1 = x ) =

e −1, 2 1,2 x x! x

P (2 N 2

x  e = x ) = P   N 2 =  = 2  

− 0, 6

0,6 2

x

2

! x

x  e  P (3 N 3 = x ) = P  N 3 =  = 3  

− 0, 2

0,2 3

x

3

!


= 0) = 0,301194 P (1 N 1 = 1) = 0,361433 P (1 N 1 = 2 ) = 0,21686 P (1 N 1 = 3) = 0,086744 P (2 N 2 = 0) = 0,548812 P (2 N 2 = 2 ) = 0,329287 P (3 N 3 = 0) = 0,818731 P (3 N 3 = 3) = 0,163746 f S (0) = P (1 N 1 + 2 N 2 + 3 N 3 = 0) = P (1 N 1 = 0) P (2 N 2 = 0) P (3N 3 = 0) = 0,1353 f S (1) = P (1 N 1 + 2 N 2 + 3 N 3 = 1) = P (1 N 1 = 1) P (2 N 2 = 0) P (3N 3 = 0) = 0,1624 f S (2 ) = P (1 N 1 + 2 N 2 + 3 N 3 = 2 ) = P (1 N 1 = 2) P (2 N 2 = 0) P (3N 3 = 0) + P (1 N 1 = 0) P (2 N 2 = 2) P (3N 3 = 0) = 0,1786 f S (3) = P (1 N 1 + 2 N 2 + 3 N 3 = 3) = P (1 N 1 = 3) P (2 N 2 = 0) P (3N 3 = 0) + P (1 N 1 = 0) P (2 N 2 = 0) P (3N 3 = 3) + P (1 N 1 = 1) P (2 N 2 = 2) P (3N 3 = 0) = 0,1635 P (1 N 1

col

col

col

col

Observe que, apesar do cálculo por este método ser mais rápido do que aquele executado no exemplo 1, ainda assim é bastante trabalhoso.

DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL NEGATIVA COMPOSTA PARA S col Quando N possui distribuição Binomial Negativa ( r , p ), dizemos que S col possui distribuição Binomial Negativa Composta ( r , p, P ( x ) ), de modo que:

F s col ( x ) =

∞

∑

 r + n − 1 r n   p q n 

P ∗ ( x ) 

n =0

n


Função Geratriz de Momentos da Binomial Negativa Composta Sabemos que a Função Geratriz de Momentos de S col é expressa por: M S col (t ) = M N (log M X (t ) )

Sabemos, também, que a Função Geratriz de Momentos da Binomial Negativa é expressa por:

r

Logo, M S

col

 p   (t ) =   ( ) q M t − 1 X  

Momentos da Binomial Negativa Composta

E [S col ] = E [ N ] E [ X ] =

r q p

E [ X ]

V [S col ] = E [ N ]V [ X ]+ E [ X ] V [ N ] 2

=

r q

=

r q

=

r q

p

p

p

E [ X 2 ] − E [ X ]

]+ r q2 E [ X ] 2

E [ X 2 ] + E [ X ]

2

 r q r q   2 −    p p 

E [ X

2

[

2

2

] + E [ X ]

p

r q 2 p 2

Pode-se, também, mostrar que:


APROXIMAÇÕES PARA S col Conforme verificamos, a determinação da distribuição de S col é extremamente trabalhosa, seja por convolução ou a partir da Função Geratriz de Momentos. Vejamos a seguir as aproximações Normal e Gama para S col , as quais são muito utilizadas na prática.

Aproximação Normal para S col Sabemos que S col = X 1 + X 2 +  + X N Se S col for a soma de variáveis aleatórias X i independentes e identicamente distribuídas, então, quando o número de sinistros for su ficientemente grande, S col terá distribuição aproximadamente Normal com média e variância V S col , ou seja: S col − E [S col ]

σ [S col ]

~ N (0,1)

Uma utilização prática desse resultado é, por exemplo, o cálculo do total de prêmio puro ( P ) tal que: , onde: P = E S col

+ Z 1− α σ S col

O valor de P pode ser visualizado gra ficamente no Gráfico 6.1.

Gr fico 6.1.

Distribuições para o Sinistro Agregado • 83 col

Aproximação Normal quando S

~ Poisson Composta ( λ , P ( x ) )

Conforme demonstrado no item “ Distribuição de Poisson Composta para S col”, temos: E S col

= λ E [ X ]

Assim sendo,

= λ E X 2

V S col

S col − λ E [ X ]

λ E [ X

2

]

   → N (0,1) λ → ∞

Demonstração: Seja Z =

S col − λ E [ X ]

λ E [ X 2 ]

Então, Como M S (t ) = exp(λ ( M X (t ) − 1)) , então, col

   M Z (t ) = exp λ  M X       

   − 1 − 2  λ E [ X ]    t

  λ E [ X 2 ]  

λ E [ X ] t

Sabemos que:

Logo,

  E [ X ] t E [ X 2 ] t 2  E [ X 3 ] t 3    − M Z (t ) = exp λ 1 + ... 1 + + + − 2 2 2 3 / 2       λ E [ X ] 2! λ E [ X ] 3! ( λ E [ X ])  t 2  E [ X 3 ] t 3   M Z (t ) = exp .... + + 3 / 2  2!  2  [ ] ) ( E X λ 3 !  

  2  λ E [ X ] 

λ E [ X ] t


 t 2  Ou seja, quando λ → ∞ , então, M Z (t ) → exp   que é a Função Geratriz de 2   Momentos de uma distribuição Normal ( 0,1 ). Este resultado é compatível com o resultado apresentado pelo Teorema Central do Limite, no que concerne ao fato que precisamos que N seja grande, ou seja, é necessário que λ seja grande, pois λ = E [ N ] .

Exemplo 3: Seja a distribuição da variável aleatória “valor de 1 sinistro” ( X ) das 3 carteiras de seguros a seguir: x

carteira 1

carteira 2

carteira 3

$10 $20 $40 $60 $1000

40% 30% 20% 10% -

40% 30% 20% 8% 2%

100% -

Calcule o carregamento de segurança ( θ ) que garanta que seja de 1% a proba bilidade do sinistro agregado superar o total de prêmio puro, dado que o sinistro agregado possui distribuição de Poisson Composta que pode ser aproximada por uma distribuição Normal. a) supondo b) Supondo

; .

Resposta: P = E S col

Logo, θ

=

+ Z 1− α σ S col = E S col (1 + θ )

Z 1−α σ S col

Mas, E S col

E [S col ]

= λ E [ X ]

V S col

= λ E X 2


Logo, θ

=

Z 1−α λ E [ X 2 ]

λ E [ X ]

Em relação à distribuição de 1 sinistro, temos:

Carteira 1 2 3

E [ X ]

E [ X 2]

σ X

[ ]

σ X / E X

[ ]

[ ]

$24 $42,8 $10

$840 $20.768 $100

$16,25 $137,61 zero

67,7% 321,5% zero

Verifique que a primeira carteira possui um coe ficiente de variação intermediário (67,7%), a segunda carteira é bastante dispersa (321,5%) e a terceira carteira é toda concentrada, sem variabilidade no X . Desta forma, então, teremos os seguintes valores de θ em função de λ : a) λ = 100 Carteira 1 2 3

θ

28,1% 78,5% 23,3%

b) λ =10.000 Carteira

θ

1 2 3

2,8% 7,8% 2,3%

Observe que, enquanto na primeira situação, onde temos somente 100 sinistros em média por ano, os carregamentos de segurança são elevados, destacando-se a carteira 2 com 78,5% de carregamento de segurança. Na situação em que temos 10.000 sinistros em média por ano, os carregamentos de segurança são bastante reduzidos, situando-se todos na faixa abaixo de 10%.

86 • Modelos de Preci ficação e Ruína para Seguros de Curto Prazo Isto nos mostra que o mais importante para se obter um baixo carregamento de segurança é a massi ficação. Com a massificação, mesmo a carteira 2, que possui uma alta dispersão nos valores de 1 sinistro, passa a ter uma pequena dispersão no valor total dos sinistros. Veja que, na situação em que temos λ = 100 , o número médio de sinistros de valor $1.000 na carteira 2 é de 2% × 100 = 2 , na situação em que ,o número médio de sinistros passa para . Ora, 200 sinistros já re presentam uma massa signi ficativa, de modo que a faixa de valor $1.000, apesar de representar somente 2% da distribuição do valor de 1 sinistro, passa a ser signi ficativa, quando temos um número elevado de sinistros na carteira. col

Aproximação Normal quando S

~ Binomial Negativa Composta ( r , p, P ( x ) )

Conforme demonstrado no item “ Distribuição Binominal Negativa Composta para S col ”, temos: E [S

col

] = r

q

p

V [S

E [ X ]

col

] = r

q

p

E [ X

2

] + r

q2

p

2

2

E [ X ]

Neste caso, para que N seja grande é necessário que S col −

Logo,

r q p

E [ X ] 2

q q r E [ X 2 ] + r 2 E [ X ] p p

   → N (0,1) r → ∞

Observação: Conforme já observado neste livro, a aproximação Normal costuma ser muito boa no extremo superior da distribuição de S col , mesmo quando o número esperado de sinistros é pequeno. Essa propriedade tem uma aplicação prática muito grande, pois são exatamente os valores mais elevados de S col que mais nos interessam nos cálculos atuariais, como por exemplo no cálculo do prêmio puro P tal que P (S col > P ) = 1% . Se acharmos que a assimetria da distribuição de S col é muito forte, então não devemos utilizar a aproximação Normal. Podemos, por exemplo, aplicar a aproximação Gama, cuja distribuição é assimétrica, apresentando o terceiro momento central positivo.


Aproximação Gama para S col

Este é o modelo padrão da Gama. Neste caso, porém, estamos considerando probabilidades a montantes de indenizações desprezíveis ( ε). Entretanto, isto é muito difícil de acontecer com um grande número de apólices na carteira, de modo que: P (0 < S col < ε ) → 0

Para equacionar esse problema, faz-se uma translação de x 0 na curva da função de densidade g , onde x 0 é o montante mínimo de indenização, ou seja:

Gráfico 6.2


H é a função de distribuição da Gama Transladada. Assim sendo, se S col tem

distribuição Gama Transladada, então:

Observe que os momentos da Gama Transladada são iguais aos da Gama, à exceção da média, a qual é acrescida de x 0 : E [S

col

] = x0 + α

β

V [S col ] =

α β 2

[

E (S col − E [S col ] )

3

] = β2 α 3

Resolvendo esse sistema de 3 incógnitas e 3 equações, temos: α

=

4(V [S col ] )

[

3


]

3 2

2V S col

β

=

x 0

= E [S ] −

[


col

[

3

]

2(V [S col ] )

2


3

]

Para calcularmos α , β e x 0 que melhor aproximam uma distribuição Gama à 3

variável S col , precisamos conhecer E S col ,V S col e E (S col − E [S col ]) . Vejamos a seguir o cálculo destes momentos para o caso da Poisson Composta e da Binomial Negativa Composta: Aproximação Gama quando S ~ Poisson Composta ( λ , P ( x ) ) col

Conforme demonstrado no item “ Distriuição de Poisson Composta para S col ”, temos: E [S col ] = λ E [ X ]

V [S ] = λ E [ X ] col

2

E (S col − E [S col ])

3

= λ E [ X 3 ]

Distribuições para o Sinistro Agregado • 89 Logo, α

β

x 0

4 λ E [ X 2 ]

=

E [ X 3 ]

3

2

E [ X 2 ]

=2

E [ X 3 ]

= λ E [ X ] − 2 λ

E [ X 2 ]

2

E [ X 3 ] col

Aproximação Gama quando S

~ Binomial Negativa Composta ( r , p, P ( x ) )

Conforme demonstrado no item “ Distriuição de Poisson Composta para S col ”, sabemos que: E [S

col

]=

r q p

E [ X ]

V [S

col

]=

r q p

E [ X

2

] + E [ X ]

2

r q 2 p 2

r

Dado que M S

col

 p   (t ) =    1 − q M X (t ) 

É fácil mostrar que:

e, assim, calculamos α , β e x 0 .

Observações: a) Pode-se mostrar que:

Assim sendo, pode-se dizer que a aproximação Gama é uma generalização da distribuição Normal;

90 • Modelos de Preci ficação e Ruína para Seguros de Curto Prazo b) Podemos calcular o prêmio P tal que: F S coL ( P ) = 1 − α

→ G( P − x0 ; α ; β ) = 1 − α

Outras Aproximações para S col Existem diversas outras aproximações para a distribuição do sinistro agregado, entre as quais destacamos: • • • • •

Série de Edgeworth, também chamada de Normal II; Normal Power (NP); Escher; Wilson - Hiferty Formula; Haldane Approach.

Essas aproximações são extensões da distribuição Normal. Abordagens aprofundadas dessas e de outras aproximações foram feitas por GERBER 6, HEILMANN8, KAAS11, (HOGG AND KLUGMAN) 9 e (DAYKIN, PENTIKAINEN AND PESONEN) 4. A aproximação Normal não costuma ser muito precisa na aproximação do sinistro agregado, já que possui o coeficiente de assimetria zero. Apesar disso, conforme já comentado, a aproximação Normal costuma ser muito boa na região de maior interesse, ou seja, na cauda superior da distribuição do sinistro agregado.

Exemplo 4: Suponha que S col tenha distribuição de Poisson Composta com e distribuição de X sendo Uniforme (0,1). Calcular , utilizando: a) Aproximação Normal; b) Aproximação Gama Transladada.

Resposta: Se X possui distribuição Uniforme (0,1), então, f X ( x ) = 1 , logo, 1

∫

E [ X ] = xdx 0

=

x2

2

1 0

=

1 2

Distribuições para o Sinistro Agregado • 91 a) Aproximação Normal

b) Aproximação Gama Transladada.

β

E [ X 2 ]

=2

Logo,

Onde,

E [ X 3 ]

= 2×

1/ 3 8 = 1/ 4 3


EXERCÍCIOS 1) Sejam as variáveis aleatórias S k col k = 0,1,2,...., com distribuição Binomial Negativa Composta com parâmetros r e p (k ) e função de distribuição acumulada do valor de 1 sinistro igual a F X ( x ) . Os parâmetros da distribuição Binomial Negativa Composta possuem a seguinte característica: q(k ) p (k )

= k

q

p

k = 1, 2,3,.....,

Onde q é uma constante e q = 1 − p , S k col

Mostre que a distribuição de se aproxima de uma distribuição E [S k col ] Gama ( r , r ) quando k → ∞ .

2) Seja S 1col com distribuição de Poisson Composta com λ = 2 e distribuição do valor de 1 sinistro assumindo os valores $1, $2 ou $3, com as respectivas probabilidades 0,2, 0,6 e 0,2. Seja S 2col com distribuição de Poisson Composta com λ = 6 e distribuição do valor de 1 sinistro assumindo os valores $3 ou $4, com probabilidade de 0,5 para cada um dos valores. Determinar a distribuição de S 1col + S 2col para a hipótese de S 1col ser independente de S 2col .

3) Mostre que se S col possui distribuição Gama ( α , β ), então:

Sugestão: Use a função geratriz de momentos da Gama, ou seja, α

M S col

 β  (t ) =    t  β − 


4) Suponha que S col possua distribuição Gama Transladada ( x ; α ; β ; x 0 ). Determinar β e x 0 em função de α , de modo que S col possua média igual a zero e variância igual a 1.

e 5) Suponha que S col possua distribuição de Poisson Composta com distribuição de X sendo Exponencial ( α = 0,005 ). Calcular P (S col > 5.000) utilizando a aproximação Normal.

6) Seja a seguinte distribuição do valor de 1 sinistro: Valor do sinistro ($) 100 150 200 250 400 800


Calcule o carregamento de segurança ( θ ) que proporciona uma probabilidade de 5% do sinistro agregado superar o total de prêmio puro, dado que o sinistro agregado possui distribuição Binomial Negativa Composta ( ) que pode ser aproximada por uma distribuição Normal.

Fórmula Recursiva de Panjer

A obtenção da distribuição exata da variável aleatória “valor total dos sinistros em 1 ano” é extremamente trabalhosa, conforme abordado nos capítulos anteriores. Neste capítulo será desenvolvida a fórmula recursiva de Panjer, a qual permite a obtenção da distribuição exata do sinistro agregado, com a vantagem de sua simplicidade e facilidade de ser transformada em um algoritmo. Essa simplicidade permite a obtenção do sinistro agregado a partir de recursos computacionais triviais.

A FÓRMULA R ECURSIVA DE PANJER PANJER 16 descobriu que diversas distribuições discretas possuem a seguinte característica: P n

b  =   a +  P n −1  n 

n = 1,2,

Sendo P n a função de probabilidade no ponto n . É fácil provar que as distribuições abaixo possuem essa característica:

95


Poisson ( λ ) P n =

λ n e − λ n!

=

λ

P n −1

n

Sendo a = 0

e

b = λ

Geométrica ( p ) 0  = pq n =   q +  P n −1  n  Sendo a = q e b = 0 P n

Binomial Negativa ( r , p ) P n

=

=

(r + n − 1)! r n p q (r − 1)! n ! r + n − 1 n

q P n −1

Sendo a = q e b = (r − 1) q

Observação: As distribuições que possuem essa característica pertencem à chamada família ( a, b ) de Panjer.

DEMONSTRAÇÃO DA FÓRMULA R ECURSIVA DE PANJER Seja M N (t ) = E t N

= P 0 + P 1t + P 2 t 2 + P 3 t 3 + 

Sendo P k a probabilidade do n o de sinistros em 1 ano ser igual a k M X (t ) = E t X

= f (t ) = f 0 + f 1t + f 2 t 2 + f 3t 3 + 

Sendo f k a probabilidade do valor de 1 sinistro ser igual a k . M S (t ) = E t S

= g (t ) = g 0 + g 1t + g 2 t 2 + g 3 t 3 + 

Sendo g k a probabilidade do valor do sinistro agregado ser igual a k .

Fórmula Recursiva de Panjer • 97 Mas,

[t S ] = E [ E [t S / N ] ] = E [ E [t NX g (t ) = E ′ ( f ) f ′ g ′ = M N E, P n

b  =   a +  P n −1  n 

Logo,

g ′ =

a+b

g f ′ 1 − a f

] ] = E E [t ] = M [ f (t )] X N

N

98 • Modelos de Preci ficação e Ruína para Seguros de Curto Prazo Para o coeficiente de t n temos:

( n + 1) g n +1 − a Seja g 0

=

∞

∞

∑ (n + 1 − i ) f g i

i =0

n +1− i

= (a + b)∑ (n + 1 − i ) g i f n +1−i i =0

f 0 , então,

( n + 1) g n +1 − a ( n + 1) f o g n +1 − a

n

∑ (n + 1 − i ) f g i

i =1

n +1− i

n

= (a + b)(n + 1) g 0 f n +1 − ∑ (n + 1 − i ) g i f n +1−i (a + b) i =1

g n +1 ((n + 1) − a (n + 1) f 0 )

g n (n − anf 0 ) =

n

∑ (n − i )[a f g i

i =1

n −i

− (a + b) g i f n −i ]

n i  i i    K = ∑ f i g n −i 1 −  a + ( a + b)  = ∑ f i g n −i a + b  n  i =1 n  i =1  n  n

Logo,

Ou seja,

Fórmula Recursiva de Panjer • 99 Que é a fórmula recursiva de Panjer, a qual permite calcular a distribuição exata de S de forma recursiva, de modo que, dado que conhecemos a distribuição de X e conhecemos a distribuição de N e, consequentemente, os valores de a e b, podemos calcular P (S = 0) = P ( N = 0) . Em seguida podemos calcular P (S = α 1 ) , sendo α 1 o primeiro valor que S pode assumir após zero. Calculado P (S = α 1 ) , podemos calcular P (S = α 2 ) , sendo α 2 o 1o valor que S pode assumir após α 1 , e, assim, sucessivamente.

CONSIDERAÇÕES PRÁTICAS A fórmula recursiva de Panjer é muito prática de ser utilizada e possui a vantagem de conduzir à distribuição exata de S . O algoritmo de programação da fórmula recursiva de Panjer fica simplificado quando os valores de X estão dispostos de forma seqüencial. Vejamos, a seguir, como agrupar os valores de X de forma seqüencial para os casos discreto e contínuo. X Discreto

Deve-se escolher um fator de incremento a partir da análise da distribuição de X e da análise dos valores extremos. O fator de incremento deve ser o menor possível que atenda às limitações dos recursos computacionais, pois quanto menor o fator de incremento, maior o número de pontos seqüenciais de X . Por exemplo, caso tenhamos uma distribuição de X que pode assumir valores de $1 até $98, podemos de finir os novos pontos seqüenciais como sendo: $5; $15; $25; $35; $45; $55; $65; $75; $85 e $95, onde o fator de incremento é igual a $10. Desta forma, então, podemos agrupar os valores entre ($0, $10] no ponto $5. Os valores entre ($10, $20] no ponto $15 e, assim, sucessivamente. Assim sendo, P ( X = $5) da nova distribuição será igual a

igual a

,

será

e, assim, sucessivamente.

X Contínuo

Para utilizar a fórmula recursiva de Panjer, precisamos discretizar X . Apresentamos a seguir o método de discretização pelo ponto médio, conforme descrito em (DAYKIN, PENTIKAINEN AND PESONEN) 4:


Tomamos os seguintes pontos médios: tervalos: (0,2C ], (2C ,4C ], ........., (2(r ′ − 1)C , 2r ′C ] com probabilidades:

dos in-

p1 = F (2C ) p 3

= F (4C ) − F (2C )

p5

= F (6C ) − F (4C )



p r = 1 − F (2(r ′ − 1)C )

E o limite r ′ deve ser su ficientemente grande de tal forma que a distribuição de probabilidade acima de 2 r ′ seja insignificante. A distribuição de probabilidade acima de 2 r ′ deve ser alocada proporcionalmente em cada intervalo em função da sua respectiva distribuição de probabilidade.

Exemplo 1: Refazer o cálculo de f S ( x ) do exemplo 1 do capítulo 6 pela fórmula recursiva de Panjer. Resposta: Como N possui distribuição de Poisson ( λ f S (n ) = P (S = n ) =

= 2) , então:

n

∑ 2 ni P ( X = i) P (S = n − i ) i =1

Onde: P ( X = 1) = 0,6

P ( X = 2 ) = 0,3

P ( X = 3) = 0,1

Logo, f S (0) = P ( N = 0) = 0,1353

1 1 1 2 f S (2 ) = 2 × P ( X = 1) P (S = 1) + 2 × P ( X = 2) P (S = 0) = 0,1786 2 2 f S (1) = 2 × P ( X = 1) P (S = 0) = 0,1624

Fórmula Recursiva de Panjer • 101

Veja que calculamos f S ( x ) de forma muito mais rápida e simpli ficada do que no exemplo 1 do Capítulo 6, onde aplicamos o processo de convolução, e, também, de forma mais rápida e simpli ficada do que no exemplo 2 do Capítulo 6, onde aplicamos o método alternativo do Teorema 2.

EXERCÍCIOS

1) Seja a seguinte distribuição do valor de 1 sinistro: x ($)

10

20

30

40

P ( X = x )

0,5

0,3

0,15

0,05

Determinar a probabilidade do sinistro agregado ser igual ou inferior a $60, caso a variável aleatória “número de sinistros ocorridos em 1 ano” seja Poisson ( λ = 3 ), utilizando a fórmula recursiva de Panjer.


2) Refazer o exercício 1 supondo que a variável aleatória “número de sinistros ocorridos em 1 ano” seja Binomial Negativa ( ).

3) Determinar os valores de a e b da distribuição Binomial ( N , p ) que caracterizam a distribuição Binomial como pertencente à família ( a , b ) de Panjer.

Processo de Ruína – Período Finito Neste capítulo serão apresentados os cálculos do limite de retenção, da proba bilidade de uma seguradora deixar de honrar os seus compromissos futuros, aqui denominada de probabilidade de ruína e o capital que a seguradora deve constituir para garantir a sua solvência. Para a avaliação da solvência de uma seguradora devem ser considerados diversos riscos, tais como os riscos legal, operacional, de crédito, das operações financeiras e o principal deles que é o risco de subscrição. A obtenção dos parâmetros limite de retenção, probabilidade de ruína e necessidade de capital pode envolver processos extremamente complexos, não existindo, entretanto, nenhuma formulação que possa ser classi ficada como ideal na comunidade atuarial para a obtenção desses parâmetros. Serão desenvolvidas algumas fórmulas simplificadas baseadas no risco de subscrição, mas que possuem a vantagem de ex plicitar como funciona o processo de ruína de uma seguradora. Esses cálculos serão efetuados considerando o processo de ruína em um período finito, de modo que os parâmetros acima serão determinados para garantir a solvência de uma seguradora em 1 ano.

O PROCESSO DE R UÍNA O processo de ruína está relacionado a diversos fatores qualitativos e quantitativos, entre os quais podem ser destacados os seguintes fatores quantitativos relacionados ao risco de subscrição:

103

104 • Modelos de Preci ficação e Ruína para Seguros de Curto Prazo a) b) c) d) e) f) g)

Duração do processo; Carregamento de segurança ( θ ) embutido no prêmio puro; Distribuição do valor total dos sinistros retidos S RET ; Tipo de contrato de resseguro; Limite técnico; Fundo inicial que a seguradora aloca para assumir o risco de ruína ( μ ); Probabilidade de ruína ( δ ).

Será desenvolvido adiante o estudo sobre a probabilidade de ruína, levando-se em conta o processo estocástico associado ao fenômeno do excedente existente nas operações de seguro. Este capítulo utiliza alguns conceitos de resseguro, os quais são apresentados no capítulo 10. Sejam: µ - Fundo inicial, ou reserva de risco;

[0, t ) ; S RET (t ) - Total de sinistros retidos ocorridos em [0, t ) ; U (t ) - Excedente existente no instante t.

P RET (t ) - Total de prêmio puro retido auferido em

Logo,

μ representa o quanto a empresa se dispõe a colocar em risco nas operações de seguro para o risco de subscrição. Esse montante, naturalmente, deve ser função da sua capacidade econômica, ou seja, do seu patrimônio líquido. Na prática utilizam-se percentuais que variam de 25% a 50% do patrimônio líquido, sendo que quando a empresa compromete uma proporção pequena do patrimônio líquido, o que não necessariamente implica na sua ruína, a empresa aceita trabalhar com probabilidades mais elevadas de que essa pequena proporção do patrimônio líquido seja consumida com as operações de seguro. A utilização de um percentual reduzido do patrimônio líquido, como reserva de risco, se justifica, também, pelo fato de que nem todos os ativos da seguradora serem líquidos, de modo que se ela perder, por exemplo, 25% do seu patrimônio líquido, pode até se arruinar por falta de liquidez. Além disto, o risco de subscrição não é o único que pode conduzir à ruína de uma seguradora. Na prática observa-se que este risco responde por 50% a 80% da necessidade de capital de uma seguradora. A ruína da empresa acontece exatamente quando os sinistros retidos menos os prêmios puros retidos superam a reserva de risco ( µ ) num instante t qualquer, ou seja, P RET (t ) + μ

− S RET (t ) < 0 →

U (t ) < 0

Processo de Ruína – Período Finito • 105 Veja que na determinação do excedente não consideramos os ganhos financeiros nem as despesas administrativas e de comercialização. De modo que possamos visualizar o processo estocástico, vamos supor que os prêmios sejam auferidos uniformemente ao longo do tempo, ou seja: P RET (t ) = c t

Supomos que a carteira permanecerá com as mesmas características e que os prêmios não serão reavaliados. Logo, U (t ) = μ

+ c t − S RET (t )

Seja X RET a variável aleatória “valor do i-ésimo sinistro retido”. Desta forma, a representação grá fica do processo de ruína pode ser observada no Gráfico 8.1.

Gráfico 8.1.

Onde T é o tempo no qual ocorre a ruína. Ou seja, T = min{ t , t ≥ 0 e U (t ) < 0}

Podemos notar que: T = ∞

↔ U (t ) ≥ 0 ∀ t ≥ 0

Que é a situação em que não ocorre a ruína. Além disso, o excedente no momento de ruína é U (T ) , onde U (T ) < 0 .


PROBABILIDADE DE R UÍNA Seja ϕ ( μ , t ) a função que define a probabilidade de ruína no intervalo [0, t ) . Assim sendo, temos: ϕ ( μ , t ) = P (T < t )

A probabilidade de ruína em um período in finito, que será tratada no capítulo 9, é representada por: ϕ ( μ ) = P (T < ∞ )

Veja que ϕ ( μ , t ) ≤ ϕ ( μ )

Probabilidade Anual de Ruína A probabilidade de ruína em 1 ano pode ser expressa por : ϕ ( μ ,1) = P (T < 1)

Sejam: P RET - Total de prêmio puro retido auferido em 1 ano; S RET - Total dos sinistros retidos ocorridos em 1 ano.

Uma definição de probabilidade de ruína em 1 ano que permite uma aplicação prática mais imediata é a seguinte: ϕ ( μ ,1) = P (U (1) < 0 ) = P (S RET > μ + P RET )

Ou seja, a probabilidade de ruína em 1 ano é a probabilidade de que os sinistros retidos sejam superiores ao fundo inicial acrescido dos prêmios puros nesse período. Veja que existe uma diferença bastante sutil entre os dois conceitos, ou seja: P (T < 1) ≠ P (U (1) < 0 )

Pois o excedente U (t ) pode até ser positivo ao final de 1 ano, o que não caracteriza a ruína pelo segundo conceito e ter sido negativo num instante qualquer antes do fim do ano, o que caracteriza a ruína pelo primeiro conceito. Na verdade P (T < 1) > P (U (1) < 0) pois, pelo primeiro conceito, o excedente U (t ) pode ser negativo num instante t qualquer antes do fim do ano e, pelo segundo conceito, só exigimos que U (1) seja negativo.

Processo de Ruína – Período Finito • 107 Assim sendo, é importante termos em mente que, quando estivermos trabalhando com o segundo conceito para a solução de um problema qualquer relacionado ao processo de ruína, deveremos ser mais conservadores na fixação de uma probabilidade máxima de ruína aceitável, em função de que pelo segundo conceito permite-se excedentes negativos durante o ano com a possibilidade de alguma forma de financiamento com os novos prêmios ou postergação no pagamento dos sinistros, o que nem sempre é possível.

MODELO PRÁTICO DE R UÍNA A seguir apresentamos uma utilização prática do processo de ruína em 1 ano, onde aplicamos a aproximação Normal à distribuição de Poisson Composta para S RET . Desta forma, desenvolveremos o cálculo do limite técnico, do µ e da probabilidade de ruína. Sejam: μ - Fundo inicial ou reserva de risco; LT - Limite técnico ou limite de retenção; δ - Probabilidade de ruína em 1 ano; X RET - Variável aleatória “valor de 1 sinistro retido”, após a fixação do LT; S RET - Variável aleatória “valor total do sinistro retido ocorrido em 1 ano”, após a

fixação

do LT;

P RET - Total de prêmio puro retido, após a fixação do LT.

Vamos supor que S RET tenha distribuição de Poisson Composta ( λ , f X ( x ) ), de modo que: RET

E [S RET ] = λ E [ X RET ] 2 V [S RET ] = λ E X RET

Vamos aproximar a distribuição de S RET por uma distribuição Normal, logo, Z =

S RET − λ E [ X RET ]

λ E [ X RET ] 2

~ N (0,1)


Cálculo da Probabilidade de Ruína em 1 ano ( δ ) Vamos utilizar o modelo prático apresentado no item “ Probabilidade Anual de Ruína”, de modo que a probabilidade anual de ruína será expressa por: δ

= P (S RET > μ + P RET )

Ou seja, δ

 μ + P RET − λ E [ X RET ]   = P  Z > 2   λ E [ X RET ]  

Através dessa equação podemos, também, calcular µ , fixados os valores de LT e δ, ou, calcular o LT, fixados os valores de µ e δ, o que será abordado nos itens “ Cálculo da Reserva de Risco µ " e “Cálculo do Limite Técnico (LT) ”.

Cálculo da Reserva de Risco ( μ ) Conforme desenvolvido no item. “ Cálculo da Probabilidade de Ruína em 1 ano ( δ )”, sabemos que:

 μ + P RET − λ E [ X RET ]   = δ P  Z > 2   λ E [ X RET ]   Logo, μ + P RET − λ E [ X RET ] λ E [ X RET ] 2

= Z 1−δ

Desta forma, então, o valor de μ será: 2 ] μ = λ E [ X RET ] − P RET + Z 1−δ λ E [X RET

Processo de Ruína – Período Finito • 109

Exemplo 1: Seja X ~ Exponencial ( α ) e N ~ Poisson ( λ ). Determinar uma expressão para μ em função do LT, λ , α e δ que garanta a solvência da seguradora em 1 ano, dados: – Plano de resseguro de excesso de danos; –

S RET pode ser aproximada por uma distribuição Normal;

– P RET = λ E [X RET ] , ou seja, o carregamento de segurança é zero.

Resposta: Como P RET = λ E [X RET ] , logo, 2 ] μ = Z 1−δ λ E [ X RET

Como o plano de resseguros é de excesso de danos, então,

Como X ~ Exponencial ( α ) , então, f X ( x ) = α e −

Logo,

αx

e

F X ( x ) = 1 − e −

αx

110 • Modelos de Precificação e Ruína para Seguros de Curto Prazo

Logo,

Veja que esta é uma fórmula bastante simples de se calcular μ . Para tal, precisamos atribuir um valor para δ e LT. O valor de α pode ser calculado como sendo o inverso do valor médio de 1 sinistro, pois X ~ Exponencial ( α ) e E [ X ] = 1 / α .

Cálculo do Limite Técnico ( LT ) Calcula-se o LT que, a partir de μ e δ , seja a solução da equação desenvolvida no item anterior, qual seja: 2 ] μ = λ E [ X RET ] − P RET + Z 1−δ λ E [X RET

Tendo em vista que P RET e S RET dependem do LT, o cálculo do LT deverá ser necessariamente feito por tentativa. Na verdade, não existe uma fórmula que possa ser considerada como única para o cálculo do LT. A fórmula por tentativa acima, e as demais que serão apresentadas no capítulo 9, são apenas algumas das diversas fórmulas existentes, sem que nenhuma delas tenha sido consagrada como ideal pela comunidade atuarial. Na prática é muito comum se trabalhar com fórmulas empíricas que relacionam o LT ao volume de prêmios, sinistros, patrimônio líquido, etc. Existem, também, modelos de cálculo que utilizam processos de otimização no cálculo do LT. Procedimentos mais modernos , enquadrados no segmento de cálculo por otimização, utilizam projeções financeiras, procurando identi ficar a melhor opção de resseguro e, consequentemente, de limite de retenção, a partir da análise do valor presente dos lucros esperados na carteira. Essas projeções podem ser feitas de forma determinística ou estocástica. Pela forma estocástica, também chamada de DFA ( dinamic financial analysis ), os sinistros são tratados como variável aleatória.

Processo de Ruína – Período Finito • 111 A partir da fórmula acima, podemos realizar um cálculo otimizado de LT, onde o LT ótimo será aquele que minimiza a probabilidade de ruína ( δ ), ou, equivalentemente, maximiza Z 1−δ . Desta forma, o LT deverá otimizar a seguinte função:

Para maximizar esta função precisamos maximizar o numerador da função e minimizar o denominador. Desta forma, dado que μ é fixado a priori, o LT ótimo deverá proporcionar o máximo de P RET − λ E [ X RET ] , ou seja, o máximo de P RET (total de prêmio puro retido) e o mínimo de λ E [ X RET ] (média do total de sinistro 2 ] (desvio padrão do total de sinistro retido). retido), com o mínimo de λ E [ X RET Observe que quando a carteira da seguradora está equilibrada, com carregamento de segurança positivo, a cada LT mais elevado, aumenta a relação P RET − λ E [X RET ], pois o volume de prêmios retidos é sempre superior ao valor esperado dos sinistros retidos. Ocorre que o aumento do LT pode fazer com que a seguradora assuma pontas na distribuição dos sinistros retidos de tal forma que o aumento no desvio padrão do total de sinistro retido tenha um peso maior do que o aumento da diferença entre P RET e λ E [ X RET ]. Esta análise sobre a otimização no cálculo do LT é sem dúvida mais uma das maravilhas atuariais.

Relação entre μ , δ e LT Para ajudar na análise da relação entre μ , δ e LT , vamos trabalhar com a hipótese de que X RET seja constante e igual a K e que o LT assumirá o valor constante K . Assim sendo, P ( X RET = K ) = 1 E [ X RET ] = K e

2 E X RET

= K 2

P RET = E [S RET ](1 + θ ) = λ E [ X RET ](1 + θ ) = λ K (1 + θ )

112 • Modelos de Precificação e Ruína para Seguros de Curto Prazo Logo, μ

= λ E [ X RET ] − P RET + Z 1−δ

2 ] λ E [X RET

μ = λ K − λ K (1 + θ ) + Z 1−δ λ K 2 μ = Z 1−δ K λ

− λ K θ

Para analisarmos a relação entre μ , δ e LT, precisamos separar a análise em duas partes, sendo a primeira parte referente à situação em que a carteira da seguradora está desequilibrada, tendo um carregamento de segurança ( θ ) não positivo e a segunda parte, quando o carregamento de segurança é positivo. Na nossa análise, o LT estará representado pelo K . Carregamento de Segurança não Positivo

Neste caso, θ ≤ 0 e o total de prêmio puro retido é igual ou inferior ao valor esperado do total de sinistros retidos. Ou seja, μ será sempre positivo, pois a parcela dedutora existente em sua fórmula ( − λ K θ ) será positiva. Assim sendo, temos:

Os dois primeiros resultados são imediatos e mostram que, quanto maior o número esperado de sinistros ( λ ) e quanto maior o LT, maior será a reserva de risco ( μ ), o que é consequência de não existir um carregamento de segurança positivo e, assim, cada novo negócio precisa ser bancado por um acréscimo na reserva de risco. O terceiro resultado nos diz que para termos uma diminuição na probabilidade de ruína ( δ ), devemos aumentar a reserva de risco. Carregamento de Segurança Positivo

Neste caso, a análise é um pouco mais complexa. A relação entre μ e δ pode ser visualizada no Gráfico 8.2:


μ

0

λ

Gráfico 8.2.

Observe que, se o número esperado de sinistros ( λ ) for suficientemente grande, μ pode até mesmo ser igual a zero. Vejamos que ponto seria esse: μ = Z 1−δ K λ

→ λ =

− λ K θ = 0

Z 12−δ

θ2

Podemos, também, calcular o valor de θ que torna o valor de μ igual a zero, ou seja: θ

=

Z 1−δ λ

λ

Na verdade este valor de θ é o mesmo já visto no cálculo do prêmio puro quando aproximamos S col por uma distribuição Normal, sendo o valor de um sinistro ( X ) constante e sendo α a probabilidade de o total de sinistro superar o total de prêmio puro , ou seja, P = E [S

col

]+ Z 1− σ [S ] = E [S ](1 + θ ) → θ = col

α

col

Z 1−α σ [S col ] E [S

col

]

114 • Modelos de Precificação e Ruína para Seguros de Curto Prazo

= λ E [ X ] = λ K e

Onde, E S col Logo, θ

=

Z 1− α λ K 2

λ K

=

σ [S col ] = λ E [ X 2 ] = λ K 2

Z 1−α λ

λ

O que nos mostra que se o prêmio puro estiver corretamente calculado, com um carregamento de segurança adequado, a reserva de risco poderá até ser desnecessária. Ocorre que, para isto acontecer, a probabilidade de o total de sinistros superar o total de prêmio puro terá que ser de δ , e não de α , onde δ normalmente é uma proba bilidade extremamente reduzida ( na ordem de 0,001 ou 0,0005, por exemplo) , pois está associada à probabilidade de ruína. Sendo δ muito pequeno, Z 1−δ terá que ser muito grande e, consequentemente, muito elevado o valor de θ , o que pode tornar a seguradora não competitiva. Sendo não competitiva, a seguradora poderá até quebrar, resultando em um efeito contrário. O segredo da operação de seguros está em se trabalhar com carregamentos de segurança competitivos, que permitam uma massi ficação da carteira, e o uso adequado da reserva de risco para bancar oscilações mais substanciais nos valores das indenizações. Ou seja, a seguradora sempre deverá dispor de uma reserva de risco e jamais imaginar que o processo de preci ficação será suficiente para garantir a sua solvência. Por outro lado, quanto mais capitalizada a seguradora, mais condições ela terá de reduzir o carregamento de segurança no valor dos prêmios, sem que esteja sujeita a um alto risco de insolvência, facilitando até movimentos indesejáveis de “dumping”. A constatação acima também pode ser classi ficada como uma das maravilhas atuariais. Assim sendo, a análise da relação entre μ , δ e LT fica da seguinte forma: a) Se θ

≥

b) Se θ

<

Z 1−δ λ

λ Z 1−δ λ

λ

→ μ ≤ 0 → μ > 0

No primeiro caso, quanto maior o LT, mais negativo será o μ , pois o carregamento de segurança é extremamente elevado.


No segundo caso, quanto maior o LT, maior será o μ . Quanto à relação entre δ e μ , podemos afirmar: δ

↓

Z 1−δ

↑

μ

↑

Que é uma relação comum a todas as situações, pois, quanto menor a probabilidade de ruína que a seguradora quiser trabalhar, maior deverá ser a reserva de risco.

Exemplo 2: Uma seguradora possui 50.000 apólices de seguro de vida com uma taxa média de mortalidade de 0,003. O valor da indenização em caso de morte é fixa em $10.000 e o carregamento de segurança θ =0,05. Calcular μ a um nível de significância de 1% de modo que dentro de 5 anos a seguradora não se arruine. Suponha que S col possui distribuição de Poisson Composta, podendo ser aproximada por uma Normal e que os sinistros agregados em cada um dos 5 anos são independentes entre si. Resposta:

Veja que λ é o número esperado de sinistros em 5 anos. É possível obter λ desta forma, pois a soma de distribuições de Poisson Composta ( λ i , P i ( x ) ) também é uma distribuição de Poisson Composta com λ = λ i .

∑

Exemplo 3: Calcule a relação entre μ e o prêmio comercial anual da carteira de uma seguradora, dados: – –

; S col possui distribuição de Poisson Composta, podendo ser aproximada por uma

Normal;

116 • Modelos de Precificação e Ruína para Seguros de Curto Prazo – – – – –

Carregamento para despesas igual a 30%; Frequência anual média de sinistros igual a 1%; Importância segurada fixa em $50.000; Dano médio igual a 100%; Nível de significância de 1% de modo que dentro de 1 ano a seguradora não se arruine; – Não há cessão de resseguro. Calcule essa relação para as seguintes situações: a) com 100.000 apólices; b) com 200.000 apólices.

Resposta: Como o dano médio representa a relação entre o montante de sinistros e o montante de importância segurada, então, dado que o dano médio é igual a 100%, todos os sinistros são iguais à importância segurada fixa de $50.000. Logo, a) Com 100.000 apólices

Seja π o total de prêmio comercial anual, então,

Logo, a relação entre μ e π será:

Processo de Ruína – Período Finito • 117 b) Com 200.000 apólices

Logo, a relação entre μ e π será:

Veja que o μ cresce com o aumento da carteira, porém, não cresce de forma proporcional. Neste exemplo, quando dobramos o número de apólices, e, consequentemente, dobramos o total de prêmios comerciais, o valor de μ cresceu somente 1,19%. Este fato nos faz re fletir sobre os critérios de apuração da margem de solvência quando a margem de solvência é um percentual sobre os prêmios comerciais retidos, ou seja, a margem de solvência é uma função linear dos prêmios. Não obstante ser impossível condensar a avaliação da solvência em uma única fórmula, esse critério de margem de solvência, que mede basicamente o risco de alavancagem, deveria re fletir percentuais decrescentes com o aumento do volume de prêmios. Seria melhor, também, que esse percentual fosse aplicado ao total de prêmios puros, ao invés do total dos prêmios comerciais, pois um nível de comissionamento mais elevado, por exemplo, pode aumentar arti ficialmente a necessidade de margem de solvência em uma carteira que preserve a expectativa do volume médio de sinistros (total de prêmio puro). K Cálculo de λ , E X RET e P RET

Cálculo de λ

O valor de λ poderá ser uma observação anual do número de sinistros ( n´ ) ou, então, poderemos trabalhar com o limite superior do intervalo de con fiança desenvolvido no capítulo 5, item “ Intervalo de Con fiança para E [N] ”, qual seja,

λ

= E [ N ] = n´+ Z 1−ε

n´(n − n´) n

118 • Modelos de Precificação e Ruína para Seguros de Curto Prazo Na verdade, o uso do limite superior do intervalo de con fiança representa uma segurança adicional no cálculo do μ, δ ou LT, pois as fórmulas de cálculo em si já contêm níveis de segurança implícitos. K

Cálculo de E X RET K Podemos calcular E X RET de duas formas:

– Quando X RET Possui Distribuição Paramétrica Conhecida

– A Partir dos Valores Observados de X RET n´

K ]= E [ X RET

∑ Z

K i , RET

i =1

n´

Onde Z i , RET é o valor observado do i-ésimo sinistro retido em função do LT e do plano de resseguro. Cálculo de P RET

O total de prêmio puro retido é calculado na carteira em função do LT e do plano de resseguro.

Observações: a) Uma sugestão que ajuda no sentido da simpli ficação e da segurança no cálculo de μ, δ ou do LT é considerar todos os contratos de resseguro como de excesso de danos, pois, além de ser o plano de resseguro que proporciona a maior indenização retida, o que contribui para o aspecto da segurança, é, também, o mais simples de se trabalhar por não necessitar da importância segurada para a determinação do sinistro retido. b) Outra simpli ficação possível no cálculo de μ , δ , ou do LT é considerar que o carregamento de segurança é zero, de modo que: P RET = E [S RET ] → μ = Z 1−δ σ [S RET ]

Processo de Ruína – Período Finito • 119 Desta forma, somente precisamos trabalhar com as informações de sinistros, sem que sejam utilizadas as informações de risco, as quais são muito mais extensas e mais difíceis de serem obtidas. Esta facilidade acontece pelo fato de não precisarmos calcular o total de prêmio puro retido. Por outro lado, podemos perder em segurança, se o carregamento de segurança for negativo. c) No cálculo de μ, δ , ou do LT é fundamental que se trabalhe com projeções quanto ao número de sinistros ou mesmo quanto à distribuição do valor de um sinistro. Caso a seguradora espere um crescimento na sua produção, ela deve considerar isto nos seus cálculos. Projeções desse tipo, entretanto, podem dar margem a manipulações. d) Apesar da seguradora possuir uma única reserva de risco ( μ ), não se determina um único limite técnico para toda a operação. Os limites técnicos são determinados por carteira. Nesse caso, calcula-se o valor global de μ , a partir dos limites técnicos pré-definidos e de uma determinada probabilidade de ruína ( δ ). Ocorre que diversas combinações de limites técnicos, por carteira, podem conduzir a um mesmo valor de μ. O problema é que algumas dessas combinações podem produzir resultados indesejáveis para algumas carteiras. O ideal é que se procure otimizar o resultado global, através de técnicas de simulação, onde a otimização também deverá ser refletida ao nível de carteira. e) Um problema relacionado ao item anterior é quando a seguradora possui uma gestão muito segmentada de seus produtos e de sua operação, e, por causa disso, surgem pressões para que ela trabalhe com retenções baixas em determinadas regiões ou determinados produtos, por representarem uma parcela muito pequena da operação e, portanto, sujeitos a elevadas oscilações de risco. Nessas situações, um único sinistro, mesmo que de valor reduzido, pode deteriorar bastante o resultado de uma região ou de um produto, o que induz os gerentes dessas operações a pressionarem a seguradora na fixação de limites de retenção reduzidos, diminuindo, assim, a capacidade de retenção da seguradora como um todo. Uma solução para isso é fixar o que pode ser chamado de retenções gerenciais, que sejam utilizadas somente internamente, para ajudar na equalização dos resultados de cada produto ou região. Assim sendo, ao invés de o prêmio de resseguro ser transferido, ele transita virtualmente dentro da própria seguradora. Da mesma forma, deverão ser realizadas transações virtuais de recuperação de resseguro. Fica claro, por essa situação, que a seguradora deve tratar o processo de ruína de forma agregada para não perder uma parcela considerável de sua produção.


Exemplo 4: Calcular o valor de μ que garanta a solvência da seguradora em 1 ano, dados: – Plano de resseguro de excedente de responsabilidade; – LT=$100; – Total de prêmio puro retido quando o LT=$100 é de $2.200; – δ = 1% ; col – S possui distribuição de Poisson Composta, podendo ser aproximada por uma distribuição Normal; – O número médio de sinistros λ será estimado pelo número observado de sinistros em 1 ano; K – E X RET é calculado a partir dos valores observados de X RET , conforme fórmula definida no item “ A partir dos Valores Observados de X RET ”; – Relação de sinistros em 1 ano:

Classe de Risco

Importância Segurada ($)

Número de Sinistros

I II III IV V

100 150 200 50 300

15 10 20 10 5

Valor do Sinistro Bruto ($) 50 150 20 40 30

Resposta: O número total de sinistros observados é de 60, logo, A distribuição dos sinistros retidos será: Classe de Risco I

Número de Sinistros 15

II

10

III

20

IV

10

V

5

Valor do Sinistro Retido ($) 50 100 150

× 150 = 100

40


É importante observar que, apesar de o valor esperado das indenizações retidas ( λ E [ X RET ] = $2.400 ) ser superior ao total de prêmios puros retidos ( P RET = $2.200 ), não necessariamente devemos recalcular o prêmio, pois, os sinistros podem ter se concentrado em importâncias seguradas onde a retenção seja grande e, apesar disso, a retenção na carteira como um todo ser pequena e gerar um montante reduzido de prêmio puro retido. A escolha adequada do limite de retenção pode conduzir a situações mais favoráveis na relação λ E [ X RET ] e P RET .

Exemplo 5: Calcular a probabilidade de ruína no exemplo anterior, caso μ seja aumentado para $1.300. Resposta:

Exemplo 6: Calcular o valor do LT que minimiza a probabilidade de ruína, utilizando a formulação desenvolvida no item “ Cálculo do Limite Técnico (LT) ”, sendo: –

S col possui distribuição de Poisson Composta, podendo ser aproximada por uma

Normal;

122 • Modelos de Preci ficação e Ruína para Seguros de Curto Prazo – – – – – –

Plano de resseguro de excesso de danos; μ = 0 ; λ = 1.000; Número de expostos ao risco é igual a 100.000; Taxa pura utilizada na precificação direta e no resseguro é de 0,009; Distribuição dos capitais segurados: Capital Segurado ($) 10 20 30 40 50 80 150 Distrib. Probab 0,2 0,2 0,18 0,2 0,09 0,04 0,08

– Distribuição do valor de 1 sinistro ( X ): Valor de 1 Sinistro ($) 10 20 30 Distrib. Probab 0,3 0,2 0,18

40 0,15

50 0,09

80 0,04

150 0,03

800 0,01

800 0,01

Teste o LT ótimo, para os seguintes valores: $10, $20, $30, $40, $50, $80, $150 e $800.

Resposta: A distribuição do valor de 1 sinistro retido ( X RET ) e, consequentemente, de 2 , em função dos possíveis valores de LT será: E [ X RET ] e E X RET Valor de Distrib. 1 Sinistro LT=$10 LT=$20 LT=$30 LT=$40 LT=$50 LT=$80 LT=$150 LT=$800 Probab. ($) 10 20 30 40 50 80 150 800

0,3 0,2 0,18 0,15 0,09 0,04 0,03 0,01

1

0,3 0,7

0,3 0,2 0,5

0,3 0,2 0,18 0,32

0,3 0,2 0,18 0,15 0,17

0,3 0,2 0,18 0,15 0,09 0,08

0,3 0,2 0,18 0,15 0,09 0,04 0,04

0,3 0,2 0,18 0,15 0,09 0,04 0,03 0,01

E [ X RET ] ($)

10,00

17,00

22,00

25,20

26,90

29,30

32,10

38,60

2 ($) E X RET

100,00

310,00

560,00

784,00

937,00 1.249,00 1.893,00 8.068,00

Onde, para LT=$40, por exemplo,

Processo de Ruína – Período Finito • 123 A distribuição dos capitais segurados retidos para cada LT e o respectivo total de prêmio puro retido será: Capital Distrib Segurado Probab ($) 10 20 30 40 50 80 150 800

LT=$10 LT=$20 LT=$30 LT=$40 LT=$50 LT=$80 LT=$150 LT=$800

0,2 0,2 0,18 0,2 0,09 0,04 0,08 0,01

Prêmio Retido ($)

1

0,2 0,8

0,2 0,2 0,6

0,2 0,2 0,18 0,42

0,2 0,2 0,18 0,2 0,22

0,2 0,2 0,18 0,2 0,09 0,13

0,2 0,2 0,18 0,2 0,09 0,04 0,09

0,2 0,2 0,18 0,2 0,09 0,04 0,08 0,01

9.000

16.200

21.600

25.380

27.360

30.870

36.540

42.390

Onde, para LT=$30, por exemplo, o total de prêmio puro retido foi calculado da seguinte forma:

2 ] Desta forma, então, teremos os seguintes valores de λ E [ X RET ] , de λ E [ X RET

e, consequentemente, de Z 1−δ : LT=$10 LT=$20 LT=$30 LT=$40 LT=$50 LT=$80 LT=$150 LT=$800

λ E [ X RET ] ($) 10.000 17.000 22.000 25.200 26.900

29.300

32.100

38.600

2 ] ($) 316,23 556,78 748,33 885,44 967,99 1.117,59 1.375,86 2.840,42 λ E [ X RET

Z 1−δ

-3,16

-1,44

-0,53

0,20

0,48

1,40

3,23

1,33

Onde, Z 1−δ foi calculado da seguinte forma: μ + P RET − λ E [ X RET ] λ E [ X RET ] 2

= Z 1−δ , sendo μ = 0

Observe que o LT que proporcionou o maior Z 1−δ foi o LT igual a $150. Quando o LT aumenta para $800, diminui bastante o valor de Z 1−δ , pois aumenta signi ficati2 ] ). vamente o desvio padrão do valor total dos sinistros retidos ( λ E [ X RET

124 • Modelos de Preci ficação e Ruína para Seguros de Curto Prazo Para LT inferior a $40, Z 1−δ é negativo, o que implica em uma probabilidade de ruína superior a 50%. Veja que, para LT igual a $10, $20, ou $30, P RET é inferior ao valor esperado do montante de sinistros retidos ( λ E [ X RET ] ). Uma das razões para isto é o fato de a taxa pura (0,009) ser inferior à taxa de risco, pois para um número de expostos ao risco igual a 100.000, ocorrem em média 1.000 sinistros por ano, sendo, portanto, a taxa de risco igual a 0,01. Por outro lado, apesar da taxa pura ser inferior à taxa de risco, quando o LT é superior a $30, P RET é sempre superior a λ E [ X RET ] . Isto ocorre pelo fato de a distribuição de capitais ter mais concentração em valores elevados do que a distribuição de sinistros. Por exemplo, a proporção de sinistros brutos superiores a $30 é de 32%, enquanto que a proporção de capitais segurados superiores a $30 é de 42%. Para o LT igual a $150, a probabilidade de ruína será:

Observação: Quando a tarifa está equilibrada para qualquer faixa de LT, é comum obter-se dois valores de LT que maximizam o Z 1−δ . Um desses valores de LT é sempre um 2 valor próximo de zero. Isso se explica pelo fato de λ E [ X RET ] tender para zero quando o LT se aproxima de zero. Logo, μ + P RET − λ E [ X RET ] λ E [ X RET ] 2

= Z 1−δ      → ∞ λ E [ X ]→0 2

RET

No exemplo 6 isto não aconteceu pois, para valores reduzidos de LT, o valor de P RET é inferior ao valor esperado do montante de sinistros retidos ( λ E [ X RET ] ).

EXERCÍCIOS 1) Seja X ~ Exponencial ( α = 0,0002 ) e N ~ Poisson ( λ = 120 ). Determinar o valor do LT que garanta a solvência da seguradora em 1 ano, dados: – Plano de resseguro de excesso de danos; – S RET pode ser aproximada por uma distribuição Normal;

Processo de Ruína – Período Finito • 125 – P RET = λ E [X RET ] , ou seja, o carregamento de segurança é zero; – ; –

δ

= 0,005 ;

2) Uma seguradora possui uma carteira de seguro de morte acidental com uma taxa média de mortalidade de 0,0005. O valor da indenização em caso de morte é fixa em $50.000 e o carregamento de segurança θ = 0,10. Dado que μ = $200.000 , calcular quantas apólices a seguradora precisa ter para que a probabilidade anual de ruína seja de 0,001. Suponha que S col possui distribuição de Poisson Composta, podendo ser aproximadas por uma Normal.

3) Calcule a relação entre μ e o prêmio comercial anual da carteira de uma seguradora, dados: – – – – – – – –

; S possui distribuição de Poisson Composta, podendo ser aproximada por uma Normal; Carregamento para despesas igual a 20%; Freqüência anual média de sinistros igual a 1%; Valores de sinistros fixos em $10.000; 20.000 apólices; Nível de significância de 1% de modo que dentro de 1 ano a seguradora não se arruine; Não há cessão de resseguro. col

4) Calcular o valor de μ que garanta a solvência da seguradora em 1 ano, dados: – – – – –

Plano de resseguro de excedente de responsabilidade; LT=$200; Freqüência de sinistros em cada classe de risco é de 0,01: Taxa pura é de 0,011 δ = 0,001 – S col possui distribuição de Poisson Composta, podendo ser aproximada por uma distribuição Normal; – O número médio de sinistros será estimado pelo número observado de sinistros em 1 ano;

126 • Modelos de Preci ficação e Ruína para Seguros de Curto Prazo K é calculado a partir dos momentos amostrais; E X RET

– – Relação de sinistros em 1 ano:

Classe de Risco

Importância Segurada ($)

Número de Sinistros

Valor do Sinistro Bruto ($)

I II III IV V

200 250 300 150 500

10 20 30 20 5

150 150 120 80 90

5) Desenvolva uma fórmula para o cálculo de μ , supondo que a variável aleatória “valor de 1 sinistro” assuma valores fixos iguais a K , e que a variável aleatória “número de sinistros ocorridos em 1 ano” seja Binomial Negativa ( r , p ), onde S col pode ser aproximada por uma distribuição Normal. Suponha que a probabilidade de ruína seja igual a δ e que o carregamento de segurança seja igual a θ .

Processo de Ruína – Período Infinito

No capítulo 8 foram apresentados os cálculos do limite de retenção, da proba bilidade de ruína e do capital que a seguradora deve constituir para garantir a sua solvência, a partir do processo de ruína em um período finito. Neste capítulo serão apresentados os mesmos parâmetros acima, considerando, porém, o processo de ruína em um período infinito para o caso em que o montante de indenizações no tempo é um processo de Poisson Composto, de modo que esses parâmetros serão determinados no sentido de garantir a solvência de uma seguradora em qualquer tempo no futuro.

O PROCESSO DE R UÍNA EM UM PERÍODO INFINITO Sejam os seguintes parâmetros de finidas no capítulo 8:

µ - Fundo inicial, ou reserva de risco; P RET (t ) - Total de prêmio puro retido auferido em [0, t ) ; S RET (t ) - Variável aleatória que representa o total de sinistros retidos ocorridos em [0, t ) ; U (t ) - Excedente existente no instante t ; T - Tempo no qual ocorre a ruína;

ϕ ( μ ) - Probabilidade de ruína em um período in finito.

127

128 • Modelos de Preci ficação e Ruína para Seguros de Curto Prazo Logo, ϕ ( μ ) = P (T < ∞ )

Onde, T = min{t , t ≥ 0 e U (t ) < 0} Sendo, (BOWERS, GERBER, HICKMAN, JONES AND NESBITT) 1 fazem uma análise bastante ampla do processo de ruína em um período in finito, apresentando diversas demonstrações de passagens que serão abordadas neste capítulo.

PROCESSO DE POISSON COMPOSTO S (t ) Vimos no capítulo 6 a distribuição de Poisson Composta para um período anual de tempo. Para analisar o processo de ruína em um período in finito, precisamos tra balhar com a unidade de tempo variável. Vejamos, então, a seguir, como funciona o processo de Poisson Composto, para um período de tempo t . Seja: N (t ) - Variável aleatória “número de sinistro ocorridos em de Poisson ( λ t ).

[0, t ) ” com distribuição

Então, S (t ) = X 1 + X 2

+  + X N (t )

Onde, S (0) = 0

Consequências: a) N (t + h ) − N (t ) é a variável aleatória “número de sinistros ocorridos entre t e t + h ” e tem distribuição de Poisson ( λ h );

b) Se T i são os tempos em que ocorrem um sinistro qualquer, então T 1 < T 2

< T 3 < ,

pois, pelo processo de Poisson, a probabilidade de ocorrer mais de um sinistro em um intervalo infinitesimal é zero; c) Se W i

= T i − T i −1

i > 1 , ou seja, W i é a variável aleatória “tempo entre as

ocorrências consecutiva de sinistros”, então, W i ~ Exponencial ( λ ); e − λ h ( λ h )

K

d) P [ N (t + h ) − N (t ) = K N ( s ) ∀ s ≤ t ] =

K !

que independe de N ( s ) ,

pois o número de sinistros em intervalos não sobrepostos é independente.

Processo de Ruína – Período Finito • 129 Assim sendo, Se X i é independente e identicamente distribuído, com função de distribuição de probabilidade P ( x ) e, se X i é independente do processo { N (t ), t ≥ 0}, onde N (t ) ~ Poisson ( λ t ) Então, S (t ) = X 1 + X 2

+  + X N (t ) é um processo de Poisson Composto ( λ t , P ( x ) )

Onde, ∞

P [S (t + h ) − S (t ) ≤ x ] =

∑

K = o

e − λ h ( λ h )

K

K !

P * K ( x )

Consequências: a) E [S (t )] = λ t E [ X ] VAR[S (t )] = λ t E X 2

b) O processo {S (t ), t ≥ 0} possui incrementos independentes e estacionários, ou seja: • Os montantes de indenizações em intervalos de tempo disjuntos são independentes; • O montante de indenização depende somente do tamanho do intervalo de tempo e não de sua localização.

CÁLCULO DE ϕ ( μ )

NO CASO POISSON COMPOSTO

Pode-se provar que a probabilidade de ruína em um período infinito ( ϕ ( μ ) ) é representada por:

onde R é a solução não trivial da equação em r :

130 • Modelos de Preci ficação e Ruína para Seguros de Curto Prazo Sendo: X RET - Variável aleatória “valor de 1 sinistro retido”;

θ r

- Carregamento de segurança; - Coeficiente de ajustamento.

Onde γ é positivo e é igual ao limite superior do intervalo (− ∞, γ ) , o qual representa o intervalo máximo no qual a Função Geratriz de Momentos de X RET no ponto r ( M X (r ) ) existe. Assume-se, também, que M X (r ) tende para ∞ quando r → γ . RET

RET

′ (r ) > 0 e M X ′′ (r ) > 0 , ou seja, existem o 1º e 2º moSupondo que M X mentos de X RET , então, podemos visualizar a solução trivial e a solução não trivial graficamente: RET

RET

M X RET (r ) 1 + (1 + θ ) E [ X RET ] r

1

r

0

R

Gráfico 9.1.

Observações: a) As 2 curvas se encontram em 2 pontos, sendo o ponto r = 0 chamado de solução trivial; b) Quanto maior o valor de θ , maior o valor de r ; c) Se θ

= 0 → 1 + (1 + θ ) E ( X RET ) r = 1 , de modo que r = 0 , pois M X (0) = 1 ; RET

d) Geralmente aplica-se método numérico pra determinar-se a solução não trivial de r .


No caso em que X RET ~ Exponencial ( α ), entretanto, é fácil achar uma forma analítica para r e, consequentemente, para ϕ ( μ ) , pois, M X RET (t ) =

Logo, 1 +

α α − t

1+θ α

r =

E ( X RET ) =

1 α

α α − r

→ (1 + θ ) r 2 − θ α r = 0 → R =

θ α 1+θ

Note que r = 0 também é solução (trivial). e) É fácil mostrar que: R <

2 θ E [ X RET ] 2 ] E [ X RET

2 θ E [ X RET ] Assim sendo, podemos usar R = 0 e R = como valores tentati2 [ ] E X RET vos iniciais num cálculo por método numérico.

Conclusões sobre ϕ ( μ ) − Rμ a) ϕ ( μ ) < e

pois, e

, tendo em vista que U (T ) é o valor do excedente no tempo

em que ocorre a ruína, ou seja, U (T ) < 0 .

b) Se a distribuição do valor de 1 sinistro retido ( X RET ) é limitada a um valor finito m , de modo que P ( X RET ≤ m ) = 1 , então, dado T < ∞ , temos que U (T ) > − m, pois, o excedente antes do último sinistro que leva à ruína, deve ser positivo.


Logo,

c) Na prática trabalha-se com ϕ ( μ ) ≅ e − Rμ . Este resultado parece razoável, pois R m R e − ( μ + ) < ϕ ( μ ) < e − μ e, o maior sinistro possível, m , geralmente é muito inferior à reserva de risco μ . → μ + m ≅ μ Além disso, e − R μ é o limite superior da probabilidade de ruína, de modo que, ao utilizá-lo, estaremos trabalhando com segurança para o cálculo de μ , LT ou ϕ ( μ ) . d) se θ = 0 → ϕ (μ ) = 1 , pois R = 0 , ou seja, se o carregamento de segurança é zero, então, a longo prazo a ruína é certa. Obviamente, se θ < 0 , então, o tempo em que ocorre a ruína é menor do que aquele no qual θ = 0 , de modo que ϕ ( μ ) também será igual a 1. Esta constatação é mais uma das maravilhas atuariais.

Exemplo 1: Encontrar uma expressão para a probabilidade de ruína, no caso em que o sinistro agregado retido possui distribuição de Poisson Composta, supondo que X RET ~ Exponencial ( α ). Resposta: Sabemos que o tempo em que ocorre a ruína é T . Seja ν o saldo de U (t ) que antecede a U (T ) , então, o evento − U (T ) > y , ou, equivalentemente, U (T ) < − y , pode ser redefinido pelo evento X RET > ν + y / X RET > ν , cuja probabilidade condicional é dada por:

Logo, a função de densidade de

− U (T ) dado que T < ∞ é igual a:

Processo de Ruína – Período Finito • 133 Logo,

Sabemos que quando X RET ~ Exponencial ( α ), então, R = α ϕ ( μ ) =

θ α , logo, 1+θ

θ α  μ 1 + θ exp − θ α μ  = 1 exp  − θ     α θ θ θ E [ X ] 1 + 1 + 1 +   RET  

−

Pois, E [ X RET ] =

1 α

DISTRIBUIÇÃO DO 1º EXCEDENTE ABAIXO DE μ É fácil mostrar que, para o processo de Poisson Composto, a probabilidade de que o excedente U (t ) ficará abaixo do nível inicial μ e estará entre μ − y e no momento em que isto ocorrer é igual a:

Logo, a probabilidade de que U (t ) um dia ficará abaixo do seu nível inicial μ é:

pois, Veja que essa probabilidade independe do valor de μ . Logo, quando μ = 0 , teremos a probabilidade de que U (t ) ficará abaixo do valor inicial μ = 0 , ou seja, a probabilidade de ruína dado que μ = 0


Logo, ϕ (0) =

1 1+θ

Note que ϕ (0) depende somente do carregamento de segurança θ e, que, quanto maior o θ , menor será ϕ (0) , sem que haja nenhuma in fluência da distribuição do valor de 1 sinistro retido ( X RET ). Desta forma, então, se uma seguradora, por hipótese, operar sem reserva de risco e com carregamento de segurança , a sua probabilidade de ruína será de 91%. Para que a sua probabilidade de ruína caia para um nível aceitável de 0,5%, por exemplo, o carregamento de segurança θ teria de ser de 19.900%, o que é um carregamento impossível de ser praticado, pois tornaria a seguradora não competitiva. Isto mostra que a seguradora não pode contar somente com o carregamento de segurança embutido nos prêmios para garantir a sua solvência.

PERDA MÁXIMA AGREGADA Seja L = MAX {S RET (t ) − P RET (t )} Onde S RET (t ) tem distribuição de Poisson Composta e L representa a perda máxima agregada, ou seja, o valor máximo que valor total de sinistros retidos excede o total de prêmio puros retidos. Sabemos que:

1 − ϕ (μ ) = P (U (t ) ≥ 0 ∀t ) = P ( μ + P RET (t ) − S RET (t ) ≥ 0 ∀t ) = P (S RET − P RET ≤ μ ∀t ) = F L ( μ ) Ou seja, 1 − ϕ (0) = P (L ≤ 0) Como L ≥ 0 , pois L = 0 para t = 0 Então, 1 − ϕ (0) = P ( L ≤ 0) = P (L = 0) De modo que existe um ponto de massa 1 − ϕ (0) na origem da distribuição de L . É fácil demonstrar que a função geratriz de momentos de L é expressa por: M L (t ) =

θ E [ X RET ] t

1 + (1 + θ ) E [ X RET ] t − M X (t ) RET

Processo de Ruína – Período Finito • 135 A partir desse desenvolvimento, podemos obter uma fórmula aproximada para a probabilidade de ruína num período in finito ( ϕ ( μ ) ), conforme será apresentado a seguir.

Fórmula Aproximada Para ϕ ( μ ) Pode-se mostrar que: E [ L] =

2 ] E [ X RET

2θ E [ X RET ]

Sabemos que ϕ ( μ ) < e − Rμ Seja a seguinte aproximação: ϕ ( μ ) ≅

1 1+θ

e − Rμ

Mas, ϕ ( μ ) = 1 − F L ( μ ) ∞

∫

E, E [ L] = (1 − F L ( μ )) d μ 0

Logo, E [ L] ≅

∞

1 1+θ

∫

e−

R μ

d μ

=

0

1

×

1

1 + θ R

Se R for escolhido de modo que o valor aproximado de E [ L] ≅ ao valor exato dado por E [ L] = Então, R =

2 ] E [ X RET

1

1

× seja igual

1 + θ R

2θ E [ X RET ]

2θ E [ X RET ] . 2 ] (1 + θ ) E [ X RET

Assim sendo, o valor aproximado de ϕ ( μ ) será: ϕ ( μ ) ≅

1 1+θ

 2θ E [ X RET ] μ   2  [ ] ( ) + θ E X 1 RET  

exp −

Esta fórmula aproximada é bastante simples de ser aplicada, pois basta conhecermos o valor de θ e a distribuição de X RET para calcularmos μ , LT ou ϕ ( μ ) .


Exemplo 2: Calcular a probabilidade de ruína para LT=$150 no exemplo 6 do Capítulo 8, utilizando a fórmula aproximada desenvolvida no item “ Fórmula Aproximada para ”, supondo que μ é igual a $10.000. Resposta: ϕ ( μ ) ≅

1 1+θ

 2θ E [ X RET ] μ   2   (1 + θ ) E [ X RET ]

exp −

Sabemos do exemplo 6 do Capítulo 8 que mos:

e que para o LT=$150, te-

e, Para o cálculo de θ , sendo este o carregamento de segurança embutido no prêmio puro bruto praticado pela seguradora ( P ), sem considerar o resseguro, vamos considerar que θ assume o seguinte valor: θ

=

P E [S ]

−1 =

P

λ E [ X ]

−1

Pelo exemplo 6 do Capítulo 8 temos que o total de prêmio puro retido, para LT=$800, foi de $42.390. Como $800 é o valor máximo de capital segurado, então, o prêmio puro bruto é igual ao prêmio puro retido, ou seja, . Da mesma forma, o sinistro médio retido para LT=$800 é de $38,60. Logo, Pelo exemplo 6 do Capítulo 8, sabemos que λ Logo, θ = P / λ E [X ] − 1 = 0,0982 E, então,

= 1.000


FÓRMULA APROXIMADA DE SOUZA MENDES PARA O CÁLCULO DO LT A fórmula apresentada a seguir, foi desenvolvida pelo atuário João José de Souza Mendes, para o cálculo do LT a partir do processo de ruína num período in finito. A hipótese básica é que ϕ ( μ ) = e − Rμ Logo, Sabemos que:

Como

;

Então,

Como se pode demonstrar facilmente, obtém-se um limite inferior para o limite técnico quando se supõe que todos os sinistros têm o mesmo valor. Se todos os sinistros são iguais a w , ou seja: P ( X RET = w ) = 1 , então,


Pois, visivelmente, A aproximação acima representa mais um fator de segurança no cálculo do LT. Logo,

w é o sinistro constante da carteira. Vamos supor que todos os sinistros são

iguais ao sinistro médio. Como o sinistro médio é o produto do dano médio ( d m ) pela importância segurada média, então, a importância segurada média para efeitos de retenção será:

Se π é o prêmio comercial e C é o carregamento para cobrir todas as despesas da seguradora, então,

π

=

P (1 + θ )

1 − C

→1+θ =

1 − C P π

Processo de Ruína – Período Finito • 139 Como P = E [S ] , podemos substituir P π pelo coeficiente de sinistralidade ( s ).

→ 1+θ =

1 − C s

→

θ

=

1 − C s

−1

Desta forma, então,

Observações: a) Veja que a fórmula de cálculo do LT desenvolvida por Souza Mendes é bastante simples de ser utilizada, bastando conhecer o carregamento para despesas ( C ), a sinistralidade ( s ), o dano médio ( d m ) e substituir R por

, sendo

ϕ ( μ ) a probabilidade de ruína, e μ a reserva de risco. A partir desta fórmula,

então, pode-se calcular, também, μ ou ϕ ( μ ) a partir dos outros parâmetros. b) Nas carteiras em que não existe a perda parcial como a de seguro de vida, d m

= 1.

Exemplo 3: Refazer o exemplo 6 do capítulo 8, utilizando a fórmula aproximada de Souza Mendes, supondo um carregamento para as despesas de 30%, o dano médio igual a 1, μ igual a $10.000 e uma probabilidade de ruína de 0,5%. Resposta: ϕ ( μ ) = 0,005 , e sabemos do exemplo 6 do capítulo 8 que

= 0,00052983

, logo,


Seja a sinistralidade ( s ) calculada por: s = P π , onde P = E [S ] = λ E [ X ] , sendo as variáveis determinadas pelo sinistro bruto e pelo prêmio bruto. Pelo exemplo 6 do capítulo 8 temos que o total de prêmio puro retido, para LT=$800, foi de $42.390. Como $800 é o valor máximo de capital segurado, então, o prêmio puro bruto é igual ao prêmio puro retido.

Logo, Da mesma forma, o sinistro médio retido para LT=$800 é de $38,60. Logo, Pelo exemplo 6 do capítulo 8, sabemos que λ

= 1.000

Logo, Assim sendo, dado que d m

= 1 , o valor do LT será:

EXERCÍCIOS 1) Calcular a reserva de risco ( μ ) que a seguradora deve possuir para que a sua probabilidade de ruína em um período in finito esteja limitada a 0,001, supondo que o sinistro agregado retido possui distribuição de Poisson Composta, a variável aleatória “valor de 1 sinistro retido” possui distribuição Exponencial ( α = 0,0001 ), e que o carregamento de segurança seja de 4%.

2) Calcular a probabilidade de ruína em um período infinito para uma seguradora que não possua reserva de risco e cujo carregamento de segurança seja de 8%. Suponha que o sinistro agregado retido possui distribuição de Poisson Composta.

Processo de Ruína – Período Finito • 141 3) Seja uma carteira de seguros com o número de sinistros ocorridos em 1 ano seguindo a distribuição de Poisson, carregamento de segurança de 3%, reserva de risco igual a $100.000 e distribuição do valor de 1 sinistro conforme a seguir:

Valor do sinistro ($) 200 500 1.000 1.550 2.500 3.000


Calcular a probabilidade de ruína para LT=$1.500, a partir de um contrato de resseguro de excesso de danos, utilizando a fórmula aproximada desenvolvida no item “ Fórmula Aproximada para ”.

4) Refazer o cálculo do LT pela método Souza Mendes no exercício 3, dados: – O dano médio é de 80%; – O carregamento para despesas é de 30%; – A sinistralidade em qualquer faixa de LT é de 68%; – A probabilidade de ruína é a mesma obtida no exercício 3. 5) Seja uma carteira de seguros com o número de sinistros ocorridos em 1 ano seguindo a distribuição de Poisson, e a distribuição do valor de 1 sinistro retido conforme segue:

Valor do sinistro ($) 10 20 50 100

Frequência de ocorrência 0,25 0,45 0,2 0,1

Calcular o valor do carregamento de segurança ( θ ).

Aplicações em Resseguro

O resseguro é um dos principais instrumentos de transferência de risco da seguradora, contribuindo sobremaneira para a homogeneização dos seus riscos. Neste capítulo serão apresentadas diversas aplicações da Teoria do Risco ao resseguro, com ênfase nas aplicações relacionadas ao processo de preci ficação dos principais tipos de contratos de resseguro. Serão descritos os principais tipos de contratos de resseguro, mostrando-se as aplicações práticas a estes relacionados, tanto do ponto de vista do ressegurador, onde se inclui o processo de preci ficação, quanto do ponto de vista da seguradora, onde se destaca a obtenção da distribuição da variável aleatória “valor de 1 sinistro após a contratação do resseguro”, aqui denominada de variável aleatória “valor de 1 sinistro retido”.

CONTRATOS DE R ESSEGURO Vejamos a seguir os principais contratos de resseguro, e os principais aspectos referentes à preci ficação de um contrato de resseguro.

Classificação dos Contratos de Resseguro Os contratos de resseguro podem ser classi ficados em contratos proporcionais e contratos não proporcionais.

143

144 • Modelos de Preci ficação e Ruína para Seguros de Curto Prazo Nos contratos proporcionais, os prêmios e sinistros são divididos proporcionalmente entre o segurador e o ressegurador numa proporção pré-estabelecida. Nos contratos não proporcionais não há valores segurados cedidos, mas limites pré-definidos de participação do ressegurador nos sinistros. Contratos Proporcionais

– Contrato de Quota-Parte Neste contrato a seguradora cede um percentual determinado do risco. Em caso de sinistro esta recupera da resseguradora a mesma proporção da indenização.

Exemplo: Quota = 25% Prêmio de seguro = $100 Importância segurada = $100.000 Sinistro bruto = $60.000 Logo, Prêmio de resseguro (25%) = $25 Prêmio retido (75%) = $75 Recuperação de resseguro (25%) = $15.000 Sinistro retido (75%) = $45.000 – Contrato de Excedente de Responsabilidade ou Surplus A seguradora assume o risco até uma quantia, calculada pelo atuário, chamada de limite técnico (LT) ou limite de retenção. Este é um contrato proporcional como o quota-parte, pois, quando a importância segurada (IS) supera o LT, a seguradora transfere o excedente de forma proporcional. A partir desse momento temos um contrato proporcional e qualquer que seja o valor do sinistro, a seguradora recupera a proporção cedida.

Modelo: não há resseguro seguradora cede

proporcionalmente

Aplicações em Resseguro • 145

Exemplo: LT = $5.000 Prêmio = $80 IS = $8.000 Sinistro bruto = $1.600 Logo, Prêmio de resseguro (3/8) = $30 Prêmio retido (5/8) = $50 Recuperação de resseguro

3 8

= × $1.600 = $600

Sinistro retido (5/8) = $1.000 Veja que, mesmo o sinistro tendo sido inferior ao LT, houve recuperação da indenização na mesma proporção da cessão de prêmio (3/8).

Exemplo 1: Seja uma carteira de seguros com as seguintes características: – – – – –

Plano de resseguro de excedente de responsabilidade, com LT=$80; Taxa pura anual cobrada pela seguradora é de 7%; Taxa comercial anual cobrada pela resseguradora é de 10%; Comissão de resseguro é igual a 20%; O sinistro agregado possui distribuição de Poisson Composta, podendo ser aproximada por uma Normal; – O número médio de sinistros em 1 ano ( λ ) é aproximado pelo número observado de sinistros em 1 ano ( n´ ); – E [ X ] e E X 2 são aproximados pelos momentos amostrais do valor observado de 1 sinistro; – Relação de Importâncias seguradas (IS) e sinistros brutos observados em 1 ano, sendo o valor do sinistro sempre igual ao valor da IS: IS

$10

$30

$50

$80

$100

$5.000

N° de apólices 2.000

1.500

900

700

160

20

N° de sinistros 100

75

45

35

8

1


a) Calcular P (S > P ) , sem considerar o resseguro; b) Calcular P (S RET > P RET ) , considerando o resseguro;

Resposta: a) Calcular P (S > P ) , sem considerar o resseguro O número total de sinistros observados na carteira ( n´ ) é de: O total de IS bruta ( ISBT ) é de:

E o prêmio puro anual total ( P ) é o produto da taxa pura anual pela ISBT , ou seja,

Os momentos amostrais do valor de 1 sinistro bruto são:

Então,

Logo,

Aplicações em Resseguro Resseguro • 147

b) Calcular P (S RET > P RET ) , considerando o resseguro O total de IS cedida em resseguro ( ISCD ) é de:

E o prêmio comercial anual total de resseguro ( P RES ) é o produto da taxa comercial anual de resseguro pela ISCD , ou seja,

O custo de resseguro, líquido da comissão de resseguro, ( C RES ) é de:

Observe que a taxa de resseguro líquida de comissão de resseguro é igual a 8% (80% x 10%). O prêmio puro retido total ( P RET ) é igual a: Os momentos amostrais do valor de 1 sinistro retido são:

Então,

Logo,

148 • Modelos de Preci ficação e Ruína para Seguros de Curto Prazo Esta é uma situação em que a seguradora tem um grande benefício com o resseguro, pois houve uma redução drástica na probabilidade dos sinistros superarem os prêmios puros, mesmo sendo a taxa de resseguro líquida de comissão (8%) superior à taxa pura cobrada pela seguradora (7%). Como a proporção de sinistros de altos valores é igual à proporção de IS de altos valores, pois a frequência anual de sinistros é uniforme e igual a 5% em todas as faixas de IS, logo, a razão para essa melhoria na solvência da seguradora está na redução do coeficiente de variação dos sinistros agregados, principalmente pela transferência de risco na faixa de IS=$5.000.

Contratos Não Proporcionais P roporcionais

– Contrato Excesso Excesso de Danos ou Excess Excess of Loss O compromisso da seguradora está limitado ao LT. Para sinistros acima do LT, a resseguradora paga a diferença entre o sinistro e o LT e a seguradora paga o LT. Para sinistros até o LT, a seguradora paga todo o sinistro. O prêmio de resseguro é um percentual do prêmio de seguro de toda a carteira, sendo este percentual aplicado inclusive àqueles riscos que apresentam . No cálculo do prêmio leva-se em consideração a distribuição de sinistros que superam o LT. Este cálculo é semelhante ao que é feito nos seguros a 1 o risco absoluto de modo que quanto maior for o LT menor será a taxa de excesso de danos.

Modelo: não há recuperação a seguradora recupera

Exemplo 2: Calcular a taxa comercial anual a ser cobrada pelo ressegurador em um contrato de excesso de danos, a ser aplicada ao prêmio comercial anual da seguradora, dados: – Total de importância importância segurada exposta exposta ao risco é igual a $3.000.000; $3.000.000; – Taxa comercial anual anual cobrada pela seguradora seguradora é de 0,005; 0,005; – O sinistro agregado do ressegurador possui distribuição de Poisson Composta, podendo ser aproximada aproximada por uma Normal; Normal; – Carregamento para para despesas do ressegurador ressegurador é igual igual a 20%; – Nível de significância de 1% de modo que o sinistro agregado assumido pelo ressegurador em 1 ano não ultrapasse o total de prêmio puro anual de resseguro;

Aplicações em Resseguro Resseguro • 149 – O número médio de sinistros de resseguro em 1 ano ( λ ) é aproximado pelo número observado de sinistros em 1 ano ( n´ ); – E [ X ] e E X 2 do ressegurador são aproximados pelos momentos amostrais do valor observado de 1 sinistro; – Relação de sinistros sinistros brutos observados observados em 1 ano: 30 sinistros de $10, 20 sinistros de $30, 25 sinistros de $40 e 15 sinistros de $50. Calcule a taxa comercial de resseguro para as seguintes situações: a) LT = $20 b) LT = $35

Resposta: O total de prêmio comercial anual ( π ) cobrado pela seguradora será: a) LT = $20 Quando o LT = $20, os sinistros assumidos pelo ressegurador serão: 20 sinistros de $10, 25 sinistros de $20 e 15 sinistros sinistros de $30. Logo,

O total de prêmio puro anual de resseguro será determinado de tal forma que:


Logo, a taxa pura anual de resseguro aplicada sobre π será:

E a taxa comercial anual de resseguro, considerando o carregamento para despesas de 20%, será:

b) LT LT = $35 Quando o LT = $35, os sinistros assumidos pelo ressegurador serão: 25 sinistros sinistros de de $5 e 15 sinistros sinistros de $15 $15 Logo,

O total de prêmio puro anual de resseguro, então, será: Logo, a taxa pura anual de resseguro aplicada sobre π será:

E a taxa comercial anual de resseguro, considerando o carregamento para despesas de 20%, será:

Aplicações em Resseguro • 151 Observe que ao aumentarmos o LT de $20 para $35, o que representa um aumento de 75%, a taxa de excesso de danos caiu de 12,69% para 4,15%, ou seja, caiu a menos de 1/3 da taxa anterior. Isto ocorre pelo fato de a maior concentração na distribuição do valor de 1 sinistro ocorrer nos baixos valores, o que ajuda a reduzir desproporcionalmente a taxa de excesso de danos quando a seguradora decide por assumir responsabilidades maiores de sinistros. Por causa disto, é importante que as taxas de excesso de danos sejam revistas periodicamente para eliminar os efeitos da in flação. Uma inflação elevada pode aumentar muito os sinistros brutos da seguradora, transferindo mais responsabilidade para o ressegurador, caso o LT seja mantido constante. O ideal é que a taxa de excesso de danos seja função do LT fixado em uma moeda estável.

Exemplo 3: Seja uma carteira de seguros com frequência de sinistros ( f seg ) de 5% e o valor de 1 sinistro bruto ( X ) com distribuição Log Normal ( ). Calcular a frequência de sinistros para o ressegurador em um contrato de excesso de danos com LT igual a $550. Resposta: Dado que o ressegurador assume somente sinistros que ultrapassam o LT, então, o número esperado de sinistros para o ressegurador deverá ser igual ao número esperado de sinistros para o segurador multiplicado pela probabilidade de o valor de 1 sinistro bruto ultrapassar o LT. Logo, a frequência de sinistros para o ressegurador ( f res ) será de:

– Contrato de Catástrofe O contrato de catástrofe previne o pagamento de elevadas indenizações em um mesmo evento, como por exemplo, o pagamento de 30 LTs pela morte de 40 pessoas na queda de um avião.

152 • Modelos de Preci ficação e Ruína para Seguros de Curto Prazo Normalmente existe um limite de catástrofe assumido pela seguradora em função de um múltiplo do seu limite técnico. Sempre que em um mesmo evento vários riscos de uma mesma seguradora são atingidos e, desde que a soma das indenizações ultrapasse um múltiplo do LT, o ressegurador assume a responsabilidade excedente. Neste caso o prêmio de resseguro é função do prêmio retido pela seguradora. O processo de preci ficação dos contratos de catástrofe exige a utilização de experiência de sinistros de longo prazo, observando possíveis sazonalidades e concentrações de risco. Dada a característica do risco, é comum se utilizar técnicas estatísticas de séries temporais. Devemos utilizar, também, curvas de sinistros com cauda longa, como a distribuição de Pareto, abordada no item “ Pareto” do capítulo 4. – Contrato de Stop Loss Contrato de Stop Loss por Limite de Sinistralidade

Neste contrato a seguradora assume os sinistros até um limite máximo de sinistralidade. O limite de sinistralidade pode ser, por exemplo, de 70% ou 80%, sendo estes escolhidos pela seguradora de modo que a seguradora não apresente prejuízos na sua operação.

Modelo: S ≤ K π → não há recuperação S > K π → a seguradora recupera S − K π Onde: K - Limite de sinistralidade; S - Variável aleatória “valor total dos sinistros em 1 ano”; π - Prêmio comercial da carteira em 1 ano. Seja R a variável aleatória que representa o volume de recuperação por este tipo de contrato. Dado que π = P / (1 − α ) , sendo α o carregamento para despesas, e, que o limite de sinistralidade é igual a R , logo,

Assim sendo, podemos calcular E [ R ] , conforme a seguir:


Veja que é possível determinar a distribuição de R e, desta forma, calcular o prêmio de resseguro. Se utilizarmos o princípio do valor esperado, o prêmio de resseguro será: E [ R ] (1 + θ )

Podemos afirmar que este contrato é uma variante do contrato de resseguro stop loss por limite de perda, que será visto a seguir. Contrato de S top Loss por Limite de Perda

Neste contrato a seguradora assume um limite anual global de retenção de sinistros. Acima deste limite a resseguradora paga a diferença. Seja I d a variável aleatória “volume de recuperações dado um limite de retenção igual a d”. Logo,

0 I d =  S − d S S − I d =  d

S ≤ d S > d S ≤ d S > d

Onde S − I d é o volume de sinistro retido pela seguradora.

154 • Modelos de Preci ficação e Ruína para Seguros de Curto Prazo Assim sendo, o prêmio de risco de resseguro será: a) Caso de S contínuo

Ou, então, a partir de F S ( x )

Ou, então,


b) Caso de S discreto Vejamos as 4 fórmulas de cálculo de E [ I d ] correspondentes ao caso contínuo: E [ I d ] =

∞

∑ ( x − d ) f

S

(x )

x = d +1

E [ I d ] = E [S ] − d +

d −1

∑ (d − x ) f ( x ) S

x = 0

E [ I d ] =

∞

∑ (1 − F (x )) S

x = d

E [ I d ] = E [S ] −

d −1

∑ (1 − F (x )) S

x = ο

∞

∑

A partir da relação E [ I d ] = (1 − F S ( x )) podemos obter uma fórmula recur x = d siva, qual seja: E [ I d +1 ] = E [ I d ] − (1 − F S (d ))

d = 0,1, 2 ,

….

Onde, E [ I ο ] = E [S ]

Exemplo 4: Uma sociedade seguradora paga benefícios por morte de um segurado no valor fixo de $100. O número esperado de mortes é de 1 por ano. A seguradora tem um contrato de resseguro de stop loss, no qual o número de mortes excedentes a 2, em 1 ano, a resseguradora paga os benefícios de morte subsequentes. Qual o prêmio de risco de resseguro ( P ), dado que N possui distribuição de Poisson ?


Resposta: P = $100

∞

∑ ( K − 2) P ( N = K )

K = 3

P = $100

∞

∑ ( K − 2)

K = 3

P = $100 e

−1

P = $100 e

−1

e −11 K K !

∞  ∞ 1 1   ∑  − 2 ∑  ( ) k K − 1 ! ! K = 3  K =3  ∞  ∞ 1   ∑ − 2 − 2 ∑ 1 + 2 × 2,5   K = 0 K !  K =0 K ! 

P = $100 e −1 (e − 2 − 2e + 5)

Exemplo 5: Sejam f S ( x ) e F S ( x ) definidos conforme a seguir. Calcule o prêmio de risco para um resseguro de stop loss com limite fixo de $30. f S ( x ) F S ( x ) x($) 0 0.15 0,15 5 0,2 0,35 10 0,25 0,60 15 0,14 0,74 20 0,12 0,86 25 0,08 0,94 30 0,03 0,97 35 0,02 0,99 40 0,01 1,00 Resposta: A distribuição de x($) 0 5 10

0,97 0,02 0,01

será:

Aplicações em Resseguro • 157 Logo,

Ou, então,

Observe que, pelo segundo método, temos que considerar F S ( x ) em todos os 11 números inteiros compreendidos entre 30 e 40.

DISTRIBUIÇÃO DO SINISTRO R ETIDO Sejam: X RET

- Variável aleatória “valor de 1 sinistro retido”;

F X RET ( x ) - Função de distribuição de X RET ; F X ( x )

- Função de distribuição do valor de 1 sinistro bruto.

Vejamos a seguir como determinar F X ( x ) para diversos contratos de resse RET

guro, em função de F X ( x ) .

Contrato de Excesso de Danos

Contrato de Excesso de Danos Conjugado Com um Contrato de Quota-Parte Seja K a quota de cessão de resseguro, então,


Contrato de Excedente de Responsabilidade

Onde,

K em um conExemplo 6: Determinar uma expressão para f X ( x ) e E X RET trato de excesso de danos. RET

Resposta: Para sinistros brutos com valor até o LT, o sinistro retido será igual ao sinistro bruto. Já para sinistros brutos superiores ao LT, o sinistro retido será igual ao LT, de modo que a probabilidade do sinistro retido ser igual ao LT é igual à probabilidade do sinistro bruto ser superior ou igual ao LT. Desta forma, então,

Logo,

) em Exemplo 7: Seja X com uma distribuição Exponencial ( uma carteira com contrato de resseguro de excesso de danos, com limite técnico de $100.000. Determinar: a) A função de densidade de X RET ; b) A média e a variância de X RET .


Resposta: a) Função de densidade de X RET Dado que X possui distribuição Exponencial (

Desta forma, pelo exemplo anterior, temos:

Onde,

b) Média e variância de X RET Sabemos, também, pelo exemplo anterior, que:

), então,


Logo, E, A distribuição de X RET neste caso é chamada de distribuição Exponencial Truncada.

EXERCÍCIOS 1) Calcular o total de prêmio puro de resseguro anual em um contrato de excesso de danos, dados: – O sinistro agregado do ressegurador possui distribuição Binomial Negativa Composta ( r = 1.000 , p = 0,8 ), podendo ser aproximada por uma Normal; – Nível de significância de 2,5% de modo que o sinistro agregado assumido pelo ressegurador em 1 ano não ultrapasse o total de prêmio puro anual de resseguro;

Aplicações em Resseguro • 161 – LT=$15; – E [ X ] e E X 2 do ressegurador são aproximados pelos momentos amostrais do valor observado de 1 sinistro; – Distribuição de frequência dos valores de sinistros: x ($)

10

20

30

40

50

P ( X = x )

0,3

0,4

0,18

0,08

0,04

2) Seja uma carteira de seguros com frequência de sinistros ( f seg ) de 1% e o valor de 1 sinistro bruto ( X ) com distribuição conforme o exercício 1. Calcular a frequência de sinistros para o ressegurador em um contrato de excesso de danos com LT igual a $20.

3) Seja S col com distribuição Gama ( que:

), onde

. Mostre

4) Suponha que o ressegurador assume um risco de pagar 80% dos sinistros agregados que ultrapassam um limite d , sujeito a um limite máximo de pagamento de m . Determine uma expressão para o prêmio de risco do ressegurador em função do prêmio de risco de um resseguro stop loss tradicional (sem limite de pagamento e sem o fator de 80%).

5) Calcular P (S RET > P RET ) no exemplo 1, supondo que LT=$20, considerando o resseguro.

Aplicações Diversas

Neste capítulo serão apresentados diversos instrumentos práticos de um contrato de seguro, tais como: franquia, seguros proporcionais ou não proporcionais e reintegração automática da importância segurada. Para cada um desses instrumentos será desenvolvido o processo de preci ficação correspondente. Será demonstrada, também, uma fórmula prática, utilizada por muito tempo no mercado segurador brasileiro para a tarifação especial de um seguro de Vida em Grupo.

APLICAÇÕES PRÁTICAS NA PRECIFICAÇÃO Conforme já exposto em capítulos anteriores, a distribuição da variável aleatória “valor total de sinistros em 1 ano” ( S col ) pode ser aproximada pela distribuição Normal, sendo excelente essa aproximação na cauda a direita da distribuição. Esta característica é muito útil no processo de preci ficação, por ser a cauda à direita da distribuição a região de interesse quando se preci fica, e pela facilidade de se trabalhar com a distribuição Normal. Vejamos a seguir algumas situações práticas de cálculo do preço do seguro, aplicando a aproximação Normal para o sinistro agregado ( S col ), supondo que a distri buição do número de sinistros ( N ) é uma Poisson ( λ ). Para tal, vejamos inicialmente como determinar os parâmetros envolvidos nesse tipo de cálculo, quais sejam: λ , E X K , P e P I .

163


Cálculo de λ O valor de λ segue o mesmo princípio abordado no capítulo 8, ou seja, poderá ser uma observação anual do número de sinistros ( n´ ) ou, então, poderemos trabalhar com o limite superior do intervalo de con fiança desenvolvido no capítulo 5, item “ Intervalo de Con fiança para E [ N ]”, qual seja, λ

= E [ N ] = n´+ Z 1−ε

n´(n − n´) n

Na verdade, o uso do limite superior do intervalo de con fiança representa uma segurança adicional no cálculo do preço do seguro, pois as fórmulas de cálculo em si já contêm níveis de segurança implícitos.

Cálculo de E X K Podemos calcular E X K de duas formas: Quando X Possui Distribuição Paramétrica Conhecida

A Partir dos Valores Observados de X n´

E [ X

K

]=

∑ Z

K i

i =1

n´

Onde Z i é o valor observado do i-ésimo sinistro.

Cálculo do Prêmio Puro Total ( P ) Sabemos que P deve ser determinado de modo que: P (S col > P ) = α

→ P = E S col + Z 1− α σ S col

P = λ E [ X ] + Z 1− α λ E [X 2 ]

Aplicações Diversas • 165

Cálculo do Prêmio Puro Individual ( P I ) Seja F a referência de cálculo.

Logo, P I

=

P F

Precificação de Seguros com Franquia A franquia representa um instrumento muito importante no processo de precificação, pois torna o segurado mais cuidadoso na proteção do seu risco, além de proporcionar uma redução signi ficativa nos custos com a regulação de sinistros de baixo valor. Como normalmente a distribuição do valor de 1 sinistro ( X ) possui alta concentração em torno dos pequenos valores, a redução no preço do seguro pode ser significativa com a aplicação da franquia. Uma abordagem ampla sobre as distribuições de X após a aplicação da franquia, pode ser vista em (HOGG AND KLUGMAN) 9. Existem 3 tipos de franquia, quais sejam: Franquia Proporcional

Conceito Neste caso, o segurado participa com um percentual pré-de finido ( K % ) em todos os sinistros. Este tipo de franquia possui o inconveniente de penalizar demais os segurados nos sinistros de alto valor. É comum utilizar este tipo de franquia com um limite máximo de franquia em valor absoluto. Modelo Atuarial Sejam: a) λ d - Número médio de sinistros após a aplicação da franquia; b) X d - Variável aleatória “valor de 1 sinistro líquido da franquia”; c) P d - Prêmio de risco após a aplicação da franquia.

166 • Modelos de Preci ficação e Ruína para Seguros de Curto Prazo Então, λ d = λ X d

= (1 − K ) X  x    1 − K 

f X d ( x ) = f X 

E [ X d ] = (1 − K ) E [ X ] P d

= λ d E [ X d ] = λ (1 − K ) E [ X ]

Veja que o prêmio de risco após a aplicação da franquia percentual é igual ao prêmio de risco original, antes da aplicação da franquia, multiplicado por 1 − K Franquia Dedutível

Conceito Na franquia dedutível, o segurado participa integralmente dos sinistros cujos valores não ultrapassam o valor pré-de finido da franquia dedutível ( d ). Quando o valor do sinistro ultrapassa esse limite, a indenização a ser paga ao segurado representa a diferença entre o valor do sinistro e o valor da franquia dedutível. Modelo Atuarial λ d = λ P ( X > d ) X d

0 =  X − d

f X d ( x ) =

X ≤ d X > d

f X ( x + d ) P ( X > d )

x≥0

Aplicações Diversas • 167 É fácil provar que o prêmio de risco acima é inferior ao prêmio de risco original, antes da aplicação da franquia dedutível, pois:

Franquia Simples

Conceito Assim como na franquia dedutível, o segurado participa integralmente dos sinistros cujos valores não ultrapassam o valor pré-de finido da franquia simples ( d ). Sempre que o sinistro ultrapassa esse limite, o segurado é indenizado pelo valor total do sinistro, e não pela diferença, como no caso da franquia dedutível. Este tipo de franquia pode incentivar a fraude por parte do segurado, nas situações em que o valor do sinistro é muito próximo ao limite de franquia simples, pois, o segurado pode fraudulentamente agravar o valor do sinistro para que este ultrapasse o limite de franquia, recebendo, assim, o valor total do sinistro. Modelo Atuarial λ d = λ P ( X > d ) X ≤ d

X d

0 =  X

f X d

0  ( x ) =  f X ( x )  P ( X > d ) 

X > d x ≤ d x > d

168 • Modelos de Preci ficação e Ruína para Seguros de Curto Prazo É fácil provar que o prêmio de risco acima é inferior ao prêmio de risco original, antes da aplicação da franquia simples, pois:

Exemplo 1: Calcular a taxa pura individual anual em uma carteira de seguros com as seguintes características: – – – – – –


distribuição Normal; O número médio de sinistros λ será estimado pelo número observado de sinistros em 1 ano; Total de importância segurada exposta ao risco em 1 ano é de $1.500.000; Franquia simples de $200; Nível de significância ( α ) para o cálculo do prêmio puro é de 5% → Z 1− α = 1,645 ; Relação de sinistros brutos em 1 ano: Valor Sinistro ($) 100 200 300 400 500 600 700

Frequência Absoluta 500 350 250 150 100 80 10

Resposta: A relação de sinistros em 1 ano líquidos da franquia simples de $200 será: Valor Sinistro Líquido ($) 300 400 500 600 700

Frequência Absoluta 250 150 100 80 10


Onde, → λ d = n′ =

590

Logo,

Exemplo 2: Refazer o exemplo anterior supondo uma franquia percentual de 20%, limitada a um mínimo de $50 e um máximo de $100, sob a forma de franquia dedutível. Resposta: A relação de sinistros em 1 ano líquidos da franquia será: Valor Sinistro Líquido ($) 50 150 240 320 400 500 600 Onde, → λ d = n′ =

1.440

Frequência Absoluta 500 350 250 150 100 80 10


Logo,

Cuidados na Preci ficação de Seguros com Franquia

Devemos tomar muito cuidado na preci ficação de carteiras que estiveram su jeitas à aplicação da franquia simples ou dedutível, principalmente quando se quer reduzir o valor da franquia, ou, até mesmo, eliminar a franquia. O problema surge pelo fato de que os sinistros, cujos valores são inferiores ao valor da franquia, não são registrados pela seguradora, ficando difícil a sua estimativa. Estudos tarifários para a elevação da franquia são facilmente realizados, bastando considerar que a nova experiência de sinistros, após a elevação da franquia, terá os seus valores de sinistros reduzidos do valor correspondente ao acréscimo de franquia (no caso da franquia dedutível, por exemplo). No caso de estudos para a redução ou eliminação da franquia, torna-se necessário analisar a distribuição do valor de 1 sinistro bruto ( X ), atribuindo-lhe uma distri buição a priori.

Exemplo 3: Seja uma experiência de 1.000 sinistros com média de $2.000 , em uma carteira que esteve sujeita à aplicação de uma franquia dedutível de $800. Calcular o prêmio de risco total da carteira nas seguintes situações, supondo S col com distribuição de Poisson Composta. a) Manutenção da franquia em $800; b) Eliminação da franquia; c) Redução da franquia para $500.


Resposta: a) Manutenção da franquia em $800 Esta é a situação mais simples, pois não há nenhuma alteração na franquia, onde, λ d

= 1000

E [ X d ] = $2.000

Logo, P = E S col

= λ d E [ X d ] = 1.000 × $2.000 = $2.000.000

b) Eliminação da franquia Nesse caso, precisamos atribuir uma distribuição de probabilidade para X . Seja, então, X ~ Exponencial ( α ) Logo,

Mas,

= =

1 α

1 α

− 800 + 800 e − 800 +

e −800 α

α

−800 α

+

e−

α x

α

800 0

− 800 e −800α + 800

1

e −800 α

α

α

− + 800 =

Como E [ X d ] = $2.000


Então, E [ X d ] =

e −800 α

1

P ( X > 800) α

Logo, E [ X ] =

1 α

=

1

e −800 α

e −800 α

α

= $2.000 →

α

=

1 = 0,0005 $2.000

= $2.000

Veja que E [ X d ] é igual a E [ X ] e não varia com o valor da franquia. Dado que o número médio de sinistros que ultrapassam a franquia de $800 ( λ d ) é igual a 1.000, então, o número médio de sinistro na carteira ( λ ) será: λ

=

λ d P ( X > 800)

=

1.000 e −800 α

=

1.000 e −800×0, 0005

= 1.492

Logo, o prêmio de risco será: P = λ E [X ] = 1.492 × $2.000 = $2.984.000

c) Redução da franquia para $500 Neste caso, o número médio de sinistros acima da franquia ( λ d ) será: λ d = λ × P ( x > $500) = λ e −500 α

= 1.492 × e −500×0,0005 = 1.162

A média do valor de 1 sinistro líquido da franquia ( E [ X d ] ) será também igual a $2.000, pois E [ X d ] não varia com o valor da franquia. Logo, o prêmio de risco será: P = λ d E [ X d ] = 1.162 × $2.000 = $2.324.000

Precificação de Seguros a Primeiro Risco Absoluto e Cláusula de Rateio Sejam: - Valor em risco na ocasião do sinistro; IS - Importância segurada; SIN - Valor do prejuízo do segurado; IND - Indenização paga pela seguradora; P - Prêmio puro total da carteira;


TAXA - Taxa pura em função da IS ; n - Número de expostos ao risco; F - Referência de cálculo

;

Vejamos a seguir a conceituação de primeiro risco absoluto e cláusula de rateio, e vamos verificar a relação entre a importância segurada e taxa nesses tipos de contratos. Para tal, testaremos a relação para duas importâncias seguradas: , onde . Primeiro Risco Absoluto

O seguro a primeiro risco absoluto é aquele em que o segurador indeniza integralmente os prejuízos sofridos pelo segurado, limitando o valor da indenização ao valor da importância segurada. Características

Comparação para a)

b)

HIPÓTESE: Consequências: F 2

= K F 1

e


K P 1 ≥ P 2 TAXA2

=

≥ P 1 , pois, P 2 F 2

≤

K IND1

K P 1 F 2

=

≥ IND2 ≥ IND1 K P 1 K F 1

=

TAXA1

Conclusão: Quanto maior a importância segurada, maior o prêmio puro total da carteira ( P 2 ≥ P 1 ), sem que esse prêmio puro total cresça necessariamente na mesma pro porção ( P 2 ≤ K P 1 ). Consequentemente, menor é a taxa aplicável sobre a importância segurada ( TAXA2 ≤ TAXA1 ). Cláusula de Rateio

Nos seguros com cláusula de rateio, sempre que a importância segurada é inferior ao valor em risco no momento em que ocorre o sinistro, o segurado é considerado como segurador de seu próprio risco. Desta forma, em caso de sinistro, o segurado assume os prejuízos na proporção da insu ficiência da importância segurada em relação ao valor em risco. Caso a importância segurada seja igual ou superior ao valor em risco no momento em que ocorre o sinistro, o segurado é indenizado em 100% do valor do sinistro. Características

Comparação para Hipóteses: a) A IS é sempre menor ou igual a VR; b) As apólices possuem o mesmo VR. a)

b)


Hipótese: Consequências:

= K F 1 P 2 = K P 1 F 2

Pois,

Conclusão: Quanto maior a IS, maior o prêmio puro total da carteira, sendo este maior na mesma proporção do aumento da IS ( P 2 = K P 1 ), enquanto que não se altera a taxa em função da IS ( TAXA2 = TAXA1 ).

Exemplo 4: Calcular a taxa pura individual anual e o prêmio puro individual anual em uma carteira de seguros com as seguintes características: – – – – –


distribuição Normal; O número médio de sinistros λ será estimado pelo número observado de sinistros em 1 ano; Número de expostos ao risco em 1 ano ( n ) é de 1.000; Nível de significância ( α ) para o cálculo do prêmio puro é de 2,5% ; Relação de sinistros brutos em 1 ano: Classe I II III IV V VI

Valor em Risco ($) 100 100 200 300 500 500

Valor do Sinistro ($) 100 80 20 300 30 400

Considere as seguintes situações: a) 1º Risco absoluto para IS=$50 e IS=$100

Frequência Absoluta 20 10 8 5 15 2

176 • Modelos de Preci ficação e Ruína para Seguros de Curto Prazo b) Cláusula de rateio para IS = $50 e IS = $100

Resposta: Quando IS= $50 Quando IS = $100

a) 1º risco absoluto a1) IS = $50 Neste caso, exceto nas classes III e V, onde os sinistros líquidos serão de $20 e $30, respectivamente, nas outras classes serão de $50, logo,

Então,

a2) IS=100 Os sinistros líquidos nas 6 classes serão, respectivamente, de: $100 - $80 - $20 - $100 - $30 - $100. Logo,

Então,


Veja que o aumento na IS implicou em uma redução na taxa pura.

b) Cláusula de Rateio Os sinistros líquidos por classe serão: CLASSE I II III IV V VI

IS = $50 50/100 x $100=$50 50/100 x $80 = $40 50/200 x $20 = $5 50/300 x $300 = $50 50/500 x $30 = $3 50/500 x $400 = $40

b1) Cláusula de rateiro com IS = $50

b2) Cláusula de rateiro com IS = $100

IS = $100 $100 $80 100/200 x $20 = $10 100/300 x $300 = $100 100/500 x $30 = $6 100/500 x $400 = $80


Veja que, com o aumento da IS, a taxa pura permaneceu a mesma e, que, a taxa pura com a cláusula de rateio é sensivelmente inferior àquela calculada para o 1º risco absoluto.

Precificação Para a Reintegração Automática da Importância Segurada Em alguns contratos de seguro é oferecida opcionalmente uma cláusula de reintegração automática da I.S., de modo que, em caso de sinistro de perda parcial, a apólice recupera a importância segurada original sem que esta seja reduzida pelo valor do sinistro. Para precificar esta cláusula, precisamos separar os parâmetros de perda total e perda parcial. Sejam então, - Frequência anual de sinistros de perda parcial; - Frequência anual de sinistros de perda total; - Frequência anual de sinistros = ; f - Prêmio comercial anual da cláusula de reintegração automática; π R - Valor médio de 1 sinistro de perda parcial; θ - Carregamento de segurança; - Carregamento para despesas. C Logo, supondo que o sinistro de perda parcial ocorre em média no meio do ano, temos:

Aplicações Diversas • 179 Pois o sinistro médio desta cláusula ( f E [ X PP ] ) representa o prêmio de risco que o segurado deveria pagar quando ocorre o sinistro (meio do ano), caso esta cláusula fosse facultativa. O fator 1/2 é aplicado, pois, no momento do sinistro, só restam 50% do período de vigência original. Veja que, apesar da reintegração somente ocorrer em caso de sinistros de perda parcial, ela gera custos futuros para a seguradora também nos sinistros de perda total, pois estes seriam pagos com o valor reduzido do sinistro de perda parcial, caso a reintegração automática não fosse contratada. É por isso que se usa f como frequência e não . O valor de π R pode, também, ser calculado da seguinte forma:

Onde,

é a parte do prêmio comercial do seguro correspondente à perda par-

cial. O modelo acima pode ser aprimorado, se estudarmos como evolui a ocorrência de sinistros de perda parcial e total em 1 ano, e como os seus respectivos valores se distribuem.

Exemplo 5: Calcular o quanto representa o custo de uma cláusula de reintegração automática da importância segurada sobre o prêmio comercial de um seguro com as seguintes características: – – – – – –

Freqüência de sinistros de perda parcial é igual a 8,5%; Freqüência de sinistros de perda total é igual a 2,5%; Sinistro médio de perda parcial é igual a $30; Sinistro médio de perda total é igual a $200; Carregamento de segurança é igual a 5%; Carregamento para despesas de 40%.

Resposta: O prêmio comercial anual do seguro pode ser calculado da seguinte forma:


Onde,

representa o valor médio de 1 sinistro de perda total.

Logo,

Já o prêmio comercial anual correspondente à perda parcial pode ser calculado da seguinte forma:

Assim sendo, o prêmio comercial anual da cláusula de reintegração automática é de: π R

= f ×

1 1 π PP = (8,5% + 2,5% ) × × $4,4625 = $0,2454 2 2

E a proporção entre o prêmio comercial anual da cláusula de reintegração automática automática e o prêmio comercial do seguro é igual a:

TARIFAÇÃO ESPECIAL PARA SEGUROS DE VIDA EM GRUPO Vejamos a seguir um modelo simpli ficado para calcular o desconto a ser concedido em uma carteira de Vida em Grupo, taxada em função de uma taxa média para o grupo, partindo-se de uma experiência de sinistralidade apurada em um determinado período. Em função de possíveis sazonalidades na ocorrência ocorrência de sinistros, recomenda-se que o período de experiência seja de pelo menos 1 ano. Neste modelo simplificado vamos utilizar a teoria do risco individual, considerando que S ind pode ser aproximado por uma distribuição Normal e vamos considerar somente o risco de morte, apesar de que o modelo aqui apresentado serve, também, para os demais riscos existentes na carteira de Vida em Grupo. Sejam: a) S / / P - Total de sinistros sobre total de prêmio puro anual, prêmio esse calculado em função da tábua de mortalidade mortalidade escolhida escolhida para o grupo; b) n - Número de segurados (principais e cônjuges) expostos ao risco; c) q G - Taxa média anual , não ajustada, observada no grupo;

Aplicações Diversas • 181 d) q ′

- Taxa média pura anual, ajustada, projetada pela experiência do grupo;

e) q TAB - Taxa média pura anual, aplicando-se a tábua de mortalidade escolhida escolhida para o grupo. Sabemos pela pela teoria do risco individual, individual, que o valor ajustado q ′ , de modo que a probabilidade da frequência frequência efetiva de morte superar o valor ajustado ajustado q ′ seja de α , pode ser calculado calculado pela seguinte fórmula fórmula (vide exemplo exemplo 4 do capítulo 2):



q ′ = q 1 + Z 1−α



1 − q  nq

  

Onde q representa a probabilidade média de morte. No caso da tarifação especial para uma carteira de Vida em Grupo, queremos ajustar uma nova taxa média partindo-se da suposição que a experiência de freqüência de sinistros do grupo no período analisado pode ser projetada para o futuro. Desta forma, vamos considerar o valor de q como sendo a experiência observada do grupo, ou seja, q G . Logo, q′ = q

G  1 + Z 1−α 1 − qG  nq 

G

   

Podemos considerar, porém, q G como sendo: q

G

=

S P

q

TAB

Então, q′ =

S P

q

TAB

TAB  1 + Z 1−α 1 − S / P qTAB  n S / P q 

   

Assim sendo, o desconto ( D ) em relação a q TAB será de: D =

q TAB

− q′

q TAB

D = 1 −

S  

= 1−

1 + Z 1−α

P 

q′ q TAB

1 − S / P q TAB n S / P q TAB

   

182 • Modelos de Preci ficação e Ruína para Seguros de Curto Prazo Esta fórmula nos mostra que:

↑ S / P ↑ q TAB ↑

n

D↑ D↓ D↑

Pode ser provado, também, que o desconto máximo a ser concedido por esta fórmula é de 1 − S / / P . Pequenos valores de n , porém, proporcionarão D < 0 , o que significa que ao invés de desconto temos uma agravação da taxa média em relação a q TAB .

EXERCÍCIOS 1) Determinar a relação entre X d e X na situação em que existe uma franquia proporcional de K % , limitada a um valor mínimo de c e a um valor máximo de d , sob a forma de franquia dedutível. 2) Calcular o desconto sobre o prêmio puro proporcionado pela aplicação de uma franquia dedutível de $100 em uma carteira de seguros com as seguintes características: –

col S possui distribuição de Poisson Composta, podendo ser aproximada por uma

distribuição Normal; – O número médio de sinistros λ será estimado pelo número observado de sinistros em 1 ano; – Nível de significância ( α ) para o cálculo do prêmio puro é de 2,5%; – Relação de sinistros sinistros brutos em 1 ano: Val alor or Sin inis istr troo ($ ($)) 100 200 300 400 500 600 700

Freq Fr equuên ênci ciaa Abs bsoolu luta ta 600 350 200 100 50 20 5


3) Calcular o prêmio comercial individual anual em uma carteira de seguros com as seguintes características: – – – – – – – –


distribuição Normal; O número médio de sinistros λ será estimado pelo número observado de sinistros em 1 ano; Seguro com cláusula cláusula de rateio; Importância Segurada Segurada igual a $200; $200; Número de expostos expostos ao risco em 1 ano ano ( n ) é de 5.000; Nível de significância ( α ) para o cálculo do prêmio puro é de 1%; Carregamento para despesas igual igual a 40%; Relação de sinistros sinistros brutos em 1 ano: ano: Classe I II III IV V

Valor em Risco ($) 200 300 200 400 800

Valor Do Sinistro ($) 200 100 40 300 600

Frequência Absoluta 500 100 50 30 10

4) Calcular o prêmio comercial anual de uma cláusula de reintegração automática da importância segurada em um seguro em que a freqüência anual de ocorrência de sinistros é de 2%, o prêmio comercial é de $2.000, e a proporção entre o montante de sinistros de perda parcial e o montante total de sinistros é de 40%.

Teoria da Credibilidade

Neste capítulo será abordado o processo de preci ficação a partir da chamada Teoria da Credibilidade. Por esse processo de preci ficação é possível conjugar a ex periência da seguradora com a experiência de riscos similares, o que torna a Teoria da Credibilidade uma importante ferramenta para as seguradoras que possuem pouca massa de sinistros para utilizar no processo de tarifação. No desenvolvimento deste capítulo serão apresentados os principais modelos de precificação pela Teoria da Credibilidade, ilustrados com alguns exemplos práticos.

CONCEITO BÁSICO A Teoria da Credibilidade representa uma forma sistemática de atualização das tarifas dos seguros à medida em que a experiência de sinistros é disponibilizada. A Teoria da Credibilidade se torna mais importante quando o volume de informações é muito pequeno, conduzindo a uma instabilidade muito grande na estimativa do preço do seguro. A solução defendida pela Teoria da Credibilidade é a utilização de experiência de riscos similares ou de riscos idênticos referentes a experiências de períodos anteriores, experiências essas conjugadas com a experiência mais recente do risco a ser preci ficado. É possível utilizar-se, no rol de riscos similares, a experiência de outras seguradoras ou, então, do mercado segurador.

185

186 • Modelos de Preci ficação e Ruína para Seguros de Curto Prazo É importante que o prêmio, assim obtido, seja atualizado no futuro com a ex periência mais recente, conjugando-a com a experiência obtida pela Teoria da Credi bilidade. Sejam: a) P D - Prêmio de risco total da experiência direta da seguradora; b) P A - Prêmio de risco total da experiência adicional a ser conjugada com a

experiência direta da seguradora;

c) P C - Prêmio de risco total calculado pela Teoria da Credibilidade.

A forma de cálculo do prêmio de risco pela Teoria da Credibilidade é a seguinte:

Onde, Z é o fator de credibilidade, com valor situado entre 0 e 1, sendo este determinado a partir das experiências direta e adicional. O valor de Z situa-se tão mais próximo de 1 quanto maior for o volume de informações da experiência direta de sinistros da seguradora. Quando Z = 0 , nenhuma credibilidade é atribuída à experiência direta, e P C será calculado tomando como base somente a experiência adicional. Vejamos a seguir como preci ficar pela Teoria da Credibilidade, considerando que a variável aleatória “valor do sinistro agregado em 1 ano” ( S col ) possui distribuição de Poisson Composta ( λ , f X ( x ) ), sendo λ = N p , onde: a) N - Número de expostos ao risco em 1 ano; b) p - Probabilidade de ocorrência de sinistros em 1 ano.

CREDIBILIDADE TOTAL Vejamos a seguir como determinar o número mínimo de expostos ao risco, ou, de sinistros, da experiência direta, de modo que se possa desprezar a experiência adicional no processo de preci ficação pela Teoria da Credibilidade. Na verdade, vamos assumir que a seguradora objetiva ter uma probabilidade muito grande ( (1 − τ ) % ) de que a estimativa de prêmio ( P C ), usando somente a experiência direta, vai se distanciar muito pouco ( K % ) do prêmio de risco real ( P ).

Teoria da Credibilidade • 187 Como S col ~ Poisson Composta ( λ , f X ( x ) ), logo, col

E S

= λ E [ X ]

col

V S

= λ E X 2

P = λ E [ X ]

Assim sendo, P ((1 − K ) λ E [ X ] < P D

< (1 + K ) λ E [X ]) ≥ 1 − τ

 − K λ E [ X ] P D − λ E [ X ] K λ E [ X ]   ≥ 1 − τ → P  < <  V [ P V [P D ] D ]   V [ P D ] Se a experiência direta for su ficientemente grande, e supondo que a distribuição de probabilidade da amostra é igual à distribuição de probabilidade da população, então, P D

− λ E [ X ] V [ P D ]

será aproximadamente Normal ( 0 ,1 ).

Então, para determinar o número mínimo de sinistros ( λ m = N m p ) temos que ter: K λ E [ X ] V [ P D ]

= Z

1−

τ 2

Onde, V [ P D ] = λ E [ X 2 ] = λ (V [ X ] + E [ X ] Logo,

K λ E [ X ]

λ (V [ X ] + E [ X ]

2

)

= Z

1−

2

)

τ 2

→ K 2 λ 2 E [ X ]2 = Z 2 τ λ (V [ X ] + E [ X ] 2 ) 1−

2

Desta forma, o número mínimo de sinistros ( λ m ) que satisfaz à equação acima em λ será: 2

 Z −      V [ X ] + E [ X ] 2   λ m =   2    K   E [ X ]    2  Z −   2     σ [ X ]    → λ m =  1+       K    E [ X ]     1

τ

2

1

τ

2

188 • Modelos de Preci ficação e Ruína para Seguros de Curto Prazo Logo, o número mínimo de expostos ao risco ( N m ) será:

 Z −  N m p =   K  1

→ N m

τ

2

2

  2    σ [ X ]     1 +  E [ X ]         2

 Z 1 − =  p  K  1

τ

2

  2    σ [ X ]     1 +  E [ X ]        

Observe que: K

↓

N m

↑

p

↓

N m

↑

↑

N m

↑

↑

N m

↑

1−

τ

2

σ [ X ] E [ X ]

Ou seja, o número mínimo de expostos ao risco cresce com a redução de K e τ p , e aumenta à medida em que 1 − e o coeficiente de variação de X aumentam.

2

Esta análise da credibilidade total é sem dúvida mais uma das maravilhas atuariais.

Exemplo 1: Calcular o número mínimo de sinistros requerido em uma experiência direta de modo que haja uma probabilidade de 90% de que a distância entre o prêmio de risco real, e o prêmio de risco calculado utilizando 100% do prêmio de risco da experiência direta, não seja superior a 5%. Suponha que os sinistros produzidos pela carteira ( X ) são constantes. Resposta: X constante

→

σ [ X ] = 0

→ λ m

 Z −  =  K  1

τ

2

2

    

Teoria da Credibilidade • 189

Sendo K = 5% , logo,

Exemplo 2: A frequência de sinistros de uma carteira de seguros é de 3%, sendo o coeficiente de variação da variável aleatória valor de 1 sinistro igual a 15%. Qual o tamanho mínimo do número de sinistros ( λ m ) e do número de expostos ao risco ( N m ), para que haja credibilidade total, com K = 0,1 e ? Resposta: λ m

2 2   Z 0,975   σ X [ ]      1+  =       0,1    E [X ]  

λ m = N m p , e,

CREDIBILIDADE PARCIAL No caso da credibilidade parcial, o interesse está em determinar o valor de Z que permite calcular o prêmio de risco total de forma ponderada com a experiência direta e a experiência adicional. Vejamos, a seguir, alguns princípios que podem ser aplicados no cálculo de Z .

Princípio da Flutuação Limitada Uma forma de se determinar o Z é a que utiliza o princípio da flutuação limitada, onde o prêmio de risco pela experiência adicional ( P A ) é um valor fixo, e a seguradora objetiva ter uma probabilidade muito grande ( (1 − τ ) % ) de que a

190 • Modelos de Preci ficação e Ruína para Seguros de Curto Prazo estimativa de prêmio usando a Teoria da Credibilidade ( P C ) vai se distanciar muito pouco ( K % ) do prêmio de risco real ( P ). Como

, e P A é constante, constante, então,

Se a experiência direta for su ficientemente grande, e supondo que a distribuição de probabilidade da amostra é igual à distribuição de probabilidade da população, então, P D

− λ E [ X ] V [ P D ]

Logo,

será aproximadamente Normal (0,1).

K λ E [ X ]

(

Z λ V [ X ] + E [ X ]

2

)

= Z

1−

τ 2

K λ E [ X ]

→ Z = Z

τ

1−

λ (V [ X ] + E [ X ]

2

)

2 2

   K  ( λ E [ X ]) 2 → Z =   2 Z τ  1−  λ (V [ X ] + E [ X ] )  2  2

   K  λ → Z =   2  Z 1− τ   σ [ X ]   2  1 +  E [ X ]    → Z =

λ λ m

Teoria da Credibilid Credibilidade ade • 191

Exemplo 3: Calcular o total de prêmio de risco a ser cobrado no próximo ano, na carteira do exemplo 2, caso esta contenha 10.000 apólices expostas ao risco que geram um total de $500.000.000 de sinistros em 1 ano. Considere que a experiência adicional conduziu a um prêmio de risco individual anual de $55.000. Resposta: Vimos pelo exemplo 2 que: λ m

= 393 e

.

Logo, o número esperado de sinistros em 1 ano ( λ ) será de:

Logo, Z =

λ λ m

=

300 = 0,8737 393

O prêmio de risco individual anual da experiência direta é de:

Logo, o prêmio de risco individual anual pela Teoria da Credibilidade será:

Princípio da Credibilidade Hiperbólica A base deste princípio é que a credibilidade está associada ao volume do montante de sinistro agregado médio ( E = E S col = λ E [ X ] ). Desta forma, quanto maior o sinistro agregado médio da experiência direta ( E ), mais próximo Z estará de 1, sendo Z = 0 quando E = 0 . Por este princípio, a função Z cresce muito rapidamente para valores baixos de E , e cresce muito pouco, na medida em que E se torna muito elevado. Com isso, assume-se que a função Z em relação a E pode ser expressa por uma hipérbole, da seguinte forma: Z =

E E + C

Onde, C é escolhido de forma subjetiva, sendo C > 0 .


A função hiperbólica de Z pode ser visualizada no Gráfico 12.1, sendo que essa curva se aproxima de Z = 1 de forma assintótica. Z 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

E

Gráfico 12.1

Na prática, entretanto, sabemos pelo item “ Credibilidade Total ” que, a partir de um determinado valor de λ ( λ m ), temos a credibilidade total, ou seja, Z se aproxima de 1. Por consequência, Z se aproxima de 1 quando o sinistro agregado médio é igual a λ m E [ X ] . Uma modi ficação possível, portanto, na função Z , é a de atribuir um ponto S ( S = λ m E [ X ] ) no qual a partir daí Z = 1 , eliminando a característica assintótica da função original. Nesta nova função, assume-se que, a partir de um ponto ( E = Q , Z = Q / (Q + K ) ), a função Z passa a ser uma reta até atingir Z = 1 , conforme visualizado no Grá fico 12.2. Z 1

(S ,1)

Q Q + K

0

Gráfico 12.2

 Q   Q ,    Q + K 

Q

S

E

Teoria da Credibilid Credibilidade ade • 193

É fácil mostrar que esta nova função Z pode ser expressa por:

Sendo, Q =

S − C

2

Dado que C > 0 e Q > 0 , podemos afirmar que:

0 < Q ≤ S / 2 0 < C ≤ ≤ S

Estas expressões são importantes, pois permitem estabelecer limites para a escolha arbitrária de Q e C .

Comparação com o Princípio da Flutuação Limitada Sabemos, pelo princípio da flutuação limitada, que a função Z pode ser ex pressa por:

Z =

λ λ m

→ Z =

→

Z = =

λ E [ X ] λ m E [ X ] E S


Desta forma, temos uma função Z que varia com E e S , podendo, então, ser comparada com a função Z do princípio da credibilidade hiperbólica, que depende de C , E e S . Deve-se notar que, quando C = S , então, Q = 0 , e, pelo Gráfico 12.2, Z será uma reta, ou seja, Z =

E S

Assim sendo, pode-se determinar o valor de C que torna o princípio da credibilidade hiperbólica próximo ao princípio da flutuação limitada.

Princípio da Credibilidade Bayesiana Empírica Buhlmann (1967) publicou um artigo intitulado “ Experience Rating and Credibility” que deu origem ao outro ramo da credibilidade denominado teoria da credibilidade européia ou teoria da credibilidade de maior exatidão ou ainda teoria da credi bilidade bayesiana empírica. Com o surgimento dos modelos bayesianos empíricos, a estimação de Z pode ser feita usando soluções estatísticas da teoria de estimação. O modelo clássico de Buhlmann é o modelo simples de credibilidade linear para dados com o mesmo volume de risco. Este modelo é recomendado no caso de uso de valores de indenização que não exibam tendências. Maiores detalhes sobre a Teoria da Credibilidade podem ser estudados em MANO14 e (HART, BUCHANAN AND HOWE) 7

EXERCÍCIOS 1) Calcular o número mínimo de sinistros requerido em uma experiência direta de modo que haja uma probabilidade de 95% de que a distância entre o prêmio de risco real, e o prêmio de risco calculado utilizando 100% do prêmio de risco da experiência direta, não seja superior a 10%.

Teoria da Credibilidade • 195 Suponha que o número de sinistros ocorre de acordo com uma distribuição de Poisson, e que os valores dos sinistros produzidos pela carteira ( X ) possuam a seguinte distribuição:

Valor Sinistro ($) 1.000 1.800 2.300 2.500 3.500 5.000 10.000

Frequência Relativa 0,25 0,40 0,15 0,10 0,05 0,04 0,01

2) Calcular o valor de Z no exercício 1, utilizando o princípio da flutuação limitada, dado que o número médio de sinistros ocorridos é de 500. 3) Calcule o prêmio puro individual a ser cobrado no próximo ano, utilizando o princípio da flutuação limitada, em uma carteira com as seguintes características: – – – – –

O número de sinistros ocorre de acordo com uma distribuição de Poisson; Os valores dos sinistros são constantes e iguais a $10.000; A freqüência anual de sinistros é de 0,001; Número de sinistros ocorridos em 1 ano é igual a 300: O carregamento de segurança é de 4%.

Considere que a experiência adicional conduziu a um prêmio de risco individual e anual de $11, sendo .

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Apêndice 1 Exposição ao Risco

O cálculo da exposição ao risco é uma etapa fundamental nos processos de precificação, cálculo de reservas de prêmios, cálculo da probabilidade de ruína, etc. O modelo de cálculo da exposição ao risco que será apresentado a seguir serve tanto para o cálculo do número de apólices expostas ao risco, importância segurada exposta ao risco ou prêmio ganho.

CÁLCULO DA EXPOSIÇÃO INDIVIDUAL Podemos medir a exposição individual de cada risco pela relação entre o tempo em que o risco ficou exposto no período de análise e o tempo total do período de análise. Mesmo que o risco tenha iniciado antes do período de análise, ele é considerado no cálculo da exposição individual, desde que ele tenha alguma interseção de vigência no período de análise. Se considerarmos 1 dia como a unidade mínima de contagem de tempo, teremos: Exposição Individual =

Sendo: - Número de dias da vigência com interseção com o período de análise; - Número de dias do período de análise. Somente as apólices com pelo menos 1 dia de vigência no período de análise estão sujeitas ao cálculo da exposição individual. Com isso, a apólice precisa ter início

199

200 • Modelos de Preci ficação e Ruína para Seguros de Curto Prazo de vigência ou término de vigência dentro do período de análise, podendo conter am bas as datas. A visão esquemática, apresentada por WESTENBERGER 20 no Gráfico Apêndice 1.1 ajuda a ilustrar o conceito de exposição individual.

Gráfico Apêndice 1.1

TEIXEIRA 17 ilustra o cálculo da exposição individual em caso de endosso, onde, segundo ele, é importante tratar adequadamente o efeito de cada tipo de endosso so bre o risco em questão, conforme resumido na Tabela Apêndice 1.1 :

Tipo de Endosso

Efeito

Inclusão em apólice

Início de um novo risco

Alteração

Término do risco anterior e início de um novo risco

Cancelamento de apólice

Término do risco anterior

Cancelamento de endosso

Término do risco anterior e reconsideração do risco anterior ao endosso cancelado.

Reativação da apólice

Reinício da vigência do risco cancelado

Tabela Apêndice 1.1

Vejamos a seguir um exemplo de cálculo da exposição individual de uma apólice e seus respectivos endossos (vide a tabela apêndice 1.2) no período de análise anual do ano t.

Apêndice 1 – Exposição ao Risco • 201

Risco

Início de Vigência

Término de Vigência

Apólice

A

01/10/t-1

30/09/t

Endosso de Alteração

B

02/03/t

30/09/t

-----

01/05/t

30/09/t

B

02/05/t

30/09/t

Tipo de Documento

Endosso de Cancelamento da Apólice Reativação da Apólice Tabela apêndice 1.2

Veja que o risco A, subscrito em 1 de Outubro do ano t-1, foi substituído pelo risco B, sendo este cancelado em 1 de Maio do ano t, sendo reativado em 2 de Maio do ano t, permanecendo em vigor até o término de vigência da apólice em 30 de Setembro do ano t. Neste caso, a visão esquemática é apresentada no Gráfico Apêndice 1.2.

Gráfico Apêndice 1.2

Desta forma, para os riscos A e B, temos as seguintes exposições individuais: a) Risco A O risco A ficou em vigor no ano t de 01/01/t até 01/03/t, ou seja, durante 60 dias (supondo Fevereiro com 28 dias). Logo, Exposição Individual =

202 • Modelos de Preci ficação e Ruína para Seguros de Curto Prazo b) Risco B O risco B ficou em vigor no ano t de 02/03/t até 30/04/t, e de 02/05/t até 30/09/t, ou seja, durante 60 dias no primeiro período mais 152 dias no segundo período, totalizando 212 dias. Logo, Exposição Individual =

212 = 0,5808 365

ENDOSSO DE CANCELAMENTO POR SINISTRO Conforme já abordado neste apêndice, o endosso de cancelamento da apólice interrompe a contagem da exposição em função do risco cessar naquele momento. No caso de cancelamento por sinistro, entretanto, deve-se estender a contagem da exposição até o final de vigência original da apólice. Esse procedimento fica mais fácil de ser entendido quando se calcula a freqüência anual de sinistros, onde fica claro que a apólice sinistrada deve ter sua exposição considerada como 1, pois, caso contrário, tomaríamos somente uma proporção do risco, deturpando, assim, o conceito de freqüência de sinistros.

CÁLCULO SIMPLIFICADO DA EXPOSIÇÃO AGREGADA A exposição agregada de um risco é de finida como a soma de todas as exposições individuais. Conforme abordado neste apêndice, o cálculo da exposição individual deve ser elaborado considerando-se todas as possíveis alterações na apólice, o que requer o uso de dados individualizados para o cálculo da exposição agregada. Uma forma mais simples de calcular a exposição agregada parte do número de apólices em vigor ( Ri ) para um determinado risco, para cada dia do período de análise ( n ), sendo , então, a exposição agregada igual a média do número de apólices em vigor no período n , ou seja, n

∑ R

i

Exposição Agregada

=

i =1

n

Esta forma de cálculo vale também para o cálculo de importâncias seguradas expostas, prêmios ganhos, etc. Além de simples, esta forma de cálculo é exata, pois, todas as alterações nas apólices são automaticamente incluídas na movimentação do saldo de riscos em vi-

Apêndice 1 – Exposição ao Risco • 203 gor em cada dia ( Ri ). Deve-se tomar cuidado, entretanto, para considerar as apólices sinistradas como se estivessem em vigor até o final de vigência originalmente contratado. Na prática é comum se calcular a média do saldo mensal dos riscos em vigor, como conseqüência da maioria dos relatórios gerenciais das seguradoras serem emitidos mensalmente. Nesse caso, entretanto, não se tem o mesmo grau de precisão, pois, perde-se a informação das movimentações de risco ocorridas dentro de cada mês.

Apêndice 2 Tabela Distribuição Normal Padronizada Acumulada

z

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0,0

0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359

0,1

0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753

0,2

0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141

0,3

0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517

0,4

0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879

0,5

0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224

0,6

0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549

0,7

0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852

0,8

0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133

0,9

0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389

1,0

0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621

1,1

0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830

1,2

0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015

1,3

0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177

1,4

0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319

205


z

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

1,5

0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441

1,6

0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545

1,7

0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633

1,8

0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706

1,9

0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767

2,0

0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817

2,1

0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857

2,2

0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890

2,3

0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916

2,4

0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936

2,5

0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952

2,6

0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964

2,7

0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974

2,8

0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981

2,9

0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986

3,0

0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990

3,1

0,9990 0,9991 0,9991 0,9991 0,9992 0,9992 0,9992 0,9992 0,9993 0,9993

3,2

0,9993 0,9993 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9995 0,9995 0,9995

3,3

0,9995 0,9995 0,9995 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9997

3,4

0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998

Principais valores:

z

1,282

1,645

1,960

2,326

2,576

3,090

3,291

P ( Z ≤ z )

0,90

0,95

0,975

0,99

0,995

0,999

0,9995 0,99995 0,999995

3,891

4,417

Respostas dos Exercíos

Capítulo 1 1) a) 61,90% b) 95,24% 2) $18.670,44 3) $5,556 4) $2,935 5) a) $22,7 b) $8,5 c)$20 6) a) $1 b) $1

Capítulo 2 1) a) P ( X i P ( X i

= 0) = 0,9965 P ( X i = $1.000) = 0,001 = $2.000) = 0,002 P ( X i = $5.000) = 0,0005

b) 1.952,5% 2) 164,5% 3) a)

V [ X i ] = $9.900 b)

4) 5) 0,4% 6) a) 2 b) 1,98 c) $49.773,84 d) $248,87 e) 1,345% f) 169%

207


Capítulo 3 1) a) 1,5 b) 2,7 2) e −2 ; 0,2 e −2 ; 0,42 e −2 ; 0,68133 e −2 ; 1,00807 e −2 3) 56,7% 5) ( p M X (t ) + 1 − p ) n 6) a) $0,12 b) $0,52 c) $0,4896

Capítulo 4 1) 0,000822 2) $503,41 3)

α

= 2,037

4) a) $50 b) $37,5

Capítulo 5 1) Poisson com parâmetro 2) 6,76% 3) 4,16%

Capítulo 6 2) Distribuição de Poisson Composta com λ

=8 e

; P ( X = 3) = 0,425 ; P ( X = 4 ) = 0,375 . 4) β

=

α e x 0

=−

α

;

Respostas dos Exercíos • 209 5) 21,5% 6) 11,9%

Capítulo 7 1) 68,22% 2) 66,44% 3) a =

− p 1 − p

b = ( N + 1)

p

1 − p

Capítulo 8 1) $9.826 2) 3.666 ou 1.745.954 3) 8,74% 4) -$6.698



r q



p 2

5) μ = K  Z 1−δ 

Capítulo 9 1) $1.785.819 2) 92,6% 3) 0,37% 4) $1.287 5) 35,7%

−

r q p



θ  



Livro Modelos de Precificação e Ruina

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