Lks Matematika 4
LIMIT FUNGSI ALJABAR
A. Pengertian Limit lim f ( x) = L xa
L adalah batas nilai f(x) untuk x mendekati a ( dari arah kiri/limit kiri: lim f ( x) dan arah x a
kanan/limit kanan: lim f ( x) ) x a
x2 1 1. Perhatikan fungsi f(x) = , maka nilai f(x) untuk x mendekati 1 sebagai berikut : x 1
x mendekati 1 dari kiri x 0,98 0,99 F(x) 1,98 1,99
0,999 1,999
x mendekati 1 dari kanan 1,001 1,01 1,02 2,001 2,01 2,02 tak tentu Nilai f(x) mendekati 2 1
0 0
Nilai f(x) mendekati 2
1,02 1,98
1,04 2,04
Untuk x yang mendekati 1 dari arah kiri,nilai f(x) mendekati 2 keadaan seperti ini dikatakan limit kiri dari x mendekati 1 adalah 2,dan dapat ditulis dengan notasi: lim f ( x) 2 x 1
Untuk x yang mendekati 1 dari arah kanan,nilai f(x) mendekati 2 keadaan seperti ini dikatakan limit kanan dari x mendekati 1 adalah 2,dan dapat ditulis dengan notasi : lim f ( x) 2 x 1
lim x 2 1 2 Dengan demikian dikatakan : x 1 x 1 2. Perhatikan fungsi
f ( x)
x mendekati 2 dari kiri x 1.9 1.99 F(x) -19 -199
x x2
maka nilai f(x) untuk x mendekati 2 sebagai berikut : x mendekati 2 dari kanan 2
1.999 -1999
2 0
tak terdefinisi
Nilai f(x) mendekati -
2.0001
2.001
2.01
2.0001
20001
2001
201
20001
Nilai f(x) mendekati
Untuk x yang mendekati 2 dari arah kiri,nilai f(x) mendekati - dapat ditulis dengan notasi: lim f ( x) , dan Untuk x yang mendekati 2 dari arah kanan,nilai f(x) mendekati dapat ditulis x 2
dengan notasi : lim f ( x) . Dengan demikian dikatakan : x 2
lim x = tak ada (tak ada limit) x2 x2
Tim Guru Matematika SMAN 78
1
Lks Matematika 4
3.
Perhatigan grafik fungsi berikut : 4
y=f(x
2
2
4
y=f(x
y=f(x
2 3
3 (a)
4 3 2
y=f(x
3
(b)
3
(c)
(d)
F(3) = 2 lim f(x) = 2
F(3) = 4 lim f(x) = 2
F(3) = 4 lim f(x) = 2
F(3) = 4 lim f(x) = 2
x3 lim x 3
f(x) = 2,
maka : f(x) = 2
f(x) = 2,
maka : f(x) = 2
lim x3
f(x) kontinu di x = 3
x3 lim x 3
lim x3
f(x) diskontinu di x = 3
x3 lim x 3
f(x) = 4,
maka : f(x) = tak ada
x3 lim x 3
f(x) = 3,
maka : f(x) = tak ada
lim x3
lim x3
f(x) diskontinu di x = 3
f(x) diskontinu di x = 3
Dari gambar diatas dapat disimpulkan bahwa : f(x) kontinu (grafiknya berkesinambungan) di x = a apabila memenuhi syarat : 1. f(a) terdefinisi lim 2. f(x) ada xa lim 3. f(a) = f(x) xa B. Limit Fungsi Aljabar untuk x mendekati a Menyelesaikan soal : lim f ( x) adalah dengan mengganti x dengan a atau f(a) , xa
2
jika f(a) terdefinisi maka lim f ( x) = f(a)
Jika f(a) tak terdefinisi ,
Jika f (a)
xa maka lim f ( x) xa
= tak ada (tak ada limit)
0 (tak tentu), maka masing-masing pembilang dan penyebut difaktorkan 0 dan salah satu faktornya adalah pembuat nol untuk x = a, kemudian coret faktor pembuat nol yang sama dan substitusikan x dengan a yang selanjutnya merupakan penyelesaian limit tersebut. (Bila sulit dalam memfaktorkan, maka sebelum memfaktorkan gunakan pemisalan atau kalikan sekawan untuk menghilangkan tanda akar sehingga mudah untuk memfaktorkan).
Tim Guru Matematika SMAN 78
Lks Matematika 4
Contoh Selesaiakanlah ! x2 1 1. lim 2 x 1 x x 2
3. lim x 0
x x
4. lim
x x
x 2
x2 4 x 6 x
x x2
5. lim
x 1
6. lim
3 x x 3 2
7. lim 3 x 8
x2 4 x 2 x 2 x 6
2. lim
x 64
x 8
x 2 6
3
x
x 2
5 x 2 untuk 2 8. Diketahui f ( x) x 2xx 4 2 untuk 3 4 x untuk Apakah f(x) kontinu disetiap titik?
x 2
x0 0 x2 x2
Sifat- Sifat Limit Fungsi: Jika lim f ( x) dan lim g ( x) masing-masing ada (terdefinisi), maka xa xa lim lim lim a. f ( x) g ( x) = f ( x) g ( x) xa xa xa b. lim f ( x).g ( x) = lim f ( x) x lim g ( x) xa xa xa
c.
lim f ( x) lim f ( x) = x a lim x a g ( x) g ( x) xa
d.
lim lim f n ( x) = xa x a
f ( x)
n
Tim Guru Matematika SMAN 78
3
Lks Matematika 4
Contoh : 1. Jika lim f ( x) =2 dan lim g ( x) =3 tentukan nilai x2
x2
lim f 3 ( x) 2 g ( x) 11 x2 g 2 ( x). f ( x)
Hitunglah lim
2.
x2
3
3 4x 1 x2 x 2
Latihan 1
3 2x x 1 / 2 5 x
1. lim
3. lim x 6
x x3
2 x 3 5x 2 2 x 3 x 3 4 x 3 13 x 2 4 x 3
5.3.. lim
4
2x 4 6x 3 x 2 3 2. lim x 2 x 1
4. lim x 2
4 x2 3 x2 5
6.8. lim x 2
x 8 2x x2
Tim Guru Matematika SMAN 78
Lks Matematika 4
7. lim
x3 8 x2
8. lim
9. lim
x3 1 x2 x
10. lim
11. lim
x x3
x 2
x 1
x 6
13. lim x 2
3x 6 x2 5 3
x 2 36 x
x 36
x x 6x
9x 2 1 x 1 / 3 3 x 1
12. lim x 2
4 x2 3 x2 5
14. lim
x 2 2
16 2 x 2 x2 2 x
Tim Guru Matematika SMAN 78
5
Lks Matematika 4
15. lim
x 3
x 6 2x 9 x 3
4 1 2 x 2 x 4
16. lim x 2
2x 4 4 2x 17. lim x 0 6x
2x3 2 18. lim 3 x 1 x 3x 2 x 1
27 x 3 19. lim x 3 2 x 2 6
20. lim
21. lim x 9
6
x 2 81 3
x
x 0
22. lim x 2
4x 2 3x 1
6x 4 x x4 2
Tim Guru Matematika SMAN 78
1 3x
Lks Matematika 4
23. lim
x4 4
x 2
8 x2 2
24. lim
x a a
8 2 2 3 x 3 2x x
25. lim
x 5 50 2 x
26. lim x 3
27. lim
43 x 8 16 2 x
28. lim
x 25
x 8
29.24. lim x 3
( x 3) x 2 x 1 3x 2
a3 x2 a2 x2
2 10 2 x x 5 x5
x 2 x 12 30. lim 2 x 4 x 16
Tim Guru Matematika SMAN 78
7
Lks Matematika 4
31. lim x 4
33. lim x 0
4 x 2 x 2 16
32. lim x 2
2 x 2 3x 3 ( x 2 x)(4 x x 2 )
3x 1 x 2 1 35. lim x 0 x 2 3x
x 2 2x 3x 4 4 x 6
34. Jika : lim x 1
x4
36. lim x 2
x 2 ax b 2 , maka a 2 b 2 = 2 x 2x 3
3
x4
2
37. lim x 4
8
x2 x x 8 x x 6
38. lim ( x 3
5 x 3 40 4 x2 x 6 x2 x x2 4
2x 2x 2 2 ) x 9 x 2x 3 2
Tim Guru Matematika SMAN 78
Lks Matematika 4 3
39. lim
x 1 4
4
41. lim x 5
43. lim
x 3
45. lim
x 1
x 1 x 1
5x 5 x 5
1 1 1 x 3 x 5 x 1
1 x3 1 x 3
40. lim
2 x2 x 4 1 2x 1
x 0
2 x3 x x 1 x2 1
42. lim
3
k 2 23 k 1 (k 1) 2
4
x 3
44. lim k 1
46. lim
x 81
x 9
Tim Guru Matematika SMAN 78
9
Lks Matematika 4
47. lim x a
49. lim
x 2
10
2 x 3 3ax 2 5a 3 x3 a3
x4 4 x 3x 2 3
48. lim 3 x 0
1 x 1 1 x 1
50. Jika nilai dari
lim ax x b 3 , x4 x4 4
nilai a + b adalah ....
Tim Guru Matematika SMAN 78
maka
