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Año del dialogo y la reconciliación nacional
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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERU
FACULTAD DE INGENIERIA
CIVIL
LOCALIZACION DE RAICES DE POLINOMIOS, P OLINOMIOS, REGLA DE NEWTON Y DESCARTES
Autor: MOYA LLANTOY, Luis Angel
Curso:
MATEMATICA II
Docente: ING: LLANA BALDEON, EDWIN SEMESTRE II
Huancayo, Julio del 2018
INTRODUCCION: constantemente, al plantear en términos matemáticos problemas de distintas áreas (economía, física, ingeniería, etc.), aparece la siguiente cuestión: tratar de determinar los ceros de ciertas funciones, es decir valores para los cuales la función se anula. Después de las funciones lineales, las funciones polinomiales (en 1 variable) son las más simples. Estudiar los ceros (raíces) de funciones polinomiales tiene un gran interés por lo menos por las dos razones siguientes: – No se puede pretender poder resolver el problema para funciones más generales si no se logra resolverlo en este caso más sencillo. – Muchas veces es posible traducir de alguna manera el problema original de hallar ceros de una función cualquiera al de calcular las raíces de ciertos polinomios (que “aproximan” a la función original). Generalmente, para las aplicaciones, uno trabaja con funciones reales, y se trata de encontrar ceros reales. Más aún, debido a la estructura de los números con los cuales trabajan las computadoras, las funciones suelen tener coeficientes racionales y los ceros que seremos capaces de calcular serán números racionales que aproximan suficientemente una verdadera solución al problema. En este texto, se trata de profundizar sobre raíces de polinomios con coeficientes en (el cuerpo de los números racionales), R (el cuerpo de los números reales) y cuerpo de los números complejos). Se verá en qué medida la teoría sobre más resuelt resuelta, a, y la de polinomios en R [X].
, más teórica teórica
(el ésta
, permite permite aclarar aclarar la estructu estructura ra de los
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INDICE:
Contenido INDICE:................................................................................................................................................. 3
OBJETIVOS: .......................................................................................................................................... 4 OBJETIVO GENERAL ......................................................................................................................... 4 OBJETIVO ESPECIFICO ..................................................................................................................... 4 CEROS DE FUNCIONES POLINOMICAS ................................................................................................. 5 TECNICAS ELEMENTALES PARA BUSCAR RAICES ............................................................................. 5 REGLA DE LOS SIGNOS DE DESCARTES .............................................................................................. 10 TEOREMAS SOBRE RAICES IRRACIONALES CONJUGADAS Y COMPLEJAS CONJUGADAS .......... .............. .... 11 REGLA DE NEWTON. .......................................................................................................................... 14 ESTUDIO DE CONVERGENCIA DE MÉTODOS NEWTON-RAPSO ..................................................... 15 CONCLUSION: .................................................................................................................................... 17 RECOMENDACIONES: ........................................................................................................................ 18 ANEXOS. ............................................................................................................................................ 19
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OBJETIVOS:
OBJETIVO GENERAL: Estudiar la localización de raíces reales y raíces complejos de polinomios, con coeficientes constantes, utilizando la regla de Descartes y la regla de Newton.
OBJETIVO ESPECIFICO: Es posible, localizar las raíces reales y raíces complejos de un polinomio con coeficientes constantes, utilizando la regla de Descartes y la regla de Newton por separado o ,es necesario utilizar ambas reglas.
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CEROS DE FUNCIONES POLINOMICAS
Lo que se quiere resolver en este capítulo es el problema de hallar las raíces de funciones y en particular de funciones polinómicas. Existen muchos métodos que aproximan estas raíces, la escogencia del método depende de si necesita todas las raíces (si el polinomio es de grado muy grande) o si son raíces complejas, un caso particular en polinomios es la multiplicidad de las raíces (para lo cual trataremos de forma analítica); además trataremos un método para raíces complejas, trataremos especialmente de la regla Descartes y regla de Newton.
TECNICAS ELEMENTALES PARA BUSCAR RAICES.
El mayor interés de los polinomios es conocer cada uno de los factores lineales en los cuales se pueden descomponer; es decir, conocer cada una de las raíces del polinomio. Esta es una tarea bastante interesante, y que muestra diferentes facetas, dependiendo del polinomio que se esté estudiando, de naturaleza de sus coeficientes, y también de sus raíces. Estas características impiden la generación de un método general que se pueda aplicar a cualquier polinomio, independientemente de su naturaleza o comportamiento Sin embargo, existen diversas técnicas específicas que ayudan a obtener raíces de manera simple; dichos procedimientos se basan en información proporcionada por el polinomio. Es necesario recalcar que cada técnica puede o no encontrar, por si sola, todas las raíces de un polinomio. Por ello es mejor utilizar combinaciones de técnicas para maximizar la probabilidad de obtener las raíces de un polinomio.
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En general, la técnica se basa en el tipo de raíces que se pueden obtener; las raíces de un polinomio pueden ser:
Reales. Racionales. Irracionales. Complejas.
POSIBLES RAICES RACIONALES . Estas son las raíces más sencillas de localizar, ya que se localizan por medio de factorización directa o por medio de los valores que tenemos los coeficientes del polinomio. Para ello se tiene el siguiente teorema:
p F ( ) q
0
Entonces la sustituirá la raíz del polinomio se tiene. n
p p F ( ) an an 1 q q q p
p p a 1 q q n
an
n
n 1
n 1
p an 2 q
p a 2 q n
n 2
n2
2
1
p p ... a2 a1 a0 q q 2
1
p p ... a2 a1 a0 0 q q
6
.
Al
an p n
1
multiplicar
la
ecuación
an 1 p n 2 q an 2 p n 3q 2 ... a2 p1q n
3
a1q n
por
2
a0 q n
1
“q” a0 q n
se
tiene:
p
f ( x) x 2 1 an n
an
1
1
a bi
xn
xn
an p
n
1
n 1
f xn f
an 1 p
'
an
2
n 2
... a2 2 a1 1 a 0
0
xn 1 1
n 1
q an 2 p
Debido a que
a
0
n2
q
2
...
2
a2 p q
n 2
1
a1 p q
n 1
a0 q
n
0
y p 0, entonces se puede dividir la ecuación se puede dividir entre
p a la ecuación. an p
n1
an 1 p
n2
q an2 p
n 3
q
2
1
... a2 p
q
n3
a1q
n 2
a0q
n1
a0 q
n
p
La parte izquierda es una suma de productos de números enteros , entonces el coeficiente que se obtiene al lado derecho también es un numero entero; este es posible si, solo p, es un factor de a0 .
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. Para degradar el polinomio es necesario que se aplique la división sintética para las primeras raíces encontradas, pues el polinomio resultante será de grado dos. Una
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vez degradado, será fácil encontrar el reste de las raíces mediante factorización o ecuación general de segundo grado.
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REGLA DE LOS SIGNOS DE DESCARTES .
Existe la posibilidad de que un polinomio tenga raíces nulas; es decir, que las raíces son iguales a cero. este tipo de raíces se representan cuando el termino a0 =0. En este caso, la multiplicidad de dichas raíces es igual a la menor potencia del polemonio.
Por lo que 0, es una raíz de multiplicidad tres en el polinomio. Es posible saber cuántas raíces reales positivas y reales negativas tiene el polinomio; esto se puede saber analizando los signos de los coeficientes del polinomio. El procedimiento se conoce como regla de los signos de Descartes.
Raíces reales negativas:
Por lo tanto, se tiene que el número de posibles raíces positivas es 4, 2, o 0; el número de raíces reales negativas en 1. Finalmente, es posible construir aun tabla de las posibles combinaciones de las raíces del polinomio; en dicha tabla debe considerarse el grado del polinomio 10
(número total de raíces), así como las raíces nulas descubiertas antes de aplicar el teorema de Descartes.
Naturaleza de, las raíces del polinomio del ejemplo anterior.
TEOREMAS SOBRE RAICES IRRACIONALES CONJUGADAS Y COMPLEJAS CONJUGADAS.
RAICES IRRACIONALES. Estas raíces siempre vienen en pares, siempre y cuando el polinomio tenga coeficientes racionales. Algunos de los teoremas para obtener raíces irracionales son:
Grafica de un polinomio. Cambio de signos de un intervalo. Cotas de las raíces reales.
Al localizar cada una de las parejas ordenadas en el plano cartesiano se tiene que la gráfica del polinomio representa la forma característica plasmada en la figura 4.1.
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Al localizar los puntos se observa que uno de los cruces en x=1, es tanto los otros cruces se presentan en los intervalos Por lo que en esos dos puntos se encuentran las otras raíces reales.
Al tener solo números positivos en el tercer reglón de la división se ha encontrado, que 4 es una cota superior. Por lo tanto, todas las raíces reales del polinomio están entre -2 y 4.
RAICES COMPLEJAS. Las raíces de un polinomio pueden ser conjugadas, tal es el caso del polinomio f ( x) x2 1 , donde las raíces son :x 1=i, x2=-i. en este ejemplo se observa que el polinomio de coeficientes reales tiene complejas, que además son conjugadas.
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Sea: an x n
an 1 x n
1
a bi es
an n
an
1
an 2 x n
2
... a2 x 2
a1x1 a0
0
una raíz de p(x), entonces.}
n 1
an
2
n2
... a2 2 a1 1 a 0
0
Se obtiene el conjugado de la expresión se tendrá que.
Y por lo tanto se tiene que los números
1
a bi , 2
a bi son
raíces del
polinomio.
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REGLA DE NEWTON.
En análisis numérico, el método de Newton (conocido también como el método de Newton Raphson o el método de Newton-Fourier) es un algoritmo para encontrar aproximaciones de los ceros o raíces de una función real. También puede ser usado para encontrar el máximo o mínimo de una función, encontrando los ceros de su primera derivada. DESCRIPCION DEL METODO DE NEWTON. única manera de alcanzar la convergencia es seleccionar un valor inicial lo suficientemente cercano a la raíz buscada. Así, se ha de comenzar la iteración con un valor razonablemente cercano al cero (denominado punto de arranque o valor supuesto). La relativa cercanía del punto inicial a la raíz depende mucho de la naturaleza de la propia función; si ésta presenta múltiples puntos de inflexión o pendientes grandes en el entorno de la raíz, entonces las probabilidades de que el algoritmo diverja aumentan, lo cual exige seleccionar un valor supuesto cercano a la raíz. Una vez que se ha hecho esto, el método linealiza la función por la recta tangente. f ( n
1)
xn
f xn f ' xn
0 f x h f x0 hf ´ x0
h2 2!
f ´´´ x0 ...
x0 h x * f(x 0 )+hf´(x 0 )=0 x1 = x 0 -
f(x 0 ) f´(x 0 )
la raíz que el valor anterior. Se realizarán sucesivas iteraciones hasta que el método haya convergido lo suficiente.
x( n
1)
xn
f xn f ' xn
; n=1,2,3, ...
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Existen varias formas de deducir la expresión. A continuación, presentamos en forma reducida, algunas de ellas. A PARTIR DEL DESARROLLO DE TAYLOR. Sea x0 una aproximación de x *, la raíz de f(x)=0. Buscamos un término correcto de h de forma que x+h sea la raíz buscado, es decir: F(x+h)=f(x*)=0 Si desarrollamos por serie de Taylor se obtiene: 0 f x h f x0 hf ´ x0
h2 2!
f ´´´ x0 ...
La solución exacta de esta ecuación nos daría el termino corrector h tal que x0 h x * . Si en lugar de considerar la ecuación anterior, tomamos su linealizada. f(x0 )+hf´(x 0 )=0
Obtenemos de forma sencilla su solución. h=-
f(x0 ) f´(x 0 )
.
Si bien este valor no es la solución exacta, en condiciones adecuadas podría ser obtenida una buena aproximación. De esta forma. x 0 f =x 0 -
f(x0 ) f´(x 0 )
,
Sería una mejor aproximación a x* que la dada inicialmente por
x 0 si
denotamos
por. x1 = x 0 -
f(x 0 ) f´(x 0 )
,
Y reiteramos el proceso obtenemos el método de Newton –Rapson:
ESTUDIO DE CONVERGENCIA DE MÉTODOS NEWTON-RAPSON En los apartados anteriores hemos visto cómo definir una sucesión. x( n
1)
xn
f xn f ' xn
Con el objetivo de aproximar la solución de x* de la ecuación f(x)=0. 15
Tenemos que ser conscientes de que la convergencia de
hacia x* no siempre x
n
va a suceder. Para que esto ocurra, se tienen que dar una serie de condiciones sobre la función f, en el punto de partida x 0 o la raíz de x*. en concreto, distinguiremos, 3 tipos de resultados de convergencia: 1. Localización sobre la raíz *. 2. Semilocal: se dan condiciones sobre el punto de partida x 0. 3. Global: se da condiciones sobre un intervalo.
CONVERGENCIA LOCAL. El teorema que presentamos a continuación ha sido elegido tomando en cuenta la forma sencilla y poderosa de su demostración. En el mismo se introducen dos elementos, la función de iteración del método de Newton –Raphson (Nf(x)) y su derivada (Lf(x)), las cuales toman la siguiente forma: Lf(x) = x-
f ( x) f ´( x) 2
f´´(x)
.
c1 Lf(x) = x-
f ( x) f ´(x)2
f´´(x) .
TEOREMA. Sea f una función dos veces diferenciable en torno a I de una solución x* de f(x)=0. Supongamos que f´(x*) 0. Entonces existe un r mayor a cero tal que si x 0 (x*-r, x*+r) la sucesión. x( n
1)
xn
f xn f ' xn
Converge a x*. CONVEFRGENCIA GLOBAL. Una función g(x) I, se cumple.
1
c
(I) es contractiva en I, si existe 0 < L < 1 tal que para todo x,y
|g(x)−g(y)|≤L|x−y|. A la condición |g(x)−g(y)|≤L|x−y| se le llama condición de Lipchitz y a L constante de Lipchitz. Normalmente se dice que una función g(x) es contractiva si su constante es menor que la unidad. 16
CONCLUSION:
Utilizar la regla de signos de Descartes no es adecuado para localizar las raíces reales y raíces complejos de polinomios con coeficientes constantes, solo te da las posibilidades de encontrar la cantidad de raíces reales y raíces complejos, en cambio la regla de Newton-Raphson, es un método eficiente para aproximarse a las raíces reales de polinomios con coeficientes constantes.
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RECOMENDACIONES:
En algunos tipos de ecuaciones polinomiales, para tener mayor precisión es recomendable usar otros métodos, ya que el método Newton-Raphson, no son tan precisos
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ANEXOS.
EJERCICIO1. Hallar las raíces de la ecuación, por el método de Newton. Utiliza la regla de signos de Descartes, y diga si tienes raíces reales positivas y raíces reales negativas.
f(x)=COS(X) + X Solución. Las posibles raíces reales. El cambio de signos es cero, quiere decir que no tiene raíces reales positivas. Si hacemos cambio de variable por f(-x). f(-x) =COS(X) – X hay un cambio, por lo que haya una posible raíz real negativa. Utilizando el método de newton hallamos la raíz aproximada. f (1) =cos (1) +1= 0.5403023058+1 f (-1) =cos (-1) -1= 0.5403023058-1 ten el intervalo. f ( x) 2 x5 4 x 4 36x3 8x 2 98x 60 0
xn
1
xn
f xn f ' xn
resolvemos la ecuación con derive.
19
-0.7390851333 es la raíz aproximada.
EJERCICIO 2. Sea el polinomio
( ) x4 4 x3 3x 2 2 x 6 0 , encuentre todas la
r x
raíces del polinomio. Primero se obtendrá las posibles raíces reales, y establecer la cantidad de raíces complejas que puedan arrojar el polinomio.
r ( x) x4 4 x3 3x2 2 x 6 0 , tiene tres cambios de signo, con 3 o 1 raíces
reales positivas.
(
) x4
r x
4 x3 3x 2 2 x 6 0 , tiene1 cambio de signo, con una raiz real
negativa. Las posibles con binaciones son:
Primero se obtiene todas las posibles raíces racionales, las cuales , al analizar los coeficientes son: 1, 2, 3, 6. Al realizar la división sintética, para las posibles raíces:
Para la siguiente posible raíz.
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La primera raíz racional es -1, lo cual indica que, si existe una raíz negativa, y que esta es la única con el signo menos; y se tiene que:
Se observa que al dividir entre x-2, el tercer reglón de la división tiene signos alternados; por lo tanto, 2 es una cota inferior de las raíces del polinomio degradado. La siguiente posible raíz racional debe ser mayor que 2:
El polinomio de segundo grado se puede descomponer por medio de la ecuación x1 1 x2
3
de segundo grado: x3
1
i
x4
1
i
xn
1
x
xn
b
2
b 4ac 2a
f xn f ' xn
Las raíces del polinomio son:
x
1
1,
x
2
3,
x3
1 i , x4
1 i
EJERCICIO3. LOCALIZACIÓN DE UN PLANETA, Para calcular las coordenadas de un planeta en el espacio, tenemos que resolver ecuaciones como f x x 1 0.5senx ,se sugiere
que la función tiene una raíz cerca de = 1,5 Use una aplicación del método de Newton
21
para mejorar esta estimación. Esto es, empiece con radianes.
= 1,5 y 1. Recuerde utilizar
0
SOLUCION.
xn
1
xn
f xn f ' xn
, X1 ≔ 1.498701569.
EJERCICIO4. Suponga el lector que está diseñando un tanque esférico (véase la figura
P6.26) de almacenamiento de agua para un poblado pequeño de un país en desarrollo. El volumen del líquido que puede contener se calcula con
donde V = volumen [pie3], h = profundidad del agua en el tanque [pies], y R = radio del tanque [pies]. Si R = 3 m, ¿a qué profundidad debe llenarse el tanque de modo que contenga 30 m3? Haga tres iteraciones del método de Newton-Raphson para determinar la respuesta. Encuentre el error relativo aproximado después de cada iteración. Observe que el valor inicial de R convergerá siempre.
SOLUCION. El volumen: V (h) h
3
9h
2
90
Rh
2
h
3
3
0
V (0) =0 V (3) =56,5m 3 Trabajamos en el intervalo de: 0,3
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h1
3
v(hn ) v´(hn )
El volumen es una raíz real positiva. h 3 h
hn
1
hn
3
9h 2 90 0
v(hn ) v´(hn )
h0
3 , por newton.
La altura h es: 2.027m
EJERCICIO5. La velocidad v de un paracaidista que cae está dada por:
donde g = 9.8 m/s2. Para un paracaidista con coeficiente de arrastre de c = 15 kg/s, calcule la masa m de modo que la velocidad sea v = 35 m/s en t = 9s. Utilice el método de la Newton, para determinar m a un nivel de es = 0.1%.
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SOLUCION: la función de velocidad. V (m)
m(1
exp(
135
)) 53.6
m
0
Tomamos un intervalo de: 1,65 ;empezamos con, m=1. Con derive.
24
M=59.884Kg
EJERCICIO6. Determine la menor raíz positiva de f(x) = 8 sen(x)ex – 1: a) En forma gráfica. b) Con el uso del método de Newton-Raphson (tres iteraciones, xi = 0.3).
SOLUCIÓN: nos ayudamos con gráfica, porque la ecuación en muy complejo. Sea: xi = 0.3
xn
1
xn
f xn f ' xn
25
La menor solución positiva es: x=.11199
EJERCICIO7. La concentración de bacterias contaminantes c en un lago disminuye de acuerdo con la ecuación. –1.5t
–0.075t
. Determine el tiempo que se requiere para que la concentración de bacterias se reduzca a 15 con el uso de a) el método gráfico, y b) el método de Newton-Raphson, con un valor inicial de t = 6 y criterio de detención de 0.5%. Compruebe los resultados que obtenga. c 75e
20e
SOLUCION. –1.5t
75e
20e
–0.075t
15
0 por el método newton empezamos en t=6
26
T=4.0016
EJERCICIO8. hallar
10 ,por el método Newton, aproxime con 5 decimales.
Solución: Primero buscamos una función: X=
x
2
10 , entonces:
10 0 ,
xn
1
x
2
10
xn
f xn f ' xn 27
Partimos en x=1
Por lo tanto:
10 =3.16228
EJERCICIO9. Determine las raíces de las ecuaciones no lineales simultáneas siguientes, utilizando el método Newton Raphson. y = –x2 + x + 0.75…….(1) y + 5xy = x2…………….(2) solución: en la ecuación (2) reemplazamos la ecuación (1).
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y (1 5 x ) x 2 y
x 2 1 5 x
x 2 1 5 x
x 2 x .75
f ( x )
2sen( x )
x,
por la regla se los signos de Descartes. Cambio de signos para raíces reales positivos es:1, tiene dos soluciones reales positivos posibles. f ( x) 5x3
3x2 4.75x .75 0 ; tiene 2 cambios de signo; por lo tanto, tiene una posible
raíz negativa. Las posibles raíces:
1
0
0
0
2
2
1
0
0
1
2
3
Por el método Newton hallamos las raíces de la ecuación.
Tomamos un x0=1.5
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Factorizando:
X Y
-0.5
-0.2262
1.3262
-0.1667
-0.39058
0.2305
30
EJERCICIO10. Utilice la iteración simple de punto fijo para localizar la raíz de: f ( x ) 2sen ( x ) x
Haga una elección inicial de x0 = 0.5 e itere hasta que E ≤ 0.001%. Compruebe que el proceso converge. SOLUCION. La raíz es positiva por la raíz cuadrada de x. Por Newton-Raphson.
xn
1
xn
f xn f ' xn
31
