Logica fuzzy
1
1. ELEMENTE DE LOGICĂ FUZZY
Logica este ştiinŃa demonstraŃiei al cărei obiect este stabilirea condiŃiilor corectitudinii gândirii, a formelor şi a legilor generale ale raŃionării corecte, conforme prin ordinea ideilor cu organizarea logică a realităŃii obiective. Logica clasică este logica de tradiŃie aristotelică, care studiază formele logice fundamentale (noŃiunea, judecata, raŃionamentul) precum şi principiile gândirii. Legea terŃului exclus a lui Aristotel a făcut imposibilă o a treia variantă a valorii de adevăr a unei propoziŃii, în afară de adevărat sau fals, ceea ce este în dezacord cu „logica bunului simŃ”, cu „logica comună” cu care este înzestrat şi conform căreia acŃionează omul în realitate. Logică matematică (simbolică) este o ramură a logicii care cercetează operatorii logici şi care are ca obiect aplicarea metodelor matematice în domeniul logicii formale, în informatică, electronică, cibernetică, lingvistică etc. Logica booleană (binară, bivalentă) consideră valoarea de adevăr a propoziŃiilor, doar în termeni de adevărat (1) sau fals (0). Este clar că o manieră strictă de evaluare a valorii de adevăr a propoziŃiilor nu coincide cu modul mult mai flexibil în care gândesc oamenii în condiŃii de incompletitudine (informaŃie incertă sau imprecisă ). ). Dacă sursa de informaŃie, instrumentul de măsură sau expertul sunt complet siguri, demni de încredere, informaŃia este certă , în caz contrar este incertă. Dacă mulŃimea valorilor specificate în enunŃul corespunzător conŃinutului informaŃiei este neambiguu, informaŃia este precisă. De multe ori omul nu poate răspunde categoric la o anumită întrebare doar cu DA sau NU, nu poate percepe culorile doar în ALB sau NEGRU, nu poate pune o ştampila categorică de BUN sau RĂU peste orice obiect, adică nu întotdeauna poate afirma categoric că o propoziŃie este adevărată 100% sau falsă 100%. Un tip de logică neconvenŃională, premergător logicii de tip fuzzy, a apărut încă din 1920, fiind propusă de matematicianul polonez Jan Łukasiewicz (1878-1956) [Łuk20], [Łuk30], [Łuk41], [Łuk66] (această logică ia în considerare trei valori de adevăr). ContribuŃii deosebite în acest domeniu a avut şi logicianul român Grigore C. Moisil (1906-1973) [Moi35] - [Moi75] şi continuatorii săi: George Georgescu, Sergiu Rudeanu, Afrodita Iorgulescu [GIR06], Gheorghe Nadiu [DzA06] şi alŃii. Un suport teoretic valoros care tratează incompletitudinea este teoria mulŃimilor fuzzy introdusă în 1965 de Lotfi A. Zadeh [Zad65].
2
Logica fuzzy
Lotfi A. Zadeh1 (n.1921) la ICCCC 20082, Băile Felix, prezentând conferinŃa plenară invitată întitulată „A New Frontier in Computation – Computation Described in Natural Language”
L.A. Zadeh şi I. DziŃac3 înainte de deschiderea ICCCC 2008 1
În anul 2003 părintele mulŃimilor şi logicii fuzzy; Lotfi A. Zadeh, a primit titlul de Doctor Honoris Causa al UniversităŃii „Aurel Vlaicu” din Arad 2 International Conference on Computers, Communications & Control (ICCCC), http://www.iccc.univagora.ro 3 Autorul acestei cărŃi, fondatorul şi organizatorul ICCCC
2
Logica fuzzy
Lotfi A. Zadeh1 (n.1921) la ICCCC 20082, Băile Felix, prezentând conferinŃa plenară invitată întitulată „A New Frontier in Computation – Computation Described in Natural Language”
L.A. Zadeh şi I. DziŃac3 înainte de deschiderea ICCCC 2008 1
În anul 2003 părintele mulŃimilor şi logicii fuzzy; Lotfi A. Zadeh, a primit titlul de Doctor Honoris Causa al UniversităŃii „Aurel Vlaicu” din Arad 2 International Conference on Computers, Communications & Control (ICCCC), http://www.iccc.univagora.ro 3 Autorul acestei cărŃi, fondatorul şi organizatorul ICCCC
Logica fuzzy
3
Lotfi A. Zadeh la ICCCC 2008, scriind în cartea de onoare a UniversităŃii Agora
În 1973 Lotfi A. Zadeh a extins teoria posibilităŃii într-un sistem formal de logică matematică [Zad73]. Sistemul său permitea extinderea valorii de adevăr a unei propoziŃii la toate numerele reale din intervalul [0,1]. Un număr din acest interval era interpretat drept posibilitatea ca propoziŃia considerată să fie adevărată sau falsă. Aceste cercetări au dus la apariŃia teoriei posibilităŃii , o tehnică de raŃionament în condiŃii de inexactitate. De asemenea, a adus în discuŃie modalităŃile de lucru cu termeni nuanŃaŃi ai limbajului natural. Acest instrument de reprezentare şi manipulare a termenilor nuanŃaŃi se numeşte logica fuzzy. Logica tradiŃională consideră că un obiect poate aparŃine sau nu unei mulŃimi. Logica fuzzy permite o interpretare mai flexibilă a noŃiunii de apartenenŃă. Astfel, mai multe obiecte pot aparŃine unei mulŃimi în grade diferite. Teoria mulŃimilor fuzzy şi conceptele fuzzy au apărut din necesitatea de a exprima cantitativ mărimi imprecise . Deşi există numeroase ramuri ale matematicii mai vechi decât teoria fuzzy, care se ocupă cu studiul proceselor de natură aleatoare: teoria probabilităŃilor, statistica matematică, teoria informaŃiei, totuşi nu se pot face substituŃii între acestea şi teoria mulŃimilor fuzzy. Există o distincŃie între teoria probabilităŃii (care tratează incertitudinea stochastică ) şi teoria posibilităŃii (care tratează incertitudinea epistemică ). Incertitudinea stochastică poate fi modelată foarte uşor cu ajutorul teoriei probabilităŃilor bayesiene, teorie aplicabilă în acele situaŃii în care evenimentele
4
Logica fuzzy
sunt bine precizate dar apariŃia lor este incertă din cauza lipsei de informaŃie. Interesul privind calculul probabilităŃilor în sistemele expert a crescut mult după succesul remarcabil obŃinut în sistemul MYCIN. În cazul incertitudinii epistemice (subiective), probabilităŃile nu mai pot fi aplicate din cauza lipsei de informaŃii. Prin urmare, s-a încercat dezvoltarea altor teorii care să modeleze incertitudinea epistemică. Printre acestea se numără şi teoria posibilităŃii şi teoria evidenŃei . O prima abordare a incertitudinii epistemice o reprezintă teoria posibilităŃii, prezentată pentru prima dată de Lotfi Zadeh, părintele mulŃimilor fuzzy. Unul dintre conceptele principale ale teoriei posibilităŃii este distribuŃia acesteia. Punctul de plecare l-a reprezentat noŃiunea de restricŃie fuzzy. Pentru a înŃelege ce este aceasta, să ne imaginăm un geamantan cu pereŃi elastici şi unul inelastic. Pentru cel cu pereŃi tari, volumul acestuia este o valoare unică, bine stabilită. Pentru cel cu pereŃi elastici, volumul depinde de gradul de înghesuire al obiectelor în acesta. Acest grad de înghesuire poate fi foarte bine reprezentat de o funcŃie similară funcŃiei de apartenenŃă a unei mulŃimi fuzzy. Astfel distribuŃia posibilităŃii (va fi numeric egală cu funcŃia de apartenenŃă a unei mulŃimi fuzzy (restricŃie fuzzy), având însă o interpretare diferită. Pentru a ilustra diferenŃa dintre distribuŃia posibilităŃii şi distribuŃia probabilităŃii, Zadeh ne oferă un exemplu foarte concludent: “Hans mănâncă x ouă la micul dejun. DistribuŃia posibilităŃii poate fi interpretată ca o măsură a uşurinŃei cu care Hans mănâncă x ouă, în timp ce distribuŃia probabilităŃii se obŃine în urma observării lui Hans la micul dejun, într-o anumită perioadă de timp, în scopul surprinderii frecvenŃei cu care Hans mănâncă x ouă ”.
Prin proiectarea de instrumente care să faciliteze sau să facă mai eficientă modelarea problemelor complexe cu ajutorul tehnologiei fuzzy, numărul şi dimensiunea ariei de aplicabilitate a acestei tehnologii au crescut rapid. Teoria mulŃimilor fuzzy se utilizează în următoarele scopuri: • Modelarea incertitudinilor –incertitudinea poate fi modelată prin diferite teorii, în funcŃie de cauzele incertitudinii, de tipul şi de cantitatea informaŃiilor disponibile etc. Teoria mulŃimilor fuzzy este, în acest sens, una dintre metodele care pot fi utilizate pentru a modela diferite tipuri de incertitudini, în diferite circumstanŃe; • Generalizare – modelele si metodele clasice sunt, în mod normal, bazate pe logica bivalentă. Adesea, această abordare nu surprinde adecvat realitatea. Teoria mulŃimilor fuzzy a fost utilizată cu precădere în scopul relaxării sau al generalizării metodelor clasice, de caracterul gradual; • Simplificare – tehnologia fuzzy se utilizează în scopul reducerii complexităŃii datelor la un grad acceptabil, fie prin variabile lingvistice sau prin analiza fuzzy a datelor;
Logica fuzzy
5
• Procesarea cunoaşterii – în raŃionamentul aproximativ, cuvintelor si propoziŃiilor li se ataşează sensuri. Motorul de inferenŃă nu procesează simboluri, ci expresii lingvistice cu un anume sens. Tehnologia fuzzy a fost aplicată în multe din problemele tradiŃionale, iar recent, a fost aplicată în domenii ca: tehnologia informaŃiei, telecomunicaŃii, controlul traficului şi, nu în ultimul rând, în sistemele energetice. Sectorul energetic are o importanŃă strategică. Complexitatea, dimensiunea şi diversitatea proceselor tehnologice pe care le include accentuează interesul specialiştilor din diverse domenii în dezvoltarea sa. Creşterea competiŃiei şi presiunea în reducerea costurilor de alimentare cu energie determină managerii de centrale şi inginerii să forŃeze din ce în ce mai tare sistemul în fiecare an, aşteptând să obŃină aceleaşi niveluri de fiabilitate sau chiar creşterea acestora. Operarea şi controlul sistemelor energetice se realizează pe sisteme în funcŃiune ale căror parametrii şi structură fluctuează în mod constant. Aceste schimbări şi fluctuaŃii necesită reacŃii rapide pentru a compensa deviaŃiile şi pentru a furniza stabilitate sistemului energetic. Natura fluctuaŃiilor şi răspunsul sistemului este imprevizibilă, deci, managementul şi planificarea sistemului energetic se confruntă cu incertitudinea asupra cererii de energie, acces limitat la date precum şi schimbări ale condiŃiilor economice, politice si sociale. Managerii si inginerii acestor sisteme trebuie să crească eficienŃa producŃiei de energie electrică într-un mediu variabil, al cărui comportament este greu de prezis. Această problemă poate fi rezolvată prin aplicaŃii ale metodologilor inteligente de conducere. AplicaŃii bazate pe sisteme expert, reŃele neurale şi mulŃimi fuzzy se pot utiliza în controlul, operarea şi managementul sistemelor energetice. Teoria mulŃimilor fuzzy este recunoscută de numeroşi cercetători şi ingineri ca o metodă care poate furniza instrumente moderne în rezolvarea a numeroase probleme ale sistemului energetic, în particular, în cazul unei structuri necunoscute a sistemului şi fluctuaŃii de parametrii. Este, de asemenea, o tehnică promiŃătoare în cazul proceselor necunoscute, în absenŃa datelor sigure. Metodele fuzzy pot rezolva numeroase probleme dificile, aducând un plus de calitate care va conduce la o alimentare mult mai sigură cu energie electrică.
1.1. MulŃimi vagi Pornind de la concepŃia clasică cu privire la mulŃime şi element al unei mulŃimi, se poate susŃine că noŃiunea de mulŃime fuzzy reprezintă o abordare dintr-un unghi diferit a conceptului de mulŃime, mai precis, între apartenenŃa
Logica fuzzy
6
unui element la o mulŃime şi nonapartenenŃă există o serie de situaŃii tranzitorii, de natură continuă, caracterizate de aşa numitele grade de apartenenŃă.[13]
MulŃimi crisp În sens Cantor, o mulŃime crisp dihotominează elementele unui univers ale cărui elemente, o parte aparŃin cu certitudine unei mulŃimi şi o a doua parte de membri care nu este inclusă în această mulŃime. DistincŃia dintre cele două categorii - cea a membrilor şi nemembrilor – este exclusivă. Procesul prin care se defineşte proprietatea de apartenenŃă la una din mulŃimi sau la cealaltă este evidenŃiat de funcŃia caracteristică (de apartenenŃă): x ∈ A µ A ( x ) = 1 y ∉ A µ A ( y ) = 0 Rezultă că funcŃia de apartenenŃă: µ A = {0;1}
MulŃimi fuzzy Dacă X este o mulŃime oarecare, se numeşte mulŃime fuzzy (în X ) rezultatul unei aplicaŃii : A : X → [0;1] .
(1.1)
MulŃimea fuzzy A este caracterizată de funcŃia de apartenenŃă: A
: X → P [0,1]
(1.2) Valorile 0 şi 1 reprezintă cel mai mic şi respectiv cel mai mare grad de apartenenŃă la A al unui element x ∈ X . În sens Zadeh, o mulŃime pentru care o delimitare evidentă între extremele aparŃine-nu aparŃine este exprimată gradual. Oricare mulŃime caracterizată de o „frontieră” de separaŃie”vagă” reprezintă o mulŃime fuzzy. Aşadar, µ A = [0;1] . În cazul µ A = {0;1} mulŃimea fuzzy degenerează într-o mulŃime crisp: Logica binară (Boole) este redată astfel: L2 = {0;1} În logica trivalentă (Lukasievicz): L3 = {0; 1 2 ;1} este prezentă şi apartenenŃa de
Logica fuzzy
7
valoare medie µ 3 = 1 2 , cu semnificaŃia de apartenenŃă îndoielnică la mulŃimea de referinŃă. În logica polivalentă survine necesitatea interpretării unei mulŃimi de valori logice, spre exemplu, L4 = {0; 13 ; 2 3 ;1}, logica tetravalentă a cărei interpretare este: 0 – fals; 1/3 – nu neapărat fals; 2/3 – nu neapărat adevărat; 1 – adevărat. Literatura citează o logică de detaliu, logica endecadenară: L11 = {0; 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9;1} ale cărei elemente au următoarea semnificaŃie: 0-fals; 0,1-practic fals; 0,2-aproape fals; 0,3-destul de fals; 0,4-mai mult fals, decât adevărat; 0,5-nici adevărat, nici fals; 0,6-mai mult adevărat decât fals; 0,7-destul de adevărat; 0,8-ca şi adevărat; 0,9-practic adevărat; 1-adevărat. Această ultimă scală –conform experŃilor - setul acestor 11 nivele (valori logice) oferă suficiente informaŃii pentru o modelare de înalt nivel de flexibilitate. Un model mai puŃin extins, dar care se dovedeşte a fi un instrument de modelare practică, mai ales în cazul sistemelor tehnice, este logica heptenară (septuatenară): L7 = {0; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 1} elementelor sale fiindu-le asociată 6 6 6 6 6 semantica: 0-nesatisfăctor 1/6-aproape nesatisfăcător 2/6-puŃin satisfăcător 3/6-satisfăcător 4/6-bine 5/6-aproape foarte bine
Logica fuzzy
8
1-foarte bine Astfel de scale de ierarhizare (apartenenŃă) în raport cu o anumită mulŃime pot fi de tip liniar sau neliniar; de asemenea, în varianta non-crisp se preferă scalele neliniare care conŃin un nivel (funcŃie de apartenenŃă) de mijloc:0,5. Referitor la valorile de adevăr (funcŃiile de apartenenŃă) incluse în intervalul [0;1] , acestea nu pot fi interpretate ca probabilităŃi; este necesar a se face distincŃia între conceptul de aleatorism (randomness) şi punctul de vedere al logicii nuanŃate (fuzzy), fuzzyness. Valorile de adevăr nu au semnificaŃia unor numere reale, operaŃiile de sumă/înmulŃire neavând sens. E.Borel afirmă că valoarea de adevăr a unei propoziŃii reprezintă probabilitatea de a fi adevărată (de a aparŃine unei anumite mulŃimi).
SubmulŃimi fuzzy Fie un sistem de referinŃă E definit de mulŃimea: E = {a, b, c, d , e, f , g } O submulŃime inclusă în acest sistem A ⊂ E poate fi, spre exemplu A: A = {b, c, d , f , g } sau redată în formă binară: a b c d e f g A = 0 1 1 1 0 1 1 şi a cărei interpretare este următoarea: a ∉ A ; b ∈ A ; c ∈ A ; d ∈ A ; e ∉ A ; f ∈ A ; g ∈ A Rezultă că un anumit element al lui E aparŃine sau nu submulŃimii A ⊂ E . Conceptul de submulŃime fuzzy constă în a admite că un element poate aparŃine sistemului de referinŃă cu o valoare α ∈ [0;1] ; spre exemplu, fie submulŃimea B: a b c d e f B = 0,4 0,6 0,2 0,8 0 1 0,9
g
(“Tilda” de sub B indică faptul că ne referim la o submulŃime).
1.2. FuncŃii de apartenenŃă Valoarea din intervalul [0;1] care afectează un anumit element se numeşte funcŃie de apartenenŃă. Subintervalele de maximă încredere/maximă
Logica fuzzy
9
prezumŃie sunt caracteristice în cazul în care mărimile x şi µ(x) au o limită inferioară şi una superioară. În sistemul nefinit R o submulŃime fuzzy ale cărei elemente x au funcŃiile µ(x) este prezentată în figura 1.1.
Figura 1.1. SubmulŃime fuzzy în R Numere fuzzy În cazul unui sistem de referinŃă R sau a unei submulŃimi aparŃinând lui R, un număr fuzzy (NF) prezintă proprietăŃile: - normalitate, α , α ′ ∈ [0;1] ; - convexitate, [m; n] ≤ [m′; n′] , α ≤ α ′ Logica fuzzy utilizează frecvent numerele fuzzy triunghiulare (NFT) şi numerele fuzzy trapezoidale (NFTp), redate astfel în figurile 1.2 şi 1.3 .
Figura 1.2. Număr fuzzy triunghiular (NFT)
10
Logica fuzzy
Pentru numerele fuzzy triunghiulare de interval (a1 , a 2 , a3 ) - funcŃia de apartenenŃă triunghiulară este dată de (1.3): x ≤ a1 ; µ ( x ) = 0 , µ ( x ) = x − a1 , a1 ≤ x ≤ a 2 ; a 2 − a1 µ ( x ) = a3 − x , a 2 ≤ x ≤ a3 a3 − a 2 x ≥ a3 µ ( x ) = 0 ,
(1.3)
Figura 1.3. Număr fuzzy trapezoidal (NFTp) (a1 ; [a 2 ; a3 ]; a 4 ) - tripletă de încredere [a 2 ; a3 ] - subinterval de maximă încredere În cazul numerelor trapezoidale de interval (a1 ; [a 2 ; a3 ]; a 4 ) - funcŃia de apartenenŃă trapezoidală este dată de (1.4): x ≤ a1 ; µ ( x ) = 0 , µ ( x ) = x − a1 , a1 ≤ x ≤ a 2 ; a 2 − a1 a 2 ≤ x ≤ a3 µ ( x ) = 1, µ ( x ) = a 4 − x , a3 ≤ x ≤ a4 a 4 − a3 µ ( x ) = 0 , x ≥ a 4 Logica fuzzy utilizează frecvent numerele fuzzy triunghiulare.
(1.4)
Logica fuzzy
11
Exemplul 1: Fie variabila a ∈ R nivelul de temperatură care caracterizează printre multe altele-starea de confort dintr-o locuinŃă şi µ (a k ) funcŃiile de apartenenŃă ale diverselor valori ale temperaturii la valoarea ambientală cea mai favorabilă – fie aceasta θ opt = 25 C - figura 1.4 . o
Figura 1.4. Numărul fuzzy triunghiular (NFT) Nivelul optim de temperatură este θ opt = 25 C o
µ ( x ) - funcŃiile de apartenenŃă la nivelul optim ale celorlalte valori ale temperaturii
ApartenenŃa nivelului de temperatură θ = +10 C la valoarea optimă ambientală θ opt = 25 C se deduce conform relaŃiei (1.3): 10 − (− 5) µ (θ = +10 C ) = ⇒ µ (θ = +10 C ) = 0,5 25 − (− 5) De asemenea, 40 − 35 ⇒ µ (θ = +35 C ) = 0,333 µ (θ = +35 C ) = 40 − 25 Universul lingvistic propus pentru diversele valori ale temperaturii θ ∈ [− 5; + 40 C ] este: o
o
o
o
o
o
o
Logica fuzzy
12
Pentru NFT
- total neconfortabil - practic neconfortabil - aproape neconfortabil - puŃin confortabil - relativ confortabil - confortabil - foarte confortabil - relativ confortabil - foarte puŃin confortabil - neconfortabil
(− 5 C ) (0 C ) (+ 5 C ) (+ 10 C ) (+ 15 C ) (+ 20 C ) (+ 25 C ) (+ 30 C ) (+ 35 C ) (+ 40 C ) o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
În cazul numerelor fuzzy trapezoidale (NFTp) se consideră subintervalul de maximă încredere + 20 C ;+25 C , căruia îi corespunde subintervalul de maximă prezumŃie, α = 1 - figura 1.5. o
o
Figura 1.5. Numărul fuzzy trapezoidal (NFTp) Subintervalul de maximă încredere (SI mi ) este + 20 C ;+25 α MP - nivel de maximă prezumŃie α = 1 o
o
C
Exemplul 2: Fie θ = 37 C , funcŃia de apartenenŃă va fi – conform relaŃiilor (1.4): 40 − 37 µ (θ = +37 C ) = ⇒ µ (θ = +37 C ) = 0,2 40 − 25 o
o
o
Logica fuzzy
13
Alte modele ale funcŃiilor de apartenenŃă
FuncŃie de apartenenŃă de tip parabolic – figura 1.6.
Figura 1.6. FuncŃie de apartenenŃă de tip parabolic (D) axă de simetrie Expresia de calcul a funcŃiei de apartenenŃă este:
x − a 2 µ ( x ) = 1 − 4 a − a 3 1
2
(1.5)
Exemplul 3: Se consideră:
= 3 ⇒ a2 = 5 a3 = 7 a1
2
4 − 5 Pentru x = 4 rezultă µ (4 ) = 1 − 4 ⇒ µ (4 ) = 0,75 7 − 3
FuncŃie de apartenenŃă de tip normal (Gauss) – figura 1.7
Figura 1.7. FuncŃie de apartenenŃă de tip Gauss - (D) axă de simetrie
Logica fuzzy
14
Valoarea funcŃiei de apartenenŃă se deduce din expresia (1.6): µ ( x ) = e
−
( x −a 2 )2 2 ( a3 − a1 )2
(1.6)
Un alt model îl reprezintă mulŃimea numerelor reale din apropierea cifrei 0 , a cărei funcŃie de apartenenŃă se obŃine din relaŃia (1.7): µ ( x ) =
1 , 1 + 10 x 2
x ∈ [− 2;+2]
(1.7)
1.3. OperaŃii cu mulŃimi fuzzy OperaŃiile uzuale din teoria clasică a mulŃimilor se pot redefini în cazul mulŃimilor fuzzy în termenii funcŃiei de apartenenŃă: - mulŃimea vidă ∅ ⊆ X
este caracterizată de: µ ∅ ( x ) = 0 ;
x∈X
(1.8)
- mulŃimea totală X de:
m A ( x ) = 1, x ∈ X
(1.9)
- două mulŃimi fuzzy sunt egale, dacă funcŃiile lor de apartenenŃă sunt identice : M = N ⇔ µ M
= µ N ;
(1.10)
- mulŃimea fuzzy M este conŃinută în mulŃimea fuzzy N : M ⊆ N ⇔ µ M
- între mulŃimile fuzzy -
≤ µ N
(1.11)
şi N se pot defini operaŃiile:
reuniune:
M ∪ N , cu µ M ∪ N ( x ) = µ M ( x ) ∨ µ N ( x ) , x ∈ X (1.12)
Logica fuzzy
-
15
intersecŃie:
M ∩ N , cu µ M ∩ N ( x) = µ M ( x) ∧ µ N ( x) , x ∈ X (1.13)
-
complementara:
C M , cu µ CM ( x ) = µ ( x ) , x ∈ X . - produsul algebric
(1.14)
al mulŃimilor fuzzy M şi N , notat M • N ,
este caracterizat de funcŃia de apartenenŃă: µ M ⋅ N - suma algebrică a
= µ M • µ N
(1.15)
mulŃimilor fuzzy M şi N, notată M + N , este
caracterizată de funcŃia de apartenenŃă: µ M + N
= µ M + µ N − µ M • µ N
(1.16)
OperaŃiile •, + sunt asociative, comutative, dar nu sunt distributive.
1.4.ImplicaŃii pentru logica fuzzy În logica fuzzy, implicaŃia este o operaŃie de compunere a formulelor fuzzy, în sensul corelării a două categorii de evenimente, denumite premise, respectiv consecinŃe. Rezultatul unei implicaŃii fuzzy este o submulŃime fuzzy. Variabilele fuzzy sunt mărimi fuzzy asociate celor deterministe. Fiecărui atribut al unei variabile lingvistice îi este asociată o funcŃie de apartenenŃă, a cărei valoare (în sens determinist) indică nivelul de încredere cu care unei valori deterministe i se poate asocia acel atribut al variabilei lingvistice. ImplicaŃia reprezintă o operaŃie care conectează două evenimente: premisă şi consecinŃă.
Logica fuzzy
16
Exemplul 4: Fie mulŃimile M1 şi M2 , respectiv variabilele R 1 şi R 2 ce aparŃin celor două submulŃimi: R1 ∈ M 1 R2 ∈ M 2 unde R 1 semnifică, spre exemplu, nivelul de fiabilitate de etichetă “aproape foarte bun”, constatat de un grup de experŃi cu ocazia efectuării unei expertize la un echipament tehnic oarecare; R 2 evidenŃiază nivelul de fiabilitate, “ practic foarte bun”, propus de un alt grup de specialişti în urma participării la o contraexpertiză pentru aceeaşi instalaŃie. S-au considerat următoarele valori ale funcŃiilor de apartenenŃă (valori ale fiabilităŃii determinate statistic pe baza datelor de exploatare, în momente diferite de timp): µ ( R1 ) = 0,95 ; µ ( R2 ) = 0,92 . În cazul analizat, implicaŃia fuzzy este următoarea: DACĂ nivelul R 1 este“aproape foarte bun”, ATUNCI R 2 este “ practic foarte bun”. DACĂ nivelul R 1 este“aproape foarte bun” = PREMIZA ATUNCI R 2 este “ practic foarte bun” = CONSECINłA Pentru determinarea funcŃiei de apartenenŃă rezultată în urma operaŃiei de implicaŃie, literatura de profil recomandă diverse modele, astfel: a) ImplicaŃia în sens Mamdami, µ M 1 →M 2 ( R1 , R2 ) = min (µ ( R1 ), µ ( R2 ))
(1.17)
b) ImplicaŃia Boole, µ M 1 → M 2 ( R1 , R2 ) = max(1 − µ ( R1 ), µ ( R2 ))
(1.18)
c) ImplicaŃia Zadeh, µ M 1 → M 2 ( R1 , R2 ) = min (1;1 − µ ( R1 ) + µ ( R2 ))
(1.19)
Logica fuzzy
17
Rezultă, a) µ M 1 → M 2 ( R1 , R2 ) = min (0,95;0,92 ) = 0,92 b) µ M 1 → M 2 ( R1 , R2 ) = max(1 − 0,95; 0,92 ) = 0,92 c) µ M 1 → M 2 ( R1 , R2 ) = min (1;1 − 0,95 + 0,92 ) = 0,97 ImplicaŃia în logica fuzzy reprezintă o operaŃie de compunere a variabilelor fuzzy, în scopul corelării a două categorii de evenimente denumite premisă, respectiv consecinŃă. Acest exemplu evidenŃiază faptul că operaŃia de expertiză a fost confirmată –în sens valoric fuzzy- de contraexpertiză.
1.5. Operatori de compunere fuzzy Zadeh, fondatorul logicii fuzzy propune următorii trei operatori:
- operatorul “ŞI” (∧ ) pentru conjuncŃia logică operatorul “SAU” pentru (∨ ) (1.20) - operatorul complement (− ) (NON)
disjuncŃia
logică
Fie µ ( x ), µ ( y ) funcŃiile de apartenenŃă caracteristice mulŃimilor A şi B. Conform teoriei posibilităŃii ,
µ A∧ B ( X , Y ) = min (µ ( x ), µ ( y )); µ A∨ B ( X , Y ) = max(µ ( x ), µ ( y )); nonµ ( x ) : µ ( x ) = 1 − µ ( x )
(1.21)
Notă: În cazul unor entităŃi, spre exemplu, entităŃile α şi β , relaŃiile logice sunt: α ∆ β (α şi β ) α ∇ β (α sau β ) Dezvoltarea impetuoasă a aplicaŃiilor practice în domeniul sistemelor fuzzy a condus la găsirea altor operatori , similari celor utilizaŃi la combinarea probabilităŃilor: - operatorul produs: - operatorul sumă:
µ A SI µ B µ A SAU µ B
= µ A ⋅ µ B
(1.22)
= µ A + µ B − µ A ⋅ µ B (1.23)
Logica fuzzy
18
Operatori utilizaŃi în logica fuzzy pentru modificarea, după caz, a funcŃiilor de apartenenŃă Pentru a facilita modificările care se impun asupra funcŃiilor de apartenenŃă în diferite aplicaŃii, au fost creaŃi doi operatori singulari, unici în logica fuzzy, denumiŃi “concentrator”, respectiv “dilatator”. -
operatorul de concentrare, CONCENTRATOR, CONC µ ( x ) = µ 2 ( x )
-
sau µ Ac ( x ) = µ A2 ( x )
(1.24)
operatorul de dilatare, DILATATOR, 1
DIL µ ( x ) = µ ( x ) 2
sau µ ( x ) = D A
1 µ 2 A
( x )
(1.25)
unde µ A ( x ) semnifică nivelul de apartenenŃă a elementului X la mulŃimea A. Figura 1.8 prezintă NFT la care s-au aplicat operatorii concentrator, respectiv dilatator. În mod asemănător pentru NFTp – figura 1.9.
Figura 1.8. NFT la care se aplică operatorii CONC µ ( x ) şi DIL µ ( x )
Figura 1.9. NFTp la care se aplică operatorii CONC µ ( x ) şi DIL µ ( x )
Logica fuzzy
19
Deoarece aplicarea acestor operatori realizează un interval prea extins între nivelele unei anumite trepte în comparaŃie cu nivelul de apartenenŃă al scalei – reper (liniară), se propune a se utiliza pentru cei doi operatori lingvistici, alte relaŃii de calcul menite să atenueze operaŃiile de concentrare/dilatare, astfel: -
CONCENTRATOR µ Ac ( x ) = µ Aϕ ( x )
-
(1.26)
DILATATOR 1
µ ( x ) = µ ( x ) D A
(1.27)
ϕ A
unde ϕ reprezintă “numărul de aur”:
1
ϕ = 1 +
(1.28)
1
1+
1
1+ 1+
1 1 + ...
De asemenea, valoarea aproximativă a acestui număr se deduce din relaŃia: ϕ = lim
n →∞
an a n −1
≅ 1,618034
(1.29) în care a n şi an−1 sunt numere Fibonnaci*(incluse în şirul Fibonacci). Un număr Fibonacci a k rezultă din suma a două numere imediat precedente: a k = a k −1 + a k −2 . * Şirul Fibonacci: 0; 1;2;3;5;8;13;21;34;55;89;144;etc
20
Logica fuzzy
1.6.Fuzificarea şi defuzificarea informaŃiei Fluxul prelucrării informaŃiei în conformitate cu logica fuzzy este următorul: MĂRIMI DE INTRARE ⇒ FUZIFICARE ⇒ INFERENłĂDEFUZIFICARE ⇒ MĂRIMI DE IEŞIRE Fiecare verigă a lanŃului de prelucrare poate fi realizată prin diferite tehnici şi procedee cunoscute în literatura de specialitate. Fuzificarea este operaŃia prin care se stabilesc funcŃiile de apartenenŃă pentru fiecare variabilă de intrare (apreciere), după care se continuă cu acceptarea unei anumite tehnici de calcul (în general de nuanŃă statistică). Fuzificarea reprezintă operaŃia de apartenenŃă la fiecare din mărimile de intrare (inclusiv construirea unor tabele sau grafice sintetice spre a fi utilizate în următoarea fază). InferenŃa constă în aplicarea operatorilor logici: ∧ ”ŞI”, ∨ ”SAU”, respectiv min, max (conform teoriei posibilităŃii). Defuzificarea are în vedere obŃinerea din informaŃia fuzzy a unor mărimi scalare asociate variabilelor de ieşire – acestea redate, de asemenea, sub forma unei mulŃimi fuzzy (practic un interval de verosimilitate). Este operaŃia prin care se deduc mărimile de ieşire şi se interpretează rezultatele obŃinute. O altă serie de metode sunt folosite pentru obŃinerea unor valori ferme din valori fuzzy. Acestea poartă numele de metode de defuzzificare. Cele mai folosite metode de defuzzificare sunt : - metoda eşantionului maxim - în care din toate regulile activate se selectează regula cu gradul de realizare maxim, ce va determina prin valoarea funcŃiei de activare de ieşire valoarea fermă; - metoda centrului de greutate – prin calculul centrului de greutate al ariei funcŃiei de apartenenŃă.
1.7. Evaluarea şi aprecierea. Scale liniare şi neliniare MulŃimi brute Conceptul de mulŃime brută (introdus de Pawlak) are ca obiectiv abordarea nediscernământului, neclarităŃii a cărui cauză o constituie un univers imprecis, incert sau incomplet din punct de vedere informaŃional. O mulŃime brută este definită prin două aproximări limită: aproximarea-limită inferioară şi aproximarea-limită superioară.
Logica fuzzy
21
Referindu-ne la o anumită apreciere de forma: (satisfăcător; foarte bine) a unui expert, privind starea operaŃională a unui echipament tehnic la un anumit moment, acest interval constituie o submulŃime brută, aproximările limită fiind: - aproximarea-limită inferioară: satisfăcător - aproximarea-limită superioară: foarte bine, această submulŃime brută fiind inclusă în mulŃimea treptelor scalei propuse pentru studiu. Evaluarea – semnifică asocierea unei valori numerice (negativă, nulă sau pozitivă) unui obiect (concret, abstract) propusă de un expert în domeniul respectiv. Aprecierea – reprezintă expresia unui nivel de adevăr α , α ∈ [0;1] . În logica binară unei aprecieri îi corespunde nivele de adevăr, α ∈ {0;1} , interpretate în sensul, 0-fals 1-adevărat sau în logica trivalentă (ternară) Lukasievicz, 0-fals ½ - nici fals, nici adevărat 1-adevărat Scalele multivalente cu număr de trepte mai mare decât trei fac uz de un număr cuprins între 4÷11. Sunt de preferat scalele de număr impar-acestea oferă unei anumite aprecieri un nivel central α * = 0,5 . Se prezintă trei scale utilizate în cele ce urmează-tabelele 1.1, 1.2, 1.3 . Principalii operatori care se referă la aprecieri, intervale de încredere şi triplete de încredere sunt cei menŃionaŃi:
"∧": min im ∨ " ": max im "−": complement
(1.30)
Aprecierile privind evoluŃia în timp, a unui sistem tehnic, spre exemplu, aparŃin unui grup de experŃi. Exprimarea în formă lingvistică (nenumerică) în concordanŃă cu semantica unei anumite scale (liniară sau neliniară), sunt translatate în valori numerice, conform nivelelor scalei avute în vedere. De remarcat faptul că o apreciere are o valoare subiectivă, spre deosebire de probabilitatea căreia i se atribuie o valoare obiectivă. Aprecierea a poate fi asociată unui unic nivel semantic al scalei, dar căruia i se atribuie o valoare numerică . De asemenea, aprecierea, transpusă numeric, poate fi redată sub formă de interval:
Logica fuzzy
22
[a1 ; a2 ] ∈ [0;1],
a1
≤ a2
(1.31)
sau evidenŃiată ca tripletă de încredere (pentru o mai extinsă libertate suplimentară ),
(a1 ; [a 2 ; a3 ]; a 4 ), a1 ≤ a 2 ≤ a3 ≤ a 4
(1.32)
unde [a 2 ; a3 ] semnifică subintervalul de maximă prezumŃie al tripletului de încredere. Scalele prezentate în tabelele 1.1., 1.2, 1.3 sunt de tip liniar (nivele echidistante). Realitatea confirmă faptul că aprecierile privind o anumită propoziŃie (spre exemplu, opinii ale unui grup de specialişti referitoare la nivelul de fiabilitate al unui echipament tehnic), se pot ierarhiza într-un mod neliniar sau uneori astfel de puncte de vedere include un interval de încredere şi un interval de maximă încredere şi cărora le corespund intervalul de prezumŃie, respectiv intervalul de maximă prezumŃie sub forma:
(a1 ; [a 2 ; a3 ]; a 4 ) ⇒ (α 1 ; [α 2 ;α 3 ]; α 4 )
k 1 2 3 4 5 6 7
(1.33)
Tabelul 1.1. SCALA LINIARĂ HEPTENARĂ Semantică Simbol Nivel Pas Nesatisfăcător Aproape nesatisfăcător PuŃin satisfăcător Satisfăcător Bine Aproape foarte bine Foarte bine
N AN PS S B AFB FB
α α
0 1/6 2/6 3/6 4/6 5/6 1
∆α α
0 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
Logica fuzzy
k
23
Tabelul 1.2. SCALA LINIARĂ NONATENARĂ Semantică Simbol Nivel Pas ∆α α
0 1/8 2/8 3/8 4/8 5/8 6/8 7/8 1
0 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Nesatisfăcător Aproape nesatisfăcător PuŃin satisfăcător Aproape satisfăcător Satisfăcător Aproape bine Bine Aproape foarte bine Foarte bine
k
Tabelul 1.3. SCALA LINIARĂ ENDECADENARĂ Semantică Simbol Nivel
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Nesatisfăcător Aproape nesatisfăcător Destul de nesatisfăcător PuŃin satisfăcător Aproape satisfăcător Satisfăcător Satisfăcător spre bine Aproape bine Bine Aproape foarte bine Foarte bine
N AN PS AS S AB B AFB FB
α α
N AN DN PS AS S SB AB B AFB FB
Pas
α α
∆α α
0 1/10 2/10 3/10 4/10 5/10 6/10 7/10 8/10 9/10 1
0 1/10 1/10 1/10 1/10 1/10 1/10 1/10 1/10 1/10 1/10
Logica fuzzy
24
DistanŃa Hamming Fie mulŃimile A şi B şi µ A ( X K ), µ B ( X K ), k = 1, nt , nt fiind un număr finit, spre exemplu, numărul de trepte al unei scale oarecare (liniară sau neliniară). DistanŃa Hamming între cele două mulŃimi este obŃinută din relaŃia (1.34) : A− B d H
= ∑ µ A ( X k ) − µ B ( X k )
(1.34)
k
FuncŃia în “S” de alură signoidă-logistică Acest gen de funcŃie modelează “suficient de concludent” evoluŃia în timp, spre exemplu, a unei multitudini de procese/fenomene: tehnice, economice, biologice, sociale, deoarece graficul său prezintă un punct de inflexiune şi are tendinŃă asimptotică de creştere (plafonare) – figura 1.10.
Figura 1.10. Graficul funcŃiei în “S”de tip sigmoid-logistic (model Lenz Pearl): M(X*,Y*) - punct de inflexiune; L-plafonul asimptotic Expresia analitică a acestei funcŃii este: y
=
L
1 + a ⋅ e −bt
(1.35)
unde L reprezintă nivelul asimptotic (adimensional), a-mărime adimensională de poziŃie, b-mărime ce determină panta graficului, t -mărime variabilă, spre exemplu, timpul. Mărimile L, a şi b se determină pe baza unui protocol
de date statistice. Se recomandă în acest sens metoda celor mai mici pătrate sau, în funcŃie de condiŃii fenomenologice, restricŃii.
Logica fuzzy
25
Cercetătorul D. de Solla Price atribuie funcŃiei logistice rolul exclusiv de modulare a tuturor fenomenelor de creştere; studii privind prognoza tehnologică, inclusiv în energetică au elaborat Lenz, Pearl, Hartman. În prezenta lucrare vom folosi următoarea formă de funcŃie logistică: α =
1 1 + a ⋅ e −b⋅k
(1.36)
în care, a,b-au semnificaŃiile precizate, α - exprimă nivelul unei aprecieri pe o anumită scală, k – numărul corespunzător unei trepte a scalei, k = 1; nt nt – numărul de trepte
Se consideră, pentru k = 1 α = 0 , 1 , pentru k ∈ (1; nt ) α = α = −b⋅k 1 + a ⋅ e pentru k = nt α = 1,
(1.37)
Graficul funcŃiei (23) este prezentat în figura 1.11.
Figura 1.11. Graficul funcŃiei α = f (k ) k * , d * - coordonatele punctului de inflexiune (M) Scale neliniare pe intervale de maximă încredere de tip signoid - logistic (scala de tip logistic în “s”)
Logica fuzzy
26
Se propun trei scale combinate: [3,4] - heptenară (7 nivele); - nonatenară (9 nivele); - endecadenară (11 nivele). Se preferă alura în “S” a funcŃiei α = f (k ) , deoarece evoluŃia nivelelor de apartenenŃă asociate treptelor scalei în intervalul fuzzy [ fals; adevărat ] sau [nesatisfăcător; foarte bine], trebuie să prezinte conform concepŃiilor filozofice (logicii evoluŃioniste) – o tendinŃă rapidă (pozitivă) de creştere până la un anumit punct de inflexiune, după care această tendinŃă se diminuează (devine negativă) şi tinde asimptotic spre nivelul maxim teoretic ( α = 1 ); deci expresia (1.37) este operaŃională – aşa cum s-a precizat - numai pentru α (k ), k ∈ (1; nt ) . În tabelele 1.4, 1.5 şi 1.6 sunt prezentate detaliat cele trei scale. Nivelele de prezumŃie, corespunzătoare intervalelor de încredere asociate opiniilor grupului de experŃi sunt stabilite astfel: - pentru α ∈ (0;0,5):
(
2
α k ∈ conc (α Lk )
; conc(α Lk ) ; conc(α Lk ) ; α Lk ϕ
ϕ
(1.38)
- pentru α ∈ (0,5;1):
α k ∈ α Lk ; dil (α Lk )
1
ϕ
1 1 ; dil (α Lk ) ϕ ; dil (α Lk ) 2
(1.39)
unde ϕ reprezintă “numărul de aur”. NotaŃiile din următoarele trei tabele au semnificaŃiile: 2
1
conc(α Lk )
= C L P ; dil (α Lk ) 2 = D L P
conc(α
= C ; dil (α
)
L ϕ k
ϕ L
L k
)
1
ϕ
(1.40)
= D
ϕ L
α − nivel
∆α − pas C L P / D L P − graficele concentrat / dilatat de tip parabolic ale scalei C Lϕ / D Lϕ − graficele concentrat / dilatat de tip "ϕ " ale scalei liniare
Logica fuzzy
k
Semantică
27
A. SCALA HEPTENARĂ Simbol
Tabelul 1.4 Scala signoidă-logistică
Nivel α k L
C L P
D L P
C Lϕ
D Lϕ
Nivel
α k
1.
Nesatisfăcător
N
0
0
0
0
0
0
2.
Aproape nesatisfăcător
AN
0,167
0,026
0,408
0,055
0,331
0,026; [0,055;0,055]; 0,167
3.
PuŃin satisfăcător
PS
0,333
0,111
0,577
0,169
0,507
4.
Satisfăcător
S
0,5
0,25
0,707
0,326
0,652
5.
Bine
B
0,667
0,444
0,816
0,519
0,778
6.
Aproape foarte bine
AFB
0,833
0,694
0,913
0,744
0,893
7.
Foarte bine
FB
1
1
1
1
1
Figura 1.12. Scala heptenară:
0,111; [0,169;0,169]; 0,333 0,5 0,667; [0,778;0,778]; 0,816 0,833; [0,893;0,893]; 0,913 1
Pas
∆α k
0 0,026; [0,055;0,055]; 0,167 0,085; [0,114;0,114]; 0,167 0,389; [0,331;0,331]; 0,167 0,167; [0,278;0,278]; 0,316 0,167; [0,115;0,115]; 0,097 0,167; [0,107;0,107]; 0,087
Logica fuzzy
28
k
B. SCALA NONATENARĂ
Semantică
Simbol
Tabelul 1.5 Scala signoidă-logistică
Nivel α k
C L P
D L P
C Lϕ
D Lϕ
Nivel α k
0
0
0
0
0
0,277
1.
Nesatisfăcător
N
L 0
2.
Aproape nesatisfăcător
AN
0,125
0,016
0,353
0,035
3.
PuŃin satisfăcător
PS
0,250
0.063
0,500
0,106
4.
Aproape satisfăcător
AS
0,375
0,141
0,612
0,205
5.
Satisfăcător
S
0,5
0,250
0,707
0,326
6.
Aproape bine
AB
0,625
0,391
0,791
0,467
7.
Bine
B
0,750
0,563
0,866
8.
Aproape foarte bine
AFB
0,875
0,766 0,935
9.
Foarte bine
FB
1
1
1
0,016; [0,035;0,035]; 0,125 0,424 0,063; [0,106;0,106]; 0,250 0,545 0,141; [0,205;0,205]; 0,375 0,652 0,5
0,748 0,625; [0,748;0,748]; 0,791 0,628 0,837 0,750; [0,837;0,837]; 0,866 0,806 0,921 0,875; [0,921;0,921]; 0,935 1 1 1
Figura 1.13. Scala nonatenară α − nivel ; ∆α − pas
Pas
∆α k 0
0,016; [0,035;0,035]; 0,125 0,047; [0,071;0,071]; 0,125 0,078; [0,099;0,099]; 0,125 0,359; [0,295;0,295] 0,125 0,125; [0,248;0,248]; 0,291 0,125; [0,089;0,089]; 0,075 0,125; [0,084;0,084]; 0,069 0,125; [0,079;0,079]; 0,065
Logica fuzzy
29
C. SCALA ENDECADENARĂ k
Semantică
Simbol
Nesatisfăcător
2.
Aproape nesatisfăcător
3.
N
Scala signoidă-logistică
Nivel α k L
1.
Tabelul 1.6
C L P D L P
C Lϕ
D Lϕ
0
0
0
0
0
AN
0,1
0,01
0,316
0,024
0,241
Destul de nesatisfăcător
DN
0,2
0,04
0,447
0,074
0,370
4.
PuŃin satisfăcător
PS
0,3
0,09
0,548
0,142
0,475
5.
Aproape satisfăcător
AS
0,4
0,16
0,632
0,227
0,568
6.
Satisfăcător
S
0,5
0,25
0,707
0,326
0,651
7.
Satisfăcător spre bine
SB
0,6
0,36
0,775
0,437
0,729
8.
Aproape bine
AB
0,7
0,49
0,837
0,562
0,802
9.
Bine
B
0,8
0,64
0,894
0,697
0,871
10.
Aproape foarte bine
AFB
0,9
0,81
0,949
0,843
0,937
11.
Foarte bine
FB
1
1
1
1
1
Nivel
α k
0 0,01; [0,024;0,024]; 0,1 0,04; [0,074;0,074]; 0,2 0,09; [0,142;0,142]; 0,3 0,16; [0,227;0,227]; 0,4 0,5 0,6; [0,729;0,729]; 0,775 0,7; [0,802;0,802]; 0,837 0,8; [0,871;0,871]; 0,894 0,9; [0,937;0,937]; ,949 1
Figura 1.14. Scala endecadenară
Pas
∆α k 0
0,01; [0,024;0,024]; 0,1 0,03; [0,050;0,050]; 0,1 0,05; [0,068;0,068]; 0,1 0,07; [0,085;0,085]; 0,1 0,34; [0,273;0,273]; 0,1 0,1; [0,229;0,229]; 0,275 0,1; [0,073;0,073]; 0,062 0,1; [0,069;0,069]; 0,057 0,1; [0,066;0,066]; 0,055 0,1; [0,063;0,063]; 0,051
30
Logica fuzzy
α − nivel ;
∆α − pas
C L P − graficul concentrat parabolic al scalei liniare; D L P − graficul dilatat parabolic al scalei liniare; C Lϕ − graficul concentrat "ϕ " al scalei liniare; D Lϕ − graficul dilatat "ϕ " al scalei liniare.
Mărimile definitorii ale acestor scale combinate sunt- figura 1.15-: - intervalul de încredere, exprimat astfel, a) –dublet : (a1 ; a 2 ) b) –triplet: (a1 ; [a 2 = a3 ]; a4 ) sau (a1 ; [a2 ; a3 ]; a 4 ) - intervalul de prezumŃie determinat de nivele de prezumŃie.
Figura 1.15. corespunzătoare tripletei de verosimilitate (încredere): (a1 ; [a 2 ; a3 ]; a 4 ) În această figură: I V - intervalul de încredere; MV SI – subintervalul de maximă încredere; I P – intervalul de prezumŃie; SI MP - subintervalul de maximă prezumŃie. SemnificaŃiile notaŃiilor: L, C L P , C Lϕ , D L P , D Lϕ au fost precizate anterior.
Logica fuzzy
31
BIBLIOGRAFIE [Alb06] [AJL07] [ARD07] [Ano07] [And96] [Băr07] [BS+06]
Albrecht K., Social Intelligence – The New Science of Succes , Published by Jossey – Bass, San Francisco, California, 2006 Ahola T., Juuso E., Leiviskä K., Variable Selection and Grouping in a Paper Machine Application , Int. J. of Computers, Communications & Control, Vol. II (2007), No. 2, pp. 111-120 Andonie R., Russo J. E., Dean R., Crossing the Rubicon: A Generic Intelligent Advisor , Int. J. of Computers, Communications & Control, Vol. II (2007), No. 1, pp. 5-16 Anohina A., Advances in Intelligent Tutoring Systems: Problem solving Modes and Model of Hints , Int. J. of Computers, Communications & Control, Vol. II (2007), No. 1, pp. 48-55 Andrews F. E.: The Principle Of Excluded Middle Then And Now: Aristotle and Principia Mathematica , http://www.mun.ca/animus/1996vol1/andrews.htm Bărbat B. E., DOMINO: Trivalent Logic Semantics in Bivalent Syntax Clothes, Int. J. of Computers, Communications & Control, Vol. II (2007), No. 4, pp. 303-313 Benrejeb M., Soudani D., Sakly A., Borne P., New Discrete Tanaka Sugeno Kang Fuzzy Systems Characterization and Stability Domain, Int. J. of Computers, Communications & Control, Vol. I
[Cio06] [Cop95] [CóC] [DEX98] [Dum99] [DuC99] [DF+08]
(2006), No. 4, pp. 9-19 Ciobanu G., A Programming Perspective of the Membrane Systems , Int. J. of Computers, Communications & Control, Vol. I (2006), No. 3, pp. 13-24 Coppieters K.: Knowledge Representation, http://ijgj229.infj.ulst.ac.uk/BillsWeb/PGCert/InfoSys/4.knowrep.ht ml, 1995 Córdova F.M., Cañete L. R., The Challenge of Designing Nervous and Endocrine Systems in Robot , Int. J. of Computers, Communications & Control, Vol. I (2006), No. 2, pp. 33-40 DicŃionarul explicativ al limbii române, Academia Română, Institutul de Lingvistică "Iorgu Iordan", Editura Univers Enciclopedic, 1998 Dumitrescu D.: Principiile inteligenŃei artificiale, Ed. Albastră, Cluj-Napoca, 1999 Dumitrescu D., Costin H.: ReŃele neuronale, Teorie şi aplicaŃii, Ed. Teora, Bucureşti,1996 Dzitac S., Felea I., Dzitac I., Vesselenyi T., An Application of Neuro-Fuzzy Modelling to Prediction of some Incidence in an
32
Logica fuzzy
Electrical Energy Distribution Center ,
Int. J. of Computers Communications & Control, Vol. 3( suppl. issue):287-292, 2008. [DFM08] Dzitac I., Filip F. G., Manolescu M.-J. (eds.), - Proceedings of ICCCC 2008, Int. J. of Computers, Communications & Control (IJCCC), Vol. III,supplementary issue, 2008 [DFM06] Dzitac I., Filip F. G., Manolescu M.-J. (eds.) - Proceedings of ICCCC 2006 , International Journal of Computers, Communications & Control (IJCCC), Vol. I (2006), supplementary issue, 2006 [DMP04] Dzitac I., Maghiar T., Popescu C. (eds.), - Proceedings of International Conference on Computers and Communications (ICCC 2004), 27-29 May, 2004, Baile Felix- Oradea, Ed. Univ. din
[DzA06] [Dzi08] [Dzi08] [DzP06] [DS+01] [Eis02] [GâL07] [Gar83] [Gar06] [GIR06] [GIR06]
Oradea, 2004 Dzitac I., Andrei L., (2006), 65 Years from Birth of Prof. Gheorghe S. Nadiu (1941-1998), International Journal of Computers Communications & Control , 1(3):93-98. Dzitac I., ICCCC 2008 & EWNLC 2008 Celebrates Bardeen's Centenary and Welcomes Professor Zadeh , Int. J. of Computers Communications & Control, 3(suppl. issue):16-25, 2008. Dzitac I., Interaction between Mathematics and Artificial Intelligence: Fuzzy Logic versus Boolean Logic, Conference on Applied and Insdustrial Mathematics, CAIM 2008 (in print) Dzitac I., Pop B., On Triangular Fuzzy Numbers Arithmetic Approximations in Linear Optimization, Bull. Transilv. Univ. Brasov Ser. B , 48(2006), pp. 15-20, 2006 Dzitac I., Seremi L., Dzitac S., Catas A., Oros G. I.,Matematici speciale– Elemente de algebra, Geometrie analitica, Probabilitati, Ed. Univ. din Oradea, 2001 Eisenberg M.: Problem Solving, Issues and Methods , www.cs.colorado.edu/~duck/issmeth02/lectures/IssMeth0129.pdf, 2002 Gâlea D., Leon F., InteligenŃă artificială , http://eureka.cs.tuiasi.ro/~fleon/curs_ia.htm, 2007 Gardner H. (1983). Frames of mind: The theory of multiple intelligences. New York: Basic Books. Gardner H. (2006). Multiple intelligences: New horizons. New York: Basic Books. Grigore C. Moisil (1906 - 1973) and his School in Algebraic Logic, Int. J. of Computers, Communications & Control, Vol. I (2006), No.1, pp. 81-99 Georgescu G., Iorgulescu A., Rudeanu S., Grigore C. Moisil (1906 - 1973) and his School in Algebraic Logic , Int. J. of Computers, Communications & Control, Vol. I, No. 1, pp. 81-99, 2006
Logica fuzzy
[Gol04]
33
Goleman D., InteligenŃa emoŃională, cheia succesului în viaŃă , Ed. Allfa, 2004, Bucuresti [Gol07] Goleman D., InteligenŃa socială. Noua ştiinŃă a relaŃiilor umane, Ed. Curtea Veche, 2007 [Har98] Harris R.: Introduction to Problem Solving , http://www.virtualsalt.com/crebook3.htm, 1998 [HiG01] Hillman C., Gunesch R.: Entropy in the Humanities and Social Sciences, http://www.math.psu.edu/gunesch/Entropy/soc.html, 2001 [Hof96] Hoffman F. (ed.), Mathematical Aspects of Artificial Intelligence , Proc. of Symposia in Applied Mathematics, AMS, Orlando, Florida, 1996 [Łuk20] Łukasiewicz J., On three-valued logic (Polish), Ruch Filozoficzny, 5, 160-171, 1920 [Łuk30] Łukasiewicz J., Tarski A., Untersuchungen über den Aussagenkalkül, C.R. Séances Soc. Sci. Lettres Varsovie, Cl. III, 23, 1930, 30-50. [Łuk41] Łukasiewicz J., Die Logik und das Grundlagenproblem, Les entretiens de Zurich sur les fondements et la méthode des sciences mathématiques, 1941, 88-100. [Łuk66] Łukasiewicz J., Philosophische Bemerkungen zur mehrwertigen Systemen des Aussagenkalküls, C.R.Séances Soc. Sci. Lettres Varsovie, Cl. III, 23, 1930, 51-77. Romanian translation in: Logică şi Filozofie, Ed. Politică, Bucureşti, 295-320, 1966 [Moi35] Moisil Gr. C., Recherches sur l’algèbre de la logique, Ann. Sci. Univ. Jassy, 22, 1935,You're 1-117.Reading a Preview [Moi38] Moisil Gr. C., Sur le mode problématique, C.R. Séances Acad. Sci. full access with a free trial. Roumanie, 2, No. 2, Unlock 1938, 101-103. [Moi40] Moisil Gr. C., Recherches sur les logiques non-chrysippiennes, Ann. Sci. Univ. Jassy,Download 26, 1940, 431-466. With Free Trial [Moi41] Moisil Gr. C., Contributions à l’étude des logiques nonchrysippiennes. I. Un nouveau système d’axiomes pour les algèbres Łukasiewicziennes tétravalentes, C.R. Acad. Sci. Roumanie, 5, 1941, 289-293. [Moi42a] Moisil Gr. C., Contributions à l’étude des logiques nonchrysippiennes. II. Anneaux engendrés par les algèbres Łukasiewicziennes centrées, C.R. Acad. Sci. Roumanie, 6, 1942, 914. [Moi42b] Moisil Gr. C., Logique modale, Disquis. Math. Phys., 2, 1942, 3-98. [Moi56] Moisil Gr. C., Utilization of three-valued logics in the theory of switching circuits. II. The characteristic equation of a relay. III. Actual-contact circuits. IV. Realization of the working functions in
34
[Moi57] [Moi58] [Moi59a]
[Moi59b] [Moi69] [Moi60] [Moi61] [Moi62] [Moi63] [Moi64a] [Moi64b] [Moi65] [Moi67]
Logica fuzzy
actual operation (Romanian). Comun. Acad. R.P. Române, 6, 1956, 231-239, 385-386, 971-973. Moisil Gr. C., Applications of three-valued logics to the study of actual operation of relay-contact circuits (Romanian), Bul. Mat. Soc. St. Fiz. R.P. Române, 1(49), 1957, 147-191. Moisil Gr. C., Utilization of three-valued logics to the theory of switching circuits. V. P-I circuits (Romanian), Comunic. Acad. R.P. Române, 8, 1958, 1127-1128. Moisil Gr. C., Utilization of three-valued logics to the theory of switching circuits. VI. Polarized relays with unstable neutral. VII. Operation of ordinary relays under low self-maintaining current. VIII. –twoterminals with contacts and resistances. IX. -twoterminals with contacts, valves and resistances. X. Physical interpretation of the characteristic function of a multiterminal (Romanian), Comunic. Acad. R.P. Române, 9, 1959, 411-413, 531532, 533-535, 665-666, 667-669. Moisil Gr. C.,, Sur l’application de la logique à trois valeurs à l’étude des circuits électriques à contacts, redresseurs et résistances, Rev. Math. Pures Appl. , 4, 1959, 173-183. Moisil Gr. C., The algebraic Theory of Switching Circuits (Romanian), Ed. Tehnic˘a Bucure¸sti. English translation 1969, Pergamon Press, Oxford, and Editura Tehnic˘a Bucure¸sti. Moisil Gr. C., Sur les idéaux des algèbres Łukasiewicziennes trivalentes, Analele Univ. C.I. Parhon, Seria Acta Logica, 3, 1960, 83-95. Moisil Gr. C., On predicate calculus in three-valued logics (Russian), An. Univ. C.I. Parhon, Acta Logica, 4, 1961, 103-112. Moisil Gr. C., Sur la logique à trois valeurs de Łukasiewicz, An. Univ. C.I. Parhon, Acta Logica, 5, 1962, 103-117. Moisil Gr. C., Les logiques non-chrysippiennes et leurs applications, Acta Philos. Fennica, 16, 1963, 137-152. Moisil Gr. C., The interest of the actual operation of switching circuits for the logician, An. Univ. Bucure¸sti, Acta Logica, 7-8, 1964, 131-139. Moisil Gr. C., Sur les logiques de Łukasiewicz à un nombre fini de valeurs, Rev. Roum. Math. Pures Appl., 9, 1964, 905-920. Moisil Gr. C., Încerc˘ari vechi ¸si noi de logic˘a neclasic˘a (Old and New Essays on Non-Classical Logics), Edit. Stiin¸tific˘a, Bucharest, 1965. Moisil Gr. C., Théorie structurelle des automats finis, GauthiersVillars, Paris, 1967.
Logica fuzzy
[Moi72] [Moi75] [Mar06] [OR+06] [Pău06] [PoD06] [PoD06a] [PoD06b] [PoD07] [RuF06] [RuN02] [Sâm97] [Set01] [Sha48]
[StB08] [Ste12]
35
Moisil Gr. C., Essais sur les logiques non-chrysippiennnes, Ed. Academiei R.S.R., Bucharest, 1972. Moisil Gr. C., Lec¸tii despre logica ra¸tionamentului nuan¸tat (Lectures on the Logic of Fuzzy Reasoning), Ed. ¸ Stiin¸tific˘a ¸si Enciclopedică, Bucharest, 1975. Marcus S., Grigore C. Moisil: A life becoming a myth , International Journal of Computers, Communications & Control, vol. 1 (2006), no. 1, 73–79. Osorio C. R., Romero J.A., Mario Peña C., López-Juárez I., Inteligent Line Follower Mini-Robot System, Int. J. of Computers Communications & Control, Vol. I, No. 2, pp. 73-83, 2006 Păun G., One More Universality Result for P Systems with Objects on Membranes, Int. J. of Computers Communications & Control, Vol. I (2006), No. 1, pp. 25-32 Pop B., Dzitac I., On Choosing Proper Linguistic Description for Fractional Functions in Fuzzy Optimization, Acta Univ. Apulensis, Math. and Informatics, No. 12(2006), pp. 63-72, 2006 Pop B., Dzitac I., Fuzzy Control Rules in Convex Optimization, Studies in Informatics and Control, 16(4):363-366, 2006 Pop B., Dzitac I, On a Fuzzy Approach to Solving Multiple Criteria Fractional Programming Problem , Int. J. of Computers Communications & Control , 1(supll.issue):381-385, 2006 Pop B., Dzitac I., Mixed Variables Fuzzy Programming Algorithm , Studies in Informatics and Control, 17(2):185-190, 2007 Rudas I. J., Fodor J., Information Aggregation in Intelligent Systems Using Generalized Operators, Int. J. of Computers Communications & Control, Vol. I (2006), No. 1, pp. 47-57 Russel S., Norvig P.: Artificial Intelligence: A Modern Approach, Prentice Hall, 2002 Sâmbotin C.: Sisteme expert cu Prolog , Ed. Tehnică, Bucureşti, 1997 Setzer V. W.: Data, Information, Knowledge and Competency, http://www.ime.usp.br/~vwsetzer/data-info.html, 2001 Shannon C. E.: A Mathematical Theory of Communication, Bell System Technical Journal, vol. 27, pp. 379-423 and 623-656, July and October 1948, http://cm.bell-labs.com/cm/ms/ what/shannonday/shannon1948.pdf Stein S.J., Book H.E., EQ - ForŃa inteligentei emoŃionale, Ed. All, 2008 Stern W., The Psychological Methods of Intelligence Testing , 1912
