Logika Matematika Matematika SMK Bisnis dan Manajemen Muhammad Irfan,S.Si
2010/2011
Email:
[email protected]
Logika Matematika
2010/2011
LOGIKA MATEMATIKA
Logika matematika meliputi: logika pernyataan atau proposisi ( propositional propositional logic) suatu yang menelaah manipulasi antar pernyataan dan logika penghubung atau predikat ( predicate predicate logic) yang menelaah manipulasi hubungan relasioanal antara pernyataan pertama dengan pernyataan kedua. Oleh karena itu logika matematika adalah ilmu yang menelaah manipulasi antar pernyataan matematik ( mathematical Statement ). ). Namun sebelum melangkah lebih jauh, kita perlu memahami terlebih dahulu pengertian pernyataan dan pengertian penghubung. Berikut ini diberikan definisi suatu pernyataan : Sebuah pernyataan atau proposisi adalah sebuah kalimat deklaratif yang mempunyai tepat satu nilai kebenaran, yaitu: ” Benar ” (B) saja atau” Salah ” (S) saja, tetapi tidak sekaligus keduanya.
A. Pengertian
Logika matematika adalah pola berpikir berdasarkan penalaran dan dapat di uji kebenarannya secara matematika.
1. Kalimat terbuka
Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum dapat di tentukan nilai kebenarannya. Atau dengan kata lain kalimat yang masih bervariabel. Contoh a. 2x + 5 = 7 2
b. x + 1 = 10 c. Jarak kota A dan kota B 200 km d. Usia A lebih muda dari B, dll.
2. Pernyataan
Jika variabel pada kalimat terbuka diganti maka akan menjadi pernyataan. Dan pernyataan tersebut dapat bernilai salah atau benar. Contoh pernyataan a. 2 x 5 = 10 b. 20 : 2 = 6 c. Toni lebih muda dari Susi Pernyataan a bernilai benar Pernyataan b bernilai salah
2
Logika Matematika
2010/2011
Pernyataan c bisa benar atau salah
Latihan
1. Diantara kalimat-kalimat berikut ini tentukan manakah yang merupakan pernyataan dan manakah yang merupakan kalimat terbuka. Jika pernyataan tentukan nilai kebenarannya. a. x + 5 > 0. b. x2 + 5 ≥ 0. c. Satu windu sama dengan n tahun. d. Bilangan asli merupakan himpunan bagian bilangan bulat. e. 2k + 1 merupakan bilangan ganjil, untuk k bilangan bilangan cacah. f. 2k merupakan bilangan genap, untuk k bilangan bilangan real. g. Itu adalah benda cair. h. Dua kali bilangan asli adalah bilangan genap 2. Diberikan kalimat terbuka berikut : x2 - 1 = 0 , x bilangan real. Tentukan Himpunan x agar kalimat itu menjadi suatu pernyataan.
B. Penghubung / Konektif ( Connective)
Dalam logika matematika dikenal sebanyak 5 operator logika (penghubung), yaitu: Negasi Negation), Konjungsi (Conjunction), Disjungsi ( Disjunction), Implikasi ( Implication) , ( Negation Equivalence). Biimplikasi, atau Ekuivalensi ( Equivalence
1. NEGASI Negasi disebut juga ingkaran atau pengingkaran . Ingkaran dari suatu pernyataan
diperoleh dengan menambahkan” tidak benar ” di awal kalimat, atau dengan cara menyisipkan kata ” tidak ” atau ” bukan” pada pernyataan tersebut. Misalkan p adalah adalah pernyataan Negasi p adalah: Untuk sembarang pernyataan p, negasi dari p dilambangkan dengan dan (B), dan bernilai dibaca “ bukan p” Suatu pernyataan yang bernilai salah (S ) jika p benar B), benar (B ) jika p salah (S)
3
Logika Matematika
2010/2011
Berikut adalah tabel kebenaran pernyataan negasi
p
B
S
S
B
Contoh Pernyataan : p
Negasi (ingkaran) :
Tiga puluh sembilan adalah
Tiga puluh sembilan bukan sembilan bukan
bilangan prima
bilangan prima
(S)
(B)
Semua
binatang
adalah
Tidak
semua
binatang
mahluk hidup
adalah mahluk hidup
(B)
(S)
2. KONJUNGSI
Pada bagian sebelumnya telah dipelajari suatu pernyataan tunggal. Namun selanjutnya akan dipelajari dua atau lebih pernyataan tunggal yang digabung dan disebut denganpernyataan majemuk. Konjungsi merupakan kata penyambung antar beberapa pernyataan yang biasanya berupa kata “dan”. Kata penghubung “ dan” pada perkataan majemuk dilambangkan dengan “
” yang disebut
Konjungsi. Konjungsi didefinisikan
sebagai berikut : Konjungsi Pernyataan majemuk p dan q disebut Konjungsi dari p dan q dinyatakan dengan:
adalah sebuah pernyataan bernilai benar jika pernyataan p dan q keduanya bernilai benar, dan bernilai salah jika salah satu p atau q (keduanya) salah
Tabel Kebenaran Konjungsi p
q
B
B
B
B
S
S
S
B
S
S
S
S
4
Logika Matematika
2010/2011
Contoh Pernyataan : p
SMK
1
Sragen
Pernyataan : q
berada
di
dalam
B
Kabupaten Sragen (B)
wilayah Jawa Tengah (B)
Jumlah sudut dalam suatu segi
Besar sudut segitiga sama sisi
S
o
Sragen
termasuk
ke
o
tiga selalu 180 (B)
adalah 90 (S)
Dua adalah bilangan ganjil (S)
Dua adalah bilangan prima (B)
S
2 + 6 = 7 (S)
6 = 7 – 2 (S)
S
3. DISJUNGSI
Disjungsi merupakan kata penghubung berupa kata “ atau” dalam menghubungkan dua pernyataan menjadi kalimat majemuk. Kata penghubung “atau” pada pernyataan majemuk dilambangkan dengan “ ” yang disebut Disjungsi. Disjungsi didefinisikan sebagai berikut :
Disjungsi : Pernyataan majemuk p dan q disebut Disjungsi dari p dan q dinyatakan dengan: ” p V q ” adalah sebuah pernyataan bernilai benar jika pernyataan p dan q salah satu atau keduanya bernila benar, dan bernilai salah hanya jika keduanya bernilai salah
Tabel Kebenaran Disjungsi p
q
B
B
B
B
S
B
S
B
B
S
S
S
Contoh Pernyataan : p
SMK
1
Sragen
Pernyataan : q
dalam
B
Kabupaten Sragen (B)
wilayah Jawa Tengah (B)
Jumlah sudut dalam suatu segi
Besar sudut segitiga sama sisi
B
o
tiga selalu 180 (B)
berada
di
Sragen
termasuk
o
adalah 90 (S)
5
ke
Logika Matematika
2010/2011
Dua adalah bilangan ganjil (S)
Dua adalah bilangan prima (B)
B
2 + 6 = 7 (S)
6 = 7 – 2 (S)
S
4. IMPLIKASI (Proporsi Bersyarat)
Untuk memahami implikasi, perhatikan uraian berikut ini. Misalkan Boby berjanji pada Togar “Jika saya dapat medali olimpiade sains-matematika nasional tahun ini maka aku akan membelikan kamu sepatu bola”. Janji Boby ini hanya berlaku jika Boby mendapatkan medali olimpiade sains-matematika. Kalimat yang diucapkan Boby pada Togar dalam bahasa logika matematika dapat ditulis sebagai berikut : Jika p : dapat medali olimpiade sains-matematika nasional. Maka q : membelikan sepatu bola Sehingga dapat dinyatakan sebagai “ Jika p maka q ” atau dilambangkan dengan “
” suatu pernyataan majemuk yang disebut dengan Implikasi. Implikasi dari pernyataan p ke pernyataan q dinyatakan dengan , ”
”, ialah sebuah pernyataan yang bernilai
salah jika dan hanya jika p bernilai benar dan q bernilai salah. Pernyataan p disebut
hipotesa (premis) dan pernyataan q disebut kesimpulan ( konklusi konklusi). Selanjutnya Implikasi didefinisikan sebagai berikut : Implikasi: p dan q disebut implikasi (pernyataan bersyarat) adalah sebuah pernyataan Pernyataan majemuk p majemuk yang dilambangkan : ”p q ” bernilai salah hanya jika hipotesa p bernilai benar dan konklusi q bernilai salah. Untuk kasus lainnya bernilai benar.
Tabel Kebenaran Implikasi p
q
B
B
B
B
S
S
S
B
B
S
S
B
Contoh Pernyataan : p
SMK
1
Sragen
Kabupaten Sragen (B)
Pernyataan : q
berada
di
Sragen
termasuk
ke
wilayah Jawa Tengah (B)
6
dalam
B
Logika Matematika Jumlah sudut dalam suatu segi
Besar sudut segitiga sama sisi
o
2010/2011
S
o
tiga selalu 180 (B)
adalah 90 (S)
Dua adalah bilangan ganjil (S)
Dua adalah bilangan prima (B)
B
2 + 6 = 7 (S)
6 = 7 – 2 (S)
B
5. BIIMPLIKASI (EKUIVALENSI)
Pernyataan p dan q apabila dirangkai dengan menggunakan hubungan “ Jika dan hanya jika“ Sehingga menjadi suatu kalimat yang dapat dinyatakan sebagai “p Jika dan hanya jika q ” atau ” atau dilambangkan dengan : “ p
q”
suatu pernyataan majemuk disebut dengan biimplikasi. Pernyataan majemuk biimplikasi menyiratkan suatu gabungan dari: p
q dan q p
Oleh karena itu nilai kebenaran biimplikasi p
jika p dan q q dikatakan bernilai benar jika
mempunyai nilai kebenaran yang sama seperti yang diungkapkan pada definisi berikut ini : Biimplikasi: Pernyataan majemuk p p dan q disebut biimplikasi (pernyataan bersyarat dua arah) adalah sebuah pernyataan majemuk yang dilambangkan : ”p q ” bernilai benar jika jika p dan q mempunyai nilai kebenaran yang sama.
Tabel Kebenaran Biimplikasi p
q
B
B
B
B
S
S
S
B
S
S
S
B
Contoh Nilai
ABCD adalah persegi
kebenaran
ABCD segi empat yang sisinya sama
n adalah bilangan prima
n habis dibagi 7
B S
7
Logika Matematika SMK 1 Sragen terletak di Jawa Tengah
bukan garis lurus Grafik
2010/2011
Sragen adalah Kota yang ada di Yogyakarta
adalah fungsi yang tidak linier
S B
Contoh Nyatakan pernyataan berikut dengan symbol dan tentukan kebenarannya. “ Irfan Bachdim adalah pemain Timnas dan tidak benar bahwa Jakarta adalah ibukota Indonesia atau SMK N 1 Sragen terletak di Kabupaten Sragen” Penyelesaian: Setiap pernyataan kita misalkan dengan symbol: p : Irfan Bachdim adalah pemain Timnas (B) q : Jakarta adalah ibukota Indonesia (B) r : SMK N 1 Sragen terletak di Kabupaten Karanganyar (S)
Secara simbolik, pernyataan tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut:
Kemudian, untuk mencari nilai kebenaran dari pernyataan di atas yaitu: p ∧ q ) ( p
∨
r ⇔ ( B B ∧ B ) ∨ S ⇔
B ∧ S ) ( B
⇔
S∨ S
⇔
S
∨
S
Jadi, pernyataan di atas bernilai salah.
C. TABEL KEBENARAN (Truth Table)
Untuk mengevaluasi apakah sebuah pernyataan majemuk benar atau salah kita perlu table kebenaran dari kalimat penghubung yang ada dalam pernyataan tersebut. Untuk sembarang pernyataan p dan q, rangkuman tabel kebenaran dari semua penghubung adalah sebagai berikut: p
q
B
B
S
S
B
S
B
B
B
S
S
B
S
S
S
S
S
B
B
S
S
S
B
S
S
S
B
B
S
B
B
B
8
Logika Matematika
2010/2011
DEFINISI Misalkan P( x x) merupakan sebuah pernyataan yang mengandung variabel x dan D adalah sebuah himpunan. Kita sebut P sebuah fungsi pernyataan (dalam D) jika untuk setiap x di D, P(x) adalah pernyataan. Kita sebut D daerah asal pembicaraan (domain of discourse) dari P.
Contoh Berikut ini beberapa contoh fungsi pernyataan dan himpunan daerah asal : 1. n 2 + 2n adalah bilangan ganjil, dengan daerah asal himpunan bilangan bulat. 2. x 2 - x - 6 = 0 , dengan daerah asal himpunan bilangan real.
3. Seorang pemain bisbol memukul bola melampaui 300 ft pada tahun 1974, dengan daerah asal himpunan pemain bisbol.
Soal Latihan 1. Tentukan ingkaran atau negasi dari setiap kali mat berikut: a.
Dua ratus tujuh belas adalah bilangan prima.
b. Diagonal ruang pada suatu kubuas ada 4 buah c.
Pulau Madura termasuk wilayah propinsi Jawa Timur.
d. 49 adalah bilangan kuadrat.
2. Diberikan pernyataan sebagai berikut: p : Dua garis sejajar mempunyai titik potong q : Nilai maksimal sinus suatu sudut adalah 1 r : Syamsir Alam bukan pemain Tenis
Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan – pernyataan berikut: a.
b.
c.
d.
3. Periksalah nilai kebenaran dari Implikasi berikut, jika salah berikan contoh kesalahannya. a.
Jika x=2 maka 2 5 2
b.
sin Jika x = 90 maka sin
0
cos cos 0
9
Logika Matematika
2010/2011
D. KUANTOR 1. Kuantor Universal dan Kuantor Eksistensial
DEFINISI Misalkan P(x) adalah fungsi pernyataan dengan daerah asal D. 1. Pernyataan ”untuk setiap x, P(x)” dikatakan sebagai pernyataan kuantor universal dan secara simbulik ditulis sebagai berikut " x; P( x x) " Simbul ”” disebut kuantor ). kuantor universal (universal quantifier ). 2. Pernyataan ”untuk beberapa x, P(x)” dikatakan sebagai pernyataan kuantor eksistensial dan secara simbulik ditulis sebagai berikut " x; P( x x) " kuantor eksistensial (existensial quantifier ). Simbul ” ” disebut kuantor ). Jadi pernyataan yang menggunakan kata “ semua” atau “setiap” disebut pernyataan kuantor universal (umum) , sedangkan pernyataan yang menggunakan kata “Beberapa” atau “ada” kuantor eksistensial (khusus). x) (khusus). Pernyataan untuk setiap x, P( x bernilai benar jika untuk setiap x D, maka P( x) bernilai benar. Pernyataan untuk beberapa x, P( x x) bernilai benar jika terdapat sekurang kurangnya satu x
D sehingga
P( x x) bernilai benar.
Jadi untuk mengevaluasi sebuah pernyataan dalam bentuk simbulik dan memuat penghubung, kita harus menetapkan daerah asal dari setiap variabelnya dan memberikan interpretasi (makna) terhadap fungsi dan penghubung yang ada didalamnya.
2. Negasi dari Pernyataan berkuantor
Seperti yang telah diuraikan sebelumnya bahwa negasi adalah ingkaran dari suatu pernyataan p yang dilambangkan dengan p . Selanjutnya dapat dengan mudah dapat dirumuskan bahwa: - Negasi dari sebuah kuantor universal pastilah kuantor eksistesial. - Negasi dari kuantor eksistensial adalah kuantor universal.
Contoh:
Tentukan negasi dari kalimat yang berkuantor berikut: a.
, 1 0
b.
, 1 0
Jawab:
a.
, 1 0 adalah pernyataan yang benar
10
Logika Matematika
2010/2011
Negasi dari pernyataan tersebut adalah:
, 1 0 , 1 0 bernilai salah , 1 0 adalah pernyataan yang salah
b.
Negasi dari pernyataan tersebut adalah:
, 1 0 , 1 0 bernilai benar 3. Hubungan Invers, Konvers, dan Kontraposisi
Untuk melihat hubungan antara implikasi dengan konvers, invers dan kontraposisi perhatikan pernyataan implikasi berikut ini : i.
Jika Nena seorang mahasiswa maka Nena lulus SMA Dari pernyataan implikasi ini, dapat dibuat pernyataan baru:
ii.
Jika Nena lulus SMA, maka Nena seorang mahasiswa
iii.
Jika Nena bukan seorang mahasiswa, maka Nena tidak lulus SMA
iv.
Jika Nena tidak lulus SMA, maka Nena bukan seorang mahasiswa
Pernyataan – pernyataan i, ii, iii, dan iv dapat ditulis sebagai berikut: i.
: disebut implikasi
ii.
: disebut konvers dari implikasi
iii.
: disebut invers dari implikasi
iv.
: disebut kontraposisi dari implikasi
Berikut adalah table kebenaran dari Konvers, Invers, dan Kontraposisi. Komponen
Implikasi
Konvers
Invers
Kontraposisi
p
q
B
B
S
S
B
B
B
B
B
S
S
B
S
B
B
S
S
B
B
S
B
S
S
B
S
S
B
B
B
B
B
B
Berdasarkan table kebenaran di atas, dapat disimpulkan bahwa: -
Implikasi ekuivalen dengan kontraposisi
-
Konvers ekuivalen dengan Invers
11
Logika Matematika
2010/2011
4. Dua Pernyataan Majemuk yang Ekuivalen
Perhatikan contoh kalimat berikut: p : Markus tidak malas q : Markus giat berlatih
Dari pernyataan di atas, akan dibuat kalimat majemuk sebagai berikut: a: Markus tidak malas maka Markus giat berlatih : b: Markus malas atau Markus giat berlatih :
bernilai B
bernilai B
Dari pernyataan a dan b dapat dibentuk biimplikasinya:
Contoh Dengan menggunakan tabel kebenaran, tunjukkanlah bahwa pernyataan ekuivalen dengan pernyataan
Jawab:
p
q
B
B
S
B
B
B
B
S
S
S
S
B
S
B
B
B
B
B
S
S
B
B
B
B
Dari tabel dapat disimpulkan bahwa
Coba kita perhatikan kolom ke-6 pada table tersebut. Pada kolom tersebut selalu bernilai benar untuk setiap kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan komponen yang ada. Pernyataan majemuk tersebut disebut Tautologi (benar logis). Tautologi yang berbentuk
disebut Ekuivalen Logis ditulis dengan lambang
dibaca (a ekuivalen
b) Sedangkan untuk setiap kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan komponen yang bernilai salah pernyataan majemuk tersebut disebut Kontradiksi. DEFINISI Tautologi: Sebuah pernyataan dikatakan bernilai Tautologi (valid), jika pernyataan tersebut bernilai benar terhadap setiap pemberian nilai kebenaran bagi setiap variabelnya. Kontradiksi: Sebuah pernyataan dikatakan bernilai Kontradiksi , jika pernyataan tersebut bernilai salah terhadap setiap pemberian nilai kebenaran bagi setiap variabelnya.
12
Logika Matematika
2010/2011
Contoh
adalah tautology dan adalah kontradiksi
Tunjukkan bahwa Jawab
B
S
B
S
S
B
B
S
Dari table tersebut dapat kita simpulkan bahwa
adalah
Tautologi dan
adalah Kontradiksi.
Contoh Tunjukkan bahwa pernyataan
adalah tautology
Jawab:
B
B
B
S
S
B
B
S
S
B
B
B
S
B
B
S
B
B
S
S
B
S
B
B
Dapat disimpulkan bahwa pernyataan
adalah tautology
Latihan
1. Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari pernyataan berikut: a. Jika Timnas juara AFF Cup, maka Timnas punya piala. b. Jika Ryan seorang mahasiswa, maka Ryan lulus SMA. c. Jika bilangan ganjil, maka 1 adalah bilangan genap. 2. Tentukan negasi dari setiap pernyataan berkuantor berikut ini: a. Setiap bilangan bulat adalah bilangan real. b. Terdapat bilangan real
sehingga 4 0
c. Ada siswa di kelas ini yang suka bercanda. d. Semua segitiga sama sisi mempunyai sudut
60 .
3. Tunjukkan bahwa pernyataan berikut adalah tautology: a.
b.
c.
13
Logika Matematika
2010/2011
5. Silogisme, Modus Tollens, dan Modus Ponens
Silogisme Modus Ponens dan Modus Tollens adalah metode atau cara yang digunakan dalam menarik kesimpulan. Proses penarikan kesimpulan terbagi atas beberapa hipotesa yang diketahui nilai kebenarannya yang kemudian dengan menggunakan prinsip-prinsip logika diturunkan suatu kesimpulan (konklusi). Penarikan kesimpulan ini disebut dengan argumentasi. Prinsip-prinsip logika yang digunakan untuk menarik suatu kesimpulan adalah sebagai berikut : i.
Argumen dikatakan berlaku atau sah: Jika konjungsi dari hipotesa-hipotesanya berimplikasi dengan kesimpulan
ii.
Misalkan hipotesa yang diketahui adalah a dan b sedangkan kesimpulannya adalah c, Argumen yang berlaku atau sah:
iii.
Argumen dikatakan berlaku atau syah: Jika hipotesa-hipotesanya benar maka kesimpulannya juga benar.
iv.
Argumen disusun dengan cara menuliskan hipotesa - hipotesanya barus demi baris kemudian dibuat garis mendatar dan kesimpulan diletakkan baris paling bawah sebagai berikut : a
hipotesa 1 b
hipotesa 2
kesimpulan Tanda “ “ dibaca “Jadi c” atau “Oleh karena itu…”.
1. Silogisme
Proses penarikan kesimpulan yang menggunakan sifat menghantar dari pernyataan implikasi, yaitu dilakukan dengan cara menyusun baris – baris:
hipotesa 1
hipotesa 2
kesimpulan
Dalam bentuk implikasi, silogisme dapat ditulis menjadi:
Silogisme dikatakan sah jika nilai dari bentuk implikasi tersebut merupakan tautologi
14
Logika Matematika
2010/2011
Berikut ini adalah table kebenarannya.
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
S
B
S
S
S
B
B
S
B
S
B
B
S
B
B
S
S
S
B
S
S
B
S
B
B
B
B
B
B
B
S
B
S
B
S
B
S
B
S
S
B
B
B
B
B
B
S
S
S
B
B
B
B
B
Contoh
Tentukan kesimpulan dari argument berikut: Hipotesa 1 : Jika n bilangan ganjil maka n2 ganjil. 2
2
Hipotesa 2 : Jika n ganjil maka n +1 genap. Jawab:
Hipotesa 1 : Jika n bilangan ganjil maka n2 ganjil. p q 2 2 Hipotesa 2 : Jika n ganjil maka n +1 genap. q r Kesimpulan: . 2
Jadi, kesimpulannya adalah: Jika n bilangan ganjil maka n +1 genap
2. Modus Ponens
Proses penarikan kesimpulan yang menggunakan sifat menghantar dari pernyataan implikasi, yaitu dilakukan dengan cara menyusun baris – baris:
hipotesa 1
hipotesa 2
kesimpulan
Dalam bentuk implikasi, modus ponens dapat ditulis menjadi:
Modus Ponens dikatakan sah jika nilai dari bentuk implikasi tersebut merupakan tautologi
15
Logika Matematika
2010/2011
Berikut ini adalah table kebenarannya.
B
B
B
B
B
B
S
S
S
B
S
B
B
S
B
S
S
B
S
B
Contoh
Tentukan kesimpulan dari argument berikut: Hipotesa 1 : Jika n bilangan ganjil maka n2 ganjil. Hipotesa 2 : n bilangan ganjil. Jawab: 2
Hipotesa 1 : Jika n bilangan ganjil maka n ganjil. p q Hipotesa 2 : n bilangan ganjil. p Kesimpulan: . Jadi, kesimpulannya adalah: n2 ganjil
3. Modus Tollens
Proses penarikan kesimpulan yang menggunakan sifat menghantar dari pernyataan implikasi, yaitu dilakukan dengan cara menyusun baris – baris:
hipotesa 1
hipotesa 2
kesimpulan
Dalam bentuk implikasi, modus tollens dapat ditulis menjadi:
Modus Tollens dikatakan sah jika nilai dari bentuk implikasi tersebut merupakan tautologi
Berikut ini adalah table kebenarannya.
B
B
S
B
S
S
B
B
S
B
S
S
S
B
S
B
S
B
S
B
B
S
S
B
B
B
B
B
16
Logika Matematika
2010/2011
Cara lain untuk menunjukkan sah atau tidaknya sebuah Modus Tollens adalah dengan mengambil kontaposisi dari argument sebagai berikut:
Kontraposisi:
Contoh
Tentukan kesimpulan dari argument berikut: 2
Hipotesa 1 : Jika n bilangan ganjil maka n ganjil. Hipotesa 2 : n2 tidak ganjil. Jawab: 2
Hipotesa 1 : Jika n bilangan ganjil maka n ganjil. p q 2 Hipotesa 2 : n tidak ganjil.
Kesimpulan: . Jadi, kesimpulannya adalah: n bilangan tidak ganjil
Latihan
1. Tentukan kesimpulan dari argument berikut ini: a. Hipotesa 1 : Jika kena hujan aku basah. Hipotesa 2 : Aku basah b. Hipotesa 1 : Jika Yongki mencetak gol maka Yongki akan melakukan selebrasi. Hipotesa 2 : Yongki tidak mencetak gol. c. Hipotesa 1 : Jika Hipotesa 2 : Jika d. Hipotesa 1 : Jika Hipotesa 2 : Jika
0 maka 0 .
0 maka . 0 . √ √ maka √ . . √ √ . √ . . √ √ .maka 0 √ .
e. Hipotesa 1 : Jika 4 Hipotesa 2 :
0 maka 0 .
0
2. Periksalah keabsahan dari setiap argument berikut: a.
hipotesa 1
b.
hipotesa 2
c.
hipotesa 1 hipotesa 2
17
Logika Matematika
kesimpulan
2010/2011
hipotesa 3
kesimpulan c.
hipotesa 1
hipotesa 2
kesimpulan
Referensi:
Bandung Ary S.,dkk.2008. Matematika SMK Bisnis dan Manajemen. Jakarta:Departemen Pendidikan Nasional Drs. Sukirman,M.Pd.2006. Logika Logika dan Himpunan .Yogyakarta:Hanggar Kreator DEPDIKNAS.2003.Panduan Materi Matematika SMK.Jakarta.Departemen Pendidikan Nasional Drs. Markaban,M.Si.2004. Logika Logika Matematika-Diklat Instruktur/Pengembang Instruktur/Pengembang Matematika .Yogyakarta:PPPG Matematika SMA Jenjang Dasar .Yogyakarta:PPPG
18
