Cálculo de líneas y redes eléctricas AULA POLITÈCNICA / ETEIT
!a"#n $% $u&al !osas
Cálculo de líneas y redes eléctricas
E'ICION UPC Pri"era edici#n( se)tie"*re de +,,+
'ise-o de la cu*ierta( $anuel Andreu . !a"#n $% $u&al +,,+ . Edicions UPC +,,+ Edicions de la Uni0ersitat Polit1cnica Polit1cnica de Catalunya L 2ordi 3irona al4ado 6 ,,8 9arcelona Tel%( :8 ,6; irtuals( ???%edicionsu)c%es E@"ail( edicions@u)cu)c%es
ProducciBn(CPET Centre de Pu*licacions del Ca")us NordD La Cu)% 3ran Ca)it s/n ,,8 9arcelona
E'ICION UPC Pri"era edici#n( se)tie"*re de +,,+
'ise-o de la cu*ierta( $anuel Andreu . !a"#n $% $u&al +,,+ . Edicions UPC +,,+ Edicions de la Uni0ersitat Polit1cnica Polit1cnica de Catalunya L 2ordi 3irona al4ado 6 ,,8 9arcelona Tel%( :8 ,6; irtuals( ???%edicionsu)c%es E@"ail( edicions@u)cu)c%es
ProducciBn(CPET Centre de Pu*licacions del Ca")us NordD La Cu)% 3ran Ca)it s/n ,,8 9arcelona
'e)Bsito le4al( 9@,7;@+,,+ I9N( 8@,6@;,;@, Fuedan ri4urosa"ente )roGi*idas sin la autoriHaciBn escrita de los titulares del co)yri4Gt *a&o las sanciones esta*lecidas en las leyes la re)roducciBn total o )arcial de esta o*ra )or cualuier "edio o )rocedi"iento co")rendidos la re)ro4raJKa y el trata"iento inJor"tico y la distri*uciBn de e&e")lares de ella "ediante aluiler o )rMsta"o )*licos%
Pr#lo4o
La idea de crear un li*ro so*re líneas y redes eléctricas sur4i# ante la necesidad de dis)oner en una nica o*ra tanto de los as)ectos te#ricos co"o )rácticos ue ri4en en la actualidad las disci)linas de In4eniería de e4undo Ciclo ue tratan te"as anes ya ue si *ien e=isten e=celentes li*ros te#ricos so*re el te"a escasean o son )ráctica"ente nulos los ue lo Gacen de Jor"a )ráctica% El cálculo co")leto de las redes eléctricas no s#lo e=i4e conte")lar el ré4i"en de Junciona"iento nor"al sino ue resulta i4ual"ente i")ortante considerar el ré4i"en transitorio ue conlle0a eJectos tan noci0os co"o los cortocircuitos so*recar4as o deri0aciones a tierra% Por este "oti0o se re"ite al lector a la o*ra Protecci#n de siste"as eléctricos de )otencia de la "is"a editorial y autor )ara un "e&or y "ás co")leto estudio 4lo*al de los siste"as eléctricos% Esta es una o*ra e"inente"ente )ráctica sin "ás )retensiones ue las de oJrecer en un s#lo li*ro los as)ectos te#ricos y )rácticos "ás i")ortantes ue ri4en tanto la técnica co"o la se4uridad y la econo"ía en el trans)orte actual de la ener4ía eléctrica% La o*ra Ga sido estructurada en dos "#dulos con un total de cuatro ca)ítulos *ien diJerenciados% El )ri"er "#dulo Jor"ado )or los ca)ítulos )ri"ero y se4undo es te#rico y 0ersa so*re el cálculo de los siste"as de trans"isi#n de ener4ía eléctrica en ré4i"en )er"anente es decir Juncionando de Jor"a nor"al% Concreta"ente el )ri"er ca)ítulo Cálculo de líneas eléctricas en ré4i"en )er"anenteD nos intr in trod oduc ucee en lo loss )a )ará" rá"et etro ross el eléc éctr tric icos os "á "áss i" i")or )orta tant ntes esQQ re resi sist sten enci cia a in induc ductan tanci cia a ca ca)a )aci cidad dad y conductancia así co"o los eJectos ue estos )ará"etros )roducenQ eJecto Aislador eJecto Corona o eJecto Pro*le"as )ro)uestos de cálculo de líneas de trans"isi#n de ener4ía eléctricaD se )retende oJrecer una serie de enunciados de )ro*le"as con sus corres)ondientes soluciones ue )er"itan al lector e&ercitarse en su resoluci#n y co")ro*ar así el ni0el de asi"ilaci#n o*tenido a lo lar4o del estudio de la "ateria del )resente li*ro% Concreta"ente en el ca)ítulo III se resuel0en dieH )ro*le"as corres)ondientes al Junciona"iento nor"al de los siste"as eléctricos% Así el cálculo de los )ará"etros eléctricos caídas de tensi#n )érdidas de )otencia eJecto aislador eJecto corona re4ulaci#n de la tensi#n en los siste"as )otencia o el cálculo de la )otencia reacti0a de co")ensaci#n tendrán ca*ida en este ca)ítulo% Por su )arte el ca)ítulo I> nos )resenta cuarenta y cinco enunciados de )ro*le"as con sus res)ecti0as soluciones lo ue )er"ite co")ro*ar y consolidar los conoci"ientos aduiridos%
El autor% T Terrassa% errassa% Enero Enero de +,,+%
ndice
ICálculo de líneas y re4ulaci#n de la tensi#n en siste"as de )otencia 66 6Cálculo de líneas eléctricas en ré4i"en )er"anente 6 6%6 6%+ 6% 6%8 6%5
Introducci#n Introducci #n a los siste"as siste"as eléct eléctricos ricos 6 Pará"etr Par á"etros os eléc eléctricos tricos 6 Introducci Intro ducci#n #n al cálculo cálculo de líneas líneas eléctricas eléctricas + $étodos de cálculo cálculo de líneas líneas eléctri eléctricas cas ; Cuesti Cue stione oness y )ro*le"a )ro*le"ass 5,
+ !e4ulaci#n de la tensi#n en las líneas eléctricas +%6 +%+ +% +%8 +%5 +%; +%7
5
Introducci#n Introducci #n a la re4u re4ulaci#n laci#n de la tensi#n tensi#n en líneas eléctricas eléctricas 5 Cálculoo de las condiciones Cálcul condiciones eléctricas eléctricas en líneas de ener4ía ener4ía eléctrica eléctrica 58 Cálculoo a)ro=i"ado Cálcul a)ro=i"ado de la caída caída de tensi#n en en una línea corta corta ;6
IIPro*le"as IIPr o*le"as resueltos y )ro)uestos de líneas eléctricas 7: Pro*le"as resueltos de cálculo de líneas eléctricas
6
%6Cálculo de un circuito cuádru)les "ediante los "étodos del circuito eui0alente en TD en πD y de las constantes au=iliares 6 %+Cálculo de dos circuitos si")les "ediante los "étodos del circuito eui0alente en TD en πD y de las constantes au=iliares :6 % Cálcu Cálculo lo de las )érdidas )or eJecto eJecto aislador y corona corona en un circuito circuito si")le 6,6 %8 A")liaci#n de una línea Jor"ada )or dos circuitos trí)le= a)licando los "étodos del "o"ento eléctrico )érdida de )otencia y lí"ite tér"ico 6,5 %5 Cálculo de la )otencia de co")ensaci#n en una línea interconectada en en serie Jor"ada )or transJor"adores con dos ni0eles de tensi#n 66; %; Cálculo de la )otencia de co")ensaci#n en una línea interconectada en en serie@)aralelo Jor"ada Jor"ada )or transJor"adores con dos ni0eles de tensi#n 6+; %7 Cálculo de la )otencia de co")ensaci#n en una línea interconectada en en )aralelo Jor"ada Jor"ada )or transJor"adores con dos ni0eles de tensi#n 6 % Cálculo de la )otencia de co")ensaci#n en una línea interconectada en cone=i#n "i=ta Jor"ada )or transJor"adores con dos ni0eles de tensi#n 6 %: Cálculo de la )otencia de co")ensaci#n en una línea interconectada en en )aralelo Jor"ada Jor"ada )or transJor"adores con tres ni0eles de tensi#n 687 %6, Cálculo de la )otencia de co")ensaci#n en una línea interconectada en cone=i#n "i=ta Jor"ada )or transJor"adores con tres ni0eles de tensi#n 65
8Enunciados de )ro*le"as de cálculo de líneas lí neas eléctricas 6;6 8%6 Pr Pro*le"a o*le"ass del 6 al 8% Cálculo de )ará"etro )ará"etross eléctricos eléctricos en líneas eléctricas eléctricas 6;6 8%+ Pr Pro*le"a o*le"ass 5 y ;% Cálculo de "a4nitudes eléctric eléctricas% as% $étodo de las constantes au=iliare au=iliaress 6; 8% Pro*le"as 7 y % Pérdidas Pérdidas de ener4ía ener4ía de*idas al eJecto eJecto Aislador y al eJecto Corona Corona 6;5 8%8Pro*le"as del : al 67% Cálculo de "a4nitudes eléctricas% $étodos en VWV en VTX y Pará"etros distri*uidos% $o"ento EléctricoX 6;7 8%5 Pr Pro*le"a o*le"ass 6 y 6:% A")liaci#n A")liaci#n de líneas eléctri eléctricas cas 677 8%; Pr Pro*le"a o*le"ass del +, al +% Cálculo Cálculo de la )otencia reacti0a reacti0a de co")ensaci# co")ensaci#n n 6, 8%7 Pr Pro*le"a o*le"ass +8 y +5% Cálculo Cálculo de la lon4itud "á=i"a de una línea línea con co")ensaci#n co")ensaci#n de su ener4ía ener4ía
reacti0a 68 8% Pro*le"as del del +; al 8% Co")ensaci#n de ener4ía reacti0a en circuitos con transJor"adores de dos dos y tres de0anados 65 8%: Pro*le"as 88 y 85% Co")ensaci#n de ener4ía reacti0a reacti0a en redes redes eléctricas co")le&as 6:: 6::
Ane=os
+,6
I Constantes de "a4nitudes Jísicas terrestres y cuánticas +,6 II !esisti0idad YD coeJiciente de te")eratura D )unto de Jusi#n ZCD y densidad [D de di0ersos "ateriales y aleaciones +,+ III Coecientes de resisti0idad de los aislantes +, I> $a4nitudes y unidades "a4néticas +,8 > Conductores eléctricos +,5 >I Conductancia autoinducci#n y susce)tancia s usce)tancia +,; >II $étodo de las constantes au=iliares +,7 >III $étodo del circuito eui0alente en RTR y en RSR +,: I\ <#r"ulas )ara el cálculo de líneas eléctricas +66 \ !esu"en de J#r"ulas )ara líneas eléctricas +6 \I <#r"ulas )ara el cálculo de cortocircuitos )or co")onentes si"étricas s i"étricas +68 \II 'E ,6,+ χ ] y γD +6
9i*lio4raa
I Cálculo y re4ulaci#n re4ulaci#n de líneas líneas eléctricas
++6
$^'ULO I% C_LCULO ` !E3ULACI^N 'E LA TENI^N EN LNEA ELCT!ICA P!EENTACI^N Con éste )ri"er "#dulo Jor"ado Jor"ado )or dos ca)ítulos I y II se )retende introducir al lector en el cálculo de los siste"as eléctricos de )otencia en ré4i"en )er"anente es decir en su Junciona"iento nor"al% Así el )ri"er ca)ítulo Cálculo de líneas eléctricas en ré4i"en )er"anenteD "uestra los conce)tos *ásicos reJer re Jerido idoss a los cuat cuatro ro )ar )ará"et á"etro ross elé eléctr ctrico icoss "ás i") i")ort ortante antes( s( re resist sistenc encia ia ind induct uctanc ancia ia ca) ca)aci acidad dad y condu co nduct ctanc ancia ia%% $e $edi diant antee la co co"* "*ina inaci ci#n #n de re resis siste tenc ncia ias s co conde ndens nsad ador ores es y *o *o*i *ina nass o la de su suss eui0alentes inte4radosD es )osi*le crear la "ayor )arte de los circuitos eléctricos y electr#nicos actuales% En este ca)ítulo a)ro0ecGando las )ro)iedades eléctricas de los "ateriales se asi"ilan "a4nitudes co"o la intensidad el 0olta&e o la )otencia y asi"is"o nos )er"ite denir eJectos eléctricos tan i")ortantes co"o el eJecto Aislador el eJecto Corona o el eJecto
CONTENI'O Ca) Ca)ítu ítulo lo I( Cálculo Cálculo de líneas líneas eléctr eléctrica icass en ré4i"e ré4i"en n )er"ane )er"anente nte%% Ca) Ca)ítu ítulo lo II( !e4ul !e4ulaci aci#n #n de la tensi tensi#n #n en los los siste"a siste"ass de )otenc )otencia% ia%
O92ETI>O%
Cálculo de líneas eléctricas en ré4i"en )er"anente !esistencia eléctrica( Conocer las Junciones y los eJectos de la resistencia eléctrica% Inductancia eléctrica( Conocer las Junciones y los eJectos de la inductancia y de los ca")os "a4néticos% Conocer las J#r"ulas a a)licar )ara la o*tenci#n de la inductancia de conductores y líneas eléctricas% Conce)to de radio eui0alente% Circuitos si")les d)le= trí)le= y cuádru)le=% Ca)acidad eléctrica( Aduirir los conoci"ientos *ásicos so*re condensadores y ca")os eléctricos% Conocer las J#r"ulas a a)licar )ara la o*tenci#n de la ca)acidad de conductores y de líneas eléctricas% Conductancia eléctrica( a*er las características "ás i")ortantes ue denen la conductancia% Identicar el eJecto aislador y el eJecto Corona% Consideraciones 4enerales% Pará"etros ue inbuyen en los "is"os% <#r"ulas )ara su cálculo% Introducir al alu"no a los siste"as de cálculo eléctrico de siste"as de )otencia% Conocer las di0ersas "a4nitudes ue inter0ienen en los cálculos eléctricos% !aHonar las diJerentes Jor"as de e=)resar las "a4nitudes eléctricas% a*er re)resentar 4ráca"ente los 0alores de tensiones intensidades )otencias e i")edancias eléctricas% a*er esco4er entre los diJerentes "étodos de cálculo de líneas eléctricas de)endiendo del ti)o de línea o de las características de la "is"a% Entender y a)licar el "étodo del circuito eui0alente en RSR% Entender y a)licar el "étodo del circuito eui0alente en RTR% Entender y a)licar el "étodo de las constantes au=iliares% 'enir conce)tual"ente y analítica"ente las di0ersas J#r"ulas e")leadas% a*er resol0er un )ro*le"a de trans)orte de ener4ía eléctrica en ré4i"en )er"anente% !e4ulaci#n de la tensi#n en los siste"as de )otencia Co")render la necesidad de la re4ulaci#n de la tensi#n en los siste"as eléctricos% a*er calcular las condiciones eléctricas en una línea conocidos sus )ará"etros al )rinci)io de la "is"a% Calcular las condiciones eléctricas de una línea conocidos sus )ará"etros al nal de la "is"a% Cálculo de las condiciones eléctricas de una línea conocidos sus )ará"etros de Jor"a co"*inada% !ealiHar el cálculo a)ro=i"ado de la caída de tensi#n en líneas cortas%
CAPTULO I%C_LCULO 'E LNEA ELCT!ICA EN !3I$ENPE!$ANENTE 6%6 INT!O'UCCI^N A LO ITE$A ELCT!ICO Antes de iniciar los cálculos de cualuier siste"a eléctrico resulta i")rescindi*le conocer una serie de datos so*re el "is"o co"o )or e&e")lo( ué ele"entos lo Jor"an c#"o se co")ortan c#"o interaccionan c#"o se calculan la Jor"a de a4ru)arlos los "étodos nu"éricos a)lica*les su re)resentaci#n 4ráca etc% #lo de esta Jor"a la resoluci#n de )ro*le"as desde los casos si")les Gasta los siste"as co")le&os )odrá ser realiHada de Jor"a rá)ida y se4ura% En )ri"er lu4ar en este ca)ítulo se detallarán los co")onentes eléctricos "ás i")ortantes )resentes en la "ayoría de circuitos indicándose la Jor"a "ás correcta de a4ru)arlos atendiendo a sus )ro)iedades eléctricas% Posterior"ente se realiHará un re)aso de las )rinci)ales "a4nitudes ue inter0ienen en los cálculos de cualuier siste"a eléctrico% Las re)resentaciones 4rácas tanto en Jor"a de esue"as eléctricos co"o "ediante dia4ra"as Jasoriales ta"*ién se analiHarán en )roJundidad% Una 0eH aduiridos los conce)tos )re0ios se e=)ondrán los "étodos nu"éricos ue nos )er"itirán
calcular y analiHar con se4uridad un siste"a de )otencia% Para ue el estudio sea co")leto se Gan di0idido las líneas eléctricas en Junci#n de su lon4itud ya ue co"o se e=)licará la "ayor )arte de los )ará"etros eléctricos de)ende Junda"ental"ente de esta "a4nitud%
6%+ PA!_$ET!O ELCT!ICO Cualuier circuito eléctrico está Jor"ado )or al4unos de los si4uientes ele"entos( resistencia inductancia ca)acidad y conductancia% Con estos co")onentes se Jor"an la totalidad de los siste"as eléctricos actuales desde un si")le circuito Gasta los "ás co")le&os siste"as de )otencia% Es )osi*le realiHar una clasicaci#n de los ele"entos eléctricos de)endiendo de la Jor"a en ue éstos inbuyen dentro de un siste"a eléctrico% Así se crean dos 4ru)os diJerenciados( los )ará"etros eléctricos lon4itudinales Jor"ados )or la resistencia y la inductanciaQ y los )ará"etros eléctricos trans0ersales Jor"ados )or la ca)acidad y la conductancia%
Pará"etros lon4itudinales% ! !EITENCIA OG"ios L IN'UCTANCIA enrios Pará"etros trans0ersales% C CAPACI'A'
E=isten otras "a4nitudes ue "ate"ática"ente sir0en de ne=o de uni#n de los )ará"etros anteriores al4unas de las "ás i")ortantes son( fg!h&\D I$PE'ANCIA OG"ios `g3h&9D A'$ITANCIA ie"ens \L gL? gL+W J !EACTANCIA IN'UCTI>A 9 gC? gC+W J UCEPTANCIA
6%+%6 Pará"etros eléctricos lon4itudinales
Los )ará"etros eléctricos ue inbuyen de Jor"a decisi0a a lo lar4o de la lon4itud de una línea eléctrica son la resistencia y la inductancia% Aunue se a4ru)an Jor"ando la i")edancia una 0eH se Ga )roducido la con0ersi#n de inductancia a reactancia inducti0aD su co")orta"iento eléctrico diere sustancial"enteQ así "ientras ue el eJecto inducti0o )roducido )or las *o*inas )er"ite acu"ular ener4ía eléctrica *a&o la Jor"a de ca")o "a4nético la consecuencia "ás i")ortante de la e=istencia de una resistencia en un circuito eléctrico lo constituye las )érdidas )roducidas )or eJecto 2oule%
6%+%6%6 !esistencia% ! jD La resistencia es la o)osici#n ue cualuier "aterial oJrece al )aso de la corriente eléctrica% Aunue su estudio se re"onta a los )ri"eros descu*ri"ientos eléctricos no se interrelacion# con otras "a4nitudes eléctricas Gasta ue 3eor4e i"on OG" Jor"ul# su ley Junda"ental *ase de toda la electricidad ue li4a*a esta o)osici#n con la tensi#n o diJerencia de )otencial y la intensidad ue circula*a )or un circuito% UU I go *ien ! g !I
k6%6
Conce)tual"ente la resistencia de cualuier ele"ento conductor de)ende de sus di"ensiones Jísicas y de la resisti0idad )udiéndose e=)resarse co"o( L ! gY 'onde(
k6%+
! g !esistencia eléctrica a +,ZC en jD Y g !esisti0idad en j""+/"D L g Lon4itud del ca*le en
"D g ecci#n del ca*le en "" +D Analice"os cada uno de los Jactores de la e=)resi#n anterior% 6%+%6%6%6 Lon4itud La lon4itud de un conductor es directa"ente )ro)orcional a la resistencia del "is"o ya ue la trayectoria ue los electrones de*erán recorrer será )ro)orcional a la lon4itud de la línea% En los siste"as de )otencia con 4randes tensiones e intensidades Gacen Jalta conductores de ta"a-os considera*les )ara ser ca)aces de trans)ortar tales ener4ías% Entre los "ateriales "ás e")leados se Galla el co*re ue co"o cualuier otro "etal )resenta unas características de "alea*ilidad% Pero esta ada)ta*ilidad con conductores de +,"" o ,"" de diá"etro es )ráctica"ente ine=istente co")ortándose los "is"os no co"o conductores be=i*les y ada)ta*les sino "ás *ien co"o autenticas 0arillas rí4idas inutiliHa*les )ara los "enesteres a los ue están enco"endados% Así cuando un conductor e=cede de un deter"inado diá"etro ya no se construye de Jor"a "aciHa sino con la uni#n de "lti)les Gilos Jor"ando un ca*le% Por tanto un ca*le no es "ás ue un conductor co")uesto )or "lti)les Gilos enrollados en GaH )ara "antener su consistencia "ecánica y al "is"o tie")o )er"itir aun con diá"etros considera*les las be=i*ilidades y torsiones adecuadas a su uso% i nos centra"os en ca*les su lon4itud no coincide con la lon4itud de los Gilos ue lo Jor"an ya ue el ca*le co"o con&unto no tendrá en cuenta el eJecto de trenHado al ue sí se Gan 0isto so"etidos cada unos de los Gilos ue lo co")onen% Esta es la raH#n )or la ue e=isten dos lon4itudes( una real la de los GilosD y una te#rica la del ca*leD siendo la lon4itud real "ayor ue la lon4itud te#rica% La lon4itud ue los electrones real"ente de*erán recorrer la lon4itud real y no la te#rica% La si4uiente 4ura "uestra estos )or"enores% A)ro=i"ada"ente un +m L TE^!ICA L!EAL CON'UCTO! !3I'O
Co*re
A "ayor secci#n "enor resistencia ya ue los electrones dis)onen de "ás es)acio )ara circular )or el conductor% A)arte al4o )arecido a la lon4itud ocurre con la secci#nQ así si considera"os la secci#n del ca*le en su con&unto te#ricaD estare"os a-adiendo los es)acios entre Gilos aire )eue-os residuos aceites etc%D ue no están ocu)ados )or co*re% e tendría ue considerar real"ente s#lo la su)ercie real realD es decir la 0erdadera"ente ocu)ada )or el "aterial conductor el co*re% A)ro=i"ada"ente un +m TE^!ICA p !EAL CON'UCTO! !3I'O +rgq CA9LE
La secci#n real es )or tér"ino "edio un 6m o +m "enor ue la te#rica lo ue re)ercute en el 0alor nal de la resistencia% Ta"*ién con este )ará"etro los Ja*ricantes de ca*les consideran )ara el cálculo de los 0alores ue lee"os en ta*las la secci#n real% Es decir las ta*las de resistencias )ara los distintos "ateriales ya tienen )resentes estos desa&ustes entre los 0alores reales y te#ricos dados )ara la lon4itud y la secci#n en los conductores ti)o ca*le% 6%+%6%6% !esisti0idad La resisti0idad es la lti"a "a4nitud a tener )resente en el cálculo de la resistencia de un "aterial% e dene co"o la resistencia es)ecíca es decir la o)osici#n ue oJrece un "aterial al )aso de la corriente eléctrica )or unidad de lon4itud y su)ercie nor"al"ente )ara su cálculo se utiliHan 0arillas del "aterial a calcular con unas di"ensiones es)ecícas de 6" de lon4itud y 6c"+ de secci#nD% La resisti0idad es la )arte "ás i")ortante de la resistencia ya ue es la ue real"ente nos identica si un "aterial es *uen conductor o )or el contrario es un aislante% asta el "o"ento y considerando sola"ente la lon4itud y la secci#n tendría la "is"a resistencia una 0arilla de "adera ue una de co*re su)oniendo i4ualdad en las di"ensiones Jísicas% Era )ues necesario otro )ará"etro ue de)endiera del "aterial la resisti0idad% í la resisti0idad de)endiera sola"ente del ti)o de "aterial no Ga*ría co")licaciones ya ue construida la ta*la corres)ondiente estarían ta*uladas todas las resisti0idades de los "ateriales "ás Jrecuente"ente e")leados% Pero la resisti0idad ta"*ién de)ende de la te")eratura reuiriéndose innu"era*les ta*las una )ara cada inter0alo de la te")eraturaD )ara su co")leta identicaci#n% El )ro*le"a se solucion# en )arte con una nica ta*laQ esta ta*la se corres)onde con una te")eratura estándar de +,ZC estando re)resentados en ella los 0alores de la resisti0idad de la "ayor )arte de "ateriales interesantes desde el )unto de 0ista eléctrico% i la te")eratura no coincide con los +,ZC a)licando la si4uiente J#r"ula se o*tiene el 0alor de la resisti0idad a cualuier otra te")eratura% YgY+,C h Y+,C T @ +,D
k6%
'onde( g CoeJiciente de te")eratura a +,ZC es un 0alor ta*ulado en las ta*lasYo g !esisti0idad a la te")eratura deseadaY+,ZC g !esisti0idad a +,ZC la de las ta*lasDT g Te")eratura a la ue se desea deter"inar la resisti0idad en ZCD `a sa*e"os ue la resisti0idad de un "aterial es Junci#n del ti)o de "aterial y de la te")eratura a la ue se encuentra el "is"o )ero un au"ento de te")eratura si4nica sie")re un au"ento de la resisti0idad La res)uesta es noQ así "ientras ue )ara un "aterial Jor"ado )or un enlace "etálico
conductoresD un au"ento de te")eratura re)resenta un au"ento del coeciente de te")eratura y )or consi4uiente un au"ento de la resisti0idad con "ateriales Jor"ados )or enlaces co0alentes se"iconductoresD los au"entos de te")eratura se traducen en dis"inuciones del coeciente de te")eratura y )or tanto de la resisti0idad%
@ Co*re( !esisti0idad ρ g ,%,67; j""+/" 'ensidad δ g %: 4/d"
!esisti0idad ρ g ,%,5, j""+/" 'ensidad δ g 7% 4/d"
El )ri"er "aterial ue se e")le# co"o sustituto )ara el co*re Jue el alu"inio% Es un "aterial con una resisti0idad "ayor ue la del co*re )ero si4ue siendo *uen conductor es "enos )esado y )resenta un )recio sustancial"ente "ás *a&o% i los co")ara"os tendre"os(
Alu"inio% Co*re%
aD $etálicas( el "aterial utiliHado tiene 4eneral"ente Jor"a de Gilo o cinta ue en este caso reci*en el no"*re de resistencias *o*inadas% El Gilo o las cintas están enrolladas so*re un so)orte de "aterial aislante% El Gilo es 4eneral"ente una aleaci#n ue contiene dos o "ás ele"entos co"o )ueden ser el co*re el Gierro el níuel el cro"o el cinc o el "an4aneso% *D No "etálicas( el "aterial utiliHado es el car*#n o el 4rato los cuales tienen una ele0ada resistencia es)ecíca% Por esta raH#n suelen construirse de "enor ta"a-o ue las resistencias *o*inadas%
6%+%6%+ Inductancia L D
6%+%6%+%6 Introducci#n El conce)to de inductancia Jue estudiado y descu*ierto )or
Ca")o "a4nético
Conductor
hD
@D
Entonces(
k6%5dq
N di
dq L di di gN wgN wwdgq −L wL di di eind k6%; gL w dt eind gNNdtw gdtN ww
k6%;
dt Ndt dt 'es)e&ando LD o*tendre"os otra e=)resi#n de la inductancia( 'es)e&ando LD o*tendre"os otra e=)resi#n de la inductancia(
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e ind
q NwNwI N L gN w g N wz g L g + k6%7 didt II zw I z
La )ri"era e=)resi#n es la J#r"ula e=acta de la inductancia deniéndola co"o la relaci#n ca"*iada de si4no entre la tensi#n inducida )or un ca")o "a4nético en un circuito y la 0elocidad con la ue 0aría la intensidad% Una se4unda e=)resi#n la ecuaci#n de la derecGa esL unadq a)ro=i"aci#n de la )ri"era aunue dqgwdi L gN w k6%5 a")lia"ente ace)tada% En ella se o*ser0a ue la inductancia de)ende del n"ero de es)iras o 0ueltas de N di las ue dis)on4a un conductor di0idido )or el 0alor de la reluctancia ue co"o 0i"os de)ende del ti)o de "aterial e")leado y de sus di"ensiones% Entonces( dqL di di Ca*e recordar ue la inductancia se "ide en enriosD y )ara las a)licaciones eléctricas es "e&or eind gN wgN wwgL w dt Ndt dt
k6%;
e")lear jD% El )aso de una unidad a la otra se realiHa "ulti)licando la inductancia )or la )ulsaci#n en radianes )or se4undoD o*teniéndose la reactancia inducti0a% 'es)e&ando LD o*tendre"os otra e=)resi#n de la inductancia( !eactancia inducti0a jD( \ L gωwL g+πwJ wL k6% En corriente continua 'CD la Jrecuencia es nula ya ue no e=iste 0ariaci#n de la corriente res)ecto el tie")o% Esto i")lica ue la reactancia inducti0a sea ta"*ién nula%
AC {J g5,H { \L g+Ww5,wL g, k6%: En ca"*io en corriente alterna ACD la reactancia inducti0a es diJerente de cero ya ue en este caso sí dis)one"os de Jrecuencia de*ido al ca"*io ue e=)eri"enta la corriente con res)ecto al tie")o%
AC {J g5,H { \L g+Ww5,wL |, k6%6, AnaliHando la e=)resi#n de la i")edancia de un circuito o*tene"os 0alores diJerentes se4n el ti)o de corriente e")leada corriente continua o alternaD%
'C { f AC { f
g!I h &\ NO Dg
!
g!I h &\ I D
f 'C f AC k6%66
En corriente continua no tendre"os reactancia inducti0a \LD )or lo ue la i")edancia será "enor ue en corriente alterna% En los dos casos tendre"os la "is"a resistencia% Esta es una conclusi#n i")ortante ya ue nos indica ue e=istirá una "ayor o)osici#n al )aso de los electrones intensidadD en corriente alterna ue en corriente continua% 6%+%6%+%+ Inductancia de una línea eléctrica La inductancia industrial de una línea se deter"ina en enrios D utiliHando la si4uiente e=)resi#n(
~ L g} †‡
] }+
€ ‚ … ' h+ wln• • ee ƒ„ wl w6,8 wlon4 k k6%6+ wn r „
'onde n g N"ero de ca*les )or Jase' e g 'istancia "edia 4eo"étrica entre Jases ""D! e g !adio eui0alente ""DL g Lon4itud de la línea "D] g Per"ea*ilidad La inductancia en las líneas se acostu"*ra a deter"inar en /ˆ"D de Jor"a ue la e=)resi#n anterior ueda de la si4uiente Jor"a(
k
~ ] € ' ‚ … Lˆ g } h+ wln •• e „w6,8 + wn r
ˆ"
k6%6} e ƒ„
† Pasando de lo4arit"os ne)erianos a lo4arit"os deci"ales o*tene"os(
k
~ € ' ‚ … ] Lˆ g } h8‰; wlo4• Š• ee ƒ „w6,8 r } + wn „ †
k6%68
ˆ"
La )er"ea*ilidad de)ende de las características del "aterial y de las condiciones eléctricas a las ue esté so"etido( Per"ea*ilidad( ]g ], ]r ]g 6 Cu Al aleaciones% Per"ea*ilidad a*soluta( ], g 8 W 6,@7 ]g +,,
Ac er o 4 al 0a ni Ha d o Pe r " ea *il id a d re la ti 0a ( ]r { T a *l
as %% %D
Co"o nor"al"ente se utiliHan conductores de co*re alu"inio o aleaciones de este lti"o y )ráctica"ente todos dis)onen del "is"o coeciente de )er"ea*ilidad )ode"os sustituir este 0alor en la J#r"ula anterior resultando(
Lˆ g
~
6
k k6%65
€' ‚… h8‰; wlo4 • e „w6,8
}+ wn •r ˆ" † e ƒ‡ sta es la J#r"ula en la ue nos *asare"os )ara e=)resar la inductancia de los diJerentes circuitos% Esta inductancia de)ende del radio eui0alente r eD y de la distancia "edia 4eo"étrica entre Jases ' eD% Estas dos "a4nitudes son Junci#n de la 4eo"etría del circuito y )or tanto de la dis)osici#n de los ca*les en la torre "etálica% 6%+%6%+% 'is)osiciones "ás co"unes de los circuitos eléctricos en torres de trans)orte de ener4ía eléctrica >a"os a denir el radio eui0alente y la distancia "edia 4eo"étrica entre Jases en Junci#n de las características de los circuitos de trans)orte de ener4ía eléctrica "ás usuales% ‹ !adio eui0alente( La J#r"ula 4eneral del radio eui0alente se "uestra a continuaci#n(
e
r g!n
r wn re gn !
k6%6; r wn w! n gnr wn w!n6 !
Para cada una de las con4uraciones )osi*les tendre"os( ‹ Para un conductor ng6D(
d8q L di Œ di 8gr!Ng 8 8wr g L gw 8 +Œr dt dt+ dt
Estas con4uraciones re)resentan a los circuitos eléctricos con0encionales% Los "ás i")ortantes Gan sido esue"atiHados en la si4uiente 4ura% Es i")ortante notar ue ésta sería la dis)osici#n de los ca*les en las torres eléctricas% i")le ')le= Trí)le= Cuádru)le=
'! ' 'T
''! '' '' T
'''' ''' ''' ''' ! T
‰
'' ''''' '' ''''' ''! ''! T T !‰ T‰ !‰ ‰ T‰
T !
''''''' ''''''' ''! T !‰ ‰ T‰ ''
''''! '''' T ''''' '''''' ''''' '''''' ''! T !‰ ‰ T‰
6 circuito
+ circuitos
k6%+6
Para a)licar la J#r"ula de la inductancia de una línea L ˆ D es necesario )re0ia"ente conocer la distancia "edia 4eo"étrica entre Jases 'eD el radio eui0alente r eD y el n"ero de ca*les ue e=isten )or Jase nD% ‹ Para 6 circuito( ! T
"
'e g d! wdT wd!T kk6%++ 6circuito d! dT d!T ‹
Para + circuitos( e
d wd k
' g! wd -4 T" k6%+
+circuitos
! T
‰ + d wd wd ! !T !‰ wd!T‰
dg ‰ !
d!!‰ d
+d wd wd ! T !‰ wdT‰
g
T
!‰ d‰
d + d wd wd T! T T!‰ wd T‰d T g TT‰ A)licando las J#r"ulas anteriores )ode"os deter"inar de Jor"a 4enérica la e=)resi#n "ate"ática ue de*ere"os a)licar en un circuito con di0ersos n"eros de conductores )or Jase% !ecorda"os ue el n"ero de circuitos es el n"ero de Jases re)etidas y no el n"ero de conductores ue Gay )or Jase% La si4uiente ta*la resu"e las J#r"ulas a considerar )ara líneas Jor"adas con uno o dos circuitos eléctricos% ‹ Para 6 circuito(
! T 'e ~ 8 Lˆ6 g} ,‰5 h8‰;lo4 w „ w6, ' ' ' r ~ L ˆ8 g },‰+5 h8‰;lo4
~ Lˆ g },‰6;; h8‰;lo4
' e…
8 „w6, ''
+ ∆wr ‡
'' ''
'e … „w6,8 ' '' ∆+ wr ‡„''''''
Lˆ8 g} ,‰6+5 h8‰;lo4
}8 „
∆wr w+
‹ Para + circuitos(
'e
„ w6,8 ''''
'''
''' ''
i")l e ')le =
Trí)le =
k6%+ 8
k6%+ 5 k6%+ ;
Cudru)le= k6%+7
Cuando e=istan dos circuitos los clculos del coeJiciente de inducciBn se realiHar a)licando las "is"as JBr"ulas anteriores las dadas )ara un circuitoD con sBlo ca"*iar la e=)resiBn de la distancia "edia 4eo"Mtrica )or Jases reJerida aGora a dos circuitos y di0idiendo el resultado Jinal )or el n"ero de circuitos e=istentes% ‹ Cálculo de la reactancia total( Una 0eH deter"inada la inductancia de uno o dos circuitosD )or ˆ" de línea L ˆ D
calculare"os la inductancia total con s#lo "ulti)licar esta inductancia )or la lon4itud de la línea en ˆ"%
kgL }~ „ k
k6%+
L Lon4" †" A continuaci#n la reactancia inducti0a \LD de la línea será(
\L L wk k6%+: gŽ j
'onde( ω=+ wπwJ
J g Jrecuencia en H
k6%,
Con estas J#r"ulas es )osi*le deter"inar la inductancia y )or tanto la reactancia inducti0a de la "ayor )arte de las líneas aéreas instaladas% Para un "ayor n"ero de conductores )or Jase caso no de"asiado Ga*itualD las J#r"ulas se deducen de i4ual Jor"a )ero considerando el n"ero de conductores reuerido%
6%+%+ Pará"etros eléctricos trans0ersales
Los )ará"etros eléctricos ue inbuyen trans0ersal"ente en las líneas de trans)orte de ener4ía eléctrica son la ca)acidad y la conductancia% Aunue se a4ru)an Jor"ando la ad"itancia una 0eH )roducida la con0ersi#n de la ca)acidad a susce)tanciaD su co")orta"iento eléctrico diere sustancial"enteQ así "ientras ue el eJecto ca)aciti0o )roducido )or los condensadores )er"ite acu"ular ener4ía eléctrica *a&o la Jor"a de ca")o eléctrico la consecuencia "ás i")ortante de la e=istencia de la conductancia en un circuito eléctrico la constituye las )érdidas )roducidas )or los eJectos Aislador y Corona%
6%+%+%6 Ca)acidad C
vv9dsgxFi
k6%6
Las líneas de bu&o eléctrico tienen su ori4en en las car4as )ositi0as y ter"inan en las ne4ati0as% La densidad de car4a )er)endicular a la su)ercie se desi4na 9D y es i4ual a ED donde D es la )er"iti0idad del "aterial ue rodea a la su)ercie siendo ED es la intensidad de ca")o eléctrico%
C g
k6%+
> 'onde D es la car4a so*re la línea en coulo"*s y >D es la diJerencia de )otencial entre los conductores en 0oltios% La ca)acidad de)ende de las condiciones 4eo"étricas e=istentes su)ercie RR y distancia entre )lacas RdRD y del ti)o de "aterial ue Jor"a los conductores )er"iti0idad R εR) es )or tanto )ara un circuito dado una constante inde)endiente de las condiciones eléctricas o "a4néticas ue )uedan e=istir% C g
k6%
d Una J#r"ula ue )er"ite el )aso de Jaradios
j k6%8
?C +WJ C Esta reactancia ca)aciti0a co"*inada con la resistencia Jor"a la i")edancia del circuito% f g! &\cD gf
k6%5
Ta"*ién con unidades de oG"ios%
circuito )or el n"ero de circuitos n#tese ue en las resistencias e inductancias co"o )ará"etros lon4itudinales ue eran se di0idía )or el n"ero de circuitos )ero la ca)acidad y conductancia son )ará"etros trans0ersales y )or tanto de*en "ulti)licarse )or el n"ero de circuitosD% Una 0eH se o*tiene la ca)acidad )or " total se )asa a Gallar la susce)tancia 9"D% e "ulti)lica la susce)tancia )or " )or el n"ero de " totales o)teniéndose la susce)tancia total%
'e
k6%; lo4 r
Para un circuito d)le=( +8%+6,: C g k6%7
‹
'e lo4 Œr
Para un circuito trí)le=( +8%+6,: C g k6% lo4 'e
‹
+
Œr Para un circuito cuádru)les( +8%+6,: C g k6%:
‹
'e lo4
8
Œr+ En todas estas J#r"ulas 'eD es la distancia "edia 4eo"étrica entre Jases ue es distinta )ara uno o dos circuitos% Para su cálculo se e")learán las si4uientes J#r"ulas% Para un circuito
6 ‹
Para dos circuitos
k6%8, k6%86
'! g d !!‰
d ! d !T d ! ‰d !T ‰
d ! d T d !‰d T ‰ ‘
' g
d ‰ d T! d T d T ‰d T!‰ T !‘
' T g d TT ‰ iendo la ca)acidad )ara dos circuitos la ca)acidad de un circuito "ulti)licada )or el n"ero de circuitos( Cˆ TOTAL g Cˆ 6ZCI!CUITO ‹nZ circuitos% k6%8+ Una 0eH o*tenida la ca)acidad en Jaradios se )asa a sie"ens "ulti)licando esta ca)acidad )or la )ulsaci#n ?D o*teniéndose la usce)tancia 9D( 9 g?C TOTAL
Con ? g+WJ
k6%8
O*teniéndose la susce)tancia total al "ulti)licarse 9D )or la lon4itud de la línea( 9 g9 Lon4itud"D
k6%88
la uni#n de la conductancia la ad"itancia( ` g3 h&9D
sie"ens
k6%85
6%+%+%+ Conductancia 3 D 6%+%+%+%6 Introducci#n La conductancia es el lti"o )ará"etro i")ortante eléctrico dentro de los circuitos con0encionales% La conductancia es la Jacilidad ue un "aterial oJrece al )aso de la corriente eléctrica es decir la in0ersa de la resistencia% Es un )ará"etro trans0ersal al i4ual ue la ca)acidad en contra de la resistencia o la inductancia% u unidad es la in0ersa del oG"io sie"ensD y su uni#n con la susce)tancia Jor"a la
Ad"itancia trans0ersal de un siste"a eléctrico% Una J#r"ula tí)ica de re)resentar la conductancia es la si4uiente( P > 6 6 I P P g> I co"o I g entonces 3 g g g g >g > ! ! > > > +
k6%8;
I í e=)resa"os la J#r"ula anterior en " de recorrido y en 0alores de Jase o*tene"os(
PJase" ’ D6,% 3 g sie"ens / " Jase U Línea
con >Jase g
k6%87
++
> Jase > D
Esta será la J#r"ula a a)licar )ara Gallar la conductancia industrial% La conductancia tiene en cuenta las corrientes de Ju4a tanto de los aisladores ue sostienen a las líneas aéreas co"o las )érdidas ocasionadas )or los electrones al saltar a tra0és del aire% La conductancia de)ende de nu"erosos Jactores entre ellos los cli"áticos y los "edioa"*ientales Jactores diJíciles de )redecir y ue no se "antienen constantes a lo lar4o de toda la línea% Los cálculos de la conductancia suelen )resentar 0alores )eue-os en co")araci#n con los eJectos resisti0os inducti0os o ca)aciti0os 0istos anterior"ente% Es una suerte ue la conductancia re)resente s#lo una )eue-a )artici)aci#n en el total de los eJectos eléctricos de un circuito ya ue resulta del todo i")osi*le su cálculo e=acto des)reciándose en la "ayoría de las ocasiones% La conductancia se di0ide en dos eJectos "ayoritarios( el eJecto Aislador y el eJecto Corona% >ea"os cada uno de ellos )or se)arado(
6%+%+%+%+ EJecto Aislador Los centros de consu"o suelen estar ale&ados de los centros de )roducci#n de ener4ía eléctrica i")oniéndose un trans)orte ue a "enudo re)resenta 4randes distancias% Estas distancias de*en ser cu*iertas sin ue en nin4n "o"ento se )roduHca contacto entre los conductores y otra )arte acti0a cercana a la línea ya ue si esto ocurriera la ener4ía )asaría a tra0és de esta )arte acti0a ue no tiene )or ue ser un conductor "etálico )uede ser incluso un ár*ol una )ared etc%D i")idiendo su lle4ada al centro rece)tor o de consu"o% Para ue esto no ocurra y teniendo )resente ue los )ostes o torres eléctricas actuales son Jrecuente"ente "etálicas es necesario incor)orar a las "is"as aisladores ue las aíslen de los conductores ue trans)ortan la ener4ía eléctrica% El ta"a-o de estos aisladores de)enderá del 0alor de la tensi#n de la línea recordar ue en condiciones nor"ales )or cada 6,%,,,> los electrones son ca)aces de saltar a tra0és del aire una distancia a)ro=i"ada de 6c"DQ así cuanto "ayor sea el )otencial de la línea "ayor será el ta"a-o de sus aisladores% Los aisladores se Ja*rican de "ateriales alta"ente aislantes )ero aun así con condiciones at"osJéricas ad0ersas llu0ia nie0e o GeladasD o "edioa"*ientales a"*ientes conta"inados de Honas industrialesD al4unos electrones son ca)aces de des)laHarse )or la su)ercie del aislante Gasta alcanHar la torre "etálica desde la cual lle4arán a tierra% Incluso al4unos electrones lle4an a )asar a tra0és del aislante y )or tanto i")ortándoles )oco las condiciones "edioa"*ientales%
En la 4ura anterior se a)recia el )aso de los electrones )or la su)ercie y a tra0és del )ro)io aislador% 'e*ido a este eJecto sie")re e=istirán )érdidas )or "ucGo ue se "e&oren los "ateriales constructi0os las Jor"as o las dis)osiciones ue ado)ten los aisladores ya ue no e=iste un "aterial )erJecta"ente conductor así co"o ta")oco e=iste un aislante )erJecto%
%
AILA'O! )latos o discosD CA'ENA
sie"ens / " Jase k6%8
3
g
+
>
>
D
6,%
+
Jase
La conductancia total se o*tendrá "ulti)licando la conductancia )or " y Jase )or el n"ero de Jases y )or la lon4itud total de la línea en "D% 3 TOTAL g3
sie"ens
k6%8:
$ientras ue las )érdidas de )otencia totales si")le"ente serán las )érdidas )roducidas )or un aislador "ulti)licadas )or el n"ero de aisladores totales% P T gPAILA'O! N Z AILA'O!E
k6%5,
6%+%+%+% EJecto Corona Este es uiHás uno de los eJectos "ás lla"ati0os de los Jen#"enos eléctricos% Consiste en ue al4unos electrones aduieren la suciente ener4ía )ara a*andonar el conductor )or donde circulan siendo ca)aces de saltar Gacia el aire circundante ue te#rica"ente no es conductor% Esto )ro0oca ue se Jor"e un GaH lu"inoso en torno a los conductores ue en nocGes oscuras es 0isi*le desde 4randes distancias% El )roceso real es al4o "ás co")licado de e=)licar% Los electrones sie")re se "ue0en a tra0és de "ateriales "etálicos el aire es un "aterial aislante y )or tanto no a)to )ara el )aso de los electrones% Pero *a&o ciertas condiciones co"o )ueden ser un 0alor de tensi#n "ás ele0ado de lo nor"al en una línea de*ido a un Jallo o "al Junciona"iento de la "is"aD unido a unas condiciones "edioa"*ientales ad0ersas a"*iente G"edo o conta"inadoD )ueden lle4ar a )roducir este eJecto% Todo ocurre co"o si el aire se 0ol0iera conductor o co"o "íni"o "enos aislanteD ue unido a unas condiciones anor"ales de Junciona"iento de la línea e=ceso de tensi#nD )er"iten a al4unos electrones de&ar su 0ía nor"al de circulaci#n )ara saltar a tra0és del aire% Pero claro el aire no es un "etal )or tanto estos electrones ue 0ia&an a tra0és de él se 0erán Jrenados desde las 4randes 0elocidades ue )oseen al de&ar el conductor Gasta 0elocidades nulas en cuesti#n de unos )ocos centí"etros recordar ue cada c"% de aire re)resenta a)ro=i"ada"ente una )érdida de 6,,,,>D% Este roHa"iento )ro0ocará un au"ento de la te")eratura en los electrones lle0ándolos al estado incandescente% La uni#n de "illones electrones incandescentes Jor"ará un Galo lu"inoso alrededor del conductor% Este Galo se4uirá la Jor"a del conductor ya ue así lo Garán las líneas de tensi#n a él asociadas 4radiente de tensi#nD )ero co"o nor"al"ente los conductores tienen Jor"a cilíndrica el Galo lu"inoso ta"*ién tendrá esta Jor"a )areciendo ue el conductor lle0e un Galo o Corona lu"inosa% Incluso en in4lés se conser0a el no"*re es)a-ol de eJecto Corona )ara desi4narlo%
Conductor 6, ,,, > )or c" 4radiente de tensiones en el aireD%
La intensidad de este eJecto )uede deter"inarse a tra0és del color del Galo lu"inoso% i el color del Galo es ro&iHo el eJecto no es "uy i")ortante "enor te")eraturaD en ca"*io cuando el Galo )resenta tonalidades *lancas o aHuladas si4nica ue el eJecto se )roduce con "ayor intensidad "ayor
te")eraturaD% Uno de los in4enieros )ioneros en el estudio del eJecto Corona Jue el nortea"ericano Pee ue ya desde )rinci)ios de si4lo dedu&o de Jor"a e=)eri"ental unas J#r"ulas ue )er"itían su cálculo% e denieron tres tensiones )ara su estudio( Tensi#n crítica disru)ti0a( es la tensi#n o resistencia del aire ue los electrones de*en 0encer )ara iniciar su )aso a tra0és de él a*andonando el "aterial conductor% Es la tensi#n "ás i")ortante% Tensi#n crítica 0isual( es la tensi#n o resistencia del aire ue de*en 0encer los electrones )ara ue el eJecto sea 0isi*le y )or tanto ue el a)orte de electrones Gacia el aire sea ya i")ortante% Es "ayor ue la tensi#n crítica disru)ti0a )ero no es de tanta i")ortancia en el cálculo del eJecto ya ue lo ue real"ente interesa es el "o"ento en ue se )roduce y no cuando éste es 0isi*le% Tensi#n "ás ele0ada( es la tensi#n ue )uede aduirir una línea en condiciones nor"ales de Junciona"iento )or la 0aria*ilidad de las car4as a ella conectadas% e o*tiene "ediante ta*las aunue su 0alor suele estar co")rendido entre un 6,m y un +,m su)erior al no"inal siendo "uy Jrecuente ado)tar un 65m su)erior a la tensi#n no"inal% EJecto
'es)ués de estas deniciones esta"os en condiciones de entender el "étodo ue a)lic# Pee% e calcula la tensi#n ue )uede a4uantar el aire tanto en a"*ientes secos co"o G"edos tensi#n crítica disru)ti0aD% e calcula la "á=i"a tensi#n ue )uede alcanHar la línea en condiciones nor"ales tensi#n "ás ele0adaD% e co")aran las dos tensiones( si la tensi#n crítica disru)ti0a la ue a4uanta el aireD es "ayor ue la tensi#n "ás ele0ada tensi#n de los electronesD los electrones no tendrán suciente ener4ía )ara saltar al aire y no se )roducirá eJecto corona% i )or el contrario la tensi#n crítica disru)ti0a es "enor ue la tensi#n "ás ele0ada se )roducirá el eJecto corona y de*ere"os calcular sus )érdidas% $ediante unas J#r"ulas e")íricas se calculará las )érdidas )or eJecto corona% Es necesario )ues Gallar la e=)resi#n de la tensi#n crítica disru)ti0a y asi"is"o la de las )érdidas )or eJecto corona% Pero 0aya"os )or )artes y )roceda"os con la )ri"era( la tensi#n crítica disru)ti0a% e
U g8" " r[lo4 c ct
'onde(
re
'
ˆ> D k6%56
8 g es una constante ue dene el )aso de las tensiones de un 0alor "á=i"o a uno ecaH% Esta constante tiene )ues unidades ue son >/c"D 6 ‹ "c g coeciente del conductor e")leado% !ecordar ue cuanto "ás )lano sea un "aterial "ás diJícil es ue de él )uedan des)renderse electrones% En ca"*io con "ateriales circulares + o con )ertu*erancias éstas actan de tra")olín )ara los electrones de Jor"a ue a i4ualdad de tensi#n saltan del "aterial "ás Jácil"ente% Así( "c g 6 )ara conductores nue0os "c g ,%: a ,%: )ara conductores 0ie&os con )ertu*eranciasD "c g ,% a ,%7 )ara ca*les Jor"ados )or GilosD ‹ "t g coeciente "edioa"*iental% El aire será "ás conductor si está G"edo o conta"inado% Así( "t g 6 cuando el aire es seco "t g ,% cuando el aire está G"edo o conta"inado re g radio del conductor en c"D% Es "uy i")ortante colocar correcta"ente las unidades )ara ue la J#r"ula nal ten4a coGerencia 'e g distancia "edia 4eo"étrica entre Jases% e e=)lic# co"o calcularla en la secci#n de la inductancia o ca)acidad% Las unidades tienen ue ser i4uales ue las del radio del conductor )ara ue el resultado del lo4arít"o sea l#4ico% ‹ “ g densidad relati0a del aire% No tiene unidades y de)ende de las condiciones "edioa"*ientales y de la altura to)o4ráca% [g
+5 h+7DZ Gc"4 D %:+6G +7 h”
k6%5+
7;c"4D +7 h”DZ D
g
Así si en ésta J#r"ula se entra con( la altura de )resi#n relati0a GD en c" de "ercurio y la te")eratura D en ZC la densidad relati0a no tendrá unidades% Nos Jalta Gallar la altura ue alcanHará la colu"na de "ercurio )resi#n relati0a del aire en c" de 4D a cualuier altura to)o4ráca )ara ello se e")leará la si4uiente J#r"ula o*tenida )or alley( y lo4 G glo47; 6;
k6%5
'onde( y g altura to)o4ráca en "etros del tra"o de línea a considerar% Con todas estas J#r"ulas y datos el cálculo de la tensi#n crítica disru)ti0a del aire no oJrece nin4una dicultad% Nos Jalta aGora y "ediante ta*las Gallar la tensi#n "ás ele0ada de la línea% i no se dis)onen de estas ta*las en la "ayoría de los casos es suciente con a)licar la si4uiente ecuaci#n% U"e g6%65U Línea >D
k6%58
Una 0eH calculadas las dos tensiones se )rocede a su co")araci#n( Uc k> gp tensi#n crítica U"e k> gp tensi#n "ás ele0ada i Uc p U"e gp No Gay eJecto coronai U c U"e gp í Gay eJecto corona i no se )roduce el eJecto corona ya no de*e )rose4uirse con los cálculos concluyéndose ue no e=istirán )érdidas )or este conce)to% i se )roduce el eJecto corona se Gan de deter"inar sus )érdidas% Es decir Gasta aGora s#lo se Ga deter"inado si se )roduce o no el eJecto corona )ero en caso ar"ati0o de*en calcularse las )érdidas ue este eJecto re)resenta% Para ello nos *asare"os en otra J#r"ula e=)eri"ental ta"*ién dise-ada )or el in4eniero Pee% ‹ Pérdidas )or eJecto Corona
+86
re ~U"e Uc …+ 5 Potencia%)érdida%)or% Jase%y%)or%" g J h+5D 6,k6%55e †‡ [ ' 'onde todos los tér"inos son conocidos y e=)licados en los a)artados )recedentes% iendo la )otencia total en ’ e=)resada la lon4itud en "D% Potencia total gPotencia%)érdida%)or% Jase%y%)or%" ‹nZ Jases ‹lon4 k6%5; Es interesante ta"*ién calcular las )érdidas de*idas a la conductancia )or " y Jase(
P ’ D 3 g Jase" 6, % k6%57 sie"ens / "
>Jase > D 'onde la )otencia )or Jase corres)onde a la Gallada con la J#r"ula anterior y la tensi#n de Jase corres)onde a la tensi#n de Jase crítica disru)ti0a ta"*ién Gallada anterior"ente se Gallo la tensi#n de línea crítica disru)ti0aD%
La conductancia total en ie"ens e=)resada la lon4itud en "D% 3 TOTAL g 3
sie"ens k6%5
6% INT!O'UCCI^N AL C_LCULO 'E LNEA ELCT!ICA Una o)eraci#n "uy i")ortante dentro del dise-o y o)eraci#n de un siste"a de )otencia lo constituye el "anteni"iento de los ni0eles de tensi#n y )otencia dentro de unos lí"ites es)ecicados% En este ca)ítulo se desarrollarán ecuaciones ue )er"itan calcular estas "a4nitudes en un )unto concreto de una línea de trans"isi#n de ener4ía eléctrica sie")re ue estos 0alores sean conocidos en otro )unto de la )ro)ia línea ue en 4eneral se corres)onde con el ori4en o nal de la "is"a% No sola"ente se darán las ecuaciones ue )er"itan este cálculo sino ue "ediante la e=)licaci#n de sus eJectos se co")renderá de Jor"a clara y )ráctica la inbuencia ue cada )ará"etro e&erce en el dise-o nal de una línea de trans"isi#n de ener4ía eléctrica% En los "odernos siste"as inJor"atiHados constante"ente se reco4en datos so*re 0arias "a4nitudes eléctricas bu&os de )otencia intensidades tensiones Jrecuencia etc%D ue )er"iten en cada "o"ento to"ar decisiones tales co"o( si conectar o desconectar una línea en ser0icioQ so*re el re)arto de car4as a su"inistrar )or las centralesQ o so*re los ca"*ios a eJectuar en los )ará"etros de las líneas% in e"*ar4o
aun con los )ro4resos en el ca")o de la inJor"ática sie")re serán necesarias estas ecuaciones ya ue nos )ro)orcionan una co")rensi#n 4lo*al de lo ue ocurre en el siste"a re)ercutiendo en un "e&or a)ro0ecGa"iento de los recursos y co"*usti*les naturales cada 0eH "ás li"itados% No se estudiará en este ca)ítulo el ré4i"en transitorio cortocircuitos ar"#nicos etc%D tratándose no o*stante en )roJundidad el ré4i"en )er"anente es decir cuando las líneas Juncionan *a&o condiciones nor"ales y no están so"etidas a 0ariaciones *ruscas de ener4ía de*idas a deJectos ue )uedan aJectarlas%
6%%6 Conce)tos )re0ios Pri"era"ente 0a"os a recordar al4unos conce)tos estudiados en ca)ítulos anteriores ue nos Jacilitarán la co")rensi#n de las J#r"ulas y a)artados e=)uestos en el )resente ca)ítulo% La ener4ía eléctrica se )uede 4enerar de dos Jor"as distintas en continua o *ien en alterna% En su Jor"a de continua solo e=iste un 0alor )ara desi4nar una "a4nitud deter"inada este 0alor es ade"ás inaltera*le con el tie")o y será el e")leado )ara realiHar los cálculos los n"eros y o)eraciones serán )ues al4e*raicosD% En su Jor"a alterna )or el contrario necesita"os denir tanto el 0alor de la "a4nitud co"o su Jrecuencia% El 0alor de la "a4nitud )eri#dica asi"is"o )uede e=)resarse de Jor"as diJerentes )ero sie")re co"o 0ector lo ue co")licará los cálculos% Lle4ados a este )unto es i")ortante ele4ir de entre todos estos )osi*les 0alores cuál será el utiliHado )ara realiHar los cálculos Para res)onder a esta )re4unta )ri"era"ente 0a"os a re)resentar una "a4nitud alterna cualuiera AD en Junci#n del tie")o% El )roceso ocurre co"o si un 0ector Juera rotando en un círculo Gasta cu*rir los ;,Z re)resentándose sus )royecciones so*re un )lano% La Jor"a ue irá to"ando la "a4nitud será una senoide )eri#dica la cual tendrá unos "á=i"os )ositi0os o ne4ati0os y unos )untos )aso )or ceroD en los cuales su 0alor será nulo%
A)) g 0alor "á=i"o )ositi0o @ 0alor "á=i"o ne4ati0oD A A g
))
k6%5:
"a=
+ Ai gA"a= senŽt
k6%;,
A "a=
Ag
k6%;6 + Otro as)ecto i")ortante es el desJase ue introducen ele"entos co"o *o*inas o condensadores% e de*e tener )resente ue una reactancia inducti0a *o*inaD re)resenta una resistencia desJasada :,Z "ientras ue una reactancia ca)aciti0a condensadorD re)resenta una resistencia )ero con án4ulo de desJase de :,Z% Así las corrientes )ueden re)resentarse res)ecto a la tensi#n de las si4uientes Jor"as de)endiendo de si el rece)tor o car4a es #G"ico inducti0o o ca)aciti0o( Car4a #G"ica( Ig
U gI ! , Z
k6%;+
La corriente está en Jase con la tensi#n%
6 ‹ Car4a inducti0a( Ig
U
gI:,Z
k6%;
La corriente está atrasada :,Z con res)ecto a la tensi#n%
\L:,Z ‹
Car4a ca)aciti0a( Ig
U gI h:,Z \ :,Z
k6%;8
La corriente está adelantada :,Z con res)ecto a la tensi#n%
c
En cuanto a las tensiones el )roceso se in0ierte( Car4a #G"ica( U! g I! gI‹!,Z gU k6%;5 La caída de tensi#n esta en Jase con la intensidad Car4a inducti0a( U \Lg I\ ‹\ :,Z gU h:,Z k6%;; La caída de tensi#n está adelantada :,Z con res)ecto a la L
L
intensidad
‹ Car4a ca)aciti0a( U \cg I\ gI ‹\ :,Z gU :,Z k6%;7 La caída de tensi#n está retrasada :,Z con res)ecto a cc
la intensidad%
6%%+ 'ia4ra"as >ea"os un resu"en de los conce)tos 0istos en el a)artado anterior e=)resados "ediante dia4ra"as de tensiones e intensidades con los desJases )roducidos con el e")leo de las di0ersas car4as%
Una línea con0encional con una car4a conectada en su e=tre"o nal )uede re)resentarse co"o una resistencia y una inductancia de la Jor"a ue indica la 4ura(
!L \L
>6
$otor de car4a
>+
6%%+%6 Car4a resisti0a
i el rece)tor se co")orta co"o una resistencia )ura la intensidad no suJre nin4n desJase con res)ecto a la tensi#n% Las caídas ue se )roducen en la línea resistencia de línea "ás reactancia inducti0a de líneaD si4uen las nor"as e=)uesta en el a)artado anterior%
u9g\I >6 p >+ I+ > u!gI!
+
6D es "ayor ue la tensi#n del rece)tor > +D si4uiendo el orden nor"al de estos siste"as caída de tensi#n )ositi0aD%
6%%+%+ Car4a inducti0a resisti0a ti)o *o*inas "ás resistenciasD i el rece)tor se co")orta co"o una co"*inaci#n de resistencia y *o*inas caso "ás tí)ico ya ue la "ayoría de "áuinas eléctricas están Jor"adas )or *o*inados y éstos )resentan resistencia e inductanciaD la intensidad total )resentará un án4ulo de desJase res)ecto a la tensi#n ue estará co")rendido entre ,Z y @:,Z ya ue si Juese una resistencia )ura 0aldría ,Z y si se tratara de una *o*ina )ura el desJase ascendería a @:,ZD% El )aso de esta intensidad )or la resistencia e inductancia de la línea re)resentarán unas caídas de tensi#n co"o las "ostradas en el si4uiente dia4ra"a%
N#tese ue en este caso la tensi#n al nal de línea > +D es aun "enor ue en el caso resisti0o anterior res)ecto a la tensi#n ori4en >6D es decir la caída de tensi#n es "ayor "anteniéndose el si4no )ositi0o de la "is"a%
6%%+% Car4a ca)aciti0a resisti0a ti)o condensadores "ás resistenciaD Este es un caso "ucGo "enos Jrecuente ya ue no e=isten "otores Jor"ados )or condensadores% Esta situaci#n suele )resentarse cuando se realiHa una co")ensaci#n de )otencia o *ien cuando la línea está en 0acío )ero en o)eraci#n eJecto 6
u!gI! >6 >+ >+ +D será "ayor ue la tensi#n en el inicio de línea > 6D dándose una caída de tensi#n ne4ati0a eJecto
6%% Ti)os de )ará"etros Los )ará"etros re)resentati0os de cualuier siste"a de )otencia son cuatro( resistencia !D inductancia LD conductancia 3D y ca)acidad CD% Estos )ará"etros )ueden a4ru)arse de Jor"a lon4itudinal resistencias e inductanciasD o *ien de Jor"a trans0ersal conductancias y ca)acidadesD% 6 ‹ Pará"etros lon4itudinales + !L \L gLŽ{fL g! h&\ D I")edancia k6%; Pará"etros trans0ersales 3C 9gCŽ{ `L g3 h&9D Ad"itancia k6%;: Es una suerte ue el )ará"etro conductancia no ten4a un 0alor rele0ante en los resultados nales de los cálculos ya ue es )ráctica"ente i")osi*le deter"inar su 0alor con e=actitud al de)ender éste de "lti)les condicionantes o 0aria*les diJíciles de o*tener% Los otros tres )ará"etros inbuyen de Jor"a distinta de)endiendo de la lon4itud de la línea%
6%8 $TO'O 'E C_LCULO 'E LNEA ELCT!ICA Para realiHar el cálculo de las líneas eléctricas se ace)tan unas si")licaciones ue no aJectan )ráctica"ente a los resultados nales sino ue )or el contrario si")lican considera*le"ente la co")le&idad de los )ro*le"as% La altura de las líneas se "antiene constante en todo su trayecto en realidad los centros de los
0anos estarán "ás cerca del suelo "ientras ue en los a)oyos la altura será "ás considera*leD% Los )ará"etros eléctricos se "antienen constantes en todo el trayecto de las líneas los a)oyos en realidad introducen "odicaciones a esta ar"aci#nD% Las condiciones e=ternas a la línea condiciones "edioa"*ientales )rinci)al"enteD se "antienen re4ulares en toda la lon4itud de la línea% ie")re se considerará ue los siste"as están conectados en estrella si están conectados en trián4ulo se )rocederá a la con0ersi#n trián4ulo@estrellaD y )or tanto las J#r"ulas en estrella a e")lear se4uirán siendo 0álidas% Las intensidades en cone=i#n estrella no ca"*ian( I Línea g I D se re)resentan los 0alores de Jase% A todas las "a4nitudes 0ectores se les asi4nará el sí"*olo U D )or e&e")lo% Considerando estas si")licaciones )uede ar"arse ue si se conocen los 0alores de P U y el án4ulo total en un )unto de la línea es )osi*le Gallar los 0alores de todas las 0aria*les en otro )unto de la "is"a% i lla"a"os +D al )unto nal de la línea y 6D al inicio de la "is"a tendre"os( P+ U+ +
P6 U I6 P6F6 6 6
En el )r#=i"o ca)ítulo se estudiará c#"o resol0er situaciones en las cuales son conocidos )arcial"ente )ará"etros tanto del )rinci)io co"o del nal de la línea dándose ecuaciones ue )er"itan resol0er estas situaciones% 'esde el )unto de 0ista del cálculo de líneas eléctricas es )osi*le realiHar una di0isi#n de las "is"as en Junci#n de su lon4itud%
6%8%6 Líneas de lon4itud corta lon4itud inJerior a ,"D
e considera una línea de lon4itud corta auella cuya lon4itud no e=cede de los ,"% Con esta lon4itud )uede des)reciarse el eJecto )roducido )or la conductancia eJecto corona y eJecto aisladorD asi"is"o el eJecto ca)aciti0o es ta"*ién de )eue-o 0alor no inbuyendo en los resultados% Los 0alores de la resistencia y de la inductancia si son necesarios )ero )ueden to"arse de Jor"a concentrada si")licándose enor"e"ente las o)eraciones% ! \ { f L g! h&\ D >alores concentrados des)reciar la ad"itancia k6%76
El circuito eui0alente de una línea de trans"isi#n corta uedará )ues reducido a una resistencia y una inductancia conectadas en serie y concentradas en el centro de la línea% 'e cada circuito se realiHarán dos estudios uno en ré4i"en de car4a y otro en ré4i"en de 0acío ya ue éstos son los estados "ás si4nicati0os aunue no los nicos%
6%8%6%6 Línea corta de trans"isi#n de ener4ía eléctrica en car4a i se conecta una car4a al e=tre"o de una línea de trans"isi#n de ener4ía eléctrica se cerrará el circuito buyendo una corriente a lo lar4o de la "is"a% Esta corriente se "antendrá constante al no e=istir las )érdidas trans0ersales de*idas a la ca)acidad o a la conductancia% El ti)o de car4a ue se conecte al nal de la línea deter"inará el "#dulo y el án4ulo de la intensidad resultando ésta de ori4en #G"ico inducti0o o ca)aciti0o si la car4a al nal de línea resulta ser #G"ica inducti0a o ca)aciti0a res)ecti0a"ente% ! \L
Las ecuaciones ue denen el ré4i"en de car4a son )ara las tensiones e intensidades( > 6 g> + h fI + I + gI 6
k6%7+ k6%7
6%8%6%+ Línea corta de trans"isi#n de ener4ía eléctrica en 0acío En 0acío el circuito se si")lica ya ue al no e=istir nin4una car4a conectada al nal de la línea el circuito )er"anece a*ierto no circulando corriente a tra0és del "is"o% ! \L
P6 I6I+ P+ 6 +
k6%78
> 6 g> +
k6%75
6%8%+ Línea de lon4itud "edia lon4itudes co")rendidas entre ," y +8,"D Para el cálculo de las líneas de lon4itud "edia ya no es suciente con conte")lar los eJectos ue e&ercen la resistencia y la inductancia de*iéndose incluir el 0alor del eJecto de la ca)acidad de*ido a ue con estas lon4itudes ya e")ieHa a ser si4nicati0o% La conductancia si4ue siendo de 0alor "uy reducido y dada la dicultad )ara su cálculo )uede des)reciarse% E=istirá )or lo tanto i")edancia y ad"itancia en estas líneas de lon4itud "edia aunue se se4uirán considerando a4ru)adas o concentradas% ! \ { f L g! h&\ D >alores concentrados 3g, 9g?C { `L g3 h&9D
k6%7;
>alores concentrados
k6%77
Co"o en el caso de líneas de lon4itud corta siendo conocidas las "a4nitudes de un )unto de la línea nor"al"ente el nal de la líneaD U + P+ y + *uscare"os los 0alores de las inc#4nitas U6 P6 6 en otro )unto de la "is"a nor"al"ente al )rinci)io de la líneaD% Asi"is"o se se4uirán considerando los dos re4í"enes de Junciona"iento el de )lena car4a y el de 0acíoD% E=isten al "enos dos Jor"as de a4ru)ar los )ará"etros eléctricos ue inbuyen en una línea eléctrica de lon4itud "edia no aJectando su elecci#n a la calidad de los resultados nales% $étodo del circuito eui0alente en VTX $étodo del circuito eui0alente en VWX
6%8%+%6 $étodo del circuito eui0alente en VTX Con este "étodo se a4ru)an los )ará"etros trans0ersales conductancia y ca)acidadD en la )arte central de la línea de&ándose los )ará"etros lon4itudinales resistencia e inductanciaD di0ididos en dos 4ru)os i4uales "itad de los totales colocados en los e=tre"os de la línea% Con esta distri*uci#n el con&unto de la línea se ase"e&a a la letra TD de donde deri0a su no"*re% Con la inclusi#n de uno de los )ará"etros trans0ersales la ca)acidad se trunca la idea de intensidad nica ya ue aGora e=istirán tres intensidades( una nal una inicial y una trans0ersal ue es la diJerencia entre las dos anterioresD ue circulará )or la ad"itancia en )aralelo% 6%8%+%6%6 !é4i"en en car4a La a)arici#n de estas intensidades co")lica el estudio del )ro*le"a ue a*ordare"os en )ri"er lu4ar considerando ue e=iste una car4a conectada en el e=tre"o nal de la línea% Co"o en el caso de la línea corta se su)onen conocidos los datos del e=tre"o nal de la línea es decir conocida la car4aD )lanteándose el )ro*le"a con el o*&eti0o de Gallar los 0alores de las "a4nitudes eléctricas en el ori4en de la "is"a% Con estas condiciones el circuito resultante aduiere el si4uiente as)ecto caracteriHado )or su si"ilitud con la letra TD% !ecordar ue aunue en la 4ura a)arece el )ará"etro conductancia 3D su 0alor se considera nulo% !/+ \/+ \/+ !/ >c + >6
Conocido el 0alor de la car4a )otencia y án4uloD y el 0alor de la tensi#n al nal de la línea se )asan a calcular las restantes "a4nitudes en este e=tre"o rece)tor de la "is"a "ediante las s i4uientes e=)resiones( P+ g+cos+ siendo P+ gU +I +
cos+
k6%7
F+ g+sen + siendo F+ gU +I +
sen+
k6%7:
+g
P+
siendo + gU +I –+
gP+ h &F+ D
k6%,cos+
Otra J#r"ula i")ortante es la ue nos deter"ina el án4ulo al nal de la línea( +g0+@I+ k6%6
Con estas J#r"ulas y conocidas las condiciones P+ U+ y + la P intensidad nal de línea será(g + k6%+ 0++
La tensi#n en el centro de la línea estará denida )or(
f Linea >C g> + h I +
k6%
+ Con esta tensi#n ya es )osi*le o*tener la intensidad ue se deri0ará )or el condensador( IC g9>c
k6%8
La intensidad total al )rinci)io de
línea será(I 6 gIc h I +
k6%5
iendo la tensi#n al
)rinci)io de línea( > 6 g>c h
f Línea
+ ` recordando ue( I 6L gI 6
6 gU6 I6
k6%
I6
k6%;
U 6L g> 6
k6%7
Con un án4ulo total al
Conocidas la tensi#n la intensidad y án4ulo inicial
)odre"os Gallar las )otencias iniciales( P6 gU6I6
cos6
Potencia acti0a k6%:
F6 gU6I6
sen 6
Potencia reacti0a k6%:,
–
6 gI 6U 6
gP6 h &F6D
Potencia a)arente
k6%:6
U6 U +
ŒU g6,,
P P+ La )érdida de )otencia 0aldrá( ŒP g 6 6,, P6
Este 0alor no e=cederá del 6,m%U6
Este 0alor no e=cederá del m )or cada 6,,"%
`
el
rendi"iento
del
siste"a P6
0endrá
deJinido
)or(
—g
P+
6,,
k6%:+
6%8%+%6%+ !é4i"en en 0acío En ese caso los cálculos se si")lican ya ue no es necesario conectar la car4a y )or tanto la intensidad de nal de línea es nula% Considerando los "is"os su)uestos anteriores es decir conocidas las )rinci)ales "a4nitudes al nal de la línea P+ U+ y +D *uscare"os las condiciones al )rinci)io de la "is"a%
>6 !/+ \/+ >c \/+ !/+
g
P+
g,
k6%:8
0++
La tensi#n en el centro de la línea estará denida )or( f Linea >C g> + h I + g > + +
k6%:5
Con esta tensi#n ya es
)osi*le o*tener la intensidad ue se deri0ara )or el condensador( IC g9>c g 9> +
k6%:;
La intensidad total al )rinci)io de línea
será( I 6g IC h I + g IC k6%:7 iendo la tensi#n al )rinci)io de línea( > 6 g>c h
f Línea
f I 6 g> + h IC
k6%:++
Con una intensidad de línea( I 6L gI 6 6
k6%::
k6%6,,
Conocidas la tensi#n la intensidad y án4ulo inicial )odre"os Gallar las )otencias iniciales( P6 gU6I6 F6 gU6I6
cos6
Potencia acti0a k6%6,6
sen 6 Potencia reacti0a k6%6,+
–
6 gI 6U 6
gP6 h &F6D
Potencia a)arente k6%6,
U6 U +
La )érdida de )otencia 0aldrá( ŒP g P6
ŒU g6,,
P6 P +
6,,
Este 0alor no e=cederá del 6,m%U6
En este caso la )érdida será del 6,,m%
` el rendi"iento del siste"a será nulo al no e=istir )otencia( P6
—g
P+
6,, g ,
k6%6,8
6%8%+%+ $étodo del circuito eui0alente en S A diJerencia del "étodo anterior este "étodo di0ide a la línea )or sus )ará"etros trans0ersales "anteniendo unidos los )ará"etros lon4itudinales es decir en el tra"o central se situarán la resistencia y la reactancia inducti0a en Jor"a concentrada "ientras ue la conductancia y la susce)tancia ocu)arán las )osiciones e=tre"as estando sus 0alores di0ididos )or la "itad 3/+ y 9/+D tal co"o se re)resenta en la 4ura( 6 >6 ! \>+ I+ I
Con la inclusi#n de los )ará"etros trans0ersales se trunca la idea de intensidad nica ya ue aGora e=istirán cinco intensidades( una nal una inicial una inter"edia ue )asa )or los )ará"etros lon4itudinalesD y dos trans0ersales ue circularán )or las ad"itancias en )aralelo% 6%8%+%+%6 !é4i"en en car4a La a)arici#n de estas intensidades co")lica el estudio del )ro*le"a ue a*ordare"os en )ri"er lu4ar considerando ue e=iste una car4a conectada en el e=tre"o nal de la línea% Con estas condiciones el circuito resultante aduiere el as)ecto "ostrado en la 4ura 6%+6% Co"o en el caso de la línea corta se su)onen conocidos los datos en el e=tre"o nal de la línea es decir conocida la car4aD )lanteándose el )ro*le"a con el o*&eti0o de Gallar los 0alores de las "a4nitudes eléctricas en el ori4en de la "is"a% Co"o en caso del circuito eui0alente en VTX conocido el 0alor de la car4a )otencia y án4uloD y la tensi#n al nal de la línea se )rocede al cálculo de las restantes "a4nitudes eléctricas en este e=tre"o de la línea "ediante las si4uientes e=)resiones( + +
+
k6%6,5
k6%6,;gP+ h &F+ D k6%6,7
Otra J#r"ula i")ortante es la ue nos deter"ina el án4ulo Jinal( + g 0+ @I+ k6%6,
Con estas J#r"ulas y conocidas las condiciones P+ U+ y + la intensidad
al nal de línea 0aldrá(g
0++
P+
k6%6,:
La intensidad ue se deri0a )or la se4unda ad"itancia trans0ersal será( 9 IC + g> +
k6%66,
+
La intensidad ue )asará )or
la resistencia y la reactancia de la línea estará denida )or( I gIC + hI + k6%666
Con el 0alor de esta intensidad es )osi*le Gallar la tensi#n en el
e=tre"o inicial de la línea( > 6 g> + h!L h &\ L DI
k6%66+ Conocido el
0alor de la tensi#n en el ori4en )ode"os Gallar la intensidad ue se deri0a )or la )ri"era ad"itancia trans0ersal( 9 IC 6 g> 6 k6%66 + Conocidas Ic6D e ID )ode"os Gallar la intensidad en el ori4en(I 6g IC 6 hI
k6%668
iendo el 0alor de la intensidad( I 6L gI 6 6
k6%66;
k6%665
El án4ulo
Conocidas la tensi#n la intensidad y án4ulo inicial
)odre"os Gallar las )otencias iniciales( P6 gU6I6 F6 gU6I6
cos6
Potencia acti0a k6%667
sen 6 Potencia reacti0a k6%66
–
6 gI 6U 6
gP6 h &F6D
Potencia a)arente k6%66:U U
ŒU g6
+
6,,
Este 0alor no e=cederá del 6,m%
P P+ La )érdida de )otencia 0aldrá( ŒP g 6 6,, P6
Este 0alor no e=cederá del m )or cada 6,,"%
P ` el rendi"iento del siste"a estará deJinido )or( —g + 6,, P6
k6%6+,
6%8%+%+%+ !é4i"en de 0acío En ese caso los cálculos se si")lican ya ue no es necesario conectar la car4a y )or tanto la intensidad del nal de línea es nula(
Considerando los "is"os su)uestos anteriores es decir conocidas las )rinci)ales "a4nitudes al nal de la línea P + U+ y +D *uscare"os las condiciones iniciales de la "is"a%
i no e=iste car4a todas las
)otencias al nal de línea tendrán 0alor nulo( P+ g F+ g + g ,% restantes e=)resiones uedarán co"o si4ue( línea( será( g
P+
+g0+@I+ g ,
0+ + g,
k6%6+6
Las
_n4ulo al nal de la
La intensidad al nal de línea
k6%6++
La intensidad ue se deri0a )or la se4unda ad"itancia trans0ersal es( 9 IC + g> +
k6%6+
+ La intensidad ue )asará )or la resistencia y la reactancia de la línea será(
I gIC + hI + g IC +
k6%6+8
`a ue la intensidad al nal de línea es cero% Con el 0alor de esta intensidad central es )osi*le Gallar la tensi#n en el e=tre"o inicial de la línea ésta 0endrá dada )or( > 6 g> + h!L h &\ L DI
k6%6+5
Conocido el 0alor de la tensi#n en el ori4en )ode"os Gallar la intensidad ue se deri0a )or la )ri"era ad"itancia trans0ersal( 9 IC6 g> 6 k6%6+; + Conocidas Ic6D e ID )ode"os Gallar la intensidad en el ori4en( I 6gIC6 hI k6%6+7
iendo el 0alor de la intensidad( I 6L gI 6 6
6 gU6 I6
k6%6+
k6%6+:
Conocidas la tensi#n la intensidad y án4ulo inicial )odre"os Gallar las )otencias iniciales( P6 gU6I6 F6 gU6I6
cos6
Potencia acti0a k6%6,
sen 6 Potencia reacti0a k6%66
–
6 gI 6U 6
gP6 h &F6D
UU
La )érdida de )otencia 0aldrá( ŒP g P6
`
el
rendi"iento
del
siste"a
Potencia a)arente k6%6+
ŒU g6
P6 P +
estará P6
+
6,,
6,,
deJinido
Este 0alor no e=cederá del 6,m%
En este caso la )érdida será del 6,,m%
)or(
—g
P+
6,,
k6%6
6%8% Líneas de lon4itud lar4a lon4itudes su)eriores a +8,"D Para el cálculo de líneas eléctricas de 4ran lon4itud no es suciente con conte")lar los eJectos ue e&ercen la resistencia la inductancia la ca)acidad y la conductancia en su Jor"a concentrada% La línea es de"asiado lar4a )ara reunir los eJectos de estos )ará"etros en un solo )unto siendo necesario )ara el cálculo de las "a4nitudes eléctricas distri*uir los )ará"etros trans0ersales y lon4itudinales de Jor"a continua lo ue conlle0a la utiliHaci#n de Jor"ulas "ás co")le&as y la*oriosas% 'e Jor"a resu"ida tendre"os( ! \ { f g! h&FD >alores distri*uidos 3g, 9g?C { ` g3 h&9D
k6%68
>alores distri*uidos
k6%65
Co"o sie")re )arti"os de la idea de ue siendo conocidas las "a4nitudes de un )unto de la línea nor"al"ente el nal de la líneaD U + P+ y + )retende"os Gallar los 0alores de las inc#4nitas U6 P6 6 en otro )unto de la "is"a nor"al"ente el )rinci)io de la líneaD considerando co"o en el a)artado anterior dos re4í"enes de Junciona"iento el de )lena car4a y el de 0acíoD% Para realiHar el cálculo de las citadas "a4nitudes eléctricas es necesario a)licar las J#r"ulas si4uientes( > 6 g> +A h I +9 k6%6;I 6 g > +C h I +' i el siste"a esta en 0acío se si")lican las J#r"ulas anteriores uedando co"o si4ue( > 6 g> +A I 6 g > +C
k6%67
`a ue I + g ,% Los 0alores de las tensiones son de Jase si")lesD )or lo ue tra*a&ando con un siste"a en estrella de*ere"os "odicar la tensi#n y recordar ue la intensidad no 0ariará( I Línea gI ea"os las J#r"ulas a a)licar en cada caso así co"o su )osterior co")ro*aci#n%
6%8%%6 $étodo de las Junciones Gi)er*#licas y circulares Este "étodo es uiHás el "ás rá)idoQ consiste en la a)licaci#n directa de Junciones Gi)er*#licas y circulares considerándose las constantes AD y'D i4uales sie")re ue la línea Juncione en ré4i"en )er"anente y la car4a sea euili*rada% Co"o nor"al"ente éstas serán las condiciones de Junciona"iento esta i4ualdad )odrá considerarse sie")re ue no se indiue lo contrario% A g' ga‰h&a‰‰D gcosG ”c gcosG ” ‰ c cos ”‰ c ‰D h&senG ”‰ c sen ”‰ c ‰ D
k6%6:
9 g*‰h &*‰‰D g f C senG ”c g f C senG ”‰ c cos ”‰ c ‰D h&cosG ”‰ c sen ”‰ c ‰DD
k6%68,
66 C gc‰h&c‰‰D g
k6%686
fc
senG ”c g
fc
senG ”‰ c cos ”‰ c ‰D h&cosG ”‰ c sen ”‰ c ‰ DD
'eniéndose unos nue0os )ará"etros ue res)onden a las si4uientes características( ‹ I")edancia característica f LNEA f L˜NEA g!L˜NEA h &\ L˜NEA Dfc g k5%8 con(
k6%68+` LNEA ` L˜NEA g3L˜NEA h &9L˜NEA D
La i")edancia característica res)onde a una serie de es)ecicaciones( Es la i")edancia natural ue )resentaría una línea en la ue la relaci#n >/ID se "antu0iera constante a lo lar4o de toda su lon4itud% La i")edancia característica es inde)endiente de su lon4itud% La i")edancia característica se da en líneas "uy lar4as en las ue el eJecto de la onda rebe&ada )uede considerarse des)recia*le y s#lo se tendrá en cuenta los eJectos ue introduce la onda directa% La i")edancia característica es en realidad una resistencia y co"o tal se "ide en jD% ‹ _n4ulo característico ”c g
f L˜NEA g!L˜NEA h &\ L˜NEA D f L˜NEA ` L˜NEA
k5%;
con(
k6%68` L˜NEA g3L˜NEA h &9L˜NEA D
El án4ulo característico res)onde a una serie de es)ecicaciones( ‹ i cerrára"os una línea en su nal con una car4a ue Juera la i")edancia característica una resistenciaD la tensi#n y la intensidad decrecerían o au"entarían si4uiendo una Junci#n e=)onencial con e=)onente Jor"ado )or el án4ulo característico% I + g I 6e”cI 6 g I + eh”c> + g > 6e”c> 6 g > + eh”c k6%688
‹ Es un án4ulo co")le&o siendo sus unidades radianes/se4undo% j radianes
‰‰‰
”c g”c h&”c D g f L˜NEA ` L˜NEA gjie"ensD gD g k6%685 j se4undo ‹ Es decir es un án4ulo en el cual la relaci#n >/ID se "antiene constante en cualuier )unto de la lon4itud de la línea eléctrica% Es i")ortante recordar ue con cosGD y senGD cosenos y senos Gi)er*#licosD es necesario o)erar con 0alores de radianes/se4undoD )or tanto los Gallados con la J#r"ula anterior% En ca"*io )ara los senos y cosenos nor"ales sus unidades de*erán ser 4rados resultando necesaria su con0ersi#n "ediante la J#r"ula(
;,Z ‰ ;,Z ‰‰
”c3!A'O g”c h&”c D g
f L˜NEA ` L˜NEA g4rados k6%68; +W +W
‹ Potencia característica +
Pc g
U L˜NEA
iendo el 0alor de la tensi#n s#lo en "#dulo( U L˜NEA g>
k6%687
fc La )otencia característica 0iene denida )or las si4uientes características( Es la )otencia ue tendría una línea si ésta se cerrara en su e=tre"o con una car4a resisti0a es decir con la i")edancia característicaD% 6 ‹ Es la )otencia ue "antiene el cos g constante es decir( + cos6 gcos+ g cos k6%68 Es la )otencia #)ti"a )ara cada siste"a% Para su cálculo se utiliHarán los 0alores de los "#dulos de la tensi#n y la i")edancia de la línea no sus ar4u"entos%
6%8%%+ $étodo del desarrollo en series de Junciones Gi)er*#licas y circulares Este "étodo uiHás "ás lento ue el anterior )er"ite o*tener las constantes de una línea sin tener ue utiliHar las Junciones Gi)er*#licas y circulares es decir es "ás lento )ero de "ás Jácil a)licaci#n% Consiste en el desarrollo en series de Junciones Gi)er*#licas y circulares del án4ulo característico Gallado anterior"ente% Asi"is"o si4ue siendo 0alida la condici#n ue las constantes AD y 'D son i4uales sie")re ue la línea Juncione en ré4i"en )er"anente y sea euili*rada% Las J#r"ulas a a)licar son( fL `L fL `L D+ fL `L D fL `L D8 Ag ' ga‰h&a‰‰D g}6 hhhhh%%%%%%„ }+8 ; „‡
k6%68:
fL `L fL `L D+ fL `L D fL `L D8 9g *‰h &*‰‰D g f L }6 hhhhh%%%%%%„ }5 7 : „‡
fL `L fL `L D+ fL `L D fL `L D8
k6%65,
Cg c‰h &c‰‰D g ` L }6 hhhhh%%%%%%„
k6%656
}5 7 : „
iendo fL y `L la i")edancia y ad"itancia de la línea res)ecti0a"ente% Pero cuántos tér"inos es necesario to"ar de las e=)resiones anteriores Aunue no e=iste una re4la concreta se acostu"*ra a se4uir la si4uiente reco"endaci#n%
Un solo tér"ino si la línea es "enor de ," 'os tér"inos si la línea esta co")rendida entre los ," y los 6;," Tres tér"inos si la línea dis)one de una lon4itud entre los 6;," y los +8," ` así sucesi0a"ente
6%8%% Co")ro*aci#n de resultados Es )osi*le co")ro*ar los resultados o*tenidos )or cualuiera de los dos "étodos e=)licados "ediante las si4uientes i4ualdades( +
A 9C g6 h&,Da ‰+ a ‰‰+D *‰c ‰D h*‰‰c ‰‰D g6 *‰‰c ‰D g ,
iendo( A ga ‰ h&a‰‰D 9 g* ‰ h &*‰‰D y C gc ‰ h &c‰‰ D
k6%65++a ‰a ‰‰D *‰c ‰‰D
k6%65
Para )oder considerar 0alidos los resultados es necesario ue se cu")lan las tres condiciones a la 0eH%
6%8% %8 <#r"ulas )ara Gallar las "a4nitudes eléctricas Cualuiera de los dos "étodos nos lle0ará a 0alores "uy se"e&antes ue nos )er"itirán a)licando las J#r"ulas si4uientes encontrar las "a4nitudes eléctricas deseadas% Las J#r"ulas de)enderán de los )ará"etros ue sean conocidos( i conoce"os las condiciones eléctricas al nal de la línea y desea"os Gallarlas al inicio de la "is"a a)licare"os( 6 ‹ !é4i"en de car4a > 6 g> +A h I +9 + k6%658 I 6 g > +C h I +' !é4i"en de 0acío > 6 g> +A
k6%655
I 6 g > +C i conoce"os las condiciones eléctricas al inicio de la línea y desea"os Gallarlas al nal de la "is"a a)licare"os( 6 ‹ !é4i"en de car4a > + g> 6' I 69 + k6%65; I + g I 6A > 6C !é4i"en de 0acío > + g> 6'
k6%657
I + g> 6C !ecordando ue )ara )asar de 0alores de Jase a 0alores de línea es necesario a)licar( I Línea gI
i desea"os encontrar 0alores inter"edios de las "a4nitudes eléctricas en cualuier )unto de la líneaD se realiHará el cálculo de las constantes con las lon4itudes deseadas% Es decir )ara cualuier tra"o de línea es )osi*le *uscar las constantes A9C'D ue lo denen en Junci#n de la lon4itud de ese tra"o% Con estas constantes se a)lican las J#r"ulas anteriores lo ue nos )er"itirá Gallar las condiciones eléctricas de los nue0os )untos *uscados%
6%8%%5 i4nicado Jísico de las constantes Pri"era"ente 0ea"os las unidades de estas constantes )ara ello )arti"os de( > 6 g> +A hI +9 k6%65:I 6 g > +C h I +' i esta"os en ré4i"en de 0acío la intensidad nal es nulaD( Ag I 6 g > +C
> 6>ACIO € > ‚ gD> 6 g > +A g •
> +>ACIO Š>
k6%6;,
I 6>ACIO €A ‚ C gg•gsie"ensD> +>ACIO Š>
i esta"os en cortocircuito las J#r"ulas iniciales uedan al ser nula la tensi#n de salidaD( 9 g +CO!TO
>
6CO!TO
€> g• gjD>
ŠA
6 g
I +9
I
k6%6;6 I 6CO!TO €A ‚
I 6 g I +'
' gg•gDI +CO!TO ŠA
Las constantes AD y 'D son adi"ensionales "ientras ue la constante 9D tiene unidades de i")edancia y la constante CD tiene unidades de ad"itancia% Es decir )ode"os denir estas constantes de la si4uiente Jor"a( A g tensi#n a a)licar al )rinci)io de línea )ara ue estando en 0acío el nal de la "is"a se o*ten4a la tensi#n nal no"inal >+no"inal D% 9 g tensi#n a a)licar al )rinci)io de línea )ara ue estando en cortocircuito el nal de la "is"a se o*ten4a la intensidad nal no"inal I+no"inal D% C g intensidad a inyectar al )rinci)io de línea )ara ue estando en 0acío el nal de la "is"a se o*ten4a la tensi#n nal no"inal >+no"inal D% ' g intensidad a inyectar al )rinci)io de línea )ara ue estando en cortocircuito el nal de la "is"a se o*ten4a la intensidad nal no"inal I+no"inal D% i realiHa"os la co")araci#n de estas J#r"ulas a)licadas a circuitos cortos o*tendre"os )ara el ré4i"en de 0acío los resultados ue si4uen(
!L \L Ig,
>+>ACIO >6>ACIO
> 6>ACIO
g6
ya ue
I 6>ACIO Cgg , ya ue
> 6>ACIO g> +>ACIO
I 6>ACIOg,
k6%6;+ > +>ACIO
k6%6;> +>ACIO
` )ara el ré4i"en de cortocircuito las e=)resiones 4enerales uedan de la si4uiente Jor"a( ! L \L
9g
> 6CO!TO
gf LNEA
I 6CO!TO 'gg6 ya ue
ya ue
> 6CO!TO gf LNEA I + NO$INAL
I 6CO!TO gI +NO$INAL
k6%6;8 I + NO$INAL
k6%6;5I + NO$INAL
Por tanto si considera"os los 0alores o*tenidos )ara líneas cortas tendre"os( A ga‰h&a‰‰D g6 g' gd‰h&d‰‰D g*‰h &*‰‰D g f
LINEA
g!LINEA h &\ LNEA D
k6%6;7Cg c‰h &c‰‰D g ` &9LNEA D g,
k6%6;;9
k6%6;
LNEA
g3LNEA h
Fue a)licado a las
J#r"ulas 4enerales )ara líneas lar4as resulta(> 6 g> +A h I +9 g > + h I +f LNEA
I 6 g > +C h I +' g I +
k6%6;:
Lo ue se corres)onde con las ecuaciones dadas )ara líneas cortas% El "étodo de las constantes au=iliares re)resenta un "étodo e=acto )ara el cálculo de cualuier línea eléctrica sea cual sea su lon4itud aunue )ara líneas cortas es "ás aconse&a*le a)licar las J#r"ulas dadas )ara ellas ya ue si")lican enor"e"ente la co")le&idad y el tie")o de cálculo%
6%5 CUETIONE ` P!O9LE$A CUETIONE 6 Cuáles son los )ará"etros eléctricos ue denen cualuier circuito C#"o están di0ididos Indíuense unidades y "a4nitudes% + Anotar las J#r"ulas y unidades de las si4uientes "a4nitudes( resistencia reactancia inducti0a i")edancia conductancia susce)tancia y ad"itancia% Fué es la resistencia de un conductor eléctrico Por ué entre una *arra de "adera y una de co*re su)oniendo i4ualdad de di"ensiones se )resentan 0alores de resistencia diJerentes Coincide la resistencia real con la te#rica de un conductor "aciHo ` coinciden estas resistencias si se trata de un ca*le Jor"ado )or Gilos 8 La resisti0idad de)ende de la te")eratura y del ti)o de "aterial e")leado% Puede ar"arse ue con au"entos de te")eratura la resisti0idad sie")re au"enta% !aHonar la res)uesta% 5 Por ué no )udo utiliHarse el alu"inio )ara la construcci#n de líneas de trans)orte de ener4ía eléctrica Los ca*les de aleaci#n alu"inio@acero constituyen una *uena alternati0a al co*re )ero( cuáles son las características )rinci)ales ue diJerencian estos dos ti)os de ca*les ; La resistencia de un conductor con un "aterial deter"inado se o*tiene en ta*las )or " de líneaD% i una línea de trans"isi#n de ener4ía dis)one de dos circuitos trí)le= c#"o se 0erá aJectado el 0alor de la resistencia Gallado en ta*las )ara el conductor calculado 7 En una *o*ina( ué es la inductancia Cuáles son las leyes )rinci)ales )or las ue se ri4e En ue Jor"a se al"acena la ener4ía en la "is"a Indicar ue J#r"ulas se a)lican )ara Gallar la inductancia )or " de una línea eléctrica Jor"ada )or dos circuito trí)le=% : Es cierta la si4uiente ar"aci#n Cuando e=iste "ás de un circuito en una línea de trans"isi#n de ener4ía la reactancia total )or Jase de un circuito de*e "ulti)licarse )or el n"ero total de circuitos e=istentes% !aHonar la res)uesta% 6, El cálculo de la distancia "edia 4eo"étrica entre Jases( es diJerente si se trata de un circuito d)le= o de un circuito cuadr)le= ` si el cálculo es entre una línea con un circuito si")le # con dos circuitos si")les !aHonar las res)uestas dando las J#r"ulas necesarias% 6 El radio eui0alente se dene co"o el radio ue a*arcaría a todos los conductores ue Jor"an una Jase de una línea eléctrica% 'edHcase "ate"ática"ente el radio eui0alente )ara un circuito trí)le=% + La inductancia )or " Gallada con las J#r"ulas dadas en el ca)ítulo se "ide en enrios% Para el cálculo de líneas aéreas interesa ue ésta 0en4a e=)resada en jD% C#"o se eJecta la transici#n de unidades Fué "a4nitud se o*tiene Fué es la ca)acidad 'e ué de)ende Fué ley sir0e de análisis )ara deter"inar la ca)acidad dar J#r"ulaD 8 E=)licar el eJecto
68 C#"o se e=)resa nu"érica"ente una "a4nitud eléctrica en continua 'e cuántas Jor"as )uede e=)resase una "a4nitud eléctrica en alterna 65 Fué 0alor de entre todos los )osi*les es el "ás utiliHado )ara desi4nar los 0alores de las "a4nitudes eléctricas en alterna Por ué Fué si4nicado Jísico re)resenta este 0alor 6; E=)resar los 0alores de la intensidad su)oniendo un án4ulo )ara la tensi#nD )ara una car4a #G"ica inducti0a y ca)aciti0a de una línea corta% E=)resar aGora su)oniendo un án4ulo )ara la intensidadD los 0alores de la tensi#n )ara tres car4as distintas anteriores #G"ica inducti0a y ca)aciti0aD% 67 'i*u&ar los tres dia4ra"as eléctricos ue denen una línea corta conectada so*re una car4a #G"ica inducti0a y ca)aciti0a% 6 Cuáles son las si")licaciones ace)tadas )ara el cálculo de líneas eléctricas Fué )uede ar"arse considerando las si")licaciones e=)uestasD si se conocen todos los )ará"etros eléctricos en un )unto de una línea 6: Cuándo )uede considerarse una línea eléctrica co"o corta Por ué se ado)ta )recisa"ente esa lon4itud Fué si")licaciones en los )ará"etros eléctricos son )osi*les considerar en una línea de lon4itud corta Fué diJerencias se )roducen en la Jor"ulaci#n entre líneas cortas en 0acío y en car4a +, Cuándo )uede considerarse una línea eléctrica co"o "edia Por ué se ado)ta )recisa"ente esta lon4itud Fué si")licaciones en los )ará"etros eléctricos son )osi*les considerar en una línea de lon4itud "edia Fué "étodos )ueden a)licarse )ara calcular una línea de lon4itud "edia +6 Fué características deJinen el "étodo del circuito eui0alente en RWR% 'i*u&ar el circuito eui0alente con sus )ará"etros "ás i")ortantes% ++ !ealiHar la Jor"ulaci#n )ara el cálculo en 0acío del circuito eui0alente en RWR% + !ealiHar la Jor"ulaci#n )ara el cálculo en car4a del circuito eui0alente en RWR% +8 Fuécaracterísticas denen el "étodo del circuito eui0alente en RTR 'i*u&ar el circuito eui0alente con sus )ará"etros "ás i")ortantes% +5 !ealiHar la Jor"ulaci#n )ara el cálculo en 0acío del circuito eui0alente en RTR% +; !ealiHar la Jor"ulaci#n )ara el cálculo en car4a del circuito eui0alente en RTR% +7 Cuándo se considera ue una línea es de lon4itud lar4a C#"o uedan e=)resados los )ará"etros eléctricos )ara el cálculo de líneas lar4as Cuáles son los "étodos de cálculo e")leados )ara estas líneas + Fué si4nica la i")edancia característica de una línea eléctrica Puede darse en la realidad )or ué +: Fué es)ecicaciones son co"unes a la i")edancia característica Fué J#r"ula )er"ite su cálculo , Fué si4nica el án4ulo característico de una línea eléctrica En ué unidades 0iene dado este án4ulo% Puede darse en la realidad )or ué 6 Fué es)ecicaciones son co"unes al án4ulo característico Fué J#r"ula )er"ite su cálculo + Fué si4nica la )otencia característica de una línea eléctrica Puede darse en la realidad )or ué Fué es)ecicaciones son co"unes a la )otencia característica Fué J#r"ula )er"ite su cálculo 8 de esta o*ra% Es )reJeri*le e")eHar con )ro*le"as sencillos ue )er"itan aanHar los conoci"ientos y 4anar conanHa en su resoluci#n )ara )osterior"ente aco"eter el cálculo de )ro*le"as "ás co")le&os%
CAPTULO II% !E3ULACI^N 'E LA TENI^N EN LNEA ELCT!ICA
+%6 INT!O'UCCI^N A LA !E3ULACI^N 'E LA TENI^N EN LNEA
Las líneas aéreas )ara el trans)orte de ener4ía eléctrica de*en cu")lir unos reuisitos de se4uridad calidad y econo"ía% La se4uridad sie")re se cu")lirá aun en las condiciones econ#"icas "ás desJa0ora*les% En cuanto a la calidad e=isten una serie de li"itaciones técnicas ue condicionarán cualuier instalaci#nQ así los aislantes s#lo )ueden so)ortar unas tensiones deter"inadasQ asi"is"o la intensidad ue circula )or las líneas no de*e so*re)asar unos 0alores )reesta*lecidos )or el diá"etro el bu&o de )otencias no e=cederá de lo )er"itido )or la ley )ara cada inJraestructura etc% 0alor a*solutoD re)resentará una )eue-a )érdida de tensi#n si la línea es de +,,%,,,> o )or el contrario será un 0alor rele0ante si la línea es de +%,,,>% i estos cálculos se realiHan con 0alores relati0os )or co")araci#n con otros 0alores de la línea co"o )or e&e")lo la tensi#n no"inalD entonces en el )ri"er caso la )érdida de tensi#n re)resenta un ,%75m 0alor relati0oD "ientras ue la se4unda tensi#n re)resenta un 75m del total dándonos idea de la i")ortancia de la )érdida% Las si4uientes J#r"ulas nos e=)resan la caída de tensi#n y la )érdida de )otencia en sus dos Jor"as *ásicas en 0alor a*soluto y en 0alor relati0o( ∆u gU6 U + >alor a*soluto
U6U+
∆u g
w6,,
>alor relati0o
k+%6
k+%+
U ∆P gP6 P+ >alor a*soluto%
P6 P+
∆P g 'onde(
w6,,
>alor relati0o
k+%
k+%8
P
U6 P6 g >alores de la tensi#n y la )otencia al )rinci)io de línea U+ P+ g >alores de la tensi#n y la )otencia al nal de línea U P g >alores de la tensi#n y la )otencia to"ados co"o reJerencia estos 0alores )ueden ser los no"inales de la líneaD
+%+ C_LCULO 'E LA CON'ICIONE ELCT!ICA EN UNA LNEA 'E ENE!3A ELCT!ICA
in i")ortar la o)ci#n esco4ida )ara re)resentar la caída de tensi#n y la )érdida de )otencia las "a4nitudes a calcular sie")re serán las "is"as las tensiones y las )otencias al )rinci)io y al nal de líneaD% Pero su cálculo se realiHará de Jor"a diJerente de)endiendo de cuáles son los condicionantes de o)eraci#n conocidosQ 4eneral"ente se su)one conocida la tensi#n en uno de sus e=tre"os y la de"anda de )otencia en el e=tre"os rece)tor )ero no es el nico caso% Así )ues e=istirán co"o "íni"o tres casos cuyo cálculo se e=)lica a continuaci#n no sin antes recordar ue(
El "étodo e")leado )ara el cálculo será el de las constantes au=iliares ya ue )er"ite el estudio de líneas eléctricas sin i")ortar su lon4itud% ie")re su)ondre"os siste"as conectados en estrella o con0ertidos de trián4ulo a estrella% Por tanto de*e recordarse ue las intensidades de línea son i4uales a las de Jase )ero ue las tensiones de línea UD son ™ 0eces "ayores ue las de Jase entre Jase y neutroD >D% Las condiciones al )rinci)io de línea se si"*oliHan con el su*índice 6D "ientras ue las del nal de línea lo Gacen con el su*índice +D%
+%+%6 Caso nZ 6( conocidas las condiciones de Junciona"iento en el nal de línea P + U+ + A 9 C 'D i conoce"os los 0alores de las "a4nitudes al nal de línea el cálculo es in"ediato a )artir de cualuiera de los "étodos estudiados en ca)ítulos anteriores aunue auí se a)licará el "étodo de las constantes au=iliares ue nos )er"ite calcular cualuier línea inde)endiente"ente de su lon4itud% `a ue a)lica"os el "étodo de las constantes au=iliares las letras A 9 C 'D si4nicarán los 0ectores ue las denen% Conocidas las "a4nitudes anteriores la Jor"a de o)erar )ara Gallar las condiciones al )rinci)io de línea será la si4uiente( Conocidos P+ U+ y +D es Jácil calcular las otras tres "a4nitudes ue nos Jaltan )ara tener co")leta"ente denido un )unto de la línea )ara ello recorde"os al4unas relaciones entre )otencias y el resto de "a4nitudes(
Potencia a)arente D >AD
Potencia reacti0a FD >A!D
'esJase o Jactor de )otencia cos Potencia acti0a PD ’D
k+%5
` recordando ue las e=)resiones totales de las )otencias )or e&e")lo al nal de línea son( P+ gU +I+
cos+ F+ gU +I+
–
sen+ + gP+ h&F+D gU +I +
g
D +
k+%;
+
Ca*e recordar ue el án4ulo de la )otencia a)arente es el án4ulo total ue ta"*ién )uede o*tenerse "ediante la si4uiente e=)resi#n( + gU š + I š +
k+%7
Una 0eH resu"idas estas e=)resiones esta"os ya en condiciones de )roceder al cálculo de las "a4nitudes eléctricas al )rinci)io de línea% Para ello se4uire"os los )asos detallados a continuaci#n( 3racias a la P+D y a +D Galla"os el resto de )otencias es decir + y F+D% El "#dulo de la tensi#n al nal de línea es en "ucGas ocasiones conocido )ero no su án4ulo% No Gay )ro*le"a ya ue )uede asi4nársele un 0alor de ,Z% La lti"a "a4nitud ue nos ueda I+D se o*tiene Jácil"ente a)licando la e=)resi#n( +
g
P
š U +
+ D k+%
6 ‹ A)licando nal"ente las ecuaciones del "étodo de las constantes au=iliares conocidos los 0alores al nal de línea Gallare"os la tensi#n y la intensidad al )rinci)io de la "is"a% ›>6g>+ wA hI+ w9 U + + k+%: !ecordar ue( > + g œI6 g>+ wC hI+ w'
Conocidas la tensi#n e intensidad al )rinci)io de línea )ara Gallar las restantes "a4nitudes en el inicio se )rocederá de la si4uiente Jor"a( I 6LINEA gI 6 6
6 gU š 6 I š 6 k+%6,
‹
P6 gU6I6
cos6 F6 gU6I6
6 ‹
g Dk+%66
sen 6 6 gP6 h&F6D gU 6I 6
6
`a tene"os calculadas las seis "a4nitudes características al )rinci)io de línea ue a "odo de resu"en detalla"os a continuaci#n%
››U 6 P+
U ++ ž→ Ÿ + {I+ g œ
›F+ P > g> wA hI w9
wU
++
wcos
I 6
+ U š + + { Ÿ 66 I
g>
++
wC hI
++
w'
{ Ÿ
P
66 k+%6+
F6 œ6 ‹
U6U+
w6,, >alor relati0o k+%6
P6P+
w6,, >alor relati0o k+%68
∆u g
U ∆P g
P —g ‹
P+
6,, k+%65P6
!ecordar ue no de*e so*re)asarse el 6,m en la caída de tensi#n en toda la lon4itud de la línea el m de la )érdida de )otencia )or cada 6,, " de línea y ue el rendi"iento al de)ender de esta )otencia suele ser "uy ele0ado%
+%+%+ Caso nZ +( conocidas las condiciones de Junciona"iento en el )rinci)io de línea P6 U 6 6 A 9 C 'D
i conoce"os los 0alores de las "a4nitudes al )rinci)io de línea el cálculo es in"ediato a )artir de cualuiera de los "étodos estudiados en ca)ítulos anteriores aunue se 0uel0e a a)licar el "étodo de las constantes au=iliares ue nos )er"ite estudiar cualuier línea inde)endiente"ente de su lon4itud% Co"o en el caso anterior las letras A 9 C 'D si4nicarán los 0ectores ue denen a estas constantes au=iliares% Conocidas las "a4nitudes anteriores la Jor"a de o)erar )ara Gallar las condiciones al nal de línea será la si4uiente( Conocidos P6 U 6 y 6D resulta Jácil calcular las otras tres "a4nitudes eléctricas ue nos Jaltan )ara tener co")leta"ente denido un )unto de la línea )ara ello se a)lica(
'esJase o Jactor de )otencia
Potencia reacti0a FD >A!D
Potencia acti0a PD ’D
P6 gU6I6
cos6 F6 gU6I6
g D k+%67
sen 6 6 gP6 h&F6D gU 6I 6 6
6
Ca*e recordar ue el án4ulo de la )otencia a)arente es el án4ulo total ue ta"*ién )uede o*tenerse "ediante la si4uiente e=)resi#n( 6 gU š 6 I š 6 k+%6 3racias a la P6D y a 6D Galla"os el resto de )otencias es decir 6 y F6D% En este caso de*e ser conocido no s#lo el "#dulo de la tensi#n al )rinci)io de línea sino ta"*ién su án4ulo ya ue aGora este no )uede considerarse nulo% La lti"a "a4nitud ue nos ueda es la I6D o*teniéndose "ediante la e=)resi#n( P g 6 š 6 D
k+%6:
U6 ‹
A)licando nal"ente las ecuaciones del "étodo de las constantes au=iliares conocidos los 0alores al inicio de línea Gallare"os la tensi#n y la intensidad al nal de ésta%
9
>+g>6 w' I6 w !ecordar ue( > 6 g œI+ gI 6 wA > 6 wC
6
U k+%+,
‹ Conocidas la tensi#n e intensidad al nal de línea )ara Gallar las restantes "a4nitudes se )rocederá de la si4uiente Jor"a( I +LINEA gI + +
+ gU + I +
k+%+6
šš
–
P+ gU +I +
cos+ F+ gU +I +
+ ‹
g D k+%++
sen+ + gP+ h&F+D gU +I +
+
`a tene"os calculadas las seis "a4nitudes características al nal de línea ue a "odo de resu"en detalla"os a continuaci#n% ››U +
P6 I + › 6 ž{ Ÿ Ÿ
F
66 {I6 g
wU
6
P6
>
wcos
6 U š 6 6 { Ÿ ++ I
g> g
I
66
w ' I6 w 9 { 6 w A > w C
++ k+%+
P
U6
F +
+
‹
∆u g
w6,, >alor relati0o k+%+8
U ∆P g
P6 P+
w6,, >alor relati0o k+%+5
P —g ‹
P+
6,, k+%+;P6
!ecordar ue no de*e so*re)asarse el 6,m en la caída de tensi#n en toda la lon4itud de la línea el m de la )érdida de )otencia )or cada 6,, " de línea y ue el rendi"iento al de)ender de esta )otencia suele ser "uy ele0ado%
+%+% Caso nZ ( conocidas las condiciones de Junciona"iento de Jor"a co"*inada P + U6 + A
9 C 'D El cálculo de las "a4nitudes eléctricas es en este caso "ás co")le&o ya ue Gasta aGora conocía"os o co"o "íni"o dis)onía"osD de los )ará"etros necesarios )ara denir co")leta"ente un )unto de la línea era )osi*le deter"inar las seis "a4nitudes eléctricasD% in e"*ar4o aGora conoce"os al4unas "a4nitudes del )rinci)io de línea y al4unas del nal de la "is"a resultando ino)erantes las J#r"ulas utiliHadas Gasta el "o"ento% >a"os a desarrollar una J#r"ula ue )er"ita realiHar este cálculo de Jor"a rá)ida y directa )artiendo inicial"ente de una línea corta lon4itud "enor a ,"D% Posterior"ente se e=tenderá su cálculo a líneas de cualuier lon4itud% e Ga 0isto ue la ecuaci#n de la tensi#n en una línea corta es la corres)ondiente a un circuito Jor"ado )or la i")edancia serie total de la línea( > + g> 6 f LINEA I LINEA k+%+7 La i")edancia de la línea esta Jor"ada )or una resistencia y una reactancia inducti0a(
ft g!t h& w\t k+%+ To"ando la tensi#n de Jase al nal de línea co"o 0alor de reJerencia( >+ g>+ ,k+%+: Co")ro*a"os ue se cu")le la si4uiente i4ualdad(
–
––
‚€ wU+ wI ‚€ w> w wI ‚ –– +
+
DI k+%,
– + +– g
I g•ggI g + • • w> • w> ++ w> + +ƒ Š +ƒ Š ƒ Š ` nal"ente la )otencia a)arente con&u4ada si4no del asteriscoD )uede e=)resarse ta"*ién co"o( +– gP+ & wF+ k+%6 Esta"os ya en condiciones de e")eHar a calcular la e=)resi#n *uscada% La tensi#n al )rinci)io de línea estará denida )or( –
>6 g>+ hft wI+ g> + h!L h&\L D•
€
+ ‚ + g Š >
–
€ P h&F+ ‚ € P &F+ ‚ >6g> + h!L h&\ L D • + g> + h!L h&\ L D • + k+%+Š> + ƒŠ> + El ca"*io de si4no de las )otencias es de*ido a ue esta*an con&u4adas si4no del asteriscoD% No"*rare"os a )artir de aGora a la resistencia y a la reactancia inducti0a de la línea si")le"ente !D y \D% i se se)aran las )artes reales y las i"a4inarias de la ecuaci#n anterior se o*tiene(
•€ ! wP+ h\ wF+ ‚ • €\ wP+ ! wF+ w>+ ƒ h& w • k+% >6 g • >+ h w>+ Con0irtiendo las tensiones de Jase en tensiones de línea y di0idiendo todos los tér"inos )or ™ resulta
la si4uiente ecuaci#n( U 6 g € U
+
h ! wP + h\ wF+ w ‚
€ \ h& w •
wP+ ! wF+ w ‚
k+%8 w • w wU + • wU + i")licando o*tene"os la ecuaci#n ue nos )er"itirá deducir tanto la caída de tensi#n a)ro=i"ada de una línea co"o la J#r"ula )ara o*tener dadas las condiciones consideradas la tensi#n al nal de la "is"a%
6 € + U g U
h ! wP+ h\ wF+ ‚
€\ wP+ ! wF+ h& w k+%5 U + ƒŠU + ƒ
i se "ulti)lican a"*os lados de esta ecuaci#n )or su con&u4ado co")le&o y considerando ue la tensi#n en el e=tre"o nal de línea es un 0ector sin án4ulo de desJase con ,ZD siendo )osi*le asi"ilarlo a un escalar tendre"os( – + +++
k
U 6 wU 6 gkA h& w9DwA & w9Dg A & wA w9 h& wA w9 h9 gA h9 k+%; Fue en nuestro caso re)resenta( + +
U6
€! wP h\ wF ‚+ €! wP h\ wF D‚ g}U h • + } U + ƒŠU + ƒ„
++
h+
w••U
+
† k+%7w\ DF w! D+ wP w\ wF w! … P++
+
h+ ++
}+ „ }U „ +
O)erando y eli"inando los tér"inos co"unes( + D\ wF Dh++ w! wP w\ wF + + h+ w! wP h\ wF Dh }U h ~+ ! wP++ h ++ ++ D
iendo fD y +D los "#dulos res)ecti0os de la i")edancia de línea y de la )otencia a)arente del nal de línea% 'e donde se o*tiene la si4uiente ecuaci#n )ara líneas cortas( 8 +++
wh\ wF DU U hDg,
k
U+ h+ w !P+ +6 w + f w+ k+%8+ En esta ecuaci#n todos los tér"inos son conocidos e=ce)to la tensi#n al nal de línea U+D )or lo ue ésta )uede o*tenerse Jácil"ente% Las unidades e")leadas son( Tensiones en > Potencias en $’ $>A! o $>A !esistencias reactancias o i")edancias en j Co"o se Ga )odido se4uir en la de"ostraci#n de la J#r"ula en ella s#lo se o)era con los "#dulos de los 0ectores% Por tanto el 0alor de la tensi#n al nal de línea o*tenido ta"*ién será un "#dulo no conocere"os el án4uloD aunue )uede asi4nársele al ser la tensi#n al nal de líneaD un án4ulo de ,Z con lo ue el 0ector estará )erJecta"ente denido% La 4eneraliHaci#n de esta ecuaci#n )ara cualuier ti)o de línea es in"ediata% A )artir de la ecuaci#n de la tensi#n al )rinci)io de línea )ara líneas cortas tene"os( >6 g>+ hf wI +
k+%8
i la co")ara"os con la "is"a ecuaci#n )ero dada )ara líneas lar4as "étodo de las constantes au=iliaresD( >6 gA w>+ h9 wI+ k+%88 e o*tiene( >6
9 g>+ h wI+ AA
k+%85
Fue no es "ás ue la e=)resi#n de la ecuaci#n de la tensi#n en el circuito eui0alente de TGe0enin de la línea 0isto desde el e=tre"o rece)tor la cual )ode"os anotar de la si4uiente Jor"a(
6TG g>+ h f TG w I+ k+%8;
iendo( U U 6T g
6
A
` f T g
9 g! T h \ T D k+%87 A
Teniendo en cuenta este resultado el cálculo de la tensi#n al nal de línea )uede realiHarse a )artir de la ecuaci#n nal o*tenida )ara líneas cortas con solo sustituir estos lti"os tér"inos( 8 +++
k
U h + w! wP h\ wF DU wU hf w Dg, k+%8 + TG+ TG +6TG + TG +
sta es la ecuaci#n ue nos )er"itirá o*tener )ara cualuier lon4itud la tensi#n co")uesta o tensi#n de línea al nal de la "is"a conocidos todos los restantes )ará"etros% Co"o en el caso de líneas cortas las unidades e")leadas serán( Tensiones en > Potencias en $’ $>A! o $>A !esistencias reactancias o i")edancias en j Ta"*ién en este caso el 0alor de la tensi#n al nal de línea o*tenida será un "#dulo no conocere"os el án4uloD aunue )uede asi4nársele al ser la tensi#n al nal de líneaD un án4ulo de ,Z con lo ue el 0ector estará )erJecta"ente denido% Con estos reuisitos el )ro*le"a se con0ierte en el resuelto )ara el caso nZ 6% `a ue aGora conoce"os( U 6U + P++ D% Es decir y a "odo de resu"en( ››U 6 P+ ¡
U
+
gU
+
›F+ >6 g >+ w A h I+ w 9 I 66
+ ž→Ÿ→Ÿ→Ÿk+%8: œ + I6 g >+ wC h I+ w ' FP6 , 6 œ6
` con estos )ará"etros es )osi*le Gallar la caída de tensi#n la )érdida de )otencia y el rendi"iento(
U6 U +
P6 P+ U w6,, k+%5, Œ0 gw6,, 6 ŒP g
P6
P —g + w6,, P6 !ecordar ta"*ién en este caso ue no de*e so*re)asarse el 6,m en la caída de tensi#n en toda la lon4itud de la línea ni el m de la )érdida de )otencia )or cada 6,, " de línea y ue el rendi"iento al de)ender de esta )otencia suele ser "uy ele0ado%
i en lu4ar de los )ará"etros del circuito eui0alente de TGe0enin se desea o*tener la tensi#n nal de línea utiliHando la tensi#n real en el ori4en de línea y las constantes au=iliares de trans"isi#n la ecuaci#n a resol0er o*edecerá a la si4uiente e=)resi#n( 8
• 9 –… }w + „ A ‡
U+ h•+ w !e +
U6 A
+
9 +
wU + h w
++ g , k+%56
A
Una 0eH Gallada la tensi#n al nal de línea se )rocederá de i4ual Jor"a al se4uido en el caso anterior del eui0alente de TGe0enin%
+% C_LCULO AP!O\I$A'O 'E LA CA'A 'E TENI^N EN UNA LNEA CO!TA En el a)artado anterior se Ga 0isto ue utiliHando las si4uientes notaciones( Tensi#n al nal de línea( > g> w6 h, w&Dk+%5+ I")edancia serie total )or Jase( ft g!t h & w \t D k+%5 'e"anda de )otencia a)arente de línea( + gP+ h & w F+ D% k+%58 ++
` sustituyendo la e=)resi#n de la intensidad de corriente )or Jase( €
I g Š •
–
‚
P
& w
+ ƒ g + + w> w> +
F+
k+%55
+
En la ecuaci#n de la línea corta( > 6 g> + h fL IL k+%5; !esulta*a la si4uiente e=)resi#n )ara la tensi#n inicial(
>6 g
€
> +h
!t P+
w
h
\t wF+ ‚
h& w
€ \t P+
w
!t wF+ ‚
¢ k+%57Šw> + ƒŠ w> +
Pasando las tensiones de Jase si")lesD a tensiones de línea y di0idiendo cada tér"ino )or
se
o*tiene la e=)resi#n ya conocida del a)artado anterior(
6 g € + h ! w P+ h\ wF+ ‚
U
U
h& w
\ w P+ ! wF+
k+%5
U + ƒŠU + ƒ
El "#dulo de la tensi#n de línea en el ori4en se )uede o*tener a )artir de la si4uiente e=)resi#n(
k+%5: Considerando ue U + gU + ,gU + y ue la a)ortaci#n de la )arte i"a4inaria cuando las condiciones de o)eraci#n son nor"ales suele ser "uy )eue-a o des)recia*le el "#dulo de la tensi#n en el ori4en de línea )uede o*tenerse de Jor"a a)ro=i"ada "ediante la e=)resi#n anterior% i se dene la caída de tensi#n de Jor"a relati0a o en tanto )or ciento co"o la diJerencia de tensiones co")uesta entre el ori4en y el nal de la línea reJeridas a la tensi#n al nal de la línea tendre"os( U6 U + Œ0gw6,,
k+%;,U +
Este 0alor )uede a)ro=i"arse "ediante las J#r"ulas o*tenidas a la si4uiente e=)resi#n( U+h
! w P+ h\ wF+
U +
U ! w P+ \ wF+ Œ0g + w6,, g w6,, k+%;6 U + U + h+ Esta e=)resi#n resulta "uy til ya ue no s#lo )er"ite o*tener de Jor"a rá)ida la caída de tensi#n sino ue ta"*ién nos ser0irá )ara introducir los distintos "étodos de re4ulaci#n de la tensi#n% e co")rue*a ue el si4no de la caída de tensi#n de)ende del si4no ue ten4a el tér"ino del nu"erador ya ue el deno"inador esta al cuadradoD% i analiHa"os esta e=)resi#n )odre"os e=traer al4unas conclusiones i")ortantes( La caída de tensi#n en una línea corta será )ositi0a sie")re ue el Jactor de )otencia de la de"anda de )otencia sea inducti0o es decir ue el tér"ino F+ p ,D% Una caída de tensi#n ne4ati0a o nula s#lo )uede o*tenerse si la )otencia reacti0a al nal de línea es de si4no ne4ati0o es decir ca)aciti0a F+ ,D% Incluso con una car4a ca)aciti0a la caída de tensi#n )uede ser )ositi0aQ *astará con ue se cu")la la si4uiente desi4ualdad( !t P+
p \t wF+ k+%;+
+%8 6 g A w>+ h 9 w I+ I 6 gC w> + h ' w I +
k+%;
Estas e=)resiones eran 0álidas )ara cualuier lon4itud% 'e la )ri"era e=)resi#n )uede des)e&arse la intensidad de corriente en el nal de línea( > A w>+ >6 gA w>+ h 9 w I+ {I + g 6 k+%;8 9 $ientras ue de la se4unda e=)resi#n se o*tiene( 'wA ' w>6 ' wA w>+ ' I gC w> h' wI gC w> h g > w > w•• C
k+%;5
6+++6+
99 9 !ecordando ue una de las tres co")ro*aciones )ara conocer la *ondad de los resultados del "étodo de las constantes au=iliares era( Nos )er"itirá resol0er(
' wA 9 w ' g6 h&,D ' wA 9 w ' 6 g
k+%;;
k+%;7 99
Fuedando la e=)resi#n k+%;5 de la si4uiente Jor"a(
I6 gC w>+ h' w••Š
>6
A w>+ ' 6 ƒ g w> w>+ k+%; 6 9 9 9
+%8%6
€> 6 >
'
>6 w> + – 9 9 – € g Š k+%;: w• >6+ w ' α 9
6LINEA g w 66 w I g w • • – 6
w
6
–– w –
'
>6 w>+
α 9 h[6
•99 Š Para realiHar el lti"o )aso se Ga considerado ue( >+ g >+ ,y >6 g >6δ6
k+%7,
Pasando las tensiones de Jase a tensiones de línea o*tene"os( 6LINEA g w 6
U6
k+%76 99
+ w ' α 9 ' U6 wU + α 9 h[6
Asi"is"o las )otencias acti0a y reacti0a al )rinci)io de línea serán( P6 g6 wcosg
U6 w '
+
cos9 ' D
99 Fg6 wseng
U6 wU +
U6 w '
+
cos9 h[6 D
senD
k+%7+
U6 wU +
senh[6 D
k+%7
6 9' 9
99
+%8%+ + w I+– g > w> g Š w • + >+ w> +– w A 6 k+%78€> w>> + w A – • 9 9 w•6+ α 9 [6 + α 9 A 99
Para realiHar el lti"o )aso se Ga considerando ue( >+ g >+ ,y >6 g >6δ6
k+%75
i en lu4ar de e=)resar la )otencia en Junci#n de las tensiones de Jase se e")lean las tensiones co")uestas o de línea tendre"os( €U wUU + w A +LINEA g w +
k+%7;
99
La deducci#n de las )otencias acti0a y reacti0a al nal de línea es aGora in"ediata( P+g + wcosg
U6 wU + U wA cos9 š [6 D ++ cos 9 š A š D 9 9
F g + wseng +
U6 wU + 6
U wA sen š [D ++ sen š š
99 9 9A
D
k+%7
k+%77
Los resultados así o*tenidos son de a)licaci#n 4eneral y )or tanto 0álidos )ara cualuier línea eléctrica inde)endiente"ente de su lon4itud ya ue Gan sido o*tenidos a )artir del "étodo e=acto de las constantes au=iliares%
+%8% Conclusiones a las J#r"ulas del bu&o de )otencia en Junci#n de las tensiones ter"inales Las J#r"ulas Galladas en el a)artado anterior nos )er"iten con s#lo conocer las tensiones ter"inales y las constantes au=iliares de la línea o*tener sus bu&os de )otencia tanto al )rinci)io co"o al nal de la línea% Pero estas ecuaciones ta"*ién )er"iten o*tener unas conclusiones interesantes ue nos ayudarán a co")render "e&or el Junciona"iento de las líneas de trans)orte de ener4ía eléctrica( ‹ i se "antienen constantes los 0alores de las tensiones en los dos e=tre"os de una línea la "á=i"a )otencia acti0a ue )uede atenderse en su e=tre"o rece)tor será auella )ara la ue se cu")la( [6 g 9 š Por tanto
cos 9 š [6D gcos,Z g6
k+%7:
'e*e recordarse ue [6 es el án4ulo Jor"ado )or las dos tensiones la inicial de la línea y la del nal de la "is"aD% Este án4ulo es el nico )ará"etro 0aria*le ya ue el resto de )ará"etros corres)onden a los án4ulos de las constantes au=iliares ue son &os a "enos ue "odiue"os la línea% AGora la e=)resi#n de esta )otencia "á=i"a 0endrá dada )or la ecuaci#n( P+$A\ g U
+
wU6
A
wU +
+ wcos9 š A š D
k+%,
99 Esta será la "á=i"a )otencia e=acta ue )odrá ser reci*ida al nal de la línea% ‹ i considera"os ue el siste"a se co")orta co"o una línea corta a)ro=i"aci#n del caso anteriorD y se des)recia el eJecto de la ad"itancia trans0ersal de la línea su)oniendo ue ésta tiene un co")orta"iento ideal no disi)a )otenciaD entonces las constantes au=iliares 0aldrán( A g 6 h &,D 9 £ fL g!L h &\ L D £ \L C g , ' g6h&,D La J#r"ula de la )otencia será(
k+%6
U wU U wA P+ g 6 + cos9 š [6 D ++ cos 9 š A
š Dg
99 g
U6 wU +
cos:,Z[D
U + w6 U wU + cos:,Z,ZD g 6 + sen[ 6
\L \L \L
k+%+
6
Esta )otencia será "á=i"a cuando del án4ulo [6 g :,Z entonces el sen:,Z g6 es decir( 6+ 6+
Pg
U wU
U wU
wsenD
[g k+% \ \L
+$A\ 6 L
e4n estos resultados la condici#n necesaria y suciente )ara ue el bu&o de )otencia acti0a 0aya en un deter"inado sentido auí se Ga considerado del e=tre"o Rori4enR al e=tre"o RnalRD es ue sen [6D sea )ositi0o o dicGo de otra Jor"a ue la tensi#n en el e=tre"o e"isor 0aya adelantada con res)ecto a la tensi#n en el e=tre"o rece)tor% O*sér0ese ue no es necesario ue el "#dulo de U6D sea "ás 4rande ue el "#dulo de U+D%
[6 gU š 6 U š + D
k+%8
U6
\
D cuando el 0ector de J%e%"% interna ED está en adelanto con res)ecto a la tensi#n ter"inal en la "áuina% In0ersa"ente la "áuina síncrona Juncionará co"o "otor y el bu&o de )otencia acti0a irá desde la red Gacia la J%e%"% 4eneradorD si es la tensi#n ter"inal en la "áuina la ue se encuentra adelantada% N#tese ue no se es)ecica )ara nada los 0alores de los "#dulos de las tensiones% Otra conclusi#n interesante es la ue )er"ite o*tener el lí"ite de )otencia "á=i"a ue )uede atender una línea% Este lí"ite se4n la e=)resi#n denida anterior"ente es directa"ente )ro)orcional al )roducto de las tensiones ter"inales e in0ersa"ente )ro)orcional a la reactancia total de la líneaQ de auí se deducen in"ediata"ente dos Jor"as de au"entar la )otencia de trans)orte de una línea eléctrica( Au"entando el ni0el de tensi#n de la línea% La )otencia en este caso au"entará con el cuadrado de la tensi#n% 'is"inuyendo la reactancia eui0alente entre los dos e=tre"os ter"inales de la línea% Esto )uede conse4uirse )or e&e")lo insertando un *anco de condensadores en serie con la línea de Jor"a ue( Pg
U6 wU +
wsenDg
U6 wU + U g
+ k+%5
[ +$A\ 6
\L \L \L \C D iendo UD el ni0el de tensi#n de la línea y \ CD la reactancia )or Jase del *anco de condensadores% Te#rica"ente se4n la J#r"ula anterior se )odría conse4uir incluyendo tantos condensadores ue
eli"inarán la reactancia de la *o*inaD ue el deno"inador Juera cero y ue )or tanto la )otencia acti0a resultara innita% Esto no es )osi*le ya ue no se de*e ol0idarse ue la ecuaci#n anterior es una a)ro=i"aci#n de la real% En auella J#r"ula +%,D no se des)recia*a el eJecto #G"ico y )or tanto el deno"inador incluía una resistencia ue nunca sería nula% 9atería de condensadores \cD 3enerador
‹ in la *atería de condensadores(
f g!L h&\ L D
k+%;
– ‹
Con la *atería de condensadores( f g!L h&\ L \cD
k+%7
– ‹
En 4eneral se cu")lirá( f pf k+%
+%5 !E3ULACI^N 'E LA TENI^N EN LNEA ELCT!ICA asta aGora Ge"os 0isto co"o calcular y cuanticar la caída de tensi#n% e Gan introducido ecuaciones ue nos )er"iten su cálculo de Jor"as "uy di0ersas y en distintos re4í"enes de Junciona"iento )ero )oco se Ga Ga*lado de los "étodos e=istentes )ara eli"inar su eJecto o co"o "íni"o reducirlo a 0alores des)recia*les "anteniéndola sie")re dentro de los "ár4enes esta*lecidos )or la ley% Nor"al"ente la caída de tensi#n suele si4nicar una )érdida de )otencial en los rece)tores aunue no sie")re es así% Por ello es )osi*le encontrarnos al "enos dos casos de)endiendo del si4no aduirido )or la caída de tensi#n( Una caída de tensi#n "uy ele0ada y )ositi0a es 4eneral"ente de*ida a un e=ceso en la de"anda de )otenciaQ en tal caso es necesario to"ar al4una "edida ue e0ite una tensi#n "uy *a&a ya ue esto )uede )ro0ocar )ro*le"as en los rece)tores% Así )or e&e")lo el )ar de arranue de un "otor es )ro)orcional al cuadrado de la tensi#n de ali"entaci#nQ si ésta es "uy *a&a en deter"inadas condiciones el "otor )uede no arrancar% En líneas "uy lar4as en las ue el eJecto de su ca)acidad es i")ortante eJecto
!L w P +
h+
\L wF+
6,,
k+%:U +
i se ace)ta ue la de"anda de )otencia dis)one de un Jactor de )otencia inducti0o lo ue ocurre en la )ráctica totalidad de los casosD la caída de tensi#n sie")re será )ositi0aQ de esta e=)resi#n se deduce ue e=isten al "enos tres "étodos diJerentes )ara reducir la caída de tensi#n( Ele0ando el ni0el de tensi#n en la línea% i esta atiende o está )re0isto ue atienda una de"anda de )otencia "uy 4rande )uede ser con0eniente ele0ar su tensi#n no"inal con lo ue se ele0ará el deno"inador de la e=)resi#n anterior reduciéndose la caída de tensi#n%
Co")ensaci#n de la )otencia reacti0a% 'is)oniendo en )aralelo con la car4a de un *anco de condensadores ue contrarreste el eJecto de las *o*inas dis"inuirá el tér"ino de la )otencia reacti0a total en el nal de línea F +D dis"inuyendo ta"*ién la caída de tensi#n% 6 ‹ Co")ensaci#n de la reactancia de la línea "ediante un *anco de condensadores en serie% i dis"inui"os el tér"ino \LD dis"inuirá la caída de tensi#n% + Nunca se re4ula la caída de tensi#n actuando so*re la resistencia o la )otencia acti0a total% o*re la resistencia no se acta ya ue s#lo es )osi*le "odicarla ca"*iando los ca*les ue trans)ortan el buido eléctrico o dis"inuyendo su te")eratura% Co"o cualuiera de estos "étodos resulta e=tre"ada"ente caro no suele )onerse en )ráctica su uso% 6 ‹ La )otencia ta")oco suele "odicarse ya ue ésta es )recisa"ente una "a4nitud ue de*e"os "antener constante )ara cu*rir en cada "o"ento las necesidades de los rece)tores es uno de los Jactores de calidadD% + i la caída de tensi#n es ne4ati0a caso "uy )oco Jrecuente con e=ce)ci#n de líneas lar4as Juncionando en 0acíoD los "étodos a a)licar serán los si4uientes( Ele0ando el ni0el de tensi#n en la línea% i ésta atiende o está )re0isto ue atienda una de"anda de )otencia "uy 4rande )uede ser con0eniente ele0ar su tensi#n no"inal con lo ue se ele0ará el deno"inador de la e=)resi#n anterior reduciéndose la caída de tensi#n% Con0iene aclarar ue esto lti"o es 0álido si la línea es corta y el eJecto de su ca)acidad trans0ersal des)recia*le% Co")ensando la )otencia reacti0a% e de*erá realiHar la co")ensaci#n "ediante reactancias inducti0as en lu4ar de condensadores ya ue una caída de tensi#n ne4ati0a s#lo )uede ori4inarse con una car4a ca)aciti0a% Por tanto se dis)ondrá en )aralelo con la car4a de un *anco de *o*inas ue contrarreste el eJecto de los condensadores dis"inuyendo el tér"ino de la )otencia reacti0a total en el nal de línea F+D% Ade"ás de los "étodos "encionados e=isten otros siste"as ue au"entan sustancial"ente el n"ero de o)ciones% La clasicaci#n de los distintos "étodos así co"o al4unas de sus 0enta&as e incon0enientes serán co"entados en los a)artados si4uientes%
+%5%6 $étodos )ara la re4ulaci#n de la tensi#n de una línea eléctrica Los "étodos de re4ulaci#n de tensi#n "encionados en el a)artado anterior )ueden clasicarse en dos 4randes 4ru)os de)endiendo de si la re4ulaci#n de la tensi#n se realiHa sin co")ensar de car4a o )or el contrario si esta re4ulaci#n se realiHa actuando so*re la car4a%
+%5%6%6 $étodos )ara la re4ulaci#n de la tensi#n sin co")ensar la car4a i no actua"os so*re la car4a e=isten al "enos tres "étodos )ara re4ular la tensi#n% +%5%6%6%6 Control del ni0el de tensi#n La tensi#n en el e=tre"o rece)tor de una línea aérea )uede re4ularse "ediante el control de la tensi#n en ori4en% Un e&e")lo de este ti)o de re4ulaci#n sería una central de la ue )arte una línea en antena el control de la tensi#n en *ornes del 4enerador )er"itiría re4ular la tensi#n en el e=tre"o rece)tor de la línea% Este "étodo es )oco ecaH ya ue no e=iste )ro)orcionalidad entre la 0ariaci#n de tensi#n en ori4en y la 0ariaci#n de tensi#n en el nal del siste"a% A)arte resulta i")rescindi*le dis)oner de líneas en antena no )udiéndose a)licar en instalaciones con líneas en "alla ya ue en estas lti"as una ele0aci#n de la tensi#n en el ori4en re)resentaría una ele0aci#n de la tensi#n en todos los rece)tores cone=ionado en "allaD tanto de los ue necesitan esta ele0aci#n co"o de los se encontra*an *ien ali"entados%
aD *D
cD
Otra alternati0a "ás ecaH consiste en ele0ar el ni0el de la tensi#n no"inal de la línea es decir al nal de la "is"aD% Esta o)ci#n s#lo es aconse&a*le si está )re0isto un au"ento sustancial de la de"anda de )otencia% El incon0eniente )rinci)al de este "étodo lo constituye el coste econ#"ico ue re)resenta la
instalaci#n de una Juente 4eneradora adicional o de la inJraestructura de una línea adicional )ara ali"entar al rece)tor a)arte del siste"a de control auto"ático de )otencia% +%5%6%6%+ E")leo de transJor"adores y autotransJor"adores con re4ulaci#n de la relaci#n de transJor"aci#n O)ci#n Jrecuente"ente e")leada ya ue )er"ite ade"ás de re4ular el ni0el de tensi#n controlar los bu&os de )otencia acti0a reacti0a a)arente y la intensidad ue circula )or la línea% En realidad a"*os )ará"etros ni0el de tensi#n y bu&o de )otencia acti0a 0an estrecGa"ente unidos en el Junciona"iento de una red de )otencia% +%5%6%6% Co")ensaci#n "ediante condensadores colocados en serie con la línea Las líneas aéreas introducen eJectos inducti0os i")ortantes ue )ro0ocan un au"ento de la i")edancia de las líneas con la consi4uiente caída de tensi#n% La inclusi#n de una o 0arias *aterías de condensadores en serie con la línea aérea reduce la reactancia inducti0a total y )er"ite reducir la caída de tensi#n% Esta o)ci#n ade"ás dis)one de una a)licaci#n adicional co"o ya se 0io en la secci#n anterior la de au"entar el bu&o de )otencia acti0a al "á=i"o% U+
P+$A\ g k+%:, \L \C D i coloca"os una *atería de condensadores con una \ CD ue Ga4a dis"inuir la \LD e=istente el deno"inador de la J#r"ula anterior se Gace "enor au"entando el 0alor de la )otencia% 9atería de condensadores \cD
$otor 3enerador
A )esar de sus 0enta&as esta o)ci#n s#lo se utiliHa en líneas "uy lar4as de*ido a di0ersos )ro*le"as ue sur4en con su uso% Por otra )arte tiene un eJecto colateral "uy )eli4rosoQ una línea co")ensada en serie "ediante un *anco de condensadores y ali"entada desde una central tér"ica o nuclear centrales diJíciles de re4ularD )uede ori4inar en caso de )ertur*aci#n o 0ariaci#n de la Jrecuencia resonancia su*síncrona en el e&e "ecánico de al4n 4enerador de la central lo ue )ro0oca esJuerHos tan ele0ados ue )ueden ter"inar )ro0ocando su ru)tura%
+%5%6%+ $étodos )ara la re4ulaci#n de tensi#n co")ensando la car4a En este caso se incidirá directa"ente so*re la car4a co")ensándola de distinta Jor"a de)endiendo del
ti)o de car4a ue lle0e acu"ulada inducti0a o ca)aciti0aD% Los "étodos "ás e")leados se *asan en la co")ensaci#n )aralelo de la de"anda de )otencia reacti0a en los co")ensadores síncronos y en los co")ensadores estáticos% Es i")ortante recordar ue las )otencias se su"an tanto si estas colocadas en serie co"o en )aralelo% Por tanto y )ara no )ertur*ar la car4a se acostu"*ra a colocar las *aterías de co")ensaci#n en )aralelo con la car4a no aJectando este GecGo a la ecacia de la co")ensaci#n% +%5%6%+%6 Co")ensaci#n )aralelo "ediante *atería de condensadores En 4eneral las instalaciones eléctricas dis)onen de Jactores de )otencia inducti0os los "otores 4eneradores transJor"adores líneas etc% están Jor"ados )or *o*inasD )or lo ue la )otencia reacti0a de co")ensaci#n de*e ser ca)aciti0a% E=isten 0arias Jor"as de o*tener esta )otencia reacti0a de co")ensaci#n una *atería de condensadores es uno de los "étodos "ás utiliHados )ero no el nico% En al4unos casos las co")a-ías eléctricas utiliHan la ca)acidad )ro)ia de las líneas aéreas )ara cu")lir con este co"etidoQ si se dis)one de al4una línea Juera de o)eraci#n ésta )uede ser utiliHada )ara co")ensar )otencia reacti0a desde la su*estaci#n a la ue está conectada "anteniéndola si")le"ente *a&o tensi#n eJecto
'es)ués de la co")ensaci#n la )otencia reacti0a será( F TOTAL g FL FC Cu")liéndose ue( F TOTAL p F TOTAL – e"os dis"inuido la F+ y )or tanto el tér"ino de la caída de tensi#n%
+%5%6%+%+ Co")ensaci#n )aralelo "ediante *aterías de *o*inas En líneas "uy lar4as Juncionando en 0acío o con una de"anda de )otencia "uy *a&a )uede )roducirse el eJecto
3enerador
–
'es)ués de la co")ensaci#n la )otencia reacti0a será( F TOTAL g FL FC Cu")liéndose ue( F TOTAL p F TOTAL – e"os dis"inuido la F+ y )or tanto el tér"ino de la caída de tensi#n%
A)arte de co")ensar la línea y dis"inuir la caída de tensi#n lo i")ortante de esta co")ensaci#n radica en dis"inuir el eJecto gE h &\
Lw
I
k+%:6
'onde(
> g La tensi#n Jase@neutro en *ornes del co")ensador E g La J%e%"% interna \L g La reactancia síncrona I g La intensidad )or Jase del estátor e4n se "uestra en la 4ura +%66 la intensidad ue la red inyecta en el co")ensador estará atrasada o adelantada W/+ radianes se4n el "#dulo de la tensi#n en *ornes sea "ás 4rande o "ás )eue-o ue el de la J%e "% interna% Así )or tanto el co")ensador Juncionará co"o( Una de"anda de )otencia reacti0a o una car4a de )otencia reacti0a inducti0a% i el "otor está su*e=citado y la tensi#n en *ornes es "ás ele0ada ue la J%e%"% interna > p ED% Una Juente de )otencia reacti0a o una car4a de )otencia reacti0a ca)aciti0a% i el co")ensador esta so*ree=citado y la J%e%"% interna es "ás ele0ada ue la tensi#n en *ornes > ED% Para entender su Junciona"iento es necesario recordar ue en un circuito inducti0o la intensidad sie")re retrasa :,Z res)ecto a la tensi#n% Así la intensidad de este circuito inbuido )or la reactancia del 4enerador sie")re retrasará :,Z res)ecto a Œ>D% Lo ue )er"ite ue esta intensidad esté a0anHada o atrasada :,Z res)ecto a la tensi#n del co")ensador >D es la direcci#n ue to"e Œ>D y ésta de)enderá de lo e=citado ue este el "otor si >pE o si >ED% En la secci#n anterior se Ga 0isto ue el bu&o de )otencia acti0a a tra0és de una inductancia es )ro)orcional al seno del desJase ue e=iste entre las tensiones ter"inales% Los dia4ra"as de la 4ura +%66 "uestran dos casos en los ue a"*as tensiones ter"inales están en Jase esto si4nica ue el co")ensador no inyecta ni a*sor*e )otencia acti0a ele0ando el ni0el de calidad del siste"a% No de*e ol0idarse ue esta es una J#r"ula a)ro=i"ada ya ue en realidad e=iste una resistencia ue introduciría un )eue-o án4ulo de desJase y )or tanto una )eue-a 0ariaci#n de la )otencia acti0a% U wU P g 6 + wsenD[ +$A\ 6
\L
k+%:+
+%5%6%+%8 Co")ensadores estáticos de )otencia reacti0a La electr#nica de )otencia ta"*ién está )resente en la re4ulaci#n de la ener4ía reacti0a% Uno de los "étodos "ás e")leados consiste en el co")ensador estático% Este es un dis)ositi0o *asado en el control electr#nico de )otencia reacti0a% Un co")ensador de este ti)o )uede Juncionar co"o un co")ensador síncronoQ es decir )uede co")ensar )otencia reacti0a inducti0a o reacti0a ca)aciti0a% E=isten "ucGos dise-os de co")ensadores estáticos la 4ura "uestra uno de los "ás )o)ulares un *anco de condensadores &o "ás una reactancia inducti0a *o*inasD controlado "ediante tiristores%
El )rinci)io de Junciona"iento es sencillo% El tiristor es un se"iconductor cuyo Junciona"iento )uede asi"ilarse al de un interru)tor ideal en el ue es necesario diJerenciar un circuito de )otencia y un circuito de control% El interru)tor se cierra "ediante una se-al de control en la )uerta y se a*re cuando no e=iste se-al de control y la intensidad de corriente en el circuito de )otencia se anula% Un tiristor )er"ite el )aso de la ener4ía eléctrica s#lo en un sentido )or esta raH#n se Gace indis)ensa*le la )resencia de dos tiristores colocados en anti)aralelo ya ue así se )er"ite la conducci#n de corriente en a"*os sentidos% $ediante el control del instante de cierre del tiristor es )osi*le controlar la intensidad ue circula )or la reactancia inducti0a y )or tanto la )otencia reacti0a ue ésta re)resenta% 'e esta Jor"a la )otencia reacti0a total del co")ensador )uede 0ariar entre( La )otencia reacti0a ca)aciti0a de condensador cuando los tiristores no conducen% La )otencia reacti0a de la inductancia "enos la del condensador si los tiristores conducen% Por e&e")lo es )osi*le conse4uir un "ar4en de 0ariaci#n de )otencia reacti0a si"étrico si la )otencia reacti0a de la inductancia es el do*le ue la de la ca)acidad% Es decir cuando )ase la intensidad no"inal )or los dos ele"entos *o*ina y condensador la )otencia reacti0a total 0aldrá( F TOTAL gF h+F gF
k+%:
En ca"*io si )or la *o*ina solo )asa la "itad de su intensidad no"inal tendre"os ta"*ién la "itad de la car4a reacti0a inducti0a es decir( F TOTALgF hF g,
k+%:8
k+%:5
+%5%+ >enta&as e incon0enientes de los "étodos de co")ensaci#n "ás utiliHados Co"o cualuier otro "étodo los siste"as analiHados )ara co")ensar ener4ía reacti0a )resentan 0enta&as e incon0enientes siendo las "ás destaca*les( El co")ensador estático es un dis)ositi0o de re4ulaci#n "uy rá)ida ue )uede co")ensar la )otencia reacti0a en a"*os sentidos y de Jor"a "uy )recisa% Al no dis)oner de contactos "ecánicos no e=i4e )ráctica"ente "anteni"iento% Una des0enta&a de este "étodo es la 4eneraci#n de ar"#nicos ue se inyecta en la corriente de la red lo ue Gace ine0ita*le la )resencia de ltros en su dise-o% El co")ensador síncrono ta"*ién )er"ite co")ensar )otencia reacti0a en a"*os sentidos sin e"*ar4o es de re4ulaci#n "ás lenta no tan )reciso y su "anteni"iento resulta "ás caro% No )resenta )ro*le"as en lo reJerente a ar"#nicos no siendo necesaria la utiliHaci#n de ltros% Los *ancos de condensadores y de *o*inas )resentan si"ilares 0enta&as e incon0enientes( s#lo )er"iten co")ensar )otencia reacti0a en un s#lo sentido% Tienen un ele0ado "anteni"iento al dis)oner de contactos "ecánicos% La cone=i#n o descone=i#n de eta)as de*e realiHarse "ediante contactos "ecánicos no )er"itiendo una co")ensaci#n "uy na ni rá)ida y nal"ente su "anio*ra )uede ori4inar so*retensiones "uy serias en la red%
+%; C_LCULO 'E LA POTENCIA !EACTI>A 'E CO$PENACI^N PA!ALELO `a se Ga descrito el )ro*le"a de la )érdida de )otencia y de la caída de tensi#n en las líneas de trans)orte de ener4ía eléctrica% Ta"*ién se Gan e=)licado al4unos de los "étodos e")leados con "ás Jrecuencia )ara reducir sus eJectos( así *ancos de *o*inas o condensadores co")ensadores síncronos )uentes de tiristores y el uso de transJor"adores entre otros son "étodos a")lia"ente utiliHados% Pero nos ueda an la )arte "ás i")ortante )or estudiar% C#"o calculare"os el 0alor de la Fco")D )otencia reacti0a de co")ensaci#nD >a"os a desarrollar un "étodo *asado en las J#r"ulas deducidas )ara el bu&o de )otencia en una línea eléctrica ue nos )er"ita calcular la )otencia reacti0a ue es necesario dis)oner en )aralelo con la car4a )ara o*tener unas condiciones deter"inadas de Junciona"iento% El )ro*le"a )lanteado )uede Jor"ularse de la si4uiente Jor"a( conocida la de"anda de )otencia en el e=tre"o rece)tor de la línea( c ar4 a gPc ar4 a h& wFc ar4 a D k+%:; Así co"o la tensi#n en su ori4en U6D de*e deter"inarse la )otencia reacti0a de co")ensaci#n F co")D ue es necesario dis)oner en )aralelo con la car4a )ara o*tener una tensi#n U+D en el e=tre"o rece)tor% N#tese ue no se "odica la )otencia acti0a de la línea ue co"o se indic# en su "o"ento es un Jactor de calidad y )or tanto de*e "antenerse constante% Puesto ue la co")ensaci#n s#lo aJecta a la )otencia reacti0a )uede utiliHarse la si4uiente notaci#n )ara desi4nar la )otencia acti0a y reacti0a en el nal de línea( P+ g Pcar4 aF+ g Fc ar4 a h Fco") k+%:7 La relaci#n entre las tensiones de los dos e=tre"os de una línea con las )otencias acti0a y reacti0a en el e=tre"o rece)tor Jueron o*tenidas en la secci#n anterior(
P+g
U6 wU+
cos9 [6 D
U++ w A cos
9 A D 99
Fg
U6 wU+
+ 9 6 9A
U wA sen[D ++ senD
k+%:
99 e recuerda ue en estas J#r"ulas P +D y F+D re)resentan a las )otencias acti0a y reacti0a triJásicas al nal de la línea "ientras ue U6D yU+D son las tensiones co")uestas en ori4en y nal de línea res)ecti0a"ente% En las dos e=)resiones anteriores se conocen los 0alores de todas las 0aria*les y )ará"etros e=ce)to el de la )otencia reacti0a al nal de línea F +D y el del desJase entre las tensiones Jase@neutro del ori4en y nal de línea% Así )ues )uede o)erarse de la si4uiente Jor"a(
P+ g wcos9 [6 D
)
F+ g wsen9 [6 D
ž
k+%::
Las constantes ) y D re)resentan la a4ru)aci#n de las "a4nitudes conocidas y constantes tal y co"o ueda rebe&ado a continuaci#n( g
U6 wU +
) g
A wU +
+ wcos9 A D g
A wU +
+ wcos9 A D
k+%6,,
99 9 'e*e recordarse ue )ara líneas cortas )ueden asi"ilarse las constantes au=iliares a los si4uientes 0alores( A g ' g 6 h &,D g6 9 £ f
LINEA
g!L h &\ L D C £, h&,D k+%6,6
Con estos 0alores los coecientes ˆi&D uedan( g
U6 wU + U6 w U + L k+%6,+ g 9 f
++
) g
Aw U U + wcos9 A Dg L 9 f
+ cosf %LINEA
k+%6,
++
g
A wU
U
+ wcos9 A Dg + sen f %LINEA
k+%6,8 9 f LINEA
Todos los )ará"etros son "#dulos el án4ulo s#lo se usa )ara el sen o el cos% 'es)e&ando los tér"inos en seno y coseno ueda( wcos9 [6 Dg P+ h ) wsen9 [6 Dg F+ h k+%6,5 i dis)one"os las ecuaciones en Jor"a de su"andos las ele0a"os al cuadrado y su"a"os sus tér"inos o*tendre"os( ++ +
P h Dg wcos [ +
)
9
6D
++ +
F h Dg wsen +
9
[6 D
k+%6,; + ++
P h DhF h Dg +
)
+
O)erando con esta e=)resi#n Gasta o*tener una ecuaci#n de se4undo 4rado ue nos )er"ita o*tener la 0aria*le desconocida F+D tendre"os( ++ +
F+ h h + w F+ w g P+ h )
D
+
k+%6,7
+ +++
D
F+ h + w w F+ h h P+ h ) g,
k+%6,
+ +++
F+ h + w w F+ hk h P+ h )
D g ,
k+%6,:
La resoluci#n de esta ecuaci#n de se4undo 4rado nos )er"ite o*tener una e=)resi#n de la )otencia reacti0a ue de*e"os tener en el nal de la línea )ara conse4uir las condiciones de Junciona"iento deseadas( +++ +
k
+ + w ¤ 8 w 8 w6w h P+ h ) F g +
D
+
g ¤
+
P h
D
+
k+%66,
)
Es decir(
+
F+ g ¤ P+ h )
D
+
k+%666
Es i")ortante notar ue en la e=)resi#n anterior se *usca la nue0a )otencia reacti0a ue de*erá de e=istir en un )unto deter"inado de la línea )ara ue en ese )unto se o*ten4a una tensi#n deter"inada% Pero no se "odica )ara ello ni la tensi#n en el ori4en de la línea ni la )otencia acti0a en el )unto *uscado recordar ue es un Jactor de calidadD ni las condiciones de la línea resistencias reactancias inducti0as án4ulos etc%D tal co"o indican los )ará"etros ) y D% Es decir s#lo se nos )er"ite "odicar la )otencia reacti0a F +D del )unto *uscado% Una 0eH o*tenida la nue0a )otencia reacti0a total ue es necesario en el nal de línea F +D conocida ta"*ién la )otencia reacti0a ue tenía"os anti4ua"ente F CA!3AD se )uede calcular la )otencia reacti0a de co")ensaci#n es decir la diJerencia entre la )otencia reacti0a ue tenía"os y la )otencia reacti0a ue de*ería"os tener )ara conse4uir las nue0as condiciones de Junciona"iento( F+ gFc ar4 a h Fco") Fco") g F+ Fc ar4 a k+%66+ iendo el 0alor del condensador a colocar(
F g + C g
co")
u +F k+%66
co") +
\C ŽwU + FuiHás un esue"a nos ayudará a co")render esta co")ensaci#n( P + ’D Potencia acti0a se "antiene constanteD
Es decir al ca"*iar F+D ca"*ia la )otencia a)arente total ‰ +D y el án4ulo total ‰ +D al nal de línea% Este ca"*io en el án4ulo total )ro0ocará un ca"*io en el "#dulo y en el án4ulo de la intensidad% P+
ILINEA g
U ‰+
k+%668 U
+
w
wcos‰+ ` este ca"*io en el 0alor de la intensidad será el res)onsa*le del ca"*io de 0alor de la tensi#n al nal de línea ue to"ará el 0alor )redeter"inado )or los cálculos% > +g > 6 h f LINEA w I LNEA
k+%665
+%7 CUETIONE ` P!O9LE$A CUETIONE 6 Fué reuisitos de*en cu")lir las líneas de trans)orte de ener4ía eléctrica Cuáles son los condicionantes eléctricos y "ecánicos del trans)orte de ener4ía eléctrica Fué condicionantes son los dados )or ley + 'e cuántas Jor"as )uede e=)resarse una "a4nitud eléctrica Cuál es la "ás reco"enda*le Por ué Fué su)osiciones se to"an en consideraci#n )ara la o*tenci#n de las J#r"ulas de cálculo de las líneas eléctricas aéreas 8 Cuáles son los )asos a se4uir si son conocidas las si4uientes "a4nitudes eléctricas U+ P+ + y las constantes de línea A 9 C y 'D )ara la o*tenci#n de los restantes 0alores de las "a4nitudes eléctricas tanto del )rinci)io de línea co"o del nal de la "is"a 5 Cuáles son los )asos a se4uir si son conocidas las si4uientes "a4nitudes eléctricas U6 P6 6 y las constantes de línea A 9 C y 'D )ara la o*tenci#n de los restantes 0alores de las "a4nitudes eléctricas tanto del )rinci)io de línea co"o del nal de la "is"a ; Cuáles son los )asos a se4uir si son conocidas las si4uientes "a4nitudes eléctricas U6 P+ + y las constantes de línea A 9 C y 'D )ara la o*tenci#n de los restantes 0alores de las "a4nitudes eléctricas tanto del )rinci)io de línea co"o del nal de la "is"a 7 Indicar las J#r"ulas a a)licar )ara o*tener la caída de tensi#n a)ro=i"ada de una línea eléctrica de corta lon4itud% 'e la J#r"ula anterior( ué )ará"etros )ode"os "odicar Cuáles no son "odica*les y )or ué Cuándo es )ositi0a la caída de tensi#n de una línea En ué su)uesto )uede ser esta caída de tensi#n ne4ati0a : 'e"ostrar c#"o se )ueden o*tener las )otencias P6 F6 y 6D bu&o de )otencia al inicio de una línea eléctricaD en Junci#n de las tensiones de línea U6 y U+D y de las constantes au=iliares A 9 C 'D% 6, 'e"ostrar c#"o se )ueden o*tener las )otencias P+ F+ y +D bu&o de )otencia al nal de una línea eléctricaD en Junci#n de las tensiones de línea U6 y U+D y de las constantes au=iliares A 9 C 'D% 66 C#"o se o*tiene la J#r"ula ue nos deter"ina la )otencia acti0a "á=i"a e=acta ue )uede e=istir al nal de una línea eléctrica ` la J#r"ula de la )otencia acti0a si")licada del nal de línea considerando una línea corta 6+ Con reJerencia a la )otencia a)ro=i"ada ue )uede trans)ortar una línea eléctrica( ué condici#n es indis)ensa*le )ara ue el bu&o de )otencia 0aya en un sentido deter"inado C#"o )uede au"entarse el bu&o de )otencia de una línea eléctrica indicar dos Jor"asD 6 En ué condiciones )uede darse una caída de tensi#n "uy ele0ada Fué eJectos )roduce una caída de tensi#n "uy ele0ada
68 En ué condiciones )uede darse una caída de tensi#n ne4ati0a Fué eJectos )roduce una caída de tensi#n ne4ati0a 65 En ué consiste el "étodo de la re4ulaci#n de la tensi#n )or "edio del control de la tensi#n Fué 0enta&as oJrece la re4ulaci#n de la tensi#n desde el )rinci)io de línea ` cuáles son sus li"itaciones Fué 0enta&as oJrece la re4ulaci#n de la tensi#n desde el nal de línea ` cuáles son sus li"itaciones 6; En ué consiste el "étodo de la re4ulaci#n de la tensi#n )or "edio del e")leo de los transJor"adores Fué 0enta&as e incon0enientes oJrece este "étodo 67 En ué consiste el "étodo de la re4ulaci#n de la tensi#n "ediante el e")leo de condensadores colocados en serie con la línea Fué 0enta&as e incon0enientes oJrece este "étodo 6 En ué consiste el "étodo de la re4ulaci#n de la tensi#n "ediante el e")leo de *aterías de condensadores colocados en )aralelo con una car4a inducti0a Fué 0enta&as e incon0enientes oJrece este "étodo 'e ué otra Jor"a es )osi*le re4ular la tensi#n de un siste"a con car4as inducti0as "ediante el "is"o "étodo 6: En ué consiste el "étodo de la re4ulaci#n de la tensi#n "ediante el e")leo de *aterías de *o*inas colocadas en )aralelo con una car4a ca)aciti0a Fué 0enta&as e incon0enientes oJrece este "étodo +, En ué consiste el "étodo de la re4ulaci#n de la tensi#n "ediante el e")leo de co")ensadores síncronos C#"o )uede conse4uirse ue un "otor re)resente una car4a ca)aciti0a ` una car4a inducti0a Por ué el "otor de*e Juncionar en 0acío% e "odica la )otencia acti0a con este "étodo +6 En ué consiste el "étodo de la re4ulaci#n de la tensi#n "ediante el e")leo de co")ensadores estáticos C#"o Junciona un tiristor Por ué de*e de e=istir una Jor"aci#n anti)aralelo de tiristores )ara ue el siste"a sea ecaH en alterna C#"o )uede conse4uirse un "ar4en de 0ariaci#n de )otencia reacti0a si"étrico ++ Enu"erar las 0enta&as e incon0enientes de los "étodos de co")ensaci#n de ener4ía reacti0a actuando so*re la car4aD indicando en orden decreciente desde el "étodo "ás eJecti0o Gasta el "étodo "ás sencillo% + Indicar cuál es la J#r"ula a a)licar )ara deter"inar la )otencia reacti0a de co")ensaci#n a eJectuar en una línea Fué si4nica cada tér"ico +8 Con reJerencia a la )re4unta + cuáles son los )ará"etros ue "antendre"os constante en la ecuaci#n anterior% C#"o es )osi*le con s#lo "odicar la )otencia reacti0a o*tener las tensiones deseadas +5 Fué si4nicado tiene ue la )otencia reacti0a de co")ensaci#n Gallada sea "ayor ue cero Fué si4nicado tiene ue la )otencia reacti0a de co")ensaci#n Gallada sea "enor de cero P!O9LE$A Para la consulta de )ro*le"as resueltos re"iti"os al lector a los ca)ítulos III y I> de esta o*ra% Es )reJeri*le e")eHar con )ro*le"as sencillos ue )er"itan aanHar los conoci"ientos y 4anar conanHa en su resoluci#n )ara )osterior"ente aco"eter el cálculo de )ro*le"as "ás co")le&os%
$^'ULO II% P!O9LE$A !EUELTO ` P!OPUETO 'E C_LCULO 'E LNEA ELCT!ICA
P!EENTACI^N Con este se4undo "#dulo Jor"ado )or los ca)ítulos III y I> se )retende una 0eH asi"ilados los conce)tos te#ricos dados )ara líneas eléctricas en ré4i"en )er"anente ue el lector )ueda lle0ar sus conoci"ientos a la )ráctica "ediante la resoluci#n de )ro*le"as "ás o "enos co")le&os% Para conse4uir este n el "#dulo se Ga di0idido en dos ca)ítulos *ien diJerenciadosQ así "ientras ue el ca)ítulo III )ro*le"as resueltos de cálculo de líneas de trans"isi#n de ener4ía eléctricaD lo co")onen )ro*le"as total"ente resueltos y co"entados ue )er"iten 4anar conanHa en el cálculo de las líneas eléctricas industriales el ca)ítulo I> )ro*le"as )ro)uestos de cálculo de líneas de trans"isi#n de ener4ía eléctricaD lo Jor"an unos enunciados de )ro*le"as co")le"entarios con sus res)ecti0as soluciones de&ando )ara el lector su resoluci#n% Concreta"ente en el ca)ítulo III se resuel0en de Jor"a co")leta y raHonada los )ro*le"as corres)ondientes al Junciona"iento nor"al de los siste"as eléctricos% Así el cálculo de los )ará"etros eléctricos caídas de tensi#n )érdidas de )otencia eJecto aislador eJecto corona re4ulaci#n de la tensi#n en los siste"as )otencia o el cálculo de la )otencia reacti0a de co")ensaci#n tendrán ca*ida en este ca)ítulo% Para la resoluci#n de estos )ro*le"as se Gan utiliHado los "étodos o*tenidos y analiHados en los
ca)ítulos I y II de teoría recordándose ue aunue son "étodos a")lia"ente utiliHados no son los nicos re"itiéndose al lector a otras o*ras anes )ara su consulta% En concreto el ca)ítulo está Jor"ado )or dieH )ro*le"as total"ente resueltos y co"entados estructurados de Jor"a ue la dicultad au"enta de Jor"a )ro4resi0a% Es )or ello ue se aconse&a se4uir el orden esta*lecido )ara una "e&or co")rensi#n y "ás rá)ida asi"ilaci#n ya ue en cada )ro*le"a se e=)onen nue0os conce)tos ue en los )ro*le"as )osteriores ya se dan )or conocidos% El ca)ítulo está Jor"ado )or dos )ro*le"as de cálculo de los )ará"etros eléctricos )ara di0ersas con4uraciones de las líneas eléctricas% Los )ro*le"as tercero y cuarto lo Jor"anQ un )ro*le"a reJerente a las )érdidas de*idas a los eJectos corona y aislador y un )ro*le"a de a")liaci#n de una línea eléctrica en el cual se introducen los conce)tos de "o"ento eléctrico )érdida de )otencia )orcentual y lí"ite de )otencia trans)ortada )or eJecto tér"ico% Los seis )ro*le"as restantes "ás co")le&os nos acercan a los siste"as eléctricos "ás reales constituidos )or 4eneradores transJor"adores con diJerentes ni0eles de tensi#n "otores aco"etidas líneas etc% En estos seis lti"os )ro*le"as se calcula la re4ulaci#n de la tensi#n y la )otencia reacti0a de co")ensaci#n estando estructurados de Jor"a ue en los dos )ri"eros se tra*a&a con líneas conectadas en serie "ientras ue en los dos )ro*le"as si4uientes se tra*a&a ya con líneas conectadas en )aralelo y de Jor"a "i=ta nal"ente los dos lti"os )ro*le"as Gacen reJerencia a redes ue incor)oran transJor"adores con tres ni0eles de tensi#n lo ue acrecienta la dicultad de su cálculo% El ca)ítulo I> está Jor"ado )or enunciados de )ro*le"as con sus res)ecti0as soluciones% Los )ri"eros enunciados corres)onden a )ro*le"as de cálculo de )ará"etros eléctricos "uy sencillos )ara ter"inar con enunciados de )ro*le"as de redes co")le&as con ele"entos eléctricos de diJerente naturaleHa interconectados de las "ás di0ersas Jor"as% Entre los dos e=tre"os se sitan los )ro*le"as de cálculo de las condiciones eléctricas en cualuier )unto de una línea eléctrica los eJectos Corona o Aislador la a")liaci#n de líneas aéreas las caídas de tensi#n los siste"as )ara la re4ulaci#n de la tensi#n o el cálculo de la )otencia reacti0a de co")ensaci#n "ediante la colocaci#n de *aterías de condensadores *o*inas o co")ensadores síncronos% El ca)ítulo aca*a con la introducci#n de )ro*le"as con diJerentes ni0eles de tensi#n "ediante transJor"adores de dos de0anados )ri"ero y nal"ente "ediante el e")leo de transJor"adores con tres de0anados tres ni0eles de tensi#nD% Este es un ca)ítulo e=tenso al ue se Gan dedicado 85 enunciados de )ro*le"as con sus res)ecti0as soluciones%
CONTENI'O Ca)ítulo III( Pro*le"as resueltos de cálculo de líneas de trans"isi#n de ener4ía eléctrica% Ca)ítulo I>( Pro*le"as )ro)uestos de cálculo de líneas de trans"isi#n de ener4ía eléctrica%
O92ETI>O Pro*le"as resueltos de cálculo de líneas de trans"isi#n de ener4ía eléctrica Conocer y calcular los )ará"etros eléctricos lon4itudinales resistencia e inductanciaD y trans0ersales ca)acidad y conductanciaD% Calcular el radio eui0alente y la distancia "edia 4eo"étrica entre Jases de cualuier ti)o de línea% Identicar los ti)os de circuitos eléctricos de las redes de trans)orte de ener4ía( si")les d)le= trí)le= y cuádru)le=% Con circuitos si")les o do*les Conocer y calcular la resistencia reactancia inducti0a susce)tancia y la conductancia )ara los di0ersos ti)os de circuitos eléctricos% Calcular la i")edancia ad"itancia i")edancia característica án4ulo característico y la )otencia característica de una red eléctrica% a*er calcular las "a4nitudes eléctricas en un )unto cualuiera de una línea de lon4itud corta% a*er calcular las "a4nitudes eléctricas en un )unto cualuiera de una línea de lon4itud "edia "ediante los "étodos del circuito eui0alente en R πR y del "étodo del circuito eui0alente en RTR% a*er calcular las "a4nitudes eléctricas en un )unto cualuiera de una línea de lon4itud lar4a "ediante el "étodo de las constantes au=iliares% a*er calcular las )érdidas )roducidas )or el eJecto corona o )or el eJecto aislador en las líneas% Conocer los "étodos a a)licar )ara eJectuar los cálculos de a")liaciones de líneas ya construidas% $étodo del "o"ento eléctrico )otencia "á=i"a a trans)ortar )or )érdida )orcentual de )otencia )otencia "á=i"a a trans)ortar )or lí"ite tér"ico etc% a*er re4ular la tensi#n y calcular la )otencia reacti0a de co")ensaci#n en siste"as de )otencia Jor"ados )or transJor"adores con dos ni0eles de tensi#n y líneas conectadas en serie% a*er re4ular la tensi#n y calcular la )otencia reacti0a de co")ensaci#n en siste"as de )otencia Jor"ados )or transJor"adores con dos ni0eles de tensi#n y líneas interconectadas en )aralelo o Jor"aci#n "i=ta% a*er re4ular la tensi#n y calcular la )otencia reacti0a de co")ensaci#n en siste"as de )otencia Jor"ados )or transJor"adores con tres ni0eles de tensi#n y líneas conectadas en cualuier
dis)osici#n% Pro*le"as )ro)uestos de cálculo de líneas de trans"isi#n de ener4ía eléctrica Identicar los di0ersos ti)os de circuitos eléctricos de trans)orte de ener4ía( si")les d)le= trí)le= cuádru)le=% Con circuitos si")les o do*les% Conocer y calcular los )ará"etros eléctricos lon4itudinales resistencia e inductanciaD y trans0ersales ca)acidad y conductanciaD% Calcular el radio eui0alente y la distancia "edia 4eo"étrica entre Jases de cualuier ti)o de línea% Conocer y calcular la resistencia reactancia inducti0a susce)tancia y la conductancia )ara los di0ersos ti)os de circuitos eléctricos% Calcular la i")edancia ad"itancia i")edancia característica án4ulo característico y la )otencia característica de una red eléctrica% a*er calcular las )érdidas )roducidas )or el eJecto corona o el eJecto aislador en líneas eléctricas% Conocer los "étodos a a)licar )ara eJectuar los cálculos de a")liaciones de líneas ya construidas% $étodo del "o"ento eléctrico )otencia "á=i"a a trans)ortar )or )érdida )orcentual de )otencia )otencia "á=i"a a trans)ortar )or lí"ite tér"ico etc% a*er calcular las "a4nitudes eléctricas en un )unto cualuiera de una línea de lon4itud "edia "ediante los "étodos del circuito eui0alente en R πR y del "étodo del circuito eui0alente en RTR% a*er calcular las "a4nitudes eléctricas en un )unto cualuiera de una línea de lon4itud lar4a "ediante el "étodo de las constantes au=iliares% a*er re4ular la tensi#n y calcular la )otencia reacti0a de co")ensaci#n en siste"as de )otencia Jor"ados )or transJor"adores con dos y tres ni0eles de tensi#n y líneas interconectadas en serie )aralelo o Jor"aci#n "i=ta%
CAPTULO III% P!O9LE$A !EUELTO 'E C_LCULO 'E LNEA ELCT!ICA P!O9LE$A %6 'is)one"os de una línea eléctrica destinada al su"inistro de ener4ía )ara un con&unto de consu"idores a ella conectados% Los datos "ás i")ortantes de la "is"a así co"o su dis)osici#n y ti)o de conductores son los detallados a continuaci#n% 'ATO
Cate4oría( 6Z , ˆ>D g U + Lon4itud( +5, ˆ"%{Línea de lon4itud "edia Co")osici#n ca*les( Un circuito cuadr)le= Ti)o de ca*le( ca*le ti)o alc#n Potencia a trans)ortar )or la línea( +,,$>A
ALLA! Conocidas las condiciones al nal de línea Gallar )ara los re4í"enes de car4a y 0acío las condiciones al inicio de la línea la caída de tensi#n la )érdida de )otencia y el rendi"iento del siste"a "ediante los "étodos dados )ara líneas "edias y lar4as%
!EOLUCI^N Al tratarse de una línea de lon4itud "edia está en el lí"ite ya ue a )artir de +8," # +5," e")ieHa a considerarse a una línea co"o de lon4itud lar4aD )uede calcularse )or cualuiera de los "étodos de teoría corres)ondientes a líneas "edias o lar4as% Pero )ara co"enHar los cálculos de*e"os )re0ia"ente conocer los 0alores de los )ará"etros eléctricos%
Cálculo de los )ará"etros eléctricos ‹ !esistencia En ta*las ane=o >D se o*tiene el 0alor de la resistencia )or " )ara los conductores ti)o alc#n% Co"o e=iste un circuito cuádru)le= a cada Jase le corres)onderán cuatro conductores )or tanto el 0alor de la resistencia )or " y Jase será( ! ,%66: ! Jase ggg,%,+:7%j/ " nZ circuitos ‹nZ conductores 68 !ecordar ue si )or e&e")lo e=istieran dos circuitos trí)le= el 0alor de la resistencia Gallada en ta*las se de*ería di0idir )or ; + circuitos = conductores )or circuitoD% ‹ !eactancia inducti0a Para el cálculo de la reactancia inducti0a utiliHare"os las ecuaciones dadas )ara un circuito cuádru)le= es decir( ~ \ g nZ circuitos
†
8
+WJ }
,%6+5 h8%;lo4
'e „
6,8j/ "D
+Œr ‡
Fue a)licada a nuestro caso resulta( +W5, 6+6, „6,8 g,%+;:j/ "D6 † 8 +8,,6,%: ‡
\ g},%6+5 h8%;lo4
¥ diá"etro +6% Con un radio de 0alor ta*las ane=o >D(
r ggg6,%:""
++ iendo la distancia "edia 4eo"étrica entre Jases cálculo )ara un circuito cuádru)le=D(
'g
d ! d !T d T g 6,%6,%65% g6+%6" g6+6,""
‹ usce)tancia Para el cálculo de la susce)tancia utiliHare"os las ecuaciones dadas )ara un circuito cuádru)le= es decir(
g 9
'e 6+6, lo4 lo4 8
+8%++WJ
6,:nZ circuitos g
8
+8%++W 5,
6,:6g8%68+86,;sie"ens / "D
+Œr +8,, 6,%: ‹ Conductancia Para Gallar la conductancia a)licare"os la si4uiente J#r"ula( 3
ie")re es )osi*le des)reciar el eJecto corona y el eJecto aislador e=ce)to cuando )recise"os cálculos "uy e=actos% ‹ Pará"etros eléctricos totales Para Gallar los )ará"etros eléctricos totales será suciente con "ulti)licar )or la lon4itud total cada uno de los 0alores Gallados )or " y Jase así( ! g ! L g,%,+:7+5, g7%8+5j \Lg \ L g,%+;:+5, g&;7%+5j La V&X indica un desJase de :,Z )ositi0osD 9 g9 L g8%68+86,;+5, g&6%,5;6, sie"ens 3 g3 L g,65, g,%%sie"ens Estos 0alores re)resentarán una i")edancia y una ad"itancia de 0alor( fL g!L h &\ L D g7%8+5 h&;7%+5D g;7%;;%7Z j`L g3L h &9L D g&9 g, h&6%,5;6,D g 6%,5;6, :,Z La i")edancia )otencia y án4ulos característicos son( f ;7%;;%7Z
+W + Calculo de las "a4nitudes eléctricas al )rinci)io de línea )or el "étodo de las constantes au=iliares e resol0erá )ri"era"ente el )ro*le"a a)licando el "étodo de las constantes au=iliares este "étodo es el "ás )reciso y a)lica*le a cualuier circuito inde)endiente"ente de su lon4itud% e calcularán las constantes )ri"era"ente )or el "étodo de las Junciones Gi)er*#licas y circulares )ara )osterior"ente realiHar su cálculo "ediante el desarrollo en series de Junciones% ‹ Cálculo de las constantes au=iliares "ediante Junciones Gi)er*#licas y circulares e a)licarán las si4uientes relaciones con los 0alores Gallados en los a)artados anteriores( A g ' ga‰h&a‰‰D gcosG ”c gcosG ”‰ c cos ”‰ g,%:;5 h&%,6,D g,%:;5:,%++5Z 9 g*‰h&*‰‰D gfcsenG ”c g fcsenG ” ‰ c cos ”‰ g7%+57; h&;;%8D g;;%7%77Z j
‰ c
D h&senG ” ‰ ‰
c
sen ”‰
c
D h&cosG ”‰ c sen ”‰
c
c
‰
‰
D DD
6 6 ‰‰‰ ‰‰‰ C gc‰h&c‰‰D gsenG ”c gsenG ” c cos ”c D h&cosG ”c sen ”c DD gfc fc 6%+66, ; h&6%,+86,D g 6%,+86, :,%,7Z !ecordar ue los cosenos y senos Gi)er*#licos se o)eran con 0alores en radianes/se4undo "ientras ue los cosenos y senos nor"ales se o)eran con 4rados% ‹ Cálculo de las constantes au=iliares "ediante el desarrollo en serie de Junciones Gi)er*#licas y circulares Para a)licar este "étodo es necesario deli"itar el n"ero de tér"inos a esco4er en Junci#n de la lon4itud de la línea% En nuestro caso la lon4itud es de +5," siendo sucientes tres tér"inos de cada e=)resi#n )ara o*tener una )recisi#n ace)ta*le% ~ fL `L fL `L D … h + „g,%:;56 h&%876,D g,%:;56:,%++Z †‡ A g' ga‰h&a‰‰D g }6h + 8 } „ fL `L fL `L D 9 g *‰h &*‰‰D g f L } 6h h + „ g7%6,6h&;5%776D g;;%65%8Z j}5 „ † fL `L fL `L D+ …; C g c‰h &c‰‰D g ` L }6hh„g+%+:;:6, h&6%,6+;7D g6%,6+;;:,%6Z }5 „ † Puede o*ser0arse ue los resultados o*tenidos )or a"*os "étodos son )ráctica"ente i4uales% >a"os a )roceder de todos "odos a la co")ro*aci#n% ‹ Co")ro*aci#n de los 0alores de las constantes au=iliares Galladas La co")ro*aci#n se Ga realiHado con los resultados o*tenidos "ediante la a)licaci#n de las J#r"ulas )ara Junciones Gi)er*#licas y circulares aunue con los 0alores o*tenidos "ediante el desarrollo en series de Junciones Gi)er*#licas y circulares los resultados serían idénticos% A+ 9C g6%,,,+ h&%7776,D £6h&,D
a ‰+ a‰‰+ D *‰c ‰D h*‰‰c ‰‰D g ,%::::: £ 6 +a ‰a ‰‰D *‰c ‰‰D *‰‰c ‰D g+%:6,; £ , 'a"os )or *uenos los resultados o*tenidos con las J#r"ulas Galladas )or cualuiera de los dos "étodos ya ue éstos coinciden y con la co")ro*aci#n se Ga de"ostrado ue cu")len con las tres condiciones si"ultánea"ente% Una 0eH o*tenidos y co")ro*ados los 0alores de las constantes de la línea )rocede"os al cálculo de las "a4nitudes eléctricas asociadas tanto en el ré4i"en de car4a co"o en 0acío%
+%6 Cálculo de las condiciones eléctricas al )rinci)io de línea en ré4i"en de car4a Para el ré4i"en de car4a a)licare"os las si4uientes J#r"ulas en el *uen entendido de ue conoce"os los datos al nal de línea y desea"os Gallarlos al )rinci)io de la "is"a% 9usca"os los 0alores ue son datos( P+ g +cos+ g+,,,%: g6,$’ F+ g +sen + g+,,,%8; g7%6$>A! + g+,,+5%8Z $>A + g +5%8Z U + g,,,,,Z> Nor"al"ente si no se indica lo contrario es )osi*le su)oner ,Z co"o 0alor del án4ulo de la tensi#n al nal de línea% iendo la intensidad al nal de línea( I
+
g
P+
>
+
+D g
6,,,,,,,
, +5%8ZD
g,%7−+5%8Z A U + cos¦+ ,,,, ,%: Con un 0alor de la tensi#n de Jase nal de línea( g+6::%6,Z>
!ecordar ue sie")re se tra*a&a con siste"as en estrella si los siste"as están conectados en trián4ulo se )rocede a la con0ersi#n de trián4ulo a estrella siendo 0álidas las "is"as e=)resiones% Es decir sie")re se tra*a&ará con intensidades y tensiones de Jase I JasegIlínea Q >JasegUlínea/™D aunue los resultados se darán en 0alores de línea% O*teniéndose los si4uientes resultados )ara la tensi#n e intensidades iniciales( > 6 gA> + h9I + g+66,,,%++5Zh+,++%++57%:Z g++6:%88%;8Z> I g++8%5:,%,7Zh+:%5−+5%;65Z g+6%76+,%+:Z A Calcula"os aGora los 0alores de las restantes "a4nitudes al )rinci)io de línea(
6 g
C>
+ h
'I
+
U
6
g> 6 g;,,%58%;8Z>U + g,,,,,Z>I 6 g+6%76+,%+:Z AI + g,%7−+5%8Z A
6 g>6 I6 g8%;8Z+,%+:Z g65%;5Z+ g +5%8Z P6 g U6I6 cos6 g66%78$’ F6 g U6I6 sen 6 g5,%:$>A! –
e4n el !e4la"ento de Líneas Aéreas de Alta Tensi#n los 0alores de Œu6,m y de ŒPm )ara cada 6,, ˆ" se cu")len siendo correctos )or tanto los 0alores o*tenidos%
+%+ Cálculo de las condiciones eléctricas al )rinci)io de línea en ré4i"en de 0acío Para el ré4i"en de 0acío se a)licarán las "is"as J#r"ulas recordando ue conoce"os los datos al nal de línea y desea"os Gallarlos en su inicio% La tensi#n del nal de línea no Ga ca"*iado con res)ecto al 0alor ue tenía en el ré4i"en de car4a% En ca"*io la intensidad del nal de línea Ga )asado a tener un 0alor nulo al uedar el circuito en 0acío% Todas las )otencias P+ F+ +D son ta"*ién nulas% Las constantes au=iliares no de)enden de los re4í"enes eléctricos o "a4néticos sino del n"ero y dis)osici#n de los conductores )or tanto no ca"*ian% Con todos estos datos tendre"os )ara el )rinci)io de línea( > 6 gA> + h 9I + g+66,,,%++5Z> I 6 g C> + h 'I + g++8%5:,%,7Z A El resto de 0alores de los )ará"etros eléctricos al )rinci)io de línea serán(
U
6
g>6 g;;8,%++5Z> U + g,,,,,Z> I 6 g++8%5:,%,7Z A I +
g,,Z A 6 g>6 I6 g,%++5Z:,%,7ZD g:%5Z + g,Z P6 g U6I6 cos6 g,%75$’ F6 g U6I6 sen 6 g68+%;7$>A! –
6 gU 6I 6 gP 6 h &F6D g68+%7−:%5Z $>A P+ g,$’ F+ g,$>A! + g,,Z $>A
Cálculo de las "a4nitudes eléctricas al )rinci)io de línea )or "étodo en VTX Para realiHar el cálculo utiliHare"os el si4uiente circuito eui0alente donde se es)ecican los )ará"etros e")leados así co"o la )osici#n ue ocu)an% Este "étodo no es tan )reciso al i4ual ue el "étodo en WD )ero )ara lon4itudes "edias es lo suJiciente"ente e=acto aunue de*e recordarse ue sie")re ue sea )osi*le y )ara cualuier lon4itud se utiliHará el "étodo de las constantes au=iliares( ‹ Circuito eléctrico e")leado )ara el "étodo del circuito eui0alente en VTX I6 I+
!ecordar ue )ara des)laHarnos )or el circuito se utiliHarán los 0alores de la tensi#n y la intensidad de Jase% Las )otencias no ca"*ian%
%6 Cálculo de las condiciones eléctricas al )rinci)io de línea en ré4i"en de car4a Los datos de )artida son los "is"os ue )ara el "étodo anterior es decir( P+ g +cos+ g+,,,%: g6,$’ F+ g +sen + g+,,,%8; g7%677$A! + g+,,+5%8Z $>A + g +5%8Z U + g,,,,,Z> I + g,%7−+5%8Z A > + g+6::%6,Z> fL g;7%;;%7Z jg!L h &\ L D g7%8+5 h&;7%+5Dj `L g 6%,5866, :,Z sie"ens g3L h &9L D g, h&6%,5866,D Con estos 0alores y a)licando las J#r"ulas dadas )ara este "étodo o*tendre"os( La tensi#n en el centro de la línea será( fL >c g > + h I + g++5,,%8+%++Z> + Con esta tensi#n ya es )osi*le o*tener la intensidad ue se deri0ara )or el condensador no se deri0a intensidad )or la conductancia ya ue su 0alor es nuloD( Ic g9>c g+:+%++Z A
La intensidad total o )ri"aria será(
I 6 gIc h I + g++%7+,%7Z A
iendo la tensi#n al )rinci)io de línea(
fL > 6 g>c h I 6 g++6:8%8%;+Z> + La intensidad de línea será( I6L g I 6
> 6
El án4ulo total inicial será( 6 gU6 I6 g6;%6;Z
Co")ro*a"os ue los 0alores coinciden )lena"ente con los Gallados con el "étodo de las constantes au=iliares )ara el ré4i"en de car4a%
%+ Cálculo de las condiciones eléctricas al )rinci)io de línea en ré4i"en de 0acío Los datos de )artida son los "is"os ue )ara el "étodo anterior es decir los )ode"os resu"ir de la si4uiente Jor"a( P+ g + g F+ g , + g ,Z U + g,,,,,Z> I + g,A > + g+6::%6,Z> fL g;7%;;%7Z jg!L h &\ L D g7%8+5 h&;7%+5Dj `L g 6%,5866, :,Z sie"ens g3L h &9L D g, h&6%,5866,D Con estos 0alores y a)licando las J#r"ulas dadas )ara este "étodo o*tendre"os( La tensi#n en el centro de la línea será( fL >c g> + h I + g > + g+6::%6,Z> + Con esta tensi#n ya es )osi*le o*tener la intensidad ue se deri0ara )or el condensador(
Ic g9>c g++7%6;:,Z A
La
intensidad total o )ri"aria será recordando ue I+g,A(I 6 gIc h I + g I + g++7%6;:,Z A
iendo la tensi#n al )rinci)io de línea( fL > 6 g>c h I 6 g+6675;%8,%++Z> +
Con los 0alores de línea( I 6L gI 6
> 6
El án4ulo inicial total será( 6 gU6 I6 g,%++Z:,ZD g:%77+Z Co")ro*a"os ue los 0alores coinciden )lena"ente con los Gallados con el "étodo de las constantes au=iliares )ara el ré4i"en de 0acío )roduciéndose eJecto
8 Cálculo de las "a4nitudes eléctricas al )rinci)io de línea )or "étodo en VSX >a"os a a)licar este "étodo ta"*ién en los dos re4í"enes de car4a y 0acío% iendo el circuito eui0alente el "ostrado en la 4ura% ‹ Circuito eléctrico e")leado )ara el "étodo del circuito eui0alente en VSX
6 >6 ! \>+ I+
I
8%6 Cálculo de las condiciones eléctricas al )rinci)io de línea en ré4i"en de car4a Parti"os co"o en los de"ás casos de unas condiciones iniciales al nal de línea ue son( P+ g +cos + g+,,,%: g6,$’ F+ g +sen ¦ + g+,,,%8; g7%677$>A! + g+,,+5%8Z $>A + g +5%8Z U + g,,,,,Z> I + g,%7−+5%8Z A > + g+6::%6,Z> fL g;7%;;%7Z jg!L h &\ L D g7%8+5 h&;7%+5Dj `L g 6%,5866, :,Z sie"ens g3L h &9L D g, h&6%,5866,D Con estos datos o*tendre"os el 0alor de la intensidad ue se deri0a )or la ad"itancia trans0ersal recordar ue no e=iste intensidad )or la conductancia ya ue tiene un 0alor nuloD( 9 Ic+ g> + g66%5:,Z A +
La intensidad ue )asa )or
la resistencia y la reactancia de la línea será( I g Ic h I + g+78%6−%:8Z A Con el 0alor de esta intensidad es )osi*le Gallar la tensi#n en el e=tre"o inicial de la línea ésta 0endrá dada )or( > 6 g
> + h!L h &\ L DI g++878%;Z> Conocido el 0alor de la tensi#n
en el ori4en )ode"os Gallar la intensidad ue se deri0a )or la )ri"era ad"itancia trans0ersal( 9 Ic6 g> 6 g665%;7:8%;Z A +
Conocidas
Ic6 e I )ode"os Gallar la intensidad en el ori4en(I 6 gIc6 h I g+6%6+,%,;Z A% iendo los 0alores de la intensidad al inicio de la línea( I 6L gI 6
U 6L g
> 6
6 gU6 I6 g8%;Z+,%,;ZD g65%Z
>alores "uy si"ilares a los Gallados con los "étodos anteriores "étodo en VTX y "étodo de las constantes au=iliaresD% Las )otencias nales y el resto de )ará"etros eléctricos Gan sido ya Gallados en el "étodo de las constantes au=iliares%
8%+ Cálculo de las condiciones eléctricas al )rinci)io de línea en ré4i"en de 0acío En este caso los cálculos se si")lican ya ue no es necesario conectar la car4a y )or tanto la intensidad nal de línea es nula(
i no e=iste car4a todas las )otencias serán nulas( P+ g F+ g + g ,% uedarán co"o si4ue(
_n4ulo al Jinal de la línea( g
P+
+g0+@I+ g ,
Las restantes e=)resiones La intensidad nal(
U + +D g ,
La intensidad ue se deri0a )or la se4unda ad"itancia trans0ersal será( 9 Ic+ g > + g66%5:,Z A + La intensidad ue )asa )or la resistencia y la reactancia de la línea es i4ual a la intensidad anterior ya ue I+ g,%( I g Ic h I + g Ic g66%5:,Z A Con el 0alor de esta intensidad es )osi*le Gallar la tensi#n en el e=tre"o inicial de la línea ue 0endrá dada )or( > 6 g > + h!L h &\ L DI g+66755,%+Z> Conocido el 0alor de la tensi#n en el ori4en )ode"os Gallar la intensidad ue se deri0a )or la )ri"era ad"itancia trans0ersal( 9
Ic6 g> 6 g6,:%;+:,%+Z A + Conocidas Ic6 e I )odre"os Gallar la intensidad en el ori4en( I 6 gIc6 h I g++%++:,%66Z A iendo los 0alores de línea( I 6L gI 6
U 6L g
> 6
6 gU6 I6 g,%+Z:,%66ZD g:%Z
>alores ue coinciden con los Gallados )or otros "étodos% Pode"os o*ser0ar ue se )roduce eJecto
P!O9LE$A %+
'is)one"os de una línea eléctrica destinada al su"inistro de ener4ía de un con&unto de consu"idores a ella conectados% Los datos "ás i")ortantes de la "is"a así co"o su dis)osici#n y ti)o de conductores son los detallados a continuaci#n% 'ATO
Cate4oría( 6Z ++, ˆ>D g U + Lon4itud( 65, ˆ"%{Línea de lon4itud "edia Co")osici#n ca*les( , Al h 7 Acero 'iá"etro e=terior del ca*le( 6575 "" !esistencia del ca*le )or "( ,658 j/ˆ" Potencia a trans)ortar )or la línea( 68,$>A
T‰‘
! T‰
ALLA! Conocidas las condiciones al nal de línea Gallar )ara los re4í"enes de car4a y 0acío( las condiciones al
inicio de la línea la caída de tensi#n la )érdida de )otencia y el rendi"iento del siste"a "ediante los "étodos dados )ara líneas "edias y lar4as% !EOLUCI^N Al tratarse de una línea de lon4itud "edia )odría calcularse )or cualuiera de los "étodos de teoría corres)ondientes a líneas "edias o lar4as% Pero )ara co"enHar los cálculos de*e"os )re0ia"ente conocer los 0alores de los )ará"etros eléctricos%
6% Cálculo de los )ará"etros eléctricos% ‹ !esistencia `a nos indican el 0alor de la resistencia )or " )ara los conductores e")leados% Co"o e=isten dos circuitos si")les a cada Jase le corres)onderán dos conductores !!‘Q ‘Q TT‘D )or tanto el 0alor de la resistencia )or " y Jase será( ! ,%658 ! Jase ggg,%,77%j/ " nZ circuitos ‹nZ conductores +6 !ecordar ue si )or e&e")lo e=istieran dos circuitos cuádru)le= el 0alor de la resistencia Gallada en ta*las se de*ería di0idir )or + circuitos = 8 conductores )or circuitoD% ‹ !eactancia inducti0a Para el cálculo de la reactancia inducti0a utiliHare"os las ecuaciones dadas )ara circuitos si")les es decir( \ g
+WJ ~
} ,%5 h8%;lo4
'e …
8 „ 6, j/ "D
nZ circuitos r Fue a)licada a nuestro caso resulta(
‹ usce)tancia Para el cálculo de la susce)tancia utiliHare"os las ecuaciones dadas )ara circuitos si")les es decir( 9 g
+8%++W J
6,:nZ circuitos g
+8%++W 5, : 6, + g5%,6,;sie"ens / "D
'e 5,6 lo4 lo4 r 7%75 ‹ Conductancia Para Gallar la conductancia a)licare"os la si4uiente J#r"ula( PJase7" 3
U
+
6, g, LNEA
ie")re es )osi*le des)reciar el eJecto corona y el eJecto aislador e=ce)to cuando )recise"os cálculos "uy e=actos% ‹ Pará"etros eléctricos totales Para Gallar los )ará"etros eléctricos totales es suciente con "ulti)licar )or la lon4itud total cada uno de los 0alores Gallados )or " así( ! g ! L g,%,7765, g66%55j\Lg \ L g,%+6565, g&+%+5j La V&X indica un desJase de :,Z )ositi0osD% 9 g 9 L g5%,6,;65,g&7%:58;6,8 sie"ens 3 g3 L g,65, g,%sie"ens Estos 0alores re)resentarán una i")edancia y una ad"itancia de línea de 0alor( fL g!L h &\ L D g66%55 h&+%+5D g8%+5;7,%Z j `L g3L h &9L D g&9 g&7%:58;6,8 g 7%:58;6,8 :,Z La i")edancia )otencia y án4ulos característicos son(
fL 8%+5;7,%Z fc ggg+,7%5+−:%5Z j`L 7%:58;6,8 :,Z +
U LNEA ++,+ Pc ggg+%$’ fc +,7%5+ fL `L g8%+5;7,%Z7%:58;6,8 :,Z g,%6;5,7,%65Z
”c g g,%,++h&,%6;+;Dradianes
'ado en radianes% i lo da"os en 4rados tendre"os(
;, ”c3!A'O g”c g:%85,5,%65Z g6%;67: h&:%6;D 4rados +W +% Cálculo de las "a4nitudes eléctricas al )rinci)io de línea )or el "étodo de las constantes au=iliares e resol0erá )ri"era"ente el )ro*le"a a)licando el "étodo de las constantes au=iliares éste "étodo es el "ás )reciso y a)lica*le a cualuier circuito inde)endiente"ente de su lon4itud% e calcularán las constantes )ri"era"ente )or el "étodo de las Junciones Gi)er*#licas y circulares )ara )osterior"ente realiHar su cálculo "ediante el desarrollo en series de Junciones% ‹ Cálculo de las constantes au=iliares "ediante Junciones Gi)er*#licas y circulares e a)licarán las si4uientes relaciones con los 0alores Gallados en los a)artados anteriores( A g ' ga‰h&a‰‰D gcosG ”c gcosG ” ‰ c cos ”‰ c ‰D h&senG ” ‰ c sen ”‰ c ‰D g ,%:76: h&8%576,D g,%:7+,%+;Z 9 g*‰h&*‰‰D gfcsenG ”c g fcsenG ” ‰ c cos ”‰ c ‰D h&cosG ”‰ c sen ”‰ c ‰ DD g 66%887 h&+%6D g8%6,7,%:Z j 6 6 ‰‰‰ ‰‰‰ C gc‰h&c‰‰D gsenG ”c gsenG ” c cos ”c D h&cosG ”c sen ”c DD g fc fc 6%+886,; h&7%:+,+6,8D g 7%:+,+6,8 :,%,:Z !ecordar ue los cosenos y senos Gi)er*#licos se o)eran con 0alores en radianes/se4undo "ientras ue los cosenos y senos nor"ales se o)eran con 4rados% ‹ Cálculo de las constantes au=iliares "ediante el desarrollo en serie de Junciones Gi)er*#licas y circulares Para a)licar este "étodo es necesario deli"itar el n"ero de tér"inos a esco4er en Junci#n de la lon4itud de la línea% En nuestro caso la lon4itud es de 65," siendo sucientes dos tér"inos de cada e=)resi#n )ara o*tener una )recisi#n ace)ta*le% fL `L A g' ga‰h&a‰‰D g} 6h „ g,%:76 h&8%5:6+6,D g,%:7+,%+7Z }+ „ †
fL `L 9 g *‰h &*‰‰D g f L }6h„g66%; h&+%,+D g%:77,%87Z j} „ † fL `L …8 8 C g c‰h &c‰‰D g ` L }6h„g,%,,,,,6h&7%6, D g7%6, :,%6Z } „‡
e )uede o*ser0ar ue los resultados o*tenidos )or a"*os "étodos son )ráctica"ente i4uales% >a"os a )roceder de todos "odos a la co")ro*aci#n% ‹ Co")ro*aci#n de los 0alores de las constantes au=iliares Galladas La co")ro*aci#n se Ga realiHado con los resultados o*tenidos "ediante la a)licaci#n de las J#r"ulas )ara Junciones Gi)er*#licas y circulares aunue con los 0alores o*tenidos "ediante el desarrollo en series de Junciones Gi)er*#licas y circulares los resultados serían idénticos% A+ 9C g,%::::: &6%6,8D £6 h&,D a ‰+ a‰‰+ D *‰c ‰D h*‰‰c ‰‰D g,%:::: £6 +a ‰a ‰‰D *‰c ‰‰D *‰‰c ‰D g +%566,; £ , 'a"os )or *uenos los resultados o*tenidos con las J#r"ulas Galladas )or cualuiera de los dos "étodos ya ue éstos coinciden y con la co")ro*aci#n se Ga de"ostrado ue cu")len con las tres condiciones si"ultánea"ente% Una 0eH o*tenidos y co")ro*ados los 0alores de las constantes de la línea )rocede"os al cálculo de las "a4nitudes eléctricas asociadas tanto en el ré4i"en de car4a co"o de 0acío%
+%6 Cálculo de las condiciones eléctricas al )rinci)io de línea en ré4i"en en car4a Para el ré4i"en de car4a a)licare"os las si4uientes J#r"ulas en el *uen entendido ue conoce"os los datos al nal de línea y desea"os Gallarlos al )rinci)io de la "is"a% 9usca"os los 0alores ue son datos( P+ g +cos + g68,,% g66+$’ F+ g +sen ¦ + g68,,%; g8$>A! + g68,;%7Z $>A + g ;%7Z U + g++,,,,,Z> Nor"al"ente si no se indica lo contrario es )osi*le su)oner ,Z co"o 0alor del án4ulo de la tensi#n al nal de línea% iendo la intensidad del secundario o nal de línea( I
+
g
P+
>
+
+D g
66+,,,,,,
, ;%7ZD
g;7%8−;%7Z A U + cos+ ++,,,, ,% Con un 0alor de la tensi#n de Jase nal de línea( g6+7,67,Z>
!ecordar ue sie")re se tra*a&a con siste"as en estrella si los siste"as están conectados en trián4ulo se )rocede a la con0ersi#n de trián4ulo a estrellaD si4uiendo siendo 0álidas las "is"as e=)resiones% Es decir sie")re se tra*a&ará con intensidades y tensiones de Jase IJasegIlínea Q >JasegUlínea/™D % Los 0alores de
las )otencias no ca"*ian con estas con0ersiones% O*teniéndose los si4uientes resultados )ara la tensi#n e intensidades iniciales( > 6 gA> + h 9I + g6+5:6,%+;Zh6+56%5Z g6;,8%5%6;Z> I 6 g C> + h 'I + g6,,%;:,%,:Zh;+%7−;%;6Z g6%8−+6%;Z A Calcula"os aGora los 0alores de las restantes "a4nitudes al )rinci)io de línea( U
6
g> 6 g+5;8%6;Z>U + g++,,,,,Z>I 6 g6%68−+6%;Z AI + g;7%8−;%7Z A
6 g>6 I6 g%6;Z+6%;ZD g+8%8Z + g ;%7Z P6 g U6I6 cos6 g665%:$’ F6 g U6I6 sen 6 g5%;:$>A! –
6 gU 6I 6 gP6 h &F6D g6+7%+8%8Z $>A P+ g66+$’ F+ g8$>A! + g68,;%7Z $>A
+%+ Cálculo de las condiciones eléctricas al )rinci)io de línea en ré4i"en de 0acío Para el ré4i"en de 0acío se a)licarán las "is"as J#r"ulas recordando ue conoce"os los datos al nal de línea y desea"os Gallarlos en su inicio% La tensi#n del nal de línea no Ga ca"*iado con res)ecto al 0alor ue tenía en el ré4i"en de car4a% En
ca"*io la intensidad del nal de línea Ga )asado a tener un 0alor nulo al uedar el circuito en 0acío% Todas las )otencias P+ F+ +D son ta"*ién nulas% Las constantes au=iliares ta")oco ca"*ian ya ue de)enden de la 4eo"etría del siste"a y no de sus condiciones eléctricas% Por tanto tendre"os( > 6 gA> + h9I + g6+5:6,%+;Z> I 6 g C> + h 'I + g6,,%;:,%,:Z A
Con estos 0alores
o*tendre"os los si4uientes resultados( U
6
g>6 g+6768,%+;Z>U + g++,,,,,Z>I 6 g6,,%;:,%,:Z AI + g,,Z A
6 g>6 I6 g,%+;Z:,%,:ZD g:%Z + g ,Z P6 g U6I6 cos6 g,%667$’ F6 g U6I6 sen 6 g7%8$>A! –
6 gU 6I 6 gP6 h &F6D g7%8−:%+Z $>A P+ g,$’ F+ g,$>A! + g,,Z $>A
Calculo de las "a4nitudes eléctricas al )rinci)io de línea )or el "étodo en VTX
Para realiHar este cálculo utiliHare"os el si4uiente circuito eui0alente donde se es)ecican los )ará"etros e")leados así co"o la )osici#n ue ocu)an% Este "étodo no es tan )reciso al i4ual ue el "étodo en WD )ero )ara lon4itudes "edias es lo suJiciente"ente e=acto aunue de*e recordarse ue sie")re ue sea )osi*le y )ara cualuier lon4itud se utiliHará el "étodo de las constantes au=iliares( ‹ Circuito eléctrico e")leado )ara el "étodo del circuito eui0alente en VTX I6 I+
!ecordar ue )ara "o0ernos )or el circuito se utiliHarán los 0alores de la tensi#n y la intensidad de Jase en ca"*io )ara los resultados nales se darán en 0alores de línea% Por su )arte las )otencias no ca"*ian%
%6 Cálculo de las condiciones eléctricas al )rinci)io de línea en ré4i"en de car4a Los datos de )artida son los "is"os ue )ara el "étodo anterior es decir( P+ g +cos+ g68,,% g66+$’ F+ g +sen ¦ + g68,,%; g8$>A! + g68,;%7Z $>A + g ;%7Z U + g++,,,,,Z> I + g;7%8−;%7Z A > + g6+7,67,Z> fL g8%+5;7,%Z jg!L h &\ L D g66%55 h&+%+5Dj `L g 7%:58;6,8 :,Z sie"ens g3L h &9L D g, h&7%:58;6,8D Con estos 0alores y a)licando las J#r"ulas dadas )ara este "étodo o*tendre"os( La tensi#n en el centro de la línea será( fL >c g > + h I + g6+686%5Z> + Con esta tensi#n ya es )osi*le o*tener la intensidad ue se deri0ará )or el condensador recordar ue s#lo )asara intensidad )or el condensador ya ue la conductancia tiene un 0alor nuloD( Ic g9>c g6,5%+5:6%5Z A La intensidad total o )ri"aria será( I 6 gIc h I + g6%6−+6%5:Z A iendo la tensi#n al )rinci)io de línea( fL > 6 g>c h I 6 g6;,65%6;Z> + La intensidad de línea será( I6L g I 6
U 6L g El án4ulo total inicial será(
> 6
6 gU6 I6 g +8%75Z
Co")ro*a"os ue los 0alores coinciden )lena"ente con los Gallados con el "étodo de las constantes au=iliares )ara el ré4i"en de car4a%
%+ Cálculo de las condiciones eléctricas al )rinci)io de línea en ré4i"en de 0acío Los datos de )artida son los "is"os ue )ara el "étodo anterior es decir( P+ g + g F+ g , + g ,Z U + g++,,,,,Z> I +g, > + g6+7,67,Z> fL g8%+5;7,%Z jg!L h &\ L D g66%55 h&+%+5Dj `L g 7%:58;6,8 :,Z sie"ens g3L h &9L D g, h&7%:58;6,8D Con estos 0alores y a)licando las J#r"ulas dadas )ara este "étodo o*tendre"os(
La tensi#n en
el centro de la línea será( fL >c g> + h I + g6+7,67,Z> +
Con esta tensi#n ya es )osi*le o*tener la intensidad ue se
deri0ará )or el condensador( Ic g9>c g6,6:,Z A
La intensidad total o )ri"aria
I 6 gIc h I + g6,6:,Z A
iendo la tensi#n al )rinci)io
será recordando ue I+g,A(
de línea( fL > 6 g>c h I 6 g6+5:%7,%+7Z> +
Con los 0alores de línea( I 6L gI 6
0aldrá( U 6L g
> 6
El án4ulo inicial total será( 6 gU6 I6 g:%7Z Co")ro*a"os ue los 0alores coinciden )lena"ente con los Gallados con el "étodo de las constantes au=iliares )ara el ré4i"en de 0acío )roduciéndose eJecto
8 Cálculo de las "a4nitudes eléctricas al )rinci)io de línea )or el "étodo en VSX
>a"os a a)licar este "étodo ta"*ién en los dos re4í"enes car4a y 0acío% iendo el circuito eui0alente el "ostrado en la 4ura% ‹ Circuito eléctrico e")leado )ara el "étodo del circuito eui0alente en VSX
!ecordar ue )ara "o0ernos )or el circuito se utiliHarán los 0alores de la tensi#n y la intensidad de Jase% Los resultados nales no o*stante se darán en 0alores de línea% Por su )arte las )otencias no ca"*ian%
8%6 Cálculo de las condiciones eléctricas al )rinci)io de línea en ré4i"en de car4a Parti"os co"o en los de"ás casos de unas condiciones iniciales al nal de línea ue son( P+ g +cos+ g68,,% g66+$’ F+ g +sen ¦ + g68,,%; g8$>A! + g68,;%7Z $>A + g ;%7Z U + g++,,,,,Z> I + g;7%8−;%7Z A > + g6+7,67,Z> fL g8%+5;7,%Z jg!L h &\ L D g66%55 h&+%+5Dj `L g 7%:58;6,8 :,Z sie"ens g3L h &9L D g, h&7%:58;6,8D Con estos datos o*tendre"os el 0alor de la intensidad ue se deri0a )or la ad"itancia trans0ersal no e=isten intensidades )or las conductancias ya ue éstas )resentan un 0alor nuloD( 9 Ic+ g> + g5,%56:,Z A +
La intensidad ue )asa )or
la resistencia y la reactancia de la línea será( I g Ic h I + g:%5;−,Z A Con el 0alor de esta intensidad es )osi*le Gallar la tensi#n en el e=tre"o inicial de la línea ésta 0endrá dada )or( > 6 g > +
h!L h &\ L DI g6;,:%5%67Z> Conocido el 0alor de la tensi#n en
el ori4en )ode"os Gallar la intensidad ue se deri0a )or la )ri"era ad"itancia trans0ersal( 9 Ic6 g> 6 g58%6:%67Z A +
Conocidas Ic6 e I )ode"os Gallar la intensidad en el ori4en(I 6 gIc6 h I g6%+−+6%;Z A% iendo los 0alores de la intensidad al inicio de la línea( I 6L gI 6
U 6L g
> 6
6 gU6 I6 g +8%5Z
>alores "uy si"ilares a los Gallados con los "étodos anteriores "étodo en VTX y "étodo de las constantes au=iliaresD% Las )otencias nales y el resto de )ará"etros ya Gan sido Gallados en el "étodo de las constantes au=iliares%
8%+ Cálculo de las condiciones eléctricas al )rinci)io de línea en ré4i"en de 0acío En este caso los cálculos se si")lican ya ue no es necesario conectar la car4a y )or tanto la intensidad de nal de línea es nula( i no e=iste car4a todas las )otencias tendrán 0alor nulo( P+ g F+ g + g ,% Las restantes e=)resiones uedarán co"o si4ue( _n4ulo al Jinal de la línea(
+g0+@I+ g ,
La intensidad nal( g
P+
§+
+ g ,
La intensidad ue se deri0a )or la se4unda ad"itancia trans0ersal será( 9 Ic+ g > + g5,%56:,Z A + La intensidad ue )asa )or la resistencia y la reactancia de la línea es i4ual a la intensidad anterior ya ue I+ g,( I g Ic h I + g Ic g56%56:,Z A Con el 0alor de esta intensidad es )osi*le Gallar la tensi#n en el e=tre"o inicial de la línea ue 0endrá dada )or( > 6 g > + h!L h &\ L DI g6+5:,%+7Z> Conocido el 0alor de la tensi#n en el ori4en )ode"os Gallar la intensidad ue se deri0a )or la )ri"era ad"itancia trans0ersal( 9 Ic6 g> 6 g8:%7:,%+7Z A + Conocidas Ic6 e I )odre"os Gallar la intensidad en el ori4en( I 6 gIc6 h I g6,6%8:,%6Z A iendo los 0alores de línea( I 6L gI 6
U 6L g
> 6
6 gU6 I6 g:%;Z
>alores ue coinciden con los Gallados )or otros "étodos% Pode"os o*ser0ar ue se )roduce eJecto
P!O9LE$A %
Una línea eléctrica ue trans)orta ener4ía desde una central Gidroeléctrica a un )olí4ono industrial dis)one de las si4uientes características% 'ATO Cate4oría línea 6¨ Up;; ˆ>D Tensi#n +,, ˆ> 6 ‹ Lon4itud 6;, " las líneas discurren )or las si4uientes alturas to)o4rácas ue se corres)onden con unas te")eraturas "edias deter"inadasD , "% ,, "% @ g 6+ZC
