Lugar Geometrico de Las Raices

1 Luga Lugarr Geom Geomét étri rico co de las las Raíc Raíces es (LGR (LGR)) En capítulos anteriores se desmostró la estrecha relación que existe entre la respuesta transitoria de un sistema sistema y la ubicación ubicación de las raíces raíces de su ecuación ecuación característic característicaa en el Plano s Plano s.. Así mismo, se determinó que la variación de los parámetros físicos de un sistema que logran una modificación de su ecuación característica modifican las raíces o polos de dicho sistema, de forma tal que se puede obtener una respuesta particular o deseada. Es por ello que, conocer la ubicación de las raíces en el Plano s ante variaciones de un parámetro, puede representar una herramienta muy útil de análisis y diseño. Cuando se trata de sistemas de control es sumamente importante conocer la ubicación de las raíces de la ecuación característica del lazo cerrado, lo cual puede conocerse utilizando un método sistemático y sencillo que muestra el movimiento de dichas raíces cuando se modifica un parámetro. Dicho método permite elaborar lo que se conoce como el lugar geométrico de las raíces (LGR), el cual nos es otra cosa que las soluciones de la ecuación característica a lazo cerrado cuando se varía un parámetro. A continuación se detallará el método para construir un esbozo o aproximación del lugar geométrico de las raíces y se analizará el cambio que puede suceder en el mismo ante la modificación de la función de transferencia a lazo abierto, lo cual proporciona una fuerte herramienta al diseñador. El lugar geométrico de las raíces exacto puede obtenerse haciendo uso de numerosas herramientas computacionales que proporcionan esa información y que también son de gran utilidad en el diseño de sistemas de control.

1.1. 1.1.

Constr Construcc ucción ión del del Lugar Lugar Geométr Geométrico ico de las las Raíce Raícess

El método de construcción para el lugar geométrico de las raíces de la ecuación característica a lazo cerrado cuando se varía un parámetro se fundamenta en un esquema de control de retroalimentación simple como el que se muestra en la Fig. 1.1, para el cual la ecuación característica a lazo cerrado es la que expresa la Ec. 1.1, cuyas soluciones representan los polos del lazo cerrado.

Figura 1.1: Esquema de Retroalimentación Simple 1 + K + KG G(s)H (s) = 0

(1.1)

El lugar geométrico de las raíces se realizará para variaciones de K K desde cero hasta infinito, aún cuando es posible realizarlo para K para K menores menores que cero, lo que se conoce como lugar geométrico inverso. Partiendo del hecho de que s que s es es una variable compleja, es posible reescribir la Ec. 1.1 en forma polar, tal como lo expresa la Ec. 1.2. A partir de dicha ecuación se pueden identificar dos condiciones que deben cumplirse para satisfacer la ecuación anterior, las cuales son conocidas como la condición de módulo y la condición de ángulo y se expresan según las Ecs. 1.3 y 1.4, respectivamente. KG (s)H (s)| ∠KG( KG (s)H (s) = −1 + j + j00 |KG( KG (s)H (s)| = 1 |KG(

(1.2) (1.3)

1

1 Lugar Geométric Geométricoo de las Raíces (LGR) (LGR) ∠KG( KG (s)H (s)

=

(2k + 1) ±1800(2k

(1.4)

donde k = 0, 1, 2, . . . Si la función de transferencia a lazo abierto se factoriza en polos y ceros, como se muestra en la Ec. 1.5, las condiciones de módulo y de ángulo pueden reescribirse según las Ecs. 1.6 y 1.7, respectivamente.

      | |    | |  − m

(s + z + zi )

i=1 n

KG( KG (s)H (s) = K

(s + p + p j )

j =1

m

  

(1.5)

s + z + zi

K

i=1 n

=1

(1.6)

s + p + p j

j =1

m



n

[∠ (s + z + zi )]

i=1

[∠ (s + p + p j )] = 1800

i=1

± k3600

(1.7)

Las dos condiciones anteriores deben cumplirse para cada una de las raíces que formen parte del lugar geométrico, de forma tal que se garantice que cada una de ellas sea solución de la ecuación característica a lazo cerrado. Gracias a la condición de ángulo se determina la ubicación geométrica de las raíces, es decir, la forma del lugar geométrico, en tanto que la condición de módulo permite determinar el valor de la ganancia K ganancia K a a lo largo de dicho lugar geométrico. Cabe destacar que, dado que se están representando las raíces de una ecuación, el lugar geométrico siempre será simétrico respecto al eje real. Para la construcción metódica del lugar geométrico se puede seguir un procedimiento que hace posible realizar una rápida representación de la ubicación de cada una de las raíces de la ecuación característica cuando se varía K desde K desde cero a infinito. En principio se debe reescribir la ecuación característica tal como se muestra a continuación. n

n



j =1

m

(s + p + p j ) + K + K

 i=1

 

(s + z + zi )

=

(s + p + p j )

j =1

K

m

+

 i=1



(s + z + zi )

=0

(1.8)

Como se puede observar en la Ec. 1.8, cuando K cuando K es es igual a cero, la solución de la ecuación característica a lazo cerrado coincide con los polos de la función de transferencia a lazo abierto, en tanto que, cuando K K tiende a infinito, la solución de la ecuación característica a lazo cerrado coincide con los ceros de la función de transferencia a lazo abierto. Es por ello que se concluye que el lugar geométrico de las raíces comienza en los polos del lazo abierto y termina en los ceros del lazo abierto a medida que K aumenta K aumenta desde cero hasta infinito. infinito. También se puede concluir que el número de tramos o ramas del lugar geométrico será igual al número de polos de la función de transferencia de lazo abierto. A continuación se muestra el procedimiento a seguir para la construcción del lugar geométrico paso a paso, incluyendo paralelamente la realización de un sencillo ejemplo cuya función de transferencia a lazo abierto se expresa según la Ec. 1.9. De esta forma se intenta que la comprensión del método sea más efectiva. (s + 3) G(s)H (s) = (1.9) s(s + 1)(s 1)(s + 2)(s 2)(s + 4)

2

1.1 Construcc Construcción ión del Lugar Geométrico Geométrico de las Raíces

Paso 1 Debido a que el lugar geométrico de las raíces comienza en los polos de lazo abierto y termina en los ceros de lazo abierto se deben dibujar sobre el Plano s dichos polos y ceros, para lo cual se utiliza la convención de marcar los polos con una “X” y los ceros con un “O”. En la Fig. 1.2 se realiza este paso para el ejemplo propuesto.

Figura 1.2: Ubicación de las raíces en el Plano s. G( G (s)H (s) =

(s+3) s(s+1)(s+2)(s+4)

Paso 2 Utilizando la condición de ángulo se determina que parte del eje real pertenece al lugar geométrico, para lo cual se debe verificar en cada tramo del eje real el cumplimiento o no de la condición. Si se parte de un caso hipotético en el cual se tienen dos polos ( p ( p1 y p 2 ) y un cero (z ( z1 ) sobre el eje real, tal como se muestra en la Fig. 1.3, se verifica la condición de ángulo en los distintos tramos del eje real, suponiendo la ocurrencia de raíces, tal como se muestra a continuación.

Figura 1.3: Ubicación de las raíces en el Plano s Si se supone que existe una raíz s 1 entre el polo p polo p 1 y el origen, se deben trazar los vectores correspondientes para comprobar el ángulo de los mismos. En la Fig. 1.4 (a), (b) y (c) se pueden observar dichos vectores, a partir de allí se puede determina la sumatoria de ángulos tal como lo expresa la Ec. 1.10, de donde se concluye que la condición de ángulo no se cumple por lo que dicho segmento no pertenece al lugar geométrico.

(a)

(b)

(c)

Figura 1.4: Verificación de la condición de angulo para s para s 1

3

1 Lugar Geométric Geométricoo de las Raíces (LGR) (LGR) ∠ (s + z + z1 )

+ p1 ) + ∠ (s + p + p2 )] = 00 − − [∠ (s + p



00 + 00 = 00 =

 −1800



(1.10)

Si ahora se supone que existe una raíz s2 entre el polo p1 y el cero z1 , se pueden observar los nuevos vectores en las Figs. 1.5 (a) y (b), a partir de las cuales se determina la sumatoria de ángulos tal como lo expresa la Ec. 1.11, de donde se concluye que la condición de ángulo se cumple por lo que dicho segmento pertenece al lugar geométrico.

(a)

(b)

Figura 1.5: Verificación de la condición de ángulo para s2 + z1 ) ∠ (s + z

+ p1 ) + ∠ (s + p + p2 )] = 00 − − [∠ (s + p

1800 + 00 =





−1800

(1.11)

De manera similar se pueden suponer la existencia de dos raíces más, s3 y s y s4 , para las cuales los vectores correspondientes se muestran en las Figs. 1.6 (a) y (b) y 1.7 (a), (b) y (c) respectivamente, así como en las ecuaciones 1.12 y 1.13 se muestran las sumatorias de los ángulos. A partir de allí se puede concluir que para la raíz s raíz s 3 no se cumple con la condición de módulo, mientras que para la raíz s 4 si se cumple.

(a)

(b)

Figura 1.6: Verificación de la condición de angulo para s3

(a)

(b)

(c)

Figura 1.7: Verificación de la condición de angulo para s4 + p1 ) + ∠ (s + p + p2 )] = 00 − 1800 + 00 = −00 = − [∠ (s + p  −1800 + z1 ) − [∠ (s + p + p1 ) + ∠ (s + p + p2 )] = −1800 − 1800 + 1800 = −3(1800 ) ∠ (s + z ∠ (s + z + z1 )

4









(1.12)

(1.13)

1.1 Construcc Construcción ión del Lugar Geométrico Geométrico de las Raíces A partir del análisis anterior se concluye que las las part partes es del del eje eje real real que que perte pertene nece cen n al luga lugarr geométrico son aquellas que se encuentran a la izquierda de un número impar de polos y ceros. ceros. Para el ejemplo que se está desarrollando se muestra en la Fig. 1.8 las partes del eje real que pertenecen al lugar geométrico.

Figura 1.8: Partes del eje real que pertenencen al LGR. G(s)H (s) =

(s+3) s(s+1)(s+2)(s+4)

Paso 3 Considerando que la función de transferencia a lazo abierto tiene n polos y m ceros, y que para los sistemas en estudio n estudio n > m, se tiene un cierto número de ramas que comienzan en los polos pero, debido a que existen más polos que ceros, dichas ramas se dirigen a ceros en el infinito a lo largo de asíntotas. El número de asíntotas, N A , se determina como la diferencia entre polos y ceros, tal como se expresa en la Ec. 1.14 y para la ubicación de su punto de partida del eje real, σA , y del ángulo de las mismas, φA , se utilizan las Ecs. 1.15 y 1.16, respectivamente. N A = n

−m

ceros de G( G(s)H (s)

 − − −

n

σA =



−

polos de G( G (s)H (s) N A

φA = donde q donde q = = 0, 1, 2,

(1.14) m

( p j )

=

j =1

(2q (2q 1) 1800 N A

−

( zi )

i=1

N A

(1.15)

(1.16)

· · · , (N − 1) A

A partir del conocimiento conocimiento del número número de asíntotas, asíntotas, de su ubicación y de sus ángulos ángulos es bastante bastante simple trazar la forma aproximada del lugar geométrico. Para el ejemplo en cuestión se calculan N A , σA y φA y en la Fig. 1.9 se muestra la ubicación de los mismos. N A = 4

σA =



−1 =3 (−1 − 2 − 4) − (−3) 4 = − = −1, 33

φA1 =

3

−600



3

φA2 = 600 φA3 = 1800

5

1 Lugar Geométric Geométricoo de las Raíces (LGR) (LGR)

Figura 1.9: Asíntotas y σ y σ A . G( G (s)H (s) =

(s+3) s(s+1)(s+2)(s+4)

Una vez ubicadas las asíntotas y los puntos de ruptura se debe determinar cual de los polos termina en el infinito a través de ellas. En el caso en cuestión se tiene que el polo ubicado en s = 2 termina en el cero ubicado en s = 3, en tanto que los otros tres polos deben terminar en las asíntotas. El polo ubicado en s en s = = 4 está sobre una de las asíntotas, lo que indica que por allí habrá una rama del lugar geométrico que termina en el infinito y los polos restantes se acercan a medida que aumenta K K para finalmente despegarse del eje real y dirigirse al infinito por las dos asíntotas restantes. El valor exacto del punto en donde se despega el lugar geométrico del eje real puede calcularse tal como se indica en el siguiente paso.

−

−

−

Paso 4 El punto o los puntos del eje real en el cual las raíces se despegan del eje y se convierten en raíces imaginarias se conocen como puntos de ruptura y ocurren cuando hay multiplicidad de raíces en un tramo, es decir, si dos o más raíces se van acercando a medida que aumenta K aumenta K ,, llega un punto en donde se encuentran y son iguales. Es allí en donde, al seguir aumentando K , dichas raíces se convierten en raíces imaginarias y se despegan del eje real. Tomando en consideración lo anterior se determina que el punto ruptura ocurre cuando se llega a un valor máximo de K después después del cual las raíces dejan de ser reales. Para obtener analíticamente dicho punto se debe reescribir la ecuación característica despejando el valor de K , tal como lo expresa la Ec. 1.17. A partir de allí es posible obtener el máximo de K derivando dicha ecuación y encontrando el valor de las raíces, s R , para las cuales la Ec. 1.18 sea igual a cero. Cabe destacar que no todas las raíces que son soluciones de dicha ecuación representan puntos de ruptura, eso se determina partiendo de un análisis que indique cuales de los tramos del eje real presentan multiplicidad de raíces. 1 K = p( p (s) = (1.17) G(s)H (s)

−



dK ds

sR

dp( dp(s) = ds



=0

(1.18)

sR

Para el ejemplo en cuestión existe un solo punto de ruptura, en el tramo que ocurre entre las raíces s = 0 y s = 1, las cuales se mueven a medida que aumenta K K y al unirse se convierten en raíces conjugadas, separándose del eje real. Para conocer dicho punto de ruptura se sigue el procedimiento anterior tal como se muestra. s(s + 1)(s 1)(s + 2)(s 2)(s + 4) s4 + 7s 7s3 + 14s 14s2 + 8s 8s K = = (s + 3) (s + 3)

−

−

6

−




dK = ds sR sR1 =

−0, 43

sR2 =

−

3s4 + 26s 26s3 + 77s 77s2 + 84s 84s + 24 (s + 3)2

−1, 6

sR3 =



=0

(1.19)

sR

−3, 3 + 0,0, 68 j s = −3, 3 + 0,0, 68 j De todas las raíces de la Ec. 1.19 solamente la raíz s raíz s = −0, 43 43 está está dentro de los límites determinados, R4

R1

es decir entre 0 y 1, por lo tanto ese es el punto de ruptura.

Paso 5 A partir de toda la información anterior es sumamente sencillo realizar un esbozo completo del lugar geométrico, el cual se muestra en la Fig. 1.10.

Figura 1.10: Esbozo del LGR. G LGR. G((s)H (s) =

(s+3) s(s+1)(s+2)(s+4)

Tal como se observa el esbozo del lugar geométrico corta el eje imaginario en un punto y atraviesa hacia el semiplano derecho. El valor de dicho punto puede calcularse numéricamente tal como se indica en el siguiente paso.

Paso 6 El punto en el cual el lugar geométrico corta el eje imaginario puede ser calculado de dos formas, utilizando el Criterio de Routh-Hurwitz o partiendo del hecho de que la raíz en dicho punto solamente tendrá parte imaginaria. Ambos métodos serán explicados utilizando el ejemplo que se está estudiando. El uso de Criterio de Routh-Hurwitz proporciona el valor de la ganancia crítica utilizando la ecuación característica a lazo cerrado tal como sigue. s4 + 7s 7s3 + 14s 14s2 + 8s 8s + K + K (s + 3) = 0

s4 1 14 3K 3 K 3 s 7 8 + K + K 0 2 s b1 3K 0 1 s c1 0 0 0 s 3K 0

7

1 Lugar Geométric Geométricoo de las Raíces (LGR) (LGR) b1 = 2 +720 K +720 c1 = −K −65 = b1

90−K 7 (K +74 +74,64)(K −9,65)

−

b1

> 0

⇒ ⇒

b1 > 0 > 0 K 1 > 74 74,, 64 K 2 < 9, 9 , 65

−

⇒

K < 90

⇒

K < 9, 9 , 65

De aquí se desprende que la ganancia crítica del sistema es igual a 9,65 y para dicho valor las raíces del lazo cerrado son las siguientes, s1 =

−4, 37

s2 =

−2, 62

s3 = +1, +1 , 58 j

s4 =

58 j j −1, 58

El corte con el eje imaginario ocurre en ω = 1, 58 y el valor correspondiente de la ganancia es de K = 9, 65 65.. El otro método consiste en sustituir en la ecuación característica a lazo cerrado s = j ω y se obtienen dos ecuaciones con dos incógnitas, K y ω. ω . ( jω jω))4 + 7 ( jω jω))3 + 14 14 ( jω jω))2 + 8 ( jω jω)) + K + K ( jω jω + + 3) = 0

ω4

14ω ω 2 + (8 + K + K ) ωj + ωj + 3 = 0 − 7ω3 j − 14

ω4

ω = 1, 5877

14ω ω 2 + 3K 3K = 0 − 14 ⇒ 2 −7ω − 8 − K = 0

K = 9, 65

Como puede observarse es posible obtener numéricamente el corte con el eje imaginario por ambos métodos con iguales resultados. A continuación se presenta un resumen de cada uno de los pasos a seguir para la construcción del lugar geométrico de las raíces de forma tal que sirva de referencia rápida para realizar un esbozo del lugar deseado. Plano s los polos y ceros del lazo abierto. Paso 1 Dibujar sobre el Plano s

Paso Paso 2 Determinar que parte del eje real pertenece al lugar geométrico. A partir de la condición de ángulo se determina que las partes del eje real que pertenecen al lugar geométrico son aquellas que se encuentran a la izquierda de un número impar de polos y ceros. ceros. Determinar el número de asíntotas, N asíntotas, N A , la ubicación de su punto de partida, σ A, y del ángulo Paso 3 Determinar de las mismas, φA , utilizando las Ec. 1.14, 1.15 y 1.16, respectivamente.

Paso 4 Si existe, calcular los puntos de ruptura o despegue del eje real. Dibujar un esbozo completo del lugar geométrico de las raíces. Paso 5 Dibujar Si existe, calcular el corte con el eje imaginario. Paso 6 Si Utilizando el procedimiento anterior se puede obtener, de forma rápida y eficaz, un esbozo del lugar geométrico de la raíces de la ecuación característica a lazo cerrado cuando se varía K K desde cero a infinito. Si fuera necesario conocer el lugar geométrico con mayor exactitud se puede utilizar alguna herramienta computacional, como por ejemplo el MATLAB, el cual es sumamente sencillo de utilizar. Para el ejemplo desarrollado se puede observar el lugar geométrico exacto en la Fig. 1.11, el cual es completamente semejante al mostrado en la Fig. 1.10, aún en los puntos que fueron calculados numéricamente.

8


8

6 System: sys Gain: 9.38 Pole: −0.00784 + 1.57i Damping: 0.00499 Overshoot (%): 98.4 Frequency (rad/sec): 1.57

4 System: sys Gain: 0.533 Pole: −0.458 Damping: 1 Overshoot (%): 0 Frequency (rad/sec): 0.458

o i r a 2 n i g a 0 m I e j E −2 −4

−6

−8 −12

−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4

Eje Real

Figura Figura 1.11: Lugar Geométrico Geométrico Exacto. G(s)H (s) =

(s+3) s(s+1)(s+2)(s+4)

A continuación se presentarán varios ejemplos para los cuales se obtendrá tanto el esbozo del lugar geométrico como su forma exacta. Ejemplo 1.1 Para un sistema de control como el mostrado en la Fig. 1.1 es necesario conocer el lugar geométrico de las raíces para variaciones de K . Se solicita que realice lo anterior para las siguientes funciones de transferenci transferencia a a lazo abierto. (s+3)(s+8) a) G(s)H (s) = s(s+1)(s+5)(s+6) b) G(s)H (s) =

(s+8) (s+1)(s+6)2 (s+3)2

Solución Para cada uno de los casos propuestos se desarrollará el esbozo del lugar geométrico utilizando el procedimiento anterior, paso a paso, para finalmente presentar también el lugar exacto gracias al uso del MATLAB. (s+3)(s+8) a)G(s)H (s) = s(s+1)( s+5)(s+6)

Paso 1 Dibujar sobre el Plano s los polos y ceros del lazo abierto. (Fig. 1.12(a)) Determinar que parte del eje real pertenece al lugar geométrico. A partir de la condición de Paso 2 Determinar ángulo se determina que las las partes del eje real que pertenecen al lugar geométrico son aquellas que se encuentran a la izquierda de un número impar de polos y ceros (Fig. 1.12(b)).

(a)

(b)

Figura 1.12: Polos 1.12: Polos y ceros en el Plano s. G( G (s)H (s) =

(s+3)(s+8) s(s+1)(s+5)(s+6)

9

1 Lugar Geométric Geométricoo de las Raíces (LGR) (LGR) Determinar el número de asíntotas N asíntotas N A , la ubicación de su punto de partida σA y el ángulo de Paso 3 Determinar las mismas φA , utilizando las Ec. 1.14, 1.15 y 1.16, respectivamente. N A = 4

σA =



−2=2 (−1 − 5 − 6) − (−3 − 8) 1 = − = −0, 5 2

φA1 =

 0

−90

2

0

φA2 = 90

Paso 4 Si 4 Si existe, calcular los puntos de ruptura o despegue del eje real. Como se puede observar en la Fig. 1.12, de las ramas del lugar geométrico que se encuentran sobre el eje real, solamente aquella que se encuentra entre s = 0 y s = 1 contiene dos raíces que deberán despegarse y dirigirse al infinito a través de las asintotas, las otras dos ramas están completas pues comienzan en un polo y terminan en un cero. Es por ello que solamente existirá un punto de ruptura y debe encontrarse entre s = 0 y s = 1. Para obtenerlo se sigue el mismo procedimiento que se mostró anteriormente.

−

−

K =

 

dK ds sR1 =

−9, 88

1)(s + 5)(s 5)(s + 6) s =− − s(s +(s1)(s + 3)(s 3)(s + 8) =

sR

sR2 =

−

−5, 55

4

+ 12s 12s3 + 41s 41s2 + 30s 30s s2 + 11s 11s + 24

2s5 + 45s 45s4 + 360s 360s3 + 1285s 1285s2 + 1968s 1968s + 720 2 (s2 + 11s 11s + 24) sR3 =

−3, 27 + 1,1, 4 j

sR4 =

 

=0

(1.20)

sR

−3, 27 + 1,1, 4 j s = −0, 52 = −0, 52 52 está está dentro de los límites R5

De todas las raíces que satisfacen la Ec. 1.20 solamente la raíz sR1 posibles, es decir entre 0 y 1, por lo tanto ese es el punto de ruptura.

Dibujar un esbozo completo del lugar geométrico de las raíces. Ya quedó determinado cuales de Paso 5 Dibujar ramas del lugar geométrico están completas, pues comienzan en un polo y tienen en sus cercanías un cero en donde terminar. Además, ya se conoce el punto de ruptura, por lo tanto es posible realizar el esbozo del lugar, tal como se pmuestra en la Fig. 1.13.

Figura 1.13: Esbozo 1.13: Esbozo del Lugar Geométrico. Geométrico. G( G (s)H (s) =

(s+3)(s+8) s(s+1)(s+5)(s+6)

Si existe, calcular el corte con el eje imaginario. Paso 6 Si Como se puede observar, según el esbozo mostrado en la Fig. 1.13, el lugar geométrico no cruza hacia el semiplano derecho, por lo tanto no existe corte con el eje imaginario y el sistema a lazo cerrado es estable para todo valor de K , lo cual podría ser comprobado utilizando el Criterio de Routh-Hurwitz.

10

1.1 Construcc Construcción ión del Lugar Geométrico Geométrico de las Raíces Finalmente se presenta en la Fig. 1.14 el lugar geométrico exacto gracias al uso del MATLAB, en la cual se observa la semejanza con el esbozo realizado.

8

6


o i r a 2 n i g a 0 m I e j E −2 −4

−6

−8 −9

−8

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

Eje Real

Figura 1.14: Lugar 1.14: Lugar Geométrico Exacto. Exacto . G(s)H (s) = G (s)H (s) = b) G(

(s+3)(s+8) s(s+1)(s+5)(s+6)

(s+8) (s+1)(s+6)2 (s+3)2

Paso 1 Dibujar sobre el Plano s los polos y ceros del lazo abierto.(Fig. 1.15(a)) Determinar que parte del eje real pertenece al lugar geométrico. A partir de la condición de Paso 2 Determinar las partes del eje real que pertenecen al lugar geométrico son aquellas ángulo se determina que las que se encuentran a la izquierda de un número impar de polos y ceros .(Fig. 1.15(b))

(a)

(b)

Figura Figura 1.15: G(s)H (s) =

(s+8) (s+1)(s+6)2 (s+3)2

Paso 3 Determinar Determinar el número de asíntotas, N A , la ubicación de su punto de partida, σA, y del ángulo de las mismas, φA , utilizando las Ec. 1.14, 1.15 y 1.16, respectivamente. N A = 5 1 = 4

−

σA =

−− ( 1

φA1 =

3

−450

− 3 − 6 − 6) − 4

−

( 8)

=

− 114 = −2, 75

φA2 = 450 φA3 = 1350 φA4 = 2250

11


Paso 4 Si existe, calcular los puntos de ruptura o despegue del eje real. Como se puede observar en la Fig. 1.15, entre s = y s = entre s = s = 1 y s = 3 dos raíces se unirán y ocurrirá una ruptura. Así mismo, entre s = 3 y s = s = 6 otras dos raíces se unirán y ocurrirá otra ruptura, en tanto que la última raíz se moverá desde el polo en s = 6 hasta el cero en s = 8. Para obtener dichos puntos de ruptura se sigue el mismo procedimiento que se mostró anteriormente. (s + 1)(s 1)(s + 6)2 (s + 3)2 s5 + 19s 19s4 + 135s 135s3 + 441s 441s2 + 648s 648s + 324 K = = (s + 8) (s + 8)

−

−

−

−

−

−

−

−



dK ds sR1 =

= sR

−8, 85

−

4s5 + 97s 97s4 + 878s 878s3 + 3681s 3681s2 + 7056s 7056s + 4860 (s + 8)2 sR2 =

−6

sR3 =

−4, 8

sR4 =

−3



=0

(1.21)

sR

sR5 =

−1, 58 = −1, 58 58 cumplen cumplen

De todas las raíces que satisfacen la Ec. 1.21 solamente las raíces sR3 = 4, 8 y sR5 con el razonamiento inicial, por lo tanto esos son los puntos de ruptura. Dibujar un esbozo completo del lugar geométrico de las raíces. Ya quedó determinado cuales de Paso 5 Dibujar las ramas del lugar geométrico están completas, pues comienzan en un polo y tienen en sus cercanías un cero en donde terminar. Además, ya se conocen los puntos de ruptura, por lo tanto es posible realizar el esbozo del lugar, tal como se muestra en la Fig. 1.16.

−

Figura 1.16: Esbozo 1.16: Esbozo del Lugar Geométrico. G Geométrico. G((s)H (s) =

(s+8) (s+1)(s+6)2 (s+3)2

Si existe, calcular el corte con el eje imaginario. Paso 6 Si Como se puede observar, según el esbozo mostrado en la Fig. 1.16, el lugar geométrico cruza hacia el semiplano derecho, por lo tanto existe un corte con el eje imaginario, el cual puede calcularse numéricamente utilizando cualquiera de los dos métodos mencionados previamente. se utilizará el segundo método propuesto por considerarlo, en este caso, más sencillo que aplicar el Criterio de Routh-Hurwitz. s5 + 19s 19s4 + 135s 135s3 + 441s 441s2 + 648s 648s + 324 + K + K (s + 8) = 0 ( jω jω))5 + 19 19 ( jω jω))4 + 1135 35 ( jω jω))3 + 441 441 ( jω jω))2 + (648 + K + K ) ( jω jω)) + 324 + 8K 8K = 0

12


jω 5 + 19ω 19ω 4

441ω ω 2 + (648 + K + K ) jω jω + + 324 + 8K 8K = 0 − 135 jω 3 − 441

19 19ω ω4

441ω ω 2 + 324 + 8K 8K = 0 − 441 ⇒ 4 2 ω − 135 135ω ω + 648 + K + K = 0

ω = 2, 6 K = = 223

Finalmente se presenta en la Fig. 1.17 el lugar geométrico exacto gracias al uso del MATLAB, en el cual se destacan los valores numéricos calculados para los puntos de despegue y el corte con el eje imaginario, los cuales coinciden con lo esperado.

10

8 System: sys Gain: 221 Pole: −0.00689 + 2.59i Damping: 0.00266 Overshoot (%): 99.2 Frequency (rad/sec): 2.59

6

4

o i r a n i g a m I e j E

System: sys Gain: 5.53 Pole: −4.86 Damping: 1 Overshoot (%): 0 Frequency (rad/sec): 4.86

2


−2

−4

−6

−8

−10 −12

−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

Eje Real

Figura 1.17: Lugar 1.17: Lugar Geométrico Exacto G(s)H (s) =

(s+8) (s+1)(s+6)2 (s+3)2

Ejemplo 1.2 Un sistema de control de retrolalimentación simple, como el mostrado en la Fig. 1.1, tiene una función de transferencia a lazo abierto como se muestra en la Ec. 1.22. Utilizando su lugar geométrico de las raíces para variaciones del parámetro K , que se muestra en la Fig. 1.18, se desea que Ud. responda a las siguientes preguntas: K que garantice la estabilidad del sistema de control?, de a) ¿Existirá un valor límite de la ganancia K que ser afirmativa su respuesta calcule dicho valor utilizando el lugar geométrico y compruebe su resultado con el criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz. b) Calcule para que valor de ganancia el sistema a lazo cerrado tendrá la mejor respuesta transitoria. c) Calcule para que valor o valores de ganancia los polos dominantes tengan un tiempo de establecimento al 2 % menor menor que 4 seg. seg. , de existi existirr más de un valor valor de K , K , diga para cada caso como sería su respuesta transitoria (exponencial u oscilatoria) y calcule el error ante un escalón y una rampa, ambos unitarios. d) Añada un polo en el origen y realice un bosquejo del lugar geométrico. Basándose en dicha información, analice el efecto que tiene la adición de dicho polo en la respuesta temporal del sistema de control, tanto transitoria como permanente.

13


GH (s) =

10 s3 + 9s 9s2 + 18s 18s + 5

(1.22)

5

4

3

2


1

0

−1

−2

−3

−4

−5 −7

−6.5

−6

−5.5

−5

−4.5

−4

−3.5

−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

Eje Real

Figura 1.18: Lugar 1.18: Lugar Geométrico de las raíces Gp( Gp(s) =

10

s3 +9s2 +18s+5

Solución a) Analizando el lugar geométrico se observa que tienen dos ramas que cruzan hacia el semiplano positiva, por lo que si existe un límite de ganancia para la estabilidad absoluta del lazo cerrado. Dicho límite ocurre cuando las raíces se encuentran sobre el eje imaginario en aproximadamente s = 4, 2 j, j , por lo que para calcular el valor de la ganancia crítica se utiliza la condición de módulo, tal como se muestra a continuación.

±

K cr cr K cr cr =

 

10 (s + 0, 0 , 33)(s 33)(s + 2, 2 , 42)(s 42)(s + 6, 6, 25)

j + 0, 0 , 33| |4, 2 j + j + 2, 2 , 42| |4, 2 j + j + 6, 6 , 25| |4, 2 j + 10

=

⇒

 

=1 s=4,2 j

K cr cr =

(4, (4, 21)(4, 21)(4, 85)(7, 85)(7, 53) = 15 15,, 37 10

Utilizando el criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz, el cálculo de K de K cr cr se debe realizar con la ecuación característica a lazo cerrado tal como sigue. 1 + K + K cr cr



10 3 2 s + 9s 9s + 18s 18s + 5



=0

s3 + 9s 9s2 + 18s 18s + (5 + 10K 10K cr cr ) = 0 5 + 10K 10K cr cr > 0

=

⇒

K cr cr >

−0, 5

s3 1 18 2 s 9 5 + 10K cr cr 1 s b1 0 s0 5 + 10K 10K cr cr

14


b1 =

9(18)

10K − (5 + 10K

cr cr )

9

> 0

=

K cr 15, 7 cr < 15,

⇒

Como se puede observar, el valor de K cr cr se puede obtener por ambos métodos, de los cuales el uso del criterio de Routh-Hurwitz resulta ser exacto, pero su resolución podría ser bastante más elaborada que el simple cálculo de ganancia utilizando la condición de módulo. b) La mejor respuesta temporal ocurrirá cuando las dos raíces que se encuentran en las ramas dominantes del lugar geométrico sean iguales, es decir, en el punto de ruptura. En ese punto se tendrá la respuesta temporal más rápida y la forma de la misma será exponencial pues las raices son reales. Para calcular la cálculo de la ganancia en dicho punto se utiliza la condición de módulo evaluada en s 1, 3.

≈−



10 K (s + 0, 0 , 33)(s 33)(s + 2, 2 , 42)(s 42)(s + 6, 6, 25) K =

(0, (0, 97)(1, 97)(1, 12)(4, 12)(4, 95) 10

=

⇒



=1 s=−1,3

K = 0, 52

c) El valor del tiempo de establecimiento indica la ubicación de las raíces dominantes respecto al eje real, bien sea que dichas raíces sean imaginarias o reales (Ec. 1.23), es por ello que se traza una recta vertical vertical en s = s = 1 y se determinan los cortes con el lugar geométrico tal como se muestra en la Fig. 1.19. Como se puede observar existen dos valores posibles de K K para los cuales la ecuación característica a lazo cerrado presentará unas raíces dominantes cuyo tiempo de establecimiento es el requerido, s 1 = 1 y s2,3 = 1 1, 6 j. j . A continuación se calculan ambas ganancias y el error ante el escalón para cada caso, pues el error a la rampa será siempre infinito ya que el sistema a lazo abierto es tipo 0.

−

−

− ±

5

4

3

2


K2

K1

1

0

−1

−2

−3

−4

−5 −7

− 6 .5

−6

− 5. 5

−5

− 4. 5

−4

− 3 .5

−3

− 2. 5

−2

− 1. 5

−1

− 0 .5

0

Eje Real

Figura 1.19: Lugar 1.19: Lugar Geométrico (mismo ts )

ts(2%) = 4τ =

4 =4 ζ ωn

=

⇒

ζ ωn =

1 =1 τ

(1.23)

15


 

10 K 1 (s + 0, 0, 33)(s 33)(s + 2, 2 , 42)(s 42)(s + 6, 6 , 25)

 

10 K 2 (s + 0, 0 , 33)(s 33)(s + 2, 2, 42)(s 42)(s + 6, 6, 25) ess1 =

 

 

= s=−1

(0, (0, 67)(1, 67)(1, 42)(5, 42)(5, 25) 10 =

s=−1+1,6 j

=

K 1 = 0, 5

⇒

(0, (0, 67)(1, 67)(1, 42)(5, 42)(5, 25) 10

=

⇒

K 2 = 2

1 1 = = 0, 5 1 + K + Kp p1 1 + (0,5)(10) 5

ess2 =

1 1 = (2)(10) = 0, 0 , 33 1 + K + Kp p2 1 + 5

Como se esperaba el error es menor para K para K 2 pues el valor de la ganancia a lazo abierto el mayor, pero, a pesar de que en ambos casos el sistema se establece al mismo tiempo, la respuesta transitoria para K 1 no presentará ninguna oscilación pero para K 2 el valor del factor de amortiguamiento será menor que 1.

d) Al añadir un polo en el origen, el lugar geómetrico modificado se muestra en la Fig. 1.20, donde se puede apreciar que las ramas dominantes se desplazaron considerablemente hacia la derecha, por lo que el tiempo de establecimiento aumentará de forma apreciable. En lo que tiene que ver con el error, el sistema a lazo abierto pasa a ser de tipo I, por lo que el error al escalón será cero y a la rampa será finito.

4

3

2


1

0

−1

−2

−3

−4 −7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

Eje Real

Figura 1.20: Lugar Geométrico modificado (polo en el origen)

16

1.2 Lugares Lugares Geométricos Geométricos Típicos

1.2. 1.2.

Luga Lugares Geomét Geométric ricos os Típic Típicos os

Con la intención de dejar más claramente establecidos los beneficios que reporta el conocimiento del lugar geométrico de las raices de un sistema, se presentarán en esta sección algunos lugares geométricos de funciones de transferencia típicas y se realizará un breve análisis para cada uno de ellos. Para un sistema de primer orden, cuya función de transferencia a lazo abierto está descrita por la Ec. 1.24, se tiene un lugar geométrico como el que se observa en la Fig. 1.21 (a), en la cual se destaca que a lazo cerrado la solución de la ecuación característica será siempre un polo real, por lo que la respuesta siempre tendrá forma exponencial. Así mismo se puede concluir que, a medida que aumenta K , K , dicho polo se aleja más del eje imaginario, por lo que la constante de tiempo del sistema será cada vez más pequeña haciendo que la rapidez de la respuesta sea más alta y su tiempo de establecimiento menor. En lo que respecta a la estabilidad, el sistema a lazo cerrado será estable para cualquier valor de K pues el lugar geométrico no tiene ninguna rama en el semiplano derecho. 1 G(s)H (s) = (1.24) (s + 2) Para un sistema de segundo orden orden, cuya función de transferencia a lazo abierto está descrita por la Ec. 1.25, se tiene un lugar geométrico como el que se observa en la Fig. 1.21 (b), en la cual resalta el hecho de que para valores bajos de K los K los polos del lazo cerrado son reales, pero a medida que dicho parámetro aumenta los polos se acercan hasta que se igualan y posteriormente se convierten en conjugados. En otras palabras, para valores bajos de K la K la forma de la respuesta podrá aproximarse a la de un sistema de primer orden y su tiempo de establecimiento estará dominado por el polo que se encuentre más cerca del eje imaginario, en tanto que, para valores grandes de K los K los polos serán conjugados por lo que el sistema será subamortiguado. El valor del establecimiento en este último caso no se verá modificado a medida que aumenta K pues K pues los polos siempre se encuentran a la misma distancia del eje imaginario, pero el valor del amortiguamiento irá disminuyendo por lo que la respuesta irá incrementando su sobreimplulso. En lo que respecta a la estabilidad, el sistema a lazo cerrado será estable para cualquier valor de K pues K pues el lugar geométrico no tiene ninguna rama en el semiplano derecho. 1 G(s)H (s) = (1.25) (s + 2)(s 2)(s + 4)

1.5

1

1


0.5


0

0.5

0

−0.5

−0.5

−1 −1

−25

−20

−15

−10

−5

0

5

−1.5 −4.5

−4

− 3.5

−3

Eje Real

(a) Un polo

−2.5

−2

− 1.5

−1

−0.5

0

Eje Real

(b) dos polos

Figura 1.21: Lugares Geométricos

17

1 Lugar Geométric Geométricoo de las Raíces (LGR) (LGR) Si se añade un tercer polo, que podría ser en el origen, el sistema pasa a ser de tercer orden y su función de transferencia a lazo abierto quedará descrita por la Ec. 1.26 (a), para la cual se tiene un lugar geométrico como el que se observa en la Fig. 1.22. El comportamiento de la respuesta transitoria es similar al del caso anterior, es decir, para valores de bajos K se K se tendrá un respuesta exponencial, pero a medida que K aumenta K aumenta se pasa a tener una respuesta subamortiguada, con la diferencia de que el tiempo de establecimiento se hace cada vez mayor hasta que llega a un límite a partir del cual el sistema pasa a ser inestable pues el lugar geométrico cruza hacia el semiplano derecho. 1 G(s)H (s) = (1.26) s(s + 2)(s 2)(s + 4) Ahora, si se mantienen los polos pero se añade un cero en el eje real, quedando la función de transferencia a lazo abierto descrita por la Ec. 1.27, se tiene un lugar geométrico como el que se observa en la Fig. 1.26 (b). En este último caso destaca el hecho de que el sistema a lazo cerrado será siempre estable pues con la adición del cero el lugar no atraviesa hacia el semiplano derecho con lo cual la respuesta transitoria se ve impactada en forma muy positiva. (s + 3) G(s)H (s) = (1.27) 2)(s + 4) s(s + 2)(s

6

10

8 4 6



2

0

4

2

0

−2

−2 −4

−6 −4 −8

−6 −5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

−10 −4.5

−4

−3.5

Eje Real

(a) Tres polos

−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

Eje Real

(b) Tres polos y un cero

Figura 1.22: Lugares Geométricos Partiendo de los ejemplos mostrados anteriormente se demuestra la gran utilidad del lugar geométrico para el análisis de la respuesta de sistema a lazo cerrado a medida que varía un parámetro y a medida que se modifica la función de transferencia a lazo abierto, lo cual podrá ser utilizado para el diseño de sistemas de control.

1.3. 1.3.

Interp Interpre retac tación ión y Uso del Luga Lugarr Geométr Geométrico ico de las las Raíces Raíces

El lugar geométrico de las raíces es una herramienta muy útil para el análisis de la respuesta transitoria del sistema a lazo cerrado, pues informa como se van moviendo los polos del sistema a medida que se varía un parámetro. Entre los diferentes aspectos, respecto a los cuales pueden obtenerse importantes conclusiones, se pueden mencionar los siguientes.

18

1.3 Interpre Interpretació tación n y Uso del Lugar Geométrico Geométrico de las Raíces El lugar geométrico muestra todas las soluciones de la ecuación característica a lazo cerrado a medida que aumenta K aumenta K , lo que permite conocer la influencia de dicho parámetro sobre la respuesta transitoria. Las ramas del lugar geométrico que se encuentren más cerca del eje imaginario se conocerán como las ramas dominantes del lugar pues sobre ellas se desplazan los polos dominantes del sistema. Si todas las ramas se encuentran en el semiplano izquierdo se puede concluir que el sistema a lazo cerrado será estable para cualquier valor de K , pues ésto indica que no existe ningún polo con parte real positiva. Por otro lado, si alguna rama del lugar geométrico atraviesa hacia el semiplano derecho, esto indica que para ciertos valores del K K el sistema a lazo cerrado es inestable, pero, si existe alguna rama que desde que comienza hasta que termina se encuentra en el semiplano derecho, se puede concluir que el sistema será inestable para cualquier valor de K . El conocimiento exacto del lugar geométrico permite determinar que valor debería tener la ganancia K para para que el sistema a lazo cerrado tuviese un comportamiento específico. A continuación se analizará detalladamente el lugar geométrico que se mostró en la Fig. 1.11, a partir del cual se puede concluir respecto a diferentes aspectos de la respuesta tales como los siguientes. Para valores bajos de K los K los polos del lazo cerrado son todos reales, tal como se muestra en la Fig. 1.23, lo que indica que la forma de la respuesta será exponencial semejante a la de los sistemas de primer orden. También se puede concluir que el tiempo de establecimiento será muy alto, pues el polo dominante se encuentra muy cerca del eje imaginario, pudiéndose aproximar dicho tiempo utilizando la constante de tiempo del polo dominante, tal como lo muestra la Ec. 1.28. Lugar Geométrico 4

3

2

1

o i r a n i g a m 0 I e j E

S3

S4

S1

S2

−1

Polo Dominante −2

−3

−4 −5

−4

−3

−2 Eje Real

−1

0

1

2

Figura 1.23: Ubicación de las raíces para valores bajos de K . K . ts(2%) = 4τ

⇒

 ⇒

1 ts(2%) = 4 s1

ts(2%)

≈ 4

 ⇒ 1 0, 2

ts(2%)

≈ 20

(1.28)

A medida que se incrementa el valor de la ganancia los polos se van desplazando hasta un punto en el cual los polos s polos s 1 y s 2 se igualan en el punto de ruptura del lugar. Para dicho valor de ganancia se puede decir que se tendrá la respuesta a lazo cerrado con menor tiempo de establecimiento, el cual puede calcularse partiendo del valor del punto de ruptura tal como lo expresa la Ec. 1.29. Esto es debido a que ese es el punto más alejado del eje imaginario en el cual se pueden ubicar los polos dominantes del lugar. Cabe destacar que la forma de la respuesta seguirá siendo de tipo exponencial pues los polos se

19

1 Lugar Geométric Geométricoo de las Raíces (LGR) (LGR) mantienen reales. El valor de la ganancia para el cual se cumple con la condición de menor tiempo de establecimiento se calcula utilizando la condición de módulo tal como se muestra a continuación. 1 ts(2%) = 4τ ts(2%) 4 ts(2%) 9, 3 (1.29) 0, 43

⇒



1 K = G(s)H (s) K =



≈

s=−0,43

 ⇒

 | | |

≈

s s + 1 s + 2 s + 4 = s + 3

|| || | |

(0, (0, 43)(0, 43)(0, 57)(1, 57)(1, 57)(3, 57)(3, 57) (2, (2, 57)

|



s=−0,43

⇒ K = 0, 5345

Ahora, si el valor de la ganancia supera el calculado anteriormente, el lugar geométrico se despega del eje real y los polos dominantes pasan a ser conjugados, lo que implica que la respuesta podrá ser aproximada a la de un sistema de segundo orden subamortiguado. El valor de ζ ζ disminuye a medida que K que K aumenta, aumenta, por lo tanto el máximo sobreimpulso o pico crecerá. Si se quisiera determinar el valor de K para K para un valor límite de ζ ζ se podría realizar fácilmente a partir del lugar geométrico tal como sigue. Suponga que se desea que ζ que ζ = 0, 5, lo que implica que las raíces deben estar en la linea punteada que se muestra en la Fig. 1.24.

1

0.8

seda = 0,5

0.6

0.4

o i r a0.2 n i g a m0 I e j E −0.2 −0.4

−0.6

−0.8

−1 −5

−4.5

−4

−3.5

−3

−2.5

2 Eje −Real

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

Figura 1.24: Ubicación de los polos que satisfacen ζ satisfacen ζ = 0, 5. De allí que, el punto s = 0, 35 + 0, 0, 6 j, j , en el cual dicha linea corta al lugar geométrico, cumple con la condición impuesta. Con esta información se calcula el valor de K utilizando K utilizando la condición de módulo, tal como lo indica la Ec. 1.30.

−

|s| |s + 1| |s + 2| |s + 4| K = |s + 3|



s=−0,35+0,6 j

(0, 69)(0, 69)(0, 88)(1, 88)(1, 76)(3, 76)(3, 70) ⇒ K = (0, ⇒ K = 1, 47 (2, (2, 72)

(1.30)

También se puede requirir el valor de la ganancia tal que se satisfaga con un tiempo de establecimiento máximo, por ejemplo, ts(2%) 10 10.. Para ello debe ubicarse en el plano una linea vertical que satisfaga dicha condición, tal como se muestra en la Fig. 1.25, y obtener de allí todos los posibles cruces con el lugar geométrico. Como se puede observar existen tres posibles raíces que satisfacen dicha condición, una raíz real y un par de raíces imaginarias, s imaginarias, s 1 = 0, 4 y s 2,3 = 0, 4 0, 4 j, j , por lo que se tendrán dos

≤

−

20

− ±

1.4 Ejercicios Ejercicios Resueltos Resueltos posibles valores de K K cuyos cálculos se muestran en las Ecs. 1.40 y 1.39. Es importante resaltar que la raíz conjugada de s3 también satisface la condición impuesta, pero ocurrirá para el mismo valor de ganancia que s2 . s s + 1 s + 2 s + 4 (0, (0, 4)(0, 4)(0, 6)(1, 6)(1, 6)(3, 6)(3, 6) (1.31) K 1 = K 1 = K 1 = 0, 53 s + 3 (2, (2, 6) s1 =−0,4

 

| ||

K 2 =

|| || | ⇒ ⇒ | | (0, (0, 57)(0, 57)(0, 72)(1, 72)(1, 65)(3, 65)(3, 62) |s| |s + 1| |s + 2| |s + 4| K 2 = ⇒ ⇒ K 2 = 0, 93 (2, (2, 63) |s + 3| = 0 4+0 4 s2

−

,

(1.32)

, j

Adicionalmente al cálculo de las ganancias se puede concluir que para el caso en que K = K 1 la respuesta tendrá una forma exponencial, pues su polo dominante es real, pero su error a la rampa será mayor que para el caso en que K = K 2 . Ahora, cuando K = K 2 la respuesta será subamortiguada y presentará un sobreimpluso, que podría ser calculado determinando el valor de ζ a ζ a partir del valor de la raíz. Como se puede observar, los análisis que pueden realizarse a partir del conocimiento del lugar geométrico son rápidos y útiles, por lo que resulta una herramienta sumamente poderosa y útil para el diseño de sistemas de control.

1

ts = 10

0.8

0.6

S2, S3 0.4

S1

o i r a0.2 n i g a m0 I e j E −0.2 −0.4

−0.6

−0.8

−1 −1.2

−1

−0.8

−0.6

Eje Real −0.4

−0.2

0

Figura 1.25: Ubicación de los polos que satisfacen t satisfacen t s(2%) = 10 10..

1.4. 1.4.

Ejerci Ejercicio cioss Resuel Resueltos tos

Problema resuelto 1.1 Considere un sistema de control de retroalimentación simple cuya función de transferencia a lazo abierto se muestra en la Ec. 1.33. Partiendo de dicha información se requiere que usted realice lo siguiente:

a) Haga un bosquejo del lugar geométrico de las raices para valores positivos de K . b) Localice todos los cruces con el eje imaginario y encuentre el valor de K para K para cada uno. K para la estabilidad. c) A partir de b) diga el rango de K para

d) Utilice MATLAB para verificar lo obtenido anteriormente.

21


KGH ( KGH (s) =

K (s + 1) 1) (s + 8

j ) ± 2 j)

(1.33)

Solución Siguiendo las reglas reglas para ara la constr construc ucción ción del lugar geomét geométric rico o mencionad mencionadas as previam previamente ente en este a) Siguiendo capítulo, se puede realizar un bosquejo lugar geométrico. Se ubican polos y ceros de lazo abierto en el Plano s y las partes del eje real que pertenecen al lugar geométric geométrico. o. Se calcula en número de asíntotas N A, el punto de partida σA y el ángulo de las mismas. N A = 3

σA =





polos de G(s)H (s) N A

−

−0


φA1 =

−600

φA2 =

=

−600

2 j − 8 − 2 j −17 −1 − 8 + 2 j = = −5, 66 3

3

φA3 = 1800

Se calculan los puntos de ruptura del eje real.

 −

K =



dK = ds sR

sR1 =

−

s3 + 17s 17s2 + 84s 84s + 68

3s2 + 34s 34s + 84

−7, 69

sR2 =



sR



=0

−3, 63

Dado que estos dos valores pertenecen al lugar geométrico, ello indica que en dichos puntos ocurre multiplicidad de raíces. Dicha condición solo es posible si las raíces que parten de las dos raíces imaginarias se dirigen al eje real y se encuentran en uno de los puntos de ruptura, a partir de cual una raíz se dirigirá al infinito a través de la asíntota y la otra raíz se encontrará con aquella que viene de s = 1 para despegarse nuevamente y seguir las otras dos asíntotas.

−

Se calcula el ángulo de despegue de los polos imaginarios, para lo cual se aplica la condición de ángulo para un punto muy cercano a una de las raíces imaginarias, en este caso se hizo para la raíz positiva. Como se muestra en la Ec. 1.34, φd corresponde al ángulo entre la raíz y el punto, en tanto que los 900 y los 1640 corresp orresponden onden los ángulos ángulos de los polos (s + 8 2 j) j ) y (s + 1), 1), respectivamente.

−

−φ − 900 − 1640 = −1800 ⇒ d

φd =

−740

Finalmente, se puede completar el esbozo requerido en la Fig. 1.26.

22

(1.34)

1.4 Ejercicios Ejercicios Resueltos Resueltos

Figura 1.26: Esbozo del lugar geométrico K geométrico K GH (s) =

K

(s+1)(s+8±2 j )

b) Como se puede observar en el esbozo realizado, para altos valores de K el K el lugar geométrico cruzará hacia la derecha del eje imaginario. Dicho cruce se puede calcular utilizando el Criterio de RouthHurwitz o evaluando la ecuación característica en s en s = = j jω ω, ambos métodos se mostrarán a continuación. Método Método 1 Se aplica el Criterio de Routh-Hurwitz a la ecuación característica a lazo cerrado, para encontr encontrar ar el valor del K cr cr y luego obtener las raíces de las mismas para ubicar el cruce en el eje imaginario. 1+

K =0 s3 + 17s 17s2 + 84s 84s + 68

s3 + 17s 17s2 + 84s 84s + (68 + K + K ) = 0

Como el valor de K es K es siempre positivo la primera condición se cumple siempre, ahora se plantea la tabla. s3 1 84 2 s 17 68 + K 1 s b1 0 0 + K s 68 + K

b1 =

1428

− 68 − K ≥ 0 ⇒ 17

K

≥ ≥ 1360

De allí que el valor del K K cr 1360 es aquel para el cual el lugar geométrico estará sobre el eje imaginario. cr = 1360 es Para ese valor de ganancia las raíces de la ecuación característica a lazo cerrado serán las siguientes, s1 =

−17

;

s1,2 =

±9, 17 j

Se evalúa la ecuación característica en s = j = jω ω y se obtiene K cr Método 2 Se cr y ω , tal como sigue. ( jω jω))3 + 17 17 ( jω jω))2 + 84 84 ( jω jω)) + (68 + K + K cr cr ) = 0

23


17ω ω 2 + 84ωj 84ωj + + 68 + K + K −ω3 j − 17

cr cr

− ω3 = 0 ⇒ 2 68 + K + K − 17 17ω ω =0 84 84ω ω

cr cr

ω =

=0

√ 84 = 9,9, 17

K cr cr = 1360

c) A partir de lo anterior se puede concluir que el sistema será estable cuando K

1360.. ≤ ≤ 1360

d) El lugar geométrico exacto se muestra en la Fig. 1.27, en la cual se resaltan el corte con el eje imaginario y el valor de la ganancia para dicho punto, así como, los puntos de ruptura del eje real.

Figura Figura 1.27: Lugar 1.27: Lugar Geométrico exacto KGH ( KGH (s) =

K

(s+1)(s+8±2 j )

Problema resuelto 1.2 Realice el bosquejo del lugar geométrico de un sistema de control de retroalimentación simple, cuya función de transferencia a lazo abierto se muestra a continuación. G(s) =

K (s + 2) 2) (s + 4) 4) (s2 + 6s 6s + 18)

A partir de alli diga, si es posible, calcular para cuál valor de K el K el lazo cerrado tendrá el menor tiempo de establecimiento posible. Solución Siguiendo las reglas para la construcción del lugar geométrico mencionadas previamente en este capítulo, se puede realizar un bosquejo lugar geométrico. Se ubican polos y ceros de lazo abierto en el Plano s y las partes del eje real que pertenecen al lugar geométric geométrico. o. Se calcula en número de asíntotas N A, el punto de partida σA y el ángulo de las mismas. N A = 4

24

−0

1.4 Ejercicios Ejercicios Resueltos Resueltos

σA =





polos de G( G (s)H (s) N A

−

φA1 =

−450


φA2 =

−1350

=

φA3 =

3 j − 3 − 3 j −12 −2 − 4 − 3 + 3 j = = −3 4

−2250

φA4 =

4

−3150

Se calculan los puntos de ruptura del eje real.

 −

K =



dK ds

= sR

−

s4 + 12s 12s3 + 62s 62s2 + 156s 156s + 144

4s3 + 36s 36s2 + 124s 124s + 156

sR1 =

−3





sR2,3 =

sR

=0

−3 ± 2 j

Se calcula el ángulo de despegue de los polos imaginarios, para lo cual se aplica la condición de ángulo para un punto muy cercano a una de las raíces imaginarias, en este caso se hizo para la raíz positiva. Como se muestra en la Ec. 1.35, φd corresponde al ángulo entre el polo y el punto, en tanto que los 900 y los 1640 corresponden los ángulos de los polos (s + 3 3 j) j ), (s + 4) y (s + 2), 2), respectivamente.

− −

−

71,, 60 − 108 108,, 40 = −1800 ⇒ −φ − 900 − 71 d

φd =

−900

(1.35)

Se esboza el lugar geométrico, tal como se muestra en la Fig. 1.28,

Figura 1.28: Esbozo 1.28: Esbozo lugar geométrico G(s) =

K

(s+2)(s+4)(s2 +6s+18)

Como se puede apreciar del esbozo del lugar geométrico, el punto en el cual los polos dominantes se encuentran más alejados del eje imaginario corresponderá con el punto de ruptura, por lo que la ganancia para cumplir dicha condición se calcula con la condición de módulo, tal como se muestra, K = ( s + 2 s + 4 s + 3 + 3 j 3 j s + 3 3 j ) s=−3 K = = (1) (1) (1) (1) (3) (3) (3) (3) K = 6

|

||

||

||

− ||

⇒

⇒

Problema resuelto 1.3 Para un proceso cuya función de transferencia a lazo abierto es la que se muestra en la Ec. 1.36, tiene el lugar geométrico que se muestra en la Fig. 1.29. Se desea utilizar dicho lugar geométrico con miras a realizar ciertos análisis a partir del mismo.

25


KGH ( KGH (s) =

K (s2 + 8s 8s + 20) 20) (s2 + 8s 8s + 12)

Figura 1.29: Lugar 1.29: Lugar geométrico KGH ( KGH (s) =

(1.36)

K

(s2 +8s+20)(s2 +8s+12)

a) Obtenga para que valores de ganancia a lazo abierto se garantiza la estabilidad del sistema a lazo cerrado. b) Se desea saber si existen valores de ganancia a lazo abierto para los cuales se tengan unos polos dominantes dominantes a lazo cerrado cerrado cuyo tiempo tiempo de estable establecimi cimiento ento (criterio (criterio del 5 %) pueda ser menor menor o igual igual a 0,6. Razone su respuesta. Solución a) A partir del lugar geométrico puede observarse que existe un corte del eje imaginario en aproximadamente s = s = 4 j, j , por lo que se plantea la condición de módulo para dicho raiz y se calcula la ganancia crítica K cr cr .

±

K cr cr 2 s + 8s 8s + 20 s2 + 8s 8s + 12

|

||

K cr j + 2 4 j + j + 6 4 j + j + 4 + 2 j 2 j 4 j + j + 4 cr = 4 j +

|

||

||

||

 |

=1 s=4j

− 2 j | ⇒

K cr cr = 1040

b) Para que los polos dominantes tengan un tiempo de establecimiento como el requerido se debe cumplir lo siguiente: 3 = 3τ ζ ωn

≤ ≤ 0, 6 ⇒ ζ ω

n =

1 =5 τ

De allí que los polos que se encuentren sobre una linea vertical en s en s = = 5 cumplen con la condición, lo cual ocurre para dos valores de ganancias K 1 y K K 2 , pero existen otras raíces que serían las dominantes por estar más cerca del eje imaginario. Es por ello que se puede concluir que dicha condición no puede lograrse.

−

26

1.4 Ejercicios Ejercicios Resueltos Resueltos Problema resuelto 1.4 Para un sistema de control de retroalimentación simple como el mostrado en la Fig. 1.30 se desea diseñar un controlador proporcional que regule la temperatura de salida del crudo de un horno, para lo cual se utilizará el lugar geométrico de las raíces como herramienta de diseño. La función de transferen transferencia cia del horno G p (s), la de la válvula que regula el flujo de combustible al horno Gv (s) y la del elemento medidor de temperatura Gm (s), son conocidas.

Figura 1.30: Esquema de control de la temperatura del horno

G p (s) =

s2 +4s+8 s−1

1

Gv (s) =

Gm (s) =

s

1 s

Dibuje el lugar geométrico de las raíces para variaciones de K c , evaluando numéricamente, si existen, posibles cortes con el eje imaginario, puntos de ruptura y ángulos de despegue. A partir de dicho lugar geométrico indique si sería posible establecer el valor de K de K c de forma tal que ω ω d 2, 5 rad/seg. rad/seg . Concluya respecto a la respuesta del sistema a lazo cerrado a medida que varía K c .

≤

Solución Para realizar el lugar geométrico se debe partir de la función de transferencia a lazo abierto, la cual se muestra en la Ec. 1.37, GLA (s) = K c

  1 s

s2 + 4s 4s + 8 s 1

−

  1 s

Dicha función de transferencia tiene dos polos en el origen, otro polo en s en s = = 1 y dos ceros en s = s = a partir de lo cual se realiza el esbozo solicitado.

(1.37) j , −2±2 j,

Se ubican polos y ceros de lazo abierto en el Plano s y las partes del eje real que pertenecen al lugar geométric geométrico. o. Se calcula en número de asíntotas N A , el punto de partida σA y el ángulo de las mismas. N A = 3

−2 =1

Como solamente existe una asíntota no se calculan ni el punto de partida ni los ángulos, pues la asíntota coincide con el eje real. Se calculan los puntos de ruptura del eje real. K c = dK c ds



= sR

−



3s2

− 2s



 −

s3 s2 s2 + 4s 4s + 8

−

4s + 8 s2 + 4s

−



(2s (2s + 4) s3

(s2 + 4s 4s + 8)2

s4 + 8s 8s3 + 25s 25s2



−8

sR



− s2

  

=0

sR

=0

27

1 Lugar Geométric Geométricoo de las Raíces (LGR) (LGR) sR1,2 =

−4, 31 ± 2, 61 j

sR3 = 0, 0 , 63

sR4 = 0

Como se observa, el punto en el cual sR3 = 0, 63 63 será será aquel en el cual ocurra la ruptura en el eje real, a partir del cual las ramas del lugar geométrico se dirigirán a los ceros, por lo que se hace necesario el cálculo del ángulo de entrada a dichos ceros, así como, el corte con el eje imaginario. Se calcula el ángulo de entrada de los ceros imaginarios. φe + 90 0 1350 + 1350 + 146, 146, 30 = 1800 φe = 146, 146, 30



−



−

⇒

Se calcula el corte con el eje imaginario. Para ello se sustituye s = jω en la ecuación característica a lazo cerrado y se obtiene, tanto el corte con el eje imaginario, como la ganancia crítica del sistema de control. ( jω jω))

3

2

jω)) − ( jω





2

+ K c ( jω jω)) + 4 ( jω jω)) + 8 = 0

j + ω ω 2 − K ω 2 + 4K 4K ωj + ωj + 8K 8 K = 0 −ω3 j + c

c

4K ω = 0 −ω3 + 4K ⇒ 2 2 ω − K ω + 8K 8K = 0 c

c

c

c

K c = 3 ω = 3, 46

Se realiza el esbozo del lugar geométrico, el cual se muestra en la Fig. 1.31.

Figura 1.31: Esbozo 1.31: Esbozo del lugar geométrico GLA(s) = K c

  1 s

s2 +4s+8 s−1

  1 s

Como puede observarse en el esbozo del lugar geométrico, existen dos valores de ganancia para los cuales se tienen unas raíces cuyo ωd = 2, 5. Ahora, solamente será posible escoger uno de dichos valores de ganancia pues el otro presenta parte real positiva, por lo que el sistema sería inestable. En cuanto a la respuesta del alzo cerrado a medida que varía K c se puede concluir, por simple observación del lugar geométrico, que para valores de K c < 3 el sistema será inestable. Adicionalmente, se puede decir que, luego de superar el límite de estabilidad, los polos dominantes del sistema serán conjugados y a medida que aumenta K c dichos polos presentarán un mejor tiempo de establecimiento y su factor de amortiguación pareciera que irá aumentando, por lo que su sobreimpulso decrecerá.

28

1.4 Ejercicios Ejercicios Resueltos Resueltos Problema resuelto 1.5 Para un proceso específico se dispone de su lugar geométrico de las raíces, el cual se muestra en la Fig. 1.33. A partir del mismo es necesario realizar lo siguiente.

5

4

3

2


1

0

−1

−2

−3

−4

−5 −14

−12

−10

−8

−6

−4

−2

0

2

Eje Real

Figura 1.32: Lugar 1.32: Lugar geométrico

a) Calcule para que valor o valores de ganancia es posible tener unos polos dominantes del sistema a lazo cerrado cuya frecuencia natural amortiguada sea igual a 4 (ωd = 4). 4). b) Compruebe, razonadamente, si ante un escalón unitario sería posible tener una respuesta a lazo cerrado errado de tipo tipo exponenc exponencial ial con un tiempo tiempo de estable establecimi cimiento ento al 2 % igual al de los polos mencionados mencionados en el punto a). De ser afirmativa su respuesta, indique el valor de dicho o dichos polos y concluya, en caso de haber más de una posibilidad, cual de los dos casos tendría un menor error. Solución a) Para verificar si el proceso a lazo cerrado bajo estudio puede o no presentar unos polos dominantes cuya ω ω d sea igual a 4, se debe trazar una linea que cumpla con este requerimiento y observar si corta al lugar geométrico en algún punto. En la Fig. 1.33, se aprecia que dicha linea corta al lugar geométrico en dos puntos, es decir, que se podrán calcular dos valores de K de K ,, tal como se muestra en las Ecs. 1.40 y 1.39. Para ello se necesita la función de transferencia a lazo abierto del proceso, la cual se determina a partir del lugar geométrico pues el mismo comienza en los polos del lazo abierto y termina en los ceros del lazo abierto. GLA (s) =

 

(s + 5) 5) (s + 8) 4) (s + 6) s (s + 4)

(6, (6, 6)(4, 6)(4, 19)(4, 19)(4, 07) |s| |s + 4| |s + 6| K 1 = K 1 = ⇒ ⇒ K 1 = 5, 79 (4, (4, 01)(4, 01)(4, 85) |s + 5| |s + 8| = 5 25+4 (11, (11, 24)(7, 24)(7, 63)(6, 63)(6, 02) |s| |s + 4| |s + 6| K 2 = K 2 = 16,, 09 ⇒ ⇒ K 2 = 16 (6, (6, 80)(4, 80)(4, 72) |s + 5| |s + 8| = 10 5+4 s2

−

s1

−

,

,

(1.38)

j

(1.39)

j

Debido a que el sistema a lazo cerrado tiene tres polos se debe comprobar que los polos que satisfacen el requerimiento establecido coincidan con los polos dominantes del sistema a lazo cerrado. Cuando el valor de K de K es es igual a K a K 1 , los polos dominantes a lazo cerrado son aquellos que satisfacen el requerimiento

29


5

4

3

S2

S1

2


1

0

−1

−2

−3

−4

−5 −14

−12

−10

−8

−6

−4

−2

0

2

Eje Real

Figura 1.33: Ubicación 1.33: Ubicación de ωd = 4 pues el tercer polo se encuentra en la otra rama del LGR más alejado del eje real. En tanto que cuando el valor de K de K es es igual a K 2 , los polos que satisfacen el requerimiento de la ωd no son dominantes pues el tercer polo se encuentra más cerca del eje imaginario. b) En b) En la Fig. 1.34 se muestra la ubicación del polo s polo s 1 del punto a) punto a),, a partir del cual se traza una recta vertical que corta el lugar geométrico en s3 para otro valor de K , el cual tendrá el mismo tiempo de establecimiento que en a). a). Para calcular la ganancia en ese punto se utiliza nuevamente la condición de módulo como lo muestra la Ec. 1.40.

5

4

3

S1 2


1

S3 0

−1

−2

−3

−4

−5 −14

−12

−10

−8

−6

−4

−2

0

2

Eje Real

Figura 1.34: Raíces 1.34: Raíces con el mismo ts

 

(5, (5, 25)(1, 25)(1, 25)(2, 25)(2, 25) |s| |s + 4| |s + 6| K 3 = K 3 = 18,, 17 (1.40) ⇒ ⇒ K 3 = 18 (0, (0, 25)(3, 25)(3, 25) |s + 5| |s + 8| = 5 25 Como se observa K observa K 3  K 1 por lo que las raíces correspondientes a la rama circular del lugar geométrico s3

−

,

se habrán desplazado hacia la derecha alejándose del eje imaginario. Esto implica que la raíz que se encuentra en s3 será la raíz dominante haciendo que la respuesta a lazo cerrado pueda aproximarse a

30

1.5 Problemas Problemas Propuestos Propuestos la de un sistema de primer orden, cuyo forma sea exponencial y su tiempo de establecimiento sea el solicitado.

1.5. 1.5.

Proble Problemas mas Propue Propuesto stoss

Ejercicio propuesto 1.1 Para un sistema de control de retroalimentación simple cuya función de transferencia se muestra en la Ec. 1.41 se desea realizar ciertos análisis haciendo uso del lugar geométrico de las raíces, de forma tal que se determine que elementos añadir en un posible controlador con miras a mejorar la respuesta del lazo cerrado. Para lo cual debe realizar lo que se indica a continuación: G(s) =

(s

−

K (s (s 3) 2) (s2 + 10s 10s + 16) 16) (s2 + 8s 8s + 25)

−

(1.41)

a) Realice el esbozo del lugar geométrico calculando los cortes con el eje imaginario, puntos de despegue y angulos de despegue o llegada. Determine si la estabilidad del sistema depende de la ganancia y los rangos de K que K que garanticen la estabilidad, si existen. realicee nuevament nuevamentee lo b) Añada un cero a la función de transferencia a lazo abierto en (s + 10) y realic solicitado an a). ealicee nuevament nuevamentee lo c) Añada otro cero a la función de transferencia a lazo abierto en (s + 4) y realic solicitado an a). d) Realice un amplio análisis del comportamiento del lazo cerrado para los tres casos planteados. Comparando estabilidad, respuesta transitoria y permanente en cada caso. Ejercicio propuesto 1.2 Para un sistema cuya función de transferencia a lazo abierto viene expresada por la Ec. 1.42 se muestra su lugar geométrico de las raíces en la Fig. 1.35. G(s) =

K (s (s + 9) s (s2 + 8s 8s + 22)

Figura 1.35: Lugar Geométrico de las Raíces G( G (s) =

(1.42)

K (s+9) s(s2 +8s+22)

A partir de dicha información se requiere lo siguiente,

31

1 Lugar Geométric Geométricoo de las Raíces (LGR) (LGR) K para que los polos dominantes del sistema tengan un ts2 % = 2. 2. a) El valor o los valores de K para b) Si tuviese que añadir un cero en el eje real para lograr una mejoría en la respuesta, diga cual escogería entre (s + 1) y (s + 5). 5). Haga un bosquejo del lugar geométrico en ambos casos explicando claramente los cambios en la respuesta, tanto transitoria como permanente. Escoja el caso que mejor cumpla con el requerimiento anterior en tiempo de establecimiento y calcule el error a la rampa para dicho caso. Ejercicio propuesto 1.3 En la Fig. 1.36 se muestra el lugar geométrico de las raíces para un sistema de control de presión cuya función de transferencia a lazo abierto viene expresada por la Ec. 1.43. G(s) =

K (s2 + 50s 50s + 25) 25) (s2 + 16s 16s + 48)

(1.43)

Figura 1.36: Sistema de control (LGR) A partir del cual se desea que usted seleccione el valor de la ganancia K ganancia K tal tal que se cumplan con distintos requerimientos, para el cual los polos dominantes del sistema tengan una ω una ω d = 5. Para a) Calcule el o los valores de K para el valor de ganancia seleccionado diga cuales serán las otras características de la respuesta transitoria y permanente, es decir, tiempo de establecimiento, máximo sobreimpulso y error al escalón. b) Indique si el sistema a lazo cerrado tiene límites para la ganancia que garanticen sus estabilidad. De ser afirmativa su respuesta, calcule dichos límites. c) Indique como como se vería afectada la respuesta temporal temporal si se requiriese requiriese reducir reducir en un 25 % el error que se tiene en a). a). Así mismo, si se quisiera tener un tiempo de establecimiento menor, diga como lograrlo y que parte de la respuesta se vería afectada. Ejercicio propuesto 1.4 Para Para un esquema esquema de control ontrol de retr retro oalimentaci alimentación ón simple simple se desea desea logr lograr ar que el error ante la rampa unitaria sea de 0, 0 , 2 e introducir un controlador Proporcional Derivativo para mejorar la respuesta transitoria del sistema. La función de transferencia del proceso y la del controlador están expresadas por las ecs. 1.44 y 1.45, respectivamente. G(s) =

32

1 s (s + 1)

(1.44)

1.5 Problemas Problemas Propuestos Propuestos

Gc (s) = K (1 K (1 + T + T ds) ds)

(1.45)

El lugar geométrico de las raíces del sistema de control para variaciones de T d se muestra en la Fig. 1.37. A partir de dicha información se desea que usted realice lo siguiente:

a) Indique el procedimiento utilizado para obtener el lugar geométrico para variaciones de T d. de T d tal que la respuesta transitoria sea la mejor. b) Calcule a partir de dicho lugar geométrico el valor de T

Figura 1.37: Lugar Geométrico con un PD

33

Lugar Geometrico de Las Raices

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