Lumbreras - Álgebra Esencial (Amor a Sofía)

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V i..enjun enjuntos tos numéricos numéricos Lectura de motivación

13

Números naturales (N)

14

Números enteros (Z)

15

Números racionales (Q)

20

Números irracionales (I)

25

Números reales (R)

25

Resolvemos juntos

30

Practiquemos lo aprendido

41

93

Cubo de un binomio

96

Suma y diferencia de cubos

97

Resolvemos Resolvemos juntos

100


116

M::v n

uayes Ge expon Lectura de motivación Concepto Potenciación Definiciones Propiedades de la potenciación Radicación en R

Diferencia de cuadrados

.

Lectura de motivación

123

Definiciones previas

124

Valor numérico

125

Cambio de variable

127

Polinomio de una variable

130

Polinomios de más de una variable

137

Polinomios especiales

137

Resolvemos Resolvemos junto s

140


156

PA R División de polinomios lMOR á S O ectura de motivación 66

para Propiedades de la radicación

Resolvemos juntos Practiquemos lo aprendido

n

78

P r o d u c t o s n o ta ta b l e s Lectura de motivación

85

Concepto

86

Trinomio cuadrado perfecto

86

163

Definición

164

Tipos de división

167

Propiedades

168

Método de división de Horner

172

Regla de Rufftni

177

Cálculo del resto

180





































































































































p*m o

fp|Desig igualdades

5


207

Lectura de motivació n

307

Concepto

208

Definición

308

Factor de un polinomio

209

Números reales

310 310

Polinomio primo

213 213

Propiedades fundamentales

313 313

Factores primos

214

Intervalos

316 316

Métodos de factorización

217 217

Problemas sobre variaciones

323

Divisores binómicos

230

Problemas sobre máximos y mínimos

331

Resolvemos juntos

240

Resolvemos Resolvemos junto s

338


256


355

O inecuacio iones t- in i r


261 261


361 361

Concepto

262

Concepto

362

Solución de una ecuación

262

Inecuación lineal

368

Conjunto solución (CS)

262

Inecuación cuadrática

369

Ecuación lineal

263

Inecuación polinomíal de grado superior

381

Inecuación fraccionaria

385

Determinación de una variable en términos de las otras

264

Resolvemos ju nto s

389

Ecuaciones cuadráticas cuadráticas

265


406

El discriminante

271

Propiedades de las raíces (teorema de Carda no) no)

272 272

Ecuaciones de grado superior

275 275

1 n Valorabsoluto IU Lectura de motivación

411

Noción geométrica

412





































































































































Desigualdad triangular

426 426

Ecuación logarítmica

523

Método de zonas

428 428

Resolvemos juntos junt os

527 527

Resolvemos juntos

432 432


543 543


450 Sistema

Tí ¿V ¿V

Teoría de funciones


455 455 456 456

Concepto de función

. A• ]

458 458

Definición de función

‘ 460

Regla de correspondencia Funciones reales

462

Gráfica de una función real i

465

Función como conjunto de pares ordenados

I

Resolvemos juntos Practiquemos lo aprendido

í


549 549

Definición

550

Clasificación

552

Sistemas lineales

552

Sistemas no lineales

565

Resolvemos juntos

569


585 585

I Í67 Í67

laticos Funciones como modelos matemàticios matemàtici os 468 Funciones elementales

I

ds e c u a c i o n e s

I í ^ g r a m a c i ó n lin e a l

|


470 470

AMOft 48 6 501

L o g a r it m o s

SO F

591

Inecuaciones lineales con dos variables vari ables 592 592 Gráfica de una Inecuación lineal

con dos variables

592

Sistema de inecuaciones lineales con dos variables

596


507

Programación lineal (bidimensional) (bidimensional )

599

Definición

508

Resolvemos juntos juntos

603 603

Teoremas

512


622 622

Cologaritmo

522

Glosario

630 630

Antilogaritmo

522

Bibliografía

631









































































































































































































































































' ...••" "

, ....

---üpj t

•' . •' -.

‘•yvUr-]'

§•-*' §•-*'•• ■ '■ •.

' l.:. ¡t&J

fe ?" *# ' .'

"

- 'Ay". .........

"•

*»,

i-

'¡y yA -

En ía historia de ias matemáticas, ios números naturales aparecieron muy pronto. Como la gran mayoría de los conceptos matemáticos, su descubrimiento fue debido a la necesidad de resolver un problema de la vida cotidiana. Los hombres antiguos necesitaban necesitaban medir longitudes, longitudes, determinar d eterminar áreas, calcular tiempos, pesos y otros tipos de medida. Al enfrentarse a estas necesidades, se dieron cuenta de que no era suficiente contar con los números naturales para obtener estos datos de manera exacta, ya que eran susceptibles de divisiones más pequeñas que la unidad, o divisiones divisiones mayores mayo res que la misma, pero que no involucraban a los números naturales, por lo que fue necesario ampliar este concepto surgiendo así los números racionales. La mayor parte de nuestras actividades diarias implica hacer usos de tos números. Por ejemplo, al comprar una docena de tarros de ¡eche o dos manos de plátano, estamos usan do números naturales; cuando compramos 3/4 de arroz, 1/2 kilo de harina o 1/4 de huevos, estamos usando los números racionales. .n rUoV*ni
7V-*> ¡»

Identificar los números enteros y racionales. Resolver problemas de las cuatro operaciones con núme ros enteros. Resolver problemas de las cuatro operaciones con núme ros racionales. pr& p r& p m é •-. ■ r : y •' •■ ■ f’ .

i M

P

l

S

El aprendizaje de este contenido es importante porque tiene relación con la gran mayoría de situaciones de la vida dia ria como, por ejemplo, el hecho de contar, medir, pesar, etc. Además, realizar las operaciones básicas, (suma, resta, etc.) en conjuntos numéricos como Z y Q es prerrequisito para los capítulos posteriores.







































































































































a*

•mam

iVÍmSy1“K

1. NUM ERO S NATURA LES (N)

Los números naturales surgen como respuesta a la necesidad de nuestros antepasados de contar los elementos de un con junt ju nto o (por (po r ejem e jemplo, plo, los anima an imales les de un rebaño) rebaño ) y de asign a signar ar un símbolo a una determinada cantidad de objetos. Los signos de sumar y restar (+ y -) comenzaron a usarse a partir deí siglo xv. Antes se usa ban palabras o abreviaturas. En el caso de la suma se usaba p (plus) y para la resta m (minas).

El primer conjunto numérico que se considera es el de los nú meros naturales, el cual está representado por N={1; N={1; 2; 2; 3; 3; 4 ;. .. } Si sumamos o multiplicamos dos números naturales cuales quiera, el resultado siempre será un número natural. Ejemplos

*

*"'* '

* 5-9=45 5-9=45 A* A* -4 x.. W -¿ySrSVSvt 1 J v-..’:' v-..’:' J La suma 15 y el producto 45 son números naturales. En cambio, si restamos o dividimos dos números naturales, el resultado no siempre será un número natural. # £% ✓ ,;K y

í

8+7=1/ ié k

Ejemplos

• Cuadrados mágicos mágicos

Este juego consiste en un cua drado con nueve casillas, donde se debe colocar nueve núme ros diferentes que sumados en

8- 5= 3

j

12 + 3=4

Los resultados son números naturales, pero 5-8 y 3+12 no son números naturales. Así, dentro del sistema de números natu rales, siempre podemos sumar y multiplicar, pero no siempre podemos restar o dividir.





































































































































1.1.2. Suma de los n primeros números impares S-1+ S- 1+ 3 + 5+7+...+2/7-1 5+7+...+2/7-1 -»

S=n¿

Ejemplo •S= •S=1+ 1+33 + 5+ 5+7+ 7+...+ ...+39 39 -4 S=202=400 -»2 / 7- 1-39 —> n-20

1.1.3. 1.1.3. Suma, de los n primero s números pares 5 —2 + 4 + 6 + 8 + ... ...+ +2/? 2/?

E! s¡gno = apareció en el siglo yvn y padece que la idea surgió porque ' no hay dos cosas más iguales que dos rectas paralelas”.

+1)) S=n(n +1

-+

Ejemplo /

S=2+4+6+uóÍ # » -> vtT

'mz. w

I \

V

5=20(20+1)=420 '*.#JÜKb& )-20 £

jQ k .

Á -

i

$

/

ja

%

¿V i *

.fe

i ^»r

En la vida real hay situaciones en jas que los números naturales no son suficientes. suficientes. ,4 Por ejemplo, ejem plo, si tienes tiene s

y debes debe s S/.1 S/.15, 5, ¿de cuánto dinero

dispones? \ í /

A continuación veremos otros ejemplos de situaciones en las que se necesitan números enteros. “Debe S/.133” se escribe escri be -133.

Complete los siguientes cuadra dos mágicos:





































































































































De los ejemplos podemos deducir que los números enteros son una ampliación de los números naturales.

Los números naturales se consideran enteros positivos. ■-

Los números números enteros enteros negati negativos vos van van antecedidos antecedidos del del signo signo -.

-

.El cero es un número entero, pero no es negativo ni positivo.

2.1 2.1. La recta numérica num érica A los números negativos en ia Antigüedad los llamaban núme ros ficticios., absurdos o raíces falsas.

Los números enteros pueden ordenarse de menor a mayor en la recta numérica. ... ... -3

números enteros positivos o números naturales

números epteros

Ejemplo

"y

Vi**

wÍCv*“

y

¿Cuál es el valor de M y de N?

Valor de M =1 Descubra cuál de estos cuadra

dos es un cuadrado mágico. Indique, en el caso correcto, cuái es el valor de la suma de

Valor de N = - 3





































































































































2.

Determinam Deter minamos os el el número mayor y el número meno menor. r. —

M ---- *----- ----i----- — -6

N

*—-—i----- 1 ----- -----1 1 ------ >► - 2 0

•

Notemos que - 6 está a la la izqui izquierda erda de -2 , entonces - 6 es menor que -2. Por lo tanto, tanto, el número mayor es - 2 y el el menor es es -6 . 3.

Hallamos Hallam os el valor de A y de B. <-------- 1--------- 1----- \----- i----- +.---- *------ >

4

B

0

El valor valor de 4 = - 4 y de B=1. 4

B

El valor valor dé 4 = - 6 y de 5=3. 5=3. /

$

¿ 0 '. * . 4-0 40* 40 *

\

A pl i c a c i ó n h

J ? ...

%

™ m Escr Escriba iba el el s ig n ó lo slsegúr slsegúrii conve convenga nga.. f

a. - 3

....

%_ -X

*

w

JW / m - 2 / .. 4

RESOLUCI RESOLUCION ON

Tiíí'í

C W

■ #V 0 I

/

A

!p

47

‘

4 4*-'\

~* 1 .#

o

Escri Escribimos bimos el el signo signo que co rre sp o n d í// a

-_ 3k ^ > - 7/

APLICAC APLICACION ION 2

u .4 ^ : 4 b.%;%2

c.

4 >-8

'V -

Ordene de menor a mayor, a.

6 ;-5 ;-1 0 ; 12

b.

4 ;-21 ;-6;-4 ; 6





































































































































2.2. 2.2. Oper acione s con números enteros 2.2. 2.2.1. 1.

Sum a y diferencia diferen cia de números enteros

Veam os los siguientes siguientes ejemplos: ejemplos: °

+6+3=9 Si tengo S/.6 y me dan S/.3, entonces tengo S/.9.

•

—7 —8 = —15 Si debo S/.7 y gasto S/.8, entonces acumulo una deuda de S/.15.

6 + 8=2 8=2

-

Si tengo S/.8, pero debo S/.6, entonces tengo S/.2. -5+3=-2

'-V .„

Si debo S/.5 y tengo S/.3, entonces debo S/.2. Por otro lado, para sumar 3 o más números enteros, tenemos dos métodos: a.

0

\

..

Agru par los dos primeros sumandos y sumar el el resultado resultado al tercer sumando, y asi sucesivamente.

Ejemplo

¿i ' í*' '

{ VCé VCé

'

BN.V BN.V ' V * +7-5+4= +7-5 +44+2+4=6 O **9Hm**éP "i'/ « -- ' b.

Sumar Sum ar los los positivos por un lado y los los negativos por el el otro, y finalmente hallar el resultado.

Ejemplos •

-8+9-4=-8-4+9=-12+9=-3







































































































































Capítulo t

Conjuntos numéricos

Cuando se presentan algunos ejercidos del

Ejemplos

tipo (-5)+(-2), debemos tener en cuenta lo siguiente:

•

(+5)(+3)=15

(+4) (+4) (-2)= (-2 )=-8 -8

•

(—3 (—3 )(— )( —7 )= 21

(—5)(+ 5)(+3) 3)=—15

Eliminar Eliminar los los parén paréntesis tesis:: -5 -5 - 2

Para dividir números enteros debemos seguir

Operar: -7

los siguientes pasos:

(—5)+(—2)=—7

1.

Ejemplos 1.

2. Aplicar Apli car la regla de signos.

Hallamos Hallam os los resultados de las siguientes operaciones: a.

(+4) (+4) + (-5)=+ (-5 )=+ 4-5 =-1 =- 1

c.

(+1)-(+9)=+1-9=-8

d.

(+3)-(-8)=+3+8=11

e. (-1) - (+7) =-1 - 7= 7=-- 8 /

(+) + (+)=+

(+)*(-)=-

H*B=+

(-)-(+)=-

Ejemplos

b. (-2) + (+4 (+4)=-2 )=-2+4= +4=2 2

■ 24-^(+6 (+6)=4 )=4

/ /-Í'K-.

jm j m r , '

8

f.

Dividir los números números sin signos. signos.

-(-5)+(+ -(-5) +(+7)= 7)=+ + 5+ 5+7= 7=J2 J2 'íPh'. <¡ejr Mi

•

-20=(-4)=5

•

+16-r(-8)=-2

-

-32+(+2)--16

combinadas g. - (+ ( + 3 ) + ( + 1 ) - (+ ( + 5 ) = - % 1 - % ^ - 7 / ;2 2.2.|^p¿^cigpes ''T^' Cuando se .van a efectuar operaciones combifty

2

Efectuamos las las siguientes operaciones: operaciones:

|

p '

**

*hay. que tener en cuenta las siguientes





































































































































A pl ic a c i ó n 4

Por tanto, dentro del sistema de los números enteros, podemos sumar, multiplicar y restar,

Efectúe

pero no siempre podemos dividir.

3 +(- 6 ) t (+4-7).

Para superar la limitación de la división, exten

R es o l u c i ó n

demos el sistema de los números enteros (Z)

Operamos

al sistema de los números racionales (Q).

3 + (-6)-r(+ 4-7 ) 3+(-6)*(-3J

3 + (+2)= +3+2=5 +3+ 2=5

A pl ic a c i ó n 5

donde a=numerador y ¿>=denominador.

Resuelva

“ 7+[— 7+[—2 - (-14) (-14 ) * (+2)] (+2)]..

/ f A'

?

Ejemplos

.A

... W M / jk jk . í R es o l u c i ó n 1 ¡ €fc* » ? V f• Del dato ¡S .\"% ■ w• j& ■ •Jf & • j & f c s r - 7+[- 2 - (-14) * (+2 (+2)]

1 3 0AC ■;— ; 46 2 7 Ve ú«{c .

46 ; 0,3 n 33 = — 3 — 0, 1 10 , .... ^





































































































































Ejemplos

.

x 3y _ 4-x+3 4- x+3yy-6 6 _ 4x +18y 2x +9y 6+ 4 " " 6-4 24 “ 12

_5_ + J ! _ 5+11 _ 16 13

13"

13 " 3

,

2^3

5 " l +5 "

9 + 5 = 9+5 _1 4 7+7

7

_3

2x

2x

-2

-1

2x

x

6

4

4

2

6

5

2 _ 5 —2 _ 3

a

a

t

7

7

1"

7-1

7

"

10 7

Suma de un número entero con una

a $

b. Cuand Cu and o dos fraccione s tienen denomina■ 'i ' ¿ dores diferentes, se procede de la siguien-/ te manera:

~5

4-1 -2- 7 _ 4 -1 4 _

fracción

a

5

c. Casos particulares

5 ! 7 _ 5 + 7 __ 12

6 6

5-1

~ 7 “2

5 _ 3 -5

2x

2 _ 3-5 + 2-1 2-1 _ 15 + 2 _ 17

&

a;

Ejemplos :!✓

\

15 + 1 16





































































































































Lumbreras Editores

COLECCIÓN ESENCIAL

A pl i c a c i ó n 6 Determ ine el resultado de ope rar

K

4

—

5

R es o l u c i ó n Del dato 13 16 _ 13 -5 -1 6-4 6- 4 4 5 ~ 4 -5 65 -64 ^ 1 20 “ 20

-b f

rr* -I < !/•

rrr--:.. / ■[Reto ■[Reto..a lg B Ü e rrr-

Estab lezca' lezc a' si cada una de las las 1' í igualdades es válida o no. Lue go reemplace cada proposición ■falsa por una •■■ \ verdadera. ' \ W ’ I i 1; : ’ i i [ // ;] ! ! ! II H ! i (•(•; m { a. = 1_ ■ 5+5~5 / ’ yv’ / / f 5 ■5__ 5

A p l ic a c ió n 7 Indique el valor de la siguiente operación:

Í 4 - 1 1 M V

4A5

R es o l u c ió n Operamos;

3 J w . *

A

**■

>, +

....

\

\ I

J p p

yi í

■»,,? ,,? W ws





































































































































3.2. Multiplicación de fracciones

El producto de dos fracciones se obtiene multiplicando en pri mer término los dos numeradores y luego los dos denomina dores.

Ejemplos r\

2-7

14

11,

3-11

33

S V 2 -5 _ 1 10 0 _ 5 7 A 6 y ~ 7-6 _ 42

21

f A ^/ y'2x •4

> 3y

A„ v:. «5 * .

':
3x v

, y \

‘■ fe

.v

§

1t ^ jn - 5 /

''W * '

& x\'

-ir -ir 1§ % á ... < » V5 . **

íj

%

£

» X . x „' r*







































































































































Ahora repasemos los temas anteriores con otros ejemplos. 1

1

6 2

1-2 —1-6 “

2-6 2- 6

2 -6 12

4

2. 2. -n, ,2

12

1 1 1-15 +1-10 _ 15 15 +10 _ 25 _ 1 10+ 15 ~ 10*15 10*15 ” 150 150 “ 150 150 6 x x 3x +2x 5x 2 +I + I ” 22-3 ~~6

id + 4y= l + l . 3 y 3y 3y 3 y

3y a

3¿>

i 191/2 3y

3y

2 ¡a

o

^ ^ I | S

v¿> 2a, a-6a

b - 5 a-a b-bb-b-3 3 -5a¿ +3b‘ +3b‘

--- —---------- 1--------- —----------------------- i---

3b

a

3b-a 3b- a

o b-3 b- 3

3ab 3ab





































































































































Capítulo t

A p l ic a c ió n 10

Además, podemos sumar, multiplicar, restar y dividir dos números racionales (exceptuando

Se tiene la siguiente fracción irreductible: 4 i) f 2 ~ +— -r v5 10 J 13 Halle el valor de

>

f 4 1

J

v9 2

--------- h-2

la división entre cero) y el resultado siempre será un número racional. De esta manera, las

)

cuatro operaciones fundamentales de la arit mética (adición, sustracción, multiplicación y

b-(3+4a).

división) son posibles dentro de los números racionales.

R es o l u c i ó n

; También Tambié n existen existen algunos números de uso co-

Operamos

• mún que no no son racionales (es (es decir, decir, no no se

o

~b 15-2

2 [ 3-3

10;

V3+ 3 .

V

i

9 /

■^2

i pueden expresar como la razón de de dos entei

ros); por ejemplo, ejemp lo, y¡2, \Í3 y n no son números racionales, tales números se denominan nú





































































































































;

Ejemplo Dado el siguiente conjunto: o

^

-10 ; 50; — ; 0,5 0,538; 38; V il; 1, 1,2; !

•

Los núm eros ero s naturale natu raless son 2 y 50.

*

Los números núm eros enteros son 2; -10 -1 0 y 50.

•

Los números núme ros racionales son 2 ;; - 1 00;; 50 50; y ; 0,5 38; 1 , 2 y - y

°

Los números irracionales son V Ü y IÍ2..





































































































































5.1.2 5.1.2.. Propiedad Propieda d asociativa

[5(3c7Ó)]2<7= [5(3c7Ó)]2<7=(5 (5 ■3 •2) •2 )(a■a) •b=30a2b

Si a, b y c son tres números cualesquiera, cualesquiera, en tonces

5x+(4y+2x)=5x+(2x+4y)=(5x+2x)+4y=7x+4y

{a+b)+c=a+(b+c)

Cuando se suman tres números, no importa cuáles dos se sumen primero.

•

3x(4y+ 3x(4 y+ 5x)=(3x) 5x)=(3x) (4y)+ (4y )+(3x (3x))(5x)=12xy (5x)=12xy+1 +1S '/

5.1.4. 5.1.4. Elemen El ementos tos identidad identi dad Si a es un número real cualquiera, entonces

(iab)c=a(bc)

Cuando se multiplican tres números, números , no importa cuáles dos se multipliquen primero.

¡7+0=0 y o-1=o. Es decir, si 0 se suma a o, el resultado es o; y si o se multiplica por 1, el resultado de nuevo

Ejemplos (2+3)+ (2+3)+7= 7=2 2 +(3+ (3+7)

es o. o. Por esta esta razón, los números 0 y 1 a me nudo se conocen como elementos identidad para la adición y la multiplicación, respectiva





































































































































A p l i c a c ió n 77

A p l i c a c ió n

Reduzca la siguiente expresión:

2 1-1 3 4

"2

2^1

V3

5j

Simplifique 2

f 1 f 1 - +v.3 v.3 1 )

n (2 5 ------ I _ 13 4 )

-

12

7'

R es o l u c i ó n

Operamos

1

R eso l u c ió n 2_2

3 2

5.

■ -,¡3 0 - 6 "

Operamos 2

V3

1

f 1

1

4)

3

7

3 4^ 15 j 2

/ 3 / 1 5

r8-3. v 12

7+3

21











































































































































































































































































II.

Problema Probl ema N.*1 .*1 Determin Dete rmine e la suma de los 15 primeros números números naturales. A) 15 D) 240

B) 100

C) 120 E) 16

•

Correcta Efectuamos Efectuamos -17 > -2 2. Ubicamos los números en la recta numérica.

-22 -17

0

+<*>





































































































































Problema N/ A

:

Indique el resultado de la siguiente operación: a

Rra fols ma M.’ M.’ 6

_________________ ________

Efectúe las siguientes operaciones:

_ (-6)(-3) (-6)(-3) + (8)( (8)(-2 -2))

6+(13-15)-[(8-4)+(-2)-6+(-3)]

(—5)(3 5)(3)) —(—7)(2 7) (2))

i

A) 7

B) - 3

C) - 2





































































































































COLECCIÓN ESENCIAL

Lumbreras Editores

mmm

Problema N2 8

Prob Probllema ema M.* 10________________________

Reduzca la expresión N.

Halle el inverso de la siguiente expresión:

N=-[-(2+1)+3-{(-2+1)+5}+4]-6 A) 0

B) -1

C) 1

3+

1 1- I

2





































































































































Resolución

Operamos í 5- 4 F = = 5 -3

E =4 13' f 4 3-7' — i--------15 J w 7 ,

r20-13Í

10 21

E=Á

{

4j (4-1Ì v /

y

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COLECCIÓN ESENCIAL ESEN CIAL

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Capítulo i

Conjuntos numéricos







































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































Lumbreras - Álgebra Esencial (Amor a Sofía)

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