GELOMBANG MEKANIK Gelombang Gelombang mekanik mekanik (mecha (mechanica nicall waves) waves) merupak merupakan an gelomb gelombang ang yang
berasal di dalam pergeseran dari suatu bagian medium elastis dari kedudukan normalnya ( kecuali kecuali gelombang gelombang cahaya dan gelombang gelombang elektromagn elektromagnetik) etik).. Karena sifat-sifat sifat-sifat elastis dari medium, maka gangguan tersebut ditransmisikan dari satu lapis ke lapis berikutnya. Gangguan ini (gelombang) akan bergerak maju melalui medium tersebut, tetapi medium itu sendiri tidak bergerak secara keseluruhan bersama-sama gerak gelombang tersebut, semua bagian medium hanya berisolasi di dalam jalan yang terbatas. Gelombang Gelombang mekanis mekanis dicirikan oleh pengangkutan pengangkutan tenaga (energi) (energi) melalui melalui materi (medium), oleh gerak suatu gangguan di dalam materi tersebut tanpa suatu gerak mengg menggum umpal pal yang yang bersa bersang ngkut kutan an dari dari mate materi ri itu itu send sendir iri. i. Untu Untuk k ment mentra rans nsmi misi sikan kan gelombang mekanis maka diperlukan suatu medium bahan. Kita Kita dapat dapat membeda membedakan kan bermac bermacamam-mac macam am gelomb gelombang ang mekani mekaniss dengan dengan meni meninj njau au baga bagaim iman anaa gerak gerak part partik ikel el mate materi ri dihub dihubun ungka gkan n kepad kepadaa arah arah penj penjal alar aran an gelombang itu sendiri. Jika gerak partikel materi yang mengangkut gelombang tersebut adalah tegak lurus kepada arah penjalaran gelombangnya maka gelombang itu disebut gelomb gelombang ang transv transvers ersal al (trans (transver verse se wave), wave), sedang sedangkan kan apabil apabilaa gerak gerak partik partikel el yamg yamg nengangkut sebuah gelombang mekanis adalah bolak-balik sepanjang arah penjalaran maka gelombang itu disebut gelombang ge lombang longitudinal (longitudinal waves). Bebe Bebera rapa pa gelo gelomb mban ang g bukan bukanla lah h gelo gelomb mbang ang tran transv sver ersa sall murn murnii maupu maupun n gelombang longitdinal murni. Misalnya di dalam gelombang pada permukaan air, partikel air bergerak ke atas dan ke bawah serta ke belakang dan ke depan yang membuat jejak jalan eliptis sewaktu gelombang air bergerak.
1. Gelomban Gelombang g dimensi dimensi satu, satu, dua dan dan tiga. tiga. Gelombang juga dapat diklasifikasikan sebagai gelombang berdimensi satu, gelombang berdimensi dua dan gelombang berdimensi tiga. Pengklasifikasiannya sesuai dengan dengan banyakn banyaknya ya dimens dimensii yang diguna digunakan kan gelomb gelombang ang terseb tersebut ut untuk untuk menjal menjalark arkan an tenaga atau energinya. Semua gejala gelombang yang dibahas sejauh ini merupakan peristiwa fisis yang memenuhi persamaan gelombang bebas satu dimensi:
∂2 1 ∂ 2 2 − 2 2 ψ ( x, t ) = 0 ∂ x v ∂t Namun kecuali dalam medium berdimensi satu seperti tali dan kawat, gelombang yang terjadi terjadi dalam ruangan bebas pada umumnya memenuhi memenuhi persamaany persamaanyang ang berbentuk berbentuk lebih umum. Dalam medium yang berdimensi dua,misalnya selaput elastisyang direntang, persamaan yang berlaku adalah:
∂ 2 ∂ 2 1 ∂ 2 − 2 2 ψ ( x, t ) = 0 2 + 2 ∂ x1 ∂ x2 v ∂t x
= ( x1,x2),gelombang ini lazim disebut gelombang permukaan. Kecepatan rambatnya
dalam kasus gelombang selaput elastis ditentukan oleh rumus: v
τ
=
σ
τ = gaya tegangan permukaan per satuan panjang sepanjang sisi selaput σ = rapat massa medium per satuan luas permukaan
( )= pergeseran kedudukan transversal terhadap kedudukan setimbang
ψ x t ,
Perluasan untuk gelombang dalam ruang tiga dimensi,memenuhi persamaan:
2 1 ∂2 V − 2 2 ψ ( x, t ) = 0 ∂ v t V
2
∂2 ∂2 ∂2 = 2+ 2+ 2 ∂ x1 ∂ x 2 ∂ x3
Solusi persamaan ini dalam ketiga sistem koordinat tersebut masing – masing berupa gelombang datar dengan bentuk ungkapan umum: ψ ( x, t )
= f ( x ± vt )
Gelombang datar ditimbulkan loeh sumber terkolimasi, dan menjalar sepanjang satu arah tertentu dengan muka gelombang yang berupa bidang datar tegak lurus pada arah rambat. Gelombang ini secara efektif dapat dipandang sebagai gelombang satu dimensibila berpolarisasi linear. Gelombang permukaan atau riak di atas air yang disebabkan oleh batu kecil yang dijatuhkan ke dalam kolam yang tenang adalah gelombang berdimensi dua. Gelombang bunyi dan cahaya yang muncul secara radial dari sebuah sumber kecil adalah gelombang berdimensi tiga.
2. Fungsi Gelombang
Kedudukan setimbang
T 2
θ 2
θ 1 T 1
ψ ( x + dx ) ψ ( x )
X
x+dx
Untuk menyusun persamaan gerak tali ditinjau gaya yang bekerja pada suatu elemen tali dalam kedudukan umum ( tak seimbang), seperti yang diperlihatkan pada gambar. Menurut gambar ini gaya – gaya yang bekerja pada elemen tersebut dapat diungkapkan sebagai berikut:
∑ Fx = T cos θ −T cos θ ∑ Fy =T sin θ −T sin θ = (T cosθ ) tan θ −(T cosθ ) tan θ 2
2
2
2
1
1
1
1
2
2
2
1
1
1
Dengan T1 dan T2 menyatakan gaya tegangan yang bekerja pada kedua ujung elemen tali. Karena elemen tali ini tidak bergerak dalam arah x, maka ax = 0, dan menurut hukum Newton,maka akan menghasilkan persamaan:
= T 1 cosθ 1 = T 0
T 2 cos θ 2
Dengan To = gaya tegangan tali pada kedudukan seimbang Kemudian dengan uraian deret Taylor di sekitar x : f ( x ) dx f ( x )
= T 0 tan θ 2 − T 0 tan θ 1
∂2ψ = T 0 2 ∂ x
Ini berarti: f ( x ) = ρ
∂ 2ψ ∂t 2
Atau:
∂2ψ ∂2ψ T 0 = ρ 2 ∂ x 2 ∂t Persamaan ini lazim dituliskan dalam bentuk ”baku” untuk gelombang satu
∂ 2ψ − 1 ∂ 2ψ = 0 ∂ x 2 v 2 ∂t 2 v
=
T 0 ρ
3. Persamaan diferensial gelombang
A. Bentuk umum solusi gelombang berjalan
Secara umum fungsi tersebut dituliskan dengan notasi: ψ ( x, t ) = f ( x ± vt )
Untuk membuktikan pernyataan di atas,tuliskan: x ⋅ vt = ξ
Maka:
∂ f ∂ξ df df = ⋅ = f ' , ≡ f ' ∂ x ∂ x d ξ d ξ
∂2 f " = f ∂ x 2
Dan:
∂ f = ∂ξ ⋅ df = −vf ' ∂t ∂ x d ξ
∂2 f 2 = v f " 2 ∂t Berdasarkan persamaan diatas jelas f (x ,t) memenuhi:
∂ 2 f − 1 ∂ 2 f = 0 ∂ x 2 v 2 ∂t 2 Begitu pula dapat dibuktikan bahwa f ( x + vt ) memenuhi persamaan gelombang yang sama. Jadi, solusi lengkap persamaan gelombang berbentuk umum: ψ ( x, t )
= f ( x − vt ) + g ( x + vt )
Fungsi f dan g
pada umumnya berbeda bentuk. Bentuk khusus fungsi
tersebut ditentukan oleh pola osilasi lokal yang ditimbulkan oleh sumber ekstansi gelombang.
B. Gelombang Harmonis
Bentuk solusi paling sederhana bagi persamaan gelombang adalah gelombang harmonis: ψ ( x, t )
=ψ 0 cos k ( x − vt ) atau ψ ( x, t ) =ψ 0 cos(kx − ω t )
Dengan ω dan k sebagai konstanta gelombang yang memenuhi hubungan ω = kv. Fungsi
ψ ( x, t )
dapat dihayati dari segi temporal dan spatial secara terpisah. Untuk segi
temporal kita tinjau
ψ ( x, t ) pada
titik x tertentu (x = 0 misalnya)dalam medium yang
bersangkutan. Maka ψ (0, t ) =ψ 0 cos ω t jelas melukiskan osilasi lokal dengan frekuensi temporal v atau frekuensi sudut ω adalah perioda T: ω = 2π v
= frekuensi sudut temporal
T =
2π ω
=
1
= perioda temporal
v
Dipihak lain, pada t tertentu (t = 0 misalnya), ψ berbentuk fungsi harmonis/sinusoidal dalam ruang : ψ (0, t ) =ψ 0 cos( kx) ,dengan: k= frekuensi ruang (spatial) atau bilangan gelombang (wave number)
λ =
2π
= perioda ruang (spatial) atau panjang gelombang
k
Hasil uraian diatas dapat diranngkum dengan hubungan: v
= ω = vλ = λ k
T
Dan bentuk ungkapan gelombang:
x t − λ T
ψ ( x, t ) = ψ 0 cos(kx − ω t ) = ψ 0 cos2π
Dalam contoh gelombang sederhana ini terlihat kesetangkupan bentuk dan hubungan matematis antara segi temporaldan segi spatial fungsi gelombang. Namun perlu diingat perbedaan arti fisis antara bentuk temporal yang melukiskan pola eksitasi gelombang dan bentuk spatial yang berkaitan dengan bentuk perambatan gelombangdalam medium bersangkutan.
4. Besaran-besaran gelombang
Tata nama (terminologi) dari besaran-besaran gelombang dapat dimengerti dengan mudah dengan memperhatikan gelombang tali pada gambar di atas. Sebelum tali diganggu (sebelum tali dilalui gelombang) tali berposisi OO’. Pada waktu tali dilalui gelombang , energi dibawa dan berpindah dari kiri ke kanan, dan garis OO’ disebut garis (atau arah) rambatan gelombang. Partikel tali, misalnya yang posisinya di titik A bergetar, berarti bergerak naik turun dari titik A ke titik B, dan kembali ke titik A.
Waktu yang diperlukan partikel untuk bergerak dari titik A ke titik B dan kembali lagi ke titik A disebut periode (T). Jumlah getaran yang yang terjadi dalam setiap detik disebut frekuensi (f). Frekuensi sebuah gelombang secara alami ditentukan oleh frekuensi sumber. Hubungan T dengan f diberikan oleh f:1/T. Kalau T dinyatakan dalam detik, maka satuan f adalah hertz (Hz), dimana 1 Hz = 1 getaran/detik = 1 putaran/detik. Periode dan frekuensi gelombang tidaklah berbeda dengan dengan periode dan frekuensi getaran. Setiap saat tali dapat tampak seperti yang ditunjukkan gambar diatas. Titiktitik serupa titik A disebut gunung gelombang (atau puncak gelombang). Titik-titik seperti titik D disebut lembah gelombang. Dengan berlalunya waktu, titik puncak (atau titik lembah) gelombang bergerak dalam arah rambat dengan kecepatan v yang disebut kecepatan rambat gelombang. Untuk mentransmisikan gelombang mekanis maka diperlukan suatu medium bahan. Sifat-sifat medium yang menentukan laju sebuah gelombang melalui medium tersebut adalah inersia dan elastisitasnya. Semua medium bahan termasuk air memiliki sifat-sifat ini dan dapat mentransmisikan gelombang mekanis. Elastisitasnyalah yang menimbulkan gaya-gaya pemulih pada setiap bagian medium yang dipindahkan dari kedudukan kesetimbangannya. Inersianyalah yang menentukan bagaimana bagian yang dipindahkan dari medium itu akan menanggapi gaya pemulih tersebut. Panjang gelombang adalah jarak antara dua titik puncak bertetangga (atau jarak antara setiap dua titik yang bersesuaian yang bertetangga). Dalam waktu T puncak yang bergerak dengan kecepatan v itu akan menempuh jarak λ. Dengan mengingat rumus s = vt, dapat ditulis
λ=vT karena f = 1/T maka rumus ini juga dapat ditulis λ = v/f
Amplitudo gelombang adalah nilai maksimum simpangan suatu gelombang. Pada gambar diatas amplitudo adalah jarak AC, (bukan jarak AB). Mari kita meninjau sebuah tali yang panjang yang diregangkan dalam arah x sepanjang mana sebuah gelombang transversal sedang berjalan. Pada suatu saat, katakanlah t = 0, bentuk tali dapat dinyatakan oleh Y= f(x)
t=0
Dimana y adalah pergeseran transversal dari tali pada kedudukan x. pada suatu waktu t kemudian gelombang tersebut telah berjalan sejarak vt ke kanan, dimana v adalah besarnya kecepatan gelombang yang dianggap konstan. Maka persamaan kurva pada t adalah
y = f(x-vt)
t=t
persamaan ini memberi bentuk gelombang yang sama
di sekitar titik x = vt. Untuk sebuah fase khas dari gelombang tersebut didapatkan dengan mudah. Untuk sebuah fase khas dari gelombang yang berjalan ke kanan kita mengharuskan bahwa x-vt = konstan maka diferensiasi terhadap waktu akan memberikan dx/dt-v = 0 atau dx/xt = v sehingga v merupakan sebuah kecepatan fase (phase velocity) gelombang teersebut. Untuk sebuah gelombang yang berjalan ke kiri kita dapatkan –v, dengan cara yang sama, sebagai kecepatan fasenya. Marilah sekarang kita tinjau sebuah bentuk gelombang yang khas, misalkan bahwa pada waktu t = o kita mempunyai sebuah deret gelombang sepanjang tali yang diberikan oleh y= A sin (2π/λ).x dengan bertambahnya waktu misalkan gelombang tersebut berjalan ke kanan dengan sebuah fase V, maka persamaan gelombang tersebut pada waktu t adalah y= A sin (2π/λ)(x-vt) Perhatikan bahwa persamaan tersebut mempunyai bentuk yang diharuskan untuk sebuah gelombang berjalan. Dari persamaan
λ= vT, apabila dimasukkan ke dalam persamaan
diatas maka akan menghasilkan y = A sin 2π(x/λ-t/T) untuk mereduksi persamaan tersebutke bentuk lain maka kita mendefinisikan dua kuantitas, yakni bilangan gelombang (wave number) k dan frekuensi sudut (angular frequency) ω. Kuantitas-kuantitas tersebut diberikan oleh: k = 2π/λ dan
ω = 2π/T
dengan menggunakan kuantitas-kuantitas ini, maka persamaan sebuah gelombang sinus yang berjalan ke kanan (arah x positif) adalah:
y = A sin (kx-ωt) untuk sebuah gelombang sinus yang berjalan ke kiri (arah x negatif), kita memperoleh y = A sin (kx+ωt) dengan membandingkan kedua persamaan sebelumnya, kita melihat bahwa kecepatan fase v dari gelombang tersebut adalah v = λ/T = ω/k
5. Perambatan energi dan impedansi gelombang
A.
Arus Energi
V
Q
Q’
ψ (x,t)
x
X
T
Untuk perumusan yang kongkret kembali kita tinjau gelombang sinusoida yang merambat ke kanan pada tali akibat suatu gaya sinusoida yang bekerja pada ujung kiri tali. Selanjutnya kita ambil suatu titik sembarang Q seperti dilukiskan dalam gambar diatas. Bagi medium di sebelah kanan Q, masukan energi yang diterima berupa kerja yang dilakukan oleh gaya tegangan tali di sebelah kirinya. Mengingat bahwa gerak titik Q hanya berlangsung dalam arah vertikal, maka secara efektif gaya penggerak yang bersangkutan diungkapkan oleh: F = -T sin θ = -(T cos θ) tan θ = -T tan θ = -T ( ∂ψ /∂x) ∂
(2.15)
Selanjutnya daya sesaat yang diberikan kepada tali sebelah kanan adalah: P = F ∂ψ /∂t
(2.16)
∂
Substitusi persamaan sebelumnya untuk F dalam persamaan diatas menghasilkan ungkapan arus energi: P = -(T. ∂ψ /∂x). ∂ψ /∂t
(2.17)
∂
Gelombang
ψ (x-vt) yang menerima daya dari sebelah kiri dan menjalarkannya ke arah
kanan akan memenuhi persamaan:
∂ψ /∂x = -1/v ∂ψ /∂t
(2.18)
dengan ini besarnya arus energi yang berangkutan diberikan oleh rumus:
P = T/v(∂ψ /∂t)2 = T0v( ∂ψ /∂x)2
(2.19)
∂
Rumus-rumus ini berlaku pula untuk gelombang
ψ (x+vt) yang arah rambatnya
berlawanan, sedangkan rumus 2.16 dan 2.19 akan memperoleh tanda berlawanan untuk kasus ini. Dengan demikian, rumus 2.18 akan menghasilkan harga P negatif untuk gelombang
ψ (x,t) sedangkan rumus 2.20 tetap memberikan harga (magnitude) yang
sama.
B. Kasus Khusus Gelombang Sinusoidal
Andaikan gelombang tali yang ditinjau memenuhi persamaan
ψ (x,t)= ψ 0 cos (kx-ωt) maka persamaan 2.19 akan memberikan ungkapan arus energi:
P= T0 vk 2 ψ 02 sin2 (kx-ωt)
(2.20)
Maka selanjutnya kita akan mendapatkan hubungan
To = v2ρ = (ω2/k 2) ρ
Dengan ini persamaan sebelumnya menjadi:
P = vρ[ωψ 0sin (kx-ωt)]2 = vρu2 (x,t)
Dengan u(x,t) =
ω0 ψ 0 sin (kx-ωt) = kecepatan osilasi di titik x. Persamaan ini
menggambarkan perambatan energi ke kanan dengan kecepatan v. Harganya pada titik tertentu berisolasi dengan waktu sedangkan hasil pengukuran besarnya arus energi melalui bidang penampang tertentu lebih tepat diungkapkan sebagai harga rata-rata P menurut rumus:
(P) = T0v( ∂ψ /∂x)2 ∂
= vρω2ψ 02 [sin 2 (ωt-kx)]
dengan defenisi harga rata-rata:
[sin2 (ωt-kx)] = 1/T 0∫ T sin2(ωt-kx) dt = ½
maka ungkapan (P) diatas menjadi
(P) = ½ vρω2ψ 02 = v (ε)
ungkapan dalam tanda kurung di atas menyatakan harga rata-rata rapat energi kinetik maksimumper satuan panjang tali dengan vmaks = ωψ 0 = kecepatan osilasi maksimum untuk osilator harmonis , rapat energi totalnya persatuan panjang sama dengan jumlah rapat energi potensial dan energi kinetik atau salah satu harga maksimumnya:
ε = εk + ε p = ½ ρω2ψ 02 [sin2 (kx-ωt)] + ½ ρω2ψ 02 [cos2 (kx-ωt)] = ½ ρω2ψ 02
dan harga ini merupakan suatu konstanta, (ε) = ε. Maka secara eksplisit , (P) dapat dituliskan dalam bentuk arus energi :
(P)= (ε) v = εv
C. Impedansi gelombang
Sebagai tanggapan (respons) terhadap gangguan luar F, tali akan memperoleh kecepatan gerak osilasi lokal. Untuk media resistif, respns ini bersifat linear. Oleh karena itu, besarnya respons terhadap F tertentu bergantung pada konstanta karakteristik medium, Z, menurut rumus:
∂ψ /∂t=1/Z.F
(2.21)
Untuk gelombang yang merambat ke kanan,
(∂ψ /∂t)=1/Z(-T0.∂ψ /∂t);
Z=T0(∂ψ /∂x)/∂ψ /∂t
(2.22a)
Hubungan ini mengingatkan kita kepada analogi dengan listrik. Dalam rangkaian listrik, beda potensial V sebagai penggerak muatan listrik akan menimbulkan arus I pada kawat dengan impedansi menurut rumus Ohm:
I=V/Z
(2.22b)
Berdasarkan analogi yang erat ini, Z disebut impedansi gelombang. Harga Z ditentukan oleh karakteristik gelombang dan medium yang bersangkutan. Jelas bahwa
untuk gaya gangguan tertentu, kecepatan osilasi yang ditimbulkan oleh gelombang tersebut berbanding terbalik dengan Z. Khusus untuk gelombang tali ψ (x-vt) Persamaan 2.22a memberikan hubungan:
Z=T0/V
(2.23)
Dan dengan ini persamaan diatas menjadi:
P=Z(∂ψ /∂t)2=1/Z(T0. ∂ψ /∂x)2 ∂
(2.24)
Dapat ditunjukkan bahwa rumus 2.23 dan 2.24 berlaku pula untuk gelombang ψ (x+vt). Perhatikan bahwa rumus 2.24 memiliki bentuk serupa dengan rumus disipasi energi ohmik dalam rangkaian listrik. Selanjutnya dari persamaan 2.22b dan 2.23 dapat diperoleh ungkapan Z yang lain untuk gelombang tali:
Z=√T0.ρ
(2.25)
Bentuk ini menarik untuk dibandingkan dengan persamaan 2.22b:
V= √T0/ρ
(2.26)
akhirnya untuk melengkapi ketentuan impedansi berbagai jenis media dapat dibedakan:
medium resistif
F= Z(∂ψ /∂t); Z=R
medium reaktif
F=Zψ ; Z=C-1 = Z(∂2ψ /∂t2); Z=L-1
6.
(2.27) (2.28) (2.29)
PEMANTULAN DAN TRANSMISI GELOMBANG
PERUMUSAN SOAL SYARAT BATAS
Menijau peristiwa yang terjadi pada perbatasan antara dua media gelombang yang berbeda sifat, misalnya dua tali yang berbeda kerapatannya, mempunyai batas batas dalam persamaan diferensial berupa syarat syarat kontinuitas
= ψ 2
ψ 1
∂ψ 1 = ∂ψ 2 ∂t ∂t ∂ψ 1 = ∂ψ 2 ∂ x ∂ x
= kontiniutas slope gelombang sesaat
Membatasi diri pada gelombang harmonis, solusi untuk masing masing medium berbentuk umum : ψ 1
= ψ m + ψ r = ψ mo cos( k 1 x − ω 1t ) + ψ ro cos( k 1' x + ω 1' t )
ψ 2
= ψ t = ψ to cos( k 2 x − ω 2 t )
Penerapan syarat batas 1 menghasilkan persamaan ψ mo
+ψ ro = ψ to Atau
1 + r = t
Dengan definisi r =
t =
ψ to
Koefisien pantul / refleksi
ψ mo
ψ ro ψ mo
Koefisien transmisi
Penerapan syarat batas 2 memberikan hasil yang sama Penerapan syarat batas 3 menghasilkan persamaan
(ψ mo − ψ ro ) k 1 = ψ to k 2 1 − r = t
Diperoleh
k 2 k 1
t =
2k 1
k 1 + k 2
r =
k 1 − k 2 k 1 + k 2
Pemantulan dapat menimbulkan pembalikan fase gelombang. Dengan mengambil contoh gelombang tali yang memenuhi hubungan k 1
=
ω v1
ω = Z t T o
t = 1,2
Dapat dituangkan dalam bentuk t =
2 Z 1
Z 1 + Z 2
r =
− Z 2 Z 1 + Z 2 Z 1
Tugas 2
1. Diketahui fungsi gelombang (x,t)=0,02 sin { 2π (0,5x – 10t)}m x → meter , t →det ik ,tentukan a. Panjang gelombang dan vektor gelombang b. Frekwensi dan frekwensi sudut c. Perode d. Kecepatan fase Jawab : (x,t) = A sin (kx-wt) =0,02sin { 2π − ( 0,5 − w ) } A=0,02m K= π , w = 20π K=
2π λ
→ π =
2π λ
→ λ = 2m → panjang gelombang
f → f = W= 20π = 2π
20π 2π
T =
1 f
= 10Hz → frekwensi
=
1 10
det ik → periode
w= 20π rad → frekwensi sudut v=
w k
=
20π π
= 20 m dt → koefisien
arah perambatan pada sumbu x pada amplitudo 0,02m 2. sutu osilator mekanik dengan fungsi
(t)=0,01 sin (20t)dihubungkan dengan
seutas tali, sehingga pada tali terjadi gelombang trasversal. Tegangan tali 10N, rapat masa 20g/m tentukan: a. cepat rambat gelombang pada tali b. frekwensi. C. Panjang gelombang c. Daya rata-rata yang diberikan oleh osilator Jawab :
T
a. v =
10 N
=
0,02
1000
=
kg
2
m
f → f = b. w = 20 → w = 2π w
λ =
2π 500
k
=
2π
500 m dt
20
=
2π
10
π
Hz
→ k = w → k = 2π → 2π = w → λ = 2π v
v=
c.
w
=
λ
v
20
=
π 500
λ
v
w
m
10
d.daya rata-rata dari isolator T 0 v
=
∂φ 2 → ∂φ = ( 0,2 cos ( 20t ) ) 2 ∂t ∂t =0,04 cos2 (20t) 2
∂ φ m mv = ρ → ρ = → m = ρ 2 2 ∂ t 1
=
1 T 0 2 v
= 0,02
w 2 A 2
T 0 v
→ T 0 = T cosθ v=
=0,02
1
2
10 cosθ 500
T ρ
=
→ λ = π
3. panjang gelombang :
500
500 10
(x,t) =
→ 1 λ = π 4
0
500 40
− ( x−vt ) 2 2 a
merambat pada tali dengan ρ kg m dengan a satuan konstanta tentukan : a. Energi kinetik b.Energi potensial c. Momentum Jawab : a. Ek =
1 2
2
mv 2
∂φ m 1 = ρ → ρ = → m = ρ 2 ∂t
∂φ d −( x−avt ) = φ ∂t dt 0 v ( x − vt )
2
2
= -2
a.
a
2
a
2
ε p =mgh =mg φ = ρ g φ 0
0
∂φ 2 → ε p = k ( ∆ x ) 2 ∂ x 1
∂φ v ( x − vt ) −( x−vt ) = −ρ 2 2 2 ∂t a a 1 v x − vt −( − ) ε k = ρ 4 2 a a
b. p=mv= ρ
2
2 a
2
2
x vt
2
a2
2
v x − vt −( x−vt ) ε h = ( 2 ρ ) 2 2 a a 2
a
2
2
2
p=
ρ ∂φ v
∂t
4.Fungsi gelombang : φ ( x, t ) = φ 0 cos( kx − wt ) tentukan : a. rapat energi rata-rata b. Daya rata-rata c. hubungan jawaban a dengan b v pada listrik bandingkan dengan j ρ Jawab : a. Rapat energi rata-rata
=
ε
1 2
2 2 ρ w φ 0 2
ε = ρ v
2
∂φ → ∂φ = −k φ sin( kx − wt ) 0 ∂ x ∂ x
2 2 2 2 = ρ v k φ 0 sin ( kx − wt ) → sin( kx − wt ) =
ε
=
ε
=
1 2 1 2
2
2
2
ρ v k φ 0 2
→ w = kv
2
ρ w φ 0
b. daya rata-rata 2
p=
ρ ∂φ
∂φ → = wφ 0 sin ( kx − wt ) v ∂t ∂t
p
=
1 ρ 2 v
w 2φ 02
→
p
∂φ 2 = T 2 v ∂ x
1 2
1
p
=
p
=
p
→
2
ρ vw 2φ 02
v ε 0
ρ → ε
p
=
ε v
→
ε
=
v −v
→
p v
c. Hubungan a dengan b Pada listrik j = ρ v →rapat arus rapat arus j identik dengan rapat energi gelombang. 4. Pulsa denga amplitude 1cm, merambat pada dua tali yang disambung dengan intensitas masing-masing 50 gr/m dan 20gr/m kedua tali mempunyai teganga n yang sama (T) tentukan : a. amplitudo pulsa pantul b. amplitudo pulsa transisi c. reflektansi dan transmitasi pulsa pada tali tersebut Jawab : a. v1
v2
=
T
T
=
0,05
ρ 1
=
r=
T 0,02
→ Z 1 =
→ Z 2 =
Z 1 − Z 2 Z 1 + Z 2
A ρ = 0,01
=
T 0 v2
T 0 / T 0 /
T 0 / T 0 /
=
T 0 v1
T
T
0 , 05
0 , 05
At Ad
2 z 1 + z z 1 2
t = t . Ad = 0.01
0 , 05
v1
0, 02
b. Amplitudo gelombang transisi t=
r=
T 0
−T 0 / T 0 , 05 +T 0 / T
T
−T 0 / T 0 , 05 +T 0 / T
− v2 Aρ = v1 + v2 Ad v − v2 A ρ = 1 Ad v1 + v2
T 0
=
T
T T
0 , 02 0 , 02
0 , 02 0 , 02
=
A ρ Ad
m → amplitudo gelombang pantul
T 0 /
At = 0.01 T T T / + 0, 05 0, 02 0 T 0 / T 0,05 −T 0 / 2 Reflektansi R = r = T 0 / T 0,05 +T 0 / 2T 0 /
T
0, 05
Transmitansi T =
Z 2 Z 1
2
t
=
Z 2 Z 1
T 0 /
2
T T
0, 02 0 , 02
2
2T 0 / T
0, 05
T
0, 05
+ T 0 /
T 0, 02
DAFTAR PUSTAKA Bueche, Frederick. 1994. Teori dan Soal-Soal Fisika. Jakarta : Erlangga.
Resnick, Halliday. 1988. Fisika Jilid 1. Jakarta : Erlangga. Tjia, M.O. 1994. Gelombang . Bandung : Dabara Publisher.
