Cours de Mathématiques (2ème année ) Département de Génie Electrique et Informatique Industrielle IUT du Havre Gisella Croce
Table des matières 1 Avant-propos
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2 Fonctions de plusieurs variables 2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Le graphe d’une fonction à deux variables . . . . . 2.3 Fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Dérivées partielles du premier ordre . . . . 2.4.2 Composition de fonctions avec des fonctions 2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . à .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . une variable . . . . . . . .
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4 4 4 5 5 5 7 7
3 Intégrales doubles 3.1 Comment calculer un volume . . . . . . . . . . . . 3.2 Propriétés de l’intégrale double . . . . . . . . . . . 3.3 Changement de variables dans une intégrale double 3.4 Flux d’un champ vectoriel à travers une surface . . 3.5 Exercices de révision . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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10 10 11 11 12 12 13
4 Suites numériques 4.1 Définition de suite et de limite . . . . . . . . . . . . 4.2 Opérations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Limites de fonctions et limites de suites numériques . 4.4 Rappel sur les limites de fonctions numériques . . . 4.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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15 15 15 16 16 17
5 Séries numériques 5.1 Définition . . . . . . . . . . . . 5.2 Critères de convergence . . . . 5.2.1 Critères de convergence 5.3 Appendice . . . . . . . . . . . . 5.4 Exercices . . . . . . . . . . . .
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18 18 19 20 20 21
6 Transformées en z 6.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Tableau des transformées . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Théorème de la valeur initiale et de la valeur finale 6.5 Relation avec la transformée de Laplace . . . . . . 6.6 Equations aux différences . . . . . . . . . . . . . . 6.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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23 23 23 23 26 26 26 27
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7 Séries de Fourier 29 7.1 Définition et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 7.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 7.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1
8 Transformée de Fourier 34 8.1 Définition et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 8.2 Tableau des transformées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 8.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 9 Appendice : exemples de DS et exercices de révision 9.1 Exemple de DS module MA31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Exemple de DS module MA32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Document pour le module MA32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.1 Séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.2 Transformées en Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.3 Transformées de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4 Exercices de révision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5 Corrigé des exercices du chapitre Fonctions de plusieurs variables 9.6 Corrigé des exercices du chapitre Intégrales doubles . . . . . . . . 9.7 Corrigé des exercices du chapitre Suites numériques . . . . . . . . 9.8 Corrigé des exercices du chapitre Séries numériques . . . . . . . . 9.9 Corrigé des exercices du chapitre Transformées en z . . . . . . . 9.10 Corrigé des exercices du chapitre Séries de Fourier . . . . . . . . 9.11 Corrigé des exercices du chapitre Transformée de Fourier . . . . . 10 Retrouver ce cours sur le web : EUREKA
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37 37 37 39 39 39 40 42 44 45 46 47 48 50 51 52
2
Chapitre 1
Avant-propos Ce polycopié a été élaboré à partir de – notes des cours donnés par Adnan Yassine, Aziz Alaoui et Dominique Soudière au Département de Génie Electrique et Informatique Industrielle de l’IUT du Havre – R.V. Churchill, Fourier series and boundary value problems, McGraw-Hill Book Co., 1963 – B. Dacorogna et C. Tanteri, Analyse avancée pour ingénieurs, Presses polytechniques et universitaires romandes, 2002 – E. Giusti, Analisi Matematica 1, Bollati Boringhieri, 1991 – E. Giusti, Esercizi e complementi di Analisi Matematica 1, Bollati Boringhieri, 1991 – E. Giusti, Analisi Matematica 2, Bollati Boringhieri, 1991 – E. Giusti, Esercizi e complementi di Analisi Matematica 2, Bollati Boringhieri, 1991 – J-M. Monier, Analyse MPSI, Dunod, 2006 Un grand merci à Dominique Soudière, Pierre Maréchal et Mounsif Ech-cherif el-kettani pour leur aide. Même s’il a été contrôlé plusieurs fois, ce polycopié pourrait contenir des imprécisions, des fautes... merci aux étudiants qui voudront me signaler les erreurs éventuelles. Ce cours peut être retrouvé en ligne à la page https ://eureka.univ-lehavre.fr (voir chapitre 10 pour plus de détails). Gisella Croce
3
Chapitre 2
Fonctions de plusieurs variables Supposons de vouloir étudier la température en France, par exemple, dans le mois de septembre. Il s’agit détudier une fonction de trois variables : la position (deux variables) et la variable temps...voici un exemple qui illustre l’importance des fonctions à plusieurs variables.
2.1
Définition
On appelle fonction de plusieurs variables de Rn dans R, d’ensemble de définition D ⊆ Rn , toute application définie par : f : D ⊆ Rn → R (x1 , ..xn ) → f (x1 , ..xn ) Exemple 2.1.1
1. f1 (x1 , x2 ) = 3x1 + 4x2 + 7 ; Df1 = R2
2. f2 (x1 , x2 ) = ln(2x1 + x2 + 3) ; Df2 = {(x, y) ∈ R2 : 2x + y + 3 > 0}
3. quel est le domaine de définition de la fonction température en France au mois de septembre ?
Dans ce cours on traitera essentiellement les fonctions de deux variables.
2.2
Le graphe d’une fonction à deux variables
Soit f : D ⊂ R2 → R une fonction à deux variables. Pour représenter son graphe, on se donne le plan xy sur lequel on positionne le couple (x, y) et sur un troisième axe vertical, au dessus du point (x, y), on positionne un point à la hauteur f (x, y). Les points ainsi positionnés composent le graphe de f . En général il peut être difficil de représenter le graphe d’une fonction f à deux variables. Cependant on peut s’aider avec les "sections". Considérer la section y = c consiste à considérer les points (x, c, f (x, c)), c’est-à-dire la courbe qui se trouve au dessus ou en dessous de la droite y = c (perpendiculaire à l’axe des y). En fait f (x, c) est une fonction à une variable, dont on peut tracer le graphe, qui est justement une courbe. On peut pareilement considérer la section x = C, c’est-à-dire les points (C, y, f (C, y)). Ces points composent la courbe au dessus ou en dessous de la droite x = C (perpendiculaire à l’axe des x). Exemple 2.2.1 Soit f (x, y) = x2 y. La section x = constant nous donne des droites par l’origine ; la section y = constant nous donne des paraboles par l’origine. Considérer les points du graphe de f qui se trouvent à une même hauteur z0 donne aussi une idée du graphe de f . On appelera les points de l’ensemble {(x, y) ∈ D : f (x, y) = z0 } la ligne de niveau à hauteur z0 . Exemple 2.2.2 Soit f (x, y) = x2 + y 2 . Les lignes de niveau sont des cercles de centre (0, 0, z) et rayon pour C > 0.
4
√
C
Exemple 2.2.3 Il n’est p pas difficile de tracer le graphe des fonctions "radiales", c’est-à-dire des fonctions de la forme f (x, y) = g( x2 + y 2 ) pour g : R+ → R. En effet on remarque que f vaut g(α) pour tous les points (x, y) appartenent au cercle de centre (0, 0) et rayon α. Alors il suffit de tracer le graphe de la fonction t → g(t) dans le plan (t, z) et d’ajouter une dimension perpendiculaire à la feuille pour pouvoir représenter les cercles et les valeurs de f correspondantes à ces cercles. Cela revient à faire une rotation du graphe de g autour de l’axe z.
2.3
Fonctions continues
On dit que f : D ⊆ R2 → R est continue en (x0 , y0 ) ∈ D si lim
(x,y)→(x0 ,y0 )
2.4 Soit
f (x, y) = f (x0 , y0 )
Dérivées partielles f:
D ⊆ R2 (x, y)
→ R → f (x, y)
En analogie avec ce qu’on fait pour les fonctions d’une variable, on voudrait connaître comment varient les valeurs de f . Pour cela on va utiliser les dérivées partielles.
2.4.1
Dérivées partielles du premier ordre
Les dérivées partielles de f sont deux fonctions de deux variables. 1. Pour obtenir la dérivée partielle de f par rapport à x, on "gèle" la variable y et on dérive f par rapport ∂f à la variable x. Elle sera notée . Elle nous dit comment varie f par rapport à x. ∂x 2. Pour obtenir la dérivée partielle de f par rapport à y, on "gèle" la variable x et on dérive f par rapport ∂f à la variable y Elle sera notée . Elle nous dit comment varie f par rapport à y. ∂y ∂f Définition 2.4.1 Le gradient de f : D ⊂ R2 → R au point (x, y) ∈ D est le vecteur ∇f (x, y) = ∂f ∂x , ∂y . On peut calculer la dérivée directionnelle de f dans une direction h : ∇f · h. Cette quantité nous dit comment varie f dans la direction h. Remarque 2.4.2 Le gradient nous donne la direction de plus grande pente. En effet, soit h ∈ R2 un vecteur direction, c’est-à-dire, |h| = 1. Alors, pour tout vecteur direction on a ∇f |∇f · h| 6 |∇f ||h| = |∇f | = ∇f · |∇f |
Remarque 2.4.3 On peut montrer que le gradient est orthogonal (à la tangente) aux lignes de niveau en chaque point. Exemple. Soit f (x, y) = cos xy + ln(x2 y). Alors 2xy x 1 + 2 y y x y ∂f 1 x x = sin + 2 ∂y y y y
∂f = − sin ∂x
5
4
Z
2 0
−4
−2
−3 −2
−4 −1
−4 −3
0
−2 1
−1 0
X
2
1
Y
2 3
3
Fig. 2.1 – Graphe de la fonction f (x, y) = x cos y. On remarque que les sections correspondantes à y constant sont des droites, les sections correspondantes à x constant sont des fonctions sinousoidales.
20 15 10
Z
5 0 −5 −10 −15 −20 −4
−3
−2
−1
0
1
2
Y
3
3
2
1
0
−1
−2
−3
−4
X
Fig. 2.2 – Graphe de la fonction f (x, y) = ey sin x. On remarque que les sections correspondantes à x constant sont des exponentielles, les sections correspondantes à y constant sont des fonctions sinousoidales.
6
2.4.2
Composition de fonctions avec des fonctions à une variable
Soient
x: R t
→ R → x(t)
y: R t
→ R → y(t)
et
dérivables. Soit
f:
R2 (x, y)
→ R → f (x, y)
admettant des dérivées partielles. On définit F (t) = f (x(t), y(t)). On a alors : F ′ (t) =
∂f ∂f x′ (t) + y ′ (t) ∂x (x(t),y(t)) ∂y (x(t),y(t))
Exemple. Soit f (x, y) = x2 y ; soient x(t) = sin t et y(t) = t2 . On définit F (t) = f (x(t), y(t)). Alors ∂f = x2 . ∂y
∂f = 2xy , ∂x Par conséquent
F ′ (t) = 2 sin t t2 cos t + sin2 t 2t Remarque 2.4.4 Imaginons un point matériel qui bouge sur le graphe de la fonction f . Sa position sera, à chaque instant t, (x(t), y(t), z(t)) = (x(t), y(t), f (x(t), y(t))). Calculer F ′ revient à calculer z ′ (t), c’est-à-dire la troisième composante de son vecteur vitesse.
2.5
Exercices
Exercice 2.5.1 Représenter graphiquement : D0 = {(x, y) ∈ R2 : 1 6 x 6 4, −1 6 y 6 3}
D1 = {(x, y) ∈ R2 : x − 2y + 3 > 0, 3x − 2y + 1 6 0} D2 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 − 6x + 2y + 1 6 0}
D3 = {(x, y) ∈ R2 : y − x2 + x > 0, y − x − 2
D4 = {(x, y) ∈ R
2
D5 = {(x, y) ∈ R
2
1 2
6 0}
2
: x + y − 4x + 12y − 31 6 0}
: 0 6 x 6 1, x2 6 y 6 x}
D6 = {(x, y) ∈ R2 : 0 6 x 6 1, 0 6 y 6 x} Exercice 2.5.2 Représenter le domaine de définition des fonctions suivantes : a(x, y) = cos(x2 +y)−y arctan(x+ p 2x x + sin(xy) c(x, y) = √ d(x, y) = x3 y 3 − 1 + y 4 x 2y) b(x, y) = 3 ln(x ) y+x−2 Exercice 2.5.3 Déterminer ledomaine de définition des fonctions suivantes : f1 (x, y) = x+y x2 + y 2 √ ; f4 (x, y) = ln(x2 − y 2 ). ; f3 (x, y) = ln x+y x−y
p
y 2 − x2 ; f2 (x, y) =
Exercice 2.5.4 1. Quel est le graphe de f1 (x, y) = y 2 sin x, f2 (x, y) = y 2 ex , f3 (x, y) = sin x cos y ? Justifier votre réponse. 2. Quel est le graphe de f1 (x, y) = x cos y, f2 (x, y) = sin xey , f3 (x, y) = xy 4 ? Justifier votre réponse.
7
Fig. 2.3 – Graphes partie 1 de l’exercice 2.5.4
180 160 140 120
1 Z
Z
100 −4
0
80 −3
−1
60 −2
−4
40 −1
−3
−4
20
−2
−3
0
−1
−2
0 1
0 1
Y
−4
X
−1 −3
2
−2
0 −1
3
3
1
0
2
2
1
2
Y
X
3
3
10 8 6 4
Z
2 0 −2 −4 −6 −8 −10 −4
−3
−2
−1
0
1
2
Y
1
2
3
3
−1
0
−2
−3
−4
X
Fig. 2.4 – Graphes partie 2 de l’exercice 2.5.4
25 20 15 4 10
3 2
5
Z
Z
1 0
0 −1
−5
−2
−10
−3
−15
−4 −3
−4 −2
−4
−20
−1
−3 −2
−25 −4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
4
3
2
1
0
−2
−1
−3
−4
1 Y
200 100
Z
0 −100 −200 −300
−2
−1
0 Y
1
2
3
3
2
1
0
2
2 3
300
−3
1
0
X
Y
−400 −4
0
−1
−2
−1
−3
−4
X
8
3
X
Exercice 2.5.5 On considère la fonction f (x, y) dèfinie par 2 x + 2y si (x, y) 6= (1, 2) f (x, y) = 0 si (x, y) = (1, 2) Calculer lim f (x, y). En déduire la discontinuité de f en (1, 2). x→1 y→2
Exercice 2.5.6 On définit f (x, y) =
x2 − y 2 pour (x, y) 6= 0 et f (0, 0) = 0. Dire si f est continue en (0, 0). x2 + y 2
Exercice 2.5.7 Calculer les dérivées partielles de 1. A(x, y) = ex+2y √ 2. B(x, y) = y x2 + 1 3. C(x, y) = sin(x2 (y + 1)) Exercice 2.5.8 Calculer les dérivées partielles d’ordre 1 des fonctions suivantes : 1. a(x, y) = cos(x2 + y) − y arctan(x + 2y) x + sin(xy) 2. b(x, y) = ln(x3 ) 2x 3. c(x, y) = √ y+x−2 p 4. d(x, y) = x3 y 3 − 1 + y 4 x
Exercice 2.5.9 Calculer les dérivées partielles 1. A(x, y) = x3 y + exy
2
2. B(x, y) = sin(xy 2 ) Exercice 2.5.10 Utiliser la règle de dérivation de la composée pour calculer 1 1 1. z = x3 − y 3 avec x = et y = t+1 t+2 2. z = x3 y 3 avec x = t + 1 et y = t3 + 2t p t 1 et y = 3. z = cos x2 + xy avec x = sin(t + 1) t+2
9
dz dt
dans les cas suivants :
Chapitre 3
Intégrales doubles 3.1
Comment calculer un volume
Soit D ⊂ R2 un domaine de la forme suivante : D = {(x, y) : a 6 x 6 b, f1 (x) 6 y 6 f2 (x)}. Soit une fonction f une fonction de deux variables, définie sur le domaine D, positive. On veut calculer le volume V du cylindre droit de bases D et le graphe de la fonction f . Comment on peut faire ? On peut penser V composé par les "feuilles" verticales suivantes : F (x0 ) = {(x, y, z) : x = x0 , f1 (x0 ) 6 y 6 f2 (x0 ), 0 6 z 6 f (x0 , y)} On sait calculer l’aire Airex0 de chaque feuille F (x0 ) : Airex0 =
Z
f2 (x0 )
f (x0 , y)dy. Alors, pour calculer le
f1 (x0 )
volume V il suffit de faire la somme de ces aires, c’est-à-dire V =
Z
b
Airex dx =
Z
b
dx
a
a
Mathématiquement on indiquera la valeur de ce volume par
Z
f2 (x)
f (x, y)dy .
f1 (x)
ZZ
f (x, y)dx dy.
D
z
graphe de z=f(x,y) courbe z=f(x*,y)
"feuille" F(x*)
a
x* f1(x) b
D x y f2(x)
10
La construction qu’on vient de faire nous montre l’importance de savoir calculer ZZ Z b Z f2 (x) f (x, y)dy dx f (x, y)dx dy = f1 (x)
a
D
pour une fonction f quelleconque. 2
2
Exemple 3.1.1 Soit le domaine D = {(x, y) ∈ R , 1 6 y 6 x , 0 6 x 6 2}. Calculer I = 2
2
f (x, y) = x + y . Le domaine est caractérisé par
I=
Z
1
2
dx
"Z
(
16x62 1 6 y 6 x2 #
y=x2 2
2
(x + y )dy =
y=1
Z
ZZ
f (x, y)dxdy où
D
. Alors
2
1
y=x2 Z 2 y3 x6 1006 1 2 4 2 dx x y + dx x + = = −x − . 3 y=1 3 3 105 1
Remarque 3.1.2 Soient D = {(x, y) ∈ R2 : c 6 y 6 d, f1 (y) 6 x 6 f2 (y)} et g : D → R une fonction. Alors ZZ
g(x, y)dxdy =
d
dy
c
D
3.2
Z
Z
f2 (y)
g(x, y)dx .
f1 (y)
Propriétés de l’intégrale double
1. Z Linéarité Z ZZ ZZ [f (x, y) + g(x, y)]dx dy = f (x, y)dx dy + g(x, y)dx dy ZZ ZZ k f (x, y)dx dy = k f (x, y)dx dy
2. Domaine partitionné
Si D = D1 ∪ D2 avec D1 ∩ D2 = ∅ alors
ZZ
f (x, y)dx dy =
D
ZZ
f (x, y)dx dy +
D1
3. Positivité Si la fonction est positive sur le domaine alors Z Z l’intégrale l’est aussi. ZZ En particulier : f (x, y) > g(x, y) sur D ⇒ f (x, y)dxdy > g(x, y)dxdy D
3.3
ZZ
f (x, y)dx dy
D2
D
Changement de variables dans une intégrale double
Soient ∆ et D deux domaines de R2 . Soit ϕ une application de D en ∆ : ϕ:
∆ (u, v)
→ D → (x(u, v), y(u, v))
( x(r, θ) = r cos θ Exemple 3.3.1 y(r, θ) = r sin θ La matrice
∂y ∂u ∂y ∂v D(x, y) est appelé le jacobien. On a alors est appelée matrice jacobienne. Son déterminant noté D(u, v) ZZ ZZ D(x, y) du dv f (x, y)dx dy = g(u, v) D(u, v) D ∆ ∂x ∂u ∂x ∂v
avec g(u, v) = f (x(u, v), y(u, v)).
11
Exemple 3.3.2 Calculer I =
ZZ
D
(x2 + y 2 )dxdy sur D = (x, y); x2 + y 2 6 1; y > 0 .
On utilise les coordonnées polaires, c’est-à-dire la transformation (r, θ) → (x = r cos θ, y = r sin θ). Le jacobien de cette transformation est r. On a que (x, y) ∈ D si et seulement si 0 6 r 6 1 et 0 6 θ 6 π. Alors ZZ I= (r2 cos2 θ + r2 sin2 θ)r dr dθ ∆
où ∆ = {(r, θ) ∈ R2 : 0 6 r 6 1 , 0 6 θ 6 π}. Cette intégrale est facile à calculer.
3.4
Flux d’un champ vectoriel à travers une surface
Définition 3.4.1 Une surface S est l’image d’une application σ : D ⊂ R2 → R3 qui associe au point (u, v) le vecteur (σ1 (u, v), σ2 (u, v), σ3 (u, v)). Le vecteur ∂σ1 ∂σ2 ∂σ3 ∂σ1 ∂σ2 ∂σ3 × , , , , ν(u, v) = σu × σv = ∂u ∂u ∂u ∂v ∂v ∂v représente la normale à S au point σ(u, v). Remarque 3.4.2 L’application σ est appelée la paramétrisation de S. Exemple 3.4.3 σ:
[0, 1] × [0, 2π] (h, θ)
→ →
R3 (cos θ, sin θ, h)
est un cylindre de hauteur 1 et rayon 1. La normale vaut (cos θ, sin θ, 0). Exemple 3.4.4 Le graphe d’une fonction à deux variables f : D ⊂ R2 → R est une surface. Il suffit de définir σ(u, v) = (u, v, f (u, v)) avec (u, v) ∈ D. Définition 3.4.5 Un champ vectoriel est une application B : R3 → R3 . Exemple 3.4.6 B(x1 , x2 , x3 ) = (x1 x23 , cos(x1 x42 ) + ln x, 3 sin(x1 + x3 − x2 )) est un champ vectoriel. Définition 3.4.7 Le flux d’un champ B à travers une surface S est défini par ZZ B · dσ S
c’est-à-dire
ZZ
D
B(σ(u, v)) · ν(u, v)du dv .
Exemple 3.4.8 Soit S la surface {(x, y, z) : 0 6 x 6 1, 0 6 y 6 2, z = 3}. S est un rectagle plat à hauteur 3. Sa paramétrisation est σ(u, v) = (u, v, 3) où (u, v) ∈ D = {(u, v) : 0 6 u 6 1, 0 6 v 6 2}. La normale à S vaut (0, 0, 1). Soit B le champ (x2 , y, x + z). Alors le flux du champ B à travers S est ZZ
D
(u2 , v, u + 3) · (0, 0, 1)du dv =
ZZ
(u + 3)du dv =
D
Z
0
1
du
Z
2
(u + 3)dv = 7.
0
Remarque 3.4.9 Le flux est donc une intégrale double ! Remarque 3.4.10 Supposons de considérer un fluide qui passe à travers une surface ; à chaque point du fluide il est associé le vecteur vitesse. Le flux du champ de vitesse du fluide mesure la quantité du fluide qui passe à travers la surface.
3.5
Exercices de révision
Exercice 3.5.1 Calculer
12
1.)
Z
2
[x4 +
1
2.)
Z
2
[4x2 + 1 −
1
3.)
Z
√ 1 − 2x] dx 2 x
1
√
6.)
4.)
1
0
5.)
Z
1
3
(x + 2)(x2 + 4x + 1) 2 dx
0
2 ] dx x3
7.)
π
Z
[sin(2x) + cos(3x)] dx
0
8.)
2x + 1 dx
π
Z
cos2 x sin x dx
0
0
Z
1
Z
1
sin x dx 1 + cos2 x
Z
1
cos x √ dx sin x
Z
π/2
Z
π/2
8.)
1
9.)
Z
x2 dx 1 + x2
1
10.)
Z
x3 + 3x2 + 5x + 3 dx x2 + 2x + 3
3
11.)
Z
x−1 dx x3 + x2 − x − 1
p x 1 + x2 dx
9.)
Z
0
x2 (2 + x3 )2 dx
10.)
0
0
Exercice 3.5.2 Calculer les intégrales suivantes : 1.) 2.) 3.) 4.) 5.) 6.)
π/2
sin t √ dt 1 − cos2 t 0 Z 21 t √ dt 1 − t2 0 Z 9 √ dt √ (poser u = t) t−1 4 Z 2 ln x dx Z1 2 x ln x dx Z1 1 x2 ex dx
Z
7.)
x cos x dx
0
x2 sin x dx
0
0
0
0
2
Exercice 3.5.3 Calculer, à l’aide des formules trigonométriques R 1.) sin2 x dx R 2.) cos2 x dx
3.6
Exercices
Exercice 3.6.1 Calculer
ZZ
f (x, y) dxdy :
D
1. D = {(x, y) ∈ R2 ; x > 0, y > 0, x + y 6 1}, f (x, y) = xy.
6. D = {(x, y) ∈ R2 ; 0 6 x 6 1 −
y2 }, 4
f (x, y) = x2 + y 2 .
2. D = {(x, y) ∈ R2 ; x > 1, y > 1, x + y 6 4}, 1 . f (x, y) = x+y
7. D = {(x, y) ∈ R2 ; x > 0, y > 0, x + y 6 1}, f (x, y) = x + y + 1.
3. D = {(x, y) ∈ R2 ; x > 1, y > 1, x + y 6 4} f (x, y) = ln(x + y + 1).
8. D = {(x, y) ∈ R2 ; x > 0, y > 0, x + y 6 π},
4. D = {(x, y) ∈ R2 ; y > 0, x + y 6 1, y − x 6 1}, f (x, y) = x2 y.
f (x, y) = (x + y) sin x sin y.
9. D = {(x, y) ∈ R2 ; 1 6 y 6 x2 , 0 6 x 6 2}, 5. D = {(x, y) ∈ R2 ; x2 + y 2 6 R2 }, f (x, y) = x2 + y 2 . f (x, y) = x2 y. ZZ √ πx dxdy où D est le domaine délimité par les courbes y = 2, y = x, y = x. sin Exercice 3.6.2 Calculer 2y D Exercice 3.6.3 Calculer le volume du domaine {(x, y, z) ∈ R3 : 0 6 x 6 1, x 6 y 6 3x, 0 6 z 6 x2 + y} 13
Exercice 3.6.4 Soit D le quadrilatère de sommets (0, 0), (2, 2), (0, 2), (1, 4). Calculer
ZZ
(x + y) dxdy.
D
Exercice 3.6.5 Soit D le domaine délimité par l’axe des x et la parabole y = 1 − x2 . Calculer le volume du cilindre de base D et hateur 4. ZZ Exercice 3.6.6 Calculer (x + y) dxdy où D est le domaine délimité par l’axe des y, la droite y = 4, la D
courbe y = x4 , la droite y = x.
Exercice 3.6.7 Changements de variables en coordonnées polaires Calculer ZZ 1 1. dxdy où D = {(x, y) ∈ R2 ; x2 + y 2 6 1} 2 2 D 1+x +y ZZ 2. (x2 + y 2 ) dxdy où D = {(x, y) ∈ R2 ; x2 + y 2 − x < 0 , x2 + y 2 − y > 0} D ZZ p 3. x2 + y 2 dxdy où D = {(x, y) ∈ R2 ; 1 < x2 + y 2 < 4 , x > 0, y > 0} D ZZ p xy x2 + y 2 dxdy où D = {(x, y) ∈ R2 ; x2 + y 2 6 1, x > 0, y > 0, y 6 x} 4. Z ZD √ 5. x2 dxdy où D est le secteur du cercle de centre (0, 0), rayon 1, délimité par les droites y = ± 3x D
pour x > 0
Exercice 3.6.8 Calculer
ZZ
x dxdy où D = {(x, y) ∈ R2 ; (x − 1)2 + y 2 6 1}
ZZ
(x2 + y 2 − 2y) dxdy où D = {(x, y) ∈ R2 ; (x − 1)2 + (y − 1)2 6 1}
D
Exercice 3.6.9 Calculer
D
Exercice 3.6.10 Calculer u = x − y et v = x + y. Exercice 3.6.11 Calculer 2, y + 2x = 2. Suggestion : poser x =
2 u+v
ZZ
cos
D
x−y dxdy où D = {(x, y) ∈ R2 ; x > 0 , y > 0 , x + y 6 1} en posant x+y
ZZ
D
1 dxdy où D est l’ensemble délimité par les droites y = x, y = 2x, y + x = x2 y
et y =
2u u+v .
Exercice 3.6.12 Calculer D = {(x, y) : 0 < x < y < 2x, 1 < xy < 2}. p l’aire du domaine √ Suggestion : poser x = u/v et y = uv. Exercice 3.6.13 Calculer
ZZ
D
(x + y) dxdy où D = {(x, y) : 0 < x < y < 2x, 1 < xy < 2}.
Suggestion : poser u = y/x et v = xy. Exercice 3.6.14 Calculer l’aire du domaine D = {(x, y) : 0 < x < y < 2x, 1 < x + y < 3}. u uv Poser x = 1+v et y = 1+v . Exercice 3.6.15 Calculer
ZZ
D
1 dxdy où D = {(x, y) : 0 < x < y < 2x, 1 < x + y < 3}. xy
14
Chapitre 4
Suites numériques 4.1
Définition de suite et de limite
Définition 4.1.1 Une suite est une application qui à un nombre entier n associe un nombre réel an . Exemple 4.1.2
1. an =
1 n
est une suite
1 3n
2. an = est une suite u0 = 0 3. est une suite définie par récurrence un+1 = 2un + 3
4. Soit f : [0, +∞) → R une fonction d’une variable réelle ; an = f (n) est une suite
Définition 4.1.3 On dit que an est croissante (décroissante) si an 6 an+1 (an > an+1 ) pour tout n. Exemple 4.1.4 an =
1 n
est décroissante ; an = n3 est croissante
Définition 4.1.5 On dit que an est bornée si l’on peut trouver une constante positive C telle que |an | 6 C pour tout n. Exemple 4.1.6 an =
1 n , sin n
sont bornées ; an = n3 n’est pas bornée.
Définition 4.1.7 On dit que an → l (l in R) pour n → ∞ si ∀ ε ∃ n0 = n0 (ε) ∈ N tel que |an − l| 6 ε , ∀ n > n0 Exemple 4.1.8 an =
1 n2
→ 0.
Définition 4.1.9 On dit que an → +∞ pour n → ∞ si ∀ M > 0 ∃ n0 = n0 (M ) ∈ N tel que an > M , ∀n > n0 Exemple 4.1.10 an = ln n → +∞.
4.2
Opérations sur les limites
• Somme de limites Limite de an Limite de bn Limite de an + bn
l l′ l + l′
l +∞ +∞
l −∞ −∞
+∞ +∞ +∞
−∞ −∞ −∞
+∞ −∞ ??
• Produit de limites Limite de an Limite de bn Limite de an bn
l l′ ll′
l>0 +∞ +∞
l>0 −∞ −∞
l<0 +∞ −∞ 15
l<0 −∞ +∞
+∞ +∞ +∞
+∞ −∞ −∞
−∞ −∞ +∞
0 ∞ ??
• Inverse d’une limite Limite de an Limite de 1/an
l 6= 0 1/l
±∞ 0
0+ +∞
0− −∞
Les cases ? ? correspondent aux formes indétermines ; ce sont : +∞ − ∞; 0 · ∞;
1 ∞ 0 ; ; 0 ∞ 0
• Limites et composition : Si lim an = l et lim g(x) = G alors lim g(an ) = G. n→∞
n→∞
x→l
• Théorème des gendarmes : Supposons que an 6 bc 6 cn pour tout n. Si an , bn → l alors bn → l.
4.3
Limites de fonctions et limites de suites numériques
Quelle est la rélation entre les limites de fonctions f d’une variable réelle et les limites de suites ? Proposition 4.3.1 Soit un une suite numérique définie par un = f (n), avec f : R+ → R. Supposons qu’il existe lim f (x). Alors x→+∞
lim un = lim f (x).
n→+∞
x→+∞
Proposition 4.3.2 Soit un une suite numérique définie par un = g(1/n), avec g : (0, a] → R. Supposons qu’il existe lim g(x). Alors x→0+
lim un = lim+ g(x).
n→+∞
4.4
x→0
Rappel sur les limites de fonctions numériques Fractions rationnelles
Soient p et q deux polynomes ; alors monome de plus haut degré de p p(x) = lim x→±∞ monome de plus haut degré de q x→±∞ q(x) lim
lim
x→0
monome de plus bas degré de p p(x) = lim q(x) x→0 monome de plus bas degré de q
Croissance comparée à l’infini de ex , ln(x) et xα ln (x) ex = +∞ ; lim = 0 α > 0 ; lim ln (x)xα = 0 ; lim ex |x|α = 0 x→+∞ xα x→−∞ x→+∞ xα x→0 lim
Applications des dérivées Théorème 4.4.1 Soit a < c < b. Soient f et g deux fonctions continues sur [a, b] et dérivables sur (a, b) \ c. Si f ′ (x) lim f (x) = 0 = lim g(x), si g et g ′ ne s’annullent en aucun point de l’intervalle (a, b) \ c et s’il existe lim ′ x→c x→c x→c g (x) alors f (x) f ′ (x) lim = lim ′ . x→c g(x) x→c g (x) Remarque 4.4.2 On a le même résultat si lim f (x) = +∞ = lim g(x) . x→c
x→c
16
Théorème 4.4.3 Soient f et g deux fonctions définies et dérivables sur (a, +∞). Si
lim f (x) = 0 =
x→+∞ ′
lim g(x), si g et g ′ ne s’annullent en aucun point de l’intervalle (a, +∞) et s’il existe lim
x→+∞
x→+∞
f ′ (x) f (x) = lim ′ . x→+∞ g (x) x→+∞ g(x) lim
Remarque 4.4.4 On a le même résultat si lim f (x) = +∞ = lim g(x) . x→+∞
4.5
x→+∞
Exercices
Exercice 4.5.1 Etudier la convergence des suites : n 1 1. et 2n 2 n+3 2. 2n + 1 3. n2 − n
ln n n √ √ 5. n + 1 − n + 2 √ 6. n n 4.
Exercice 4.5.2 Calculer lim an pour n→∞
√ √ n+5− n 9. an = 2 10. an = sin(1/n)
2
1. an = 2. an = 3. an = 4. an = 5. an = 6. an = 7. an = 8. an =
n + 5n − 2 3n2 + 7 4 n + 5n7 − 2 3n2 + 1 n4 3n − π 2n 3 n + n8 − 6 √ n 2 (utiliser la définition de ax ) cos n n3 n √ 2 n +n−3 p n n2 + 3
11. an = n sin(1/n) √ n 12. an = n n − n+2 en 13. an = 3 n −2 ln n 14. an = 7 n + 38 2
en +3 15. an = √ n−4 1 16. an = + 2 ln(n5 ) n
17
f (x) alors g ′ (x)
Chapitre 5
Séries numériques 5.1
Définition
Dans ce chapitre nous allons considérer des sommes infinies : par exemple 1+
1 1 1 1 1 + + + + ... + n + ... 2 4 8 16 2
ou
1 1 1 1 1 + + + + ... + + ... 2 3 4 5 n Il s’agit de sommes d’un nombre infini de termes. Elles valent toujours l’infini ? Déjà, pour pouvoir bien travailler il faudrait donner un sens aus quantités précédentes, car sinon, comment calculer une somme infinie ? On n’a pas le temps ! 1+
Définition 5.1.1 Soit an une suite. On pose 1. S1 = a1 2. S2 = a1 + a2 3. S3 = a1 + a2 + a3 4. S4 = a1 + a2 + a3 + a4 5. ... 6. Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an Toutes ces sommes sont bien définies, car elles sont composées par un nombre fini de termes. On a donc contruit une suite, Sn (qui s’appelle suite des sommes partielles). Pour obtenir alors a1 + a2 + a3 + a4 + ... + ... il suffit de calculer la limite de la suite Sn : on appelle série de terme général an la limite de la suite des sommes n P ai : partielles Sn = i=1
∞ P
i=1
ai = lim Sn n→∞
On dira que la série de terme général an est convergente si On dira que la série de terme général an est divergente si
∞ P
i=1 ∞ P
i=1
ai est finie.
ai = ∞
Remarque 5.1.2 Il existe des séries "indéterminées", comme la série de terme général an = (−1)n . Essayer de calculer la suite des sommes partielles ! Cependent une série à termes positifs ne peut pas être indétérminée : elle est convergente ou divergente.
18
Exemple 5.1.3 On va maintenant montrer que X =1+
1 1 1 1 + + + + ... 2 4 8 16
a une valeur finie. On peut écrire 1+ et on a que
1 1 1 1 1 + + + + ... + n = Xn 2 4 8 16 2
1 1 1 Xn 1 1 1 + + + + ... + n + n+1 = 2 4 8 16 2 2 2
Si on soustrait on obtient 1−
1 Xn = 2n+1 2
et donc Xn = 2 − 21n . Mais on voulait calculer X ! Comment on peut faire ? Il suffit juste de faire la limite pour n → ∞ de Xn . On obtient 1 lim Xn = lim 2 − n = 2 n→∞ n→∞ 2 Exemple 5.1.4 Avec la même astuce de la section précédente, on peut montrer que la série géométrique
∞ P
xn
i=1
est convergente si |x| < 1. Exemple 5.1.5 On va montrer que – S1 = 1 >
R1
1 dx 0 x+1 Z 2
∞ X 1 est divergente : n n=1
1 1 > dx 2 0 xZ+ 1 3 1 1 1 dx – S3 = 1 + + > 2 3 x + 1 0 – ... Z n 1 1 1 1 1 dx – Sn = 1 + + + + ... > 2 3 4 n 0 x+1 Z ∞ n X1 1 = lim Sn > lim dx = +∞. Par conséquent n→∞ n→∞ 0 x + 1 n n=1 – S2 = 1 +
5.2
Critères de convergence
Comment peut-on étudier le comportement d’une série ? Il faut calculer la suite des sommes partielles et après calculer la limite de cette suite ? Cela peut être difficile ! On utilise en général des critères de convergence, selon le signe du terme général. Théorème 5.2.1 Si an ne converge pas vers 0, alors la série de terme général an n’est pas convergente. Théorème 5.2.2 Si an ne converge pas vers 0, et elle est positive, alors la série de terme général an diverge. Ce théorème nous suggère le schéma suivant pour étudier
∞ X
an :
n=1
On étudie lim an . Deux cas sont possibles : n→∞
1. Si lim an = 0 alors on cherche un critère de convergence selon le signe de an (la série peut converger, n→∞
diverger, ou être indéterminée). 2. Si lim an n’est pas 0 ou elle n’existe pas, alors la série diverge ou elle est indéterminée. En particulier, si n→∞
an est positif pour tout n > n0 ,
∞ X
an = +∞.
n=1
19
5.2.1
Critères de convergence
Critères de convergence sur les séries à termes positifs +
a) Soit f : [a, +∞[→ R que
R +∞ a
une fonction continue décroissante. Alors la série
∞ X
f (n) a le même comportement
n=1
f (x)dx.
b) Soient un , vn deux suites positives telles que un 6 vn à partir d’un certain rang. ∞ ∞ ∞ ∞ X X X X vn diverge. un diverge alors un converge. Si vn converge alors Si n=1
n=1
n=1
n=1
α
c) Si l’on peut trouver α > 1 tel que lim n un < ∞ alors la série n→∞
∞ X
Si l’on peut trouver 0 < α 6 1 tel que lim nα un > 0, alors la série n→∞
d) Si
un converge.
n=1 ∞ X
un diverge.
n=1
∞ ∞ X X un vn ont le même comportement. un et → l avec l > 0 et l < +∞, alors les séries vn n=1 n=1
e) Soit l = lim
n→∞
∞ ∞ X X √ n u un diverge. un converge. Si l > 1, n (si elle existe). Si l < 1 la série n=0
n=1
un+1 (si elle existe). Si l < 1 la série n→∞ un
f) Soit l = lim
∞ X
un converge. Si l > 1
n=1
∞ X
un diverge.
n=1
Séries alternées ∞ ∞ X X (−1)n un est (−1)n un avec un > 0 est dite alternée. Si lim un = 0 et un est décroissante alors La série n→∞
n=1
convergente.
n=1
Séries à termes de signes quelconques Si
∞ X
n=0
|un | converge, alors
∞ X
un converge.
n=0
Exemple 5.2.3 Grâce au critère de convergence a) on peut montrer que la série de Riemann convergente si α > 1 et divergente si α 6 1.
5.3
+∞ X 1 est α n n=1
Appendice
Nous allons illustrer un paradoxe du au philosophe Zenone. Supposons de vouloir mesurer le temps qu’il nous faut pour aller d’un point A à un point B en marchant à vitesse constante : A − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −B
Pour aller de A à B1 qui se trouve à mi-chemin entre A et B A − − − − − − − − − − − − − − − −B1 − − − − − − − − − − − − − − − −B il nous faut t0 minutes. Or, pour aller de B1 à B2 qui se trouve à mi-chemin entre B1 et B 20
A − − − − − − − − − − − − − − − −B1 − − − − − − − −B2 − − − − − − − −B
il nous faut
t0 2
minutes. Pour aller de B2 à B3 qui se trouve à mi-chemin entre B2 et B
A − − − − − − − − − − − − − − − −B1 − − − − − − − −B2 − − − −B3 − − − −B
il nous faut
t0 4
minutes. Pour aller de B3 à B4 qui se trouve à mi-chemin entre B3 et B
A − − − − − − − − − − − − − − − −B1 − − − − − − − −B2 − − − −B3 − −B4 − −B t0 + ... minutes pour il nous faut t80 minutes. Si on continue ce raisonnement, il nous faut t0 + t20 + t40 + t80 + 16 parcourir une distance inférieure ou égale à la distance entre A et B, c’est-à-dire, on n’arrivera jamais à B.
............BIZZARRE..........
Où est la faute ? La faute est que même si t0 +
t0 t0 t0 t0 + + + + ... 2 4 8 16
est une somme composée par un nombre infini de termes, cela n’implique pas qu’elle vaut +∞ !
5.4
Exercices
Exercice 5.4.1 Calculer les sommes et étudier leur convergence : n P i (calculer en ordre inversé S1 + S1 ) 1. S1 = 2. S2 =
i=1 n P
1 (décomposer en éléments simples puis ajouter les termes) i=1 i(i + 1)
Exercice 5.4.2 Etudier la convergence des séries de terme général : 1 n2 1 2. an = √ n 3. an = p
1 n(n + 1) 1 = 4 3n + 1 sin n = 3 n +1 sin n + cos n = 3 n + n8 − 6 1 = n 2 + n3 1 =√ n−1 (−1)n = (−1)n √ n 1 = sin n2
10. an =
1. an =
11. an 1
12. an
n(n2 + 1)
ln n n ln n 5. an = 2 n 1 1 6. an = − ln 1 + n n
13. an
4. an =
7. an =
1 − cos( n1 ) sin( n1 )
8. an =
1 n2
9. an =
(−1)n 2n
14. an 15. an 16. an 17. an
sin( nπ )
18. an = 21
n2 2n
19. an = 1 − cos √
20. an = e
1 n
24. an =
n
1 ln n n 2n + 1 22. an = n+1 1 23. an = ln 1 + 2 n
25. an = sin
21. an =
Exercice 5.4.3
n2 + 1 n2
26. an = cos
1 2n nπ 2
27. an = 3 − (−1)n
1. Calculer S1 (z) =
∞ P
zk ;
k=0 ∞ P
2. en calculant S1′ en déduire S2 (z) =
kz k ;
k=0 ∞ P
3. faire de même pour trouver S3 (z) =
k2 z k
k=0
22
Chapitre 6
Transformées en z Il s’agit d’un outil mathématique utilisé dans le traitement d’un signal discrétisé en temps.
6.1
Définition
On considère une fonction f de la variable t rèelle, nulle pour t < 0. La suite de terme général f (n) est appelée échantillonnage de f . Définition 6.1.1 La série
Z(f )(z) =
+∞ P
f (n)z −n est appelée "transformée en z" de la fonction f.
n=0
On remarque que l’on peut définir la transformée en z d’une fonction constante par morceaux de type
∞ X
f (i)χ[i,i+1) ,
i=0
car pour calculer la transfomée en z d’une grandeur il suffit de connaître telle grandeur en 0, 1, 2, ...
6.2
Tableau des transformées f (t) U (t) = 1 , t > 0 tU (t) t2 U (t) at U (t), a > 0 cos(ωt)U (t) sin(ωt)U (t)
6.3
Z(f ) z z−1 z (z − 1)2 z(z + 1) (z − 1)3 z z−a z 2 − z cos(ω) z 2 − 2z cos(ω) + 1 z sin(ω) 2 z − 2z cos(ω) + 1
Propriétés
Soient f, g deux fonctions, supposées nulles pour t < 0, et λ ∈ R. Alors, en utilisant la définition de trasformée en z on peut montrer les propriétés suivantes : 1. Z(f + g) = Z(f ) + Z(g) 2. Z(λf ) = λZ(f ) 3. Soit H(z) la transformé en Z de la fonction f . Soit a > 0. On définit g(t) = at f (t). Alors z Z(g)(z) = H a
23
4. Soit H(z) la transformé en Z de la fonction f . On définit g(t) = tf (t). Alors Z(g)(z) = −z H ′ (z) 5. Soit H(z) la transformé en Z de la fonction f . On définit g(t) = f (t − m), avec m ∈ N. Alors Z(g)(z) = z −m H(z) 6. Soit H(z) la transformé en Z de la fonction f . On définit g(t) = f (t + m)U (t), avec m ∈ N. Alors " # m−1 X m −i f (i)z Z(g)(z) = z H(z) − i=0
7. Soit H(z) la transformé en Z de la fonction f . On définit g(t) = f (t)U (t − m), avec m ∈ N. Alors Z(g)(z) = H(z) − 8. Soient f =
∞ X
f (i)χ[i,i+1) et g =
i=0
i=0
Z(f )Z(g).
∞ X
m−1 X
f (i)z −i
i=0
g(i)χ[i,i+1) ; on a f ∗ g(n) =
n X
k=0
f (k)g(n − k). Alors Z(f ∗ g) =
Remarque 6.3.1 On rappelle que pour deux fonctions f1 , f2 : R → R le produit de convolution est défini par Z +∞ f (t)g(x − t)dt . f ∗ g(x) = −∞
Exemple 6.3.2 Soit g(t) = t2t U (t). La transformée en z de g peut être calculée à l’aide de la propriété 4. En fait g(t) = tf (t) pour f (t) = 2t U (t). Par conséquent Z(g)(z) = −z
d z 2z = . dz z − 2 (z − 2)2
Exemple 6.3.3 Soit g(t) = (t − 3)2 U (t − 3). La transformée en z de g peut être calculée à l’aide de la propriété 5. En fait g(t) = f (t − 3) pour f (t) = t2 U (t). Par conséquent Z(g)(z) = z −3
z+1 z(z + 1) = 2 . 3 (z − 1) z (z − 1)3
Exemple 6.3.4 On veut calculer la transformée en z des deux fonctions suivantes : 2 t , t>5 f1 (t) = 0, t < 5 et f2 (t) =
(t − 5)2 , t > 5 0, t<5
On remarque que f1 (t) = t2 U (t)U (t − 5). En utilisant la propriété 7 on a Z(f1 )(z) = Z(t2 U (t)) −
4 9 16 z(z + 1) 1 4 9 16 1 − 2− 3− 4 = − − 2− 3− 4. z z z z (z − 1)3 z z z z
Par contre f2 (t) = g(t − 5) pour g(t) = t2 U (t). Cela implique que Z(f2 ) = z −5 Z(t2 U (t)) =
z+1 . z 4 (z − 1)3
Dans les graphes qui suivent sont représentés respectivement f (t) = [sin(t) + 3]U (t), f (t − 3), f (t + 4)U (t), f (t)U (t − 2) : 24
25
6.4
Théorème de la valeur initiale et de la valeur finale
Théorème 6.4.1 (de la valeur initiale)
En fait, Z(f )(z) = f (0) +
∞ X
n=1
En fait (z − 1)Z(f )(z) =
∞ X
n=0
lim
z→1
et donc
"
lim f (n) = lim (z − 1)Z(f )(z)
n→+∞
f (n)z −n+1 − N X
6.5
z→1
∞ X
f (n)z −n =
f (n + 1)z
−n
N →∞ z→1
"
N X
n=−1
∞ X
n=−1
n=0
n=−1
lim (z − 1)Z(f )(z) = lim lim
z→1
lim Z(f )(z)
z→+∞
f (n)z −n ; lorsque z → ∞, f (n)z −n → 0, ce qui fait que Z(f )(z) → f (0).
Théorème 6.4.2 (de la valeur finale)
Or,
lim f (n) =
n→0
−
N X
f (n)z
−n
n=0
f (n + 1)z −n −
#
N X
f (n + 1)z −n −
∞ X
f (n)z −n
n=0
= f (N + 1)
#
f (n)z −n = lim f (N + 1)
n=0
N →∞
Relation avec la transformée de Laplace
On rappelle que la transformée de Laplace d’une fonction f : [0, +∞[→ R est L(f )(p) =
+∞
Z
f (t)e−pt dt .
0
Or, soit f une fonction ; considérons la fonction f˜(t) =
∞ X
n=0
Laplace vaut L(f˜)(p) =
∞ X
f (t)δ(t − n) ; on peut montrer que sa transformée de
f (n)e−np .
n=0
Par ailleurs, par définition de transformée en z on obtient Z(f )(z) =
∞ X
f (n)z −n :
n=0
cela montre que
6.6
L(f˜)(p) = Z(f )(ep ) .
Equations aux différences
Une équation au différences est une équation de la forme ay(n + 1) + by(n) = x(n) où a, b ∈ R, x(n) sont donnés et y(n) est l’inconnue. Soit X(z) la transformée en z de x et Y (z) la transformée ∞ X y(i)χ[i,i+1) et x = en z de y (cela veut dire qu’on considère la transformée en z des deux fonctions y = ∞ X i=0
i=0
x(i)χ[i,i+1) ). La transformée en z de y(n + 1) vaut alors z[Y (z) − y(0)]. Par conséquent l’équation de départ
peut s’écrire sous la forme az[Y (z) − y(0)] + bY (z) = X(z) 26
c’est-à-dire
X(z) ay(0)z + . az + b az + b Il suffit maintenant de calculer la transformée en z inverse. Y (z) =
Exemple 6.6.1 Soit 2y(n + 1) + y(n) = n , y(0) = 0 . La méthode précédente nous donne Y (z) =
z 2z 2z z = − + (2z + 1)(z − 1)2 3(z − 1)2 9(z − 1) 9(z + 1/2)
d’où
" n−1 # 1 1 y(n) = 3n − 2 − − U (n) . 9 2
La méthode précédente peut s’appliquer à des équations de la forme y(n) +
N X
ak y(n + k) = x(n) +
N X
bk x(n + k);
k=1
k=1
en particulier on peut résoudre y(n) +
N X
ak y(n + k) = x(n)
k=1
ave les conditions y(j) = 0 pour j = 0, ..., N − 1. Si on applique la transformée en z on a 1
Y (z) = 1+
N P
X(z) ak
zk
k=1
et donc y(n) = h ∗ x(n) où h = Z −1
6.7
1+
1 N P
k=1
ak z
. k
Exercices
Exercice 6.7.1 Représenter les fonctions suivantes et calculer leurs transformées en Z, en utilisant la définition : ( 1 si t > 0 1. U (t) = 0 si t < 0 2. f (t) = tU (t) 3. f (t) = (3t + 1)U (t) Exercice 6.7.2 Représenter les fonctions suivantes et calculer leurs transformées en Z, en utilisant le tableau usuel des transformées. t+2 2 U (t)
1. U (t), U (t + 2)U (t), U (t − 3)
5. f (t) = e
3. f (t) = (t2 + 1) U (t)
6. f (t) = [e−(t+2)/2 U (t + 2)]U (t)
4. f (t) = (t − 1)2 U (t)
7. f (t) = cos(ωt + φ) U (t)
−
2. f (t) = (t + 1)U (t) ; f (t − 1) ; f (t − 1) U (t − 1)
Exercice 6.7.3 Calculer les transformées en z inverses de : z z + 2 1. F (z) = 2z − 1 z + 1 z2 − 3 2. F (z) = 2 (suggestion : décomposer en éléments simples z − 3z + 2 27
F (z) z )
Exercice 6.7.4 Résoudre en utilisant les transformées en z de an , an+1 et an+2 l’équation récurrente 2an+2 − 3an+1 + an = 0 a0 = 1; a1 = −1 Exercice 6.7.5 Représenter les fonctions suivantes et calculer leurs transformées en Z : t, t > 2 1. f1 (t) = 0, t < 2 2. f2 (t) = (t − 2)U (t − 2)
3. f3 (t) = [(t + 2)U (t + 2)]U (t) Exercice 6.7.6 Calculer la transformée en z inverse de la fonction suivante : F (z) =
z2
2 1 + + 1 (z − 3)z 3
Exercice 6.7.7 Calculer la transformée en z inverse des fonctions suivantes : z(z + 1) 1 z − cos 3 ; F2 (z) = − . F1 (z) = 2 z − 2z cos 3 + 1 (z − 1)3 z Exercice 6.7.8 Calculer la transformée en Z de la fonction suivante : 0, t < 0 et , 0 6 t < 3 f (t) = 2 t , t > 3.
28
Chapitre 7
Séries de Fourier Les séries de Fourier sont un outil fondamental dans le traitement du signal, car elles permettent d’approximer un signal périodique à l’aide de sommes de signaux sinusoïdaux.
7.1
Définition et propriétés
Définition 7.1.1 Une fonction f : [a, b] → R admet un saut en c ∈ (a, b) si lim+ f (x) existe finie, lim− f (x) x→c
existe finie, mais ces deux limites ne sont pas égales.
x→c
Exemple 7.1.2 La fonction χ(0,1) définie sur (−2, 2) admet un saut en 0 et un saut en 1. Définition 7.1.3 Une fonction f : [a, b] → R est continue par morceaux si lim+ f (x) existe finie, lim− f (x) x→a
x→b
existe finie et si elle est continue sur [a, b] sauf en un nombre fini de sauts.
Exemple 7.1.4 La fonction de l’exemple 7.1.2 précédent est continue par morceaux sur (−2, 2). Définition 7.1.5 Soit f : R → R une fonction T −périodique et intégrable sur [0, T ]. On pose 2 a0 = T 2 an = T
Z
2 T
Z
bn =
T
0 T
0
T
Z
f (x)dx
0
2πn x dx , n > 1 f (x) cos T 2πn f (x) sin x dx , n > 1 . T
On définit la somme de Fourier au rang n comme n
a0 X Fn (f ) = aj cos + 2 j=1
2πj 2πj x + bj sin x . T T
La série de Fourier de f est la limite de Fn (f ) lorsque n → ∞. On la notera F (f ). Théorème 7.1.6 Soit f : R → R une fonction T −périodique et intégrable sur [0, T ]. Supposons que f soit continue par morceaux sur [0, T ]. Alors F (f )(x) =
f (x + 0) + f (x − 0) 2
dans chaque point où f admet une dérivée droite et une dérivée gauche finie. Remarque 7.1.7 Ce résultat nous dit que la série de Fourier d’une fonction périodique f est une approximation de la fonction f . On l’utilise dans le traitement du signal, quand on écrit le signal comme la somme d’un signal utile (somme de Fourier) et d’un bruit.
29
1
Exemple 7.1.8 Soit f (x) = x 3 , x ∈ (−π, π] et étendue par 2π−périodicité sur R. Alors la série de Fourier de f converge à f pour tout x 6= kπ, k ∈ Z. En effet f n’est pas continue en ±π et n’admet pas une dérivée droite ou gauche en 0. Remarque 7.1.9 Si f est paire alors bn = 0. Si f est impaire alors an = 0. Théorème 7.1.10 (Identité de Parseval) Soit f : R → R une fonction T −périodique, bornée et intégrable sur [0, T ]. Alors Z ∞ a20 X 2 2 T 2 |f | = (an + b2n ) + T 0 2 n=1 Théorème 7.1.11 (Dérivation) Soit f : R → R une fonction T −périodique et continue sur R ; supposons que f ′ soit continue par morceaux sur [0, T ]. Si ∞ 2πn 2πn a0 X an cos + x + bn sin x 2 T T n=1 est la développement de f alors ∞ 2πn 2πn 2π X x − nan sin x nbn cos T n=1 T T
converge vers
f ′ (x + 0) + f ′ (x − 0) . 2
Remarque 7.1.12 Si f et f ′ sont continues par morceaux dans un intervalle, alors les dérivées droite et gauche de f existent finies en chaque point. Théorème 7.1.13 (Intégration) Soit f : R → R une fonction T −périodique et continue par morceaux ; soient an , bn les coefficients de Fourier de la fonction f . Alors Z x ∞ a0 T T X bn 2πn an 2πn f (x)dx = x+ + cos x − cos (nπ) + sin x − 2 2 2π n=1 n T n T −T /2 Remarque 7.1.14 On observe que l’on peut utiliser aussi la notation complexe suivante pour indiquer une série de Fourier : n=+∞ X 2π cn (f )eint T n=−∞
où
cn =
1 T
Z
T /2
2π
f (x)e−inx T dx .
T /2
Proposition 7.1.15 Soit f : [0, L] → R une fonction continue par morceaux. Soit Z πn 2 L y dy , n > 1 . f (y) cos an = L 0 L Alors
∞ πn f (x + 0) + f (x − 0) a0 X an cos + x = 2 L 2 n=1
dans chaque point où f admet une dérivée droite et une dérivée gauche finie.
Proposition 7.1.16 Soit f : [0, L] → R une fonction continue par morceaux. Soit Z πn 2 L y dy , n > 1 . f (y) sin bn = L 0 L
Alors
∞ X
n=1
bn sin
πn f (x + 0) + f (x − 0) x = L 2
dans chaque point où f admet une dérivée droite et une dérivée gauche finie. 30
Exemple 7.1.17 Soit f (x) =
π 0
si x ∈ [0, π) si x ∈ [π, 2π)
et étendue par 2π-périodicité à R. Si on calcule les coefficients de la série de Fourier on trouve a0 = π et an = 0 pour tout n > 1 ; bn = 0 si n est pair et n2 pour n impair. Cela implique que π 1. F1 (f ) = + 2 sin x 2 π 2. F2 (f ) = + 2 sin x 2 π 2 3. F3 (f ) = + 2 sin x + sin(3x) 2 3 2 π 4. F4 (f ) = + 2 sin x + sin(3x) 2 3 π 2 2 5. F5 (f ) = + 2 sin x + sin(3x) + sin(5x) 2 3 5 2 2 π 6. F6 (f ) = + 2 sin x + sin(3x) + sin(5x) 2 3 5 7. ... A la page suivante sont représentés f et F1 (f ) ; f et F3 (f ) ; f et F5 (f ) ; f et F7 (f ) ; f et F9 (f ) pour x ∈ [0, π] :
7.2
Applications
Soit f une fonction T −périodique. Le terme de la série de Fourier de f a1 cos(ωx) + b1 sin(ωx), pour ω = 2π T , et appelé le "fondamental" ; les termes suivants, an cos(ωnx) + bn sin(ωnx), n > 2 sont appelés "harmoniques". On remarque que un = an cos(ωnx) + bn sin(ωnx) = An cos(nωx − ϕn ) p pour An = a2n + b2n ("amplitude") et tan(ϕn ) = abnn ("phase"). On peut représenter sur un plan les points (n, An ), ce qui nous donne le "spectre" du signal f (la théorie des séries nous dit que An → 0 pour n → ∞). Les séries de Fourier peuvent être utilisées pour étudier des équations différentielles. Supposont que as′ (t) + bs(t) = e(t) décrive un système électrique, où e est la grandeur d’entrée, périodique, et s celle de sortie. On sait de la théorie de équations différentielles qu’on doit trouver une solution particulière s. On peut la chercher sous la forme d’une série de Fourier s(t) = b0 +
∞ X
n=1
Bn cos(nωt − ψn ).
La connaissance des harmoniques de e permet de connaître le signal de sortie, car elle permet de calculer Bn par identification.
31
32
7.3
Exercices
x Exercice 7.3.1 Trouver la série de Fourier de f (x) = pour x ∈ (−π, π] et étendue par 2π-périodicité à R. 2 Trouver la série de Fourier de f et la comparer à f . Exercice 7.3.2 Soit F (x) =
x π−x
si x ∈ [0, π/2) si x ∈ (π/2, π]
Trouver sa série de Fourier en sinus et la comparer à f . Exercice 7.3.3 Soit f la fonction 2π-périodique, qui vaut ex−π pour x ∈ [0, 2π). Trouver la sèrie de Fourier ∞ X π (−1)n = π . de f et la comparer à f . En déduire que 2+1 n e − e−π n=2 Exercice 7.3.4 Soit f la fonction 2π-périodique, qui vaut (x − π)2 pour x ∈ [0, 2π). Trouver la série de Fourier ∞ X π2 1 = . de f et la comparer à f sur [0, 2π]. En déduire que n2 6 n=1 Exercice 7.3.5 Ecrire la série de Fourier de la fonction 2π−périodique définie par f (x) = |x| pour x ∈ [−π, π).
33
Chapitre 8
Transformée de Fourier 8.1
Définition et propriétés
Soit f : R → R une fonction intégrable sur (−∞, +∞) telle que F(f )(s) =
Z
Z
+∞
−∞
|f | < ∞. On définit, pour s ∈ R
+∞
e−ist f (t)dt .
−∞
La fonction F(f ) est une fonction de R en C. Il est évident que si f est paire, F(f )(s) est un nombre réel pour tout s ; si f est impaire, F(f )(s) est un nombre imaginaire pur pour tout s. Voici les propriétés de la transformée de Fourier : 1. F(f ) est une fonction bornée
2. lim F(f )(s) = 0 s→∞
3. F est linéaire : F(λf + µg) = λF(f ) + µF(g), pour λ, µ ∈ R 4. F(f ′ ) = isF(f )(s)
d 5. F(t f (t)) = i ds F(f )(s)
6. F(f (t − a)) = e−ias F(f )(s)
7. F(eiat f ) = F(f )(s − a) 1 F(f ) ωs 8. F(f (ωt)) = |ω| Z +∞ f (t)g(x − t)dt. Alors F(f ∗ g) = F(f )F(g). 9. Soit f ∗ g = 10.
Z
−∞
+∞
−∞
|F(f )(s)|2 ds = 2π
11. Soit F(g) =
1 2π
Z
+∞
Z
+∞
−∞
|f (t)|2 dt (théorème de Plancherel)
eist g(t)dt. Alors F(F(f )) = 12 [f (t + 0) + f (t − 0)] .
−∞
Exemple 8.1.1 La transformée de Fourier de la fonction χ(−1,1) vaut 2
sin(s) . s
Remarque 8.1.2 Quel est le lien entre la transformée de Fourier et la transformée de Laplace ? On pose f+ (s) = f (t)χ(0,+∞) et f− (s) = f (−t)χ(0,+∞) . Alors F(f )(s) = L(f + )(is) + L(f − )(−is). Remarque 8.1.3 D’où vient la définition de transformée de Fourier ? On rappelle que X ∞ ∞ 2nπx 2nπx a0 X bn sin + an cos + f (x) = 2 L L n=1 n=1 où 2 an = L
Z
L/2
−L/2
f (x) cos
2nπx L
2 bn = L
dx ,
34
Z
L/2
−L/2
f (x) sin
2nπx L
(8.1)
dx .
Alors 1 f (x) = L On pose
2π L
∞ Z 2 X L/2 2nπ f (u) cos (u − x) du f (u)du + L n=1 −L/2 L −L/2
Z
L/2
= ∆α. Alors f (x) = lim
∆α→0
où
1 F (α) = π
Z
∞ X
∆αF (n∆α)
n=1
+∞
−∞
f (u) cos (α(u − x)) du
Cela implique que Z +∞ Z Z Z +∞ Z +∞ 1 +∞ +∞ 1 F (α)dα = f (x) = f (u) cos (α(u − x)) du = f (u)eiα(x−u) dudα π 0 2π −∞ −∞ 0 −∞ 1 = 2π
8.2
+∞
Z
iαx
e
−∞
dα
Z
+∞
f (u)e−iαu du .
−∞
Tableau des transformées f (t) χ(−T,T ) χ(b,c) e−ωt χ(0,+∞) (ω > 0) e−ω|t| e−iωt χ(b,c) e−ωt χ(b,c) sin(|ω|t) t e−ω
F(f ) sin(sT ) 2 s −isb e − e−isc is 1 ω + is |ω| 2 2 ω + s2 e−i(ω+s)b − e−i(ω+s)c −i ω+s e−(ω+is)b − e−(ω+is)c ω + is πχ(−|ω|,|ω|) √ π −s2 /4ω2 e |ω| e−|ω|s π |ω|
2 2
t
1 ω 2 + t2
35
8.3
Exercices
Exercice 8.3.1 Calculer la transformée de Fourier de f (t) = e−|t| . Exercice 8.3.2 Calculer la transformée de Fourier de f (t) = (1 − |t|)χ(−1,1) . Exercice 8.3.3 Calculer la transformée de Fourier de f (t) = t2 χ(−1,1) . Exercice 8.3.4 Calculer la transformée de Fourier de f (t) = e−|t| cos t. Exercice 8.3.5 Soit f (t) = χ(−1,1) (t). Représenter graphiquement f ∗ f et calculer sa transformée de Fourier. 2
Exercice 8.3.6 Soit f (t) = e−πt . Quelle équation différentielles satisfait F(f ) ? (utiliser le tableau des transformées et la transformée de la dérivée). Exercice 8.3.7 Soit f (t) la fonction qui vaut 0 pour t 6 −3, 1 pour t ∈ (−3, 0) et e−2t pour t > 0. Calculer sa transformée de Fourier. Exercice 8.3.8 Soit f (t) = e−2|t+3| . Calculer sa transformée de Fourier.
36
Chapitre 9
Appendice : exemples de DS et exercices de révision 9.1
Exemple de DS module MA31
Durée : 1 heure 30 Les documents et les calculatrices sont interdits. Toutes vos réponses doivent être justifiées et bien présentées.
Exercice 1 Calculer les dérivées partielles de f (x, y) = ex sin y +
xy . x+1
Exercice 2 Représenter le domaine de définition de la fonction f (x, y) = ln(x2 − y). Exercice 3 Quels sont les ensembles de niveau de la fonction f (x, y) = y − x2 ? Exercice 4 Calculer
ZZ
f (x, y)dxdy
D
avec et
D = {(x, y) : y > 0, x − y + 1 > 0, x + 2y − 4 6 0} f (x, y) = x .
Exercice 5 En utilisant les coordonnées polaires calculer : ZZ xy p dxdy x2 + y 2 D où D = {(x, y) ∈ R2 ; x2 + y 2 < 1; y > 0}
Execice 6 Calculer les limites suivantes : en + n3 + 2 1. lim n→∞ 2n3 + 1 ln( n1 ) 2. lim n→∞ n
9.2
Exemple de DS module MA32
Durée : 1 heure 30 Les documents et les calculatrices sont interdits. Toutes vos réponses doivent être justifiées et bien présentées.
Execice 1 Etudier la convergence des séries suivantes : 37
1.
∞ X 1 πn n=1
∞ X (−1)n 2. n2 + 5 n=1
3. 4. 5.
∞ X
2n 2n + 1 n=1
∞ X sin n + cos n n6 n=1 ∞ X e−2n n n=1
Execice 2 Calculer la transformée en Z de la fonction 3 t , 2, f (t) = 0,
suivante : t>2 06t<2 t<0
Execice 3 Calculer la transformée en Z inverse de la fonction suivante : F (z) =
z2
2 1 . + + 1 (z − 3)z 3
Execice 4 Calculer la série de Fourier de la fonction 2−périodique qui, sur [0, 2[ vaut t, t ∈ [0, 1[ f (t) = 0, t ∈ [1, 2[ . Execice 5 Calculer la transformée de Fourier de la fonction t3 χ(2,3) (t).
38
9.3
Document pour le module MA32
9.3.1
Séries
Critères de convergence sur les séries à termes positifs +
a) Soit f : [a, +∞[→ R que
R +∞ a
une fonction continue décroissante. Alors la série
∞ X
f (n) a le même comportement
n=1
f (x)dx.
b) Soient un , vn deux suites positives telles que un 6 vn à partir d’un certain rang. ∞ ∞ ∞ ∞ X X X X vn diverge. un diverge alors un converge. Si vn converge alors Si n=1
n=1
n=1
n=1
c) Si l’on peut trouver α > 1 tel que lim nα un < ∞, alors la série n→∞
α
∞ X
Si l’on peut trouver 0 < α 6 1 tel que lim n un > 0, alors la série n→∞
d) Si
un converge.
n=1 ∞ X
un diverge.
n=1
∞ ∞ X X un vn ont le même comportement. un et → l avec l > 0 et l < +∞, alors les séries vn n=1 n=1
e) Soit l = lim
n→∞
∞ ∞ X X √ n u un diverge. u converge. Si l > 1, (si elle existe). Si l < 1 la série n n n=0
n=1
un+1 (si elle existe). Si l < 1 la série n→∞ un
f) Soit l = lim
∞ X
un converge. Si l > 1
n=1
∞ X
un diverge.
n=1
Séries alternées ∞ ∞ X X (−1)n un est (−1)n un avec un > 0 est dite alternée. Si lim un = 0 et un est décroissante alors La série n→∞
n=1
convergente.
Séries à termes de signes quelconques Si
∞ X
n=0
9.3.2
|un | converge, alors
∞ X
un converge.
n=0
Transformées en Z
Quelques transformées
U (t) =
f (t) ( 1 si t > 0
Z(f ) z z−1 z (z − 1)2 z(z + 1) (z − 1)3 z z−a z 2 − z cos(ω) z 2 − 2z cos(ω) + 1 z sin(ω) 2 z − 2z cos(ω) + 1
0 si t < 0
tU (t) t2 U (t) at U (t) , a > 0 cos(ωt)U (t) sin(ωt)U (t)
39
n=1
Propriétés Soient f, g deux fonctions, supposées nulles pour t < 0, et λ ∈ R. Alors 1. Z(f + g) = Z(f ) + Z(g)
2. Z(λf ) = λZ(f ) 3. Soit H(z) la transformé en Z de la fonction f . Soit a > 0. On définit g(t) = at f (t). Alors z Z(g)(z) = H a 4. Soit H(z) la transformé en Z de la fonction f . On définit g(t) = tf (t). Alors Z(g)(z) = −z H ′ (z) 5. Soit H(z) la transformé en Z de la fonction f . On définit g(t) = f (t − m), avec m ∈ N. Alors Z(g)(z) = z −m H(z) 6. Soit H(z) la transformé en Z de la fonction f . On définit g(t) = f (t + m)U (t), avec m ∈ N. Alors " # m−1 X m −i Z(g)(z) = z f (i)z H(z) − i=0
7. Soit H(z) la transformé en Z de la fonction f . On définit g(t) = f (t)U (t − m), avec m ∈ N. Alors Z(g)(z) = H(z) −
9.3.3
m−1 X
f (i)z −i
i=0
Transformées de Fourier
Quelques transformées f (t) χ(−T,T ) χ(b,c) e−ωt χ(0,+∞) (ω > 0) e−ω|t| e−iωt χ(b,c) e−ωt χ(b,c) sin(|ω|t) t e−ω
F(f ) sin(sT ) 2 s −isb e − e−isc is 1 ω + is |ω| 2 2 ω + s2 e−i(ω+s)b − e−i(ω+s)c −i ω+s e−(ω+is)b − e−(ω+is)c ω + is πχ(−|ω|,|ω|) √ π −s2 /4ω2 e |ω| e−|ω|s π |ω|
2 2
t
1 ω 2 + t2 Propriétés Soient f, g deux fonctions. 1. F(λf + µg) = λF(f ) + µF(g), pour λ, µ ∈ R
2. F(f ′ ) = isF(f )(s)
d F(f )(s) 3. F(t f (t)) = i ds
4. F(f (t − a)) = e−ias F(f )(s) 40
5. F(eiat f ) = F(f )(s − a) 1 6. F(f (ωt)) = |ω| F(f ) ωs Z +∞ f (t)g(x − t)dt. Alors F(f ∗ g) = F(f )F(g). 7. Soit f ∗ g = 8.
Z
+∞
−∞
−∞
|F(f )(s)|2 ds = 2π
Z
+∞
−∞
|f (t)|2 dt (identité de Plancherel)
41
9.4
Exercices de révision
Exercice 9.4.1 Représenter le domaine de définition et calculer les dérivées partielles des fonctions suivantes : p 1. f (x, y) = y − x2 + 3 x 2. f (x, y) = ln (y 2 − x2 ) + cos y 3. f (x, y) = ey
3
−x4
Exercice 9.4.2 Décrire les sections des graphes des fonctions suivantes : 1. f (x, y) = ex (y + 2) 2. f (x, y) = cos(xy) 3. f (x, y) = ey x3 Exercice 9.4.3 Utiliser la règle de dérivation de la composée pour calculer et y = t + 1. Exercice 9.4.4 Calculer
ZZ
dz dt
pour z = x4 − y 2 avec x =
f (x, y) dxdy :
D
1. D = {(x, y) ∈ R2 ; x > 0, y > 0, x + y 6 2}, f (x, y) = x2 y. 2. D = {(x, y) ∈ R2 ; y > 0, x + y 6 1, y − x 6 1}, f (x, y) = xy 2 . Exercice 9.4.5 Calculer ZZ p 2 x + y2 dxdy où D = {(x, y) ∈ R2 ; x2 + y 2 6 1} 1. 2 2 D 1+x +y ZZ x2 dxdy où D = {(x, y) ∈ R2 ; 1 < x2 + y 2 < 4 , x > 0, y > 0} 2. D ZZ 3. xy dxdy où D = {(x, y) ∈ R2 ; x2 + y 2 6 1, x > 0, y > 0, y 6 x} D
Exercice 9.4.6 Calculer lim an pour n→∞
sin n 2n − n p 4. an = n2 + 5 − n ln n + n3 5. an = n e + 3n2
4
1. an = 3n + 2 +
2. an =
n + 5n7 − 2 3n2 + 1
3. an =
2n + 3n2 n3 − 6
Exercice 9.4.7 Etudier la convergence des séries de terme général : 1. an = 2. an =
3n n3 + 4n2 − 5 3
4. an 5. an 6. an 7. an 8. an
n+1 2n4 − 4n + 3 sin n + 4 + n = en + n2 n 2n + 1 + n3 = 3n3 + 4 √ n+4+ n = 1 2n + 4 −n + en = n e + n2 (−1)n = n √ e + n+1
9. an = 10. an
2
n3
n
(−1) + 3n − 5n4 sin(3n) cos(n) = n3 + 1 = −4 − (−1)n √ n + 3 + 3n = 7n7 + 4n4 en = 7 3n + 4n4 5 ln n + 2n3 = 7 3n + 4n4 5
3. an =
√
11. an
2n
12. an 13. an 14. an
1
15. an = e n 16. an = (−1)n n 42
2t t+1
17. an = [1 + (−1)n ]
18. an =
arctan n n+2
Exercice 9.4.8 Représenter les fonctions suivantes et calculer leur transformée en z : t<0 0, t < 0 0, t, 0 6 t < 3 et + 4, 0 6 t < 3 f2 (t) = f1 (t) = 2 3, t > 3 t , t>3
Exercice 9.4.9 Calculer la transformée en z des fonctions f (t) = tat U (t) et g(t) = t2 at U (t). Exercice 9.4.10 Calculer la transformée en z inverse de F1 (z) =
1 z+1 ; −4 − 3) (z − 1)3 z 7
z 3 (z
F2 (z) =
2z z+1 − . (z − 1)3 z−5
Exercice 9.4.11 Ecrire la série de Fourier de la fonction 2π−périodique définie par f (x) = −2|x| pour x ∈ [−π, π). Comparer la série de Fourier à la fonction. Exercice 9.4.12 Calculer la transformée de Fourier des fonctions χ(2,3) (t) + 4χ(7,10) (t), tχ(2,3) (t) + 4χ(7,10) (t), e−|t| sin t, (e−t + 3)χ(0,+∞) − χ(−1,0) .
43
9.5
Corrigé des exercices du chapitre Fonctions de plusieurs variables
Corrigé de l’exercice 2.5.1 D0 est un rectangle D1 : représenter les deux demiplans {(x, y) ∈ R2 : x − 2y + 3 > 0}, {(x, y) ∈ R2 : 3x − 2y + 1 6 0} et faire intersection D2 : x2 + y 2 − 6x + 2y + 1 = (x − 3)2 − 9 + (y + 1)2 0 : on a donc un cercle ! D3 : représenter {(x, y) ∈ R2 : y − x2 + x > 0}, {(x, y) ∈ R2 : y − x − 12 6 0} et après faire intersection D4 : {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 − 4x + 12y − 31 = 0} est un cercle ! Corrigé de l’exercice 2.5.2 a(x, y) = cos(x2 + y) − y arctan(x + 2y) a comme domaine de définition R2 x + sin(xy) b(x, y) = : il fait que ln(x3 ) 6= 0 et x3 > 0 ln(x3 ) √ 2x c(x, y) = √ : il faut que y + x − 2 6= 0 et y + x − 2 > 0 y+x−2 p d(x, y) = x3 y 3 − 1 + y 4 x : il faut que x3 y 3 − 1 > 0
Corrigé de p l’exercice 2.5.3 f1 (x, y) = y 2 − x2 : il faut que |y| > |x| √ x2 + y 2 f2 (x, y) = √ : il faut que x + y > 0 et x + y 6= 0 x + y x+y x+y f3 (x, y) = ln : il faut que > 0 et x − y 6= 0 x−y x−y f4 (x, y) = ln(x2 − y 2 ) : il faut que x2 > y 2 et donc |x| > |y| Corrigé de l’exercice 2.5.4
1. Le graphe de f1 est le dernier ; celui de f2 le deuxième et celui de f3 est le premier. 2. Le graphe de f1 est le deuxième ; celui de f2 le premier et celui de f3 est le dernier. Corrigé de l’exercice 2.5.5 lim f (x, y) = 5 et donc f est discontinue x→1 y→2
Corrigé de l’exercice 2.5.6 Il suffit de poser y = x et après y = x2 : si on fait la limite pour x → 0 on obtient des valeurs differentes !
44
9.6
Corrigé des exercices du chapitre Intégrales doubles
Corrigé Zde Z l’exercice 3.6.1 Calculer
f (x, y) dxdy :
D
1. D = {(x, y) ∈ R2 ; x > 0, y > 0, x + y 6 1} = {(x, y) ∈ R2 ; x ∈ [0, 1], 0 6 y 6 1 − x} 2. D = {(x, y) ∈ R2 ; x ∈ [1, 3], 1 6 y 6 4 − x}. Par conséquent on a Z 3 Z 3 Z 4−x Z 3 Z 3 1 x 3 dx dx[ln 4 − ln(x + 1)] = 2 ln 4 − [x ln(x + 1)] + dx[ln(x + y)]y=4−x = dy = 1 y=1 x+y 1 1 x+1 1 1 1 Z 3 Z 3 x+1−1 1 1+ = 2 ln 4 − [x ln(x + 1)]31 + = 2 ln 4 − [x ln(x + 1)]31 + = ... x + 1 x + 1 1 1 3. D = {(x, y) ∈ R2 ; x ∈ [1, 3], 1 6 y 6 4 − x} 4. D = {(x, y) ∈ R2 ; y ∈ [0, 1], y − 1 6 x 6 1 − y} √ √ 5. D = {(x, y) ∈ R2 ; x ∈ [−R, R], − R2 − x2 6 y 6 R2 − x2 } 6. D = {(x, y) ∈ R2 ; y ∈ [−2, 2], 0 6 x 6 1 −
y2 } 4
7. D = {(x, y) ∈ R2 ; x ∈ [0, 1], 0 6 y 6 1 − x}, 8. D = {(x, y) ∈ R2 ; x ∈ [0, π], 0 6 y 6 π − x} 9. D = {(x, y) ∈ R2 ; 1 6 y 6 x2 , 0 6 x 6 2}. Corrigé de l’exercice 3.6.2 D = {(x, y) : y ∈ [1, 2], y 6 x 6 y 2 }. Par conséquent on a Z
2
dy
1
Z
y
y2
sin
πx 2y
dx =
Z
2
1
x=y2 Z πy 2y 2 2 πx dy − cos dyy cos =− = π 2y x=y π 1 2
2 2 Z 2 πy 2 πy 2 4 8 2 sin( ) = ... = 2 − 3 =− y sin( ) + π 2 π 1 π 2 π π 1 Corrigé de l’exercice 3.6.7 ZZ r drdθ où ∆ = {(θ, r) : θ ∈ [0, 2π], r ∈ [0, 1]} 1. I = 1 + r2 Z Z∆ 2. I = r3 drdθ où ∆ = {(θ, r) : θ ∈ [−π/2, π/4], r ∈ [sin θ, cos θ]} ∆ ZZ 3. I = r2 drdθ où ∆ = {(θ, r) : θ ∈ [0, 2π], r ∈ [1, 2]} ∆
ZZ
4
Z
1
4
Z
π/4
sin(2θ)dθ où ∆ = {(θ, r) : θ ∈ [0, π/4], r ∈ [0, 1]} r dr r cos θ sin θ drdθ = 0 Z Z∆ ZZ 0 1 + cos(2θ) 5. I = rr2 cos2 θ drdθ = r3 drdθ où ∆ = {(θ, r) : θ ∈ [−π/3, π/3], r ∈ [0, 1]} 2 ∆ ∆ ZZ Corrigé de l’exercice 3.6.8 On pose x = r cos θ + 1; y = r sin θ. Alors I = r(r cos θ + 1) drdθ où 4. I =
∆
∆ = {(θ, r) : θ ∈ [0, 2π], r ∈ [0, 1]} Corrigé de l’exercice 3.6.13
On trace D et on trouve que (u, v) ∈ [1, 2]2 . Par ailleurs on a x = Par conséquent I=
Z
1
2
dv
Z
2
1
45
2 u+v
1 du = ... 2u
et y =
2u u+v
d’où
D(x, y) = 4/(u + v)3 D(u, v)
9.7
Corrigé des exercices du chapitre Suites numériques
Corrigé de l’exercice 4.5.1 Etudier la convergence des suites : n 1 1. → 0 car 2n → ∞ 2 n+3 2. : fraction rationnelle 2n + 1 3. n2 − n : écrire comme n(n − 1) → ∞ ln n : utiliser les théorèmes de comparaison 4. n √ √ √ √ 5. n + 1 − n + 2 : multiplier et diviser par n + 1 + n + 2 1 √ √ 1 n 6. n n : écrire comme eln( n) = eln(n n ) = e n ln(n) → 1 Corrigé de l’exercice 4.5.2 Calculer lim an pour n→∞ 2
1 n + 5n − 2 → (fraction rationnelle) 3n2 + 7 3 n4 + 5n7 − 2 → ∞ (fraction rationnelle) = 3n2 + 1 n4 = → ∞ (fraction rationnelle) 3n − π 2n 2n → ∞ (voir comparaisons) > = 3 n + n8 − 6 2n8 √ 1 n = 2 = 2 n → 20 = 1 cos n 1 n = → 0 (| cos n3 | 6 n3 → 0) n3 r √ n n2 → 1 = 1 (fraction rationnelle) =√ = 2 n +n−3 n2 + n − 3 √ p n 2 2 1 n n +3 ln = e n ln(n +3) → e0 = 1 = n2 + 3 = e √ √ √ √ n+5− n : multiplier et diviser par n + 5 + n = 2 = sin(1/n) → 0 (banale !)
1. an = 2. an 3. an 4. an 5. an 6. an 7. an 8. an 9. an 10. an
11. an = n sin(1/n) → 1 (on étudie limx→0 sinx x = 1) √ n 12. an = n n − → 1 − 1 = 0 (voir exo 1 + fraction rationnelles) n+2 en en 13. an = 3 > 3 → ∞ (voir comparaison) n −2 n ln n ln n 14. 0 6 an = 7 6 7 → 0 (voir comparaison) n + 38 n 2
en en +3 > √ → ∞ (voir comparaison) 15. an = √ n n−4 1 16. an = + 2 ln(n5 ) → ∞ (banale !) n
46
9.8
Corrigé des exercices du chapitre Séries numériques
Corrigé de l’exercice 5.4.1 n P n(n + 1) i= 1. S1 = divergente 2 i=1 n n P P 1 1 1 1 =1− = − 2. S2 = i i+1 n+1 i=1 i=1 i(i + 1) Corrigé de l’exercice 5.4.2
1. série de Riemann avec α = 2 > 1 convergente. 1 2. série de Riemann avec α = < 1 divergente. 2 1 1 6 3/2 dont la serie converge 3. p n n(n2 + 1)
R +∞
= [ 12 ln2 x]∞ 1 =∞ R ∞ ln x est decroissante ; on peut appliquer le critère des intégrales ; pour calculer 1 x2 , il suffit de poser 5. c ln x = t ; la série est divergente. Sinon on pourrait remarquer que lnx2x 6 x3/2
4.
ln x x ln x x2
est decroissante ; on peut appliquer le critère des intégrales :
1
ln x x dx
6. la série est à termes positifs. On a que [x − ln(1 + x)]/x2 → 12 pour x → 0 et donc la série est de même nature que la série de Riemann avec α = 2 donc convergente. x 7. 1−cos x sin x → 1/2 et donc la série est de même nature que la série de Riemann pour α = 1 8. an 6 n12 dont la serie correspondante est convergente (série de Riemann avec α = 2) 9. série alternée convergente pour Leibnitz 10. an 6 n12 (serie de Riemann convergente) 11. an 6 3n1 4 (serie de Riemann convergente) 12. |an | 6 n13 (serie de Riemann convergente) 13. |an | 6 n23 (serie de Riemann convergente) 14. an 6 21n (serie geometrique convergente) 15. an > √1n qui diverge 16. an = 21n dont la série converge 17. an est equivalent a n12 (serie de Riemann convergente) 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27.
n
an 6 2n3 2n (serie geometrique convergente) an est equivalent a n12 (serie de Riemann convergente) an ne tend pas vers 0, et donc la série est divergente an > n1 dont la série diverge la série diverge par le critère de la racine an est équivalent à 1/n2 et donc la série converge an ne tend pas vers 0, et donc la série est divergente an est équivalent à 1/2n et donc la série converge série indéterminée : il suffit de calculer les sommes partielles série divergente : an > 1
Corrigé de l’exercice 5.4.3 1. Les convergences sont assurées pour |z| < 1. On a alors S1 (z) = 2. D’un coté on a S1′ (z) = 1 + 2z + 3z 2 + · · · + nz n−1 + · · · = 0 + z + 2z 2 + · · · + nz n + · · · = z S1′ d’où S2 (z) =
z (1 − z)2
∞ P
k=0
zk =
1 1−z
∞ P 1 k zk = . Par ailleurs S (z) = 2 (1 − z)2 k=0
3. En dérivant terme à terme, on a S2′ (z) = 1 + 4z + 9z 2 + 16z 3 + · · · + n2 z n−1 + · · · = que S3 (z) =
∞ P
k=0
k 2 z k = z + 4z 2 + 9z 3 + ... = zS2′ =
47
z(1 + z) . (1 − z)3
(1 + z) . Cela implique (1 − z)3
9.9
Corrigé des exercices du chapitre Transformées en z
Corrigé de l’exercice 6.7.1 ∞ P z 1. Z(f )(z) = z −n = z−1 0 ∞ P n z −n =(voir ex 5.4.3)S2 (z −1 ) = 2. Z(f )(z) = 0
3. Z(f )(z) =
∞ P
(3n + 1) z −n
0
Corrigé de l’exercice 6.7.2 z 1. Z(U (t)) = z−1
z (z − 1)2 ∞ ∞ P P z 3z + = 3 n z −n + z −n = 2 (z − 1) z−1 0 0
2
U (t + 2)U (t) : on utilise la propriété 6 : Z(U (t + 2)U (t)) = z Z(U (t)) − z
2
1 X i=0
z
−i
1 z3 2 −z 1− = z−1 z
z −2 z−1 z z 2. (a) Z((t + 1) U (t))(z) = Z(t U (t))(z) + Z(U (t))(z) = + (z − 1)2 z−1 (b) On utilise la propriété 5 avec m = 1 et f (t) = (t + 1) U (t) (dont on vient de calculer la transformée 1 1 + en Z) : on obtient Z(f (t − 1)) = (z − 1)2 z−1 (c) f (t − 1) U (t − 1) = t U (t − 1) : on calcule d’abord Z(U (t − 1)) et après on utilise la propriété 4. U (t − 3) : on utilise la propriété 5 : Z(U (t − 3)) = z −3 Z(U (t)) =
3. f (t) = (t2 + 1) U (t)
Z((t2 + 1) U (t)) = Z(t2 U (t)) + Z(U (t)) = 4. f (t) = (t − 1)2 U (t)
z z(z + 1) + (z − 1)3 z−1
Z((t − 1)2 U (t)) = Z(t2 U (t)) − 2Z(t U (t)) + Z(U (t)) = t+2 − 2 U (t) 5. f (t) = e 1 t t+2 − − 2 U (t) = e−1 Z Z e e 2 U (t) = e−1
z(z + 1) z z −2 + 3 2 (z − 1) (z − 1) z−1
z z−e
−1 2
t+2 t 2 U (t + 2)U (t) = g(t + 2)U (t) où g(t) = e−t/2 U (t) = e−1/2 U (t) dont la transformée en z vaut 6. e z −1 . Il suffit maintenant d’utiliser la propriété 6 avec m = 2. z−e 2 7. Z(cos(ωt + φ) U (t)) = cos(φ)Z(cos(ωt)U (t)) − sin(φ)Z(sin(ωt)U (t)) = ... −
Corrigé de l’exercice 6.7.3 1. F (z) =
z z π 1 1 t + 2 : on reconnait f (t) = ( ) + cos(t ) 2z − 1 z + 1 2 2 2
F (z) F (z) z2 − 3 −3/2 2 1 : = = + + 2 z z z(z − 3z + 2) z z − 1 2(z − 2) z 1 z 3 + et par lecture inversée du tableau des transformées, on reconnait d’où F (z) = − + 2 2 z − 1 2 z − 2 1 3 f (t) = − δ(t − 1) + 2t + 2t U (t) 2 2
2. on décompose
Corrigé de l’exercice 6.7.4 Soit Z = Z(an ). On a alors Z(an+1 ) = z (Z − a0 ) = z(Z − 1) et Z(an+2 ) = z 2 Z − a0 − a1 z −1 = z 2 (Z − 1 + z −1 ) z . On en déduit an = 1 d’où en substituant et en isolant Z : Z = z−1 Corrigé de l’exercice 6.7.5 48
1. f1 (t) = tU (t)U (t − 2). On peut donc utiliser la propriété 7 avec m = 2 et f (t) = tU (t).
2. (t − 2)U (t − 2) = f (t − 2) où f (t) = tU (t) : il suffit alors d’utiliser la propriété 5 avec f (t) = tU (t) et m=2
3. il suffit d’utiliser la propriété 6 avec f (t) = tU (t) et m = 2. Corrigé de l’exercice 6.7.6 On a F (z) =
1 z 2 π 1 2 z + = Z sin t + 4 Z(3t ) 2 4 zz +1 z z−3 z 2 z
Il suffit maintenant d’utiliser la propriété 5.
Z(cos(3t)) z − cos 3 = = Z(cos(3(t − 1))) . z 2 − 2z cos 3 + 1 z z(z + 1) 1 1 0, t < 2 2 F2 (z) = − = Z(t U (t)) − . Grâce à la propriété 7 F2 (z) = Z(g(t)) où g(t) = 2 3 t , t > 2. (z − 1) z z
Corrigé de l’exercice 6.7.7 On a F1 (z) =
Corrigé de l’exercice 6.7.8 f (t) = f1 (t) + f2 (t) où 0, t < 0 et , 0 6 t < 3 f1 (t) = 0, t > 3 . et
f2 (t) =
0, t < 3 = t2 U (t)U (t − 3) . t2 , t > 3 .
On a Z(f ) = Z(f1 ) + Z(f2 ) : pour calculer Z(f1 ) on utilise la définition de transformée en Z ; pour calculer Z(f1 ) on utilise la propriété 7.
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9.10
Corrigé des exercices du chapitre Séries de Fourier n−1
Corrigé de l’exercice 7.3.1 La fonction est impaire, donc an = 0. Pour bn on trouve (−1)n . La fonction f coincide avec sa série de Fourier si x ∈ (−π, π). Corrigé de l’exercice 7.3.2 On trouve bn = n42 π sin nπ 2 . On va maintenant comparer f et sa série en sinus. Si on prolonge par imparité f sur l’intervalle [−π, 0] et après on prolonge par périodicité la fonction ainsi obtenue on trouve une fonction g qui est continue. La série de Fourier en sinus de f coincide avec la sére de Fourier de g, sur l’intervalle [0, π]. Puisque g est continue, sa série de Fourier coincide avec g sur [0, π] et donc f coincide avec sa série en sinus sur l’intervalle [0, π]. Corrigé de l’exercice 7.3.3 On trouve an = π(n21+1) (eπ − e−π ) et bn = − π(nn2 +1) (eπ − e−π ). Grâce au thèorème de Dirichlet on a que la série de Fourier de f coincide avec f si x ∈ (0, 2π). Pour calculer la valeur de la sérier demandée il suffit de choisir x = π dans l’ègalité F (f ) = f . Corrigé de l’exercice 7.3.4 On trouve a0 = 23 π 2 , an = n42 et bn = 0. On constate que f est continue sur R et donc la série de Fourier de f concide avec f . ∞ P (−1)n Pour calculer la valeur de la série n2 +1 il suffit de choisir x = 0 dans l’égalité F (f ) = f . n=2
Corrigé de l’exercice 7.3.5 La fonction est paire, donc bn = 0. On trouve a0 = π et an = 0 si n est pair et − πn4 2 si n est impair.
50
9.11
Corrigé des exercices du chapitre Transformée de Fourier
Corrigé de l’exercice 8.3.1 En utilisant la définition on arrive a Z +∞ Z 0 t(1−is) e−t(1−is) dt e dt + 0
−∞
Il suffit maintenant d’intégrer pour retrouver la formule du tableau. Corrigé de l’exercice 8.3.2 Ecrire f (t) = χ(−1,1) − tχ(0,1) + tχ(−1,0) . Alors F(f ) = F(χ(−1,1) ) − F(tχ(0,1) ) + F(tχ(−1,0) ). Pour calculer le premier terme il suffit d’utiliser le tableau ; pour le deuxième et le troisème utiliser le tableau et la propriété 5. d Corrigé de l’exercice 8.3.3 Il suffit d’utiliser deux fois de suite la formule F(tf (t)) = i ds F(f ).
Corrigé de l’exercice 8.3.4 Il suffit d’écrire cos t =
eit +e−it 2
et utiliser ensuite la propriété 7.
Corrigé de l’exercice 8.3.5 f ∗f =
Z
1
−1
χ(−1,1) (x − t)dt =
Z
x+1
χ(−1,1) (s)ds
x−1
Alors f ∗ f vaut −|t| + 2 pour |t| 6 2 et 0 sinon. Pour calculer sa tranformée de Fourier, il suffit d’utiliser la propriété 9. Corrigé de l’exercice 8.3.6 Si on calcule F(f ) et [F(f )]′ on a [F(f )]′ + −2t
Corrigé de l’exercice 8.3.7 f (t) = χ(−3,0) +e de la transofrmée de Fourier.
s 2π F(f )
= 0.
χ(0,+∞) . Il suffit maintenant d’utiliser le tableau et la linéarité
Corrigé de l’exercice 8.3.8 Il suffit d’utiliser le tableau et la propriété 6.
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Chapitre 10
Retrouver ce cours sur le web : EUREKA Eureka est un site Internet, où (entre autres) les enseignants de Mathématiques au Département de Génie Electrique et Informatique Industrielle de l’IUT du Havre ont mis les documents des cours de la première année et de la deuxième année : résumés des cours avec exercices (et corrigés), interrogations écrites, DS. Voici les cours de Mathématiques donnés en GEII que l’on peut trouver sur Eureka : – GEII mathématiques première année – GEII S2-Mathématiques Numériques (1ère année) – GEII mathématiques deuxième année – GEII-MCM3-Probabilités et statistiques inférentielles (module complémentaire 2ème année)
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