MAKALAH ALJABAR LINIER DAN ALEMENTER Tentang BEBAS LINIER DAN BASIS DAN BIDANG DIMENSI “ Dalam rangka memenuhi tugas tugas aljabar linier dan alementer”
Oleh:
!
2. 3! %! '! ! ,!
Kelompok 3 S"t" #at"mah A()al *+l"ant" *+l"ant" S)" -ah.+n" h.+n" N"ng/" N"ng/"h h A)"0 Sept"a1an M"a J+l"ant" M"0a ha.at" *ent" nt" El0" El0")a )a
$%%!&&' $%%!&&, $%%!& $%%!&, , $%%!&2 $%%!&$ $%%!&$, $%% $%%!& !&33 33
Dosen Pembimbing Oleh : RISNAWITA RISNAWITA M.Si M.S i JURUSAN PENDIDIKAN MATEMA MATEMATIKA TIKA FAKULTAS TARBIYAH DAN ILMU KEGURUAN (FTIK) INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI (IAIN) BUKITTINGGI 2015/2016
KATA PENGANTAR
A//alam+4ala"k+m -a)ahmat+llah" -a -a5a)akat+h 5a)akat+h 6+7" /.+k+) kam" +8apkan kepa9a ALLAH S-T ata/ ka)+n"an.a 9an h"9a.ahn.a kam" 9apat men.ele/a"kan makalah kam" .ang 5e)7+9+l “BEBAS LINIER BASIS DAN BIDANG BIDANG DIMENSI;!Kam DIMENSI;!Kam"" mengak+" mengak+" 5ah1a kam" a9alah man+/"a man+/"a .ang memp+n.a" memp+n.a" kete)5ata/an 9alam 5e)5aga" hal! Oleh ka)ena "t+ t"9ak a9a hal .ang 9"/ele/a"kan 9engan /emp /emp+) +)na na!! Beg" Beg"t+ t+ p+la p+la 9eng 9engan an maka makalah lah "n" "n" .ang tela telah h kam" kam" /ele /ele/a /a"ka "kan! n! Kam" Kam" melak+kann.a 9engan/emak/"mal /emamp+ kam" m"l"k"! D" mana kam" 7+ga mem"lk" kete)5ata/an kemamp+an! Maka 9a)" "t+ /epe)t" .ang telah 9" 7ela/kan 5ah1a kam" mem"l"k" kete)5ata/an 9an 7+ga kek+)anga kek+)angankam nkam"" 5e)/e9"a 5e)/e9"a mene)"ma mene)"ma k)"t"kan k)"t"kan 9an /a)an 9a)" pem5a8a pem5a8a .ang 5+9"man! Kam" akan mene)"ma k)"t"kan 9an /a)an te)/e5+t /e5aga" lon8atan .ang 9apat mempe)5a"k" makalah kam" 9" ma/a 9atang! Dengan "n" /a.a mempe)/em5ahkan makalah "n" 9engan pen+h )a/a te)"ma ka/"h 9an /emoga Allah S-T mem5e)kah" makalah "n" /eh"ngga 9apat mem5e)"kan man0aat!
-a//alam+4ala"k+m -a)ahmat+llah" -a5a)akat+h
K+5ang 6+t"h $ J+n" $&' 6en+l"/
A//alam+4ala"k+m -a)ahmat+llah" -a -a5a)akat+h 5a)akat+h 6+7" /.+k+) kam" +8apkan kepa9a ALLAH S-T ata/ ka)+n"an.a 9an h"9a.ahn.a kam" 9apat men.ele/a"kan makalah kam" .ang 5e)7+9+l “BEBAS LINIER BASIS DAN BIDANG BIDANG DIMENSI;!Kam DIMENSI;!Kam"" mengak+" mengak+" 5ah1a kam" a9alah man+/"a man+/"a .ang memp+n.a" memp+n.a" kete)5ata/an 9alam 5e)5aga" hal! Oleh ka)ena "t+ t"9ak a9a hal .ang 9"/ele/a"kan 9engan /emp /emp+) +)na na!! Beg" Beg"t+ t+ p+la p+la 9eng 9engan an maka makalah lah "n" "n" .ang tela telah h kam" kam" /ele /ele/a /a"ka "kan! n! Kam" Kam" melak+kann.a 9engan/emak/"mal /emamp+ kam" m"l"k"! D" mana kam" 7+ga mem"lk" kete)5ata/an kemamp+an! Maka 9a)" "t+ /epe)t" .ang telah 9" 7ela/kan 5ah1a kam" mem"l"k" kete)5ata/an 9an 7+ga kek+)anga kek+)angankam nkam"" 5e)/e9"a 5e)/e9"a mene)"ma mene)"ma k)"t"kan k)"t"kan 9an /a)an 9a)" pem5a8a pem5a8a .ang 5+9"man! Kam" akan mene)"ma k)"t"kan 9an /a)an te)/e5+t /e5aga" lon8atan .ang 9apat mempe)5a"k" makalah kam" 9" ma/a 9atang! Dengan "n" /a.a mempe)/em5ahkan makalah "n" 9engan pen+h )a/a te)"ma ka/"h 9an /emoga Allah S-T mem5e)kah" makalah "n" /eh"ngga 9apat mem5e)"kan man0aat!
-a//alam+4ala"k+m -a)ahmat+llah" -a5a)akat+h
K+5ang 6+t"h $ J+n" $&' 6en+l"/
BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Dalam al7a5a al7a5a)) l"nea l"nea) ) /ekelo /ekelomp mpok ok
6e)hat"kan 5ah1a nol 9" )+a/ kanan a9alah
.a"t+ 7"ka a1a2!!!a !!!an a9alah /kala) /eh"ngga
7"ka 9an han.a 7"ka ai ? & +nt+k /em+a i ? $ !!! n! M"/alkan @ )+ang
B. Rumusan Masalah 6a9a 6a9a pem5 pem5ah aha/ a/an an "n" "n" pen+ pen+l" l"// akan akan men7 men7ela ela/k /kan an apa apa .ang .ang 9"ma 9"mak/ k/+9 +9 9eng 9engan an ke5e5a/an l"nea) 9an 5a/"/ /e)ta 9"men/"!
BAB II PEMBAHASAN BEBAS LINEAR Dalam al7a5a) l"nea) /ekelompok
k"ta 5"/a
T"ga
DEINISI !RMAL Se5+ah h"mp+nan 5ag"an 9a)" )+ang
6e)hat"kan 5ah1a nol 9" )+a/ kanan a9alah
Be5a/ l"nea) 9apat 9"9e0"n"/"kan /e5aga" 5e)"k+t: /+at+ h"mp+nan .a"t+ 7"ka a1a2!!!an a9alah /kala) /eh"ngga
7"ka 9an han.a 7"ka ai ? & +nt+k /em+a i ? $ !!! n!
DEENISI J"ka
a9alah
Mem"l"k" pal"ng /e9"k"t /at+ /ol+/" .akn"
J"ka han.a "n" /ol+/"n.a maka maka
9"namakan 5e5a/ l"nea)! J"ka te)9apat /ol+/" la"n
9"namakan t"9ak 5e5a/ l"nea)!
"!NT!H # TIDAK BEBAS LINEAR
J"ka
maka
!
"!NT!H $ TIDAK BEBAS LINEAR
6ol"nom"al
Be)5ent+k /e5+ah t"9ak 5e5a/ l"nea) 9alam
ka)ena
"!NT!H % BEBAS LINEAR
Anggap
Men7a9"
Ata+ /eta)a 9engan
9alam
! I/t"lah="/t"lah la"n
In" /e8a)a t"9ak lang/+ng a9alah
7a9"
a9alah
5e5a/ l"nea)! Ala/an .ang /ama 9apat 9"g+nakan +nt+k men+n7+kkan 5ah1a
Be)5ent+k 5e5a/ l"nea) 9alam "!NT!H & MENENTUKAN BEBAS LINEAR ATAU TIDAK BEBAS
Tent+kan apakah
5e)5ent+k 5e5a/
l"nea) ata+ t"9ak 5e5a/ l"nea) S!LUSI
I/t"lah 9a)" komponen
men7a9"
Ata+ /eta)a 9engan
Samakan komponen .ang 8o8ok
Ja9"
5e)5ent+k t"9ak 5e5a/ l"nea) 7"ka /"/tem "n" memp+n.a" /ol+/"
nont)"<"al ata+ /e5+ah 5e5a/ l"nea) 7"ka han.a memp+n.a" /ol+/" t)"<"al! 6en.ele/a"an /"/tem "n" mengg+nakan el"m"na/" Ga+//
Ja9" /ol+/" "t+ memp+n.a" /ol+/" nont)"<"al 9an
5e)5ent+k t"9ak
5e5a/ l"nea)! Kem+ngk"nan k"ta 5"/a men+n7+kkan a9an.a /ol+/" nont)"<"al tanpa men.ele/a"kan /"/tem "t+ 9engan men+n7+kkan 5ah1a koe0"/"en mat)"k/ memp+n.a" 9ete)m"nan & nol 9an kon/ek+en/"n.a t"9ak 9apat 9"5al"kkan 5+kt"! "!NT!H ' BEBAS LINEAR DALAM
T+n7+kkan 5ah1a pol"nom"al Be)5ent+k 5e5a/ l"nea) 9alam S!LUSI
M"/al
9an mengam5"l 5e5e)apa kom5"na/"
l"nea) 9a)" pol"nom"al & nol .a"t+
Ata+ /eta)a 9engan
K"ta men+n7+kkan 5ah1a
Fnt+k mel"hat "n" "ngat 9a)" a7la5a) 5ah1a pol"nom"al 5+kan nol 9a)" t"ngkat n pal"ng /e9"k"t memp+n.a" /e5ag"an 5e/a) n aka) .ang 7ela/! Tap" /e8a)a t"9ak lang/+ng
Se5al"kn.a 9apat te)7a9" 9a)" 5ah1a
a9alah
pol"nom"al 5+kan nol 9engan aka) .ang t"9ak te)5ata/! Bent+k 5e5a/ l"nea) men.atakan 5ah1a
A 9an S 9engan $ ata+ le5"h
1. T"9ak 5e5a/ l"nea) 7"ka 9an han.a 7"ka pal"ng /e9"k"t 9a)"
k+mp+lan $ ata+ le5"h
5ah1a S a9alah t"9ak 5e5a/ l"nea) kem+9"an /kala)n.a /eh"ngga
/em+a 5+kan nol
Spe/"0"kn.a an9a"kata
*angmana men.atakan 5ah1a
maka .ang ke9+a 9apat k"ta t+l"/ 9engan
/e5aga" kom5"na/" l"nea) 9a)"
Dengan 8a)a .ang /ama 7"ka
+nt+k 5e5e)apa 7 ? $ 3 !!! ) maka
9"n.atakan
/e5aga" kom5"na/" l"nea) 9a)"
Ja9"
*ang meng"k+t" 5ah1a S t"9ak 5e5a/ l"nea) ka)ena pe)/amaan
D"pen+h" oleh
*ang mana t"9ak /em+an.a nol! B+kt" +nt+k ka/+/ 9"ana 5e5e)apa
a S+at+ h"mp+nan te)h"ngga
/e5a)ang h"mp+nan S ?
a9alah
t"9ak 5e5a/ l"nea) ka)ena pe)/amaan
Men.atakan nol /e5aga" /+at+ kom5"na/" l"nea) 9a)"
#+ng/"=0+ng/"
? 9an
? /"n mem5ent+k /+at+ h"mp+nan 5e5a/ l"nea)
ka)ena t"9ak /at+p+n 9a)" 0+ng/" te)/e5+t me)+pakan /+at+
kel"patan kon/tan 9a)" 0+ng/" la"nn.a! Inter+retas( ge,metr(k -ar( ke*e*asan l(near ! Ke5e5a/an l"nea) mem"l"k" /e7+mlah
"nte)p)eta/" geomet)"k .ang 5e)g+na pa9a •
6a9a
!
/+at+ h"mp+nan .ang te)9")" 9a)" 9+a
l"nea) 7"ka 9an han.a 7"ka
6a9a
/+at+ h"mp+nan .ang te)9")" 9a)" t"ga
9an han.a 7"ka
9apat
mengan9+ng mak/"m+m n
M"/alkan S ? maka S t"9ak 5e5a/ l"nea)! Bukt(. M"/alkan
a9alah /+at+ h"mp+nan
! J"ka ) n
6e)hat"kan pe)/amaan
J"ka k"ta men.atakan ke9+a )+a/ 9a)" pe)/amaan "n" 9alam komponen=komponenn.a .ang mana 9"n.atakan pa9a 8ontoh %! Kem+9"an men.eta)akan komponen=komponen .ang /e/+a" maka k"ta men9apatkan /"/tem
In" me)+pakan /"/tem homogen .ang te)9")" 9a)" “n; pe)/amaan 9engan ) 0akto) .ang t"9ak 9"ketah+"
ka)ena ) n! Se/+a" 9engan Teo)ema !$ /"/tem te)/e5+t
mem"l"k" /ol+/" nont)"<"al /eh"ngga S ?
a9alah /+at+ h"mp+nan 5e5a/
l"nea)! ATATAN! Dengan kata la"n 9a)" teo)ema te)9ah+l+ telah 9"7ela/kan tentang /+at+ h"mp+nan 9alam
9engan 9+a
9engan t"ga
KEBEBASAN LINEAR DARI UNGSI Se1akt+=1akt+ ke5e5a/an l"nea) 9a)" 0+ng/" 5"/a 9" 9e9+k/" 9a)" "9ent"ta/= "9ent"ta/ .ang telah 9"ketah+"! Fnt+k 8ontoh 0+ng/"=0+ng/"
Te)5ent+k /e5+ah 5e5a/ l"nea) pa9a #
ka)ena pe)/amaan
' Men.atakan nol /e5aga" /e5+ah kom5"na/" l"nea) 9a)"
9engan koe0"/"en
.ang t"9ak /em+an.a nol! Nam+n 9em"k"an k"ta 9apat mengg+nakan "9ent"ta/ /epe)t" "n" 9alam /"t+a/" kh+/+/ me/k"p+n t"9ak /e8a)a +m+m 9"g+nakan +nt+k men.+/+n ke5e5a/an l"nea) 9an t"9ak 5e5a/ l"nea) 9a)" 0+ng/" pa9a #
k"ta akan mengem5angkan
/e5+ah teo)ema .ang /e1akt+=1akt+ 5"/a 9"g+nakan +nt+k men+n7+kkan /+at+ h"mp+nan 9a)" 0+ng/" a9alah 5e5a/ l"nea)!
J"ka pa9a "nte)
9an
kal" 0+ng/" te)9"0e)en/"a/"kan
maka 9ete)m"nan 9a)"
D"/e5+t /e5aga" -)on/k"an 9a)"
/e5aga"mana akan 9"t+n7+kkan
9ete)m"nnan 5e)g+na +nt+k mem5+kt"kan apakah 0+ng/"
<9a)" /e5+ah
h"mp+nan 5e5a/ l"nea)
!
a9alah
Fnt+k /em+a pa9a "nte)
9engan mengkom5"na/"kan pe)/amaan "n"
9engan pe)/amaan=pe)/amaan .ang 9"pe)oleh 9engan n= 9"0e)en/"a/" .ang 5e)+)+tan akan mengha/"lkan
Ja9" ket"9ak5e5a/an l"nea) +nt+k
meng"mpl"ka/"kan 5ah1a /"/tem l"nea)
Mem"l"k" /e5+ah /ol+/" nont)"<"al +nt+k /et"ap pa9a "nte)
! Impl"ka/" "n"
mat)"k/ koe0"/"en t"9ak 9apat 9"5al"k ata+ 9engan kata la"n
9ete)m"nann.a a9alah nol +nt+k /et"ap pa9a
! Ja9" 7"ka -)an/k"ann.a t"9ak
"9ent"k 9engan nol pa9a
maka 0+ng/"
5e5a/ l"nea) pa9a
pa/t" me)+pakan
pen7ela/an "n" me)+pakan "/" 9a)" teo)ema 5e)"k+t!
TE!REMA '.%.&
J"ka 0+ng/"
mem"l"k" n= t+)+nan kont"n+ pa9a "nte)
9an
7"ka -)an/k"an 9a)" 0+ng/" t"9ak "9ent"k 9engan nol pa9a "nte)
maka 0+ng/"
akan mem5ent+k /+at+ h"mp+nan 5e5a/ l"nea) 9a)" h"mp+nan pa9a
!
"!NT!H HIMPUNAN BEBAS LINEAR PADA
T+n7+kkan 0+ng/"
mem5ent+k /+at+ h"mp+nan 5e5a/ l"nea) 9a)" .
S!LUSI
6a9a 8ontoh k"ta mel"hat 5ah1a
#+ng/" "n" t"9ak mem"l"k" n"la" nol +nt+k /em+a pa9a "nte)
Ja9"
/ 5"/a 9"l"hat 9a)"
9a)" /e5+ah h"mp+nan 5e5a/ l"nea)!
"!NT!H 0 HIMPUNAN BEBAS LINEAR PADA
T+n7+kkan pa9a
9a)" /e5+ah h"mp+nan 5e5a/ l"nea) 9a)"
S!LUSI
-)an/k"ann.a a9alah
#+ng/" "n" t"9ak memp+n.a" n"la" nol +nt+k /em+a /e5ena)n.a +nt+k 5e5e)apa pa9a "nte)
! Ja9"
mem5ent+k /+at+ h"mp+nan 5e5a/ l"nea)!
ATATAN! Ke5al"kan 9a)" teo)ema '!3!% a9alah /alah! J"ka -)an/k"an +nt+k "9ent"k 9engan nol pa9a
maka t"9ak a9a ke/"mp+lan .ang 5"/a 9"pe)oleh 9a)"
ke5e5a/an l"nea) 9a)"
h"mp+nan 9a)"
t"9ak 5e5a/ l"nea)!
BASIS DAN DIMENSI Ba/"/ a9alah /+at+ +k+)an te)tent+ .ang men.atakan komponen 9a)" /e5+ah
DEINISI J"ka @ a9alah )+ang
a9alah k+mp+lan
9alam @ maka S 9"/e5+t /e5aga" 5a/"/ 9a)" )+ang
S 5e5a/ l"n"e) S /e)entang @
TE!REMA '.&.# KEUNIKAN REPRESENTASI BASIS
J"ka S ?
a9alah /+at+ 5a/"/ 9a)" )+ang
"!NT!H $ BASIS STANDAR UNTUK H"mp+nan S ? $ n me)+pakan 5a/"/ +nt+k )+ang
!%
K"ta ha)+/ pe)l"hatkan 5ah1a c0 ? c1 ? ? cn ? &! Da)" al7a5a) k"ta ketah+" 5ah1a pol"nom taknol 5e)9e)a7at n memp+n.a" pal"ng 5an.ak n aka) .ang 5e)5e9a! Ka)ena !% memen+h" +nt+k /em+a x maka /et"ap n"la" x a9alah /e5+ah aka) 9a)" )+a/ k")" hal "n" 5e)a)t" 5ah1a c1 ? c2 ? ? cn ? &> kala+ t"9ak maka c0 c1 x cn xn 9apat memp+n.a" pal"ng 5an.ak n aka)! Maka h"mp+nan S a9alah h"mp+nan 5e5a/ l"n"e)!
Ba/"/ S 9alam 8ontoh "n" 9"namakan basis baku untuk P n DEENISI S+at+ )+ang
te)h"ngga
.ang mem5ent+k /+at+ 5a/"/! J"ka t"9ak
te)9apat h"mp+nan /ema8am "n" @ 9"/e5+t /e5aga" 5e)9"men/" takte)h"ngga! Sela"n "t+ k"ta akan menganggap )+ang
TE!REMA '.&.$
M"/alkan @ a9alah /+at+ )+nag
a J"ka /+at+ h"mp+nan mem"l"k" le5"h 9a)" n maka h"mp+nan te)/e5+t 5e)/"0at t"9ak 5e5a/ l"nea)! 5 J"ka /+at+ h"mp+nan mem"l"k"
Sem+a 5a/"/ +nt+k )+ang
mem"l"k" n
/e8a)a t"9ak lang/+ng men.atakan 5ah1a /em+a 5a/"/ +nt+k Kh+/+/n.a /et"ap 5a/"/ +nt+k
mem"l"k" n
mem"l"k" 3
mem"l"k" 9+a a9lah
/+at+ 5"9ang a9alah 5e)9"men/" 9+a 9an R ///+at+ ga)"/ a9alah
5e)9"men/" /at+! Ja9" +nt+k )+ang=)+ang
D"men/" 9a)" )+ang
Be)a1al 9a)" /"n" k"ta akan meng"k+t" at+)an .ang +m+m mengena" h"mp+nan ko/ong /e5aga" 5a/"/ +nt+k )+ang
9"m
5a/"/ /tan9a) mem"l"k" n
9"m
5a/"/ /tan9a) mem"l"k"
9"m
5a/"/ /tan9a) mem"l"k" mn
"!NT!H #3 DIMENSI DARI RUANG S!LUSI
Tent+kan 5a/"/ 9an 9"men/" 9a)" )+ang /ol+/" /"/tem homogen
S!LUSI
6a9a 8ontoh , S+55a5 !$ telah 9"t+n7+kkan 5ah1a /ol+/" +m+m 9a)" /"/tem .ang 9"5e)"kan a9alah
Oleh ka)ena "t+
*ang men+n7+kkan 5ah1a
Me)entang )+ang /ol+/" ka)ena ke9+an.a 7+ga 5e5a/ l"nea) 5+kt"kan
a9alah
/+at+ 5a/"/! Dan )+ang 9"men/"n.a a9alah )+ang 5e)9"men/" 9+a! BEBERAPA TE!REMA DASAR
K"ta akan men8+)ahkan pe)hat"an pa9a /e9e)etan teo)ema .ang akan meng+ngkapkan h+5+ngan .ang t"9ak te)l"hat anta)a kon/ep me)entang ke5e5a/an l"nea) 5a/"/ 9an 9"men/"! Teo)ema=teo)ema "n" 5+kanlah me)+pakan peke)7aan .ang /"a=/"a 9alam teo)" matemat"ka tetap" teo)ema=teo)ema te)/e5+t /angat pent"ng +nt+k memaham" )+ang=)+ang
M"/alkan / /e5+ah h"mp+nan tak ko/ong .a"t+ )entangS ? )entangS < kam" akan mengal"hkan pem5+kt"ann.a ke 5ag"an akh") 9a)" /+55a5 "n" /eh"ngga k"ta 9apat /ege)a melan7+tkan ke kon/ek+en/" 9a)" teo)ema te)/e5+t!
Se8a)a +m+m +nt+k men+n7+kkan 5ah1a /+at+ h"mp+nan
mengan9+ng 7+mlah
+nt+k /+at+ 5a/"/ maka k"ta han.a pe)l+ meme)"k/a /alah /at+ .a"t+ apakah 5e5a/ l"nea) ata+ me)entang /e9angkan /.a)at la"nn.a akan 5e)lak+ /e8a)a otomat"/! 6en7ela/an "n" me)+pakan "/" 9a)" teo)ema 5e)"k+t! TE!REMA '.&.' J"ka @ a9alah /+at+ )+ang
"n" 9a)" S maka /e/+a" 9engan Teo)ema 6l+/M"n+/ Teo)ema '!%!%5 9"pe)oleh 5ah1a
men+)+t Teo)ema '!%!$a t"9ak a9a h"mp+nan 9engan
a T+n7+kkan 5ah1a "n/pek/"
? =3 , 9an
? ' ' mem5ent+k /+at+ 5a/"/ +nt+k
melal+"
5 T+n7+kkan 5ah1a +nt+k
? $ & =
? % & ,
? = % mem5ent+k /+at+ 5a/"/
melal+" "n/pek/"
S!LUSI 5a6
Ka)ena t"9ak /at+p+n
9an oleh ka)ena
"t+ mem5ent+k /+at+ 5a/"/ Teo)ema '!%!'!
S!LUSI 5*6
@ekto)=
mem5ent+k /+at+ h"mp+nan 5e5a/ l"nea) pa9a 5"9ang . te)letak 9"l+a) 5"9ang ( /eh"ngga h"mp+nan
7+ga
5e)9"men/" t"ga Teo)ema '!%!' meng"mpl"ka/"kan 5ah1a
a9alah 5a/"/ +nt+k +nt+k
!
Teo)ema 5e)"k+t men+n7+kkan 5ah1a +nt+k /+at+ )+ang @ .ang 5e)9"men/" te)h"ngga /et"ap h"mp+nan .ang me)entang @ 9"9alamn.a mengan9+ng /+at+ 5a/"/ +nt+k @ 9an /et"ap h"mp+nan 5e5a/ l"nea) pa9a @ a9alah 5ag"an 9a)" 5e5e)apa 5a/"/ +nt+k @! TE!REMA '.&.)
M"/alkan S a9alah h"mp+nan te)h"ngga 9a)"
a J"ka S a9alah /+at+ h"mp+nan
!
6a9a gam5a) te)/e5+t amat" 5ah1a mak"n 5e/a) )+ang /+5)+ang maka mak"n 5e/a) p+la 9"men/"n.a!
Ga)"/ mele1at" t"t"k a/al 5e)9"men/" B"9ang mele1at" t"t"k a/al 5e)9"men/" $
Titik asal (berimensi !" Gam5a) '!%!
5e)9"men/" 3
TE!REMA '.&.
J"ka - a9alah /+5)+ang 9a)" /+at+ )+ang
9"m@! Le5"h lan7+t 7"ka 9"m- ? 9"m@ maka - ? @!
B+kt"! Ka)ena @ 5e)9"men/" te)h"ngga maka 9em"k"an 7+ga - /e/+a" 9engan lat"han 3&! Maka m"/alkan S ?
a9alah 5a/"/ +nt+k -! Te)9apat 9+a
kem+ngk"nan S 7+ga me)+pakan 5a/"/ +nt+k @ ata+ t"9ak! J"ka .a maka 9"m- ? 9"m@ ? m! J"ka t"9ak maka /e/+a" 9engan teo)ema '!%!5
9"tam5ahkan ke h"mp+nan 5e5a/ l"nea) S +nt+k mem5+atn.a men7a9" 5a/"/ +nt+k @ /eh"ngga 9"m- Q 9"m@! Ja9" 9"m- 9"m@ pa9a /em+a ka/+/! J"ka 9"m- ? 9"m@ maka S a9alah /+at+ h"mp+nan 9a)" m
S,al ! D"ketah+"
9an
Apakah /al"ng 5e5a/ l"nea) 9"
P
Ja1a5 : T+l"/
Ata+
Dengan OBE 9apat 9"pe)oleh :
Dengan 9em"k"an 9"pe)oleh /ol+/" t+nggal .a"t+ :
In" 5e)a)t"
9an
a9alah /al"ng 5e5a/ l"nea)!
$! Sel"9"k" 9an tent+kan apakah h"mp+nan
8! F ? 3=%' 9an @ ? $ 9! F ? $3 @ ? $3, 9an - ? &&& e! F ? '$3 @ ? ,$ 9an -? &% Ja1a5 : a! 5! 8! 9!
e!
H"mp+nan
3! Apakah h"mp+nan
a! Ket"ga h"mp+nan 9"ata/ te)ma/+k
Apakah ket"ga
P
JA-AB : T+l"/ :
Ata+
Dengan OBE 9"pe)oleh :
In" men+n7+kkan 5ah1a Ja9"
me)+pakan /ol+/" tak h"ngga 5an.ak
a9alah
! T+n7+kkan 5ah1a h"mp+nan mat)"k/ 5e)"k+t :
Me)+pakan 5a/"/ 5ag" mat)"k/ 5e)+k+)an $$ JA-AB: T+l"/ kom5"na/" l"nea)
Ata+
Dengan men.amakan /et"ap +n/+) pa9a ke9+a mat)"k/ 9"pe)oleh S6L :
Dete)m"nan mat)"k/ koe0"/"enn.a MK ? %2 •
DetMK & maka S6L mem"l"k" /ol+/" +nt+k /et"ap a 5 8 9
•
Ja9" M mem5ang+n M $$ Ket"ka a ? & 5 ? & 8 ? & 9 ? & DetMK & maka /ol+/" S6L mem"l"k" /ol+/" t+nggal! Ja9" M 5e5a/ l"nea)
Ka)ena M 5e5a/ l"nea) 9an mem5ang+n M $$ maka M me)+pakan 5a/"/ 5ag" M $$! ,! D"5e)"kan S6L homogen $p $) $/ ? & 6 $) / ? & =p $ %) / ? & 3p 3/ ?& Tent+kan 5a/"/ )+ang /ol+/" 9a)" S6L 9"ata/! JA-AB: S6L 9"t+l"/ 9alam 5ent+k :
Dengan melak+kan OBE 9"pe)oleh :
Sol+/" S6L homogen te)/e5+t a9alah :
D"mana a 5 me)+pakan pa)amete)! Ja9" 5a/"/ )+ang /ol+/" 9a)" S6L 9"ata/ a9alah :
D"men/" 9a)" 5a/"/ )+ang /ol+/" 9"namakan n+l"ta/! Dengan 9em"k"an n+l"ta/ 9a)" S6L 9"ata/ a9alah $! 2! Tent+kan 9"men/" 9a)" /+5)+ang pa9a 5"9ang
!
6en.ele/a"an: 6e)/amaan 5"9ang te)/e5+t 9apat 9"+5ah men7a9" 9an
9an ka)ena
an+ .ang 5e5a/ maka ke9+an.a 9apat 9"gant" men7a9"
/eh"ngga pe)/amaaan 5"9ang ta9" men7a9"
9an
ata+ 9alam 5ent+k
.ang 5e)a)t"
mem5ang+n 5"9ang
9an 5e5a/ l"nea) t+n7+kkan!
Dengan 9em"k"an B me)+pakan 5a/"/ 9an 9"men/"n.a $! C! Tent+kan 5a/"/ 9an 9"men/" )+ang
*ang 5e)a)t" 9an ka)ena
5ent+k
mem5ang+n )+ang
me)+pakan 5a/"/ 9a5 9"men/"n.a $! &! Tent+kan 5a/"/ 9an 9"men/" )+ang pen.ele/a"an /"/tem pe)/amaan l"nea) homogen 5e)"k+t!
6en.ele/a"an:
ata+ ata+ Ka)ena
9an
a9alah an+ 5e5a/ k"ta m"/alkan
9an
maka 9"9apatkan
Seh"ngga pen.ele/a"ann.a 5e)5ent+k
Ja9" 5a/"/ )+ang pen.ele/a"an /"/tem pe)/amaan l"nea) 9" ata/ a9alah 9an 9"men/"n.a $! ! B+kt"kan s,al 9"5a1ah "n" 9engan ke5e5a/an l"nea)! A e ? %=$
e$ ? =%&$
6en.ele/a"an : K e k $ e$ ? & k %=$ k $ =%&$ ? &&& %k %k $ ?? & =k &k $ ? & $k $ $k $ ? & S+5/t"t+/" : %k %k $ ? & %k ? %k $
K ? %k $ =k &k $ ? & =k $ &k $ ? & Ck $ ? & K $ ? & $! Sele/a"kanlah /oal 9"5a1ah "n" 9engan meto9e ke5e5a/an l"nea)! A e ? &&$$
e $ ? 33&&
6en.ele/a"an : K e k $e$ k 3e3 ?& K &&$$ k $ 33&& &= ? &&&& 3k k 3 ? & $k ? & 3k k 3 ? & k ? & $k ? & $k k 3 ? & $k =k 3 ? & k 3 ? & 3k $ k 3 ? & 3k $ & ? & K $ ? & 3! Tent+kan 5a/"/ 9an 9"men/" )+ang /ol+/" S6L 5e)"k+t : $ $ 33 ? & U '
?&
U$ 3
?&
Ja1a5 : $ $ 33 ? & U '3 U$ 3
?& ?&
5 5$
5$ 53
53 = 5$
=25$
e 3 ? &=
U3 ? &
t"9ak a9a 5a/"/ 9an 9"me/" ? &
U$ 3 ? & U$ & ? & U$? & U '3 ? & U '!& ? & U ? & %! Tent+kan 9"me/" 9an 5a/"/ +nt+k )+ang /ol+/" 9a)" /"/tem pe)/amaan 5e)"k+t : U.(?& 3 $. $? & % 3. ( ? & '. ( ? & Ja1a5 : U.(?& 3 $. $? & % 3. ( ? & '. ( ? &
5$ 35 M"/al : U?t * 't ? & * 't ? & * ? ='t U.(?& U 't t ? & U %t ? & U ? %t
?
?t
'! Apakah h"mp+nan 5e)"k+t 5a/"/ +nt+k R 3 A ? < ? &$ < $ ? 3&& < 3 ? $& Ja1a5 :
a58 ? k < k $<$ k 3<3 ? k &$ k $ 3&& k 3 $& 3k $ $k 3 ? a K k 3 ? 5 K ? 8 K k 3 ? 5 E k 3 ? 5 3k $ $k $ ? &
k $? &
K k 3? & k 3? & K ? &
5e5a/ l"nea)
! Tent+kan apakah h"mp+nan 5e)"k+t "n" 5e5a/ l"nea)P S ? $ 3& $=3 Ja1a5: S ? $ 3& $=3 k < k $<$ k )< )? & men7a9" k $ k $3& k 3$=3 ? &&& $k 3k $$k 3 k k $k 3 k =3k 3 ? &&& 9"9apat S6L $k 3k $$k 3 ? & k k $k 3 ?& k =3k 3 ? & 9engan at+)an 8)amme) maka 9"9apat k ? &% k $ ? &% 9an k 3 ? &%! Ka)ena 9ete)m"nan 9a)"
a9alah % Ja9" pe)/amaan te)/e5+t memp+n.a" /at+=/at+n.a peme8ahan .a"t+ k ?k $?k 3 ? & maka S *e*as L(near ! u
= ( − : 3: $ )
a
= (: : − )
,! D"ketah+"
9an
Apakah /al"ng 5e5a/ l"nea) 9" R 3 7a8a* 9 k u
+ k $ a = &
ata+
= & k 3 k = & $ $ − & 9engan OBE 9apat 9"pe)oleh :
= 3 $ −
& & &
X
& &
− %
&
& &
X
& &
&
&
&
&
&
9engan 9em"k"an 9"pe)oleh /ol+/" t+nggal .a"t+ : k ? & 9an k $ ? &! In" 5e)a)t" V 9an W a9alah /al"ng 5e5a/ l"nea)! 2! M"/alkan a
− = 3 $
b
= −
c
$ = − − %
Apakah ket"ga
= k a + k $b + k 3c
$ k − & ? − k $ 3 & $ − − % k 3 &
9engan OBE 9"pe)oleh :
− − $ − − $ & X & & & % & & & & & In" men+n7+kan 5ah1a k k $ k 3 m)p /ol+/" tak h"ngga 5an.ak a
:
b
:
c
Ja9"
a9alah
BAB III PENUTUP A. Kes(m+ulan Set"ap /"/tem pem5ent+k .ang 5e5a/ l"nea) a9alah 5a/"/ 9a)" /+at+ )+ang
S 5e5a/ l"n"e)> S /e)entang V !
B. Saran Dem"k"an .ang 9apat pen+l"/ papa)kan mengena" mate)" .ang men7a9" pokok 5aha/an 9alam makalah "n" tent+n.a ma/"h 5an.ak kek+)angan 9an kelemahann.a ke)ena te)5ata/n.a pengetah+an 9an k+)angn.a )+7+kan ata+ )e0e)en/" .ang a9a h+5+ngann.a 9engan 7+9+l makalah "n"! 6en+l"/ 5an.ak 5e)ha)ap pa)a pem5a8a .ang 5+9"man 9apat mem5e)"kan k)"t"k 9an /a)an .ang mem5ang+n kepa9a pen+l"/ 9em" /emp+)nan.a makalah "n" 9an pen+l"/an makalah 9" ke/empatanke/empatan 5e)"k+tn.a! Semoga makalah "n" 5e)g+na 5ag" pen+l"/ pa9a kh+/+/n.a 7+ga pa)a pem5a8a .ang 5+9"man pa9a +m+mn.a