BAB I PENDAHULUAN A. LATAR BELAKANG
Karena massa total planet dan satelit jauh lebih kecil dari massa Matahari, maka pengaruh antar planet dapat diabaikan untuk kalkulasi orbit yang tidak terlalu teliti. Aproksimasi yang dilakukan mengacu pada “two - body body problem”, dengan mengambil batasan massa salah satu objek itu dapat diabaikan terhadap masa Matahari. Dalam perkembangan ilmu Astronomi dikenal nama Ptolemaeus (sekitar tahun 125 M) yang mengemukakan bahwa bumi adalah pusat jagad raya. Pendapat ini dikenal sebagai pandangan geosentris. Semua benda langit beredar mengelilingi bumi. Untuk menjelaskan adanya gerak balik (retrograde motion) planet-planet, dibayangkan model "deferent and epicycle" yang melukiskan pergerakan planet pada sebuah lingkaran yang lebih kecil (epicycle) pada saat melakukan peredarannya mengelilingi bumi pada lingkaran yang lebih besar (deferent). Titik pusat epicycle itu terletak pada diferent. Diawali oleh para pendahulunya, Copernicus (1473-1543), membuat pembaruan dengan pandangan heliosentris, yaitu pandangan yang menyatakan bahwa matahari sebagai pusat peredaran planet-planet, termasuk bumi, serta bintang-bintang. Dengan pandangan heliosentris dijelaskan bagaimana gerak balik (retrograde motion). Lebih lanjut mengenai lintasan dan pergerakan planet dijelaskan oleh Johannes Kepler (15711630). Setelah dengan teliti mengamati lintasan Mars. Kepler pada tahun 1609 merumuskan Hukum I dan II Kepler. Dalam makalah ini, Anda akan mempelajari tentang elips, gaya gravitasi dengan lebih rinci, melalui hukum-hukum yang dinyatakan oleh Johannes Kepler dan Isaac Newton. B. RUMUSAN MASALAH 1. Apa pengertian Mekanika Benda Langit? 2. Apa itu Elips? 3.Bagaimanna Persamaan Umum Orbit Elips? 4. Bagaimana Revolusi Planet? 5. Bagaimana Gaya Pasang Surut Di Bumi? 6. Bagaimana Densitas Planet? 7. Bagaimana Kelajuan Sirkular Dan Kelajuan Lepas? 8. Bagaimana Transfer Orbit Dalam Mekanika Benda Langit? 9. Bagaimana Gerakan Planet? 10. Bagaiamana Klasifikasi Dan Konfigurasi Planet?
1
C.TUJUAN PENULISAN 1. Untuk mengetahui pengertian Mekanika Benda Langit 2. Untuk mengetahui itu Elips 3. Untuk mengetahui Persamaan Umum Orbit Elips 4. Untuk mengetahui Revolusi Planet 5. Untuk mengetahui Gaya Pasang Surut Di Bumi 6. Untuk mengetahui Densitas Planet 7. Untuk mengetahui Kelajuan Sirkular Dan Kelajuan Lepas 8. Untuk mengetahui Transfer Orbit Dalam Mekanika Benda Langit 9. Untuk mengetahui Gerakan Planet 10. Untuk mengetahui Klasifikasi Dan Konfigurasi Planet
2
C.TUJUAN PENULISAN 1. Untuk mengetahui pengertian Mekanika Benda Langit 2. Untuk mengetahui itu Elips 3. Untuk mengetahui Persamaan Umum Orbit Elips 4. Untuk mengetahui Revolusi Planet 5. Untuk mengetahui Gaya Pasang Surut Di Bumi 6. Untuk mengetahui Densitas Planet 7. Untuk mengetahui Kelajuan Sirkular Dan Kelajuan Lepas 8. Untuk mengetahui Transfer Orbit Dalam Mekanika Benda Langit 9. Untuk mengetahui Gerakan Planet 10. Untuk mengetahui Klasifikasi Dan Konfigurasi Planet
2
BAB II PEMBAHASAN A. MEKANIKA BENDA LANGIT
Mekanika Benda Langit adalah ilmu yang mempelajari tentang gerak dan lintasan benda langit, misalnya pergerakan planet, satelit (alamiah maupun buatan), asteroid, komet, bintang dan galaksi. Mekanika Benda Langit berkembang pesat setelah setelah Newton menunjukkan bahwa kaedah hukum Kepler yang dahulu diturunkan diturunkan dari pengamatan dapat dijelaskan dengan hukum gravitasi itulah sebabnya kenapa ilmu ini disebut juga Mekanika Newton. posisi benda langit pada saat yang akan datang dapat diprediksi, namun untuk benda yang bergerak cepat Mekanika Newton tidak dapat memberikan jawaban yang memuaskan. Saat ini Mekanika Benda Langit merupakan pengetahuan dasar dalam merancang perjalanan wahana ke angkasa luar.
B. PENGENALAN ELIPS Elips adalah bangun datar yang mempunyai dua titik fokus (dengan jarak kedua titik fokus adalah tetap) yang mana jumlah jarak setiap titik yang terletak pada keliling elips terhadap kedua fokusnya fokusnya adalah sama.
Gambar 2.1 Elips Perhatikan elips di atas. Panjang f1 Panjang f1-A-A- f2 f2 = f1-B f1-B- f2 f2 = f1-C f1-C- f2 f2 = f1-D f1-D- f2 f2 = DE = l Demikian seterusnya, hal ini berlaku pada setiap t itik yang terletak pada garis keliling. Besaran-besaran dalam elips adalah:
3
apfokus (Q) (f1-D atau f2-E)
perifokus (q) (f1-E atau f2-D)
eksentrisitas (e) (kepepatan elips, yaitu jarak fokus per sumbu semi mayor)
elipstisitas (E) (kepepatan elips, yaitu sumbu minor per sumbu mayor)
sumbu mayor (l) (DE)
sumbu semi mayor (a) (PE atau PD)
sumbu minor (AF)
sumbu semi minor (b) (PA atau PF)
radius sejajar sumbu minor (f2-C)
jarak fokus (c) (f1-P atau f2-P)
parameter kerucut (p) (C-f2)
RUMUS UMUM KOMPONEN ORBIT
1) sumbu semi mayor (a) Sumbu semi mayor adalah setengah sumbu mayor (sumbu panjang), dan dapat dianggap jarak rata-rata sebuah titik yang mengelilingi elips. a
Qq 2
2) sumbu semi minor (b) Sumbu semi minor adalah setengah dari sumbu pendek. b
2
a
2
c
2
perhatikan gambar segitiga di halaman belakang.
2
Q q Q q b 2 2
2
2
b2
1 4
Q
2
2Qq q 2
1 4
Q
2
2Qq q
2
b2 Q q
b
Qq
3) apfokus (Q) Apfokus adalah jarak terjauh dari fokus ke suatu titik pada elips. Q l q Q 2c q Q
ac
4
4) perifokus (q) Perifokus adalah jarak terdekat dari fokus ke suatu titik pada elips. q
l r a
q
a
c
5) panjang fokus/jarak fokus ( c ) Jarak fokus adalah jarak fokus dari pusat elips. Perhatikan gambar elips di depan, perhatikan bahwa panjang P- f 2 (c) sama dengan setengah dari E- f 2 dikurangi D- f 2. c
Qq 2
Atau
c=ea
6) eksentrisitas (e) Eksentrisitas adalah perbandingan nilai panjang fokus dan sumbu semi mayor. e
c a
Q q / 2 Q q Q q / 2 Q q
7) elipstisitas (E ) Elipstisitas adalah parameter yang sama dengan eksentrisitas, yaitu menunjukkan nilai kepepatan suatu elips. Nilai elipstisitas sendiri adalah perbandingan panjang sumbu semi minor dan panjang sumbu semi mayor. E
b a
2
Qq
Qq
Elipstisitas sangat berguna untuk menentukan nilai eksentrisitas dengan cepat, sehingga Anda dapat menurunkan rumus-rumus lainnya, misal apfokus dan perifokus. Anda akan sangat mudah membayangkan elips dengan elipstisitas 0,333, yaitu panjangnya tiga kali lebarnya. Tetapi bagaimana anda membayangkan elips dengan eksentrisitas 0,943?
5
Perhatikan gambar segitiga f 2-P-A berikut A
b
a θ
P
c
f 2
Telah diketahui panjang f 1-A- f 2 = l . Perhatikan pula panjang f 1-A = A- f 2. Dengan demikian panjang : A- f 2
1
=
l =a
2
AP
=b
P- f 2
=c
Perhatikan bahwa : c e
cos
sedangkan
E
a
Maka :
e
E
2
atau
E
cos sin
sin cos
1
e
1
1
b
a
sin
E
e
2
Sehingga didapatkan hubungan 2
b 1 e a
2
1
b
a(1
e
2
)2
6
8) radius orbit Karena bentuk lintasan orbit benda langit adalah elips, berarti jarak benda langit itu ke fokusnya berubah-ubah tergantung dari sudut orbitnya. Radius orbit ini dapat dicari dengan rumus r
a 1 e
2
1 e cos( )
Nilai
a
(1 e 2 ) ini disebut parameter kerucut ( p), sedangkan nilai
θ – ω disebut
anomali benar (v). Besar sudut θ adalah besar sudut dari benda langit ke bidang langit berlawanan jarum jam, sedangkan sudut ω (bujur perifokus) diukur dari perifokus ke bidang langit tersebut berlawanan arah jarum jam. Sehingga anomali benar ( v) adalah besar sudut antara perifokus dan benda langit. Misalnya jika matahari berada di f 2 dan Bumi berada di C, maka anomali benarnya (v) adalah 270°. Nilai e dan p menentukan bentuk dan jenis irisan kerucut. Eksentrisitas menunjukkan jenis irisan kerucut, yaitu dengan ketentuan berikut: 1) Jika e=0, maka r a = r p sehingga orbit berbentuk lingkaran. 2) Jika e berada diantara 0 dan 1 (0 p dan r a>0 sehingga orbit membentuk elips. 3)
Jika e=1, maka
r p
p
2
dan
r
a
. Bentuk lintasan ini dikenal sebagai
parabola. 4) Jika e>1 maka r p< p dan r a<0 (fokus terletak di belakang bukaan orbit), lintasan seperti ini disebut hiperbola. Parameter kerucut bernilai dengan p
h2
p
a (1
e
2
),
, dimana GM dan h adalah konstanta kecepatan luas h
vp .
Adapun
r a
p
1 e
dan
r p
p
1 e
Fungsi deri total energi sistem persamaannya : e
1
2 Eh
2
2 m2
7
sehingga : 1. Energi total sistem E = 0, maka e = 1 (orbit parabola) 2. Energi total sistem E < 0, maka e < 1 (orbit elips) 3. Energi total sistem E > 0, maka e > 1 (orbit hiperbola) Hubungan antara sudut orbit ( θ atau ν) dapat dirumuskan sebagai: 1 2
r 2 d
1
2
c dt
Ruas kiri adalah luas segitiga yang disapu vektor radius (vektor yang menghubungkan kedua benda) dalam waktu dt . Untuk suatu selang waktu yang tetap, ruas kanan berharga tetap pula. Ini adalah Hukum Kepler kedua yang menyatakan bahwa luas daerah yang disapu vektor radius dalam selang waktu yang sama akan sama pula. Akibat hukum ini benda yang berada dekat perifokus akan bergerak cepat, sedangkan di sekitar apfokus kecepatannya rendah. Integrasi persamaan 4.14 untuk t dari 0 hingga P , dengan P sebagai kala edar orbit (selang waktu benda menempuh sekali keliling orbit), maka A
1
cP
2
dimana
c
vp
dengan A sebagai luas elips A
a b 1
b
karena
a(1
e
2
1
2
) , maka
A
a
2
(1
e
2
)2
1
Jadi,
cP
Karena c 2
a(1
P 2
2 a (1
e
2
)2
p , sedangkan G( M m) , maka 1
1
e
a(1 e
a3
2
2
2
) G( M m)
) G( M m)
2
P
4 2
2
2
2 a (1 e ) 2 a
4
(1 e 2 ) 2
P
G ( M m) 4 2
8
Telah diketahui bahwa dalam selang waktu yang sama, vektor radius akan menempuh luas yang sama, maka dapat ditentukan luas daerah yang disapu oleh vektor radius dalam selang waktu t adalah t
L j
A P
dengan L j adalah luas sapuan vektor radius, A adalah luas elips (orbit) dan P adalah periode. Sedangkan waktu tempuh dalam dua kedudukan (dari v1 ke v2) GM dapat ditentukan, karena t dan v 2 , maka r
GM
2
3
r
dimana radius dalam sudut orbit rata rata
r
v
=
r
v1
r v 2
2
, maka
3
t
r v
2 1
(GM ) 2
v v dalam radian, 2
Dimana
2
1
dalam meter, M (massa pusat) dalam kg r
v
dan t dalam detik. Adapun luas daerah yang disapu tiap satuan waktu sesuai dengan Hukum Keppler II yaitu : A'
t
A
P
C. PERSAMAAN UMUM ORBIT ELIPS
Persamaan umum orbit elips ini digunakan untuk menyatakan struktur dan dinamika sebuah orbit polar agar dapat dengan mudah digambarkan. Pada materi ini hanya akan dibahas persamaan umum orbit tunggal, yaitu orbit elips yang pusatnya terletak di titik (0,0) dan sumbu mayor berimpit dengan sumbu X. 2
2
2
r x Tentunya Anda masih ingat persamaan kuadrat lingkaran yaitu y , persamaan elips memiliki bentuk yang lebih umum (lingkaran adalah elips dengan eksentrisitas = 0).
9
Bentuk persamaan umum orbit elips horizontal adalah x 2 a2
y 2 b2
1
Sedangkan untuk elips vertikal x 2 b2
y 2 a2
1
Jika kita hanya menggunakan elips horizontal, persamaan dapat ditulis menjadi lebih sederhana menjadi y
2
b2 y
2
1
b
2
x
2
a2 b 2 x 2
a2
Didapatkan y 2
b2
E 2 x 2
dengan b adalah panjang sumbu semi minor dan E adalah elipstisitas. Untuk orbit yang berpusat di titik P(a,b) dapat dituliskan komponen orbit (y – b )2 = b2 – E2 (x – a)2 a
b
E atau dapat juga dicari dari nilai x pembuat Panjang sumbu semi mayor = nol (x0). Jika elips tidak berpusat di titik (0,0) maka panjang sumbu semi mayor
x01 x02
adalah
2
.
Panjang sumbu semi minor sudah jelas merupakan c Panjang fokus =
b2 E 2
b
2
.
b2 .
Titik fokus, dituliskan dalam koordinat ( x, y ) . Jika elips horizontal yang berpusat di titik (a,b) maka titik fokusnya (a c, b) atau jika elips vertikal (a,b c) .
10
Apfokus, perifokus dan eksentrisitas dapat dicari dari rumus umum komponen orbit yang telah disajikan sebelumnya. CONTOH: Diketahui sebuah orbit asteroid skaga-247 yang mengelilingi Matahari memenuhi y
2
16
1
persamaan
2
x
2
, dengan x, y dalam satuan AU. Tentukanlah:
panjang sumbu semi mayor (a) panjang sumbu semi minor (b) jarak fokus (c) aphelium dan perihelium (Q dan q) eksentrisitas orbit (e) jarak asteroid dari Matahari jika berada pada v = 210° periode orbit luas daerah yang disapu dalam selang 1 tahun Penyelesaian: 1
Kita tentukan terlebih dahulu komponennya, yaitu b = a
b
a. b.
b
c c. d.
4
E
b2 2
E
4
b2
4
dan E2 =
2
.
5,657
0,5
16
16
AU AU
16 0,5
16
4
AU
Q=a+c Q = 5,657 + 4 = 9,657 AU q = a – c q = 5,657 – 4 = 1,657 AU
11
E 2 e.
2
e
r
(perhatikan bahwa sin 45° = cos 45°)
a 1 e2
1 e cos v
f.
r
0,707
r
0,707
1 0,707 2
2
E= e
g.
1
5,657 (1 0,707 2 ) 1 0,707 cos(210) 7,2974
AU
karena pusat massa adalah Matahari, maka 2
P
a
3 3
P
P
5,657 2 13,455
tahun 1
h.
A
2
a (1
e
2
)2 1
A A
2
2
(5,657) (1 0,707 ) 2
70,08 AU2
sehingga : L j
L j L j
t
A P 1 13,455 5,2085
70,08
AU2
12
D. REVOLUSI PLANET HUKUM I KEPPLER
Hukum I Keppler menyatakan bahwa planet-planet beredar dalam lintasan berbentuk elips dengan Matahari berada pada salah satu titik fokusnya.
Gambar 2.2 Diagram Orbit Elips dengan r’ + r = 2a a
Qq 2
jarak sumbu semi mayor = c
aphelium-perihelium =
Q
q
2
Untuk orbit berbentuk elips, nilai eksentrisitasnya (e) adalah: e
c a
Qq Qq
Untuk penurunan rumus lebih lanjut dalam Hukum I Keppler dan periode sinodis, sebaiknya Anda memahami pengubahan bentuk-bentuk suku berikut ini:
13
1.
5. y
x y
x
y
x
x
y
x
y
x
y
x
1
x
x
x x
x
y
x
y
x
y
2 x
1
y
x
6. x
x y
y
x y
y
x
x
y
y
y
1
x
y
x
y
x
y
2 y
1
y
7. y
y
x y x
x
y
x
y
x
x
x
x x
y
x
1
x
x
2 x
y
( x y ) 2 x
x
y
2 x
1
x
4.
y
y
x y
y
y
8. x
x
y
y
x
3.
( x y ) 2 y x
y
2 y
y
x
x y
x
y
y
x
2 x
( x y ) 2 x x
2.
y
y
x y
y
x y 1
y x y
x
y
x
x
y
x
y
y
x
y
y
2 y
x 1
y
y
2 y x
y
14
a
Qq
2
Karena e
Qq
2Q
a
a
Qq
e 1
Qq
e 1 Q
e 1
Qq
e
Qq
e 1
r
, maka :
Q q
2
e 1 q
Q
e
a
2q Qq
Q q
1
2
q
a
r p
(1 e)
a (1 e)
Jadi, jika diketahui eksentrisitas : =
a c
maka : aphelium
perihelium =
a c
maka : perihelium = a (1 - e)
aphelium
= a (1 + e)
Berdasarkan gambar, dapat kita peroleh bahwa jarak planet dari bintang berubah tergantung sudutnya. Jarak planet dari bintangnya dapat ditentukan dengan rumus cosinus. Dari definisi elips dan gambar 2.1 kita peroleh r ' r
r '
2
(2a r ) 2
2a
4a 2
4ar
r 2
Dengan menggunakan rumus kosinus pada segitiga FPF’, diperoleh ' 2 r 2
r
Mengingat 4a
2
r '
4a
4a
2
4a
2
2
2
4a
2
4ar r
4 ar
(2ae) 2
4ar r
2
4a
2
e
2
4aer cos(180 v) (4.35)
dan cos(180
2
= =
r
2
(2ae) 2
v
)
cos v , maka
4aer cos v
4aer cos v
e 2 = 4ar 4aer cos v
15
4a(a ae 2 ) (a
ae
2
= 4ar (1 e cos v)
) = r (1 e cos v) a
r
(1 e 2 )
= (1 e cos v)
HUKUM II KEPPLER
Gambar 2.3 Luas sapuan vektor radius terhadap waktu Gambar di atas melukiskan Hukum II Kepler. Hukum II Kepler ini dapat juga diartikan bahwa benda yang mengorbit akan bergerak lebih cepat pada saat posisinya lebih dekat dengan pusat orbit. Sebenarnya hukum luas ini identik dengan hukum kekekalan momentum sudut, dimana L = mvr. Anggap A adalah luas yang disapu oleh garis penghubung pusat orbit dengan benda yang t .
Secara pendekatan luas ini adalah sama
r
. Dengan membagi luas segitiga ini dengan
mengorbit selama selang waktu dengan luas segitiga dengan alas t kita A t
akan memperoleh laju sapuan.
1 (r )r 2
t
Dengan mengambil limit lim
t 0
A t
dA dt =
lim t 0
t 0 ,
1 r 2 t
1 2
kita peroleh
r 2
16
Dengan menggunakan rumus momentum sudut peroleh A t
L
mv r
2
m r
kita akan
L
2m
Karena pada lintasan planet ini momentum sudut kekal (tidak ada torka bekerja) A
maka t juga konstan yang berarti bahwa dalam kurun waktu yang sama garis penghubung benda yang mengorbit dengan pusat orbit akan menyapu luasan yang sama. Hukum Keppler II merumuskan 2
r
h
Dengan h adalah konstanta kecepatan luas. Nilai h untuk tiap sistem (orbit) akan tetap, yang nilainya: h
A
T
Dari persamaan 4.40 didapatkan v
h
r
Kecepatan saat di perihelium dan aphelium adalah v p
va
h a (1 e) , dan h a(1 e)
Sehingga: v p
va
1 e 1 e
Persamaan energi dinyatakan dengan E k
E p
C
17
1
v
2
r
2
C
Sehingga pada perihelium 1 2
v p 2
C
a (1 e)
dan pada aphelium 1 2
va
2
a(1 e)
C
Berdasarkan persamaan-persamaan di atas didapatkan v p
v
2
1 e a
2 a
1 e
1 e a
1 e
Dengan demikian kecepatan sirkular suatu massa dengan jarak r pada orbit elips dapat dirumuskan
2 1 r a
v r 2
Bila persamaan di atas dikalikan dengan ½ m, maka kembali didapatkan persamaan energi 1 2
1 2
mvr
mvr
2
2
GMm 2 2
GMm
Ε κ Ε P
1 r a
r
GMm 2a
konstan
18
HUKUM III KEPPLER
Untuk pembuktian hukum ke-3 ini yang termudah adalah menganggap lintasan planet berupa lingkaran. Pada lintasan lingkaran ini benda mengalami gaya sentripetal sebesar F = -GMm/r2, di mana M adalah massa pusat benda di orbit (Matahari), m adalah massa benda yang mengorbit (planet) dan r merupakan jarak kedua benda tersebut. Kita telah ketahui rumus untuk percepatan gravitasi pada sebuah benda (planet a
m
maupun bintang) memenuhi persamaan gravitasi Newton dimana maka: == 2
v m
F
ma
=
m
=
r
2
r
F
,
2
2
r
2
m r
=
2 m T
=
2
r
2
4 r m T
=
2
atau :
2
r
2
2
4 r m
GMm
T
2
T
T 2
Sehingga didapatkan perbandingan : konstanta.
GM
dan diperoleh rumus r 3
3
4 r
2
k ;
dimana k adalah suatu
Pada sistem Matahari dan benda-benda yang mengitarinya dapat digunakan rumus: 3
r
T
2
19
dengan r dalam AU dan T dalam tahun. Sedangkan untuk sistem ekstrasolar dengan bintang bermassa M kali massa Matahari memiliki hubungan : MT
2
3
r
KECEPATAN ORBIT Radius orbit, misalnya dalam sistem Bumi dan satelitnya dapat dicari dengan rumus: 2
T
GM 2
2 4
3
4 r
2
2
2
1
2
4
T
2
Dengan 2
3
4 r
GM 2
r 3
g
GM
dimana
GM R
2
gR
2
GM
3
r 3
1r
gR 2 gR 2
Dimana
2
r
= jarak Bumi-satelit (planet-satelit)
ω
= kecepatan sudut satelit
R
= radius Bumi
g
= percepatan gravitasi Bumi di permukaan
T
= periode orbit satelit
Rumus kecepatan gerak sebuah benda dalam lintasan elips dengan setengah sumbu panjang a, dan pada jarak R dari M adalah
2 1 r a
v 2 GM
20
Dengan penyederhanaan untuk orbit hampir bulat menjadi T 2
4
2
GM
4 2 r 2 v
v2
2
4 r 2 r GM v
r 3
2
4 2 r 3
GM
2
1 v
2
3
r
GM
GM r
v
a
Atau CONTOH
1. Suatu satelit mengorbit Bumi dengan jarak 4,2 x 104 km. Tentukan kecepatan linier dan periode satelit! Penyelesaian : Diketahui r = 4,2 x 107 m , massa Bumi = 6 x 1024 kg
v
GM
T
r
(6,67 10
11
24
)(6 10 ) 7
(4,2 10 ) 9,53 10 6 3.086,84 m / s
2 r v
2 (4,2 10 7 ) 3.086,84
85.489,95 s
23,747 jam
2. Jika diketahui periode revolusi Bumi 365,25 dan jarak Bumi-Matahari 1 SA. Tentukan massa Matahari! Penyelesaian: 2
GM
3
4 r
T 2
21
M
M
4 2 (1,496 1011 ) 3 (365,25 24 60 60) 2 (6,67 10 11 )
30
1,99 10 kg
3. Diketahui jarak Bumi-Bulan 3,844.108 m , periode sideris bulan 2,3605.106 sekon, dan massa Bumi 5,976.1024 kg. Perkirakanlah massa Bulan berdasarkan data yang telah diberikan! Penyelesaian: ( M m)
4 2 r 3
GT 2 4 2 (3,844.10 8 ) 3
M m
M m
6,035.10 24 kg
m
6,035.10 24 kg 5,976.10 24 kg
m
5,9.10 22 kg
(6,67.10
11
)(2,3605.10 6 ) 2
Massa Bulan menurut perhitungan modern adalah sebesar 7,349.1022 kg. Perbedaan ini terjadi karena pada kenyataannya interaksi Bumi-Bulan juga dipengaruhi oleh Matahari.
22
E. GAYA PASANG SURUT DI BUMI
MB F p PB Fsf
R B
X
r 1 MBL
r
PBL
BUMI
Fg
BULAN Gambar 2.4 Diagram Gaya Pasang M BL = massa Bulan m B
= massa Bumi
r
= jarak Bulan-Bumi
R B
= jari-jari Bumi
r 1
= r-R B
= garis gaya
Perhatikan gambar diatas Dalam sistem, terdapat dua gaya yang bekerja, yaitu gaya sentrifugal (Fsf) dan gaya gravitasi (Fg). Bulan bergerak mengelilingi Bumi dengan jarak r. Dapat dianggap Bumi secara semu bergerak mengelilingi Bulan. Maka gaya pasang yang didapatkan oleh suatu tempat di permukaan Bumi (misalnya di X) adalah selisih dari Fsf dan Fg.
23
Karena pusat massa dianggap adalah PBL (pusat Bulan), gaya sentrifugal yang F ma bekerja pada X adalah sf . F g
Sedangkan gaya gravitasi Bulan yang sampai pada X adalah
GM BL m B
r
R B
2
.
Besar gaya pasang (Fp) adalah F p
F g
F sf
GM BL m B
(r R B ) 2
(4.57)
GM BL m B
( r ) 2
GM BL m B (r R B ) 2 2 2 R (r R B )
GM BL m B ( r )
2
GM BL m B (( r ) 2
r
2
(r R B ) 2 )
(r R B ) 2
1 1 GM BL m B 2 2 (r ) (r R B )
GM BL m B 2
r
GM BL m B 2
r
r 2 1 2 r R ( ) B r 2 1 r R B
Jadi gaya pasang yang dirasakan di titik X adalah sebesar:
F
2 G Mm B RB r 3
Dengan M , r , dan R B masing-masing adalah massa Bulan (Matahari), jarak Bumi-Bulan (Bumi-Matahari), dan jejari Bumi.
24
CONTOH: Tentukanlah gaya pasang maksimum yang dirasakan oleh sebuah lokasi di permukaan Bumi serta perbandingan gaya pasang akibat Matahari dibandingkan gaya pasang akibat Bulan! (diketahui massa Bulan 7,349.1022 kg, massa Matahari 1,99.1030 kg, massa Bumi 5,976.1024 kg) Penyelesaian: Gaya pasang maksimum adalah pada saat Matahari-Bumi-Bulan berada pada satu garis lurus, dengan demikian F =FBL+FM. - Gaya interaksi Bumi-Bulan F BL
2GM BL m B R B
r BL
3
2(6,67.10
F BL
F BL
11
)(7,349.10 22 )(5,976.10 24 )(6,4.10 6 ) (3,844.10 8 ) 3
6,622.1018
N
- Gaya interaksi Bumi Matahari F M
2GM M m B R B
r M
3
2(6,67.10
F M
F M
11
)(1,99.10 30 )(5,976.10 24 )(6,4.10 6 ) 11 3
(1,496.10 ) 3,0325.1018
N
F =FBL+FM = 6,622.1018 + 3,0825.1018 = 9,2545.1018 N
3,0325.1018 18 6 , 622 . 10 Perbandingan FM dan FBL =
0,458
Jadi gaya pasang akibat Matahari hanya sekitar setengah kali gaya pasang akibat Bulan.
25
F. DENSITAS PLANET
Densitas (rapat massa) suatu planet dapat dinyatakan dengan rumus :
4 2 r 3 T
GM
2
4 2 ( R h) 3 T
2
Massa planet, M, berkaitan dengan massa jenis, ρ, dan volum planet ( V M
V
;
4 3
R
4
R
3
3
)
3
2 3 4 3 4 ( R h) G R 2 T 3
4 2 ( R h) 3 3 GT
3
GT
2
3
GT
2
2
4 R 3
R h R h 1 R
3
3
dengan h adalah ketinggian satelit dari permukaan, T adalah periode orbit satelit dan R adalah jari-jari planet. Dengan demikian rapat massa suatu planet dapat dihitung berdasarkan satelitnya. G. KELAJUAN SIRKULAR DAN KELAJUAN LEPAS
Kelajuan sirkular adalah kelajuan yang dimiliki benda yang sedang mengorbit. Rumus kelajuan sirkular adalah vc
GM r
gr
Kelajuan sirkular untuk benda – benda di Bumi yaitu : vc
gr
vc
(9,8 ms 2 )(6,4 10 6 m)
vc
8 10 3 ms 1
26
Kelajuan lepas adalah kelajuan minimum yang diperlukan suatu benda untuk melepaskan diri dari pengaruh gravitasi benda lain (misalnya Bumi), yang memenuhi persamaan E k
1 2
E g
mv 2
GMm r
2GM
ve
r
2 gr
Kelajuan lepas benda di permukaan Bumi adalah v
e
v
e
2
v
2
8 10
ve
ve
c
3
11.313,71 m/s 11,314 km/s
Jadi, agar bisa lepas dari pengaruh gravitasi Bumi, suatu benda harus memiliki kecepatan 11,314 km/s.
SATELIT GEOSTASIONER Satelit geosinkron adalah satelit yang kedudukannya terhadap suatu titik di permukaan Bumi relatif tetap sedangkan satelit geostasioner adalah satelit geosinkron yang mengorbit sepanjang ekuator Bumi. Ini terjadi karena periode orbit satelit sama dengan periode rotasi Bumi, yaitu 23h 56m. Agar dapat menjadi satelit geostasioner, satelit harus diletakkan pada jarak: 1
a 2 2 3
T
1
a 2 8,616 10 4 s
2
3
27
Nilai
14 2 -1 untuk Bumi adalah 3,983 10 N m kg , sehingga didapatkan
a 4,22 10 7 m H. TRANSFER ORBIT
Untuk mengamati suatu objek langit di Tata Surya sering dibutuhkan pengamatan dalam jarak dekat. Untuk itu berbegai kendaraan luar angkasa diluncurkan ke Bulan maupun berbagai planet untuk melakukan penelitian jarak dekat. Untuk itu diperlukan suatu penransferan kendaraan luar angkasa itu dari Bumi ke planet tujuan. Transfer Hohmann adalah transfer dari dua orbit yang saling sejajar (co-planar) dengan tempo setengah periode.
Gambar 2.5
Transfer Hohmann.
Misal suatu satelit P yang ditransfer dari orbitnya dari planet A menuju planet B, yang merupakan planet dari bintang S. Sehingga untuk transfer Hohmann APB, orbit P berlaku: AB 2a
a
a A
a B
(4.64)
a A a B 2
28
Dengan a adalah sumbu semi-mayor satelit, aA sumbu semimayor planet A dan aB sumbu semi-mayor planet B. Adapun pada orbit satelit P diketahui perihelium:
SA a A
a(1 e)
aphelium:
SB a B
a(1 e)
sehingga e
a B
a A
a B
a A
Periode satelit dapat dicari dengan rumus Keppler III 2
T
4 a
2
3
1
Sehingga waktu transfer yang merupakan
2
T
adalah
1
T
2
a 2 3
Dengan menggunakan persamaan 4.65
(a A a B ) 8GM
1
3
2
Jika menggunakan satuan tahun untuk waktu, AU untuk jarak dan massa Matahari untuk massa, maka nilai GM untuk Matahari adalah
(a a B ) A 32
4
2
, sehingga:
1
3
2
Adapun tambahan kecepatan dari v A ke v B . Untuk v A perhatikan bahwa perubahan kecepatan terjadi dari kecepatan sirkuler planet A ke kecepatan s irkuler satelit P di periheliumnya. V A V P V cA
29
Dari persamaan di atas: 1
1
1 e 2 2 V a e 1 a A
A
1
V A
1 2 (1 e) 2 1 a A
Dengan persamaan sebelumnya didapatkan:
V A
a A
1 2
2a B 1 a A a B 1
2
Dengan cara yang sama didapatkan
V B
a A
1 2
2a A 1 a A a B
1 2
V B V cB V A
, sehingga
Jadi untuk transfer Hohmann dari Bumi ke planet lain berlaku perihelium aphelium
a Bumi
a plan et
sehingga e
a plan et a Bumi a plan et a Bumi
Adapun kecepatan sebagai fungsi eksentrisitas dirumuskan: V 2 V cA
2
1 e 2 V
Atau
1 e 2
V cA
30
Sedangkan kecepatan lepas untuk Bumi ( 11.3 km/detik Planet
V cBumi
) pada persamaan diatas adalah
Waktu transfer Waktu tunggu (tahun) t W minimum (tahun) 0,289 0,183 0,400 1,278 0,709 1,242 2,731 0,588 6,048 0,936 16,040 0,932 30,620 0,766 45,470 0,061
Merkurius Venus Mars Jupiter Saturnus Uranus Neptunus Pluto
Tabel 2.1
Total
misi Eksentrisitas orbit t M 2 t W transfer e (tahun) 0,76 2,08 2,66 6,05 13,03 33,01 62,01 91,00
0,44 0,16 0,21 0,68 0,81 0,91 0,94 0,95
waktu transfer dan eksentrisitas orbit transfer.
I. GERAKAN PLANET
Gerakan-gerakan planet yaitu: 1.
Rotasi Rotasi adalah gerakan benda langit berputar pada porosnya sendiri.
2.
Revolusi
Revolusi adalah gerakan benda langit berputar mengelilingi massa yang lebih besar yang mempengaruhinya. 3.
Presesi
Gamba 2.6 Presesi Sumbu Bumi
31
Peristiwa perubahan kedudukan sumbu suatu planet. Sumbu rotasi Bumi bergerak mengelilingi kutub ekliptika dengan inklinasi sekitar 23,5°. Peristiwa ini terjadi akibat pengaruh gravitasi Matahari pada bumi yang tidak berbentuk sferis, sehingga Bumi melakukan presesi agar porosnya tidak ‘tergelincir’ jatuh. Periode presesi Bumi adalah 25 759 tahun. Arah putaran presesi ini sama dengan arah rotasi Bumi, yaitu direct. Karena gerak semu tahunan benda langit (termasuk titik Aries) dari timur ke barat (retrograde), maka periode titik Aries kembali ke titik Aries kurang dari 360°.
4.
Nutasi
Peristiwa perubahan kedudukan sumbu Bumi akibat gravitasi Bulan, periode 18
nutasi sekitar
2 3
tahun. Nutasi mengakibatkan sumbu rotasi Bumi bergerak bergelombang. Amplitudo gelombang ini sekitar 9" ,2 .
Gambar 2.7 Presesi dan Nutasi
5.
Regresi (presesi orbit)
Peristiwa perubahan arah bidang orbit, yaitu berputarnya kedudukan titik perihelium.
32
Tabel 2.2 Data Fisis Planet-Planet
33
keterangan : a
= panjang sumbu semi mayor
E pantul E terima
albedo = persentase energi Matahari yang direfleksikan *
tiap
= rotasi rata-rata Matahari, karena Matahari berbentuk gas, lama rotasi di . cvclintang berbeda.
**
= arah rotasi retrograde (searah jarum jam)
pada Bulan, nilai a, P dan e, diukur menurut Bumi. Sedangkan posisi orbit planet diberikan dalam tabel 2.3 Nama
inklinasi ekuator ( )
pemepatan
inklinasi orbit
eksentrisitas
e
i ()
Merkurius
0.0
0
7,00
0,206
Venus
177,3
0
3,39
0,0068
Bumi
23,44
0,003353
0,00
0,0167
Mars
25,19
0,005786
1,85
0,093
Jupiter
3,12
0,06481
1,31
0,048
Saturnus
26,73
0,10762
2,49
0,054
Uranus
97,9
0,030
0,77
0,046
Neptunus
26,6
0,2259
1,77
0,010
Pluto
118
?
17,44
0,246
Tabel 2.3
Tabel data orbit planet-planet.
34
J. KLASIFIKASI DAN KONFIGURASI PLANET
Planet dapat dibagi berdasarkan tiga kategori, yaitu: 1. Menurut kedudukannya terhadap Bumi, yaitu planet inferior yang mengorbit di sebelah dalam orbit Bumi dan planet superior yang mengorbit di sebelah luar orbit Bumi. 2. Menurut kedudukannya terhadap sabuk asteroid, yaitu planet dalam (inner planet) yang mengorbit di sebelah dalam sabuk asteroid dan planet luar (outer planet) yang mengorbit di sebelah luar sabuk asteroid. 3. Menurut komposisi dasarnya, yaitu planet jovian yang tersusun dari gas dan berukuran raksasa (mayor) seperti Jupiter, Saturnus, Uranus, dan Neptunus, dan planet kebumian (terresrtial) yang tersusun dari mineral padat seperti Merkurius, Venus, Bumi, dan Mars. Konfigurasi planet merupakan posisi/fase planet dilahat dari Bumi terhadap Matahari. Fase planet diukur berdasarkan sudut elongasi, yaitu sudut yang dibentuk antara garis hubung Bumi – planet dengan garis hubung Bumi – Matahari. Sudut elongasi dapat diukur sebesar 0° – 360° dari garis hubung Bumi – Matahari, namun lebih sering diukur 0° – 180° disertai arahnya, barat atau timur. Posisi planet saat membentuk sudut 180° disebut oposisi, yakni posisi planet berseberangan dengan letak Matahari, sedangkan posisi planet saat membentuk sudut 0° disebut konjungsi. Planet dalam tentunya tidak dapat beroposisi, namun dapat berkonjungsi pada dua posisi, yaitu saat berada di belakang Matahari, disebut konjungsi atas, maupun saat berada diantara Bumi dan Matahari, disebut konjungsi bawah.
Gambar 2.8
Konfigurasi planet.
35
Gambar 4.8
Konfigurai beberapa planet dilihat dari Bumi: V1
= Venus sedang konjungsi bawah
Me1 = Merkurius sedang konjungsi atas V2
= Venus sedang elongasi barat 48° yang merupakan elongasi terbesar Venus.
Me2 = Merkurius sedang elongasi timur 28° yang merupakan elongasi terbesar Merkurius. Ma1 = Mars sedang elongasi barat 60°. Ma2 = Mars sedang oposisi (elongasi 180°). (Sumber : IPBA) Sudut elongasi maksimal untuk planet dalam dapat dihitung dengan metode trigonometri, dengan jarak Bumi – Matahari sebagai sisi miring dan planet – Matahari sebagai sisi hadapan, sehingga sudut elongasi, θ dapat ditentukan.
36
BAB III PENUTUP A. KESIMPULAN
Mekanika Benda Langit adalah ilmu yang mempelajari tentang gerak dan lintasan benda langit, misalnya pergerakan planet, satelit (alamiah maupun buatan), asteroid, komet, bintang dan galaksi. Elips adalah bangun datar yang mempunyai dua titik fokus (dengan jarak kedua titik fokus adalah tetap) yang mana jumlah jarak setiap titik yang terletak pada keliling elips terhadap kedua fokusnya adalah sama. Analisis lengkap Kepler tentang gerak planet diringkas dalam tiga pernyataan yang dikenal sebagai hukum Kepler: 1. Semua planet bergerak dalam orbit elips dengan matahari pada satu fokus. 2. Jari-jari vektor ditarik dari Matahari ke planet menyapu daerah yang sama dalam interval waktu yang sama. 3. Kuadrat dari periode orbit planet manapun sebanding dengan pangkat tiga sumbu semimajor orbit elips. Menurut Newton, gaya gravitasi antara dua benda merupakan gaya tarikmenarik yang berbanding lurus dengan massa setiap benda dan berbanding terbalik dengan kuadrat jarak antara benda tersebut.
B. SARAN Setelah membaca makalah ini, diharapkan sudah mengerti apa yang di maksud dengan mekanika benda langit. Telah paham tentang bagaimana pergerakan planet sesuai dengan hokum Kepler dan bagaimana menentukan gravitasi bumi. Dan juga megetahui bagaimana pergerakan Bumi-Bulan-Matahari.
37