1
ALJABAR 1 NOTASI SIGMA, BARISAN DAN DERET ARITMATIKA, BARISAN DAN DERET GEOMETRI , SERTA INDUKSI MATEMATIKA
Dosen Pengasuh : Dr. Nila kesumawati,M.Si Disusun oleh : Kelompok 5: 1. 2. 3. 4. 5. 6.
Tety Oktaria Ike Nurjana Eko Periadi Bokli Andika Yuspita Arsi Diana
(2012 121 160) (2012 121 153) (2012 121 155) (2012 121 180) (2012 121 169) (2012 121 168)
PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS PENDIDIKAN MIPA UNIVERSITAS PGRI PALEMBANG TAHUN 2012
2
DAFTAR ISI
HALAMAN DAFTAR ISI.........................................................................................1 PETA KONSEP..................................................................................... 2 1.
NOTASI SIGMA......................................................................3
2.
BARISAN ARITMATIKA ......................................................7
3.
DERET ARITMATIKA ( DERET HITUNG )........................9
4.
BARISAN GEOMETRI ( BARISAN UKUR ).........................9
5.
DERET GEOMETRI................................................................11
6.
GEOMETRI TAK HINGGA.....................................................12
7.
INDUKSI MATEMATIKA.......................................................13
8.
SOAL- SOAL LATIHAN.........................................................14
DAFTAR PUSTAKA.............................................................................15
3
PETA KONSEP
4
NOTASI SIGMA , BARISAN DAN DERET, SERTA INDUKSI MATEMATIKA Jika suatu bola dijatuhkan dari ketinggian tertentu diatas lantai , bola tersebut akan memantul danbila dibiarkan kelamaan akan berhenti. Pemahaman yang baik mengenai barisan dan deret suatu bilangan sangat membantu kamu dalam menyelesaikan permasalahan – permasalahan yang seperti itu.
Notasi Sigma
1
Simbol dari notasi sigma adalah Ʃ (baca : sigma), yang merupakan huruf capital dari Yunani yang berasal dari huruf S dari kata “sum” yang berarti jumlah. Menuliskan penjumlahan dari bilangan – bilangan yang memiliki keteraturan tertentu sehingga memungkinkannya ditulis dalam bentuk yang sederhana. Cara yang demikian disebut notasi sigma. Perhatikan jumlah bilangan – bilangan berikut: 2 + 6 + 12 + 20 + 30 + 42 Penulisan yang demikian tidak jelas dan tidak efektif. Penyajian dengan ditentukan polanya adalah sebagai berikut : 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 1 (1+1) + 2 (2 + 1) + 3(3 +1) + 4(4 +1) + 5(5 +1) + 6(6 +1) Maka diperoleh bentuk 2 + 6 + 12 + 20 + 30 + 42 =
∑
(
)
bentuk umum dari notasi sigma ∑ Dengan keterangan : Bentuk yang demikian cara membacanya “Jumlah untuk nilai i = 1 sampai i =n” Nilai “i = 1” disebut batas bawah penjumlahan Nilai n disebut batas atas penjumlahan Himpunan {1,2,3,4……,6...n} disebut daerah penjumlahan. 1.1
Sifat – sifat notasi sigma ∑ ∑
∑
5
)
∑(
∑
∑
1.1.4 Untuk P anggota bilangan bulat yang lebih besar dari 1 dan q adalah bilangan bulat yang lebih besar dari P. ∑
1.1.5
∑
∑
Jika 0 < a < b < c < d ∑
∑
∑
∑
∑
dan a,b,c,d,
∑
bilangan asli , maka :
∑
∑
∑
Contoh soal
1. Ubahlah barisan aritmatika berikut dalam bentuk sigma ! a. 3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 + 21 + 24 + 27 + 30 Penyelesaian : = 3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 + 21 + 24 + 27 + 30 = 3(1) + 3(2) + 3(3) + 3(4) + 3(5) + 3(6) + 3(7) + 3(8) + 3(9) + 3(10) ( )
b.
( )
( )
( )( )
( )( )
(
)
( )( )
∑( )( ) ( )( )
Penyelesaian : ( )( ) ∑
c.
( )( )
(
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
)( )
-2 + 4 – 8 + 16 – 32 Penyelesaian : (
)
(
)
(
)
(
)
(
)
d. Penyelesaian : ∑
6
∑(
)
2. Tentukan nilai dari : ∑(
)
∑
∑(
)
(
)
∑
Penyelesaian : ∑(
∑(
)
( )
( )
( )
)
= (2(1)-8) + (2(2)-8) +…. + (2(n-1)-8) + (2(n)-8) =30 (2(n)-8) + (2(n-1)-8)+….+ (2(2)-8) + (2(1)-8) =30 + (2(n+1)-16) + (2(n+1)-16) + ….+ (2(n+1)-16) =60 Sebanyak n suku n(2(n+1)-16) n(2n-14) 2
=60 =60
(n-10)(n+3) = 0 n= 10 atau n= -3
,Dan yang memenuhi nilai n adalah n= 10
7
∑
( (
) )
(
)
(
(
)
(
)
(
)
)
= 36 (8) + 49 (9) + 64 (10) + 81 (11) + 100 (12) + 121(13) = 288 + 441 + 640 + 891 + 1200 + 1573 = 5033
∑
=
= 63
= 63 +
3. Tunjukan kebenaran kesamaan – kesamaan berikut! ∑
∑(
)
Penyelesaian : ∑
∑( (
135
) )
(
)
(
)
(
)
(
)
= 9 + 16 + 25 + 36 + 49 ∑
8
∑(
)
Dalam kehidupan sehari – sehari , sering menjumpai sesuatu yang bersifat teratur dan memiliki pola suatu bilangan ? Yaitu seperti kenaikan jumlah penduduk suatu daerah atau pembelahan suatu sel. Permasalahan seperti tersebut merupakan contoh dari aplikasi barisan dan deret suatu bilangan.
2. Barisan dan Deret Aritmatika dan Barisan dan Deret Geometri Barisan bilangan merupakan susunan bilangan yang memiliki pola atau aturan tertentu antara satu bilangan dengan bilangan berikutnya. Jika bilangan pertama dilambangkan dengan maka bilangan ke-2 adalah , dan bilangan ke-3 adalah … dan bilangan ke-n adalah . Maka barisan bilangan itu dapat dituliskan . Misalkan merupakan suku-suku suatu barisan. Jumlah beruntun dari suku – suku barusan itu dinamakan sebagai deret, dan ditulis sebagai berikut : dan jumlah dari suatu deret dilambangkan dengan . 2.1 Barisan Aritmatika (Barisan Hitung) Secara umum dirumuskan dengan bentuk (
)
Dengan keterangan : a adalah suku pertama n adalah banyak suku adalah suku ke-n Contoh soal 1. Jika diketahui barisan Aritmatika 3,7,11,15,….,carilah rumus ke-n dan suku ke – 30 ! Penyelesaian : Nilai a = 3 dan b = 7- 3 = 4 Suku ke-n ( ) = 3 + (n-1)4 = 3 + 4n-4 = 4n -1 Suku ke -30 = 3 + 4(30) -1 =119
9
Suatu barisan Aritmatika dengan banyak suku ganjil . Maka dapatlah suku tengah dari barisan Aritmatika itu dengan : (
)
(
)
1. Jika barisan Aritmatika 3,8,13,…,283. Tentukanlah suku tengahnya dan suku keberapakah suku tengah tersebut ! Penyelesaian : Dik : Maka = Dan untuk,
= 143 = 143 a + (t-1)b = 143 3 + 5t – 5 = 143 5t = 145 t = 29
Namun bila dalam sebuah barisan disisipkan k buah bilangan antara x dan y maka beda barisan yang terbentuk :
Dengan keterangan : k adalah banyak bilangan x adalah bilangan ke -1 y adalah bilangan ke -2 Contoh soal 1. Jika antara bilangan 21 dan 117 disisipkan 11 bilangan yang berakibat terbentuklah barisan Aritmatika. Tentukan beda dan suku ke-10 ! Penyelesaian : ( ) = 21 + (10-1) 8 = 93 2. Tiga bilangan diantara 8 dan 60 . Penyelesaian : Maka didapat ,
Maka barisan Aritmatika yang terbentuk adalah 8,21,34,47,60. 10
2.2 Deret Aritmatika (Deret Hitung) Deret Aritmatika dilembangkan dengan
. Berikut adalah sifat – sifat
:
Bila a adalah suku pertama dari (
)
(
(
)
Contoh soal 1. Diketahui deret bilangan 10 + 12 + 14 + 16 + ….+ 98 dari deret bilangan itu jumlah bilangan yang habis dibagi 2 dan tidak habis di bagi 5 adalah… Penyelesaian : = a + (n-1)b ) ⁄ ( ⁄ (
98 = 10 + (n-1)2 98 = 10 + 2n -2
=
⁄ (
n = 45 = 2430 Bila yang dimaksud adalah 10,20,30,40,50,….90. ( ) ⁄ ( ⁄ (
90 = 10 + (n - 1)10
) )
) )
90 = 10 + 10n -10 = 9(50) n =9 = 450 Maka, jumlah bilangan yang dimaksud pada soal adalah = 2430 – 450 = 1980 2. Bila diketahui suatu deret Aritmatika adalah 12 +15 +18 +… maka Penyelesaian : (
( (
) ) (
) )
= 5 (51) = 255 2.3 Barisan Geometri (Barisan Ukur) Barisan Geometri adalah barisan dengan rasio (pembandingan / pengali) antara dua suku yang berurutan selalu konstan . Bentuk umum dari Deret Geometri : atau
Sehingga berlaku :
11
?
Dengan keterangan : r adalah rasio a adalah suku pertama adalah suku ke –n n adalah banyak suku Barisan Geometri dibagi menjadi 3 yaitu : 2.3.1. Geometri naik yaitu r > 1 disebut dengan barisan devergen. Contoh: 2,4,8,16,32,64 memiliki r = 2. 2.3.2. Geometri turun yaitu r < 1 disebut jugabarisan konvergen. Contoh: 96,48, 24,12,6,3,3/2,…, memiliki r= ⁄ . 2.3.3. Geometri bergoyang yaitu suku – sukunya bergantian positif dan negative , jika r < 0 yang disebut alternate. Contoh soal 1. Bila terdapat barisan Geometri 24,12,6,3, dengan suku ke-n adalah Tentukan dan suku ke-6 dari barisan tersebut ! Penyelesaian : Suku ke-n
.
= 24.( ) = 3.8 ( = 3. = 3.
)
Suku ke -6 adalah ⁄
Bila Barisan Geometri memiliki banyak suku ganjil n sebagai suku pertama dan dan suku akhir adalah : ⁄ (
√
)
Contoh soal 1. Barisan bilangan ⁄ ,1,2,4,….,128 merupakan barisan geometri dengan banyak suku ganjil. Tentukan suku tengahnya dan suku keberapakah suku tengah tersebut? Penyelesaian : √ 12
√
√ t-1 = 4 t =5
Dan apabila diantara x dan y disipkan k buah bilangan , maka x,xr,x , …x
, y dan dapat dirumuskan
√ ⁄ .
Contoh soal : 1. Sisipkan beberapa bilangan dibawah ini agar menjadi barisan geometri! a. Tiga bilangan diantara 6 dan 48. Penyelesaian : √
⁄
=√ = 2 Maka barisan Geometri yang terbentuk 6 , 12 , 24 ,48. (
Hasil perkalian suku – suku barisan Geometri adalah P = Dapat dibuktikan dengan
)
Barisan Geometri :
(
= =
(
)
)
2.4 Deret Geometri Pada keseharian pertambahan penduduk mengikuti dari pola deret Geometri . Rumus jumlah n suku pertama dari barisan geometri dengan suku pertama a dan rasio r adalah (
)
(
Contoh soal 13
)
1. Jumlah n suku pertama dari barisan Geometri adalah Tentukan rumus suku ke –n dan nilai suku ke – 7. Penyelesaian : . Maka, ) ( = ( = 2. = Maka ,
2.5 Geometri Tak Hingga Deret Geometri tak hingga dapat dirumuskan menjadi :
Juga dapat ditulis dengan notasi sigma : ∑ Contoh soal 1. Tentukan nilai deret Geometri berikut ! a. 24 + 12 + 6 +… b. 1 + ⁄
( )
( )
Penyelesaian : a. 24 + 12 + 6 + … Diperoleh: a = 24 dan r = Jadi nilai jumlah tak hingga suku – suku nya adalah = b. 1 + ⁄
( )
= 48 ( )
Diperoleh : a = 1 dan r = ⁄ maka ,
14
.
)
3.
Induksi Metematika
Metode pembuktian dalam matematika yang dikenal dengan istilah Induksi Matematika. Atau dalam kalimat yang lain Induksi Matematika adalah proses pembuktian pernyataan dari kasus – kasus khusus yang harus berlaku untuk setiap bilangan asli. Misalnya untuk suatu parnyataan bilangan asli n, kebenaran untuk semua bilangan asli n dibuktikan dengan langkah : 1. ( ) adalah benar. 2. Andai benar maka untuk
juga benar
Secara sistematisnya , prosedur (algoritma) pembuktian dengan Induksi Matematika adalah: 1. Langkah 1 (baris Induksi) pemeriksaan untuk bilangan asli terkecil , * catatan: kadang bukti tidak selalu dari n=1 , tetapi boleh n=2 dan seterusnya. 2. Bila benar maka buktikan bahwa juga benar. 3. Bila pernyataan itu berlaku untuk semua bilangan asli n , maka adalah benar. Contoh soal 1. Buktikan bahwa 1+ 3+ 5 + 7 + … + (2n -1) = Penyelesaian : ( ) Misal a. Untuk n = 1, ( ) , adalah benar. b. Missal untuk n = k, , adalah benar. Untuk n = k artinya 1+ 3+ 5 + 7 + … + (2k -1) = c. Ditunjukkan untuk n = k+1 , maka berlaku ( ) untuk n = k+1 akan di buktikan 1+ 3+ 5 + 7 + … + (2k -1) + (2(k+1)-1) = ( ) ) = ( ( ) = ( ) , terbukti Jadi, berlaku untuk n A , maka rumus tersebut benar.
15
( )
LATIHAN AKBAR 1. Tentukan rumus umum suku ke-n deret dibawah ini dan tentukan pula jumlah 7 suku pertama! a. 1 + 2 + 4 + 8 + …. b. 12 + 8 + 2. Tulislah jumlah – jumlah tersebut dalam notasi sigma ! a. b. 3. Tiga bilangan bentuk Aritmatika jika suku ke-3 ditambah 2 dan suku ke-2 dikurang 2, diperoleh Barisan Geometri. Jika suku ke-3barisan Aritmatika ditambah 2 maka hasilnya menjadi 4 suku pertama . Maka suku pertama deret Aritmatika itu adalah …. 4. Bila diketahui suku ke-2 dan ke-6 suatu deret Geometri dengan suku positif berturut – berturut adalah 6 dan 96. Jumlah 5 suku pertama deret tersebut adalah…. 5. Buktikan bahwa habis dibagi 5 untuk n bilangan asli! 6. Tentukan beda pada Barisan Aritmatika berikut ini a. 3, 5, 7, 9 c. 4, -2 , -8 , -14 b. 4, 104, 204 d. -10, -5, 0, 5 7. Sisipkan Berbagai bilangan di bawah ini agar membentuk barisan Aritmatika! a. Empat bilangan diantara 2 dan 12 8. Tentukan jumlah deret Aritmatika yang diminta pada deret Aritmatika berikut! a. 6 + 9 + 12 + 15 +… b. 12 + 5 – 2 – 9 – 16….
16
Daftar Pustaka Bird, John. 2002. Teori dan Aplikasi Praktis. Jakarta: Erlangga
Depdiknas. 2003. Standar Kompetensi Mata Pelajaran Matematika Sekolah Menengah Atas Dan Madrasah Aliyah. Jakarta : depdiknas
Purcell, Edwinj.1990.Kalkulus dan Geometri Analitik . Jakarta : Erlangga
Sembiring, Suwah. 2006. Rahasia Pintar Matematika Untuk SMA/ MA. Bandung : Yrama Widya
Setyaningtyas, Yualind. 2009. Buku Sakti Matematika SMP. Yogyakarta: Kendi Mas Media
Tampomas, Husein. 2007. Seribupena Matematika. Jakarta : Erlangga Wahyudin, H.2002. Ensiklopedi Matematika dan Peradaban Manusia. Jakarta: Tarity Samudra Berlian
Wirodiktomo,. 2010. Matematika SMA. Jakarta: Yudistira
17