TUGAS KELOMPOK
MATEMATIKA DISKRIT
BAB 5
GRAF PLANAR
Dewi Apriliana 0401513046
Elisabet Wijaya Prihandini 0401513049
Andhy Tia Saputra 0401513053
PROGRAM PASCASARJANA
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG
2014
Bab 5
Graf Planar
5.1Graf PLanar dan Graf Bidang
Graf Bidang adalah graf yang digambarkan pada bidang datar (di kertas, papan tulis, dll) sedemikian rupa sehingga setiap pasang sisi bertemu hanya pada simpul akhirnya (jika mereka bertemu sama sekali). Graf Planar adalah graf yang isomorfik dengan graf bidang, yaitu dapat digambar kembali sebagai graf bidang.
Graf Bidang adalah graf yang digambarkan pada bidang datar (di kertas, papan tulis, dll) sedemikian rupa sehingga setiap pasang sisi bertemu hanya pada simpul akhirnya (jika mereka bertemu sama sekali).
Graf Planar adalah graf yang isomorfik dengan graf bidang, yaitu dapat digambar kembali sebagai graf bidang.
Contoh Graf Planar
Gambar 5.1: Lima graf planar
Pada gambar di atas semua merupakan Graf Planar, tetapi G1 dan G4Tidak graf bidang, karena G1 dapat di gambarkan kembali menjadi G2 dan G3 sedangkan G4 dapat di gambarkan kembali menjadi G5.
Sebuah kurva Jordan pada bidang adalah kurva kontinu yang tidak memotong dirinya sendiri dengan asal dan akhirnya bertemu.Tidak semua graf adalah Planar.Untuk melihat ini, perlu dibicarakan tentang teorema utama dalam matematika.
Sebuah kurva Jordan pada bidang adalah kurva kontinu yang tidak memotong dirinya sendiri dengan asal dan akhirnya bertemu.
Sebagai contoh, pada Gambar 5.2 kurva C1 bukan kurva Jordan karena memotong dirinya sendiri, C2bukanlah kurva Jordan karena asal dan terminalnya tidak tepat, yaitu dua titik akhir tidak bertemu,C3 adalah kurva Jordan.
Gambar 5.2:c1 dan c2 bukan kurva jordan tetapi c3 kurva jordan.
Gambar 5.3: Sebuah kurva Jordan .
Jika J adalah kurva Jordan pada bidang maka bagian dari bidang yang tertutup oleh J disebut interior J dan dilambangkan dengan int J , dikecualikan untuk int J titik-titik yang benar-benar berada di J. Demikian pula bagian dari bidang yang terletak di luar J disebut eksterior J dan dilambangkan dengan ext J.
Jika J adalah kurva Jordan pada bidang maka bagian dari bidang yang tertutup oleh J disebut interior J dan dilambangkan dengan int J , dikecualikan untuk int J titik-titik yang benar-benar berada di J. Demikian pula bagian dari bidang yang terletak di luar J disebut eksterior J dan dilambangkan dengan ext J.
Teorema kurva Jordan menyatakan bahwa jika J adalah kurva Jordan, jika x adalah titik di int J dan y adalah titik dalam ext J maka setiap garis (lurus atau melengkung) yang menghubungkan x ke y harus bertemu J pada beberapa titik, yaitu harus menyeberang J.
Teorema ini hanyalah intuitif, diilustrasikan dalam Gambar di bawah ini.
Gambar 5.4
Bentuk lain dari teorema ini bahwa jika x1,x2 adalah dua titik di int J maka dapat ditemukan garis (lurus atau melengkung) hubungan x1 ke x2yang terletak sepenuhnya dalam int J. Sebuah ilustrasi ini diberikan dengan kurva C4 Gambar 5.3, dengan dua titik digabung dengan sebuah garis internal.
Sekarang digunakan Teorema Kurva Jordan untuk membuktikan bahwa ada graf nonplanar.
Teorema 5.1 :K5 graf lengkap pada lima simpul, adalah nonplanar.
Bukti:Ingatlah bahwa salah satu cara yang biasa digunakan menggambar K5seperti gambar di bawah ini.
Gambar 5.5
Diasumsikan bahwa K5adalah planar dan akan di tunjukkan kontradiksi dengan asumsi ini. Misal G menjadi graf bidang yang sesuai K5dan menunjukkan simpul dari Goleh v1, v2, v3, v4, v5.Karena G lengkap, setiap pasangan simpul yang berbeda bergabung dengan sebuah sisi.Misal C adalahsiklus v1v2v3v1 di G. Kemudian C membentuk kurva Jordan di bidang. Karena v4 tidak terletak di C maka harus terletak di int C atau ext C. Dianggap bahwa v4adalah int C. Kemudian (Kemungkinan lainnya, bahwa v4adalah dalam ext C, memiliki argumen yang sama.) sisi v4v1, v4v2dan v4v3membagi intC menjadi tiga wilayah int C1, intC2 dan int C3 di mana C1, C2, dan C3 adalah siklus v1v2v4v1, v2v3v4v2 dan v1v3v4v1 berturut-turut.Perhatikan gambar di bawah ini.
Gambar 5.6
Titikv5 yang tersisa harus terletak pada salah satu dari empat wilayah intC1, int C2, int C3 dan ext C. Jika v5 ext C kemudian, karena v4 int C, Teorema Kurva Jordan memberitahu bahwa sisi v4v5 harus melaluiC di beberapa titik. Namun ini berarti bahwa sisi v4v5harus menyeberang salah satu dari tiga sisi v1v2, v2v3 dan v3v1yang membentuk C. Ini bertentangan asumsi bahwa G adalah grafbidang. Kemungkinan yang tersisa adalah bahwa v5 merupakan salah satu dari int C1,int C2, int C3.
Dianggap bahwa V5 pada intC1, dua kasus lainnya yang diperlakukan sama. Sekarang V3adalah di bagian luar Curve Jordan diberikan siklus C1=v1v2v4v1. Dengan Teorema Kurva Jordan sisi bergabung dengan titikV5di intC1kev3 di ext C1 harus menyeberang kurvaC1dan harus menyeberangi salah satu dari tiga sisi v1v2v4v1.sekali lagi bertentangan dengan asumsi bahwa G adalah bidang.kontradiksi akhir ini menunjukkan bahwa asumsi awal harus salah. Oleh karena itu K5 tidak planar.
Ingat bahwa cara yang biasa dari gambar K3.3 seperti yang ditunjukkan pada Gambar 5.7. Ini juga adalah nonplanar .
Gambar 5.7
Teorema 5.2Graf bipartit lengkap K3,3 adalah nonplanar.
Sebuah graf bidang G membagibidang menjadi beberapa wilayah yang masing - masing disebut "muka"(face) G. Lebih tepatnya, jika x adalah titik pada bidang yang tidak diG, yaitu bukan simpul dari G atau titik di beberapa sisiG, maka didefinisikan muka Gmengandungx yang merupakan himpunan semua titik pada bidang yang dapat dihubungkan dari x menjadi garis (lurus atau melengkung) yang tidak menyeberang sisi G atau melalui simpul dari G. 5.2 FORMULA EULER
Sebuah graf bidang G membagibidang menjadi beberapa wilayah yang masing - masing disebut "muka"(face) G. Lebih tepatnya, jika x adalah titik pada bidang yang tidak diG, yaitu bukan simpul dari G atau titik di beberapa sisiG, maka didefinisikan muka Gmengandungx yang merupakan himpunan semua titik pada bidang yang dapat dihubungkan dari x menjadi garis (lurus atau melengkung) yang tidak menyeberang sisi G atau melalui simpul dari G.
Contoh, untuk titik x di graph G1 dari Gambar 5.9, muka yang mengandung x ditampilkan sebagai wilayah bertitik. Dalam contoh ini jelas muka G1 mengandung titik y adalah muka yang sama seperti yang mengandung x. Hal ini dibatasi oleh siklusv2v4v3v6v5v4. Muka G1 mengandung titik z tidak dibatasi oleh siklus apapun. Hal ini disebut muka eksterior G1
Gambar 5.9: Sebuah graf bidang dengan empat muka
Setiap graf bidang memiliki tepat satu muka eksterior. Setiap muka yang lain dibatasi oleh jalan tertutup dalam graf dan disebut muka interior.
Sebagai contoh lain, pada Gambar 5.10 memiliki graf G2 dengan sembilan mukaf1,…,f9.Disini f6adalah muka eksterior.
Gambar 5.10: Sebuah graf bidang dengan sembilan muka
Jumlah muka graf bidangG dilambangkan denganf{G} atau hanya dengan f . Dengan demikian, untuk di atas, f (G1) = 4, f (G2) = 9.
Akibat selanjutnya, diberikan rumus sederhana yang menunjukkan hubungan antara jumlah simpul, sisi, dan muka dalam graf bidang terhubung.
Teorema 5.3 (Formula Euler) :Misalkan G graf bidang terhubung, dan misalkan n,e, dan f masing-masing menunjukkan jumlah simpul, sisi dan muka G. Kemudian
n-e + f = 2.
Bukti.
Bukti Pertama . Dalam bukti ini menggunakan induksi pada f, jumlah muka pada G.Jika f = 1maka G hanya memiliki satu muka, muka eksterior. Jika G mengandung beberapa C siklus kemudian di wilayah yang dibatasi oleh bidangC, ada setidaknya satu muka dibatasi dari G, mungkin karena G hanya memiliki muka eksterior, yang tak terbatas. Jadi G tidak memiliki siklus.Oleh karena itu, karena G terhubung, itu adalah pohon.
Kemudian, denganTeorema 2.4, jumlah e sisi G adalah n - 1. Karenanya
n-e + f = n-(n-l) + l = 2
dan ini membuktikan teorema dalam kasus ketika f = 1.
Sekarang anggaplah bahwa f > 1 dan teorema tersebut benar untuk semua grafbidang terhubung dengan kurang dari f muka. Karena f > 1,G bukanlah pohon ,dengan Teorema 2.8,G memiliki ksisi yang tidak jembatan. Kemudian subgraf G - kmasih terhubung dan karena setiap subgraf dari graf bidang jelas grafbidang, G - k juga grafbidang. Selain itu, karena ksisi harus menjadi bagian dari siklus (lihat Teorema 2.7), memisahkan dua muka G dari yang lain dan selanjutnya di G - k dua muka bergabung untuk membentuk satu mukaG - k. Ini diilustrasikan pada Gambar 5.11.
Gambar 5.11.Dua muka bergabung ketika ujung siklus dihapus.
Dengan demikian, pemisalan nG-k,eG-k dan f(G-k) menunjukkan jumlah simpul, sisi dan muka masing-masing dari G-k, dimiliki nG-k,eG-k=e-1 dan fG-k=f-1. Selain itu, dengan asumsi induksi, karenaG-k memiliki kurang darif muka, dimiliki
nG-k-eG-k+fG-k=2
dan jugan-e-1+f-1=2yang memberikan n-e+f=2, seperti yang diperlukan. Oleh karena itu, dengan induksi, akibatnya adalah benar untuk semua grafbidang terhubung.
Bukti Kedua. Kali inidigunakan induksi pada jumlah e dari sisi G. Jika e = 0 maka G harus memiliki hanya satu simpul , yaitu n = 1 dan satu muka, muka eksterior, yaitu f =1. demikian
n-e+f=1-0+1=2
dan sehingga hasilnya benar untuk e = 0.
Meskipun tidak perlu untuk melakukan hal ini, sekarang dilihat kasus ketika e = 1. Kemudian jumlah simpul dari G adalah 1 atau 2, kemungkinan pertama terjadi ketika sisi adalah loop. Kemungkinan kedua menimbulkan dua muka dan satu muka masing-masing, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 5.12.
Gambar 5.12: Graf bidang terhubung dengan satu sisi
Sehingga,
n-e+f=1-1+2, dalam kasus loop2-1+1,dalam kasus bukan loop =2, seperti yang dipersyaratkan
Sekarang dianggap bahwa hasilnya adalah benar untuk setiap graf G bidang terhubung dengan e-1.Sisi (untuk e 1). Misal ditambahkan satu ksisi baru untuk G untuk membentuk supergraph terhubung dari G yang dilambangkan dengan G + k. Ada tiga cara untuk melakukan hal ini:
(I) k adalah loop, dalam hal ini telah diciptakan muka baru (dibatasi oleh loop),namun jumlah simpul tetap tidak berubah, atau
(II) k terhubung dengan dua simpul yang berbeda dari G, dalam hal ini salah satu muka G dibagi menjadi dua, sehingga sekali lagi jumlah muka telah meningkat sebesar 1, tetapi jumlah simpul tetap tidak berubah, atau
(III) k adalah kejadian dengan hanya satu simpuldari G di mana kasus lain simpul harus ditambahkan, meningkatkan jumlah simpul dengan satu, tetapi menyisakan jumlah muka tidak berubah.
Sekarang misalkan n',e'dan f'menunjukkan jumlah simpul, sisi dan muka di G dan n, e dan f menunjukkan jumlah simpul, sisi dan muka diG + k. Kemudian
dalam kasus (i),n-e+f=n'-e'+1+f'+1=n'-e'+f',
dalam kasus (ii),n-e+f=n'-e'+1+f'+1=n'-e'+f',
dalam kasus (iii),n-e+f=(n'+1)-e'+1+f'=n'-e'+f',
Dan dengan asumsi induksi,n'-e'+f'=2Jadi, dalam setiap kasus,n-e+f=2. Sekarang setiap graf bidang terhubung dengan esisi adalah bentuk G + k, untuk beberapa graf bidang terhubung G dengan e-1sisi dan k sisi baru.Oleh karena itu, dengan induksi bahwa rumus benar untuk semua graf bidang.
Konsekuensi 5.4 Misalkan G adalah graf bidang dengan n simpul , e sisi , f muka , dan k komponen terhubung . maka
n-e+f=k+1
Konsekuensi 5.5 Misal G1 dan G2 adalah 2 graf bidang yang keduanya digambarkan untuk Graf planar G yang sama.Maka f (G1) = f(G2), yaitu, G1 dan G2 memiliki jumlah muka yang sama.
Bukti Misal n(G1), n(G2) menunjukkan jumlah simpul dan e(G1), e(G2) jumlah sisi,masing -masing dalam G1, G2. Kemudian, karena G1 danG2 keduanya isomorfis ke Gdimilikin(G1) = n(G2) dan e(G1) = e(G2). Menggunakan Formula Euler didapatkan
f(G1) = e(G1) - n (G1) + 2 = e (G2) - n (G2) + 2 = f (G2),
Teorema berikutnya memberitahukan bahwa graf planar sederhana tidak dapat memiliki "terlalu banyak" sisi.Dalam bukti digunakan definisi berikut.
Misal, φ sebuah muka dari graf bidang G. didefinisikan derajat dari φ, dinotasikan dengan d(φ), adalah jumlah sisi yang membatasi φ.
Misal, φ sebuah muka dari graf bidang G. didefinisikan derajat dari φ, dinotasikan dengan d(φ), adalah jumlah sisi yang membatasi φ.
Perhatikan bahwa d(φ) 3 untuk setiap φmuka interior dari graf bidang sederhana.
Teorema 5.6 Misalkan G graf planar sederhana dengan n simpul dan e sisi , dimana n 3. maka e 3n-6.
Bukti:Dengan menggambar ulang G, diasumsikan bahwa G adalah grafbidang (yang berbeda dari planar). Pertama-tama dimisalkan G terhubung, Jika n = 3, artinya, memiliki tiga simpul, kemudian, karena Gsederhana, G memiliki paling banyak tiga sisi, yaitu, e 3. Dengan demikian
e (3 x 3) - 6 = 3n - 6,
sehingga hasilnya adalah benar dalam kasus ini.
Jadi sekarang bisa diasumsikan bahwa n 4. Jika G adalah pohon maka e = n - 1 dan seterusnya, karena n 4, didapatkan e 3n - 6. Jika G tidak pohon, karena terhubung, harus mengandung siklus. Selanjutnya ada siklus di Gpada setiap sisi yang terletak pada batas muka eksteriorG. Kemudian, karena G adalah sederhana, dimiliki d(φ) 3 untuk muka masing-masing φ muka G.
b=φϵΦd(φ)
di manaΦ menunjukkan himpunan semua mukaG. Kemudian, karena masing-masing muka memiliki setidaknya tiga sisi pada batasnya, dimiliki
b 3f
(Di mana f adalah jumlah mukaG). Namun, ketikadisimpulkan untuk mendapatkanb, masing-masing sisi G dihitung sekali atau dua kali (dua kali ketika terjadi seperti sebuah sisi membtasi dua muka) dan sebagainya
b 2e
Dengan demikian
3f b 2e.
Secara khusus 3f 2e dan sebagainya -f -2e/3. Sekarang, dengan teorema Euler,n = e - f + 2 dan seterusnya
n e-2e3+2=e3+2
Jadi 3n e+6 yaitu 3n-6,
Sekarang anggaplah G yang tidak terhubung. Misal G1,, ... , Gt komponen yang terhubung dan untuk setiap i, 1 i t, misal ni dan ei Menunjukkan jumlah simpul dan masing-masing sisi dalamGiKemudian, karena masing-masing Gi adalah graf planar, dimiliki, dari argumen di atas, bahwaei 3ni-6 untuksetiap i , 1 i tSelain itu.
n=i=1tni dan e=i=1tei dan sebagainya
e i=1t3ni-6=3i=1tni-6t 3n-6
Konsekuensi 5.7: jika G adalah graf planar sederhana maka G memiliki simpul v dengan derajat kurang dari 6, yaitu, ada sebuah v di V(G) dengan d (v) 5.
Bukti:Jika G hanya memiliki satu simpul, simpul ini harus memiliki derajat 0. Jika G hanya memiliki dua simpul maka keduanya harus memiliki derajatpaling banyak 1.Dengan demikian dapat diduga bahwa n 3, yaitu, bahwa G setidaknya memiliki tiga simpul.
Sekarang jika derajat untuk setiap simpul dari Gadalah setidaknya enam dimiliki
v V(G)d(v) 6n
Namun, dengan Teorema 1.1v Vdv=2e.Jadi 2e 6n dan e 3n.karena Ini tidak mungkin, menurut teorema di atas, e 3n - 6. Kontradiksi ini menunjukkan bahwa G harus memiliki setidaknya satu simpuldari derajat yang kurang dari sama dengan 6.
Konsekuensi 5.8 K5 adalah nonplanar.
Bukti Di sini n = 5 dane=5x42=10sehingga3n-6=9. Jadi e 3n-6dan sebagainya, dengan teorema itu, G = K5 tidak planar.
Konsekuensi 5.9 K3,3adalah nonplanar.
Bukti KarenaK3,3 adalah bipartit tidak mengandung siklus ganjil (dari Teorema 1.3) dan sehingga tidak ada siklus yang panjangnya tiga. Oleh karena itu, setiap muka dari gambar bidang K3,3, jika seperti itu ada, harus memiliki setidaknya empat sisi batas. Jadi, dengan menggunakan argumen pembuktian Teorema 5.6, didapatkan b 4 f dan kemudian jika 4f 2e, yaitu, 2f e = 9. Hal ini memberikan f 9/2. Namun, dengan Formula Euler,
f* = 2-n + e = 2 - 6 + 9 = 5, sebuah kontradiksi.
5.6 DUAL DARI GRAF BIDANG
Misalkan G graf bidang. didefinisikan Dual dari G dengan graf G* dibangun sebagai berikut.Untuk masing-masing f muka pada G terdapat simpul yang sesuai f* dari G* dan setiap sisi e pada G ada sisi e* yang sesuai di G* seperti jika sisi e terdapat di perbatasan dari dua muka f dan g kemudian e*gabungan sisidengan simpul yang sesuai f* dan g* di G*. (Jika e adalah sisi jembatan maka diperlakukan seolah-olah terjadi dua kali pada batas muka f di mana itu terletak dan kemudian sisi e* yang sesuai adalah kejadian loop dengan f* titik di G*)
Misalkan G graf bidang. didefinisikan Dual dari G dengan graf G* dibangun sebagai berikut.Untuk masing-masing f muka pada G terdapat simpul yang sesuai f* dari G* dan setiap sisi e pada G ada sisi e* yang sesuai di G* seperti jika sisi e terdapat di perbatasan dari dua muka f dan g kemudian e*gabungan sisidengan simpul yang sesuai f* dan g* di G*. (Jika e adalah sisi jembatan maka diperlakukan seolah-olah terjadi dua kali pada batas muka f di mana itu terletak dan kemudian sisi e* yang sesuai adalah kejadian loop dengan f* titik di G*)
Ternyata G* ganda dari graf bidang Gjuga planar.Ditunjukkan mengapa demikian adalah dapat digambarkanG* sebagai grafbidang. Diberikan gambar bidang dari G, tempatkan simpul f* dariG*di dalam muka yang sesuai f. Jika esisi terletak di perbatasan dua muka f dan gpada G, bergabung dengan dua simpul f* dan g* oleh sisi e* menggambarkan sehingga melintasi sisi e tepat satu kali dan tidak ada melintasi sisi lain dari G. (Prosedur ini masih memungkinkan jika e adalah sisi jembatan.) digunakan prosedur ini pada Gambar 5.35.
Jika sisi eadalah loop dalam G maka sisi hanya pada batas umum dari dua muka, salah satunya, katakanlah f, terletak dalam wilayah bidangyang dikelilingi oleh e dengan lainnya, katakanlah g, terletak di luar daerahini. Muka f tidak mungkin satu-satunya muka tertutup oleh e tetapi, jelas dari definisi G*, setiap lintasan dari simpul h*, sesuai dengan mukah, ke simpulg* harus menggunakan sisi e* .Jadi e* adalah sebuah jembatan di G*.
Sebaliknya, jika sisie* adalah jembatan di G*, bergabung dengan simpul f* dan g*, maka e* adalah satu-satunya jalan di G*dari f* untukf* ke g*. Ini berarti, dari definisi G*, bahwa esisi dalam G harus menyertakan salah satu fmuka dan g dan jugae harus loop.
Untuk meringkas, esisi adalah loop dalam G jika dan hanya jika e* adalah sebuah jembatan di G*.
Gambar 5.35: Sebuah graf bidang dan dualnya
Terjadinya sisiparallel padaG* mudah dijelaskan.Sebuah pikiran sejenak harus meyakinkan bahwa, mengingat dua muka f dang padaG, maka ada ksisi paralel antara f* dan g*di G* jika dan hanya jika f dang memiliki ksisi pada batas umum mereka.
Mungkin disadari bahwa telah didefinisikan dual dari grafbidang bukan graf planar. Alasan ini adalah bahwa berbedanyabidang gambar G1 dan G2 dari graf planar G yang sama dapat menyebabkan non-isomorfik duals G1*danG2*.
Teorema 5.16 Misalkan G menjadi graf bidang terhubung dengan n simpul, e sisi danf fakta.misalkan n*, e* dan f * menunjukkan jumlah simpul-simpul, sisi dan muka masing-masing dari G*. Kemudian n* = f, e* = e dan f* = n.
BuktinyaYang pertama dua persamaan mengikuti dari definisi G*.Yang ketiga kemudian mengikuti dari Formula Euler karena kedua G dan G* yang terhubung grafbidang.
Sekarang anggaplah bahwamukaφdari graf bidangG, sesuai dengan titik v dari G, dimiliki e1*, ..., en* sebagai sisi batasnya. Kemudian, dengan konstruksi dariG*, masing-masing e* sisimelintasi sisi yang sesuaieidari G, seperti yang diilustrasikan pada Gambar 5.35, sisi ini semua kejadian dengan simpulv. Oleh karena itu, φmengandung vtitik.
Karena G* adalah grafbidang, juga dapat dibangun dual dari G*, yang disebut dual ganda G dan dilambangkan dengan G**.Dari pembahasan paragraf sebelumnya, hasil berikut ini mungkin tidak mengejutkan.
Teorema 5.17 Misalkan G menjadi graf bidang terhubung.Kemudian G isomorfis ke G** bisa dilakukan dual.
Bukti Seperti yang terlihat di atas, setiap muka φ dari dualG** mengandung setidaknya satu titik dari G, yaitu yang sesuai titikv. Sebenarnya ini adalah satu-satunya titik dari G yang mengandung φkarena, menurut Teorema 5.16, jumlah muka dari G*adalah sama dengan jumlah simpul dari G. Oleh karena itu, dalam pembangunan dual ganda G**, dapat memilih titik v menjadi titik di G** sesuai dengan φmuka dariG*. Pilihan ini memberi isomorfisma dibutuhkan.
