Contoh-contoh soal induksi matematika 1. Soal : Buktikan bahwa 2n > n + 20 untuk setiap bilangan bulat n ≥ 5. Penyelesaian : (i) Basis induksi : Untuk n = 5, kita peroleh 25 > 5 + 20 adalah …Full description
subi
InduksiDeskripsi lengkap
Contoh-contoh soal induksi matematika 1. Soal : Buktikan bahwa 2n > n + 20 untuk setiap bilangan bulat n ≥ 5. Penyelesaian : (i) Basis induksi : Untuk n = 5, kita peroleh 25 > 5 + 20 adalah …Deskripsi lengkap
INDUKSI MATEMATIKA UNTUK SMA KELAS XIDeskripsi lengkap
INDUKSI MATEMATIKA UNTUK SMA KELAS XI
las induksi
Full description
MAKALAH INDUKSI PERSALINAN
MAKALAH INDUKSI PERSALINANDeskripsi lengkap
mtk
#induksimtk#revisirpp
Full description
induksimatematika#k13revisiDeskripsi lengkap
#induksimtk#revisirppDeskripsi lengkap
RPP merupakan salah satu bentuk perangkat pembelajaran yang digunakan guru sebagai pedoman kegiatan pembelajaran di dalam kelas.Full description
INDUKSI MATEMATIKA DALAM KEHIDUPAN SEHARI-HARI KHUSUSNYA DALAM BIDANG EKONOMI
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA (AKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PEDIDIKAN UNI)ERSITAS MUHAMMADIYAH PRO(* DR* HAMKA +AKARTA ,./
KATA PENGANTAR
Dengan segala kerendahan hati penulis memanjatkan puji syukur kehadirat Allah SWT atas berkat dan karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan Tugas Makalah ini untuk memenuhi dalam bidang penilaian mata kuliah Matematika Ekonomi yang berjudul “Induksi Matematika dalam ehidupan Sehari ! hari khususnya dalam "idang Ekonomi#$ Mungkin dalam pembuatan makalah ini masih banyak kekurangan baik itu dari segi penulisan% isi dan lain sebagainya% maka penulis sangat mengharapkan kritikan dan saran guna perbaikan untuk pembuatan makalah untuk hari yang akan datang$ Demikianlah sebagai pengantar kata% dengan iringan serta harapan semoga tulisan sederhana ini dapat diterima dan berman&aat bagi pemba'a$ Atas semua ini penulis mengu'apkan terima kasih yang tidak terhingga$
(akarta% Desember )*+,
enulis
.*. Pendahuluan Indu0si Ma#e!a#i0a bera.al pada akhir abad ke-+/ yang dipelopori oleh dua
orang
matematika.an
yaitu
R*
Dede0ind
dan
G*Pean1 $
Dedi0ind
mengembangkan sekumpulan aksioma yang menggambarkan bilangan bulat positi&$ Pean1 memperbaiki aksioma tersebut dan memberikannya interpretasi logis$
eseluruhan aksioma tersebut dinamakan Postulat Peano$ ostulat ini ditemukan sekitar tahun +0/* sebagai rumusan &ormula konsep bilangan asli$
Postulat Peano
+$ 1 adalah anggota Ν . 2.
Setiap anggota x ∈ Ν mempunyai pengikut
p ( x ) ∈ Ν .
1$ Dua bilangan Ν di yang berbeda mempunyai pengikut yang berbeda. ,$ 1 bukan pengikut bilangan 2$ Jika subhimpunan , maka
x ∈ Ν
yang manapun
S ⊆ Ν memuat 1 dan pengikut dari setiap bilangan di
S
S = Ν
.*, Indu0si Ma#e!a#i0a
Induksi matematika merupakan suatu metode yang penting dalam pembuktian dan sering digunakan dalam berbagai buku$ Induksi matematika merupakan suatu metode yang digunakan untuk membangun ke3alidan pernyataan yang diberikan dalam istilah-istilah bilangan asli 4N5$ Walaupun kegunaannya agak dibatasi dalam konteks yang agak khusus% namun keberadaannya merupakan suatu alat yang sangat diperlukan dalam 'abang-'abang matematika$
Dianggap bah.a kita sudah mengenal bilangan asli N 6 7 +%)%1% $$$ 8% baik operasi biasa pada penjumlahan dan perkalian dan arti dari suatu bilangan asli yang satu lebih ke'il dari yang lain$ Te1e!a .*. ≠
(ika S adalah subset dari N dan jika S ≤
sehingga m
φ
∈
% maka terdapat suatu m
S sedemikian
∈
k% untuk setiap k
S$
rinsip Induksi Matematika Misal S subset dari N% maka berlaku si&at-si&at9 ∈
+$ +
S$ ∈
)$ (ika k
∈
S% maka 4k:+5
S% dan S 6 N*
Bu0#i ≠
Anggaplah berlaku sebaliknya S
N$ Maka himpunan N ! S tidak kosong dan
selanjutnya dengan si&at terurut dengan baik ia akan memuat suatu unsur terke'il$ ∈
Misal m adalah unsur terke'il dari N-S$ arena +
S% maka menurut hipotesis 4+5%
≠
kita tahu bah.a m
+$ Selanjutnya untuk m ; + mengakibatkan bah.a m ! + juga
merupakan bilangan asli% arena m ! + < m dan karena m adalah unsur terke'il dari ∈
N sedemikian sehingga m
∈
S% ia mestilah merupakan kasus bah.a m-+
S$
Selanjutnya kita gunakan hipotesis 4)5 untuk unsur ke ke k 6 m ! + dan ∈
menyimpulkan bah.a k:+ 6 4m-+5 : + 6 m
S$ esimpulan ini bertentangan
∉
dengan pernyataan bah.a m
S$ arena m diperoleh dengan mengasumsikan
bah.a N-S tidak kosong% hal ini juga bertentangan dengan kesimpulan bah.a N-S kosong$ Dengan demikian kita telah menunjukkan ba.a S 6 N$ "entuk lain dari prinsip Induksi Matematika dinyatakan sebagai berikut9 ∈
=ntuk setiap n
N% misalkan 4n5 merupakan suatu pernyataan tentang n%
N% buktikan rumus penjumlahan berikut dengan induksi
matematika$ n4n + +5
) +$ + : ) : 1 : , : 2 : $$$$$ : n 6 Pen"elesaian
+4+ + +5 )
⇔
=ntuk n 6 +
+6
∈
% sehingga +
S% ∈
Andaikan untuk n 6 k diasumsikan bah.a k
S% sehingga
k 4 k + +5
) + : ) : 1 : , : 2 : $$$$$ k 6 Selanjutnya akan dibuktikan bah.a untuk n 6 k : + benar% maka k 4k + +5
) + : ) : 1 : , : 2 : $$$$$ : k : 4k:+5 6
+ 4 k + +5
k 4k + +5 ⇔
k
)
+
)4k + +5
)
)
+
k + )k + +
)
⇔
k + 1k + + )
⇔
)
4k + +54k + )5 )
⇔
4k + +54k + +5 + +5 )
⇔
% karena n 6 k:+% maka9 4 n54n + +5 ⇔
)
∈
arena rumus ini terpenuhi untuk n 6 k:+% kita menyimpulkan bah.a k:+
S$
(adi dari Induksi matematika terpenuhi$ >leh karena itu dengan prinsip induksi matematika kita menyimpulkan bah.a S 6 N dan rumus tersebut adalah benar ∈
untuk semua n
N$
.*3 Pinsi4 Indu0si Sedehana
Misalkan p4n5 adalah proporsi prihal bilangan bulat positi& dan kita ingin membuktikan bah.a p4n5 benar untuk semua bilangan bulat positi& n$ =ntuk membuktikan proporsi ini% kita hanya perlu menunjukkan bah.a 9 +$ p4+5 benar% dan )$ jika p4n5 benar% maka p4n : +5 juga benar untuk setiap n sehingga p4n5 benar% maka semua bilangan bulat positi& n
≥
+
.*/ Lan50ah-lan50ah !en"elesai0an indu0si !a#e!a#i0a .* Basis Indu0si =ntuk memperlihatkan bah.a pernyataan tersebut benar bila n diganti dengan
+% yang merupakan bilangan bulat positi& terke'il$ ,* Indu0si Asumsi yang menyatakan bah.a p(n) benar$ "ila kita sudah menunjukkan kedua langkah tersebut benar maka kita sudah membuktikan bah.a p(n) benar untuk semua bilangan bulat positi& n$ emudian kita harus menunjukkan bah.a implikasi p(n)
p(n + 1) benar untuk setiap bilangan bulat positi&$ ?al
ini dapat diselesaikan dengan 'ara memperlihatkan bah.a berdasarkan hipotesis p(n) benar maka p(n + 1) juga harus benar$ 1$ ?ipotesis Induksi embuktian p(n + 1) bernilai benar$ 21n#1h .
"uktikan bah.a untuk setiap n
∈ Ν
Pen"elesaian
+$ "asis Induksi n6+ 1
+6
2
+4+ : +5
+6+ benar )$ angkah Induksi n 6 k 1
+:):1:@:k6
2
k4k : +5
1
berlaku + : ) : 1 : @ : n 6
2
n4n : +5
benar 1$ ?ipotesis Induksi Akan dibuktikan benar untuk n 6 k : + 1
+ : ) : 1 : @ : k : 4k : +5 6
¿
k ( k + 1 ) 2
2
¿
2
+
k4k : +5 : 4k : +5
2
( k + 1) 2
k + k 2
2 +2 + k 2
2
¿
k + k + 2 k + 2 2
2
¿
k
+ 3 k + 2 2
(k + 1 )( k + 2 ) ¿ 2
1
¿ ( k + 1 ) [ ( k + 1 ) + 1 ] 2
1
(adi benar + : ) : 1 : @ : n 6
21n#1h ,
2
n4n : +5 untuk setiap n
∈ Ν
"uktikan bah.a untuk setiap n
∈ Ν
dan
n0 ∈ Ν
berlaku + : 1 : 2 : @ : n4n
1
: +5B) 6
6
n4n : +54n : )5
+$ "asis Induksi n6+ 1 )
+ 6
6
+4+ : +54+ : )5
+6+ benar )$ angkah Induksi n 6 k 1
+ : 1 : 2 : @ : k4k : +5B) 6
6
k4k : +54k : )5
benar 1$ ?ipotesis Induksi Akan dibuktikan benar untuk n 6 k : + 1
+ : 1 : @ : k4k : +5B) : 4k : +54k : )5B) 6
6
k4k : +54k : )5 : 4k : +54k :
)5B)
¿
k ( k + 1 )( k + 2) 6
3
¿
2
k + 3 k + 2 k 6
+
+
3
( k + 1 )( k +2 ) 6
2
3 k
+ 9 k + 6 6
3
¿
2
k + 6 k + 11 k + 6 6
(k + 1 )( k +2 )( k + 3) ¿ 6
1
(adi benar + : 1 : 2 : @ : n4n : +5B) 6
6
n4n : +54n : )5 n
∈ Ν
$
.*6 Penea4an Indu0si Ma#e!a#i0a Dala! Bidan5 E01n1!i .* a4li0asi dala! 4en5unaan ATM a$ onsep ATM Se'ara =mum di Indonesia
ATM% pada umumnya% hanya memiliki satu jenis nominal uang$ ogikanya ialah sebuah ATM hanya memiliki satu 'artridge uang% yang hanya dapat diisi oleh sebuah nominal 4entah itu Cp )*$***%-% Cp 2*$***%-% maupun Cp +**$***%-5$ Nah% pengolahan berapa jumlah uang yang dikeluarkan tidak se'ara langsung dihitung dari jumlah nominal uang yang ditarik% tapi dikon3ersikan dahulu% pe'ahan uang yang tersedia pada 'artridge harus dikeluarkan sebanyak berapa lembar agar uang yang ingin ditarik pelanggan ter'ukupi,$ Misal pelanggan ingin menarik uang sebanyak Cp )**$***%-$ Maka ada tiga kemungkinan 9 -
(ika ATM tersebut berisi uang pe'ahan Cp )*$***%-% maka 'artridge penyimpan uang akan diperintahkan menghitung dan mengeluarkan sebanyak +* lembar$
-
(ika ATM tersebut berisi uang pe'ahan Cp 2*$***%-% maka 'artridge penyimpanan uang akan diperintahkan menghitung dan mengeluarkan sebanyak , lembar$
- (ika ATM tersebut berisi uang pe'ahan Cp +**$***%-% maka 'artridge penyimpanan uang akan diperintahkan untuk menghitung dan mengeluarkan uang sebanyak ) lembar$
Terdapat beberapa kelemahan dalam ATM yang memiliki sistem seperti ini% antara lain 9 elanggan ingin menarik uang yang tidak genap 4misal ingin menarik uang sebesar Cp *$***%- 5$ ada kenyataannya% masalah ini memang sudah ditanggulangi dengan mengeluarkan pernyataan “Mesin ini hanya mengeluarkan uang dalam pe'ahan kelipatan Cp )*$***%- 4atau Cp 2*$***%- atau Cp +**$***%-5$ Masyarakat juga telah memaklumi keadaan ini$ Namun% apakah tidak jauh lebih mudah jika dapat dilakukan penarikan tunai dengan nominal yang tidak genap seperti itu Apa sebenarnya keistime.aan 'ara berpikir ATM Multi e'ahan =ang b$
enerapan Induksi Matematika dalam ATM Multi Nominal enerapan Induksi Matematik dalam ATM Multi Nominal yakni dengan penggunaan rinsip Induksi yang Dirampatkan 4prinsip pertama5 pada proses penghitungan uang yang akan dikeluarkan dari 'artrige penyimpanan uang$ Ada beberapa ketentuan dalam pengambilan uang pada ATM Multi Nominal ini$ etentuan tersebut antara lain 9 -
jumlah minimal penarikan
-
jumlah kelipatan penarikan dari jumlah minimalnya
- pe'ahan uang berapa yang ada di ATM tersebut (adi% bagaimana 'ara perhitungannya Ambil sebuah 'ontoh% dalam satu ATM terdapat pe'ahan uang Cp )*$***%dan Cp 2*$***%-$ "erapakah jumlah kelipatan penarikan dengan jumlah minimal yang dapat diambil pelanggan melalui ATM tersebut adalah Cp ,*$***%- Pen"elesaian :
+$
tunjukkan bah.a &4n *5 benar 4berlaku5
"asis induksi 9 =ntuk mengeluarkan uang dengan jumlah Cp ,*$***%- dapat digunakan ) lembar uang Cp )*$***%-$ &4n *5 jelas benar 4berlaku5 FF )$
(ika &4n5 benar 4berlaku5 maka tunjukkan &4n:k5 juga benar 4berlaku5 untuk semua bilangan bulat n G n*$ 4k ialah kelipatan pengambilan uang di ATM5 angkah induksi 9 (ika &4n5 benar% yaitu untuk mengeluarkan uang dengan jumlah Cp ,*$*** dapat digunakan e lembar uang Cp )*$***%- 4hipotesis induksi5$ ita harus menunjukkan bah.a &4n:k5 juga benar% yaitu untuk mengeluarkan uang sebesar n:k juga dapat menggunakan pe'ahan uang Cp )*$***%- danBatau Cp 2*$***%-$ Ada dua kemungkinan yang perlu diperiksa9
a$
emungkinan pertama% misalkan tidak ada uang pe'ahan Cp 2*$***%- yang dikeluarkan% maka uang yang dikeluarkan senilai Cp n%- menggunakan pe'ahan Cp )*$***%- semuanya$ arena n G Cp ,*$***%-% setidaknya harus digunakan dua lembar pe'ahan Cp )*$***%-$ Dengan mengganti dua lembar uang Cp )*$***%- dengan selembar uang Cp 2*$***% akan menjadikan uang yang dikeluarkan ATM sebesar Cp n:k%- dengan k senilai Cp +*$***%-$
b$
emungkinan kedua% misalkan ATM mengeluarkan uang senilai Cp n%dengan sedikitnya satu lembar pe'ahan Cp 2*$***%-$ Dengan mengganti satu lembar pe'ahan Cp 2*$***%- dengan tiga lembar uang pe'ahan Cp )*$***%akan menjadikan uang yang dikeluarkan ATM sebesar Cp n:k%- dengan k senilai Cp +*$***%Dari penjelasan di atas%% dapat diketahui bah.a nilai k 4kelipatan5 uang yang dapat diambil dari ATM tersebut% dengan minimal jumlah pengambilan sebesar Cp ,*$***%-% ialah sebesar Cp +*$***%-$
21n#1h s1al dala! 0ehidu4an sehai 7 hai
+$ "uktikan pernyataan “=ntuk membayar biaya pos sebesar n sen 4n ≥ 05 selalu dapat digunakan hanya perangko 1 sen dan perangko 2 sen# benar$ enyelesaian9 (i) Basis induksi$ =ntuk membayar biaya pos 0 sen dapat digunakan + buah perangko 1 sen dan + buah perangka 2 sen saja$ Ini jelas benar$ (ii) Langkah induksi$ Andaikan p4n5 benar% yaitu untuk membayar biaya pos sebesar n 4n
≥ 05
sen dapat digunakan perangko 1 sen dan 2 sen 4hipotesis
induksi5$ ita harus menunjukkan bah.a p4n :+5 juga benar% yaitu untuk membayar biaya pos sebesar n : + sen juga dapat menggunakan perangko 1 sen dan perangko 2 sen$ Ada dua kemungkinan yang perlu diperiksa9 4a5
emungkinan pertama% misalkan kita membayar biaya pos senilai n sen dengan sedikitnya satu perangko 2 sen$ Dengan mengganti satu buah perangko 2 sen dengan dua buah perangko 1 sen% akan diperoleh susunan perangko senilai n : + sen$
4b5
emungkinan kedua% jika tidak ada perangko 2 sen yang digunakan% biaya pos senilai n sen menggunakan perangko 1 sen semuanya$ arena n ≥ 0% setidaknya harus digunakan tiga buah perangko 1 sen$ Dengan mengganti tiga buah perangko 1 sen dengan ) buah perangko 2 sen% akan dihasilkan nilai perangko n : + sen$
9 Mengambil nominal uang yang diinginkan melalui ATM$ 9 Menentukan nominal yang diinginkan sesuai uang yang kita ambil melalui ATM 9 Di ATMBbank 9 Menyusun keping domino 9 Menggunakan teori induksi matematika dalam domino 9 Di rumah
menyusun
1$
Masalah Solusi Di mana
9 Memasang ubinBkeramik didalam ruangan 9 Menggunakan teori induksi matematika yaitu menentukan pemasangan ubin 9 Di rumah
21n#1h dala! e8e0 d1!in1
ada gambar 4a5 di atas kita melihat sebaris , domino pertama yang ditata rapi dengan jarak antara masing-masing domino yang berdekatan kurang dari tinggi domino$ Sehingga% jika kita mendorong domino nomor k ke kanan% maka domino tersebut akan merebahkan domino nomor 4k : +5$ roses ini ditunjukkan oleh gambar 4b5$ ita tentu akan berpikir bah.a apabila proses ini berlanjut% maka domino nomor 4 k : +5 tersebut juga akan merebahkan domino di sebelah kanannya% yaitu domino nomor 4 k : )5% dan seterusnya$ "agian 4'5 menggambarkan bah.a dorongan terhadap domino pertama merupakan analogi dari bilangan + menjadi anggota himpunan S $ ?al ini merupakan langkah dasar dari proses e&ek domino$ Selanjutnya% jika k anggota S akan menyebabkan 4k : +5 anggota S % akan memberikan langkah indukti& dan melanjutkan proses perebahan domino$ Sehingga% pada akhirnya kita akan melihat bah.a semua
domino akan rebah$ Atau dengan kata lain% domino yang memiliki nomor urut semua bilangan asli akan rebah$ 21n#1h Pen5u9inan den5an T1!in1
Diberikan suatu papan 'atur )n H )n 4n ; *5% dengan salah satu persegi di bagian pojok dihilangkan% buktikan bah.a papan 'atur tersebut dapat ditutup sempurna dengan tromino$ 4Tromino adalah gambar yang terdiri dari 1 persegi yang sisinya saling bersinggungan% tetapi 1 persegi tersebut tidak dalam satu barisan yang berjajar5 Bu0#i ernyataan tersebut benar untuk n 6 + karena se'ara jelas papan 'atur )+ H )+
yang salah satu persegi bagian pojok dihilangkan memiliki bentuk yang sama dengan tromino$ Andaikan pernyataan tersebut benar untuk k anggota $ Diberikan papan 'atur dengan ukuran ) k : + H ) k : + yang salah satu persegi di bagian pojok dihilangkan$ "agilah papan 'atur tersebut menjadi , papan 'atur ) k H )k A% "% % dan D% dengan satu di antaranya% yaitu A% memiliki bagian yang salah satu persegi di pojok hilang$ Tempatkan + tromino% T% di tengah-tengah papan 'atur ) k : + H )k : + sedemikian sehingga persegi persegi tromino tersebut berada di bagian "% % dan D$ emudian gunakan kasus n 6 k untuk menutup bagian A% " ! T% ! T% dan D ! T dengan tromino$ roses tersebut akan menutup papan 'atur ) k : + H )k : + tepat sempurna dengan tromino-tromino$ 4Jambar di ba.ah ini mengilustrasikan untuk kasus n 6 15$
RE(ERENSI
d!ipurnomoikipbu."iles.!ordpress.#om$%&1&$1%$gabungan'"ile. doc 4Diakses tanggal +1 Desember pada pukul +K$,1 WI"5 embuktian
dengan
Induksi
Matematika%
https9BBaimpro&*0$.ordpress$'omB)*+)B*0B+2Bpembuktian-dengan-induksi-matematikaB 4Diakses tanggal +1 Desember pada pukul +K$,1 WI"5 http9BBadrahma)$blogspot$'omB)*+1B*,Bpenerapan-induksi-matematik$html 4Diakses tanggal +2 Desember pada pukul )*$+2 WI"5 http9BBdianparlindungan$blogspot$'omB)*+1B++Bnormal-*-&alse-&alse-&alse-en-gb-Lnone$html 4Diakses tanggal +2 Desember pada pukul )*$+ WI"5 http9BByos1prens$.ordpress$'omB)*+1B+*B*KBinduksi-matematikaB 4Diakses tanggal +2 Desember pada pukul )*$1* WI"5