MAKALAH MATEMATIKA
Disusun Oleh : DONI IRAWAN
XII TKJ
SEKOLAH MENENGAH KEJURUAN BINA KARYA PACITAN TAHUN PELAJARAN 2014 / 2015
KATA KATA PENGANTAR PENG ANTAR
Terhaturkan rasa syukur kehadirat Allah SWT, karena atas limpahan rahmat serta kesempatan yang diberikan kepada penulis, akhirnya penulis bisa menyelesaikan penulisan ini tanpa adanya hambatan berarti. Penu Penuli lisa sann maka makala lahh ini ini send sendir irii adal adalah ah seba sebaga gaii sala salahh satu satu syar syarat at pemenuhan pembelajaran Matematika di semester genap kelas XII Seklah Menenegah Kejuruan !ina Karya, Pa"itan. Penulis juga menghaturkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam penyelesaian makalah ini. Khususnya kepada guru # guru di Seklah Menengah Kejuruan !ina Karya. Akhirnya, penulis berharap makalah ini dapat berguna sebagai salah satu re$erensi belajar, khususnya dalam mempelajar mata pelajaran Matematika untuk Seklah Menengah Kejuruan.
Pa"itan,
Penulis
BAB I
April %&'(
OPERASI BILANGAN REAL
A. Pene! Pene!"#$ "#$n n B#%$n$ B#%$n$n n Re$% Re
%$!ilang !ilangan an real merupa merupakan kan gabung gabungan an dari dari bilanga bilangann rasin rasinal al dengan dengan a b
bilangan irrasinal. !ilangan rasinal dapat dinyatakan dalam bentuk dengan a, b bilangan bulat dan b
≠
&. !ilangan rasinal dapat berupa bilangan
bulat, bilangan yang dapat dinyatakan dengan pe"ahan atau bentuk desimal, dan "ampurannya. )ntuk selanjutnya jika a*b pe"ahan maka a dinamakan pembilang dan b dinamakan penyebut. !erdasarkan de$inisi tersebut maka ada dua a b
ma"am ,
a
<
pe"ahan b
, b
yaitu ≠
+
pe"ahan
mumi
bila
&
dan pe"ahan tidak murni "ampurana b
,
a
>
b
, b
≠
&
bila alam al am ben bentuk tuk des desima imal,l, bil bilang angan an ras rasin inal al ber berupa upa pe" pe"aha ahann des desima imall berulang. Sedangkan bilangan irrasinal adalah bilangan yang tidak dapat a
dinyatakan dalam bentuk
b
, dengan a, b bilangan bulat dan b / &, misalnya+
%, lg 0, π ,
bilang bil angan an e dan seb sebaga againy inya. a. 1im 1impun punan an bil bilang angan an riil ny nyataatasering dinyatakan dengan 2. !ilangan riil 2-, yaitu gabungan himpunan semua bilangan rasinal dengan himpunan semua bilangan irrasinal. ir rasinal. B. O&e O&e!$ !$'# '# B#%$n$ B#%$n$n n Ben"() Ben"() A)$! A)$!
'. Penj Penjum umla laha hann dan Peng Pengur uran anga gann
Penjumlahan dan pengurangan bentuk akar dapat disederhanakan apabila akar3akarnya sejenis '65
5(
4nth+ Sederhanakan '65
5(
Ja9ab +
3
3
68
7 %(. x0
68
7
6; x 6; x0
:
3
:
7
0
( 0
'< x '< x0
35
0 76
0
: (3576-
: %
0
%. Perkal Perkalian ian !entuk !entuk Ak Akar ar )ntuk menyederhanakan bentuk akar dapat menggunakan si$at bah9a a
b
:
a.b
.
4nth+ Sederhanakan
'%
8 = n a.b
n a n b
engan menggunakan si$at maka didapat "ara lain
'%
'%
=
8
:
: ;<
'< x< 6 < : :
8 % 0 % % 6 < = : = :
0. Merasi Merasinalk nalkan an Penyebut Penyebut Pe"ahan Pe"ahan a b
a. Pe" Pe"aha ahan3p n3pe"a e"ahan han berbe berbentu ntukk < < % < % % % % 0 % % "nth + i : = : : 0 0 % 0 < % % % % % ii: : = :
b. Pe"ahan3pe"ahan berbentuk
'
'
a+ b
a+ b
dan b
!entuk3bentuk akar seperti a 7
b
- dan a 3
- dinamakan bentuk3
bentuk akar yang seka9an. 1asil perkaliannya adalah rasinal, sebab hasil b
dari a 7
b
- a 3
- : a% # b bilangan pada ruas kanan kanan tersebut adalah
rasinal. Si$at bentuk akar yang seka9an ini digunakan untuk merasinalkan penyebut pe"ahan3 pe"ahan yang berbentuk seperti diatas. 4nth+ 6 0 −'
i-
ii-
0 +'
6
'− % '+ %
0 −'
:
:
'− % '+ %
6 0 +'
0 +'
=
0 −'
:
:%
0 +'
-
'− % '− % % + % 0 − % % % %−0 '− % −' '− % = : : :
4. >peras >perasii !ilan !ilangan gan ?garit ?garitma ma
≠
@ungsi lgaritma dengan bilangan pkk a & dan a
' adalah inBers dan
$ungsi ekspnen dengan bilangan pkk a. Se"ara umum dapat ditulis+ a
⇔
a b
c
lo lg =bc: " + a = b den den an a > 0, a pada bentuk
≠
1 dan b
a dise disebu butt bila bilang ngan an pk pkkk dasa dasarr- lga lgari ritm tmaa untu untukk bila bilang ngan an pk pkkk '& biasanya tidak ditulis, misal '&lg 0 ditulis lg 0 b disebut bilangan yang diambil diambil lgaritmanya " disebut basil lgaritma ari ari hubung hubungan an pangka pangkatt dan lgarit lgaritma ma tersebu tersebutt maka maka dapat dapat ditemu ditemukan kan beberapa si$at C si$at lgaritma yang perlu diketahui yaitu+ Jika a & , a
≠
' , m & , n & dan =
'. alg a= : = %. a a lg n : n p q
0. a lg a : D
p
6. alg mn mn - : alg m 7 alg n
∈
2, maka +
(. alg
m n
: alg m 3 alg n
<. alg m= : =. alg m g lg m g lg a
5. lg m :
bila g & , g
a
≠
'
4nth+ '-. 1itunglah %'g6 7 %lg '% 3 %'g< 6 x'%
Ja9ab + 'g6 7 lg '% 3 lg< : lg %
%
%
%
<
: %lg 8 :0 %-. Jika lg % : &,0&'& E lg 0 : &,655', hitunglah lg '( 0 x'&
Ja9ab+ lgl( : lg
%
:lg0 7 lg l& 3 lg% : &,655' 7 ' 3 &,0&'& : ','5<'
BAB II PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR
A. Persamaan dan Pertidaksamaan ?inear ua Fariable Sistem persamaan linear dengan % Bariabel * SP? % Bariabel a' x + b' y
= c' a % x + b% y = c % = dan y adalah Bariabel a' , a % , b' , b% , c' , c %
∈ R
4ara menyelesaikannya dengan +
a. Metde Gliminasi b. Metde Substitusi ". Metde 4ampuran Gliminasi dan Substitusi d. Metde Hra$ik 4nth + Tentukan himpunan penyelesaian dari SP? berikut x − y
=% 0 x − 5 y = −%
'. Gliminasi x − y
=% 0 x − 5 y = −%
x0 x'
0 x − 0 y
=< 0 x − 5 y = −% 6y : 8 y :%
x − y
=% 0 x − 5 y = −%
x 5 x'
5 x − 5 y
= '6 0 x − 5 y = −%
6= : '< =: 6
%. Substitusi ari persamaan '- y : = # % disubstitusikan ke persamaan %diperleh 0= # 5= # %- : 3% 0= # 5= 7 '6 : 3% 36= : 3'< =:6 )ntuk = : 6 disubstitusikan ke persamaan '6#y:%
y : 6#% :% 0. 4ampuran Gliminasi dan Substitusi x − y
=% 0 x − 5 y = −%
x0 x'
0 x − 0 y
=< 0 x − 5 y = −%
6y : 8 y :% y : % disubstitusikan ke persamaan '=#%:% =
: 6
6. Hra$ik 0= # 5y : 3% 6,%-
% 3%
=#y:%
BAB III *UNGSI LINIER+ *UNGSI KUADRAT+ PROGRAM LINIER DAN PERTIDAKSAMAAN LINER
A. *(n'# L#n#e!
@ungsi linier adalah $ungsi
y = f x-
f x- = ax + b a, b ∈ R, a
≠ &-
dengan
untuk semua = dalam daerah asalnya. @ungsi linier juga dikenal sebagai $ungsi plinm atau $ungsi sukubanyak berderajat satu dalam Bariable =.
y
= f x- = ax + b
Hra$ik $ungsi linier
dalam bidang "artesius berupa garis
lurus yang tidak sejajar dengan sumbu X maupun sumbu Y . gra$ik $ungsi linier ini memtng sumbu Y di sebuah titik dengan rdinat y = b. !ilangan a a
= tan α , α
disebut gradient atau ke$isien arah dari garis lurus tersebut, dan adalah sudut yang dibentuk leh garis lurus terhadap sumbu X psiti$. B. *(n'# K($,!$"
Perhatikan beberapa $ungsi berikut ini.
• • • •
f x - = x %
−'
f x - = % x % f x - = x %
− < x
− −6 x + 0
f x - = 0 x %
+ 6x − 0 y
= f x- = ax % + bx + c
Hra$ik $ungsi kuadrat ditulis dalam ntasi
dan gra$ik
$ungsi kuadrat disebut parabla. 4.
S)e"'$ G!$-#) *(n'# K($,!$" Se$!$ U(
Misalkan y
suatu
$ungsi
kuadrat
ditentukan
dengan
rumus
= f x- = ax % + bx + ca, b, c ∈ R, a ≠ &. Hra$ik $ungsi kuadrat itu adalah y
= ax % + bx + c
sebuah parabla dengan persamaan . Sketsa gra$ik $ungsi kuadrat itu se"ara umum dapat digambar dengan "ara menentukan terlebih dahulu+ a- Titik ptng dengan sumbu X dan sumbu Y . b- Titik pun"ak atau titik balik parabla. "- Persamaan sumbu simetri. '. Titik Ptng dengan sumbu X dan sumb Y a. Titik ptng dengan sumbu X
Titik ptng dengan sumbu X diperleh jika rdinat Y = 0 , sehingga ax %
+ bx + c = &
, yang merupakan persamaan kuadrat dalam x. Akar3
akar persamaan kuadrat itu merupakan absis titik3titik ptngnya dengan sumbu X. ilai diskriminan persamaan kuadrat D
= b % − 6ac
ax %
+ bx + c = &
, yaitu
, menentukan banyak titik ptng dengan sumbu X .
b%
− 6ac > &
b%
− 6ac = &
b%
− 6ac < &
'. Jika , maka gra$ik $ungsi $ memtng sumbu X di dua titik yang berlainan. %. Jika , maka gra$ik $ungsi $ memtng sumbu X di dua titik berimpit. alam hal demikian, gra$ik $ungsi f dikatakan menyinggung sumbu X . 0. Jika , maka gra$ik $ungsi f tidak memtng maupun menyinggung sumbu X . b. Titik ptng dengan sumbu Y Titik ptng dengan sumbu Y diperleh jika absis x : &, sehingga y
= a &- % + b&- + c = c. Jadi, titik ptng dengan sumbu Y adalah
&,c-. '. Jika " &, maka gra$ik $ungsi $ memtng sumbu di atas titik asal >. %. Jika " : &, maka gra$ik $ungsi $ memtng sumbu tepat di titik asal >. 0. Jika " &, maka gra$ik $ungsi $ memtng sumbu di ba9ah titik asal >. D. P!!$ L#ne$!
Prgram linear adalah suat metde atau suatu "ara untuk meme"ahkan masalah menjadi ptimal maksimum atau minimum- yang memuat batasan3 batasan yang dapat diubah atau diterjemahkan ke dalam bentuk sistem pertidaksamaan linear. Penyelesaian pertidaksamaan linear terdapat dalam daerah himpunan penyelesaian. ari beberapa penyelesaian terdapat satu
penyelesaian terbaik yang selanjutnya disebut penyelesaian ptimum dari suatu $ungsi. @ungsi ini disebut dengan $ungsi tujuan atau bjekti$. 4nth + Sebuah pesa9at terbang mempunyai kapasitas 68 buah tempat duduk yang terbagi dalam dua kelas yaitu kelas A dan kelas !. Setiap penumpang kelas A diberi hak yaitu memba9a barang <& kg, sedang penumpang kelas ! diberi hak memba9a barang hanya %& kg, tempat bagasi paling banyak dapat memuat '66& kg. !ila banyaknya penumpang kelas A sebanyak = rang sedang kelas ! sebanyak y rang. Tentukan mdel matematikanya. Ja9ab + Kelas A <& kg = rang
!agasi Penumpang !agasi
+
Penumpang
+
Kelas ! %& kg y rang
<&= 7 %&y
≤
≤
'66&
0= 7 y 5%
≤
= 7 y 68
≥
≥
!anyak penumpang tidak pernah negati$ + = &, y & Sehingga diperleh mdel matematikanya adalah + 0= 7 y =7y = y
≤ ≤ ≥ ≥
5% 68 & &
E. Pe!"#,$)'$$$n L#ne$!
Pertidaksamaan linear adalah suatu pertidaksamaan yang Bariabelnya paling tinggi berderajat satu. !entuk umum + ax + b (R) 0 ; a, b
∈ R,
a ≠ 0
a : ke$isien dari = = : Bariabel b : knstanta 2- : salah satu relasi pertidakamaan <, >, ≤, ≥ -
4nth+ '- Selesaikan <= 7 % < 6= 7 '& L J$$3
<= 7 % < 6= 7 '& ⇔ <= 7 % # % < 6= 7 '& 3 % ⇔ <= < 6= 7 8 ⇔ <= # 6= < 6= # 6= 7 8 ⇔ %= < 8
⇔
'
'
%
%
.%= < .8 = < 6
*. H#&(n$n Pene%e'$#$n Pe!'$$$n L#ne$! Cn"3
Tentukan himpunan penyelesaian dari + a. %= 7 6 : = 7 5 J$$3
a. %= 7 6 3 6 : = 7 5 3 6 ⇔ %= : = 7 0 ⇔ %= 3 = : 0 ⇔ = : 0 1P : 0N G. H#&(n$n Pene%e'$#$n Pe!"#,$)'$$n L#ne$!
4nth+
'- Tentukan himpunan penyelesaian dari <= 7 6 ≥ 6= 7 %&, = ∈! L J$$3
<= 7 6 ≥ 6= 7 %& ⇔ <= 7 6 3 6 ≥ 6= 7 %& 3 6 ⇔ <= ≥ 6= 7 '< ⇔ <= # 6= ≥ 6= # 6= 7 '< ⇔ %= ≥ '<
⇔
'
'
%
%
.%= ≥
.'<
= ≥ 8 8 Jadi 1P : = = ≥ 8, =∈!N
BAB I6 MATRIKS DAN 6EKTOR A. O&e!$'# M$"!#)'
'. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks ua matriks dapat dijumlahkan bila kedua matriks tersebut berrd sama. Penjumlahan dilakukan dengan menjumlahkan elemen#elemen yang seletak
Jika A :
a + k c + m
a c
b
d
, dan ! :
k m
l
n
, maka A 7 ! :
a "
b
d
7
k m
l
n
:
b + l
d + n
%. Perkalian Matriks dengan !ilangan 2eal n
Jika A :
a "
b
d
, maka nA : n
a "
b
an d "n :
bn
dn
0. Perkalian ua !uah Matriks
Perkalian matriks A dan ! dapat dilakukan bila jumlah klm matriks A sama dengan jumlah baris matriks ! A mOn O ! pOD, jika n : p- dan hasil perkaliannya adalah matriks berrd m O D.
1asil perkalian merupakan jumlah perkalian elemen#elemen baris A dengan klm !.
Jika A :
a c
b
d
, dan ! :
k n
l o
m
p
, maka
AO!:
a c
b
k d n
m
l
p
o
O
:
ak + bn ck + dn
al + bo
am + bp
cm + dp
cl + do
B. In7e!' M$"!#)'
ua matriks A dan ! dikatakan saling inBers bila AO! : !OA : I, dengan demikian A adalah inBers matriks ! atau ! adalah inBers matriks A.
!ila matriks A : − A '
=
' et A-
a "
b
d
, maka inBers A adalah+
AdjA - =
d − b ad − b" − " a '
, ad # b" &
• Si$at#si$at inBers dan determinan matriks '- AO!- #' : ! #' OA #' %- !OA- #' : A #' O! #'
4. >perasi Fektr 1. O&e!$'# Pen8(%$$n 6e)"!
Penjumlahan dua Bektr dapat dikerjakan dalam dua "ara yaitu "ara gra$is dan analitis. a. Cara Graf!
'- engan "ara penjumlahan segitiga atau segitiga Bektr b
a b
7 b
⇒ a
a
b C$!$+ pangkal Bektr a b
a
digeser ke ujung Bektr
maka Bektr hasil
7 adalah Bektr yang menghubungkan pangkal Bektr
a
dengan
b
ujung Bektr . %- engan "ara penjumlahan jajar genjang atau jajar genjang Bektr b
b
a b
⇒
7
a
a
b C$!$+
pangkal Bektr
a
digeser ke pangkal Bektr
, dilukis jajar a b
genjang, maka diagnal dari ujung persekutuan adalah
7 .
)ntuk melakukan penjumlahan lebih dari dua Bektr digunakan aturan segi banyak ptngan-. c
b
a b c
c
7 7
⇒ a
b a
b. Cara "nal#!
'- Apabila kedua Bektr diketahui mengapit sudut tertentu , maka dapat digunakan perhitungan dengan memakai rumus aturan "sinus seperti pada trignmetri. a
b
Apabila sudut antara dan adalah
θ , maka + b
a b
a b
a %
7
7 - : a b
θ
b %
ab %
7 7 %
a
%
4s θ
+ b % + %abCo!θ
7 - : a
%- Jika Bektr disajikan dalam bentuk kmpnen dalam bidang kartesius- maka penjumlahan dapat dilakukan dengan menjumlahkan kmpnennya. a
Misalnya+ : Cn"3
x " y "
b
dan :
x $ y $
a b
maka 7 :
x " + x $ + y y " $
% = − 0
a
a- Apabila
− 6 0
b =
dan
a b
maka
7
:
% + −6- − % = & − + 0 0 a
b
b- iketahui panjang Bektr | | : % dan panjang Bektr | | : 6, a
b
sudut antara Bektr dan adalah <&°, maka + a
a b
7
%
+ b % + %abCo!θ
: %%
:
+ 6 % + %.%.6.Co! <&°
6 + '< + '<. '%
: :
%8 = % 5
2. Pen(!$n$n 6e)"!
b
a
Memperkurangkan Bektr
dari Bektr b
dide$inisikan sebagai
a
menjumlahkan Bektr negati$ pada Bektr dan ditulis + -. a
a b
a
b
− : 7 3
a
⇒ b a b
− b
3 Apabila Bektr disajikan dalam bentuk kmpnen dalam bidang kartesiusmaka pengurangan dapat dilakukan dengan mengurangkan kmpnen3 kmpnennya. 9. Pe!)$%#$n 6e)"! ,en$n S)$%$!
a
a
a
Jika suatu Bektr dan m adalah skalar bilangan nyata-, maka m atau m adalah suatu Bektr dengan kemungkinan + a
a
a. Jika m & maka m adalah Bektr yang besarnya m kali
dan searah
a
dengan . a
b. Jika m & maka m
a
adalah Bektr yang besarnya m kali
dan
a
arahnya berla9anan dengan . a
". Jika m : & maka m adalah nektr nl. 4nth perkalian Bektr dan s"alar a. Fektr diberikan dalam bentuk gambar
a
a
%
' %
a
a
30
b. Fektr diberikan dalm bentuk kmpnen 0 0 < % % a a 6 Jika : maka % : % : 6 6 % ' ' % % b b ' % % Jika : maka : : % % − 6 − = − c = %c % = − '& ( ( Jika maka Apabila titik3titik dalam Bektr dapat dinyatakan sebagai perkalian Bektr yang lain, titik3titik itu disebut klinier segaris-. 4. Pe!)$%#$n D($ 7e)"!
>perasi perkalian pada Bektr dapat dikerjakan melalui dua "ara sebagai berikut + a. Sudut antara kedua vektor diketahui
a
iberikan Bektr a
b
:a ', a %-,
:b', b %- dan sudut yang dibentuk leh
b
a
b
Bektr dan adalah α. Perkalian antara Bektr dan dirumuskan sebagai berikut + a b
a
b
. : . . 4s α Cn"3
a
Tentukan hasil kali kedua Bektr antara kedua Bektr adalah <& °L
:
< '
dan
b
:
0 <
serta sudut
J$$3
iketahui dua buah Bektr sebagai berikut + < a ' → a' : < dan a % : ' : a'
a
%
+ a% %
<%
+ '% =
| | : : 0 b < → b' : 0 dan b % : < : % % b' + b% b 0% + < % = | | : : a b
a
0< + ' =
05
; + 0<
6(
=
b
. : . . 4s α 05 . 6( : .4s <&° 05 . 6( '% : . :
0 %
'8(
Jadi, hasil kali kedua Bektr adalah
0 %
'8(
.
b. Sudut antara kedua vektor tidak diketahui a b
iberikan Bektr :a', a%- dan dirumuskan sebagai berikut + a b
. : a' b' 7 a% b%
:b', b%-. 1asil kali kedua Bektr
Cn"3
a
iberikan Bektr :
( 5
b
dan :
0 − %
a
. Tentukan hasil kali Bektr
b
dan L J$$3
a
( 5
→ a' : ( dan a % : 5 , serta 0 b − % → b' : 0 dan b % : 3% :
iketahui :
a b
. : a' b' 7 a% b% : (.0 7 53%: '( 7 3'6:' a
b
Jadi, hasil kali Bektr dan adalah '. Sementara itu, dari dua buah Bektr pada sistem krdinat kartesius dapat kita "ari besar sudut yang dibentuk leh kedua Bektr yang dirumuskan sebagai berikut + a ' b' + a % b % ab 4s α : BAB 6 LOGIKA MATEMATIKA
A. Menen"()$n In)$!$n ,$!# S($"( Pe!n$"$$n
egasi disebut juga ingkaran * penyangkalan. ari pernyataan tunggal atau majemuk dapat dibuat ingkaran atau negasinya. egasi suatu pernyataan dapat dide$inisikan sebagai berikut + QJika suatu pernyataan p benar, maka negasinya pernyataan p salah maka negasinya ∼ p benarR Tabel kebenaran untuk egasi. p
∼ p
∼
p salah,
sebaliknya jika
B S Cn"3
S !
Tentukan negasi dari pernyataan di ba9ah ini L a. Papan tulis ini 9arnanya hitam. b. % = ( : '&. J$$3
a. Papan tulis ini 9arnanya bukan hitam. b. % = ( ≠ '& In)$!$n ,$!# K$%#$" e!)($n"!
Kuantr adalah imbuhan di depan suatu kalimat terbuka yang dapat mengubah kalimat terbuka itu menjadi suatu pernyataan. Ada dua ma"am kuantr, yaitu + %) &'an#or n*ral (&'an#or m'm)
?ambang + Q∀R diba"a QsemuaR atau Quntuk setiapR. 4nth+ ∀=- =% ≥ &, = ∈ 2diba"a Quntuk setiap = bilangan real berlaku = % ≥ &R dan nilai kebenarannya + !. ) &'an#or k!!#*n!al (&'an#or k-'!'!)
?ambang + Q∃R diba"a Qada beberapaR atau QbeberapaR atau QterdapatR. Ada beberapa minimalnya ' satu-. 4nth+ ∃=-=% 7 %= 7 % : &, = ∈ 2diba"a Q!eberapa = bilangan real berlaku = % 7 %= 7 % : &R dan nilai kebenarannya + S Jika x menyatakan rang*benda dan (x) menyatakan pekerjaan atau si$at rang * benda tersebut, maka berlaku hkum pengingkaran sebagai berikut +
∼ ∀=, P=-- ≡ ∃=, ∼ P=∼ ∃=, P=-- ≡ ∀=, ∼ P=Cn"3
Tentukan ingkaran dari + a. Semua rang di sini sedang belajar. b. Ada beberapa rang di sini sedang melamun. J$$3
a. !eberapa rang di sini tidak sedang belajar. b. Semua rang di sini tidak sedang melamun.
B. Menen"()$n In7e!'+ Kn7e!' $"$( Kn"!$&'#'#
!erdasarkan implikasi p → D dapat diturunkan pernyataan # pernyataan baru yang disebut KnBers, InBers, dan Kntrapsisi. Implikasi KnBers InBers Kntrapsisi
+ p → D + D → p + ∼ p → ∼D + ∼D → ∼ p
Cn"3
Tentukan knBers, inBers, dan kntrapsisi dari + QJika Andi naik kelas, maka ia diberi hadiahR J$$3
KnBers + Jika Andi diberi hadiah, maka ia naik kelas. InBBers + Jika Andi tidak naik kelas, maka ia tidak diberi hadiah. Kntrapsisi + Jika Andi tidak diberi hadiah, maka ia tidak naik kelas. 1ubungan knBers, inBers, dan kntrapsisi dapat ditunjukkan dengan tabel kebenaran berikut + p
q
p ∼
∼ q
p → q
q → p
p → ∼ q ∼
p ∼ q → ∼
B B S S
! S ! S
S S ! !
S ! S !
! S ! !
! ! S !
! ! S !
! S ! !
ari tabel kebenaran di atas + p → q ≡ ∼ q → ∼ p q → p ≡ ∼ p → ∼ q C. Pen$!#)$n Ke'#&(%$n
Pernyataan implikasi beserta kmpnen # kmpnen penbentuknya, yaitu hiptesis dan knklusi, dapat digunakan untuk melakukan penarikan suatu kesimpulan. Pada penarikan kesimpulan, terlebih dahulu perlu diketahui satu atau beberapa pernyataan yang diketahui bernilai benar dan pernyataan terakhir sebagai knklusi atau kesimpulan. Pernyatan # pernyataan tersebut masing # masing disebut sebagai Q pr*m!R, sedangkan kumpulan semua premis disebut sebagai Qarg'm*nR. Jika knjungsi dari premis3premis berimplikasi knklusi, argumentasi itu dapat dikatakan b*rlak' atau !a-. Sebaliknya, kalau knjungsi dari premis3
premis tidak berimplikasi knklusi maka argumen itu dikatakan #dak !a-. Jadi, suatu argumentasi dikatakan sah kalau premis3premisnya bernilai benar maka knklusinya juga benar. !eberapa pembuktian langsung yang dianggap ah*Balid antara lain + mod'! pon*n! , mod'! #oll*n!, dan !log!m*. 1. Modus ponens
4ara penarikan kesimpulan dengan mdus pnens kaidah pengasingan- yaitu menuliskan premis3premisnya baris demi baris dari atas ke ba9ah, kemudian dibubuhi garis mendatar sebagai pembatas premis3 premis dengan kesimpulan*knklusi. Mdus pnens dinyatakan dalam bentuk + Premis ' + p → D !Premis % + p !Knklusi + D !alam bentuk simbl, penarikan kesimpulan dengan mdus pnens dapat ditulis sebagai berikut + p → D- ∧ p → D Cn" 3
Premis ' + Jika iana rajin belajar maka ia akan lulus ujian. Premis % + iana rajin belajar.UUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUU Knklusi + iana akan lulus ujian. Cn" 3
Premis ' + Jika '& habis dibagi % maka '& bilangan genap. Premis % + '& habis dibagi %.UUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUU Knklusi + '& bilangan genap.
2. Modus tollens
4ara penarikan kesimpulan dengan mdus pnens kaidah penlakan akibat- yaitu dari premis3premis p → D dan ∼D dapat diturunkan knklusi ∼ p. Mdus tllens dinyatakan dalam bentuk + Premis ' + p → D !Premis % + ∼D !Knklusi + ∼ p !alam bentuk simbl, penarikan kesimpulan dengan mdus pnens dapat ditulis sebagai berikut + p → D- ∧ ∼D → ∼ p Cn" 3
Premis ' + Jika hari hujan maka langit mendung. Premis % + ?angit tudak mendung.UUUUUUUUUUUUU Knklusi + 1ari tidak hujan. Cn" 3
Premis ' + Jika A!4 sebuah belah ketupat maka A4 ⊥ !. Premis % + A4 tidak tegak lurus !.UUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUU Knklusi + A!4 bukan belah ketupat. 3. Silogisme
4ara penarikan kesimpulan dengan silgisme yaitu dari premis p → D dan D → r dapat ditarik knklusi p → r. Kaidah silgisme menggunakan si$at transiti$ dari implikasi. Silgisme dinyatakan dalam bentuk + Premis ' + p → D !Premis % + D → r !Knklusi + p → r !alam bentuk simbl, penarikan kesimpulan dengan mdus pnens dapat ditulis sebagai berikut + p → D- ∧ D → r- → p → rCn" 3
Premis ' + Jika saya lulus maka saya bekerja. Premis % + Jika saya bekerja maka saya dapat uang.U Knklusi + Jika saya lulus maka saya dapat uang. Cn" 3
Premis ' + Jika n bilangan ganjil maka n % bilangan ganjil. Premis % + Jika n % bilangan ganjil maka n% 7 ' bilangan genap Knklusi + Jika n bilangan ganjil maka n % 7 ' bilangan genap. BAB 6I BANGUN DATAR DAN BANGUN RUANG
A. B$n(n R($n S#'# Len)(n 1. T$(n :S#%#n,e! ;
alam tabung silinder- berlaku rumus3rumus+ d : %r atau r : V d ? a: ?b: r % : d% ? s: %rt : dt ? p: ? a7 ?b 7 ? s: %r r 7 t- : d d 7 tF: ?b t : ? a t : r % t
r : jari3jari atas*alas tabung d : diameter atas* alas tabung t: tinggi tabung ?a : luas bidang atas tabung ?b : luas bidang ba9ah* alas* dasar tabung ?s : luas selimut* selubung tabung ?p: luas permukaan tabung F : Blume* isi tabung 2. Ke!(("
alam keru"ut berlaku rumus3rumus+ d : %r atau r : V d p%: t %7 r % ?b: r % : d% ? s: rp : Vdp ? p: ?b 7 ? s: r r 7 p- :V d d 7 pF : *0 r % t Y : r*p = 0<& r: jari3jari alas keru"ut d: diameter alas keru"ut t : tinggi keru"ut p : panjang garis pelukis atau aptema ?b : luas bidang ba9ah* alas* dasar keru"ut ?s : luas selimut* selubung keru"ut ?p : luas permukaan keru"ut F : Blume* isi keru"ut Y : sudut pusat rebahan 9. Ke!((" Te!&$n(n
alam keru"ut terpan"ung berlaku rumus3rumus+ d' : %r' atau r' : V d ' d% : %r% atau r% : V d % ?b: r '% : d'% ?a: r %% : d%% ? s: p r '7 r %-: Vp d'7 d%? p: ?b 7 ?a7 ? s: pr '7 r %- 7 pr '%7 r %%F : *0 t r' %7 r%% 7 r 'r%r' : jari3jari bidang alas* dasar* ba9ah keru"ut terpan"ung d' : diameter bidang alas* dasar* ba9ah keru"ut terpan"ung r% : jari3jari bidang atas keru"ut terpan"ung d% : diameter bidang atas keru"ut terpan"ung t : tinggi keru"ut terpan"ung p : panjang garis pelukis atau aptema keru"ut terpan"ung ?b : luas bidang ba9ah* alas* dasar keru"ut terpan"ung ?a : luas bidang atas keru"ut terpan"ung
?s : luas selimut* selubung keru"ut terpan"ung ?p : luas permukaan keru"ut terpan"ung F : Blume* isi keru"ut terpan"ung 4. B%$
alam bla berlaku rumus3rumus+ : %2 atau 2: V d : %r atau r : V d 2% : h%7 r % ?t : %2t : t ? p: 62 %: % F : 6* 0 20: * 00 Ft: t% 023 t2 : jari3jari bla : diameter bla r : jari3jari bidang lingkaran d : diameter bidang lingkaran h : jarak pusat bla ke bidang lingkaran t : jarak dari pusat bidang lingkaran ke kulit bla ?p : luas permukaan bla ?t : luas bidang lengkung tembereng F : Blume* isi bla Ft : Blume* isi tembereng bla B. B$n(n R($n S#'# D$"$! 1. K(('
alam kubus berlaku rumus+ ds: a Z% dr: a Z0 ?p: < a % F : a[ 0 a : panjang rusuk kubus ds : panjang diagnal sisi kubus dr : panjang diagnal ruang kubus ?p : luas permukaan kubus F : Blume* isi kubus 2. B$%)
alam balk berlaku rumus3rumus+ d': Z p% 7 l%d%: Z p% 7 t%d0: Z l% 7 t%dr: Z p% 7 l%7 t%?s: % p 7 l -t
?p: % pl 7 pt 7 ltF : plt p : panjang balk l : lebar balk t : tinggi balk d' : panjang diagnal sisi alas* atas d% : panjang diagnal sisi depan* belakang d0 : panjang diagnal sisi samping kiri* kanan dr : panjang diagnal ruang balk ?s : luas selimut* selubung balk ?p : luas permukaan balk F : Blume* isi balk 9. P!#'$ Te$)
alam prisma tegak berlaku rumus3rumus+ ?uas selimut* selubung prisma tegak : keliling alas = panjang rusuk tegak ?uas permukaan prisma tegak ?uas permukaan prisma tegak : luas selimut 7 luas bidang alas 7 luas bidang atas : luas selimut 7 % = luas bidang alas : luas selimut 7 % = luas bidang atas Flume prisma tegak: luas bidang ba9ah* alas* dasar = panjang rusuk tegak tinggi: luas bidang atas = panjang rusuk tegak tinggi4. L#$' :P#!$#,$;
alam limas piramida- berlaku rumus3rumus+ ?uas permukaan limas : luas alas 7 jumlah sisi tegak : luas alas 7 n = luas sisi tegak ?p : ?b 7 n = ? Flume limas : '*0 luas alas = tinggi F : '*0 ?b = t BAB 6II TRIGONOMETRI
PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SUDUT SEGITIGA SIKU < SIKU C Perbandingan Trignmetri Sudut Siku # Siku ' e$inisi % % % S i s i
d e p b a n
a
=
b
+
Sisi miring a
s u d u t
α A
Sisi samping sudut B "
c
sin α =
!! d*pan !'d'# !! mrng
=
b a tan α =
"s α =
!! d*pan !'d'# !! !ampng !'d'#
=
b c
!! !ampng !'d'# c = !! mrng a
e$inisi Perbandingan Trignmetri Sudut Siku # Siku %
"s *cα =
' sin α
=
a
se" α =
b
"t an α =
"sα sin α
=
' "s α
=
a c
c b
KOORDINAT KUTUB DAN KOORDINAT CARTESIUS
y Perhatikan gambar di samping L
" x' , y' -
y'
" x' , y' -
TITIK CARTESIUS
r "
θ x'
=
r , θ -
TITIK kutub
Perhatikan bagan di ba9ah ini L r =
( x' ) % + ( y' ) %
x' = r . "s θ −' y' θ = tan x ' y' = r . sin θ
" r ,θ -
" x' , y' -
BAB 6III BARISAN DAN DERET
A. B$!#'$n A!#"$"#)$
Perhatikan barisan berikut. ',0,(,5,\ %,<,'&,6&,0&,\ <&,(&,6&,0&,\ %
'
0
n
!arisan ini adalah "nth dari barisan aritmatika ) , ) , ) , \..) ialah %
'
0
%
n
barisan aritmatika,jika+ ) 3 ) : ) 3) :\\.: ) 3 ) Knstan ini disebut beda dan dinyatakan dengan b. )ntuk ', 0, (, 5 bedanya ialah 0 # ' : 6 # 0 :5 # ( :\.:
n −'
: knstan
)ntuk <&, (&, 6&, %&,\.bedanya ialah (& 3 <& : 6& # (& : 0& # 6& : 3'& a 2umus suku ke n. Jika suku pertama %
'
%
0
( 6
0
n'
→
dinamakan a, kita mendapatkan+ %
) 3 ) : b
'
) : ) 3 b : a 7 b 0
) 3 ) : b
%
) : ) 3 b : a 7 b- 7 b : a 7 %b ( 6
3 ) : b dan seterusnya.
0
: ) 7 b : a 7 %b- 7 b : a 7 0b
Ini memberikan barisan Aritmatika baku. A, a 7 b, a 7 %b, a 7 0b, \ , a 7 n # '- b 'n
2umus suku ke n adalah
: a 7 n # '- b.
4nth ' 4arilah suku ke 6& dari barisan aritmatika ', <, '', '<, \ Penyelesaian+ A : ', b : < # ', n : 6& 'n
: a 7 n # '- b ' 6&
: ' 6& # '- ( : ';<. 4nth % 4arilah suku pertama dan bedanya, jika diketahui suku kesepuluh 6' dan suku ketiga ialah %&. Penyelesaian+ ''&
: a 7 '& # '- b : a 7 ;b a : ;b : 6'\\.'-
'0
: a 0 # '- b : a 7 %b a 7 %b : %& \\.%-
Sistem persamaannya+ a 7 ;b : 6' a 7 %b : %& 5b : %' b : 0 b : 0 substitusi ke persamaan '-, didapat+ a 7 ;.0- : 6'
a : '6 adi suku pertama a- : '6 dan beda b- : 0. B. B$!#'$n Gee"!#
Perhatikan barisan+ ', %, 6, <, \\. %5, 3;, 0, 3', \.. 3', ', 3', ', \\ adalah "nth3"nth barisan gemetri. '
n
0
%
) , ) , ) , \..) ialah suatu barisan gemetri, jika ( %
( 0
( n
( '
( 6
( n −'
: : \\.. : Knstanta ini dinamakan rasi, atau nisbah dan dinyatakan dengan r. )ntuk ', %, 6, 8, \\.. ,
%
6
8
'
%
6
rasinya :
%5, 3;, 0, 3', \ , rasinya a. 2umus suku ke n.
−;
0
%5
−;
:
:
\\\ : %
− \\\. :
' 0
'
Jika suku pertama ) dinyatakan dengan a, kita mendapatkan+ ( % ( '
%
: r
'
) : ) r : ar
( 0 ( %
0
: r
%
) : ) r : ar-r :
%
ar
( 6 ( 0
( 6
: r
0
:) r:
0
ar
Ini memberi barisan gemetri baku+ ar,
ar % ar 0
,
n
Perhatikan bah9a suku ke n adalah ) : 4nth '
, \.
ar n −'
ar n −'
ar %
-r :
Tentukan suku ke ( dari barisan gemetri+ ', %, 6, \\\ Penyelesaian+ %
a : ', r : n
) : ( (
:
'
: %.
ar n −'
ar 6
: '.
%6
:
%6
: '<
4nth % Tentukan rumus suku ke n dari barisan gemetri %,<, '8, \\. Penyelesaian+ <
a : %, r : n
) :
%
ar n −'
: 0 : %.
0 n −'
4nth 0 Tentukan rasi r, jika diketahui suku3suku barisan gemetri+ '
) : 0 dan
( 6
Penyelesaian+ '
) a : 0 ( 6
:
ar 0
0
ar
r 0
: %6
: 8 r : %
: %6
: %6.
BAB I= PELUANG
'. Permutasi dan Kmbinasi Permutasi
adalah pengaturan
sejumlah
berhingga
bjek
tanpa
pengulangan, yang dipilih dari sejumlah berhingga bjek lain yang lebih besar atau sama banyak dari bjek yang diatur. N"$'# *$)"!#
%$Simbl mL dengan m bilangan asli, diba"a Qm $aktrialR digunakan untuk menyatakan perkalian dari m bilangan asli pertama, yaitu mL : '.%.0\m : ' = % = 0 = \ = m Jika m : &, kita de$inisikan &L : ' a. (L : '.%.0.6.(.: '%& b. 0L 53(-L 0L.%L : <.% : '% 6L
".
&L
=
'.%.0.6 '
=
%6 '
= %6
d. Penugasan kepada 6 karya9an untuk mengemudikan 0 kendaraan dapat dilakukan dengan %6 "ara. Jika dikaitkan dengan in$rmasi sal %6 =
ini dan ntasi $aktrial maka diperleh
6L 6 − 0-L
=
6L 'L
=
'.%.0.6 '
Terema %.' !anyaknya permutasi dari n bjek diambil r unsur pada suatu saat nL n − r -L adalah nPr : Permutasi dengan pengulangan
Permutasi dengan pengulangan adalah permutasi dari n bjek diambil r tetapi dari n bjek tersebut ada beberapa yang terulang. Terema %.% !anyaknya permutasi dari n bjek dengan n ' bjek sama, n % bjek nL
:
Permutasi siklik
n,L.n% L...n r L
Terema %.0 !anyaknya permutasi siklik dari n bjek yang ditempatkan dalam bentuk melingkar adalah n3'-L S$&e% Te!(!("
Jika sebuah bla diambil dari 9adahnya sebanyak r kali maka yang dipilih adalah sampel terurut berukuran r. '. Sampling dengan pengambilan !anyaknya "ara untuk pemilihan sebanyak r kali dari n bjek adalah n.n.n \ n : n r %. Sampling tanpa pengembalian Pemilihan sampel sebanyak r tanpa pengembalian dari n bjek merupakan permutasi n bjek diambil r, banyak "ara yang diperleh. nL
nPr : nn3'- n3%- \ n # r 7 '- :
n − r -L
K#n$'#
Kmbinasi adalah pengaturan sejumlah berhingga bjek yang dipilih tanpa memperhatikan urutannya. Terema %.0 !anyaknya kmbinasi dari n bjek diambil r unsur pada suatu saat adalah n Pr r L
n4r :
=
nL r L n − r -L
dalam kasus r : & atau n, n4 : ' dan n4n : '
Kmbinasi n4r : 4n r- atau
n r
BAB = PENGUKURAN STATISTIK
A. U)(!$n Pe('$"$n D$"$
)kuran pemusatan data terdiri dari tiga bagian, yaitu mean, median, dan mdus. R$"$$n H#"(n :Me$n ;
2ataan hitung seringkali disebut sebagai ukuran pemusatan atau rata3rata hitung. 2ataan hitung juga dikenal dengan istilah m*an dan diberi lambang x . 1; R$"$$n ,$"$ "(n
%$2ataan dari sekumpulan data yang banyaknya n adalah jumlah data dibagi dengan banyaknya data.
&*#*rangan+
: jumlah data
Contoh soal
ari hasil tes '& sis9a kelas XI diperleh data+ 0, 5, <, (, 0, <, ;, 8, 5, dan <. Tentukan rataan dari data tersebut. Penyelesaian
Jadi, rataannya adalah <,&. 2; R$"$$n ,$!# ,$"$ ,#'"!#('# -!e)(en'#
Apabila data disajikan dalam tabel distribusi $rekuensi maka rataan dirumuskan sebagai berikut.
Contoh soal
!erdasarkan data hasil ulangan harian Matematika di kelas XI IPA, enam sis9a mendapat nilai 8, tujuh sis9a mendapat nilai 5, lima belas sis9a mendapat nilai <, tujuh sis9a mendapat nilai (, dan lima sis9a mendapat nilai 6. Tentukan rata3rata nilai ulangan harian Matematika di kelas tersebut. Penyelesaian
Tabel nilai ulangan harian Matematika kelas XI IPA.
Jadi, rataan nilai ulangan harian Matematika di kelas XI IPA adalah <,&(. 9; Me$n ,$"$ e!%n
2ata3rata untuk data berglng pada hakikatnya sama dengan menghitung ratarata data pada distribusi $rekuensi tunggal dengan mengambil titik tengah kelas sebagai x. Perhatikan "nth sal berikut ini. Contoh soal
Tentukan rataan dari data berikut ini.
Jadi, rataannya adalah ('. Selain dengan "ara di atas, ada "ara lain untuk menghitung rataan yaitu dengan menentukan rataan sementara terlebih dulu sebagai berikut. a. Menentukan rataan sementaranya. b. Menentukan simpangan d - dari rataan sementara. ". Menghitung simpangan rataan baru dengan rumus berikut ini. d. Menghitung rataan sesungguhnya.
Perhatikan "nth sal berikut ini. Contoh soal
4arilah rataan dari data berikut dengan menggunakan rataan sementara.
2ataan : rataan sementara 7 simpangan rataan : < 7 &,' : <,'
B. U)(!$n Pe('$"$n D$"$
)kuran pemusatan data terdiri dari tiga bagian, yaitu mean, median, dan mdus. R$"$$n H#"(n :Me$n ;
2ataan hitung seringkali disebut sebagai ukuran pemusatan atau rata3rata hitung. 2ataan hitung juga dikenal dengan istilah m*an dan diberi lambang x . 1; R$"$$n ,$"$ "(n
%$2ataan dari sekumpulan data yang banyaknya n adalah jumlah data dibagi dengan banyaknya data.
&*#*rangan+
: jumlah data
)ntuk lebih jelasnya, pelajarilah "nth sal berikut ini.
Contoh soal
ari hasil tes '& sis9a kelas XI diperleh data+ 0, 5, <, (, 0, <, ;, 8, 5, dan <. Tentukan rataan dari data tersebut. Penyelesaian
Jadi, rataannya adalah <,&. 2; R$"$$n ,$!# ,$"$ ,#'"!#('# -!e)(en'#
Apabila data disajikan dalam tabel distribusi $rekuensi maka rataan dirumuskan sebagai berikut.
Contoh soal
!erdasarkan data hasil ulangan harian Matematika di kelas XI IPA, enam sis9a mendapat nilai 8, tujuh sis9a mendapat nilai 5, lima belas sis9a mendapat nilai <, tujuh sis9a mendapat nilai (, dan lima sis9a mendapat nilai 6. Tentukan rata3rata nilai ulangan harian Matematika di kelas tersebut. Penyelesaian
Tabel nilai ulangan harian Matematika kelas XI IPA.
Jadi, rataan nilai ulangan harian Matematika di kelas XI IPA adalah <,&(. 0-
Me$n ,$"$ e!%n
2ata3rata untuk data berglng pada hakikatnya sama dengan menghitung ratarata data pada distribusi $rekuensi tunggal dengan mengambil titik tengah kelas sebagai x. Perhatikan "nth sal berikut ini. Contoh soal
Tentukan rataan dari data berikut ini.
Jadi, rataannya adalah ('. Selain dengan "ara di atas, ada "ara lain untuk menghitung rataan yaitu dengan menentukan rataan sementara terlebih dulu sebagai berikut. a. Menentukan rataan sementaranya. b. Menentukan simpangan d - dari rataan sementara. ". Menghitung simpangan rataan baru dengan rumus berikut ini. d. Menghitung rataan sesungguhnya.
Perhatikan "nth sal berikut ini. Contoh soal
4arilah rataan dari data berikut dengan menggunakan rataan sementara.
2ataan : rataan sementara 7 simpangan rataan : < 7 &,' : <,'
BAB =I LIMIT *UNGSI DAN TURUNAN
1. Menen"()$n L##" *(n'# A%8$$!
Kita dapat menentukan nilai limit suatu $ungsi dengan beberapa "ara, yaitu+
$. S("#"('#
Perhatikanlah "nth berikutL Cn"3
lim ( x %
x →0
Tentukan nilai
−8 L
Pene%e'$#$n 3
ilai limit dari $ungsi $=- : = % # 8 dapat kita ketahui se"ara langsung, yaitu dengan "ara mensubtitusikan = :0 ke $=lim ( x %
x → 0
− 8) = 0% − 8 = ; − 8
=' Artinya bilamana = dekat 0 maka = % # 8 dekat pada 0 % # 8 :; # 8 : ' engan ketentuan sebagai berikut+ lim f x- = a
a- Jika $ a- : ", maka
x → a
c
b- Jika $ a- :
lim f x- =]
&
, maka
&
"- Jika $ a- :
c
x → a
lim f x- = &
, maka
x → a
. Pe-$)"!$n
4ara ini digunakan ketika $ungsi3$ungsi tersebut bisa di$aktrkan sehingga tidak menghasilkan nilai tak terde$inisi. Perhatikanlah "nth berikutL Cn"3
−; x →0 x − 0 lim
Tentukan nilai
x %
L 0% − ;
Jika = : 0 kita subtitusikan maka $ 0- :
0−0
=
& &
.
Kita telah mengetahui bah9a semua bilangan yang dibagi dengan &
−; x → 0 x − 0 lim
tidak terde$inisi. Ini berarti untuk menentukan nilai
x %
, kita
harus men"ari $ungsi yang baru sehingga tidak terjadi pembagian dengan nl. )ntuk menentukan $ungsi yang baru itu, kita tinggal men$aktrkan $ungsi $ =- sehingga menjadi+ ( x − 0)( x + 0) = ( x + 0). ( x − 0)
−; x → 0 x − 0 lim
Jadi,
x %
x − 0 = ' x − 0
( x − 0)( x + 0) x → 0 ( x − 0) lim
:
lim ( x + 0)
:
x → 0
:070:< . Me!$'#n$%)$n Pene("
4ara yang ke3tiga ini digunakan apanila penyebutnya berbentuk akar yang perlu dirasinalkan, sehingga tidak terjadi pembagian angka & dengan &. Perhatikanlah "nth berikutL Cn"3
lim
x %
x → %
Tentukan nilai
− 0 x + % x − %
L
Pene%e'$#$n3
lim
x → %
x %
− 0 x + % x − %
lim
x %
x → %
:
− 0 x + % . x − %
( x − 0 x + %)( lim %
x → %
:
( x − % )
x − % x − % x − % %
)
( x − ')( x − %) ( x − % ) x → % ( x − %) lim
:
lim ( x − ') x − %
:
x → %
( % − '). % − % : :'.& :& ,. Me!$'#n$%)$n Pe#%$n
Perhatikanlah "nth berikutL Cn"3
lim
0 x − % − 6 x − 0 x − '
x →'
Tentukan nilai
L
Pene%e'$#$n3
lim
0 x − % − 6 x − 0 x − '
x →'
lim
x − '
x →'
: lim
x →'
:
0 x − %
+ 0 x − % +
0 x − % − 6 x − 0
(
0 x − %
.
) −( %
6 x − 0
)
%
( x − ') ( 0 x − % + 6 x − 0 )
− x + ' x →' ( x − ') ( 0 x − % +
6 x − 0
)
− ( x − ') x →' ( x − ') ( 0 x − % +
6 x − 0
)
lim
: lim
: lim
x →'
:
−' 0 x − % +
6 x − 0
6 x − 0 6 x − 0
:
:
−' 0.' − % + −' '+
'
:
6.' − 0
−' ' − '+' % :
%. Menentukan Turunan @ungsi Aljabar e$inisi turunan + @ungsi $ + = → y atau y : $ =- mempunyai turunan yang dintasikan y^ : $^=- atau dy : d$=- dan di de$inisikan + d= d= y^ : $^=- : lim $= 7 h- # $=- atau dy : lim $ = 7∆=- # $=h→& h d= h→& h tasi kedua ini disebut ntasi ?eibni_. 4nth '+ Tentukan turunan dari $=- : 6= # 0 Ja9ab $=- : 6= # 0 $ = 7 h- : 6= 7 h- # 0 : 6= 7 6h 30 lim
Sehingga+ $^=- :
f x + -- − f x -
-→&
lim
6 x + 6- − 0- − 6 x − 0-
- →&
: lim
6 x + 6- − 0 − 6 x + 0-
- →&
-
: lim
-→&
:
6-
lim 6
:
-→&
: 6 RUMUS>RUMUS TURUNAN
dy dx
'. Turunan $=- : a= adalah $^=- : an= atau : an=n3' %. )ntuk u dan B suatu $ungsi," bilangan 2eal dan n bilangan 2asinal berlaku a. y : ` B y^ : B^ ` u^ b. y : ".u y^ : ".u^ ". y : u.B y^ : u^ B 7 u.B^ n
y
n3'
'
' ) − ')
)
)%
= → y =
d. e. y : un y^ : n. u n3'.u^ 4nth+ S$% )e>1
Jika $=- : 0=% 7 6 maka nilai $ '=- yang mungkin adalah \. Pe$$'$n
$=$ '=-
: 0=% 7 6 : 0.%= : <=
S$% )e>2
ilai turunan pertama dari+ $=- : %=-% 7 '%=% # 8= 7 6 adalah \ Pe$$'$n
$=$ '=-
: %=0 7 '%=% # 8= 7 6 : %.0=% 7 '%.%= # 8 : <=% 7 %6= 38
S$% )e>9
Turunan ke3 ' dari $=- : 0=3%-6=7'- adalah \ Pe$$'$n
$=$=$=$ '=-
: 0=3%-6=7': '%=% 7 0= # 8= # % : '%=% # (= # % : %6= # (
S$% )e> 4
Jika $=- : %= # '- 0 maka nilai $ '=- adalah \ Pe$$'$n
$=- : %= # '-0 $ '=- : 0%= # '- % %$ '=- : <%= # '- % $ '=- : <%= # '-%= # '$ '=- : <6=% # 6=7'$ '=- : %6=% # %6= 7 <
S$% )e> 5
Turunan pertama dari $=- : (=% # '-% adalah \ Pe$$'$n
$=- : (=% # '-0 $ '=- : %(=% # '- '&=$ '=- : %&= (=% # '$ '=- : '&&=0 # %&=
BAB =II KONSEP INTEGRAL
INTEGRAL TAK TENTU DAN TENTU
• Integral Tak Tentu tasi*lambang untuk menyatakan integral adalah ∫ . Misalkan @=menyatakan $ungsi dalam =, dengan $=- turunan dari @=- dan " knstanta berupa bilangan real sembarang, maka ntasi integral tak tentu dari $=- adalah
∫ f x- dx = / x- + c 2umus dasar integral tak tentu a. Integral @ungsi Aljabar 4ara menentukan integral $ungsi aljabar. Misalkan y : = n7' maka kita dapat menentukan turunan pertamanya, yaitu y : n7'- = n7'-3' : n7'- =n. y :
dy
dy
dx
dx
sehingga diperleh
: n7'- =n. ari persamaan tersebut diperleh
dy : n 7 '- = n d=. Apabila diintegralkan kedua ruas akan diperleh persamaan+
∫ dy : ∫ n 7 '- =n d= ⇔ y 7 " : ∫ n 7 '- =n d= Kemudian disubtitusikan dengan bentuk $ungsi y : = n 7 '- diperleh '
∫ n 7 '- = n d= : =n 7 '- 7 ", sehingga diperleh ∫ =n d= :
n +'
x n +'
+c , n ≠ #'
Pada materi di$erensial, jika turunan @=- adalah $=- dan turunan H=dy
adalah g=- maka turunan dari y: @=- 7 H=- adalah
dx
:$=- 7 g=-,
dengan demikian dapat dinyatakan bah9a
∫ $=- 7 g=- d= : ∫ $=- d= 7 ∫ g=- d= Si$at3si$at yang merupakan rumus3rumus dasar integral adalah sebagai berikut. '. ∫ d= : = 7 " '
%. ∫ = d= : n
n +'
=n7' 7 "E n ≠ #'
a a
0. ∫ d= : a
n
n + '
=n7' 7 "E n ≠ #'
a
6. ∫ d= : 7 " (. ∫ $=- 7 g=- d= : ∫ $=- d= 7 ∫ g=- d= <. ∫ $=- # g=- d= : ∫ $=- d= # ∫ g=- d= a
a
5. ∫ $=- d= : ∫ $=- d= '. Jika $=- : sin = maka $=- : "s =
%. Jika $=- : "s = maka $=- : #sin = 0. Jika $=- : tan = maka $=- : se"% = 6. Jika $=- : "t = maka $=- : #"se"% = (. Jika $=- : se" = maka $=- : se" = tan = <. Jika $=- : "se" = maka $=- : "se" = "t = 4nth+ '. Selesaikan pengintegralan dari ∫ =6 √= d=. Penyelesaian+ '
∫
x 6 x x % dx
∫ = √= d= : 6
∫
x
6 '%
dx
?
'
x 6 '% + '
6 '% +'
+c
?
%
''
x % ''
+c
?
b. Integral @ungsi Trignmetri Karena integral adalah perasi kebalikan inBers- dari turunan di$erensial-, integral trignmetri dapat dirumuskan sebagai berikut+
• ∫ sin = d= : #"s = 7 " • ∫ "s = d= : sin = 7 " ' a
• ∫ sin a= d= : # "s a= 7 " '
• ∫ "s a= d= :
a
sin a= 7 " ' a
• ∫ sin a= 7 b- d= : # "s a= 7b - 7 "
' a
• ∫ "s a= 7 b- d= : •
sin a= 7b - 7 "
Integral Tentu Misalkan $ kntinu pada interBal tertutup a,b atau a ≤ = ≤ b. Jika @ suatu $ungsi sedemikian rupa sehingga @ ′ =- : $=- untuk semua = pada a,b, maka berlaku b
∫ f x-dx = [ / x&] a
b a
= / b- − / a-
@=- adalah antiturunan dari $=- pada a ≤ = ≤ b. 1ubungan di atas dinamakan dengan terema dasar kalkulus. engan terema ini, nilai integral tertentu lebih mudah diketahui. !ukti terema di atas adalah sebagai berikut. !ukti+ x
Misal g=- :
∫ f x-dx a
dengan =∈a,b maka g=- merupakan integral tak
x
tentu sehingga g=- :
∫ f x-dx a
: @=- 7 ".
Si$at3si$at integral tertentu+ Misal $=- dan g=- adalah $ungsi kntinu maka+ a
a.
∫ f x-dx a
b
b.
∫ a
b
".
∫ a
:& a
∫ f x-dx
f x- dx
: #
b
b
f x- dx
: "
∫ f x-dx a
b
d.
∫ a [ f x- ± g x-]dx c
e.
∫ a
f x- dx +
b
∫ a
b
:
, dengan " knstanta
∫ a
b
f x -dx
±
∫ g x-dx a
b
f x - dx
:
∫ f x-dx a
E dengan a " b.
