MAKALAH METODE NUMERIK PERSAMAAN NONLINEAR (METODE (METODE TERTUTUP DAN METODE TERBUKA)
Dosen Pengampu: Alrizal, S.Pd.,M.Si .
Disusun Oleh : Siti Hadijah
(RSA1C315006) (RSA1C315006)
Anggun Prihatini
(RSA1C315007) (RSA1C315007)
Pipit Rostika
(RSA1C315008) (RSA1C315008)
Miko Danu Pangestu
(RSA1C315009)
Erina Sawitri
(RSA1C315011) (RSA1C315011)
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN FISIKA PGMIPA-U JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS JAMBI 2018
KATA PENGANTAR
Puji syukur kami panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa, karena atas rahmat-Nya kami dapat menyelesaikan makalah yang berjudul “
Persamaan Persamaan Nonlinear (Metode Tertutup
Dan Metode Metode Terbuka) Terbuka) ”
yang diajukan untuk memenuhi tugas pada mata kuliah metode numerik. Makalah
ini
berisi
tentang
persamaan
nonlinear
dalam
pembelajaran metode numeric meliputi metode tertutup dan metode terbuka. Makalah ini membahas membahas tentang apa saja jenis jenis dari metode tertutup seperti metode grafik, metode bisection (bagi dua), dan metode regula-falsi serta metode terbuka meliputi metode lelaran titik tetap, metode Newton metode Newton Raphson’s dan Raphson’s dan metode Secant. Makalah ini dapat diselesaikan dengan bantuan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, sudah sepantasnya pada kesempatan ini kami selaku tim penulis menyampaikan terima kasih kepada Bapak alrizal S.Pd, M.Si, selaku pembimbing yang telah memberikan pengarahan sehingga mampu menyelesaikan makalah ini dengan baik. Tim penulis berharap dengan adanya makalah ini, pembaca dapat memberikan kritik dan saran yang sifatnya membangun. Akhir kata, tim penulis berharap semoga makalah ini bermanfaat bagi kita semua.
Jambi, Maret 2018
Tim Penulis
KATA PENGANTAR
Puji syukur kami panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa, karena atas rahmat-Nya kami dapat menyelesaikan makalah yang berjudul “
Persamaan Persamaan Nonlinear (Metode Tertutup
Dan Metode Metode Terbuka) Terbuka) ”
yang diajukan untuk memenuhi tugas pada mata kuliah metode numerik. Makalah
ini
berisi
tentang
persamaan
nonlinear
dalam
pembelajaran metode numeric meliputi metode tertutup dan metode terbuka. Makalah ini membahas membahas tentang apa saja jenis jenis dari metode tertutup seperti metode grafik, metode bisection (bagi dua), dan metode regula-falsi serta metode terbuka meliputi metode lelaran titik tetap, metode Newton metode Newton Raphson’s dan Raphson’s dan metode Secant. Makalah ini dapat diselesaikan dengan bantuan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, sudah sepantasnya pada kesempatan ini kami selaku tim penulis menyampaikan terima kasih kepada Bapak alrizal S.Pd, M.Si, selaku pembimbing yang telah memberikan pengarahan sehingga mampu menyelesaikan makalah ini dengan baik. Tim penulis berharap dengan adanya makalah ini, pembaca dapat memberikan kritik dan saran yang sifatnya membangun. Akhir kata, tim penulis berharap semoga makalah ini bermanfaat bagi kita semua.
Jambi, Maret 2018
Tim Penulis
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ...................................................... ............................................................................ ........................... ..... 2 DAFTAR ISI ............................................. .................................................................... ............................................. ........................... ..... 3 BAB I: PENDAHULUAN ........................................... ................................................................. ............................... ......... 4 1.1
Latar Belakang ........................................... ................................................................. ................................... ............. 4
1.2
Rumusan Masalah .......................................... ................................................................ ............................... ......... 5
1.3
Tujuan Penulisan ............................................ .................................................................. ............................... ......... 5
BAB II: KAJIAN TEORI ......................................... ............................................................... ................................... ............. 6 2.1 Metode Tertutup ........................ .............................................. ............................................ ................................... ............. 6 2.1.1 Metode Grafik .......................................... ................................................................ ................................... ............. 6 2.1.2 Metode Bisection ............................... ..................................................... .......................................... .................... 8 2.1.3 Metode Regulasi-Falsa ................................................... .............................................................. ........... 13 2.2 Metode Terbuka ...................................................... ............................................................................ ......................... ... 17 2.2.1 Metode Lelaran Titik Tetap ............................................ ....................................................... ........... 17 17 2.2.2 Metode Newton Raphson ............................................ .......................................................... .............. 22 2.2.3 Metode Secant ......................................................... ........................................................................... .................. 25 25 BAB III: PENUTUP .......................................... ................................................................ ........................................ .................. 29 3.1 Kesimpulan .......................................... ................................................................ ............................................ ...................... 29 3.2 Saran.......................................... ................................................................ ............................................ ................................. ........... 29 DAFTAR PUSTAKA ................................................... ......................................................................... ............................. ....... 30
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang
Fisika adalah satu cabang dari ilmu Sains bersifat abstrak yang paling dasar dari ilmu pengetahuan lain. Kajian atau bahasanya bersifat kompleks mulai dari bagian terkecil seperti partikel, sub atom , dan atom hingga ke bagian terbesar seperti bumi dan jagad raya.
Hal ini sesuai
dengan yang dikatakan Hugh D.Y dan Freedman (2002) Fisika adalah ilmu eksperimental yang paling dasar dari disiplin ilmu pengetahuan lain yang memanfaatkan ide- ide dari fisik dasar dari semua ilmu rekayasa dan teknologi. Dalam pembelajaran fisika mahasiswa sering dihadapakan pada perhitungan matematika yang rumit dan sulit. Munir (2003:1) menyatakan bahwa model matematika yang rumit ini adakalanya tidak dapat diselsaikan dengan metode analitik yang sudah umum untuk mendapatkan solusi sejati (exact solution).
Yang dimaksud dengan metode analitik
adalah metode penyelesaian model matematika dengan rumus
– rumus
aljabar yang sudah baku atau lazim. Persoalan matematika yang tidak dapat diselesaikan dengan cara analitik dapat diselsaikan dengan menggunakan metode numerik. Metode numerik adalah suatu metode yang digunakan untuk memformulasikan persoalan
matematika
sehingga
dapat
diselsaikan
dengan
operasi
perhitungan/ aritmatika biasa. Metode numerik banyak perperan dalam berbagai ilmu pengetahuan, bidang rekayasa, dan dalam komputer. Munir (2003:10)
menyatakan
tedapat
beberapa
alasan
mengapa
perlu
mempelajari metode numerik salah satunya yaitu metode numerik merupakan alat bantu pemecahan masalah matematika yang sangat ampuh, mampu menangani sistem persamaan besar, dan geometri yang rumit serta menyediakan sarana untuk memperkuat kembali pemahaman matematika, karena metode numerik ditemukan dengan menyederhanakan matematika yang lebih tinggi menjadi operasi matematika ynag lebih mendasar. Oleh karena itu, sebagai seorang mahasiswa fisika yang sering dihadapkan dengan permasalahan tersebut perlu belajar metode numerik
dan memahami bagaimana menghitung menggunkan metode numerik. Pada metode numerik itu sendiri terdapat beberapa metode yang perlu di pahami untuk mempermudah menyelsaikan permasalahan matematika yaitu metode tertutup dan metode terbuka. Maka dari itu dalam makalah ini dipaparkan materi metode numerik metode tertutup dan metode terbuka. 1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang diatas dapat dirumuskan apa saja jenis jenis serta kegunaan metode terbuka dan tertutup pada Fungsi Nonlinear. 1.3 Tujuan Penulisan
Berdasarkan rumusan masalah yang telah dipaparkan makalah ini bertujuan untuk memahami apa saja jenis-jenis serta kegunaan metode terbuka dan tertutup pada Fungsi Nonlinear
BAB II KAJIAN TEORI 2. Persamaan Nonlinear
Menurut Nanda, dkk (2013) persamaan nonlinear merupakan kumpulan dari bebrapa persamaan non linear dengan fungsi tujuannya saja atau persamaan dengan fungsi kedala berbentuk nonlinear, yaitu pangkat variabelnya lebih dari satu. Metode penyelesaian akar-akar persamaan secara komputasi numerik dapat dibedaka menjadi dua macam, yaitu metode pengurungan (bracketing method ) dan metode terbuka (open method ). Metode pengurungan merupakan metode yang memerlukan dua titik sebagai tebakan awaln dengan akar-akar persamaan yamg diperkirakan berada di antara kedua titik tebakan awal tersebut. Di sisi metode terbuka hanya memerlukan satu titik sebagai tebakan awal. 2.1 Metode Tertutup
Menurut Setia Budi (2010) Metode Tertutup merupakan metode yang diawali dengan menebakan dua angka yang posisinya berada diantara nilai akar yang dicari. Pengulangan kedua angka posisi atas dan bawah, baik mdengan metode bagi dua atau posisi palsu, menuju nilai akar yang dicari. Menurut Sudiadi (2015) Metode Tertutup atau Metode Pengurung (Bracketing Method) Metode Tertutup disebut juga Metode Pengurung (bracketing method) adalah metode yang mencari akar atau akar-akar di dalam selang [a, b]. Metode tertutup terdiri dari beberapa jenis, yaitu metode grafis, metode bagi dua (bisection), dan metode posisi salah (regula falsi). 2.1.1 Metode Grafik
Menurut Sudiadi (2015) Metode grafis adalah metode yang sederhana untuk memperoleh hampiran nilai x untuk fungsi
()
atau titik di
mana grafik fungsi memotong sumbu x. Misal terhadap fungsi
()
grafik fungsi tersebut pada koordinat Kartesius
. Lalu kita gambarkan
Gambar
Grafik Fungsi
()
Dari gambar tersebut kita dapat memperkirakan nilai kar-akar persamaan, yaitu
() () () ,
, dan
.
Kekurangan metode grafik adalah hasil yang didapat merupakan hampiran kasar. Dengan kata lain galat (error ) yang dihasilkan lebih besar jika dibandingkan dengan metode lainnya. Sedangkan kelebihannya adalah dapat memperhatikan sifat-sifat fungsi.
Gambar Sifat-sifat Fungsi Perhatikan gambar a, b, c, dan d. Misalkan kontinu dan tidak menyinggung sumbu x
()
()
dan [
adalah fungsi yang ]. Jika
()
dan
mempunyai tanda yang sama: + dan + atau – dan -, maka jumlah
titik potong a, b, dan c.
()
dengan sumbu x berjumlah genap (0,2,4,....).lihat gambar
Jika
() ()
mempunyai tanda yang berbeda : + dan - atau – dan
dan
+, maka jumlah titik potong
()
dengan sumbu x berjumlah ganjil (1, 3,
5....). lihat gambar d dan e. Contoh Metode Grafik
Tentukan lokasi titik potongan grafik
()
dengan
sumbu x pada interval [-3,3] Penyelesaian Gambarkan grafik
()
Dari Gambar dapat diperkirankan lokasi titik potong grafik
()
dengan sumbu x pada interval [-3,3], yaitu pada x= (-2,9),
(1,6), (-0,3), (0,9), (2,2), (3,3)
Gambar Titik Potongan
()
dengan sumbu x
2.1.2 Metode Bisection
According to Byers (1988) A bisection method to determine the 2 norm and frobenius norm distance from a given matrxs A to the nearest matrix with an eignvalue on the imaginary axis.
Misalkan kita telah menentukan selang [a, b] sehingga . Pada setiap kali lelaran,
() ()
[a, b] kita bagi dua di, sehingga
terdapat dua buah subselang yang berukuran sama yaitu selang[a, c] dan [c, b] . Selang yang diambil untuk lelaran berikutnya adalah subselang yang memuat akar, bergantung pada apakah
. .
() ( ) () () atau
[a, Bagi Dua di
[a, c]
[c, b]
( ) ( )
y
Tida
Selang baru : [a, b]
Selang baru : [a, b]
Selang yang baru di bagi dua lagi dengan cara yang sama. Begitu seterusnya sampai ukuran selang yang baru sudah sangat kecil. Kondisi berhenti lelaran dapat dipilih salah satu dari tiga kriteria berikut: 1.
Lebar selang baru │ a-b│ <
yang dalam hal ini adalah nilai toleransi
lebar selang yang mengurung akar. 2. Nilai
()
fungsi di hampiran akar:
, bebrapa bahsa pemprograman
membolehkan pembandingan dua buah bilangan rill, sehingga perbandingan
()
, dibenarkan. Namun kalau kita kembali ke
konsep awal bahwa dua buah bilangan rill tidak dapat dibandingkan kesamaanya karena presentasinya didalam mesin tidak tepat, maka kita dapat menggunakan bilangan yang sangat kecil
(misalnya epsilon
mesin) sebagai pengganti nilai nol . Dengan demikian, menguji kesamaan 3. Galat
()
relatif akar :
dapat hampiri dengan
│c baru-clama/c baru│ <
galat relatif hampiran yang diinginkan.
() Yang dalam hal ini
.
adalah
Gambar.3.4 proses pembagian selang [a,b] dengan metode bagidua procedure BagiDua(a,b: real); { Mencari akar f(x)=0 di dalam selang [a,b] dengan metode bagidua K.Awal : a dan b adalah ujung-ujung selang sehingga f(a)*f(b) < 0, nilai a dan b sudah terdefinisi. K.Akhir : Hampiran akar tercetak di layar. }
const
epsilon1 = 0.000001; {batas lebar selang akhir lelaran} epsilon2 = 0.00000001; {bilangan yang sangat kecil, mendekati nol} be gi n re pe at
c:=(a+b)/2; { titik tengah [a,b]} if f(a)*f(c) < 0 then b:=c {selang baru [a,b]=[a,c]} else
a:=c; {selang baru [a,b]=[c,b]} until (ABS(a-b)< epsilon1) or (f(c)) < epsilon2); { c adalah akar persamaan }
writeln(‘Hampiran Akar = ‘, x:10:6); End ;
Kasus yang mungkin terjadi di pada penggunaan metode bagidua
1. Jumlah akar lebih dari satu Bila dalam selang [a,b] terdapat lebih dari satu akar (banyaknya akar ganjil), hanya satu buah akar yang dapat ditemukan. Cara mengatasinya: menggunkan selang [a,b] yang cukup kecil yang memuat hanya satu bahan bakar. 2. Akar ganda Metode bagidua tidak berhasil menemukan akar ganda. Hal ini disebabkan karena tidak terdapat perbedaan tanda di ujung – ujung selang yang baru. Contoh :
() () ()()
, mempunayai dua akar
yang sama, yaitu
Gambar 3.4 akar ganda 3. Singularitas Pada titik singular, nilai fungsinya tidak terdefenisi, bilang selang [a,b] mengadung titik singular, leleran metode bagidua tidak pernah berhenti. Penyebabnya, metode bagidua menganggap titik singular sebagai akar karena leleran cendrung konvergen. Yang sebenarnya, titik singular bukan akar, melaikan akar semu. Pada setiap leleran pada metode bagidua, kita mencatat bahwa selisih antara akar sejati dengan akar hampiran tidak pernah melebihi setengah panajng selang saat itu. Pernyataan dinyatakan dengan teorema berikut:
()
Teorema : jika
menerus didalam selang [a,b] dengan
sehingga
dan
s
() ()
() dan
, maka selalu
berlaku dua ketidaksamaan berikut: (i)│s - cr │
/ 2
Dan (ii) )│s - cr │
0,1,2,...
Bukti : misalkan pada laleran ke – r kita mendapatkan selang [a r, br ] yang panjang nya setengah panjang selang sebelumnya, [a r-1, br-1]. Jadi
│ b1 – a1 │= │ b0 – a0 │/2 = │ b-a │/ 2 │ b2 – a2 │= │ b1 – a1 │/2 = │ b-a │/ 22 │ b3 – a3 │= │ b2 – a2 │/2 = │ b-a │/ 23 .....
│ b1 – ar │= │ br-1 – ar-1│/2 = │ b-a │/ 2r Pada leleran ke – r, posisi cr (akar hampiran)
dan s (akar sejati) adalah
seperti diagram berikut:
ar
s
cr
br
Besaran diagram diatas jelas bahwa :
│s - cr │ / 2 Selanjutnya, │r – cr │ │br – ar │/2 = 1/2│b-a │/ 2r = │b – a│/ 2r+1 Jadi, selelih antara akar sejati dengan akar hampiran tidak pernah lebih dari setengan epsilon Dengan mengingat kriteria berhenti adalah │ br – ar │< terlihat bahwa
│s - cr │
sehingga
= 2r > │b - a│/
= r ln (2) > ln (│b -a│) – ln =r>
( || )()
, maka dari (i)
( || )()
= R>
Contoh soal: dengan menggunakan metode bisection carilah akar dari
() () ()
yang ada dianatara
desimal. A
B
0,7 0,8 0,75 0,75 0,8 0,775 0,75 0,775 0,7625 0,75 0,7625 0,75625 0,75 0,75625 0,75313 0,753 0,75625 0,75469 0,755 0,75625 0,75547 0,755 0,755468 0,75508 2.1.3 Metode Regulasi-Falsa
, teliti sampai 4
-0,167 -0,01563 -0,01563 -0,01563 -0,01563 -0,01563 -0,00061 -0,00061
0,152 0,152 0,0661 0,02473 0,00442 0,00442 0,00442 0,0019
() -0,01563 0,06611 0,02473 0,00442 -0,00563 -0,00061 0,0019 0,00065
Meskipun metode bagidua selalu berhasil menemukan akar, tetapi kecepatan konvergensinya sangat lambat. Kecepatan konvergensi dapat ditingkatkan bila nilai Logikanya, bila
()
()
dan
()
juga turut diperhitungkan.
lebih dekat ke nol dari pada
()
tentu akan lebih
dekat dengan x = a daripada x = b . Metode yang memanfaatkan nilai
()
dan fb ini adalah metode regula falsi (bahasa latin) atau metode posisi palsu. ( false position method ) dengan metode ini, dibuat garis lurus yang menghubungkan titik a,
() () () b,
perpotongan garis tersebut dangan
sumbu x merupakan taksiran akar yang diperbaiki. garis lurus tadi seolaholah berlaku menggantikan kurva
dan memberikan posisi palsu dari
akar.
Gradient garis AB = gradient garis BC
() () ()
yang dapat disederhanakan menjadi
) ()( ()()
algoritma regula-falsi (lihat program 3.3) hampir sama dengan algoritma bagidua kecuali pada perhitungan c.
Secara umum, metode regula-falsi lebih cepat konvergensinya dibandingkan dengan metode bagi dua. namun, pada beberapa kasus kecepatannya konvergensinya justru lebih lambat. bila kita memakai program 3.4 untuk menghitung akar 1] dan
didalam selang [0,
. maka tabel lelarannya yang dihasilkan adalah sebagai
berikut:
hamparan akar
()
Jumlah leleran pada tabel diatas =22, lebih banyak daripada jumlah leleran metode bagidua. bila diperhatikan, dari leleran 12 sampai 21, nilai tidak pernah berubah, padahal
()
sudah sangat kecil (=0). kasus seperti
ini akan terjadi bila kurva fungsinya cekung (konkaf) didalam selang
[
]. Akibatnya,garis potonganya selalu terletak diatas kurva (bila
kurvanya cekung ke atas) atau selalu terletak diatas kurva ( bila kurvanya cekung kebawah). Perhatikan gambar 3.8
Pada kondisi yang paling ekstrim
||
tidak pernah lebih kecil
daripada E, sebab salah satu titik ujung selang, dalam hal ini
| | ||
untuk setiap lelaran
, selalu tetap
. titik ujung selang yang tidak pernah
berubah itu dinamakan Titik Mandek ( stagnant point). Pada titik mandek
yang dapat mengakibatkan program mengalami looping. untuk mengatasi hal ni ,kondisi berhenti di algoritma rula falsi harus kita tambah dengan memeriksa apakah nilai
()
jadi, kondisi pada repeat until (ABS(a-b)
sudah sangat kecil sehingga mendekari nol.
until
menjadi
epsilonl) or (ABS(f(c))
epsilonl2)
bila perubahan ini diterapkan pada soal pencarian akar diatas dengan epsilon 2= 0.00001, lelerannya akan berhenti pada r = 12 dengan akar x = 0.605267 Perbaikan Metode Regula – Falsi
Untuk mengatasi kemungkinan kasus titik mandek, metode regulafalsi kemudian diperbaikai (modified false position method ). Caranya pada akhir leleran r = 0, kita sudah memperolaeh selang baru akan dipakai pada leleran r = 1. Berdasarkan selang baru tersebut, tentukan titik ujung selang
yang tidak berubah (jumlah selang baru tersebut, tentukan titik ujung selang
yang tidak berubah ( jumlah perulangan
1)- yang kemudian
menjadi titik mandek. Nilai f pada titik mandek itu diganti menjadai setengah kalinya, yang akan dipakai pada leleran r =1. misalkan fungsi
()
cekung keatas dalam selang [a,b] seperti yang
ditunjukkan pada gambar 3.9
Setelah menghitung ilia
pada leleran r = 0, ujung selang b untuk
leleran r = 1 tidak berubah. Titik b menjadi titik mandek. Karena itu, titik leleran r = 1, nilai
() ()
lelaran r = 2 nilai
() ()
yang dipakai adalah
/2. Begitu juga untuk
yang dipakai adalah setengah dari nilai
sebelumnya. Pada akhir leleran r = 2,
y=
()
sudah terletak dibawah kurva
. selang yang dipakai selanjutnya adalah [
. dengan cara ini
kita dapat menghilangkan titik mandek yang berkepanjangan.
()
Tabel lelaran dari program 3.4 untuk menghitung didalam selang [0,1] dengan
adalah
sebagai berikut:
hamparan
Telihat bahwa jumlah lelerannya berkurang menjadi sepertiga semula. Harus dicatat bahwa metode regula falsi yang diperbaiki tetap berlaku untuk fungsi yang tidak cekung sekalipun, jadi, jika anda memprogram dengan metode regula-falsi, pakailah program 3.4 ini untuk semua kemungkinan kasus fungsi. 2.2 Metode Terbuka 2.2.1 Metode Lelaran Titik Tetap
A. Pengertian metode titik tetap Metode Titik Tetap adalah suatu metode pencarian akar suatu
fungsi f(x) secara sederhana dengan menggunakan satu titik awal. Perlu diketahui bahwa fungsi f(x) yang ingin dicari hampiran akarnya harus konvergen. Misal x adalah Fixed Point (Titik Tetap) fungsi f(x) bila g(x) = x dan f(x) = 0. Teorema :
Diketahui g(x) fungsi kontinu dan {X n } adalah barisan yang terbetuk oleh Fixed Point Iteration, maka Jika Lim n→∞ X n = x maka x adalah Fixed Point fungsi g(x).
Sumber gambar : karlcalculus
B. Prosedur Metode Titik Tetap 1.
Misal f(x) adalah fungsi yang konvergen dengan f(x) = 0, maka untuk mencari nilai akarnya atau hampiran akarnya kita terlebih dahulu mengubah kedalam bentuk x = g(x).
2.
Kemudian tentukan nilai titik awal, misal x 1.
3.
Setelah
itu
disubstitusikan
titik
awalnya
ke
persamaan
g(x)
sedemikian sehingga g(x 1) = x2, 4.
setelah itu titik x2 yang diperoleh substitusikan lagi ke g(x) sedemikian sehingga g(x 2) = x3.
5.
Apabila ditulis iterasinya akan menjadi x1 (penetuan titik awal) x2 = g(x1) (iterasi pertama) x3 = g(x2) (iterasi kedua) . . . xn = g(xn-1) (iterasi ke-n)
Iterasi ini akan berhenti jika x = g(x) dan f(x) = 0 atau sudah mencapai nilai error yang cukup kecil (|x n – xn-1| < ε), Atau bila menggunakan galat
relatif hampiran │ │< δ. Contoh 1:
Selesaikan persamaan x – e-x = 0 dengan menggunakan Fixed Point dengan 10 iterasi atau sampai dua angka dibelakang koma tidak berubah. Penyelesaian :
f(x) = x – e-x
Ubah terlebih dahulu kedalam bentuk x = g(x), sehingga diperoleh x = e -x misal kita ambil titik awalnya x1 = 0.5, maka iterasinya adalah x n+1 = e-x_{n} akan diperoleh x1 = 0.5 (penetuan titik awal) f(x1) = 0.5 – e-0.5 = -0.1065 x2 = g(x1) = e-0.5 = 0.6065 (iterasi pertama) f(x1) = 0.6065 – e-0.6065 = 0.0612 x3 = g(x2) = e-0.6065 = 0.5452 (iterasi ke-2) f(x1) = 0.5452 – e-0.5452 = -0.0345 x4 = g(x3) = e-0.5452 = 0.5797 (iterasi ke-3) f(x1) = 0.5797 – e-0.5797 = 0.0196 . . x9 = g(x8) e-0.5664 = 0.5675 (iterasi ke-9) f(x1) = 0.5 – e-0.5 = -0.1065 x10 = g(x9) e-0.5675 = 0.5669 (iterasi ke-10) f(x1) = 0.5 – e-0.5 = -0.1065 sehingga apabila ditulis dalam bentuk table akan diperoleh n xn 1 0.5 2 0.6065 3 0.5452 4 0.5797 5 0.5600 6 0.5712 7 0.5648 8 0.5684 9 0.5664 10 0.5675 Jadi hampiran akar
g(xn-1) f(xn) 0.6065 -0.1065 0.5452 0.0612 0.5797 -0.0345 0.5600 0.0196 0.5712 -0.0112 0.5648 0.0006 0.5684 -0.0003 0.5664 0.00019 0.5675 -0.00011 0.5669 0.00005 yang diperoleh menggunakan Fixed Point adalah
0.5675. Metode ini juga disebut metode sederhana, langsung, atau metode sulih beruntun. Jika terdapat suatu fungsi f(x) dan kita akan mencari akar atau akar-akar dari fungsi tersebut. Berarti kita harus menetapkan f(x) = 0 sedemikian sehingga x = g(x). Algoritma dari metode iterasi titik tetap adalah:
a. Bentuk fungsi f(x) menjadi f(x) = 0 b. Dari nomor 1 susun menjadi bentuk x = g(x) c. Lakukan tebakan awal x r d. Hitung x r+1 dengan menggunakan rumus x r+1 = g(xr )
Contoh 2 :
Tentukan akar dari fungsi f(x) = e-x-x Penyelesaian
f(x) = 0 → e – x – x = 0 → e – x xr+1 = g(xr ) xr+1 = e
– xr
tentukan tebakan awal xr = 1 xr+1 = e
– xr
= e-1 = 0,36788
hasil iterasi selanjutnya ditabelkan. r xr Ε1h(%) 0 1 1 0.36788 171.82818 2 0.69220 46.85364 3 0.50047 38.30915 4 0.60624 17.44679 5 0.54540 11.15662 6 0.57961 5.90335 7 0.56012 3.48087 : 23 0.56714 0.00039 C. Kriteria konvergensi Diberikan prosedur lelaran xr+1 = g(xr )
(1)
misalkan x = s adalah solusi f (x) = 0 sehingga f(s) = 0 dan s = g(x) selisih antara xr+1 dan s adalah xr+1 – s = g(xr ) – s =
() – ( – ) ( – )
(2)
Terapkan teorema nilai rata-rata pada persamaan di atas xr+1 – s = g’(t)(xr ) – s
(3)
yang dalam hal ini x r+1 < t < s. misalkan galat pada lelaran ke-r dan lelaran ke – (r+1) adalah
εr =
– dan ε
r+1
= xr+1 – s
persamaan nya dapat di tulis menjadi
εr+1 = g’(t) εr atau dalam tanda mutlak
| εr+1 | = | g’(t) | | εr |
(4)
|ε
Proses Metode Iterasi Titik Tetap
r |
2.2.2 Metode Newton Raphson
According to Saban & Qurrat (2015) Newton-Raphson method is “Newton’s (also acknowledged as the Newton-Raphson method), name after Isaac Newton dan Joseph Rphson, is a technique for judgment sequentially superior approximations to the extraction (or zeroes) of a real-valed function
()
. Any
zero linding method (bisection
Method, Flase method, newton-raphson method) can also be used to find a minimum or maximum of such a function by finding a zero in the function’s first derivative, see Newton’s Method as an optimization algorithm. Metode Newton (juga diakui sebagai metode Newton-Raphson), dinamakan menurut Ishak Newton dan Joseph Newt on adalah teknik untuk putuskan pendekatan yang berurutan secara superior ekstraksi (atau nol) dari fungsi bernialai rill
()
. Metode pencarian nol (Metode dua
bagian, metode posisi salah, metode newton-raphson, dll) juga bisa digunakan untuk mencari seperti fungsi dengan menemukan nol di fungsinya pertamaa derivatid, lihat metode newton sebagai algoritma Metode Newton-Raphsonlah yang paling terkenal dan paling banyak dipakai dalam terapan sains dan rekayasa. Metode ini paling disukai karena konvergensinya paling cepet diantara metode lainnya (Rinaldi, 2006) sedangkan menurut Khoe Yao Tung (1997) Metode Newton-Raphsolah adalah proses menetukan akar-akar persamaan
()
dari suatu
.
Metode Newton-Raphson menggunakan satu titik awal (intial value) sevagai tebakan awal; memerlukan slope dan gradien pada titik tersebut, dan barisan titik potong garis singgungnya dengan sumbu x. Karena ini metode gagal digunakan jika pemilihan titik awal memberikan nilai turunannya nol (Rochmad, 2013). Menurut Rinaldi (2006) Ada dua pendekatan dalam menurunkan rumus metode Newton-Raphson, yaitu: a. Penurunan rumus Newton-Raphson secara geometri b. Penurunan rumus Newton-Raphson dengan bantuan deret Talyor
Penurunan rumus Newton-Raphson secara geometri
Dari gambar (3.13), gradien garis singgung di
() ()
adalah
Atau
() () Sehingga prosedur kerja lelaran metode Newton-Raphson adalah
(()) () ,
Penurunan rumus Newton-Raphson dengan bantuan deret Talyor
() ( ) () ( ) () () () () () ( ) () () () ( ) () Uraikan
di sekitar
ke dalam deret taylor:
Yang bilang dipotong sampai suku orde-2 saja menjadi
Dan karena persoalan mencari akar, maka
, sehingga
atau
(()) () ,
yang merupakan rumus metode Newton-Raphson Kondisi berhenti lelaran Newton-Raphson adalah bila
| |
atau bila menggunakan galat relatif hampiran
dengan dan adalah toleransi galat yang diinginkan. Catatan
1. Jika terjadi
2.
() ()
, ulang kembali perhitungan lelaran dengan
yang lain
Jika persamaan
memiliki lebih dari satu akar, pemilihan
yang berbeda-beda dapat menemukan akar lain.
3. Dapat pula terjadi lelaran konvergen ke akar yang berbeda dari yang diharapkan (seperti haknya pada metode lelaran titik-tetap. Kriteria Konvergensi metode Newton-Raphson
Apakah persyaratan agar metode Newton-Raphson konvergen?
Tinjau
kembali bentuk umum prosedur leleran metode terbuka.
()
Karena metode Newtom-Raphson termasuk metode terbuka, maka dalam hal in,
() ()() Dengan mengingat syarat perlu agar lelaran konvergen adalah
|()|
,
maka
() [()()()()()] () ()()() Karena itu metode Newton-Raphson akan konvergen bila
() () ()
dengan syarat Contoh soal
1. Carilah
() () .
akar
dengan menggunakan Newton’s
Raphson. Jawab
() () (()) () () ()
() Jadi akar adalah 2,6684 2.2.3 Metode Secant
Prosedur lelaran metode Newton-Raphson memerlukan perhitungan turunan fungsi,
f ' x . Namun, tidak semua fungsi mudah dicari
turunannya, terutama fungsi yang berbentuk rumit. Turunan fungsi dapat dihilangkan dengan cara mnggantinya dengan bentuk lain yag ekivalen. Modifikasi metode Newton-Raphson ini dinamakan metode secant .
Gambar 3.16 Metode Secant Berdasarkan Gambar 3.16. dapat kita hitung gardien f ' x
y x
AC
BC
f xr f x r 1 x r x r 1
(P.3.30) Sulihkan (P.3.30) ke dalam rumus Newton-Raphson: x r 1
x r
f x r f ' x r
Sehingga diperoeh x r 1
x r
f x r x r x r 1
f x r f x r 1 '
(P.3.31) Yang merupakan prosedur lelaran metode secant. Dalam hal ini, diperlukan dua buah tebakan awal akar, yaitu x 0 dan x1 . Kondisi berhenti leleran adalah bila xr 1 xr (galat mutlak) atau
xr 1 xr xr 1
(galat hampiran)
Dengan
dan adalah
toleransi galat.
Sepintas metode secant mirip metode regula-falsi, namun sesungguhnya prinsip dasar keduanya berbeda, seperti yang dirangkum pada tabel berikut ini: Metode Regula Falsi 1. Diperlukan dua buah nila awal a dan b (ujung-ujung selang) sedemikian sehingga f (a) f(b) < 0. 2. Leleran pertama :
Metode Secant 1. Diperlukan dua buah nilai awal x0 dan x1 (tebakan awal akar),
Pada leleran pertama tidak ada perbedaan antara regulas-falsi dan ecant. Perbedaan muncul pada leleran kedua. Leleran kedua :
Pada leleran pertam tidak ada perbedaan antara secant dan regula-falsi. Perbedaan baru muncul pada leleran kedua. Leleran kedua :
Pemotongan garis lurus dengan sumbu x tetap berada di dalam selag yang mengandung akar. 3. Berdasarkan nomor 2 di atas, lelerannya selalu konvergen
Perpotongan garis lurus dengan sumbu x mungkin menjauhi akar. 3. Berdasarkan nomor 2 di atas, lelerannya mungkin divergen.
tetap tidak harus f( x0 ) f( x1 ) < 0 2. Leleran pertama:
Program di atas belum menangani kasus pembagian dengan 0 atau = 0 dan kasus divergen. Program harus dimodifikasi untuk menangani pembagian dengan 0 atau = 0 dan kasus divergen menjadi program berikut ini
Contoh 3.11
Hitunglah
akar
0.00001 .
x f x e 5 x 2 dengan
metode
Tebakan awal akar x0 0.5 dan x1
Penyelesaian :
Tabel lelerannya :
1
secant.
Gunakan
i
xr
xr 1 x r
0 0.500000 1 1.000000 0.500000 3 -0.797042 1.797042 4 10.235035 11.032077 5 -0,795942 11.030977 6 -0.794846 0,001096 7 -0.472759 0.322087 8 -0.400829 0.071930 9 -0.374194 0.026635 10 -0.371501 0.002692 11 -0.371418 0.000083 12 -0.371418 0.000000 Akar x = -0.371418 Ternyata lelerannya mengarak ke ara lain yaitu x = -0,371418
BAB III PENUTUP 3.1 Kesimpulan
Model matematika yang rumit ini adakalanya tidak dapat diselsaikan dengan metode analitik yang sudah umum untuk mendapatkan solusi sejati (exact solution).
Yang dimaksud dengan metode analitik
adalah metode penyelesaian model matematika dengan rumus
– rumus
aljabar yang sudah baku atau lazim. Metode numerik adalah suatu metode yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematika sehingga dapat diselsaikan dengan operasi perhitungan/ aritmatika biasa. Metode penyelesaian akar-akar persamaan secara komputasi numerik dapat dibedakan menjadi dua macam, yaitu metode pengurungan ( bracketing method ) dan metode terbuka (open method ). Metode Tertutup disebut juga Metode Pengurung (bracketing method) adalah metode yang mencari akar atau akar-akar di dalam selang [a, b]. Metode tertutup terdiri dari beberapa jenis, yaitu metode grafis, metode bagi dua (bisection), dan metode posisi salah (regula falsi). sedangkan metode terbuka (open method ) merupakan yang mencari akarakar hanya memerlukan satu titik sebagai tebakan awal. metode terbuka terdiri dari lelaran titik tetap, metode Newton Raphson’s dan metode Secant. Persamaan nonlinear yang meliputi metode tertutup dan terbuka yang dipelajari dalam metode numerik merupakan alat bantu pemecahan masalah matematika yang sangat ampuh, mampu menangani sistem persamaan besar, dan geometri yang rumit, karena metode numerik ditemukan dengan menyederhanakan matematika yang lebih tinggi menjadi operasi matematika ynag lebih mendasar. 3.2 Saran
Para pembaca sebaiknya menyelidiki lebih lanjut mengenai fungsi persamaan nonlinear dan peranan aplikasi MATHLAB dalam membantu metode tertutup dan terbuka serta kegunaannya dalam kehidupan seharihari.