MAKALAH METODE NEWTON RAPHSON Makalah ini Diajukan untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Metode Numerik Dosen Pengampu: Nendra Mursetya Somasih Dwipa, M.Sc
Disusun oleh: Disusun oleh: Kelompok 3/7A2 Tri Wahzudi
(14144100018)
Avindita Putri Ariestyanti
(14144100045)
Tunjung Dyah Ovi Pramaeda
(14144100071)
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS PGRI YOGYAKARTA 2017
KATA PENGANTAR Puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT atas rahmat dan karuniaNya sehingga penyusun dapat menyelesaikan Makalah Metode Newton Raphson dengan harapan dapat bermanfaat dalam menambah ilmu dan wawasan kita. Makalah ini dibuat dalam rangka memenuhi tugas Mata Kuliah Metode Numerik. Dalam membuat Makalah ini, dengan keterbatasan ilmu pengetahuan yang kami miliki, kami berusaha mencari sumber data dari berbagai sumber informasi, terutama dari media internet dan media cetak. Kami juga ingin mengucapkan terima kasih kepada seluruh pihak yang telah ikut serta membantu dalam pembuatan Makalah ini dan beberapa sumber yang kami pakai sebagai data dan acuan. Dalam penulisan Makalah ini kami merasa masih banyak kekurangan kekurangan baik pada teknis penulisan maupun materi, mengingat akan keterbatasan kemampuan yang kami miliki. Tidak semua bahasan dapat dideskripsikan dengan sempurna dalam Makalah ini. Untuk itu kritik dan saran dari semua pihak sangat kami harapkan demi penyempurnaan pembuatan Makalah ini. Akhirnya kami selaku penyusun berharap semoga Makalah ini dapat memberikan manfaat bagi seluruh pembaca.
Yogyakarta, 2 Desember 2017
ii
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL................................................................................................ i KATA PENGANTAR ............................................................................................ ii DAFTAR ISI .......................................................................................................... iii BAB I PENDAHULUAN ...................................................................................... 1 A. Latar Belakang ............................................................................................. 1 B. Rumusan Masalah ........................................................................................ 2 C. Tujuan .......................................................................................................... 2 BAB II KAJIAN PUSTAKA ................................................................................. 3 A. Metode Numerik .......................................................................................... 3 B. Angka Bena .................................................................................................. 4 C. Deret Taylor dan Maclaurin ......................................................................... 9 D. Galat ........................................................................................................... 12 E. Persamaan Non Linear ............................................................................... 15 F.
Metode Terbuka ......................................................................................... 15
BAB III PEMBAHASAN .................................................................................... 18 A. Metode Newton Raphson ........................................................................... 18 B. Algoritma Metode Newton Raphson ......................................................... 19 C. Kelebihan dan Kekurangan Metode Newton Raphson .............................. 19 D. Contoh Soal ................................................................................................ 20 BAB IV STUDI KASUS ..................................................................................... 23 BAB V KESIMPULAN ....................................................................................... 27 DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................... 28
iii
BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Persoalan yang melibatkan model matematika sering muncul dalam berbagai disiplin ilmu pengetahuan, seperti bidang Fisika, Kimia, Ekonomi, atau pada rekayasa (enginering) seperti Teknik Sipil, Teknik Mesin, dan sebagainya. Seringkali model matematika tersebut muncul dalam bentuk yang rumit atau tidak dapat diselesaikan dengan metode biasa, sehingga solusi yang digunakan adalah Metode Numerik. Metode Numerik adalah teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematik sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan. Metode numerik digunakan karena model matematika yang sering muncul adakalanya tidak dapat diselesaikan dengan metode analitik. Seperti halnya untuk menentukan solusi dari persamaan (akar persamaan) yang berbentuk f(x) = 0. Sebuah bilangan dianggap akar dari sebuah persamaan jika seandainya bilangan tersebut dimasukkan ke dalam persamaan, maka nilai persamaan itu akan sama dengan nol atau bisa dikatakan akar sebuah persamaan f(x) =0 adalah nilai-nilai x yang menyebabkan nilai f(x) sama dengan nol. Persamaan yang bentuknya sederhana seperti persamaan linier dan persamaan kuadrat dapat dengan mudah diselesaikan secara analitik. Sehingga jika suatu persoalan sudah sangat sulit atau tidak dapat menggunakan metode analitik, dapat digunakan metode numerik. Metode numerik ini disajikan dalam bentuk algoritma-algoritma yang dapat dihitung secara cepat dan mudah. Pendekatan yang digunakan dalam metode numerik merupakan pendekatan analisis matematis, dengan tambahan grafis dan teknik perhitungan yang mudah. Ada 2 pendekatan yang dapat digunakan pada penyelesaian persamaan non linier yaitu dengan metode tertutup dan metode terbuka. Metode tertutup (Bracketing Method) adalah metode yang hanya membutuhkan 2 tebakan awal untuk mengira-ngira akar dari sebuah persamaan. Sebuah fungsi sesuai
1
jenisnya akan berubah disekitar harga suatu akar. Akar sebenarnya dari persamaan tersebut nantinya akan berada di antara 2 angka yang telah ditebak tersebut. Sementara itu metode terbuka adalah metode yang tidak memerlukan batas bawah dan batas atas pada perkiraan nilai awal. Karena hal itu, bila tebakan awal tepat, maka hasilnya akan mendekati akar yang sesungguhnya dengan kecepatan lebih cepat dari metode biseksi. Metode yang akan dibahas pada makalah ini adalah metode terbuka yaitu metode Newton Raphson. B. Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang, permasalahan yang akan dibahas dirumuskan sebagai berikut: 1. Apa pengertian metode numerik? 2. Apa pengertian metode Newton Raphson? 3. Bagaimana algoritma dan penyelesaian metode Newton Raphson? C. Tujuan Tujuan penyusunan makalah ini adalah sebagai berikut: 1. Memahami pengertian metode numerik 2. Memahami pengertian metode Newton Raphson 3. Mengetahui dan memahami algoritma dan penyelesaian metode Newton Raphson.
2
BAB II KAJIAN PUSTAKA A. Metode Numerik Metode numerik adalah teknik untuk menyelesaikan permasalahanpermasalahan yang diformulasikan secara matematis dengan menggunakan operasi hitungan (arithmatic) yaitu operasi tambah, kurang, kali, dan bagi. Terdapat banyak jenis metode numerik, namun pada dasarnya, masing masing metode tersebut memiliki karakteristik umum, yaitu selalu mencakup sejumlah kalkulasi aritmetika. Solusi dari metode numerik selalu berbentuk angka dan menghasilkan solusi hampiran. Hampiran, pendekatan, atau aproksimasi (approximation) didefinisikan sebagai nilai yang mendekati solusi sebenarnya atau sejati (exact solution). Sedangkan galat atau kesalahan (error) didefinisikan sebagai selisih nilai sejati dengan nilai hampiran. Metode numerik dapat menyelesaikan permasalahan matematis yang sering nonlinier yang sulit diselesaikan dengan metode analitik. Metode analitik disebut
juga metode sejati
karena
memberi solusi
sejati
(exact solution) atau solusi yang sesungguhnya, yaitu solusi yang memiliki galat (error) sama dengan nol. Jika terdapat penyelesaian secara analitik, mungkin proses penyelesaiannya sangat rumit, sehingga tidak effisien. Contohnya: menentukan akar-akar polynomial. Jadi, jika suatu persoalan sudah sangat sulit atau tidak mungkin digunakan dengan metode analitik maka kita dapat
menggunakan metode numerik
sebagai
alternatif
penyelesaian persoalan tersebut. Metode numerik ini disajikan dalam bentuk algoritma-algoritma yang dapat dihitung secara cepat dan mudah. Pendekatan yang digunakan dalam metode numerik merupakan pendekatan analisis matematis, dengan tambahan grafis dan teknik perhitungan yang mudah. Algoritma pada metode numerik adalah algoritma pendekatan maka dalam algoritma tersebut akan muncul istilah iterasi yaitu pengulangan proses perhitungan. Dengan metode pendekatan, tentunya setiap nilai hasil perhitungan akan mempunyai nilai error (nilai kesalahan)
3
Penggunaan metode numerik biasanya digunakan untuk menyelesaikan persoalan matematis yang penyelesaiannya sulit didapatkan dengan menggunakan metode analitik, yaitu: 1. Menyelesaikan persamaan non linear 2. Menyelesaikan persamaan simultan 3. Menyelesaikan differensial dan integral 4. Menyelesaikan persamaan differensial 5. Interpolasi dan Regresi 6. Masalah multivariabel untuk menentukan nilai optimal yang tak bersyarat Keuntungan penggunaan Metode Numerik: 1. Solusi persoalan selalu dapat diperoleh 2. Dengan bantuan komputer, perhitungan menjadi cepat dan hasilnya dapat dibuat sedekat mungkin dengan nilai sesungguhnya Kekurangan penggunaan Metode Numerik: 1. Nilai yang diperoleh adalah hampiran(pendekatan) 2. Tanpa bantuan alat hitung (komputer), perhitungan umumnya lama dan berulang-ulang. B. Angka Bena 1. Pengertian Angka Bena Dalam kehidupan sehari-hari angka signifikan (bena) dapat dijumpai pada bidang teknik, bisnis, sains, komunikasi, ekonomi dan lainnya. Dalam bidang teknik informatika biasanya untuk coding sistem, atau membuat program, pada bidang ini biasanya menggunakan mathlab untuk mempermudah perhitungan. Dalam bidang sains biasanya terdapat pada matematika untuk diperlajari oleh siswa atau mahasiswa, pada fisika biasanya untuk satuan ukur saat percobaan atau penelitian dan pada kimia atau farmasi untuk menimbang/meracik dosis obat. Konsep angka bena (significant figure) atau angka bermakna telah dikembangkan secara formal untuk menandakan keandalan suatu nilai
4
numerik. Angka bena adalah angka bermakna, angka penting, atau angka yang dapat digunakan dengan pasti. Angka bena terdiri dari angka pasti dan angka taksiran. Angka taksiran terletak pada akhir angka signifikan. Ketika melakukan pengukuran atau perhitungan, kita harus menghindar dari keinginan untuk menulis lebih banyak digit pada jawaban terakhir dari jumlah digit yang diperbolehkan. Suatu indikasi bagi ketepatan pengukuran yang diperoleh dari banyaknya angka-angka penting. Angka-angka penting tersebut memberikan informasi yang aktual (nyata) mengenai ketelitian pengukuran. Makin banyak angka-angka penting, ketepatan pengukuran menjadi lebih besar. Sebagai contoh, jari-jari bumi adalah 695000000 m. Jari-jari ini sebenarnya tidak tepat, karena telah dibulatkan ke jutaan meter terdekat. Maka jari-jari tersebut hanya memiliki 3 angka bena, angka nol di akhir bukan merupakan angka penting. Angka nol bisa menjadi angka bena, jika memenuhi aturan-aturan tentang angka bena. 2. Aturan-aturan tentang Angka Bena a. Setiap angka yang bukan nol pada suatu bilangan adalah angka bena. Contoh: 14569 memiliki 5 angka bena. 2546 memiliki 4 angka bena. b. Setiap angka nol yang terletak diantara angka-angka bukan nol adalah angka bena. Contoh: 406 memiliki 3 angka bena. 5000,1003 memiliki 9 angka bena. 280,0050 memiliki 7 angka bena. c. Angka nol yang terletak di belakang angka bukan nol yang terakhir dan di belakang tanda desimal adalah angka bena. Contoh: 23,50000 memiliki 7 angka bena
5
278,900 memiliki 6 angka bena d. Angka nol yang terletak di belakang angka bukan nol yang terakhir dan tanpa tanda desimal bukan merupakan angka bena. Contoh: 38000000 memiliki 2 angka bena. e. Angka nol yang terletak di depan angka bukan nol yang pertama bukan merupakan angka bena. Contoh: 0,0090 memiliki 2 angka bena 0,0000000000000012 memiliki 2 angka bena f. Semua angka nol yang terletak di belakang angka bukan nol yang terakhir, dan terletak di depan tanda desimal merupakan angka bena. Contoh: 800,0 memiliki 4 angka bena. Komputer hanya menyimpan sejumlah tertentu angka bena. Bilangan riil yang jumlah angka benanya melebihi jumlah angka bena komputer akan disimpan dalam sejumlah angka bena komputer itu. Pengabaian angka bena sisanya itulah yang menimbulkan galat pembulatan. 3. Penulisan angka bena dalam notasi ilmiah Jika beberapa angka 0 dipakai di bagian ekor suatu bilangan, tidak jelas berapa banyaknya 0 itu yang signifikan. Misal: 45,300 dapat memiliki 3, 4, atau 5 buah digit signifikan tergantung apakah harga 0 itu telah diketahui dengan pasti. Ketidakpastian itu dapat diselesaikan dengan memakai notasi ilmiah. Misalnya tetapan dalam kimia dan fisika atau ukuran jarak dalam astronomi. Contoh: a. 4,3123 × 10 memiliki 5 angka signifikan b. 1,2 × 10-6 memiliki 2 angka signifikan
6
4. Aturan Pembulatan Pembulatan suatu bilangan berarti menyimpan angka bena dan membuang yang bukan merupakan angka bena dengan mengikuti aturanaturan berikut: a. Tandai bilangan yang termasuk angka signifikan dan angka tidak signifikan. Contoh: Empat angka bena dari bilangan 16,7321 adalah 16,73 (angka bena) dan 21 (bukan angka bena). b. Jika digit pertama dari bukan angka bena lebih besar dari 5, maka digit terakhir dari angka bena ditambah 1. Selanjutnya buang bukan angka bena. Contoh: Jika bilangan 23,472 dibulatkan menjadi tiga angka signifikan, maka ditulis menjadi 23,5. c. Jika digit pertama dari bukan angka bena lebih kecil dari 5, maka buang bukan angka bena. Contoh: Jika bilangan 23,674 dibulatkan menjadi empat angka signifikan, maka ditulis menjadi 23,67 d. Jika digit pertama dari bilangan bukan angka bena sama dengan 5, maka: - Jika digit terakhir dari angka signifikan ganjil, maka digit terakhir angka signifikan ditambah 1. Selanjutnya buang angka tidak signifikan. Contoh: Jika bilangan 37,759 dibulatkan menjadi tiga angka bena, maka ditulis menjadi 37,8 - Jika digit terakhir dari angka bena merupakan bilangan genap genap, maka buang bukan angka bena.
7
Contoh: Jika bilangan 79,859 dibulatkan menjadi tiga angka bena, maka ditulis menjadi 79,8. 5. Operasi Angka Penting Dalam operasi perhitungan dengan menggunakan angka penting ada suatu aturan umum yang harus diikuti. a. Penjumlahan dan Pengurangan Hasil dari penjumlahan atau pengurangan bilangan hanya boleh mempunyai angka dibelakang koma sebanyak angka di belakang koma yang paling sedikit pada bilangan-bilangan yang dilakukan operasi penjumlahan atau penguranga. Contoh: 2,34 + 0,345 = 2,685 (dibulatkan menjadi 2,68) 34,31 + 2,165 = 36,475 (dibulatkan menjadi 36,48) b. Perkalian dan Pembagian Hasil perkalian atau pembagian hanya boleh mempunyai angka bena sebanyak bilangan dengan angka bena paling sedikit. Contoh: (32,1 × 1,234) ÷ 1,2 = 33,0095 Bilangan yang mempunyai angka signifikan paling sedikit adalah 1,2 (2 angka signifikan). Jadi hasil perkalian dan pembagian di atas dibulatkan menjadi 33 (2 angka signifikan). c. Kombinasi perkalian dan atau pembagian dengan penjumlahan dan atau pengurangan. Jika terdapat kombinasi operasi angka penting, maka hasil operasi di dalam kurung harus dibulatkan terlebih dahulu sebelum melakukan operasi selanjutnya. Penerapan angka penting dalam kehidupan sehari-hari salah satunya ketika seseorang melakukan pengukuran seperti mengukur tinggi badan,
8
mengukur celana, spedometer, dan lain-lain. Dalam pengukuran tersebut tidak pasti tepat sehingga angka penting berperan dalam pengukuran agar ketepatan pengukuran menjadi lebih besar. C. Deret Taylor dan Maclaurin 1. Deret Taylor Pada bidang teknik elektro lebih tepatnya teknik kendali (salah satu spesialisasi di teknik elektro) biasanya menggunakan deret taylor untuk mengendalikan
gerak
pesawat
dengan
menggunakan
perhitungan
persamaan matematis. Persamaan matematis ini biasanya berupa persamaan nonlinear, karena unutk mengolah persamaan nonlinear itu sangat sulit, jadi persamaan tersebut dilinearisasikan dengan menggunakan deret taylor. Dalam matematika, Deret Taylor adalah representasi fungsi matematika sebagai jumlah tak hingga dari suku-suku yang nilainya dihitung dari turunan fungsi tesebut di satu titik. Deret ini dapat dianggap sebagai limit polimial Taylor. Deret Taylor merupakan dasar untuk menyelesaikan masalah dalam metode numerik, terutama penyelesaian persamaan diferensial. Deret Taylor secara umum berarti deret pangkat (xa) , dengan a adalah konstanta. Suatu fungsi yang terdifferensial sampai orde n di x = a, jika diberikan fungsi f . Fungsi f tersebut dapat dinyatakan oleh suatu deret pangkat dalam x-a. Rumus Taylor
Misalkan f fungsi yang turunan ke (n+1), f ( n1) ( x) ada untuk masingmasing x dalam interval terbuka I yang mengandung a. Maka untuk masing-masing x dalam I f ( x) f (a) f '(a) ( x a)
f ''(a) f n (a) ( x a) 2 ... ( x a) n 2! n!
9
Bentuk yang diperoleh diatas dikenal dengan bentuk polinomial taylor. Fungsi yang dapat diperderetkan dalam bentuk polinomial taylor, dinamakan deret Taylor. Contoh: Tentukanlah ekspansi Taylor orde 5 f(x)=cos x, a
6
Jawab: a
6
30 o
f ( x) cos x f (a) cos a f a f(30) cos 30
1 3 2
f' (a) f' (30) sin 30
1 2
f 2 (a) f 2 (30) cos 30 f 3 (a) f 3 (30) sin 30
1 3 2
1 2
f 4 (a) f 4 (30) cos 30
1 3 2
f 5 (a) f 5 (30) sin 30
1 2
Substitusi a = 30 f(x)
f' ' (a) f' ' ' (a) f 4 (a) f 5 (a) (x a)2 (x a)3 (x a)4 (x a)5 2! 3! 4! 5! 1 1 1 1 3 3 1 3 (x 30) 2 (x 30)2 2 (x 30)3 2 (x 30)4 2 (x 30)5 2 2! 3! 4! 5! 1 1 1 1 1 3 (x 30) (x 30)2 (x 30)3 (x 30)4 (x 30)5 2 4 12 48 240
f(a) f' (a) (x a) 1 2 1 2
cos x
Bentuk pengaplikasian Deret Taylor adalah untuk penghitungan metode numerik, digunakan untuk sistem kendali, membuat persamaan
10
matematis dari suatu sistem/proses, penghitungan analisis matematika, terdapat dalam kombinatorika dengan nama fungsi pembangkit. 2. Deret maclaurin Dalam kasus a = 0 , polinom Taylor orde-n dapat disederhanakan yang disebut dengan polinom Maclaurin orde-n. Dengan demikian polinom Maclaurin orde-n diberikan oleh rumus,
f ( x) f (0) f '(0) x
f 2(0) 2 f n (0) n x ... x 2! n!
Beberapa deret Maclaurin yang penting adalah sebagai berikut: 1.
1 1 x x 2 x 3 x 4 ... 1- x
2. ln ( x 1 ) x 3. tan 1 x x 4. e x 1 x
x2 x3 x4 x5 ... 1 x 1 2 3 4 5
x3 x5 x7 x9 ... 3 5 7 9
x2 x3 x4 ... 2! 3! 4!
untuk semua x
5. sin x x
x3 x5 x7 x9 ... 3! 5! 7! 9!
untuk semua x
6. cos x 1
x 2 x 4 x6 x8 ... 2! 4! 6! 8!
untuk semua x
7. cos ec x x 8. sec x 1
x3 x5 x7 x9 ... 3! 5! 7! 9!
x 2 x 4 x 6 x8 ... 2! 4! 6! 8!
Contoh: Dengan menggunakan rumus Maclaurin, tentukanlah polinom orde 5 dari f ( x) (1 x) 5 / 2
11
Jawab: f ( x) (1 x) 5 / 2
f (a) (1 a) 5 / 2 f (a) (1 a) 5 / 2 (1 0) 5 / 2 1 f ' (a)
5 5 (1 a) 3 / 2 2 2
f 2 (a)
15 15 ( 1 a )1 / 2 4 4 f 3 (a)
15 15 ( 1 a )1 / 2 8 8
15 15 (1 a ) 3 / 2 16 16 45 45 f 5 (a) (1 a) 5 / 2 32 32
f 4 (a)
Maka deret Maclaurinnya adalah,
1 x
5
2
1
5 15 2 15 3 15 4 45 5 x x x x x 2 4 . 2! 8 . 3! 6 . 4! 32 .5!
D. Galat 1. Analisis Galat Menganalisis galat sangat penting di dalam perhitungan yang menggunakan metode numerik. Galat berasosiasi dengan seberapa dekat solusi hampiran terhadap solusi sejatinya. Semakin kecil galatnya, semakin teliti solusi numerik yang didapatkan. Kita harus memahami dua hal: (1) bagaimana menghitung galat (2) bagaimana galat timbul. Misalkan â adalah nilai hampiran terhadap nilai sejati a, maka selisih
aa
12
disebut galat. Sebagai contoh, jika â = 10,5 adalah nilai hampiran dari a = 10,45 , maka galatnya adalah ɛ = -0,01. Jika tanda galat (positif atau negatif) tidak dipertimbangkan, maka galat mutlak dapat didefinisikan
aa
sebagai:
Ukuran galat ɛ kurang bermakna sebab tidak menceritakan seberapa besar galat itu dibandingkan dengan nilai sejatinya. Contoh: Seorang anak melaporkan panjang sebatang kawat 99 cm, padahal panjang sebenarnya 100 cm. Galatnya adalah 100 – 99 = 1 cm. Anak yang lain melaporkan panjang sebatang pensil 9 cm, padahal panjang sebenarnya 10 cm, sehingga galatnya juga 1 cm. Kedua galat sama-sama bernilai 1cm, namun galat 1 cm pada pengukuran panjang pensil lebih berarti daripada galat 1 cm pada pengukuran panjang kawat. Jika tidak ada informasi mengenai panjang sesungguhnya, kita mungkin menganggap kedua galat tersebut sama saja. Untuk mengatasi interpretasi nilai galat ini, maka galat harus dinormalkan terhadap nilai sejatinya. Gagasan ini melahirkan apa yang dinamakan galat relatif. Galat relatif didefinisikan sebagai
R
a
atau dalam persentase
R 100 % a
Karena galat dinormalkan terhadap nilai sejati, maka galat relatif tersebut dinamakan juga galat relatif sejati. Dengan demikian, pengukuran panjang kawat mempunyai galat relatif sejati = 1/100 = 0.01, sedangkan pengukuran panjang pensil mempunyai galat relatif sejati = 1/10 = 0.1.
13
2. Jenis-jenis galat Faktor-faktor yang menyebabkan kesalahan pada metode numerik antara lain: a. Kesalahan karena bawaan data (Inherent error) Kesalahan bawaan data merupakan kesalahan dari nilai data. Misal kekeliruan dalam menyalin data, salah membaca skala atau kesalahan karena kurangnya pengertian mengenai hukum-hukum fisik dari data yang diukur. b. Kesalahan karena pembulatan (round-off error) Kesalahan karena pembulatan round-off error terjadi karena tidak kita memperhitungkan beberapa angka terakhir dari suatu bilangan; artinya solusi hampiran digunakan untuk menggantikan solusi sejati eksak. Contoh: Tulis bilangan berikut menjadi tiga angka bena. 8632574 dapat dibulatkan menjadi 8630000 3,1415926 dapat dibulatkan menjadi 3,14 c. Kesalahan karena pemotongan (truncation error) Kesalahan pemotongan terjadi karena adanya proses komputasi takberhingga diganti dengan proses berhingga. Misal pada deret Taylor atau McClaurin. Contoh: Terdapat tugas untuk mengukur panjang sebuah jembatan dan sbeuah aku keliling. Didapat hatga 9.999 dan 9 cm. Jika harga sebenarnya adalah 10.000 dan 10 cm, maka hitunglah: (a) error, (b) error relatif persen untuk setiap kasus! Jawab: (a) Untuk jembatan
ɛ = 10.000 – 9.999 = 1 cm
Untuk paku keliling ɛ = 10 – 9 = 1 cm (b) Untuk jembatan
R
1 100 % 0,01% 10000
14
Untuk paku keliling R
1 100 % 10% 10
Jadi, walaupun sama-sama error 1 cm, tapi pengukuran dikatakan lebih baik untuk jembatan. E. Persamaan Non Linear Penyelesaian persamaan linier
dimana m dan c adalah
konstanta, dapat dihitung dengan persamaan kuadrat
. Penyelesaian dapat dihitung dengan menggunakan
√
rumus ABC. Beberapa
persamaan
polynomial
dapat
diselesaikan
dengan
menggunakan teorema sisa. Sehingga tidak memerlukan metode numerik dalam menyelesaikannya, karena metode analitik dapat dilakukan. Tetapi bagaimana cara menyelesaikan persamaan yang mengandung unsur bilangan natural untuk menyelesaikan persamaan non linear merupakan metode pencarian akar secara berulang-ulang. Penyelesaian persamaan non linear adalah dengan metode tertutup dan terbuka. F. Metode Tertutup Metode tertutup (Bracketing Method) adalah metode yang hanya membutuhkan 2 tebakan awal untuk mengira-ngira akar dari sebuah persamaan. Sebuah fungsi sesuai jenisnya akan berubah disekitar harga suatu akar. Akar sebenarnya dari persamaan tersebut nantinya akan berada di antara 2 angka yang telah ditebak tersebut. 1. Metode Biseksi Metode bagi dua (Bisection) disebut juga pemotongan biner (binary chopping), metode pembagian dua (interval halving). Prinsip metode bagi dua adalah mengurung akar fungsi pada interval [a,b]. Selanjutnya interval tersebut terus menerus dibagi dua hingga sekecil mungkin, sehingga nilai hampiran yang dicari dapat ditentukan dengan tingkat akurasi tertentu. Menentuka selang [a,b] sehingga f (a) . f (b) < 0. 15
Algoritma Metode Biseksi: a. Fungsi f(x) yang akan dicari akarnya b. Taksir batas bawah (a) dan batas atas (b) dengan syarat f (a) . f (b) < 0 c. Tentukan toleransi d. Iterasi maksimum r: r
ln | b a | ln | | ln( 2)
e. Hitung f(a) dan f(b) f. Jika f(a).f(b)>0 maka proses dihentikan karena tidak ada akar, bila tidak dilanjutkan g. Hitung nilai hampiran akar dengan rumus, c
ab 2
h. Hitung f(c) i. Jika f (a). f (c) < 0, maka b= c. Lanjutkan ke langkah 4 i. Jika f (a). f (c) > 0, maka a= c. Lanjutkan ke langkah 4 ii. Jika f (a). f (c) = 0, maka akar = c. Stop. j. Lebar selang b – c. Jika
b c maka proses dihentikan dan
didapatkan akar x =c dan bila tidak ulangi langkah 7
2. Metode Regulasi Falsi Metode regula falsi disebut juga metode Interpolasi Linear atau metode Posisi Salah adalah metode yang digunakan untuk mecari akarakar persamaan nonlinear melalui proses iterasi. Metode regula falsi merupakan metode pencarian akar persamaan dengan memanfaatkan kemiringan dan selilih tinggi dari dua titik batas range. Algoritma metode regulasi falsi: a. Definisikan fungsi f(x) b. Tentukan batas bawah (a) dan batas atas (b) c. Tentukan toleransi error ( ) dan iterasi maksimum (n) d. Tentukan nilai fungsi f(a) dan f(b) e. Untuk iterasi I = 1 s/d n
16
x b
f (b) b a f (b) f (a)
Hitung nilai f(x)
Hitung error = | f(x)|
Jika f (a). f ( x) 0 maka a = c jika tidak b = c
Jika | f(x)| , hentikan Iterasi
f. Akar persamaan adalah x G. Metode Terbuka Metode terbuka adalah metode yang menggunakan satu, atau dua tebakan awal yang tidak perlu mengurung akar, metode ini tidak memerlukan batas atas dan batas bawah pada perkiraan nilai awal. Metode terbuka terdiri dari beberapa jenis, yaitu metode Iterasi Titik Tetap, metode NewtonRaphson, dan metode Secant.
17
BAB III PEMBAHASAN A. Metode Newton Raphson Metode Newton Rapshon merupakan metode pendekatan yang menggunakan satu titik awal dan mendekatinya dengan memperhatikan gradien pada titik tersebut. Metode ini dimulai dengan mencari garis singgung kurva pada titik x i ,f (x i ) . Perpotongan garis singgung dengan sumbu x yaitu Xi+1, akan menjadi nilai x yang baru, dengan cara dilakukan berulang-ulang (iterasi).
Gambar 3.1 Grafik Metode Newton Raphson
Telah diketahui bahwa gradien garis singgung kurva adalah turunan pertama dari kurva tersebut, yaitu f ' (x i ) . Sehingga persamaan garis singgungnya: f(xi ) y f ' (xi )(xi - x)
Garis ini melalui titik x i 1 ,0 , maka didapat:
f(x i ) 0 f ' (xi )(xi xi 1 )
f(x i ) (xi xi 1 ) f ' (xi )
xi 1 xi
f(x i ) f ' (xi )
18
xi1 digunakan untuk menaksir nilai akar dari f(x) dan pendekatan yang lebih baik untuk akar dari f(x). Metode ini banyak digunakan untuk akar dari suatu persamaan. B. Algoritma Metode Newton Raphson Algoritma Metode Newton Raphson adalah sebagai berikut: 1. Definisikan fungsi f(x) yang akan dicari akarnya. 2. Tentukan harga awal / titik awal (x0). 3. Tentukan toleransi kesalahan (ɛ). 4. Cari turunan fungsi f(x). Jika f ’(x) = 0, maka metode newton raphson tidak dapat dilanjutkan. 5. Hitung nilai fungsi f(x) dan f ’(x) dengan menggunakan titik awal. 6. Hitung nilai xi+1 menggunakan rumus:
xi 1 xi
f(xi ) f ' (xi )
7. Hitung kesalahan xi 1 xi dan bandingkan dengan toleransi kesalahan
(ɛ). 8. Jika xi 1 xi , maka dipilih akar persamaan xi+1
Jika xi 1 xi , maka iterasi dilanjutkan. 9. Akar persamaannya adalah xi+1 yang terakhir diperoleh.
C. Kelebihan dan Kekurangan Metode Newton Raphson 1. Kelebihan Jika pemilihan titik awal tepat, maka proses iterasinya cepat. 2. Kekurangan a. Jika fungsi f(x) mempunyai beberapa akar (titik) penyelesaian, akarakar penyelesaian tersebut tidak dapat dicari secara langsung atau secara bersamaan. b. Tidak dapat mencari akar kompleks (imajiner). c. Tidak dapat mencari akar persamaan jika titik terkaan awalnya tidak tepat, meskipun ada akar penyelesaiannya. 19
d. Untuk persamaan non linear yang cukup kompleks, pencarian turunan pertama dan kedua dari f(x) akan menjadi cukup sulit. D. Contoh Soal Contoh soal 1 Tentukan akar dari f(x) x 6 x 1 . Pada titik awal x0 = 1,5 dan ɛ = 0,0001. Penyelesaian: 1.
f(x) x 6 x 1
2. Titik awal x0 = 1,5 3. Toleransi kesalahan ɛ = 0,0001 4. Turunan fungsi f(x) adalah f ' (x) 6 x 5 1 . Karena f ’(x) ≠ 0 maka metode newton raphson dapat dilanjutkan.
5. Nilai fungsi f(x) dan f ’(x) adalah: f( 1,5 ) 1,5 1,5 1 8,890 6
f ' ( 1,5 ) 61,5 1 44,562 5
6. Nilai xi+1 adalah:
xi 1 xi
f(x i ) f ' (xi )
x01 x0
f(x0 ) f ' (x0 )
x1 1,5
8,890 1,3005 44,562
7. Kesalahan xi 1 xi 1,3005 1,5 0,1995
Iterasi selanjutnya dilakukan dengan mencari f(xi), f ’(xi), xi+1 dan seterusnya sampai xi 1 xi , sehingga didapatkan data pada tabel berikut:
20
Tabel 3.1 Tabel kerja metode newton rapshon
n
xi
f(xi)
f’(xi)
0
1,5
8,890625
44,5625
xi+1
xi 1 xi
1,300490884 0,199509116
1 1,300491 2,537266625 21,31968214 1,181480472 0,119010528 2
1,18148
0,538453249 12,81284448
1,13945551
0,04202449
3 1,139456 0,049239563 10,52494996 1,134777634 0,004678366 4 1,134778
0,00055418
10,29030796 1,134724145 5,38546E-05
Sampai iterasi ke-4, didapat xi 1 xi yaitu 0,000053546≤ 0,0001, maka iterasi dihentikan dan didapat nilai akar x yaitu xi+1 = 1,134724145. Contoh soal 2 Tentukan akar dari f(x) e x 5 x 2 . Pada titik awal x0 = 1 dan ɛ = 0,0001. Penyelesaian: 1.
f(x) e x 5 x 2
2. Titik awal x0 = 1 3. Toleransi kesalahan ɛ = 0,0001 4. Turunan fungsi f(x) adalah f ' (x) e x 10 x . Karena f ’(x) ≠ 0 maka metode newton raphson dapat dilanjutkan.
5. Nilai fungsi f(x) dan f ’(x) adalah: f ' ( 1 ) e1 10.1 2,2817 f ' ( 1 ) e1 10.1 7,2817
6. Nilai xi+1 adalah:
xi 1 xi
f(x i ) f ' (xi )
x01 x0
f(x 0 ) f ' (x0 )
x1 1
(-2,2817) 0,6866 (-7,2817)
7. Kesalahan xi 1 xi 0,6866 1 0,3133
21
Iterasi selanjutnya dilakukan dengan mencari f(xi), f ’(xi), xi+1 dan seterusnya sampai xi 1 xi , sehingga didapatkan data pada tabel berikut: Tabel 3.2 Tabel kerja metode newton rapshon
n
xi
f(xi)
f’(xi)
xi+1
xi 1 xi
0
1
-2,28172
-7,28172
0,686651
0,313349
1
0,686651
-0,3704
-4,87946
0,610741
0,07591
2
0,610741
-0,02323
-4,26561
0,605296
0,005445
3
0,605296
-0,00012
-4,22117
0,605267
2,89E-05
Sampai iterasi ke-3, didapat xi 1 xi yaitu 2,89 × 10-5≤ 0,0001, maka iterasi dihentikan dan didapat nilai akar x yaitu xi+1 = 0,605267.
22
BAB IV STUDI KASUS Studi kasus numerik metode newton raphson dalam bidang manajemen keuangan untuk menentukan nilai Internal Rate of Return (IRR).. 1. Dalam kasus Umur Project N = 3 Tahun (Net Cash Flow dengan Jumlah yang Sama) Misalkan kita ditawarkan sebuah proposal proyek investasi di mana kita harus menginvestasikan dana sebesar Rp 10 juta. Sebagai imbalan dari proyek yang berjangka waktu 3 tahun ini, di mana kita akan menerima pembayaran Rp 2 juta pada setiap akhir tahun selama 2 tahun dan Rp 12 juta pada akhir tahun ketiga. Apabila kita menggunakan formulasi IRR dalam bentuk rumus deret geometris Penyelesaian: NPV -10
2 2 12 2 2 12 10 1 2 3 1 2 (1 r%) (1 r%) (1 r%) (1 r%) (1 r%) (1 r%) 3
f ( x) 10 x 3 28x 2 24 x 6 0 atau f ( x) 5x 3 14 x 2 12 x 3 0
Dengan mengandung f ( x) 10 x 3 28x 2 24 x 6 maka f ' ( x) derivatif pertama f ' ( x) 30 x 2 56 x 24 ,
Untuk nilai awal ditest x 0 dan x 1 Untuk x 0 diperoleh f (0) 6 Untuk x 1 diperoleh f (1) 10 28 24 6 56 Berhubung nilai f (0) dan f (6) berbeda tanda, maka diambil dugaan bahwa akar persamaan, yaitu x * di antara x 1 dan x 0 . Sehubungan dengan ini lakukan langkah iterasi (perhitungan) yang pertama sebagai berikut:
x
i 1
xi 0
f ( xi ) f ' ( xi ) f (0) f ' (0)
23
0
6 24
1 25% 4
1 Lakukan test untuk f ini yaitu: 4 3
2
1 1 1 1 f 10 28 24 6 4 4 4 4
122 1,9 64
Dan dengan menjalankan hingga iterasi ke 3, diperoleh hasil akar yang optimal atau konvergen, yaitu:
x
i 1
0,202351
f (0,202351) f ' (0,202351)
1 0,0428 2 4 15(0,202351) 28(0,202351) 12
1 0,0428 4 18,28
0,202351 0,002341 0,2
Akhirnya kita lakukan test f (0,2) f (20%) 5(0,2) 3 14(0,2) 2 12(0,2) 3 0 .
Dengan demikian dapat dikatakan bahwa x 20% merupakan akar persamaan polinomial dan Internal Rate Return adalah pada tingkat r 20% . Dengan menggunakan Software Excell yaitu fasilitas fungsi IRR (Range cell, guess) akan diperoleh nilai IRR 20% . Begitu pula apabila dihitung dengan menggunakan paket program Matlab bernilai sama, yaitu 20%. Hasil dengan metode Newton Raphson ini IRR 20% sama persis seperti hasil yang diperoleh pada software aplikasi Excel.
24
2. Kasus Umur Project N = 3 Tahun (Net Cash Flow yang Tidak Sama) Pada contoh kasus ini tak jauh berbeda dengan contoh kasus di atas, hanya saja terdapat nilai Net Cash Flow yang berbeda dari tahun ke tahun. Jadi misalkan kita ditawarkan sebuah proposal proyek investasi di mana kita harus menginvestasikan dana sebesar Rp 110 juta. Sebagai imbalan dari proyek yang berjangka waktu 3 tahun ini, di mana kita akan menerima pembayaran Rp 50 juta pada setiap tahun pertama, tahun kedua memperoleh Net Cash Flow Rp 40 juta dan Rp 65 juta pada akhir tahun ketiga. Apabila kita menggunakan formulasi IRR dalam bentuk rumus deret geometris Penyelesaian: NPV -110
0 -110
50 40 65 dengan memisalkan r% x , 1 2 (1 r%) (1 r%) (1 r%) 3
50 40 65 50 40 65 110 1 2 3 1 2 (1 r%) (1 r%) (1 r%) (1 x) (1 x) (1 x) 3
f ( x) 22 x 3 56 x 2 38x 9 0 sedangkan f ' ( x) 66 x 2 112 x 38 Maka dengan demikian lakukan test awal x 0 dan x 1
Untuk x 0 diperoleh f (0) 9 Untuk x 1 diperoleh f (1) 22 56 38 9 107 Dengan demikian dugaan akar
x * agar f ( x*) 0 adalah terletak di antara x 1 dan
x 0 . Maka diadakan proses perhitungan iterasi:
x
i 1
xi
f ( xi ) f ' ( xi )
0
f (0) f ' (0)
0
6 66(0) 112(0) 38
0
9 0,2368 38
2
Dengan demikian diperoleh dugaan akar sementara x* 0,2368 . Nilai
f 0,2368 perlu test untuk menganalisa seberapa jauhkah eror terhadap f ( x*) 0
25
Lakukan test untuk f ( x*) 0 f ( x*) f (2368) 22(0,2368) 3 56(0,2368) 2 38(0,2368) 9 3,44
Sedemikian hingga apabila dilanjutkan sampai iterasi ke 4, sehingga diperoleh hasil akar yang konvergen, yaitu:
x
i 1
0,1836
f (0,1836) f ' (0,1836)
0,1836
0,0006 2.2248 20,5632 3828
0,18359013
Dugaan akar yang terakhir ini yaitu x 0,18359013 akan dilakukan test sampai berapa jauhkah error terhadap f ( x) 0 . Berikut perhitungannya: f (0,18359013) 22(0,18359013) 3 56(0,18359013) 2 9 0,0000352 .
Dengan
demikian
dapat
dikatakan
bahwa
nilai
f (0,18359013) 0,0000352 sudah sangat mendekati f ( x) 0 atau sebesar
3,52.10 5 menunjukkan errornya sudah mencapai sangat kecil dalam orde
perseratusan ribu. Dengan demikian nilai x 0,18359013 atau IRR 18,359% merupakan nilai yang dicari. Adapun dari hasil Matlab didapatkan 0,1836 18,36% adalah merupakan approksimasi atau digit di belakang koma.
Apabila digunakan Software Excell yaitu fasilitas fungsi IRR (Range cell, guess) akan diperoleh nilai IRR 18% . Sedangkan bila menggunakan software Matlab 7.00 sebagai pengujian validitas dan software pembanding, maka diperoleh nilai x 0,1836 18,36% . Hasil perhitungan denganmetode Newton Raphson di atas tadi merupakan pendekatan dari IRR 18% seperti hasil yang diperoleh pada software aplikasi Excell maupun software Matlab.
26
BAB V KESIMPULAN Metode Numerik adalah teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematik sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan. Karena tidak semua perhitungan bisa diselesaikan dengan metode analitik, sehingga dibutuhkan metode lain untuk menyelesaikan perhitungan tersebut. Salah satunya adalah menghitung nilai akar dari fungsi non linear. Terdapat dua metode untuk menghitung nilai akar dari fungsi non linear, yaitu metode tertutup dan metode terbuka. Metode Newton-Raphson adalah salah satu contoh pendekatan numerik dengan metode terbuka. Disebut metode terbuka karena akarnya tidak dibatasi oleh batas bawah ataupun batas atas seperti pada metode biseksi. Langkah awal menentukan metode ini adalah dengan mendefinisikan persamaan fungsi dan turunan fungsi tersebut terlebih dahulu. Setelah itu, tentukan nilai awal x yang diperkirakan merupakan akar persamaan, lalu lanjutkan iterasinya hingga ditemukan akar dari fungsi non linear tersebut. Kelebihan metode ini adalah bila perkiraan akar ataupun nilai awal sudah tepat, maka waktu yang dibutuhkan untuk mendapatkan akar persamaan pun lebih cepat daripada waktu yang dibutuhkan oleh metode biseksi.
27
DAFTAR PUSTAKA
Bambang Triatmojo. 2008. Metode Numerik. Yogyakarta: Beta Offset. Lina Aryanti. 2012. Pengantar Analisis Numerik. Yogyakarta: UGM Luknanto Djoko. 2001. Metoda Numerik. Yogyakarta: UGM Moh. Toifur. 1998. Fisika Matematika. Yogyakarta: Universitas Ahmad Dahlan. Serway, Raymond A & Jewett, John. 2014. FISIKA untuk Sains dan Teknik. Edisi ke 6. Diterjemahkan oleh: Chriswan Sungkono. Jakarta: Salemba Teknika. Sudiadi & Rizani Teguh. 2015. Metode Numerik. Palembang: Sekolah Tinggi Manajemen Informatika dan Komputer Global Informatika. http://dosen.univpancasila.ac.id/dosenfile/4502211002138388192708November2 013.pdf (diakses 1 Desember 2017) http://eprints.binadarma.ac.id/926/1/ANALISIS%20ALGORITMA%20MATERI %207.pdf (diakses 1 Desember 2017) https://www.scribd.com/document_downloads/direct/37751852?extension=pdf&ft =1512188211<=1512191821&user_id=354092461&uahk=rEZKtz5d7q5tlgfmsGp0i8n_dU (diakses 1 Desember 2017).
28