SOLUSI SISTEM PERSAMAAN LANJAR
MAKALAH
Disusun untuk Memenuhi Salah Satu Tugas Mata Kuliah Metode Numerik
Disusun oleh:
Iing Sukardi
132151114
Cece !am"am
1421511#$
%ina &erdiana
14215111'
(iah )urna*ati
142151143
Sahal S+ukria*an ,ahmat )
1421511'5
Santi Mar+ani
1421511'$ 1421511'$
Ilham -urhanudin
1421511.'
Diana )ermata
1421511/3 Kelas 0I
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS SILIWANGI SILIWANGI TASIKMALAYA 2017
1 KATA PENGANTAR
Puji Pu ji dan sy syuk ukur ur penyu penyusun sun panjat panjatka kan n kehad kehadira iratt All Allah ah SWT, SWT, atas atas limpahan limpahan rahmat rahmat dan karuniakarunia-Nya Nya penyusun penyusun dapat menyelesa menyelesaikan ikan makal akalah ah
denga engan n
judu judull
“SOL SOLUS
SST ST!"
P!#SA !#SA"A "AA AN
LAN$ LA N$A A#%& #%&
"akalah ini disusun untuk memenuhi salah satu tugas mata kuliah "et'de Numerik& (e)erh e)erhasi asilan lan penyus penyusun un dalam dalam penyel penyelesa esaian ian maka makalah lah ini tidak tidak terlepas dari )im)ingan dan d'r'ngan dari )er)agai pihak& Untuk itu dalam kesempatan ini penyusun mengu*apkan terimakasih kepada yang terh'rmat + 1& !lis !lis Nurhay Nurhayati ati,, S&P S&Pd& d& selak selaku u d'sen d'sen pengam pengampu pu "et'de "et'de Numerik Numerik yang telah mem)erikan arahan dalam penulisan makalah ini& & (edua edua 'ran 'rang g tua tua yang yang tela telah h mem mem)eri )eri duk dukunga ungan n )aik )aik m'ri m'rill maupun materil& & #ekan . rekan rekan seperju seperjuangan angan yang yang turut turut mem)antu& mem)antu& Penyusun menyadari )ah/a dalam penyusunan makalah ini masih )anyak kekurangan dan masih jauh dari kesempurnaan& Oleh karena itu penyusun menerima kritik dan saran yang si0atnya mem)angun dari semua pihak& Sem'ga makalah ini )erman0aat )agi siapa saja yang mem)a*anya, khususnya )agi penyusun dan umumnya untuk kepentingan pendidikan&
Tasikmalaya, Tasikmalaya,
"aret 12
1 KATA PENGANTAR
Puji Pu ji dan sy syuk ukur ur penyu penyusun sun panjat panjatka kan n kehad kehadira iratt All Allah ah SWT, SWT, atas atas limpahan limpahan rahmat rahmat dan karuniakarunia-Nya Nya penyusun penyusun dapat menyelesa menyelesaikan ikan makal akalah ah
denga engan n
judu judull
“SOL SOLUS
SST ST!"
P!#SA !#SA"A "AA AN
LAN$ LA N$A A#%& #%&
"akalah ini disusun untuk memenuhi salah satu tugas mata kuliah "et'de Numerik& (e)erh e)erhasi asilan lan penyus penyusun un dalam dalam penyel penyelesa esaian ian maka makalah lah ini tidak tidak terlepas dari )im)ingan dan d'r'ngan dari )er)agai pihak& Untuk itu dalam kesempatan ini penyusun mengu*apkan terimakasih kepada yang terh'rmat + 1& !lis !lis Nurhay Nurhayati ati,, S&P S&Pd& d& selak selaku u d'sen d'sen pengam pengampu pu "et'de "et'de Numerik Numerik yang telah mem)erikan arahan dalam penulisan makalah ini& & (edua edua 'ran 'rang g tua tua yang yang tela telah h mem mem)eri )eri duk dukunga ungan n )aik )aik m'ri m'rill maupun materil& & #ekan . rekan rekan seperju seperjuangan angan yang yang turut turut mem)antu& mem)antu& Penyusun menyadari )ah/a dalam penyusunan makalah ini masih )anyak kekurangan dan masih jauh dari kesempurnaan& Oleh karena itu penyusun menerima kritik dan saran yang si0atnya mem)angun dari semua pihak& Sem'ga makalah ini )erman0aat )agi siapa saja yang mem)a*anya, khususnya )agi penyusun dan umumnya untuk kepentingan pendidikan&
Tasikmalaya, Tasikmalaya,
"aret 12
Penyusun
DAFTAR ISI
(ATA P!N3ANTA#i 4A5TA# S ii 6A6 1 P!N4A7ULUAN1 1&1 Latar 6elakang1 1& #umusan "asalah1 1& Tujuan2 6A6 P!"6A7ASAN3 &1 "et'de 4ek'mp'sisi LU3 &1&1 Pem0akt'ran dengan "et'de LU 3auss&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&8 &1& "et'de #eduksi 9r'ut&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&1 & "et'de Lelaran Untuk "enyelesaikan SPL13 &&1 "et'de Lelaran $a*')i&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&1: && "et'de Lelaran 3auss-Seidel&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&18 6A6 P!NUTUP1/ &1 (esimpulan 1; &1 Saran &&& 1; 4A5TA# PUSTA(A
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar B!a"a#$
"et'de numerik adalah teknik dimana masalah matematika di0'rmulasikan sedemikian rupa sehingga dapat diselesaikan 'leh peng'perasian
aritmatika&
Walaupun
rerdapat
)anyak
jenis
met'de numerik,
namun pada dasarnya, met'de terse)ut
memiliki satu dasar karakteristik urnum& "et'de numerik selalu men*akup sejumlah )*sar karena itu
kalkulasi yang )erulang-ulang& Oleh
diperlukan )antuan k'mputer untuk melaksanakan
'perasi hitungan terse)ut, Tanpa )antuan k'mputer "et'de numerik tidak )anyak mem)eri man0aat& "et'de
nurnerik sudah *ukup lama
dikem)angkan, namun
pemakaiannya dalam permasalahan yang ada di)er)agai )idang )elum meluas,
7al
ini dis*)a)kan karena pada masa terse)ut
alat )antu hitungan yang )erupa k'mputer )elum digunakan
se*ara
meluas&
6e)erapa
perkem)angan kemampuan k'mputer harganyapun
semakin
tahun sangat
terjangkau, sehingga
)anyak
terakhir pesat
ini dan
terjadi peledakan
pemakaian met'de numerik untuk menyelesaikan permasalahan yang ada& 4isamping
itu met'de numerik juga )erkem)ang
dengan
pesat,
dan
sekarang merupakan
alat
yang
sangat
ampuh
untuk
menyelesaikan perrnasalahan dalam )er)agai
)idang,
"et'de numerik mampu menyelesaikan suatu sistem
persamaan yang )esar, tidak linear dan sangat k'mpleks yang tidak mungkin diselesaikan se*ara analitis& 1.2 R%&%'a# Ma'a!a(
4ari latar )elakang diatas maka penulis dapat menarik suatu permasalahan se)agai )erikut+ 1& Apa kegunaan dari met'de dek'mp'sisi LU< & 6agaimana *ara pem0akt'ran dengan met'de LU 3auss< & 6agaimana *ara menggunakan met'de reduksi 9r'ut< :& 6agaimana *ara menggunakan met'de lelaran $a*')i< 8& 6agaimana *ara menggunakan met'de lelaran 3auss-Seidel<
1.) T%*%a#
Tujuan dari penulisan makalah ini adalah se)agai )erikut+ 1& Untuk mengetahui apa kegunaan dari met'de dek'mp'sisi LU& & Untuk mengetahui )agaimana *ara mem0akt'rkan dengan met'de LU 3auss& & Untuk mengetahui )agaimana *ara menggunakan met'de reduksi 9r'ut& :& Untuk mengetahui )agaimana *ara mengunakan met'de lelaran $a*')i& 8& Untuk mengetahui )agaimana *ara menggunakan met'de lelaran 3auss-Seidel&
BAB 2 PEMBAHASAN 2.1 Mt+, D"+&-+'' LU
ika matriks non-singuler maka ia daat di6aktorkan 7diuraikan atau didekomosisi8 men9adi matriks segitiga a*ah ( 7lower 8 dan matriks segitiga atau ; 7upper 8
A = LU Dalam entuk matriks em6aktoran ini ditulis seagai 1
0 1
0… 0…
l 21 l 31 l32
1…
0 0 0
¿ ⋮
¿
l n1
l n2
l n3
¿ ¿
u 11 u12 u 13 … u1 n 0 0
u 22 u 23 … u2 n 0 u 33 … u3 n ¿ ⋮ ¿ a 0 0 n3 ¿ ¿ ¿⋮
[
…
u
a11 a 12 a13 … a 1n a21 a 22 a23 … a 2 n
]
[ ]
¿⋮ a31 a 32 a33 … a 3 n = … 1¿ ¿ [ ¿¿ nn ¿¿ ] ⋮
⋮
an 1 a n2
⋮
⋮
⋮
an 3 … ann
)ada matriks segitiga a*ah L< semua elemen diagonal adalah l< sedangkan ada matriks ; tidak ada aturan khusus ada elemen diagonaln+a Seagai contoh< matriks
3 × 3 di a*ah ini di6aktorkan men9adi :
:
[
2 0 6
] [ ][
−1 −1 −4 2 = −3 1
1
0
0
2
0
1
0
0
3
0
1
0
−1 −1 −4 2 0
4
]
Metode em6aktoran A men9adi L dan U akan di9elaskan kemudian Sekali A di6aktorkan men9adi L dan U < kedua matriks terseut daat digunakan untuk men+elesaikan
Ax = b Metode en+elesaian S)( dengan cara ini dikenal
dengan nama &t+, ,"+&-+''
LU
Metode ini dinamakan 9uga metode
-&/a"t+ra# '$t$a 7trianguler factorization8 Nanti akan ditun9ukkan ah*a
metode eliminasi %auss meruakan suatu dekomosisi LU dari matriks A )en+elesaian Ax = b dengan metode dekomosisi LU adalah seagai erikut Tin9au sistem ersamaan lan9ar Ax = b aktorkan men9adi L dan U sedemikian sehingga
A = LU adi< Ax = b
LUx=b Misalkan Ux = y Maka Ly= b ;ntuk memeroleh
y 1 , y 2 , … , y n , kita menggunakan teknik en+ulihan ma9u
7 forward substitution8 : dieroleh y 1 , y 2 , … , y n dengan teknik
8
Ly=
[
1
0
l 21
1
… … ln 1 ln 2
][ ] [ ]
… 0 y 1 0 … 0 y 2 …… … ⋮ l n 3 … 1 y 4 0
=
b1 b2 → … bn
Dan untuk memeroleh solusi S)(<
x 1 , x 2 , … , x n ,
kita menggunakan teknik
en+ulihan mundur 7backward substitution8: dieroleh y 1 , y 2 , … , y n
u 11 u12 ¿ ¿
u13 0 u23 … ¿
…
u22 ¿
u1 n u2 n ¿
… … ¿0
0… Ly =¿ 0
1
[ ][ ]
dengan teknik en ulihan mundur
y 1 b1 y 2 = b2 → ⋮ … y 4 bn
adi< langkahlangkah menghitung solusi S)( dengan metode dekomosisi (; daat diringkas seagai erikut: 1 -entuklah matriks ( dan ; dari 2 )ecahkan Ly= b , lalu hitung + dengan teknik en+ulihan ma9u 3 )ecahkan
Ux= y , lalu hitung x dengan teknik en+ulihan mundur
Sama haln+a dengan metode matriks alikan< metode dekomosisi (; akan mangkas ila digunakan untuk men+elesaiakan se9umlah S)( dengan matriks +ang sama tetai dengan eredaeda Sekali di6aktorkan men9adi ( dan ;< keduan+a daat digunakan untuk menghitung solusi se9umlah S)l terseut Metode dekomosisi (; meruakan metode +ang aling ouler untuk memecahkan sistem ersamaan lan9ar Terdaat dua metode untuk mem6aktorkan atas ( dan ;:
= 1 Metode (; %auss 2 Metode reduksi Crout
211 )em6aktoran dengan Metode (; %auss
Walaupun tidak ada hu)ungannya dengan dek'mp'sisi LU, met'de eliminasi 3aus dapat digunakan untuk mem0akt'rkan A menjadi L dan U >karena itulah met'de pem0akt'ran ini kita namakan LU 3aus?& 4i dalam su))a) ini juga ditujukan )ah/a se)enarnya met'de eliminasi 3aus dapat dinyatakan se)agai dek'mp'sisi LU& "isalkan matriks A )erukuran :@: di0akt'rkan atas L dan U,
ALU
[
a 11 a 12 a13 a21 a 22 a23 a31
a32 a33
a41 a 42 a 43
][
1 0 0 a14 m21 1 0 a24 = a34 m31 m 32 1 m41 m42 m43 a44
4isini kita menggunakan sim)'l l ij
0 0 0 1
][
u 11 u12 u 13 u14 0 u22 u23 u24 u34 0 0 u33 0
0
0
m ij ketim)ang
)erasal dari 0akt'r pengali>
mij ¿
u44
]
l ij , karena nilai
pada pr'ses eliminasi
3aus& Langkah-langkah pem)entukan L dan U dari matriks A adalah se)agai )erikut+ 1 N+atakan A seagai A=IA
2
[
a11 a12 a 13 a 21 a22 a 23 a 31 a32 a 33 :
a n2
an 1
an 3
] [ ][
… a1 n 1 0 … a2 n 0 1 … a3n = 0 0 :
…
ann
: 0
0
0 0 1
… … …
0 a11 0 a21 0 a31
0
…
: : 1 a n1
a 12 a13 a 22 a23 a 32 a33
… a1 n … a2 n … a3 n
an 2 a n 3
…
:
a nn
]
2 =liminasi matriks di ruas kanan men9adi matriks segitiga atas ; tematkan 6aktor engali
l ij di matris I.
mij ada osisi
3 Setelah seluruh roses eliminasi %aus selesai< matriks I men9adi matriks L, dan matriks di ruas kanan men9adi matriks U.
4i )a/ah ini di)erikan dua *'nt'h pem0akt'ran A dengan met'de ini, masing-masing untuk kasus tanpa pivonating dan dengan pivonating& 9'nt'h >LU 3aus Nai0?
A =
[
4
3
−2 −4 1
2
−1 5 6
]
Penyelesaian+ A =
[
4
3
−2 −4 1
2
−1 5 6
] [ ][ =
1
0
0
0
1
0
0
0
1
4
3
− 2 −4 1
2
−1 5 6
]
!liminasi matriks A di ruas kanan menjadi matriks segitiga atas U, dan tempatkan 0akt'r pengali
mij pada p'sisi
l ij di matriks I.
B
[
4
−1
3
−2 −4 1
5
2
6
Tempatkan
][
3
−1
−2.5
4.5 R
4 0 0
m21=
3
1.25
−2 4
]
R1
4 1
−
6.25
) )
−2
R2−
R 1
4
1
=0.5 danm 31= = 0.25 kedalam matriks L+ 4
[
1
0
L= −0.5
0 1
m32
0
0 1
]
Teruskan pr'ses eliminasi 3auss pada matriks A,
[
4 0 0
−1
3
−2.5 1.25
4.5 6.25
Tempatkan
]
m32=
R3−
1
−2.5
1.25
−2.5
[
)
R2
4
−1
3
0 −2.5 0 0
=−0.5 ke dalam matriks LC
L=
[
1
0
0
−0.5
1
0
0.25
−0.5
1
]
$adi,
[
4
3
A = −2 − 4 1
2
][
−1 5 6
1
= −0.5 0.25
][
0
0
1 −0.5
0 0 1 0
4
3
−1
−2.5
4.5 8.5
0
9'nt'h > LU 3aus dengan tata-an*ang piD'ting?
]
]
4.5 =U 8.5
; 5akt'rkan matriks A )erikut+ A =
[
1
1
−1
2
2
1
−1
1
1
] [] 1
b=
5 1
Lalu pe*ahkan sistem Ax = b & Penyelesaian+ !liminasi matriks A di ruas kanan menjadi matriks segitiga atas U, dan tempatkan 0akt'r pengali
[
1
1
2 −1
−1
2 1
1 1
][
1
1
−1
0 0
0 2
3 0
]
R 2−( 2 ) R 1 R 3−( 1 ) R1
Tempatkan m21=2 dan
[
1
0
L= 2
0
1
−1 m32
0 1
mij pada p'sisi Lij di matriks &
m31=1 ke dalam matriks LC
]
Teruskan pr'ses eliminasi 3auss pada matriks A& 4alam hal ini ada piD'ting karena *al'n piD't
)ernilai , sehingga )aris kedua
dipertukarkan dengan )aris ketiga+
[
1
1
−1
0
0
3
0
2
0
][
1
1
−1
0
2
0
0
0
3
]
R 2 ⇔ R3
1
R2 ⇔ R3
$angan lupa mempertukarkan juga
pada matriks L,
ke*uali elemen diag'nalnya
L=
[
0
0
R2 ⇔ R3
1
1
0
−1 m
1
2
32
][
1
0
0
−1
1
0
2
m32
1
]
$angan lupa mempertukarkan juga R2 ⟺ R3 pada Dekt'r ),
[] [] 1
b=
5
1
b=
1
R2 ⇔ R3
1 5
Teruskan eliminasi 3auss pada matriks A+
[
1
1
−1
0 0
2 0
0 3
]
=U
R3−
0
Tempatkan
0 2
)
R2
m32n = = 0 ke dalam matriks L+ 2
11
L=
[
1
0
0
−1
1
0
2
0
1
]
$adi,
[
1
−1 2
0 1 2
0 0 1
][
1
= −1 2
0 1 0
][
0 1
1
−1
0 0 1 0
2 0
0 3
]
6erturut-turut y dan @ se)agai )erikut+
[
1
0
−1
1
2
0
][ ] [ ]
y 1 Ly= b 0 y 2 = 1 y 3 0
1 1
5
y 1 , y 2 , y3 dihitung dengan teknik penyulihan maju+
y 1=1
− y 1 + y 2=1 → y 2=1 + 1 y 1 =1+1 +2 2 y 1 + y 3 =5 → y 3=5 −2 y 1=3
Ux = y
1
[
][ ] [ ]
−1 x
1
1
0
2
0
0
0
3
1
1
x 2 x3
=2 3
x 1 , x 2 , x 3 dihitung dengan teknik penyulihan mundur+ 3 x3 =3 → x 3=1 2 x 2 + 0 x 3=2 → x 2=1
x 1+ x 2− x 3=1 → x 1=1
$adi, s'lusi sistem persamaan lanjar di atas adalah x =( 1,1,1 ) Pertukaran
)aris
untuk
matriks
yang
T
)erukuran
diperlihatkan 'leh matriks di )a/ah ini+
[
a1 a 2 a3 0 b 2 b3 0 0 c3 0 0 0
0 0 0
0 0 0
a4 a5 b4 b5 c 4 c5 0 d5 e4 e5 f 4 f 5
][
a6 a1 a2 a3 a 4 a5 a 6 b6 0 b2 R5b⇔ b5 b6 3 Rb 44 c 6 0 0 c3 c 4 c 5 c6 d 6 0 0 0 Ee 4 e 5 e6 0 d5 d6 e6 0 0 0 f 6 0 0 0 f 4 f 5 f 6
]
"aka, )aris ke-8 dan )aris ke-: pada matriks L juga harus di petukarkan+
R5 ⇔ R4
E
)esar
1
[
1
0 1
0 0
][
1
0 0 0
0 0 0
0 0 0
m41 m42 m43 1 m51 m52 m53 x m61 m62 m63 x
0 1
0 m51 0 m41 1 m
m21 m31 0
1
x
0 1
0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
m52 m 53 1 m42 m 43 x m62 m 63 x
0 1
0 0 1
m 21 m 31 0 1
61
x
]
212 Metode ,eduksi Crout Meskiun metode (; %auss dikenal aling aik untuk melakukan komosisi (;< terdaat metode lain +ang digunakan secara luas< +aitu metode reduksi
7 dekomosisi 8 Crout 7 metode reduksi Cholesk+ atau 9uga metode
Dolittle8 Dalam memahas metode reduksi Crout< tin9au matriks 3 > 3 erikut:
[
a11 a 12 a13 A = a21 a 22 a23 a31 a 32 a33
] [ ] 1
0 1
0 0
L= l 21 l 31 l 32 1
U =
[
u11 u 12 u13 u 22 u23 0 0
0
u33
Dari kesamaan dua uah matriks (;?< dieroleh
u11= a11 , u12=a12 ,u 13=a13
l 21 u11=a21 → l 21=
→ -aris ertama ;
a21 u11 Kolom ertama (
l 31 u11=a31 → l 31=
l 21 u12
a31 u11
+ u22=a 22 →u 22= a22−l 21 u12
]
1: -aris kedua ;
l 21 u13 + u23=a 23 →u 23= a23−l 21 u 13
l 31 u12+ l 32 u22=a32 →l32=
a32 −l 31 u12 u 22
→ Kolom kedua (
l 31 u13 + l 32 u23 + u33=a33 →u 33 =a33−( l 31 u13+ l 32 u23)
→ -aris ketiga ;
,umus untuk menghitung ; dan ( untuk sistem matriks +ang erukuran 3 > 3 daat ditulis seagai erikut: p −1
u pj =a pj −
l ∑ =
u
pk kj
k
1
Dan
q −1
∑= l u ik
l iq=
k 1
uqq
kj
dengan syarat u qq ≠ 0
9'nt'h + SelesaikanF x 1+ x 2− x 3=1 2 x 1 + 2 x2 + x 3=5
− x 1 +2 x2 + 2 x 3=5 dengan menggunakan met'de dek'mp'sisi LU, yang dalam hal ini L dan U dihitung dengan menggunakan met'de 9r'ut&
18 Penyelesaian A =
[
1
1
−1
2
2
1
−1
1
1
]
1
, b=5 1
u11=a11= 1
4iper'leh +
u12=a12= 1 u13=a 13=−1
(arena
U qq tidak )'leh n'l, lakukan pertukaran )aris )aik untuk
matriks A maupun untuk De*t'r ) + Tukar )aris kedua dengan )aris ketiga
[
1
1
A = −1
−1
]
1
1 2
1 , b=1 1 5
7itung
kem)ali
2
nilai
l 21 , l 31 danu 32
u11 , u12 , u13 tidak )eru)ah? l 21=
l 31=
a21 u11 a31 u11
=
−1 1
=−1
2
= =2 1
u22=a 22−l 21 x u12= 1− (−1 ) x 1=2 u23=a 23−l 21 x u13=1 −(−1 ) x (−1 )= 0
l 32=
a32−l 31 x u12 u22
=
2−( 1 ) x 1 2
=0
4iper'leh L dan U se)agai )erikut,
>perhatikan
)ah/a
nilai
1=
U =
[
1
1
−1
0
2
0
0
0
3
] [ , L=
1
0
0
−1
1
0
2
0
1
]
1
,danb =1 5
6erturut turut dihitung y dan @ se)agai )erikut+
[
]
0
1 y 1 1
L y =b → −1 1
1 y 2=1 5 y 3 5
1 2
0
y 1 , y 2 , dan y3 dihitung dengan teknik penyulihan maju+
y 1=1
− y 1 + y 2=1 → y 2=1 + y 1=1 + 1=2 2 y 1 + y 3 =5 → y 3=5 −2 y 1=3
U x = y →
[
]
−1 x
1
1
0
2
0
0
0
3
1
1
x 2=2 x 3 3
x 1 , x 2 ,dan x 3 dihitung dengan teknik penyulihan mundur+ 3 x3 = 3 → x 3= 1 2 x 2= 2 → x2 = 1
x 1+ x 2− x 3=1 → x 1=1 T
$adi s'lusi system persamaan lanjar diatas adalah x =( 1,1,1 ) $ika diamati elemen segitiga )a/ahpada matriks U semuanya )ernilai n'l, sehingga ruang yang tidak terpakai itu dapat dipakai untuk menyimpan elemen matriks L& elemen diag'nal matriks L seluruhnya 1, jadi tidak perlu disimpan& 4engan demikian, penyimpan
elemen
L
dan
U
pada
satu
matriks
dapat
menghematpenggunaan mem'ri& Selain itu matriks A hanya
12 dipakai sekali untuk memper'leh L dan U, sesudah itu tidak dipakai lagi& 4engan demikian setelah L dan U diper'leh, elemennya dapat dipindahkan kedalam A& karena alasan ini, maka met'de
dek'mp'sisi LU
dinamakan juga met'de k'mpaksi
mem'ri&
2.2 Mt+, L!ara# U#t%" M#!'a"a# SPL
"et'de eliminasi 3auss meli)atkan )anyak galat pem)ulatan& 3alat pem)ulatan dapat menye)a)kan s'lusi yang diper'leh “jauh% dari s'lusi se)enarnya& Untuk menyelesaikan SPL dapat diterapkan
gagasan
met'da
lelaran
pada
pen*arian
akar
persamaan nirlanjar& 4engan met'da lelaran, galat pem)ulatan dapat diperke*il, karena kita dapat meneruskan lelaran sampai s'lusinya seteliti mungkin, sesuai dengan )atas galat yang kita per)'lehkan& 4engan kata lain, )esar galat dapat dikendalikan sampai )atas yang )isa diterima& $ika met'de eliminasi 3auss dan Dariasi . Dariasinya serta met'de dek'mp'sisi LU dinamakan metode lans!n >dire*t? karena s'lusi
SPL
diper'leh
tanpa
lelaran
maka
met'de
lelaran
dinamakan metode tida" lans!n >indire*t? atau met'de interati0& Tinjau kem)ali system persamaan lanjar a1 x1 + a2 x 2 + … + a 1n x n=b 1
a21 x 1 + a 22 x2 + …+ a2 n xn =b2 ⋮
an 1 x1 + a n 2 x 2+ … + a nn x n=b n
1B akk ≠ 0, k = 1,2, … , n , maka persamaan lelarannya
4engan syarat
dapat ditulis se)agai (k )
k
b −a x … − a 1n x n = 1 12 2 a 11
( k + 1 )
x 1
( k +1 )
=
x 2
(k )
( k )
b2−a 21 x 1 … −a23 x3
− … a n x (nk ) 2
a 22
⋮ (k )
( k +1 )
x n
dengan
=
bn− an 1 x 1
−… a nn− x(nk −) 1
1
ann
k =0,1,2, …
Lelaran dimulai dengan mem)erikan te)akan a/al untuk @,
[] ( )
x 10
(0 )
x 0= x 2 ⋮
x (n0 )
Se)agai k'ndisi )erhenti lelarannya, dapatdigunakan pendekatan
galat relatiDe
|
( k + 1)
xi
( k + 1)
x i
|
− x(i k )
< ! untuk semua i=1,2,3, … , n
Syarat *ukup agar lelarannya k'nDergen adalah system d'minan n
se*ara diag'nal +
|aii|> ∑ |aij| j = 1, j ≠i
,
i = 1,2,3, … , n
Syarat *ukup ini )erarti )ah/a agar lelarannya k'nDergen, *ukup dipenuhi syarat itu& $ika syarat terse)ut dipenuhi, kek'nDergenan terjamin&meskipun
system
tidak
d'minan
se*ara
diag'nal,
lelarannya masih mungkin k'nDergen & kek'nDergenan juga
1; ditentukan 'leh pemilihan te)akan a/al& Te)akan a/al yang terlalu jauh dari s'lusi sejatinya dapat menye)a)kan lelaran diDergen&
Se)agai *'nt'h , SPL )erikut 3 x1
+ x − x =1 2
2 x 1
3
+4 x + x =5 2
3
− x 1 +5 x2 + 8 x 3=5 d'minan se*ara diag'nal, karena
|3|>|1|+|−1| |4|>|2|+|1|
|8|>|−1|+|5| karena itu lelarannya pasti k'nDergen& Ada dua met'de lelaran yang akan di)ahas, yaitu+ 1& "et'de lelaran $a*')i & "et'de lelaran 3auss-Seidel
221 Metode (elaran acoi ( 0)
"isalkan di)erikan te)akan a/al x :
(
x (0)= x (10 ) , x (20) , … , x (n0)
T
)
Pr'sedur lelaran untuk lelaran pertama, kedua, dan seterusnya adalah se)agai )erikut+ Lelaran pertama+ (0 )
(0)
(0 )
b −a12 x 2 −a 13 x 3 − − a1 n x n x 1 = 1 a11 ( 1)
(0 )
(0 )
( 0)
b −a21 x 1 −a 23 x 3 − −a2 n x n x 2 = 2 a22 ( 1)
⋮ ( 0)
( 1)
x n =
b n−an 1 x1
− an x ( )− −a nn− xn − ( 0
2
2
1
0
)
1
ann
Lelaran kedua+ (1 )
( 1)
( 1)
(1 )
(1)
(1 )
b −a12 x 2 −a13 x3 − −a 1n x n x 1 = 1 a11 ( 2)
b −a x −a23 x 3 − − a2 n x n x 2 = 2 21 1 a22 ( 2)
⋮ ( 1)
(1 )
b −a x − an 2 x 2 − −ann− 1 x n− 1 x n = n n 1 1 ann
(1 )
( 2)
#umus umum+ n
( k + 1)
x i
bi−
=
∑ =
aij x j
j 1, j ≠i
( k )
, k =0,1,2, …
a ii
222 Metode (elaran %aussSeidel Keceatan kon@ergen ada lelaran acoi di erceat ila setia harga
x 1 +ang
aru dihasilkan segera diakai ada ersamaan erikutn+a untuk menentukan harga
x i+1 +ang lainn+a (elaran ertama: 0
0
0
b1−a 12 x2 −a13 x3 − a14 x 4 x 1= a11 1
1 1
1
x 2=
0
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
2
1
1
2
2
1
2
2
2
b1−a 21 x1 −a23 x 3 −a24 x 4 a22
b3− a31 x 1−a32 x 2− a34 x 4 x 3= a33 1
1
x 4=
b 4− a41 x 1−a 42 x 2−a 43 x 3 a 44
(elaran Kedua:
b1−a 12 x2 −a13 x 3− a14 x 4 x 1= a11 2
1
x 2=
b1−a 21 x1 −a23 x3 − a24 x 4 a22
b3− a31 x 1−a32 x2− a34 x 4 x 3= a33 2
2
x 4=
b 4− a41 x 1−a 42 x 2−a 43 x 3 a 44
,umus umum: n
k + 1
x i =
∑= a x
b1 −
ij
k + 1 j
j 1
n
− ∑ aij x jk j = i + 1
aii
Contoh : Tentukan solusi S)( 4 x − y + " =7 4 x −8 y + " =−21
−2 x + y + 5 " =15
,k = 0,1,2, …
Dengan nilai a*al
p0=( x 0 , y 0 , " 0 )= ( 1,2,2 )
7solusi se9atin+a adalah 72<4<388
P#!'aa#
7a8 Metode lelaran acoi )ersamaan lelarann+a: x r+1=
y r +1=
" r+1 =
7 + y r− " r 4
21 + 4 x r − " r 8
15 + 2 x r− y r 5
(elarann+a:
x 1=
y 1=
" 1=
x 2=
y 2=
7
7 + 2− 2 4
21+ 4 ( 1 ) + 2 8
15 + 2 ( 1 )−2 5
=3.375 =3.000
+ 3.375−3.00 4
=1.84375
21+ 4 ( 3.375 ) −3.00
" 2=
8 15 + 2 ( 1.75 ) −3.00 5
… x 19 =2.00000000
=1.75
=3.875
=3.025
y 19=4.00000000 " 19=3.00000000
78 Metode lelaran %aussSeidel )ersamaan leniern+a<
x r+ 1=
y r +1=
" r+1 =
7 + y r− " r 4
21 + 4 x r− " r 8
15 + 2 x r− y r 5
(elarann+a<
x 1=
y 1=
" 1=
7 + 2− 2 5
=1.75
21+ 4 ( 1.75 ) −3.75 5
15 + 2 ( 1.75 ) − 3.75 5
x 2=
7 + 3.75−2.95
y 2=
" 2=
4 7
=3.75
=3.000
=1.95
+ 3.75− 2.95 8
=3.96875
15 + 2 ( 1.95 ) −3.968375 8
… x 10=2.00000000
=2.98625
: y 10=4.00000000 " 10=3.00000000
adi < solusi S)( adalah x =2.00000000, y =4.00000000, " =3.0000000
&
1; BAB # PENUTUP #$1 Kesim%!lan Metode en+elesaian S)( dengan cara (; %auss daat digunakan untuk men+elesaikan Ax = b Metode ini dinamakan 9uga metode em6aktoran segitiga 7trianguler factorization8 (angkahlangkah menghitung solusi S)( dengan metode dekomosisi (; adalah seagai erikut: 1 -entuklah matriks ( dan ; dari 2 )ecahkan Ly= b , lalu hitung + dengan teknik en+ulihan ma9u
Ux = y , lalu hitung x dengan teknik en+ulihan mundur
3 )ecahkan
,umus untuk menghitung ; dan ( untuk sistem matriks +ang erukuran 3 > 3 daat ditulis seagai erikut: p − 1
u pj =a pj −∑ l pk ukj k = 1
Dan
q −1
∑= l
u
ik kj
l iq=
k 1
uqq
dengan syarat u qq ≠ 0
,umus umum metode lelaran acoi : n
( k + 1)
x i
bi−
=
∑ =
aij x j
( k )
j 1, j ≠i
, k =0,1,2, …
a ii
,umus umum metode lelaran %aussSeidel : n
k + 1
x i =
∑= a x
b1 −
ij
k + 1 j
j 1
aii
n
− ∑ aij x jk j = i + 1
,k = 0,1,2, …
#$2 Sa&an Penulis menyadari dalam penulisan makalah ini masih )anyak kekurangan& Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran yang mem)angun dari pem)a*a demi kesempurnaan makalah ini untuk kedepannya&
