MAKALAH “Trigonometri” Matematika Ditulis Untuk Memenuhi Tugas Matematika
Oleh Fadhlan Al-Aqmar Richie Bachtiar Rismawan
11121031
Siti Aviani Nur Azizah
11121033
Susmita Afiati
11121074
Widyana Murti
11121037
SMA NEGERI 6 KABUPATEN TANGERANG Jalan Aria Jaya Sentika No. 52, Tigaraksa, Tangerang, 15720, telepon (021) 5990276
PRAKATA Assalamu’alaikum Wr.Wb, Puji dan syukur kita panjatkan kepada Allah swt atas tersusunnya makalah ini. Kami sebagai penulis mengucapkan banyak terima kasih pada semua pihak yang telah mendukung atas tersusunnya makalah ini. Kami menyadari atas banyaknya kekurangan yang didapati pada makalah ini, oleh karena itu Kami memohon maaf sebesar-besarnya bila sekiranya ada suatu hal yang tidak sesuai pada penulisan makalah ini. Demikian prakata yang dapat Kami sampaikan. Kami harap makalah ini bisa bermanfaat bagi pembaca.
Wassalamu’alaikumWr.Wb.
Tigaraksa, 11 Januari 2013
Penulis
BAB 1 Teori Trigonometri Trigonometri (dari bahasa Yunani trigonon = tiga sudut dan metro = mengukur) adalah sebuah cabang matematika yang berhadapan dengan sudut segitiga dan fungsi trigonometrik seperti sinus, cosinus, dan tangen. Trigonometri
memiliki
ketidaksetujuan
tentang
hubungan apa
dengan
geometri,
hubungannya;
bagi
meskipun beberapa
ada orang,
trigonometri adalah bagian dari geometri. Studi tentang trigonometri sebagai cabang matematika, lepas dari astronomi pertama kali diberikan oleh Nashiruddin al-Tusi (1201-1274), lewat bukunya Treatise on the quadrilateral. Bahkan dalam buku ini ia untuk pertama kali memperlihatkan keenam perbandingan trigonometri lewat sebuah segitiga siku-siku (hanya masih dalam trigonometri sferis). Menurut O`Conners dan Robertson, mungkin ia pula yang pertama memperkenalkan Aturan Sinus (di bidang datar). Di Arab dan kebanyakan daerah muslim, trigonometri berkembang dengan pesat tidak saja karena alasan astronomi tetapi juga untuk kebutuhan ibadah. Seperti diketahui, orang muslim jika melakukan ibadah sholat, harus menghadap ke arah Qiblat, suatu bangunan di kota Mekkah. Para matematikawan muslim lalu membuat tabel trigonometri untuk kebutuhan tersebut.
A. Perbandingan Trigonometri Suatu Sudut pada Segitiga Siku-siku Gambar di samping adalah segitiga siku-
B a
siku dengan titik sudut sikunya di C.
c
C
A
b Gb. 2.2. perbandingan trigonometri
Panjang sisi di hadapan sudut A adalah a, panjang sisi di hadapan sudut B adalah b,
dan panjang sisi di hadapan sudut C adalah c. Terhadap sudut : Sisi a disebut sisi siku-siku di depan sudut Sisi b disebut sisi siku-siku di dekat (berimpit) sudut Sisi c (sisi miring) disebut hipotenusa Berdasarkan keterangan di atas, didefinisikan 6 (enam) perbandingan trigonometri terhadap sudut sebagai berikut: 1. sin
panjang sisi siku - siku di depan sudut A a panjang hipotenusa c
2. cos
panjang sisi siku - siku di dekat (berimpit) sudut A b panjang hipotenusa c
3. tan
panjang sisi siku - siku di depan sudut A a panjang sisi siku - siku di dekat sudut A b
4. csc
panjang hipotenusa c panjang sisi siku - siku di depan sudut A a
5. sec
panjang hipotenusa c panjang sisi siku - siku di dekat sudut A b
6. cot
panjang sisi siku - siku di dekat sudut A c panjang sisi siku - siku di depan sudut A a
Dari perbandingan tersebut dapat pula ditulis rumus: tan
sin cos
sec
1 1 dan csc cos sin
dan cot
cos sin
Contoh: Pada gambar di samping segitiga B
sikusiku ABC dengan panjang a 24
a
dan c 25. Tentukan
keenam
perbandingan
A b Gb. 2.3. perbandingan trigonometri
trigonometri untuk . Penyelesaian: Nilai b dihitung dengan teorema Pythagoras b 252 242 625 576 49 7
sin
cos
a 24 c 25 b 7 c 25
csc
c 25 a 24
sec
c 25 b 7
c
C
tan
a 24 b 7
cot
c 7 a 24
B. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut-Sudut Istimewa Sudut istimewa adalah sudut yang perbandingan trigonometrinya dapat dicari tanpa memakai tabel matematika atau kalkulator, yaitu: 0, 30, 45,60, dan 90. Sudut-sudut istimewa yang akan dipelajari adalah 30, 45,dan 60. Untuk mencari nilai perbandingan trigonometri sudut istimewa digunakan segitiga siku-siku seperti gambar berikut ini.
3 30
2
1
1
2 60
45
1 Gb. 2.4.b. sudut istimewa
Gb. 2.4.a. sudut istimewa
Dari gambar 2.4.a dapat ditentukan sin 45
1 1 2 2 2 1 1 2 2 2
cos 45
tan 45
1 1 1
csc 45
2 2 1
sec 45
2 2 1
cot 45
1 1 1
Dari gambar 2.4.b dapat ditentukan
sin 30
1 2
sin 60
3 1 3 2 2
cos 30
3 1 3 2 2
cos 60
1 2
tan 30
1
tan 60
3 3 1
csc 30
2 2 1
csc 60
2
sec 60
2 2 1
cot 60
1
3
1 3 3
sec 30
2
cot 30
3 3 1
3
2 3 3
3
3
2 3 3
1 3 3
Tabel nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut istimewa.
0
30
45
60
90
sin
0
1 2
1 2 2
1 3 2
1
cos
1
1 3 2
1 2 2
1 2
0
tan
0
1 3 3
1
3
3
1
1 3 3
cot
tak terdefinisi
tak terdefinisi
0
contoh: 1 1 1 2 2 2 2 2
1.
sin 30 cos 45
2.
sin 45 tan 60 cos 45 cot 60
1 1 1 2 3 2 3 2 2 3 1 1 4 2 6 6 6 6 2 6 6 3
C. Perbandingan Trigonometri suatu Sudut di Berbagai Kuadran P adalah sembarang titik di kuadran I dengan Y
P(x,y) r
O
1 x Gb. 2.5
koordinat (x,y). OP adalah garis yang dapat berputar terhadap titik asal O dalam koordinat
y X
kartesius,
sehingga
XOP
dapat
bernilai
0 sampai dengan 90. Perlu diketahui bahwa OP x 2 y 2 r dan r 0
Berdasarkan gambar di atas keenam perbandingan trigonometri baku dapat didefinisikan dalam absis (x), ordinat (y), dan panjang OP (r) sebagai berikut: 1. sin α
ordinat P y panjang OP r
4. csc α
panjang OP r ordinat P y
2. cos α
absis P x panjang OP r
5. sec α
panjang OP r absis P x
3. tan α
ordinat P y absis P x
6. cot α
absis P x ordinat P y
Dengan memutar garis OP maka XOP = dapat terletak di kuadran I, kuadran II, kuadran III atau kuadran IV, seperti pada gambar di bawah ini. P(x,y)
Y
Y
P(x,y) y
r
y
1 x
O
2 X
3
x O
x
O
4
x
X
Y
Y
y
r
O
X
r
X r
y
P(x,y) P(x,y) Gb. 2.6. titik di berbagai kuadran Tabel tanda nilai keenam perbandingan trigonometri di tiap kuadran: Perbandingan
Kuadran
Trigonometri
I
II
III
IV
sin
+
+
-
-
cos
+
-
-
+
tan
+
-
+
-
csc
+
+
-
-
sec
+
-
-
+
cot
+
-
+
-
D. Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut yang Berelasi Sudut-sudut yang berelasi dengan sudut adalah sudut (90 ), (180 ), (360 ), dan -. Dua buah sudut yang berelasi ada yang diberi nama khusus, misalnya penyiku (komplemen) yaitu untuk sudut dengan (90 - ) dan pelurus (suplemen) untuk sudut dengan (180 ). Contoh: penyiku sudut 50 adalah 40, pelurus sudut 110 adalah 70. 1. Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (90 - ) Y
y=x P1(x1,y1) r1
y1
Titik P1(x1,y1) bayangan dari P(x,y)
P(x,y)
akibat pencerminan garis y x, sehingga
r y (90-)
O
x1 x
Gb. 2.7. sudut yang berelasi
Dari gambar 2.7 diketahui
diperoleh: X
a. XOP = dan XOP1 = 90 - b. x1 = x, y1 = y dan r1 = r
Dengan menggunakan hubungan di atas dapat diperoleh: a.
y x sin 90 1 cos r1 r
b.
x y cos 90 1 sin r1 r
c.
y x tan 90 1 cot x1 y
Dari perhitungan tersebut maka rumus perbandingan trigonometri sudut dengan (90 - ) dapat dituliskan sebagai berikut: a. sin 90 cos
d. csc 90 sec
b. cos 90 sin
e. sec 90 cos ec
c. tan 90 cot
f. cot 90 tan
2. Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (180 - ) Titik P1(x1,y1) adalah bayangan dari
Y
titik P(x,y) akibat pencerminan P1(x1,y1) terhadap sumbu y, sehingga
P(x,y) r1
a. XOP = dan XOP1 = 180 -
y1
(180-)
y
x1
b. x1 = x, y1 = y dan r1 = r maka diperoleh hubungan:
r
O
x
Gb. 2.8. sudut yang berelasi
a.
y y sin 180 1 sin r1 r
b.
x x cos 180 1 cos r1 r
c.
y y tan 180 1 tan x1 x
Dari hubungan di atas diperoleh rumus: a. sin 180 sin
d. csc 180 csc
b. cos 180 cos
e. sec 180 sec
c. tan 180 tan cot 180 cot
f.
X
3. Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (180 + ) Y
Dari gambar 2.9 titik P1(x1,y1) adalah bayangan
dari
titik
P(x,y)
P(x,y) r
akibat (180+)
pencerminan terhadap garis y x, x1
sehingga
y
O
x
y1 r1
a. XOP = dan XOP1 = 180 +
P1(x1,y1) Gb. 2.9. sudut yang berelasi
b. x1 = x, y1 = y dan r1 = r maka diperoleh hubungan: a.
y y sin 180 1 sin r1 r
b.
x x cos 180 1 cos r1 r
c.
y y y tan 180 1 tan x1 x x
Dari hubungan di atas diperoleh rumus: a. sin 180 sin
d. csc 180 csc
b. cos 180 cos
e. sec 180 sec
c. tan 180 tan
f. cot 180 cot
X
4. Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (- ) Y
Dari gambar 2.10 diketahui titik
P(x,y) r
P1(x1,y1) bayangan dari P(x,y)
(360-1)
akibat pencerminan terhadap sumbu O
-
y x x1
x, sehingga
r1
a. XOP = dan XOP1 = - b. x1 = x, y1 = y dan r1 = r
X y1
P1(x1,y1) Gb. 2.10. sudut yang berelasi
maka diperoleh hubungan a.
y y sin 1 sin r1 r
b.
x x cos 1 cos r1 r
c.
y y tan 1 tan x1 x
Dari hubungan di atas diperoleh rumus: a. sin sin
d. csc csc
b. cos cos
e. sec sec
c. tan tan
f. cot cot
Untuk relasi dengan (- ) tersebut identik dengan relasi dengan 360 , misalnya sin (360 ) sin .
E. Menentukan Koordinat kartesius dan Koordinat Kutub Cara lain dalam menyajikan letak sebuah titik pada bidang xy selain koordinat kartesius adalah dengan koordinat kutub. Y
P(x,y)
Y r
y O
x
P(r, )
X
Gb. 2.11. koordinat kartesius
O
x
y X
Gb. 2.12. koordinat kutub
Pada gambar 2.11 titik P(x,y) pada koordinat kartesius dapat disajikan dalam koordinat kutub dengan P(r, ) seperti pada gambar 2.12. Jika koordinat kutub titik P(r, ) diketahui, koordinat kartesius dapat dicari dengan hubungan: cos
sin
x x r cos r
y y r sin r
jika koordinat kartesius titik P(x,y) diketahui, koordinat kutub titik ) dapat dicari dengan hubungan: r x2 y 2 tan
y y arc tan , arc tan adalah invers dari tan x x
P(r,
Contoh: 1. Ubahlah menjadi koordinat kutub b. C( 4,4 3 )
a. B(5,5)
2. Ubahlah P (12,60) menjadi koordinat kartesius
Penyelesaian: b. C( 4,4 3 )
1. a. B (5,5) x 5, y 5 (kuadran I)
x 4, y 4 3 (kuadran II)
r 52 52
r
25 25 5 2
tan
4 2 4
3
2
16 48 64 8
5 1 45 5
tan
jadi B (5 2,45 )
4 3 3 120 4
jadi C (8, 120)
2. P (12,60) diubah ke koordinat kartesius x r cos
y r sin
12 cos 60
12 sin 60
12(1/2)
1 12 3 2
x6
y 6 3
Jadi koordinat kartesiusnya P 6,6 3
F. Identitas Trigonometri Y
Dari gambar di samping diperoleh
P(x, y) r x
O
cos
y X
x r
, sin
2
y r
dan r x 2 y 2 .
2
Sehingga sin cos
Gb. 2.13. rumus identitas
Jadi
y2 r2
x2 y 2
sin2 +cos2 1
r2
x2 r2
r2 r2
1
G. Menyelesaikan Persamaan Trigonometri Sederhana Persamaan trigonometri adalah persamaan yang memuat perbandingan trigonometri suatu sudut, di mana sudutnya dalam ukuran derajat atau radian. Menyelesaikan persamaan trigonometri adalah menentukan nilai x yang memenuhi persamaan tersebut sehingga jika dimasukkan nilainya akan menjadi benar. 1. Menyelesaikan persamaan sin x sin Dengan mengingat rumus sin (180 - ) sin dan sin ( + k. 360) sin , maka diperoleh: Jika sin x sin maka x + k. 360 atau x (180 ) + k. 360 , k B
2. Menyelesaikan persamaan cos x cos Dengan mengingat rumus
cos cos dan cos ( + k. 360) cos , diperoleh Jika cos x cos maka x + k. 360 atau x + k. 360, k B 3. Menyelesaikan persamaan tan x tan Dengan mengingat rumus tan (180 + ) tan dan tan ( + k. 360) tan , maka diperoleh: Jika tan x tan maka x + k. 180 , k B contoh: Tentukan penyelesaian persamaan berikut ini untuk 0 x 360. a)
sin x
1 2
b)
cos x
1 3 2
c) tan x 3
Penyelesaian: a)
sin x
1 sin x sin 30 2
x + k. 360 untuk k = 0 x 30 x (180 ) + k.360 untuk k = 0 x 180 30 150
b)
cos x
1 3 cos x cos 30 2
x + k. 360 untuk k = 0 x 30 x + k. 360 untuk k = 1 x 30 + 360 330 c)
tan x 3 tan x tan 120
x + k. 180 untuk k = 0 x 120 untuk k = 1 x 120 + 180 300
Catatan: satuan sudut selain derajat adalah radian, di mana satu radian adalah besarnya sudut yang menghadap busur lingkaran yang B
panjangnya sama dengan jari-jari. r
AOB = 1 rad
O
r A
Hubungan radian dengan derajat 360 =
2r rad r
= 2 rad 180 = rad pendekatan 1 rad = 57,3. Dengan
mengingat
pengertian
radian
tersebut,
penyelesaian persamaan trigonometri dapat pula
maka
bentuk
menggunakan
satuan radian, sebagai contoh untuk persamaan sin x sin A maka penyelesaiannya adalah: x A + k. 2 atau x ( A) + k. 2 , k B di mana x dan A masing-masing satuannya radian.
H. Rumus-rumus Trigonometri untuk Jumlah dan Selisih Dua Sudut 1. Rumus cos ( + ) dan cos ( ) C
Pada
gambar
diketahui garis
di
samping
CD dan AF G
keduanya adalah garis tinggi dari segitiga ABC. Akan dicari rumus
A
Gb. 2.14
cos ( + ). cos
AD AC
AD AC cos
Pada segitiga sikusiku CGF
sin
GF GF CF sin CF
F
…………..(1)
Pada segitiga sikusiku AFC,
sin
CF CF AC sin AC
…………..(2)
cos β
AF AF AC cos AC
…………..(3)
D E B
Pada segitiga sikusiku AEF,
cos
AE AE AF cos AF
…………..(4)
Dari (1) dan (2) diperoleh GF AC sin sin Karena DE GF maka DE AC sin sin Dari (3) dan (4) diperoleh AE AC cos cos Sehingga
AD AE DE
AC cos ( + ) AC cos cos AC sin sin Jadi
cos ( + ) cos cos sin sin
Untuk menentukan
cos ( ) gantilah dengan lalu
disubstitusikan ke rumus cos ( + ). cos ( ) cos ( + ()) cos cos () sin sin () cos cos sin (sin ) cos cos + sin sin Jadi
cos ( ) cos cos + sin sin
2. Rumus sin ( + ) dan sin ( ) Untuk menentukan rumus sin ( + ) dan sin ( ) perlu diingat rumus sebelumnya, yaitu:
sin (90 ) cos dan cos (90 ) sin
sin ( + ) cos (90 ( + )) cos ((90 ) ) cos (90 ) cos + sin (90 ) sin sin cos + cos sin Jadi
sin ( + ) sin cos + cos sin
Untuk menentukan sin ( ), seperti rumus kosinus selisih dua sudut gantilah dengan lalu disubstitusikan ke sin ( + ). sin ( ) sin ( + ( )) sin cos () + cos sin () sin cos + cos (sin ) sin cos cos sin Jadi
sin ( ) sin cos cos sin
3. Rumus tan ( + ) dan tan ( ) Dengan mengingat tan tan ( )
sin , maka cos
sin ( ) sin cos cos sin cos ( ) cos cos sin sin
sin cos cos sin sin sin cos cos cos cos tan ( ) cos cos sin sin sin sin 1 cos cos cos cos tan tan 1 tan tan
Jadi
tan ( )
tan tan 1 tan tan
Untuk menentukan tan ( ), gantilah dengan lalu disubstitusikan ke tan ( + ). tan ( ) tan ( + ( ))
Jadi
tan tan (-) 1 tan tan (-)
tan tan () 1 tan ( tan )
tan tan 1 tan tan
tan ( )
tan tan 1 tan tan
I.
Rumus Trigonometri Sudut Rangkap Dari
rumusrumus
trigonometri
untuk
jumlah
dua
sudut,
dapat
dikembangkan menjadi rumus trigonometri untuk sudut rangkap. 1. sin 2 sin ( + ) sin cos + cos sin 2 sin cos Jadi
sin 2 2 sin cos
2. cos 2 cos ( + ) cos cos sin sin cos2 sin2 cos 2 cos2 sin2
Jadi
Rumusrumus variasi bentuk lain yang memuat cos 2 dapat diturunkan dengan mengingat rumus dasar cos2 + sin2 1. cos 2 cos2 sin2
cos 2 cos2 sin2
cos2 (1 cos2)
(1 sin2) sin2
2cos2 1
1 2 sin2
Sehingga
1) cos 2 cos2 sin2 2) cos 2 2cos2 1 3) cos 2 1 2 sin2
3.
tan 2 tan ( )
tan tan 2 tan 1 tan tan 1 tan 2
Jadi
2 tan
tan 2
1 tan 2
J. Mengubah Rumus Perkalian ke rumus Penjumlahan/Pengurangan 1. Dari rumus cosinus untuk jumlah dan selisih 2 sudut diperoleh: cos ( + ) cos cos sin sin cos ( ) cos cos + sin sin + cos ( + ) + cos ( ) 2 cos cos Jadi
cos ( + ) + cos ( ) 2 cos cos
cos ( + ) cos cos sin sin cos ( ) cos cos + sin sin
cos ( + ) cos ( ) 2 sin sin Jadi
cos ( + ) cos ( ) 2 sin sin
2. Dari rumus sinus untuk jumlah dan selisih 2 sudut diperoleh: sin ( + ) sin cos + cos sin sin ( ) sin cos cos sin + sin ( + ) + sin ( ) 2 sin cos Jadi
sin ( + ) + sin ( ) 2 sin cos
sin ( + ) sin cos + cos sin sin ( ) sin cos cos sin
sin ( + ) + sin ( ) 2 sin cos Jadi
sin ( + ) sin ( ) 2 cos sin
K. Rangkuman a) Tabel nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut istimewa.
0
30
45
60
90
sin
0
1 2
1 2 2
1 3 2
1
cos
1
1 3 2
1 2 2
1 2
0
tan
0
1 3 3
1
3
3
1
1 3 3
cot
tak terdefinisi
tak terdefinisi
0
b) Tabel tanda nilai keenam perbandingan trigonometri tiap kuadran Perbandingan
Kuadran
Trigonometri
I
II
III
IV
sin
+
+
-
-
cos
+
-
-
+
tan
+
-
+
-
csc
+
+
-
-
sec
+
-
-
+
cot
+
-
+
-
c) Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut yang Berelasi a. perbandingan trigonometri sudut dengan (90 - ) 1) sin 90 cos
4) csc 90 sec
2) cos 90 sin
5) sec 90 csc
3) tan 90 cot
6) cot 90 tan
b. Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (180 - ) 1) sin 180 sin
4) csc 180 csc
2) cos 180 cos
5) sec 180 sec
3) tan 180 tan
6) cot 180 cot
c. Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (180 + ) 1) sin 180 sin
4) csc 180 csc
2) cos 180 cos
5) sec 180 sec
3) tan 180 tan
6) cot 180 cot
d. Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (- ) 1) sin sin
4) cosec cosec
2) cos cos
5) sec sec
3) tan tan
6) cot cot
d) Menyelesaikan persamaan trigonometri a. Jika sin x sin maka x + k. 360 atau x (180 ) + k. 360 , k B
b. Jika cos x cos maka x + k. 360 atau x + k. 360, k B c. Jika tan x tan maka x + k. 180 k B e) Rumus-rumus trigonometri a. Jumlah dan selisih dua sudut 1) cos ( + ) cos cos sin sin 2) cos ( ) cos cos + sin sin 3) sin ( + ) sin cos + cos sin 4) sin ( ) sin cos cos sin 5) tan ( )
tan tan 1 tan tan
6) tan ( )
tan tan 1 tan tan
b. Rumus trigonometri untuk sudut rangkap 1) sin 2 2 sin cos
3) tan 2
2) cos 2 cos sin 2
2
2 tan 1 tan 2
cos 2 2cos2 1 cos 2 1 2 sin2 c. Mengubah Rumus Perkalian ke Penjumlahan/Pengurangan 1) cos ( + ) + cos ( ) 2 cos cos 2) cos ( + ) cos ( ) 2 sin sin 3) sin ( + ) + sin ( ) 2 sin cos 4) sin ( + ) sin ( ) 2 cos sin
Daftar Pustaka
Bernadeta Etty W, Suparno & Hutomo. (1996). Bahan Ajar STM. Yogyakarta: PPPG Matematika.
Hyatt, H.R. & Small,L. (1982). Trigonometry a Calculator Approach. Canada: John Wiley and Sons, Inc.
id.wikipedia.com Kenneth S. Miller & John B. Walsh. (1962). Elementary and Advanced Trigonometry. New York: Harper & Brothers Publisher.
matematikanet.com Richard G. Brown. (1994). Advanced Mathematics . California: Houghton Mifflin Company.
Tumisah P. Jono & Mukimin.(2002). Trigonometri Bahan Ajar Matematika SMK. Yogyakarta: PPPG Matematika.
Winarno&
Al.
Krismanto.
(2001).
Bahan
Standarisasi
Trigonometri. Yogyakarta: PPPG Matematika.
SMU
