BAB I PENDAHULUAN 1.1 LATAR BELAKANG BELAKANG MASALAH MASALAH Baik di dalam dunia engineering, ekonomi, sosial, budaya maupun dunia teoritis (termasuk dunia komputer tentunya), kita sering menghadapi suatu yang sering disebut sebagai “ketidakpastian”. Ketidakpastian terjadi akib akibat at kete keterb rbat atas asan an manu manusi sia a itu itu send sendiri iri di dala dalam m duni dunian anya ya dala dalam m mengukur/me mengukur/menghitu nghitung/me ng/menalar nalar/meram /meramal al sesuatu sesuatu hal baik yang akan datang maupun yang ada di depan mata, termasuk yang telah terjadi. Sudah sejak dari awal zaman, ketidakpastian diantisipasi manusia dengan berbagai cara. Ada cara yang bersifat prophecy dan supranatural, ada pula yang lebih rasional rasional dengan dengan mempelajari mempelajari periodisitas periodisitas (pengulangan) (pengulangan) gejala alam untuk mengurangi tingkat ketidakpastian itu hingga sampai ke tingkat yang lebih manageble. manageble. Namun, Namun, ketidakpastian itu tetap mewarnai kehidupan kehidupan manusia karena ketidak ketidak pastian pastian itu mungkin mungkin menjadi menjadi faktor faktor pemicu pemicu dinami dinamika ka roda roda kehidu kehidupan pan itu sendir sendiri. i. Dengan Dengan kata kata lain, lain, walau walau ketid ketidak akpas pastia tian n itu serin seringk gkal alii menj menjad adii sumb sumber er kesu kesulit litan an,, tata tatapi pi juga juga sekaligus merupakan blessing . Teori Probabilitas bisa dikatakan merupakan salah satu ilmu untuk “mengukur” ketidakpastian hingga ke tingkat yang lebih manageble dan predictable. predictable. Teori probabilitas digunakan bukan hanya untuk hal-hal yang praktis praktis,, bahkan bahkan juga juga untuk untuk hal-ha hal-hall yang yang teoriti teoritis s ketika ketika modelmodel-mod model el mate matema mati tis s tida tidak k dapa dapatt lagi lagi disu disusu sun n seca secara ra komp kompre rehe hens nsif if untu untuk k memeca memecahka hkan n suatu suatu masala masalah. h. Apalag Apalagii dunia dunia enginee engineerin ring g yang yang pada pada umumnya memerlukan pertimbangan yang lebih singkat dan pragmatis sangat mengandalkan konsep-konsep di dalam teori probabilitas. Metode Metode statis statistika tika adala adalah h “muka” “muka” dari dari teori teori probab probabilit ilitas. as. Metode Metode statis statistika tika diguna digunakan kan untuk untuk melaku melakukan kan penguku pengukuran ran kuantit kuantitati atiff yang yang aproksi aproksimat matif if akan akan suatu suatu hal. hal. Konsep Konsep metodo metodolog logis is yang yang diguna digunakan kan di dalam metode metode statistika statistika dikembangk dikembangkan an berdasarka berdasarkan n teori probabilitas probabilitas.. Dalam penggunaannya, hasil pengukuran statistika sudah dapat dianggap memadai. Namun, untuk memahami apa yang ada di balik angka-angka hasi hasill peng penghi hitu tung ngan an stat statis isti tika ka ters terseb ebut ut meme memerl rluk ukan an pema pemaha hama man n mengenali mengenali model probabilitas probabilitas yang digunakannya, digunakannya, yang artinya artinya perlu kembal kembalii ke teori teori probab probabilit ilitas. as. Tanpa Tanpa pemaham pemahaman an terseb tersebut, ut, sering seringkal kalii statistik digunakan untuk melegitimasi suatu kebohongan (dikenal sebagai kebohongan statistika) ketika statistik digunakan sementara model dasar proba probabil bilita itas s yang yang terk terkai aitt tidak tidak sesu sesuai ai/r /rel elev evan an deng dengan an situ situas asii yang yang sebenarnya. Simulasi dan teori antrian dapat dikatakan juga sebagai turunan dari teori probabilitas. Dengan simulasi maka perilaku suatu sistem atau ranc rancan anga gan n dapa dapatt dipe dipela laja jari ri.. Teor Teorii prob probab abil ilit itas as digu diguna naka kan n dala dalam m menentukan perilaku secara lebih kuantitatif dari apa yang disimulasikan. Teor Teorii antr antria ian n meru merupa paka kan n hasi hasill peng pengem emba bang ngan an lanj lanjut utan an kons konsep ep probabilitas probabilitas dan di dalamnya dalamnya masih berbicara berbicara mengenai mengenai model-model model-model probabilitas.
Namun, kembali ke pembicaraan awal, yaitu bahwa probabilitas hanyal hanyalah ah suatu suatu sistem sistematik atika a ilmu ilmu untuk untuk mempela mempelajar jarii ketida ketidakpa kpasti stian. an. Seakur Seakurat-a at-akur kuratn atnya ya model model probab probabilit ilitas as yang yang diguna digunakan kan,, tetap tetap saja saja ketidakpastian itu masih ada walau dengan kadar yang amat tipis. Dan ketidak pastian yang tipis itu pada gilirannya dapat menghasilkan hasil yang ekstrim. Jadi penting bagi kita memahami apa yang bias diberikan oleh teori probabilitas dan turunan-turunannya. Dalam statistik probabilitas dikenal dengan distribusi, distribusi ini ada dua macam yaitu distribusi diskrit dan distribusi kontinue. 1.2 RUMUSA RUMUSAN N MASALA MASALAH H Dalam Dalam pemb pembaha ahasan san ini ini kami kami meng mengura uraika ikan n bebe beberap rapa a hal hal tentan tentang g macam-macam macam-macam distribusi random diskrit. 1.2.1 Proses Bernoulli 1.2.2 Distribusi Bi Binomial 1.2.3 Distribusi Geometrik 1.2.4 Distribusi Hipergeometrik 1.2.5 Proses & Distribusi Po Poisson 1.2.6 .2.6 Pendekatan tan un untuk Di Distribusi Bi Binomial 1.3 TUJUAN TUJUAN PEMBAHA PEMBAHASAN SAN Tujua Tujuan n dari dari pemba pembaha hasan san ini ini adala adalah h untuk untuk meme memenu nuhi hi tuga tugas s mata mata kuli kuliah ah Stat Statis isti tika ka Prob Probab abil ilit itas as pada pada seme semest ster er ganj ganjil il Tahu Tahun n Akad Akadem emik ik 2009/2010. 1.4 MANFAAT MANFAAT PEMBAHASAN PEMBAHASAN Manfaat yang diharapkan dari pembahasan ini adalah: 1. Dapat menambah khasanah pengetah tahuan tentang Statistika Probabilitas Probabilitas khususnya pada sub pokok bahasan Distribusi Diskrit. 2. Dapat apat meng menget etah ahui ui maca macamm-m macam acam dist distri rib busi usi disk diskri ritt denga dengan n lebih lebih mendalam
BAB II PEMBAHASAN 2.1 Distribusi
Random Diskrit Distribusi probabilitas variabel acak menggambarkan bagaimana suatu probabilitas didistribusikan terhadap nilai-nilai dari variabel acak tersebut. Untuk variabel diskrit X, distribusi probabilitas didefinisikan dengan fungsi probabilitas dan dinotasikan sebagai p(x). Dalam pembahasan distribusi Random Diskrit ini akan membahasa antara lain: a) Proses Bernoulli b) Distribusi Binomial c) Distribusi Geometrik d) Distribusi Hipergeometrik e) Proses & Distribusi Poisson f) Pendekatan untuk Distribusi Binomial Untuk itu mari kita uraikan lebih lanjut dalam pembahasan selanjutnya. Selain itu dalam pembahasan ini juga akan kami tambahkan penyelesaian distribusi random diskrit dalam aplikasi Ms. Excel. 2.2 Proses Bernoulli Percobaan Bernoulli adalah percobaan yang memenuhi kondisi-kondisi berikut: Satu percobaan dengan percobaan yang lain independen. 1. Artinya, sebuah hasil tidak mempengaruhi muncul atau tidak munculnya hasil yang lain. Setiap percobaan memberikan dua hasil yang mungkin, yaitu 2. sukses* dan gagal. Kedua hasil tersebut bersifat mutually exclusive. 3. Probabilitas sukses, disimbolkan dengan p, adalah tetap atau konstan. Probabilitas gagal, dinyatakan dengan q, adalah q = 1-p. Beberapa distribusi yang dilandasi oleh proses Bernoulli adalah : Distribusi binomial, 1. Distribusi geometrik, dan 2. Distribusi hipergeometrik. 3. (termasuk kategori tersebut adalah distribusi multinomial dan negatif binomial). 2.3 Distribusi Binomial Suatu percobaan yang mempunyai 2 kemungkinan yaitu berhasil atau gagal dan dilakukan berulang-ulang dinamakan percobaan binom, sehingga ciri-ciri percobaan binom adalah : 1. Percobaan terdiri atas n peristiwa 2. Dalam setiap peristiwa hasilnya dapat digolongkan sebagai berhasil atau gagal 3. Peluang berhasil dilambangkan dengan p 4. Peristiwa-peristiwa itu bersifat bebas satu sama lain Variabel x yang menyatakan banyak keberhasilan dalam n percobaan suatu percobaan binom dan distribusinya peluangnya disebut Distribusi Binomial dan nilai- nilainya dilambangkan dengan b (x; n,p)
Jika peluang keberhasilan “p” dan peluang kegagalan q = 1 – p, maka distribusi peluang untuk variable acak binomial x yaitu banyaknya keberhasilan dalam n peristiwa yang bebas adalah :
Karena distribusi binomial termasuk distribusi variabel diskrit b(x; n,;) = p(x) = P(X=x) Perhatikan Contoh berikut:
Berikut ini dalam penyelesaian Excel dimana: Dengan menggunakan fungsi binomdist, dimana:
Sehingga penyelesaianya adalah sebagai berikut:
Selanjutnya dapatlah dibuat sebuah penyelesaian dalam bentuk tabel seperti berikut ini:
Mean dari distribusi binomial : µ
= E ( X ) = np
Variansi dari distribusi binomial : σ
2
= V ( X ) = npq
Deviasi standar dari distribusi binomial : σ
= SD(X) =
npq
Berikut ini gambaran dengan grafik..
A adalah jumlah produk dari mesin A dalam 5 produk : = E ( H ) = (5)(.5) = 2.5 2 σ H = V ( H ) = (5)(.5)(.5) = 0.5 σ H = SD( H ) = 0.5 = .7071
µ H
2.4 Distribusi Hipergeometrik Distribusi binomial digunakan pada populasi yang tidak terbatas, sehingga proporsi sukses diasumsikan diketahui. Distribusi probabilitas hipergeometrik digunakan untuk menentukan probabilitas kemunculan sukses jika sampling dilakukan tanpa pengembalian. Variabel random hipergeometrik adalah jumlah sukses (x) dalam n pilihan, tanpa pengembalian, dari sebuah populasi terbatas N , dimana D diantaranya adalah sukses dan (N-D) adalah gagal. Penurunan fungsi distribusi hipergeometrik diturunkan dengan menghitung kombinasi-kombinasi yang terjadi. Kombinasi yang dapat dibentuk dari populasi berukuran N untuk sampel berukuran n adalah kombinasi C (N,n). Jika sebuah variabel random (diskrit) X menyatakan jumlah sukses, selanjutnya dapat dihitung kombinasi diperoleh x sukses dari sejumlah D sukses dalam populasi yang diketahui yaitu C (D,x ) , dan demikian pula halnya dapat dicari (n-x ) kombinasi gagal dari sisanya (ND), yaitu kombinasi C ((N-D),(n-x )). Dengan demikian: sukses C (D,x ). C ((N-D),(n-x )) atau
D N − D n − x x
yang diperoleh dari total kombinasi yang mungkin C (N,n) atau
N n
Sebuah variabel random (diskrit) X menyatakan jumlah sukses dalam percobaan bernoulli dan total jumlah sukses D diketahui dari sebuah populasi berukuran N, maka dikatakan x mengikuti distribusi hipergeometrik dengan fungsi kemungkinan : D N − D
x n − x , p ( x ) = N n =0
x
= 1,2, , min( n, D )
otherwise Distribusi kemungkinan disimbolkan dengan h( x;N;n;D).
hipergeometrik
sering
Parameter pemusatan dan penyebaran adalahsebagaiberikut : min(n, D)
E ( X ) =
D N − D N
x ⋅ ∑ x n − x / n =n ⋅ D / N (jika N besar maka D/N=p ) =
x 0
Untuk kasus dimana n
D ⋅( D −1)! Karena , maka diperoleh x = x ⋅( x −1)!⋅( D − x)!
1 D − N − D n x −1 n − x E ( X ) = D ∑ . N x =0 n
D
pula
Transformasikany=x-1, maka bentuk di atas berubah D −1 N − D n −1 − y n y N − D ( N −1) −( D −1) E X D = ( ) ∑ N , karena menjadi n −1 − y = n −1 − y dan y = 0 n D −1 ( N −1) −( D −1) n −1 − y N N −1 y N ! N nD n n =n!( N −n)! =n n −1 maka diperoleh E ( X ) = N y∑ N −1 =0 n −1
Karena penjumlahantersebut mengh asilkannilai satu (sifat distribusikemungkinan),
maka E ( X )
nD
= . N
(n −1)( D −1)
Dapatdibuktikanbahwa E ( X −1) =
N −1
. Ekspektasiperkalian nD
X dan (X-1) adalah E [ X ( X −1)] = E ( X 2 ) − E ( X ) . Karena E ( X ) = N (n −1)( D −1)
dan E ( X −1) =
N −1
D( D −1)n(n −1)
, maka E [ X ( X −1)] =
N ( N −1)
.
2 2 2 Variansiσ = E ( X ) −µ , hal ini berarti σ 2 = E [ X ( X −1)] + µ −µ 2 atau
D( D −1)n( n −1)
ruas kananmenjadi
N ( N −1)
nD n 2 D 2
+
−
N
N 2
. Denganpengaturan
kembalidiperolehvariansidistribusikemungkinan D D N −n
hipergeometrik adalah V ( X ) =σ =n ⋅ N ⋅1 − N ⋅ N −1 2
(untuk N yangbesar hasil ini m endekatin pq ).
(
( ) (
) 5 − 1)
( )( ) () () ( ) ( ) ( ) () () 2
10
−
2
2
8
2!
8!
Sebuah dealer otomotif 1 1 4 5 1 ! 1! 4 ! 4 ! menerima lot berukuran 10 = = = = 0.556 P ( 1) = 10 10 10 ! 9 dimana hanya 5 diantaranya yang 5 5 mendapat pemeriksaan 5! 5! − 10 2 ( ) kelengkapan. 5 kendaraan 2 2 ! 8! 2 8 diambil secara random. Diketahui 1 1 3 ( 5 − 2) 2 1!1! 3! 5! = = = = 0 .222 P ( 2 ) = ada 2 kendaraan dari lot 9 10 ! 10 10 berukuran 10 yang tidak lengkap. 5 5 5! 5! Berapa kemungkinan sekurangnya ada 1 kendaraan Sehingga, P(1) + P(2) = dari 5 kendaraan yang diperiksa ternyata tidak lengkap? 0.556 + 0.222 = 0.778. Fungsi HYPGEOMDIST Fungsi ini menghasilkan distribusi hipergeometrik. Fungsi HYPGEOMDIST digunakan untuk permasalahan dengan populasi terbatas di mana setiap
observasi bisa berupa sukses atau gagal dan setiap subset dari ukuran yang ditentukan dipilih berdasarkan kemungkinan yang sama. Sintaks: = HYPGEOMDIST (Sampel_s, Jum_sampel, Populasi_s, Jum_populasi) Persamaan untuk distribusi hipergeometrik:
Perhatikan contoh berikut:
2.5 Distribusi Multinomial Distribusi probabilitas binomial digunakan untuk sejumlah sukses dari n percobaan yang independen, dimana seluruh hasil (outcomes) dikategorikan ke dalam dua kelompok (sukses dan gagal). Distribusi probabilitas multinomial digunakan untuk penentuan probabilitas hasil yang dikategorikan ke dalam lebih dari dua kelompok.
Perhatikan contoh berikut: Berdasarkan laporan sebuah penelitian tahun 1995, diantara produk mikroprosesor pentium generasi pertama diketahui terdapat cacat yang mengakibatkan kesalahan dalam operasi aritmatika. Setiap mikroprosesor dapat dikategorikan sebagai baik, rusak dan cacat (dapat digunakan dengan kemungkinan muncul kesalahan operasi aritmatika). Diketahui bahwa 70% mirkoprosesor dikategorikan baik, 25% cacat dan 5% rusak. Jika sebuah sample random berukuran 20 diambil, berapa probabilitas ditemukan 15 mikroprosesor baik, 3 cacat dan 2 rusak? Penyelesaian dari soal diatas sebagai berikut:
P (15,3,2) =
20! 15!3!2!
= .0288
(.7 )(.25 )(.05 ) 15
3
2
2.6 Distribusi Geometrik Berkaitan dengan percobaan Bernoulli, dimana terdapat n percobaan independen yang memberikan hasil dalam dua kelompok (sukses dan gagal), variabel random geometric mengukur jumlah percobaan sampai diperoleh sukses yang pertama kali.
Contoh! Pada suatu daerah, P-Cola menguasai pangsa pasar sebesar 33.2% (bandingkan dengan pangsa pasar sebesar 40.9% oleh C-Cola). Seorang mahasiswa melakukan penelitian tentang produk cola baru dan memerlukan seseorang yang terbiasa meminum P-Cola. Responden diambil secara random dari peminum cola. Berapa probabilitas responden pertama adalah peminum P-cola, berapa probabilitas pada responden kedua, ketiga atau keempat? Penyelesaian.
P (1) = (.332)(.668) (1−1)
= 0.332 P ( 2) = (.332)(.668) ( 2−1) = 0.222 P (3) = (.332)(.668) (3−1) = 0.148 P ( 4) = (.332)(.668) ( 4−1) = 0.099 2.7 Distribusi Binomial Negatif Variabel random binomial X, menyatakan: Jumlah sukses dari n percobaan independen Bernoulli. p adalah probabilitas sukses (tetap untuk setiap percobaan Jika ingin diketahui: Pada percobaan keberapa (n) sejumlah sukses (c) dapat dicapai dalam percobaan Bernoulli. Pertimbangkan sebuah proses inspeksi untuk menemukan produk cacat (kategori sukses dengan probabilitas 0.1). Batas sebuah penolakan sebuah lot adalah jika ditemukan 4 buah cacat (D). Ditemukan bahwa sebuah lot ditolak setelah dilakukan inspeksi pada 10 produk. Sebuah kemungkinan adalah DDDGGGGGGD. Dengan teori multiplikasi, probabilitas urutan tersebut adalah (0.1)4 (0.9)6. Karena 10 percobaan tersebut independen, tanpa memper hatikan urutan, probabilitas diperoleh 4 cacat dari 10 percobaan adalah (0.1)4 (0.9)6. Karena kriteria penolakan adalah ditemukannya 4 produk cacat, maka posisi ke-n adalah pasti produk cacat. Sehingga jumlah urutan yang mungkin adalah kombinasi 3 dari 9, .
Probabilitas diperlukan 10 percobaan untuk menghasilkan 4 sukses adalah: 9 Distribusi negatif binomialny adalah : 3 Sehingga:
9! ( 0.1) 4 ( 0.9) 6 3!6!
Perhatikan distribusi kumulatif: r n − 1 r r c x − n −c − = p p p (1 − p) r x ( 1 ) n =c c − 1 x =c x
∑
∑
Dimana ruas kanannya c-1 r x − p (1 − p) r x = 1 − B (c − 1; r ; p ) 1− x = 0 x
∑
yang dapat diperoleh dari distribusi kumulatif binomial. Berikut ini adalah aplikasi dalam excel.
Sedangkan untuk fungsi lainnya adalah:
2.8 Proses Poison dan Distribusi Poison Percobaan bernoulli menghasilkan variabel random X yang bernilai numerik, yaitu jumlah sukses yang terjadi. Jika pengamatan dilakukan pada suatu rentang interval waktu, maka dapat diamati bahwa variabel random X adalah terjadinya sukses selama waktu tertentu. Jika perhatian ditujukan pada kejadian sukses yang muncul (lahir) pada suatu rentang yang kecil, maka terjadi sebuah proses kelahiran (birth atau arrival process) atau dikenal sebagai proses Poisson ( Poisson process). Sifat-sifat Proses Poisson: Jumlah sukses yang terjadi dalam suatu selang waktu (atau daerah tertentu) tidak berpengaruh (independent) terhadap kejadian pada selang waktu atau daerah yang lain. Kemungkinan terjadinya suatu sukses (tunggal) dalam interval waktu yang pendek ( ∆t mendekati nol) sebanding dengan panjang interval dan tidak tergantung pada banyaknya sukses yang terjadi di luar interval tersebut. Kemungkinan terjadinya lebih dari satu sukses dalam interval waktu yang pendek dapat diabaikan.
Distribusi probabilitas Poisson bermanfaat dalam penentuan probabilitas dari sejumlah kemunculan pada rentang waktu atau luas/volume tertentu. Variabel random Poisson menghitung kemunculan pada interval waktu yang kontinyu.
Fungsi distribusi poisson dapat diturunkan dengan memperhatikan asumsi-asumsi berikut: •Jumlah kedatangan pada interval yang tidak saling tumpang tindih ( nonoverlapping interval ) adalah variabel random independen. • Ada nilai parameter λ positif sehingga dalam sebuah interval t akan diperoleh : waktu yang kecil ∆ i) Kemungkinan bahwa terjadi tepat satu kedatangan pada t adalah ( λ t ). ⋅∆ interval waktu ∆ ii) Kemungkinan bahwa terjadi tepat nol kedatangan pada t adalah ( 1 − ⋅∆ λ t ). interval waktu ∆ Perhatikan
posisi
dan rentang 0
t
waktu berikut: t + t ∆
Untuk suatu titik waktu t yang tetap ( fixed ), kemungkinan terjadi nol kedatangan diformulasikan sebagai berikut : [1 − ∆ ⋅∆ p 0 (t + t ) ≅ t ]⋅ p 0 (t ) . Dengan λ melakukan penyusunan kembali
akan diperoleh
waktu sangat diferensial
∆ p 0 (t + t ) − p 0 (t ) ∆ t
t mendekati kecil ( ∆
berikut
:
≅ − ⋅ p 0 (t ) . Jika interval λ
nol), maka dapat digunakan
∆ p (t + t ) − p0 (t ) ' = − p0 (t ) = λ p0 (t ) . t → ∆ 0 ∆ t lim 0
Hal yang sama dapat dilakukan jika terdapat kedatangan x >0 , sehingga dapat diformulasikan kemungkinan berikut [1 −λ ⋅∆t ]⋅ p x (t ) . p x (t + ∆ t ) ≅λ ⋅∆ t p x −1 (t ) + Dengan melakukan penyusunan kembali akan diperoleh p x (t + ∆ t ) − p x (t ) t ∆
≅λ ⋅ p x −1 (t ) − ⋅ p x (t ). λ
t mendekati nol), maka Jika interval waktu sangat kecil ( ∆ dapat digunakan diferensial berikut :
t ) − p x (t ) ' p (t +∆ λ lim x p x −1 (t ) − p x (t ) . = p x (t ) =λ t → 0 ∆ t ∆
Dari dua persamaan diferensial yang diperoleh (untuk nol kedatangan dan ada kedatangan x >0 ), diperoleh solusi x ( t ) t ) ⋅e − / x!. Karena titik waktu t adalah tetap berikut p x (t ) =(λ t , sehingga =λ (fixed ), maka dapat digunakan notasi α distribusi probabilitas poisson yang diperoleh adalah: ) x ⋅e − / x!, p( x ) =(α x =0,1,2, =0 x lainnya λ
α
Parameter pemusatan dan penyebaran adalah: − x − x ∞ α ∞ 2 α e ⋅ e ⋅ E ( X ) =∑ x ⋅ α V ( X ) = x ⋅ −(α = )2 =α ∑ dan . x! x! α
x = 0
α
x =1
Contoh: Perusahaan telepon memberikan 1000 pilihan pesawat telepon (sebagai kombinasi warna, type, fungsi, dll). Sebuah perusahaan membuka cabang baru dan tersedia 200 sambungan telpon dimana setiap karyawan boleh memilih pesawat telepon sesuka hatinya. Asumsikan bahwa ke-1000 pilihan tersebut adalah equally likely. Berapa probabilitas bahwa sebuah pilihan tidak dipilih, dipilih oleh seorang, dua orang atau tiga orang karyawan? n = 200 ; p = 1/1000 = 0.001 ; α = np = (200)(0.001) = 0.2 Penyelesaian:
Rata-rata pengiriman bahan baku ke suatu pabrik adalah 10 truk dan fasilitas bongkar hanya mampu menerima paling banyak 15 truk per hari. Pemasok menginkan agar truk pasokannya dapat dibongkar pada hari yang sama. Suatu hari, pemasok mengirimkan sebuah truk ke pabrik tersebut, berapa kemungkinan truk tersebut harus bermalam karena tidak dapat dibongkar? X adalah variabel random banyaknya truk bahan baku yang tiba setiap hari. Dengan distribusi Poisson, kemungkinan sebuah truk 15
P ( X ≤ 15) = 1 −∑ p( x;10) =0.9513 harus bermalam adalah P ( X >15) =1 − x = 0
(dari tabel), maka kemungkinan sebuah truk harus bermalam karena tidak dapat dibongkar adalah 1-0.9513=0.0487.
Berikut Contoh berdasarkanTabel
Pendekatan Binomial – Poisson
Pada distribusi probabilitas binomial, jika n sangat besar dan p kecil, maka perhitungan kemungkinannya sulit dilakukan. Pada kondisi tersebut, perhitungan nilai kemungkinan untuk variabel random binomial dapat didekati dengan perhitungan (atau tabulasi) pada distribusi poisson. Teorema :
Bukti : Jikadistribusi X adalahkemungkinan variabel random binomial distribusi Fungsi binomial dapatdengan ditulis sebagai berikut n → ∞ kemungkinan dan njika bila ukuran sampel , n(n −1 )...(n − x + 1) x n! n x n − x b(x;n,p), n −x −x x b ( x; n, p ) = p q p ( 1 p ) − p ( 1 p ) − = = . x 0 , dan digunakan nilai proporsi sukses pendekatan x! x! (n − x)! p → =np , maka p)= p ; µ ) . diperoleh → µ / n( xmaka Jika µ dilakukan transformasi nilai b( x; n, p − x x µ µ 1 ... 1 − x −1 =1, n(n −1)...(n − x +1) b( x; n, p) = 1 − =11 − x! n n n n dan dari definisi bilangan natural e , diperoleh hubungan berikut − −n / 1 + 1 =e − 1 −1 = lim . lim ∞ n n → ∞ ( − n→ n) / µ µ
µ
µ
Dengan memperhatikan syarat limit di atas dapat diperoleh x e − µ µ
b( x; n, p ) →
x!
,
dimana x =0, 1, 2…, yaitu sebuah distribusi poisson
untuk µ =α (rata-rata jumlah sukses=rata-rata kedatangan).
Contoh Besarnya kemungkinan ditemukan cacat pada hasil pengelasan titik adalah 0.001. Pada sebuah produk hasil rakitan terdapat 4000 titik pengelasan, berapa kemungkinan ditemukan lebih dari 6 cacat pada sebuah produk hasil rakitan? Variabel random X (binomial) menyatakan jumlah cacat pada hasil rakitan, maka kemungkinan ditemukan lebih dari 6 cacat tersebut adalah 6 4000 x − x =∑ 0.001 ⋅0.999 4000 . x =0 x Perhitungan ini sulit dilakukan sehingga didekati dengan perhitungan untuk fungsi distribusi kemungkinan Poisson (dimana parameter adalah
P ( X ≤6)
6
e −4 ⋅4 x / x! =0.889 , maka =4000 ⋅0.001 =4 ) sebagai berikut P ( X ≤6) =∑ x =0 Contoh kemungkinan ditemukan lebih dari 6 cacat adalah Sebuah proses menghasilkan barang-barang dari1-0.889=0.111. plastik yang sering kali α
memiliki gelembung atau cacat. Diketahui bahwa rata-rata terdapat 1 dari 1000 barang yang dihasilkan mempunyai satu atau lebih cacat. Berapa kemungkinan bahwa dari sampel acak berjumlah 8000 produk plastik akan terdapat 7 produk yang memiliki cacat gelembung? Pada dasarnya, kasus produk plastik cacat ini mengikuti distribusi binomial dengan n =8000 dan p =0,001. Karena p sangat kecil dan mendekati nol serta n sangat besar, maka perhitungan nilai kemungkinan dapat didekati dengan distribusi Poisson dengan dimana µ =(8000)(0,001)=8, sehingga kemungkinan bahwa dari sampel acak berjumlah 8000 produk plastik akan terdapat 7 produk yang memiliki cacat dapat dihitung sebagai berikut 6
6
x = 0
0 x =
p ( x;8) = 0,3134. P ( X <7 ) =∑ b( x;8000,0,001) ≅∑ Berikut ini aplikasi penggunaan excel pada distribusi Poison:
BAB III PENUTUP 3.1 KESIMPULAN Dari uraian diatas dapatlah disimpulkan antara lain: 1. Bahwa probabilitas sangatlah membantu manusia dalam mengambil sebuah keputusan. Misalnya untuk memperkirakan apakah peluang lebih banyak gagal atau sukses dari sebuah usaha. 2. Bahwa dengan menggunakan metode probabilitas yang ada kita dapat menggunakannya sebagai acuan dalam menyelesaikan berbagai masalah kemungkinan-kemungkinan. 3. Distribusi diskrit digunakan dalam menentukan sebuah probabilitas acak yang sudah diketahui nilai dan datanya. 3.2 SARAN 1. Untuk dapatlah dipelajari lebih lanjut tentang probabilitas sehingga kita dapat lebih paham. 2. Diadakannya praktek probabilitas secara sederhana agar tidaklah mempelajari hanya dengan teori.
3.3 PENUTUP Demikian pembahasan dalam makalah perkuliahan ini, semoga dari paparan yang sudah ada dapatlah memberikan pemahaman dan menambah pengetahuan kita tentang Statistika Probabilitas khususnya pada pemahaman tentang Distribusi random diskrit, sehingga diharapkan dapat membantu kita dalam mengambil sebuah keputusan dari kemungkinankemungkinan yang ada.
DAFTAR PUSTAKA Pamungkas, Ir. 2005. Trik Pemrograman Microsoft Excel . PT. Elex Media Komputindo: Jakarta. http://www2.toki.or.id/probter/doc/diktat/probter-01.pdf , diakses pada tanggal 27 November 2009. http://budhiaiko.files.wordpress.com/2008/09/statprobpendahuluan.pdf , pada tanggal 27 November 2009
diakses
http://budhiaiko.files.wordpress.com/2008/09/konsepdasarprobabilitas1.ppt, diakses pada tanggal 27 November 2009. e-learning Departemen Teknik FTI-ITB, diakses pada tanggal 28 November 2009.
Makalah Perkuliahan Statistika Probabilitas Tentang DISTRIBUSI DISKRIT (BINOMIAL, POISON, GENOMETRIKAL) Disusun dalam rangka memenuhi Tugas Mata Kuliah Statistika Probabilitas Semester Genap Tahun Akademik 2009 / 2010
Oleh :
Ahmad Ghozali M. Nurul Fahmi Eko Septiono Nurmanto
(5020802001) ( ( (
SEKOLAH TINGGI TEKNOLOGI PONDOK MODERN SUMBER DAYA AT-TAQWA
STT POMOSDA Jl. KH. Wachid Hasyim 375 Telp. 0358773351 TANJUNGANOM – NGANJUK – JAWA TIMUR 2009
KATA PENGANTAR
Assalamu'alaikum Wr. Wb.
Dengan mengucapkan puji syukur Alhamdulillah kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan hidayah-Nya kepada penulis didalam meyelesaikan makalah ini dengan baik dan tepat pada waktunya. Dengan terselesaikannya makalah ini, penulis mengucapkan banyak terima kasih kepada yang terhormat: 1.
Ibu Fitri Meita Sari, S.Si selaku dosen Mata Kuliah Statistika Probabilitas.
2.
Ibu
Sriwigatri
selaku
dosen
pendambing
Mata
Kuliah
Statistika
Probabilitas 3. Sahabat-sahabat yang telah memberikan sumbangan berharga bagi penulis. Penulis menyadari bahwa dalam penyusunan makalah ini tidak lepas dari kekurangan dan kelemahan, oleh karena itu penulis berharap agar kekurangan tersebut dijadikan titik tolak kearah perbaikan dalam penulisan karya ilmiah yang lebih baik di masa mendatang, dan penulis mengharapkan kritik dan saran yang bersifat membangun dari pembaca untuk kualitas yang lebih baik.
Wassalamu’alaikum Wr. Wb.
Nganjuk, April 2009 Penulis
DAFTAR ISI Halaman Judul................................................................................................ Kata Pengantar............................................................................................... Daftar Isi......................................................................................................... Bab I Pendahuluan..................................................................................... 1.1. Latar Belakang Masalah...........................................................
i ii iii 1 1
1.2. Rumusan Masalah....................................................................
1
1.3.
Tujuan Pembahasan.................................................................
1
1.4.
Manfaat Pembahasan...............................................................
1
Pembahasan..................................................................................... 2.1. Distribusi Random Diskrit ........................................................
9
Bab II
2.2. Proses
Binoulli..........................................................................
2.3. Distribusi
Binomial....................................................................
2.4. Distribusi
Hipergeometrik..........................................................
9 9
2.5. Distribusi Multinomial................................................................ 2.6. Distribusi Geometrik.................................................................. 2.7. Distribusi Binomial Negatif........................................................ 2.8. Proses Poison dan Distribusi Poison....................................... 2.9. Bab III Penutup............................................................................................. 3.1. Kesimpulan.................................................................................
10 10
3.2. Saran..........................................................................................
10
3.3. Penutup Daftar Pustaka