BAB I PENDAHULUAN 1.1 .
Latar Belakang Masalah Pada makalah ini, kita akan mempelajari tentang rumus persamaan kuadrat dan persamaan linier untuk menggambarkan fungsi kuadrat.Maka dari itu, kami membuat makalah ini bertujuan untuk mempelajari lebih dalam tentang persamaan kuadrat dan persamaan linier yang akhir-akhir ini mungkin sudah tidak diminati oleh para mahasiswa. Apalagi dengan kemajuan teknolagi zaman sekarang. Para mahasiswa hanya ingin yang serba instant dan tanpa menguras otak. Dalam makalah ini kami akan mengupas berbagai rumus dari persamaan kuadrat dan persamaan linier yang dipakai untuk menyelesaikan berbagai soal yang berhubungan dengan persamaan kuadrat dan persamaan linier. Selain itu, kami juga sudah membuat contoh soal beserta pembahasannya, dengan begitu pembaca dapat mengerti cara-cara yang ditempuh untuk memecahkan persoalan persamaan kuadrat dan persamaan linier.
1.2
Rumusan Masalah 1. Apakah pengertian persamaan kuadrat ? 2. Jelaskan pengertian persamaan linier ? 3. Apa saja rumus-rumus persamaan kuadrat dan persamaan linier ?
1.3
Tujuan Penulisan 1. Untuk mengetahui pengertian persamaan kuadrat 2. Untuk mengetahui pengertian persamaan linier 3. Untuk mengetahui apa saja rumus-rumus persamaan kuadrat dan persamaan linier
1
BAB II PERSAMAAN KUADRAT 2.1 Bentuk Umum Persamaan Kuadrat Persamaan yang berbentuk
ax 2 + bx + c = 0
disebut persamaan kuadrat atau
persamaan derajat dua dalam x. Adapun bentuk umum persamaan kuadrat adalah ax 2 + bx + c = 0 dengan a, b, c ∈R (bilangan real) dan a ≠ 0 . Jika a = 0 maka
persamaan tersebut bukan lagi persamaan kuadrat. 2.2 Penyelesaian Persamaan Kuadrat Suatu bentuk persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan 3 cara, yaitu: .1 Pemfaktoran Penyelesaian persamaan kuadrat menggunakan sifat faktor nol, yaitu: Jika a ⋅b = 0, maka a = 0 atau b = 0 Contoh: Tentukan Hp dari x 2 − 8 x +15 = 0 Jawab: x 2 − 8 x +15 = 0
( x −5)( x −3) = 0 x = 5 atau x = 3
∴Hpnya adalah {3, 5}
.2 Melengkapi Kuadrat Sempurna dalam menyelesaikan persamaan kuadrat bentuk ax 2 + bx + c = 0 terlebih dahulu dirubah menjadi bentuk ( x ± p ) 2 = K prinsip yang digunakan untuk menyelesaikan dengan cara tersebut adalah: 1. Jika, K > 0 maka x 2 = K mempunyai 2 akar real yaitu x = ± K 2. Jika, K = 0 maka x 2 = K mempunyai 1 akar real yaitu x = 0 3. Jika, K < 0 maka x 2 = K tidak mempunyai akar real
2
Contoh: Tentukan Hp dari x 2 + 6 x + 2 = 0 Jawab: x2 +6x +2 = 0 x 2 + 6 x = −2 2
2
1 1 2 x 2 + 6 x + ×6 = −2 ×6 1 2 2 menambahkan kedua ruas dengan 2 × 6 x 2 + 6 x + ( 3) = −2( 3) 2
( x + 3) 2
2
2
=7
x +3 = ± 7 x = −3 ± 7
∴ Hp
, ini berarti
x = −3 − 7
nya adalah { x = −3 −
7
,
atau
x = −3 + 7
x = −3 + 7
}
.3 Menyelesaikan Persamaan kuadrat dengan rumus kuadrat ax 2 + bx + c = 0 ⇔
ax 2 + bx + c
× 4a
⇔ 4ax 2 x 2 + 4abx = −4ac ⇔ 4ax 2 x 2 + 4abx + b 2 = b 2 − 4ac ⇔ ( 2ax + b ) = b 2 − 4ac 2
⇔ 2ax + b = ± b 2 − 4ac ⇔ 2ax = −b ± b 2 − 4ac ⇔x =
− b ± b 2 − 4ac 2a
Contoh: Carilah Hp dari x 2 + 8 x + 2 = 0 dengan menggunakan rumus Jawab: 3
x2 + 8x + 2 = 0 − 8 ± 8 2 − 4.1.2 2 − 8 ± 56 = 2 − 8 ± 2 14 = 2 = −4 ± 14
x1⋅2 = x1⋅2 x1⋅2 x1⋅2
x1 = −4 + 14 atau x2 = −4 − 14 ∴Hp
nya adalah {− 4 + 14 ,−4 − 14 }
2.3 Jenis –jenis Akar Persamaan Kuadrat Kadang-kadang persamaan kuadrat tidak mempunyai penelesaian. Hal tersebut dapat diketahui antara lain dengan cara sebagai berikut: Persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0 dengan a ≠ 0 Akar-akarnya adalah x1⋅2 =
− b ± b 2 − 4.ac 2a
Bilangan b 2 − 4.ac sering disebut dengan “Diskriminan” dan ditulis D = b 2 − 4ac akan membedakan nilai x1 dan x2. Pada persamaan kuadrat berlaku sebagai berikut: a. Jika D > 0 maka persamaan kuadrat mempunyai 2 akar nyata yang berlainan. b. Jika D = 0 maka persamaan kuadrat mempunyai 2 akar yang sama (kembar) dan selaku rasional. c. Jika D < 0 maka persamaan kuadrat mempunyai 2 akar yang tidak yata atau imajiner.
Contoh: Tentukan m sehingga x 2 + 2mx + 9 = 0 mempunyai akar yang sama ! Jawab:
4
( 2m ) 2
− 4( 9 ) = 0
4m − 36 = 0 2
4m 2 = 36
jadi m1 = -3 atau m2 = 3
m =9 m = ±3 2
2.4 Jumlah Hasil Kali Akar Persamaan Kuadrat Persamaan ax 2 + bx + c = 0 dengan akar-akar x1 dan x2 x1 =
−b ± D −b ± D dan x 2 = 2a 2a
jika dijumlah akan diperoleh : x1 + x 2 =
−b a
Jika dikalikan akan dipreoleh : x1 ⋅ x 2 =
c a
2.5 Menyusun Persamaan Kuadrat Jika diketahui akar-akar suatu persamaan adalah x1 dan x2, maka dapat kita susun persamaan kuadrat dengan cara sebagi berikut. Dengan menggunakan perkalian factor
( x − x1 )( x − x 2 ) = 0 Contoh: Susulah suatu persamaan kuadrat jika akar-akarnya diketahui -8 dan 5 Jawab: x1 = -8 dan x2 = 5
( x + 8)( x − 5) = 0 x 2 = 3 x − 40 = 0
Dengan menggunakan sifat akar persamaan kuadrat
x 2 − ( x1 + x 2 ) x + ( x1 ⋅ x 2 ) = 0 Contoh: susunlah persamaan kuadrat jika diketahui akar-akarnya -2 dan 7! Jawab Karena x1 = -2 dan x2 = 7, maka x1 + x2 = ( − 2 ) + 7 = 5
x1 ⋅ x2 = ( − 2 )( 7 ) = −14
Jadi persamaan kuadrat adalah x 2 − 5 x − 14 = 0 2.6 Untuk hal-hal khusus berlaku 5
Kedua akarnya saling berlawanan x1 = −x 2 x1 + x 2 = 0 −b =0 a b =0
Kedua akarnya saling kebalikan x1 =
1 x2
x1 ⋅ x 2 =1 c =a
2.7 Hubungan Diskriminan dengan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat kedua akarnya real dan positif, maka D > 0; x1 + x 2 > 0 dan x1 ⋅ x2 > 0
Contoh: x 2 − 6 x + 8 = 0 kedua akarnya real dan negative, maka D > 0; x1 + x 2 < 0 dan x1 ⋅ x2 > 0
Contoh: x 2 + 6 x + 8 = 0 Kedua akarnya real dan berlawanan tanda, maka D > 0; x1 ⋅ x2 > 0
Contoh: x 2 + 3 x − 10 = 0 Kedua akarnya sama (kembar), maka x1 + x 2 =
D = 0; x1 = x 2
−b a
−b −b → x1 = a 2a −b x1 = x 2 = 2a
untuk 2 x1 =
Contoh: x 2 + 4 x − 4 = 0 Kedua akarnya sama tapi tandanya berlawanan, maka D > 0; x1 = −x 2 x1 + x 2 = 0 −b = 0 →b = 0 a
Contoh: 2 x 2 −1 = 0, x 2 − 9 = 0 6
Kedua akarnya saling berkeblikan, maka D > 0; x1 =
1 x2
x1 x 2 =1 c = 1 →c = a a
Contoh: 3 x 2 −10 x + 3 = 0 Salah satu akarnya nol, maka D > 0, x1 = 0; x1 ⋅ x 2 = x1 ⋅ x 2 = 0=
c a
c a
c a
jadi c = 0 Contoh: 2 x 2 + 3 x = 0
FUNGSI KUADRAT Fungsi kuadrat adalah suatu fungsi f pada himpunan bilangan real R yang ditentukan oleh f : x → ax 2 = bx = c dengan a, b, c ∈R dan a ≠ 0 . Fungsi kuadrat dirumuskan dengan y = ax 2 + bx + c . Untuk menggambarkan grafik fungsi kuadrat y = ax 2 + bx + c diperlukan
langkah-angkah sebagai berikut: a. Menentukan titik potong dengan sumbu x, dengan syarat y = 0 atau ax 2 + bx + c ada tiga macam kedudukan grafik fungsi kuadrat dengan sumbu x yaitu: 7
o Jika D > 0 , maka x1 ≠ x2 . Grafik memotong sumbu x di 2 titik yang berbeda yaitu
( x1 ,0) dan ( x2 ,0 ) o Jika D = 0 , maka x1 = x2 . Grafik memotong sumbu x di 1 titik
( x1 ,0 ) atau
dikatakan menyinggung sumbu x o Jika D < 0 , maka tidak ada nilai x yang memenuhi, ini berarti grafik tidak memotong sumbu x b. Menentukan titik potong dengan sumbu y, dengan syarat x = 0 y = ax 2 = bx − c ⇔ y = a ( 0 ) + b( 0 ) + c 2
⇔ y = c , jadi titik potong disumbu y adalah (0, c)
c. Persamaan sumbu simetris Bila Grafik memotong sumbu x dititik (x1, 0) dan (x2, 0) maka persamaan sumbu simetrisnya adalah x1 + x2 2 −b + D −b − D + −b 2a 2a x= →x= 2 2a x=
d. Titik balik maksimum dan minimum y = ax 2 + bx + c
8
b ⇔ y = a x 2 + x + c a 2 2 b b b ⇔ y = a x 2 + x + + c − a a 2a 2a 2
b − b2 ⇔ y = a x + +c + 2a 4a 2
(
b − b 2 − 4ac ⇔ y = a x + + 2a 4a b −D ⇔ y = a x + + 2 a − 4a
Jika a > 0 maka nilai y =
x=
)
2
D b akan mencapai nilai minimum untuk a x + atau − 4a 2 a
−b2 D −b dengan , jika suatu parabola mempunyai titik balik minimum 2 a − 4a 2a
sumbu simetris x =
−b maka grafik parabolanya membuka keatas dengan puncaknya 2a
terletak dibawah Jika a < 0 maka nilai y =
x=
2
D b akan mencapai nilai minimum untuk a x + atau − 4a 2a
−b2 D −b , jika suatu parabola mempunyai titik balik maksimum dengan 2a 2a − 4a
sumbu simetris x =
−b maka grafik parabolanya membuka keatas dengan puncaknya 2a
terletak dibawah e. Titik Bantu (jika perlu) Jika pada langka a sampai d diperoleh titik-titik yag sama, maka dicari titik Bantu. Dari keterangan di atas dapat disimpulkan bahaw bentuk-bentuk grafik fungsi kuadrat adalah sebagi berikut:
9
Definit positif adalah suatu bentuk yang selalu positif untuk setiap nilai x Definit negatif adalah suatu bnetuk yag selalu negatif untuk setiap niali x Contoh: Gambarlah Grafik fungsi y = x 2 −3 x − 4 a. Titik potong dengan sumbu x → y =0 y = x 2 −3 x −4 ( x −4 )( x +1) = 0
x = 4 atau x = -1 b. Titik potong dengan sumbu y → x = 0 y = x 2 −3 x − 4 y = −4 →( 0,−4 )
c. Sumbu Simetris x =
−b 3 1 = =1 2a 2 2
d. Nilai maksimum (karena a > 0) b 2 − 4ac − 4a 9 − 4(1)( − 4 ) 25 1 y= = = −6 ( ) −4 1 −4 4 y=
Jadi titik balik minimum 1 ,−6 1 2
1 4
10
→( 4,0 )( −1,0 )
Membentuk fungsi kuadrat Untuk suatu fungsi kuadrat perlu diperhatikan ciri-ciri khusus yang dimiliki fungsi kuadrat tersebut, yaitu sebagai berikut a. Jika fungsi kuadrat tersebut mempunyai titik balik pada (p,q) maka persamaannya adalah y = a( x − p ) 2 + q b. Jika fungsi kuadrat tersebut diketahui mempuyai titik potong dengan sumbu x di
(α,0) & ( β,0) maka persamaannya adalah
y = a ( x −α )( x − β )
c. Jika fungsi kuadrat tersebut diketahui melalui 3 titik sembarang, maka persamaannya adalah y = ax 2 + bx + c
BAB III SISTEM PERSAMAAN LINEAR 11
3.1 Sistem persamaan linear dengan dua peubah 1. Pengertian sisten persamaan linear dengan dua peubah Sistem persamaan linear dengan dua peubah pangkat satu misalnya x dan y dan tidak mengandung perkalian antara kedua peubah tersebut (tidak mengandung suku xy). Bentuk persamaan umum persamaan linear dengan dua peubah adalah ax + by = c dengan a, b, dan c adalah konstanta pada bilangan real. Gabungan dari beberapa persamaan linear disebut sistem persamaan linear. Sebuah sistem persamaan linear paling sedikit terdiri atas dua buah linear. Contoh:
x+y =2 2 x + y = 5
2. Menentukan peyelesaiaan sistem persamaan linear dengan dua peubah. Untuk penyelesaiaan dari suatu sistem persamaan linear dengan dua peubah anda dapat menggunakan metode grafik, elimiasi, substitusi dan gabungan metode eliminasi dan substitusi. a. Metode Grafik Untuk menentukan penyelesaiaan dengan metode grafik, anda gambarkan kedua persamaan linear diatas dengan sumbu koordinat. Grafik persamaan linear berupa garis lurus, kemudian tentukan titik potong antara kedua garis tersebut. Titik potong merupakan penyelesaiaa Persamaan linear tersebut, ada 3 kemungkinan hubungan antara dua buah garis : 1. Jika kedua garis berpotongan, berarti sistem persamaan linear mempunyai 1 penyelesaian, 2. Jika kedua garis sejajar, berarti sistem persamaan linear tidak mempunyai penyelesaian 3. Jika kedua garis berhimpit, berarti sistem persamaan linear mempunyai tak terhingga/ banyak penyelesaian. Akan tetapi trekadang, metode grafik hanya memberikan penyelesaian yang berupa taksiran bukan penyelesaian eksak. Contoh soal: 2 x + 4 y = 20 .000
12
x y
0 5000
10.000 0
4 x + y =12 .000
x y
0 12.000
3000 0
b. Metode Eliminasi Dalam metode eliminasi kita meenghilangkan salah satu variable untuk mendapatkan nilai variable yang lain, utuk mengeliminasi atau menghilangkan suatu variable, samakan nilai kedua koefisien variable kemudian kedua persamaan dijumlah atau dikurangi. Contoh: a. Eliminasi variable x 2 x + 4 y = 20 .000 ×2 4 x + 8 y = 40 .000 4 x + y =12 .000 ×1 4 x + y =12 .000 − 7 y = 28 .000
y = 4.000
b. Eliminasi variable y 2 x + 4 y = 20 .000 ×1 2 x + 4 y = 20 .000 4 x + y =12 .000 × 4 16 x + 4 y = 48 .000 −
−14 x = −28 .000 x = 2.000
Didapat x = 2000 dan y = 4000 disebut penyelesaian sistem persamaan 2 x + 4 y = 20 .000
dan 4 x + y =12 .000
c. Penyelesaian dengan metode substitusi Dalam metode substitusi, suatu variable dinyatakan dalam variable yang lain dari suatu persamaan, selanjutnya variable ini digunakan untuk menggantikan variable yang sama dalam persamaan lainnya sehingga menjadi persamaan satu variable. Dari persamaan 4 x + y =12 .000 13
y =12 .000 − 4 x
Substitusi y =12 .000 − 4 x kepersamaan 2 x + 4 y = 20 .000 diperoleh 2 x + 4(12 .000 − 4 x ) = 20 .000
2 x + 48 .000 − 16 x = 20 .000 −14 x = −28 .000
x = 2.000
selanjutnya nilai x = 20.000 disubstitusikan ke persamaan y = 12 .000 − 4 x ⇒ y
= 12 .000 − 8.000 = 4.000
didapat x = 2.000 dan y = 4.000 d. Penyelesaian dengan metode gambungan eliminasi dan substitusi Dalam metode ini, salah satu variable terlebih dahulu dicari dengan metode eliminasi, kemudian nilai variable ini di substitusikan kedalam salah satu persamaan sehingga diperoleh nilai variable lainya. 2 x + 4 y = 20 .000 ×2 4 x +8 y 4 x + y =12 .000 ×1 4 x + y
=40 .000 =12 .000
−
7 y = 28 .000 y = 4.000
Dengan metode substitusi, disubstitusikan y = 4.000 ke persamaan 4 x + y = 12 .000 ⇒ 4 x + 4.000 = 12 .000
4 x = 12 .000 − 4.000 =
8.000 4
= 2.000
Dengan metode ini didapat x = 2.000 dan y = 4.000 3. Menentukan banyak penyelsaian dari suatu sistem persamaan linear dengan dua peubah Sebenarnya, dengan metode grafik anda dapat menentukan banyak penyelesaian dari SPL dengan dua peubah. Akan tetapi, anda memerlukan waktu yang cukup lama untuk mengetahui . Untuk menentukan banyak penyelesaian dari sistem persamaan linear dengan dua peubah dapat ditulis sebagai berikut. y = ax + b
garis (1) 14
y = px + q
garis (2)
garis (1) memiliki gradien = a dan y -intercept = b garis (2) memiliki gradien = p dan y -intercept = q banyak pnyelesaian dari sistem persamaan linear tersebut ternyata ditentukan oleh nilai gradient dan y-intercept kedua persamaan linear. •
Jika gradien kedua garis berbeda, sistem persamaan linear konsisten dan independent atau memiliki satu penyelesaikan
•
Jika gradien kedua garis sama, tetapi y-intercept nya berbeda, sistem persamaan linear tidak konsisten dan tak memiliki peyelesaian
•
Jika gradient dan y-intercept kedua garis sama, sistem persamaan linear konsisten dan independent atau memiliki tak terhingga banyak penyelesaian.
3.2 Sistem persamaan dengan tiga peubah 1.
Pengertian system persamaan linear dengan tiga peubah Suatu sistem persamaan linear dengan tiga peubah mengandung tiga persamaan linear dengan tiga peubah, suatu penyelesaian dari sistem persamaan linear dengan tiga peubah adalah suatu pasangan terurut misalnya ( x, y , z ) yang memenuhi setiap persamaan linear dari system tersebut. SPL tiga peubah secara umum dapat ditulis: ax +by +cz = d ex + fy + gx = h ix + jy +kz =l
2. 2Menentukan penyelesaian system persamaan linear dengan 3 peubah a.
Metode substitusi
Soal: 6 x −5 y −2 z =2.......... ........ (1) 4 x + y +3 z =10 .......... ........ ( 2 ) 5 x +3 y +7 z =13 .......... ...... (3)
Langkah I : pilih salah satu peubah untuk dinyatakan ke peubah lainnya. 6 x −5 y − 2 z = 2
z=
6x −5 y − 2 .......... ..... ( 4 ) 2
15
Langkah II: substitusikan persamaan (4) kepersamaan (2) dan (3) 4 x + y + 3 z =10 6 x −5 y − 2 4 x + y + 3 =10 2 8 x + 2 y + (18 x −15 y − 6 ) = 20 ⇒kedua ruas dikali 2 26 x −13 y = 26 2 x − y = 2 ………(5)
Langkah III ubah persamaan (5) 2x − y =2
y = 2 x −2 ………(6)
kemudia substitusikan persamaan (6) ke dalam persamaan (4) z=
6 x − 5 y − 2 6 x − 5( 2 x − 2) − 2 = 2 2 −4 +8 2 =−2 +4.......... ....( 7) =
Langkah ke IV : substitusikan persamaan (6) dan (7) ke persamaan asli yang belum digunakan yaitu persamaan (3) 5 x + 3( 2 x − 2 ) + 7( − 2 x + 4 ) =13
5 x + 6 x − 6 − 14 x + 28 = 13
− 3 x = −9 ⇔ x = 3
Langkah ke V: substitusikan x = 3 kedalam Persamaan linear dua peubah pada persamaan (6) dan (7) y = 2 x − 2 ⇒ y = 2(3) − 2 ⇔ y = 4 z = −2 + 4 ⇒ z = −2(3) + 4 ⇔ z = −2
Demikian penyelesaian sistem persamaan linear adalah ( x, y, z ) = ( 3,4,−2 ) b. Gabungan Metode Eliminasi dan substitusi 6 x −5 y −2 z =2.......... ........ (1) 4 x + y +3 z =10 .......... ........ ( 2 )
5 x +3 y +7 z =13 .......... ...... (3)
Langkah I: Pilih peubah yang paling mudah di eliminasi misal y dan 2 persamaan yang ada misalnya persamaan (1) dan (2).
16
×1
6 x −5 y − 2 z = 2 4 x + y + 3 z =10
6 x −5 y −2 z = 2 20 x +5 y +15 z = 50 +
×5
26 x + 0 −13 z = 52 2 x +2 z = 4.......... ....( 4)
kemudian pilih pasangan persamaan (2) dan (3) untuk mengeliminasi y.
× −3
4 x + y + 3 z =10 5 x + 3 y + 7 z =13
12 x −3 y −9 z = −30 5 x +3 y +7 z =13 +
×1
− 7 x + 0 − 2 z = −17 7 x +2 z =17 .......... ....( 5)
Langkah II: Selesaikan sistem persamaan linear dua peubah persamaan (4) dan persamaan (5) dengan metode eliminasi
2x + z = 4 7 x + 2 z =13
× −2 ×1
− 4 x − 2 z = −8 7 x + 2 z =17 +
3x + 0 = 9 x =3
Langkah III: masukkan x = 3 kepersamaan (4) 2x
+
z
=
4
z
=
4 −6 = −2
Langkah IV: masukkan nilai x =3 dan z = -2 kepersamaan (2) 4 x + y + 3 z = 10 ⇒ 4(3) + y + 3(−2) = 10 ⇔ y = 4
Demikian penyelesaian sistem persamaan linear adalah ( x, y, z ) = ( 3,4,−2 ) 17
Contoh soal Pada suatu hari Roro, Sarah dan Amelia panen jeruk. Hasil kebun Sarah 5 kg lebih sedikit dari kebun Roro dan lebih banyak 7 kg dari hasil kebun Amelia. Jika jumlah hasil panen dari ketiga kebun itu 223 kg. hasil panen Roro adalah…. Jawab Misal: Roro = x , Sarah = y , dan Amelia = z x = y −5..........
...( 1)
x =z +7.......... ...( 2) x + y +z =223 ....( 3)
Substitusikan (1) dan (2) y −5 = z + 7
y = z +12 ⇒ y − 2 =12 .......( 4)
Substitusikan (1) dan (3)
( y −5) + y +2 =223 2 y +2 =233 +5 2 y +z =228 ..........
....( 5)
Substitusikan persamaan (4) dan (5) 2( z +12 ) + z = 228 2 z + 24 + z = 288 3z = 204 z = 68
y = z +12 = 68 +12 = 80
Substitusikan z =68 dan y = 80 kepersamaan (3) x + y + z = 223 x +80 +68 = 223 x = 233 −148 x = 75
∴hasil panen Roro75 kg 3.3
Sistem Persamaan Linear dan kuadrat Adalah suatu persamaan yang tersdiri dari persamaan linear dan persamaan kuadrat. Bentuk umum persamaan linear dan kuadrat adalah: y = ax +b y = px 2 + qx + r
18
Dari persamaan: y = ax +b dan y = ax +b
y = px 2 + qx + r
, disubstitusikan persamaan linear
kepersamaan kuadrat y = px 2 + qx + r
ax + b = px 2 + qx + r ⇔ px 2 + qx − ax + r − b = 0
⇔ px 2 + ( q − a ) x + r − b = 0
Dengan nilai (D) adalah D = ( q − a ) − 4 ⋅ p ⋅ q( r − b ) 2
Dengan demikian terdapat 3 kemungkinan 4. D > 0 Mempunyai dua penyelesaian, garis dan parabola berpotong pada dua titik berbeda
5. D = 0 Mempunyai satu penyelesaian, garis dan parabola saling bersinggungan
6. D > 0 Garis dan parabola tidak saling berpotongan juga tidak saling bersinggungan sehingga sistem persamaan tersebut tidak mempunyai himpunan penyelesaian.
Jadi fungsi linear berupa garis lurus , sedangkan grafik fungsi kuadrat berupa parabola.
Soal a. Tentukan P agar mempunyai satu penyelesaian
19
y = x +3 y = x 2 +3 x + p
Jawab: Substitusikan y = x +3 ke y = x 2 + 3x + p x 2 +3 x + p = x +3 x 2 +2 x + p −3 +0 D = ( 2 ) −4.1( p −3) D = 4 −4 p +12 2
D =16 −4 p
Agar persamaan tersebut mempunyai satu penyelesaian maka D =0 16 −4 p = 0 p =4 x 2 + 2 x +1 = 0
( x +1) 2
=0
x = −1 dan y = 2 ∴Hp = {( −1,2)}
b. Tentukan Hp dari y = 2 x +5 y = x 2 + x +3
Jawab: x 2 + x +3 = 2 x +5 x 2 − x −2 = 0
( x +1)( x − 2) = 0 x1 = −1 dan x2 = 2 x1 = −1 → y1 = 2( −1) + 5 = 3 x2 = 2 → y 2 = 2( 2) + 5 = 9
∴Hp = {( −1,3), ( 2,9 )}
3.4 Sistem persamaan kuadrat Adalah system persamaan yang terdiri atas dua persamaan, masing-masing berbentuk kuadrat dan memuat dua variable. Bentuk umum persamaan kuadrat: y = ax 2 + bx + c y = px 2 + qx + r
a, b, c, q da r merupakan bilangan real a dan p ≠ 0 20
Cara penyelesaian sistem persamaan kuadrat dengan kuadrat: y = ax 2 + bx + c
7. Substitusikan
ke
y = px 2 + qx + r
sehingga
diperoleh
( a − p ) x 2 + ( b − q ) x + ( c − r ) = 0 merupakan persamaan kuadrat dalam x 8. Nilai
x yag diperolah disubstitusikan ke salah satu persamaan kuadrat sehingga
diperoleh nilai y Banyak anggota penyelesaian dan persamaan kuadrat dengan kuadrat ditetukan oleh nilai D = ( a − p ) 2 + 4( b − q ) + ( c − r ) = 0 D > 0, D = 0, D < 0
Soal a. Tentukan nilai m agar y = mx 2 −5 x + 4 dan y = x 2 −3x + 2 Substitusikan y = mx 2 −5 x + 4 ke y = x 2 −3x + 2
( m −1) x 2 −2 x +2 =0 D =( −2) −4( m −1). 2 D =4 −8m +8 D =12 −8m
Syarat mempunyai dua penyelesaian D > 0 12 −8m > 0 8m >12 3 m> 2
jadi nilai m =
3 2
b. Tentukan Hp dari sisem persamaan berikut: y = 2 x 2 − x +3
y = −x 2 +5
Jawab: y = 2 x 2 − x +3
disubstitusikan y = −x 2 +5
2 x 2 − x + 3 = −x 2 + 5 2x 2 + x 2 − x + 3 − 5 = 0 3x 2 − x − 2 = 0
x1 x2 =
− b ± b 2 − 4ac 2a
21
− ( −1) ±
=
( −1) 2 − 4( 3)( − 2) 2.3
1 ± 1 + 24 6 1 ± 25 = 6 =
=
1 ±5 6
1+5 6 = =1 6 6 1−5 − 4 2 x2 = = =− 6 6 3 x1 =
x1 dan x2 disubstitusikan ke persamaan (1) dan (2)
x1 = 1 → (1) y = 2 x 2 − x + 3 = 2(1) 2 −1 +3
=4 x2 = −
2 → (1) y = −x 2 + 5 3 2
2 = − − + 5 3
=
26 2 1 =4 =4 4 6 6 3
2 1 ∴ Hp = (1,4 ) , − ,4 3 3
BAB IV PENUTUP 4.1 Kesimpulan •
Rumus persamaan kwadrat 2.1 Pemfaktoran Penyelesaian persamaan kuadrat menggunakan sifat faktor nol, yaitu: 22
Jika a ⋅b = 0, maka a = 0 atau b = 0 2.1 Melengkapi Kuadrat Sempurna dalam menyelesaikan persamaan kuadrat bentuk ax 2 + bx + c = 0 terlebih dahulu dirubah menjadi bentuk ( x ± p ) 2 = K 2.1 Menyelesaikan Persamaan kuadrat dengan rumus kuadrat ax 2 + bx + c = 0 ⇔
ax 2 + bx + c
× 4a
⇔ 4ax 2 x 2 + 4abx = −4ac ⇔ 4ax 2 x 2 + 4abx + b 2 = b 2 − 4ac ⇔ ( 2ax + b ) = b 2 − 4ac 2
⇔ 2ax + b = ± b 2 − 4ac ⇔ 2ax = −b ± b 2 − 4ac ⇔x =
•
− b ± b 2 − 4ac 2a
Peyelesaiaan sistem persamaan linear dengan dua peubah a. Metode Grafik b. Metode Eliminasi c. Penyelesaian dengan metode substitusi d. Penyelesaian dengan metode gambungan eliminasi dan substitusi
4.2 Saran •
Memahami rumus – rumus persamaan kuadrat dan persamaan linier dengan seksama dan tepat.
Dengan begitu, kita akan dapat menyelesaikan persoalan persamaan
kuadrat dan persamaan linier dengan cepat dan benar 23
DAFTAR PUSTAKA •
David Bergamini.1981.Pustaka Ilmu Life: Tirtara Pustaka.
•
Kartini, dkk. 1994. Matematika 1A, 1B, 1C SMU. Bandung: Pakar Raya.
•
Daniel L. Auvil dan Charles Poluga. 1985. Elementary Algebra, Second Edition. Canada: Addison-Wesley Publishing Company, Inc.
•
Martin M. Zuckerman. 1985. Algebra and Trigonometry, A straightforward Approach, Second Edition. Canada: John Wiley and Sons.
•
W. Gellert, H. Kustner, M. Hellwich, and H. Kastner. 1975. The VNR Concise Encyklopedia of Mathematics. New York: Van Nostrand Reinhold Company.
•
Andi Hakim Nasoetion, dkk. 1994. Matematika 1 SMU. Jakarta: Balai Pustaka.
•
E. Daiman. 1994. Matematika 1 SMU. Bandung: Ganeca Exact. 24
•
Wono Setya Budhi. 1999. Matematika SMU IA, IB.-: Pusgrafin.
•
The Liang Gie. 1993. Filsafat Matematika Bagian Kedua. Yogyakarta: Yayasan Studi Ilmu dan Teknologi.
•
M. Sambas, dkk. 1992. Aritmetika untuk SMA. Bandung: Pakar Raya.
•
Suwaji, dkk.1996. Matematika 1 Cawu 1, 2, 3 SMU. Surabaya: Kendang Sari.
•
Mary Worral, dkk. 1995. Oxford Ensiklopedia Pelajar Edisi Bahasa Indonesia. Jakarta: PT Widyadara.
•
Crosswhite, Hawkinson, Sachs. 1983. Merril Pre-Calculus Mathematics. Ohio : Charles E. Merril Publishing Co.
•
Departemen Pendidikan Nasional. 2002. keputusan Menteri Pendidikan Nasional Republik Indonesia Nomor 111/U/2002 tentang Penyesuaian Garis-Garis besar Program Pengajaran dan Penilaian pada Sistem Semester (Lampiran IV). Jakarta: Direktorat jenderal Pendidikan dasar dan Menengah.
25
