MAKALAH SISTEM PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINIER
Sekolah Menengah Atas Negeri 3 Kotabumi
Jl. Sersan Laba Gole no. 45 Kotabumi, Lampung Utara 2013
LEMBAR PENGESAHAN
Judul Materi
Sistem !ersamaan dan !ertida"samaan Linier
#u$u #u$uan an !embela bela$a $ara rann
%apa apat mene enentu ntu"an "an &im &impuna unan pen pen'elesa lesaia iann dari sistem persamaan mengguna"an metode eliminasi, substitusi, dan gabungan eliminasi ( substitusi, serta dapat menentu"an pen'elesaian pen'elesaian,, dan nilai ) dari pertida"samaan. pertida"samaan.
Lo"asi !en'ampaian !en'ampaian materi Kelas * M+ 5, SM- 3 Kotabumi Kotabumi #anggal !en'ampaian !en'ampaian Materi 1 -o/ember -o/ember 2013 Guru !embimbing
SUKM-+, S.!d
Kotabumi, 20 -o/ember 2013 Guru !embimbing
SUKM-+, S.!d. -+! ii
SISTEM PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINIER
Kelas
* M+ 5
Kelompo" 3 1. irin a&'ani S 2. -unung Kurnia Sari 3. %ea %esria 4. arida Koa 5. #ria -isrina 6. #omi 7r8ans'a&
iii
KATA PENGANTAR
tas ber"at ra&mat dan "arunia #u&an 9ang Ma&a 7sa, "ami dapat men'elesai"an pembuatan ma"ala& materi :Sistem !ersamaan dan !ertida"samaan Linier;. Ma"ala& ini "ami susun berdasar"an isi dari materi 'ang "ami ambil dari bu"u Kompetensi Matemati"a Kelas * penerbit 9ud&istira. Materiap"an terima "asi& dan mo&on maa bila ada "esala&an<"esala&an dari ma"ala& ini sendiri.
Kotabumi, 20 -o/ember 2013
!en'usun
i/
DAFTAR ISI
Judul i Lembar !engesa&an ii -ama Kelompo". iii Kata !engantar ... i/ %atar +si.. / !eta Konsep..... /i ?? + !7-%@ULU- 1 1.1 Latar ?ela"ang Masala& 1 ?? ++ L-%S- #7A+. 2 2.1 Sistem !ersamaan Linear %ua Barabel 2 2.1 Sistem !ersamaan Linear #iga Bariabel... 5 2.3 !7#+%KSM- 12 ?? +++ S!7K !7-+L+-... 1C ?? +B !7-U#U!....... 23 %# !US#K.
!7# KA-S7!
SISTEM PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINIER
PERSAMAAN LINIER
PERTIDAKSAMAAN
Metode: SPLDV
SPLTV
1. Eliminasi
1. Notasi Ketida$samaan
2. S!stitsi
2. Si%at&si%at Pe'tida$samaan
". Ga!n#an
". Pe'tida$samaan Bent$ Pe(a)an *. Petida$samaan Bent$ A$a'
1
BAB I PENDA!"!AN #$# "atar Belakang Masalah
?an'a" masala& dalam "e&idupan "ita se&ari<&ari dapat din'ata"an dalam sistem persamaan. Sebagai >onto& adala& masala& pada uraian pengantar materi 'ang merupa"an sistem persamaan linier. Ji"a seseorang pengusa&a tela& mengeta&ui &arga "eseluru&an ba&an ba"u, ma"a ia a"an mampu meng&itung &arga satuan ba&an ba"u tersebut. Sebelum men'elesai"an suatu permasala&an, terlebi& da&ulu permasala&an terebut diuba& men$adi model matemati"an 'ang memuat sistem persamaan linier. ?agi sis8a 'ang men'u"ai balapan mobil ormula 1 D1E tentula& as'i" meli&at adan'a persaingan antarpembalap dengan mengas'i""an a"si dan maneu/era" "agum. #er"esan ba&8a, mere"a DpembalapE dengan as'i"n'a mengendarai mobiln'a se>epat mung"in. !ada&al tida". %alam perlombaan tersebut, tela& ditentu"an peraturan< peraturan. Sebagai >onto&, peraruran tentang batas "e>epatan mobil 'ang diper"enan"an. Misaln'a batas "e>epatan pada lintasan meni"ung, seorang pembalap diper"enan"an mengendarai mobiln'a dengan "e>epatan antara 50 sampai dengan F0 "m$am. %alam matemati"a, "eterbatasan di atas dapat dipandang sebagai inter/al atau selam dalam "onsep pertida"samaan. Selang atau inter/al ini merupa"an &al mendasar untu" dapat men'elesai"an permasala&an pertida"samaan. !ada materi ini $uga, a"an di$elas"an pula tentang sistem persamaan.
BAB II "ANDASAN TE%RI
&$# Sistem Persamaan "inier 'engan Dua (ariabel
?entu" umum sistem persamaan linier dengan dua /ariabel dalam ) dan ' adala& A1 x + b1 y , c1 A 2 x + b 2 y , c 2 Den#an a1, b1, a 2, b 2, c1 dan c 2 adala) !ilan#an 'eal.
!ada persamaan pertama a 1 atau b1 bole& nol tetapi tida" bole& "edua< duan'a nol, demi"ian $uga pada persamaan "edua, a 2 atau b2 sala& satun'a bole& nol dan tida" bole& "edua
&$#$# )ara Menentukan im*unan Pen+elesaian 'ari Sistem Persamaan linier 'enan Dua (ariabel •
Metode eliminasi
•
Metode substitusi
•
Metode gabungan eliminasi dan substitusi
&$#$#$# Meto'e Eliminasi
Mengeliminasi artin'a menghilangkan sementara atau menyembunyikan sala& satu /ariabel se&iongga dua /ariabel men$adi &an'a satu /ariabel dan sistem persamaann'a dapat diselesai"an.
Lang"a&
a. Sama"an "oeisien dari /ariabel 'ang a"an di&ilang"an pada suatu sistem persamaan dengan >ara mengali"an suatu bilangan "e "edua persamaan tersebut. Kemudian "edua persamaan tersebut di"urang"an. b. Ji"a sala& satu /ariabel dari suatu sistem persamaan mempun'ai "oeisien 'ang sama, ma"a "urang"an "edua persamaan tersebut. Ji"a satu /ariabel mempun'ai "oeisien 'ang berlawanan, ma"a $umla&"an "edua persamaan tersebut, se&ingga diperole& persamaan linier dengan satu /ariabel. >. Selesai"an persamaan linier dengan satu /ariabel tersebut. d. Ulangi langa"& a, b, dan c untu" mendapat"an nilai /ariabel lainn'a. onto& soal Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linier berikut dengan metode eliminasi!
a.
2x + 3y = 3 x – 2y = 5
$a8ab 2x + 3y = 3 H ) 1 H x – 2y = 5
H)2H
2x + 3y = 3 2x – y = "
F' I
)2
4) 6' I 6
* 2' I 5
)3
3) 6' I 15 F) I 21 *I3
Jadi &impunan pen'elesaiann'a adanala& D3, <1E
&$#$#$& Meto'e subtitusi
Metode subtitusi dila"u"an dengan mengguna"an lang"a&
2) ' I F 5) 3' I 1 Ja8ab 2) ' I F
' I F 2)
9 I F 2) disubstitusi"an pada 5) 3' I 1, ma"a 5) < 3DF<2)E I 1 5) 21 6)I 1 11)I 121 11)I 22 )I 2 disubstitusi"an "e ' I F 2), ma"a 'I F<2.2 'I 3 $adi, &impunan pen'elesaiann'a adala& D2,3E
&$#$#$3 Meto'e gabungan eliminasi 'an substitususi
Metode gabungan eliminasi dan substitusi dila"u"an dengan >ara mengeliminasi sala& satu /ariabel "emudian dilan$ut"an dengan mensubstitusi"an &asil dari eliminasi tersebut. onto& soal Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut ini dengan metode gabungan dan substitusi!
3) 5' I 22 4) 3' I10 Ja8ab 3) 5' I 22
)4
12) 20' I CC
4) 3' I 10
)3
12) ' I 30 <2' I 5C 'I <2
nilai ' I <2 disubstitui"an "e 3) 5' I 22, diperole& 3) 5' I 22 3) 5D2E I 22 3) 10 I 22 3) I 12 *I 4 Jadi &impunan pen'elesaiann'a adala& D4,<2E
&$& Sistem Persamaan "inier 'engan Tiga (ariabel
?entu" umum dari persamaan linear tiga /ariabel dalam ), ', dan adala& sebagai beri"ut. 1) b1' >1 I d 2) b2' >2' I d 3) b3' >3 I d %engan a1, a2,a3, b1, b2, b3, >1, >2, >3, d1, d2, dan d3 bilangan real.
&$&$# )ara Menentukan im*unan Pen+elesaian 'ari Sistem Persamaan linier 'enan tiga (ariabel
1. 7liminasi 2. Substitusi, atau 3. Gabungan eliminasi dan substitusi &$&$#$# Meto'e Eliminasi
Untu" mema&ami pem"aian metode eliminasi dalam menentu"an &impunan pen'elesaian dari sistem persamaan linear dengan tiga /ariabel, per&ati"an >onto& beri"utN onto& Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dengan metode eliminasi!
2) 3' I 1 *' I4 3) ' 2 I 14
Ja8ab 2) 3' I 1 D1E * ' I 4 D2E 3) ' 2 I 14 D3E Kita elimisasi"an /ariabel dari persamaan D1E dan D2E 2) 3' I 1 *' I4 3) 4' I5 D4E Kita elimisasi"an /ariabel dari persamaan D1E dan D3E 2) 3' I 1
)2 4) 6' <2 I 2
3) < ' 2 I 14
)1 3) ' 2I 14 F) 5'I 16 .D5E
Kita elimisasi"an /ariabel ' dari persamaan D4E dan D5E 3) 4' I5
)5 15) 20' I 25
F) 5' I 16 )4 2C) 20' I 64 <13) I <3 *I3 Kita elimisasi"an /ariabel ) dari persamaan D4E dan D5E 3) 4' I5
)F 21) 2C' I 35
F) 5' I 16 )3 21) 15' I 4C 13' I <13 9 I <1
Kita elimisasi"an /ariabel ) dari persamaan D1E dan D2E 2) 3' I 1
)1 2) 3' < I 1
)' I4
)2 2) 2' 2I C ' <3I
Kita elimisasi"an /ariabel ) dari persamaan D1E dan D3E 2) 3' I 1
)3 6) ' <3 I 3
3) < ' 2 I 14
)2 6) 2' 4I 14 11'
Kita elimisasi"an /ariabel ) dari persamaan D6E dan DFE ' <3I
)11 11' 33 I
11' F I <25 <26 I <52 O I2
Jadi, &impunan ppen'elesaiann'a adla& D3,<1,2E
&$&$#$& Meto'e Substitusi
Untu" mema&ami pem"aian metode Substitusi dalam menentu"an &impunan pen'elesaian dari sistem persamaan linear dengan tiga /ariabel, per&ati"an >onto& beri"utN onto& Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dengan metode #ubstitusi!
* 3' 2 I C 2) ' 2 I0 3) 5' I 1F Ja8ab * 3' 2 I C
.D1E
2) ' <2 I 0
.D2E
3) 5' I 1F
.D3E
%ari persamaan D1E diperole& * 3' 2 I C * I 3' <2 C
.D4E
%ari persamaan D4E disubstitusi"an "e persamaan D2E 2) ' <2 I 0 2D3' 2 CE ' <2 I 0 6' 4 16 ' <2 I0 F' 6 I <16 9 I 6 16
.D5E
F
%ari persamaan D4E disubstitusi"an "e persamaan D3E 3) 5' I 1F 2D3' 2 CE 5' I 1F ' 6 24 5' I 1F 14' F I
6 16
12 32 F I
F
-nilai I 5 dan ' I 2 disubstritusi"an "e persamaan D4E * I 3' 2 C * I 3.2 2.5 C * I 6< 10 C *I4
Jadi, &impunan pen'elesaiann'a adala& D2,4,5E
&$&$#$3 Meto'e Gabungan Eliminasi 'an Substitusi
Untu" mema&ami pem"aian metode Metode Gabungan 7liminasi dan Substitusi dalam menentu"an &impunan pen'elesaian dari sistem persamaan linear dengan tiga /ariabel, per&ati"an >onto& beri"utN onto& Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dengan metode $etode %abungan &liminasi dan #ubstitusi
3) 5' I 11 * 3' 4 I 12 4) 2' 5 I <1 Ja8ab 3) 5' I 11 ..D1E * 3' 4 I 12 ..D2E 4) 2' 5 I <1 ..D3E Kita eliminasi"an /ariabel dari persamaan D1E dan D2E 3) 5' I 11
)4
12) 20' < 4 I 44
* 3' 4 I 12
)1
) 3' 4 I 12 13) 1F' I 56
.D4E
Kita eliminasi"an /ariabel dari persamaan D2E dan D3E * 3' 4 I 12
)5
5) 15' 20 I 60
4) 2' 5 I <1
)4
16) C' 20 I <4 21) F' I 56
Kita eliminasi"an /ariabel ' dari persamaan D4E dan D5E
..D5E
13) 1F' I 56
)F
1) 11' I 32
21) F' I 56
)1F 35F) 11' I 52 44C) I 1344 * I 1344 44C *I3
-ilai ) I 3 dusbstitusi"an "e persamaan D4E 13) 1F' I 56 13.3 1F' I 56 3 1F' I 56 1F' I 56 <3 1F' I 1F 9I1 nilai ) I 3 dan ' I 1 disubstitusi"an "e persamaan D1E 3) 5' I 11 3.3 5.1 I 11 5 I 11 OI3 Jadi &impunan pen'elesaiaan''a adala& D3,1,3E
&$3 Perti'aksamaan
?entu" umum dari pertida"samaan adala& sebagai beri"ut U(x) < v(x)
u(x) < v(x)
U(x) > v(x)
u(x) > v(x)
&$3$#$# notasi keti'aksamaan
Misaln'a a dan b bilangan real a, a di"ata"an "urang dari b, ditulis a P b $i"a dan &an'a $i"a a b negati sebagai >onto&, FP12 "erena F 12 I <5 dan <5 negati b, a di"ata"an lebi& dari b, ditulis a Qb $i"a dan &an'a $i"a aont&, 5Q2 "arena 5<2I 3 dan 3 positi , a di"ata"an "urang dari atau sama dengan b, ditulis aP b $i"a dan &an'a $i"a P b atau a I b. %engan "ata lain, a P b adala& ing"aran a Q b Sebagai >onto&, 4 P F adala& benar "arena 4 Q F adala& sala& %, a adala& di"ata"an lebi& dari atau sama dengan b, ditulis a Q b $i"a dan &an'a Ji"a a Q b atau a I b %engan "ata lain, a Qb adala& ing"aran dari a P b Sebagai >onto&, F Q 3 adala& benar "arena F P 3 adala& sala& &$3$#$& De,inisi *erti'aksamaan
