ANALISIS RERATA SATU SAMPEL DAN DUA SAMPEL ( NON PARAMETRIK )
Kelompok 4 Ai Fitri Romdona Arum Rohmasari Samara Duishenova
Magister Pendidikan Matematika Universitas Pasundan
A. Latar Belakang
Pada kenyataannnya sangatlah sulit untuk mendapatkan sampel yang memenuhi asumsi mempunyai distribusi tertentu. Kebanyakan sampel yang diperoleh hanyalah sebatas menedekati tertentu. Oleh karena itu, kemudaian dikembangkan suatu teknik inferensi yang tidak memerlukan uji asumsi-asumsi tertentu memgenai distribusi sampelnya,dan juga tidak memerlukan uji hipotesis yang berhubungan dengan parameter populasinya. Teknik ini dikenal dengan parametri bebas distribusi atau statistika non parametrik. Istilah nonparametrik pertama kali digunakan oleh Wolfdwitz, pada tahun 1942. Metode statistik nonparametrik merupakan metode statistik yang dapat digunakan dengan mengabaikan asumsi-asumsi yang melandasi penggunaan metode statistic parametrik, terutama yang berkaitan dengan distribusi normal. Istilah lain yang sering digunakan untuk statistik nonparametrik adalah statistik bebas distribusi (distribution free statistics) dan uji bebas asumsi (assumption-free test). Statistik nonparametric banyak digunakan pada penelitian-penelitian sosial. Data yang diperoleh dalam penelitian sosial pada umunya berbentuk kategori atau berbentuk rangking. Dalam dunia statistika banyak cara mengumpulkan data sebagai dasar dalam melakukan penelitian. Pengumpulan data ini dilakukan agar peneliti dapat memperoleh data-data yang dibutuhkan, mencari hubungan dari variabel-variabel yang diteliti, memprediksi masa depan dan sebagainya untuk kebutuhan penelitian. Untuk memprediksi hal tersebut, kita menggunakan metode Statistika Non parametrik dan Penelitian Survei. Metode Statistika Non Parametrik pengambilan kesimpulan dapat ditarik tanpa memperhatikan bentuk distribusi populasi. Sedangkan Penelitian Survei, disgunakan untuk pengambilan data dari suatu populasi dengan menggunakan media kuesioner sebagai alat pengumpul data yang pokok. Statistika menggunakan metode penelitian survei dalam mengumpulkan data sebagai dasar penelitian dan menggunakan Statistika Non Parametrik untuk mengatasi pemecahan data yang memiliki ukuran sampel kecil dan asumsi-asumsi yang kurang.
B. Statistika Non Parametrik Statistik Non-Parametrik, yaitu statistik bebas sebaran (tidak mensyaratkan bentuk sebaran parameter populasi, baik normal atau tidak). Selain itu, statistik non parametrik biasanya menggunakan skala pengukuran sosial, yakni nominal dan ordinal
yang umumnya tidak berdistribusi normal. Statistik non parametrik adalah statistik yang ditidak mendasarkan pada parameter-parameter statistik. Jika anda melakukan penelitian, tentu anda melakukan pengukuran-pengukuran, nah ukuran-ukuran tersebut diistilahkan dengan parameter. Dalam statistik kita mengenal mean, median, modus dan standar deviasi, itulah parameter-parameter statistik. Dalam statistik non parametrik, parameter tersebut tidak dijadikan acuan. Ketika kita menggunakan skala data nominal atau ordinal, parameter-parameter tersebut menjadi tidak relevan. Itu lebih kepada membuat ranking pada data. Selain itu, statistik non parametrik tidak mendasarkan pada distribusi data tertentu. Statistik non parametrik banyak digunakan pada kondisi di mana peneliti dihadapkan pada data yang berupa ranking, misalnya data untuk menilai peringkat mana yang lebih penting diantara beberapa atribut produk. Begitupun ketika hendak menganalisis data berupa data nominal atau data dikotomus, misalnya kita hanya menggunakan skala 1 dan 2 untuk membedakan jenis kelamin laki-laki dan perempuan. Parameter-parameter statistik seperti rata-rata dan standar deviasi menjadi tidak relevan. Jika kita paksakan untuk menggunakannya maka tentu rata-rata data hanya menyebar di antara angka 1 dan 2. Ketika peneliti menggunakan skala ordinal dalam mengukur suatu variabel, statistik non parametrik merupakan metode yang cocok untuk menganalisis data tersebut. Namun, kebanyakan peneliti menggunakan statistik parametrik melalui penghitungan parameter mean dan standar deviasi terlebih dahulu. Memang, dalam hal interpretasi, statistik parametrik lebih mudah dipahami dibandingkan statistik non parametrik. Kita tentu akan lebih mudah membaca rata-rata atau penyimpangan suatu data dibandingkan ranking dari data itu sendiri. Alasan kemudahan membaca hasil inilah yang sering dijadikan justifikasi untuk menghindari statistik non parametrik. Alasan kedua penggunaan statistik non parametrik adalah ketika data peneliti dihadapkan pada data yang tidak berdistribusi normal atau peneliti tidak memiliki cukup bukti yang kuat data berasal dari distribusi data seperti apa. Kita sering dihadapkan pada kondisi di mana data tidak berdistribusi normal, misalnya distribusi data terlalu miring ke kiri atau ke kanan. Berbagai usaha dapat dilakukan dengan mereduksi data outlier atau data ekstrim. Namun, jika hal tersebut tidak merubah distribusi data menjadi terdistribusi normal, maka metode non parametrik dapat dilakukan. Kedua metode ini tentu memiliki konsekuensi terhadap pendekatan analisis yang digunakan. Untuk menganalisis pengaruh suatu variabel penyebab terhadap variabel respon, biasanya kita menggunakan analisis regresi linier sederhana atau berganda. Dalam metode non parametrik, metode tersebut tidak lagi relevan. Pendekatan yang cocok adalah regresi non parametrik. Begitu pun ketika kita menganalisis hubungan antara dua variabel. Biasanya kita menggunakan analisis korelasi Pearson Product Moment. Namun, dalam metode non parametrik analisis korelasi lebih dikenal dengan korelasi Rank spearman. Teknik perhitungannya berbeda. Dalam Rank spearman, kita terlebih dahulu membuat ranking
dari data yang akan dikorelasikan sementara dalam Pearson product moment tidak dilakukan. Metode korelasi non parametrik populer lainnya adalah Kendall Tau. Ketika kita hendak melakukan uji perbandingan antara kelompok, maka metode analisis yang digunakan dalam statistik parametrik adalah uji t (ketika yang kita bandingkan 2 kelompok), atau uji anova (ketika kelompok yang kita bandingkan lebih dari 2). Berbeda dengan statistik parametrik, dalan non parametrik ada uji Kruskall wallis yang sebaiknya digunakan. Keunggulan statistic non parametric diantaranya: Asumsi dalam uji-uji statistik nonparametrik relatif lebih longgar. Jika pengujian data menunjukkan bahwa salah satu atau beberapa asumsi yang mendasari uji statistik parametrik. (misalnya mengenai sifat distribusi data) tidak terpenuhi, maka statistik nonparametrik lebih sesuai diterapkan dibandingkan statistic parametrik. ■ Perhitungan-perhitungannya dapat dilaksanakan dengan cepat dan mudah, sehingga hasil penelitian segera dapat disampaikan. Untuk memahami konsep-konsep dan metode-metodenya tidak memerlukan dasar ■ matematika serta statistika yang mendalam. Uji-uji pada statistik nonparametrik dapat diterapkan jika kita menghadapi ■ keterbatasan data yang tersedia, misalnya jika data telah diukur menggunakan skala pengukuran yang lemah (nominal atau ordinal). ■ Efisiensi statistik nonparametrik lebih tinggi dibandingkan dengan metode parametrik untuk jumlah sampel yang sedikit. Disamping keunggulan, statistik nonparametrik juga memiliki keterbatasan. Beberapa keterbatasan statistik nonparametrik antara lain: ■ Jika asumsi uji statistik parametrik terpenuhi, penggunaan uji nonparametrik meskipun lebih cepat dan sederhana, akan menyebabkan pemborosan informasi. Jika jumlah sampel besar, tingkat efisiensi nonparametrik relatif lebih rendah ■ dibandingkan dengan metode parametrik ■
C. Uji Statistika Non Parametrik Uji statistik nonparametrik ialah suatu uji statistik yang tidak memerlukan adanya asumsi-asumsi mengenai sebaran data populasi. Uji statistik ini disebut juga sebagai statistik bebas sebaran (distribution free). Statistik nonparametrik tidak mensyaratkan bentuk sebaran parameter populasi berdistribusi normal. Statistik nonparametrik dapat digunakan untuk menganalisis untuk menganalisis data yang berskala nominal atau ordinal karena pada umumnya data berjenis nominal dan ordinal tidak menyebar normal. Dari segi jumla data, pada umumnya statistik nonparametrik digunakan untuk data berjumlah kecil (n <30).
1. Binomial Dalam uji tanda digunakan pengganti tanda positif atau negatif bagi nilai-nilai pengamatan. Nilai pengamatan positif jika nilai pengamatan tersebut > rata-rata hitung (populasinya setangkup) atau > median( populasinya menjulur). Nilai pengamatan negatif jika < nilai rata-ratanya atau mediannya. Hipotesis : H 0 : µ=µ o. vs H 1 : µ µ o. Statistik uji bagi Uji tanda adalah variabel acak X yang menyatakan banyaknya tanda positif atau negatif yang paling sedikit. Bila hipotesis nol µ=µ o benar, maka peluang bahwa suatu nilai sampel menghasilkan tanda positif atau negatif sama dengan ½. Akibatnya, statistik uji X memiliki sebaran peluang Binom dengan parameter p=½ Jadi uji signifikasi dilakukan dengan menggunakan rumus binom : P(X ≤x) = Σb (x;n,p) = Σb (x;n,½) Misal kita ingin menguji pada taraf nyata 0,05 bahwa isi kaleng suatu jenis minyak pelumas adalah 10 liter. Suatu sampel acak 10 kaleng telah diukur isinya, hasilnya adalah: 10,2; 9,7; 10,1; 10,3; 9,8; 9,9; 10,4; 10,3 dan 9,8 liter Manajer bagian pemasaran sebuah perusahaan ban mobil bermerek A menyatakan bahwa daya tempuh ban yang diproduksinya yaitu 40.000 km. Suatu sampel acak sebanyak 8 ban dicoba dan dicatat jarak tempuhnya (dalam km) sampai ban tersebut diganti, datanya adalah : 34.400 ; 45.500; 32.000; 32.800; 38.100 dan 30.100. Sebuah perusahaan elektronik sedang mempertimbangkan untuk memberikan liburan berikut biayanya bagi para eksekutif senior dan keluarganya. Untuk menentukan preferensi antara seminggu di Hawaii atau seminggu di Spanyol. Suatu uji sampel acak 18 staf eksekutif ditanya pilihannya. ujilah pada taraf 5% bahwa kedua lokasi itu sama-sama disukai lawan alternatifnya bahwa preferensi mereka berbeda bila ternyata 4 di antara 18 yang ditanyai lebih menyukai spanyol. 1. Hipotesis : H 0 : µ = 10 lawan H 1 : µ ≠ 10 2. Uji statistik : Uji binom 3. Taraf nyata : 0,05 4. Wilayah kritik : Σb (x;n,p) < 0,05 0,05 5. Perhitungan: (+) >10 ; (-) < 10 Banyaknya tanda (+) = 6 dan banyaknya tanda (-)= 4. Jadi X=4 ; n=10; p=½. Dari tabel jumlah binom diperoleh :P(X≤4)= Σb (x;10, ½) = 0,3770 Untuk pengujian dua arah maka P(X≤4)=2(0,3770)=0,7540 6.Kesimpulan : Terima Terima H0 artinya bahwa rata-rata kaleng minyak pelumas sebanyak 10 liter dapat diterima 1. Hipotesis : H0 : p1= p2 = ½ lawan H0 : p1 ≠ p2 ≠ ½ 2. Uji statistik : Uji Binom 3. Taraf nyata : 0,05 4. Wilayah kritik : Σb (x;n,p) < 0,05
5. Perhitungan : (+) > 40.000 ; (-) < 40.000 0 = 40.000 (tdk ikut)
tanda
(+)=2 , (-)=6 X=2 ; n=8; p=½ ; dari tabel diperoleh :P(X≤2)= Σb (x;8, ½) = 0,1445 dan untuk pengujian dua arah maka P(X≤2)=2(0,1445)=0,2890 6. Kesimpulan : Terima H0 artinya pernyataan manajer pemasaran bahwa rata-rata jarak tempuh ban yang diproduksinya sejauh 40.000km 40.0 00km dapat diterima 1.Hipotesis : H0 : p1=p2 = ½ lawan H1 : p1= p2 = ½ 2. Uji statistik : Uji Binom 3. Taraf nyata : 0,05 4. Wilayah kritik : Σb (x;n,p) < 0,05 5. Perhitungan : X=4 ; n=18; p=½ Dari tabel jumlah peluang binom diperoleh : P(X≤4)= Σb (x;18, ½) = 0,0154 Untuk pengujian dua arah maka P(X≤4) = 2(0,0154) = 0,0308 6. Kesimpulan : Terima H0 artinya Hawai lebih disukai daripada span yol.
2. Chi Square Test ( ) Chi Kuadrat ( ) satu sampel adalah teknik statistik yang digunakan untuk menguji hipotesis bila dalam populasi terdiri atas dua atau lebih klas dimana data berbentuk nominal dan sampelnya besar. Rumus dasar Chi Kuadrat adalah seperti beikut:
( ) 0 ℎ ℎ =
Dimana: = Chi Kuadrat = Frekuensi Frekuensi yang diobservasi = Frekuensi yangdiharapkan Berikut ini dikemukakan Chi Kuadrat untuk menguji hipotesis deskriptif (satu sampel) yang terdiri terdiri atas dua kategori dan tiga kategori/kelas. Contoh 1 untuk dua kategori: Telah dilakukan pengumpulan data untuk mengetahui bagaimana kemungkinan rakyat di Kabupaten Priggondani dalam memilih dua calon Kepala Desa. Calon yang satu adalah Wanita dan calon yang kedua adalah Pria. Sampel sebagai sumber data diambil secara random sebanyak 300 orang . Dari sampel tersebut ternyata 200 orang memilih pria dan 100 memilih wanita.
0 ℎ
Hipotesis yang diajukan adalah: H0 : Peluang calon pria dan wanita adalah sama untuk dapat dipilih menjadi kepala desa
H1 : Peluang calon pria dan wanita adalah tidak sama untuk dapat dipilih menjadi kepala desa Untuk dapat membuktikan hipotesis dengan Rumus 5.4 tersebut, maka data yang terkumpul perlu disusun ke dalam tabel seperti tabel 5.3 beikut: TABEL 5.3 KECENDURUNGAN RAKYAT DI KABUPATEN PRINGGODANI DALAM MEMILIH KEPALA DESA Alternatif Calon Frekuensi yang Frekuensi yang Kepala Desa Diperoleh Diharapkan Calon Pria 200 150 Calon Wanita 100 150 Jumlah 300 300 Catatan: Jumlah frekuensi yang diharapkan adalah sama yaitu 50% : 50% dari seluruh sampel.
(
Untuk dapat menghitung besarnya Chi Kuadrat ) dengan menggunakan Rumus 5.4 maka diperlukan tabel penolong seperti yang ditunjukkan pada Tabel 5.4 berikut:
Alternatif pilihan
f 0
Pria Wanita Jumlah
200 100 300
TABEL 5.4 TABEL PENOLONG UNTUK MENGHITUNG CHI KUADRAT DARI 300 ORANG SAMPEL f h f 0-f h (f 0-f h)2 150 150 300
50 -50 0
2500 2500 5000
(0 ℎ) ℎ
16,67 16,67 33,33
Catatan : Di sini frekuensi yang diharapkan (f h) untuk kelompok yang memilih pria dan wanita = 50%. Jadi 50% × 300 = 150 Harga Chi Kuadrat dari perhitungan dengan Rumus 5.4 ditunjukkan pada tabel di atas yakni jalur paling kanan yang besarnya 33,33. Untuk dapat membuat keputusan tentang hipotesis yang diajukan diterima atau ditolak, maka harga Chi Kuadrat tersebut perlu dibandingkan dengan Chi Kuadrat tabel dengan dk dan taraf kesalahan tertentu. Dalam hal ini berlaku ketentuan bila Chi Kuadrat hitung lebih kecil dari tabel, maka Ho diterima, diterima, dan apabila lebih besar atau sama dengan (≥) harga tabel maka Ho ditolak. Derajat kebebasan untuk Chi Kuadrat tidak tergantung pada jumlah individu dalam sampel. Derajat kebebasan akan tergantung pada kebebasan dalam mengisi kolom-kolom pada frekuensi yang diharapkan (f h) setelah disusun ke dalam tabel berikut ini.
Kategori I a II b (a+b)
M N (m+n)
Dalam hal ini frekuensi yang diobservasi (f o) harus sama dengan frekuensi yang diharapkan (f h). Jadi (a+b)=(m+n) dengan demikian kita mempunyai kebebasan untuk menetapkan frekuensi yang diharapkan (f h)=(m+n). Jadi kebebasan yang dimiliki tinggal satu yaitu kebebasan dalam menetapkan m atau n. Jadi untuk model ini derajat kebebasan (dk)=1. Berdasarkan dk=1 dan taraf kesalahan yang kita tetapkan 5% maka harga Chi Kuadrat tabel=3,841. (Lihat Tabel). Ternyata harga Chi Kuadrat hitung lebih besar dari tabel (33,33>3,841). Sesuai ketentuan kalau harga Chi Kuadrat hitung lebih besar dari tabel, maka Ho ditolak dan Ha diterima. Jadi diterima. Jadi kesimpulannya, hipotesis nol yang diajukan bahwa peluang pria dan wanita sama untuk dipilih menjadi kepala desa di kabupaten itu ditolak . Hasil penelitian menunjukkan bahwa masyarakat di kabupaten itu cenderung memilih pria menjadi Kepala Desa. 3. Run Test Pengujian terhadap keacakan sampel yang dimaksud digunakan Uji Runtun (Run). Runtun (run) adalah barisan huruf ( lambang atau tanda-tanda) yang identik yang didahului atau diikuti sebuah huruf (lambang atau tanda) yang berbeda. Uji Runtun (run) membagi data menjadi dua penggolongan yang tidak berpotongan (laki-laki atau perempuan, cacat atau utuh, diatas atau dibawah median, dan sebagainya ). Barisan hasil pengamatan terdiri dari dua lambang. Misalkan n1 adalah banyaknya lambang pertama atau yang lebih sedikit dan n2 adalah banyaknya lambang kedua atau yang lebih ban yak, maka ukuran sampelnya adalah n= n1+ n2 Disebut juga uji random. Bertujuan untuk menentukan apakah urutan yang dipilih atau sampel yang diambil diperoleh secara random atau tidak Didasarkan atas banyaknya run . Suatu run adalah suatu rentetan satu atau lebih lambang yang sama yang menyatakan sifat daya yang sama .Bisa digunakan untuk sampel pengukuran data kualitatif dan kuantitatif. Contoh: • Berikut ini adalah data mengenai besarnya kredit yang diperoleh 15 pedagang kecil kecil sebuah bank (dalam puluhan ribu rupiah) • 13, 7, 6, 8, 31, 23, 36, 43, 51, 44, 12, 26, 15, 18, 24 • Ujilah apakah data tersebut diambil secara random dengan menggunakan taraf nyata 5%! Jawab: Menentukan Median: 6 7 8 12 13 15 18 23 24 26 31 36 43 44 51 median • 13, 7, 6, 8, 31, 23, 36, 43, 51, 44, 12, 26, 15, 18, 24 r=8 • - - - - + - + + + + - + - - +
• n1 = 8, n2 = 7 -> lihat tabel , • diperoleh batas bawah = 4, dan batas atas = 13 • sehingga kriteria pengujian: • H0 diterima apabila 4 ≤ r ≤ 13 • H0 ditolak apabila r < 4 atau r > 13 Kesimpulan Jika n1 > 10 , n2 > 10
Contoh Uji Run
Penyelesaian • H0 = susunan urutan duduk mahasiswa/i acak/random H1 = susunan urutan duduk mahasiswa/i tidak acak/random • Tingkat signifikansi α = 5% Nilai tabel statistik Uji z, Karena Karena uji dua sisi, maka: α = 5%/2 = 2,5% Z0,025 = 1,96
Penyelesaian • Daerah kritis penolakan kritis penolakan Ho
Nilai uji statistik
Kesimpulan Karena Zhitung = 0,76 berada di daerah penerimaan Ho maka Ho artinya susunan duduk mahasiswa/i acak/random 4. t-Test Uji-t 1 sampel biasanya digunakan untuk menguji men guji hipotesa deskriptif dimana kalimat hipotesanya yang akan menentukan termasuk one tail test/two tail test. One tail test dibagi menjadi 2: uji pihak kiri dan uji pihak kanan Two tail test biasanya digunakan bila digunakan bila hipotesa nol (Ho) berbunyi“sama dengan” dan Hipotesa altenatif (Ha) berbunyi“tidak sama dengan Contoh Uji-t two tail test Contoh rumusan hipotesa:
Ho = daya tahan baterai laptop sama dengan 4 jam Ha = daya tahan baterai laptop tidak sama dengan 4 jam
Ho = penjualan kartu perdana dalam satu bulan sama dengan 100 buah
Ha = penjualan kartu kartu perdana dalam satu bulan tidak sama dengan dengan 100 buah Kurva two tail test
Rumus t-test dimana: t = nilai t yang dihitung (t hitung) x=rata-rata μ0 = nilai yang dihipotesiskan SD = standar deviasi sampel n= jumlah anggota sampel Rumus Standar Deviasi
Langkah dalam pengujian
Hitung rata-rata data
Hitung standar deviasi
Hitung harga t
Lihat harga t tabel t hitung ≤ t tabel maka Ho diterima t hitung > t tabel maka Ho ditolak
Gambar kurve
Letakkan t hitung dan t tabel dalam kurve (dk= n-1)
Buat keputusan hipotesis
Latihan Soal Dari pengumpulan data untuk menguji tentang jumlah jam belajar efektif siswa dalam satu hari ditemukan bahwa jumlah jam efektif be lajar dalam satu hari adalah 5 Jam. Berdasarkan sampel 30 orang siswa yang dimintai keterangan diperoleh hasil sebagai berikut: 435724536547855344565456324545 Ujilah data tersebut dengan menggunakan t-test dengan taraf kesalahan 5% Uji t 2 sampel Pada intinya uji t 2 sampel menggunakan 2 sampel/populasi yang berbeda untuk nantinya dilihat perbedaannya Independent t test Paired sampel t test Independent t test Digunakan untuk membandingkan dua kelompok mean dari dua sampel yang berbeda (independent) Prinsipnya ingin mengetahui apakah ada perbedaan mean antara dua populasi, dengan membandingkan dua mean sample-nya Misal: Melihat perbedaan antara kelas yang diberi pelatihan dan yang tidak diberi pelatihan Perbedaan perlakuan orang yang diberi obat diet dengan yang tidak Contoh kasus *Seorang guru ingin mengetahui efektivitas model mod el group discusion terhadap prestasi belajar siswa * Maka diambil sampel sebanyak 22 orang * 22 orang tersebut dibagi dalam dua kelompok secara random dan mendapat perlakuan yang sama kecuali satu kelompok memakai model group discusion dan kelompok satunya tidak * Setelah satu semester, prestasi belajar dinilai
Rumus t test Independent
Rumus independent t test (beda N sampel)
Paired t test *Digunakan untuk membandingkan mean dari suatu sampel yang berpasangan (paired) *Sampel berpasangan adalah sebuah kelompok sampel dengan subyek yang sama namun mengalami dua perlakuan atau pengukuran yang berbeda * Menguji perbedaan kondisi awal / sebelum dan setelah perlakukan Contoh kasus - Seorang guru ingin mengetahui efektifitas pelatihan kepemimpinan yang akan dilakukannya -Dipilihlah 12 orang untuk dilatih -Sebelum pelatihan disebar angket untuk mengetahui tingkat kepemimpinan dan diakhir pelatihann disebar lagi angket untuk mengetahui tingkat kepemimpinan
Rumus Paired t test
Dimana: D = selisih nilai sesudah dan sebelum (post - pre) N = banyak sampel Tabel Bantu
5. Mc Nemar Test Teknik statistik ini digunakan untuk menguji hipotesis komporatif dua sampel yang berkorelasi bila datanya berbentuk nominal/diskrit. Rancangan penelitian biasanya berbentuk “before after ”. ”. Jadi hipotesis penelitian merupakan perbandingan antara nilai sebelum dan sesudah ada perlakuan/treatment perlakuan/treatment . Sebagai panduan untuk menguji signifikansi setiap perubahan, maka data perlu disusun ke dalam tabel segi empat ABCD seperti berikut: Sesudah Sebelum + + A B C D Tanda (+) dan (-) sekedar dipakai untuk menandai jawaban yang berbeda, jadi tidak harus yang bersifat positif dan negatif. Kasus-kasus yang menunjukkan terjadi perubahan antara jawaban pertama dan kedua kedu a muncul dalam sel A dan D. Seseorang dicatat dalam sel A jika
berubah dari positif ke negatif; dan dicatat pada sel D jika ia berubah dari negatif ke positif. Jika tidak terjadi perubahan yang diobservasi diobservasi yang berbentuk positif dia dicatat di sel sel B, dan jika tidak terjadi perubahan observasi yang berbentuk negatif dicatat di sel C. A+D adalah jumlah total orang yang berubah, sedangkan B dan C adalah yang tidak berubah. Ho =
+ berubah dalam satu arah, dan merupakan frekuensi yang diharapkan di
bawah fo pada kedua sel yaitu A dan D. Test Mc Nemar berdistribusi Chi Kuadrat (x2), oleh karena itu rumus yang digunakan untuk pengujian hipotesis adalah rumus Chi Kuadrat. Persamaan dasarnya ditunjukkan pada Rumus 6.2 berikut.
( ) 0 ℎ ℎ =
Dimana : f o= Frekuensi yang diobservasi dalam kategori ke-i f h=Frekuensi yang diharapkan di bawah fo dalam kategori ke-i Uji signifikansi hanya berkenaan dengan A dan D. Jika A= banyak kasus yang diobservasi dalam sel A, dan D banyak kasus yang diobservasi dalam sel D, serta serta ½(A+D) banyak kasus yang diharapkan baik disel A maupun D, rumus tersebut dapat lbih lbih disederhanakan menjadi Rumus 6.3
()
Rumus tersebut dapat dikembangkan menjadi:
2 ) ( 2 ) ( ( ) 0 ℎ ℎ = 2 2
Rumus tersebut akan semakin baik dengan adanya “koreksi kontinuitas” yang diberikan oleh Yates,1934 yaitu: dengan mengurangi dengan nilai 1. Korelasi kontinuitas itu diberikan karena distribusinya menggunakan distribusi normal. Seperti telah diketahui bahwa distribusi normal itu biasanya digunakan untuk data yang bersifat kontinum. Setelah adanya korelasi kontinuitas tersebut, maka Rumus 6.3 disempurnakan menjadi Rumus 6.4 berikut:
−|)− (|−| −
dengan dk=1
Contoh Pengujian Hipotesis: Suatu perusahaan ingin mengetahui pengarah sponsor yang diberikan dalam suatu pertandingan olah raga terhadap nilai penjualan barangnya. Dalam penelitian p enelitian ini digunakan sampel yang diambil secara random yang jumlah anggotanya 200 orang. Sebelum sponsor diberikan, terdapat 50 orang yang membeli barang tersebut, dan 150 orang tidak membeli. Setelah sponsor diberikan dalam pertandingan olah raga, ternayata dari 200 orang tersebut terdapat 125 orang yang membeli dan 75 orang tidak membeli. Dari 125 orang tersebut terdiri atas pembeli tetap 40, dan yang berubah dari tidak membeli menjadi membeli ada 85. Selanjutnya dari 75 orang yang tidak membeli itu terdiri atas yang berubah dari membeli menjadi tidak membeli ada 10 orang, dan yang tetap tidak membeli ada 65 orang. Untuk mudahnya data disusun dalam tabel 6.4 berikut. 6. Sign Test Fungsi pengujian: Untuk menguji perbedaan ranking (median selisih skor/ ranking) dua buah populasi berdasarkan ranking (median selisih skor/ranking) dua sampel berpasangan Didasarkan atas tanda-tanda positif atau negatif dari perbedaan antara antara pasangan pengamatan. Menentukan formulasi hipotesis • Ho : Probabilitas terjadinya tanda + dan - adalah sama • H1 : Probabilitas terjadinya tanda + dan - adalah berbeda Menentukan taraf nyata dan nilai tabel • Pengujian bisa satu sisi atau dua sisi Menentukan kriteria pengujian • Pengujian satu sisi • H0 : diterima jika α ≤ probabilitas hasil sampel • H1 : diterima jika α > probabilitas hasil sampel • Pengujian dua sisi • H0 : diterima jika α ≤ 2 KALI probabilitas hasil sampel • H1 : diterima à α > 2 KALI probabilitas hasil hasil sampel Menentukan nilai uji statistik • Lihat tabel probabilitas binomial dengan n,r tertentu dan p = 0,5 • r = jumlah tanda yang terkecil Membuat kesimpulan k esimpulan • Menyimpulkan Ho diterima ataukah tidak Contoh Soal 1 Sejumlah 10 pasangan suami istri yang baru menikah dipilih secara acak dan ditanyakan secara terpisah pada masing-masing istri dan suami, berapa jumlah anak yang mereka inginkan. Informasi yang didapat adalah sebagai berikut: Pasangan 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Istri 3223120200 Suami 1221232102 Ujilah apakah kita dapat mengatakan bahwa wanita (istri) menginginkan anak lebih sedikit dibandingkan pria (suami)? (suami)? Taraf nyata nyata uji 0,01 Solusi 1 • Ho : Tidak ada perbedaan jumlah anak yang yang diinginkan antara suami dan istri H1 : wanita (istri) menginginkan anak lebih sedikit dibandingkan pria (suami) • Taraf nyata uji : 0,01 • Kriteria pengujian : (pengujian satu sisi) • Ho diterima Jika 0,01≤ probabilitas hasil sampel H1 diterima Jika 0,01 > probabilitas hasil sampel Pasangan 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Istri 3210012220 Suami 2322021312 Selisih +- -- 0-+ -+r = jumlah tanda terkecil = 3 Distribusi Binomial dengan n = 9 dan p = 0,5 Menggunakan tabel Binomial, maka akan diperoleh: P(r ≤ 3) = 0,254 Keputusan, karena 0,01 ≤ 0,254, maka terima Ho. Tidak ada perbedaan jumlah anak yang diinginkan antara suami dan istri. Membaca Tabel Distribusi Binomial
r = jumlah tanda terkecil = 3 Distribusi Binomial dengan n = 9 dan p = 0,5 Menggunakan tabel Binomial, maka akan diperoleh: P(r ≤ 3) = 0,2539 = 0,254 Uji Tanda dengan Data Sampel Besar Untuk data besar besar jika N > 25
Dengan: X = jumlah data terbesar bertanda +/ N = total jumlah data bertanda + dan – dan – Contoh soal Dilakukan sebuah penelitian untuk mengetahui tingkat pengetahuan budidaya kopi sebelum dan sesudah diberi penyuluhan. Data hasil penelitian ditunjukkan pada tabel berikut. Dengan α = 0,01, lakukan pengujian untuk mengetahui ada tidaknya pengaruh penyuluhan terhadap tingkat pengetahuan budidaya kopi.
Membaca Tabel Distribusi Normal (Z)
Z = 2,58 maka p = 1 – 1 – 0,9951 0,9951 = 0,0049 7. Wilcoxon Match pair Test Sebagai penyempurnaan uji tanda. Diperkenalkan pertama kali oleh (Frank Wilcoxon) Selain memperhatikan + dan -, uji ini juga memperhatikan besarnya beda/selisih Uji Urutan Bertanda Wilcoxon Menentukan formulasi hipotesis • H0 : Tidak terdapat perbedaan terdapat perbedaan dari perlakuan 1 dan 2. • H1 : Terdapat perbedaan antara perlakuan 1 dan 2 Menentukan taraf nyata dan nilai tabel • Pengujian bisa satu sisi atau dua sisi Menentukan k riteria pengujian • H0 : Diterima Diterima jika Tα < T0 H1 : Diterima jika Tα > T0 • Nilai T diperoleh dari Tabel urutan bertanda wilcox on => Tα Menentukan nilai uji statistik 1. Tentukan tanda beda/selisih dan besarnya 2. Urutkan bedanya (tanpa memperhatikan tanda) Ranking 1 diberikan pada selisih terkecil, urutan 2 pada selisih terkecil berikutnya.
Bila 2/lebih selisih nilai mutlaknya sama, maka masing-masing diberi rangking sama dengan rata-rata urutan. Contoh : selisih ke 5 dan ke 6 terkecil mempunyai nilai selisih yang sama, maka masing masing mendapat rangking 5,5 yang diperoleh dari (5 + 6)/2 3. Pisahkan tanda selisih positif dan negatif 4. Jumlahkan semua angka positif dan negatif 5. Nilai terkecil dari nilai absolut hasil penjumlahan selisih adalah nilai T0 Membuat kesimpulan Menyimpulkan H0 diterima ataukah tidak Contoh soal Sebuah alat pencukur rambut dapat digunakan sebelum charged charged lamanya (jam) adalah : 1,5; 2,2; 0,9; 1,3; 2,0; 1,6; 1,8; 1,5; 2,0; 1,2; 1,7. Ujilah hipotesis dengan α = 5% bahwa alat tersebut rata - rata dapat digunakan 1,8 jam sebelum charged. Solusi 2 1. H0 : m = 1,8 H1 : m ≠ 1,8 2. α = 0,05 3. Kriteria pengujian Ho : Diterima jika T < T0 Ho : Ditolak jika T > T0 Untuk n = 10 (dengan menghilangkan satu data yg selisihnya nol) dan α = 0,05 = 0,05 maka dari Tabel nilai kritis uji urutan tanda (uji dua arah) =>T0.05 = 8 Tabel Uji Urutan Bertanda Wilcoxon
Solusi 2 Perhitungan : setiap pengamatan dikurangkan dengan 1,8, dan ditentukan peringkatnya, tanpa memperhatikan tanda minus atau plus
Kesimpulan: Karena T0.05 = 8 < T0 = 13 , maka terima H0 artinya bahwa alat pencukur rambut tersebut rata - rata dapat digunakan 1,8 jam sebelum charged. 8. Wilcoxon Match pair Test
Dalam uji tanda hanya memperlihatkan arah perbedaan saja sedangkan dalam uji rangking bertanda Wilcoxon selain memperlihatkan arah perbedaan juga memperlihatkan besar relatif dari perbedaan tersebut. Cara analisis uji Peringkat Bertanda wilcoxon adalah: Tentukan selisih nilai pasangan yaitu d. Untuk nilai yang sama (d=0) data dieliminir selisih d dirangking tanpa memperhatikan tanda positif atau negatifnya. Untuk nilai d yang sama, rangkingnya adalah rata-rata. Pengujian dilakukan menggunakan statistik T. Statistik T dihitung dengan menjumlahkan rangking bertanda positif atau negatif yang menghasilkan jumlah paling sedikit. Bandingkan dengan statistik T dengan tabel nilai kritis T uji rangking bertanda Wilcoxon. Kaidahnya : Tolak H0 jika Untuk n > 25, maka statistik T mendekati normal dengan nilai Merupakan suatu uji yang menghitung tanda dan besarnya selisih dari dua buah rataan populasi. Uji ini lebih peka dari pada uji tanda dalam menemukan perbedaan antara populasi. Dengan kata lain, uji peringkat bertanda wilcoxon digunakan jika besaran maupun arah perbedaan relevan Untuk menentukan apakah terdapat perbed aan yang sesungguhnya antara pasangan data yang diambil dari dua sampel yang berkait. Prosedur Uji wilcoxon Untuk Pengamatan Berpasangan 1. Menyatakan hipotesis nol dan hipotesis alternatif alternatif (H0 (H0 dan H1). 2.
Memi Memili lih h tara tarap p keber keberar arti tian an (
).
3. Menentukan daerah kritis W (bila dist dist Z digunakan). digunakan). 4. Menyusun peringkat tanpa memperhatikan tanda. 5. Pemberian tanda atas peringkat yang telah ditetapkan. 6. Menjumlahkan peringkat dengan jumlah terkecil sebagai W. 7. Penarikan kesimpulan statistic tentang hipotesis nol (tolak H0 atau terima H0) Penarikan Kesimpulan Statistik Untuk menguji hipotesis nol (H0) dari uji Wilocoxon ini, selain dapat meggunakan tabe harga-harga kritis W dalam uji jenjang bertanda data berpasangan wilcoxon khususnya untuk sampel kecil, juga dapat menggunakan pendekatan distribusi normal. Sedangkan untuk sampel besar digunak an pendektan distribusi normal. Pengujian dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut Hipotesis -
Satu sisi
H0 :W(+) = (-) H1 : W(+) > (-) H0 :W(+) = (-) H1 : W(+) < (-) - Dua sisi H0 :W(+) = (-) H1 : W(+) ≠ (-) (-) Dimana : W(+) = jumlah semua peringkat selisih pasangan pengamatan (x i,yi) yang bertanda positif W(-)= jumlah semua peringkat selisih pasangan pengamatan (xi,yi) yang b ertanda negatif α = …% Daerah kritis A. Tabel Wilcoxon - Jika harga W adalah sama dengan atau kurang dari harga yang diberikan dalam tabel, untuk satu tingkat signifikasi tertentu dengan N tertetu, maka tolak H0. - Jika harga α hit yang diperoleh dari da ri tabel (dengan N dan W tertentu) adalah sama dengan atau kurang dari harga yang telah ditentukan,maka tolak H0 B. Distribusi Normal Dari nilai Zhit yang diperoleh tentukan nilai peluang (P) padanannya, untuk tes dua sisi kalikan dua P, bila P sama dengan atau kirang dari α, maka tolak H0. Statistik hitung - Untuk setiap pasangan nilai pengamatan (xi,yi), hitung perbedaannya (di = xi-ui) - Berikan peringkat terhadap perbedaan nilai pasangan pengamatan, mulai dari peringkat 1 untuk perbedaan nilai terkecil hingga peringkat n untuk perbedan terbesar. Bila terdapat perbedaan nilai pasangan yang sama, perbedaan nilai yang sama diberi
nilai rata-ratanya. rata-ratanya. Bila ditemukan perbedaan nol, kita beri peringkat 1 dengan tanda yang kemungkinanya menolak H0. - Beri tanda (+/-) kepada peringkat yang telah dibuat. -Hitung jumlah di yang brtanda positif (W+) dan n egative (W-). -Statistika uji peringkat bertanda wilcoxon ialah W.W yang dipakai ialah W+ atau WWyang nilainya “lebih kecil”. Bila sampel ≥25 memakai pendekatan distribusi normal, yaitu rumus Z
(1) 4 (1)(21) √ (1)(21) 24 Kesimpulan H0 ditolak, bila W , α hitung, h itung, atau p (normal) jatuh didalam daerah kritis.
9. Fisher Exact Test 10. Median Test Uji median adalah metode nonparametrik yang paling sederhana. Uji median ini adalah merupakan prosedur pengujian apakah dua atau lebih populasi dari mana sampel independen diambil mempunyai median yang yang sama. Untuk menyederhanakannya hanya akan dibatasi pada dua sampel saja (sebenarnya prosedur ini dapat dengan mudah diperluas untuk tiga sampel atau lebih). Uji nonparamtrik ini dipergunakan untuk mentukan signifikansi perbedaan antara median dari dua populasi yang independen. Hipotesa nihil yang akan diuji menyatakan bahwa populasi dari mana dua sampel itu diambil mempunyai median yang sama. Hipotesa alternatifnya menyatakan bahwa dua populasi ini mempunyai median yang berbeda. Uji median tidak memerlukan anggapan-anggapan tertentu tentang dua populasi dari mana sampel diambil. Untuk keperluan keperluan uji median ini perlu ditentukan/dihitung lebih dahulu median dari kombinasi 11. Mann Whithney U Test Dalam pengujian ini digunakan data dari dua sampel independen yang masing-masing berasal dari populasi yang independent. Dua sampel masing-masing berukuran n1 dan n2 dikatakan independent apabila pemilihan unit untuk kedua sampel tidak saling mempengaruhi. Jadi apapun dan siapapun yang terpilih dari sampel pertama tidak mempengaruhi pemilihan pada sampel kedua populasi yang independent. Salah satu pengujian yang dapat dilakukan adalah pengujian Mann-Whitney.
Prosedur Pengujian Mann-Whitney 1. Menyatakan hipotesis nol dan hipotesis alternatif (H0 dan H1). 2. Memilih tarap keberartian. 3. Menyusun peringkat data tanpa memperhatikan katagori sampel. 4. Menjumlahkan peringkat menurut tiap katagori kata gori sampel dan menghitung ststistik U (dipilih nilai U terkecil) 5. Penarikan kesimpulan ststistik mengenai hipotesis nol (tolak atau terima H0) Penarikan Kesimpulan Statistik Hipotesis - Satu sisi -H0 :U1(+) = U2(-) -H1 : U1 (+) < U2 (-) -H0 : U1 (+) = U2 (-) -H1 : U1 (+) > U2 (-) -
Dua sisi
- H0 :U1(+) =U2 (-) - H1 : U2(+) ≠ U1(-) U1(-) Dimana U adalah nilai ststistik yang dipakai dalam tes ini, nilainya diperoleh dari beberapa kali suatu skor dalam kelompok n2 mendahului skor dalam kelompok n1 (atau sebaliknya, pilih nilai U minimum). α = …% daerah kritis a. Tabel Mann – Mann – Whitney Whitney - Utuk n2 < 8 : jika harga α hitung yang diperoleh dari tabel (dengan n2,n1 dan n2,n1 dan Umin diketahui) adalah sama dengan atau kurang dari harga α yang telah ditentukan, ditentukan, maka tolak H0.
-Untuk n2 diantara 9 dan 20 : jika harga U min adalah sama dngan atau kurang dari harga U yang diberikan dalam tabel untuk satu signifikan tertentu, maka tolak H0.
b. Distrbusi Normal Dari nilai Z hit yang diperoleh tentukan nilai n ilai peluang (P) padananya, untuk tes dua sisi kalikan dua P, bila P sama dengan atau kurang dari α, maka tolak H0. Statistika Hitung Statistik U yang dihasilkan dari uji ini diperoleh diperoleh dari persamaan :
(+) ∑ 1
U = n1.n2+
(2.9)
Persamaan diatas ekivalen dengan:
(+) ∑ 2
U = n1.n2+
(2.10)
Dimana : n1= banyaknya sampel dalam salah satu grup n2= bayaknya sampel dalam grup yang lain R1= jumlah skor rangking yang diberikan pada grup dengan ukuran sampel n1 R2= jumlah skor rangking yang diberikan pada grup dengan ukuran sampel n2 -Pilih nilai U min, dari dua nilai U diatas - Bila n2 > 20 gunakan distribusi Z 12. Wald Woldfwitz Test 13. Contigency Coefficient Correlation 14. Spearman Rank Correlation
Metode korelasi jenjang ini dikemukakan oleh Carl Spearman pada tahun 1904. Metode ini diperlukan untuk mengukur keeratan hubungan antara dua variabel dimana dua variabel itu tidak mempunyai joint normal distribution dan conditional variance tidak d iketahui sama. Korelasi rank dipergunakan apabila pengukuran k uantitatif secara eksak tidak mungkin/sulit dilakukan. Misalnya: mengukur tingkat moral, tingkat kesenangan, tingkat motivasi.
Untuk mengukur tingkat rank-correlation coefficient-nya, yang dinotasikan dengan r s, dilakukan langkah-langkah sebagai berikut: 1. Nilai pengamatan dari dua variabel yang akan diukur hubungannya diberi jenjang. Bila ada nilai pengamatan yang sama dihitung nilai rata-ratanya. 2. Setiap pasangan jenjang dihitung perbedaannya 3. Perbedaan setiap pasang jenjang tersebut dikuadratkan dan dihitung jumlahnya. 4. Nilai r s (koefisien korelasi Spearman) dihitung dengan rumus:
di mana : di menunjukkan perbedaan setiap pasang rank n menunjukkan jumlah pasangan rank Hipotesa nihil yang akan diuji menyatakan bahwa dua variabel yang diteliti dengan nilai jenjangnya itu independen, tidak ada hubungan antara jenjang variabel yang satu den gan jenjang dari variabel lainnya. Ho : r s = 0 H1 : r s ≠ 0 Kriteria pengambilan keputusannya adalah: Ho diterima apabila r s ≤ ρs(α) Ho ditolak apabila r s > ρs(α) Untuk n < 30 dapat dipergunakan tabel nilai t, dimana nilai t sampel dapat dihitung dengan rumus:
Contoh: Misalnya kita ingin menentukan apakah nilai n ilai dalam suatu tes tertentu yang diperoleh pekerja-pekerja mempunyai hubungan dengan hasil pekerjaan yang dinyatakan den gan jumlah satuan yang diprodusir dalam jangka waktu tertentu. Sepuluh pekerja telah dipilih. Nilai tes dinyatakan dengan X dan jumlah produsir dinyatakan dengan Y. Hasil penelitiannya ditunjukkan sebagai berikut:
Dari data tersebut koefisien korelasi Spearman dapat dihitung den gan:
Ada korelasi positif yang nyata antara nilai tes den gan jumlah satuan yang diprodusir. 15. Kendall Tau 16. Pearson Product Moment 17. Partial Corelation 18. Multiple Correlation D. Uji Hipotesis Non Parametrik Terdapat bermacam-macam teknik statistik yang dapat digunakan dalam suatu penelitian khususnya dalam pengujian statistik. Teknik statistik yang akan digunakan tergantung pada interaksi dua hal, yaitu macam data yang akan dianalisis dan bentuk hipotesisnya.
JENIS/MACAM DATA Nominal Ordinal Interval •
•
•
BENTUK HIPOTESIS Hipotesis Deskriptif Hipotesis Komparatif •
•
Pada hipotesis komparatif ada dua macam yaitu komparatif dua sampel dan lebih dari dua sample. MACAM DATA
BENTUK HIPOTESIS
DESKRIPTIF (SATU VARIABEL) NOMINAL
Binomial
KOMPARATIF (DUA SAMPEL) RELATED Mc Nemar
INDEPENDEN Fisher Exact Probability
one sample
ASOSIATIF (HUBUNGAN) Contingency Coefficient C
Two sample
ORDINAL
Run Test
INTERVAL/ RASIO
t- Test
Sign Test Wilcoxon Match Pair Test t- test of Related
Median Test Mann Whitney U Test T- test of Independen
Sumber: Sudjana.(2005).metode Sudjana.(2005).metode statistika edisi ke-6.Bandung: ke-6.Bandung: Tarsito. Sugiono (2011). metode penelitian kuantitatif kualitatif dan R&D.Alfabeta R&D.Alfabeta
Spearman Rank Correlation Kendall Tau Pearson product Moment Partial Correlation Multiple Correlation
