MAKALAH MATEMATIKA FUNGSI TURUNAN IMPLISIT DAN FUNGSI TURUNAN PARAMETER
DISUSUN OLEH
1. MUHAMAD SOLEH
41114110019
2. FAJAR RODIANA
41114110031
3. ABDUL 3. ABDUL ROHMAT ROHMAT FATONI FATONI
41114110056 41114110056
4. ARI 4. ARI JUMIANTO JUMIANTO
41114110043 41114110043
BAB I PENDAHULUAN Dalam Bab I ini penulis menyampaikan tentang Latar Belakang Masalah, Rumusan Masalah, dan Tujuan. Tiap bagian disajikan sebagai berikut : Latar Belakang Masalah Kalkulus merupakan sebuah mata kuliah yang wajib dipelajari oleh mahasiswa di jenjang perguruan tinggi. Salah satu cabang ilmu dalam kalkulus adalah differensial atau turunan, dalam makalah ini penulis akan menyajikan dua buah turunan fungsi yaitu turunan fungsi implicit dan turunan fungsi parameter. 1.1 Rumusan Masalah Mengacu pada latar belakang diatas, maka perlu adanya tindakan yaitu study mengenai analisis lebih mendalam :
Bagaimana cara mencari hasil dari suatu aturan hitung Turunan Fungsi Implisit ? Bagaimana cara menentukan Variabel Turunan Fungsi Implisit ? Apakah pengertian fungsi parameter ? Bagaimana rumus dari turunan fungsi pertama parameter ? Bagaimana rumus dari turunan fungsi kedua parameter ?
1.2 Tujuan Tujuan dari pembuatan Makalah ini adalah :
Untuk mengetahui cara mencari hasil dari suatu aturan hitung Turunan Fungsi Implisit. Untuk mengetahui cara menentukan Rumusan Turunan Fungsi Implisit. Untuk Mengetahui cara menentukan Variabel Turunan Fungsi Implisit. Untuk mengetahui variabel ke-3 dari turunan fungsi parameter. Untuk mengetahui cara pengerjaan turunan pertama dari fungsi parameter. Untuk mengetahui cara pengerjaan turunan kedua dari fungsi parameter.
BAB II PEMBAHASAN Dalam Bab II penulis menyampaikan disajikan sebagai berikut :
tentang Turunan Fungsi Implisit. tiap bagian
2.1 Turunan Fungsi Implisit Adalah fungsi yang terdiri dari dua variable atau lebih yaitu variabel terikat dan variabel bebas, yang berada dalam satu ruas dan tidak bisa dipisahkan pada ruas yang berbeda. Fungsi implisit dilambangkan dengan f(x,y )=0 2.1.1 Fungsi implisit dapat dibagi menjadi 2 yaitu a. fungsi implisit yang dapat di eksplisitkan Yaitu suatu fungsi yang variable terikatnya dapat dibuat dalam ruas terpisah dari variable bebas.
y = f(x) Dimana:
y
= variabel terikat
f(x) = variabel bebas Contoh:
y – 2x 4 – 8 = 0
y = 2x 4 + 8 y ` = 8x 3
y - 4x + 2xy = 5
y
4 x 5 1 2 x
seumpama u = 4x + 5
v = 1 + 2x
u` = 4 digunakan rumus y
y
y
v`= 2 u v
4.(1 2 x) 2.(4 x 5) (1 2 x) 2
4 8 x 8 x 10 (1 2 x) 2
=
u `.v v`.u v2
y
6
(1 2 x) 2
b. fungsi implisit yang tidak dapat di eksplisitkan Yaitu fungsi dimana variabel terikatnya bercampur dalam satu ruas dengan variabel bebas dan ruas lainnya adalah nol, biasanya dilambangkan f(x,y) = 0 Contoh :
xy + x – 2y – 1 = 0 5 x 2 y 3 = 0 Untuk mencari turunan fungsi implisit yang tak dapat di eksplisitkan adalah dengan cara mencari turunan terhadap x dari setiap suku pada fungsi implisit itu. Contoh : Diketahui
: xy + x – 2y – 1 = 0
Carilah
: y`= ……?
Jawab
:
x
dy dx
+y
dx dx
+
d dx dx dx
( xy + x – 2y – 1) = -2
dy dx
d dx
(0)
-0=0
xy`+ y + 1 – 2y` = 0 (x – 2) y`= - y - 1 y` =
y 1 x 2
Diketahui
: 5 x 2 y 3 = 0
Carilah
: y`= ……?
Jawab
: Ruas kiri berbentuk uv maka
d dx
(5x 2 y 3 ) =
d dx
(0)
d dx
(uv) = u
dv dx
+v
du dx
5x 2
d dx
(y 3 ) + y 3 dy
5x 2 .3y 2
dx
d dx
(5x 2 ) =
+ y 3 .10x.y 3
dx dx
d dx
(0)
=0
15x 2 y 2 . y` + 10xy 3 = 0 y` =
10 xy 3 2
15 x y
2
=
2 y 3 x
2.1.2 DIFERENSIAL FUNGSI DENGAN SATU VARIABEL BEBAS Jika y = f (x) , maka : dy
y` =
dx
= f (x) adalah turunan y terhadap x pada sembarang titik x .
dx disebut diferensial x , yaitu perubahan kecil mendekati nol dari x dy disebut diferensial y , yaitu perubahan kecil mendekati nol dari y Karena y` =
dy dx
, maka dy = y`.dx
Jadi dy diperoleh dari turunan fungsi dikalikan dengan variable bebasnya.
dy diperoleh dengan bantuan rumus – rumus turunan : y = a,
dy = 0
y = x,
dy = dx
y = a.x n ,
dy = a.x n-1 dx
y = a.u n ,
dy = a.u n-1 du
y = u ± v ± w,
dy = du ± dv ± dw
(Aturan Jumlah)
y = u.v,
dy = u.dv + v.du
(Aturan Perkalian)
u
y = , v
dy =
(Aturan Pangkat)
v.du u.dv v2
Asalkan v ≠ 0
(Aturan Pembagian)
Contoh: Diketahui : y = 3x 2 Carilah : dy = ….. ? Jawab : y` =
dy
dy = y`.dx
dx
= 6xdx
2.1.3 DIFERENSIAL FUNGSI DENGAN DUA VARIABEL BEBAS Jika u merupakan fungsi dari dua variable, x dan y biasanya u = f (x,y) maka : Diferensial parsial u terhadap x ditulis : Diferensial parsial u terhadap y ditulis :
Diferensial total u ditulis :
du dx
dx +
du
du dy
du dx du dy
dy
artinya turunan fungsi u = f (x,y) terhadap x dengan menganggap hanya x sebagai dx variabel bebasnya (y dianggap sebagai konstanta) Contoh : Diketahui : u = x 2 + y 2 Carilah :
Jawab :
du
,
dx du dx
du dy
du dy
, dan du = ….. ?
= 2x
= 2y
du =
du dx
dx +
du dy
dy
du = 2xdx + 2ydy
2.2 FUNGSI PARAMETER Fungsi parameter adalah fungsi yang mempunyai bentuk, Jika Y = f (t) dan x = g (t) t sebagai variabel ke-3 disebut Parameter. t dapat dipandang sebagai fungsi Invers dari x sehingga y adalah fungsi tersusun dari x. Untuk menentukan turunan pertama atau dy/dx dari fungsi parameter, terlebih dahulu kita tentukan dx/dt dan dy/dt. Selanjutnya dy/dx dicari dengan rumus :
/ = / 3.2 Turunan Fungsi Pertama Parameter Untuk mendapatkan turunan pertama (dy/dx) dari fungsi Parameter, kita gunakan prinsip dalil rantai.
=
/
∙ = /
contoh : Diketahui :
= 2t5 – 6t2 → X' = 10t4 – 12t Y = t5 – 3t2+ 4 → Y' = 5t4 – 6t
Carilah :
= ........ ?
Jawab :
=
/ /
5t⁴ – 6t ( 5 − 6 ) 1 = = 10t⁴ – 12t 2 (5 − 6 ) 2
=
Contoh 2 : Diketahui : X =
=
2 6 ⁵ ² -5-1 –
2.t
-2-1
6t
X' = -10t⁶ + 12t-3
Y =
1 3 ⁵ ²
= t-5-1 – 3t-2-1 Y' = -5t-6 + t-3 Carilah :
= ........ ?
Jawab :
2.3
=
/ /
=
5t⁴ – 6t ( 5 − 6 ) 1 = = 10t⁴ – 12t 2 (5 − 6 ) 2
TURUNAN FUNGSI KEDUA PARAMETER
Rumus turunan fungsi kedua parameter adalah sebagai berikut : y” . x’ – x” . y’ (x’)3
Jika x = g (t) ----- dx/dt = x’ dan d 2x/dt2 = x” y = f (t) ----- dy/dt = y’ dan d 2y/dt2 = y” dy = dy/dt ---- d/dx (dy/dx) = d/dx {dy/dt} dx dx/dt {dx/dt} 2 dy= d {dy/dt} dt/dx dx2 dx {dx/dt} Contoh :
Diketahui : Y = t3 + 2t2 + 1 2
Y' = 3t + 4t Y" = 6t + 4 ² Dit : = ...........? ²
X = t3 X' = 3t2 X" = 6t
Jawab :
² ²
=
(6t + 4 ).3² −6 .( 3 + 4 ) ( 3 )³
=
18 + 12 .18 −24 27
=
18 −18 +12 −24 27
=
−12 27
BAB III KESIMPULAN Dalam Bab III penulis menyampaikan sebagai berikut :
tentang Kesimpulan. tiap bagian disajikan
3.1 Kesimpulan Berdasarkan hasil penghitungan di atas, maka penulis dapat menyimpulkan sebagai berikut :
Turunan Fungsi Implisit dapat di hitung melalui dua cara yaitu secara eksplisit dan implisit. Variabel Turunan Fungsi Implisit dilambangkan dengan F(x,y) = 0 Fungsi Parameter biasanya mempunyai bentuk, jika y = f (t) dan x = g (t) ,dimana t disebut sebagai parameter. Turunan Fungsi Parameter dapat dicari dengan menggunakan prinsif dalil rantai.
BAB IV DAFTAR PUSTAKA
Wikipedia. 2012. Fungsi Implisi, (online). (http://id.wikipedia.org/wiki/Fungsi_implisit, diakses 26 Desember 2012) Rohma, aizzael. 2010. Turunan Implisit, (online). (http://aizzaelrohma.blogspot.com/2010/10/kalulus-turunan-implisit.html, diakses 27 Desember 2012) Sunismi. 2001. Kalkulus 1. Malang: Universitas Islam Malang. Martono, koko. 1999. Kalkulus. Jakarta: Erlangga. http://ekopujiyanto.files.wordpress.com http://fajarrizkyashtercytin.files.wordpress.com http://ueu5069.weblog.esaunggul.ac.id/
