Manual Do Professor - Matemática 9º Ano

ÁLVARO ANDRINI MARIA JOSÉ VASCONCELLOS

9 MATEMÁTICA

PRATICANDO Matemática Coleção PRATICANDO MATEMÁTICA

EDIÇÃO RENOVADA ÁLVARO ANDRINI Licenciado em Matemática. Pós-graduado em Álgebra Linear e Equações Diferenciais. Foi professor efetivo de Matemática da rede estadual durante trinta anos. Autor de diversos livros didáticos.

MARIA JOSÉ VASCONCELLOS Licenciada em Matemática. Coordenadora e professorade Matemática em escola da rede particular. Coautora de coleção de Matemática para o Ensino Médio.

MANUAL DO PROFESSOR 3a edição, São Paulo, 2012

COLEGA COLEGA PROFESSOR PROFESSOR

Este manual tem diversos objetivos: • Revelar ideias presentes na concepção desta coleção de Matemática, esclarecendo sua proposta pedagógica. • Contribuir para o processo de formação contínua do docente, apresentando textos e artigos cuja leitura propicia a reflexão sobre educação e práticas metodológicas. • Fornecer subsídios para enriquecer as aulas oferecendo orientações específicas para o trabalho com o Livro do Aluno, sugestões de textos, atividades propostas para avaliação e integração com outras áreas do conhecimento. • Refletir sobre o processo de avaliação em Matemática propondo ideias e sugerindo instrumentos e estratégias que possam lhe ser úteis.

Esperamos que este manual o auxilie em seu trabalho, contribuindo para o sucesso de seus alunos. Os autores

SUMÁRIO SUMÁRIO 1. Considerações sobre o ensino da Matemática e a concepção da obra.... 05 2. Estrutura da obra ............................... 06 2.1 Principais temas abordados na obra ................................................08 2.1.1 Números ......................................08 2.1.2 Álgebra ........................................10 2.1.3 Geometria ....................................10 2.1.4 Medidas .......................................11 2.1.5 Razões, porcentagens e proporcionalidade...................11 2.1.6 Estatística .....................................12 2.1.7 Funções ........................................12 3. Ideias sobre a avaliação em Matemática .........................................13 3.1 Sobre o erro ..................................14 3.2 Sobre a utilizaçãode portfólios......15

4.4 O comprometimento com o próprio aprendizado................. 44 5. Quadro de conteúdos ........................ 46

4. Textos de apoio sobre educação e práticas metodológicas................... 19 4.1 Como ensinar Matemática? ......... 19 4.2 Matemática e resolução de problemas .....................................21 4.2.1 Os vários tipos de problema: uma possível classificação ........ 22 4.2.2 Dois tempos e modos de ensinar a Aritmética ............ 25 4.3 Leitura, escrita e oralidade: competência de todas as áreas......36 4.3.1 Parágrafo extraído da Proposta de Avaliação, presente no Documento Básico do ENEM – Brasília/2002...........36 4.3.2 A leitura, a escrita e a oralidade em Matemática ...........................37 4.3.3 Comunicação em Matemática: instrumento de ensino e aprendizagem.............................38 4.3.4 Leitura na escola .........................41

triângulos retângulos .......................... 92 Unidade 8 – Trigonometria no

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6. Sobre o livro do 9o ano ...................... 52 Unidade 1 – Potenciação e radiciação ........................................... 52 Unidade 2 – Equações do 2o grau ..... 58 Unidade 3 – Sistema cartesiano ........ 64 Unidade 4 – Funções ........................ 65 Unidade 5 – Noções de probabilidade ..................................... 69 Unidade 6 – Teorema de Tales e semelhança de triângulos ................... 82 Unidade 7 – Relações métricas nos

triângulo retângulo ............................. 99

Unidade 9 – Círculo e cilindro ......... 102 Unidade 10 – Porcentagem e juro ... 105 7. Avaliação – O que se pede por aí.... 109 8. Sugestões de livros e sites para o professor ............................... 113 8.1 Livros ...........................................113 8.1.1 Matemática por meio de jogos e resolução de problemas.......113 8.1.2 História da Matemática e História da Educação Matemática .......... 113 8.1.3 Paradidáticos ........................... 113 8.1.4 Educação Matemática ............. 114 8. 2 Revistas .......................................115 8. 3 Sites ............................................ 116 9. Referências bibliográficas ................ 119

1. Considerações sobre o ensino da Matemática e a concepção da obra A presença cada vez maior daMatemática nas atividades humanas torna seu aprendizado fundamental para a inserção do cidadão no mundo do trabalho e das relações sociais. O caráter instrumental e científico da Matemática permite resolver problemas práticos e fornece ferramentas importantes para a construção do saber científico. Conhecimentos matemáticos, mesmo aqueles que não fazem parte do cotidiano imediato, são necessários para a alfabetização científica e técnica do indivíduo, indispensável nos dias de hoje. Concomitantemente, o desenvolvimento de capacidades intelectuais presentes no pensamento matemático, como deduzir, generalizar, argumentar e conjecturar, propicia formar indivíduos com uma visão mais ampla da realidade, preparados para atuar num mundo em constante mudança. É necessário ressaltar também que o ensino em Matemática deve buscar o desenvolvimento de posturas e atitudes necessárias à formação cidadã: confiança na própria capacidade, perseverança e disciplina na busca de resultados, respeito pelo pensamento do outro e trabalho cooperativo. Conciliar e contemplar satisfatoriamente cada um destes aspectos em sala de aula não é tarefa fácil. O livro didático deve, portanto, ser um parceiro eficiente para o professor e para o estudante. Esta foi a intenção dos autores ao escrever esta obra. Acreditamos que o primeiro passo é criar um ambiente de aprendizado que permita dar significado ao que se aprende, aproximando aMatemática do dia a dia do aluno. Nesse sentido, a contextualização de conteúdos exerce papel de destaque e deve ser explorada. Na obra, a contextualização de conteúdos está presente, mas de forma criteriosa, cuidando para não levar à banalização e à perda de consistência. O aluno deve conhecer e aplicar conhecimentos da Matemática na vida prática, mas há outro objetivo também importante: desenvolver nele o gosto pelo desafio, presente em situações da própria Matemática, de maneira que as abstrações não constituam o início ou o fim do processo, e sim mediações indispensáveis para a construção do conhecimento matemático. Visando ao equilíbrio destes dois aspectos que se complementam, sempre que possível a obra apresenta os temas e sua exercitação por meio de problemas, valorizando estratégias diversificadas de resolução, a compreensão e a aplicação de conceitos, o uso adequado de procedimentos e a análise da solução obtida. Situações que propiciam o desenvolvimento do pensamento abstrato surgem de forma gradual, respeitando o desenvolvimento cognitivo dos alunos, mas dando a sustentação necessária para a construção de conceitos e demonstração de propriedades. Consideramos indispensável o trabalho com leitura, escrita e oralidade em Matemática. Essas habilidades são desenvolvida s em todos os anos, por meio da leitura de textos envolvendo História da Matemática, textos de interesse científico ou social e, sobretudo, pela leitura dos próprios textos didáticos, escritos com foco no aluno e permeados por quadros interativos com propostas de atividades. Em várias oportunidades o aluno será incentivado a elaborar, explicitar e compartilhar diferentes caminhos de resolução de questões. Com isso, pretendemos que ele reflita sobre sua maneira de pensar, propiciando a criação de mecanismos que facilitem cada vez mais seu aprendizado. MANUAL DO PROFESSOR

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A interação entre alunos desempenha papel fundamental no desenvolvimento das capacidades cognitivas, afetivas e de inserção social. Contemplamos, nesta coleção, o trabalho em pequenos grupos. Sugerimos atividades em duplas ou trios, possibilitando o contato com outros pontos de vista para aprimorar a capacidade de comunicação e de cooperação. Contudo, as atividades em grupo não impedem o exercício individual, importante para o desenvolvimento da autodisciplina e da autonomia. As atividades de sistematização estão presentes na coleção e têm como objetivo gerar maior agilidade no uso de técnicas e procedimentos. Ressaltamos ainda o trabalho da obra com cálculo mental, estimativas e o uso da calculadora como forma de prever e verificar resultados. A abordagem da História da Matemática é uma grande aliada para despertar o interesse dos alunos. A obra se vale desse recurso em muitos momentos, apresentando a Matemática como construção humana em constante evolução, cuja história tem se construído de forma não linear, com a contribuição de grandes gênios da ciência e também a partir da prática das pessoas comuns. Disponibilizamos para o docente, neste Manual, alguns artigos envolvendo a História da Educação Matemática, pois consideramos que conhecimentos sobre práticas escolares em Matemática, ao longo do tempo, permitem refletir sobre a sala de aula hoje, enxergando-a num contexto histórico. Propomos alguns jogos matemáticos e atividades com material concreto, cuja realização é possível em sala de aula, buscando contribuir para a construção de um ambiente pedagógico mais descontraído onde aprender rime com prazer. A coleção atende às demandas do mundo atual e valoriza as atuais propostas para o ensino da Matemática. Pautados em nossa prática docente, procuramos fornecer uma base sólida por onde professor e aluno possam transitar com segurança, abrindo espaço para a criatividade, sem perder de vista a realidade de sala de aula em nosso país.

2. Estrutura da obra A obra compõe-se de quatro volumes, cada um com um Manual do Professor específico. Nos volumes, a teoria é distribuída de modo equilibrado em unidades e seções, visando dar o suporte necessário ao professor, sem tirar-lhe a liberdade de criação. Levando em consideração as diferentes formas e ritmos que cada um tem para aprender, os textos estabelecem um diálogo com o aluno para facilitar a compreensão e permitir que ele progrida na leitura com mais facilidade por meio de uma linguagem clara e simples, incluindo fotos, ilustrações, gráficos e esquemas explicativos. Atividades surgem ao longo do texto como forma de levantar conhecimentos prévios e de checar o progresso da leitura. A História da Matemática aparece ao longo dos volumes em diversas oportunidades: textos de caráter histórico, comentários e informações biográficas, ou no enunciado de alguns exercícios. Além das atividades sugeridas paralelamente à apresentação dos temas, cada unidade apresenta seções específicas com atividades, descritas a seguir.

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Exercícios Propostos ao final de cada assunto, fornecem ao aluno uma oportunidade de autocontrole de habilidades e conteúdos procedimentais adquiridos na aprendizagem, utilizando como base a teoria desenvolvida. Os exercícios estão dispostos em grau crescente de dificuldade, são diversificados e muitos deles foram retirados de avaliações de caráter oficial.

Revisando Os exercícios dessa seção constituem mais uma oportunidade de retomar e interligar os diferentes assuntos, dando ao aluno a possibilidade de mobilizar recursos para exercer as competências adquiridas. Poderão ser encaminhados para tarefa de casa ou ainda reservados pelo professor para aplicação na recuperação paralela.

Desafios Agrupamos, nessa seção, questões que exigem soluções mais criativas e elaboradas. Sugerimos que estes exercícios sejam resolvidos em duplas ou trios, permitindo que cada um contribua para a resolução, incentivando o trabalho coletivo.

Aut oa va li aç ão São propostas questões do tipo teste, apuradamente selecionadas. Muitas delas vêm de olimpíadas, vestibulares e avaliações da rede oficial, observando sempre a adequação ao nível cognitivo dos alunos a que se destinam. O professor pode utilizar esses exercícios de diversas maneiras. Por exemplo, os alunos podem resolvê-los sem ajuda, conferindo, ao final, as respostas e analisando seu aproveitamento juntamente com você.

Seção livre Apresenta exercícios ou textos envolvendo curiosidades, fatos históricos, arte, ciência e situações do cotidiano, buscando motivar o aprendizado.

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Val e a pe na le r São textos variados envolvendo Matemática, História da Matemática e outras áreas do conhecimento. Contribuem para desenvolver a habilidade leitora e de interpretação de textos.

Selo e/ou que sinaliza textos e atividades que envolvem Matemática aplicada a outras áreas do conhecimento à vivência cotidiana.

2.1 Principais temas abordados na obra A coleção distribui seu conteúdo, nos quatro volumes, em temas que poderiam ser destacados como: • Números; • Álgebra; • Geometria; • Medidas; • Razões, porcentagens e proporcionalidade; • Estatística; • Funções. São desenvolvidos procedimentos relativos a cálculo mental, estimativas, argumentação e iniciação à articulação lógica e dedutiva. Os problemas estão presentes nos textos e nas seçõesexercícios, de explorando e buscando desenvolver habilidades variadas. Lembramos, no entanto, que os alunos devem ter acesso a problemas de outras fontes, principalmente os propostos a partir de situações que surjam do contexto particular a que pertencem. Acreditamos que a competência de ler, compreender, interpretar e produzir textos não se desenvolve unicamente na aprendizagem da Língua Portuguesa, mas em todos os componentes curriculares. Quem deve, preferencialmente, tratar da leitura de textos em Matemática é o professor dessa área, pois a construção das relações entre as duas linguagens diferentes – as palavras e os símbolos matemáticos – será melhor desenvolvida por ele. Lembramos novamente que todos os textos didáticos foram escritos pensando no aluno como leitor. O professor pode utilizá-los no trabalho com leitura em Matemática.

2.1.1 Números Pesquisando a História da Matemática, fizemos um levantamento sobre a história dos números, dos processos de contagem e dos sistemas de numeração criados porantigas civilizações. O volume do 6o ano retoma e aprofunda os conhecimentos sobre o sistema de numeração decimal e seus princípios. A coleção procura sempre que possível articular Números com Medidas eGeometria. 8

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No volume do 6 o ano apresentamos inicialmente os números naturais e suas aplicações. Retomamos as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão nos naturais a partir das ideias ligadas à elas, bem como os algoritmos usuais e as propriedades da adição e da multiplicação. As técnicas de cálculo mental e o uso de arredondamentos para estimar resultados são incentivados. Apresentamos a potenciação, sua notação e cálculo de

potência com base e

expoente natural. Trabalhamos em seguida com as raízes quadradas de números naturais com foco nas raízes exatas. Precedendo os estudos das frações apresentamos as relações “múltiplo de” e “divisor de”, os critérios de divisibilidade mais importantes, como facilitadores, o conceito de número primo e determinação do mmc e do mdc entre números naturais. o conjunto

Q

Não construímos

neste volume, mas o trabalho com frações é retomado e ampliado, tratando as

operações e apresentando problemas envolvendo as frações e suas aplicações.

A partir das re-

gras do Sistema de Numeração Decimal, lembramos o registro e a leitura de números decimais, bem como suas aplicações no cotidiano. As operações envolvendo números decimais são cuidadosamente trabalhadas nos textos e pretendem que o aluno entenda os algoritmos usuais, em especial nas multiplicações e divisões. No 7o ano, antes de apresentar os números negativos, relembramos os números naturais, apresentamos o conceito de fração como quociente e retomamos os números decimais, tendo também como novidade a localização de frações e de números decimais na reta numérica. A ideia de fração como quociente parte de situações que envolvem desenhos, para facilitar o entendimento dos alunos. Sugerimos apresentar vários exemplos concretos: 4 chocolates divididos entre 5 crianças, 2 pizzas divididas entre 8 pessoas etc. Optamos por apresentar os números negativos inteiros, fracionários e decimais, sem construir ainda os conjuntos

Z

e

Q.

A ideia é garantir um aprendizado mais consistente das operações e da

resolução de problemas envolvendo números negativos antes de formalizar os conjuntos numéricos. Entendemos que o aluno do 8o ano estará mais preparado para esta construção. No 8o ano, com apoio na história dos números e sua ligação com o desenvolvimento da humanidade, apresentamos os números reais a partir da construção dos conjuntos N, Z e Q, e dos números irracionais. A apresentação dos números irracionais é feita de forma cuidadosa, com textos acessíveis e com uma atividade concreta para apresentar o número (pi). Abordamos a representação na reta numérica estendendo oregistro para números reais.Num quadro, no final da Unidade 1 do 8o ano, apresentamos formalmente as propriedades dos números reais. Nesse volume, a potenciação, suas propriedades e a radiciação têm destaque, incluindo expoentes inteiros negativos, raízes com índice natural maior que 2, números quadrados perfeitos e raízes não exatas. No 9o ano, precedendo o trabalho com radicais, há a retomada da potenciação e suas propriedades, e da radiciação, apresentada agora de maneira mais formal. Dessa forma, pretende-se que, ao final do 9o ano, o aluno tenha formação adequada no campo dos números, para prosseguir seus estudos no Ensino Médio. MANUAL DO PROFESSOR

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2.1.2 Álgebra O livro do 6 o ano trabalha com a observação de regularidades e algumas generalizações. No 7o ano, esse trabalho é retomado e se inicia o estudo da Álgebra mais formalmente, introduzindo a linguagem algébrica, as equações e as inequações do 1 o grau. O maior objetivo neste volume, é mostrar as equações como ferramenta útil na representação e resolução de problemas, sem ofuscar as habilidades de cálculo mental, as resoluções por tentativas e por meio da A ritmética. Prosseguindo, no 8 o ano, o aluno trabalha com o cálculo algébrico, manipulando expressões, construindo o conceito de variável, de fórmula, de incógnita, aprendendo a utilizar corretamente conhecimentos importantes da Álgebra, como os produtos notáveis e a fatoração. Antes de apresentarmos os sistemas de equações do 1 o grau, retomamos a resolução de equações, resgatando o que foi visto no 7 o ano. No 9o ano, vêm as equações do 2 o grau, desenvolvidas por meio de textos simples, que facilitam o progresso do aluno. Optamos por apresentar as equações biquadradas, irracionais e fracionárias, uma vez que estes conteúdos serão necessários no Ensino M édio. Sabemos que a Álgebra possibilita aos alunos uma abertura para o estudo de outros ramos da Matemática, mas é preciso cuidado e calma ao introduzir sua linguagem para não causar confusões, insegurança e dificuldades. Propomos a abordagem gradual das diferentes concepções ou finalidades que se tem da Álgebra atualmente: a Álgebra como generalizadora da Aritmética; a Álgebra como estudo de processos para resolver problemas; a Álgebra como estudo da relação entre grandezas; e a Álgebra como estudo de estruturas matemáticas (manipulação de expressões). Os comentários sobre funções estão no item 2.1.7.

2.1.3 Geometria A Geometria é um tema abordado nos quatro volumes da coleção, pois seu estudo permite ao aluno desenvolver habilidades importantes para a compreensão e a representação organizada do mundo físico. Apresentamos a Geometria não apenas como conteúdo isolado, mas também como uma ferramenta que auxilia (e poderíamos até dizer, seguindo os passos da História, que fundamenta e serve como recurso didático) o desenvolvimento de conceitos da Matemática. O trabalho com Geometria está relacionado às atividades de observação e construção, valorizando sempre sua conexão com outros campos do conhecimento e com a vida prática. A importância da Geometria na História da Matemática é ressaltada em textos complementares. A demonstração de propriedades relativas à Geometria aparece inicialmente no volume do 7o ano, ao provarmos a congruência de ângulos opostos pelo vértice. Antes disso, nos valemos da experimentação constatando alguns fatos importantes por meio de atividades. Nos volumes do 8o e do 9o ano as demonstrações em Geometria são mais frequentes e têm por objetivo desenvolver o raciocínio dedutivo e a argumentação lógica. Procuramos apresentar essas demonstrações sempre respeitando o desenvolvimento cognitivo dos alunos, mas entendemos que sua presença é indispensável em um livro didático. 10

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Definições, conceitos e propriedades geométricas importantes são revisitados antes de apresentarmos novos conteúdos. Entendemos que a construção do conhecimento geométrico é acumulativa e fica facilitada se apoiarmos novos conhecimentos em conhecimentos anteriores e se articularmos, sempre que possível, Geometria com Medidas e com Álgebra. Para isso, procuramos apresentar textos acessíveis e atividades interessantes, diversificadas. Outro aspecto valorizado na obra é o uso do material de desenho. Ensinamos a usar o transferidor na Unidade 9 do 6 o ano, e, nos volumes do 7o e do 8o anos, os alunos são convidados a fazer construções com régua, compasso e transferidor em várias oportunidades. Consideramos a prática com material de desenho desejável em todos os anos.

2.1.4 Medidas As medidas fazem parte de nosso dia a dia e constituem um conhecimento necessário nas mais variadas profissões. Além de ser um tema com importância social, mostra também ao aluno, com clareza, a utilidade do conhecimento matemático em seu cotidiano. Balanças, fitas métricas, relógios e termômetros, por exemplo, envolvem situações com medidas em geral. Tais situações são a base para a criação de diversos problemas interessantes e significativos para os alunos. É importante que todos vivenciem experiências concretas com medidas. Assim como o fizemos com Geometria, o trabalho com Medidas se estende por toda a coleção, permitindo uma melhor compreensão do mundo físico e a integração com outras áreas do conhecimento. As medidas estão presentes em exemplos e atividades nos conteúdos de álgebra, de geometria, de funções, de estatística, na construção de gráficos, sempre que o contexto permite. No volume do 6o ano, trabalhamos com cuidado a construção do conceito de medida, que será revisitado e consolidado nos demais volumes. Muitas das dificuldades dos alunos no trato com medidas e conversões entre unidades vêm de um conceito de medida mal desenvolvido. Abordamos, ao longo da obra, medidas de comprimento, de massa, de tempo, de área, de volume, e, também, medidas de ângulos.

2.1.5 Razões, porcentagens e proporcionalidade As ideias e aplicações de razões, porcentagens e proporcionalidade são abordadas em unidades específicas nos volumes do 6o, 7o e 9o anos, mas nos demais volumes, estão presentes na abordagem de conteúdos e exercícios ligados à Álgebra e à Geometria. No 9o ano, retomamos a definição de razão para definir segmentos proporcionais, antes de demonstrar o teorema de Tales. A Unidade 5, no volume do 7o ano, dedica-se especificamente a razões e porcentagens. Destacamos a preocupação da coleção com o cálculo mental de porcentagens básicas e com o uso da calculadora como facilitadora no cálculo de porcentagens frequentes no dia a dia das pessoas. O desenvolvimento do raciocínio proporcional tem importância significativa no conteúdo de Matemática do Ensino Fundamental, no cotidiano e, futuramente, na vida profissional dos alunos. No volume do 9o ano, problemas mais complexos envolvendo porcentagens e noções sobre o cálculo de juros são abordados na Unidade 10, proporcionando um primeiro contato com a Matemática Financeira. MANUAL DO PROFESSOR

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2.1.6 Estatística O tema Estatística também é constante em toda a obra, devido à sua importância na sociedade atual. Gráficos, tabelas e dados estatísticos estão presentes em jornais, revistas e meios de comunicação em geral, fazendo parte do cotidiano da população. Aproveitando sempre o conhecimento prévio dos alunos, a coleção retoma e amplia conhecimentos básicos em Estatística. É importante que o aluno seja capaz de ler uma tabela, calcular médias, construir e interpretar gráficos estatísticos para saber analisar situações, fazer previsões e escolher rumos de ação. Por isso, a coleção traz, sempre que possível, atividades envolvendo a leitura de tabelas e gráficos estatísticos em todos os volumes. Dedica unidades e seções específicas para estudar e apresentar como construir os diversos tipos de gráficos: barras ou colunas, setores, gráficos de linhas e pictogramas. Esse trabalho é desenvolvido deixando sempre espaço para que o professor enriqueça suas aulas com atividades que abordem temas atuais, presentes no contexto de seus alunos. No tema Estatística, estão incluídos os problemas de contagem e noções de probabilidade, abordados gradualmente desde o 6o ano. Por meio de problemas, pretende-se desenvolver o raciocínio combinatório, a compreensão do princípio multiplicativo e ideias básicas sobre o cálculo de probabilidades que serão complementadas no Ensino Médio.

2.1.7 Funções Desde o 7o ano e de forma mais específica a partir do 8o ano, trabalhamos com a observação e generalização de padrões, a relação de interdependência entre grandezas, o reconhecimento e uso de variáveis, a escrita e a aplicação de fórmulas para representar algebricamente a relação entre variáveis. O conceito de função, preparado desde os anos anteriores, surge com mais facilidade e é desenvolvido com o título “Funçõ es” no volume referente ao 9 o ano. Procuramos torná-lo menos formal, uma vez que o estudo desse conteúdo é retomado e aprofundado no

Ensino Médio. Na

Unidade 4, definimos função, damos noções sobre domínio e imagem, representamos funções por meio de diagramas de flechas. Em seguida, o aluno trabalhará com gráficos e lei de formação, terá um primeiro contato com as funções do 1

o

e do 2 o graus e com o tipo de gráfico que as

representam. Observará a simetria nas parábolas e o ponto de vértice, sem, contudo, aprofundar o estudo destas funções, pois isso será feito de forma mais completa, provavelmente, no 1

o

ano

do Ensino M édio. A ênfase está em saber reconhecer uma função, identificar e interpretar suas variáveis e utilizar suas formas de representação – tabela de valores, lei de formação e gráfico –, para obter informações sobre o comportamento das grandezas envolvidas na função. É sempre desejável que o professor busque situações existentes no contexto de seus alunos, mostrando aplicações práticas para o estudo de funções. 12

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3. Ideias sobre a avaliação em Matemática Entendemos a avaliação como parte integrante do processo de ensino-aprendizagem, cujo objetivo não é somente verificar (por meio de uma medição) a quantidade de informações “retidas” pelo aluno ao longo de um determinado período. O conhecimento é construção humana e social, e nosso “saber” não é construído de um dia para o outro, de uma situação para a outra, do “não saber” ao “saber tudo”. Cada indivíduo trabalha e reelabora, de forma particular, as informações recebidas, daí a necessidade de se considerar, na avaliação, não somente o produto, mas principalmente o processo. A avaliação deve servir como um instrumento de acompanhamento e regulação do ensinar-aprender, oferecendo elementos para uma revisão de postura de todos os componentes desse processo (aluno, professor, conteúdo, metodologia e instrumentos de avaliação), ou seja, um diagnóstico que permita tomar as ações necessárias para corrigir rumos, renovando sempre o compromisso com a aprendizagem. Dessa forma, restringir a avaliação a um conceito obtido em uma prova não retrata com fidelidade o aproveitamento obtido. Somente a consideração conjunta do produto final e dos processos que levaram a ele nos permite estabelecer interpretações significativas. A avaliação será, nessa perspectiva, de grande valia para a continuidade e revisão de seu trabalho, indicando os pontos que não estão bem claros para os alunos e que, por isso, deverão ser trabalhados com mais intensidade. Para o aluno, esse será um momento de grande significação, situando-o em relação a seus progressos. Portanto, é necessário considerar a avaliação como um recurso a serviço do desenvolvimento do aluno, que o leve a assumir um compromisso com a própria aprendizagem. Durante o desenvolvimento de um conteúdo, deve-se observar nos alunos aspectos como: desenvolvimento da autonomia intelectual, criatividade na busca de soluções, habilidade de comunicação oral e escrita, posturas de relacionamento e capacidade de interpretação e de argumentação. Na elaboração de instrumentos mais formais, como provas, é importante considerar que a resolução de uma questão não deve ter como objetivo uma pontuação em si. Ela serve para revelar se habilidades e competências envolvidas foram ou não adquiridas. Na totalidade das questões, não se deve considerar uma soma de pontos, e sim um conjunto de habilidades e competências adquiridas, e outras que necessitam ser mais trabalhadas. Nesta coleção, oManual do Professor traz sugestões de instrumentos diversificados para a avaliação – incluindo fichas de acompanhamento –, contemplando atividades

m e g a Im r a ri C / o tt e r o v a F o d n a n r e F

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individuais e em pequenos grupos, feitas com ou sem consulta ao material didático, e atividades com participação oral ou escrita, realizadas em classe ou em casa. Esperamos que as sugestões possam ser aproveitadas ou adaptadas para atender às suas necessidades. Como leitura complementar, sugere-se a edição especial doBoletim de Educação Matemática – BOLEMA –, cujo tema é a Avaliação em Educação Matemática. Esta edição especial, a de número 33, volume 22, de agosto de 2009, está integral e gratuitamente disponível em: . Acesso em: mar. 2012.

3.1 Sobre o erro Sempre falamos sobre a importância de considerar os erros que os alunos cometem como uma estratégia de aprendizagem. O excerto abaixo, de autoria de um grupo de professoras da Universidade do Vale do Rio dos Sinos (Unisinos), reitera essa disposição de ver nos erros a possibilidade de perceber como o estudante está procedendo, e, com isso, criar alternativas para orientá-lo.

“[...] A importância que se dá ao erro é uma questão fundamental no processo avaliativo. O erro representa, entre outras manifestações do aluno, indícios do seu processo de construção de conhecimentos. Pode indicar caminhos diferentes daqueles que o professor espera. O professor ou a professora, frente ao erro, pode compreender esse novo trajeto seguido pelo aluno, valorizando a sua produção e buscando converter ‘onão saber, estático, negativo e definitivo, em ainda não saber, provisório, relativo e potencial’ (ESTEBAN, 2001, p. 23). A autora considera excludente a dicotomia entre o acerto e o erro, tornando a avaliação escolar uma prática que desvaloriza os saberes, impede o diálogo, funcionando como instrumento de controle e de limitação das atuações, tanto de alunos como de professores e professoras, no contexto escolar.Ela também destaca que aquilo que dizemos sobre o nosso aluno é apenas uma parte do que pode ser dito, ou seja, é apenas o que nós vimos. Também os PCNs trazem considerações acerca do erro, das quais destacamos: [...] se todos os erros forem tratados da mesma maneira, assinalando-se os erros e explicando-se novamente, poderá ser útil para alguns alunos, se a explicação for suficiente para esclarecer algum tipo particular de dúvida, mas é bem provável que outros continuarão sem compreender e sem condições de reverter a situação (1997, p. 59).

Assim, ao avaliar uma situação, o professor ou a professora não apenas constata e pontua determinada dificuldade do aluno. O professor ou a professora também deci de que tipos de encaminhamentos e intervenções deve inserir em sua prática pedagógica para que o aluno supere a sua dificuldade inicial. Nesse caso, o professor ou a professora considera não apenas o que o aluno foi capaz de fazer, mas também aquilo que ele já sabe fazer, para, a partir disso, planejar as atividades seguintes. 14

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Reportamo-nos agora a algumas questões colocadas no Fascículo I [...] sobre números naturais. Está proposto, ao final dos episódios (trabalho do primeiro encontro), como tarefa, que sejam analisados os trabalhos de Alice, Juliana e Mariana. Quando é perguntado: O que ela acerta? O que ela erra?, tais questões estão sugerindo uma atenção sobre o que o aluno revela saber no processo que ele construiu e que talvez não tenha manifestado para chegar até sua resposta. No caso de Juliana, poderíamos refletir sobre a possibilidade de outra explicação para o registro que ela fez do número 21.A partir da manifestação do aluno, é possível acompanhar seu processo de construção da notação do número e interferir, se for o caso, mas a partir do que ele está compreendendo dessa representação. Em muitas situações-problema em Matemática, não há um padrão de resposta.Pode acontecer que o resultado numérico sejaum, mas o processo de resolução atéchegar a esse resultado seja construído de diversas maneiras, manifestando acompreensão que o aluno teve da situação-problema. A observação atenta a esses diferentes caminhos traçados pelos alunos compõe, entre outras formas e instrumentos utilizados, oprocesso de avaliação da aprendizagem. [...]” CHAMORRO, C. C. W.; GUÉRIOS, E.; MÄDCHE, F. C.; SILVA, J. A. da; FISCHER, M. C. B.; ENRICONI, M. H. S.; BALDISSERA, M. J. S.; WOLFF, R. Fascículo 8. Pró-letramento (Matemática). Brasília: MEC, 2008. p. 9-10.

3.2 Sobre a utilização de portfólios A avaliação é um dos componentes do Projeto Pedagógico de uma escola e pode estar dirigida para várias frentes: a avaliação do aluno, a avaliação do professor, a avaliação da instituição etc., além de poder ser efetivada usando, para isso, vários instrumentos. O texto a seguir, que deixamos como sugestão de leitura, reforça essas disposições e apresenta, com maior detalhamento, o portfólio, um desses instrumentos que pode nos auxiliar na complexa atividade da avaliação.

Identidade da escola “Toda escola situa-se em um sistema de ensino e tem sua identidade expressa no Projeto Político-Pedagógico (PPP). O PPP é elaborado pela comunidade escolar a partir da realidade da escola e da legislação e é constituído por marcos de referência, pelos planos de estudo e pelo regimento escolar. No dizer de Veiga (1997, p.16), o Projeto Político-Pedagógico, como organização do trabalho da escola como um todo, está fundado nos princípios que deverão nortear a escola. Os marcos de referência doPPP explicitam, entre outros, as concepções de mundo, de sociedade, de ser humano, de educação, de aprendizagem, de avaliação. Essas concepções precisam ser evidenciadas no cotidiano da escola, nas suas ações e decisões administrativas e pedagógicas. É claro que as evidências não ocorrem de maneira linear, como estamos abordando. A realidade é complexa e as contradições também se fazem presentes no mundo da escola. Mas, na prática, sempre há referências que balizam nossas ações. Precisamos nos perguntar para que e para quem estamos fazendo nossa atividade pedagógica. MANUAL DO PROFESSOR

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O Plano de Estudos, outro integrante do PPP, contém os conteúdos básicos a serem abordados, além de objetivos e metodologia de ensino e de avaliação. Esses Planos de Estudos também devem estar encharcados da realidade dos alunos e dos professores. Fiss e Caldieraro (2000) situam os Planos de Estudos como elemento ordenador, do ponto de vista pedagógico, do currículo escolar como a expressão concreta do PPP. Outro componente doPPP é o Regimento Escolar, que reúne as normas que regem a escola. Dentre as normas do Regimento, podemos destacar as de convivência e as da avaliação da aprendizagem dos alunos. Como se pode constatar, a prática pedagógica do professor ou da professora está em sintonia com os princípios orientadores da escola com o seu Regimento Escolar. Neste contexto pedagógico situa-se a avaliação da aprendizagem do aluno, que oferece dados para o professor ou a professora tomar decisões tanto pedagógicas quanto administrativas. Sim, essas decisões podem ter finalidade pedagógica ou administrativa, dependendo do objetivo dessa avaliação.

A avaliação da aprendizagem Como avaliamos nosso aluno em seu processo de aprendizagem, na escola? Em que momento(s)?Através de uma mera conferência deresultados?Ou, quem sabe, a partir de observações quanto a aspectos atitudinais do aluno? No que estas práticas contribuem paraa aprendizagem do aluno e, consequentemente, para o trabalho pedagógico do professor e da professora? Sustentadas nestas angústias e reflexões, percebemos uma necessidade de mudança de olhar em relação à avaliação. Precisamos repensar a avaliação como uma ação compreensiva e mediadora da trajetória do aluno, presente em toda prática pedagógica, e não como uma ação esporádica que seleciona os que sabem. A avaliação deve ter sempre a preocupação com a aprendizagem dos alunos. Uma avaliação com essa finalidade tem sido referida por diversos autores como uma avaliação formativa que, nas palavras dePerrenoud (1999), é uma avaliação ‘que ajuda o aluno aaprender e o professor a ensinar’ (p. 173).Descreve a ideia-base desta avaliação, em queo indivíduo aprenderá melhor ‘se o seu meio envolvente for capaz de lhedar respostas e regulações sob diversas formas: identificação dos erros, sugestões e contrassugestões, explicações complementares, revisão das noções de base, trabalho sobre o sentido da tarefa oua autoconfiança’ P( ERRENOUD, 1999, p.173). A avaliação só tem sentido se estiver contribuindo para melhorar a aprendizagem em curso, se puder informar o professor ou a professora sobre as condições em que se dá essa aprendizagem e o aluno sobre seu próprio percurso.Essa modalidade de avaliação, identificada por muitos autores como uma avaliação formativa, destaca-se por uma característica essencial, ausente na função somativa, que é a de realizar-se de forma contínua, integrada na ação de formação e incorporada no próprio ato de ensino. [...]

1. Vamos falar de portfólios Se você olhar em um dicionário, vai ler que portfólio vem de porta-fólio, que significa pasta ou álbum para guardar papéis. É fácil, portanto, fazer uma comparação para você entender facilmente o que é um portfólio: pode ser comparado com uma pasta em que você guarda seus documentos de modo organizado. 16

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O portfólio tem sido utilizado em muitos ramos da vida cotidiana como meio de divulgação e de propaganda. Se você entrar num site de busca na internet e solicitar o termo “portfólio”, observará centenas de exemplos de empresas, escolas e tantos outros ramos divulgando seus produtos e serviços por meio de portfólios. Por que utilizam portfólios? Porque permitem às pessoas visualizar de modo integral, ao mesmo tempo em que permitem a observação detalhada de tópicos específicos no conjunto de produtos que estão veiculando. A pergunta que fazemos é: Onde está o valor pedagógico de um portfólio? Um portfólio permite a você organizar as atividades de seus alunos. Qual é a relação disto com o portfólio como instrumento de avaliação? É o que ele permite ao leitor ver. E quem é o professor ou a professora, senão um leitor do desenvolvimento do aluno? Observe que o princípio é o mesmo. Com as atividades de seus alunos organizadas, você pode acompanhar o desenvolvimento de cada um deles de modo sistemático e contínuo.

Portfólios nos anos iniciais A utilização de portfólios não é uma inovação, pois já é um hábito de muitos professores e professoras. A inovação reside no modo de utilização dos mesmos. Um portfólio bem organizado permite ao professor ou à professora acompanhar o aluno em seu processo de aprendizagem. Com ele, você pode acompanhar e identificar os registros e acertos de seus alunos, assim como problemas de aprendizagem durante o seu ensinamento, pois os erros ficam evidenciados, ficam visíveis. Além disso, você pode “estudar” os erros e perceber as dificuldades apresentadas. Perceber erros quando ocorrem – e não depois que são consolidados e observados numa avaliação formal – possibilita que você realimente seus modos de ensinar, readequando seu planejamento e percebendo onde está o problema. Você pode ter o portfólio de cada aluno e pode também ter o seu portfólio. Nos de seus alunos, estarão organizadas as atividades que ELES fazem, as lições DELES, as produções DELES, os registros que ELES fazem etc. No SEU, você pode organizar SEUS registros, SUAS observações, SUAS impressões, SEUS relatos. No SEU, vão constar as observações que VOCÊ faz das atividades DELES. Os alunos gostam de construir seus portfólios e, normalmente, são seus parceiros nisso. Para eles, é como se fosse um de seus álbuns de figurinhas, de papel de carta ou do que quer que seja. Além disso, há uma significativa contribuição que é a de possibilitar que cada criança seja produtora de seu próprio conhecimento. Criança produtora! Nada mais profícuo para você atingir o anseio pedagógico de ter a criança como produtora e não apenas como receptora de conhecimentos lhecoletânea são transmitidos na como escola.produção. Temos, então, duas dimensões em sua utilização: portfólioque como e portfólio Se você escutar que há também processofólio e que este é diferente de portfólio, é porque alguns entendem que no portfólio são armazenadas atividades concluídas dos alunos – uma sucessão de atividades já desenvolvidas, ou a última versão das diferentes atividades propostas – e no processofólio vai-se armazenando todas as etapas que vão sendo desenvolvidas. [...]

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No portfólio estaria armazenado o produto final das atividades. No processofólio estariam sendo armazenadas as tentativas para chegar ao final da atividade. Este exemplo esclarece sobre a diferença entre os dois termos. Nós estaremos utilizando apenas o termo portfólio por entendermos que engloba o outro. Fica a critério do professor ou da professora a construção de portfólios que contemplam atividades processuais ou não. Adiantamos que as atividades processuais se constituem em uma grande fonte de informações que os alunos nos dão sobre o desenvolvimento de seu pensamento, assim como sobre suas estratégias para compreender Matemática. E a avaliação formal que a escola exige que façamos, como se dá, nesse caso? Como o objeto da avaliação em Matemática não é apenas a nota – avaliação final – deve-se avaliar o processo dos alunos no desenvolvimento de suas atividades. É esta avaliação de processo que permite saber se o aluno compreendeu ou, em outras palavras, se construiu ideias matemáticas, se os seus erros refletem dificuldades parciais ou se não passam de distração. Cumpre reforçar que a avaliação está, necessariamente, atrelada aos objetivos que se tem ao ensinar e as atividades propostas vão ao encontro desses objetivos. Portanto, ao avaliarmos o desenvolvimento dos alunos ao realizarem atividades programadas, devemos nos reportar aos objetivos tidos ao iniciá-las e às possíveis mudanças de rumo que tiverem ocorrido. [...]

2. Vamos falar de registros É comum falar-se de registros queprofessores ou professorasfazem. Aqui, vamos ver possibilidades de avaliar a aprendizagem dos alunos por meio dos registros queOS ALUNOS fazem. O que são registros? São modos como os alunos expressam o movimento da aprendizagem. Os alunos constroem conhecimentos matemáticos ao desenvolverem atividades. Enquanto falam, desenham e escrevem, eles estão expressando ideias, refletindo sobre suas próprias palavras e as dos colegas, estabelecendo relações. Podemos utilizar os registros orais, os pictóricos e os escritos. Para estudar sobre registros no processo de avaliação de aprendizagem, construa um portfólio. [...]

O registro oral possibilita a você compreender como o aluno está desenvolvendo seu pensamento e que estratégias está elaborando na resolução de uma situação matemática. O registro oral como possibilidade avaliativa transcende o diálogo natural de sala de aula. Torna-se possibilidade avaliativa quando você observa intencionalmente esta fala. Em outras palavras, quando você está prestando atenção, analisa a manifestação oral de seu aluno, faz SEUS REGISTROS (para, por exemplo, anexar a seu portfólio), e acompanha a evolução das ideias manifestadas por eles. O registro oral permite que você “entenda” o que seu aluno está pensando. Ao entender, muitas vezes, você observa que o aluno resolveu uma situação matemática de outro modo que o esperado por você, porque ele disse como fez.Permite também observar que errou, mas que este erro não evidencia o desconhecimento do todo em relação ao conteúdo em estudo. [...]

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Por meio da análise do conteúdo dos portfólios de seus alunos e das observações do seu, imagine que você vai escrever uma carta para a professora que vai substituí-lo durante um mês em sua sala de aula. Nesta carta, você precisa elaborar um parecer sobre sua sala de aula, sobre os conteúdos que ministrou e o que ela ministrará. Você exemplificará seus argumentos com os dados e reflexões de cinco alunos. É senso comum que o professor ou professora deve refletir sobre sua prática.Ninguém duvida dessa afirmação. No entanto, a reflexão pela reflexão pode não levar a um resultado profícuo. Freitas (2002, p. 03) relata em suas pesquisas que: em algumas situações essa reflexão é desencadeada a partir de um acontecimento específico ocorrido em determinado momento e que exige do professor reorganizar a sua ação naquele exato momento. [...] De outra forma, que pareceu não ser comum, foi possível perceber que esta ‘reflexão na ação’ enquanto intenção deliberada de uma professora em estar atenta durante todo o tempo do trabalho para elementos que lhes permitam repensá-lo na direção de uma maior aprendizagem dos alunos.

Tal afirmação parece validar a contribuição de portfólios como instrumentos de avaliação. Registros, em suas diferentes naturezas, permitem a observação de etapas de aprendizagem e o desvelamento do pensamento dos alunos.” CHAMORRO, C. C. W; GUÉRIOS, E.; MÄDCHE, F.C.; SILVA, J. A. da; FISCHER, M. C. B.; ENRICONI, M. H. S.; BALDISSERA, M. J. S.; WOLFF, R. Fascículo 8. Pró-letramento (Matemática). Brasília: MEC, 2008. p. 11-12 e 21-22, 24-25, 29-30.

4. Textos de ap oio sobre educação e práticas metodológicas 4.1 Como ensinar Matemática? Essa questão preocupa e ocupa a mente dos professores deMatemática. A seguir levantamos alguns pontos e apresentamos sugestões sobre a postura e a prática docente. A inspiração do texto vem de um artigo escrito por George Polya, intitulado “Dez mandamentos para professores”. O artigo é dirigido a professores de Matemática, mas sua essência pode ser aproveitada para professores de todas as disciplinas.

• Demonstre interesse e tenha domínio sobre sua aula Sem motivação, ninguém é capaz de motivar os alunos para o aprendizado. Se você mostrar que não gosta de um assunto, dificilmente fará com que seu aluno se interesse por ele. Mostre ao aluno os encantos daMatemática e seu entusiasmo por eles. Junto com a motivação para ensinar, deve vir, é claro, o preparo teórico.Elabore seu plano de aula com cuidado de forma que o aluno perceba consistência em seu trabalho. Você precisa mostrar-se seguro para gerar confiança nos estudantes. MANUAL DO PROFESSOR

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• Estabeleça contato com seus alunos Procure “enxergar” o conteúdo a ser ensinado sob o ponto de vista do aluno, interagindo com ele em sala de aula, atendendo às suas expectativas e sendo sensível às suas dificuldades. • Adquira e use sua experiência A experiência prática – vivência de sala de aula – é condição básica para melhorar a prática docente. Se você é muito jovem, ouça seus colegas de profissão mais experientes. Lembre-se de quando você mesmo era estudante e das qualidades dos mestres que mais influenciaram sua vida escolar. Se já é professor há tempos, passe aos mais jovens suas vivências e aproveite para aprender também com eles. • Corrija os erros por meio da valorização dos acertos O aluno que escuta sem parar “Isto está errado”, provavelmente passará a detestar a Matemática e, consequentemente, o professor da disciplina. É difícil quebrar esse bloqueio e ter sucesso com alunos que passaram por essa experiência. Os estudantes não devem ter medo de experimentar, conjecturar e testar, mesmo que isso leve a um erro inicial. Localizar e compreender o motivo do erro muitas vezes ajuda a compreensão. A sugestão é valorizar o que foi feito corretamente, deixando que o aluno descubra seu próprio erro e aprenda com ele. Algo como: “Você começou bem, esta parte está correta, mas, acompanhe comigo: o que você observa nesta etapa da resolução? Será que juntos podemos chegar à resposta correta?”. • Ajude na medida certa e permita que seus alunos “aprendam a aprender” Ajude seusque alunos. Que da nãoresolução seja muito senão não haverá progresso. Quedeve nãoser seja demais, para o mérito sejapouco, dele. George Polya diz que o professor “uma espécie de parteira espiritual”, que dá a oportunidade ao aluno de descobrir coisas, fazer conjecturas e construir seu conhecimento. Você deve dar ao aluno não apenas informações, mas, principalmente, deve desenvolver nele atitudes que permitam a continuidade de seu aprendizado pelo resto da vida, gerando o gosto pela investigação, a criação de hábitos de estudo, a autoconfiança e a disciplina. George Polya acrescenta: “A maneira como você ensina pode ser mais importante nas aulas de Matemática do que aquilo que você ensina”.

George Polya (1887-1985) nasceu em Budapeste, Hungria. Foi professor em Zurique durante 26 anos e depois em Stanford, Estados Unidos, onde se aposentou em A arteo de resolver problemas é uma referência para os professores de 1953. Seu livro Matemática de todo mundo.

O artigo de George Polya a que nos referimos pode ser lido na íntegra na Revista do Professor de Matemática, n. 10, 1987.

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4.2 Matemática e resolução de problemas A resolução de problemas não é de domínio exclusivo da Matemática. Lidamos com problemas pessoais, profissionais e sociais todo o tempo: decidir os componentes de um cardápio, optar por um produto no supermercado, financiar um automóvel e escolher um candidato em quem votar são exemplos de situações-problema presentes no cotidiano. Podemos dizer que resolver problemas é inerente ao ser humano e, portanto, desenvolver capacidades nessa área é fundamental para todos. Consideramos que a capacidade de resolver problemas implica ser capaz de mobilizar conhecimentos, organizá-los, planejar estratégias de resolução, executá-las e verificar se a solução é adequada. Dentre as diversas ciências, a Matemática, por sua estrutura e características, é a que mais propicia o desenvolvimento da capacidade de resolver alguns tipos de problemas nos estudantes. Os problemas, tanto práticos como teóricos, permeiam por completo a Matemática, o que permite gerar, desenvolver e exercitar habilidades na resolução de problemas. Muitas pessoas, na vida adulta, podem não lembrar como utilizar uma propriedade específica descoberta em Geometria ou o processo de resolução de uma equação do 2 o grau aprendido em seus tempos de adolescente. No entanto, o aprendizado em Matemática contribui (ou deve contribuir) para que o indivíduo desenvolva estruturas de pensamento que lhe permitam, na vida adulta, resolver situações diversas. Por essa razão, você deve aplicar-se na tarefa de fazer com que seus alunos tornem-se capazes de resolver problemas. O processo é longo, requer paciência e preparo, pois certamente deve estender-se por todos os anos do Ensino Fundamental e Médio. A resolução de problemas envolve operações mentais. Algumas delas são mais frequentes e típicas desse processo. Estudiosos como George Polya e Wayne Wickelgren buscaram entender melhor essas operações e apresentaram sugestões ou estratégias que podem ajudar os estudantes (e nós, professores) a melhorar suas habilidades na resolução de problemas. Veja-as de forma simplificada:

Passo 1: Analisar e entender o problema Estratégias: • Identificar e escrever dados: o que se tem, o que se quer descobrir. Desenhar esquemas, diagramas e tabelas que ajudem a representar a situação. • Examinar casos particulares que exemplifiquem o problema. Passo 2: Imaginar e planejar a resolução Estratégias: • Planejar a resolução passo a passo, hierarquicamente, sendo capaz de explicar, em qualquer momento da resolução, o que está fazendo e por quê. • Mobilizar conhecimentos, conjecturar, avaliar estratégias, estimar a solução. • Tentar encontrar um problema de forma, dados ou conclusões similares com menor complexidade. • Decompor o problema, trabalhando nele parte por parte. • Explorar o papel de uma variável ou condicionante, deixando o resto fixo. MANUAL DO PROFESSOR

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• Procurar reformular o problema: a) mudando a perspectiva de leitura ou a forma de notação; b) usando a argumentação por contradição; c) assumindo uma solução particular e descobrindo que características essa solução possui.

Passo 3: Implementar a estratégia e chegar à solução Passo 4: Fazer um retrospecto da resolução, avaliando o caminho escolhido e a possibilidade de usar outra estratégia. Verificar se a resposta se ajusta ao contexto do problema. Você pode ajudar o aluno em todos os passos, mediando as ações, por meio de perguntas como: “O que “Quais queremos ou mostrar nessavocê situação?”, “Quais as informações de que dispomos?”, delasdescobrir são relevantes?”, “Como sugere que encaminhemos a solução?”, “Que conhecimentos utilizaremos nessa estratégia?”, “Alguém tem outras propostas?”, “A resposta que encontramos satisfaz o problema?”. Essas orientações podem parecer óbvias, triviais e já devem fazer parte de sua prática em sala de aula. No entanto, a simplicidade não lhes tira a importância. Seu trabalho constante é crucial para que o aluno adquira o hábito do pensamento metódico, que lhe será valioso, seja qual for seu campo de atuação no futuro.

“A Matemática não é um esporte para expectadores... Não existe método de ensino que seja indiscutivelmente o melhor, como não existe a melhor interpretação de uma sonata de Beethoven. E a primeiríssima coisa, quando se trata de ajudar o aluno, é não ajudá-lo demais.” George Polya

4.2.1 Os vários tipos de problema: uma possível classificação No livro A resolução de problemas na Matemática escolar (veja referência no final do texto) há um artigo escrito por Thomas Butts, da Case Western Reserve University, situada em Cleveland, EUA. Embora escrito com foco no sistema escolar norte-americano, o autor traz uma proposta interessante de classificação de problemas que resumiremos aqui. São ideias que podem ajudá-lo a organizar melhor, e a diversificar, as atividades propostas em aula e nas avaliações. Butts separa os problemas matemáticos em cinco tipos: 1. exercícios de reconhecimento; 2. exercícios algorítmicos; 3. problemas de aplicação; 4. problemas de pesquisa aberta; 5. situações-problema. Acompanhe a descrição de cada tipo, com exemplos adequados a nosso sistema educacional. 22

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1. Exercícios de reconhecimento Como o nome já diz, têm por objetivo verificar um conceito, uma propriedade. O autor recomenda que se use nesse tipo de exercício enunciados como “Dê um exemplo”. Questões da forma “Verdadeiro ou Falso” também são eficientes. Exemplos: a) Quais das seguintes equações são do 2o grau? • 2x  5  0 • x2  x4 18  • 3x 2  5x  2 Etc. b) Verdadeiro ou falso? • Todo paralelogramo é um retângulo. • O quadrado é um paralelogramo. Etc. c) Dê exemplo de um número racional compreendido entre 2,13 e 2,14. 2. Exercícios algorítmicos Verificam a habilidade no uso de algoritmos, procedimentos algébricos e técnicas. Exemplos: a) Calcule 15  2(141 : 3  7). b) Coloque o fator comum em evidência na expressão 6ay  2az. Esses exercícios são importantes para que o aluno adquira mais agilidade no uso das ferramentas de cálculo. No entanto, devem ser dosados, de forma a não desmotivar os alunos, e apresentados, sempre que possível, de forma criativa. O autor do texto coloca muito bem esta questão: ”A habilidade para fazer cálculos, em seu sentido mais amplo, requer exercício e prática. O desafio é torná-la interessante”. Os quadrados mágicos seriam um bom exemplo de exercício de cálculo. 3

10

86 7

2

5

10

4

37

9

8

5

6 11

9

4

A inversão de sentido também é uma estratégia: “Desenhe dois retângulos diferentes que tenham área 24 cm2”, por exemplo.

3. Problemas de aplicação São os que envolvem leitura e interpretação de dados, tradução do problema para a linguagem matemática e aplicação de procedimentos e algoritmos que levem à solução. Os problemas contextualizados são importantes nessa categoria. O autor lembra que a contextualização deve ser feita com cuidado para não criar situações artificiais. A sugestão é criar problemas com base no contexto dos próprios alunos. MANUAL DO PROFESSOR

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Exemplos:

a) (CEETPS-SP) Uma empresa operadora de telefones oferece dois planos, A e B, de acordo com a tabela:

Plano

Assinatura mensal (R$)

Ligações locais (R$/minuto)

A

37,24

0,42

B

pré-pago

1,40

Após quantos minutos de ligação o valor a pagar é o mesmo nos dois planos?

b) (CEETPS-SP) A medida da diagonal da tela de uma televisão determina as polegadas da TV. Uma televisão cuja tela mede 30 cm  40 cm possui: • 16 polegadas. • 20 polegadas. • 18 polegadas. • 29 polegadas. Lembrete: 1 polegada 2,5 cm 

4. Problemas de pesquisa aberta De acordo com o artigo, a função mais importante dos problemas de pesquisa aberta é incentivar a habilidade de conjectura. Em geral, o enunciado desses problemas envolve comandos do tipo: “Descubra quais”, “Mostre que”, “Encontre os valores possíveis”. Exemplos:

a) Existe um triângulo que tenha: • dois ângulos retos? • dois ângulos obtusos? • um ângulo reto e um obtuso? Justifique suas respostas. b) Descubra dois números irracionais tais que seu produto seja um número racional.

5. Situações-problema Não são problemas propriamente ditos, mas situações mais amplas, que devem ser analisadas e enfrentadas, buscando uma solução ou rumos de encaminhamento. Exemplo: Num terreno retangular, de 15 m de frente e 30 m de fundos, pretende-se construir uma casa térrea que será habitada por uma família com 4 pessoas: casal e dois filhos adolescentes. Junte-se a um colega para desenhar uma sugestão de planta baixa para essa construção. Vocês serão os arquitetos. Fiquem atentos às observações a seguir: 24

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• Pesquisem a porcentagem de terreno que pode ser ocupada e os recuos exigidos por lei. • A casa deve ter sala, cozinha, 3 quartos com banheiro, lavabo, escritório, varanda e garagem para dois carros. • A cozinha e os quartos não devem ter porta de comunicação direta com a sala. Repare que a proposta envolve várias questões, imbricadas todas na situação srcinal. Fonte de pesquisa: KRULIK, Stephen; REYS, Robert E. (Orgs.). A resolução de problemas na Matemática escolar. São Paulo: Atual, 1997.

4.2.2 Dois tempos e modos de ensinar a Aritmética O artigo a seguir, publicado naRevista História & Educação Matemática, de autoria da professora Maria Laura Magalhães Gomes, aborda o ensino da operação de adição em períodos e contextos históricos diferentes por dois autores de livros didáticos. Consideramos o texto interessante para mostrar que a forma de ensinar Matemática se modifica ao longo do tempo. Se nossos avós aprenderam muitas das coisas que aprendemos hoje, eles podem ter aprendido essas coisas de modo diferente... “O objetivo deste artigo é analisar dois excertos de obras do passado escritas com o propósito de ensinar aritmética. Fazemos uma primeira leitura comparativa desses textos, do ponto de vista do conteúdo matemático que abordam, sem levar em consideração quem os escreveu, a quem se destinavam, em que lugar e condições históricas foram produzidos. Em seguida, identificando todos esses aspectos, realizamos uma leitura contextualizada dos mesmos escritos para compreender suas características de maneira mais profunda e completa.

Dois modos Os trechos que se vão ler a seguirreproduzem a introdução da operação de adição de números naturais em dois livros-texto de aritmética escritos por autores de períodos históricos diferentes.

Primeiro Autor: Para compreender a segunda operação, a adição, é necessário saber que ela é a união de vários números, pelo menos de dois, de modo que possamos conhecer a soma resultante desse acréscimo. Deve também ser entendido que na operação de adição, pelo menos dois números são necessários, a saber, o número ao qual adicionamos o outro, que deve ser o maior, e o número a ser adicionado, que deve ser o menor. Assim, sempre adicionamos o menor número ao maior, o que é um plano mais conveniente do que seguir a ordem contrária, embora esta última seja possível, sendo o resultado o mesmo em qualquer caso. Por exemplo, se adicionarmos 2 a 8, a soma é 10, e o mesmo resultado é obtido somando 8 a 2. Portanto, se desejamos somar um número a outro, escrevemos o maior em cima e o menor embaixo, colocando os algarismos na ordem conveniente, isto é, as unidades sob as unidades, dezenas sob dezenas, centenas sob centenas etc. Sempre começamos a somar com a ordem mais baixa, a qual é de menor valor. Assim, se queremos somar 38 a 59, escrevemos os números assim: 5 9 

Soma

3 8 9 7

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Dizemos então: ‘8 e 9 fazem 17’, escrevendo 7 na coluna que foi somada, e carregando o 1 (pois quando há dois algarismos em um lugar, sempre escrevemos o de ordem mais baixa e carregamos o outro para o lugar seguinte de ordem mais alta). Este 1 nós agora somamos a 3, fazendo 4, e este a 5, fazendo 9, que é escrito na coluna da qual veio. Os dois números juntos fazem 97. Segundo Autor:

...suponha que você conheça dois números, e deseje ou tenha necessidade de ter a sua soma, de conhecer o número que se pode formar juntando um ao outro – o número total de coisas que você sabe existir de uma vez, primeiro em um desses números, em seguida no outro desses números. Suponha, por exemplo, que você tenha 13 coisas em um lugar, e 26 em um outro, e que queira saber quantas tem ao todo, e, para isso, tomar a soma desses dois números, juntar 26 e 13. Você vê, à primeira olhadela, que 13 é 1 dezena e 3 unidades: que 26 é 2 dezenas e 6 unidades; você sabe que 3 unidades e 6 unidades são 9 unidades; que 1 dezena e 2 dezenas são 3 dezenas; os dois números encerram, portanto, 9 unidades e 3 dezenas; sua soma é, pois, 39. Quaisquer que sejam os doi s números, você pode usar o mesmo meio, e conhecendo a soma das unidades, das dezenas, das centenas que os dois números contêm, você conhecerá sua soma. Suponha, por exemplo, que você queira juntar 1 35 a 643, ou 2 345 a 3 621. Você verá que os dois primeiros números reunidos encerram oito unidades, sete dezenas e sete centenas; sua soma será 778. Você verá que os dois segundos números reunidos contêm seis unidades, seis dezenas, nove centenas e cinco milhares; sua soma será, portanto, 5 966. Se juntasse assim, um ao outro, números compostos de um número maior de algarismos, você perceberia logo que a necessidade de conser var na memória a soma das unidades, das dezenas, das centenas quando tiver chegado aos milhares, por exemplo, exige uma atenção fatigante, e que se ela lhe faltar, você será obrigado a recomeçar a operação. Mas para fazê-la mais facilmente, você só tem que escrever um sob o outro os números que quer juntar, colocando as unidades embaixo das un idades, as dezenas embaixo das dezenas, as centenas em baixo das centenas. Você dirá em seguida: 5 e 3 são oito, escrevo 8; 3 e 4 são 7, escrevo 7; 1 e 6 são 7, escrevo 7; a soma é, então, 778. 135 mais 643 igualam 778. Da mesma forma, você dirá: 5 e 1 são 6, escrevo 6; 4 e 2 são 6, escrevo 6; 3 e 6 são 9, escrevo 9; 2 e 3 são 5, escrevo 5. A soma é, portanto, 5 966; 2 345 mais 3 621 igualam 5 966. Fórmula da operação

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

1 3 5 6 4 3



2 3 4 5 3 6 2 1



7 7 8



5966

Uma leitura comparativa Podemos observar que ambos os autores focalizam o mesmo algoritmo da adição de dois números – aquele que é ensinado na escola básica até os dias de hoje. O que podemos notar nos dois textos, além do fato de o segundo ser mais extenso que o primeiro? Certamente percebemos logo que o Primeiro Autor aborda mais diretamente o tema, nomeando imediatamente uma operação a ser ensinada, a adição, sem referir-se a qualquer motivação para efetuar essa operação. O Segundo Autor, por sua vez, não manifesta de início qualquer interesse em dar um nome a uma operação a ser feita, preocupando-se, em contrapartida, em apelar para o desejo ou a necessidade de seu leitor de conhecer o número que se pode formar juntando dois outros. Seguindo os dois excertos, verificamos que o Primeiro A utor (embora não explique a razão disso) procura deixar claro ao leitor que ao adicionar dois números, é mais conveniente somar o menor número ao maior, apesar de o resultado ser o mesmo se for seguida a ordem oposta a essa. Assim, o Primeiro Autor instrui diretamente o aprendiz no sentido de escrever o maior número em cima, e o menor número embaixo dele, colocando os algarismos na ordem conveniente, isto é, as unidades sob as unidades, dezenas sob dezenas, centenas sob centenas etc.

O Segundo Autor não tem qualquer preocupação em fixar uma ordem para a escrita dos números a serem somados, mas faz questão de, em três exemplos, chamar a atenção do leitor para a maneira como são formados os pares de números que se devem somar – tantas unidades, dezenas e centenas, sendo cada ordem da soma o resultado de juntar as ordens que compõem os números. Mais: ele diz explicitamente que esse procedimento é o que servirá para encontrar a soma de dois números quaisquer. É somente depois dessas considerações que o Segundo Autor alerta o leitor para a atenção fatigante que lhe seria exigida caso tivesse de conservar na memória a soma das un idades, das dezenas, das centenas , atenção essa que cresceria com o crescimento dos números a serem juntados. Dessa maneira, o Segundo Autor mostra ao seu leitor que seria interessante buscar um procedimento para aliviar o esforço requerido e então, sim, ele se refere a colocar unidades embaixo de unidades, dezenas embaixo de dezenas, centenas embaixo de centenas. Após a descrição desse procedimento por meio de palavras para dois exemplos, o Segundo Autor apresenta ao leitor o que denomina de Fórmula da operação . Aí é que aparecem armadas e efetuadas as duas adições, nas quais podemos notar a presença dos símbolos '’ e '’, bem como a de um traço que separa os números a serem adicionados de sua soma. Por outro lado, voltando ao escrito do Primeiro Autor, percebemos que o seu primeiro exemplo uso do algoritmo danúmero adição que, como vimos, é introduzido estilo somar um a outro, escrevemos o maior em no cima e o ‘faça menordeste emmodo’ (sededesejamos baixo, colocando os algarismos na ordem conveniente, isto é, as unidades sob as unidades, dezenas sob dezenas, centenas sob centenas etc. Sempre começamos a somar com a ordem mais baixa, a qual é de menor valor), é de uma ‘adição com reserva’ ou ‘com transporte’:

59  38. Essa adição aparece armada como foi indicado ao leitor, acompanhada do resulta-

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do, 97, sem os símbolos '’ e ‘’ e sem um traço separando o total (identificado pela palavra Soma ) das parcelas. Só em seguida vem a explicação do que foi feito, com a instrução de “carregar o 1” que veio do 17 (soma de 9 e 8), visto que quando há dois algarismos em um lugar, sempre escrevemos o de ordem mais baixa e carregamos o outro para o lug ar seguinte de ordem mais alta. O Primeiro Autor não esclarece o porquê desse procedimento, e na con-

tinuação do texto aqui reproduzido focaliza a ‘prova dos noves’ para a operação que acabou de ser efetuada. Depois disso, ele prossegue apresentando mais dois exemplos de adições (1 916  816 e 45 318  2 732) no mesmo estilo do exemplo mostrado no trecho transcrito. O Segundo Autor também aborda a ‘adição com reserva’ no prosseguimento do excerto que apresentamos. Contudo, ele o faz depois dos três exemplos ‘sem reserva’ que mostramos, e de maneira bastante diferente, como vamos descrever a seguir. A adição escolhida para ilustrar a ‘reserva’ é 18   

1 2 1 3

8 5 3 0

 



25, e é calculada em duas etapas:’’

1 3 3 0 4 3

Vem então uma explicação de como reduzir, por comodidade, as duas operações a uma: ... para isso, você notará que depois de ter dito 8 e 5 são 13, não tem mais unidades a considerar: você escreve então 3 unidades; mas você tem ainda dezenas: você não escreverá esta dezena que obteve juntando 8 a 5, po rém (você se lembrará dela) a guardará: dirá, então, 8 e 5 são 13, escrevo 3 e guardo 1 dezena; 1dezena que guardei e 1 dezena são 2, e 2 outras são 4, e escreverá 4 dezenas.

E só então aparece

 

1 8 2 5 4 3

O exame dos dois textos mostra, portanto, claramente, dois modos distintos para ensinar o algoritmo da adição de dois números naturais. Comparando esses dois modos, pudemos notar que eles se distinguem essencialmente porque: – o primeiro apresenta ao aprendiz instruções diretas de como proceder para efetuar a operação, sem a preocupação de esclarecer a razão dos procedimentos aí envolvidos; – o segundo se caracteriza por uma tentativa de dialogar com o leitor de maneira a convencê-lo da necessidade dos procedimentos mostrados para facilitar uma tarefa e mais, por buscar explicar os motivos de cada um dos passos executados nas adições. Até aqui fizemos a leitura e a análise dos dois textos de forma isolada do contexto sócio-histórico em que foram produzidos, desconhecendo apenas seus autores e a época em que foram escritos, mas também as finalidades e o público a quem se destinaram. Vamos agora examinar esses aspectos para tentar interpretar à sua luz, as marcas dos novos modos de ensinar a adição.

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Dois tempos Comecemos por identificar os livros dos quais foram extraídos os excertos em foco. O primeiro texto faz parte da Aritmética de Treviso , obra de autor anônimo publicada em 1478 – trata-se não somente de um incunábulo, isto é, de uma publicação do século da invenção da imprensa, mas do primeiro texto impresso de Matemática. O livro, que não tem um título próprio, é uma aritmética comercial, ou seja, um texto que se propõe a recordar os conhecimentos relevantes para o exercício dos negócios, especialmente em Treviso e Veneza. É importante situar Veneza no cenário do mundo do século X V: a cidade tinha, nesse período, se transformado no principal centro comercial da Europa e ao mesmo tempo em uma das cidades mais ricas do planeta então conhecido. Era ainda um centro de ensino e difusão da arte mercantil ao qual acorriam mercadores do norte, particularmente das cidades alemãs, para estudar as práticas de comércio da aritmética comercial e a troca de moedas. Uma habilidade básica que esses visitantes esperavam adquirir era certamente a proficiência em métodos da aritmética comercial italiana, a qual havia se desenvolvido cedo em decorrência do fato de os italianos em geral e os venezianos em particular terem logo compreendido a importância do uso da aritmética em suas transações diárias a partir de seu contato com o sistema indo-arábico de numeração em suas relações comerciais em torno do Mediterrâneo. A Aritmética de Treviso é escrita no dialeto veneziano, o que caracteriza uma intenção de comunicar conhecimentos a um público amplo, evento possibilitado pela invenção da imprensa. É, portanto, um texto importante por integrar o movimento da eliminação do monopólio do conhecimento por parte das classes mais elevadas socialmente (que tinham acesso aos estudos nas universidades, onde a língua usada era o latim) e da consequente ascensão de uma classe média a partir da aceleração das atividades de comércio. Avalia-se terem sido impressas trinta aritméticas práticas entre o início da imprensa na Europa e o final do século XV. Dessas, mais da metade era escrita em latim, sete em italiano, quatro em alemão e uma em francês. A crescente publicação de textos impressos em vernáculo está associada a uma mudança da Matemática, do domínio da especulação escolástica para as aplicações das manufaturas e do mercado. O ambiente histórico ao qual pertence o nosso Primeiro Autor, portanto, é o do início da Idade Moderna, no qual o desenvolvimento do comércio faz nascer o capitalismo mercantil. Culturalmente, estamos em um contexto marcado pelo florescimento das artes e pelas mudanças na orientação das ciências – é a época do Renascimento. Na Europa do século XV, tempo em que escreveu o Primeiro Autor, uma parte importante da educação matemática consiste no ensino e na aprendizagem da aritmética comercial. A escola em que tem lugar essa parte não é a universidade, mas a escola mantida pelos mestres de cálculo, a qual é frequentada pelos filhos de funcionários públicos ou de mercadores, com idades entre 12 e 16 anos. Embora a autoria da Aritmética de Treviso não seja conhecida, as palavras iniciais do texto revelam que seu autor é um desses mestres de cálculo, que se dedica, a pedido de estudantes que desejam aprender a aritmética para seguir a carreira comercial, a colocar por

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escrito os princípios fundamentais da aritmética, comumente chamada ábaco (Swetz, 1989,

p. 40). O livro é um algorismo, isto é, um tratado dedicado a explicar o uso dos símbolos indo-arábicos. Porém, trata-se de um tipo especial de algorismo – uma Practica – por apresentar situações-problema ligadas aos negócios e ao comércio. É importante referir-nos aqui ao estado de aceitação do sistema de numeração indo-arábico, à época dessa Practica . Ainda que tal sistema já fosse conhecido na Europa desde aproximadamente o ano 1000, ele ainda não tinha sido adotado universalmente. No início do século XV, a Itália estava à frente do resto do continente europeu no uso dos novos símbolos para registros e cálculos – a forma física dos algarismos no livro de Treviso já é a atual, o que não acontecia nos outros países. Assim, os conhecimentos da obra eram ainda pouco difundidos no tempo de sua publicação. Como observamos anteriormente, o Primeiro A utor não usa os símbolos ' ’ e '’. Segundo Boyer (1996), o mais antigo aparecimento do sinal ' ’ ocorreu em 1489, na aritmética comercial de Johann Widman, enquanto o sinal ' ’ foi registrado pela primeira vez em 1557, em um livro de Robert Recorde (1510-1558). Portanto esses símbolos, que o Segundo Autor usa com naturalidade, só foram incorporados aos textos matemáticos depois da publicação do primeiro texto que analisamos que, lembremos, data de 1478. Retomemos agora outros comentários tecidos na seção anterior deste texto, levando em conta o que acaba de ser exposto. Pudemos constatar que o Primeiro Autor introduz de forma um tanto rápida a adição, sem uma tabela com os chamados ‘fatos fundamentais’ e usando como primeiro exemplo uma operação ‘com reserva’. Swetz (1989) informa que os primeiros autores de aritmética essas tabelasdeemcálculo seus livros, também atribui essa abordagem ao fatoraramente de que osincluíam alunos dos mestres eram mas adolescentes que já tinham experimentado alguma educação básica na qual haviam aprendido a ler e estudado os ‘fatos fundamentais’ da adição e da multiplicação. Comentamos também a posição do Primeiro Autor em relação à ordem a ser adotada na escrita das parcelas da adição: o número maior em cima, e o menor embaixo dele. Possivelmente essa recomendação se srcina da incorporação de uma prática herdada do uso do ábaco. Quanto à instrução ao estudante no sentido de, quando a soma dos números em uma coluna exceder 10, escrever o algarismo da ordem menor e carregar o algarismo da ordem seguinte para a próxima coluna, Swetz comenta: Claramente, o conceito físico de ‘carregar’ ( portare ) um número para a coluna seguinte deve sua srcem ao ábaco, no qual um excesso de fichas em uma coluna ou linha requereria uma transferência física ou carregamento de fichas para uma posição de ordem superior. Nessa aritmética, o número carregado é somado ao algarismo que está na posição mais embaixo na coluna adjacente à esquerda, na qual a adição começa novamente de baixo para cima. Nem todos os autores antigos usam esse formato: alguns efetuam a adição da esquerda para a direita e escrevem a soma em cima ou ao lado da fileira das parcelas. (Swetz,

1989, p. 188-189) 30

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O que podemos notar, então, é que, conquanto o algoritmo seja o mesmo que conhecemos e usamos até hoje, a exposição do Primeiro A utor é portadora de sinais característicos claros das práticas abacistas, ainda muito frequentes no século XV. Para concluir estas considerações contextualizadas em relação ao texto do Primeiro Au tor, resta-nos focalizar o seu estilo conciso, marcado pelo ‘Faça desta maneira’, que mostra a concepção metodológica clara do ‘aprender fazendo’, sem a explicitação das razões dos procedimentos. Tal característica não é exclusiva da Aritmética de Treviso , e está presente também em muitos outros autores antigos de aritméticas. Esse enfoque, evidentemente, gasta menos palavras – pudemos notar que o texto do Primeiro Autor é menos extenso do que o do Segundo Autor. Por outro lado, a brevidade do texto está associada ainda ao fator econômico, uma vez que a impressão era dispendiosa e que havia dificuldades específicas na confecção de textos matemáticos. Uma outra explicação para o estilo sucinto estaria no fato de o livro ter sido planejado para ser usado sob a orientação de um mestre de cálculo, ou então em uma autoinstrução aplicada, na qual o leitor teria de se esforçar realizando um trabalho suplementar para chegar a uma compreensão mais completa do material exposto na obra. O autor não teria, pois, a intenção de escrever um texto abrangente, completo: o livro de Treviso não é uma obra teórica sobre aritmética, à maneira dos acadêmicos da época que se expressavam em latim. É, sim, um livro no qual se aprendiam conhecimentos matemáticos – os símbolos e técnicas da aritmética e os métodos do cálculo comercial, e se desenvolvia alguma apreciação sobre as aplicações dessa matemática. Finalmente, o trecho comentado neste artigo integra a discussão realizada pelo Primeiro Autor sobre as cinco operações essenciais para o aprendizado dos métodos aritméticos comerciais – trata-se da parte voltada fundamentalmente para preparar os estudantes para resolver problemas comerciais nas ocupações mercantis – são esses problemas que tomam o maior número de páginas do livro e, portanto, constituem seu objeto principal. O acento da Aritmética de Treviso cai, assim, não no aprendizado fundamentado das técnicas do cálculo aritmético, mas na aquisição de familiaridade com as mesmas como requisito básico para o domínio das aplicações demandadas no quotidiano mercantil. Em outras palavras, e usando uma metáfora muito comum, os algoritmos da adição, da subtração, da multiplicação e da divisão constituem a entrada, não o prato principal do livro renascentist a. Passemos a abordar novamente o trabalho do Segundo Autor. Mais de trezentos anos separam os dois textos de aritmética que estamos analisando, pois o nosso Segundo Autor, o marquês de Condorcet, escreveu a sua Aritmética, livro de onde extraímos o trecho inicial da Quarta Lição, em 1794. Esse tratado inacabado devido à morte de seu autor, quando fugia da perseguição do governo do Terror durante a Revolução Francesa, é um manual didático redigido com a intenção de participar de um concurso promovido por esse mesmo governo para selecionar os livros elementares a serem usados na instrução pública. A realização do concurso resultava de um aspecto característico da política educacional da França revolucionária – a composição de livros didáticos destinados a todo o país como praticamente o único meio de efetuar reformas no ensino. (Schubring, 1989).

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Devemos enfatizar que o próprio Condorcet foi o responsável por um importante projeto para o ensino no qual eram propostas a elaboração desses livros elementares e a escolha dos manuais a serem financiados pela república por meio de um concurso público. Na verdade, a situação da França do Antigo Regime era completamente ineficiente em relação à escolarização, num momento em que o país precisava de uma mão de obra mais preparada considerando-se seu contexto socioeconômico. Furet e Ozouf (1977) descrevem o quadro da instrução nesse período dizendo que somente após alguns anos passados na aprendizagem da leitura e da escrita, poucos estudantes – aqueles de melhor condição material – tinham acesso aos rudimentos da aritmética. E essa educação precária ainda se mantinha sob o controle direto e constante da Igreja; na convocação dos Estados Gerais, em 1789, apresentaram-se vigorosas reivindicações quanto à instrução da população. Com a Revolução, tomaram-se medidas contra o clero que levaram ao fechamento de muitas escolas católicas, e transferiu-se para os poderes civis a supervisão da educação pública. Propuseram-se, então, vários planos para essa educação entre os quais o de nosso Segundo Autor. Historicamente, assim, o segundo texto aqui focalizado insere-se no começo da Idade Contemporânea, no momento em que a burguesia, cuja visão de mundo abraçava fundamentalmente o Liberalismo com seus princípios básicos de liberdade, individualismo, igualdade, propriedade, democracia, obtinha seus primeiros triunfos. O interesse dos governos revolucionários franceses pela instrução pública – uma concessão ao povo que apoiava tal burguesia – está fortemente ligado ao programa de hegemonia dessa classe. No entanto, os estudos de Condorcet acerca da educação começaram bem antes dos acontecimentos revolucionários, e ele integra a face mais democrática dentre os autores de planos de educação pública da Revolução (Lopes, 1981). Na Primeira M emória sobre a Instrução Pública, em 1790, escreve: A sociedade deve ao povo uma instrução pública como meio de tornar real a igualdade de direitos . Afirmando a existência de uma desigualdade natural entre os homens, acrescenta que para garantir a igualdade de direitos prevista na lei, é suficiente que cada indivíduo seja instruído de forma a não depender daqueles que possuem conhecimentos que ele não tem. Entre esses conhecimentos comparece a aritmética: ... (aquele) que ignora a aritmética depende realmente do homem mais instruído, ao qual é obrigado a recorrer incessantemente. Ele não é igual àqueles a quem a educação deu esses conhecimentos. Ele não pode exercer os mesmos direitos com a mesma extensão e a mesma independência... Mas o homem que sabe as regras da aritmética, necessárias para os usos da vida, não está na dependência do sábio, que possui no mais alto grau o gênio das ciências matemáticas, e cujo talento lhe será de uma utilidade muito real, sem jamais poder impedi-lo do gozo de seus direitos... (Condorcet, apud Buisson, 1929, p. 56).

A visão de nosso Segundo Autor contempla, pois, a instrução em geral e o ensino da aritmética em particular como uma contribuição indispensável no sentido de tornar real a igualdade de direitos entre os cidadãos proclamada pela lei, devendo o primeiro grau de ensino previsto em seu projeto de instrução pública (Condorcet, 1997) ser acessível a todos 32

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os franceses. Dessa forma, a aritmética de seu livro elementar deveria ser ensinada a todas as crianças na escola primária. Segundo Schubring (1989), todavia, não se tem qualquer informação sobre a utilização efetiva do manual, cujo uso nas escolas primárias foi autorizado pelo Estado cinco anos após a morte de seu autor. Como pudemos notar no trecho referente ao algoritmo da adição reproduzido neste texto, a concepção metodológica de Condorcet envolve necessariamente a compreensão dos procedimentos a partir das propriedades do sistema de numeração decimal e, por isso, ele gasta mais espaço em sua abordagem do que o autor da Aritmética de Treviso para tratar do mesmo assunto. A forma escolhida para a apresentação dos algoritmos das demais operações também compreende muitas palavras, pouca formalização matemática, e nenhuma ilustração, o que reflete a época do manual (Picard, 1989), em que, devemos recordar, a imprensa já avançou muito desde o final de século XV, tempo do Primeiro Autor. A motivação para os algoritmos e a preocupação patente em tornar claras as razões de tudo o que é feito estão presentes não apenas no trecho que analisamos, mas em todo o livro. Condorcet manifesta seu ponto de vista a respeito disso no prefácio: Pareceu-me que em geral nada se deveria ensinar às crianças sem lhes ter explicado e feito sentir os motivos. Esse princípio me parece essencial na instrução, mas eu o creio muito vantajoso sobretudo em aritmética e geometria. Assim, os elementos dessas ciências não devem apenas ter como objetivo preparar as crianças para executar seguramente e facilmente em seguida os cálculos dos quais podem ter necessidade, mas devem ainda lhes mostrar elementos de lógica, e servir para desenvolver nelas a faculdade de analisar suas ideias, de raciocinar com justeza.” (Condorcet, 1989, p. 19)

Assim, nosso Segundo Autor embora tenha, como o Primeiro A utor, o propósito do domínio das técnicas operatórias pelos estudantes, não deseja nem crê que tal domínio ocorra por meio da repetição e da memorização mecânicas: acredita na potencialidade da educação aritmética de desenvolver as faculdades intelectuais dos alunos, desde que seja realizada com ênfase na compreensão. Uma característica do manual que não podemos deixar de mencionar é o fato de conter, após o texto para o estudo dos alunos, orientações aos professores, específicas para cada uma das lições que é apresentada. Especificamente quanto ao algoritmo da adição, focalizado neste artigo, ele recomenda que o mestre trabalhe muitos exemplos com os estudantes, mas que cuide para que eles se tornem autônomos, a fim de que não adquiram o hábito de repetir as palavras ‘escrevo’, ‘guardo’, sem reflexão, e por meio de uma memória por assim dizer automática. (Condorcet, 1989, p. 120)

A leitura comparativa dos dois trechos referentes à adição de números naturais mostrou-nos diferenças claras, as quais tentamos, inicialmente, destacar mediante um enfoque interno ao conteúdo dos textos. Em seguida, no que acabamos de expor, procuramos situar esses textos quanto ao entorno de sua produção a fim de enxergar, sob outro prisma, essas diferenças. Os dois modos de ensinar a aritmética ganham significação em dois tempos: dois contextos históricos distintos de educação matemática.

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Dois modos em dois tempos: comentários finais

Na leitura dos textos didáticos aqui focalizados, colocamo s em evidência uma dicotomia entre um modo que poderíamos denominar ‘aprender fazendo’, predominante no trabalho do Primeiro Autor, um mestre de cálculo da república de Veneza no século XV, e um outro modo que batizaríamos como ‘aprender compreendendo’, indispensável no escrito do Segundo Autor, um filósofo francês do Século das Luzes. É claro, como tentamos mostrar, que essas expressões pelas quais estamos chamando em dois estilos, ainda que traduzam a essência de duas concepções metodológicas, são insuficientes para revelar todos os aspectos envolvidos nas duas célebres aritméticas aqui abordadas. Todavia, essa dicotomização nos serve como ponto de partida para considerar a inadequação e as limitações de uma análise de concepções, materiais e práticas na educação matemática dissociada das muitas variáveis sociais e culturais que sempre a compõem. De fato, ao comparar mediante uma leitura descontextualizada o modo de ensinar do Primeiro Autor – que parece não se preocupar com a compreensão do significado dos procedimentos que vai ditando ao leitor – com o do Segundo Autor que, diferentemente, quer evidenciar a quem o lê os motivos de tudo aquilo que é exposto, não alcançamos uma significação completa de ambos os textos. Certamente vamos simpatizar mais com o Segundo Autor, mais próximo do que concebemos como o tratamento adequado da matemática na escola. Também queremos que os nossos alunos dominem as técnicas do cálculo aritmético entendendo-as e não simplesmente memorizando-as mecanicamente; assim, identificamo-nos mais com a atitude do filósofo iluminista. Defendemos, como Condorcet, que ao lado da dimensão instrumental da matemática escolar esteja sempre presente a dimensão formativa – enfatizamos a contribuição da matemática no desenvolvimento das faculdades do intelecto das crianças, dos adolescentes, dos jovens e adultos. E particularmente em relação à aritmética, no contexto atual em que a destreza no uso dos algoritmos usuais é menos posta em relevo, se incentiva a utilização das calculadoras e se valorizam procedimentos pessoais dos alunos bem como as estimativas e o cálculo mental (Brasil, 1997), o enfoque de nosso Segundo Autor é, sem dúvida, muito pertinente. Contudo, a abordagem do mestre de Treviso, como comenta Swetz (1989), não era somente adequada, mas desejável para as necessidades do século XV, em que um jovem frequentador das escolas de cálculo o fazia por pouco tempo – era uma educação dispendiosa. Esse jovem logo entrava como aprendiz na profissão comercial e continuava a aprender a aritmética de que precisava. Swetz especula que talvez após vários anos de trabalho e associação com outros mestres, um calculador poderia de fato começar a pesquisar os ‘porquês’ da aritmética. A atitudeenciclopédico do Primeiro Autor decorre ainda da inexistência damatemáticas; intenção de escrever um compêndio de conhecimentos mercantis e técnicas como diz o nome usado na época – Practica – seu livro é claramente orientado para objetivos mais imediatos. Assim, se a leitura e a análise dos textos do passado limitar-se a apresentar descrições das abordagens adotadas para os conteúdos matemáticos, provavelmente encontraremos

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vários aspectos curiosos e interessantes, mas teremos uma visão restrita do significado da matemática, da educação matemática e das relações entre elas e as sociedades em que se desenvolveram.”

Referências bibliográficas: BOYER, Charles. História da Matemática . Revista por Uta C. Merzbach. Tradução de Elza F. Gomide. São Paulo: Editora E dgard Blücher, 1996. BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais : Matemática. Brasília: MEC/SEF, 1997. BUISSON, Ferdinand. Condorcet . Paris: Librairie Félix Alcan, 1929. CONDORCET, Jean-Antoine-Nicolas Caritat. Réflexions et notes sur l’éducation. A cura di Manuela Albertone. Napoli: Bibliopolis, 1983. . Moyens d’apprendre à compter sûrement et avec facilité, presenté et annoté par Charles Coutel, Nicole Picard et Gert Schubring. Paris: ACL Éditions,1989.

. Informe sobre la organización general de la instrucción pública. In: Bosquejo de un cuadro histórico de los progresos del espíritu humano y otros textos. Tradução de

Francisco González Aramburo. Cidade do México: Fondo de Cultura econômica, 1997. Lire et écrire FURET, François & OZOUF, Jules Ferry. Paris: ÉditionsJoseph. de M inuit, 1977. : l’alphabétisation des français de Calvin à

LOPES, Eliane Marta T. S. Origens da educação pública : A Instrução na Revolução Burguesa do século XVIII. São Paulo: Loyola, 1981. PICARD, Nicole. Notes et commentaires sur les “Moyens ...”. In: CONDORCET, J. A. N. C. Moyens d’apprendre à compter sûrement et avec facilité . Appareil critique – études, notes, commentaires, bibliographie. Paris: ACL Éditions, 1989. SCHUBRING, Gert. Introduction: Um savant des lumières. Un livre élémentaire pour la république. In : CONDORCET, J. A. N. C. Moyens d’apprendre à compter sûrement et avec facilité . Appareil critique – études, notes, commentaires, bibliographie. Paris: ACL Éditions, 1989. of Historical Textbooks in Mathematics . Analysis Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, 1997. . Lecture Notes. Rio de Janeiro:

SWETZ, Frank J. Capitalism and Arithmetic (second printing). La Salle: Open Court, 1989. GOMES, Maria Laura M agalhães (Universidade Federal de Minas Gerais (UF MG). Dois tempos e modos de ensinar a aritmética. Revista História & Educação Matemática . Rio Claro: Sociedade Brasileira de História da Matemática, v. 2, n. 2, 2002. p. 173-186.

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4.3 Leitura, escrita e oralidade: competência de todas as áreas Como trabalhar leitura, escrita e oralidade nas aulas de

Matemática?

Essa pergunta está presente no cotidiano tanto de professores que ainda não estão seguros de como desenvolverão essas habilidades quanto daqueles que já têm ações nesse sentido e querem melhorar sua prática. Para focar esse tema, compilamos quatro textos para informação e reflexão. As fontes são variadas: documentos oficiais, artigos de revistas especializadas em educação e contribuições de professores presentes em sites de qualidade especializados em educação matemática. A leitura e a escrita na sala de aula de Matemática tem sido um tema cada vez mais presente nas produções brasileiras na área de Educação Matemática. No ano de 2010 a revista Zetetiké , do CEMPEM – C írculo de Memória e Pesquisa em Educação Matemática, da U NICAMP – dedicou uma edição especial ao tema “Linguagem e Práticas Socioculturais: perspectivas para a Educação Matemática”. Essa edição da revista pode ser acessada integral e gratuitamente no endereço: . Acesso em: mar. de 2012.

Sugestão de atividade contemplando a História da Educação Matemática, leitura, escrita e oralidade Você pode propor que os alunos pesquisem junto aos pais, avós e conhecidos exemplos de experiências escolares antigas relativas à Matemática. Vários conceitos podem ser abordados dessa maneira, dependendo do momento de escolaridade. Por exemplo: “ O que é a Prova dos Noves?”, “ Como se ensinava a tabuada no seu tempo?”, “ O que se aprendia no primário/ secundário em outros tempos?”, “ Como se resolviam os problemas na aula de Matemática?”, “Como eram os livros didáticos?”, entre outras questões nessa direção. Essas experiências devem ser registradas e comunicadas aos demais colegas de classe. Uma atividade dessa natureza pode envolver vários componentes, como Língua Portuguesa e História, e é uma estratégia para desenvolver a escrita, a oralidade e a habilidade de síntese, pois a necessidade de comunicação favorece a compreensão. É preciso organizar claramente as ideias para transmiti-las aos outros colegas. Esse esforço de ultrapassar sua própria compreensão (e suas estratégias para compreende r algo) leva o aluno a refletir sobre o conceito/conteúdo para torná-lo claro aos demais alunos, o que implica aprendizado significativo.

4.3.1 Parágrafo extraído da Proposta de Avaliação, presente no Documento Básico do ENEM – Brasília/2002 “A Matriz de Competências do ENEM pressupõe que a competência de ler, compreender, interpretar e produzir textos, no sentido amplo do termo, não se desenvolve unicamente na aprendizagem da Língua Portuguesa, mas em todas as áreas e disciplinas que estruturam as atividades pedagógicas na escola. O participante deve, portanto, demonstrar , concomitantemente, possuir i nstrumental de comunicação e expressão adequado, tanto para a compreensão de um problema matemático quanto para a descrição de um processo físico, químico ou biológico 36

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e, mesmo, para a percepção das transformações de espaço/tempo da história, da geografia e da literatura.”

4.3.2 A leitura, a escrita e a oralidade em Matemática Como ficou explicitado acima, formar um aluno competente em leitura, interpretação e escrita não é responsabilidade somente do professor de Língua Portuguesa. Cada tipo de texto, romance, poema, notícia de jornal, texto científico, manual de instruções, relatório, enfim, tem características próprias e requer habilidades leitoras diferenciadas. O aluno precisa construir essas habilidades por meio do trabalho pedagógico de todos os componentes curriculares. Consideramos que o objetivo final é formar indivíduos capazes de: • Ler criticamente textos presentes em diferentes suportes (livros, jornais, manuais etc.) construindo significados para esta leitura. • Mobilizar conhecimentos prévios utilizando-os para alcançar

revistas, internet,

a compreensão do que lê.

• Variar as estratégias de leitura em função dos objetivos desta. • Organizar e expressar o conhecimento obtido por meio da oralidade ou da escrita. • Perceber as diversas funções da leit ura: ler para aprender, para se informar, por necessidade, por prazer. O professor de Língua Portuguesa pode e deve ajudar seus colegas, pois provavelmente terá informações valiosas para melhorar o trabalho dos demais docentes. No entanto, aprender a ler em M atemática envolve a participação efetiva do professor em suas aulas. É importante ressaltar que esse trabalho deve ser constante, desenvolvendo, ao longo da vida escolar , hábitos e procedimentos de leitura que acabem por se incorporar à rotina do estudante. Apresentarem os a seguir algumas sugestões para o trabalho em sala de aula tendo por base o livro didático. • Ler todos os textos do livro, escolhendo quais serão trabalhados em sala de aula para desenvolver as habilidades de leitura, escrita e oralidade. • Ter claro qual o objetivo da leitura de cada texto. texto e para que aspectos deve voltar sua atenção.

O aluno precisa saber por que lerá o

• Mapear os textos com base nos objetivos de leitura: serão lidos na íntegra ou só em parte? A leitura será feita em classe ou em casa? A resolução de atividades dos boxes permeará a leitura? • Criar estratégias diversificadas de leitura.

Exemplos: • Leitura individual silenciosa identificando no texto palavras-chave previamente indicadas pelo professor. Na seleção das palavras-chave é importante contemplar termos próprios da Matemática: incógnita, radical, expoente etc. Terminada a leitura, o professor pode mediar a discussão dos alunos em torno das palavraschave e seus significados, retomando sempre que necessário a leitura de trechos MANUAL DO PROFESSOR

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mais importantes do texto. O registro das informações, conceitos, conclusões sobre o texto e exemplos pode ser feito no quadro. • Leitura de imagens. Solicita-se que observem somente fotos, gráficos, diagramas etc., presentes no texto, sem lê-lo. Pergunta-se, por exemplo: que informações ou conhecimentos você identifica nestas imagens? O que já conhecemos? O que há de novo para você? Observando as imagens temos uma ideia do assunto do texto? Essa estratégia costuma motivar os alunos para a leitura do texto integral, que deve acontecer depois dos questionamentos. É uma forma que pode ser eficiente para resgatar conhecimentos prévios. Uma variação é pedir que leiam previamente os boxes presentes no texto e aí procurem no texto as informações que precisam para responder às questões. • Criar muitas oportunidades para os alunos expressarem oralmente e por escrito suas ideias. O texto 3 deste item discute particularmente esse assunto. Veja exemplos simples de trabalho com a oralidade e a escrita nas aulas de Matemática. Usamos aspas para apresentar as ações do professor: – Durante a correção de exercícios: “Eu resolvi o problema desta forma: Alguém pensou em uma estratégia diferente? Quem quer vir ao quadro mostrar seu raciocínio para os colegas?” – No desenvolvimento do tema polígonos: “Todo quadrilátero é um paralelogramo. Quem acha que essa afirmação é verdadeira? Quem acha que é falsa? Expliquem sua opinião para os colegas.” – Numa tarefa de casa pede-se: “Explique com palavras como você ensinaria uma pessoa que não sabe operar 5 1  3 .”  com frações a calcular 2 6 4 Como dissemos, as sugestões têm foco nos textos do li vro didático, mas é importante propiciar a leitura de textos de todos os tipos. Procure explorar também jornais, internet, textos técnicos etc.

4.3.3 Comunicação em Matemática: instrumento de ensino e aprendizagem “A palavra comunicação esteve presente durante muito tempo l igada a áreas curriculares que não incluíam a Matemática. Pesquisas recentes afirmam que, em todos os níveis os alunos devem aprender a se comunicar matematicamente e que os educadores precisam estimular o espírito de questionamento e levar os seus educandos a pensar e comunicar ideias. A predominância do silêncio, no sentido de ausência de comunicação, é ainda comum em Matemática. O excesso de cálculos mecânicos, a ênfase em procedimentos e a linguagem usada para ensinar Matemática são alguns dos fatores que tornam a comunicação pouco frequente ou quase inexistente. 38

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Se os educandos são encorajados a se comunicar matematicamente com seus colegas, com o educador ou com os pais, eles têm oportunidade para explorar, organizar e conectar seus pensamentos, novos conhecimentos e diferentes pontos de vista sobre um mesmo assunto. Assim, aprender Matemática exige comunicação, no sentido de que é através dos recursos de comunicação que as informações, conceitos e representações são veiculados entre as pessoas. A comunicação do significado é a rai z da aprendizagem. Promover comunicação em Matemática é dar aos alunos a possibilidade de organizar, explorar e esclarecer seus pensamentos. O nível ou grau de compreensão de um conceito ou ideia está intimamente relacionado à comunicação bem-sucedida deste conceito ou ideia. Dessa forma, quanto mais os alunos têm oportunidade de refletir sobre um determinado assunto, falando, escrevendo ou representando, mais eles compreendem o mesmo. Somente trocando experiências em grupo, comunicando suas descobertas e dúvidas e ouvindo, lendo e analisando as ideias do outro é que o aluno interiorizará os conceitos e significados envolvidos nessa linguagem de forma a conectá-los com suas próprias ideias. A capacidade para dizer o que se deseja e entender o que se ouve ou lê deve ser um dos resultados de um bom ensino de M atemática. Essa capacidade desenvolve-se quando há oportunidades para explicar e discutir os resultados obtidos e para testar conjecturas.

A oralidade em Matemática Em toda nossa vida de falantes, a oralidade é o recurso de comunicação mais acessível, que todos podem utili zar, seja em Matemática ou em qualquer outra área do conhecimento, é um recurso simples, ágil e direto de comunicação que permite revisões quase que instantaneamente, que pode ser truncada e reiniciada, assim que se percebe uma falha ou inadequação, independentemente da idade e série escolar. Criar oportunidades para os alunos falarem nas aulas faz com que eles sejam capazes de conectar sua linguagem, seu conhecimento, suas experiências pessoais com a l inguagem da classe e da área do conhecimento que se está trabalhando. É preciso promover a comunicação pedindo que esclareçam e justifiquem suas respostas, que reajam frente às ideias dos outros, que considerem pontos de vista alter nativos. Na essência, o diálogo capacita os alunos a falar de modo significativo, conhecer outras experiências, testar novas ideias, conhecer o que eles realmente sabem e o que mais precisam aprender. A partir da discussão estabelecida, das diferentes respostas obtidas, o educador será capaz de aprender mais sobre o raciocínio de cada aluno e poderá perceber a natureza das respostas, realizando assim intervenções apropriadas. A comunicação oral favorece também a percepção das diferenças, a convivência dos alunos entre si, o exercício de escutar um ao outro numa aprendizagem coletiva. Possibili tando também aos alunos terem mais confiança em si mesmos, se sentirem mais acolhidos e sem medo de se exporem publicamente.

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A comunicação escrita A escrita é o enquadramento da realidade. Quando escrevemos não podemos ir para tantos lados como no oral, ela prevê um planejar, esse planejar não é necessariamente escrito, mas auxilia na escrita. Portanto, o oral antecede a escrita e nesse sentido a escrita pode ser usada como mais um recurso de representação das ideias dos alunos. Temos observado que escrever sobreMatemática ajuda a aprendizagem dos alunos de muitas formas, encorajando reflexão, clareando ideias, e agindo como um catalisador para as discussões em grupo. Escrever em matemática ajuda o aluno a aprender o que está sendo estudado. Além disso, a escrita auxilia o resgate da memória e muitas discussões orais poderiam ficar perdidas se não as tivéssemos registrado em forma de texto. A História, como disciplina, srcinou-se graças a esse recurso – escrita de recuperação da memória. Trabalhar essas diferentes funções da escrita em sala de aula leva o aluno a procurar descobrir a importância da língua escrita e seus múltiplos usos. Os textos servem para informar alguma coisa ou para dar ao outro o prazer de ler. Nesse sentido, os alunos precisam entender que ao produzir um texto é preciso se preocupar com as informações, com as impressões e se necessário com as instruções. A escrita também sofre evolução à medida que o educador tiver o cuidado nos momentos de correção de não usar um modelo único, mas diversificá-lo, tendo a preocupação de escrever o melhor possível para que a sua comunicação seja o mais eficiente possível. Sugestões para auxiliar a melhoria dos processos de comunicação nas aulas deMatemática: • Explorar interações nas quais os alunos explorem e expressem ideias através de discussão oral, da escrita, do desenho de diagramas, da realização de pequenos filmes, do uso de programas de computador, da elaboração e resolução de problemas. • Pedir aos alunos que expliquem seu raciocínio ou suas descobertas por escrito. • Promover discussões em pequenos grupos ou com a classe toda sobre um tema. • Valorizar a leitura em duplas dos textos no livro didático. • Propor situações-problema nas quais os alunos sejam levados a fazer conjecturas a partir de um problema e procurar argumentos para validá-las. Com esse trabalho nossos objetivos são levar os alunos a: • Relacionar materiais, desenhos, diagramas, palavras e expressões matemáticas com ideias matemáticas. • Refletir sobre e explicar o seu pensamento sobre situações e ideias matemáticas. • Relacionar a linguagem de todos os dias com a linguagem e os símbolos matemáticos. • Compreender que representar, discutir, ler, escrever e ouvir Matemática são uma parte vital da aprendizagem e da utilização da Matemática. • Desenvolver compreensões comuns sobre as ideias matemáticas, incluindo o papel das definições. • Desenvolver conjecturas e argumentos convincentes. • Compreender o valor da notação matemática e o seu papel no desenvolvimento das ideias matemáticas. 40

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A avaliação e a comunicação A avaliação tem a função de permitir que educador e educando detectem pontos frágeis, certezas e que extraiam as consequências pertinentes sobre para onde direcionar posteriormente a ênfase no ensino e na aprendizagem. Ou seja, a avaliação tem caráter diagnóstico, de acompanhamento em processo e formativo. Nesta proposta a avaliação é concebida como instrumento para ajudar o aluno a aprender. Assim, o educador revê os procedimentos que vem adotando e replaneja sua atuação, enquanto o educando vai continuamente se dando conta de seus avanços e dificuldades. A avaliação só é instrumento de aprendizagem quando o educador utiliza as informações conseguidas para planejar suas intervenções, propondo procedimentos que levem o educando a atingir novos patamares de conhecimento. O recurso da comunicação, nesse sentido, é essencial, pois no processo de comunicar o educando nos mostra ou fornece indícios de que habilidades ou atitudes está desenvolvendo e que conceitos ou fatos domina, apresenta dificuldades ou incompreensões. Os recursos da comunicação são novamente valiosos para interferir nas dificuldades encontradas ou para permitir que o educando avance mais, propondo-se outras perguntas, mudando-se a forma de abordagem. Como podemos ver, há muitas vantagens em estimular a comunicação nas aulas de Matemática. Que tal você tentar?” SMOLE, Kátia C. S.; DINIZ, Maria I . Comunicação em Matemática : instrumento de ensino e aprendizagem. Disponível em: . Acesso em: fev. 2009.

4.3.4 Leitura na escola O texto a seguir é parte do artigo intitulado “Uma reflexão acerca das competências leitoras e das concepções e crenças sobre práticas de leitura nas aulas de Matemática”, assinado por Emilio Celso de Oliveira e Célia Maria Carolino Pires. O artigo está disponível na íntegra no endereço eletrônico: .

Leitura na escola “As considerações acerca dos problemas e dificuldades de apropriação de práticas de leitura no espaço educativo nos levaram ao estudo das pesquisas de Lerner, Foucambert, Soares, Solé, e Koch e Elias. Lerner (2002, p. 76) faz uma instigante análise das mazelas que envolvem o trabalho escolar no que diz respeito à questão da leitura. A autora constata que a leitura aparece desvinculada dos propósitos que lhe dão sentido no uso social, destacando que cada

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situação de leitura precisa apresentar dois propósitos: por um lado, ensinar e aprender algo sobre a prática social da leitura; por outro, cumprir com um objetivo que tenha sentido na perspectiva imediata do aluno. Lerner centra sua crítica ao controle rigoroso do processo de aprendizagem do aluno, levando à produção artificial de textos específicos para o ensino, que pretensamente respeitem a maturidade do leitor , pela graduação que vai do simples ao complexo. Como resultado, a elaboração teórica de Lerner (2002, p. 80) sinaliza que a ação educativa com a leitura, para ser efetiva, torna-se uma iniciativa que tem como pressuposto a articulação dos objetivos didáticos – referentes ao ensino e à aprendizagem – e os propósitos imediatos da situação social que lhe confere sentido. Foucambert (1997, p. 95-99) apresenta um conjunto de fundamentos ou características comuns, advindos das mais diferentes motivações e modalidades de práticas sociais que definem o ato de ler, ou, em nosso entendimento, as competências leitoras. A primeira dessas características é a percepção da intencionalidade em relação ao texto, que faz o leitor definir um projeto de leitura pelo qual reconhece as modalidades e os objetivos do texto. A segunda característica é que a leitura, como qualquer comunicação, exige que se invista uma quantidade de informações bastante superior àquela que se extrai. Assim, o conhecimento prévio do leitor é posto em ação no trabalho de leitura, sendo que, quanto mais experiência tivermos como leitores em sentido amplo, mais competência ativaremos no momento de atribuir significados aos textos de interesse nas situações sociais. A terceira característica diz respeito à experiência linguística, pois a competência do leitor se manifesta ao organizar as possibilidades semânticas, à medida que o fluxo de leitura pelo material gráfico vai acontecendo, de forma a transformar informação gráfica em significados. A quarta característica está relacionada ao projeto específico que leva o leitor ao texto, no tipo de investigação buscada, podendo ser uma leit ura de correção ortográfica, de triagem de texto, de estilo, de ponto de vista, de funcionamento do discurso. A quinta característica inerente ao ato de ler reside na possibilidade de emancipação do leitor , na medida em que o contato com os diferentes textos aguça ainda mais a vontade de busca de sentido em outros textos. A sexta e última característica diz respeito à consciência da intertextualidade, e referese à competência leitora relacionada à concepção de que um texto é um nó em uma trama de outros textos, o que permite inferir que toda leitura é uma l eitura em rede. Como resultado, essas características definem, em nosso entendimento, competências leitoras que o aluno precisa desenvolver conjuntamente com o trabalho do professor , não só de língua materna, mas de qualquer área do conhecimento. Soares (2002) preconiza que ao professor de matemática e de outras áreas cabe a responsabilidade de ser um parceiro do professor de lí ngua materna em relação ao compromisso de aprendizagem de estratégias de lei tura. Consideramos que o texto matemático, ao apresentar aspectos específicos, necessita de conhecimentos por parte do leitor, sendo

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o professor de matemática o mediador qualificado na interação ativa processo de compreensão e interpretação.

do aluno durante o

Solé (1998, p. 73-74), ao tratar da leitura na escola, apresenta um conjunto de questões que o professor pode formular ao aluno-leitor para orientá-lo no processo de compreensão do que se lê. A autora verifica que o trabalho do professor em qualquer aula é excessivamente centrado na estratégia de fazer perguntas aos alunos. Para superar esse centralismo, ela propõe que as estratégias de leitura sejam organizadas pelo professor em três momentos: antes, durante e depois da leitura. Nesses momentos, o trabalho com o texto progressivamente passa por três etapas: a etapa do modelo, em que o professor lê em voz alta o texto, tanto para verbalizá-lo como para comentar dúvidas, falhas de compreensão e os mecanismos que utiliza para resolvê-las; a etapa de participação do aluno, em que o professor transfere a este a responsabilidade de interagir e buscar a compreensão do texto, por suas próprias estratégias, afastando-se aos poucos da tutela do professor; e a etapa de leitura silenciosa, que tem como finalidade transferir autonomia ao aluno em refazer o trabalho das etapas anteriores, ou seja, estabelecer os objetivos de leitura, levantar e verificar hipóteses, detectar e resolver falhas de compreensão. Esse resultado é de interesse, porque tais momentos e etapas de compreensão leitora podem ser apropriados pelo professor de matemática nas práticas que fazem uso de textos que tratem do conhecimento matemático. Koch e Elias (2008, p. 31) tomam como pressuposto básico a concepção de que o texto é lugar de interação de sujeitos sociais que, dialogicamente, nele se constituem e são constituídos; e que,e por meio de ações linguísticas sociocognitivas, autor e leitor constroem significados partilham sentidos, sendo que,eem todo e qualquer texto, implícitos dos mais variados tipos emergem na leitura pela mobilização de estratégias de compreensão para reconstituir o contexto sociocognitivo no interior do qual se encontram os atores sociais. Dentre a variedade de textos, são de especial i nteresse para o professor de matemática os enunciados de problemas, porque envolvem atividade da investigação científica que remete ao fazer do matemático e de pesquisadores de ciências. Polya (1978, p. 1-11) desenvolve uma abordagem na resolução de problemas na qual está presente a preocupação com o desenvolvimento das competências leitoras e escritoras, como investigadas por nós. Além disso, subjaz o interesse pelo processo de aprendizagem da atitude científica, por meio de uma metodologia de resolução de problemas que seja de interesse à matemática, mas que possa ser aplicada a outras áreas das ciências naturais.” OLIVEIRA , Emilio C elso de; PIRES, Célia Maria C arolino. Uma reflexão acerca das competências leitoras e das concepções e crenças sobre práticas de leitura nas aulas de Matemática. Bolema , Rio Claro (SP ), v. 23, n. 37, p. 931 a 953, dezembro 2010. Nota dos autores: Professor, apresentamos a metodologia proposta por Polya no item 4.2 deste manual.

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4.4 O comprometimento com o próprio aprendizado Sabemos que o compromisso do aluno com sua própria aprendizagem é uma das premissas para o sucesso escolar.No entanto, jovens com idade entre 11 e 17 anos vivem uma fase de descobertas, repleta de novos interesses, todos mais “importantes”, para eles, do que as aulas e o estudo. As constantes “broncas” e “sermões” sobre a necessidade de dedicar-se aos estudos não costumam funcionar. Ao contrário, podem gerar um clima hostil entre professor e aluno: — Os alunos não querem saber de nada! — O professor é muito chato, não me entende! propostae de é tentar fazer com que os estudantes tornem-se parceiros do professor no processoUma de ensinar aprender. Para que essa parceria se desenhe, o aluno precisa sentir que seu professor quer que ela aconteça. Isso requer uma postura de acolhimento, de vontade, de entusiasmo por parte do mestre. É importante tornar efetiva a participação do aluno no desenvolvimento do curso. Por exemplo: antes do início de um conteúdo, o professor propõe um cronograma de trabalho, com o número de aulas previsto para cada item, compartilhando com eles os objetivos do assunto e as atividades que farão: trabalhos, provas, leituras etc. Tudo isso, é claro, dentro do nível de compreensão e de atuação dos estudantes. Uma ficha pode ajudar nessa tarefa: Assunto

Objetivos

Período

Número de aulas previstas

Palavras-chave

Leituras

Atividades avaliativas

15

Números naturais, inteiros, racionais, reais, dízimas, , números irracionais, reta numérica.

p. 7,8,9 p. 11 e 12 p. 14 e 15 p. 17 e 18 p. 20,21,22 p. 25 e 27

Texto de criação coletiva envolvendo a ampliação dos conjuntos numéricos.

Compreender os diversos de númerostipos como criações humanas, Conjuntos analisando as numéricos necessidades que levaram à criação. Classificar os números em conjuntos.

3/3 a 24/3

A ficha, preenchida em conjunto com o aluno, permitirá que ele acompanhe o desenvolvimento do curso, sabendo com antecedência o que será tratado nas aulas, quais os objetivos do assunto, os textos que deverá ler, e em que atividades será avaliado. No verso da ficha pode ser colocada uma tabela para autoavaliação. Veja o modelo: Ficha de acompanhamento do meu desempenho Conteúdo

Adição e subtração de frações

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Data

Tarefa/ Atividade

Fácil

5/8

Exercícios da p. 180.

X

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Média Difícil

Dúvidas, dificuldades, observações e ideias Às vezes esqueço de simplificar o resultado.

Como estou em relação a este item? Exercícios corrigidos na lousa: só errei o 46, mas agora entendi.

Não seremos ingênuos a ponto de achar que somente o uso da ficha fará com que os alunos se comprometam com os estudos, mas, sem dúvida, pode contribuir nesse processo. O aluno deve incorporá-la aos poucos, percebendo que não é uma folha de papel a mais, mas sim um instrumento útil na gestão de seu aprendizado. Para isso, é preciso criar demandas que sistematizem seu uso, tais como: • Considerá-la como material obrigatório na aula. • Retomá-la constantemente para verificar o caminho já percorrido, ajustar o cronograma e discutir o aproveitamento. • Nesses momentos, manter o aluno ativo no processo, levantando questões como: que já aprendemos aqui?doPrecisamos retomar alguma coisa?(ou Quais das palavraschave “O já conhecemos? Estamosaté dentro cronograma? Estamos atrasados adiantados)? Por quê? Quais serão nossas próximas ações?” • Valorizar muito o aluno que utiliza a ficha para preparar-se previamente, que lê o texto a ser abordado e que traz questões ou dúvidas. Usar, sempre que possível, as observações ou questões trazidas por ele para encaminhar a aula. • Mostrar que esse aluno aproveita melhor, aprende mais e ajuda a enriquecer a aula, motivando os demais a experimentarem como é bom aprender e ensinar. • Observar e incentivar o uso da ficha de autoavaliação. Se possível, acompanhar ou avaliar os registros periodicamente. Tudo o que foi proposto precisa ser realizado com constância. Adquirir uma postura e cultivá-la leva tempo e exige paciência. No entanto, se pensarmos que em algum momento teremos alunos assumindo seu papel de forma consciente e participativa no processo de ensino-aprendizagem, todo o esforço terá valido a pena. m o c . e m ti s m a re D / h c it w to o h P

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5. Quadro de conteúdos 6o ano Unidade

Conteúdo • Processos de contagem – história dos números

1 – Sistema de numeração decimal

• Noções sobre os sistemas de numeração egípcio e romano • Sistema de numeração decimal – leitura, escrita e história dos numerais indo-arábicos • Sequência dos números naturais • Sucessor, antecessor, números naturais consecutivos

2 – Números naturais

• Aplicações dos números naturais • Reta numérica • Ideias da adição e da subtração

3 – Adição e subtração de números naturais

• Cálculo mental nas adições e subtrações • Estimativas por arredondamento • Problemas envolvendo adição e subtração de números naturais • As ideias da multiplicação • Divisão – ideias e algoritmos • Multiplicação e divisão – operações inversas

4 – Multiplic ação e divisão de números naturais

• Relação fundamental da divisão • Expressões numéricas envolvendo as quatro operações fundamentais • Propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição e à subtração • Cálculo mental de produtos • Resolução de problemas envolvendo as quatro operações fundamentais • Unidades de medida de tempo – problemas • Potenciação – significado, representação e cálculos

5 – Potenciação e raiz quadrada de números naturais

• Quadrados e cubos • Expoente zero e expoente 1 • Raiz quadrada de números naturais • Expressões numéricas • Sequência dos múltiplos de um número • Fatores ou divisores de um número natural

6 – Múltiplos e divisores

• Critérios de divisibilidade • Números primos e decomposição em fatores primos • Mínimo múltiplo comum • Divisores comuns e máximo divisor comum • Utilidade dos gráficos

7 – Dados, tabelas e gráficos de barras

• Dados e tabelas de frequência • Construção e interpretação de gráficos de barras • Elaboração e análise de uma pesquisa estatística simples

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8 – Observando formas

• • • • • •

As formas da natureza e as formas criadas pelo ser humano Formas planas e não planas Blocos retangulares – estudo e planificação Ponto, reta, plano e segmento de reta Perspectivas e vistas Construção de poliedros

9 – Ângulos

• • • •

Identificação, elementos e representação Medidas de ângulos e uso do transferidor Retas paralelas e retas perpendiculares Uso dos esquadros

10 – Polígonos e circunferências

• • • • • • • •

Polígonos – características e nomenclatura Triângulos – classificação Quadriláteros – classificação Polígonos regulares Perímetro de polígonos Circunferência – definição e elementos Uso do compasso Simetria nos polígonos e no círculo

• • • • • • •

Frações como partes do inteiro Representação e leitura Frações de uma quantidade Números mistos e frações impróprias Frações equivalentes Simplificação de frações Comparação de frações

11 – Frações

• Operações com frações • Problemas envolvendo frações e suas aplicações

12 – Números decimais

• • • • • • • • • •

A notação decimal Números decimais e o registro de medidas Números decimais na forma de fração Comparação de números decimais Adição e subtração de números decimais Multiplicação e divisão por 10, 100, 1 000, … Multiplicação de números decimais Divisão de números naturais com quociente decimal Divisão de números decimais Problemas envolvendo números decimais e suas aplicações

13 – Porcentagens

• Significado, representação e cálculos simples envolvendo porcentagens • Representação decimal de porcentagens

14 – Medidas

• • • • • • •

Conceito de medida e de unidade de medida Medidas de comprimento no S MD Medidas de superfície e área do retângulo Relações entre km2, m2 e cm 2 Conceito de volume e volume de um bloco retangular Equivalência entre litro e decímetro cúbico Medidas de massa

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7o ano Unidade

1 – Números naturais

2 – Frações e números decimais

3 – Números negativos

4 – Proporci onalidade

5 – Razões e porcentagens 6 – Construindo e interpretand o gráficos 7 – Sólidos geométricos

8 – Áreas e volumes

9 – Equações

10 – Inequações

11 – Ângulos e triângulos

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Conteúdo Retomada e aprofundamento dos conhecimentos sobre os números naturais, abordando: • sequência dos números naturais, sucessor, antecessor, números consecutivos • representação na reta numérica • múltiplos e divisores - mmc e mdc • números primos • Fração e divisão • Frações equivalentes • Frações e números decimais na reta numérica • Expressões numéricas • Potenciação e raiz quadrada de números decimais • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Medidas de tempo Aplicações dos números negativos Comparação Representação na reta numérica Módulo e simétrico Operações com números negativos Expressões numéricas envolvendo operações com números negativos Grandezas e comparação de grandezas Razões e proporções Escalas, plantas e mapas Grandezas diretamente proporcionais Grandezas inversamente proporcionais Representação e cálculo de porcentagens Descontos e acréscimos Problemas envolvendo porcentagens Construção e análise de gráficos de barras e de setores Pictogramas Médias

•• • • • • • • • • • • • • • • • •

Poliedrose pirâmides Prismas Poliedros regulares Cilindros, cones e esferas Dimensionalidade Medidas de superfície – unidades e conversões Comparação de áreas Área do retângulo e do quadrado Cálculo de áreas por composição e decomposição de figuras Área do paralelogramo, do triângulo, do losango e do trapézio Problemas envolvendo o cálculo de áreas Relações entre unidades de medida de volume e de capacidade Observação de padrões numéricos – generalizações Uso das letras – linguagem algébrica Algumas operações com letras Resolução de equações do 1 o grau Resolução de problemas por meio de equações do 1 o grau Desigualdades – símbolos e propriedades

• • • • • • • •

Resolução de Inequações e inequações problemas Retomada sobre ângulos Ângulos suplementares, complementares, opostos pelo vértice Grau e subdivisões do grau Bissetriz de um ângulo Os ângulos nos triângulos Soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo Soma das medidas dos ângulos internos de um quadrilátero

8o ano U n id a d e

1 – Conjuntos numéricos

Conteúdo • • • • • • • •

Números naturais Números inteiros Números racionais Representação dos números racionais Números irracionais Pi – um número irracional Números reais Os números reais e as operações

• Expoentes inteiros

2 – Potenciação e notação científica

•• • •

Propriedades das potências Potências de base 10 Multiplicação por potências de base 10 Notação científica

3 – Radiciação

• Aprofundamento sobre raízes • Raízes exatas • Raízes não exatas

4 – Cálculo algébrico

• • • • • • •

5 – Produtos notáveis

• Desenvolvimento de produtos notáveis • Aplicações dos produtos notáveis no cálculo algébrico

6 – Fatoração

• Principais casos de fatoração • Aplicações da fatoração

7 – Frações algébricas

• • • • •

8 – Sistemas de equações

9 – Retas e ângulos

10 – Triângulos

11 – Triângulos: congruência e pontos notáveis

Retomada de equações Variáveis Expressões algébricas Monômios e polinômios Operações e expressões algébricas Simplificação de expressões com letras Multiplicação de polinômios

Letras no denominador Condição de existência Problemas e equações envolvendo frações algébricas Simplificação de frações algébricas Operações com frações algébricas

• Problemas do 1o grau com duas incógnitas – representação por meio de um sistema de equações • Método da substituição • Método da adição • Dízimas periódicas na forma de fração • • • •

Posição relativa entre retas Ponto médio de um segmento Retas perpendiculares e paralelas Distância entre dois pontos

• • • •

Distância de ponto à reta Elementos, perímetro e classificação Soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo Propriedade do ângulo externo

• • • • •

Congruência de figuras planas Casos de congruência de triângulos Mediana, bissetriz e altura em um triângulo Triângulo isósceles e triângulo equilátero Maior lado e maior ângulo de um triângulo MANUAL DO PROFESSOR

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12 – Quadriláteros e outros polígonos

• Elementos e classificação dos quadriláteros • Propriedades dos paralelogramos e dos trapézios isósceles • Ângulos de um polígono

13 – Circunferência e círculo

• • • • • • • • •

14 – Possibilidade s e estatística

•• Tabela e árvore de possibilidades Problemas de contagem • Gráficos estatísticos

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Caracterização Construção de triângulos Posições relativas de duas circunferências Posições relativas entre reta e circunferência Cordas Arco e ângulo central Comprimento de um arco Construção de polígonos regulares Ângulo inscrito

9o ano U n id a d e

1 – Potenciação e radiciação

2 – Equações do 2 o grau

3 – Sistema cartesiano

4 – Funções

• • • • • • • • •

Conteúdo Retomada e aprofundamento da potenciação e suas propriedades Retomada da radiciação Expoentes racionais Propriedades dos radicais Simplificação de radicais Adição e subtração de radicais Cálculos com radicais Racionalização Equações e grau de uma equação

• • • • • • • •

Equações incompletas do 2 o grau Forma geral de uma equação do 2 o grau Resolução de equações do o2grau pela fatoração do trinômio quadrado perfeito Fórmula geral de resolução de equações do 2 o grau Resolução de problemas envolvendo equações do 2 o grau Soma e produto das raízes de uma equação do 2 o grau Equações fracionárias e biquadradas Equações irracionais

• Localização no plano • Sistema cartesiano • Coordenadas geográficas • Conceito e aplicações • Tabela de valores e lei de formação de uma função • Interpretação de gráficos o

o

5 – Noções de probabilidade

Construção deegráficos das funções do 1 grau e do 2 grau •• Probabilidade estatística • Problemas envolvendo o cálculo de probabilidades • Conceito de população e amostra numa pesquisa estatística

6 – Teorema de Tales e semelhança de triângulos

• • • • •

Razões, proporções e segmentos proporcionais Teorema de Tales Semelhança Semelhança de triângulos Aplicação da semelhança de triângulos na resolução de problemas

7 – Relações métricas nos triângulos retângulos

• • • •

Teorema de Pitágoras e suas aplicações Diagonal do quadrado e altura do triângulo equilátero Relações métricas nos triângulos retângulos Problemas de aplicação

8 – Trigonometri a no triângulo retângulo

• Razões trigonométric as: tangente, seno e cosseno • Aplicações na resolução de problemas • As razões trigonométricas e os ângulos de 30°, 45° e 60°

9 – Círculo e cilindro

• • • •

Área do círculo Área de setor circular e de coroa circular Área da superfície e volume de um cilindro Aplicações na resolução de problemas

10 – Porcentagem e juro

• Problemas envolvendo porcentagens, descontos e acréscimos • Juros simples e composto MANUAL DO PROFESSOR

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6. Sobre o livro do 9o ano Esta seção do manual trata do desenvolvimento dos conteúdos do livro do 9o ano, trazendo, para cada unidade, objetivos gerais e específicos, sugestões e comentários sobre a utilização do livro do aluno, possibilidades de integração com outras áreas do conhecimento e de atividades para compor o processo de avaliação. No item 7 do manual de cada volume, apresentamos um conjunto de questões, contextualizadas ou não, selecionadas a partir de exames elaborados de forma criativa e pertinente por instituições públicas conceituadas. Essas questões contemplam conteúdos desenvolvidos no livro do aluno. Incluímos também, ao final dos comentários sobre cada unidade, sugestões de sites que disponibilizam objetos educacionais envolvendo os temas trabalhados: arquivos de vídeo e de áudio, jogos, experimentos, simulações, entre outros.

Unidade 1 – Potenciação e radiciação I. Objetivos gerais • •

Compreender a potenciação e a radiciação como operações inversas, úteis na solução de problemas. Desenvolver habilidades relativas à representação e ao cálculo envolvendo potências e raízes.

II. Objetivos específicos • • • •

Representar e calcular potências com expoentes inteiros. Calcular raízes, identificando as que não representam números reais. Representar potências de base positiva e expoente racional na forma de radical. Aplicar propriedades para simplificar e efetuar cálculos envolvendo potências e raízes.

III. Comentários Retomando a potenciação e suas propriedades, o aluno pode aprimorar registros e cálculos já aprendidos. No Ensino Médio, as propriedades das potências serão importantes para a Física, a Química e a própria Matemática. Por essa razão, o item que trata da notação científica (pág. 14) e o texto complementar “Ordem de grandeza”, sugerido para o trabalho com os alunos, merecem sua atenção. Apresentamos três textos complementares para leitura no item VI – “ Zero é um número natural?” e “Qual é o valor de 00?” – de autoria de Elon Lages Lima publicados pelaRevista do Professor de Matemática, e que trazem temas que podem suscitar perguntas por parte dos alunos, daí a importância dessas leituras. O terceiro texto, da mesma revista, aborda expoentes racionais com base em uma questão trazida por um professor. A radiciação é apresentada como operação inversa da potenciação a partir doquadrado e do cubo: cálculo da área, dada a medida do lado, e cálculodo lado, dada a área; cálculo do volume dada a aresta e cálculo da aresta, dado o volume. Outra relação entre potenciação eradiciação se estabelece ao definirmos potências com expoente racional. Mais uma vez, a ideia damanutenção de padrões foi aplicada. É importante ressaltar a conservação das propriedades das potências para expoentes racionais. Sugerimos retomar os números irracionais, mostrando a utilidade do registro na forma de radical e a aplicação da calculadora para determinar aproximações de zes, raí caso seja necessário.Trabalhamos com 52

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previsão de resultados, pedindo a estimativa da medida do lado e do perímetro de um quadrado com base em sua área. Julgamos importante explorar essas atividades, mostrando que podemos expressar o resultado na forma de radical ouusando para as raízes umaaproximação que seja adequada ao problema. O texto didático relembra que raízes de índice par de números negativos não representam números reais. É um bom momento para retomar a ampliação dos conjuntos numéricos numa abordagem voltada agora para alunos do 9o ano, pois as ideias vão ficando cada vez mais claras e consistentes. Na página 15, relembramos que, embora tenhamos 52  25 e (5)2  25, consideramos sempre   5. O símbolo  representa a raiz quadrada positiva do número. Essa convenção garante que 25 x tem valor único, bem determinado. Escrevemos   que, se x é positivo,  25  5 e    25  5. A igualdade  25  5 é falsa. Um cuidado a ser tomado é mostrar que essa convenção não 2







2



impede quefica: a equação x 25 tenha soluções como 5 e 5, uma vez que ( 5) 25. O registro nesse caso 2 x  25 x  25    x 5 A clareza sobre os fatos expostos acima será importante para o aluno, que na Unidade 2 resolverá equações do 2o grau e equações irracionais. Com a apresentação de propriedades e operações fundamentais envolvendoadicais, r pretende-se que o aluno adquira habilidades suficientes para trabalhar com radicais no Ensino Médio. No item “Expoentes racionais”, você deve mostrar aos unos al porque a basea deve ser positiva. O texto apresenta um boxe que ilustra essa situação por meio de um exemplo. Neste volume, as propriedades das potências foram generalizadas, usando uma notação mais sistematizada. O mesmo acontece com as propriedades dos radicais. Acreditamos que o aluno do o

9 ano deve, aos poucos, familiarizar-se com essas notações.



Sugestão de avaliação É comum vermos os alunos cometerem erros deste tipo: 102: 2,4 5 (em vez de 20,4). É importante  20, trabalharmos com estimativas para resultados, levando-os a perceber que se 100 : 5 então 102 : 5 deve resultar em pouco mais que 20, ou seja, não pode resultar em 2,4. O texto complementar sobre ordem de grandeza, além de trazer esse conceito presente e importante para o letramento científico, trabalha com estimativas. Sugerimos usar a leitura desse texto e as atividades propostas para avaliar os alunos em habilidades que não são muito cobradas nas avaliações formais.

IV. Integração com outras áreas do conhecimento O texto sobre o Papiro de Rhind possibilita que você relembre a importância da civilização egípcia para a história da humanidade e da Matemática (sistema denumeração egípcio, medidas e esticadores de cordas, método da falsa posição), buscando, sepossível, interdisciplinaridade com História.

MANUAL DO PROFESSOR

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O trabalho com o texto complementar “Ordem de grandeza” pode ter a parceria de um professor de Física, por exemplo, mostrando aos alunos como a potenciação e os registros na notação científica serão importantes nesse componente que fará parte do currículo dos alunos no Ensino Médio.

V. Texto complementar para trabalhar com os alunos Ordem de grandeza Nas ciências e nas atividades do dia a dia, nem sempre é preciso saber com exatidão o valor de uma grandeza, bastando determinar o que chamamos de ordem de grandeza do número que expressa sua medida. A ordem de grandezade um número é3 a potência de base dez mais próxima dele. Por exemplo: A ordem de grandeza de 2 890 é 10 (ordem de unidade de milhar), pois o valor 2 890 está compreendido entre 103 (1 000) e 104 (10 000) e está mais próximo de 103. A ordem de grandeza de 0,03 3 · 10 2 é 10 2 (centésimos) porque 0,03 está compreendido entre 10 2 (0,01) e 10 1 (0,1) e está mais próximo de 10 2. A ordem de grandeza de 85 000 é 105 porque 85 000 está entre 104 (10 000) e 105 (100 000) e está mais próximo de 10 5. Veja exemplos práticos do uso da ordem de grandeza: 1) É comum ouvirmos afirmações do tipo: “A distância da Terra à Lua é da ordem de 105 km.” 105  100 000 km, ou seja, a distância da Terra à Lua é da ordem de centenas de milhares de quilômetros “O prejuízo foi da ordem de milhões de reais.” A ordem de grandeza nesse caso é 106  1 000 000. 2) Uma fazenda de forma retangular mede 8 270 m por 3 210 m. Podemos não estar interessados na área exata em metros quadrados (m2) dessa fazenda, mas sim na ordem de grandeza dessa área: milhares de m2, milhões de m2, etc. Observe: 8 270 está entre 1 000 e 10 000, mais próximo de 10000, ordem de grandeza: 104 3 210 está entre 1 000 e 10 000, mais próximo de 1000, ordem de grandeza: 103 Como a área de um retângulo é obtida multiplicando comprimento e largura, temos que a ordem de grandeza da área da fazenda é de 104 · 103  107 (ordem de dezenas de milhão). De fato, efetuando 8 270 m  3 210 m obtemos 25 546 700 m2. •



•









•

Ordem de grandeza e estimativas

A ideia de ordem de grandeza pode ajudar a fazer previsões e evitar erros nos resultados de operações. Observe os exemplos: •

54

196,49 : 9,8  196,49 tem ordem de grandeza 102 9,8 tem ordem de grandeza 10 1 102 : 101  101, ou seja, o quociente terá ordem de grandeza de dezenas De fato, 196,49 : 9,8  20,05.

MANUAL DO PROFESSOR

Se o resultado obtido fosse 2,005 ou 2,5 seria fácil perceber que havia erro. 18,65  0,0038  18,65 tem ordem de grandeza 101 0,0038 tem ordem de grandeza 10 3 101  10 3  10 2, ou seja, o produto terá ordem de grandeza de centésimos De fato, 18,65  0,0038  0,07087  7,087  10 2 Agora junte-se com um colega para fazer as atividades a seguir. 1) Qual a ordem de grandeza? a) do diâmetro da uma molécula de DNA humano: 0,000000002 m. 10 9 m b) da população da China em 2008: 1 300 000 000 de pessoas. 109 pessoas c) da distância entre Porto Alegre e Salvador: 3 071 km. 103 km d) da massa do meteorito de Bendegó (6 000 kg) que caiu na Bahia no século XVIII. 103 kg 2) Em números redondos, o diâmetro do Sol é cem vezes maior do que o da Terra. Qual é a ordem de grandeza do diâmetro do Sol, sabendo que o da Terra é de aproximadamente 13 000 km? 106 km 3) O Brasil tem aproximadamente 190 000 000 de habitantes. A ordem de grandeza da população brasileira é 10 8. Uma pessoa gasta, em média, 200 L de água por dia. Então a ordem de grandeza de consumo de água diário por habitante é de 102 L. Estime a ordem de grandeza em litros do consumo diário de água da população brasileira. •











1010 L

VI. Textos complementares para o professor Conceitos e controvérsias Zero é um número natural?

n

“Sim e não. Incluir ou não o número 0 no conjunto dos números naturais é uma questão de preferência pessoal ou, mais objetivamente, de conveniência. O mesmo professor ou autor pode, em diferentes circunstâncias, escrever 0  ou 0  . Como assim? Consultemos um tratado de Álgebra. Praticamente em todos eles encontramos {0, 1, 2, ...}. Vejamos um livro de Análise. Lá acharemos quase sempre  {1, 2, 3, ...}. Por que essas preferências? É natural que o autor de um livro de Álgebra, cujo principal

n

n n

n

interesse é o estudoneutro das operações, considere zero como um número natural, isso lhe dará um elemento para a adição de números naturais e permitirá quepois a diferença x  y seja uma operação com valores em não somente quando x  y , mas também se x  y. Assim, quando o algebrista considera zero como número natural, está facilitando a sua vida, eliminando algumas exceções. Por outro lado, em Análise, os números naturais ocorrem muito frequentemente como índices de x : → , cujo termos numa sequência. Uma sequência (digamos, de números reais) é uma função

n

n ®

MANUAL DO PROFESSOR

55

n

domínio é o conjunto dos números naturais. O valor que a funçãox assume no número natural n é indicado como a notação xn (em vez de x(n)) e é chamado o ‘n-ésimo termo’ da sequência. A notação (x1, x2, ..., x n, ...) é usada para representar a sequência. Aqui, o primeiro termo da sequência é x1, o segundo é x2 e assim por diante. Se fôssemos considerar  { 0, 1, 2, ...}, então a sequência seria (x0, x1, x2, ..., xn, ...), na qual o primeiro termo é x0, o segundo é x1 etc. Em geral, xn não seria o n-ésimo termo e sim o (n  1)-ésimo termo. Para evitar essa discrepância, é mais conveniente tomar o conjunto dos números naturais como  {1, 2, 3,...}. Para encerrar este tópico, uma observação sobre a nomenclatura matemática. Não adianta encaminhar a discussão no sentido de examinar se o número zero é ou não ‘natural’ (em oposição a ‘artificial’). Os nomes das coisas em Matemática não são geralmente escolhidos de modo a

n

n

transmitirem uma ideia sobre o que devem ser essas coisas. Os exemplos abundam: um número ‘imaginário’ não é mais nem menos existente do que um número ‘real’; ‘grupo’ é uma palavra que não indica nada sobre seu significado matemático e, finalmente, ‘grupo simples’ é um conceito extremamente complicado, a ponto de alguns de seus exemplos mais famosos serem chamados (muito justamente) de ‘monstros’. Qual é o valor de 00?

A resposta mais simples é: 00 é uma expressão sem significado matemático. Uma resposta mais informativa seria: 00 é uma expressão indeterminada. Para explicar essas respostas, talvez seja melhor examinar dois exemplos mais simples de fórmulas desprovidas de significado matemático, que são 0 e 1 . De acordo com a definição de 0 0 a divisão,  c significa que a  b · c. Portanto, se escrevêssemos 0  x e 1  y, essas igualdab 0 0 des significariam que 0  0 · x e 1  0 · y. “Ora”, TODO número x é tal que 0 · x  0 e NENHUM 0 1 número y é tal que 0 · y  1. Por isso se diz que 0 é uma ‘expressão indeterminada’ e que 0 a é uma ‘divisão impossível’. (Mais geralmente, toda divisão do tipo , com a  0, é impossível.) 0 Voltando ao símbolo 00, lembramos que as potências de expoente zero foram introduzidas a fim de que a fórmula

am an



am



, que é evidente quandom > n, continue ainda válida param  n.

n

b Pondo am  b, teremos então b



b0, logo b01 se b  0. No caso b  0, a igualdade

b b



b0

tomaria a forma 0  00, o que leva a considerar 00 como uma expressão indeterminada. Essa 0 conclusão é ainda reforçada pelo seguinte argumento: como 0 y  0 para todo y  0, seria natural pôr 00  0; por outro lado, comox0  1 para todo x  0, seria também natural pôr 00  1. Logo, o símbolo 00 não possui um valor que se imponha naturalmente, o que nos leva a considerá-lo como uma expressão indeterminada. As explicações acima têm caráter elementar e abordam o problema das expressões indeterminadas a partir da tentativa de estender certas operações aritméticas a casos que não estavam enquadrados nas definições srcinais dessas operações. Existe, porém, uma razão mais profunda, advinda da teoria dos limites, em virtude da qual0 e 00 (bem como outras fórmulas análogas) são expressões 0 indeterminadas. Escreve-se limx→af(x)  A para significar que o número A é o limite para o qual tende o valor f(x) da função f quando x se aproxima de a. Sabe-se que, se lim f(x)  A e lim g(x)  B, então x→a x→a f(x) A , desde que B  0. Por outro lado, quando lim f(x)  0 e lim g(x)  0, então nada  limx→a x → a x → a g(x) B 56

MANUAL DO PROFESSOR

f(x) quando x se aproxima de a. Dependendo g(x) f(x) das funções f e g que se escolham, pode-se conseguir que o quociente tenha como limite g(x) qualquer valor c dado de antemão, ou mesmo que não tenda para limite algum. Por exemplo, f(x) f(x)  c para todo x  a, logo lim  c. se tomarmos f (x)  c(x  a) e g(x)  x  a, então x→a g(x) g(x)

se pode garantir a respeito do limite do quociente

Por esse motivo se diz que 0 é uma expressão indeterminada. 0 Analogamente, dado a priori qualquer número real c  0, podemos achar funções f , g tais que lim f (x)  0, lim g(x)  0, enquanto lim f(x)g(x)  c. Basta, por exemplo, tomar f(x) e x→a x→a x→a log c log c g(x)  ; isso faz com que f ( x) g(x)  x log x  c para todo x  0, logo limx→0f ( x) g(x)  c. (Para log xc log x de que x log  c , tome logaritmos de ambos os membros dessa igualdade.) convencer-se Portanto, quando limx→af(x)  0 e limx→ag (x )  0, então limx→af(x)g(x) pode ter qualquer valor c, dado de antemão, desde que escolhamos convenientemente as funções f e g . Então se diz que 0 0 é uma expressão indeterminada.”

LIMA, Elon Lages. Conceitos e Controvérsias. Revista do Professor de Matemática 01. n. 76, p. 8-11. 2011.

Na seção Comentários da Unidade 1, sugerimos que você trabalhe com cuidado o boxe que mostra, por meio de um exemplo, por que tomamos base positiva no trabalho com expoentes racionais. O texto a seguir, retirado da seção ‘O leitor pergunta’ da Revista do Professor de Matemática, traz mais informações sobre este assunto.

Expoente racional e base negativa “O leitor pergunta: É válido? Um leitor de MS transcreveu o teste abaixo de um exame de vestibular: a Calculando-se  1 onde a   2 , obtém-se: 5 243 a) 81 b) 9 c) 9 d) 81 e) um número não real. •

[

]

e escreveu que não encontrou nos livros didáticos o conceito de potência racional de um número p

negativo (a q , a  0). Pergunta-se se é válido escrever 1



2 5

1

5



2 5

[

]









5[ ] 6 2

1

1  (1)1  (1) 2 [(1)2] 2





[(3) 5]

2 5  

( 3)2  9 243 3 RPM É válido, mas a questão poderia levantar dúvidas. A RPM examinou uns poucos livros didáticos e não encontrou nel es as propriedades de potências quando a base é um número negativo. Além disso, são famosos os aparentes paradoxos como, por exemplo, 



1

12



1. MANUAL DO PROFESSOR

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No conjunto C dos números complexos fica claro como lidar com expoentes racionais de números negativos. Lá, ‘extrair raízes’ é uma operação que leva a mais de uma resposta e pode-se 1 1 provar que, sendo m e n primos entre si, (z n)m  (z m)n, ou seja, as duas potências representam o 1 mesmo conjunto m de valores (o que explica o aparente paradoxo: em C, 12 representa o conjunto {1, 1}, em , 1). Contudo, no caso em quem é ímpar, não há nenhum problema em dividir m a raiz m-ésima de um número real qualquer da maneira usual ( a é o único número realx tal que xm  a), e depois elevar a raiz m-ésima à potência n. Não há nem necessidade de passar por C.”

®

PEREIRA, Antonio Luiz, WATANABE, Renate. Revista do Professor de Matemática, n. 66, p. 56, 2008.

VII. Sobre as atividades propostas Boxe da página 23

A calculadora auxilia a compreender a propriedade apresentada no boxe por meio de exemplos. Aproveite a calculadora para retomar a radiciação como operação inversa da potenciação. Boxe da página 29, atividade 1

No trabalho com radicais, é preciso estar atento a erros do tipo:  5   5   10,  7   3  4  2 etc. O boxe pretende chamar a atenção do aluno para que ele não cometa esses erros. Sempre que detectados, detenha-se e retome a ideia de radicais semelhantes e a adição e a subtração de radicais.

Unidade 2 – Equações do 2o grau I. Objetivo geral •

Ampliar os conhecimentos de Álgebra, em particular os relativos à resolução de equações, utilizando-os para representar e resolver problemas.

II. Objetivos específicos • • • • •

Representar e resolver situações e problemas por meio de equações. Reconhecer uma equação do 2o grau, identificando seus termos. Resolver equações do 2o grau, utilizando vários processos. Resolver equações biquadradas e irracionais. Resolver equações fracionárias que recaem em equações do 2o grau.

III. Comentários Relembramos, por meio de um problema, a resolução de equações do o1grau e, em seguida, apresentamos a ideia de grau de uma equação. De acordo com as necessidades dos alunos, você pode abordar mais situações representadas e resolvidas por equações, lembrando o que é incógnita, e o que significa resolver uma equação. Convém sempre pedir ao aluno que faça a verificação da solução encontrada para a equação e que se certifique de que essa solução é adequada ao problema. 58

MANUAL DO PROFESSOR

Ao desenvolver a resolução de equações do 2o grau, o aluno deve perceber que pode haver duas, uma, ou nenhuma solução no conjunto dos números reais. Depois da resolução de algumas equações incompletas, apresentamos a forma geral de uma equação do 2o grau, preparando, assim, a resolução das equações completas. Recordamos a representação geométrica de um trinômio quadrado perfeito para propor a resolução de equações do 2o grau pela fatoração desse trinômio. É importante falar sobre a contribuição dos árabes, em particular a de Al-Khowarizmi e o método de completar quadrados. O trabalho com fatoração do trinômio quadrado perfeito permite que o aluno compreenda mais facilmente como se chega à fórmula geral da resolução das equações do 2 o grau. Sugerimos que a obtenção da fórmula seja feita passo a passo, com a participação dos alunos. Os sistemas de equações não foram tratados em separado. Com os conhecimentos que possui e o exemplo dado, envolvendo Geometria, o aluno será capaz de resolver os problemas propostos. A Seção livre trata de uma questão que envolve um sistema de equações para representar uma situação contextualizada. O sistema recai em uma equação do 2o grau que não possui solução em , e avança, propondo que o aluno busque a maior área possível para um retângulo de perímetro 120 m, esperando que ele descubra que esta área será a do quadrado de lado 30 m. Consideramos importante valorizar o uso da soma e do produto das raízes de uma equação do 2o grau como forma, muitas vezes mais rápida, para determinar as soluções da equação. Na página 64, convidamos o aluno a fazer o contrário do que fez até o momento. Em vez de descobrir as raízes para escrever uma equação do 2 o grau, ele partirá das raízes para escrever uma equação do 2o grau. O texto é simples e os alunos têm condições de desenvolvê-lo numa leitura silenciosa. Você pode apresentar um fechamento no quadro, resumindo as informações vistas. Sabemos o quanto o estes conhecimentos serão úteis no Ensino Médio, para o estudo das funções do grau. 2

®

o

Aoétrabalhar com as eequações quenão recaem emsoluções equações do grau 2 (página 68),denominadores. relembre o que fração algébrica enfatize fracionárias o cuidado para incluir que possam anular A resolução de equações irracionais merece alguns comentários. Quando elevamos ambos os membros de uma equação ao quadrado, por exemplo, a nova equação não é equivalente à srcinal, esta pode ter uma solução especial que não é solução da equação dada. Veja um exemplo simples: → x2 x2  4 ↓

↓

Solução: 2

Soluções:  2

Nas equações irracionais, elevamos ambos os membros a um expoente conveniente, com o objetivo de retirar o radical. No entanto, é preciso verificar se todas as soluções obtidas são também soluções da equação srcinal.   x 5x1  ( x 5 )2  (x  1)2 x  5  (x  1)2 x  5  x2  2x  1 x  1 ou x  4  Repare que 1 é solução somente da equação x 5  (x  1)2, pois 1  5  1  1 é falso. É importante que o aluno perceba que, conhecendo diversas estratégias e processos de resolução de equações do 2o grau, ele pode e deve escolher aquele que julgar mais adequado para a equação ou problema que pretende resolver.



MANUAL DO PROFESSOR

59



Sugestões de avaliação 1) Os jogos são sempre bem-vindos para diversificar a dinâmica em sala de aula e proporcionar a

você a observação dos alunos em diferentes situações. Eles possibilitam uma interação maior entre pares, desenvolvendo aspectos sociais importantes. Apresentamos a seguir uma sugestão de jogo simples que lhe possibilitará avaliar o aprendizado do conteúdo e as atitudes dos alunos com relação a seu grupo e aos demais. Pescando equações

Improvise varinhas de pescar, com ripas de madeira, linha grossa ou barbante e um gancho de arame em forma de anzol. Tome cuidado para que o gancho não ofereça risco aos alunos e a madeira não tenha farpas. Em um recipiente, que pode ser uma bacia bem grande, contendo areia de construção, enterre cerca de 20 cartões de papelão ou

o tt e r o v a F o d n a n r e F

material similar, cada um com uma equação do 2o grau (como você pode ver na fotografia), de modo a esconder cada uma delas. Divida a classe em grupos de quatro alunos e dê uma varinha para cada grupo. Um representante de cada grupo “pesca” e resolve uma equação com a ajuda dos companheiros. O grupo lhe apresenta a solução. Se estiver correta, outro representante pesca um novo cartão, e assim por diante, até terminarem os cartões. Você pode montar uma ficha de observação para anotar o desempenho individual e do grupo. No final, vence o grupo que acertou mais equações. 2) O texto complementar sugerido para o trabalho com osalunos”, “Número de diagonais de um polígono”, prepara-os para o estudo de funções, pois parte da observação da interdependência do número de lados e o número de diagonais do polígono. Nas quest ões propostas, há itens que requerem a resolução de equações do o2grau, contemplando o conteúdo desta unidade. Sugerimos que o trab alho se ja feito em duplas, na sala de aula. A observação do trabalho dos alunos e a correção das atividades podem ser utilizadas como instrumento de avaliação. 60

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IV. Integração com outras áreas do conhecimento O assunto equações tem grande envolvimento com a História da Matemática. Osalunos em geral se interessam pela história da Álgebra. O livro explora isso em boxes que falam de Viète, Descartes, Al-Khowarizmi e Euler. Também apresentamos o texto “O furto da fórmula”, que, além de interessante, traz comentários sobre o panorama europeu nos séculos XV e XVI.

V. Texto complementar para trabalhar com os alunos Número de diagonais de um polígono Quantas diagonais tem um polígono de 18 lados? Um polígono com 54 diagonais tem quantos lados? Será que podemos responder a estas questões sem precisar desenhar estes polígonos? Para descobrir, vamos utilizar um procedimento muito comum na Matemática: investigar padrões, ou seja, investigar se existe relação entre o número de diagonais e o número de lados do polígono. Acompanhe: Triângulo: 3 lados E A D : s e õ ç ra t s lIu

O triângulo não possui diagonais.

Quadrilátero: 4 lados

De cada vértice sai uma diagonal. Número de diagonais  4 lados  1 diagonal  2 2 Observe que dividimos por 2 para não contar a mesma diagonal duas vezes.

Pentágono: 5 lados

De cada vértice saem duas diagonais. Número de diagonais  5 lados  2 diagonais 2



5



9

Hexágono: 6 lados

De cada vértice saem três diagonais. Número de diagonais  6 lados  3 diagonais 2

MANUAL DO PROFESSOR

61

1) Desenhe no caderno um heptágono e descubra quantas diagonais ele tem. Compare com

os exemplos anteriores. Lembre-se: queremos encontrar um padrão!O heptágono tem 14 diagonais. 2) Você descobriu a relação entre onúmero de lados do polígono e o número de diagonais que partem de cada vértice? Escreva por extenso esta relação. O número de diagonais que partem de cada vértice é igual ao número de lados menos três.

3) O decágono é o polígono de 10 lados. Podemos afirmar quantas diagonais partem de cada Sim, 10 · 7  35 diagonais vértice deste polígono e quantas diagonais ele tem sem precisar desenhá-lo? 2 4) Se um polígono tem n lados, como representamos o número de diagonais que partem de cada vértice? n – 3

5) Escreva a fórmula que permite calcular o número de diagonais D de um polígono de n n · (n – 3)

lados. D  2 6) Responda agora às perguntas do início do texto. a) Quantas diagonais tem um polígono de 18 lados? 135 D  n · (n – 3) ; 54  n (n – 3) → 2 2 b) Quantos lados tem o polígono que apresenta 54 diagonais?→ n2 – 3n – 108 0 n  12 7) Descubra se existe um polígono com 100 diagonais. Não.

VI. Textos complementares para o professor Sobre Bhaskara Bhaskara Acharya (Bhaskara, o Instruído) viveu, aproximadamente, de 1114 a 1185, na Índia. Em sua família havia vários astrólogos. Ele combinou essa formação com os estudos científicos, mas dedicou-se mais intensamente à Matemática e à Astronomia. Foi diretor do Observatório de Ujjain, conceituado centro de pesquisas matemáticas e astronômicas da Índia e é considerado o matemático mais importante da sua época. Seu livro mais famoso, o Lilavati, trata de problemas de Aritmética, Geometria Plana e Análise Combinatória. Lilavati é um nome próprio de mulher. Outro livro importante escrito por ele chama-se Bijaganita (“Outra Matemática”) e trata de Álgebra. Nesta obra, Bhaskara aborda a resolução de equações. O livro não traz grandes contribuições para o estudo das equações determinadas, mas ébem-sucedido na resolução de equações indeterminadas ou diofantinas como: y  x  1, que aceita todos os x  a e y  a  1 como soluções, qualquer que seja o valorade ; a famosa equação de Pell: x2  Ny 2  1. Seu trabalho com estas equações foi admirado, mas sua história não tem ligação com a fórmula geral de resolução de equações do 2o grau. Sabe-se que os hindus já usavam regras para resolver equações do 2 o grau muito antes de Bhaskara, como é possível ver na obra de Aryabhata (500 d.C.). Nessa época, no entanto, as equações ainda eram expressas e resolvidas usando-se palavras. Os símbolos, a notação algébrica que hoje usamos, não existiam. As fórmulas matemáticas só surgiram aproximadamente 400 anos depois da morte de Bhaskara, ou seja, ele nem sequer sabia o que era uma fórmula. Portanto, apesar de Bhaskara ser considerado um grande matemático, não se pode atribuir a ele a fórmula de resolução das equações do 2o grau. Hoje, poucas são as publicações que ainda usam o nome “fórmula de Bhaskara”. • •

62

MANUAL DO PROFESSOR

Aprendendo com os alunos! Apresentamos a seguir o relato de um professor que se surpreendeu com a esperteza de um aluno quando trabalhava em sala com a soma e o produto das raízes de uma equação do 2 o grau. Isso mostra que o professor ensina e também aprende. E muito! De nossos alunos

“Numa aula, eu estava mostrando aos meus alunos que algumas vezes podemos achar mentalmente as raízes de uma equação do 2o grau. Por exemplo, para calcular as raízes de x²  5x  6  0, basta procurar dois números cuja soma é 5 e o produto é 6. Percebe-se logo que 2 e 3 são os números procurados. Dei vários outros exemplos. Chamei a atenção dos alunos para o fato de que esse cálculo mental fica mais fácil se o coeficiente de x² for 1. Assim, na tentativa de resolver mentalmente a equação x6²  x  1  0, seria 1 1  0. x²  x  melhor dividir a equação toda por 6 (o que não muda as raízes), obtendo-se 6 6 Mas agora fica difícil fazer o cálculo mental porque apareceram frações. Para minha felicidade, um aluno falou: ‘Eu fiz de outro jeito. Tirei o 6 da frente do x² e multipliquei o último –1 por 6. Obtive a equação x²  x  6  0. Deu para adivinhar as raízes dessa equação: –2 e 3. Daí as raízes da equação inicial são  2   1 e 3  1 .’ 6 3 6 2 A resposta estava certa. Tentamos usar o ‘jeito’ do aluno em outras equações (tente você também com, por exemplo, 2x²  3x  2  0) e sempre obtivemos as raízes. Procuramos uma explicação. Se a equação inicial é ax²  bx  c  0, a  0, o ‘jeito’ do aluno a transforma na equação y²  by  ac  0. Ambas as equações têm o mesmo discriminante   b² – 4 ac. As raízes da primeira são x  – b  M e as da segunda são y  – b  M, daí o resultado obtido pelo aluno, 2a 2 y x  . Legal, não é?”

[ ]

a

MOURA, Edílson de. De nossos alunos. Revista do Professor de Matemática, n. 61, p. 9, 2006.

VII. Sobre as atividades propostas Boxe da página 62 É interessante propor aos alunos que preencham a tabela e conversem entre si, trocando ideias, para que percebam relações entre os coeficientes e as soluções da equação, antes da apresentação

formal da resolução de equações do 2o grau por soma e produto das raízes. O acompanhamento do texto teórico ficará mais fácil se o boxe for trabalhado. Seção livre da página 75 Proponha a leitura do texto e a resolução da atividade em duplas. O problema recai num sistema impossível. Fale sobre as possibilidades na resolução de um sistema: ele pode ter solução única, pode não ter solução ou ainda ter infinitas soluções. Se possível, mostre um exemplo de cada um. A ati vidade também possobilita mostrar que o quadrado tem a maior área possível para um perímetro dado. MANUAL DO PROFESSOR

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Unidade 3 – Sistema cartesiano I. Objetivos gerais • • • •

Identificar referenciais de localização utilizados no mundo real. Introduzir um referencial de localização para pontos de um plano. Representar um ponto do plano utilizando suas coordenadas cartesianas. Localizar um ponto no plano cartesiano por meio de suas coordenadas.

II. Objetivos específicos • • • • • •

Identificar a noção de direção e sentido no espaço de vida cotidiana. Localizar a posição de um objeto no plano, a partir de um referencial. Encontrar determinado local, em um guia, mapa ou planta. Identificar e representar pontos no plano cartesiano. Identificar e nomear os eixos do sistema cartesiano. Identificar abscissa e ordenada de um ponto.

III. Comentários Optamos por abordar a representação de pontos no sistema cartesiano neste momento devido a sua utilização na próxima unidade, que trata de funções. Dessa forma, o aluno aprende e em seguida aplica o que aprendeu. Antes de introduzir o sistema cartesiano, tratamos da localização de forma mais geral e contextualizada, enfatizando, mesmo que informalmente, direção e sentido. Mostramos a aplicação da ideia de coordenadasreferencial, na localização de um acidente e na reprodução de um desenho no papel quadriculado. Você pode, ainda, apresentar exemplos mais comuns como a batalha naval, o jogo de xadrez e a localização de uma rua num guia de cidades. Não há excesso de atividades diretas de localização de pontos, pois os alunos compreendem a forma de utilização do sistema cartesiano rapidamente. A breve biografia de Descartes não pode ser esquecida, pois é imprescindível para que os alunos conheçam a importância desse matemático. Apresentamos também um texto sobre coordenadas geográficas, buscando a integração com a Geografia. Esse tema desperta o interesse dos alunos e pode ser mais bem explorado num trabalho conjunto com o professor de Geografia.



Sugestão de avaliação Como dissemos, um trabalho em parceria com Geografia pode explorar mais o assunto “coordenadas geográficas”. Esse trabalho faria parte da avaliação. O tema pode ter continuidade, ainda de forma conjunta, quando for desenvolvido o conteúdo da Unidade 9 – “Círculo e cilindro”. (Ver comentários nessa unidade). 64

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IV. Integração com outras áreas do conhecimento A interdisciplinaridade com Geografia será contemplada no estudo das coordenadas geográficas. No sentido mais amplo de localização, você pode explorar os sistemas de localização presentes em guias de cidades, por exemplo. René Descartes foi filósofo e tem importância significativa para a história do pensamento humano. Aqui sugerimos a integração com História, que pode mostrar o contexto histórico na época de Descartes e comentar, de forma adequada à faixa etária, as principais ideias dele no campo da Filosofia.

V. Sobre as atividades propostas Atividade 7 Você pode solicitar que os alunos localizem e escrevam as coordenadas da capital do estado onde fica a escola, dentro do sistema apresentado. Atividade 14 Seria interessante trazer para a sala de aula um guia da cidade para que os alunos localizem nele o endereço da escola onde estudam e outros lugares importantes como museus, parques etc.

Unidade 4 – Funções I. Objetivo geral •

Estudar a relação entre grandezas por meio de expressões algébricas, tabelas e gráficos.

II. Objetivos específicos • • • •

•

Compreender o que é função, identificando suas variáveis e sua lei de formação. Determinar e utilizar a lei de formação para construir a tabela de valores da função. Escrever a lei de formação a partir da tabela de uma função. Analisar e interpretar gráficos, obtendo com base neles informações sobre a função que representam. Construir gráficos de funções do 1o e 2o graus.

III. Comentários O trabalho com variáveis e fórmulas desenvolvido a partir do 7 o ano prossegue no 9 o ano. As ideias sobre a interdependência entre grandezas foram apresentadas aos poucos, sendo sempre retomadas e ampliadas, para que nesse momento pudesse ser introduzido o conceito de função, mas ainda sem formalismos exagerados. No Ensino Médio, o trabalho com funções deve continuar, portanto não há por que “atropelar” o conteúdo querendo ensinar tudo agora. Apresentamos a noção de domínio e de imagem de uma função de uma maneira leve e por meio de exemplos somente. Deixamos a notação para o Ensino Médio, destacando apenas o fato de que quando o domínio de uma função não é explicitado, o domínio adotado é o subconjunto mais amplo possível de que torne a correspondência possível.

®

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O texto, os exemplos e as atividades têm por objetivo fazer com que o aluno reconheça uma função e suas variáveis, utilizando as formas de representação das funções para expressar e analisar variações de grandezas presentes em situações do trabalho, do cotidiano e da própria Matemática. Como o assunto apresenta diversidade de aplicações, você pode enriquecer as aulas trazendo exemplos de funções presentes em contextos mais próximos dos alunos. Destacamos o trabalho com a leitura de gráficos anterior à construção de gráficos de funções. Os alunos devem observar as escalas utilizadas em cada eixo, identificar as grandezas envolvidas, atentar para o tipo de traçado do gráfico, além de saber retirar informações dele. Propomos que a leitura desse item e a execução de atividades e exercícios sejam feitas em dupla, para que os alunos possam trocar observações e conclusões. A construção de gráficos de funções do 1o e 2o graus não se estende muito. Como já dissemos, o estudo mais aprofundado dessas funções acontece no Ensino Médio, daí optarmos por não trabalhar com domínio, imagem, zeros, crescimento e decrescimento etc. Por meio de um exemplo, explicitamos a relação entre grandezas diretamente proporcionais e a função linear. Outros exemplos e atividades que trabalhem proporcionalidade e funções podem ser apresentados por você, caso julgue necessário. Na construção da parábola que representa uma função quadrática, é conveniente chamar a atenção do aluno para o eixo de simetria e o ponto de vértice, tal como se faz no texto.



Sugestões de avaliação Há duas ideias para esta unidade: 1) O item “Interpretando gráficos” pode ser desenvolvido em duas aulas, em duplas. Os alunos

leem o texto e ao final da leitura respondem às questões do boxe no caderno. Circulando pela classe, você faz anotações pontuais de como as duplas se saíram nessa tarefa. Não é necessário anotar o resultado de todas por enquanto, pois há a segunda etapa, na qual os alunos resolverão os exercícios desta seção. Na aula seguinte, as duplas e que ainda não foram avaliadas conduzem a correção dos exercícios no quadro. Mais uma vez você mediará o trabalho solucionando dúvidas, observando o desempenho das duplas e avaliando mais uma parte da sala. Ao final da atividade, os alunos compartilham oralmente suas impressões sobre a dinâmica de aula e listam os aspectos mais importantes do conteúdo visto. 66

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Apresentamos a seguir uma sugestão de ficha de observação que facilitará a avaliação. Números Leitura e Resolução dos alunos resolução do dos da dupla boxe exercícios 2 A 21 A 14 18

Correção Participação no dos fechamento da Observações exercícios atividade A A AP AP

AP AP

A: atingiu os objetivos da atividade

Nota ou conceito

N A

AP: aproveitamento parcial

N: não atingiu os objetivos da atividade

O aluno será avaliado em um ou mais momentos durante a atividade. 2) Na Revista do Professor de Matemática , as autoras Kátia Smole, Marília Centurión e Maria

Ignez Diniz apresentam atividades interessantes para o trabalho com gráficos de funções. Reproduzimos aqui as atividades 5, 6, 7 e 8, que podem ser utilizadas como avaliação para esta unidade, aproveitando, inclusive, as ideias expostas anteriormente. Na atividade 7 seria interessante apresentar dados atualizados. “ATIVIDADE 5

Determinar os gráficos das leis que a cada número natural n associam mdc (2, n) ou mdc (5, n) explorando o conceito de função periódica. 5 2

4

Saída 3 mdc (5, n)

Saída mdc (2, n) 1

2 1

E A D

1

2

3

4

5 6 7 Entrada

8

E A D

91 0 11

1

2 3

4 5 6 7 8 Entrada

9 10 111 2

ATIVIDADE 6

Feito o estudo de área e perímetro do quadrado, podemos propor que, a partir do quadrado de lado 1 unidade, o aluno construa a seguinte tabela: Medida do lado () Perímetro (P  4 ) Área (A  ²)

1 4 1

2 8 4

Pronta a tabela, a próxima etapa é representar ambos os valores (da área e do perímetro) para cada valor do lado

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num mesmo par de eixos. Unindo os pontos obtidos teremos um gráfico comparativo da evolução do perímetro e da área de um quadrado, a partir da medida de seu lado. Podemos colocar as seguintes questões: O que é maior – a área ou o perímetro de um quadrado? Observando o ponto Q, que conclusões podemos tirar?

16

3

E A D

20 Q

12 9 8 4 1 12345 área

perímetro

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ATIVIDADE 7

Observando o gráfico, responda: a) Do que trata o gráfico? b) De 1970 a 1990 o desmatamento em Rondônia aumentou ou diminuiu? c) Qual a porcentagem aproximada da área desmatada entre 1980 e 1985? d) Se tudo continuar assim, em 1990 qual será, aproximadamente, a porcentagem da área desmatada? e) Em que ano a área desmatada atingiu 10%? f) Por que entre 1970 e 1975 o gráfico está tão próximo à linha onde estão marcados os anos? g) Qual o valor máximo que a porcentagem da área desmatada poderá atingir?

Desmatamento em Rondônia

% de área desmatada 20

E A D

15 10 5 0 1970

1975

1980

1985

1990

Folha de S.Paulo, 12.02.89.

ATIVIDADE 8

Observe os gráficos de consumo anual de chicletes das marcas ‘Boa Bola’ e ‘Gruda Bem’: Venda em milhares

E A D

Boa Bola

70

Venda em milhares

E A D

Gruda Bem

70

20 20

1985

1988

Ano

1985

1988

Ano

Qual a marca mais vendida? Por quê? Esses dois gráficos analisam situações semelhantes. No entanto, a mudança de escala em um dos eixos induz à falsa impressão de que o chiclete ‘Boa Bola’ foi mais consumido que o outro.” SMOLE, K. C. S.; CENTURIÓN, M. R.; DINIZ, M. I. de S. V. A interpretação gráfica e o ensino de funções. Revista do Professor de Matemática. São Paulo: SBM, n. 14, p. 5 e 6, 1989.

IV. Integração com outras áreas do conhecimento O estudo das funções pode envolver atividades relacionadas a várias disciplinas. Umagrandezas ideia é montar, com oproporcionais professor de eCiências de Física, uma atividade que trabalhe diretamente função ou linear . Por exemplo, um estudoexperimental de movimento retilíneo uniforme, no qual se observe a variação da posição deum móvel em função do tempo. Sempre é possível improvisar, usando um pedaço de mangueira transparente, graduada em centímetros, um cronômetro ou relógio e um atuzinho t de jardim parapercorrer, provavelmente em velocidade constante, a trajetória determinada pela mangueira. Os alunos devem anotar em uma tabela a posição do atuzinho t a cada intervalo de tempo edepois traçar o gráfico da função,verificando se há proporcionalidade direta entre espaço e tempo e tentando determinar a lei de formação da função. 68

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Unidade 5 – Noções de probabilidade I. Objetivos gerais • •

•

Ampliar as habilidades de cálculo combinatório. Levar o aluno a descobrir que é possível associar a cada evento um número que expresse a chance ou probabilidade de sua ocorrência. Relacionar cálculo de probabilidades com Estatística.

II. Objetivos específicos •

• •

Calcular a probabilidade de ocorrência de alguns eventos por meio da razão: número de possibilidades favoráveis número total de possibilidades Identificar população e amostra. Elaborar, aplicar e analisar uma pesquisa estatística simples.

III. Comentários Apresentamos o conceito de probabilidade de ocorrência de um evento a partir de uma situação contextualizada. A unidade pode ser iniciada com a leitura dessa situação. Permita que os alunos reflitam e expressem suas ideias sobre a pergunta que encerra a página 133: “Como expressar matematicamente que, nessa situação, as chances de Rogério ganhar são maiores?”. O questionamento pode incluir perguntas do tipo: “Embora Rogério tenha maior chance, podemos afirmar que ele ganhará?”. Em seguida, com base nas reflexões dos alunos, você organiza o que foi discutido, encerrando a leitura e concluindo as ideias. Consideramos a atividade do boxe da 135 complementar a leitura do texto. A experiênciaimportante concreta ajuda na compreensão dopágina conceito depara probabilidade. Trabalhamos nos volumes anteriores com problemas simples de contagem. Nesta unidade, os alunos perceberão que é preciso saber contar com outros recursos (montar tabelas, diagramas de árvore etc.) para poder calcular a probabilidade de ocorrência de um evento. O texto sobre a história dos seguros pretende ressaltar como as relações entre a estatística e o cálculo de probabilidades se estabeleceram desde tempos muito remotos.



Sugestão de avaliação

A atividade descrita a seguir possibilita avaliar conteúdo, expressão oral e escrita, além de aspectos atitudinais. Atividade

Os alunos podem formar grupos de quatro integrantes, que devem estar munidos de dois dados e algumas moedas de R$ 0,50 ou de R$ 1,00. Trabalhar com o material concreto possibilitará que os alunos vivenciem os experimentos, podendo visualizar melhor os resultados possíveis. MANUAL DO PROFESSOR

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Cada item sugerido envolve um experimento com moeda e um com dado. O grupo, antes de realizar o experimento, discute os eventos, analisando qual deve ter maior probabilidade de ocorrer, justificando a resposta. Em seguida, explicitam os resultados possíveis e calculam a probabilidade de ocorrer o evento descrito. Você mediará as atividades, observando, questionando e orientando as discussões e os registros. Além de avaliar os alunos durante as atividades, no final pode-se também recolher os registros dos grupos. •

Experimento 1:

Moeda: obter cara no lançamento de uma moeda. Dado: obter o número 5 no lançamento de um dado. •

Experimento 2:

Moeda: obter coroa no lançamento de uma moeda. Dado: obter um número ímpar no lançamento de um dado. •

Experimento 3:

Moeda: obter duas caras ou duas coroas no lançamento simultâneo de duas moedas. Dado: obter um número menor que 5 no lançamento de um dado. •

Experimento 4:

Moeda: obter três caras no lançamento simultâneo de três moedas. Dado: obter faces iguais no lançamento simultâneo de dois dados. •

Experimento 5:

Moeda: obter duas caras e uma coroa no lançamento simultâneo de três moedas. Dado: obter soma de pontos maior que 6 no lançamento simultâneo de dois dados.

IV. Integração com outras áreas do conhecimento As probabilidades estão presentes em vários campos da atividade humana. Você pode mostrar aplicações verificáveis no cotidiano de seus alunos. Um exemplo que costuma interessá-los: a probabilidade de determinado time vencer um campeonato de futebol. No Livro do Aluno, enfocamos as aplicações nos ramos dos seguros e no cálculo da probabilidade de acidentes fatais no trânsito. A Seção Livre das páginas 145 a 148 tem como tema a PNAD (Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílio), apresenta ndo-a como exemplo de pesquisa estatística importante para o país. O texto é permeado por atividades que podem ser realizadas em duplas, para que discutam não só as respostas, mas também os dados brasileiros relativos a saneamento, alfabetização , emprego e posse de bens duráveis. O tema pode ser ampliado para outros aspectos caso seja possível uma parceria com o professor de Geografia, por exemplo. Nesse caso, sugerimos trabalhar com os dados numéricos acerca dos oito objetivos do milênio (há um texto sobre estes objetivos na página 147), ou ainda com os dados do Censo 2010. Um trabalho como este certamente contribui para a formação cidadã. A Seção Livre se encerra convidando os alunos a fazer uma pesquisa estatística sobre um tema de sua escolha, envolvendo escolha da amostra, entrevistas, coleta e organização de dados, análise dos resultados e encaminhamento de possíveis ações. 70

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V. Texto complementar para o professor O texto a seguir, proposto como leitura complementar, apresenta um jogo chamado Mini-Bozó para desenvolver a ideia clássica de probabilidade. Além de propor o jogo e explicar minuciosamente seus passos, o autor explica brevemente o que é a concepção clássica de probabilidade e, ao final, enumera e comenta vários conceitos que podem ser tratados em sala de aula com o auxílio do jogo proposto.

Uma Proposta Didático-Pedagógica para o Estudo da Concepção Clássica de Probabilidade 1 Introdução

“A concepção clássica de probabilidade é atribuída a Laplace (1749-1827). Entretanto, [...] a definição de probabilidade como quociente do número de casos favoráveis sobre o número de casos possíveis foi a primeira definição formal de probabilidade, e apareceu pela primeira vez em forma clara na obra Liber de Ludo Aleae de Jerônimo Cardano (1501-1576)” (MORGADO et al., 2004, p. 119).

A definição de probabilidade de Laplace é válida somente quando o Espaço Amostral possui um número finito de elementos e os Eventos Elementares são equiprováveis, ou seja, possuem a mesma probabilidade de ocorrência. A concepção clássica de probabilidade possui forte conexão com o raciocínio combinatório. Os Standards (NCTM, 1989) recomendam o seguinte procedimento combinatório para que os alunos compreendam matematicamente a srcem e aprendam o conceito implícito na definição laplaciana de probabilidade: construir uma tabela ou diagrama de árvore, fazer uma lista e usar um simples procedimento de contagem. A capacidade combinatória é fundamental para o raciocínio hipotético-dedutivo, o qual opera pela combinação e avaliação das possibilidades em cada situação, e emerge simultaneamente após a idade de 12 a 13 anos, no chamado Estado das Operações Formais da teoria Piagetiana (NAVARRO-PELAYO, BATANERO e GODINO, 1996). Para o Ensino Fundamental e Médio, uma outra concepção de probabilidade que pode e deve ser trabalhada é a frequentista, ou seja, a definição de probabilidade obtida por um processo de experimentação e simulação. Coutinho (2001) mostrou a importância de se trabalhar com a dualidade dos enfoques para a noção de probabilidade, combinatório  frequentista, ou seja, oferecer aos alunos situações-didáticas que envolvam problemas, que devem ser resolvidos experimentalmente (simulação), e validados pelo cálculo a priori de uma probabilidade pela definição laplaciana. Assim, os alunos podem construir passo a passo o conceito de probabilidade. De nossa experiência com professores do Ensino Fundamental e Médio emcursos de formação continuada, em cursos de especialização, em minicursos apresentados em congressos científicos e em projetos de pesquisa desenvolvidos diretamente com estes professores, constatamos que a maioria deles considera difíceis os conteúdos de Análise Combinatória e Probabilidade. Isto corrobora o estabelecido no Caderno do Professor, elaborado pela Secretaria de Educação do Estado de São Paulo: ‘os conteúdos pertinentes à Análise Combinatória e ao Cálculo de Probabilidades, [...] costumam trazer desconforto não apenas aos estudantes, mas também aos professores’ (SÃO PAULO, 2008, p. 9). MANUAL DO PROFESSOR

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2 Uma proposta construtivista parao uso de jogos em sala de aula Com base nos Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1997, 2000); nas etapas da ação construtivista de Macedo, Petty e Passos (2000) para o trabalho com jogos; nos momentos de intervenção pedagógica com jogos, de Grando (2000); no esquema de aula de Onuchic (1999) sobre o uso da resolução de problemas; no relato de experiência de Borin (2004) sobre o uso de jogos através da metodologia de Resolução de Problemas e na asserção de Moura (1992) sobre a possibilidade da união entre o jogo e a resolução de problemas, propomos, a seguir, uma intervenção didático-pedagógica para a utilização de um jogo, associada à metodologia de resolução de problemas, para a construção de um conceito matemático. [...] 2.1 O jogo Mini-Bozó O jogo proposto é srcinal, utiliza dois dados, e pode ser disputado por vários jogadores. É uma simplificação de um jogo bastante popular no estado do Mato Grosso do Sul conhecido como Bozó. A simplificação efetuada foi motivada pelo fato de que nosso objetivo é utilizar o jogo para ensinar conceitos básicos (iniciais) de Probabilidade, o que não seria adequado através do jogo Bozó, tendo em vista que este utiliza cinco dados. O leitor interessado poderá conhecer as regras do jogo Bozó em Brasil (2010). Objetivo: preencher todo o tabuleiro, de modo a obter mais pontos que o(s) adversário(s). Material: dois dados de cores diferentes (vermelho e branco), um copo não transparente, papel e caneta para registro dos pontos e um tabuleiro para cada jogador. Regras: 1. Pode ser disputado por duas pessoas ou mais, não existe limite no número de jogadores, mas um número excessivo de jogadores influencia no tempo do jogo. 2. Em cada jogada, o jogador poderá efetuar até dois lançamentos. O primeiro lançamento é feito sempre com com os dois Se o ou jogador optar poderá fazê-lo novamente os dados. dois dados reservar umpelo dossegundo dados, elançamento, efetuar o segundo lançamento com apenas um dado. 3. Em toda jogada, o jogador deve, obrigatoriamente, marcar uma casa do seu tabuleiro. Caso não exista possibilidade de marcação ele deve cancelar uma das casas ainda não marcada, fazendo um X sobre a casa que escolheu. Cada casa só pode sermarcada ou cancelada uma única vez. 4. O jogo termina quando todos os jogadores preencherem suas casas em seus respectivos tabuleiros. Cada jogador soma seus pontos, e ganha aquele que obteve a maior pontuação. O tabuleiro: E A D

Fú

Seguida Quadrada

General Figura 1 — Tabuleiro do Jogo Mini-Bozó

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A pontuação: Fú: duas faces distintas, mas não em sequência, valem a soma das faces. Seguida: duas faces distintas em sequência valem 20 pontos. Quadrada: duas faces iguais, mas diferentes de 6, valem 30 pontos. General: duas faces iguais a 6 valem 50 pontos. Quando se obtém Seguida, Quadrada ou General no primeiro lançamento, é dito – de boca – e adicionam-se 5 pontos ao valor srcinal da casa. Por exemplo, se o jogador conseguir Quadrada no seu primeiro lançamento, chama-se Quadrada de boca e marca-se 35 pontos ao invés de 30. Comentários sobre o jogo: Consideramos o jogo Mini-Bozó como sendo um Jogo de Estratégia, mas não no sentido definido em Borin (2004, p. 15). Como o jogo utiliza dado, então, o fator sorte não pode ser totalmente desprezado. Também, é impossível a determinação de uma estratégia sempre vitoriosa. Assim, o jogo nunca perde o sentido como jogo, e cada partida será, provavelmente, diferente da anterior. Toda jogada é pontuada, entretanto se a casa correspondente àquela pontuação jáestiver marcada, a pontuação deve ser desconsiderada e deve-se cancelar uma casa fazendo um X sobre a casa escolhida. Como o tabuleiro é composto de 4 casas, então, cada jogador efetua exatamente 4 jogadas, pois em cada jogada ele marca ou cancela uma das casas doseu tabuleiro. A estratégia pode variar, dependendo da posição de momento do jogo. Por exemplo, na primeira jogada, comtodas as casas desmarcadas, se o jogador obteve (2, 6)no seu primeiro lançamento, então, a melhorestratégia será reservar o dado com a face 6 e lançar novamente o outro dado. Agora, nesta mesma situação, se o objetivo do jogador for obter a casaSeguida, a melhor estratégia será reservar o dado com a face 2, pois neste caso terá duas chances em 6 de obterSeguida, ou seja, obter as faces 1 ou 3, enquanto que se reservar o dado com a face 6 terá apenas uma chance em 6 de obter, ou seja, obter a face 5. Quando da necessidade de se cancelar uma casa, a melhor estratégia pode não ser cancelar as casas mais difíceis (com menor probabilidade de ocorrerem), isto depende da pontuação já obtida pelo(s) outro(s) jogador(es). Obviamente, na casa cancelada o jogador marcará zero ponto. No jogo Mini-Bozó, cada jogador, em cada jogada, poderá efetuar até dois lançamentos. Para o primeiro lançamento, o jogador sempre utiliza os dois dados, o que corresponde ao Experimento Aleatório jogar dois dados simultaneamente e observar as faces superiores. Podemos considerar cada resultado possível desse experimento aleatório como sendo um par ordenado de números (a, b) em que a representa o resultado no dado vermelho eb o resultado no dado branco. Assim, teremos o Espaço Amostral, que será denotado por S, constituído dos seguintes 36 elementos: S  {(1; 1), (1; 2), (1; 3), (1; 4), (1; 5), (1; 6), (2; 1), (2; 2), (2; 3), (2; 4), (2; 5), (2; 6), (3; 1), (3; 2), (3; 3), (3; 4), (3; 5), (3; 6), (4; 1), (4; 2), (4; 3), (4; 4), (4; 5), (4; 6), (5; 1), (5; 2), (5; 3), (5; 4), (5; 5), (5; 6), (6; 1), (6; 2), (6; 3), (6; 4), (6; 5), (6; 6)}. Agora, para o segundo lançamento, o jogador terá a opção de utilizar os dois dados novamente ou reservar um dos dados e fazer o lançamento de apenas um deles. Neste caso, se utilizar os dois dados, teremos para este segundo lançamento o mesmo Espaço Amostral S1 do primeiro lançamento e, se utilizar apenas um dado, teremos o Espaço Amostral S1  {1, 2, 3, 4, 5, 6} que corresponde ao Experimento Aleatório jogar um dado e observar a face superior. Na sequência, e para a resolução dos problemas, quando dizemos que o jogador utilizou apenas o primeiro lançamento do jogo Mini-Bozó estamos considerando o Experimento Aleatório que consiste de um único lançamento dos dois dados, ou seja, estamos considerando o Espaço Amostral S. MANUAL DO PROFESSOR

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Depois de realizado o jogo, o professor pode fazer os questionamentos abaixo. O jogador deverá sempre aproveitar o segundo lançamento? O jogador terá mais chances em marcar a casa Quadrada do que a Seguida? 3 Espaço Amostral, Evento e Definição Clássica de Probabilidade Formulamos, a seguir, algumas situações-problema que poderão ser utilizadas para a sistematização do conceito de probabilidade na concepção de Laplace. Vamos supor na sequência a utilização de dois dados com faces equiprováveis. Para cada um dos problemas, fornecemos uma sugestão de solução que pode ser utilizada pelo professor. Para a solução dos problemas, os alunos deverão utilizar-se de sua própria linguagem. Não devemos exigir neste momento nenhum formalismo ou rigor característico da Matemática. O importante é que os alunos apreendam e reconstruam o conceito matemático. Apenas no final dos trabalhos de cada seção é que o professor deverá sistematizar o novo conceito estudado. É conveniente privilegiar, também, o trabalho e as discussões das soluções apresentadas entre os grupos. Problema 1: Quais são os pontos possíveis para a casa Fú? Solução: Independentemente do fato do jogador ter utilizado um ou dois lançamentos, são válidos para a casa Fú os casos onde as duas faces são distintas, mas não em sequência, ou seja, (1; 3), (1; 4), (1; 5), (1; 6), (2; 4), (2; 5), (2; 6), (3; 1), (3; 5), (3; 6), (4; 1), (4; 2), (4; 6), (5; 1), (5; 2), (5; 3), (6; 1), (6; 2), (6; 3) ou (6; 4). Como para a casa Fú vale a soma das faces, podemos obter, neste caso, as seguintes pontuações: 4, 5, 6, 7, 8, 9 ou 10. Portanto, a casa Fú poderá receber uma pontuação mínima de 4 e máxima de 10 pontos. o jogador utilizar apenas sua o primeiro lançamento do jogo Mini-Bozó, quais são 2: Se suasProblema chances de marcar a casa Fú? Justificar resposta. Solução: Temos neste caso os 36 resultados possíveis descritos no Espaço Amostral S. Da solução do problema 1, o jogador marca a casa Fú se ocorrer um dos seguintes 20 casos: (1; 3), (1; 4), (1; 5), (1; 6), (2; 4), (2; 5), (2; 6), (3; 1), (3; 5), (3; 6), (4; 1), (4; 2), (4; 6), (5; 1), (5; 2), (5; 3), (6; 1), (6; 2), (6; 3) ou (6; 4). Portanto, o jogador terá 20 chances em 36 de marcar a casa Fú se utilizar apenas o primeiro lançamento do jogo Mini-Bozó. O professor deve explorar o fatode que, quando lançamos dois dados (Experimento Aleatório), não sabemos qual resultado irá ocorrer. Entretanto, sabemos quaisserão os resultados possíveis(Espaço Amostral). A representação de todos os resultados possíveisem uma tabela de dupla entrada é bastante conveniente. A utilização daárvore de possibilidades também deve ser incentivada. Problema 3: Se o jogador utilizar apenas o primeiro lançamento do jogo Mini-Bozó, quais são suas chances de marcar 5 pontos na casa Fú? Justificar sua resposta. Solução: De maneira análoga ao problema 2, temos que o jogador marcará 5 pontos nos 2 seguintes casos: (1; 4) ou (4; 1). Portanto, o jogador terá 2 chances em 36 de marcar 5 pontos na casa Fú se utilizar apenas o primeiro lançamento do jogo Mini-Bozó. Problema 4: Se o jogador utilizar apenas o primeiro lançamento do jogo Mini-Bozó, quais são suas chances de marcar 7 pontos na casa Fú? Justificar sua resposta. 74

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Solução: Ainda da solução do problema 2 , temos que o jogador marcará 7 pontos nos seguintes 4 casos: (1; 6), (6; 1), (2; 5) ou (5; 2). Portanto, o jogador terá 4 chances em 36 de marcar 7 pontos na casa Fú se utilizar apenas o primeiro lançamento do jogo Mini-Bozó. Das soluções dos problemas 3 e 4 concluímos que se o jogador utilizar apenas o primeiro lançamento do jogo Mini-Bozó será mais provável marcar 7 do que 5 pontos na casa Fú . Quando da realização do 1 o momento da intervenção pedagógica, ou seja, da Utilização do Jogo , os alunos deverão perceber que algumas pontuações da casa Fú ocorrem com maior frequência do que trabalhando outras. Isto pode ser explorado pelo professor e significa que, intuitivamente, já estamos o conceito de probabilidade. O problema a seguir também tem este mesmo objetivo. Problema 5: Se o jogador utilizar apenas o primeiro lançamento do jogo Mini-Bozó, ele terá mais chances em marcar a casa Seguida do que a Quadrada? Justificar sua resposta. Solução: (a) Para marcar a casa Seguida o jogador deverá obter um dos seguintes casos: (1; 2), (2; 1), (2; 3), (3; 2), (3; 4), (4; 3), (4; 5), (5; 4), (5; 6) ou (6; 5). Assim, terá 10 chances em 36 para marcar a casa Seguida, considerando-se que utilizou apenas o primeiro lançamento do jogo Mini-Bozó. (b) Para marcar a casa Quadrada o jogador deverá obter um dos seguintes casos: (1; 1), (2; 2), (3; 3), (4; 4) ou (5; 5). Assim, terá 5 chances em 36 para marcar a casa Quadrada, considerando-se que utilizou apenas o primeiro lançamento do jogo Mini-Bozó. Portanto, de (a) e (b) concluímos que o jogador terá mais chances de marcar a casa Seguida, considerando-se que utilizou apenas o primeiro lançamento do jogo Mini-Bozó. Para as resoluções dos problemas 2, 3, 4 e 5 podemos observar que, intuitivamente, já estamos calculando a probabilidade (chance) como: probabilidade  número de possibilidades favoráveis, número total de possibilidades ou seja, estamos utilizando a resolução dos problemas para que os alunos possam construir/reconstruir a Concepção Clássica de Probabilidade. Após o trabalho com problemas, como os acima mencionados, o professor poderá iniciar a sistematização dos conceitos de Experimento Aleatório, Evento, Espaço Amostral, Evento Elementar e apresentar a Definição de Probabilidade de Laplace (6o momento da intervenção pedagógica). Todos estes conceitos já foram trabalhados nas soluções dos problemas, entretanto, em nenhum momento foram mencionados. Para este nível de escolaridade os PCN recomendam que se deve evitar a teorização precoce. A partir da sistematização dos conceitos outros problemas podem ser trabalhados como forma de reter os conceitos matemáticos estudados (7 o momento da intervenção pedagógica). Agora, os nomes dos conceitos, já definidos, devem ser utilizados e reforçados pelo professor. Os alunos devem se acostumar com as novas nomenclaturas: evento, espaço amostral e probabilidade. O termo probabilidade irá aparecer pela primeira vez no problema 6.

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4 Probabilidade da união de dois eventos O objetivo desta seção é calcular a probabilidade da união de dois eventos e mostrar que seu cálculo está relacionado à soma de probabilidades. Inicialmente, consideramos o caso de eventos mutuamente exclusivos e, posteriormente, o caso geral. Problema 6: Se o jogador utilizar apenas o primeiro lançamento do jogo Mini-Bozó, qual a probabilidade de marcar a casaSeguida ou a casa Quadrada? Solução: Vamos considerar os seguintes eventos: A: O jogador marcou a casa Seguida no seu primeiro lançamento; B: O jogador marcou a casaQuadrada no seu primeiro lançamento. Desejamos calcular a probabilidade de ocorrer o evento A ou ocorrer o evento B. Utilizando a notação da Teoria de Conjuntos desejamos calcular P(A B). Agora, A  {(1; 2), (2; 1), (2; 3), (3; 2), (3; 4), (4; 3), (4; 5), (5; 4), (5; 6), (6; 5)} tem 10 elementos e P(A)  10 ; 36 B  {(1; 1), (2; 2), (3; 3), (4; 4), (5; 5)} tem 5 elementos e P(B)  5 e 36 A  B  {(1; 2), (2; 1), (2; 3), (3; 2), (3; 4), (4; 3), (4; 5), (5; 4), (5; 6), (6; 5), (1; 1), (2; 2), (3; 3), (4; 4), (5; 5)} tem 15 elementos e P(A B)  15 . 36 Assim, P(A  B)  15  10  5  P(A)  P(B). 36 36 36 A propriedade P(A  B)  P(A)  P(B) não se verifica apenas para o problema 6. Esta relação se verifica sempre que os eventos A e B são mutuamente exclusivos, ou seja, A  B  ∅. Na Concepção Axiomática de Probabilidade, o matemático Kolmogorov estabeleceu esta propriedade como sendo um de seus axiomas. Axioma: Se A e B são eventos mutuamente exclusivos, então P(A  B)  P(A)  P(B). Devemos observar que, como os eventos A e B são eventos do mesmo espaço amostral S, então A  B também é um evento de S, onde S {(1; 1), (1; 2), ..., (1; 6), (2; 1), ..., (6; 6)} possui 36 elementos. Em linhas gerais, quando podemos satisfazer uma exigência ou outra, então somamos as probabilidades envolvidas. O professor deve, neste caso, destacar o papel do ou. Problema 7: Se o jogador utilizar apenas o primeiro lançamento do jogo Mini-Bozó, qual a probabilidade de marcar na casaFú um número par ou um número menor do que 7? Solução: Vamos considerar os dois seguintes eventos: A: O jogador marcou um número par na casa Fú em seu primeiro lançamento; B: O jogador marcou um número menor do que 7 na casaFú em seu primeiro lançamento. De modo análogo ao problema 6 desejamos calcular P(A  B). Para marcar um número par na casaFú o jogador deverá obter: 4, 6, 8 ou 10 pontos. Assim, A  {(1; 3), (3; 1), (1; 5), (2; 4), (4; 2), (5; 1), (2; 6), (3; 5), (5; 3), (6; 2), (4; 6), (6; 4)} que tem 12 elementos e P(A)  12 . 36 76

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Para marcar um número menor do que 7 na casa Fú o jogador deverá obter: 4, 5 ou 6 pontos. Assim, B  {(1; 3), (3; 1), (1; 4), (4; 1), (1; 5), (2; 4), (4; 2), (5; 1)} que tem 8 elementos e P(B)  8 . 36 Agora, A  B  {(1; 3), (3; 1), (1; 5), (2; 4), (4; 2), (5; 1), (2; 6), (3; 5), (5; 3), (6; 2), (4; 6), (6; 4), (1; 4), (4; 1)} que tem 14 elementos e P(A  B)  14 e A  B  {(1; 3), (3; 1), (1; 5), (2; 4), 36 6 (4; 2), (5; 1)} que tem 6 elementos e P(A  B)  . 36 Assim, P(A  B)  14  12  8  6  P(A)  P(B)  P (A  B) . 36 36 36 36 A propriedade P(A  B)  P(A)  P(B)  P (A  B) não se verifica apenas para o problema 7. É uma propriedade geral que pode ser demonstrada matematicamente para o cálculo da probabilidade da união de dois eventos quaisquer. Veja, por exemplo, Morgado et al. (2004) para uma prova desta propriedade. Se os eventos são mutuamente exclusivos, então, A  B  ∅ e P(A  B)  0, ou seja, recaímos no caso anterior do problema 6. 5 Probabilidade Condicional O cálculo de probabilidades condicionais está relacionado ao cálculo da probabilidade de um evento ocorrer sabendo-se que outro evento já ocorreua priori. O conceito de Probabilidade Condicional poderá ser sistematizado através do trabalho com situações-problema como as consideradas abaixo. Problema 8: Considerando-se que o jogador utilizou apenas o primeiro lançamento do jogo Mini-Bozó, qual a probabilidade de marcar a casa Quadrada, sabendo-se que ele obteve em pelo menos um dos dois dados uma face 5? Solução: No primeiro lançamento do jogo Mini-Bozó, o jogador utiliza os dois dados e temos o Espaço Amostral S constituído de 36 resultados possíveis. Agora, como nos foi fornecida a informação de que o jogador obteve em pelo menos um dos dois dados a face 5, então um dos possíveis 11 casos deve ter ocorrido: {(1; 5), (5; 1), (2; 5), (5; 2), (3; 5), (5; 3), (4; 5), (5; 4), (5; 5), (5; 6), (6; 5)}. Assim, como dentre os 11 casos possíveis apenas no caso (5; 5) o jogador marcará a casa Quadrada, então a probabilidade pedida será p  1 . 11 A representação do Espaço Amostral S, dos 11 casos possíveis: {(1; 5), (5; 1), (2; 5), (5; 2), (3; 5), (5; 3), (4; 5), (5; 4), (5; 5), (5; 6), (6; 5)}, e do caso favorável (5; 5) num eixo cartesiano pode facilitar a compreensão do conceito de Probabilidade Condicional. Problema 9: Considerando-se que o jogador utilizou apenas o primeiro lançamento do jogo Mini-Bozó, qual aa sete? probabilidade de marcar a casa Quadrada, sabendo-se que a soma das faces obtidas foi igual Solução: De maneira análoga ao problema 8, sabendo-se que a soma das faces é 7, então um dos 6 possíveis casos deve ter ocorrido: {(1; 6), (6; 1), (2; 5), (5; 2), (3; 4), (4; 3)}. Assim, não existe neste caso a possibilidade do jogador marcar a casa Quadrada, ou seja, não ocorrem faces iguais quando a soma é sete. Portanto, a probabilidade pedida será dada por p  0. MANUAL DO PROFESSOR

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Problema 10: Considerando-se que o jogador utilizou apenas o primeiro lançamento do jogo Mini-Bozó, qual a probabilidade de marcar a casa Quadrada, sabendo-se que obteve números ímpares nas faces dos dois dados? Solução: Da mesma forma que no problema 8, temos que um dos 9 possíveis casos ocorreu: {(1; 1), (1; 3), (1; 5), (3; 1), (3; 3), (3; 5), (5; 1), (5; 3), (5; 5)}. Assim, o jogador marcará a casa Quadrada quando obtém um dos três seguintes casos: (1; 1) ou (3; 3) ou (5; 5). Portanto, a probabilidade pedida será dada por p  3  1 . 9 3 Devemos observar que, nos três problemas anteriores, estamos sempre calculando a probabilidade do jogador, em seu primeiro lançamento, marcar a casaQuadrada no jogo Mini-Bozó. Entretanto, a informação fornecida a priori, altera o valor da probabilidade. O cálculo da probabilidade está condicionado à informação disponível a priori. Esta é a essência do conceito de Probabilidade Condicional, ou seja, a probabilidade de um evento é modificada pela informação de que outro evento já tenha ocorrido. Depois do trabalho com situações-problema do tipo dos problemas 8, 9 e 10, o professor, certamente, terá mais facilidade para sistematizar o conceito de Probabilidade Condicional. No problema 10, definimos os eventos: A: O jogador marcou a casa Quadrada; B: O jogador obteve números ímpares nas faces dos dois dados. Desejamos calcular a probabilidade de ocorrer o evento A, sabendo-se que o evento B já ocorreu. O professor deve mencionar a necessidade de outra notação para indicar esta probabilidade; temos, de agora, dois B). eventos envolvidos. A notação comumente utilizada é P(A | B) (leia-se probabilidade A dado Temos que B {(1; 1), (1; 3), (1; 5), (3; 1), (3; 3), (3; 5), (5; 1), (5; 3), (5; 5)} tem 9 elementos. Assim, P(B)  9 . 36 Agora, A  {(1; 1), (2; 2), (3; 3), (4; 4), (5; 5)} e A  B  {(1; 1), (3; 3), (5; 5)} tem 3 elementos. Assim, P(A  B)  3 . 36 Desses cálculos, e observando o resultado do problema 10, obtemos: 3 3 P(A  B). 36 P(A | B)    9 P(B) 9 36 Assim, obtivemos a relação: P(A | B) P(A  B) , a qual não se verifica apenas para o caso P(B) particular do problema 10. Na verdade, essa relação é a definição de probabilidade condicional (MORGADO et al., 2004). Para obtermos consistência na definição de Probabilidade Condicional exigimos que P(B) > 0. Segundo Meyer (1976, p. 39), ‘sempre que calcularmos P(A | B), estaremos essencialmente calculando P(A) em relação ao espaço amostral reduzido B, em lugar de fazê-lo em relação ao espaço amostral srcinal S’.

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Após a sistematização do conceito, com a apresentação de sua definição e algumas propriedades básicas, pode-se, então, resolver outros problemas com o objetivo de fortalecer o aprendizado de técnicas e fixar o conceito de Probabilidade Condicional. Neste momento, deve-se privilegiar a utilização do conceito estudado através do uso de suas fórmulas e propriedades e do rigor característicos da matemática. 6 Eventos Independentes O problema 11 pode ser utilizado para sistematizar o importante conceito de eventos independentes. Problema 11: Considerando-se que o jogador utilizou apenas o primeiro lançamento do jogo Mini-Bozó, qual a probabilidade de marcar a casa General? Solução: O jogador marca a casa General no primeiro lançamento do jogo Mini-Bozó se consegue o resultado (6; 6) em um único e simultâneo lançamento dos dois dados, isto ocorre com probabilidade p  1 , ou seja, um caso favorável em 36 casos possíveis (S). 36 Outra solução: Consideremos os seguintes eventos: A: O jogador obtém a face 6 no dado vermelho; B: O jogador obtém a face 6 no dado branco. Para o jogador marcar a casa General no primeiro lançamento, deve obter a face 6 no dado ver1 1 1 . melho e também obter a face 6 no dado branco. Temos, então, a probabilidade  p 6 6 36 Assim P(A  B)  1 . 36 Temos ainda que P(A)  P(B)  1 . 6 Portanto, P(A  B)  1  1  1  P(A)  P(B). 36 6 6 Concluímos, então, que neste caso, P(A  B)  P(A)  P(B). Em termos de probabilidade condicional obtemos que: P(A | B)  P(A  B)  P(A)  P(B)  P(A) P(B) P(B) ou seja, a probabilidade de ocorrer o evento A dado que ocorreu o evento B é igual à probabilidade de A. Assim, a ocorrência do evento B não interfere sobre a ocorrência ou não do evento A. Se P(A  B)  P(A)  P(B) os eventos A e B são chamadosEventos Independentes. De maneira análoga, se A e B são eventos independentes, então P(B | A)  P(B). Para marcar a casa General o jogador deverá obter a face 6 no dado vermelho e a face 6 no dado branco; observa-se o destaque dado ao e. Em linhas gerais, quando duas ações sucessivas devem ser satisfeitas, então multiplicamos as probabilidades envolvidas. 7 Teorema da Probabilidade Total e Teorema de Bayes Os problemas desta seção podem ser utilizados para a sistematização de dois importantes teoremas da teoria de probabilidades, a saber: o Teorema da Probabilidade Total e o Teorema de Bayes. Esses teoremas envolvem os conceitos de soma e produto de probabilidades bem como o conceito de Probabilidade Condicional. MANUAL DO PROFESSOR

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Problema 12: Qual a probabilidade do jogador marcar a casa Quadrada no jogo Mini-Bozó? Solução: Neste caso, o jogador dispõe de até dois lançamentos e utilizará ou não o seu possível segundo lançamento, dependendo dos pontos que obteve no primeiro. Como o objetivo do jogador é marcar a casa Quadrada, dois casos devem ser considerados: (a) obtém (1; 1), (2; 2), (3; 3), (4; 4) ou (5; 5) no primeiro lançamento do jogo Mini-Bozó. 5 Temos neste caso a probabilidade p1  . 36 (b) obtém faces distintas no primeiro lançamento do jogo. Reserva um dos dados e lança novamente o outro dado, obtendo a mesma face do dado já reservado. Temos, neste caso, a probabilidade p2  30  1 . 36 6 Portanto, se ocorrer o caso (a) ou (b) o jogador marcará a casa Quadrada. Assim, a probabilidade pedida será: p  p1  p2 5  30  1  60 0,27777 ou 27,78%. 36 36 6 216 Observar que no caso (a) do problema 12 não consideramos o caso (6; 6), nesta situação o jogador marcará a casa General e não a Quadrada. Ainda no caso (a) devemos observar que como o jogador já marcou a casaQuadrada em seu primeiro lançamento com os dois dados, então, ele não usará o seu possível segundo lançamento nesta jogada do jogo Mini-Bozó. Problema 13: Qual a probabilidade do jogador marcar a casa General no jogo Mini-Bozó? Solução: Como o objetivo do jogador é marcar a casa General, três casos devem ser considerados: (a) obteve duas faces 6 no seu primeiro lançamento, ou seja, obteve (6; 6). Temos, neste caso, 1 a probabilidade p1  36 . (b) obteve uma face 6 no primeiro lançamento, ou seja, obteve umdos 10 seguintes resultados: (1; 6), (6; 1), (2; 6), (6; 2), (3; 6), (6; 3), (4; 6), (6; 4), (5; 6) ou (6; 5). Reserva o dado com a face 6. Lança o outro dado e obtém a face 6. Temos, neste caso, a probabilidade 2p 10  1 . 36 6 (c) não obteve a face 6 no primeiro lançamento, ou seja, obteve um dos 25 seguintes resultados: (1; 1), (1; 2), (1; 3), (1; 4), (1; 5), (2; 1), (2; 2), (2; 3), (2; 4), (2; 5), (3; 1), (3; 2), (3; 3), (3; 4), (3; 5), (4; 1), (4; 2), (4; 3), (4; 4), (4; 5), (5; 1), (5; 2), (5; 3), (5; 4) ou (5; 5). Lança novamente os dois dados e obtém (6; 6). Temos, neste caso, a probabilidade 3p 25  1 . 36 36 Portanto, se ocorrer o caso (a) ou (b) ou (c) o jogador marcará a casaGeneral. Assim, a probabilidade pedida será: p  p1  p2  p3  1  10  1  25  1  121 0,09336 ou 9,34%. 36 36 6 36 36 1 296 



Outra solução: Definimos os seguintes eventos: B: O jogador marcou a casaGeneral no jogo Mini-Bozó; A1: O jogador marcou a casa General no seu primeiro lançamento; A2: O jogador obteve uma face 6 no seu primeiro lançamento; A3: O jogador não obteve a face 6 em seu primeiro lançamento. 80

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Assim, P(B)  P(A1  B)  P(A2  B)  P(A3  B)  P(A1)  P(B | A1)  P(A2)  P(B | A2)  P(A3)  P(B | A3) 1  1  10  1  25  1  121  0,09336 ou 9,34%. 36 36 6 36 36 1 296 Usamos na segunda igualdade a definição de Probabilidade Condicional, observando que P(B | A1)  1, pois se o jogador marcou a casa General em seu primeiro lançamento, então não usará o seu possível segundo lançamento. Após o trabalho com situações-problema do tipo dos problemas 12 e 13, o professor poderá 

ter mais facilidade para sistematizar o seguinte teorema (MORGADO et al., 2004). Teorema 1. (Teorema da Probabilidade Total) Se B é um evento contido numa união de eventos disjuntos A , A2, ..., An e P(A1) > 0, P(A2) > 0, 1 ..., P(An) > 0, então P(B)  P(A1)  P(B | A1)  P(A2)  P(B | A2)  ...  P(An)  P(B | An).

Problema 14: Qual a probabilidade do jogador não ter obtido nenhuma face 6 no seu primeiro lançamento, sabendo-se que ele marcou a casaGeneral? Solução: Considerando-se os mesmos eventos definidos no problema 13 , desejamos agora calcular P(A 3 | B). Assim, P(A3 | B) 

P(A3) P(B | A3) P(B  A3)   P(B) P(B)

25  1 36 36



0,20662



20,66%.

0,09336 As duas primeiras igualdades da relação anterior seguem diretamente da definição de Probabilidade Condicional. Na solução do problema 14, utilizamos o seguinte e importante teorema (MORGADO et. al., 2004). Teorema 2. (Teorema de Bayes) Nas condições do teorema 1, se P(B) > 0, então, para i, i  1, 2, ..., n, P(Ai | B) 

P(Ai)  P(B | Ai) ” P(A1)  P(B | A1)  P(A2)  P(B | A2)  ...  P(An)  P(B | An) LOPES, J. M. Uma proposta didático-pedagógica para o estudo da concepção clássica de probabilidade. Bolema. Rio Claro (SP), v. 24, n. 39, p. 608-609; 611-625, ago., 2011.

VI. Sobre as atividades propostas Boxe da página 135 Esta atividade experimental ajuda a compreender a ideia de chance. Se não for viável realizá-la em classe, peça para que cada aluno faça os lançamentos em casa e traga a tabela já preenchida. Durante a aula eles podem socializar seus resultados e respostas e então juntar os dados obtidos pela classe como um todo. MANUAL DO PROFESSOR

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Atividade 6 Se possível peça para que vários alunos levem dois dados para esta aula. Monte a tabela no quadro e a preencha com ajuda deles. Em geral, a atividade surpreende os alunos – muitos acham que as probabilidades são as mesmas. Você pode em seguida montar uma tabela que explore o produto dos pontos obtidos: qual a probabilidade de o produto ser par, de o produto ser maior do que 10 etc.

Seção livre da página 147 Uma ideia que pode complementar as atividades sobre o PNAD: pesquisar dados atuais sobre os objetivos do milênio no ano em curso: quais estão próximos de serem alcançados? Quais precisam de maior investimento? Como está o Brasil em cada um deles?

Unidade – Teorema de Tales e semelhança de triângulos I. Objetivo6geral •

Desenvolver o conceito de semelhança de figuras, em particular semelhança de triângulos, identificando essas propriedades em figuras presentes no espaço de vivência e usando-as na resolução de problemas.

II. Objetivos específicos • • • • • •

Identificar segmentos proporcionais. Aplicar o teorema de Tales na resolução de problemas. Caracterizar e identificar figuras semelhantes. Definir polígonos semelhantes e razão de semelhança. Identificar triângulos semelhantes pelo caso AA. Resolver problemas aplicando a semelhança de triângulos.

III. Comentários A unidade se inicia retomando o conceito de razão e proporção, aplicando-os para definir segmentos proporcionais. A leitura desta parte da teoria e a resolução dos boxes propostos pode ser feita em duplas só com mediação do professor, pois os conceitos iniciais são conhecidos. A Seção livre da página 163 pode ser explorada nesse momento. Propusemos um problema contextualizado para motivar o aprendizado do teorema de Tales. Se a escola dispõe decomputador, os softwares Cabri Géomètre ou Geogebra, este gratuito, podem ser grandes aliados para apresentar o teorema, antes de demonstrá-lo formalmente. A demonstração do teorema de Tales não é simples para os alunos. Como já dissemos anteriormente, isso não deve ser motivo para ignorá-lo. Deixe que os alunos leiam o texto várias vezes, passo a passo. Em seguida, no quadro, repita a demonstração, permitindo que o ajudem a desenvolvê-la. Acreditamos que isso facilit ará o entendimento. Iniciamos o assunto “semelhança” a partir da ideia de ampliação e redução de figuras. Seria interessante propor atividades com papel quadriculado envolvendo ampliações e reduções. Uma parceria com o professor de Arte pode ser pensada. Antes de iniciar o estudo de polígonos semelhantes, explore a semelhança de círculos, cubos e de outras figuras planas e espaciais. Demonstramos o caso AA de semelhança de triângulos usando o teorema de Tales. É uma demonstração relativamente simples, mas sempre vale verificar se os alunos realmente compreenderam. As aplicações da semelhança em problemas contextualizados devem ser enfatizadas. As atividades propostas são interessantes e variadas. 82

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.

Sugestão de avaliação Você pode utilizar o trabalho com o texto “O número de ouro” daSeção livre (página 163) como instrumento de avaliação. Também é interessante propor uma pesquisa sobre esse tema. Há inúmeros sites (sugerimos alguns a seguir) com conteúdo de qualidade e apropriados à faixa etária dos alunos. A leitura pode ser feita em classe, individualmente. Você pode verificar a resolução da equação cuja solução é , solicitando a entrega da pesquisa e deste exercício.

Sugestões de sites:

IV. Integração com outras áreas do conhecimento Além do trabalho com o texto “O número de ouro”, que envolve Matemática, Arte e Ciências, os conceitos de congruência e semelhança podem integrar Matemática e Educação Artística. Sugerimos a execução de trabalhos envolvendo ampliação/redução figuras papel quadriculado. Os alunos gostam muito desse tipo de atividade e as produções de podem serem surpreendentes! Essa parceria permite também explorar a proporcionalidade na arte e na arquitetura, complementando o trabalho com o número de ouro. Uma aplicação interessante para a semelhança e congruência está no setor da moda: confecções e fábricas de calçados utilizam estes conceitos para produzir roupas e sapatos em tamanhos diferentes.

V. Texto complementar para o professor O teorema de Tales: uma ligação e ntre o geométrico e o numérico “1 Introdução Um dos teoremas centrais no estudo da geometria plana é o chamado teorema de Tales, cujo enunciado clássico é: ‘Se um feixe de retas paralelas é interceptado por duas retas transversais, então os segmentos determinados pelas paralelas sobre as transversais são proporcionais’. Esse teorema que encontra a sua srcem na resolução de problemas práticos envolvendo paralelismo e proporcionalidade está no cerne da relação entre o geométrico e o numérico. Ele tem um papel fundamental na teoria da semelhança e consequentemente na trigonometria, onde justifica as definições de seno, cosseno e tangente de um ângulo. Na geometria espacial ele aparece no tratamento das secções de um sólido por um plano paralelo à base. Na perspectiva, ele surge quando se estudam as

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propriedades das figuras geométricas que se conservam quando traçadas emum plano e projetadas em outro plano a partir de uma fonte no infinito; dessas propriedades (conservação do ponto médio, conservação do baricentro, conservação do alinhamento etc.), a fundamental é a conservação das razões das distâncias entre pontos alinhados. Na figura abaixo temos duas representações de um quadrado em dois planos distintos. Os pontos A, B e C alinhados do primeiro quadrado e os pontos correspondentes A´, B´ e C´ no outro plano têm como invariante fundamental a conservação das razões: AC  A’C’ . A B AB A’B’ C A’ B’ C’

b

a

Assim, a configuração abaixo, associada ao Teorema de Tales, pode também ser interpretada como três pontos de uma reta contida num plano e as suas projeções cilíndricas contidas num outro plano. A’

A

B’

B

C’

C

No estudo da geometria vetorial, o t eorema de T ales está ‘escondi do’ na propriedade:

→ → → →  ( u  v )    u    v com   R. As duas configurações abaixo correspondem aos casos em que   0 e   0. O teorema de Tales faz-se necessário para justificar esta propriedade se

não quisermos considerá-la como axioma. (u  v) v

u

v

u

v

v

v u u

u

u

(u  v)

v

Uma outra ligação importante do Teorema de Tales com outros saberes está relacionada com as representações gráficas das funções lineares e afins.Ele justifica que tais representações são retas. Observamos pelos exemplos dados que o Teorema de Tales corresponde a uma situação didática bastante rica em consequências. 2 Quem foi Tales de Mileto? Talesdedesua Mileto um filósofo grego que viveu 630 a.C. Sabe-se muito pouco a respeito vida foi e de sua obra. ‘Conjectura-se terpor sidovolta ele odecriador da geometria demonstrativa. Por isto, ele é saudado como o primeiro matemático a dar uma contribuição à organização da geometria’ (Boyer). A primeira referência que temos de Tales como iniciador do método dedutivo na matemática nos é dada pelo filósofo Proclus (420-485 d.C.) no seu livroComentário sobre o primeiro livro dos Elementos de Euclides. Proclus nos diz: ‘Tales primeiro foi ao Egito e de lá introduziu esse estudo na Grécia. Descobriu muitas proposições ele próprio, e instruiuseus sucessores nos princípios que regem muitas outras, seu método de ataque sendo em certos casos mais geral, em 84

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outros mais empíricos.’ Proclus atribui a Tales haver afirmado ou demonstrado pela primeira vezque um ângulo inscrito numa semicircunferência é reto; que os ângulos opostos pelo vértice são iguais; que os ângulos da base de um triângulo isósceles são iguais; que um círculo é dividido igualmente pelo seu diâmetro; que se dois triângulos são tais que dois ângulos e um lado de um são iguais respectivamente a dois ângulos e um lado do outro, então os triângulos são congruentes. Cada um desses resultados certamente deveria ser necessário para justificar ou resolver alguma situação prática. Encontramos em Proclus um provável motivo pelo qual Tales cita a última proposição (conhecido hoje como o caso ALA de congruência de triângulos). Proclus diz que ‘Eudemo (320 a.C.), no seu livro História da Geometria atribui a Tales esse teorema para determinar a distância que um barco se encontra da costa.’ Podemos supor como Tales teria feito para medir a distância terra-barco. A partir de um instrumento (quadrante, duas hastes articuladas, ...) Tales poderia ter medido o ângulo (homem, barco, pé da torre). A seguir, sem mudar o ângulo, poderia ter girado o instrumento de meia-volta, pedindo a alguém que marcasse no chão do outro lado o ponto para o qual o instrumento estaria apontado. A igualdade de visões implicaria na igualdade das distâncias. Michel Serres comenta: ‘A geometria resulta de um artifício, de um desvio, cujo caminho indireto permite o acesso àquilo que ultrapassa uma prática imediata.’ O artifício, aqui, consiste em produzir um modelo reduzido. Desenham-se os triângulos HTN e Terra Mar HTS para explicar e interpretar a realidade. O teorema ALA é utilizado H para justificar que os triângulos são congruentes, e concluir que a medida TS conhecida é igual à medida TN desconhecida. Diz Serres‘medir o distância conhecida distância desconhecida inacessível consiste em reproduzi-lo S T N ou imitá-lo no acessível.’ Auguste Comte por sua vez escreve‘[...] devemos considerar como suficientemente verificada a impossibilidade de determinar, pela medição direta, a maioria das grandezas que desejamos conhecer. É este fato de caráter geral que necessitada formação da ciência matemática.Pois ao renunciar, em quase todos os casos, à medição imediata das grandezas,o espírito humano teve de procurar determiná-las indiretamente, e foi assim que foi levado à criação das matemáticas .’ Citamos outras fontes que falam da atividade matemática realizada por Tales. O historiador Diógenes Laércio (século III d.C.) nos informa que: ‘Hierônimos (discípulo de Aristóteles) diz que Tales mediu as pirâmides pela sombra, depois de observar o tempo que a nossa própria sombra demora a ficar igual à nossa altura.’ E Nesse caso, a astúcia a qual se refere Michel Serres estaria em construir uma pirâmide reduB E A D

zida suas dimensões: ‘Paraaalcançar alturaem inacessível, Tales inventa escala.’ uma D A C F O historiador Plutarco (século I d.C.) dá um outro relato a respeito da medição da altura da pirâmide feita por Tales. Ele diz que ‘...limitando-te a colocar o bastão no limite da sombra lançada pela pirâmide, gerando o raio de sol tangente aos dois triângulos, demonstraste que a relação entre a primeira sombra e a segunda era a mesma que entre a pirâmide e o bastão.’Baseado nesse relato pode-se representar a situação da seguinte maneira: MANUAL DO PROFESSOR

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Percebe-se que este relato é mais geral que o outro. A pergunta que paira no ar é se esses textos que tratam da sombra da pirâmide descrevem apenas uma aplicação do teorema de Tales ou, pelo contrário, a sua srcem? 3 O surgimento do nome teorema de Tales A questão da proporcionalidade era de grande importância para os gregos, principalmente na arquitetura e agrimensura. Por isso, conjectura-se que a primeira sistematização da geometria pode ter sido em torno da questão da proporcionalidade de segmentos determinados por um feixe de retas paralelas e outro de retas transversais. Essa questão durante muitos séculos foi denominada de teorema dos segmentos proporcionais. No final do século XIX, na França, alguns autores denominaram esse resultado de teorema de Tales, denominação que persiste até hoje. A primeira publicação de que se tem notícia e que substitui o nome de ‘teorema dos segmentos proporcionais’ pelo ‘Teorema de Tales’ é o livro francêsÉléments de géométrie de Rouche e Comberousse (reedição de 1883). Em alguns países, como por exemplo a Alemanha, o nome teorema de Tales é dado a um outro enunciado: ‘todo triângulo inscrito numa semicircunferência é retângulo’. 4 Outros enunciados do teorema de Tales Na Itália ele é chamado de teorema de Talete e é apresentado da seguinte maneira : I segmenti staccati da un fascio di rette parallele su due trasversali sono direttamente proporzionali. (Os segmentos determinados a c por um feixe de retas paralelas sobre duas transversais são diretamente proporcionais.) Obs.: o enunciado destaca que a razão é entre dois segmentos b d de uma mesma transversal. a c b  d Na Espanha temos um outro enunciado para o teorema de Tales : Si cortamos dos rectas cualesquiera por varias retas paralelas, los segmentos correspondientes determinados en ambias son a c proporcionales. (Se cortamos duas retas quaisquer por várias retas paralelas, os segmentos correspondentes determinados em ambas são proporcionais.) b Obs.: o enunciado destaca que a razão é entre dois segmentos d a b correspondentes de duas retas transversais.  c d Na Alemanha o teorema de Tales é chamado teorema dos feixes de retas concorrentes: ‘se um feixe de retas concorrentes é cortado por duas retas paralelas, então a razão entre as medidas dos segmentos determinados por uma reta do feixe é igual à razão entre medidas outra dos segmentos cor respondentes determinados sobreasqualquer reta do feixe.’ Obs.: o enunciado destaca, como na Itália, que a razão é entre dois segmentos de uma mesma transversal. Contudo, enquanto na Itália são duas retas transversais e um feixe de retas paralelas, na Alemanha são duas retas paralelas e um feixe de retas concorrentes. 86

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A

Na França, é comum a apresentação do teorema de Tales a partir de um triângulo e três pontos de vista são considerados. No primeiro ponto de vista, a razão é considerada apenas entre segmentos da mesma transversal.

D

E

B AD

C 

AB

AE

ou

AC

AD



DB

AE EC

A

D

E

No segundo ponto de vista (razão entre as projeções), a razão é considerada entre um segmento e a sua projeção na outra transversal.

B AD



AE

AB

ou

AC

AD



AE

C DB EC

A

No terceiro ponto de vista, a razão é considerada como a razão de homotetia entre os dois triângulos.

D

E

B

C AD AB



AE



AC

DE BC

Obs.: Chama-se homotetia de centro O e razão k ( k real diferente de zero) a uma transformação do plano em si mesmo que associa a cada ponto P do plano um ponto P’ do plano tal que OP´ k  OP. →

→

→





→

(Dizer que OP´ k OP implica dizer que O, P e P’ são alinhados.) 5 A demonstração do teorema de Tales Em nível do Ensino Fundamental ou Médio, uma opção para demonstrar o teorema de Tales seria a prova incompleta dos pitagóricos que supõe todos os segmentos comensuráveis. (Dois segmentos AB e CD são comensuráveis se existem um segmento u e dois inteiros m e n tais que AB  m  u e CD  n  u). Em geral, os textos didáticos apresentam essa demonstração ‘escondendo’ o caso dos segmentos serem incomensuráveis visto que nesse caso haveria necessidade da construção da reta real e dos números reais. O Exame Nacional de Cursos realizado em 1999 apresentou uma questão específica, relacionada com o teorema de Tales, para os formandos de licenciatura em matemática. Segue a questão: Questão do Exame Nacional de cursos de 1999

Teorema de Tales ‘Se três retas paralelas r, s e t cortam duas

m

transversais m e n nos pontos A, B, C, D, E, F, AB DE respectivamente, então as razões e são BC EF iguais.’ (ver figura) A demonstração do Teorema de Tales usualmente encontrada nos textos para o ensino fundamental segue duas etapas:

A B

n

D

r

E

C

s

F

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t

87

I - Prova-se que, se AB



BC, então DE  EF.

II - Supondo que AB  BC, considera-se um segmento de comprimento u tal que: AB  p  u e BC  q  u, sendo p, q  N, p  q. Utiliza-se, então, o resultado da etapa I para concluir que as paralelas pelos pontos de subdivisão de AB e BC dividirão também DE e EF em partes iguais (de comprimento u’). Daí, conclui-se p AB DE que:   . q BC EF AB a) Este tipo de demonstração abrange os casos nos quais é natural? racional? real qualBC quer? Justifique. b) Cite dois exemplos de conteúdos da geometria elementar cujo ensino utilize o eorema T de Tales. O padrão de resposta esperado pela banca examinadora era: AB a) Abrange o caso em que a razão é racional que é, exatamente, o caso tratado na seBC AB gunda parte da demonstração apresentada. Os casos em que é natural são casos particulares BC AB dos racionais, quando p é múltiplo de q. No entanto, se não é racional, não existirá nenhum BC segmento que esteja contido um número inteiro p de vezes em AB e um número inteiro q de vezes em BC (AB e BC são incomensuráveis). Assim, a demonstração dada não se aplica. b) Exemplos: – Estudo de semelhança de figuras: demonstração dos casos de semelhança de triângulos, teorema da base média do triângulo etc. – Construções com régua e compasso: divisão de segmentos em partes iguais ou numa razão dada, obtenção da quarta proporcional etc. – Demonstrações dos teoremas das bissetrizes interna e externa de um triângulo etc. A primeira demonstração conhecida do Teorema de Tales, aparece três séculos após Tales, na proposição 2 do livro VI deOs Elementos de Euclides (300 a.C.) e se apoia na teoria das proporções de Eudoxo apresentada no livro V de Euclides. O livroGeometria Moderna de Moise Downs (volume 1, capítulo 12, página 307) apresenta uma demonstração do eorema t de Tales, a nível elementar, pelo método das áreas. A passagem por ‘objetos de dimensão 2’ (áreas) para estabelecer uma propriedade relacionada com ‘objetos de dimensão 1’ (segmentos) evita o problema da natureza dos números. A demonstração pelo método das áreas não segue um caminho natural mas é uma prova completa e convincente. Vale lembrar que essa demonstração necessita apenas do conhecimento que a área de um retângulo é igual ao produto das medidas dos dois lados tomados na mesma unidade. No entanto, deve-se ressaltar que esse resultado costuma ser postulado pois que a sua demonstração é tão difícil quanto a análise do caso dos segmentos incomensuráveis. Segue a prova do teorema de Tales pelo método das áreas. Sejam ABC um triângulo e D um ponto entre A e B. Tracemos pelo ponto D uma retar paralela ao AD AE  . lado BC com r  AC {E}. Provemos que DB EC A área do triângulo ADE pode ser calculada de AD  EF AE  DG duas maneiras ou . 2 2 88

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A

F

D

B

G

E

C

Da igualdade das duas expressões conclui-se que AD  EF  AE  DG. (1) Os triângulos BDE e CED têm áreas iguais (mesma base DE e mesma altura). Logo DB  EF  EC  DG  (2) 2 2 AD DB ou AD  AE De (1) e (2) vem:  AE EC DB EC O caso em que os segmentos AC e DF (vide figura abaixo) formam um trapézio, recai-se no caso anterior mediante a construção de uma reta paralela a AC pelo ponto D. A

D

B C

B’E C’

F

Nesse caso teremos DB’  DE e como AB  DB’ e BC  B’C’ tem-se AB  DE . [...]” B’C’ EF BC EF BONGIOVANNI, V. O Teorema de Tales: uma ligação entre o geométrico e o numérico.

Revemat, v. 2.5, p. 94-104, UFSC, 2007.

VI. Sugestão de leitura para os alunos Julgamos importante mostrar ao aluno como se constrói o conhecimento em Matemática. No livro do 8o ano apresentamos a eles textos acessíveis que introduzem as ideias do método axiomático. O texto que apresentamos a seguir abre o livro Geometria I, de Augusto Cesar Morgado, Eduardo Wagner e Miguel Jorge, de maneira leve e interessante, abordando o que é definição, conceito primitivo e axioma. Acreditamos que esta leitura pode ser feita com os alunos do 9 o ano e mais: será útil quando você apresentar as diversas demonstrações presentes neste 4o volume.

INTRODUÇÃO “0.1 – UM POUCO DE HISTÓRIA Possivelmente o primeiro documento importante da história da Geometria foi um papiro que datava do séc. XIX a.C. e que esteve em posse do escriba Ahmes, que o recopiou dois séculos mais tarde. Até o quarto século antes de Cristo, a Geometria não passava de receitas descobertas experimentalmente, sem fundamento científico. Por exemplo, era de conhecimento dos egípcios que o triângulo cujos lados medem 3, 4 e 5 é retângulo, e era do conhecimento dos gregos que o comprimento de um círculo era aproximadamente 3 vezes o comprimento de seu próprio diâmetro. Com o desenvolvimento da Lógica e com a contribuição de grandes sábi os comoTales, Pitágoras, Platão e outros, a Geometria toma dimensão nova com o aparecimento de uma grande obra em 13 volumes chamada Os Elementos de Euclides, com mais de mil edições até os dias de hoje. MANUAL DO PROFESSOR

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Nele a Geometria é apresentada de forma lógica e organizada, partindo de algumas suposições simples e desenvolvendo-se por raciocínio lógico.

0.2 – PRINCÍPIOS LÓGICOS FUNDAMENTAIS 0.2.1. – Princípio da Identidade: ‘Todo conceito é igual a si mesmo.’ 0.2.2. – Princípio da Contradição: ‘É impossível que algo seja e não seja verdadeiro ao mesmo tempo e sob uma mesma condição.’ 0.2.3. – Princípio do Meio Excluído: ‘Uma proposição ou é verdadeira ou é falsa.’ 0.2.4. – Princípio da Razão Suficiente: ‘Todo juízo deve ter uma razão suficiente.’ Para esclarecer este último princípio, considere a afirmação: ‘Se C é um círculo, ENTÃO C tem centro.’ C é um círculo

é a causa ou razão suficiente.

C tem centro

é o efeito (conclusão).

Devemos notar que, se o efeito é dado, não podemos concluir a causa. Por exemplo, se dissermos que C tem centro, não podemos concluir que C seja um círculo. Pode ser uma elipse ou uma infinidade de outras curvas. 0.3. – AS DEFINIÇÕES – OS CONCEITOS PRIMITIVOS ‘Definir um conceito, representado por uma palavra ou símbolo, é expressar seu significado por meio de outras palavras ou símbolos já conhecidos.’ É claro que toda definição deve ser suficientemente precisa para que, definido um conceito, possamos afirmar com segurança se um elemento está ou não contido na definição. Sabendo que se deve definir um conceito por meio de outros já anteriormente definidos, sendo estes também definidos por meio de outros anteriores, e assim sucessivamente, chegaremos a um conceito primeiro cuja impossibilidade de defini-lo é evidente posto que não existe nenhum outro anterior. Chegamos, portanto, a um conceitoprimitivo. Aluno:

O que é um losango?

Professor:

Losango é uma figura formada por quatro segmentos de reta de mesmo compri-

mento, blá blá... Aluno: O que é um segmento de reta? Professor: Segmento Aluno:

O que é uma reta?

Professor: Bem...

90

de reta é toda porção limitada de uma reta! Hum!

MANUAL DO PROFESSOR

He, he... Sabe, é aquilo que, olha, sabe como é né...

0.4. – OS AXIOMAS O grande passo dado por Euclides consistiu na introdução do método axiomático que consiste em estabelecer um conjunto de proposições que admitimos serem verdadeiras. Os axiomas são, pois, relações entre os conceitos primitivos admitidas como verdadeiras e não concluídas, mediante encadeamento lógico de conceitos anteriores. 0.5. – OS TEOREMAS Professor: Aluno:

É sempre possível traçar uma reta que passe por dois pontos distintos.

É... é claro.

Professor: Em um triângulo, o Aluno:

quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos. Mas qual é? Tá pensando o quê? Demonstra aí!

É fácil notar que algumas afirmações em Geometria nos parecem tão óbvias que nunca nos lembraríamos de descobrir por que elas são verdadeiras e outras não são absolutamente óbvias, a ponto de despertar nossa curiosidade para a verificação de sua veracidade. Estamos, então, em frente a um teorema. Um teorema é, pois, qualquer proposição que seja consequência de proposições anteriores. Os teoremas constam de duas partes essenciais: a HIPÓTESE, que é o conjunto de proposições dadas, e a TESE, que é a proposição deduzida da hipótese mediante encadeamento lógico das proposições dadas; é, pois, a conclusão. Se tomarmos a experiência e intuição como únicas bases das investigações matemáticas, fatalmente erraremos em algum ponto, pois, sendo imperfeitos nossos sentidos, deveremos concluir que não necessariamente nossa intuição sempre nos levará a um resultado correto. Realmente, deveremos apoiar nossas primeiras deduções em conceitos não definidos e proposições indemonstráveis, que admitiremos verdadeiras, mas, a partir daí, a lógica deve ser a responsável pela elaboração de outras proposições e propriedades decorrentes. O conjunto de proposições que servem de fundamento a uma ciência é seu SISTEMA DE AXIOMAS. Como ele é arbitrário, respeitando certas normas, poderemos inventar Geometrias tão esquisitas, mas tão lógicas, quanto quisermos.” MORGADO, A. C.; WAGNER, E.; JORGE, M.Geometria .I Rio de Janeiro: Livraria Francisco Alves Editora, 1974. p. 1-5.

VII. Sobre as atividades propostas Seção livre da página 163 Seria interessante propor uma parceria com os professores de Arte para mostrar retângulos áureos na arquitetura, na pintura, escultura etc.

Atividade 16 Sugerimos ampliar as questões perguntando se são sempre semelhantes outras figuras espaciais como pirâmides, esferas, cilindros etc. O uso de objetos comuns no dia a dia também contribui para a construção do conceito de semelhança: duas garrafas PET de refrigerante com tamanhos diferentes, por exemplo, não são semelhantes, pois a boca (gargalo) delas têm o mesmo diâmetro. MANUAL DO PROFESSOR

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Boxe da página 171 Como GH é paralelo a ED, relembre com os alunos a congruência de ângulos correspondentes. Verifique se percebem que somente os lados FE e DC foram reduzidos, o que inviabiliza a semelhança entre os dois hexágonos.

Unidade 7 – Relações métricas nos triângulos retângulos I. Objetivos gerais •

•

Perceber a presença e a importância dos ângulos retos e das formas triangulares, em especial as que envolvem triângulos retângulos no mundo real. Estabelecer relações entre medidas de elementos dos triângulos retângulos que possibilitam resolver situações do cotidiano, do trabalho e das ciências.

II. Objetivos específicos •

Verificar e demonstrar a relação de Pitágoras.

•

Aplicar o teorema de Pitágoras na resolução de problemas.

•

Usar o teorema de Pitágoras para representar números irracionais na reta real.

•

Aplicar o teorema de Pitágoras para chegar às relações entre: – lado e diagonal de um quadrado; – lado e altura de um triângulo equilátero.

•

Estabelecer, por meio da semelhança de triângulos, relações entre as medidas dos catetos, da hipotenusa, altura relativa à hipotenusa e projeções dos catetos.

•

Utilizar as relações métricas obtidas para descobrir medidas desconhecidas em triângulos retângulos e para resolver problemas.

III. Comentários O destaque para os ângulos retos e sua importância no mundo real, e o fato de que as antigas civilizações sabiam que o triângulo de lados 3, 4 e 5 era retângulo pretendem motivar para o estudo do teorema de Pitágoras. O texto inicial desta unidade traz fotografias mostrando a abundância dos ângulos retos no mundo que nos cerca, mas seria interessante pedir aos alunos que eles também procurassem exemplos. Recorrer à História da Matemática é valioso neste conteúdo. Os alunos devem perceber que a relação entre os lados de um triângulo retângulo era conhecida e aplicada centenas de anos antes de Pitágoras, pelos egípcios e babilônios, por exemplo.

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MANUAL DO PROFESSOR

No texto, inicialmente, os alunos constatarão geometricamente que nos triângulos retângulos temos a2  b2  c2. a

E A D

b

c

Lembre sempre a eles que essa relação só vale para triângulos retângulos. Do questionamento sobre a validade da relação de Pitágoras para todos os triângulos retângulos (página 183), surge a demonstração do teorema de Pitágoras por um processo acessível aos alunos. Em seguida, apresentamos aplicações desse teorema em problemas contextualizados. É interessante pedir que criem problemas cuja solução envolva Pitágoras observando o espaço a seu redor. Destacamos a representação de números irracionais na reta utilizando o teorema de Pitágoras e o compasso. Os alunos devem realmente fazer as construções usando o material de desenho. Isso complementa o trabalho feito no 8o ano, pois cada novo passo resgata e ajuda a solidificar os conhecimentos sobre os campos numéricos. 3 para a Ao deduzir as relações: d   2 para a diagonal d do quadrado de lado  e h   2 altura do triangulo equilátero, voltamos a falar dos números irracionais e sua relação com a escola pitagórica. Não há por que incentivar os alunos a decorar essas fórmulas. É preferível mostrar que é fácil deduzi-las a partir do teorema de Pitágoras. Um problema envolvendo a estrutura de um telhado motiva-os para a obtenção das demais relações métricas no triângulo retângulo. Os alunos devem descobrir as relações acompanhando o texto, que utiliza a semelhança de triângulos. Nesse item, apresentamos outra demonstração para o teorema de Pitágoras. Na página 184, um boxe comenta a existência de muitas demonstrações do teorema de Pitágoras. No item V, apresentamos o texto complementar “Mania de Pitágoras”, que traz algumas dessas demonstrações para sua consulta. Ainda nesse item, sugerimos em texto uma possível opção para demonstrar as demais relações métricas a partir do teorema de Pitágoras, sem recorrer à semelhança de triângulos, como optamos por fazer no Livro do Aluno.



Sugestão de avaliação O teorema de Pitágoras aparece em muitas obras matemáticas ao longo da história. Uma ideia seria selecionar alguns desses problemas explicitando a fonte histórica e propor aos alunos que os resolvam em duplas, durante a aula. Essa é uma maneira de verificar o aprendizado usando problemas com uma linguagem diferente da atual, com termos e unidades de medida usados na época em MANUAL DO PROFESSOR

93

que foram criados. Esse recurso ajuda a despertar o interesse dos alunos. O professor pode recolher os trabalhos ou propor que as duplas mostrem suas resoluções no quadro. Apresentamos a seguir sugestões de problemas para esta lista. • Tábua em argila – Babilônia (entre 1650 e 1200 a.C.):

1) Uma trave de comprimento 0,5 GAR está encostada a uma parede. O seu topo está 0,1 GAR abaixo do que deveria estar se estivesse perfeitamente colocada. A que distância da parede está a sua parte de baixo? • Tábua em argila – Babilônia (aproximadamente 300 a.C.): 2) Uma cana está encostada a uma parede. Se desce [na parte de cima] 3 GAR a [parte de baixo] desliza 9 GAR. Qual é o comprimento da cana? Qual é a altura da parede? • Papiro do Cairo (aproximadamente 300 a.C.):

3) Uma vara de 10 cúbitos tem a sua base afastada 6 cúbitos. Determine a sua nova altura e a distância que o cimo da vara baixou. (A vara e a parede a que está encostada têm exatamente o mesmo comprimento.) 4) Um retângulo de área 60 cúbitos quadrados tem diagonal de 13 cúbitos. Qual a medida dos lados do retângulo? • China (aproximadamente 200 a.C.): 5) No alto de um bambu vertical, está presa uma corda. A parte da corda em contato com o solo mede 3chih. Quando a corda é esticada, sua extremidade toca no solo a uma distância de 8chih do pé do bambu. Que comprimento tem o bambu? • Obra escrita por Bhaskara – Índia (aproximadamente em 1150):

e r o t a n e S o il é H

6) Se um bambu medindo 32 cúbitos e estando em pé, se partisse, num local, por ação do vento, e a sua extremidade encontrasse o chão a 16 cúbitos da base do bambu. Diz, matemático, a quantos cúbitos da raiz é que ele se partiu? 7) Havia uma palmeira de 100 cúbitos de altura e havia um poço a uma distância de 200 cúbitos da árvore. Estavam dois macacos no cimo da árvore. Um deles desceu da árvore e foi até o poço. O outro pulou para cima e saltou para o poço seguindo a hipotenusa. Se os dois percorreram a mesma distância, descobre o comprimento do pulo do macaco. • Tratado da Prática D’aritmética – Portugal (1519): e r to

n a e S io l é

H

8) É uma torre de 20 braças de comprimento, a saber, a altura dela é 20 braças. E está uma escada encostada a ela, de tamanho igual à dita torre e a escada afastou-se embaixo 12 braças. Pergunto: quanto abaixou de cima? 94

MANUAL DO PROFESSOR

Manuscrito alemão – 1568: 9) Há uma torre com 200 pés de altura, e à volta da torre há um canal com 60 pés de largura. Alguém precisa fazer uma escada que passe por cima da água até ao topo da torre. A pergunta é: que comprimento deve ter a escada? •

e r to a n e S o il é H

IV. Integração com outras áreas do conhecimento O conteúdo desta unidade possibilita a exploração da História da Matemática, emespecial a contribuição dos gregos e da escola pitagórica. Uma parceria com o professor de História pode enriquecer as aulas com textos sobre as ideiasde Pitágoras e seus seguidores. Aatividade sugerida acima para a avaliação também pode promover a integração com História,pois os problemas virão dediferentes épocas. Outra sugestão: elaborar, com auxilio dos alunos, entrevista com profissionais como arquitetos, engenheiros, físicos, projetistas, para verificar como os conhecimentos adquiridos nesta unidade são aplicados nessas profissões. A presença de alguns desses profissionais para uma conversa com os alunos seria muito proveitosa, principalmente se puderem apresentar exemplos reais de aplicação do teorema de Pitágoras.

V. Textos complementares para o professor Usando o teorema de Pitágoras para obter as relações métricas nos triângulos retângulos No Livro do Aluno, utilizamos a semelhança de triângulos para obter as relações b2  a  n; c2  a  m; h2  m  n; a  h  b  c válidas num triângulo retângulo de catetos b e c, hipotenusa a e altura relativa à hipotenusa, h. Apresentamos a seguir outro caminho para chegar a essas relações aplicando o teorema de Pitágoras. Os triângulos AHC e AHB são retângulos. Aplicando Pitágoras, temos:

b2  h2  n2 c2  h2  m2 Somando as igualdades membro a membro:

A E A D

c

b h

b2  c2  2h2  n2  m2 m n H B   C como b2  c2  a2, vem que: a a2  2h2  n2  m2 Acontece que a  m  n e, portanto, a2  (m  n)2  m2  2mn  n2 (produto notável). Substituindo a2 na igualdade acima destacada, temos: m2  2mn  n2  2h2  n2  m2 2mn 2h2, ou seja, h2 mn. Voltando ao triângulo retângulo AHB, por Pitágoras, temos: c2  h2  m2. Substituindo h2 por mn: c2  mn  m2 MANUAL DO PROFESSOR

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Colocando m em evidência: c2  m(n  m) Como n  m  a, vem que c2  am. Usando o mesmo raciocínio para o triângulo AHC, mostra-se que b2  an. Finalmente, partiremos das relações c2  am e b2  an para mostrar que ah  bc. O produto c2b2 escreve-se como:

c2  b2  a  m  a  n  a2  m  n c2  b2  a2  h2, ou seja, ah  bc.

Mania de Pitágoras

Elisha Scott Loomis, professor de Matemática em Cleveland, Ohio (Estados Unidos), era realmente um apaixonado pelo Teorema de Pitágoras. Durante 20 anos, de 1907 a 1927, colecionou demonstrações desse teorema, agrupou-as e as organizou num livro, ao qual chamou The Pythagorean Proposition (A Proposição de Pitágoras). A primeira edição, em 1927, continha 230 demonstrações. Na segunda edição, publicada em 1940, esse número foi aumentado para 370 demonstrações. Depois do falecimento do autor, o livro foi reimpresso, em 1968 e 1972, pelo National Council of Teachers of Mathematicsdaquele país. O Professor Loomis classifica as demonstrações do teorema de Pitágoras em basicamente dois tipos: provas ‘algébricas’ (baseadas nas relações métricas nos triângulos retângulos) e provas ‘geométricas’ (baseadas em comparações de áreas). Ele se dá ao trabalho de observar que não é possível provar o teorema de Pitágoras com argumentos trigonométricos porque a igualdade fundamental da Trigonometria, cos2 x  sen2 x  1, já é um caso particular daquele teorema. Como sabemos, o enunciado do teorema de Pitágoras é o seguinte: ‘A área do quadrado cujo lado é a hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à soma das áreas dos quadrados que têm como lados cada um dos catetos’. Se a, b são as medidas dos catetos e c é a medida da hipotenusa, o enunciado equivale a afirmar que a2  b2  c2. Documentos históricos mostram que os egípcios e os babilônios, muito antes dos gregos, conhe2 2 2 ciam casos particulares desse teorema, expressos em relações como 4 32  52 e 12  3  1 1 . 4 4 O fato de que o triângulo de lados 3, 4 e 5 é retângulo era (e ainda é) útil aos agrimensores. Há também um manuscrito chinês, datado de mais de mil anos antes de Cristo, onde se encontra a seguinte afirmação: ‘Tome o quadrado do primeiro lado e o quadrado do segundo e os some; a raiz quadrada dessa soma é a hipotenusa’. Outros documentos antigos mostram que na Índia, bem antes da era Cristã, sabia-se que os triângulos de lados 3, 4, 5 ou 5, 12, 13 ou 12, 35, 37 são retângulos. O que parece certo, todavia, é que nenhum desses povos sabia demonstrar o teorema. Tudo indica que Pitágoras foi o primeiro a prová-lo. (Ou alguém da sua Escola o fez, o que dá no mesmo, pois o conhecimento científico naquele grupo era propriedade comum.)

[ ] [ ]

A mais bela prova Qual foi a demonstração dada por Pitágoras? Não se sabe ao certo, pois ele não deixou trabalhos escritos. A maioria dos historiadores acredita que foi uma demonstração do tipo ‘geométrico’, isto é, baseada na comparação de áreas. Não foi a que se encontra em ‘Os Elementos’ de Euclides, e que é ainda hoje muito encontrada nos livros de Geometria, pois tal demonstração parece ter sido concebida pelo próprio Euclides. A demonstração de Pitágoras pode muito bem ter sido a que decorre das figuras a seguir. 96

MANUAL DO PROFESSOR

Do quadrado que tem a  b como lado, retiremos 4 triângulos iguais ao dado. Se fizermos isso como na figura à esquerda, obteremos um quadrado de ladoc. Mas, se a mesma operação for feita como na figura à direita, restarão dois quadrados, de lados a e b respectivamente. Logo, a área do quadrado de lado c é a soma das áreas dos quadrados cujos lados medema e b. E A D : s e õ ç a r t s u Il

a c

b a

c

b c

a b

b

a

Essa é, provavelmente, a mais bela demonstração do teorema de Pitágoras. No livro de Loomis, entretanto, ela aparece sem destaque, como variante de uma das provas dadas, não sendo contada entre as 370 numeradas. Apresentamos a seguir algumas demonstrações do teorema de Pitágoras que têm alguminteresse especial, por um motivo ou por outro. As quatro primeiras constam da lista do Professor Loomis.

A prova mais curta É também a mais conhecida. Baseia-se na consequência da semelhança de triângulos retângulos: ‘Num triângulo retângulo, cada cateto é a média geométrica entre a hipotenusa e sua projeção sobre ela’. Assim, se m e n são respectivamente as projeções dos catetos a e b sobre a hipotenusa c, temos a2  mc, b2  nc, enquanto m  n  c. Somando, vem a2  b2  c2. A demonstração do presidente James Abram Garfield, presidente dos Estados Unidos durante apenas 4 meses (pois foi assassinado em 1881), era b também general e gostava de Matemática. Ele deu a seguinte prova do teorema de Pitágoras baseada na figura ao lado: A área do trapézio com bases a, b e altura a  b é igual à semissoma das bases vezes a altura. Por outro lado, a mesma área é também igual à soma das áreas de 3 triângulos retângulos. Portanto, a  b (a  b)  ab  ab  c2 , e, simplificando, a2  b2  c2. 2 2 2 2 A demonstração de Leonardo da Vinci O grande gênio criador da Mona Lisa também concebeu uma demonstração do teorema de Pitágoras, que se baseia na figura ao lado. Os quadriláteros ABCD, DEFA, GFHI e GEJI são congruentes. Logo os hexágonos ABCDEF e GEJIHF têm a mesma área. Daí resulta que a área do quadrado FEJH é a soma das áreas dos quadrados ABGF e CDEG.

a

b m

n c

c

c

a

a b

C

B D G

A F

E

H

J

I

MANUAL DO PROFESSOR

97

A demonstração de Papus H G Na realidade, não se trataapenas de uma nova demonsI tração, mas de uma generalização bastante interessante do K L teorema de Pitágoras. Em vez de um triângulo retângulo,F A J toma-se um triângulo arbitrário ABC; em vez de quadrados M C B sobre os lados, tomam-se paralelogramos, sendo dois deles quaisquer, exigindo-se queo terceiro cumpra a condição de E N D CD ser paralelo a HA, e com o mesmo comprimento. O teorema de Papus afirma que a área do paralelogramo BCDE é a soma das áreas de ABFG e AIJC. A demonstração se baseia na simples observação de que dois paralelogramos com bases e alturas de mesmo comprimento têm a mesma área. Assim, por um lado, AHKB tem a mesma área que ABFG e, por outro lado, a mesma área que BMNE. Segue-se que as áreas de BMNE e ABFG são iguais. Analogamente, são iguais as áreas de CDNM e CAIJ. Portanto, a área de BCDE é a soma das áreas de ABFG e CAIJ. O teorema de Pitágoras é caso particular do de Papus. Basta tomar o triângulo ABC retângulo e três quadrados em lugar dos três paralelogramos. O argumento de Polya No meu entender, entretanto, a demonstração mais inteligente do teorema de Pitágoras não está incluída entre as 370 colecionadas pelo Professor Loomis. Ela se acha no livro Induction and Analogy in Mathematics, de autoria do matemático húngaro George Polya. O raciocínio de Polya se baseia na conhecida proposição, segundo a qual ‘as áreas de duas figuras semelhantes estão entre si como o quadrado da razão de semelhança’. Lembremos que duas figuras F e F’ dizem-se semelhantes quando a cada ponto A da figura F corresponde um ponto A’ em F’, chamado o seu homólogo, de tal maneira que, se A, B são pontos quaisquer de F e A’, B’ são seus homólogos em F’, então a razão A’B’ é uma constante k, AB chamada a razão de semelhança de F para F’. Por exemplo, dois triângulos são semelhantes se, e somente se, os ângulos de um deles são congruentes aos ângulos do outro. Por outro lado, dois quadrados quaisquer, um de lado e outro de lado ’, são semelhantes e a razão de semelhança do primeiro para o segundo é k  ’ . 

Em vez do teorema de Pitágoras, Polya prova a seguinte proposição mais geral (que, diga-se de passagem, já se acha ‘Elementos’ de Euclides):

Se F, F’ e F’’ são figuras semelhantes, construídas respectivamente sobre a hipotenusa c e sobre os catetos a, b de um triângulo retângulo, então a área de F é igual à soma das áreas de F’ e F”.

F’

F’’

O enunciado acima implica que a razão de

b a

semelhança de F’ para F” é , de F’ para F é

c de F” para F é .

ce a

b Por simplicidade, escrevamos F em vez de área de F, G em vez de área de G etc.

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MANUAL DO PROFESSOR

F

E A D : s e õ ç ra t s u Il

Se G, G’, G” são outras figuras semelhantes construídas sobre a hipotenusa e os catetos, respectivamente, em virtude da proposição acima enunciada, teremos: G’  b2  F’ , logo G’  G’’ . G’’ a2 F’’ F’ F’’ De modo análogo teremos: G’  G . F’ F Portanto, G  G’  G’’  , digamos. Escrevendo de outro modo: F F’ F’’ G  F, G’  F’ e G”  F”. Que significam essas três últimas igualdades? Elas querem dizer que, se conseguirmos achar três figuras semelhantes especiais F, F’ e F”, construídas sobre a hipotenusa e os catetos do nosso triângulo, de tal maneira que se tenha F F’  F” então teremos também G  G’  G” sejam quais forem as figuras semelhantes G, G’e G” construídas do mesmo modo.Com efeito, teremos: G  F, G’  F’ e G”  F”, logo G’  G”  F’  F”  (F’  F”)  F  G. Agora é só procurar as figuras especiais. Maselas estão facilmenC te ao nosso alcance. Dado o triângulo retângulo ABC, tracemos a altura CD, baixada do vértice do ângulo reto C sobre a hipotenusa AB. A figura F será o próprio triângulo ABC. Para F’ escolheremos ADC e para F” o triângulo BCD. Evidentemente, F, F’ e F” são figuras A D B semelhantes. Mais evidentemente ainda, temos F F’  F”.” ROSA, Euclides. Mania de Pitágoras. Revista do Professor de Matemática. n. 74, p. 21-26. 2011.

VI. Sobre as atividades propostas Página 182 Aproveite a oportunidade para retomar o uso do transferidor.

Boxe da página 186 Depois da leitura do texto do exemplo 4, peça que façam a construção proposta no boxe. Terminada a atividade, seria interessante você traçar a reta real no quadro e localizar com a participação dos alunos as raízes quadradas de 2, de 5, de 7 etc. usando régua e compasso.

Unidade 8 – Trigonometria no triângulo retângulo I. Objetivo geral •

Por meio da aplicação do conceito de razão e de semelhança de triângulos, obter relações entre ângulos e medidas dos lados de um triângulo retângulo que possibilitem resolver problemas.

II. Objetivos específicos • • • •

Determinar a tangente, o seno e o cosseno de um ângulo agudo de um triângulo retângulo. Obter valores de tangente, seno e cosseno de um ângulo agudo na tabela de razões rigonométricas. t Determinar os valores exatos de seno, cosseno e tangente dos ângulos de 30°, 45° e 60°. Utilizar as razões trigonométricas para resolver problemas. MANUAL DO PROFESSOR

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III. Comentários Sugerimos que você realize com seus alunos a atividade inicial do cálculo aproximado da altura do prédio da escola (outra opção seria o cálculo da altura de um poste ou muro alto) seguindo as orientações do texto. Os alunos anotam o ângulo de visão e medem a distância correspondente ao cateto adjacente. Guardam os dados para depois descobrir a altura do prédio da escola. Caso opte por trabalhar o texto complementar “Usando os ângulos para navegar”, eles podem construir o quadrante e usá-lo para medir o ângulo. Iniciamos a apresentação da tangente utilizando a semelhança de triângulos e a propriedade fundamental das proporções. A tangente é imediatamente aplicada para resolver o problema da altura do prédio da escola. Mostre a tabela de ângulos e ensine como utilizá-la já na resolução do boxe da página 204. Apresentamos a seguir seno e cosseno aplicando-os em exemplos. Se tiver acesso a uma calculadora científica, mostre aos alunos como utilizá-la para obter tangentes, senos e cossenos. Há um boxe sobre o assunto na página 206. As atividades são diversificadas e pretendem mostrar a aplicação das razões trigonométricas a situações contextualizadas. A unidade se encerra mostrando os valores dessas razões para os ângulos de medida 30°, 45° e 60° e suas aplicações, em particular na relação entre o lado do triângulo inscrito na circunferência e seu raio.



Sugestão de avaliação A atividade que propõe o cálculo da altura do prédio usando a tangente do ângulo pode ser avaliada em conjunto com a leitura do texto e a descoberta das razões trigonométricas. Os alunos podem realizar as medições em duplas. Na sala de aula, iniciam a leitura do texto, constroem mais um triângulo retângulo com ângulo de 40° para verificar a manutenção do valor da tangente e, por fim, determinam a altura do prédio usando a tangente do ângulo medido, e entregam um relatório para avaliação contendo: os procedimentos e o material usado nas medições; as medidas obtidas e um esboço do modelo matemático para a situação; • •

E A D

prédio

ângulo medido

distância medida • •

100

o triângulo retângulo traçado e o cálculo da tangente usando as medidas desse triângulo; o cálculo da altura do prédio da escola. MANUAL DO PROFESSOR

IV. Integração com outras áreas do conhecimento As razões trigonométricas são muito utilizadas na Física. Seria interessante, uma vez que o aluno de 9o ano está próximo do Ensino Médio, que um professor de Física participasse de umaaula de Matemática na qual as relações trigonométricas fossem o assunto, para mostrar aos alunos, por meio de exemplos bem simples, que estejam ao alcance deles,a importância dessas razões no estudo da Física. O texto complementar “Usando os ângulos para navegar” oferece oportunidade de aplicar a trigonometria no triângulo retângulo à navegação. A Geografia pode fornecer mais informações a respeito das formas de localização usadas pelos antigos navegadores.

V. Texto complementar para trabalhar com os alunos Usando os ângulos para navegar O quadrante é um instrumento de medida usado na navegação desde o século XV. Nessa época, era feito geralmente de latão ou madeira. Ele serve para medir ângulos e, com base nas relações trigonométricas, calcular distâncias e alturas. Os cálculos envolvem a posição de astros no céu, como a Estrela Polar ou, durante o dia, o Sol. Lembre-se de que os antigos navegadores só usavam os astros para se orientarem nas viagens. O quadrante é um instrumento muito simples. Como vemos na imagem, ele é formado por um quarto de círculo (por isso o nome quadrante) graduado de 0° a 90°, com duas peças perfuradas alinhadas que funcionam como uma espécie de mira. Um fio com um pequeno peso na ponta é preso no vértice do ângulo reto, como num fio de prumo. Para medir o ângulo, basta apontar a mira do quadrante, como vemos na figura, até ver o ponto desejado simultaneamente pelos dois orifícios. O fio pendurado indica na escala de 0° a 90° a medida desejada. Você mesmo pode construir um quadrante como este! Corte um quarto de círculo em papelão,

e r to a n e S o li é H

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cole papel sulfiteosobre ele e, usando o transferidor, gradue quadrante com caneta hidrocor. Prenda um fio de náilon no vértice do ângulo reto e amarre na ponta uma pedrinha. Para fazer a mira, use, por exemplo, um canudinho. Depois, é só testar!

MANUAL DO PROFESSOR

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VI. Sobre as atividades propostas Boxe da página 213 Peça aos alunos que façam a leitura do texto das páginas 212 e 213 individualmente. Depois desenvolva o texto no quadro, com a participação deles, propiciando a compreensão dos cálculos para os ângulos de 60° e de 45°. Em seguida, deixe que façam o boxe em duplas, que descubram sozinhos os valores de seno, cosseno, tangente de 30°.

Unidade 9 – Círculo e cilindro I. Objetivo geral • Levar o aluno a construir conhecimentos sobre círculo e cilindro, formas frequentes no

mundo material.

II. Objetivos específicos • Diferenciar circunferência e círculo. • Obter a relação matemática para a área do círculo. • Usar a proporcionalidade para calcular a área de setores circulares. • Reconhecer a planificação de um cilindro. • Calcular a área da superfície de um cilindro. • Calcular o volume de um cilindro.

III. Comentários Julgamos importante relembrar as características e elementos de uma circunferência para melhor diferenciar circunferência e círculo. Optamos por obter fórmula da área do círculo por meio da ideia de aproximação: primeiro, com um problema contextualizado, aproximando a área do círculo a partir da área do quadrado circunscrito a ele; depois, pela decomposição do círculo em setores circulares, aproximando a área do círculo da área de um retângulo. Acreditamos ser esse o caminho para facilitar o entendimento dos alunos. Visando também facilitar a compreensão dos alunos, valorizamos a aplicação da proporcionalidade para calcular a área de setores circulares. A noção de proporcionalidade deve ser revisitada sempre que possível. Sugerimos que você aproveite a abundância das formas cilíndricas no cotidiano e faça com que o aluno observe e manuseie essas formas (latas, por exemplo), caracterizando os cilindros e seus elementos. Por meio da proposta de um problema contextualizado e da observação da planificação, o aluno descobrirá como calcular a área da superfície do cilindro. A atividade da pagina 229, que investiga algumas secções do cilindro, introduz as ideias necessárias para apresentarmos de maneira intuitiva a fórmula do volume de um cilindro. Veja a seguir mais uma sugestão de atividade que contempla esse mesmo objetivo. Para realizar a atividade seguinte, você vai precisar construir o kit no 3, apresentado no final deste texto. 102

MANUAL DO PROFESSOR

Atividade no 22 Faça uma pilha de discos azuis e uma de discos vermelhos. Os discos azuis têm a mesma espessura dos discos vermelhos. 1. Que sólidos estas duas pilhas representam? 2. Faça uma pilha com 10 discos vermelhos e outra com 15 discos, também vermelhos. Qual delas tem maior volume? Por quê? 3. Se você fizer uma pilha com 10 discos vermelhos e uma pilha com 10 discos azuis, qual destas duas pilhas tem maior volume? Por quê? Teste no 7 Assinale a(s) alternativa(s) verdadeira(s): a) O raio do disco azul é menor que o raio do disco vermelho. b) A altura de uma pilha de 10discos azuis é maior que a altura de uma pilha de 10 discos vermelhos. c) O volume de uma pilha de discos depende da altura da pilha e do raio do disco. d) O volume de uma pilha de discos é independente da altura da pilha. e) O volume de uma pilha de discos é independente do raio do disco. f) Duas pilhas de discos vermelhos, com a mesma altura, têm volumes iguais. Kit no 3 Material necessário: • papelão grosso de embalagens; • tinta azul e vermelha; • tesoura.

Instruções para a construção (discos): E A D

1. Faça disco, sendo um com 24 moldes cm de de diâmetro e outro com 5 cm de diâmetro. 2. A partirdos moldes, construano papelão 25 discos de 4 cm de diâmetro e 10 discos de 5 cm de diâmetro. 3. Pinte de vermelho os discos de 4 cm e de azul os de 5 cm. Atividade extraída da ficha número 7 da publicação: Geometria experimental, v. 3. Unicamp. Rio de Janeiro: FAE, 1984.

http://faraday.physics.utoronto.ca/GeneralInterest/Harrison/Flash/AreaOfCircle/AreaOfCircle.html Sugestões de avaliação 1) Um trabalho individual envolvendo a planificação da superfície lateral do cone e do cilindro como sugerido nas paginas 226 e 230 e interessante e motivador. Seguindo a mesma linha, pode-se incluir nesse trabalho a investigação das secções destas figuras usando massa de modelar, como sugerido na pagina 229.

MANUAL DO PROFESSOR

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2) Construções com os instrumentos de desenho são sempre desejáveis. No exemplo 2 da pagina 224, sugerimos que o aluno reproduza o desenho envolvendo partes do círculo para calcular a área da figura colorida. Pode-se propor a construção de mais figuras criadas e desenhadas por eles envolvendo círculos, semicírculos, coroas, setores, etc., e o cálculo das respectivas áreas pintadas. A elaboração dos desenhos, o trabalho em classe e o cálculo das áreas poderiam fazer parte de alguma avaliação, compondo uma nota.

IV. Integração com outras áreas do conhecimento Circunferências e arcos são usados em Geografia, como paralelos e meridianos, por exemplo. O professor de Geografia pode enriquecer o conteúdo explicando estes conceitos, ou dando continuidade ao trabalho sugerido na Unidade 3. Outro caminho é explorar circunferências, círculos e suas partes na arte, arquitetura, decoração, design, propondo a montagem de painéisfotográficos com obras arquitetônicas, móveis, objetos que apresentem formas circulares, bem como pesquisar os artistas que utilizaram essas formas em suas obras.

V. Texto complementar para o professor “O número  é realmente instigante”. Apresentamos a seguir um texto publicado na Revista do Professor de Matemática que descreve dois procedimentos experimentais que permitem obter este número. Vale a pena ler.

Experiências curiosas que nos levam ao número  “Georges Louis Leclerc, conde de Buffon (1707-1788), e Pierre Simon Laplace (1749-1827) propuseram uma maneira curiosa para se obter praticamente o valor de : Lança-se, ao acaso, de baixo para cima, uma agulha, que deverá cair livremente sobre uma superfície com linhas paralelas, igualmente espaçadas. A distância entre as linhas deverá ser maior do que o comprimento da agulha. (Um assoalho com tábuas paralelas poderá ser usado para a experiência). Efetuando um grande número de lançamentos, conta-se quantas vezes a agulha intercepta as linhas paralelas. A seguinte fórmula dará um valor aproximado de  . 2a  N 

bn

onde N é o número de lançamentos;n, o número de interseções; a, o comprimento da agulha e

b, a distância entre as linhas. Ambrose Smith, em 1855, com 3 204 lançamentos e com uma agulha de comprimento igual 3 a da distância que separa as linhas, encontrou 5   6  3 204  3,141 5 1 224 Uma outra experiência para obter um valor aproximado de  consiste em traçar um quadrado de lado 2 r (r bem grande em relação ao tamanho de uma moeda) e inscrever neste quadrado um círculo. Lançando-se, ao acaso, a moedinha sobre a figura, anota-se o número m de vezes que ela cairá dentro do círculo e o número n de vezes que ela cairá dentro do quadrado mas fora do círculo. 104

MANUAL DO PROFESSOR

A razão

m é, aproximadamente, igual à razão das áreas do círculo e do quadrado mn m  r2 ou seja,   4m m  n 4r2 mn

.

AZEVEDO NETO, José M. de. Experiências curiosas que nos levam ao número . Revista do Professor de

Matemática, n. 9, p. 10, 1986.

VI. Sobre as atividades propostas Boxe da página 225

Não julgamos necessário apresentar uma fórmula específica para o cálculo da área da coroa circular. Os alunos provavelmente calcularão a área do circulo maior e, dela, subtrairão a área do círculo menor, o que é correto e suficiente.

Boxe da página 226 Não apresentamos fórmula para o cálculo da área de setores circulares. Julgamos suficiente mostrar como obtê-la por proporcionalidade.

Boxe da página 232 Essa atividade pode envolver Arte. A embalagem deverá ser eficiente, mas também bonita.

Unidade 10 – Porcentagem e juro I. Objetivo geral • Desenvolver conhecimentos básicos de Matemática Financeira, necessários para avaliar e re-

solver problemas da vida prática.

II. Objetivos específicos • Resolver problemas envolvendo porcentagens. • Compreender o que é juro. • Resolver problemas relacionados com juro.

III. Comentários Por meio de situações comuns do cotidiano, relembramos o registro e o cálculo de porcentagens, com destaque para descontos e acréscimos. Você pode enriquecer as aulas trazendo mais situações ligadas ao contexto de seus alunos e aos assuntos atuais – pode ser feito um trabalho com jornais, por exemplo. Conceituamos juro como compensação financeira, o que se ajusta as situações de empréstimo, aplicações financeiras, prestações e impostos em atraso. Um problema introduz a fórmula j  C  i  t. É importante enfatizar as variáveis presentes no cálculo de juro. Por exemplo: • fixados o capital e a taxa, o juro é função do tempo; MANUAL DO PROFESSOR

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• fixados o capital e o tempo, o juro é função da taxa; • fixados a taxa e o tempo, o juro é função do capital.

Por meio de exemplos, apresentamos a ideia de juro composto. Tomando períodos curtos de tempo, você pode trabalhar o cálculo de juro sobre juro com dados do momento. O cálculo da inflação acumulada (no trimestre, no semestre etc.) pode ser uma boa opção de atividade. Esta unidade pode contribuir para a educação dos alunos como consumidores. Você deve aproveitar problemas e situações que envolvem, por exemplo, diferença entre preço a vista e a prazo, juros do cheque especial, saldo devedor em cartão de crédito, entre outros, sempre respeitando, é claro, o nível de compreensão e maturidade dos alunos.



Sugestões de avaliação O aluno do 9o ano tem condições de utilizar o conhecimento sobre porcentagens na análise de dados relativos à situação econômica e social do país. Um trabalho interdisciplinar com Geografia para estudar indicadores como o PIB, renda per capita e IDH é interessante. A seguir, há uma sugestão de roteiro para esse trabalho. Dividir a turma em grupos de, no máximo, quatro alunos. Cada grupo desenvolverá um dos quatro temas propostos a seguir pesquisando na internet, jornais, revistas, mídia em geral, coletando e selecionando dados, tabelas, gráficos e textos pertinentes. Em aulas marcadas pelos professores de Matemática e de Geografia, os componentes do grupo se reunirão para organizar as pesquisas e elaborar o trabalho. Todos os itens apresentados na descrição dos temas precisam ser abordados, e o grupo pode incluir novos itens, desde que sejam aprovados pelos professores. Cada aluno deve ter uma pasta com todo o material de pesquisa e levá-la às aulas destinadas ao projeto. Em data marcada pelos professores, os alunos devem entregar a primeira versão do trabalho, que será avaliada e devolvida com observações, correções e sugestões. Essa versão preliminar deve conter no momento do recolhimento para avaliação: folha de rosto com o título do trabalho, nome, número e ano dos componentes do grupo. Utilizar uma folha para cada item do tema, e uma folha com as referências bibliográficas e a fonte dos dados pesquisados. Capricho, clareza e organização também serão avaliados. Os grupos terão um prazo para reformular a primeira versão do trabalho de acordo com as observações feitas pelos professores e entregar então a versão final para nova avaliação. TEMAS / CONTEÚDO 1. PIB (Produto Interno Bruto) – Brasil 1 • O que é PIB? Como é calculado? • Gráfico de barras: evolução do PIB brasileiro nos últimos anos. • Comparar (utilizar gráficos de barras) o PIB do Brasil com o de outros países (2007 ou mais recente). Sugestão: EUA, Alemanha, Japão, China, Austrália, Angola, Etiópia, Argentina, Chile. 106

MANUAL DO PROFESSOR

• Análise dos dados. • Conclusões. 2. PIB (Produto Interno Bruto) – Brasil 2 • Tabela e gráfico de setores com a participação porcentual das regiões brasileiras na composição do PIB (2007 ou mais recente). • Gráfico de barras ilustrando a participação porcentual dos estados brasileiros na composição do PIB. • Análise dos dados. • Conclusões. 3. Renda per capita • O que é renda per capita? • Evolução da renda per capita no Brasil nos últimos anos. • Gráfico de barras: renda per capita dos estados brasileiros. • Comparar (utilizar gráficos de barras) a renda per capita do Brasil com a de outros países (2007 ou mais recente). Sugestão: EUA, Alemanha, Japão, China, Austrália, Angola, Etiópia, Argentina, Chile. • Análise dos dados. • Conclusões. 4. IDH (Índice de Desenvolvimento Humano) • O que é IDH? Quais os valores considerados satisfatórios? • IDH do Brasil. • Gráfico de barras – IDH dos estados brasileiros (2007 ou mais recente). • Comparar (com gráficos de barras) o IDH do Brasil com o de outros países (2007 ou mais re-

cente). Sugestão: EUA, Alemanha, Japão, China, Austrália, Angola, Etiópia, Argentina, Chil e.

• Analise dos dados. • Conclusões. Combine com o professor de Geografia um cronograma de acompanhamento dos trabalhos e a forma de avaliação de cada componente. Sugestão para a distribuição da nota (0 a 10) • 3 pontos para o envolvimento, pesquisa e postura nas aulas destinadas ao trabalho (nota individual) • 3 pontos pela avaliação da versão preliminar (nota do grupo) • 4 pontos pela avaliação da versão final (nota do grupo) Sugestões de sites para pesquisa

Acessos em: jun. 2011. MANUAL DO PROFESSOR

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IV. Integração com outras áreas do conhecimento A interpretação e cálculo comporcentagens e os conhecimentos sobre Matemática Financeira são indispensáveis para o cidadão. É natural a integração com outras disciplinas nesse tema. Uma sugestão é o trabalho com Geografia sugerido noitem anterior. Apontamos a seguir outras possibilidades. 1) Apresentamos na Seção livre um texto interessante sobre a história dos juros, que pode ser usado para desenvolver habilidades de leitura e para integrar Matemática e História. O professor de História pode enriquecer as informações do texto, relatando o empréstimo de grãos e de prata na Babilônia, Código Hamurabi e a Lei das XII Tabuas, por exemplo. 2) O Código Hamurabi é importante no campo do Direito. Seria ótimo levar um advogado para conversar com os alunos sobre a influência desse código milenar nos códigos e leis atuais.

3) Um advogado também pode contribuir conversando com os alunos sobre o Código dos Direitos do Consumidor.

V. Sobre as atividades propostas Boxe da página 249 É um bom momento para conversar sobre a importância da educação financeira e como os conhecimentos em Matemática são importantes para o cidadão. Fale sobre cobrança de juros compostos em situações reais, como cheque especial, cartão de crédito etc.

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7. Avaliação – O q ue se pede por aí O objetivo deste item é oferecer a você, professor, exemplos de questões sintonizadas com as atuais tendências para a avaliação em Matemática, que têm, como pontos básicos, a aproximação com o cotidiano, a articulação entre conteúdos e a mobilização de habilidades diversificadas para a resolução de problemas. Neste volume, as questões foram selecionadas a partir de avaliações aplicadas pelo Colégio Pedro II (autarquia federal – Rio de Janeiro). Questão 1 Paulo e Henrique fizeram uma viagem estrada 1

B da cidade A até a cidade B. Existem duas A estradas que ligam as cidades. A estrada 1 tem 120 km de extensão e um pedágio estrada 2 de R$ 10,00. Já a estrada 2 tem 160 km de extensão, mas não possui pedágios. Ele abasteceu seu carro com combustível a R$ 2,00 o litro. a) Paulo escolheu a estrada 1 e percorreu 80 km a cada hora. Quanto tempo Paulo gastou para ir da cidade A até a cidade B, em horas e minutos? b) O carro de Paulo tem um consumo de 1,2 litros a cada 10 km percorridos em estradas. Já o carro de Henrique tem um consumo 25% menor que o de Paulo. Qual das estradas Henrique deve escolher para que sua viagem fique mais econômica? Justifique sua resposta. Questão 2 E A D

banda de em rockforma vai se de apresentar um clube. A pista dede dança salão os retangular , ondeUma há um palco trapézio em retângulo, com 15 m² área,está no em qualum ficarão integrantes da banda e seus equipamentos. A figura 16 m abaixo é uma representação do salão com suas medidas, todas expressas em metros. a) O salão é considerado lotado quando há 3 pessoas por metro quadrado, 8m 4 palco em média, excluindo-se a área do 3 palco. Determine a lotação máxima desse salão com o palco montado. b) Determine o valor de x. Questão 3 José e Luisa foram a um bar e gastaram um total de R$ 56,00. No dia seguinte, Luisa pegou a nota na qual estava a conta para verificar o gasto. Porém, havia alguns numerais borrados, conforme a tabela abaixo. E A D

x

x

x

Produto

Quantidade

Valor Unitário (R$)

refrigerante lata bolinhodebacalhau pizzacalabrezamédia água sem gás

4,00 1,00 2,00

20,00 2,00

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Luisa lembrava-se apenas que os numerais borrados eram todos iguais, o que foi suficiente para que ela os calculasse. a) Represente por x cada numeral borrado na nota. Descreva a situação acima por meio de uma equação do 2o grau. b) Resolva a equação obtida no item anterior e determine o valor borrado na nota. Questão 4 É possível representar expressões polinomiais do segundo grau através da expressão da área de figuras geométricas planas. Para isso, consideram-se quadrados e retângulos que possuam lados medindo apenas 1 ou x unidades de comprimento, sendo x um número maior que 1. Um exemplo pode ser visto a seguir: x

1

x

x

1

x

1

E A D

x

1 1

O esquema geométrico acima representa a expressão polinomial: x2  3x  1. Pedro resolveu fazer uma estampa em uma de suas camisas usando essas figuras. A estampa que usou tinha o desenho abaixo: E A D

a) Escreva a expressão polinomial simplificada que representa a área do desenho utilizado por Pedro para fazer a estampa. b) A área do desenho feito por Pedro media 98 unidades de área. Qual era a medida x do lado do quadrado sombreado? Questão 5 Na cidade de Cusco, no Peru, um fabricante de camisas usa um dodecágono para representar a conhecida PEDRA DOS DOZE ÂNGULOS, um de seus pontos turísticos. A figura ao lado mostra esta representação e suas respectivas medidas. Observe que dois lados consecutivos são sempre perpendiculares. Usando como base a representação ao lado, o fabricante monta dois modelos de camisas X e Y.

J

G E

H F L

K

D

C

Medidas AB 2

2cm

GH  7 cm

CD  KL 2 cm

IJ  4 cm

EF  7 cm

AL  BC  15 cm

HI  FG 1 cm

JK  5 cm A

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I

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B

a) O modelo X, mais barato, tem uma linha reta vermelha bordada entre os pontos B e K, conforme a figura a seguir. Determine o comprimento da linha bordada BK. I

J

G E

H F L

D

K

C E A D : s e õ ç ra t s lIu

Cusco

Peru

B

A

b) O modelo Y, mais caro, apresenta um triângulo que será bordado em vermelho, conforme mostra a figura abaixo. Determine a área, em cm², que será bordada de vermelho no modelo Y. J

I G E

H F L

D

K

C

Cusco

Peru

A

B

Questão 6 Uma formiga saiu de sua toca, localizada no ponto T, em busca de alimento. Ela andou 16 m até o ponto A, girou 90° para a esquerda e andou metade do percurso anterior até o ponto B. Ela repete o mesmo padrão: virar 90° para a esquerda e andar metade do percurso imediatamente anterior, até chegar ao ponto D, onde está localizado um alimento. Do ponto D, a formiga caminha em linha reta de volta à sua toca, localizada em T. O percurso descrito acima foi todo feito no plano e está representado na figura acima: a) Determine a distância entre os pontos D e T.(Considere 5  2,2.) b) Determine a área do polígono TABCD. MANUAL DO PROFESSOR

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Questão 7

Gustavo escorrega na rampa de um tobogã com inclinação de 40º com o plano horizontal e mergulha em uma piscina com borda retangular. Depois, nada do ponto P, onde mergulhou, até o ponto Q, na borda da piscina. Observe a situação descrita na figura abaixo: Considere: sen 40° 0,64; cos 40° 0,77; tg 40° 0,84 e  13  3,61) a) Qual é o comprimento, em metros, da rampa inclinada do tobogã? b) Quantos metros Gustavo nadou?

E R O T A N E S O I L

40º

É H

P

15,4 m

12 m

Q 18 m

Questão 8 Os ingressos seriam mais baratos se não houvesse meia entrada?

Sim. O preço é maior porque 80% pagam meia. [... ] A conta é simples: o produtor sabe quanto quer ganhar e estima que 80% vão entrar pagando meia; cabe aos outros 20% cobrir o prejuízo. “Como a maioria paga metade, o ingresso tem que subir para a conta fechar”, diz um produtor de eventos. Fonte: Revista Superinteressante, jul. 2011.

Considere as informações contidas no texto acima, em uma sala de cinema lotada, com 180 lugares, cujo ingresso custa R$ 15,00. a) Qual terá sido a arrecadação total desta sessão? b) Qual o preço médio dos ingressos nesta sessão?

Respostas: 1. a) 1 h 30 min b) Estrada 2 2. a) 339 pessoas b) 2,5 m 3. a) x2  4x  32  0 b) 4 112

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4. a) 2x2  4x  2 b) x  6 5. a) 25 cm b) 30 cm 2 6. a) 13,2 m b) 68 cm 2

7. a) 20 m b) 21,66 m 8. a) R$ 1.620,00 b) R$ 9,00

8. Sugestões de livros e sites para o professor No magistério, como em várias outras profissões, estudar continuamente e atualizar-se é indispensável. Fornecemos algumas sugestões de livros e sites que podem auxiliá-lo nessa nobre tarefa – a de ensinar.

8.1 Livros 8.1.1 Matemática por meio de jogos e resolução de problemas •

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•

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•

•

BORIN, Júlia. Jogos e resolução de problemas: uma estratégia para as aulas de Matemática. São Paulo: IME–USP, 1995. ENZENSBERGER, Hans. O diabo dos números. São Paulo: Cia. das Letras, 1997. KALEFF, Ana Maria. Quebra-cabeças geométricos e formas planas. Rio de Janeiro: Eduff, 2003. (Coleção O Prazer da Matemática.) KRULIK, Stephen; REYS, Robert E. (Orgs.). A resolução de problemas na Matemática escolar. São Paulo: Atual, 1996. LOBATO, Monteiro. Aritmética da Emília. São Paulo: Brasiliense, 1997. OBERMAIR, G. Quebra-cabeças: truques e jogos com palitos de fósforos. Rio de Janeiro: Ediouro, 1981. SMOLE, Kátia Stocco; DINIZ, Maria Ignez; MILANI, Estela. Cadernos do Mathema: Jogos de o

•

•

o

Matemática de 6 a 9 ano. São Paulo: Artmed, 2007. TAHAN, Malba. As maravilhas da Matemática. Rio de Janeiro: Bloch, 1987. ______. O homem que calculava. Rio de Janeiro: Record, 2001.

8.1.2 História da Matemática e História da Educação Matemática •

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•

•

•

BOYER, Carl B. História da Matemática. São Paulo: Edgar Blücher, 1996. CARAÇA, Bento Jesus. Conceitos fundamentais de Matemática. Lisboa: Sá da Costa, 1998. IFRAH, Georges. Os números : a história de uma grande invenção. Rio de Janeiro: Globo, 1992. MIGUEL, A.; MIORIM, M.A. História na educação matemática: propostas e desafios. Belo Horizonte: Autêntica, 2004. MIORIM, M.A. Introdução à história da educação matemática. São Paulo: Atual, 1998. STRUICK, Dirk J. História concisa das matemáticas. Lisboa: Gradiva, 1997.

8.1.3 Paradidáticos •

•

Coleção Contando a História da Matemática. Diversos autores. São Paulo: Ática, 1996. Flashes da História da Matemática e situações-problema para o aluno resolver. Coleção Pra que serve Matemática? Diversos autores. São Paulo: Atual, 1990. Temas variados como: Números negativos, Ângulos e Álgebra, entre outros. MANUAL DO PROFESSOR

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•

•

Coleção Vivendo a Matemática. Diversos autores. São Paulo: Scipione, 1990. Temas variados como: problemas curiosos, os números na história das civilizações, teorema de Pitágoras, Lógica, Poliedros etc. Série A descoberta da Matemática. Diversos autores. São Paulo: Ática, 1991. Temas variados como: Números negativos, Frações e Ângulos, entre outros. BELLOS, Alex. Alex no país dos números. São Paulo: Companhia das Letras, 2011.

8.1.4 Educação Matemática •

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• •

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CARRAHER, Terezinha; CARRAHER, David; SCHLIEMANN, Analúcia. Na vida dez, na escola zero. São Paulo: Cortez, 1995. Coleção Matemática: aprendendo e ensinando. Diversos autores. São Paulo: Atual. Coleção Tendências em Educação Matemática. Diversos autores. Belo Horizonte: Autêntica, 2001. COXFORD, Arthur F.; SHULTE, Albert P. (Org.).As ideias da Álgebra. São Paulo: Atual, 1994. D’AMBRÓSIO, Ubiratan. Etnomatemática. São Paulo: Ática, 2001. KRULIK, Stephen; REYS, Robert E. (Org.). A resolução de problemas na Matemática escolar. São Paulo: Atual, 1980. LINDQUIST, M. M.; SCHULTE, Albert P. (Org.).Aprendendo e ensinando Geometria. São Paulo: Atual, 1994. MACHADO, Nilson José. Matemática e língua materna. São Paulo: Cortez, 1990. MIGUEL, Antonio; MIORIM, Maria Ângela. O ensino da Matemática no primeiro grau. São Paulo: Atual, 1986. POLYA, G. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Interciência, 1995.

Coleção de publicações do CAEM–IME/USP: 1. O uso de malhas no ensino de Geometria. 2. Materiais didáticos para as quatro operações. 3. O conceito de ângulo e o ensino de Geometria. 4. Era uma vez na Matemática: uma conexão com a literatura infantil. 5. Álgebra: das variáveis às equações e funções. 6. Jogos e resolução de problemas: uma estratégia para as aulas de Matemática. 7. A Matemática das sete peças do Tangram. O Centro de Aperfeiçoamento do Ensino de Matemática (Caem) é um órgão de extensão vinculado ao Instituto de Matemática e Estatística (IME) da Universidade de São Paulo (USP). O Caem assessora professores, promovendo cursos e produzindo materiais de apoio para as aulas de Matemática. O site do Caem e o e-mail para contato são, respectivamente, e [email protected].

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8.2 Revistas • Revista do Professor de Matemática (RPM)

Conhecida como RPM , a revista é distribuída ininterruptamente desde o ano de 1982, e é uma publicação da Sociedade Brasileira de Matemática que, dentre outras atividades, promove também as Olimpíadas de Matemática. O endereço para contato com a RPM é Caixa Postal 66.281 – São Paulo (SP), CEP 05311-970, fone: (11) 3091-6124, e o endereço eletrônico é [email protected]. O site da revista é www.rpm.org.br, e nela o professor encontrará artigos sobre ensino de Matemática e discussões gerais que podem auxiliá-lo em suas dúvidas. • Boletim de Educação Matemática (Bolema)

O Bolema foi criado no ano de 1985, no Programa de Pós-graduação em Educação Matemática da Unesp de Rio Claro, que é o mais antigo Programa de Pós-graduação, nessa área, na América Latina. Voltado à divulgação de artigos de pesquisa, todo o conteúdo da revista está disponível gratuitamente no site . Atualmente o BOLEMA tem três edições anuais e alguns números especiais, voltados à discussão de temas específicos (Ensino de números racionais (de 2008), Avaliação em Matemática (de 2009), História da Educação Matemática (de 2010), Educação Estatística (de 2011) e Modelagem Matemática (de 2012). • Revista Zetetiké

O nome Zetetiké está relacionado ao termo “pesquisa”. A revista Zetetiké é uma publicação do Círculo de Memória e Pesquisa em Educação Matemática (Cempem) da Faculdade de Educação da Unicamp. A Zetetiké circula bimestralmente desde o ano de 1993 e todas as suas edições podem ser acessadas gratuitamente em: . • Boletim Gepem

O Grupo de Estudos e Pesquisa em Educação Matemática (Gepem) é um grupo carioca que começou a funcionar no ano de 1976 e é o mais antigo ainda em func ionamento no Brasil. Voltado a publicar artigos de pesquisa e experiências em sala de aula, o Boletim Gepem, de periodicidade bimestral, pode ser acessado gratuitamente no site: . • Revista Nova Escola

Publicada pela Editora Abril, a revista Nova Escola é uma revista especifica de Educação Matemática, seu conteúdo é sobre Educação. Frequentemente, porém, podemos encontrar em suas páginas artigos que tratam do ensino e aprendizagem de Matemática, além de textos relativos a outras disciplinas e de discussões gerais acerca das práticas escolares. Ao contrário das demais publicações aqui referenciadas, a revista Nova Escola é uma edição comercial, que pode ser comprada em bancas e cujas edições são mensais. O site da revista é: .

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• Revista Educação e Matemática

A Educação e Matemática é um periódico da Associação de Professores de Matemática de Portugal, publicada desde 1987 e com periodicidade atual de cinco edições anuais. A revista publica artigos sobre o ensino e aprendizagem de Matemática, relatos de experiências e propostas de atividades para a sala de aula. Há alguns artigos e materiais disponíveis on-line (o acesso integral a todos os artigos só é possível a associados) pelo site: .

8.3 Sites Vivemos num mundo de comunicação e informação, o que implica serem infinitas as possibilidades de encontrarmos, à nossa disposição, motivações e propostas para implementarmos em sala de aula ou usarmos para nossa formação complementar continuada, para atualizarmos nossos conhecimentos. A internet é um dos melhores exemplos dessas infinitas possibilidades. Mas exatamente por serem tantas as informações disponíveis, os professores devem ser cautelosos quando “passeando” pelo mundo virtual. Embora sugestões criativas para nosso trabalho possam vir de onde menos se espera – o mundo está cheio de situações que podem ser usadas criativa e criteriosamente em nossas salas de aula – nossas visitas a sites na internet não podem prescindir de uma boa dose de cuidado. Para auxiliar os professores em suas buscas, oferecemos alguns sites. Páginas virtuais de grupos de pesquisa, universidades, centros de formação conhecidos, profissionais experientes, instituições oficiais e não governamentais reconhecidas por sua atuação e programas de pós-graduação são endereços mais seguros – embora não sejam os únicos – que podem, ao serem acessados, informar o professor e motivá-lo a criar atividades e abordagens para seu cotidiano escolar. Alguns sites já foram disponibilizados nos tópicos anteriores, outros seguem abaixo: • www.mathema.com.br

O Mathema é um grupo que investiga novos métodos e materiais para o ensino de Matemática. Seu site contém textos e materiais para vários níveis de escolaridade. • www.sbm.org.br • www.sbem.com.br • www.apm.pt

A Sociedade Brasileira de Matemática (SBM) –, a Sociedade Brasileira de Educação Matemática (SBEM) e a Associação de Professores de Matemática de Portugal (APM) são sociedades voltadas à pesquisa e ao ensino, e em seus sites os professores podem encontrar informações sobre eventos e publicações. Essas sociedades mantêm revistas especializadas em ensino de Matemática – a SBM publica a Revista do Professor de Matemática; a APM publica as revistas Quadrante (revista teórica e de investigação) e Educação e Matemática; a SBEM publica, além de boletins eletrônicos frequentes, a Educação Matemática em Revista e a Revista Internacional de Pesquisa em Educação Matemática (Ripem). Cada estado da Federação tem uma SBEM regional, e muitas delas também mantêm boletins e revistas com informações e atividades para professores de Matemática. 116

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• www.ibge.gov.br • www.ibge.gov.br/paisesat/main.php

Site do Instituto Brasi leiro de Geografia e Estatística e do link em que recentemente foi disponibilizado um mapa-múndi digital. Esse mapa-múndi traz síntese, histórico, indicadores sociais, economia, redes, meio ambiente, entre outras curiosidades, relativos a todos os países do mundo. Veja, a seguir, exemplos – dentre os muitos existentes – de sites de Programas de Pós-graduação em Educação Matemática ou de Ensino de Ciências e Matemática emfuncionamento no Brasil. Nesses sites o professor pode encontrar informações sobre cursos, disciplinas, eventos e outras atividades relativas à pesquisa sobre o ensinode Matemática e a práticas de ensino de Matemática. • www.rc.unesp.br/igce/pgem/ • www.pucsp.br/pos/edmat/ • www.propesq.ufpe.br/index.php?option=com_content&view=article&id=70&Itemid=138 • www.pg.im.ufrj.br/pemat/mestrado.htm • www.edumat.ufms.br/ • www.mat.ufrgs.br/~ppgem/ • www.ufjf.br/mestradoedumat/ • www.ppgecnm.ccet.ufrn.br/

Outros sites de interesse para os professores de Matemática • www.cabri.com.br/index.php • www.matinterativa.com.br/layout.swf • www.ime.usp.br/~matemateca • www.somatematica.com.br • educar.sc.usp.br/matematica • matematica.com.sapo.pt • nautilus.fis.uc.pt • www.programaescoladigital.org.br • www.obm.org.br • www.obmep.org.br

Portais educacionais e objetos de aprendizagem Objetos de aprendizagem (OA) são jogos,eanimações, bilizados na internet para uso de professores alunos. experimentos, vídeos, textos etc., disponiHá vários portais e repositórios que podem ser consultados. Seguem sugestões: • mdmat.mat.ufrgs.br • www.wisc-online.com/ListObjects.aspx • www.apm.pt/portal/index.php?id=26373 • www.mais.mat.br/wiki/Pagina_principal MANUAL DO PROFESSOR

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• www.portaldoprofessor.mec.gov.br/índex.html • objetoseducacionais2.mec.gov.br • escolovar.org/mat.htm • www.diaadia.pr.gov.br • Repositórios de Objetos de Aprendizagem:

Rived – rived.mec.gov.br Bioe – objetoseducacionais2.mec.gov.br/ LabVirt – www.labvirt.fe.usp.br Cesta – www.cinted.ufrgs.br/CESTA • Repositórios Internacionais:

Merlot – www.merlot.org Ariadne – www.ariadne-eu.org

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9. Referências bibliográficas BORIN, Júlia. Jogos e resolução de problemas : uma estratégia para as aulas de Matemática. São Paulo: IME–USP, 1995. BOYER, Carl B. História da Matemática . São Paulo: Edgard Blücher, 1996. BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental. PCN de Matemática. Brasília: SEF/MEC, 1998. CARDOSO, Virgínia Cardia. Materiais didáticos para as quatro operações. São Paulo: IME–USP, 1992. CENTURION, Marília. Conteúdo e metodologia da Matemática, números e operações . São Paulo: Scipione, 1994. D’AMBRÓSIO, Ubiratan. Da realidade à ação: reflexões sobre educação e Matemática. São Paulo: Summus, 1995. DINIZ, Maria Ignez de Souza Vieira; SMOLE, Kátia Cristina Stocco. O conceito de ângulo e o ensino de Geometria . São Paulo: IME–USP, 1992. DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau. Geometria plana . São Paulo: Atual, v. 9. 1993. (Coleção Fundamentos da Matemática Elementar.) GUELLI, Oscar. A invenção dos números . São Paulo: Ática,v. 1. 1998. (Coleção Contando a História da Matemática.) GUNDLACH, Bernard H. Números e numerais. 1. ed. São Paulo: Atual, 1992. (Coleção Tópicos de História da Matemática.) IEZZI, Gelson et al. Conjuntos, funções. São Paulo: Atual, v. 1. 1985. (Coleção Fundamentos da Matemática Elementar) IFRAH, Georges. Números: a história de uma grande invenção. Rio de Janeiro: Globo, 1992. KAMII, Constance. Aritmética: novas perspectivas. Implicações da teoria de Piaget. Campinas: Papirus, 1992. KRULIK, Stephen; REYS, Robert (Orgs.). A resolução de problemas na matemática escolar . São Paulo: Atual, 1980. LIMA, Elon Lages. Áreas e volumes . Rio de Janeiro: Ao Livro Técnico, 1975. (Coleção Fundamentos da Matemática Elementar.) LINS, R. C.; GIMENEZ, J. Perspectiva em Aritmética e Álgebra para o século XXI . Campinas: Papirus, 1997. MACHADO, Nilson José. Coleção Matemática por Assunto. São Paulo: Scipione, v. 1. 1988. MOISE, E; DOWNS, F. L. Geometria moderna. São Paulo: Edgard Blücher, 1971. MONTEIRO, Jacy. Elementos de álgebra. Rio de Janeiro: Ao Livro Técnico, 1978. NETO, Ernesto Rosa. Didática da Matemática . São Paulo: Ática, 1987. NIVEN, Ivan. Números: racionais e irracionais. Rio de Janeiro: SBM, 1984. POLYA, George. A arte de resolver problemas . Rio de Janeiro: Interciência, 1978. MANUAL DO PROFESSOR

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RUBINSTEIN, Cléa et al. Matemática para o curso de formação de professores. São Paulo: Moderna, 1977. SANTOS, Vânia Maria Pereira (Coord.). Avaliação de aprendizagem e raciocínio em Matemática : métodos alternativos. Rio de Janeiro: IM-UFRJ; Projeto Fundão; Spec/PADCT/Capes, 1997. SOLOMON, Charles. Matemática . Série Prisma. São Paulo: Melhoramentos, 1978. SOUZA, Eliane Reame; DINIZ, Maria Ignez de Souza Vieira. Álgebra: das variáveis às equações e funções. São Paulo: IME–USP, 1994. STRUIK, Dirk J. História concisa das Matemáticas . Lisboa: Gradiva, 1997. TROTA, Fernando; IMENES, Luiz Márcio; JAKUBOVIC, José. Matemática aplicada. São Paulo: Moderna, 1980. WALLE, John A. van de. Matemática no Ensino Fundamental: formação de professores e aplicação em sala de aula. Porto Alegre: Artmed, 2009. ZABALLA, Antoni (Org.). A prática educativa: como ensinar. São Paulo: Artmed, 1998.

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