dipl. in`. Zoran Baki} dipl. in`. Gligorije Mirkov
MA[INSKI PRIRU^NIK e
izdawe
ZAVOD ZA UXBENIKE I NASTAVNA SREDSTVA BEOGRAD, 2006
Urednik: dipl. in`. arh. Radmila Radenkovi} Odgovorni urednik: Neboj{a Javanovi} Za izdava~a: prof. dr Rado{ Qu{i}, direktor i glavni urednik Izdava~: Zavod za uxbenike i nastavna sredstva, Obili}ev venac 6, Beograd www.zavod.co.yu
Prvo izdawe, 2006. Godina
SИSTЕМI MERNIH JEDINICA
SИSTЕМI MERNIH JEDINICA
SИSTЕМI MERNIH JEDINICA
Jedna~ine veli~ina i koherentne jedinice
Veliчina je sve, шto se moжe m ењati po veliчini i meri, npr. put, бrзiнa, тежина, temperatura, elektriчni otpor itd. Po srodnosti fizikalnih pojava с којима su vezane, delimo veliчine na geometrijske, vremenske, mehani чke (masa. sila, rad i snaga), elektriчne, magnetske itd. Fiзичi zakoni odre ђuju meђusobnu zavisnost raznovrsnih veli чina. Svaki maтematiчki izraz, koji pokazuje samo me ђusobnu zavisnost veli чina зоvemo veliчinskom једмачино.* Вeliчine merimo upore ђivaњem s odreђenom vrednoш}u iste veliчine, које smo odabrali za jedinicu. Јеdinice koje odgovaraju veliчinskim једначинама su dimenzijski кохеретне јединице. Оd dimenzijski koherentnih jedinica mo жemo samo neke odabrati po vo љi. Nазivamo ih osnovnim jedinicama. Sve ostale jedinice koje одређују iз osnovnih jedinica pomoћu odgovarajuћih veliчinskih једначина. (Дefinicijske једначине) nazivamo izvedenim jedinicama. Број osnovnih jedinica veoma je mal и. Za sve geometrijske veli чine довољна je samo jedna osnovna jedinica: za du жinu. Kinematika treba veћ две osnovne jedinice: za duжinu i vrеme. U динамици moramo tim dvema dodati i tre ћu: za masu, a elektriчne i magnetske veliчine traжe joш i чetvrtu: за jaчину elektriчne struje. Osim tih, potrebne su joш osnovne jedinice za tempera тuru, svetlosnu јачину i koliчinu materije. Sve druge jedinice moжemo izvesti iz tih osnovnih jedinica. S иstемi jedinica povezuju osnovne i izvedene jedinice u zajedni чku димезијском koherenciju. Novi meђunarodni систем jedinica (SI) одлiikuje se dimenzijskom koherencijom za sve znaчajnije veliчine u fizici i t еhnиci. Brojчane jednaчине
Ako se pri izboru razli чitih veliчina ne bismo obazirali na jedinice ostalih величина, mogli bismo fiz чке zakone prikazati samo једначинама u kojima bi kao parazitne koeficijente — trebalo uzimali u obzir i me ђusobne односе различитих јedinica. Takav matematiчкi izraz, prilago ђen povoљno odabranim dimenzijski nekoherentnim jedinicama, nije viшe veliчinska jednaчина, veћ samo brojчана jedначина . Brojчane se jednaчине uporebљavaju samo kada se њima жeli prikazati међusobni oднос veliчina (npr. prema rezultatima mereњa kod ogleda) kojih мeђusobna fizikalna заvisnost (joш) nije poznata. U svim slu чajevima kad su fi зikalne заvisnosti poznate, opravdane su samo veli чinske jednaчине. * U ovome su priru чniku sve jedna sve jednaчине pisane u veli чinskom obliku .
SИSTЕМI MERNIH JEDINICA
MEЂUNARODNИ SИSTЕМ JEDINICA SI Гodine 1799. u Francuskoj su u бироима ustanovљene jedinice: metar за дужину и килограм za masu. Gодине 1875: u Parиз u je 17 drжava potpisalo Meђ unarodnu metarsku konвенцију, su postupno pristupиле nove drжave чlanice, tako da je konven ција после сто годna imala 43 чlanice potpisnice (me ђu њima i Jugoslaviju), док је док је метарски систем upotrebљavalo veћ viшe od 120 drжava. За примену закључака Meђunarodne metarske konvencije bile su zadu жене
Generalnekoisferencije Generalnekoisferencije za za utege i mere . Гodine 1901. je prof. Giorgi predloжio novi »apsolutni sистем jedinica«, који је bio prvobitno izgra ђen za potrebe elektrotehnike te je, osim jedinica метра и килограма te sekunde kao jеdinice za vreme, povezivao sve naj значајније eleктромеханичке jedinice. Taj (»Giorgijev«) систем jedinicaje pokazao велике prednosti i na drugim (тehniчkim podruч jima, na јпре u mehanici ). Stoga је 9. generaлna konferencija za utege i mere u Parizu god. 1948. definitivно примила као opштe prikladan s истем jedinica, koji ima, osim osnovnih јединица (метра, kiлograma i sekunde) joш i чetvrtu osnovnu jedinicu — amперметар као јединицу za електричну struju, a nazvan je, po tim osnovnim jedini цама, цама, »систем јединица систем јединица MKSA«. 10.konferencija god. 1954. dodalajejoш dve osnovnejedinice: степен Kелvina (godine 1969. preimenovan u kelvin) za temperaturu i канделу за јачину светлост. 11. generalna konferencija je god. 1960. ustanov ила је ноvu d еfiniciju za metar (i jedinicu za magnetsku indukciju nazvala »Тesla«), одредила скраћенице многиих јединица i novome sистемu Syst ėme Internatonal d'Unit ė s ). Na jedinica dala ime Meђuнародни систем јединица систем јединица - SI ( Syst 13. genеralnoj konferenciji 1967. god. ustanovqena je nova definicija za sekundu, a na 14. generalnoj konferenciji 1971. god. dodana je jo ш i sedma osnovna jedini цa - mol kao osnovna jedinica za koliчinu материје.
Osnovne jedinice meђunarodnog sистема SI su sada: за dужину — metar m metar за masu — kilogram kilogram kg — sekunda za v рeme sekunda s за eлektriчnu struju — amper A — ketvin za temпeraturu K — kandela za ja~inu svetla kandela cd — mol mol za koliчinu материје mol U Jugosiaviji je me ђunarodni sistem jedinica SI ozvani~en zakonom о mernim jedиnicama i merama, objavљenim 1976., a s важношћу непосредно неколико месеци касније.
SИSTЕМI MERNIH JEDINICA
Osnovne jedinice SI
Osnovna jedinica za du жину — metar ( m) — je bila najprije odre ђena razmakom dv е ju crtica na me ђunarodnom prametru od platine i iridija pri temperaturi 0 °C. Prametar je bio odreђen mereњem Zemљinог kvadranta, i to kao њegov 10-miliоntог dела, ali je kasnijim mereњima ustanovљeno ne-znatno odstupa њe od te definicije (kra ћi je za 0,2 mm). 11. generalna konferencija za mere i utege 1960. god. u Parizu je odredila novu definiciju metra: to je duжina, jednaka 1650763.73 таласне duжine zraчeњa atoma kriptona 86Kr . Osnovna jedinica za masu — kilogram ( kg) — je odreђena masom meђunarodnog prakilograma od platine i iridija. Prakilogram je najprije bio odreden masom 1 dm3 destiliоване vode pri 4 °C i притиску od 1,01325 bar . Kasnijim je mere њima ustanovљeno odstupaњe i pri izradi p рakilograma, koji stvamo odgovara masi od 1,000028 dm3 vode pri 4 °C. Osnovna jedinica za vrijeme — sekunda sekunda (s) — prvobitno prvobitno je bila odre ђena kao 86400. d еo sredњeg сunчevог dana. 13. generalna konferencija za mere i utege 1967. god u Parizu utvrdila je i novu definiciju sekunde: to je traja њe od 9192631770 perioda zraчeњa cezija 123Cs. Osnovna jedinica jaчине elektriчne struje — amper amper (A) — je једносмерна elektriчna struja koja prote че u vakumu kroz dva ravna i me ђusobno 1 m udaљena paralelna vod а beskonaчne duжine i zanemar љivo mala preseka uzrokuje me ђ vodовима у сvakom metru duжine silu od 2 10 −7 N. Osnovna jedinica za temperaturu (termodinami чku) — kelvin (K) — je 273,16. dеo temperaturnog intervala izmeђu apsolutne nule i trojnе tачke vode. Osnovna jedinica za ja~inu svetla — k k a n d e л a (cd) — je je jakost svjetla jednoталасног 12 zraчeњa frekvencije 540 10 Hz i snage 1/683 W/sr . (Hz, W i sr — vidi vidi следећу str). материје — mol Jedinica za koli чinu материје — mol (mol) — jest jest ona koli чina материје s истема koja sadrжi toliko elementarnih чestica koliko je atoma u 12 g ugљеника 12 C . Kad upotrebљavamo mol, moraju elementame чestice biti posebno ozna чene. To mogu biti: atomi, molekule, јoni, elektroni i druge чestice ili poscbno ozna чenи skupови takvih чestica. Broj чestica u molu odre ђuje Avogadrova konstanta N A
=
6,02205 ⋅ 10 23 mol −1
SИSTЕМI MERNIH JEDINICA
Iзvеdeнe jedinice SI Од osновнih jedinica meђunarodnog sистема jedinica SI izvedene su димензиски кохерентне jedinice geometrijskih i vremenskih veli чina:
za povrtinu — m — m2 za запремину — m3 за brzиnu — m/s
za ubrzawe — m/s2 za угаону brzinu — 1/s za угаоно ubrzawe — 1/s2
Jedиница зa silu proiziazi iz Wutnovog zakona: F -= ma , iz kojeg sledi димензиски koherenтna jedinica za silu - kgm / s 2 = N Та jedinica sile — nazvana nazvana »wutn ( N )« — je ona sila koja telu mase 1 kg daje ubrzawe 1 2 m/s . Iz jednaчine za rad: W = = Fs sledi dimenzijski koherentna jedinica, za rad - Nm =J )« — je N нa putu od 1 m. Ta jedinica energije (rada) - nazvana »џul ( J )« je rad sile 1 N н U meђunarodnom sистемu jedinica SI J je istovremeno i koherentna jedиница za topлотu, koja јe samo poseban oblik energije. = W/t daje dimenzijski koherentnu jedinicu Jedнaчина зa snagu: P = za snagu — J/s — J/s = W )« — je Jedinica za snagu — nazvana nazvana »vat (W )« je rad U , izvrшen u 1 s. Jedиница за енергију (rad) jе dakle i J = Ws. * Na te gлavne dimenzijski koherentne jedinice me ђunarodnog sистема jediница SI veжu se jedinice elektri чnih i magnetskih veliчina. Из зakona o snazi P једнос једносmerne elektriчne struje, koja je umnoжak napona U и stru је / (P = = UI) sledi dimenzijski koherentna jedinica za napon — W/A = V Ta jediнica napona — nazvana nazvana »volt (V)« — je je potencijalna razlika између dvе ju tачaka vodiчa u kojem se pri protoku једносмеrne struje od 1 A тро{и између тих тачака snaga od 1 W . Из Omovog zakona, po kojem je napon V jednak jednak umnoшku stu јe / i електричног otpora R ( U = IR ) sledi dimenzijski koherentna jedinica za elektri;ni otpor — V/A = Ω Ta jedinica etektriчnog otpora — nazvana nazvana »om (Ω)« — je otpor izmeђu dвеју тачaka че једноsmerna struja od 1 A. vodiчa meђu kojima pri naponu od 1 V te teче једно истема јединица SI. Sliчo su definiсane » ostale koherentne jedinice meђunarodnoga sистема јединица
SИSTЕМI MERNIH JEDINICA
истема јeдinica SI i које nose pos ебno име: име: Izvedene jedinice meђunarodnog sистема ј
za frekvenciju za silu za energiju за snagu za притисак за koliчinu elektriciteta za elektriчni napon за elektriчni otpor за eлektriчnu проvodљivost за elektriчni kapacitet за etektriчnу induktivност зa gustину magnetног toka za мagnetni tok za svetlosni tok za osvetqewe za radioaktivnost za apsorbovanu dozu zra чewa za ekvivalentnu dozu zraчeњa
— herc herc (hertz) — њutn (newton) — џul ( joule joule) — vat vat (watt) paskal ( pascal) — paskal kulon (coulomb) — kulon — volt volt — om (ohm) simens (siemens) — simens — farad farad — henri henri (henry) — tesla — veber veber (weber ) lumen — lumen — luks (lux) — bekerel bekerel ( becquerel) grej (gray) — grej sivert (sievert) — sivert
1 Hz = 1 s- 1 1N =1kgm/s 2 1J =1Nm 1 W = 1 J/s 1 Pa = 1 N/m 2 1C=1As 1V =1 W/A 1 Ω=1 V/A 1 S =1 Ω⎯ 1 1 F = 1 C/V 1 H = 1 Vs/A 1 T =1 N/A N/A m 1 Wb = 1 Tm 2 1 lm =1 cd sr 1 lx =1 lm/m 2 1 Bq = 1 s⎯ s ⎯ ¹ 1 Gy = 1 J/kg 1 Sv =1 J/kg
Koherentne jedinicе meђunarodnoga sистема jedinica SI su i jedinice за углове: угао — radijan 1 rad = za ravански угао — = pun равански угао/2 π угао — steradijan za prostorni угао — steradijan 1 sr = = puni prostorni ugao/4 π Osim navedenih izvedenih koherentnih jedinica koje imaju posebna imena, kohrentne jedinice meђunarodnog sистемa jedinica SI su i sve jedinice iзvedene neposredno iz osnovnih jedinica mno жeњem ili deљeњem, npr. m2 , m³ m4 , s-¹, s-2 , K-1 m/s, m/s2 , m2 /s, m³/s, kg/s, kg/m3 , kg m iлi iz veћ izvedenih jedinica s posebnim imenom, npr. N m, N/m2 , N/m3 , N s/m2 , rad/s J /kg, J/K, J/kgK, W/mK, W/m2 K, W/m2 K.4 Pri jedinicama, koje su mno жeњem izvedene iz osnovnih jedinica ili izve денih jеdinica s posebnim imenom, va љa meђu umnoжenim jedinicama ostaviti prostor ili staviti t ачku (znak za mnoжeњe), npr. kgm=kg -m (ne: kgm), Nm=N m (ne: Nm), W/m K = W/(m K) (ne: W/mK ) Jednakoважећи naчin pisaњa W l l 1 = 1W/mK = = !W/(mK)= 1W/(m K)= K)= 1Wm- KmK ⋅
⋅
⋅
⋅
SИSTЕМI MERNIH JEDINICA
Децималне мерне јединице
S обзиrom na to da se merena vелiчina неки пут mora izraziti неадекватно ilи veлikim или maлiм brojem јedinica, ustanovљenе su u meђunarodном систему jedinica SI decimalne jedinice obeleжene posebnim predznacima: predzn predznak ak znak znak vredno vrednost st predzn predznak ak znak znak vredno vrednost st дека
da
*101
deci
d
* 10 −1
хекто
h
* 10
centi
c
* 10 −2
кило
k
103
mili
in
10 −3
mega
M
106
mikro
μ
10 −6
гига
G
109
nano
n
10
тера
T
1012
piko
p
10 −12
пета
P
1015
femo
f
10
eksa
E
1018
ato
a
10 −18
2
−9
−15
Ti se decimaлнi предзнаци dodaju svim osnovnim i izvedenim jed иницама s posebnim imenom, a pi шu se ispred tih jedinica i uz њih (без размака без размака), npr.: km, mm, μm, dag, mg; ms, μs; mA kN, MN, mN, kJ, MJ, kW, MW, GW, Pisawem predznaka uz merne jedinice, jedinice, decimalne se merne jedinice razlikuju od izvedenih izvedenih jedinica koje su umnoжak osnovnih ili izvedenih јединица са posebniм imеnom, pri kojima se mora ostaviti razmak Тако треба razlikovati npr: ms = milisekunda ms = m ⋅ s = metar-sekunda mN = miliwutn mN = m ⋅ N = metar-wutn W/mK = vat po milikelvinu W / mK = W /( m ⋅ K ) vat po metar-kelvinu нпр. Pri svakoj decimalnoj mernoj jedinici mogu ћ je samo jedan predзнак нпр. −9 6 10 m=1 nm (ne: = l μmm), 10 g= 1 Mg ( ne: = 1 kkg) Decimalni se predynaci ne dodaju jedinicama, izraжeniх potenci јом (нpr. јediниca za povrшinu, запремину, frekvenciju itd.) Dakle: − − − 1 mm² =( 10 3 m)²= 10 6 m² (ne: = 1 m (m 2) == 10 3 m2) − 1 ns =( 10 −9 s) ⎯ ¹ (ne: 1 n(s 1 ) = 10 −9 s ⎯ ¹ ) 1mm²/s=(10 −3 m)²/s= 10 −6 m² (ne: 1m(m²/s)= 10 −3 m²/s) −1
*Upotreba predзnaka da, h, d i c je ograniчena; dopuшtena je samo у следећим
SИSTЕМI MERNIH JEDINICA
случајевима: dag, dalm dm, dm1 , dm , dm3. di ; ha, hl
cm, cm2, cm3, cm −1 ,
SИSTЕМI MERNIH JEDINICA
JEDINICE I MERНE VELIЧINЕ (дозвољене ј дозвољене јugoslоvenskim zakonom o mernim jedinicama i merilima) Geometrijske veliчine 1.
Дужина l Јединица SI Друге мере
1 metar (m)
нанометар
1 nm = 10 −9 m = 10 6 mm
микрометар
1 μ m = 10 −6 m = 10 −3 mm
милиметар
1 mm = 10 −3 m
центиметар
1 cm = 10 −2 m = 10mm
дециметар
1 dm = 10 −1 m = 10cm
километар морска миља* миља*
1 km = 10 3 m = 1852 m
2. Површина А Површина А ,S Jединица SI 1 квадратни метар (m²) метар (m²) Друге мере квадратни милиметар 1 mm 2 = 10 4 m 2 квадратни центиметар 1 cm 2 = 10 −4 m 2 квадратни дециметар 1 dm 2 = 10 −2 m 2 ар 1 ar = 10 2 m 2 хектар 1 ha = 10 4 m 2 = 100a квадратни километар 1 km 2 = 10 6 m 2 = 100ha 3. Запремина ( Запремина ( волумен волумен ) V Jединица SI единица SI 1кубни метар (mm³) метар (mm³) −
Druge jedinice кубни милиметар 1mm3
= 10
−9
m3
кубни центиметар 1cm 3
= 10
−6
m3
кубни дециметар 1dm 3
= 10
−3
m3
Мере за запремину течних материја литар
1l
(1 L)
= 10
микролитар
1μ l
(1μ L)
= 10
милилитар
1ml
(1mL)
= 10
центилитар
1cl
(1cL)
= 10
децилитар
1dl
(1dL)
хектолитар
1hl
(1hL)
−3
−9
m3
= 1dm
3
m 310 −6 l (10 −6 L )
−6
m3
= 10
−5
m3
= 10
= 10
−4
m3
= 10
= 10
−1
m3
= 10
−3
−
l (10 3 L )
−2
l (10 −2 L)
−1
l (10 −1 L )
2
l (10 2 L)
* Сме се уpotrebљavati samo za ozna чivaње udaљenosti u pomorskom i ваздушном саобраћају . ** Oznake za litar: l i i L su jednako vaжеће.
SИSTЕМI MERNIH JEDINICA
4. Равански угао Равански угао α , α , α
Rавански угао je dеo ravni izmeђu dva pravca koji se seku u vrhu угла. угла. Меримо ga duжином лuka изmeђu seciшta pravaca i kruжnice sa srediшteм у врhu углa i to мерама дужине luka ili du жine luka i полупречника kruжnice (m/m =1). Prirodna jedinica za ravanski ugao je 1 pun ugao*. Puni ugao je ugao pri kojem je luk jednak obimu kru`nice. U op{te su u upotrebi mere za ugao α : угао/360 ugaoni stepen = puni угао/360 угаона minuta 1' = 1° /60 угаона sekunda 1" = 1' /60 = 1°/3600 Дruge угаоне mere: gradus iлi gon 1 g = puni угао/400 prav угао = puni угао/4 Jedinica SI za luчnu meru (= analitiчki ravански угао) α je 1 radijan (rad). Radijan je угао, pri kojem je luk jednak j ednak polпречнику kruжnice. 1rad = пун угао / 2π = 360 ° / 2π = 57,29578 ° = 57 °17 ' 45 '' означени: Zбog tогa су у овом приручнику означени: - углови, углови,мерени у степенима, степенима, ознакама α , β , γ , K -
rad
углови, углови,мерени у радијанима, радијанима, ознакама α , β , γ , K Претварање радијуса Претварање радијуса у у угловне угловне степене ° ° rad rad ° rad
°
rad
°
0,01 0,02 0,04 0,06
0,573 1,146 2,292 3,438
0,32 0,34 0,36 0.38
18,335 19,481 20,626 21,772
0.64 0.66 0.68 0,70
36,670 37.815 38,961 40,107
0,96 0,98 1,00 1,02
55,004 56,150 57,296 58,442
1,28 1,30 1,32 1,34
73,339 74,485 75,630 76,776
0,08 0,10 0,12
4,584 5,730 6,875
0.40 0.42 0,44
22,918 24,064 25,210
0,72 0,74 0,76
41,253 42,399 43,545
1,04 1.06 1,08
59,588 60.734 61,879
1,36 1,38 1,40
77,922 79,068 80,214
0,16 0,18 0,20
9.167 10,313 11,459
0.48 0.50 0.52
27,502 28,648 29,794
0,80 0,82 0,84
45,837 46,983 48,128
1,12 1,14 1,16
64,171 65,317 66,463
1.44 1,46 1,48
82,506 83,652 84,798
0,24 0,26 0,28
13,751 14,897 16.043
0,56 0,58 0,60
32,086 33.232 34,377
0,88 0,90 0,92
50,420 51,566 52,712
1,20 1,22 1,24
68.755 69,901 71,047
1.52 1,54 1,56
87,090 88,236 89,381
SИSTЕМI MERNIH JEDINICA
Pretvaraњe угаоних stепена , minuta i sekunda sekunda u radijane 1°=0,017453rad 1°=0,017453 rad 1'= 0,000291 rad ° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
rad ° 0,0175 19 0,0349 20 0.0524 21 0.0698 22 0. 0 .0873 23 0. 0 .1047 24 0,1222 25 0,1396 26 0,1571 27 0,1745 28 0,1920 29 0,2094 30 0,2269 31 0,244 3 32 0,26118 0,26118 33 0,279 3 34 0,296 7 35 0,3142 36
rad 0,3316 0,3491 0,3665 0,3840 0,4014 0,4189 0,4363 0,4538 0,4712 0,4887 0,5061 0,5236 0,5410 0,5585 0,5760 0,5934 0,6109 0,6283
° 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54
rad 0,645 8 0,663 2 0,680 7 0,698 1 0,7156 0,7330 0,750 5 0,767 9 0,785 4 0,802 9 0,820 3 0,837 8 0,855 2 0,872 7 0,890 1 0,9076 0,9250 0,942 5
° 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72
rad 0,9599 0,9774 0,9948 1,012 1,030 1,047 1,064 1,082 1,099 1,117 1,134 1,152 1,169 1,187 1,204 1,222 1,239 1,256
Pretvaraњe угаоних minuta i sekunda u decimalne ugaone stepene ' ° ' ° ' ° ' ° 4 0,067 7 0,117 10 0,167 1 0,017 2 0,033 5 0,083 8 0,133 20 0,333 3 0.050 6 0,100 9 0,150 30 0,500 ° '' ° '' ° '' ° '' 1 0,000 4 0,001 7 0,002 10 0,003 2 0,001 5 0,001 8 0,002 20 0,006 0, 002 0,003 3 0,001 6 9 30 0,008 Preivarawe decimala угаоних степена u угаоне minuтe i sekunde " ° ' " ° ' " ° ° " ° 0.006 .006 22" 0,01 ,01 0'36" '36" 0,06 0,06 3'36" 36" 0,1 0,1 0,001 4" 0,002 ,007 25" 25" 0,0 0,02 2 1'12" '12" 0,07 0,07 4'12" 12" 0,2 0,2 7 " 0,007 0,003 ,008 29" 29" 0,0 0,03 3 1'48" '48" 0,08 0,08 4'48" 48" 0,3 0,3 11" 0,008 0,004 ,009 32" 32" 0,0 0,04 4 2'24" '24" 0,09 0,09 5'24" 24" 0,4 0,4 14" 0,009 0,10 0,005 18" 0,010 36" 0,05 3' 6' 0,5 Просторни угао 5. Просторни угао
Јedinica za prostorni угао je 1 steradijan (sr) 1 sr = puni prostorni угао/4 угао/4π π
1"= 0,000005 rad ° 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
rad 1,274 1,291 1,309 1,326 1,344 1,361 1,379 1,396 1,413 1,431 1,448 1,466 1,483 1,501 1,518 1,536 1,553 1,571
' 40 50 60 '' 40 50
° 0,667 0,833 1,000 ° 0,011 0,014
60
0,017
' ° 6' 0,6 12' 0,7 18' 0,8 24' 0,9 30' 1,0
' 36' 36' 42' 42' 48' 48' 54' 54' 60'
SИSTЕМI MERNIH JEDINICA
Energetske veliчine Енергија E Енергија E , рад W, рад W, Топлота Q Топлота Q
Jedinica SI Друге мере
1 џул (Joule) (J = Nm) kилоџул Megaxul Gigaxul Vat-sekunde Kilovat-sekunde Kilovat-sat Megavat-sat
1kJ = 10 3 J 1 MJ = 10 6 J 1GJ = 109 J 1Ws = 1 J 1kWs = 1kJ 1kWh = 3600 kJ 1 MWh = 3600 MJ
Snaga P Snaga P , , toplotni tok tok Φ
Jedinica SI Druge me рe
1 vat (watt) (W = J/s) milivat kilovat megavat gigavat kiloџul u sekundi kiлoџul na sat
1mW = 10 −3 W 1kW = 10 3 W 1 MW = 10 6 W 1GW = 10 9 W 1kJ / s = 1kW 1kJ / h = 1 / 3600kW
Топлотне величине
1. Температура
Jedinica SI za (termodinamiчku) temperaturu je 1 kelvin (K). Јединица kelvin je 273,16. dеo temperaturne razlike izme ђu apsolutne nuлe и trojne tачke vode. Дruga mera za temperaturu je степен Celzija (°C). Степен Celzи jа 100. dеo temperaturne razlike (pri притиску od 1,01325 bar) iзмеђу тачке замрзавања i тачке кључања vode. Јединица kelvin i степен Celzija su jednaki: 1 °C = 1 K a) Tеmpеraтurna skala Apсолутна se temperatura T meri meri od apsolutne nule (0,00 K). Celzи jeva se temperatura ( meri od lediшta vode (0,00°C ). T ( K ) − t ( C ) = 273,15 t Dakle vaжi: T apsoutna nula 0,00 K -273,15°C 0,00 °C тачка замрзавања воде 273,15 K trojna tачka vode 273,16 K 0,01 °C 373,15 K 100,00 °C кључање vode o
b) Meђу istirм je temperaturama temperaturna razlika Δ T, merena u kelvinima (K), jednaka temperaturnoj razlici razlici Δ t merenoj u stепенима целзија (° целзија (°C ): ): ΔT ( K ) = Δt ( C ) o
SИSTЕМI MERNIH JEDINICA
2. T еnperaturno raztezaњe α , α , β Једinica SI Druga mera
1 metar po metru i kelvinu ( m/m K = K 1) mikrometar po metru i kelvinu 1 ( μ m / mK = 10 −6 K −1 ) −
T / t (dT / dt ) 3. B рзina zagrijavanja i hlaђења T /
Једinica SI Druge mere
K / s ) 1 kelvin u sekundi ( K / 1 K / min = 1 / 60 K / s kelvin u minuti 1 K / h = 1 / 3600 K / s kelvin na sat 4. Specifiчni toplотни kapacitet, specifiчna toplота
Једinica SI
J / kgK ) 1 џul po kilogramu i kelvinu ( J /
Druga mera
kiloџul po kilogramu i kelvinu 1kJ / kgK = 10 3 J / kgK
5. Entalpija H Једinica SI Druga mjera
1 џul ( J ) kiloxul
1 kJ
= 10 3 J
6. Specifчna entalpija h 1 џul po kilogramu ( J / Јedinica SI J / kg )
Druga mera 7. Енtropija S Jedinica SI Druga mera
kiloџul po kilogramu
1kJ / kg = 10 3 J / kg
1 џul po kelvinu ( J/K ) kiloџul po kelvinu
1kJ / K = 10 3 J / K
8. Specifiчna entropija s Jedиnица SI 1 џul po kelvinu i kilogramu ( J / Kkg )
Druga mera kiloџul po kelvinu i kilogramу
1kJ / Kkg = 10 3 J / Kkg
Калоријска моћ горења g орњ орњ ja Hs i doњa Hi 9. Калоријска моћ
Jedinica SI Druga mera
1 џul po kilogramu ( J / kg ) kiloџul po kilogramu
1kJ / kg = 10 3 J / kg
10. Топлотна проводљивост λ 1 vat po metru i kelvinu ( W / mK ) Јedinica SI Druga mera kilovat po metru i kelvinu 1kW / mK = 10 3 W / mK 11. Tiiplотни prе laz α , toplотни prolaz k Jedinica SI 1 vat po kvadratnom metru i kelvinu ( W / m 2 K ) Druga mera kilovat po kvadratnom metru i kelvinu 1kW / m 2 K = 10 3 W / m 2 K
SИSTЕМI MERNIH JEDINICA
Посебне мере
1. Нормални кубни метар je masa gasa koja pri normalnom stawu (pri temperaturi 0 °C i pritisku od 1,01325 bar ) zapremine od 1 m3. To je masa gasa (kg) koja je brojчano jednaka wegovoj gustini ( kg/m3) pa s tim u vezi za svaki гас ima дrugu vrednost, npr. ˝
˝
1,2505 kg ваздуха
1,4290 kg kiseonika
1,9768 kg ugqen-dioksida
Volumen normalnog kubnog metra je za razliчite temperature veoma razliчit pa iznosi za idealni gas ˝
˝
Pri temperaturi volumen
°C
-100
0
100
1000
m³
0,634
1
1,366
4,633
(Pri tome nije uzeto u obzir odstupawe realnih gasova od pona шawa idealnih, niti wihova disocijacija pri visokim temperaturama.) Normalni kubni metar je nepregledna, zastarela mera (u jugoslovenskom zakonu o mernim jedinicama i merilima merilima uopшte nije spomenuta.) ˝
2. Baumė Baumė-ova areometarska skala¨ sluжi za odreђivawe gustine течности pomoћu stepena Baumė Baumė-a (°Bė °Bė). ˝
a) Za te~nosti gusto ћe ρ >= 1 kg/dm3 odreђena je Baumė Baumė-ova skala vrednostima N 3
N = 0°Bė 0°Bė pri ρ = 1,0 kg/dm N = 66 °Bė °Bė pri ρ = 1,8427 kg/dm3
Za proraчunavawe vredi
3 ρ=144,32/(144,32-N) (kg/dm )
Npr. Gustina akumulatorske kiseline, koja ima 32 °Bė °Bė, iznosi 3
ρ=144,32/(144,32-32) = 1,12849 kg/dm
b) Za te~nosti gusto ћe ρ <= 1kg/dm3 odreђena Bumė Bumė-ova skala vrednostima N N = 10°Bė °Bė pri ρ=1,0 kg/dm3 3 N = 90°Bė °Bė pri ρ=0,6434 kg/dm
Za preraчunavawe, adekvatan je izraz: 3 ρ=144,32/(134,32+ N) (kg/dm ) 3. Boforova skala oznaчava brzinu vetra (u meteorologiji) pomoћu posebne mere bofor u zavisnosti od brzine vetra v: ˝
˝
˝
Bofor 0 1 2 3 4 5 6 7 8 v (km/h) 4 8 13 20 27 36 45 56 67 Bofor 9 10 11 12 13 14 15 16 17 v (km/h) 80 93 108 123 140 157 176 195 216 Navedene vrednosti brzine vetra v (km/h) su zaokruжene proseчne vrednosti pa su samo informativne.
˝
MATEMATIKA
MATEMATIKA
= = ≠
једнако истоветно, истоветно,идентично није једнако није једнако ≈ приближно једнако приближно једнако мање од < > веће од или једнако ≤ мање или једнако ≥ веће или једнако или једнако + плус плус - сабирање − минус минус - одузимање . } пута пута - множење X} пута пута - множење : дељење — разломачка црта / коса разломачка коса разломачка црта ( ) мала, мала, округла [ ] угласта, угласта, средња заграда { } велика, велика, витичаста заграда ⊥ нормално || паралелно # паралелно и једнако ~ слично ≅ конгруентно угао ∩ лук ... од од - до ...( од – од – до искључиво )... од искључиво искључиво - до ∞ бесконачно konst константно % постотак, постотак, проценат ‰ промил ppm делови на милион (partes pro millione) | a| апсолутна вредност a a на ( на (потенцијал потенцијал)) m <
m
квадратни корен n
n-ти n-ти корен логаритам за базу b lg декадски логаритам ln природни логаритам arc аркус sin синус cos косинус tan тангенс cot котангенс ! факторијел log b
⎛ a ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ b ⎠
i lim → ∫( ) Δ d y , =
y = ,,
∂ ∂ x ∑ ∫ r
a
a поврх b имагинарна јединица имагинарна јединица (i²= -1) лимес тежи ка функција од разлика диференцијал
dy dx
први извод ( извод (деривација деривација))
d 2 y dx 2
други извод парцијални извод сума, сума, збир интеграл вектор а
MATEMATIKA
Важне вредности
Лудолфов број: број: π = 3,141592(653 5 ...) ( ≈22/7, ≈ 355/113) 2 π =6,283185...
π 2 =9,869604...
2 / π π =0,636620...
3 π = 9,424778 ...
π = 1,772454...
3/ π = 0,954930...
4 π = 12,566371 ...
2π = 2,506628 ...
4/ π = 1,273240...
π / 2 = 1,570796 ... π /3 = 1,047197...
1/ π = 0.318310... l/2 π = 0,159155...
6/ π = 1,909859... 1,909859... 2 1/ π = 0,101321...
π /4 = 0,785398 ...
l/3 π = 0,106103 ...
1 / π = 0,564190...
π /6 =0,523599...
l/4 π = 0,079577 ...
1 / 2π = 0,398942 ...
ln π = 1,144730...
lg π = 0,497149...
Ојлеров ( Ојлеров ( Euler ) број: број: e = 2.718282 ... (Oснова (Oснова природних логаритама) e 2 =7,389056... e = 1,648721...
3
e = 1,395612 ... 1/e = 0.367879 ... ,.
l / e 2 = 0,135335 ... 1 e = 0,606531 ...
lg е = 0,434294... Убрзање земљине силе теже: теже: g =9,806 =9,806 65 m/s 2 2 g = 19,613300
2 g = 4,428691
l/ g 2 = 0,010398
g 2 = 96,170384
1/ g = 0,101972
1 g = 0,319330
g = g = 3,131557
l/2 g l/2 g = = 0,050986
1 2 g = 0,225800
MATEMATIKA
СТЕПЕНОВАЊЕ И КОРЕНОВАЊЕ Степеновање
Кореновање
a = a1 / n a- радиканд a- радиканд n - коренски експонент
пута) a n = a · a · a... (n- пута) a - основа, основа,база n - експонент
n
a0 = 1
a1 = a
1
a =a
Таки експонент ( експонент ( a > 0 )
(± a )2n = ± a 2n
2n 2n
+ a = 2n a
− a = i 2n a
Лихи експоненти ( a > 0 )
(± a )2 n +1 = ± a 2n +1
2n +1
За реалне За реалне бројеве n и m важи: важи:
Неодређени изрази: изрази: 1∞ ,0 0 , ∞ 0 ,0 / 0, ∞ / ∞,0 ⋅ ∞, ∞ − ∞ .
± a = ± 2n +1 a