MATEMÁTICA - Apostila FGV de Matemática Financeira.pdf

FGV Management

Gestão Empresarial

Matemática Financeira Prof. Prof. Carl Carlos os Alexa Alexandr ndree Sá [email protected]

Realização Fundação Getulio Vargas FGV Management

odos os direitos reser!ados " Fundação Getulio Vargas #á$ %arlos &lexandre Matemática Financeira ' ( a Rio de )aneiro* FGV Management ' %ursos de Educação %ontinuada. +,p. -ibliograia (. Matemática Matemática Financeira /. &dministração 0. 1tulo %oordenação Executi!a Executi!a do FGV Management* 2ro. Ricardo #pinelli de %ar!al3o %oordenador Geral da %entral de 4ualidade* 2ro. %arlos 5ongo %oordenadores de 6rea* 2roa. #7l!ia %onstant Vergara.

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0

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Sumário

MATEMÁ MAT EMÁTIC TICA A FIN FINANC ANCEIR EIRA A......................................................................................................... ........ .......... 1

1. PROGRA PROGRAMA MA DA DISCIPL DISCIPLINA INA............................................................................................................... 3 ............................................................................................................... 3 1.1 EMENTA......................................................................................................................................................3 1.2 CARGA HORÁRIA TOTAL.................................................................................................................................3 1.3 OBJETIVOS...................................................................................................................................................3 1. CONTE!DO PROGRAMÁTICO ............................................................................................................................3 1." METODOLOGIA............................................................................................................................................. 1.# CRIT$RIOS DE AVALIA%&O .............................................................................................................................. 1.' BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA ......................................................................................................................... C(RRIC(L(M RES(MIDO DO PROFESSOR .................................................................................................................. .................................................................................................................. 2. PRINCI PRINCIPAI PAIS S CONCEI CONCEITOS TOS...................................................................................................................... # # E)ERC*CIOS ....................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................... + + 3. J(ROS J(ROS SIMPLE SIMPLES S............................................................................................................................ ......... ........ . , , 3.1 F-RM(LAS GEN$RICAS .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. , , 3.2 TA)AS PROPORCIONAIS ................................................................................................................................ ................................................................................................................................ 1 1 3.3 F-RM(LAS DERIVADAS ................................................................................................................................ ................................................................................................................................ 11 11 3. DESCONTO DE T*T(LOS E D(PLICATAS ........................................................................................................... ........................................................................................................... 11 11 3." (SANDO A CALC(LADORA FINANCEIRA ........................................................................................................... ........................................................................................................... 13 13 E)ERC*CIOS /.................................................................................................................................................... 1" .................................................................................................................................................... 1" . J(ROS J(ROS COMPOST COMPOSTOS OS............................................................................................................................ ............................................................................................................................ 1' 1' .1 F-RM(LAS GEN$RICAS ................................................................................................................................ ................................................................................................................................ 1' 1' .2 TA)AS E0(IVALENTES ................................................................................................................................. 1+ ................................................................................................................................. 1+ .3 F-RM(LAS DERIVADAS ................................................................................................................................ ................................................................................................................................ 1, 1, . (SANDO A CALC(LADORA FINANCEIRA ........................................................................................................... ........................................................................................................... 2 2 ." J(ROS SIMPLES VS. J(ROS COMPOSTOS .......................................................................................................... .......................................................................................................... 21 21 E)ERC*CIOS /.................................................................................................................................................... 22 .................................................................................................................................................... 22 ". FL()O FL()O DE CAI)A CAI)A..................................................................................................... ................................................................................................................................. ............................ 2 2

Matemá Matemática tica Financ Financeira eira

/ ".1 VALOR AT(AL DE (M FL()O DE CAI)A ......................................................................................................... 2 ".2 A TA)A INTERNA DE R ETORNO ..................................................................................................................... 2" ".3 S$RIES (NIFORMES .................................................................................................................................... 2' .................................................................................................................................................................... 2+ .................................................................................................................................................................... 2+ ". E0(IVALNCIA DE FL()OS DE CAI)A ............................................................................................................. 2, "." (SANDO A CALC(LADORA FINANCEIRA ........................................................................................................... 3 ..................................................................................................................................................................... 32 E)ERC*CIOS ..................................................................................................................................................... 33 #. SISTEMAS DE AMORTIA%&O.................................................................................................... .... 3" #.1 O SISTEMA PRICE ....................................................................................................................................... 3" .................................................................................................................................................................... 3# .................................................................................................................................................................... 3' #.2 SAC  SISTEMA DE AMORTIA%4ES CONSTANTES ........................................................................................... 3' .................................................................................................................................................................... 3, #.3 CASOS PARTIC(LARES ................................................................................................................................. 3, ....................................................................................................................................................................  .................................................................................................................................................................... 1 .................................................................................................................................................................... 2 E)ERC*CIOS ..................................................................................................................................................... 2 '. SOL(%&O DOS E)ERC*CIOS............................................................................................................. 3 CAP*T(LO 2..................................................................................................................................................... 3 CAP*T(LO 3..................................................................................................................................................... 3 CAP*T(LO ..................................................................................................................................................... # .................................................................................................................................................................... # .................................................................................................................................................................... ' .................................................................................................................................................................... , .................................................................................................................................................................... " CAP*T(LO "..................................................................................................................................................... " .................................................................................................................................................................... "

Matemática Financeira

?

1. Pro5r6m6 76 7i89i:;i<6 1.1 Em=<>6 )uros #imples. %onceito de 8uros simples. 9esconto de 1tulos e 9uplicatas. Valor de ace e !alor de mercado. )uros compostos. %onceito de 8uros compostos. Valor do din3eiro no tempo. Valor presente e !alor uturo. Valor presente l1:uido e taxa interna de retorno. axa de desconto. Valor e custo. 2roblemas da 0R. E:ui!al;ncia de taxas de 8uros. 2er1odos de capitalização. axas anuais$ mensais e diárias. E:ui!al;ncia de luxas de caixa. 2erpetuidades e anuidades. #istemas de amortização. abela price e #&%.

1.2 C6r56 ?orári6 >o>6; /, 3oras aula

1.3 O@=>io8 Expor os undamentos da matemática inanceira. Estudar as principais caracter1sticas dos sistemas de 8uros simples e dos 8uros compostos e suas principais aplicaç(/%. 9ar ao aluno base para cursos mais a!ançados.

1. Co<>=7o :ro5r6má>i9o 2rincipais %onceitos )uros #imples Fórmulas Genéricas Taxas Proporcionais Fórmulas Derivadas Desconto de Títulos e Duplicatas )uros %ompostos Fórmulas Genéricas Taxas Equivalentes Fórmulas Derivadas Matemática Financeira

, Juros Simples vs Juros !ompostos Fluxo de %aixa "alor #tual de um Fluxo de !aixa # Taxa $nterna de %etorno Séries &ni'ormes Equival(ncia de Fluxos de !aixa #istemas de &mortização ) Sistema Price S#! * Sistema de #morti+a,-es !onstantes

1." M=>o7o;o5i6 &ps um cap1tulo introdutrio onde são expostos os principais conceitos :ue serão desen!ol!idos ao longo do curso$ o programa se di!ide em :uatro tpicos :ue se interligam em ordem crescente de complexidade$ cada um ser!indo de base ao :ue será exposto no cap1tulo seguinte. #empre :ue poss1!el$ A exposto como os problemas concernentes ao assunto abordado A resol!ido analiticamente e como a calculadora pode ser utilizada para resol!er o mesmo problema. 4uando a solução anal1tica A muito complexa e en!ol!e problemas complicados de potenciação$ logaritmos ou interpolaçse no inal da apostila.

1.# Cri>rio8 7= 66;i6o &o inal do curso$ os alunos serão a!aliados por meio de pro!a indi!idual$ sem consulta. Besta pro!a$ algumas :uest
1.' Bi@;io5r6i6 r=9om=<7676 2D%%0B0$ &belardo ' Matemática Financeira > Editora #arai!a

Curri9u;um r=8umi7o 7o :ro=88or %arlos &lexandre #á$ Formado em Engen3aria %i!il pela 2D%>R)$ %urso de &dministração de Empresas pela DFER)$ %urso de administração industrial pela Dni!ersidade da =olanda$ 9iretor #uperintendente da Metalab 0ndustria e %omercio$ 9iretor #uperintendente da Reinaria de #al 0ta Grupo Boralage$ 9iretor Financeiro da #5>#istemas de ransportes 5tda. Grupo -ozano #imonsen$ 9iretor Financeiro da =iborn do -rasil produtos 5illo$ 9iretor Financeiro da Montana 2articipaç
+ 2roessor do 0nstituto -rasileiro de Executi!os Financeiros$ 2roessor do 0-ME% > 0nstituto -rasileiro de Empresas do Mercado de %apitais$ #cio da Cash Flow Solutions Consultoria.$ 2roessor con!idado da Fundação GetHlio Vargas.




2. Pri<9i:6i8 Co<9=i>o8 #upon3amos :ue duas empresas$ a empresa I&J e a empresa I-J$ ten3am a receber RK (LL cada. & empresa I&J de!e receber seus RK (LL em ?L dias e a empresa I-J$ em ?L dias. #erá :ue os RK (LL da empresa I&J !alem o mesmo :ue os RK (LL da empresa I-JN %laro :ue nãoO Ps RK (LL da empresa I&J !alem mais do :ue os RK (LL da empresa I-J. 0sto por:ue o !alor do din3eiro !aria no tempo. Q o c3amado I!alor temporalJ do din3eiro. & matemática inanceira A a ci;ncia :ue estuda o !alor do din3eiro no tempo. R$ 100

R$ 100

30 dias

360 dias

Fi.ura / 0 ) valor temporal do din1eiro Em matemática inanceira$ os seguintes termos possuem os seguintes signiicados* Pri<9i:6; C6:i>6; I= %3amamos de principal$ capital inicial ou !alor presente " :uantia tomada emprestada ou in!estida e sobre a :ual incidirão 8uros. Juro8 %3amamos de 8uros " remuneração recebida por :uem aplicou ou paga por :uem tomou din3eiro emprestado. Ps 8uros são$ portanto$ sempre expressos em unidades monetárias. #e$ por exemplo$ uma pessoa aplicou RK (LL em um papel de renda ixa e$ ao inal de um certo tempo$ resgatou este in!estimento por RK ((L$ os 8uros recebidos oram RK (L. Mo<>6<>= V6;or 7= R=856>= ou V6;or Fu>uro %3amamos de montante " soma do principal mais 8uros. Bo exemplo acima$ o montante recebido pelo aplicador oi RK ((L$ ou se8a$ a soma do principal de RK (LL com os 8uros de RK (L.


U

T66 7= Juro8 %3amamos de taxa de 8uros " relação entre os 8uros recebidos ou pagos em um determinado per1odo de tempo e o principal : eu deu origem a estes 8uros. &ssim$ se um in!estidor aplicou RK (LL em uma aplicação de renda ixa e recebeu 8uros de RK (L ao inal de um ano$ a taxa de 8uros deste in!estimento oi (L ao ano. V;>se assim :ue a taxa de 8uros está sempre relacionada a um per1odo$ se8a ele o dia$ o m;s$ o ano$ etc. & taxa de 8uros pode ser expressa em notação percentual (L ao ano$ por exemplo ou em notação decimal L$(L ao ano$ por exemplo. Estas duas expresso8 Bo regime de 8uros compostos$ ao inal de cada per1odo de capitalização$ os 8uros se incorporam ao principal e passam a render 8uros tambAm. P=ro7o 7= C6:i>6;iK6o %3amamos de per1odo de capitalização ao tempo :ue$ uma !ez decorrido$ az com :ue os 8uros se8am de!idos ou incorporados ao principal e passem$ por sua !ez$ a render 8uros tambAm. & taxa de 8uros A sempre relacionada a um determinado per1odo de capitalização. &ssim$ :uando uma taxa A anual (L a.a.$ por exemplo$ o per1odo de capitalização A o anoC :uando a taxa A mensal ( a.m.$ por exemplo$ o per1odo de capitalização A o m;s$ e assim por diante. 4uando o per1odo a :ue se reere a taxa de 8uros A dierente do per1odo de capitalização$ isto de!e ser mencionado$ tal como na expressão Itaxa de (L ao ano$ capitalizados mensalmenteJ$ e assim por diante. T66 E=>i6 %3amamos de taxa eeti!a ":uela cu8o per1odo de capitalização A igual " unidade de tempo na :ual está expresso o per1odo da operação. #ão exemplos de taxas eeti!as (/ ao ano capitalizados anualmente$ ? ao m;s capitalizados mensalmente$ e assim por diante. T66 Nomi<6; %3amamos de taxa nominal ":uela expressa em uma unidade de tempo dierente da unidade de tempo dos per1odos de capitalização. &s taxas nominais são geralmente ornecidas em termos anuais. #ão exemplos de taxas eeti!as (/ ao ano capitalizados mensalmente$ / ao m;s capitalizados diariamente$ e assim por diante. T668 Pro:or9io<6i8 9uas ou mais taxas de 8uros são ditas proporcionais :uando ao serem aplicadas a um mesmo principal durante um mesmo prazo de tempo no regime de 8uros simples$ produzem um mesmo montante. V;>se$ portanto$ :ue o conceito de taxas proporcionais está estreitamente ligado ao regime de 8uros simples. #ão exemplos de taxas proporcionais* ( ao m;s e (/ ao ano.




T668 Eui6;=<>=8 9uas ou mais taxas de 8uros são ditas e:ui!alentes :uando ao serem aplicadas a um mesmo principal durante um mesmo prazo de tempo no regime de 8uros compostos$ produzem um mesmo montante. V;>se$ portanto$ :ue o conceito de taxas e:ui!alentes está estreitamente ligado ao regime de 8uros compostos. #ão exemplos de taxas e:ui!alentes* ( ao m;s e (/ ao ano.

E=r99io8 (. 4ual A a dierença entre IprincipalJ e ImontanteJ N /. 4ual A a dierença entre I8urosJ e Itaxa de 8urosJ N ?. 4ual A a dierença entre Itaxa eeti!aJ e Itaxa nominalJ N 4. 5.

4ual A a dierença entre Iregime de 8uros simplesJ e Iregime de 8uros compostosJ N 4ual A a dierença entre Iper1odo de capitalizaçãoJ e Iprazo da operaçãoJN

. 4ual A a dierença entre Itaxa proporcionalJ e Itaxa e:ui!alenteJ N


W

3. Juro8 Sim:;=8

3.1 Frmu;68 G=<ri968 & expressão mais elementar de toda a matemática inanceiraC a:uela :ue deu origem a todas as outras express
Pnde* ) T 8uros 2 T principal i T taxa de 8uros expressa na mesma unidade de tempo do per1odo n T per1odo %omo corolário desta expressão$ temos a rmula do ImontanteJ. %omo o ImontanteJ A a soma do principal com os 8uros$ temos :ue* M=P+Pxixn

%olocando I2J em e!id;ncia$ temos* M = P x [1 + (i x n)]

Exemplos / 2uanto renderia de 3uros %4 /55 aplicados durante /6 meses7 a /8 ao m(s no re.ime de 3uros simples9 %esposta: J ; 9 P ; %4 /55 i ; /8 ou 575/ ao m(s n ; /6 J ; P x i x n ; /55 x 575/ x /6 ; %4 /6


(L 6 2uanto rece ?i x n@A ; 655 x =/ > ?576 x 6@A ; %4 6B5

3.2 T668 Pro:or9io<6i8 Bão apenas as rmulas acima$ mas todas as rmulas em matemática inanceira pressup
=

6 x 6 /55 x /6

=

575 ou 8 por
 esta a taxa de 3uros que vai entrar na 'órmula do montante #ssim temos que: M ; 9 P ; %4 /55555 i ; 575 por ?n x i@A ; /55555 x =/ > ?/ x 575@A ; %4 /5555 Matemática Financeira

(( Ba prática$ as taxas nominais de 8uros são$ :uase sempre$ reeridas ao m;s ou ao ano$ e o per1odo InJ$ em dias. Bestes casos$ para calcular os 8uros no regime de 8uros simples$ usamos as rmulas abaixo :ue 8á con!ertem as taxas eeti!as em taxas proporcionais* J =

P x i x n

J =

P x i x n

H555 HI555

no caso de taxas mensais expressas na notação percentual ou no caso de taxas anuais expressas na notação percentual

3.3 Frmu;68 D=ri6768 & partir da rmula dos 8uros simples$ podemos deduzir as seguintes rmulas deri!adas* 2rincipal P principal pode ser expresso por duas rmulas

P =

J i x n

P =

ou

M / + ( i x n )

axa de )uros & taxa de 8uros pode ser expressa por duas rmulas i =

J x n P

ou i =

M 0 P P x n

2er1odo P per1odo de aplicação pode ser expresso por duas rmulas n =

J P x i

ou n =

M 0 P P x i

3. D=89o<>o 7= T>u;o8 = Du:;i96>68 &tualmente no -rasil o regime de 8uros simples A utilizado principalmente em tr;s situaç




Pperaç
P desconto A uma modalidade de emprAstimo de curto prazo para capital de giro$ concedido atra!As de adiantamento$ mediante a cobrança de uma taxa de desconto$ eito sobre t1tulos ou notas promissrias de crAdito com recebimento uturo. Ps 8uros são cobrados antecipadamente$ na data de liberação dos recursos$ com base na taxa de 8uros tambAm c3amada de taxa de desconto e no prazo a decorrer de cada t1tulo. Matemática Financeira

(/ Bo caso da 9uplicata$ o emitente do t1tulo$ ao negocia>lo A obrigado a endossá>lo transerindo para a instituição inanceira seus direitos credit1cios. &pesar desta transer;ncia de direitos credit1cios$ a empresa emitente continua responsá!el pela li:uidez do t1tulo negociado de tal orma :ue não pagando o sacado$ a instituição inanceira poderá debitar seu !alor na conta corrente do emitente. P !alor :ue consta no t1tulo$ e pelo :ual ele será li:uidado na data de seu !encimento$ A c3amado de !alor de ace do t1tulo. )á o !alor pelo :ual o t1tulo oi negociado A denominado !alor de mercado. V;>se$ portanto$ :ue o !alor de mercado A igual ao !alor de ace menos os 8uros calculados com base na taxa de desconto. Exemplos: 1. o dia KLHL55 uma empresa descontou uma duplicata de %4 555755 de valor de 'ace7 com vencimento para o dia 5HL5L557 a uma taxa de desconto de H8 ao m(s !alcular o valor líquido rece
"alor do Título x Taxa de Desconto x Q de dias H555

=

555 x H x 6K H555

=

/H755

Donde: Níquido %ece
"a!o# do Tít!o x Taxa de Desconto x Nº de dias 3.000

=

50.000 x 3 x 7 3.000

= 350

Níquido %ece
&ma empresa comprou com um de seus 'ornecedores matérias primas no valor de %4 6555 ) contrato de 'ornecimento previa 3uros de mora de 68 ao m(s em caso de atraso de pa.amento 2ual a taxa de perman(ncia diária ?ou se3a7 quais os 3uros diários@ prevista no contrato9 1

Toda operação de crédito feita com uma instituição financeira, com exceção das operações em moeda estraneira, est! su"eita ao desconto na fonte, referente ao #%, & uma a'()uota de 0,0041* ao dia, incidente so+re o principa' da operação.


(? %esposta: P ; 6555 i ; 68 ou 5756 ao m(s t ; / dia

Taxa de Perman(ncia =

P x i x t 6555 x 6 x / H555

=

H555

= %4 /IIK

"e$a %e& 'e a taxa de desconto  die#ente da taxa eeti*a. ,on-a&os 'e & tít!o co& *a!o# de ace de / 100 e *enci&ento ,a#a 30 dias osse neociado a &a taxa de desconto de 2 a.&.  *a!o# #ece%ido se#ia4 ,o#tanto4 / 6.  taxa eeti*a &8s desta o,e#a9:o se#ia [(100 ;6) < 1] x 100 = 4172 a.&.4 ,o#tanto !iei#a&ente s,e#io#  taxa de desconto >sto ,o#'e4 nas o,e#a9?es de desconto4 os $#os s:o co%#ados anteci,ada&ente (o @na ca%e9aA co&o se diB no $a#:o de &e#cado) e n:o no ina! do ,e#íodo de ca,ita!iBa9:o (*e$a exe#cício n. Z 6).

3." (86<7o 6 C6;9u;67or6 Fi<6<9=ir6 3.5.1 Solucionando Problemas de Juros Simples

Ba calculadora =2(/%$ as seguintes teclas possuem os seguintes signiicados* n T per1odo i T taxa de 8uros 2V T IprincipalJ $ Icapital inicialJ ou I!alor presenteJ FV T ImontanteJ$ I!alor de resgateJ ou I!alor uturoJ / &lAm disto$ A importante saber :ue a calculadora =2(/% trata os problemas inanceiros como um luxo de caixa. &ssim$ se o !alor presente A uma sa1da como no caso de uma aplicação$ o !alor uturo A uma entrada representada pelo resgate da aplicação e se o !alor presente A uma entrada como no caso de um emprAstimo$ o !alor uturo A uma sa1da representada pelo pagamento do emprAstimo. P gráico abaixo ilustra o problema* P"

n C"

-s notações / e %/ m do in's 2resent /a'ue e 2%uture /a'ue.




(, Esta explicação A importante para entender por:ue$ na =2(/%$ :uando o 2V A positi!o o FV A negati!o$ e !ice>!ersa. 4uando o !isor da calculadora =2(/% exibe um IcJ$ isto signiica :ue ela está no modo de 8uros compostosC :uando o IcJ não A exibido$ a calculadora está no modo de 8uros simples. 2ara alternar entre o modo de 8uros simples e 8uros compostos$ pressione sucessi!amente as teclas I#PJ e IEEXJ. Bo entanto$ A importante notar$ :ue$ no modo de 8uros simples$ a calculadora pressupse com tr;s dados e pressiona>se a tecla do dado procuradoC a resposta será exibida no !isor.

3.5. Calculando o n.! de dias entre duas datas

Ba prática$ ao se resol!er um problema de matemática inanceira$ geralmente$ a primeira coisa :ue se calcula A o per1odo InJ expresso em dias. 2ara ac3ar$ com o aux1lio de uma calculadora inanceira$ o nHmero de dias entre duas datas$ a primeira pro!id;ncia A certiicar> se de :ue a calculadora está a8ustada para trabal3ar com datas na notação :ue usamos no -rasil$ ou se8a$ dd[mm[aa. Ba calculadora =2(/%$ isto A eito pressionando$ em se:Y;ncia$ as teclas IgJ e I,J$ de orma a ati!ar a unção I9.M\J do ingl;s da7[mont3[7ear. P !isor de cristal l1:uido exibirá então$ na parte inerior$ I9.M\J. Em seguida entra>se com a data mais antiga na orma Idd.mmaaaaJ. Ve8a bem :ue$ entre o dia e o m;s$ existe uma !1rgula. )á entre o m;s e o ano$ não existe :ual:uer elemento separador. &ps entrar com a primeira data$ pressione IEnterJ. Entre então com a data mais recente e pressione$ em se:Y;ncia as teclas IgJ e IEEXJ. & unção J]9\#J será$ então$ ati!ada e o nHmero de dias entre as duas datas$ exibido no !isor. Exemplo !alcule o nRmero de dias que existe entre os dias /L/L6555 e /L/5L6555 Solu,Co Pressione as teclas da calculadora P/6! na se.uinte seq(ncia: Digitando

Mostra

1.01000nter 15.10000

Comentário

1.01000 





ste é o n. o de dias entre as duas datas


(+

?.+.? #olucionando 2roblemas de )uros #imples 2ara resol!er$ com o aux1lio da calculadora inanceira$ problemas en!ol!endo 8uros simples$ certii:ue>se$ antes de tudo$ de :ue a má:uina está no modo de 8uros simples. 9epois entre com tr;s dados e pressione a tecla do dado procuradoC a resposta será exibida no !isor. Exemplo: 2ual a taxa de 3uros mensal que trans'orma7 em um ano7 um principal de %4 /55 em um montante de %4 /659 %esposta n ; /6 meses i ;9 P" ; 0%4 /55 F" ; %4 /65 # seq(ncia de teclas a ser pressionadas é: Digitando

Visor 1,00

n 89:

/

%/



i

er(odo sinu'ar

7100,00

rincipa'

10,00

;ontante

0,00

i

Comentário

1,6<

Taxa de "uros anua' Taxa de "uros mensa'

E=r99io8/ 1. .

4ual o montante acumulado em (/ meses$ a uma taxa de L$L/ ao m;s$ no regime de 8uros simples$ a partir de um principal de RK (L.LLLN 4ual o principal necessário para se ter um montante de RK (L.LLL em /, meses a uma taxa de , ao trimestreN

?. Em :uanto tempo um capital dobra a 8uros simples de / ao m;sN 4. Dm cliente ad:uiriu de uma empresa mercadorias no !alor de RK /.+LL para pagamento em L?[L/[LL. P contrato de ornecimento pre!ia 8uros de mora de ? ao Matemática Financeira

( m;s em caso de atraso de pagamentos. 4uanto o cliente pagaria de encargos moratrios caso pagasse as mercadorias ad:uiridas em /([L/[LLN +. 4uanto receberia em seis meses um aplicador :ue 3ou!esse in!estido RK (LL.LLL a (/ ao ano no regime de 8uros simplesN 6. 4ual a taxa eeti!a m;s$ sem le!ar em consideração a incid;ncia do 0PF$ de uma taxa de desconto de , ao m;sN <. 4ual a taxa eeti!a m;s de uma taxa de desconto de , ao m;s$ le!ando em consideração a incid;ncia do 0PF de L$LL,( ao diaN . 4uanto estaria cobrando de taxa mensal de 8uros de mora um ornecedor :ue propusesse uma taxa de perman;ncia de RK /$+L por dia de atraso em uma compra de RK /.+LLN


(U

. Juro8 Com:o8>o8 .1 Frmu;68 G=<ri968 %omo 8á !imos no primeiro cap1tulo$ no regime de 8uros compostos$ ao inal de cada per1odo de capitalização$ os 8uros se incorporam ao principal e passam a render 8uros tambAm. #upon3amos :ue um principal I2J se8a aplicado a uma taxa IiJ$ no regime de 8uros compostos$ ao longo de tr;s per1odos de capitalização. &o inal do ( o per1odo$ o montante recebido seria M T 2 x ( ^ i$ 8á :ue InJ$ ou se8a$ o nHmero de per1odos$ seria I(J. Bo primeiro per1odo a taxa de 8uros incidiu apenas sobre o principal I2J. )á no segundo per1odo$ como os 8uros do primeiro per1odo se incorporaram ao principal e passaram a render 8uros$ o no!o principal passou a ser 2 x ( ^ i e$ conse:Yentemente$ o no!o montante$ _2 x ( ^ i` ^ _2 x (^ i` x i. %olocando a expressão 2 x ( ^ i em e!id;ncia$ teremos 2 x ( ^ i x ( ^ i$ ou se8a$ 2 x ( ^ i /. Repetindo o mesmo racioc1nio teremos :ue o montante no terceiro per1odo seria 2 x ( ^ i ?$ e assim sucessi!amente. &ssim ter1amos :ue* (o 2er1odo /o 2er1odo

M T 2 x ( ^ i M T _2 x ( ^ i` ^ _2 x (^ i` x i T 2 x ( ^ i /

?o 2er1odo M T _2 x ( ^ i / ` ^ _2 x ( ^ i /` x i T 2 x ( ^ i ? ..................................................................................................................................................... nZ 2er1odo M T 2 x (^i n %aso a taxa de 8uros esti!esse expressa na notação percentual$ a rmula acima ad:uiriria a seguinte orma*

 M = P x  1+ 

 i       100  

n

Exemplo 2uanto res.ataria um investidor que tivesse aplicado %4 /55 por /6 meses a uma taxa de /8 am a 3uros compostos9 %esposta M ; 9 P ; %4 /55 i ; 575/ am n ; /6 meses Matemática Financeira

( M ; P x ?/ > $@n ; /55 x ?/>575/@ /6 ; %4 //67IB %omo corolário da rmula do montante$ temos :ue a rmula para se ac3ar o principal$ uma !ez con3ecidos o montante$ a taxa de 8uros e o per1odo A* P=

M

( 1 + i) n

Exemplo 2ual o principal seria necessário investir em uma aplica,Co que rendesse 68 ama 3uros compostos7 para que ao 'inal de I meses se pudesse res.atar %4 659 %esposta P ; 9 M ; %4 65 i ; 5756 am n ; I meses

P =

M

(1 + i )

n

=

250

(1 + 0,02 )



≅

R$ 222

.2 T668 Eui6;=<>=8 ambAm no regime de 8uros compostos as rmulas pressup i@ por um período n que represente o resultado da divisCo de dois meses por um ano ?6 U/6 ; 57/IIK@7 ou se3a7 o inverso do nRmero de ve+es que o período de dois meses está contido no período de um ano $sto é 'eito pela 'órmula: M ; P x ?/ > i@n ; /55555 x ?/ > 576@ 57/IIK ; %4 /5HI576H Matemática Financeira

(W Decompondo a expressCo ?/ > 576@ 6 L /6 7 o 576@ / L /6 A 6 7 ou se3a7 primeiro a expressCo 'oi elevada a /L/67 e7 em se.uida7 elevada a 6 a prática7 isto quer di+er que7 primeiro encontramos a taxa equivalente m(s da taxa nominal de 68 ao anoV em se.uida encontramos a taxa equivalente 576@/ L HI5 * / A ; 5755O ou =?/ > 576@/ L HI5 * / A x /55 ; 57O 8 6 2ual a taxa equivalente para K dias W taxa e'etiva de 8 ao m(s9 %esposta =?/ > 575@ K L H5 * / A ; 5755O6 ou =?/ > 575@ K L H5 * / A x /55 ; 57O6 8

.3 Frmu;68 D=ri6768 & partir da rmula dos 8uros compostos$ podemos deduzir as seguintes rmulas deri!adas*

Pri<9i:6; P principal pode ser expresso pela rmula P=

M (1 + i) n

T66 7= Juro8 & taxa de 8uros pode ser expressa pela rmula i

=

M n

2

1


/L

P=ro7o P per1odo de aplicação pode ser expresso pela rmula n

=

!o M  !o P !o (1 + i)

%omo se pode !er$ algumas rmulas deri!adas são de di1cil aplicação por en!ol!erem complexas operaç
. (86<7o 6 C6;9u;67or6 Fi<6<9=ir6 ".".1 Solucionando Problemas de Juros Compostos

2ara resol!er$ com o aux1lio da calculadora inanceira$ problemas en!ol!endo 8uros simples ou compostos$ entra>se com tr;s dados e pressiona>se a tecla do dado procuradoC a resposta será exibida no !isor. Exemplo 2ual a taxa de 3uros mensal que trans'orma7 em um ano7 um principal de %4 /55 em um montante de %4 /659 %esposta n ; /6 meses i ;9 P" ; 0%4 /55 F" ; %4 /65 # seq(ncia de teclas a ser pressionadas é: Digitando

Visor 1

n 89: %/ i

/

Comentário er(odo

7100

rincipa'

10

;ontante

1,531

Taxa de "uros procurada

# taxa procurada é /7H/8 ao m(s Matemática Financeira

/(

." Juro8 Sim:;=8 8. Juro8 Com:o8>o8 Bo regime de 8uros simples$ o montante e!olui conorme uma progressão aritmAtica cu8a razão se8a IiJ. #ua e!olução A$ portanto$ linear.

e t n a t n o M

Tempo

Figura 2 - Juros Simples

)á no regime de 8uros compostos$ o montante e!olui conorme uma progressão geomAtrica cu8a razão se8a I( ^ iJ. #ua e!olução A$ portanto$ exponencial.

e t n a t n o M

Tempo

Figura 3 - Juros Compostos

& primeira !ista ica a impressão :ue$ se a taxa de 8uros e o prazo orem os mesmos$ o montante produzido pelo regime de 8uros compostos A sempre maior do :ue o montante produzido pelo regime de 8uros simples. Bo entanto$ nem sempre A isto o :ue acontece. Exemplo Dois investidores aplicaram %4 /55555 cada7 para res.atar em I meses #m? i x n@A ; /55555 x =/ > ?57/5 x 57@A ; %4 /5555 Matemática Financeira

// 6Q investidor M ; P x ?/ > i@n ; /55555 x ?/ > 57/5@ 57 %4 /5BB5 ≈

) a
e t n a t n o M

Juros Simples

R$ 105.000 R$ 104.0

Tempo

6 meses

1 ano

Figura 4 - Juros Simples vs. Juros Compostos

Se o pra+o de res.ate das duas aplica,-es 'osse um ano7 am
Co<9;u8o odas as !ezes :ue o prazo de resgate or inerior ao per1odo de capitalização$ o regime de 8uros simples produz um montante superior ao montante produzido pelo regime de 8uros compostos.

E=r99io8 / 1. .

4ual o montante acumulado em (/ meses$ a uma taxa de / ao m;s$ no regime de 8uros compostos$ a partir de um principal de RK (L.LLLN 4ual o principal necessário para se ter um montante de RK (L.LLL em /, meses a uma taxa de , ao trimestre$ capitalizados pelo sistema de 8uros compostosN

?. Em :uanto tempo um capital dobra a 8uros compostos de / ao m;sN ,. 4uanto receberia em seis meses um aplicador :ue 3ou!esse in!estido RK (LL.LLL a (/ ao ano no regime de 8uros compostosN Matemática Financeira

/? 5.

4ual a taxa de 8uros mensal :ue transormaria um principal de RK (L.LLL em um montante de RK (/.LLL em (/ meses$ no sistema de 8uros compostosN

. 4ual a taxa e:ui!alente m;s$ no regime de 8uros compostos a +L a.a.N


/,

". F;uo 7= C6i6 Em matemática inanceira$ c3amamos de luxo de caixa a uma se:Y;ncia de entradas e sa1das de din3eiro em dierentes momentos do tempo. 2ara mel3or !isualização dos problemas en!ol!endo luxo de caixa$ este A representado por um gráico conorme a igura abaixo. Beste gráico$ o eixo 3orizontal representa a escala do tempo$ as setas para cima$ as entradas$ e as setas para baixo$ os desembolsos.

tempo

%iura 5 7 %'uxo de 8aixa

Em um luxo de caixa$ as entradas e sa1das podem ser iguais ou não. 9a mesma orma$ os inter!alos de tempo entre as entradas e as sa1das podem ser regulares ou não. Q importante notar :ue$ nas rmulas en!ol!endo luxos de caixa$ as entradas possuem$ sempre$ sinal positi!o e as sa1das$ sinal negati!o. P estudo do luxo de caixa A especialmente importante por:ue$ baseados nestes luxos A :ue são eitos os planos de amortização de pagamentos. ambAm usamos os luxos de caixa para a!aliar uma empresa$ um pro8eto ou mesmo decidir entre !árias opç
".1 V6;or A>u6; 7= um F;uo 7= C6i6 P !alor atual de um luxo de caixa A igual " soma algAbrica dos !alores atuais de suas entradas e sa1das. & taxa de 8uros usada para trazer a !alor presente estas entradas e estas sa1das A c3amada de taxa de desconto. Em um mesmo luxo de caixa$ a taxa de desconto A sempre a mesma para todas as parcelas$ se8am elas entradas ou sa1das. Exemplo Matemática Financeira

/+ 2ual o valor atual do 'luxo de caixa representado no .rá'ico a
5.000

2.000 3.000 2 meses

3 meses

5 meses

Solução: P 1 =

M 1 (1 + i) n

=

- 2.000 = - 1.922,34 (1 + 0,02)2

P 2 =

M 2 (1 + i) n

=

5.000 (1 + 0,02)5

=

4.528,65

=

M 3 (1 + i) n

=

- 3.000 (1 + 0,02)10

=

- 2.461,04

P 3

Donde "P ; P / > P 6 > P H ; 0 /O667H > 6B7I * 6I/75 ; /76K

".2 A T66 I<>=r<6 7= R=>or
0

1



3

7 .310

4

5

mês


/

Vamos calcular :ual o !alor presente deste luxo de caixa para taxas de desconto de ? a.m. e U a.m.

n

Prestação

3%

7%

0

10.000

10.000

10.000

1

=.310>

=.4,<>

=.15,>



=.310>

=.1<<,40>

=.01<,64>

3

=.310>

=.113,?>

=1.5,65>

4

=.310>

=.05,41>

=1.<6,?>

5

=.310>

=1.??,63>

=1.64<,00>

Total

=1.550>

=5

5,54

Pbser!a>se :ue$ neste caso$ o !alor presente do luxo de caixa passou de um !alor negati!o menos +UW$(, para um !alor positi!o mais +/$+, :uando a taxa de desconto passou de ? a.m. para U a.m. 0sto :uer dizer :ue$ neste caso$ a medida em :ue a taxa de desconto !ai aumentando$ o !alor negati!o do luxo de caixa !ai se reduzindo$ !ira IzeroJ e$ a partir deste ponto$ passa a ser positi!o e passa a crescer com a taxa de desconto. P gráico abaixo ilustra a e!olução do !alor presente do luxo de caixa acima em unção da !ariação da taxa de desconto.

1.500 1.000 e t n e s e r P r o l a V

500 0 =500>

1*

3*

5* <*

?*

=1.000> =1.500> =,.000> Taxa de Des conto


/U Figura 6 - Valor Presente vs. a!a "e #es$onto

Veriica>se no gráico acima$ :ue neste caso$ existe uma taxa de desconto$ em torno de + a.m.$ :ue IzeraJ o !alor presente do luxo de caixa. & esta taxa de desconto :ue IzeraJ o !alor presente do luxo de caixa$ c3amamos de axa 0nterna de Retorno ou 0R.

".3 Sri=8 (
1



3

4

5

0

tempo

Figura % - S&ries 'ni(ormes

&s sAries uniormes são a orma mais simples de luxo de caixa. 2ara resol!er problemas en!ol!endo sAries uniormes$ utilizamos as mesmas teclas InJ$ IiJ$ I2VJ e IFVJ$ usadas no cálculo de 8uros compostos$ e mais a tecla I2MJ para dar entrada ou calcular o !alor das sa1das ou entradas peridicas. Exemplo /: 2ual o valor atual de uma série uni'orme composta de  saídas anuais no valor de %4 B57 cu3a taxa de desconto 'osse B89 /@ A

1



3

0

4 tempo

R$ 0,00

Solu,Co n ; i ; B8 aa PMT ; B5755 Matemática Financeira

/ P" ; 9

Digitando

Visor

n

4,00

i

,00

89:

;T

/

Exe!lo 2: "u#l # #x# ine%n# &e %eo%no &e u# '%ie unio%e *o!o'# &e 4 '#+&#' #nu#i' no #lo% &e R$ 80, e *uo #lo% !%e'ene o''e R$ 300

R$ 300

1



3

4

0

tempo

R$ 0,00

Solu)*o n +4 i +, P + 0/00 PV + 300/00

Digitando Comentário

n

89:

Visor

4,00

;T

/ i

,63

,63 * a.a.


/W

". Eui6;<9i6 7= F;uo8 7= C6i6 9ois ou mais luxos de caixa são ditos e:ui!alentes :uando$ se descontados a uma mesma taxa$ produzem um mesmo !alor presente. Exemplo: !alcular o valor presente dos 'luxos de caixa a
0 1 F 3  Total

Fluxo 1

Fluxo 2

E0400 E0400 E0400 1.0E0400 1.F0400

3014F 3014F 3014F 3014F 1.F0746

Solu,Co:

/P 1 =

80,00 80,00 80,00 1.080,00 + + + = 1.000,00 4 1,08 1,08 2 1,08 3 1,08

/P 2 =

301,92 301,92 301,92 301,92 + + + = 1.000,00 1,08 1,08 2 1,08 3 1,08 4

%omo os !alores presentes dos dois luxos$ :uando descontados a uma taxa de  a.a.$ são iguais a RK (.LLL$ estes luxos são ditos Ie:ui!alentesJ$ a uma taxa de  a.a. Q importante$ no caso de luxos e:ui!alentes$ especiicar a taxa de desconto :ue os az e:ui!alentes. 0sto por:ue dois ou mais luxos s são e:ui!alentes a uma determinada taxa de descontoO Bo exemplo acima$ :uando descontado a uma taxa de L a.a.$ o primeiro luxo produz um !alor presente de RK RK (./,L$LL$ en:uanto :ue o segundo$ RK (./LU$. Dma propriedade importante dos luxos e:ui!alentes A :ue os montantes destes luxos$ em :ual:uer data$ obtidos " mesma taxa :ue os az e:ui!alentes$ são iguais. Exemplo: Matemática Financeira

?L ) ?B5 x /75B 6 @ > ?B5 x /75B@ > /5B5 ; /HI57O F" 6 ; ?H5/7O6 x /75B H @ > ?H5/7O6 x /75B 6 @ > ?H5/7O6 x /75B@ > H5/7O6 ; /HI57O

"." (86<7o 6 C6;9u;67or6 Fi<6<9=ir6 Ba calculadora =2(/%$ as seguintes teclas são usadas na solução de problemas relacionados ao luxo de caixa* ;T

"a!o# P#esnte Descontado de & !xo de caixa

#RR

Taxa >nte#na de eto#no

8%0

Gnt#ada o aída no &o&ento @0A

8% "

Gnt#ada o aída no &o&ento @$A.

B"

NH de *eBes 'e &a &es&a ent#ada4 o saída4 se #e,ete de o#&a scessi*a

2ara dar entrada na taxa de desconto$ utiliza>se a prpria tecla

i

.

Exemplo /: 2ual é o valor presente descontado7 a uma taxa de B8 aa7 do 'luxo de caixa a
Fluxo

0 1 F 3  5 6

(17.000400) (3.000400) 6.000400 7.000400 E.000400 (5.000400) 15.000400

Total

10.000,00


?(

Solução: Digitando Comentário

Visor

89:



8%0

7 1<.000,00

C!xo inicia!

89:



8%"

7 3.000,00

C!xos s%se'Ientes



8%"

6.000,00



8%"

<.000,00



8%"

.000,00

89:





8%"

7 5.000,00 15.000,00

8%"

E400 2 a.a.

i f

B/

.5,?5

"a!o# P#esente

f

#RR

1140 2 a.a.

11,?0

Exemplo 6: 2ual é o valor presente descontado7 a uma taxa de B8 aa7 do 'luxo de caixa a
0 1 F 3  5 6

Fluxo

(17.000400) (3.000400) 6.000400 6.000400 6.000400 6.000400 15.000400


?/ Tota!

10.000

Solução: Digitando Comentário

89:

89:

Visor

8%0





8%"

7 1<.000,00

C!xo inicia!

7 3.000,00



8%"

6.000,00



B"



8%"

4,00

NH de !xos iais e consecti*os

15.000,00

E400 2 a.a.

i f

B/

.0<5,4<

"a!o# P#esente

f

#RR

17453 2 a.a.

1<,53


??

E=r99io8 (. 4ual a taxa interna de retorno do luxo de caixa representado no gráico abaixo N 5.000

2.000 3.000 2 meses

3 meses

5 meses

/. 4ual o !alor presente do luxo de caixa abaixo descontado a uma taxa de + a.m. n

Prestação

0 1  3 4 5

10.000 =.310> =.310> =.310> =.310> =.310> =1.550>

Total

?. 4ual a taxa interna de retorno de uma sArie uniorme composta de  prestaç
Dma empresa solicitou a um banco um emprAstimo de RK +L.LLL para pagamento em (/ meses. P banco props o plano de amortização abaixo. 4ual a taxa de 8uros embutida no plano de amortização proposto pelo bancoN n

Prestação

1

4.000


?,  3 4 5 6 <  ? 10 11 1

4.000 4.000 4.000 5.000 5.000 5.000 5.000 6.000 6.000 6.000 6.000

5.

Bo dia /L[L([/.LLL uma empresa ez um emprAstimo de RK (LL.LLL. P plano de pagamento do emprAstimo pre!ia amortização de +L do principal e 8uros no dia /([L/[/.LLL e li:uidação do saldo de!edor e 8uros no dia /L[L?[/.LLL. & taxa de 8uros cobrada pelo banco oi de /, a.a. 4ual o !alor total das prestaç
6.

4uais seriam os !alores das prestaç
<.

.

%aso a empresa pudesse optar$ o :ue sairia mais barato para ela em termos de taxa de 8uro$ o es:uema de pagamento proposto acima ou (/ pagamentos mensais$ iguais e sucessi!os de RK W.U,$U($ sem a comissão IlatJN


?+

#. Si8>=m68 7= Amor>iK6o

%3amamos de amortização a :ual:uer pagamento eito para li:uidar$ total ou parcialmente$ o principal de um emprAstimo ou de um inanciamento. )á uma prestação A a soma de uma amortização com os 8uros de!idos sobre o saldo de!edor. 9epreende>se da1 :ue$ em matemática inanceira$ o conceito de amortização está ligado a " idAia de emprAstimo ou inanciamento ou se8a$ não se liquida um in!estimentoC um in!estimento res.ata0se e b " idAia de li:uidação$ ainda :ue parcial$ do principal. Ps dois modelos sistemas de amortização mais usados$ no -rasil são* (. #istema I2riceJ$ tambAm con3ecido como Iabela 2riceJC /. #&% ' #istema de &mortizaç
#.1 O Si8>=m6 Pri9= P sistema I2riceJ A um sistema de amortização em :ue as prestaç
Amortização 1.?,5< 1.?60,53 1.???,4 .03,<1 .0<,?6

!ros 1?<,43 15?,4< 10,<6 1,? 41,04

Prestação .10,00 .10,00 .10,00 .10,00 .10,00

"aldo 10.000,00 .0<<,43 6.116,?0 4.11<,66 .0<,?6 0,00

Pbser!a>se :ue$ na medida em :ue a d1!ida !ai sendo amortizada e :ue$ portanto$ o Isaldo de!edorJ !ai sendo reduzido$ os 8uros !ão decrescendo e a parcela da prestação reerente " amortização !ai crescendo de orma :ue o !alor total da prestação não se altere.


? ,.150 ,.100 ,.050 ,.000 1.?50 1.?00 1.50 1.00 1

,

3

4

-mortiCação

5

Duros

Figura  - Sistema "e mortia)*o Pri$e

Exe!lo 1: "u#no !##%i# &e !%e'#ção u# !e''o# ue *o!%#''e u l#!-o! no #lo% &e R$ 3.300, e uine !%e'#çe' en'#i', iu#i' e 'u*e''i#', # u# #x# &e u%o' &e 65 7 #o #no Solução: n  15 e'e' i  65 7 #.#. P  3.300 PM   Digitando Comentário nter 7 / n ;T

Visor

1E x

Fx

x

i

Taxa e'i*a!ente &ensa! 3.300,00

P#inci,a!

15,00

NH de ,#esta9?es

7 30,6

P#esta9:o

Exemplo 6: 2uanto estaria pa.ando de 3uros uma pessoa que comprasse um lap0top no valor de %4 HH557 em quin+e presta,-es mensais7 i.uais e sucessivas de %4 6O mais um sinal de %4 6O9 Solu,Co: Matemática Financeira

?U

3.300

?5 15 x ?5

n ; / meses i ;9 P" ; HH55 * 6O ; H55 PMT ; 6O Digitando Comentário

Visor

NH de ,#esta9?es

n

3.005,00

/ 89:

;T

P#inci,a! P#esta9:o

7 ?5,00

54FE2 a.&.

i

#.2 SAC  Si8>=m6 7= Amor>iK6=8 Co<8>6<>=8 P #&% A um sistema de amortização em :ue as parcelas reerentes " amortização são sempre constantes e ocorrem em inter!alos regulares de tempo. %omo as amortizaç

? M ês 0 1  3 4 5

Amortização

!ros

Prestação

.000,00 .000,00 .000,00 .000,00 .000,00

1?<,4 15<,?4 11,45 <,?< 3?,4

.1?<,4 .15<,?4 .11,45 .0<,?< .03?,4

"aldo 10.000,00 .000,00 6.000,00 4.000,00 .000,00 0,00

Pbser!a>se :ue$ na medida em :ue a d1!ida !ai sendo amortizada e :ue$ portanto$ o Isaldo de!edorJ !ai sendo reduzido os 8uros !ão decrescendo e$ como o !alor da amortização A constante$ o !alor da prestação diminui. ,.,50 ,.,00 ,.150 ,.100 ,.050 ,.000 1.?50 1.?00 1

,

3 -mo rtiCa çã o

4

5

Du ros

Figura  - Sistema "e mortia)es Constantes

E!identemente$ os luxos de caixa decorrentes de uma mesma d1!ida sendo amortizada a uma mesma taxa de 8uros e com um mesmo nHmero de prestaç P / x =?/>5756@ * /A ; 555 > /555 x 5756 ; %4 H55 PMT 6 ; 555 > P 6 x =?/>5756@ * /A ; 555 > /5555 x 5756 ; %4 655 PMT H ; 555 > P H x =?/ > 5756@ * /A ; 555 > 555 x 5756 ; %4 /55 Mês

0 1 F 3

Amortização

5.000 5.000 5.000

Juros Prestação

300 F00 100

Saldo

15.000 5.300 10.000 5.F00 5.000 5.100


?W Exemplo 6: 2ual a taxa de 3uro anual de um 'inanciamento de %4 /5557 amorti+ado pelo sistema S#!7 em tr(s parcelas mensais e sucessivas no valor de %4 HH/7K7 %4 66/75 e %4 //576 respectivamente9 Solu,Co: Digitando Comentário 8%0



f

Visor

15.000,00

C!xo inicia!

89:



8%"

7 5.331,5<

1a ,#esta9:o

89:



8%"

7 5.1,04

Fa ,#esta9:o

89:



8%"

7 5.110,5

3a ,#esta9:o

,1

Taxa &ensa!

/

÷

Fx

G x

7

Taxa e'i*a!ente ana!

#.3 C68o8 P6r>i9u;6r=8 #.3.1 Amorti$a%&o com Car'ncia

0ndependente de o sistema de amortização ser do tipo I2rice ou I#&%J $ algumas !ezes A pre!isto um per1odo de car;ncia antes :ue as prestaç
8arncia


,L Figura 10 - mortia)*o $om Carên$ia

Nestes casos4 ,a#a ca!c!a#&os os e!e&entos deste !xo de caixa (*a!o# das ,#esta9?es4 taxa de #eto#no4 etc)4 t#aBe&os o !xo inicia! at a data ina! do ,e#íodo de ca#8ncia ,e!a taxa de desconto4 e a ,a#ti# daí4 t#ata&os o ,#o%!e&a co&o & !xo a inte#*a!os #e!a#es. Exe!lo: "u#l &ee%i# 'e% o #lo% &#' !%e'#çe' &e u in#n*i#eno &e R$ 12.000, #o%i#&o !elo 'i'e# %#n*', ue !%ee# u# *#%n*i# &e 6 e'e' #!;' # u#l en*e%-'e-ão 6 !%e'#çe' iu#i' en'#i' e 'u*e''i#', *#l*ul#&#' # u# #x# &e 27 #.. Solução: < 'olução *on'i'e e %#n'!o%#% o luxo ini*i#l &e R$ 12.000 # o !e%+o&o 6, # u# #x# &e 27 #.. ='o !o&e 'e% eio !el# ;%ul#: M  P x (1 > =) n  12..000 x 1,02 6  13.513,95

< !#%i% &e'e !ono, %##o' o !%o?le# *oo u luxo &e *#ix# # ine%#lo' %eul#%e', *ono%e o #?#ixo: Digitando Comentário

13.513,?5 ;T

Visor

n

NH de ,#esta9?es

i

Taxa de $#o /

13.513,?5

P#inci,a!

7 .41,5?

"a!o# da ,#esta9:o

#.3. Amorti$a%&o com Presta%(es )ntermediárias

&lgumas !ezes$ como acontece no caso de compra de im!eis$ por exemplo o plano de amortização pre!;$ alAm das prestaç

,(

Ba !erdade$ tudo se passa como se ossem dois luxos de caixa undidos em um sC e na !erdade$ muitas !ezes são$ como no caso da compra de im!eis$ onde as prestaç !ersa. Exemplo: &ma imo
4.000

4.000 ;T @ A

/ * !álculo do valor presente das parcelas normais Digitando Comentário

n

NH de ,#esta9?es

i

Taxa de $#o 89:

/

Visor

;T

4.000,00

P#esta9?es

<5.665,<0

"a!o# P#esente


,/ 2 @ ABl*ulo &o #lo% &#' !#%*el#' ine%e&iB%i#' <' !#%*el#' ine%e&iB%i#' &ee%ão #o%i#% o '#l&o &e R$ 100.000 @ R$ C5.665,C0  R$ 24.344,30. < #x# &e u%o' eui#lene no 'ee'%e # 27 #.. : = 'ee'%e  D(1 > i en'#l ) 6 @ 1 x 100  (1,02 6 @ 1) x 100  12,627 Enão, eo' ue:

Digitando Comentário

4.344,30 ;T

Visor

n

NH de ,#esta9?es

i

Taxa de $#o 89:

/

7 4.344,30

P#inci,a!

.11?,4

"a!o# da ,#esta9:o

a verdade7 a parcela a ser pa.a semestralmente será a soma da presta,Co normal mais a parcela intermediária7 ou se3a7 %4 /6//O76

E=r99io8 Dm emprAstimo de RK (LL.LLL oi amortizado em , prestaç
,. Dma lo8a de eletrodomAsticos está azendo uma promoção de Batal pela :ual :uem comprar uma geladeira atA o dia ?([(/ s começa a pagar em maio. Dm cliente :uer comprar uma geladeira :ue custa RK (.LLL$LL para pagar em oito prestaçse a primeira em maio. 4ual de!eria ser o !alor das prestaç

,?

'. So;uo 7o8 E=r99io8

C6:>u;o 2 ( P principal A a :uantia aplicada ou captada e sobre a :ual incidirão 8uros. P montante A igual ao principal mais os 8uros. >

)uro A a remuneração$ recebida ou paga$ por :uem aplicou ou captou recursosC A portanto$ sempre expresso em unidades monetárias. axa de )uros A a relação entre os 8uros$ pagos ou recebidos$ e o principal$ em um determinado per1odo. & taxa de 8uros pode ser expressa em notação decimal ou percentual.

3>

axa eeti!a A a:uela expressa em uma unidade de tempo igual " do per1odo de capitalização. Exemplo* / ao m;s$ capitalizados mensalmente. )á a taxa eeti!a A a:uela expressa em uma unidade de tempo dierente " do per1odo de capitalização. Exemplo* /L ao ano$ capitalizados mensalmente.

4>

Bo regime de 8uros simples$ os 8uros incidem somente sobre o capital. )á no regime de 8uros compostos$ ao inal de cada per1odo de capitalização$ os 8uros produzidos incorporam>se ao principal e passam a render 8uros tambAm.

+ 2er1odo de capitalização A o per1odo decorrido o :ual os 8uros passam a ser de!idos ou incorporam>se ao principal. 2razo da operação A o per1odo decorrido o :ual o principal e os 8uros tornam>se integralmente de!idos. 6> 9uas taxas são proporcionais :uando$ aplicadas sobre um mesmo principal por um mesmo per1odo de tempo$ no regime de 8uros simples$ produzem o mesmo montante. 9uas taxas são e:ui!alentes :uando$ aplicadas sobre um mesmo principal por um mesmo per1odo de tempo$ no regime de 8uros compostos$ produzem o mesmo montante. 2ortanto$ o :ue diere o conceito de taxas proporcionais do conceito de taxas e:ui!alentes A o regime de capitalização.

C6:>u;o 3 ( M T N 2 T RK (L.LLL i T L$L/ ao m;s$ ou / ao m;s n T (/ meses Matemática Financeira

,, M T 2 x _( ^ i x n` T (L.LLL x _( ^ L.L/ x (/` T RK (/.,LL / M T RK (L.LLL 2 TN i T L$L, ou , ao trimestre n T /, meses %alculo da taxa proporcional i,

040 x F = 043F o 3F2 e& F &eses 3

=

%álculo do principal P=

M 10.000 = = / 7.575476 [1 + (i x n)] [1 + (043F x 1)]

Dma solução mais simples e mais elegante consiste em utiliza a rmula do IprincipalJ azendo IiJ igual " taxa eeti!a e InJ igual ao nHmero de trimestres contidos no per1odo de /, meses /, S? T $ donde nT. &ssim ter1amos :ue*

P=

M 10.000 = = / 7.575476 [1 + (i x n)] [1 + (040 x E)]

? M T /2 2 T2 i T L$L/ ou / a.m. n TN

n

=

M  P FP  P = P x i P x 040F

=

1 = 50 &eses 040F

Dma solução mais simples e mais elegante consiste em utilizar a rmula da taxa proporcional. Beste caso$ a taxa proporcional a / a.m. :ue dobra o principal A (LL. 9i!idindo as duas taxas proporcionais$ encontramos o per1odo. &ssim temos :ue (LL S/ T +L meses.


,+ , 2 T /.+LL i T L$L? ou ? a.m.. n T ( dias ) TN

J= P xixn=

P x i x 1E F.500 x 0403 x 1E = = / 5 30 ?L

+ M T N 2 T RK (LL.LLL i T L$(/ ou (/ a.a. n T  meses M T 2 x _( ^ i x n` T (LL.LLL x _( ^ L$(/ x L$+` T RK (L.LLL  4uem descontasse um t1tulo com !encimento em ?L dias a uma taxa de desconto de , a.m. receberia W do !alor de ace deste t1tulo. &ssim$ temos :ue* M T ($LL 2 T L$W i T L$L, ou , a.m. n T ( m;s

i

=

M  P 1400  046 = Pxn 046 x 1

= 04017 o 4172 a.&.

Dma solução mais simples e mais elegante$ no caso de o per1odo de capitalização ser igual ao prazo da operação$ consiste em utilizar a rmula*

i=

M 1400  1=  1 = 04017 o 4172 a.&. P 046


, U i=

M 1400  1=  1 = 04030 o 4302 a.&. ? P  (30 x 040012) 046  04001F3

C6:>u;o  ( Digitando 89:



0



8%"





B"



8%"

1



B"

0



8%"

4



B"

89:

f

>

Visor



#RR

Comentário

7 .000

8%0

C!xo inicia!

0

,00


3.000,00

1,00

4,00

8%"

7 5.000

7 0,0443

2rimeiro$ !amos calcular o !alor presente das prestaçlo do luxo inicial. &ssim$ temos :ue*

- taxa efetia é maior do )ue a taxa de desconto por)ue, no caso de desconto, os "uros são co+rados 2na ca+eça. 3


,U Digitando

Visor

Comentário

5

n

5,00

5

i

5,00

89:

7 .310,00

;T

10.001,10

/

P !alor presente deste luxo de caixa A praticamente zero. ? Digitando Comentário

6

Visor

6,00

n

105

89:

500

/

105,00

;T

500,00 <,03

i

Resposta* U$L? , Digitando Comentário 89:

Visor



4.000



8%"

4



B"



8%"

C!xo inicia!

8%0

4.000,00



7 50.000

4,00

,

5.000,00 4



B"

4,00

6.000



8%"

4



B"

4,00

f

#RR

,66

6.000

,66 * ao ms

+ Valor da primeira prestação* n.° de dias entre /L[L([LL e /([L/[LL T ?/ ) T (LL.LLL x _( ^ L$/, ?/ [ ?L ' (` T RK (.W?L$+L 2M( T RK +L.LLL$LL ^ RK (.W?L$+L T RK +(.W?L$+L "a!o# da senda ,#esta9:o n.° de dias ent#e F10F00 e F00300 = FE J = 50.000 x [(1 + 04F) (FE  360) < 1] = / E345E PMTF = / 50.000400 + / E345E = / 50.E345E %aixo4 &ost#a&os a ,!ani!-a desta o,e#a9:oK Data

F00100 F10F00 F00300

Juros

Prini!al

1.30450 50.000400 E345E 50.000400

Prestação

51.30450 50.E345E

Saldo

100.000400 50.000400

 Valor da primeira prestação* n.° de dias entre /L[L([LL e /([L/[LL T ?/ 2M( T (LL.LLL x _( ^ L$/, ?/ [ ?L ' (` T RK (.W?L$+L

Valor da segunda prestação n.° de dias entre /([L/[LL e /L[L?[LL T / ) T (LL.LLL x _( ^ L$/, / [ ?L ' (` T RK (.U$( 2M/ T RK (LL.LLL$LL ^ RK (.U$( T RK (L(.U$( &baixo$ mostramos a planil3a desta operação* Matemática Financeira

,W Data

F00100 F10F00 F00300

Juros

Prini!al

Prestação

Saldo

1.30450 1.6E7416

100.000400 1.30450 100.000400 100.00040 101.6E7416

<> 100.000

3.000

1 x ?.455,?6

Digitando Comentário 89:

?.455,?6

1



Visor



8%"



B"

f

#RR

C!xo inicia!

8%0

?.455,?6

restação

1,00


,50

,50 5 a.m.

V;>se portanto :ue a taxa eeti!a de 8uros não A / ao m;s$ como airma o banco$ mas sim /$+ ao m;s.

E) Digitando Comentário 89:

Visor



8%0

100.000,00

C!xo inicia!


+L

?.<4,<1

1



8%"



B"

f

#RR

?.<4,<1

restação

1,00


,50

,50 a.m.

%se#*ase ,o#tanto 'e4 do ,onto de *ista de taxa de $#os4 os dois ,!anos de a&o#tiBa9:o se e'i*a!e&.

C6:>u;o " ( Vamos calcular$ inicialmente$ a taxa de 8uros desta operação. 2or se tratar de uma sArie uniorme$ podemos utilizar as seguintes teclas da calculadora Digitando Comentário

Visor

C!xo inicia!

100.000,00

/

6.51,40

89:

4

n

4,00

i

,50

;T

6.51,40

restação

NH de !xos iais e consecti*os ,50 a.m.

&gora$ temos :ue* (a prestação )uros T (LL.LLL x _( ^ L$L/+ ' (` T /.+LL$LL &mortização T /.+($,L ' /.+LL$LL T /,.L($,L /a prestação )uros T (LL.LLL ' /,.L($,L x _( ^ L$L/+ ' (` T (.WU$WU &mortização T /.+($,L ' (.WU$WU T /,.?$,, ?a prestação )uros T (LL.LLL ' /,.L($,L ' /,.?$,, x _( ^ L$L/+ ' (` T (./L$ Matemática Financeira

+( &mortização T /.+($,L ' (./L$ T /+.?LL$+/ ,a prestação )uros T (LL.LLL ' /,.L($,L ' /,.?$,, ' /+.?LL$+/ x _( ^ L$L/+ ' (` T ,$?U &mortização T /.+($,L ' ,$?U T /+.W??$L? & planil3a e o gráico abaixo ilustram o plano de amortizaçãoC "o

Juros

1 F 3 

F.500400 1.E747 1.FE04EE 6E437

Total

6.363,22

Amortização

F.0E140 F.6E34 F5.30045F F5.33403

Prestação

Saldo

100.000400 75.1E460 51.F35416 F5.33403

F6.5E140 F6.5E140 F6.5E140 F6.5E140

100.000,00 106.363,22

#ota$ e)uenas diferenças o+seradas na ta+e'a acima são deidas a arredon7

damentos na terceira casa decima' & direita da (ru'a.

,<.000 ,6.500 ,6.000 ,5.500 ,5.000 ,4.500 ,4.000 ,3.500 ,3.000 ,,.500 1

,

3

4

/ (a prestação )uros T (LL.LLL x _( ^ L$L/+ ' (` T /.+LL$LL &mortização T /+.LLL$LL ^ /.+LL$LL T /U.+LL$LL /a prestação )uros T (LL.LLL ' /+.LLL x _( ^ L$L/+ ' (` T(.U+$LL &mortização T /+.LLL ^ (.U+$LL T /.U+$LL ?a prestação )uros T (LL.LLL ' +L.LLL x _( ^ L$L/+ ' (` T(./+L$LL Matemática Financeira

+/ &mortização T /+.LLL ^ (./+L$LL T /./+L$LL ,a prestação )uros T (LL.LLL ' U+.LLL x _( ^ L$L/+ ' (` T /+$LL &mortização T /+.LLL ^ /+$LL T /+./+$LL & planil3a e o gráico abaixo ilustram o plano de amortização* "o

Juros

1 F 3 

F.500400 1.E75400 1.F50400 6F5400

Total

6.250,00

Amortização

F5.000400 F5.000400 F5.000400 F5.000400

Prestação

Saldo

100.000400 75.000400 50.000400 F5.000400

F7.500400 F6.E75400 F6.F50400 F5.6F5400

100.000,00 106.250,00

,.000 ,<.500 ,<.000 ,6.500 ,6.000 ,5.500 ,5.000 ,4.500 ,4.000 ,3.500 1

,

3

4

? %álculo do !alor presente das L prestaç
Visor 60,00

n

1,5

i

.000

89: /

;T

Comentário o

B de per(odos Taxa de "uros

7 .000,00 <.<60,54

restação /a'or resente

P saldo de!edor a ser coberto pelas prestaç

MATEMÁTICA - Apostila FGV de Matemática Financeira.pdf

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