2004
Unión Matemática Argentina
UMA
E4
LIV
REUNIÓN DE COMUNICACIONES CIENTÍFICAS
XXVII
REUNIÓN DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA
XVI
ENCUENTRO DE ESTUDIANTES
Introducción a la Matemática Financiera
PROF. ELSA CORTINA
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL COMAHUE Neuquén 11 AL 15 DE OCTUBRE
EL VALOR TEMPORAL DEL DINERO
• Tasa de inter´ es compuesta discreta • Valor presente y valor futuro • Tasa de inter´ es compuesta continua
1
1 Introducci´ on El concepto m´ as simple en finanzas es el del valor temporal del dinero, 1 $ hoy vale m´ as que 1 $ dentro de un a˜ no, por todo lo que se puede hacer durante el a˜ no con ese peso, e.g.
• guardarlo en la caja fuerte, • colocarlo en una cuenta de banco que rinde inter´ es, • comprar una mina de oro... (riesgo!). 2
La inversi´ on t´ıpica libre de riesgo es colocar dinero en un banco a tasa de riesgo neutro. Designamos con r la tasa de inter´ es libre de riesgo, que supondremos constante.
3
2
Tasas de inter´ es
Distintos tipos de tasas: Simple: el inter´ es est´ a basado s´ olo en la cantidad depositada incialmente. Compuesta:
tambi´ en se recibe inter´ es sobre el inter´ es.
El ´ unico relevante es el inter´ es compuesto, que tiene dos formas • compuesto discreto • compuesto continuo 4
3
Tasa de inter´ es compuesto discreto
Supongamos que invierto 1 $ a r=10% anual. Obtendr´ e 1er. a˜ no
(1 + r) = (1 + 0.1) = 1.1
2do. a˜ no
(1 + r)(1 + r) = (1 + 0.1)2 = 1.21
3er. a˜ no
(1 + r)(1 + r)(1 + r) = (1 + 0.1)3 = 1.331 ......
N -´ esimo a˜ no
· · · (1 + r) = (1 + 0.1)N (1 + r) |{z} N
5
En general, si invierto una cantidad M (0) inicial, a tasa r (constante), durante N a˜ nos, al cabo de los N a˜ nos recibir´ e
M (0).(1 + r)N
6
3.1
Valor futuro de una inversi´ on
Utilizaremos la siguiente notaci´ on: M (0) - cantidad original invertida r - tasa de inter´ es anualizada (decimal) F V - valor futuro P V - valor presente N - n´ umero de a˜ nos on de a˜ no f - fracci´ umero de pagos por a˜ no m - frecuencia: n´ 7
Consideramos tres casos: (i) Inversi´ on durante n´ umero entero de a˜ nos. El valor futuro de la cantidad M (0) en N a˜ nos es F V = M (0).(1 + r)N . (ii) Inversi´ on por un periodo que incluye una fracci´ on de a˜ no f F V = M (0).(1 + r)N +f . (iii) Inversi´ on a N a˜ nos con m pagos por a˜ no
r Nm F V = M (0). 1 + . m 9
3.2
Valor futuro de una anualidad ordinaria
Una anualidad es una misma cantidad de dinero A que se recibe o paga peri´ odicamente. Cuando el primer pago coincide con el primer periodo se llama ordinaria (no hay fracciones). Ejemplo 1 Un inversor espera recibir 100$ por a˜ no en los siguientes 5 a˜ nos. Cada vez que recibe los 100$ los invierte a tasa del 10% anual. Calcular cu´ anto recibe al cabo de los 5 a˜ nos.
10
A˜ nos
1
2
3
4
5
100 100 100 100 100 Total
FV =
4 X
i=0
A.(1 + r)i = A.
4 X
FV 100 (1,1)4 100 (1,1)3 100 (1,1)2 100 (1,1)1 100 (1,1)0 610.51
(1 + r)i
i=0
¿C´ omo se puede calcular el valor futuro de una anualidad en forma m´ as eficiente?
Utilizando la f´ ormula de la suma de una serie geom´ etrica
N X
i 1h i N +1 (1 + r) (1 + r) = −1 , r i=0
el valor futuro de una anualidad ordinaria se escribe como
N X
i Ah i N +1 (1 + r) F V = A. (1 + r) = −1 r i=0
11
3.3 Valor presente Interesa tambi´ en determinar qu´ e cantidad de dinero se debe invertir hoy, a tasa r, durante N a˜ nos, para producir un valor futuro especificado. Designamos con P V el valor presente La f´ ormula (1) relaciona el valor presente P V con el valor futuro F V
PV = FV
"
#
1 −N = F V (1 + r) (1 + r)N
(1)
en se llama tasa de descuento. La tasa de inter´ es r tambi´ 12
3.4 Valor presente de una serie de valores futuros Para determinar el valor presente de una serie de valores futuros deben calcularse los P V individuales y sumarlos Ejemplo 2 Un inversor que quiere un 6.25% anual debe decidir si compra un instrumento cuyo precio es 1243.83$ y que ofrece los siguientes pagos: A˜ nos 1 2 3 4 5
Pagos 100 100 100 100 1100 13
¿C´ omo toma la decisi´ on? Calcula el P V de los cashflows al 6.25%. A˜ nos
Pagos
P V del pago
1 2 3 4 5 Total
100 100 100 100 1100
94.12 88.54 83.37 78.47 738.50 1156.89
El P V de la serie de futuros valores prometidos por el emisor es 1156.89 < 1243.83 ganar´ıa un inter´ es < 6.25%, =⇒ no compra. 14
3.5 Valor presente de una anualidad ordinaria Designamos con A la anualidad, r la tasa de inter´ es (constante) y N el n´ umero de a˜ nos.
N X
"
#
1 1 1 . = PV = A 1 − P V = A. i N r (1 + r) i=0 (1 + r)
15
4
Tasa compuesta continua
Vimos que para m pagos por a˜ no es no, a tasa r, el valor de 1$ al a˜
r) r m m ln(1+ m =e 1+ m
r disminuye. Cuando m se hace suficientemente grande Si m aumenta, m r 1 como para que m r) m ln(1+ m
e
' er ,
que es el valor de 1$ dentro de un a˜ no a tasa r compuesta continua. 16
El valor futuro de 1$ a tiempo t > 0 es ert. Valor futuro y valor presente Sea M(t) la cantidad invertida a tiempo t. Su varianci´ on en un intervalo dt es
dM dt. dt Por otra parte, si M(t) est´ a invertido a tasa r (constante) vale M(t + dt) − M(t) ≈
dM dt = rMdt dt
(2)
Para calcular el FV y el PV hay que resolver la ecuaci´ on diferencial
dM = rM dt
i) Valor futuro Se resuelve la ecuaci´ on (2) con condici´ on inicial M(0) = M0,
(t = 0),
Proponemos la soluci´ on M(t) = Aeαt.
(3)
Reemplazando en la ecuaci´ on (2)
Aαeαt = r(t)Aeαt
=⇒ α = r. 17
Encontramos la constante A usando la condici´ on inicial
M0 = Ae0 = A. Entonces, el FV de M (0) para t > 0 es
M(t) = M0ert.
18
ii) Valor presente Resolvamos la ecuaci´ on (2) con condici´ on final M(T ) = MT ,
T > t.
Como en el caso anterior, proponemos la soluci´ on (3) y obtenemos α = r. Para encontrar la constante A usamos la condici´ on final
MT = AerT
=⇒
A = MT e−rT .
Por lo tanto, el PV de M(T)para t
M(t) = M(T )e−r(T −t). 19
MERCADOS, PRODUCTOS Y DERIVADOS
• Grupos de activos b´ asicos • Terminolog´ıa, cotizaciones, ejemplos • Derivados
1
El Valor Temporal del Dinero 1 $ peso hoy vale m´ as que 1 $ dentro de 1 a˜ no... Bancos
• Piden prestado dinero. • Invierten en forma riesgosa, pero distribuyendo las inversiones para minimizar riesgo.
• Compiten por dinero ofreciendo tasas de inter´ es m´ as altas. 2
Libre Mercado: al otro.
asegura que las tasas son consistentes de un banco
Tasas de inter´ es: Composici´ on:
simple y compuesto.
discreta o continua.
1
Grupos de activos b´ asicos
• Acciones: t´ıtulos sobre retornos reales en la producci´ on de bienes y servicios.
• Indices: no son activos reales. mercado o de parte de ´ el.
• Monedas:
Miden el comportamiento del
obligaciones de gobiernos.
3
• Bonos (tasas de inter´ es): las tasas no son activos reales. posici´ on se toma en bonos, notas... instrumentos de deuda.
La
• Commodities: no son instrumentos financieros sino productos: granos, metales preciosos, metales, petr´ oleo... se almacenan y transportan.
4
Acciones
• cotizan en el mercado • se obtiene ganancia de dos formas: a) dividendos (cum o ex); b) si el valor de la acci´ on sube.
5
Comportamiento
• no se se puede predecir, tiene elemento importante de aleatoriedad; • se puede modelar en sentido probabil´ıstico; • fraccionamiento (split).
6
Indices Miden el comportamiento general del mercado; se construyen a partir de una canasta de instrumentos representativos de ese mercado, dise˜ nada para representar todo el mercado , e.g. Standard and Poor 500 (S&P500) - USA Dow Jones and Company Inc (DJCI) - USA Financial Times Stock Exchg. (FTSE100) - UK 7
parte del mercado , e.g. JP Morgan’s Emerging Market Bond Index (EMBI). Indice de instrumentos de deuda de mercados emergentes Brady, Eurobonos (Argentina, Brasil, M´ exico, Nigeria, Sud´ africa .... )
8
Monedas - Tasa de Cambio Tasa a la que una moneda puede cambiarse por otra. Manejada por los mercados FX (Foreign Exchange). Monedas ligadas o flotantes Si se puede cambiar $/libras y libras/yen, debe haber una relaci´ on consistente entre las 3 monedas. Tasa de cambio - tasa de inter´ es Si la tasa de inter´ es en UK es mayor que en USA, se espera que la libra se deprecie. Bancos Centrales usan la tasa de inter´ es para manipular las tasas de cambio (dentro de ciertos l´ımites). 9
2 Derivados Instrumentos financieros que surgen por la necesidad de diversificar el riesgo. Instrumento derivado - Definici´ on Un contrato financiero es un instrumento derivado si su valor a la a determinado exactamente por el fecha de vencimiento T (payoff) est´ precio de mercado del subyacente a tiempo T . Derivado financiero - Definici´ on Es un instrumento derivado cuyo subyacente es un instrumento financiero. 10
Tipos de Derivados
Forwards y Futuros Opciones Swaps
Forwards y Opciones:
bloques b´ asicos
Swaps: estructuras m´ as complicadas... pueden descomponerse en conjuntos b´ asicos. 11
Mercado completo - Definici´ on Es un mercado en el cual todos y cada uno de los payoffs indentificables se pueden replicar usando instrumentos disponibles en ese mercado. Un mercado real nunca puede verdaderamente completo, pero cuanto m´ as se acerque a la completitud mejor funcionan los agentes de la econom´ıa. Arbitrage - Definici´ on La posibilidad de generar ganacia libre de riesgo sin inversi´ on. 12
Principios b´ asicos de finanzas Hedging Reducci´ on del riesgo (aleatoriedad) en un portfolio aprovechando las correlaciones entre productos. No arbitrage Todos los portfolios sin riesgo reciben la misma tasa de inter´ es... el inter´ es libre de riesgo.
13
Actores en los mercados financieros
1.
Hedgers: eliminan o reducen el riesgo, evitando la exposici´ on a movimientos adversos en el precio de un activo o instrumento.
2.
Especuladores: se exponen al riesgo; toman una posici´ on en el mercado, apuestan a que los precios van a subir o bajar.
3.
Arbitragers: buscan nichos de arbitraje; por ejemplo, obtener una ganacia libre de riesgo entrando simult´ aneamente en transacciones en dos o m´ as mercados. 14
OPCIONES
• Definici´ on • Diagramas de payoff y de ganancia • Paridad put-call • Ejemplos de payoffs
1
1 OPCIONES VANILLA SOBRE ACCIONES Una opci´ on CALL es el derecho a COMPRAR una acci´ on por una determinada cantidad X (strike) en una determinada fecha T (vencimiento).
payoff = V (S, T ) = max(S − X, 0). on por una Una opci´ on PUT es el derecho a VENDER una acci´ determinada cantidad X en una determinada fecha T .
payoff = V (S, T ) = max(X − S, 0). 2
El tenedor de un CALL gana si la acci´ on sube. El tenedor de un PUT gana si la acci´ on baja.
3
1.1 Opciones sobre otros subyacentes Opciones sobre monedas El tama˜ no del contrato depende de la moneda, e.g.
• Libra: 1 contrato da derecho a comprar (vender) 31.250 libras • Yen: 1 contrato da derecho a comprar (vender) 6,25 millones
4
Opciones sobre ´ındices Contratos para comprar (vender) 100 veces el ´ındice al strike X; por ejemplo
sobre S&P 500: opciones Europeas;
sobre S&P 100: opciones Americanas.
Ociones sobre commodities, FX, bonos,...etc.
5
´ RMINOS COMUNES 2 TE • Prima - V :
cantidad pagada inicialmente por el contrato.
• Subyacente (activo) - S: el instrumento financiero del cual depende el valor de la opci´ on: acciones, monedas, ´ındices... El payoff de la opci´ on est´ a definido por una funci´ on del subyacente al vencimiento. • Precio de ejercicio o strike - X: cantidad por la cual el subyacente puede comprarse (call) o venderse (put). • Vencimiento - T : deja de existir.
fecha en la cual la opci´ on puede ejecutarse o
6
• Valor intr´ınseco: payoff que se recibir´ıa si el subyacente estuviese al nivel actual cuando la opci´ on expire. • Valor temporal: intr´ınseco.
cualquier valor que tenga la opci´ on sobre su valor
• In the money: una opci´ on con valor intr´ınseco > 0, e.g. un call cuando el precio del subyacente es mayor que el strike. • Out of the money: una opci´ on sin valor intr´ınseco, e.g. un put cuando el precio del subyacente es mayor que el strike. • At the money: un call o un put con strike = (o cercano) al valor actual del subyacente. 7
• Posici´ on long: de un activo.
una cantidad positiva o que involucra la compra
• Posici´ on short: una cantidad negativa; venta de instrumentos o activos que no se tienen.
8
M´ argenes en compra de acciones Cuando se compran acciones el inversor puede pagar en cash o usar una cuenta de margen. Margen inicial requerido:
en general, el 50% del valor de las acciones.
Margen inicial de mantenimiento:
25% del valor de las acciones.
La cuenta de margen funciona de la misma forma que para un inversor que entra en un contrato futuro.
9
M´ argenes en opciones Comprador Cuando se compran opciones put y call el precio completo debe pagarse en efectivo. No est´ a permitido que los inversores compren opciones sobre m´ argenes. Writer Se requiere que los writers de opciones mantengan un dep´ osito en la cuenta de margen: el broker quiere asegurarse de que el inversor (writer) no defaultear´ a si se ejecuta la opci´ on. 10
Writing Opciones Naked Naked La opci´ on no est´ a combinada con una posici´ on de cobertura en el subyacente. Por ejemplo, este es el caso en que un inversor writes una opci´ on call sin tener las acciones para entregar en el caso de que el tenedor ejecute el call. ¿C´ omo se calcula el margen en este caso? 11
Covered call Consiste en ”write” un call cuando se tienen las acciones que deber´ıan entregarse si , el call se ejecutara a la fecha de vencimiento. Ejemplo 1: estrategia put-protector a sobrevaluado. Un inversor tiene acciones S y cree que el mercado est´ Posibles estrategias:
(1) vende S (todo o parte), invierte en cash o bonos. 12
(2) Protective-put: compra puts y mantiene su posici´ on en acciones; el portfolio es 1 put long y una acci´ on long. De esta forma • preserva la oportunidad de inversi´ on, • se asegura contra la baja de precios.
Ejemplo 2: estrategia buy-write El inversor tiene acciones
• cree que el mercado no es volatil • quiere derivar ingresos (a) vende (writes) un call sobre la acci´ on, (b) recibe una prima que puede derivar a otra inversi´ on, (c) retiene las acciones para cumplir el contrato si el call se ejecuta. 13
Si el inversor cree que el precio de la acci´ on va a aumentar significativamente hasta la fecha de vencimiento T , entonces debe comprar un CALL. Ejemplo 3 El precio de hoy de la acci´ on es S = 105
Se compra un call con X = 100 Costo del call V = 10 Costo de la posici´ on = 10 (m´ axima p´ erdida)
Hay ganancia si la acci´ on aumenta sobre 100 + 10 = 110 Notar:
se paga hoy por la opci´ on, se gana en el futuro... 14
O.... Si el inversor cree que el precio de la acci´ on no bajar´ a en forma significativa hasta la fecha de vencimiento T , entonces se debe vender un PUT. Ejemplo 4 El precio de hoy de la acci´ on es S = 97
Se vende un put con precio X = 100 Costo del put V = 4 Hay ganancia si la acci´ on se mantiene sobre 100 − 4 = 96. La ganancia est´ a limitada a 4. 15
¿Qu´ e hace un inversor si cree que el precio de la acci´ on va a a subir pero no quiere gastar mucho dinero?
Comprar 1 call con precio de ejercicio X1 y Vender un call con precio de ejercicio X2, con X2 > X1.
16
Ejemplo 5 El precio de hoy de la acci´ on es S = 105
Comprar 1 call con precio X1 = 100 Costo del call V = 10 Vender 1 call con precio X2 = 110 Costo de este call V = 4
Hay ganancia si la acci´ on aumenta sobre 100 + 6 = 106. Pero..la ganancia est´ a limitada a 4. 17
Ejemplo de cotizaci´ on de opciones Gateway2000 Precio
Strike
Mes
Vol.
Call
Vol.
Put
5 32 16
30
Jan
491
4
1004
1
5 32 16
35
Jan
1733
3 1 16
5
1 3 8
5 32 16
40
Mar
1280
1 1 4
11
8 1 2
18
Enero
Call con X=30$ vale 4$ Put con X=30$ vale 1$ 3 Call con X=35$ vale 1 16
Put con X=35$ vale 3 1 8 Call: < X, m´ as conveniente, > precio Put : > X, m´ as conveniente, > precio 19
Ejemplo 6: calls enero y marzo sobre el DJIA (22 Dec. 1997) Mes
Strike
Vol.
Precio
Jan
72
32
7
Jan
74
5
51 4
Jan
76
86
35 6
Jan
78
324
21 4
Jan
80
869
3 1 16
Jan
82
172
3 8 20
Mes
Strike
Vol.
Precio
Jan
86
50
3 16
Jan
84
220
3 16
Mar
76
3
1 52
Mar
78
308
1 44
Mar
80
248
7 28
Mar
82
10
3 2 16
Mar
84
75
5 1 16 21
Precio actual DJIA (22/12/97)= 78.19 Graficamos Precio de los Calls enero y marzo vs. X y el payoff si el subyacente tuviera al vencimiento el = valor que en la fecha actual (22/12/97) (ver ej.6 en la planilla ejemplos5.xls). Observaciones sobre el gr´ afico Para S fijo, C = f (X)
• > X < valor del call Cuanto m´ as lejos est´ a X del S actual > es la apuesta sobre el aumento del precio del subyacente =⇒ < es el precio 22
• > (T − t) > valor del call > (T − t) > probabilidad de que se mueva. Cuando el tiempo que falta para el vencimiento decrece, la probabilidad de que se mueva se hace < y los datos reales est´ an m´ as cerca de la curva te´ orica.
Importante: el precio de opciones depende en forma NO LINEAL del precio del subyacente S (recordar que en futuros la dependencia es lineal).
3
DIAGRAMAS DE PAYOFF Y GANANCIA
Diagrama de Payoff Gr´ afico del valor de la opci´ on al vencimiento en funci´ on del valor del subyacente. Se usan para simplificar el an´ alisis de estrategias que involucran m´ as de una opci´ on.
• Muestra cu´ anto vale el contrato al vencimiento. • No incluye la prima pagada al comienzo del contrato. 23
Diagrama de Ganancia Del payoff se resta la prima. Hay un punto S ∗ en el eje que divide p´ erdida y ganancia:
S > S∗ S < S∗
ganancia p´ erdida
No tiene en cuenta el valor temporal del dinero: la prima se paga al comienzo, el payoff (si hay) se recibe al vencimiento. 24
Evaluar el cash flow en forma consistente.
• Evaluaci´ on inicial:
multiplicar el payoff por e−rT .
• Evaluaci´ on al vencimiento T :
multiplicar la prima por erT .
25
4
PARIDAD PUT-CALL
Comprar call, X y T (long call) Write put, X y T (short put) Payoff del portfolio = suma de los dos payoffs
max(S(T ) − X, 0) − max(X − S(T ), 0) = S(T ) − X Dos t´ erminos al vencimiento: un activo y cash X. payoff (long call y short put) ' payoff (long asset y short cash) 2 maneras de obtener el mismo payoff. 26
An´ alisis del cash flow Valor hoy
Valor en T
Call
C
max(S(T ) − X, 0)
Put
−P
− max(X − S(T ), 0)
Acci´ on
−S
−S(T )
Xe−rT
X
C − P − S + Xe−rT
0
Cash Total
27
La igualdad es independiente del comportamiento de la acci´ on.
C | − {z P}
valores
hoy
= S − Xe−rT ,
28
4.1 Opciones binarias o digitales El payoff es discontinuo en el precio de la acci´ on. Para expresar el payoff de opciones binarias se introduce la funci´ on de Heaviside , H(x), definida por
H(x) =
(
1 0
si x > 0 si x ≤ 0
H(−x) =
(
1 0
si −x > 0 si −x ≤ 0 29
Call binario El contrato paga una cantidad B si S(T ) > X
V (S, T ) = B
H(S(T ) − X),
Conviene comprar un call binario si se espera que S(t) aumente. En este caso se puede elegir entre un binario y un vanilla • vanilla: si espero que el precio aumente mucho, crece linealmente con S, tiene m´ as potencial hacia arriba; • binario: si espero que el precio aumente poco (+ barato que vanilla); paga una suma fija. 30
Put binario El contrato paga una cantidad B si S(T ) < X
V (S, T ) = B
H(X − S(T )).
Lo compra quien espera una ca´ıda peque˜ na del subyacente.
31
5
SPREADS
Estrategias (portfolios) que involucran opciones del mismo tipo. 5.1 Bull Spread . Se beneficia del mercado en alza. Se contruye con
6 X. (a) 2 calls vanilla de = T y = (b) 2 puts vanilla de = T y = 6 X. 32
(a)
Payoff del bull spread con calls
Π = C1 − C2
, X1 < X 2
ST
Call long
Call Short
Total
S T ≥ X2
ST − X 1
X2 − S T
X2 − X1
X1 < S T < X 2
S T − X1
0
ST − X1
S T ≤ X1
0
0
0 33
(b)
Payoff del bull spread con puts
P1 − P2,
X 1 < X2
ST
Put long
Put Short
Total
ST ≥ X2
0
0
0
X1 < ST < X2
0
ST − X2
ST − X 2
ST ≤ X1
X 1 − ST
ST − X2
X1 − X 2 34
Ejemplo 7:
Call long , X1 =100, T Call short, X2 =120, T
V (S, T ) = max(S − X1, 0) − max(S − X2, 0)
1.
S ≤ 100: no se ejecuta el call X100, el holder no ejecuta el call X120.
2.
100 ≤ S ≤ 120: se ejecuta el call X100, el holder no ejecuta el call X120.
3.
S > 120: se ejecuta el call X100; el holder ejecuta el call X120; la ganancia es 20$ menos las primas.
35
Ejemplo 8 Considerar una acci´ on GP cuyo precio en el mes de Julio es 50$ y
precio en julio de call Septiembre 50 = 4$
precio en julio de call Septiembre 55 = 2$
precio en julio de put Septiembre 50= 2$
(i) graficar los diagramas de ganancia para la compra y la venta de la acci´ on en septiembre; 36
(ii) graficar los diagramas de ganancia de un call long y un call short;
(iii) graficar los diagramas de ganancia de un put long y un put short;
(iv) graficar el diagrama de ganancia de una estrategia protective-put (acci´ on long + put long);
(v) graficar el diagrama de ganancia de una estrategia bull spread.
37
5.2 Bear spread Se beneficia del mercado en baja. Se contruye con
(a) 2 puts vanilla de = T y = 6 X. (b) 2 calls vanilla de = T y = 6 X.
38
(a)
Payoff del bear spread con puts
P2 − P1,
X 1 < X2
ST
Put short
Put long
Total
S T ≥ X2
0
0
0
X1 < ST < X2
0
X2 − ST
X2 − ST
ST ≤ X1
S T − X1
X2 − S T
X2 − X1 39
(b)
Payoff del bear spread con calls
C2 − C1 ,
X 1 < X2
ST
Call short
Call Long
Total
ST ≥ X2
X1 − ST
S2 − X2
X1 − X2
X1 < ST < X2
X1 − ST
0
X1 − ST
ST ≤ X1
0
0
0 40
Ejemplo 9: Bear Spread
Put short, X1 =100, T Put long, X2 =120, T
V (S, T ) = max(X2 − S, 0) − max(X1 − S, 0)
41
1.
S ≥ 120: no se ejecuta el put X120, el holder no ejecuta el put X100.
2.
100 ≤ S ≤ 120: se ejecuta el put X120, el holder no ejecuta el put X100.
3.
S < 120: se ejecuta el put X120; el holder ejecuta el put X100; la ganancia es 20$ menos las primas.
42
5.3 Butterflies Es una estrategia adecuada para inversores que creen que no es probable un movimiento grande de los precios del subyacente. Se construye con 3 opciones del mismo tipo, 3 calls o 3 puts con
• = T; • 3 strikes distintos
X1 < X 2 < X 3 43
Esta estrategia
i) produce peque˜ na ganancia si el precio del subyacente est´ a cerca del strike intermedio X2;
ii) produce peque˜ na p´ erdida si hay un movimiento significativo del precio hacia ambos lados.
44
El butterfly spread se contruye con
(a) 1 call (1 put) long con X1
(a) 2 calls (2 puts) short con X2
(a) 1 call (1 put) long con X3
45
6 COMBINACIONES Estrategias adecuadas para inversores que tienen una visi´ on muy precisa respecto del movimiento del subyacente. Involucran posiciones en opciones de distinto tipo:
calls y puts
• sobre el mismo subyacente. • =T
46
6.1
Straddles
Estrategia adecuada para inversores que esperan un movimiento grande en el subyacente. Se construyen con
(a) call long, con T y X
(b) put long, con T y X
47
Payoff del straddle
C + P,
X, T
ST
Call long
Put Long
Total
ST > X
0
X − ST
X − ST
X1 ≤ X
ST − X
0
ST − X 48
6.2 Strangle: Similar al straddle, pero m´ as barato. Diferencia con el ”strangle”: son 6=.
los precios de ejercicio del call y el put
Se contruye con
(a) call long, con T y X1
(b) put long, con T y X2, X2 > X1 49
7
´ VALOR DE LA OPCION ANTES DEL VENCIMIENTO
El payoff dice cu´ anto vale el contrato al vencimiento. Interesa cu´ anto vale el contrato para t < T . En particular, interesa el precio actual; es decir, cu´ anto vale el contrato en t = 0. Depender´ a de:
(a) el precio de hoy del subyacente, S(t);
(b) del tiempo hasta el vencimiento T − t (dependencia m´ as sutil). 51
7.1 Problema de valuaci´ on de opciones: Encontrar el ”valor te´ orico” (fair value) de la opci´ on para todo t. Variables V - valor de la opci´ on S - valor del subyacente t - tiempo V (S, t) - valor del contrato 52
Sabemos que el valor del contrato al vencimiento T es
V (S, T ) = max(S(T ) − X, 0)
para call
V (S, T ) = max(X − S(T ), 0)
para put
Variables S y t: cambian durante la vigencia del contrato.
53
7.2
Par´ ametros que influyen en el precio V (S, t)
Distinguir entre variables y par´ ametros. Par´ ametros r - tasa de inter´ es. Influye v´ıa el valor temporal del dinero, porque el payoff se recibe en el futuro. X - precio de ejercicio (> X, < valor de un call y > valor de un put). D - dividendos si la opci´ on es sobre acciones, su valor depende de los dividendos que se paguen durante la vigencia del contrato. rf - tasas de inter´ es en distintas monedas; influye si la opci´ on es sobre FX. 54
Par´ ametro importante σ - volatilidad. Medida de la fluctuaci´ on en el instrumento b´ asico aleatoriedad. Definici´ on:
on standard anualizada. σ es la desviaci´
• Dif´ıcil de estimar; • no constante; • impredecible. Es natural tratar σ como variable aleatoria. 55
´ LISIS DE PRODUCTOS DE RENTA FIJA ANA
• Bonos cero cup´ on • Introducci´ on • Bonos cero cup´ on • Bonos con cupones
1
• Inter´ es acumulado, precios limpio y sucio • Convenci´ on day count • Medidas del yield: actual, YTM • Yield a la madurez (TIR) para bonos
2
´ 1. INTRODUCCION La Teor´ıa de Precios de Argbitrage (APT) da una manera de expresar el valor presente de un bono cero cup´ on en t´ erminos de una medida de probabilidad de riesgo neutro sobre las trayectorias de las tasas de inter´ es. Aclaraci´ on: APT postula la existencia de al menos 1 medida, dice que sea ´ unica (i.e. que el mercado sea completo).
no
APT: el precio de culaquier instrumento financiero es igual al valor presente del cash flow esperado.
3
Determinar el precio requiere:
(i) estimar los cash flows esperados;
(ii) determinar las tasas de decuento apropiadas para calcular el V.P. de los cash flows.
4
´ 2. BONOS CERO CUPON 1 pago P r a tiempo T . De acuerdo a la APT el precio del cero cup´ on a tiempo t es
− B(t, T ) = P r.EQ {e t
RT t
r(u)du
}
r(t): tasa de inter´ es (aleatoria) P r: principal
EQ on condicional bajo una medida de probabilidad Q de t : expectaci´ riesgo neutro. 5
Llamamos
R Q − tT r(u)du P (t, T ) = Et e
al factor de descuento: valor presente de 1$ a tiempo T . La funci´ on
T −→ P (t, T ) es la curva de descuento a tiempo t. 6
T tiempo absoluto: i.e. una fecha fija en el futuro τ = T − t tiempo relativo hasta la madurez; se usa cuando se trabaja con la curva de descuento. En este caso, la curva de descuento est´ a dada por
τ −→ P (t + τ, T ),
τ >0
Si la tasa de inter´ es en ≥ 0 =⇒ P (t, T ) ≤ 1. 7
Notar: al usar APT para calcular precios de bonos estamos admitiendo
• tasas de inter´ es que son procesos esto´ casticos • que existe al menos 1 medida de probabilidad de riesgo neutro sobre la trayectorias de las tasas.
8
Caso particular:
tasa de inter´ es r(t) determin´ıstica, entonces
dB(t) = r(t)B(t), dt
B(T ) = P r.
Proponemos la soluci´ on B(t) = e−α(t)
Z
t dα = r(t) =⇒ α(t) = r(u)du + C(0) dt 0
B(t) = C(0)e
Rt
0 r(u)du . 9
Usando la condici´ on final
P r = C(0)e
RT 0
r(u)du
R − 0T r(u)du
=⇒ C(0) = e Reemplazando en B(t) se obtiene
R − tT r(u)du
B(t) = P r.e
.
.
3.
BONOS CON CUPONES
La mayor´ıa de los bonos pagan cupones. Un bono gen´ erico especifica: Madurez = T Principal = P r Cupones = C N´ umero de cupones hasta la madurez = N Fechas de cupones = tn umero de pagos por a˜ no) Frecuencia = w (n´ 10
El valor del bono est´ a dado por
B(t) =
N X P r.C
n=1
w
EtQ e−
R tn t
r(u)du
+ P r.EtQ e−
RT t
r(u)du
Expresi´ on equivalente:
B(t) =
N X P r.C
n=1
w
P (t, tn)
+
P r.P (t, T )
11
La expresi´ on anterior es consecuencia de que
• un bono con cupones es equivalente a una serie de bonos cero cup´ on;
• el valor de un bono a una fecha t est´ a determinado por la curva de descuento; r.C • el valor de un bono cambia en forma discontinua: tiene saltos P w en cada t = tn.
12
Inter´ es acumulado (Accrued interest) El precio de un bono puede hacerse continuo si restamos el inter´ es acumulado. Definici´ on: de cup´ on.
cantidad de inter´ es que se acumul´ o desde el ´ ultimo pago
P r.C AI(t, tn) = w Precio limpio:
t − tn tn+1 − tn
!
precio de la transacci´ on - inter´ es acumulado. 13
Precio sucio: precio incluyendo el inter´ es acumulado (cu´ anto dinero cambia de manos).
Ps = Pl + AI(t, tn)
en
t = tn
AI(tntt) = 0 =⇒ Ps = Pl .
Convenciones day count ¿C´ omo se acumula el inter´ es en distintos periodos en forma consistente? e.g. en el c´ alculo de AI(t, tn), la fracci´ on
t − tn tn+1 − tn es un cociente entre fracciones de a˜ no. • Relacionar con la unidad de tiempo: 1 a˜ no. • Convertir d´ıas, semanas y meses en fracciones de a˜ no. 14
Convenciones para calcular nro. de d´ıas:
1.
Real/Real: contar los d´ıas calendario,
2.
30/360: 30 d´ıas por mes, 360 por a˜ no,
3.
Real/360: cada mes el n´ umero correcto; en el a˜ no 360.
Las convenciones difieren segun tipo de emisor y pa´ıs.
15
Usamos la siguiente notaci´ on
d1/m1/y1
1ra. fecha
d2/m2/y2
2da. fecha
El n´ umero de d´ıas entre 2 fechas es
(y2 − y1).360 + (m2 − m1).30 + d2 − d1. 16
La convenci´ on 30/360 se presenta en dos formas: 30/360 y 30E/360 i) 30/360 Si d1 = 30 o 31 −→ d1 =30 Si d2 = 31 y d1 = 30 o 31 −→ d2 =30 Si d2 = 31 y d1 = 6 30 −→ d2 =31 Mayo 1 —Mayo 30 = 29 d´ıas Mayo 1 —Mayo 31 = 30 d´ıas 17
ii) 30E/360 Si d1 = 31 −→ d1 =30 Si d2 = 31 −→ d2 =30 Mayo 1 —Mayo 30 = 29 d´ıas Mayo 1 —Mayo 31 = 29 d´ıas
18
4. MEDIDAS DEL YIELD Forma consistente de comparar productos de renta fija.
• yield actual • yield to maturity (YTM) o tasa interna de retorno (TIR)
19
4.1 Yield actual
yield actual =
inter´ es anual por cupones precio del bono
Medida simple concentrada en las propiedades de corto plazo; en este yield no se incluyen • pago de principal a T • valor temporal del dinero si hay reinversi´ on • ganancias o p´ erdidas de capital si el bono se vende antes de T 20
Ejemplo 1 El yield actual para un bono a 18 a˜ nos, con cupones al 6%, que se vende a 700.89$, es
Ya =
60 = .0856 700.89
(8.56%)
21
5. YIELD A LA MADUREZ (YTM)
O TASA INTERNA DE RETORNO (TIR) Definici´ on: Es la tasa de inter´ es constante que hace el valor presente del cash flow de la inversi´ on igual al precio actual. Llamamos P = precio Ci = cash flow en el a˜ no i N = n´ umero de a˜ nos w= frecuencia 22
P =
C1 C2 CN C3 + + + + · · · y y 2 y 3 y N (1 + w ) (1 + w ) (1 + w ) (1 + w )
=
N X
Ci y i (1 + i=1 w)
(1)
23
C´ alculo del YTM Objetivo: encontrar la tasa de inter´ es constante que haga el PV del cash flow igual al precio paso 1:
elegir una tasa de inter´ es
paso 2: calcular el PV de cada cashflow usando la tasa de descuento elegida en 1 paso 3:
sumar los cash flows descontados
paso 4:
comparar la suma total con el precio 24
(i) total = precio, la tasa elegida en el paso 1 es el YTM,
(ii) total > precio, tasa = 6 YTM. Ir al paso 1 y comenzar el procedimiento con tasa > que la 1ra,
6 YTM. Ir al paso 1 y comenzar el (iii) total < precio, tasa = procedimiento con tasa < que la 1ra.
25
5.1 YTM para bono cero cup´ on Definici´ on: El YTM para el cero cup´ on es la tasa de inter´ es constante que hace el valor descontado del cash flow final igual al precio del bono. Suponiendo que P r = 1$, para tasa discreta, compuesta continua
B(t, T ) = e−yt,T (T −t)
yt,T = −
ln B(t, T ) (T − t) 26
5.2 YTM para bono con cupones Definici´ on: Tasa de inter´ es constante que hace el precio del bono igual a la suma de los cash flows descontados a esta tasa. Tasa compuesta continua
B(t, T ) =
N X
Cie−y(ti−t) + P r.e−y(T −t),
T = tN .
i=1
27
Tasa compuesta discreta En general, el YTM se calcula con tasa compuesta discreta, usando frecuencia = frecuencia de los pagos de inter´ es del bono. La tasa de descuento es la inversa de la tasa de inter´ es:
1 r −1 = . tasa de descuento = 1 + r w 1+w
28
En el caso de bonos con cupones, de acuerdo a nuestra notaci´ on tenemos
tasa de descuento =
1 y (1 + w )
29
5.3 YTM para periodos enteros La fecha actual t = coincide con una fecha de pago de cup´ on. Hasta la madurez quedan N periodos enteros.
B(t, T ) =
N X Cn.P r
n=1
w
1 Pr y n+ y N (1 + w ) (1 + w )
es del Esta expresi´ on vale para t= fechas de pago de cupones, despu´ pago correpondiente.
30
Si los cupones son iguales: Cn = C, se puede usar la suma de una serie geom´ etrica
C.P r.w 1 B(t, T ) = 1− y N w (1 + w )
!
Pr + y N (1 + w )
Si y = C =⇒ B = P r
31
5.4
YTM para periodos fraccionarios
En general la fecha actual t no coincide con las fecha de pago de cup´ on tm, cae entre dos fechas de cupones. Hay que tomar en cuenta la fracci´ on de a˜ no correspondiente al ese periodo
tn < t < tn+1,
tn+1 − t f = tn+1 − tn
En este caso el YTM es
B(t, T ) =
N X Cn.P r
n=1
w
1 y n−1+f (1 + w )
+
Pr y N −1+f (1 + w )
(2) 32
Relaciones entre B, C y y
y ↑−→ B ↓ Si en la fecha de cup´ on el bono se comercializa
• B = P r =⇒ at par • B < P r =⇒ at discount • B > P r =⇒ at premium 33
En mercado libre de arbitraje
(i) 2 bonos con igual precio y fecha de cupones tienen el mismo cup´ on
B1 = B2
y
tn1 = tn2 =⇒ C1 = C2.
(ii) 2 bonos con igual precio y fecha de cupones tienen el mismo yield
B1 = B2
y
tn1 = tn2 =⇒ y1 = y2.
34
(iii) Un bono de mayor cup´ on tiene mayor tasa
B1 = B2
y
C1 > C2 =⇒ y1 > y2.
Yield = TIR (IRR) =⇒ comprar un bono es equivalente a ”ganar” una tasa de inter´ es y en dinero.
35
Relaciones entre tasa de cup´ on, yield actual e YTM Vendido Par
C = CY = Y T M
Discount
C < CY < Y T M
Premium
C > CY > Y T M
Yield de un bono par Se usa para representar la estructura temporal de las tasas de inter´ es impl´ıcitas a partir del mercado de bonos: par yield curve. 36
5.4 Expresi´ on general para el c´ alculo del YTM Si los datos son
umero total de periodos desde el settlement, • N = n´ • m = fecha de cup´ on reci´ en pagado (n´ umero de periodo de cup´ on reci´ en pagado),
La forma general de la expresiones (1) (n´ umero entero de periodos) y (2) (periodo fraccionario) es 37
B(tm, T ) =
B(tm, T ) =
N X
N X
1 C.P r 1 P r + y n−m y N −m w (1 + ) (1 + w w) n=m+1
1 1 Cn.P r + P r y n−(m+1)+f y N −(m+1)+f w (1 + ) (1 + n=m+1 w w)
Ejemplo 2 Calcular YTM para el siguiente bono Madurez = 18 a˜ nos Principal= 1000$ Cupones = 6% Frecuencia = 2 Precio = 700.89$ 38
Hip´ otesis:
• 18 a˜ nos es el periodo desde hoy a la madurez (no la madurez total del bono),
• la fecha inicial coincide con una fecha de cupones y el bono se eval´ ua despu´ es de pagar el cup´ on. Sabemos
• Nro de periodos = 36 • Tasa semianual (TSA) = 3% 39
Entonces la f´ ormula se reduce a
36 C.P r X 1 1 B(0, tN ) = + . P r n 36 2 n=1 (1 + T SA) (1 + T SA)
Como estamos evaluando en fecha de cup´ on, se puede usar la f´ ormula de suma de la serie geom´ etrica y resulta
B(0, tN ) =
Nota:
1 30 1− T SA (1 + T SA)36
!
+ Pr
1 (1 + T SA)36
en los c´ alculos la tasa se escribe en forma decimal. 40
Ejemplo 3 La fecha de c´ alculo del yield no coincide con la fecha de cupones =⇒ no se puede usar la suma de una serie geom´ etrica (exponente fraccionario) Calcular el YTM del siguiente bono Madurez = 1 de marzo de 2006 Comienzo= 17 de julio de 2000 Principal= 100$ Tasa de cupones = 10% 41
Frecuencia = 2 Precio sucio= 118.778$ Hay que calcular el nro. de periodos y la fracci´ on:
• 1er paso: nro total de d´ıas • 2do. paso: nro. de periodos y fracci´ on
N´ umero total de d´ıas (Y2 − Y1)360 + (M2 − M1)30 + (D2 − D1) = (2006 − 2000)360 + (3 − 7)30 + (1 − 17) = 2024. N´ umero de periodos de 6 meses y fracci´ on de periodo
2024 t −t = = 11.244 N +f = 1 180 180 • 11 periodos de seis meses • fracci´ on inicial de 0.244 42
Datos:
• 11 pagos de cupones a tasa 5% • 1 pago del principal de 100$ en el periodo 11 • un pago correspondiente a la fracci´ on inicial de periodo • B = 118.778 > P r = 100$, =⇒ y > C.
43
5.5 Yield para instrumentos a tasa flotante La tasa de cupones para bonos a tasa flotante se resetea en forma peri´ odica sobre la base de una tasa de referencia (e.g. LIBOR) El valor futuro de la tasa de referencia no se conoce =⇒ • no se pueden determinar los cash flows • no se puede calcular el YTM Margen de descuento: medida para estimar el retorno potencial de un bono a tasa flotante. Estima el spread promedio o margen sobre la tasa de referencia que puede esperar el inversor. 44
C´ alculo del margen
(1) Elegir una tasa de referencia que se supondr´ a no variable durante la vida del bono.
(2) Calcular los cash flows con esa tasa.
(3) Elegir un margen o spread.
(4) Descontar los cash flows calculados en el paso (2) por la tasa de referencia + el margen. 45
(5) Comparar el PV de los cash flows calculados en (4) con el precio actual • si PV = precio actual, el margen de descuento es el seleccionado; • si PV 6= precio actual, volver al paso 2 y probar con otro margen. Desventajas del margen como medida del retorno potencial:
• se supone que la tasa de referencia no cambia; • no toma en cuenta si el bono tiene un cap
o un floor. 46
Ejemplo 4 Considerar el siguiente bono M = 6 a˜ nos Tasa de cupones = tasa de referencia + 80bp Frecuencia de reseteo = 6 meses Precio = 99.3098$ Calcular el margen suponiendo que el valor actual de la tasa de referencia es 10%. 47
Yield de un portfolio 2 convenciones para el c´ aculo:
1) Promedio pesado (m´ etodo m´ as com´ un)
2) Tasa interna de retorno (TIR -IRR)
48
Promedio pesado Promedio pesado de los yields de todos los instrumentos. Cada yield se pesa por la proporci´ on del instrumento en el portfolio.
YP =
K X
wi y i ,
i=1
donde wi = valor de mercado del instrumento i relativo al valor de mercado total del portfolio yi = yield del instrumento i K = nro. de instrumentos en el portfolio 49
Ejemplo 5 Consideramos un portfolio con 3 bonos Bono
Cup´ on
(%)
Madurez
Par
Precio
YTM
A
7.0%
5yr
10M
9.209M
9.0%
B
10.0%
7yr
20M
20M
10%
C
6.0%
3yr
30M
28.05M
8.5%
Total
57.259M
50
9.209.106 = .161, w1 = 6 57.259.10
2010.6 w2 = = .349, 6 57.25910
28.050.106 w3 = = .490 57.259106 Entonces, el promedio pesado es YP = .161(.09) + .349(.105) + .490(.085) = .0928 = 9.28% 51
Esta medida da poca informaci´ on sobre el yield potencial. Como ejemplo, consideramos un caso extremo. Portfolio = 99% Bono A + 1% Bono B, donde Bono A: madurez 6 meses, YTM 11% Bono B: madurez 30 a˜ nos, YTM 8%
YP = 10.97% ¿Qu´ e significa este yield? El yield de este portfolio en los pr´ oximos 2 a˜ nos depender´ a b´ asicamente de las tasas dentro de 6 meses. 52
YTM del portfolio Se calcula determinando los cashflows para todos los instrumentos en el portfolio y encontrando la tasa fija que hace el PV de los cash flows igual al precio de mercado del portfolio. Medida m´ as acertada que la anterior. Ejemplo 6 Con los datos anteriores para los 3 bonos (A, B y C) del Ejemplo 6, se calcula el YTM Ver planilla XL.
53
