Ministerio PERÚ de Educación
L I M A
PROGRAMA DE ACTUALIZACIÓN EN DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA EDUCACIÓN SECUNDARIA
- P E R
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MÓDULO DE ACT MÓDUL ACTUALIZA UALIZACIÓN CIÓN EN DIDÁC DID ÁCTIC TICA A DE LA MA MATEM TEMÁ ÁTIC TICA A M A T E M Á T I C A
F I N A N C I E R A
PROFUNDIZACIÓN TEÓRICA Y PEDAGÓGICA
“MATEMÁTICA FINANCI ERA AL ALCANCE DE TODOS”
1. Definición “Matemática nanciera” se reere a las matemáticas que se utilizan en el contexto de negocios, nanzas y economías. Un componente importante es el interés, que podría denirse como “el costo del dinero”, y otro es el capital, dinero que se pone en ahorros o que es solicitado como préstamo. Si depositas dinero (capital) en una cuenta de ahorros, la entidad financiera (banco, caja, etc.) te pagará intereses por ese depósito.
Los estudiantes deben familiarizarse con el uso financiero de las matemáticas. Ellos pronto tomaran decisiones basadas en ahorro, inversiones que pueden tener características de ser seguras o de riesgo; además, en muchos casos, se encuentran en situaciones que involucra decisiones familiares.
Por ejemplo, este dinero depositado (capital) será trabajado por la mencionada entidad y parte del dinero generado con él será “pagado” al dueño del depósito, en este caso, tú. En cambio, si solicitas un préstamo bancario (capital) a cualquier entidad nanciera, le tendrás que pagar intereses a ella.
Es importante que los docentes desarrollen aprendizajes de matemática financiera, porque permite que los estudiantes vivencien la utilidad de los contenidos matemáticos aplicados a necesidades de la vida diaria y, por otro lado, porque se hace necesario el desarrollo de una cultura financiera responsable.
2. Porcentajes Para tener éxito con la matemática nanciera, es importante poseer una base bastante sólida en la resolución de porcentajes. Por lo tanto, es importante recordar que: Usamos el símbolo % que se lee “por ciento” para representar un porcentaje.
Es necesario que los estudiantes conozcan el concepto de porcentajes para poder resolver fórmulas de interés y de inflación.
Porcentaje es una manera de expresar un número como una fracción del número 100. Los porcentajes se pueden expresar como decimales. Un porcentaje expresado como decimal se denomina “tanto por uno”:
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Ejemplos:
1% = 10 % = P% =
1/100 10/100 p/100
= 0,01 = 0,10
Si queremos emplear fracciones, tienen que estar en su mínima expresión. Por ejemplo, si hablamos de una mitad, se puede escribir:
Como una fracción
½ (se lee: un medio)
Como decimal
0,5 (se lee: cero coma cinco o cinco décimos)
Como porcentaje
50 % (se lee: cincuenta por ciento)
Ejemplo 1
En el país existe el impuesto general a las ventas (IGV), que se aplica en las operaciones de venta e importación de bienes, así como en la prestación de distintos servicios comerciales, en los contratos de construcción o en la primera venta de inmuebles. El IGV es del 18 % del valor base o importe neto. El precio de un electrodoméstico es S/.98,00 incluyendo el IGV. Calcular el valor de este sin IGV. Desarrollo: Hallar el valor base (B), en nuevos soles. 98 = valor base + 18 % del valor base 98 = B + 18 % B 98 = 118 % x B 98 = 118/100 x B B = 98 x 100/118 B = 9800/118 B = 83,05 Luego, el valor del electrodoméstico sin IGV es de S/.83,05.
Ideas para desarrollar porcentajes con los estudiantes: Cálculo del IGV. Cálculo del 30 % de renta de una empresa, luego de la utilidad (ingresos menos egresos). Cálculo del impuesto selectivo al consumo.
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3. Interés simple y compuesto INTERÉS SIMPLE Es el interés calculado únicamente sobre el capital. Usualmente, es un porcentaje del capital. A este porcentaje se le conoce como tasa de interés. Si depositamos un capital C en un banco durante un año, a una tasa de interés simple de r % anual, el interés pagado por el banco se obtiene calculando el r % de C. Si depositamos el capital durante t años, el interés se calculará con la siguiente expresión matemática (modelo matemático nanciero):
I=
(C × r × t) 100
Ejemplo 2
Calcular el interés que produce un capital de S/.15 000,00 durante cuatro años, colocado a un interés simple del 3,25 % anual. Capital (C) = S/.15 000,00 Tasa de interés (r) = 3,25 % anual Tiempo (t) = 4 años Interés (I)= valor a hallar
I=
(15 000 × 3,25 × 4) 100
I = 1950 nuevos soles Entonces, S/.15 000,00 colocados a un interés simple del 3,25 % anual ganan S/.1950,00 en cuatro años.
INTERÉS COMPUESTO En el interés compuesto, cada cierto tiempo, llamado periodo de capitalización, los intereses generados por el capital inicial se añaden al capital y generan más intereses. Si depositamos un capital inicial (Ci) en un banco durante t años, a una tasa de interés compuesto de r % anual, el capital nal (Cf) al término de los t años se calculará con la siguiente expresión matemática (modelo matemático nanciero):
C f = CI 1+
3
r 100
t
Ejemplo 3
Se deposita un capital de S/.16 000,00 a un interés compuesto del 3,25 % anual durante cuatro años. Calcular el capital final si el periodo de capitalización es anual. Capital (C i ) = S/.16 000,00 Tasa de interés (r) = 3,25 % anual Tiempo (t) = 4 años
C f = CI 1+ C f = 16000
t
r 100 1+
3,25
4
100
Cf = 18 183,61 nuevos soles Entonces, S/.16 000,00 colocados a un interés compuesto del 3,25 % anual, capitalizados anualmente, generan un capital final de S/.18 183,61 en cuatro años. Esto es, ganan S/.2183,61 en dicho periodo.
Ideas para desarrollar interés simple y compuesto con los estudiantes Comparación entre distintas tasas simples y compuestas. Comparación entre intereses mensuales y anuales. ¿Es lo mismo 12 % anual que 1 % mensual? ¿Cuándo una tasa se interpreta como simple y cuándo como compuesta? Comparar casos de ahorros y de préstamos, ¿los intereses se calculan de la misma manera?
COMPARACIÓN ENTRE INTERÉS SIMPLE E INTERÉS COMPUESTO Juan decide ahorrar en el banco S/.1000,00 por cinco años. Le ofrecen 15 % en interés simple y el mismo porcentaje en interés compuesto. ¿Cuál le conviene? Año
Capital inicial
Interés SIMPLE
Capital final INT. SIMPLE
Interés COMPUESTO
Capital final INT. COMPUESTO
1 2 3 4 5
S/.1000,00 S/.1000,00 S/.1000,00 S/.1000,00 S/.1000,00
S/.150,00 S/.150,00 S/.150,00 S/.150,00 S/.150,00
S/.1150,00 S/.1300,00 S/.1450,00 S/.1600,00 S/.1750,00
S/.1000,00 × 15 %= S/.150,00 S/.1150,00 × 15 % = S/.172,50 S/.1322,50 × 15 % = S/.198,38 S/.1520,88 × 15 % = S/.228,13 S/.1749,01 × 15 % = S/.262,35
S/.1150,00 S/.1322,50 S/.1520,88 S/.1749,01 S/.2011,36
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En el caso del interés simple, al nal de los cinco años, Juan recibiría en total S/.1500,00 incluido su capital. En el caso del interés compuesto, después de cinco años, Juan podría recoger del banco S/.1610,51. En conclusión, dada la misma tasa de interés, el interés compuesto resulta mayor.
4. Uso de gráficos El uso de grácos resulta una herramienta valiosa para establecer la comparación entre las ganancias obtenidas o los intereses cobrados.
Ejemplo 4
En el caso del ahorro de Juan, esta tabla corresponde al interés simple:
Ejemplo 5
En el ejemplo del ahorro de Juan, este gráfico corresponde al interés compuesto:
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En las gráficas propuestas, el uso del color permite que el estudiante distinga el capital. En el caso del cálculo con interés simple, el capital (en amarillo) es fijo; mientras que en el interés compuesto, se observa que el capital (blanco) va siendo mayor cada año.
Ideas para desarrollar gráfcos en matemática fnanciera con los estudiantes: Debido a la naturaleza del contenido, un problema exige la comparación entre diversas propuestas; por ello, el uso de grácos resulta muy esclarecedor. Se recomienda realizar grácos donde los estudiantes puedan comparar los capitales o las ganancias en casos de interés simple y compuesto. Se pueden realizar grácos con líneas o curvas que señalen el crecimiento constante y permitan hallar las diversas pendientes de cada situación. Se puede gracar la inación en el Perú en la década de 1980 y en la década actual.
5. Comisiones y tasas Adicionalmente a los tipos de interés, existen comisiones bancarias, como las de mantenimiento, de administración, por retiro de efectivo en ocina distinta del lugar donde está domiciliada la cuenta, por cancelación anticipada del depósito a plazo, por gastos de correo, etc. En nuestro país, la tasa de costo efectiva anual (TCEA), denida como la tasa que te cuesta, te permite calcular el costo de los créditos (préstamos o tarjetas de crédito) e incluye los intereses y todos los costos regulares. Esta tasa se aplica a los créditos de consumo, créditos personales, créditos hipotecarios, entre otros productos crediticios. La TCEA, al igual que la Tasa de Rendimiento Efectiva Anual (TREA), está normada por Resolución SBS N.° 8181-2012. Por otro lado, se usa la tasa de rendimiento efectivo anual (TREA), denida como la tasa que te rinde. Esta permite calcular cuánto se ganará por el dinero depositado, ya que incluye los intereses que se recibirán y todos los costos regulares de la cuenta. Se aplica a cuentas de ahorro, depósitos a plazo, depósitos CTS, cuentas corrientes, cuentas sueldo y, en general, los productos de ahorro.
Es importante que los estudiantes aprendan a buscar elementos útiles de comparación, como, por ejemplo, aprender a buscar la TCEA, en lugar de comparar únicamente las TEA (tasas efectivas anuales).
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6. Inflación y deflación La inación es el aumento sostenido y generalizado del nivel de precios de bienes y servicios, medido frente a un poder adquisitivo estable. Se dene también como la caída en el valor de mercado o del poder adquisitivo de una moneda en una economía en particular. Es un desequilibrio económico caracterizado por la subida general de los precios y provocado por la excesiva emisión de billetes de banco, por un décit presupuestario o por falta de adecuación entre la oferta y la demanda. El fenómeno inverso a la inflación es la deflación, que sucede cuando los precios de los bienes, servicios y factores productivos decrecen de forma continua y generalizada. En este caso, la falta de demanda (que puede ser causada por un exceso de oferta) hace que los comerciantes deban reducir sus precios, para poder poder cubrir así sus costos jos.
Los problemas con inflación también se resuelven usando porcentajes.
Ejemplo 6
En el año 2013, Max ganaba S/.1200,00 al mes. La inflación durante julio de 2013 a julio de 2014 fue de 3,33 %. a. ¿En cuánto se devaluó su poder adquisitivo? b. Para tener el mismo poder adquisitivo, ¿cuál debe ser su sueldo en julio de 2014? Datos: Sueldo en 2013 = S/.1200,00 Sueldo en 2014 = S/. ¿? Inflación = 3,33 % a. Hallamos el valor en que se redujo el poder adquisitivo del sueldo de Max: S/. 1200 x 3,33 % = S/.39,96 b. El sueldo de Max, para tener el mismo valor adquisitivo que en el 2013, debe aumentarse: S/.1200 + S/. 39,96 = S/.1239,96 Respuesta: Su sueldo en julio de 2014 debe ser S/.1239,96.
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Ideas para desarrollar inación y deación con los estudiantes: Realizar el cálculo de la inación de los bienes o servicios que los estudiantes consumen. ¿El dinero que recibo de mis padres o que gano semanalmente me sigue alcanzando para lo mismo? ¿Cuánto más necesito recibir hoy para seguir comprando lo mismo que compraba hace un año? ¿Siempre hay inación? ¿Todos los precios van subiendo a lo largo del tiempo? ¿Hay deación en ciertos productos? ¿Qué ha sucedido en los últimos años con el precio de ciertos aparatos tecnológicos: teléfonos celulares, computadoras, tablets?
I m p o rt a n te
Q ue l os d o ce n t es p ro p on g an s ec u u na e n c ia d id á c t i c a q ue p er m a l os e st u i ta d i a n t es ma te r e p re s e n m a t t ar , c om i z ar , u ni ca r , u sa r d iv e r s i d d e e st r a t e g a d ia s y r a z o n a r a r g , a sí c om um e nt ar s o o br e l os p ro c e s o c on c lu s i o n e s a l as q s y l as u e ha n l le g ad o .
RECURSOS EN LÍNEA
Interés simple y compuesto http://brd.unid.edu.mx/recursos/%C3%81lgebra/Bloque%206/lecturas%20PDF/2.%20Inter%C3%A9s%20simple%20y%20com puesto.pdf
Interés compuesto en Excel http://www.youtube.com/watch?v=Qt8LqLNJ1M4 http://www.youtube.com/watch?v=h6vkqE_0ex0 de Universidad Peruana de los Andes
Tutorial de cómo calcular el interés simple y compuesto en Excel http://exceltotal.com/como-calcular-el-interes-compuesto-en-excel/
http://www.youtube.com/watch?v=th6ygHCVAGQ
Videos de interés simple e interés compuesto http://www.youtube.com/watch?v=0gy4RJhDZl0
http://www.youtube.com/watch?v=u5p8r4g7J8g
http://www.youtube.com/watch?v=jvR8DhKw8FE
Calculadoras de interés simple e interés compuesto en línea http://www.pine-grove.com/es/calculadoras-en-linea/interes-calculadora.htm
http://www.disfrutalasmatematicas.com/dinero/interes-compuesto-calculadora.html http://www.economia.com.mx/calculadora_de_interes_compuesto.htm
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