MATEMATICA III
CeGo-nLINE
EXAMEN FINAL 2010-I 1-Sea R una bola homogénea de masa M y radio R. Sea Aun punto a una una distancia H del centro de la bola, H>R. Calcule
¨ H ¸ ´´´ ´´ R´ ©ª q ¹º , donde es la densidad y
q es la distancia desde el punto P en R hasta A. Solución: Para
un diferencial de volumen: 2
d v ! V sen( N) d ( V ) d ( N) d ( U )
H
Por teorema de 2
2
cosenos:
2
q ! H V 2 H Vcos( N) R
¨H ¸ H V2 sen( N) d( V ) d( N) d(U ) ´ R´´ ©ª q ¹º ! ´R´´ H 2 V2 2 H Vcos( N)
´´
2H V2 d ( V)d ( U) H
V ,U
!
3 4 TH R
3H
¨ H ¸ 4TH R3 ´´´ ´´ R´ ©ª q ¹º ! 3
2-Un campo eléctrico irradia potencia a razón de
k (sin sin 2 ( N )) V
2
unidades por metro
cuadrado en el punto p ! ( V , U , N ) .Halle la potencia total que irradia a la superficie esférica
V !
a.
Solución: Sea:
r ! ( V cos U senN, VsenU sen N, V cos N )
Del dato: P !
dU dA
a
dA !
Si : V ! a
dA
! a 2 senN d U d N
r d r dU
v
r d r d N
dU d N
entonces
U !
´ s
k (sin (sin 2 (N )) V
2
dA
1
MATEMATICA III C Go-nL N
!´
U
sin k (sin
a
s
U
2
(N ))
a s enN dU dN
2
2
8T k !
3
3-L s á ul
sd l sp o sob
ion s d un p qu ñ
d uno d los t
¿Est info
ión d l
d d sup
fi i
s pl nos oo d n dos son 0 01 0 02 0 03
ión es sufi iente p
h ll
el á ea de la región? i es así
determine el área; si no explique ¿por qu ? S
c
S se trata de de una peq pequ ueña eña reg reg n entonces, ntonces, la
proyecc proyecc ones ones en los los planos planos coorde oordenados nados son S1 ! dA cos U
S 1 , S 2 , S 3
, S 2 ! dA cos F , S ! dA c E 3
Por propie propiedad de de áng ángulo die diedro se tie tiene que co s
2
U c o s F co s 2
Entonces Entonces 2
S1
2
!1
( d A cos U ) 2 ( d A cos F ) 2 ( d A cos E) 2 ! ( d A) 2
S 22 S32 ! dA
0.012 0.02 2 0.03 2 ! 0.0374 0.0 74 dA ! 0.0 4-Cal
ule el área de una zona esf ri a de altura cu a longitud es H , en una
superficie esf rica de radio R. Soluc olución:
(cos U senJ , sen U sen J , cosJ ) Parame Parametrizando : rU ,J =R (c El áre área es H
(A s )
! ´´ s
R
dr
U
d
v
dr
N
d
d Ud N
2
MATEMATICA III CeGo-nL NE
A( s )
! ´´
2
R senN dU dN
s
N 2
A ( s )
! 2T
2
R
´
N dN se s en
N 1
Observando : El áre área
( sA )
H
! R cos N1 cos N )
! 2T
RH
v 3 3 3 ! ( x , y , z ) , a través de la sup erfic ie
5-Calcule
el flujo del campo vectorial F x
lateral del cono circular recto de altura H y radio de la base R. Soluc olución: 2
Sea Sea un cono orie orientado como la fig figura :
Parame Parametrizando:
F!
U , V dr dU
´ s
*!
d V
(( V cos U ) 3 , ( V
2T
H R
entonces ntonces::
´´( 0 0
3
4
4
R
* ! T HR3 (
R
5
2
sen2U
(1
H
10
2 )
H
( V
3 R ) (
R 3
)
dS !
H
4
(cos U sen U )
H
Us)e3n, (
u r
d U dN
4
*! ( R
dr
v
H R
2
( R V))
. d S ! * x
v
u r
Vsen U,
R
2
y
F
s
dS !
( Vcos U,
u r
v
´
r!
x
2
( R )3 R
2
H R
H R
(
cos U , V
)dU d
)dU d
VR)) 3) H R
senU , V ) dU d V
( H z) 2 2
H
3
MATEMATICA III CeGo-nL NE
6-Consid ere
un sist ema de coordenadas esf ér éricas ( V, U ,N ) .En determinado
punto, sean eÖ V, eÖ U, eÖ N vectores unitar ios que apunt an en la dirección del
crecimiento de ( V, U, N ) respectivamente. Sea la función definida en el espac io. Calcule f . dr
los vector ec tores es son: Ö r ! ( V cos U senN, V senU senN, V cos N) los
d V
!
V
,Ö
dr
d U , Ö dr
!
U
d U
d V dr
dr ! h !V 1, ! h !U d U V
d
s en N V ,
dr d
!h ! V N N
dr
dr !
N
d N
dr d N
Si la gradiente de una funci ón es
En coorde oordenadas nadas esféri esfériccas:
f !
x f xV
eÖ
V
x f
1
V se N x U
eÖ
U
x f
1
eÖ
V xN
N
7-Sea
R una bola de radio a removida por una barra cilíndrica de diámet ro a cuyo lado pasa po r el centro de la esf era era a) Bosque je R b ) Observe que R consta de 4 pedazos congruentes. Halle el volumen de uno de estos pedaz os usando coordenadas cilíndricas . c) El siguiente c álculo produce un valor para el volumen de R Soluc olución: Las Las ecua ec uacciones iones son:
T
« ! ´¬ ¬ 2
V
0
U
a c os
´ 0
¨ © © ª
a
2
V 2
´ 0
T
¸ » « Vdz ¹ d V¼d U ! ´ ¬ ¹ ¼ º ½ 2
0
2
V z
2
!a
2
, a cos U !
a cos
T U
a c os
´ V 0
a
2
» 1 V d V¼d U ! ´ a V 3 ½
V !
2
a
La parte parte ©:
2
2
0
T 4a 3
3
6
9
U
3
2
2
d 0
U
4
MATEMATICA III CeGo-nL NE
T
« ! ´¬ T ¬ 2
V
a co sU
´ 0
2
¨ © © ª
a
2
V 2
´ a
2
V
2
T
¸ » « Vdz ¹ d V¼d U ! ´ ¬ ¹ ¼ T º ½ 2
T
eU e 0
» 2 V d V¼d U ! ´ a V T 3 ½ 2
´ V
a
2
0
2
El error : si
a cosU
T a co sU
2
2
2
3
2
2
2
U e0
,
2a 3T
16a 3
3
9
sen
0
eU e
T 2
d
Este bloq bloq ue E sta bie bi en ope operado
U
0
, senU u 0 lo correc orrecto to es
T 2
´
T
2a 3
3
1 sen3U
3
2
d U
= V !
2
8-Bosque je
v
una muest ra de vecto res para el campo vectorial dado F ! ( x, 2 y) . y
x
9-Si G ! 10 e
2 z
( V eÖ V eÖ z ) , determine el flujo de
G
hacia afuera de la superficie
entera del cilindro V ! 1, e z e1 .Compruebe el resulta do c on el t eorema de la divergencia. Soluc olución: pas pasando :
G ! (10e u r
Flujo late lateral:
dS !
2
z
Vco U,10e
dr dU
v
2
dr dU d ! d
z
Vsen U,10e
2
)z
(cos U , senU , 0)d U d
5
MATEMATICA III CeGo-nL NE
*1 !
2T 1
u r
´ G.
S
!
´ ´ 10 e
2 z
2
2
(cos U se U
U
z
= 2T (5 5e 2 )
0 0
s
v
Flujo cara abajo: * 2! ´ G.
v
dA2
z
! 0, n ! (0, 0, 1),
! (10 V cosU ,1 0V senU ,1 0)
! 10 A2 ! 10T
s
v 2 z! 1, n! (0,0,1), G! (10 e Vco
Flujo cara arriba: v
* ! ´ G.nd A ! 10e
2
A
U,10 e
2
Vsen U,10 e
)
2
! 10e T 2
s
El flujo total: * * * 3 ! Teore orema de de la divergen gencia: *
neto
!
ur .d S !
´´ Ò s
´´´ div(
) d v
v
en cilíndric ilíndricas eÖ V ! (cosU , senU , ) , Ö z e
! (0, 0,1)
´´´ (2
e
2 z
V
2
e
2 z
V)
v
!0
v
10-¿Cuál es la integral de la función
x
2
tomada sobre toda la sup erficie del
cilindro circular recto de altura H y base
2
2
2
x y ! a
?¿cual es la integral de la
func ión dada tomada sob re todo el volumen del c ilindro? Nos pide piden:
V
! ´´´ ´´´ x2 z d dv v
En cilíndric ilíndricas V !
´´´ ´´´ V
3
co
v
4
a
V 4
0
2
z
2
h 2T
´
0
0
cos
2
U d U =
T a
4
H
8
2
dv
!
Vd Vd Ud z , x
U zd Vd Udz
! V cosU , y ! V senU
6
