PROBLEMAS MATEMÁTICOS APLICADOS A LA INGENIERÍA DE ALIMENTOS
VANESSA DELGADO NÚÑEZ
CÁLCULO INTEGRAL JORGE HERNÁN ARISTIZABAL ARISTIZABAL DOCENTE
FACULT ACULTAD DE CIENCIAS C IENCIAS AGROINDUSTRIALES PROGRAMA DE INGENIERÍA DE ALIMENTOS UNIVERSIDAD DEL QUINDIO ARMENIA 2015
La física, la química y las matemáticas son materias fundamentales necesarias para comprender los principios que gobiernan la mayoría de las operaciones habituales en la industria alimentaria, por ejemplo, si se solicita a un tecnólogo de los alimentos que diseñe un proceso para calentar o enfriar un alimento, éste necesita conocer los principios físicos que gobiernan la transferencia de calor. El trabajo de ingeniero es a menudo de carácter cuantitatio, por lo que los conocimientos de matemáticas son fundamentales !"ingh y #eldman, $%%&'. ( partir de esta concepción, un ingeniero deberá tener aptitudes que le permitan desenolerse e)itosamente en la industria, y esto se logra adquiriendo suficientes fundamentos matemático. *La industria alimentaria empie+a en el momento en que se inenta la primera herramienta, y de eso hace ya mucho tiempo. (yer, como hoy, el objetio fundamental continuo siendo preparar, preserar, acondicionar y transformar en alimentos las materias primas que nos ofrecen el mar y la tierra. Los profesionales de las industrias alimentarias son quienes contribuyen a que los alimentos sean, al mismo tiempo, producidos en cantidad suficiente para abastecer a una población creciente de mas de %%% millones de personas- seguros, para garanti+ar una calidad y restituir así la confian+a de los consumidores hacia los productos alimentarios Económicos, o al coste mínimo, para que sean asequibles a la mayoría de la población , sanos y adecuados al má)imo/0, a grandes rasgos, esta es una clara generali+ación de la importante labor de un ingeniero de alimentos, del autor del libro , 1ndustria (limentaria. 2ecnologías Emergentes, 3ercé "antamaría, de acuerdo a este conte)to se e)pondrán a continuación algunas situaciones comunes en el campo de la ingeniería de alimentos, enfati+adas al área de producción, donde se abordarán dichas situaciones con planteamientos matemáticos.
"i bien, 3uchas ingenierías tienen en com4n diferentes ramas de las matemáticas, en la que se aborda, por ejemplo, el estudio del cálculo diferencial, integral, ecuaciones diferenciales y cálculo ectorial, el enfoque de estas materias, desde un aspecto práctico es distinto en cada una de las ingenierías, puesto que depende de la especialidad. En el caso de la ingeniería de alimentos, si se enfati+a en uno de los objetios de la misma, como lo es la transformación de materias primas en alimentos, buscando reducir el impacto al medio ambiente y los costos de producción, este 4ltimo aspecto referente a la producción, puede relacionarse con la optimi+ación ! 3á)imos y mínimos', uno de los conceptos bases del cálculo diferencial, en donde se emplea el criterio de la primera deriada para obtener los alores má)imos y mínimos que requiere alg4n problema. ( continuación se presenta un ejemplo práctico donde se requiere el concepto de optimi+ación. 5n ingeniero de alimentos quiere que le fabriquen latas de forma cilíndrica para almacenar mermelada, con una capacidad de 6%%% cm7. 8esea encontrar las dimensiones que minimicen el costo del metal requerido para hacer el enase, si el costo de las bases es 96: cm7 y el costo de la pared lateral es 9 6% cm 7 2
A! "#
El problema nos plantea hallar el costo mínimo total de la lata, que se traduce en la H siguiente ecuación A! "#2
A$! 2%RH
;osto 2otal < ;osto lateral = costo de las bases ?esoliendo la Ecuación se tiene que
;t< ;l =;b< (l> ;l = (b>;b.
2%R
C&! '2%R() *+2 , -10.*+2/2' '1)
#2) *+2 , -1.*+ 2! -20 %R( / -
π
π
#2
Este costo total está en términos de dos ariables, ? y #, y sólo debe estar en función de una, para poder deriarla e igualarla a %, de este modo obtener los alores má)imos o mínimos. @or lo tanto se debe hallar una ecuación que relación a las ariables mencionadas y así despejar una función y reempla+arla en el costo total.
'2) 34 '1) C&! 20 %R , 1000.
C&! 20000 R61 /
1000
(!
V! 1000 *+! %R2 (
π
#2 /
π
'2)
π R 2h
π
#2
#2
;omo procedimiento siguiente, se deria la función
C&7 'R) ! 620000 R 61 /82 82
π
# !0
π
#! 20000.82
# ! 20000. # 2
π
@or lo tanto # ! 4.46 cm @ara saber si este alor es un minimo o un má)imo, se aplica segunda deriada
C&77 '# ) ! 90000 # 6 / 82 C&77 '#) ! 90000. # / 82 π
π
C&77 '9:9)! 90000.'9:9) /82 R ! 9:9 3< =4 +>4?+@:
π
;0
@ara hallar la altura, se reempla+a el alor de r en !$'
H! 1000. %: '9:9) 2 ! 1:09 *+: @ara calcular el costo total mínimo, se reempla+a C& '9:9) ! 20000.9:9 / % '9:9) 2 ! $6733.
98 8e esta forma se ha obtenido
el costo total mínimo que requiere el ingeniero para elaborar la lata
;ontinuando por la línea de la producción de alimentos, concretamente el desarrollo de nueos productos, lo cual es el reto al que se enfrentan los ingenieros, teniendo en cuenta que la demanda por alimentos sanos y de e)celente calidad a en aumento, así mismo las operaciones o procedimientos que introducen nueos métodos para la elaboración de los mismos. 2odo esto se encuentra enmarcado dentro de lo que se conoce como operaciones unitarias, las cuales son fundamentales , ya que comprenden las etapas de transformación de una materia prima en un alimento, englobando principios que son soportados matemáticamente en los que se emplea la ley de la conseración de la masa y la energía, en otras palabras, para conte)tuali+arlo con un ejemplo, se toma el caso de la
elaboración de un +umo concentrado de fruta, en el que interienen etapa como la concentración de grados Ari), clarificación y eaporación , en las que se ?eali+an planteamientos matemáticos, como indica ibar+. *los problemas que se plantean en el estudio de las operaciones unitarias son muy diersos, aunque en todas ellas se cumplen las leyes de conseración en las reacciones químicas. El aplicar las leyes de conseración a un problema determinado es efectuar un balance de la propiedad a estudiar en dicho problema. La e)presión de los balances de materia energía y cantidad de moimiento, se e)presan como !@ropiedad que entra al sistema' < !propiedad que sale del sistema' = !propiedad que se acumula' E=B< "=( (l resoler un problema dado se presentan cierto n4mero de incógnitas o ariables !s', y de los balances se obtienen un conjunto de relaciones o ecuaciones !?'. "eg4n sea el alor de " y ? se pueden presentar los siguientes casos "i "C? el problema está mal planteado o se repite alguna ecuación. "i "< ? El problema presenta una solución. "i "D? "e pueden dar arias soluciones, encontrándose la mejor solución que optimice el proceso.0 En los balances de materia se presentan problemas específicos, que requieren del empleo de ecuaciones, por ejemplo, se puede aplicar ecuación de fácil solución matemática, como lo son las ecuaciones algebraicas o mas complejas, en el caso de las ecuaciones diferenciales ya relacionadas a modelos matemáticos. La Ecuación de un balance de materia sire para calcular uno de los términos en función de los demás que serán los datos conocidos. 5n problema sencillo para ilustrar este concepto es el siguiente 5n néctar de mango debe contener 6%% g de puré de mango, 7% g de a+4car, 6F% g de agua y 6% g de ácido cítrico. GHué cantidad de materias primas se deben empelar para producir I7%% gJh de néctar mango.
E<=3+ 3$ #@*3<@: P=# 3 +4@ ! 100
A*# ! 0 A=! 180 A*: C>?*@! 10 M4@ 100 A=*# 0 A= 180 A* C>?*@ 10
N*&# 3 +4@ 10 10 5000 10 500 10 500 10 500
100 , 500! 180K:9 : D3 =# 3 +4@: 10 0 , 500! 512K0 3 *# 10 180 , 500 ! 2K0:5 3 = 10 10 , 500 ! 18K:K 10
;on este ejemplo se eidencia que el procedimiento para abordar un problema concreto de balance de materia, como el de obtener un néctar de mango bajo condiciones especificas , requiere algunas eces el empleo de planteamiento matemáticos sencillos, en este caso de reglas de tres simples, para su solución: ;onsiderando lo anterior, con respecto a algunos principios básicos manejados en la ingeniería de alimentos y los fundamentos matemáticos que los sustentan, cabe destacar ahora, la releancia del desarrollo de modelos matemáticos para la industria alimentaria, esta e+ a niel de conseración de los alimentos, debido a una de las cuestiones que surgen en cuanto a seguridad alimentaria se refiere, y es el hecho de hallar nueos métodos o tecnologías que permitan someter a los alimentos a tratamientos que faore+can a su conseración y por ende e)pandir su ida 4til , sin que se alteren sus propiedades tanto físicas como organolépticas. Kisto desde una perspectia general, la modelación matemática es inherente a la labor del ingeniero, puesto que le permite confrontar situaciones del mundo real, lleándolas al mundo de las matemáticas. ?etomando el empleo de la modelación en alimentos, podría considerarse el siguiente ejemplo, en el que se pretende obtener un modelo matemático para la inactiación en+imática, en otras palabras, se busca lograr reducir la actiidad en+imática de los microorganismos que hacen que los alimentos se degraden. Este modelo se basa principalmente en modelos cinéticos, ecuaciones de transferencia de calor y masa. "e parte de un modelo cinético que pretende predecir que impacto tiene el tratamiento, sobre la actiidad de algunas en+imas, en diferentes tipos de comida. La eolución de la actiidad ( de una en+ima se describe, a menudo, mediante la siguiente ecuación cinética
A '&) ! 'P'&)T'&)) A'&): 8onde t representa el tiempo !min', @ !t' la presión !3@a' en el instante t y 2!t' la temperatura !' en el tiempo t- M!@,2' es el factor de inactiación !minN6 ' correspondiente a las condiciones de presión y temperatura dadas por el par !@,2' y (!t' es la actiidad en el instante t de la en+ima que se esté modeli+ando. "olución
Estos modelos de eolución de la actiidad en+imática han proporcionado resultados e)itosos en el estudio de arias en+imas bajo diferentes condiciones de presión y temperatura. "in embargo, sólo pueden usarse cuando se conoce la eolución temporal de la temperatura y la presión !lo que se consigue, típicamente, a traés de mediciones e)perimentales'. !1nfante del rio, $%%&'. Este ejemplo nos suministra una idea del desarrollo de la modelación en el campo del los alimentos, y a su e+ la trascendencia que representa en la b4squeda de soluciones a la industria. @ara concluir, es preciso destacar el lugar tan importante que ocupan las matemáticas a niel de ingeniería en si, comprendiendo de acuerdo a lo mencionado en párrafos anteriores , como ramas especificas de la misma, son utili+adas por ingenieros de alimentos para su aplicación en la industria, que dependiendo del área donde se desempeñe, se erá enfrentado a problemas o situaciones que requieren soluciones matemáticas, en su mayoría buscando crear nueas formas de producción, optimi+ando recursos, que en definitia , es lo que caracteri+a la labor de un ingeniero.
Bibliografía •
•
•
•
"ingh @aul, #eldman 8ennis. 1ntroducción a la ingeniería de (limentos. $%%&. "egunda edición. Editorial (cribia. "antamaría ?aentós, 3ercé. 1ndustria (limentaria. 2ecnologías Emergentes. $%%I. Ediciones upc. 1bar+, (lberto. Operaciones 5nitarias en la ingeniería de (limentos. $%%I. Ediciones 3undiPprensa, 3é)ico. 1nfante del ?io, Quan (ntonio. (nalisis numérico de modelos matemáticos y problemas inersos en tecnología de alimentos. $%%&. 2esis 8octoral. 5niersidad complutense de 3adrid, España.