Matemáticas Básicas Para Economistas. Cálculo - Sergio Monsalve

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MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA ECONOMISTAS VOLUMEN 2

CÁLCULO www.fullengineeringbook.net


MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA ECONOMISTAS 2

CÁLCULO

Con notas históri as y ontextos e onómi os

www.fullengineeringbook.net SERGIO MONSALVE EDITOR

FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA

Cataloga ión en la publi a ión Universidad Na ional de Colombia Matemáti as bási as para e onomistas: on notas históri as y ontextos e onómi os / ed. Sergio Monsalve. - Bogotá : Universidad Na ional de Colombia. Fa ultad de Cien ias E onómi as, 2009 4 v. In luye referen ias bibliográ as Contenido : v. 0. Fundamentos. v. 1. Algebra lineal. v. 2. Cál ulo. v. 3. Optimiza ión y dinámi a ISBN 978-958-719-304-6 (v. 0). - ISBN 978-958-719-305-3 (v. 1). ISBN 978-958-719-306-0 (v. 2). - ISBN 978-958-719-307-7 (v. 3) 1. Matemáti as 2. Modelos e onómi os 3. Matemáti as para e onomistas 4. Álgebra lineal 5. Cál ulo 6. Optimiza ión matemáti a 7. Programa ión dinámi a I. Monsalve Gómez, Sergio, 1962-, ed. CDD-21 510.2433 / 2009


Matemáti as Bási as para E onomistas 2: Cál ulo

Sergio Monsalve Gómez

Fernando Puerta

Universidad Na ional de Colombia

Fa ultad de Cien ias E onómi as

Primera Edi ión, 2009 ISBN: 978-958-719-306-0

Diseño de arátula Ángela Pilone Herrera Corre

ión de estilo Humberto Beltrán Diseño de páginas interiores y armada ele tróni a Nathalie Jiménez Millán Impresión: Editorial Universidad Na ional de Colombia

Colaboradores del autor: Fran is o Lozano

Es uela de E onomía Universidad Na ional de Colombia, Bogotá Fernando Puerta Es uela de Matemáti as Universidad Na ional de Colombia, Medellín

Índi e general 1.

Le

ión 1 El método de límites

1

1. 2. 3. 4.

Su esiones y el on epto de límite . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Propiedades de las su esiones onvergentes . . . . . . . . . . . . 15 Límite de una fun ión de una sola variable . . . . . . . . . . . . 28 Tres lases espe iales de límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 a. Límites unilaterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 b. Límites al innito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

. Límites innitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5. Continuidad de una fun ión de una sola variable . . . . . . . . 53 6. Fun ión ontinua en un onjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 7. Continuidad de las fun iones trigonométri as . . . . . . . . . . 67 8. Teoremas importantes para fun iones ontinuas . . . . . . . . . 72 9. Límite y ontinuidad de una fun ión de dos variables . . . . . . 80 10. Elementos bási os de topología en R2 . . . . . . . . . . . . . . . 88 11. Contexto e onómi o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 a. Una nota sobre los on eptos de fun ión y fun ión ontinua en el análisis e onómi o . . . . . . . . . . . . . . . 101 b. Algunas fun iones dis ontinuas en el análisis e onómi o 103


2.

Le

ión 2 La derivada

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Deni ión de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Reglas de deriva ión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . El teorema de la fun ión inversa . . . . . . . . . . . . . . . a. Fun iones trigonométri as inversas . . . . . . . . . b. Derivadas de las fun iones trigonométri as inversas El teorema de la fun ión implí ita . . . . . . . . . . . . . . Fun iones exponen iales y logarítmi as, y sus derivadas . . La diferen ial (innitesimales) . . . . . . . . . . . . . . . . Derivadas de orden superior y polinomios de Taylor . . . . vii

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

117 118 134 146 150 152 154 161 176 180


viii

8.

La no ión de derivada en fun iones de dos variables . . . . . . . a.

par iales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. 9.

El diferen ial total

188

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

192

El ve tor gradiente y la derivada dire

ional . . . . . . . . . . .

197

10.

Regla de la adena para fun iones de dos variables

11.

Fun iones implí itas para fun iones de dos variables

. . . . . . .

203

. . . . . .

206

12.

Derivadas par iales de orden superior . . . . . . . . . . . . . . .

208

13.

Contexto e onómi o

215

a. b.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Deni ión de marginalidad en e onomía

. . . . . . . . .

.

216

Cara terísti as marginales de algunas fun iones del análisis e onómi o

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Le

ión 3 Elementos bási os de la teoría de la optimiza ión 1.

215

Una apli a ión de la no ión de marginalidad en e onomía: La do trina del osto de oportunidad . . . . . . . .

3.

187

Las derivadas para fun iones de dos variables: derivadas

219

243

Valores extremos de una fun ión de una sola variable . . . . . .

244

2.

El teorema del valor medio

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

249

3.

Apli a iones del teorema del valor medio . . . . . . . . . . . . .

256

www.fullengineeringbook.net 4.

Grá a de una fun ión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.

Valores extremos de una fun ión de dos variables

6.

Contexto e onómi o

. . . . . . . .

289

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

303

a.

Una nota sobre el individualismo metodológi o

b.

Una nota sobre la revolu ión marginalista

. . . . .

303

. . . . . . .

304

. . . . . . . .

307

.

Ejemplos de ra ionalidad y marginalismo

d.

Una nota a er a de los debates sobre marginalismo y ra ionalidad en la teoría de la rma

4.

. . . . . . . . . . .

Le

ión 4 La integral 1.

284

325

337

La antiderivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

338 343

2.

La regla de integra ión por partes para antiderivadas . . . . . .

3.

La regla de la adena para antiderivadas: integra ión por susti-

4.

La regla de fra

iones par iales para antiderivadas

tu ión

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

345 350

5.

Antiderivadas de algunas fun iones bási as . . . . . . . . . . . .

352

6.

Antideriva ión y teoría bási a de e ua iones diferen iales . . . .

355

7.

Sumas y series: una primera aproxima ión . . . . . . . . . . . .

364

8.

a.

Sumas nitas

b.

Series

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

365

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

368

La integral denida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

378


9. 10. 11. 12. 13.

Propiedades de la integral denida . . . . . . . . . . . . . . . . El teorema del valor medio para integrales . . . . . . . . . . . . El teorema fundamental del Cál ulo . . . . . . . . . . . . . . . Integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La no ión de integral en fun iones de dos variables: la integral doble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14. Cambio de variables en la integral doble . . . . . . . . . . . . . 15. Contexto e onómi o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Toma de de isiones bajo riesgo: La hipótesis de la utilidad esperada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. Una medida del riesgo y ejemplos de toma de de isiones bajo riesgo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. Toma de de isiones bajo in ertidumbre . . . . . . . . . . d. Algo más sobre la ríti a a la toma de de isiones maximizando la utilidad esperada . . . . . . . . . . . . . . .

ix

388 393 398 407 414 422 427 428 431 439 440

Bibliografía

455

Respuestas

477

Índi e alfabéti o

510


La ien ia se ha onstruido para satisfa er

iertas ne esidades de nuestra mente; ella nos des ribe. Y aunque tiene ierta rela ión on el mundo real, esa rela ión es muy, muy ompleja. Robert J. Aumann (Premio Nobel de E onomía 2005)


Sergio Monsalve le dedi a este esfuerzo a su profesor de matemáti as Jairo Charris

A la memoria de Juan Alonso, Jorge Diego, Nan y y Adriana



Presenta ión general Este libro es el resultado de varios años de trabajo de los autores omo profesores de matemáti as y/o e onomía para las Fa ultades de Cien ias y Cien ias E onómi as de las universidades Na ional (sedes Medellín y Bogotá), Externado de Colombia y Ponti ia Javeriana, y su objetivo entral es exponer algunos de los elementos fundamentales del lenguaje matemáti o que deberían ser omunes a todos los estudiantes de e onomía de nuestras épo as. Pensando en esto, hemos optado por es ribir el texto en uatro volúmenes: en el volumen 0 (Fundamentos) presentamos los requisitos matemáti os que el estudiante debe llenar para a

eder más ómodamente al orpus total; el volumen 1 onsiste en las no iones bási as del álgebra lineal; el volumen 2 en las no iones bási as


del ál ulo diferen ial e integral, y el volumen 3 en las no iones bási as de la

teoría de la optimiza ión y de la dinámi a.

En ada uno de los uatro volúmenes hemos dividido los temas tratados a

le

iones on un tratamiento matemáti o riguroso y sin referen ia a apli a ión e onómi a alguna. Todas estas le

iones presentan, además, notas través de

históri as que esperamos ayuden a trazar el devenir de los on eptos matemáti os que se desarrollan al punto. Por tanto, aquellos que onsideran que un urso de matemáti as bási as para e onomistas debería ser solo eso y no un urso on apli a iones, estarán aquí servidos. Sin embargo, para aquellos

hemos también separado la se

ión nal de asi todas las le

iones para el ontexto e onó-

que dieren de esta postura metodológi a y pedagógi a

mi o. Pero esta no es una se

ión ordinaria de apli a iones a la e onomía: es, por el ontrario, una aproxima ión oherente a problemas entrales en la teoría e onómi a, y una orienta ión para el estudiante atento y dis iplinado. Por ejemplo, en el volumen 1 apare en dis usiones sobre los modelos

walrasiano de Casinsumo-produ to de Leontief, el modelo de equilibrio general de von Neumann, el modelo sraano, la teoría de juegos de von Neumann y Morgenstern, el modelo keynesiano lineal IS-LM, y el análisis de a tividades de Koopmans. En el volumen 2 se en uentran, entre otras dis usio-

lineales fundamentales de la teoría e onómi a: el modelo sel, el modelo

nes, notas históri as y de ontexto del problema de la ra ionalidad, de la re-

xiii

xiv

Matemáti as Bási as para E onomistas II: Cál ulo

volu ión marginalista y de la omunión entre ra ionalidad y marginalismo; en el volumen 3 apare en tres de las visiones modernas más importantes sobre el omportamiento e onómi o: el modelo keynesiano IS-LM no-lineal de Hi ks, el modelo walrasiano de Arrow y Debreu, y los modelos de intera

iones e onómi as y so iales. El objetivo en ada uno de estos análisis es el problema e onómi o por sí mismo y las onse uen ias que el desarrollo lógi o de las hipótesis y las herramientas matemáti as entregan para dis usión tanto a nivel teóri o- on eptual omo de políti a e onómi a. En ningún aso se entra en las herramientas matemáti as que están siendo utilizadas. En denitiva, este trabajo es una invita ión a omenzar a entender el poten ial y, sobre todo, los límites de la herramienta matemáti a

tradi ional en la teotradi ionales

ría e onómi a; es una invita ión a entender que las matemáti as

están mejor diseñadas y adaptadas a las ien ias exa tas omo la físi a, pero quizás no para el estudio de los fenómenos so iales y e onómi os, y esto intentamos resaltarlo en el texto uando presentamos numerosos ejemplos tomados de la físi a, de la quími a, o de la biología. Pero aunque estamos onven idos de que las matemáti as son más laras que ualquier otro lenguaje y de que en numerosas o asiones muestran lo que no podría lograrse por introspe

ión, probablemente el verdadero aporte de ellas a las ien ias so iales y e onómi as úni amente podrá ser evaluado por las genera iones futuras; no antes y, por


supuesto, no ahora. Solo que en ese amino no deberíamos seguir ni la moda

del día, ni la aproba ión o desaproba ión de nuestros olegas. En su lugar, nos

debería preo upar al anzar más y más laras omprensiones de lo que su ede en los fenómenos e onómi os que enfrentamos día a día, y si estas u otras matemáti as son un me anismo apropiado para lograrlo, habríamos avanzado un paso más en este propósito. Una palabra nal. Algunos tienen la reen ia de que no hay manual ni texto, por bueno que sea, que pueda relevarnos de la le tura de los artí ulos originales y de los textos lási os; y que nadie debería permitirse que le uenten lo que di en los es ritos originales. Pero reemos que esta es una opinión, por lo menos, falaz. Claro está que es ideal poder leer los textos originales y los lási os. Sin embargo, el estudiante que apenas se insinúa en ualquier área del ono imiento, requiere de

esquemas

y de

puntos de referen ia

para poder avanzar

on mayor seguridad y onsisten ia; posteriormente, una vez haya adquirido

ierta

madurez

y

entendimiento, es absolutamente ne esario

que re urra, ahora

sí, a los textos lási os y a los originales. Comenzando por esta estrategia, un estudiante que omien e por esta estrategia orrerá, reemos, un menor riesgo de onfundirse o, lo que sería fatal, de extraviarse denitivamente. Por último, ha sido un honor para quien esto es ribe, haber podido realizar en

ompañía de su antiguo profesor de matemáti as de la Universidad Na ional de Colombia, sede Medellín, Fernando Puerta, los volúmenes 0 y 2 de este texto.

Presenta ión general

xv

Agrade emos a las Fa ultades de Cien ias y Cien ias E onómi as de la Universidad Na ional de Colombia, en parti ular a los profesores Carlos Andrés Álvarez (Coordinador de Publi a iones de la Fa ultad de Cien ias E onómi as) y Gustavo Jun a (Dire tor de la maestría en E onomía de la misma Fa ultad). También a la Fa ultad de E onomía de la Universidad Externado de Colombia, y al Departamento de Matemáti as de esta universidad. De igual manera a aquellos de los que re ibimos sugeren ias y omentarios: Diego Arévalo, Julián Arévalo, Os ar Benavides, Catalina Blan o, Lina Cañas, Angéli a Chappe, Lola Coba, Luis Jorge Ferro, Jorge Gallego, Norma Gómez, Carlos Augusto Jiménez, Cres en io Huertas, Norman Maldonado, Juliana Mon ada, Eduardo Mantilla, Ángela Ospina, Diego Pardo, Sergio Parra, Carolina Peláez, Lida Quintero, Aida Sofía Rivera, María Cristina Rodríguez, Diego Rojas, Mar ela Rubio, Renata Sama á, Alejandra Sán hez, Humberto Sarria, Biviana Suárez, Jennifer Taborda, María del Pilar Tejada, Ana Tamayo, Hé tor Use he y Miguel Zárate. Un agrade imiento del editor al Ban o de la Repúbli a por su apoyo en la realiza ión de estudios de e onomía a nivel de do torado (University of Wis onsin-Madison y The Hebrew University of Jerusalem). También a Maribel Romero, Santiago Sierra, Danny Sierra, Dora Millán y Nathalie Jiménez, por su pa iente digita ión de nuestros difí iles manus ritos. Pero, por en ima de todo, a nuestras familias que son el gran aliento y nuestra razón de

www.fullengineeringbook.net ser.

Sergio Monsalve Bogotá D.C., febrero de 2008


Nota del editor para el volumen 2 Este segundo volumen de Matemáti as bási as para e onomistas tiene omo objetivo presentar las ideas entrales del ál ulo (la derivada y la integral) que son tan importantes a todo estudiante serio de e onomía en los tiempos de hoy. De forma similar a los otros volúmenes, hemos querido a ompañar la presenta ión matemáti a formal del Cál ulo on notas históri as, y on los

ontextos e onómi os de ada nal de le

ión. La le

ión 1 (El método de límites) es, abe advertir, la que quizás requerirá más de la apli a ión, dis iplina y on entra ión del estudiante, puesto que allí hemos dispuesto las no iones primarias del ál ulo que, on seguridad, son las más difí iles para un estudiante no enseñado a pensar formalmente. De nuevo, omo lo dijimos en la Nota de Editor del Volumen 1, sugerimos


respetuosamente al profesor o instru tor del urso de pregrado de Cál ulo, no presentar todas las demostra iones de los teoremas, sino sólo unas po as, aunque sí ha er énfasis en su omprensión y en la orre ta apli a ión de ellos a través de ejemplos y ejer i ios. Y esto, por supuesto, es apli able para las otras tres le

iones del texto. Una de las ara terísti as prin ipales que distingue a este libro, es que se han in luido en ada una de las uatro le

iones, tanto el análisis de una sola va-

riable, omo el análisis de dos variables, y hemos pedido extenderlo en los ejer i ios al aso de más de dos variables. Esto se ha he ho así porque onsideramos que no hay razón alguna para que nuestros estudiantes de e onomía no puedan ha er este tránsito de esa manera. No existe razón para que uando se haya estudiado el on epto de ontinuidad en una variable, no se haga el paso a estudiar el mismo on epto en dos variables; de igual forma, en el aso de la derivada ordinaria y las derivadas par iales, o en el aso de la integral ordinaria y las integrales dobles. Esperamos que esta propuesta así presentada sea a eptada por los do entes en argados de este urso. Varias adverten ias de nota ión, no sólo para este, sino también para los otros tres volúmenes. Los números on expresión de imal se es riben utilizando el punto (.) para separar la antidad entera de la de imal. No se re urre a la nota ión, también omún, de la oma (,). Utilizamos la nota ión di ar que una demostra ión ha nalizado, la nota ión

xvii

N

para in-

para indi ar que un

xviii


ejer i io (o ejemplo) ha terminado, y los asteris os para indi ar que un ejer i io

∗ ) para los ejer i ios difí iles y

propuesto puede ser difí il ((

(∗∗ )

para los

muy difí iles). Entregamos ahora este volumen 2 (Cál ulo) de la ole

ión on la esperanza de que sirva bien al propósito de formar un nuevo y mejor e onomista en nuestro país, a ogiendo el llamado de una so iedad que lo re lama más serio, más profundo, más estru turado, y también (muy fundamentalmente) más riguroso.


Prólogo Por: Eduardo Mantilla P.

En esta obra se re ogen las experien ias didá ti as de los autores en la enseñanza de la matemáti a, espe ialmente en las arreras de ien ias e onómi as, tomando omo eje entral el trabajo de varios años del profesor Sergio Monsalve. Los textos he hos a partir de los apuntes de lase tienen el en anto de traslu ir la manera de trabajar del maestro. Su aproxima ión a los temas. Su parti ular manera de de ir las osas para ha erlas omprensibles a los estudiantes. Su forma de a er arse al ono imiento. A qué le da prela ión. Un texto he ho así es omo una radiografía del alma pedagógi a del maestro. Por eso es tan importante que no se pierdan las experien ias de quienes trabajan bien, para que otros las aprove hen e, inspirados en ellas adelanten su labor do ente y

imenten su forma ión omo edu adores. Esta obra reeja una forma de ha er las osas de manera atra tiva y rigurosa y, en uanto a su ontenido, ompleta para las arreras de ien ias e onómi as. Sus autores logran darle unidad y sabor en un trabajo dispendioso para ellos y útil para quienes tienen a su argo asignaturas de matemáti as que aquí pueden sele

ionar los temas que les sean ne esarios, on la seguridad de que están bien tratados y son a

esibles para los estudiantes. Al ver la totalidad de la obra resalta el enorme trabajo que signi ó para el profesor Monsalve y sus ompañeros re oger, ordenar y reelaborar sus experien ias y presentarlas omo lo ha en. Para quien esto es ribe, es espe ialmente atra tivo el manejo de los temas geométri os que tan buenos resultados dan desde el punto de vista formativo y para la omprensión general de la materia. La presenta ión de modelos e onómi os y las notas históri as son herramientas formidables para mostrar y dar un ontexto al devenir de los on eptos matemáti os y su utiliza ión por parte de la e onomía. Los autores mere en feli ita iones y el re ono imiento de la omunidad universitaria por haberse omprometido en tamaña tarea, y por la forma uidadosa en que lo hi ieron. Por lo bien que les quedó, y por lo útil que será para las futuras promo iones de estudiantes. Ojalá esta obra sea probada por otros maestros que, en la prá ti a, son los que on su fre uente utiliza ión, ali an la ex elen ia de este tipo de trabajo.


xix


Le

ión 1

El método de límites Introdu

ión El método matemáti o de límites se desarrolló omo resultado de una labor persistente de más de dos mil años (desde los antiguos griegos hasta el siglo XIX), sobre problemas que no podían resolverse mediante métodos aritméti os, ni algebrai os, ni de geometría. La idea fundamental del método de límites es

simple: para determinar el valor exa to de ierta magnitud, primero se onstruye una serie de aproxima iones a ella, ada una más exa ta que la anterior;


y luego del examen de estas antidades, es de ir, del pro eso de aproxima ión, determinamos el valor de la magnitud.

¾Qué problemas fundamentales impulsaron el método de límites y su formula ión denitiva? Los matemáti os del siglo XVII gradualmente des ubrieron que un gran número de problemas prá ti os se redu ían a dos tipos: el primero, dibujar la tangente a una urva de movimiento dada (este problema de tangentes ondu iría al on epto de derivada); y el segundo problema, era en ontrar

el área barrida por una urva en movimiento, que se ono ía enton es omo problema de uadraturas , y que ondu iría al on epto de integral. En ambos

problemas estaba profundamente impli ado el método de límites. Y aunque el on epto de límite tuvo su formula ión rigurosa denitiva durante el siglo XIX a través de las deni iones introdu idas por Augustin Louis Cau hy (1821) y Karl Weierstrass (1861), ya desde los antiguos griegos, los matemáti os operaban on on eptos similares que eran, tal vez, menos laros (el método de exhaus ión de áreas

1 de Eudoxio y Arquímedes y las parado-

jas de Zenon, que ilustraremos adelante, son ejemplos de esto). El on epto de límite que tenemos hoy en día resultó del desarrollo del análisis matemáti o y fue, al mismo tiempo, el medio para estable er y lari ar, sobre bases 1

El término exhaus ión, no existe en astellano. Pero, de existir, signi aría agotar el área.

1

Matemáti as bási as para e onomistas 2: Cál ulo

2

fue el resultado de más de veinti uatro siglos

sólidas, mu hos logros previos:

de esfuerzos.

En esta le

ión y en las próximas, des ubriremos en detalle las ideas bási as en la solu ión a los dos problemas entrales del Cál ulo (la derivada y la integral) y en ontraremos que entre estas ideas está, muy fundamentalmente, la de límite.

1.

Su esiones y el on epto de límite

Ya habíamos men ionado arriba que a menudo su ede que uno debe aproximarse a ierto resultado a través de pasos. Por ejemplo, para al ular el área del

ír ulo de radio 1, los griegos utilizaban métodos de aproxima iones a través de

n lados uyas áreas sí ono ían, y en este pro eso aseguraban una su esión de valores que ondu ían al valor π . Con este tipo de pro edimiento obtenían un número an para ada número natural n y, por ende, una su esión innita de números a1 , a2 , a3 , . . . , an , . . ..

áreas de polígonos (internos y externos) de

El on epto de límite de una su esión que introdu iremos, no es más que, pre isamente, la respuesta a la pregunta: ¾ha ia dónde van los números

an

uando

n re e? Pero, primero, es ne esario que omen emos a formalizar lo que vamos a entender por su esión. Para ello, estudiemos las dos situa iones siguientes:

www.fullengineeringbook.net a) Supongamos que

A

es el siguiente onjunto ordenado de números:

A=

1 1 1 1, , , · · · , , · · · 2 3 n

Como puede verse allí, los elementos de

A

están ordenados de tal forma

que a ada uno de ellos se le puede asignar un número natural y vi eversa. De esta manera se estable e una fun ión uno-a-uno entre el onjunto

N = { 1, 2, 3, . . . } 1 −→ 1 ,

y

A

así:

2 −→

1 , 2

3 −→

1 , 3

··· ,

n −→

1 , n

···

b) Y si onsideramos otro onjunto ordenado de números tal omo

′

A =

1 2 3 n , , , ··· , , ··· 2 3 4 n+1

también a ada uno de estos podemos asignarle un número natural y vi eversa:

1 −→

1 , 2

2 −→

2 , 3

3 −→

3 , 4

··· ,

n −→

n , n+1

···

Le

ión 1: El método de límites

3

Estos dos ejemplos sugieren ómo podemos denir de manera formal el on epto intuitivo, de lo que en adelante entenderemos por su esión:

Deni ión 1. (Su esión de números reales) Una fun ión

f (·)

2 es el onjunto de todos los números naturales

uyo dominio

N y uyo rango es un sub onjunto de R se denominará una su esión de números f ( n ) de la fun ión se le llamará término n-ésimo de la su esión.

reales. Al valor

Nota 1. Como, según esta deni ión, toda su esión tiene omo dominio a

N,

éste a

ve es se omite, y enton es se denotará una su esión es ribiendo la fórmula de su término

n-ésimo

{ f ( n ) }n∈N

o

entre llaves de la siguiente forma:

{ an }n∈N

f ( n ) = an ;

donde

o, simplemente,

{ an }

3

Ejemplo 1. Ejemplos de su esiones son los siguientes:

www.fullengineeringbook.net a)

{ an } = { n } = { 1, 2, 3, 4, . . .} { an } =

1 n2

)

{ an } =

1 2 n +1

d)

√ √ √ √ { an } = { n } = { 1, 2, 3, 4, . . .}

b)

=

1 1 1 1, , , , ... 4 9 16

=

1 1 1 , , , ... 2 5 10

N

Para observar el omportamiento de los términos de una su esión se a ostumbra dibujarlos sobre una re ta numéri a o en un plano artesiano ( omo ualquier fun ión real) omo se ve en las guras 1 y 2 on las su esiones

{ an } = 2 3

1 n

y

{ an } =

n n+1

, respe tivamente.

Para el on epto de dominio de una fun ión, ver volumen 0 (Fundamentos). De he ho, el dominio de una su esión puede ser ualquier sub onjunto innito de N. 1 an = n−2 , enton es podemos onsiderar a los naturales n > 2 omo su dominio. Sólo que en todos estos asos, siempre es posible reenumerar la su esión

Por ejemplo, si

de tal manera que el primer término orresponda a la imagen del número natural 1. Por ejemplo, en el aso de la su esión anterior, observe que los términos de ésta no 1

ambian si en su lugar es ribiéramos la su esión an = n on n ∈ N.

4

Matemáti as bási as para e onomistas 2: Cál ulo an 1 b

b

0 b

11 1 54 3 b

b

b

1 2

b

1

b

b b

b

1

2

a)

3

4

5

b

b

4

5

n

b)

Figura 1: Su esión { an } = {

1 n

}

an 1 b

b

b

0 b

1 2 b

2 34 3 45 b

b

b

1 b

1

2

a)

3

n

b)

Figura 2: Su esión { an } = {

n n+1

}


Para omenzar nuestro análisis de las su esiones, es onveniente re urrir a

ierto número de deni iones que nos ayudarán a ara terizarlas.

Deni ión 2. (Su esiones monótonas) a) Se di e que la su esión { an } es

re iente

b) Se di e que la su esión { an } es todo n.

si an+1 ≥ an para todo n.

de re iente

si an+1 ≤ an para

) Si una su esión es re iente o de re iente, se di e que es monótona. d) Se di e que la su esión { an } es re iente n (gura 3b). e) Se di e que la su esión { an } es todo n (gura 3 ).

estri ta

si an+1 > an para todo

de re iente estri ta

si an+1 < an para

f) Si una su esión es re iente estri ta o de re iente estri ta, se di e que es monótona estri ta.

5

Le


an

an b b b b b b b

b b

b

b

n

n b) Su esión re iente estri ta

a) Su esión no monótona: ni

re iente ni de re iente

an b

b b b b b

n

) Su esión de re iente estri ta

Figura 3

www.fullengineeringbook.net Ejemplo 2.

Determinemos si las siguientes su esiones son re ientes (estri tas), de re ientes (estri tas), o no son ni re ientes ni de re ientes: a)

{ an } =

1 n

b)

,

{ an } = { n } ;

)

{ an } = { ( −1 )n }

Solu ión.

1

1

a) Ya que n < n + 1, enton es > ; es de ir, an > an+1 . Luego la n n+1 su esión denida por an = 1/n es de re iente estri ta (gura 1). b) Observemos que n < n+1; es de ir, an < an+1 . Luego la su esión denida por an = n es re iente estri ta.

) Observemos que a1 = −1, a2 = 1 y a3 = −1. Por lo tanto, la su esión denida por an = (−1)n no es ni re iente ni de re iente. Ejemplo 3.

Mostremos que { an } =

n+1 2n+1

es de re iente estri ta (gura 4).

6


Solu ión.

n+1

n+2

Veamos que an > an+1 para todo n ≥ 1; es de ir, que n+1 > n+2 . Pero 2 2 esto es equivalente a 2n+2 ( n + 1 ) > 2n+1 ( n + 2 ) o también a que 2( n + 1 ) > n + 2 ó 2n > n, lo ual es ierto para todo n ≥ 1. Por tanto, la su esión es de re iente estri ta. N an

b b b b

1

2

3

b

4

5

b

6

n

Figura 4: {an } = { 2n+1 n+1 }

Continuamos ahora on una deni ión adi ional de ara teriza ión para las su esiones. La siguiente es la no ión de su esión a otada.

Deni ión 3. (Su esiones a otadas)

www.fullengineeringbook.net a) Se di e que la su esión { an } es una su esión a otada superiormente si existe un número real M tal que an ≤ M para todo n. A este número M se le llama una ota superior de la su esión.

b) Se di e que la su esión { an } es una su esión a otada inferiormente si existe un número P tal que P ≤ an para todo n. A este número P se le llama una ota inferior de la su esión.

) Se di e que la su esión { an } es una superior e inferiormente 4 .

b

P

ota inferior 4

b

b

an

b

su esión a otada

si es a otada

b

M

ota superior

Notemos que si { an } tiene una ota superior (o inferior), enton es tiene innidad de otas superiores (o inferiores). A la menor de estas otas superiores, si { an } es a otada superiormente, se le llama el extremo superior de { an } y se denota sup{ an }. Si es a otada inferiormente, a la mayor de las otas se le llama extremo inferior de { an } y se denota inf{ an }(volumen 0 (Fundamentos)).

Le


7

Ejemplo 4. a) La su esión denida por

an = 1/n

es a otada superior e inferiormente

0 ≤ an ≤ 1

para todo

n.

puesto que

b) La su esión denida por para todo

n.

porque para todo este

n?

an = n

es a otada inferiormente porque

an ≥ 1

Sin embargo, esta su esión no es a otada superiormente

N

M ∈R

existe

n∈N

tal que

n>M

¾Cuál puede ser

Una vez se tiene abalmente entendido el on epto de su esión y algo de su

omportamiento general, el paso siguiente es tratar de apturar el on epto mismo de límite. En el aso de la su esión

{ n1 },

es inmediato notar que ada

término es menor que el anterior, y todo pare e indi ar que la su esión se aproxima a ero a medida que es muy pequeña si

n

n

aumenta; es de ir, la diferen ia entre

1 n

y 0

es muy grande. De manera similar, es bien laro que

ada término de la su esión

n { n+1 } es mayor que el anterior y pare iera que

esta su esión se aproximara a 1; es de ir, la diferen ia entre 1 y di hos términos pare e disminuir ada vez más, a medida que

n

aumenta. Y en efe to es así,

pues observamos que:

1 1 2 1 3 1 = , 1− = , 1− = , 2 2 3 3 4 4 para el n-ésimo elemento se tiene 1−

··· ,

1−

1000 1 = , 1001 1001

···

www.fullengineeringbook.net y

1−

1 n = n+1 n+1

En estos dos ejemplos hemos expresado la idea fundamental de aproxima ión que es la misma de límite de una su esión de números, y estamos ya preparados para la deni ión formal de la idea de que una su esión

L

si la diferen ia entre

que

n

an

y

L

an

onverge a

se va ha iendo ada vez más pequeña a medida

va aumentando.

Deni ión 4. (El on epto de límite de una su esión) Se di e que el denota

límite de la su esión {an } es L uando n tiende a innito, y se

l´ım an = L

n→∞ si para ada

ǫ>0

(o

existe

an → L

N ∈N

tal que uando

| an − L | < ǫ Una su esión que tiene límite se di e que es di e que es

divergente.

n → ∞)

uando

n≥N

(gura 5)

se tiene que

onvergente.

De lo ontrario, se


8

L−ǫ

b

b

a1

a2

L+ǫ

L

(

b

b

an−1

b

b b b

b

b

b

b

)

an+1

an

b

b

a4

a3

Figura 5 Nota 2.

Obsérvese que de

| an − L | < ǫ

signi a que

an

está a una distan ia menor que

ǫ

L; esto es equivalente a de ir, re ordando las propiedades del valor absoluto, L − ǫ < an < L + ǫ; o que an ∈ (L − ǫ, L + ǫ).

que

Ejemplo 5

Demostremos,

n =1 n→∞ n + 1 l´ım

Solu ión

la

deni ión

anterior,

que,

efe tivamente,

n = 1 es equivalente a probar que dado ualquier n→∞ n + 1 N ∈ N tal que uando se tenga n ≥ N , también se tendrá que n <ǫ − 1 n+1

Demostrar que

ǫ > 0,

utilizando (gura 2).

existe

l´ım

www.fullengineeringbook.net Ahora bien:

n n + 1 − 1 < ǫ

si, y sólo si,

si, y sólo si,

−1 n + 1 < ǫ;

n − (n + 1) < ǫ; n+1

si, y sólo si

1 < ǫ; n+1

si, y sólo si

n>

Así que dado

1 < n + 1; ǫ puede tomar N

superior a

es (utilizando la fun ión mayor entero ontenido en)

si, y sólo si,

que

ǫ > 0 se 1 − 1; esto ǫ

N≡

que es lo que queríamos demostrar.

omo el entero positivo estri tamente

1 −1 ǫ

De esta manera se umple que para todo

1 −1 ǫ

n,

si

+1 n n ≥ N enton es − 1 < ǫ, n+1

9

Le

ión 1: El método de límites Ejemplo 6.

Sea an

= l´ım an = 2.

( −1 )n + 2 n

para n

N (gura 6). Probemos que

∈

n→∞

Solu ión

Aquí se tiene que a1 = 1 ,

a2 =

1 + 2, 2

1 a3 = − + 2 , 3

··· ,

a2n =

1 + 2, 2n

··· ;

y, por tanto, ( −1 )n | an − 2 | = n

1 = n

1

Así que, dado ǫ > 0, basta es oger un N tal que < ǫ (por ejemplo, N 1 N = ǫ + 1) para tener que si n ≥ N , enton es | an − 2 | < ǫ. Es de ir, l´ım an = 2. n→∞

www.fullengineeringbook.net an

b

2

b b b b

b

1

2

3

4

5

6

n

n

+2} Figura 6: Su esión { an } = { (−1) n Ejemplo 7. (El límite de una su esión onstante es la onstante)

Sea an = λ para n = 1, 2, 3, . . ., donde λ ∈ R es jo. Para ǫ > 0 se tiene que | an − λ | = 0 < ǫ si n = 1, 2, 3, . . .. Así que | an − λ | < ǫ para n ≥ 1; es de ir, l´ım an = λ. N n→∞

Ejemplo 8.

Dada la su esión {0.7, 0.67, 0.667, 0.6667, 0.66667, 0.666667, · · · } demos-

tremos que l´ım an = n→∞

2 = 0.666666. . . (gura 7). 3


10

an b

b

2 3

1

2

b b

b

b

3

4

5

6

n

Figura 7 Solu ión Aquí,

2 0.7 − = 1 3 30

2 1 , 0.67 − = 3 300

2 1 , 0.667 − = 3 3000

n-ésimo término se tiene que 1 0.666 · · · 667 − 2 = 3 3( 10 )n

...


y, en general, para el

1 1 < para todo n ∈ N; enton es, n 3( 10 ) n N ∈ N tal que N1 < ǫ. Así, si n ≥ N , enton es 1 1 1 0.666 . . . 67 − 2 = < ≤ <ǫ 3 3( 10 )n n N

Pero es fá il ver que dado, tomemos

Por lo tanto, para todo

ǫ > 0,

an − 2 < ǫ. N 3

existe

N ∈ N

tal que si

para

n ≥ N

ǫ > 0

enton es

Ejemplo 9.

1 ) = 1, tomemos ǫ > 0, y elijamos un N ∈ N tal n→∞ 2n 1 1 1 1 que N > . Enton es, para todo n ≥ N se tiene que n > . Como < , n ǫ ǫ 2 n 1 1 para todo n ∈ N, enton es < ǫ o, equivalentemente, | 1 − − 1 | < ǫ. 2n 2n 1 Así, l´ ım ( 1 − n ) = 1. n→∞ 2 Para probar que

l´ım ( 1 −

11

Le

ión 1: El método de límites Ejemplo 10. (La primera paradoja de Zenon)

En el siglo V a.C., el lósofo griego Zenon de Elea propuso ierto número de paradojas bus ando probar que el movimiento era imposible. Estas paradojas sobre el movimiento ilustran, pre isamente, los problemas on la no ión matemáti a de límite de una su esión y, fundamentalmente, on el on epto de innito. La primera paradoja de Zenon, por ejemplo, estable e que un orredor nun a puede llegar al nal de su traye to (meta) pues, primero, debe ubrir la mitad de la distan ia; luego la mitad de la distan ia restante; después debe

ubrir la mitad de la distan ia que resta; y así su esivamente. El orredor de1 + · · · , y Zenon aseguraba bería re orrer una distan ia que es 12 + 14 + 18 + 16 que el tiempo requerido para ubrir un número innito de distan ias tendría que ser innito. Sin embargo, el on epto de límite nos permite entender esta aparente paradoja. En efe to, sea 1 2 2 1 1 1 1 a2 = + = + 2 4 2 2 2 3 1 1 1 1 1 1 a3 = + + = + + 2 4 8 2 2 2 a1 =

www.fullengineeringbook.net .. .

an =

1 1 1 + + ··· + n 2 4 2

Observemos que, enton es, 1 an − an = 2

1 1 1 1 + + + ··· + n 2 4 8 2

−

1 1 1 1 + + · · · + n + n+1 4 8 2 2

=

1 1 − 2 2n+1

y así, despejando an , se obtiene que 1 1 − n+1 1 an = 2 2 =1− n 1 2 2

y, por tanto, l´ım an = 1 (ejemplo 9), que es la distan ia total ubierta. Luego n→∞ el método de límites arma que el orredor, efe tivamente, sí llegará a la meta. Ejemplo 11. (Su esiones divergentes)

Podría ser laro que las su esiones divergentes abundan. El le tor puede mostrar que las su esiones a) { an } = { n }

12

Matemáti as bási as para e onomistas 2: Cál ulo b) { an } = {

√

n}

) { an } = { ( −1 )n } = { −1, 1, −1, 1, . . . } son todas divergentes: las dos primeras re en innitamente y la ter era os ila entre 1 y 1, pero no se aproxima a ningún número real en parti ular (gura 8). an 1 b

b

b

n b

-1

b

1

2

3

b

4

5

6

Figura 8: Su esión {an } = {(−1)n }

Una ara terísti a fundamental de los números reales se estable e en el siguiente teorema que nos da ondi iones su ientes para que una su esión sea

onvergente:


Teorema 1. (Una propiedad fundamental de los números (Weierstrass (1877)5 ))

Una su esión monótona y a otada es onvergente; es de ir, tiene límite (gura

9).

L b

b

b

a1

a2

a3

b

b

b

b

an

|

Figura 9 Demostra ión

Sin pérdida de generalidad, asumamos que la su esión { an } es re iente y a otada. El aso en que es de re iente y a otada es similar. Por el axioma de ompletez de los números reales (volumen 0 (Fundamentos)), existe L = sup{ an }. Sea ǫ > 0 ualquiera; enton es existe N ∈ N tal que aN > L − ǫ (en otro aso, L no sería el extremo superior de la su esión y lo sería L − ǫ). Pero

omo an ≥ aN para n ≥ N , enton es, si n ≥ N , an > L−ǫ o, equivalentemente, 5

Weierstrass, en onferen ias no publi adas, daría una prueba rigurosa de este teorema.

13

Le


| an − L | < ǫ, pues es laro que también an < L + ǫ por la misma deni ión de L. Así, hemos probado que el extremo superior (sup) de la su esión es, exa tamente, el límite de ésta. Ejemplo 12.

Consideremos la su esión { an } =

n n+1

. Veamos que es monótona re-

iente y a otada y que, por lo tanto, tiene límite. Solu ión.

n < 1 para todo n; luego la su esión es a otada infen+1 n n+1 < = an+1 riormente por 0 y superiormente por 1. Además, an = n+1 n+2 para todo n, puesto que esto es equivalente a n( n + 2 ) < ( n + 1 )2 , y esto, a su vez, a n2 + 2n < n2 + 2n + 1, lo ual es ierto para todo n ≥ 1. Luego

Observemos que 0 <

la su esión es re iente estri ta. Por el teorema 1, es enton es onvergente: en efe to, habíamos visto que esta su esión onverge a 1. Ejemplo 13.

www.fullengineeringbook.net 5−n

Mostremos que la su esión bn = es de re iente (es de ir, que bn ≥ bn+1 ) 2 + 3n y a otada inferiormente. Dado ǫ > 0 ualquiera, hallemos N tal que si n ≥ N , enton es | bn − ( − 13 ) | < ǫ. Solu ión.

Probémoslo por redu

ión al absurdo, suponiendo lo ontrario de lo que queremos probar y lleguemos a una ontradi

ión. Es de ir, supongamos ini ialmente que bn+1 > bn para ierto n ∈ N, o, lo que es lo mismo, que 5 − (n + 1) 5−n > 2 + 3( n + 1 ) 2 + 3n

Enton es obtenemos, después de un po o de álgebra elemental, que −2 > 15, y esta es, pre isamente, la ontradi

ión; por lo tanto, bn ≥ bn+1 para todo n ∈ N. Ahora: esta su esión es a otada inferiormente por − 13 , pues (nuevamente por redu

ión al absurdo) si existiera n ∈ N tal que 5−n 1 <− 2 + 3n 3

14


enton es tendríamos la misma desigualdad 15 < −2, que es una ontradi

ión. 5−n Así, la su esión bn = está a otada inferiormente por − 13 . Finalmente, 2 + 3n

observemos que, de he ho, − 13 es el límite de la su esión, porque 5−n 1 2 + 3n − − 3 < ǫ

es equivalente (después de otro pequeño viaje por el álgebra elemental) a n>

y, si elegimos N =

17 − 6ǫ 9ǫ

17 − 6ǫ 9ǫ

+ 1, enton es para todo n ≥ N se tendrá

que | bn − ( − 31 ) | < ǫ. Por lo tanto, la su esión bn =

onverge a − 13 . N

5−n , efe tivamente, 2 + 3n


Infortunadamente, el re ípro o del teorema 1 no es ierto. Para ello tenemos el siguiente ejemplo: Ejemplo 14.

La su esión

{ an } =

1 1 1 1 1, − , , − , , · · · , 2 3 4 5

es onvergente ( on límite ero), a otada superiormente por 1 e inferiormente por −1, pero no es monótona (gura 10). an b

b b

1

2

3

4

5

6b

b

b

Figura 10: {an } = { ( −1n)

n−1

}

n

15

Le

ión 1: El método de límites Ejer i ios 1

1) Determine si las siguientes su esiones son (o no) monótonas e indique

uál podría ser su límite (no pruebe aquí esto último): a)

)

1 1+n √ n n+1

b)

2( −1 )n n+1

d)

1+

1 ( −1 )n + n n2

Un ejer i io onveniente en este punto, es tabular los primeros 10 términos de ada una de estas su esiones y observar su omportamiento en un grá o. 2) Dada la su esión an =

n−1 , en uentre N ∈ N para el ual se tenga que: n+1

a) | an − 1 | < 0.01 si n ≥ N (es de ir, en uentre N a partir del

ual an está a menos de una entésima de 1). b) | an − 1 | < 0.001

si n ≥ N.

www.fullengineeringbook.net ¾Cuál ree usted que es el límite de la su esión?

3)

a) Muestre que la su esión del problema anterior es re iente estri ta y a otada superiormente y, por tanto, onvergente. Pruebe que el límite es 1, utilizando la deni ión ǫ, N . 5−n

) = −1 utilizando la deni ión ǫ, N . ¾Esta b) Pruebe que l´ım ( n→∞ n + 1 su esión es monótona? ¾Es a otada?

) Similar al ejer i io anterior pero ahora para la su esión 2.

2(−1)n n+1

.

Propiedades de las su esiones onvergentes

Las siguientes son propiedades de las su esiones onvergentes que nos permiten ha er de ellas herramientas útiles para el análisis matemáti o. La primera (teorema 2) es, realmente, un re ípro o par ial del teorema 1 anterior. Teorema 2.

{ an } onvergente | an | ≤ M para todo n.

Una su esión tal que

es a otada; es de ir, existe una onstante

M

16


Demostra ión

Sea L = l´ım an . Enton es para ǫ = 1 existe N ∈ N tal que |an − L| < 1 para n→∞ n ≥ N . Así que |an | = |an − L + L| ≤ |an − L| + |L| < 1 + |L| para n ≥ N . Basta enton es tomar M = máx{|a1 |, . . . , |aN −1 |, 1 + |L|} (gura 11).

b

b

b

0

a3

a2

L−1

(

L+1

L b

b

b

b b b

b

b

)

b

aN+1

aN

b

b

aN−1

a1 = M

Figura 11: Ilustra ión del teorema 2

La siguiente propiedad (teorema 3), aunque aparentemente obvia, es importante ha erla explí ita:

Uni idad del límite )

Teorema 3. (

El límite de una su esión

Demostra ión.

{ an },

.

si existe, es úni o


Supongamos que l´ım an = L1 y l´ım an = L2 . Enton es dado ǫ > 0, existe n→∞ n→∞ N ∈ N tal que si n ≥ N , enton es | an − L1 | < ǫ y | an − L2 | < ǫ. Por

onsiguiente, L1 − L2 = ( an − L2 ) − ( an − L1 ) ≤ an − L2 + an − L1 < 2 ǫ

Luego | L1 − L2 | < 2ǫ , y omo esto último es ierto para todo ǫ > 0, enton es L1 = L2 6 . La siguiente propiedad (teorema 4) es, en o asiones, también onveniente ono erla: Teorema 4. Si

{ an }

tiene límite

L,

enton es

Demostra ión.

{ | an | }

tiene límite

| L | (gura 12).

Sea ǫ > 0. Enton es existe N ∈ N tal que si n ≥ N , se tiene que | an − L | < ǫ. El resultado se obtiene de la desigualdad del valor absoluto (volumen 0: Fundamentos) 6

| an | − | L | ≤ an − L

L1 6= L2 , y tome = |L1 −L2 |, y esto es

Para a larar el porqué de esto último, suponga, por el ontrario, que

ǫ=

|L1 −L2 | . Enton es tendríamos 2

una ontradi

ión.

|L1 − L2 | < 2ǫ = 2

|L1 −L2 | 2

Le


17

0

L b

b

b

(

a1

a2

a3

an

b

b

)

N

( b

|L|

N

b

) b

|L| |an |

L

Figura 12

b

b

|a2 |

|a1 |

Nota 3. a) El re ípro o del teorema 4 es, en general, falso. Consideremos, por ejemplo, la su esión

an = 2( −1 )n .

Esta su esión no tiene límite ya que

{ an } = { −2, 2, −2, 2, . . . , } es de ir,

( −2 an = 2 y, por tanto, os ila entre

−2

y

si si

2.

n n

Pero

es impar es par

| an | = | 2( −1 )n | = 2

es una

su esión onstante y, en onse uen ia, onvergente:

www.fullengineeringbook.net l´ım | an | = 2

n→∞

b) Si

L 6= 0, l´ım | an | = | L |

n→∞

no ne esariamente impli a

l´ım an = L,

n→∞

omo puede verse en el ejemplo anterior. Sin embargo, es fá il mostrar que si

L = 0,

enton es se tendrá que

l´ım an = 0

n→∞

si, y sólo si,

El siguiente es el teorema fundamental para el

l´ım | an | = 0

n→∞

ál ulo efe tivo

N de límites y nos

muestra que este on epto respeta las opera iones aritméti as bási as:

Teorema 5. (Álgebra Si

l´ım an = L

n→∞

a) b)

y

de límites de su esiones )

l´ım bn = M ,

n→∞

l´ım ( an ± bn ) = L ± M

n→∞

l´ım an · bn = L · M

n→∞

enton es


18

)

l´ım

n→∞

an L = bn M

si

M 6= 0

Demostra ión (Úni amente demostraremos las partes a) ( aso suma) y b) ( aso produ to) del teorema. La parte ) se deja omo ejer i io para el le tor). a) Puesto que dado

| an − L | <

ǫ 2, y

ǫ > 0, existe N ∈ N tal que | bn − M | < 2ǫ , enton es

si

n≥N

| ( an + bn ) − ( L + M ) | ≤ | an − L | + | bn − M | <

tendremos que

ǫ ǫ + = ǫ; 2 2

es de ir,

l´ım ( an + bn ) = L + M

n→∞

b) Partamos de la igualdad

an · bn − L · M = an · bn − L · bn + L · bn − L · M = bn · ( an − L ) + ( bn − M ) · L

(1)

ǫ > 0. Como la su esión { bn } es a otada (teorema 2), existe K > 0 tal que | bn | ≤ K para todo n ∈ N. Ahora: puesto que an → L, enton es ǫ ǫ para K existe N ∈ N tal que para todo n ≥ N se tiene que | an −L | < K . Así, si n ≥ N , enton es ǫ | bn · ( an − L ) | = | bn | | an − L | ≤ ( K ) =ǫ K Sea

www.fullengineeringbook.net ǫ > 0 existe N ∈ N tal que si n ≥ N , se tendrá | bn · ( an − L ) | ≤ ǫ; es de ir, l´ım bn · ( an − L ) = 0. Por un

Por tanto, para todo

que

n→∞

argumento similar,

l´ım ( bn − M ) · L = 0.

n→∞

Luego, de (1) y la parte a)

anterior, se obtiene que

l´ım an bn − L M = 0

n→∞

o, equivalentemente,

l´ım an bn = L M

n→∞

) Para esta parte, es riba

an L M an − Lbn M (an − L) − L(bn − M ) − = = bn M M bn M bn y aplique la ondi ión (teorema 2) de que la su esión

{bn } es a otada.

19

Le


Un límite muy útil )

Teorema 6. ( Si

k

es ualquier entero positivo, enton es

1 =0 nk

l´ım

n→∞

Demostra ión

(La prueba utiliza el método de indu

ión matemáti a (volumen 0: Fundamentos)). a) Veamos que el resultado es ierto para k = 1. Sea ǫ > 0 y N un número natural mayor que 1/ǫ. Enton es para todo n ≥ N , se tiene que n > 1/ǫ y, por tanto, 1/n < ǫ para todo n ≥ N . Esto signi a que l´ım 1/n = 0. n→∞

b) Ahora veamos que si el resultado es ierto para k, también es ierto para k + 1. Pero esto es inmediato utilizando la parte b) del teorema 5 ya que l´ım

1

1 1 · l´ım k = (0)(0) = 0 n→∞ n n→∞ n

= l´ım

n→∞ nk+1

www.fullengineeringbook.net an b

b b b b b

n

Figura 13: {an } = { n1k } Ejemplo 15.

a) l´ım

n→∞

1 3+ n

= l´ım 3 + l´ım n→∞

n→∞

1 = 3+0 = 3 n

1 1 l´ım 4 0 n→∞ n n = 4 b) l´ım = 4 l´ım =4· =0 n→∞ 1 n→∞ 1 + n 1 0+1 +1 l´ım +1 n n→∞ n

20

l´ım

)

n→∞

1+

1 n

Matemáti as bási as para e onomistas 2: Cál ulo n 1 n 2+ = l´ım 1 + · l´ım 2 + n→∞ n→∞ n+1 n n+1 1 n = 1 + l´ım 2 + l´ım n→∞ n n→∞ n + 1  

 = ( 1 + 0 )  2 + l´ım

n→∞



 = 2 + l´ım

d)

n→∞

1



1

 1  1+ n

 =3 1 1 + l´ım n→∞ n

1 1 1 1 1+n = l´ ım + = l´ım 2 + l´ım =0+0=0 n→∞ n2 n→∞ n n→∞ n n2 n

Ejemplo 16.

1 l´ım 1 − 1− n2 − n n = n→∞ = l´ ım l´ım 1 n→∞ n→∞ 2n2 + n 2+ l´ım 2 + n n→∞

1 1 1 − l´ım 1 1−0 n n→∞ n = = = 1 1 2+0 2 2 + l´ım n→∞ n n


2n2 − 3n + 1 3 1 3 1 = l´ım 2 − + 2 = l´ım 2 − l´ım + l´ım 2 = 2 2 n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ n n→∞ n n n n l´ım

Ejemplo 18.

Cal ulemos

1 − 3n2 − 5n3 + 4n4 . n→∞ n4 + ( n + 1 )2 l´ım

Solu ión.

Como podemos indu ir de los ejemplos anteriores, lo más onveniente en estos

asos de fra

ión de polinomios en por

n4 ),

n

n, es dividir el numerador

y el denominador

elevada a la máxima poten ia que aparez a en la fra

ión (en este aso,

así: 1 − n32 − n5 + 4 1 − 3n2 − 5n3 + 4n4 n4 = l´ ım n→∞ n→∞ 1 + 12 + 23 + 14 n4 + ( n + 1 )2 n n n

l´ım

21

Le


=

l´ım

n→∞

1 n4

l´ım

1+

n→∞

=

l´ım 14 n→∞ n

3 n2

1 n2

−

+

5 n

2 n3

+4

+

1 n4

l´ım 1 +

3 ım 5 + l´ım 4 2 − l´ n→∞ n n→∞ n n→∞ l´ım n12 + l´ım n23 + l´ım n14 n→∞ n→∞ n→∞

− l´ım

n→∞

=

−

4 = 4 1

N

Ahora: a diferen ia del omportamiento onvergente de algunas su esiones, existen otras que no tienen un omportamiento tan regular, pero que, de todas maneras, mere en un tratamiento espe ial debido a la informa ión que onllevan.

Deni ión 5. (Extensión de la no ión de límite) a) Se di e que una su esión { an } diverge a +∞ si supera ualquier número, por grande que éste sea, a partir de un N ∈ N en adelante. Esto se es ribe (abusando de la nota ión) (o an → +∞ uando n → ∞)

l´ım an = +∞

www.fullengineeringbook.net n→∞

Formalmente, se di e que l´ım an = +∞ si para ada M > 0 existe n→∞ N ∈ N tal que si n ≥ N , enton es an ≥ M .

b) Análogamente, se tiene que l´ım an = −∞ (y se di e que {an } diverge n→∞ a −∞) si, y sólo si, para todo M < 0 existe N ∈ N tal que si n ≥ N , enton es an < M .

Teorema 7. (Comportamiento Supongamos que

a) l´ım

n→∞ para

b) l´ım

n→∞ para

asintóti o )

l´ım an = L, (L 6= 0)

n→∞

an = +∞, bn todo n. an = −∞, bn todo n.

si

si

L>0

L>0

y

y

y que

bn > 0

bn < 0

l´ım bn = 0.

n→∞

Enton es:

para todo

n;

o si

L < 0 y bn < 0

para todo

n;

o si

L<0

Demostra ión. [Ver ejer i io omplementario 36 al nal de la le

ión℄.

y

bn > 0

22


Ejemplo 19.

Cal ulemos l´ım

n→∞

an 1 si, para todo n, an = 8 y bn = 2 . bn n

Solu ión.

Observemos que

8 = l´ım 8n2 = +∞ 1 n→∞ 2 n porque para ada M >0 existe N ∈ N tal que para todo n ≥ N , 8n2 ≥ q M M : basta tomar N = + 1. Sin embargo, para al ular este límite 8 l´ım

n→∞

pudimos haber apli ado dire tamente el teorema 7 en su parte a): en efe to,

omo l´ım an = 8 y l´ım bn = 0 a través de valores positivos, enton es, n→∞ n→∞ dire tamente, l´ım

n→∞

an = +∞ bn

Ejemplo 20.

Cal ulemos l´ım

n→∞

an 3 1 si an = −2 + 2 y bn = . bn n n

Solu ión.


Observemos que

l´ım

n→∞

3 2 n2 = l´ım −2n + 3 = −∞ 1 n→∞ n n

−2 +

porque para ada M < 0 existe N ∈ N tal que para todo n ≥ N ,

−2n2 + 3 < n

−2n2 + 3 < M es equivalente a 2n2 + M n − 3 > 0; por tanto, n hh ii √ 2 podemos tomar N igual a −M + 4M +24 + 1). Pero también, por el teorema 7 en su parte b), puesto que l´ım an = −2 y l´ım bn = 0 a través de valores

M (de he ho,

n→∞

positivos, obtenemos de inmediato que l´ım

n→∞

n→∞

an = −∞ bn

(Observemos que, aquí, an < 0 sólo uando n ≥ 2; pero esto no invalida la apli a ión del teorema 7, pues para el on epto de límite es su iente estudiar el omportamiento de la su esión para valores grandes de n). N Continuando on nuestro estudio de las su esiones de números, presentamos ahora un on epto entral en la omprensión abal del método de límites: es el on epto de subsu esión.

Le


23

Deni ión 6. (Subsu esión) Se di e que una su esión

{ bk } es una subsu esión

tal que bk

= ank

para todo

k = 1, 2, ...

{ an } si existe n1 < n2 < n3 < · · ·

de la su esión

una su esión estri tamente re iente de números naturales .

Observemos que, en parti ular, toda su esión es subsu esión de sí misma: basta tomar

nk = k

para

k = 1, 2, ...

.

Ejemplo 21. En ontremos una subsu esión de ada una de las siguientes su esiones: a) b)

) d)

{ an } = { n } = { 1, 2, 3, 4, . . .} 1 1 1 1 { an } = = 1, , , , ... n2 4 9 16 1 1 1 1 { an } = = , , , ... n2 + 1 2 5 10 √ √ √ √ { an } = { n } = { 1, 2, 3, 4, . . .}

Solu ión. www.fullengineeringbook.net a) La su esión de números pares su esión

{ n }.

b) La su esión

1 1 1 1 , , , ,... 4 16 36 64

es una subsu esión de la

es una subsu esión de la su esión

1 n2

1 1 1 1 , , , . . . es una subsu esión de la su esión . 10 26 50 n2 + 1

) La su esión

d) La su esión

{ 1,

√ { n }. N

{ 2, 4, 6, 8, . . . }

√ √ √ √ 4, 7, 10, 13, . . . } es una subsu esión de la su esión

Si omprendemos bien los on eptos de subsu esión y de límite, puede no ser sorprendente el siguiente resultado:

Teorema 8. Una su esión onverge a verge a

L.

L

si, y sólo si toda subsu esión de ella también on-

.

24


Demostra ión.

a) Supongamos que la su esión { an } onverge a L. Enton es para ada ǫ > 0 existe N ∈ N tal que uando n ≥ N se tiene que | an − L | < ǫ. Sea K ∈ N tal que nK ≥ N ; si k > K , enton es nk > nK ≥ N ; por tanto, | ank − L | < ǫ. Luego toda subsu esión de { an } onverge a L. b) La segunda parte es inmediata porque una su esión es subsu esión de sí misma. Y el último resultado de esta se

ión es una ara terísti a fundamental de los números que se expresa mediante el método de límites: Teorema 9. (Teorema Bolzano (1817)-Weierstrass (1877) )

Toda su esión a otada tiene una subsu esión onvergente.

Demostra ión.

Asumamos que la su esión { an } es a otada: −M ≤ an ≤ M para un ierto M > 0. Si { an } está onstituida sólo por un número nito de términos que se

repiten, enton es la subsu esión formada por uno de estos números servirá a nuestros nes. En aso ontrario, supongamos que { an } está onformada por un número innito de términos diferentes. Enton es en al menos uno de los intervalos S1 = [ −M, 0 ] o S2 = [ 0, M ] existen innitos términos de la su esión { an }. Supongamos que esto o urre en S2 . Podemos ahora subdividir S2 en dos intervalos S3 = [ 0, M2 ] y S4 = [ M2 , M ], uno de los uales, al menos, tiene innitos términos de la su esión { an }. Supongamos que es S3 . De la mima forma podemos subdividir M M S3 en otros dos intervalos S5 = [ 0, M 4 ] y S6 = [ 4 , 2 ], y es oger, por ejemplo, S6 y repetir el argumento una y otra vez (gura 14). Claramente,


S2 ⊇ S3 ⊇ S6 ⊇ · · ·

Y así, por onstru

ión, la interse

ión de todos estos onjuntos es un solo número L que es, obviamente, el límite de una subsu esión de términos de { an } es ogidos onvenientemente en los onjuntos S2 , S3 , S6 , · · · . [

[

0

M 4

[ ℄ Figura 14

℄

℄

M 2

M

25

Le

ión 1: El método de límites Ejemplo 22.

a) La su esión { an } = { ( −1 )n } tiene la subsu esión de términos pares { 1 } onvergiendo a 1, y la subsu esión de términos impares { −1 } onvergiendo a −1; pero ella misma no es onvergente. b) La su esión denida por { an } = { n1 } si n es par y {an } = {−3} si n es impar, tiene varias subsu esiones onvergentes a pesar de no ser 1

onvergente por sí misma. Entre ellas están { bn } = { 2n } y la su esión

onstante { cn } = { −3 }. Ejemplo 23. (Una versión moderna del método de exhaus ión de Eudoxio (s. IV a.C.) y Arquímedes (s. III a.C.))

Es a Eudoxio y a Arquímedes a quienes les debemos las ideas originales los pro esos del ál ulo de áreas (método de exhaus ión) y, en general, los métodos de límites. Uno de estos resultados fue el ál ulo del área de segmento parabóli o mediante métodos geométri os. Las ideas entrales ellos, en nota ión moderna, se en uentran a ontinua ión.

de de un de

Supongamos que queremos al ular el área limitada por la parábola on e ua ión y = x2 ; por el eje X ; y por la línea re ta x = 1 (gura 15 a)).


y

y = x2

3 2 ) (n

y = x2

y=

1

x

1 3

1 3

2 2 ) (n

√

1 3

1 2 (n ) 1 n

2 n

3 n

··· 1

x

1

x

b)

a) Figura 15: Método de exhaus ión

La matemáti a elemental no nos permite, de ninguna forma, resolver este problema. El método de límites, en su lugar, es ade uado para ha erlo omo veremos enseguida. Solu ión

Dividamos el intervalo [ 0, 1 ] a lo largo del eje X en n partes iguales en los puntos 0, n1 , n2 , . . ., n−1 n , 1. Sobre ada una de estas partes onstruyamos un re tángulo uyo lado izquierdo se extienda hasta la parábola. Como resultado apare e un sistema de re tángulos sombreados (gura 15 a)). Si queremos

26


en ontrar el área A bajo la parábola, una aproxima ión es la suma de las áreas de los re tángulos Sn = 0

=

1 n

+

1 n

2

1 n

+

2 n

2

1 n

+ ··· +

n−1 n

2

1 n

n( n + 1 )( 2n + 1 ) 1 1 1 12 + 22 + · · · + ( n − 1 )2 = = + 2+ 3 3 n 6n 3 6n 2n

(¾Sabe el le tor el porqué de la ter era igualdad? (ver indu

ión matemáti a, volumen 0: Fundamentos)). Cuando n re e indenidamente, los re tángulos se van ha iendo ada vez más nos (delgados) y Sn se aproxima a la idea que tenemos del área A bajo la parábola; es de ir, A = l´ım Sn = 31 . Así, el área n→∞ bajo la parábola es igual a la ter era parte del uadrado de lado 1 (gura 15 b)). Ejemplo 24. (Apli a ión del método de límites a un problema de la Físi a)

Experimentalmente, Galileo Galilei [1564-1642℄ estable ió que la distan ia s

ubierta en el tiempo t por un uerpo que ae libremente en el va ío puede m expresarse mediante la fórmula s = 12 gt2 , donde g = 9.8 2 es la onstante s de a elera ión gravita ional en la Tierra. Determinemos la velo idad de este

uerpo, t0 segundos después de haber partido.


Solu ión.

Supongamos que el uerpo pasa a través de ierto punto en el tiempo t0 y estudiemos lo que le su ede, un instante después, en el tiempo t0 + n1 , donde n ∈ N. Claramente, la distan ia ubierta aumentará, pasando de una distan ia re orrida ini ialmente s0 = 12 gt20 en el tiempo t0 , a la distan ia ubierta en el tiempo t0 + n1 dada por 1 sn = g 2

1 t0 + n

2

1 gt0 g = gt20 + + 2 2 n 2n

1 será n 1 2 gt0 g 1 2 gt0 g sn − s0 = gt0 + + 2 − gt0 = + 2 2 n 2n 2 n 2n

Así, el in remento en distan ia durante el lapso

La velo idad promedio durante el mismo lapso

1 será enton es n

gt0 g + 2 sn − s0 2n = gt + g = n 0 1 1 2n n n

Le

ión 1: El método de límites Ha iendo

n → ∞

tender

n

a

innito

27

(es

de ir,

al ulando

el

límite

uando

de las velo idades promedio) nos aproximamos a lo que podríamos

entender omo velo idad instantánea del uerpo en el tiempo velo idad es

v( t0 ) = l´ım

n→∞

h

gt0 +

t = t0 ; así, esta

g i = gt0 2n

Es de ir, la velo idad del uerpo en ualquier momento es dire tamente propor ional al tiempo trans urrido desde que omenzó a moverse. Nuevamente, observemos que ninguna herramienta de la matemáti a elemental nos hubiese permitido estable er este resultado, al que el método de límites se adapta perfe tamente.

Ejer i ios 2. 1) Cal ule los siguientes límites (indi ando los teoremas utilizados) y dibuje los diez primeros términos de las su esiones:

n2 + 1 n→∞ n2 − 1 1 l´ım n→∞ n( n + 1 ) n2 + 1 l´ım n→∞ n3

a)

n+1 n→∞ 3n √ 3+23n √ d) l´ım 3 n→∞ n −1 n − 5n−3 f) l´ım n→∞ 4n−1 + 6n−2

l´ım

b)

l´ım


)

e)

Teorema del sándwi h ) Sean

{an }, {bn } y {cn } tres su esiones tales an ≤ cn ≤ bn a partir de un N en adelante. Demuestre que si l´ım an = A, l´ım bn = B y l´ım cn = C enton es A ≤ C ≤ B . Y a n→∞ n→∞ n→∞ partir de este resultado, on luya que si A = B enton es A = B = C .

2) (

que

3) Evalúe los siguientes límites: a)

√ √ l´ım ( n2 + 1 − n2 − 1 ) n→∞ √ √ forma: n2 + 1 − n2 − 1 = =

b)

)

(

(

[Indi a ión: Ra ionali e de la siguiente

√ √ √ √ n2 +1− √n2 −1 ) (√ n2 +1+ n2 −1 ) ( n2 +1+ n2 −1 )

=

(√ n2 +1 ) − √ ( n2 −1 ) ( n2 +1+ n2 −1 )

2√ √ y tome límite uando n2 +1+ n2 −1 )

√

l´ım

√

l´ım

sen n n

n→∞ n→∞

√ n( n + 1 − n )

n→∞

℄

[Indi a ión: Utili e el teorema del sándwi h (ejer i io 2

anterior) y el he ho de que

| sen n| ≤ 1

para todo

n℄

28


1 3

4) Demuestre que la su esión l´ım ( )n = 0. [Indi a ión: Por indu

ión n→∞

1

1

matemáti a (volumen 0: Fundamentos) muestre que 0 < ( )n ≤ para 3 n todo n ≥ 1, y aplique el teorema del sándwi h (ejer i io 2, arriba)℄. 5)

a) Demuestre que si l´ım an = L, l´ım bn = M , y an ≥ bn para n n→∞ n→∞ su ientemente grande, enton es L ≥ M . [Indi a ión: L − M = (L−an )−(M −bn )+(an −bn ) ≥ (L−an )−(M −bn ) > −ǫ−ǫ = −2ǫ para n su ientemente grande℄

b) Pruebe que lo mismo es ierto si an > bn para n su ientemente grande. 1

= 0. Re ípro amente, 6) Demuestre que si l´ım an = +∞, enton es l´ım n→∞ n→∞ an si l´ım an = 0 on an > 0 para n su ientemente grande, enton es n→∞

1 = +∞. Dé algunos ejemplos (ojalá no triviales) que ilustren an este resultado. ¾Será ierto este resultado si ambiamos +∞ por −∞, y an > 0 por an < 0? l´ım

n→∞

7) Demuestre que si a es onstante, enton es:

www.fullengineeringbook.net a) l´ım an = +∞ n→∞

si a > 1. [Indi a ión: Como a > 1 enton es a =

1 + h para h > 0; luego an = (1 + h)n = 1 + nh + · · · + hn ≥ 1 + nh; y tome el límite uando n → ∞℄

n(n − 1) 2 h + 2

b) l´ım an = 0, si | a | < 1. [Indi a ión: Utili e la parte a), y el ejer i io n→∞ 6 anterior℄

) ¾Qué su ede si | a | = 1? ¾Y si a < −1? Dé algunos ejemplos que ilustren este resultado. 8) Imitando lo realizado en el ejemplo 23, al ule el área a otada superiormente por la parábola on e ua ión y = x2 , por el eje X y por la re ta x = b on b > 0, y pruebe que es igual a b3 /3. 3.

Límite de una fun ión de una sola variable

Con el on epto de límite de su esiones de números reales a la mano, dar el paso al on epto de límites de fun iones de variable real ontinua es muy fá il y, desde el punto de vista on eptual, natural. De he ho, detrás de todo está la idea de que una variable matemáti a x es la imagen abstra ta de pro esos

29

Le


dis retos tales omo la aproxima ión de una su esión de números a su límite

x.

7

Deni ión 7. (Límite mediante su esiones) Dada una fun ión de variable real f : Df −→ R, se di e que L ∈ R es el límite de f (·) uando x tiende a a, y se es ribe l´ım f ( x ) = L (ó f ( x ) → L uando x → a)

x→a

si para toda su esión { an } onvergente a a ( on an 6= a, an ∈ Df para todo n) se tiene que l´ım f ( an ) = L

n→∞

De manera semejante a omo se estable ió para los límites de su esiones, se tienen los siguientes teoremas:

Teorema 10 (Uni idad Si

l´ım f ( x ) = L1

y

x→a

del límite )

l´ım f ( x ) = L2 ,

x→a

enton es

L1 = L2 .

Demostra ión. Esto es una onse uen ia inmediata de la deni ión 7 y del teorema 3 sobre uni idad del límite para su esiones.

www.fullengineeringbook.net Teorema 11. (Álgebra Si

l´ım f ( x ) = L

x→a

y

de límites fun ionales )

l´ım g( x ) = M ,

x→a

enton es

a) l´ım [f ( x ) ± g( x ) ] = L ± M x→a

b) l´ım f ( x )g( x ) = L · M x→a

) l´ım

x→a

f( x ) L = , g( x ) M

siempre que M 6= 0

Demostra ión.

Tomemos una su esión ualquiera { an } que onverja ha ia a, on an 6= a, an en los dominios de las fun iones f (·) y g(·). Enton es, por deni ión, l´ım f ( an ) = L,

n→∞ 7

l´ım g( an ) = M

n→∞

Sin embargo, advertimos que este no es el amino históri amente seguido por el Cál ulo. Originalmente, fue el on epto de límite para fun iones de

variable ontinua

el

que surgió primero (ver teorema 13 adelante) de la mano de Weierstrass en 1861. La presenta ión que aquí se ha e (primero la variable dis reta, y luego la ontinua) es relativamente moderna, y lo hemos he ho así porque la onsideramos pedagógi amente más onveniente.

30


y, por tanto, por el teorema 5 (Álgebra de Límites de Su esiones ), a)

l´ım [f ( an ) ± g( an )] = L ± M

n→∞

)

l´ım

n→∞

b)

l´ım f ( an ) · g( an ) = L · M

n→∞

L f ( an ) = g( an ) M

Luego, por deni ión, a)

)

b)

l´ım [f ( x ) ± g( x )] = L ± M

x→a

f( x ) L = x→a g( x ) M l´ım

l´ım f ( x ) · g( x ) = L · M

x→a

Ejemplo 25.

Si f ( x ) = c para ada x (donde c es onstante), enton es para todo a, l´ım f ( x ) = c

x→a Ejemplo 26.

Demostremos que si n ∈ N, enton es


l´ım xn = an

x→a

b)

l´ım

x→a

1 1 = n xn a

para a 6= 0

Solu ión.

Es laro que l´ım x = a. Ahora bien: la fun ión f (·) denida por f ( x ) = xn x→a se puede onsiderar omo el produ to de n-ve es la fun ión g( x ) = x. Luego, apli ando de forma reiterada el teorema 11 b) obtenemos la demostra ión. Para la parte b), el literal ) del mismo teorema 11 es su iente. N Ejemplo 27.

Demostremos que si m ∈ Q y a > 0, enton es l´ım xm = am . El resultado es x→a similar para a < 0 uando los términos involu rados estén bien denidos8 . Solu ión.

Sea { an } una su esión ualquiera tal que { an } → a uando n → ∞. Enton es 8

m m−1 ( am + am−2 a + am−3 a2 + · · · + am−1 ) n − a ) = ( an − a )( an n n

Es onveniente anotar aquí que si m = p/q on p ∈ Z, q ∈ N enton es am = (a1/q )p donde a1/q es la raíz q -ésima de a > 0 (volumen 0: Fundamentos (le

ión 4) para el resultado que garantiza la existen ia de esta raíz, a partir de los axiomas que denen a los números reales).

31

Le


Pero omo { an }, por ser onvergente, es a otada, enton es existe un M > 0 tal que, para n su ientemente grande, (¾por qué?)

[ am−1 + am−2 a + am−3 a2 + · · · + am−1 ] ≤ M n n n

m Luego, | am n − a | ≤ M | an − a |; así, si ǫ > 0 es dado, es ogemos N ∈ N tal que ǫ ǫ m ) = ǫ. si n ≥ N , enton es | an − a | < ; de esta manera | am n − a | < M(

M

M

Ejemplo 28.

Cal ulemos los siguientes límites: a)

l´ım (4x + 5x + 6)

b)

2 + 5x x3 − 4x2

d)

x→4

)

l´ım

x→−2

Solu ión.

a)

5 2

3 2

3

5

3

l´ım

l´ım

x3 − 27 x−3

x→2

x→3

5

1 1 − x x2

3

l´ım (4x 2 + 5x 2 + 6) = 4 l´ım x 2 + 5 l´ım x 2 + 6 = 4( 4 ) 2

x→4

x→4

x→4

5

+5( 4 ) 2 + 6 = 198

1 1 − x x2

1 1 1 − = 2 4 4

www.fullengineeringbook.net b)

)

l´ım

x→2

=

l´ım 2 + 5 l´ım x 2 + 5( −2 ) 1 2 + 5x x→−2 x→−2 = = = l´ım x→−2 x3 − 4x2 l´ım x3 − 4 l´ım x2 −8 − 4( 4 ) 3 x→−2

x→−2

d) l´ım

x→3

x3 − 27 ( x − 3 )( x2 + 3x + 9 ) = l´ım = l´ım x2 + 3x + 9 = 27 N x→3 x→3 x−3 x−3

Otro de los teoremas fundamentales en uanto a la evalua ión de límites, es el siguiente, del ual ya tendríamos su versión en términos de su esiones:

Teorema del sándwi h )

Teorema 12. ( Sean

f (·), g(·), h(·)

f ( x ) ≤ g( x ) ≤ h( x ) para todo x x = a, ex epto posiblemente en x = a. Si

fun iones tales que

en un intervalo alrededor de

l´ım f ( x ) = l´ım h( x ) = L

x→a

x→a

enton es

l´ım g( x ) = L

x→a

32


Demostra ión.

Sea { an } una su esión que tiende a a, on an en un intervalo alrededor de a, pero an 6= a para todo n su ientemente grande. Enton es l´ım f ( an ) = l´ım h( an ) = L

n→∞

n→∞

Ahora: omo f ( an ) ≤ g( an ) ≤ h( an ) para todo n, su ientemente grande, enton es, por el teorema del sándwi h para su esiones (ejer i io 2, Ejer i ios 2), l´ım g( an ) = L; es de ir, n→∞

l´ım g( x ) = L

x→a Ejemplo 29.

Cal ulemos los siguientes límites: a)

l´ım x sen

x→0

1 x

b)

√ 1 x sen x x→0+ l´ım

Solu ión.

1 x

www.fullengineeringbook.net y l´ım | x | = 0 = l´ım −| x |, enton es, por el teorema del sándwi h, se tiene

a) Como −| x | x→0

≤

x sen

| x | para todo

≤

x

R,

∈

x→0

1 que l´ım x sen = 0 (gura 16). x→0 x

√ 1 ≤ x sen x para todo x > 0, y √ √ x l´ım x = 0 = l´ım − x, enton es el teorema del sándwi h impli a √

b) Como − x x→0+

que l´ım+ x→0

√

≤

√

x→0+

1 x sen = 0 (gura 17). x

y

y=x

f (x) = x sen

1 x x

y = −x

Figura 16

Le


33

y

y=

f (x) =

√

x sen

√

x

1 x x

√ y=− x

Figura 17 El siguiente teorema es, de he ho, la

deni ión lási a de límite

de una fun ión

real, dada por Weierstrass en 1861. Sin embargo, dados nuestros desarrollos en teoría de su esiones de números reales, es ahora una onse uen ia de estos.

Teorema 13. (Deni ión ǫ , δ

de límite (Weierstrass (1861)))

l´ım f ( x ) = L

x→a

si, y sólo si, dado un número ǫ > 0 ( ualquiera), existe un δ > 0 (dependiente de ǫ) tal que

www.fullengineeringbook.net | f( x ) − L | < ǫ

siempre que

0 < |x − a| < δ

y f( x ) L+ǫ L L−ǫ

a−δ

a

x

a+δ

Figura 18 Demostra ión. a) (Demostra ión de =⇒) Supongamos en primer lugar que

L;

es de ir, que para ualquier su esión

que,

l´ım an = a, an 6= a,

n→∞

{an } en el dominio l´ım f ( an ) = L.

se umple que

n→∞

l´ım f ( x ) =

x→a de

f (·)

tal

Si existiese


34

δ > 0 se umpliera que | f ( xδ ) − L | ≥ ǫ para 0 < | xδ − a | < δ, enton es, en parti ular, para todo n ∈ N se umpliría que | f ( xn ) − L | ≥ ǫ, para algún xn , donde 0 < | xn − a | < n1 . Pero si | xn − a | < n1 para todo n, enton es l´ım xn = a ǫ>0

tal que para todo

xδ ,

algún

donde

n→∞

y, por hipótesis, se tendría que

l´ım f ( xn ) = L,

n→∞

lo que es absurdo ya

| f ( xn ) − L | ≥ ǫ. Así que debe o urrir que, para todo ǫ > 0, existe δ > 0 tal que | f ( x ) − L | < ǫ, para todo x donde 0 < | x − a | < δ.

que

b) (Demostra ión de ⇐=) Supongamos ahora que para todo

ǫ > 0 existe x, 0 < | x − a | < δ impli a | f (x) − L | < ǫ. Debemos probar que para toda su esión {an } ⊂ Df on an 6= a para ım an = a, enton es l´ım f (an ) = L. Sea pues {an } ⊂ Df todo n, si l´ n→∞ n→∞

on an 6= a y l´ ım an = a, y sea además ǫ > 0. Por hipótesis, existe n→∞ δ > 0 tal que para todo x, δ >0

tal que para todo

0 < |x − a| < δ l´ım an = a,

Como

n→∞

n ≥ N

impli a

δ > 0

para el

en ontrado, existe

N ∈ N

(1) tal que

0 < | an − a | < δ pues an 6= a | f ( an ) − L | < ǫ. Así que para todo ǫ > 0 hemos hallado N ∈ N tal que n ≥ N impli a | f ( an ) − L | < ǫ, lo que signi a que l´ım f ( an ) = L, que era lo que n→∞ queríamos probar. impli a

para todo

n).

| an − a | < δ

| f (x) − L | < ǫ

(además

Y enton es, por (1), se umple que


Mostremos, a manera de ilustra ión sobre ómo opera la deni ión límite, que

l´ım (2x + 3) = 5

x→1

ǫ, δ

de

(gura 19).

y

5 b

f ( x ) = 2x + 3

1

x

Figura 19 Solu ión.

δ > 0 tal que | ( 2x + 3 ) − 5 | < ǫ 0 < | x − 1 | < δ. Observemos que | ( 2x + 3 ) − 5 | < ǫ si, y sólo

Queremos mostrar que dado siempre que

ǫ>0

existe

35

Le


si, | 2x − 2 | < ǫ ; y esto, si, y sólo si, | x − 1 | < 2ǫ . Por tanto, podemos tomar δ = 2ǫ , y on éste umplimos la ondi ión de la deni ión ǫ, δ del teorema 13. Este resultado se ilustra numéri amente en las siguientes tablas: x f (x) = 2x + 3

0.9 4.8

0.99 4.98

0.999 4.998

0.9999 4.9998

0.99999 4.99998

x f (x) = 2x + 3

1.1 5.2

1.01 5.02

1.001 5.002

1.0001 5.0002

1.00001 5.00002

Ejemplo 31. (Método grá o) Mostremos, utilizando la deni ión ǫ, δ, que l´ım

x→4

y

f (x) =

2

√ x = 2 (gura 20a).

√

x

b

www.fullengineeringbook.net 4

x

Figura 20a

Solu ión.

√

Queremos mostrar que dado ǫ > 0 existe δ > 0 tal que | x − 2 | < ǫ siempre que 0 < | x − 4 | < δ. Observemos, primero, que |

√

x − 2 | < ǫ si, y solo si 2 − ǫ <

√

x<2+ǫ

a) Consideremos ini ialmente el aso 0 < ǫ < 2. De a uerdo on la gura 20b), si tomamos el intervalo (2 − ǫ, 2 + ǫ), y bus amos sus preimágenes, en ontramos que apare e un intervalo alrededor de 4 de la forma ((2 − ǫ)2 , (2 + ǫ)2 ). Si es ribimos 4 − δ1 = (2 − ǫ)2 y 4 + δ2 = (2 + ǫ)2 , vemos que δ1 = 4ǫ − ǫ2 y δ2 = 4ǫ + ǫ2 . Claramente, δ1 < δ2 y enton es podemos

onstruir un intervalo simétri o alrededor de√4 si es ogemos δ ≡ δ1 = 4ǫ − ǫ2 . Así, si x ∈ (4 − δ, 4 + δ), enton es | x − 2| < ǫ, y habríamos probado la hipótesis para el aso en que 0 < ǫ < 2.

36

Matemáti as bási as para e onomistas 2: Cál ulo y >

2+ǫ 2 2−ǫ

>

> b

∨

>

∨

∨

∨

4

(2 − ǫ)2

(2 + ǫ)2

x

Figura 20b: Método grá o de al ular el δ , dado el ǫ.

b) Ahora: Si ǫ ≥ 2, enton es para 0 < ǫ′ < 2 tomamos δ = 4ǫ′ − ǫ′2 > 0. Por tanto, por lo expuesto en a), √

0 < |x − 4| < δ

√

impli a | x − 2 | < ǫ′

y así, | x − 2 | < ǫ, pues ǫ′ < ǫ. Luego dado ǫ > 0 ualquiera, existe δ > 0 tal que 0 < |x − 4| < δ

√

impli a | x − 2 | < ǫ

www.fullengineeringbook.net lo que signi a que

l´ım

x→4

√

x = 2.

Este resultado se ilustra numéri amente en las siguientes tablas: x √ f (x) = x

3.9 1.974841

3.99 1.997498

3.999 1.999749

3.9999 1.999975

x √ f (x) = x

4.2 2.049390

4.1 2.024845

4.01 2.002498

4.001 2.000249

Ejer i ios 3 1)

a) Utilizando la deni ión ǫ, δ de límite, demuestre, utilizando, si lo

onsidera útil, el método grá o ilustrado en el ejemplo 31, que l´ım x2 = a2 . x→a

b) Pruebe inmediatamente, utilizando a), que l´ım (9x2 − 1) = 9a2 − 1. x→a

) Dado ǫ = 0.01, determine un δ > 0 tal que si 0 < | x − 1 | < δ, enton es | ( 9x2 − 1 ) − 8 | < ǫ.

37

Le


2) Demuestre que si l´ım f ( x ) = b, enton es l´ım | f ( x ) | = | b |. [Indi a ión: x→a x→a Re uerde que | x | − | y | ≤ | x − y | para todo x, y ∈ R℄. Ilustre este resultado on algún ejemplo.

3) [El

on epto de límite respeta el orden de los números ℄ Pruebe que si

f (x) ≤ g(x) para x en un intervalo alrededor de ierto número a, y los límites l´ım f (x), l´ım g(x) existen, enton es l´ım f (x) ≤ l´ım g(x). x→a

x→a

x→a

x→a

4) En los siguientes ejer i ios al ule (o ompruebe) el límite y, uando sea apli able, señale los teoremas de límites utilizados. [Indi a ión: En algunos de estos ejer i ios, una fa toriza ión o ra ionaliza ión ade uada a lara el ál ulo del límite. Este tipo de ejemplos bus a, bási amente, resaltar que para el ál ulo de un límite, no es importante ono er el valor de la fun ión en el punto a, sino sólo en sus ve indades. En asos

omo estos se ha e muy onveniente ono er las reglas bási as del álgebra ordinaria (volumen 0: Fundamentos, le

ión 2)℄. √ √ a)

)

√ x2 − 4 √ =8 2 l´ım √ x→2 x− 2 √ √ 3 √ x− 32 3 l´ım =3 4 x→2 x−2

b) l´ım

x→0

x+2− x

2

2x2 − x − 3 x→−1 x3 + 2x2 + 6x + 5

d) l´ım

www.fullengineeringbook.net e)

l´ım

xn − y n = nxn−1 y→x x − y

f)

g)

x2 − 7x + 12 = −1 x→3 x−3

h) l´ım

l´ım

j)

i)

l´ım

x = −1 x→−1 | x |

xn − y n x→y x − y l´ım

x =1 x→1 | x | x x→0 | x | l´ım

* 5) Utilizando la deni ión de límite mediante su esiones, demuestre que l´ım sen(1/x) no existe. [Indi a ión: Ini ialmente, asuma que onverge x→0 a un punto a on 0 ≤ a < 1 y onstruya la su esión an = 2/(π(1 + 4n)) para n ∈ N; luego on luya que an → 0 pero que siempre se tiene que sen(1/an ) = 1, y esto es una ontradi

ión. Estudie luego el aso a = 1 ¾Por qué no debería onsiderar otros asos?℄. ¾Podría dibujar esta fun ión? Re urra al omputador para obtener una grá a de la fun ión, si lo onsidera ne esario. 4.

Tres lases espe iales de límites

El on epto de límite, en sí mismo, exige mu ho sobre el omportamiento de una fun ión. Por eso, en o asiones es onveniente tener otros on eptos er anos

38


al de límite que nos permitan avanzar en el análisis on menos requerimientos, o que omplementen la des rip ión del omportamiento de la fun ión. a.

Límites unilaterales

Deni ión 8. (Límites por la dere ha) Sea f (·) una fun ión denida al menos en el intervalo ( a, c ) on a < c. El límite de f ( x ) uando x se aproxima a a por la dere ha es D, y se es ribe l´ım f ( x ) = D(gura 21), si para ualquier ǫ > 0 existe δ > 0 tal que si + x→a

0 < x − a < δ,

enton es f ( x ) − D < ǫ

(Se observa que aquí no apare en las barras del valor absoluto sobre x − a, ya que x − a > 0 y, por tanto, a < x < a + δ para δ > 0). y

D+ǫ D f (x)

www.fullengineeringbook.net a

x a+δ c

x

Figura 21

Deni ión 9. (Límites por la izquierda) Sea f (·) una fun ión que está denida al menos en el intervalo ( d, a ) on d < a. Enton es el límite de f ( x ) uando x se aproxima a a por la izquierda es I , y se denota l´ım− f ( x ) = I (gura 22), si para ualquier ǫ > 0 existe x→a δ > 0 tal que si −δ < x − a < 0, y

enton es f ( x ) − I < ǫ

I f (x) I−ǫ d

a−δ x a

Figura 22

x

Le


39

Claramente, los teoremas 10, 11 y 12 sobre límites fun ionales son válidos si x

→ a

se reemplaza por x

→ a+

o por x

→ a− .

Ejemplo 32. Sea

f (·)

f ( x ) = [[ x ]] (fun ión l´ım f ( x ) y l´ım f ( x ).

denida por

Cal ulemos

x→2−

mayor entero ontenido en

x).

x→2+

Solu ión. Por deni ión

[[ x ]] = 1,

[[ x ]] = n

si

así que

n∈Z

y

l´ım [[ x ]] = 1,

2
tenemos que

[[ x ]] = 2

l´ım [[ x ]] = 2

x→2+

Para

1
tenemos que

l´ım f ( x ) = 1

es de ir,

x→2− Para

n ≤ x < n + 1.

x→2−

y enton es

luego,

l´ım f ( x ) = 2

x→2+

f (x)

3

www.fullengineeringbook.net 2 1

1

2

3

4

x

x

Figura 23: Fun ión mayor entero ontenido en

Nota 4. Es de notar en este ejemplo que uando

x

satisfa e

1 < 2 − δ < x < 2 + δ < 3, x ∈ ( 2 − δ, 2 ) o

sus orrespondientes imágenes saltan de 1 a 2 según que

x ∈ [ 2, 2 + δ ).

Rela ión límites laterales y límite )

Teorema 14. (

l´ım f ( x )

x→a

existe y es igual a

y son iguales a

L.

L

si, y sólo si,

l´ım f ( x )

x→a−

y

l´ım f ( x )

x→a+

Demostra ión. Es onse uen ia inmediata de las deni iones 8 y 9 anteriores.

existen


40

Ejemplo 33.

x

En la fun ión mayor entero ontenido en

del ejemplo 32,

l´ım f ( x )

x→2

no

existe, pues

l´ım f ( x ) = 2 6= 1 = l´ım f ( x )

x→2+

x→2−

Ejemplo 34.

Consideremos la fun ión

f( x ) = Tra emos la grá a de a)

f (·)

  x+3  3−x

si

x ≤ −2

si

x > −2

y en ontremos, si existen, los siguientes límites:

l´ım f ( x ) ,

b)

x→−2−

l´ım f ( x ) ,

x→−2+

)

l´ım f ( x )

x→−2

Solu ión.

Ayudándonos on la gura 24, tenemos que: a) Si

x → −2− ,

enton es

x < −2

y, por tanto,

f ( x ) = x+3

y

3 ) = −2 + 3 = 1 x → −2+ ,

l´ım ( x+

x→−2−

www.fullengineeringbook.net b) Si

enton es

x > −2

y, por tanto,

f ( x ) = 3−x

y

l´ım ( 3−

x→−2+

x ) = 3 − (−2) = 5

l´ım f ( x )

) De a uerdo on el teorema 14,

x→−2

no existe.

y

3

-2

3

x

Figura 24. Ejemplo 34

Ejemplo 35.

Consideremos la fun ión denida por a)

l´ım f ( x ) ,

x→2−

b)

f ( x ) = 3 + | 2x − 4 | l´ım f ( x ) ,

x→2+

)

y hallemos

l´ım f ( x )

x→2

41

Le

ión 1: El método de límites Solu ión.

De a uerdo on la deni ión de valor absoluto, se tiene que si 2 < x si x = 2 si x < 2

   3 + 2x − 4 f( x ) = 3   3 − ( 2x − 4 ) y = −2x + 7

3

2
Luego,

y y = 2x − 1 b

si si si

   2x − 1 = 3   7 − 2x

a)

b)

x

2

l´ım f ( x ) = l´ım ( 7 − 2x ) = 7 − 4 = 3

x→2−

x→2−

l´ım f ( x ) = l´ım ( 2x − 1 ) = 4 − 1 = 3

x→2+

x→2+

) De a) y b) se on luye que

l´ım f ( x ) = 3 N

x→2

Figura 25. Ejemplo 35

Ejemplo 36.

Dadas

www.fullengineeringbook.net f( x ) =

(

si x ≤ 1 si 1 < x

x2 + 3 x+1

y

g( x ) =

(

x2 2

si x ≤ 1 si 1 < x

a) Demostremos que l´ım− f ( x ) y l´ım+ f ( x ) existen pero no son iguales y, x→1

por tanto, l´ım f ( x ) no existe.

x→1

x→1

b) De la misma forma, demostremos que l´ım− g( x ) y l´ım+ g( x ) existen x→1

x→1

pero no son iguales y, por tanto, tampo o l´ım g( x ) existe. x→1

) En ontremos f ( x ) · g( x ). d) Probemos que l´ım f ( x ) · g( x ) existe, demostrando que l´ım− f ( x ) · x→1

x→1

g( x ) = l´ım f ( x ) · g( x ). x→1+

Solu ión.

a) l´ım− f ( x ) = l´ım− ( x2 + 3 ) = 4 , x→1

x→1

b) l´ım− g( x ) = l´ım− x2 = 1 , x→1

x→1

l´ım f ( x ) = l´ım ( x + 1 ) = 2

x→1+

x→1+

l´ım g( x ) = l´ım 2 = 2

x→1+

x→1+

42


) f ( x ) · g( x ) =

(

si x ≤ 1 si 1 < x

x4 + 3x2 2x + 2

d) l´ım− f ( x )·g( x ) = l´ım− ( x4 +3x2 ) = 4 y l´ım+ f ( x )·g( x ) = l´ım+ ( 2x+ x→1

x→1

2 ) = 4. Luego l´ım f ( x ) · g( x ) = 4.

x→1

x→1

x→1

Podemos observar una pe uliaridad en este ejemplo: aquí f (·) y g(·) no tienen límite en x = 1, pero su produ to, ( f · g )(·), sí lo tiene. ¾Cree el le tor que esto ontradi e la parte b) del teorema 11 (álgebra de límites )?

b. Límites al innito x2

Consideremos la fun ión f ( x ) = 2 . Si x toma los valores 0, 1, 2, 5, 10, x +1 100, 1000, y así su esivamente, de modo que x rez a sin límite, los valores de la fun ión se a er an ada vez más a 1, omo lo sugiere la siguiente tabla:

www.fullengineeringbook.net x 2 f (x) = x2x+1 1 − f( x )

0 0 1

1

2

5

10

100

1000

1 2 1 2

4 5 1 5

25 26 1 26

100 101 1 101

10000 10001 1 10001

1000000 1000001 1 1000001

y

1 y =1−

x2 +1

x2

x

Figura 26: Diferen ia entre 1 y f (x)

Además, a medida que x aumenta, la diferen ia entre 1 y f ( x ) se puede ha er

ada vez más pequeña; en otras palabras, se puede ha er la diferen ia entre 1 y f ( x ) tan pequeña omo se quiera tomando a x su ientemente grande. Esto se sugiere en la tabla anterior y en la gura 26.

43

Le


Deni ión 10. (Límite al innito positivo +∞) Sea f (·) denida en un intervalo de la forma ( a, +∞ ). Diremos que el límite de f ( x ) uando x re e sin límite (o que tiende a más innito) es L, y se denota l´ım f ( x ) = L

x→+∞

si para ualquier ǫ > 0 existe un número N > 0 (no ne esariamente un número natural) tal que | f ( x ) − L | < ǫ siempre que

x>N

Ejemplo 37. x2 = 1. x→∞ x2 + 1

Veamos que, efe tivamente, l´ım

Solu ión.

x2 1 − 1 | < ǫ si, y sólo si 2 < ǫ o ( on x2 + 1 q xq+ 1 1−ǫ un po o de álgebra) si, y sólo si | x | > 1−ǫ ǫ . Tomando N = ǫ se tiene el resultado. (¾Por qué no es ne esario onsiderar el aso ǫ ≥ 1?) N

Si 0 < ǫ < 1 es dado, enton es |

x2


Ahora: de la misma forma, si la fun ión f ( x ) = 2 se estudia para valores x +1 negativos de x ada vez más y más grandes en valor absoluto, la diferen ia entre 1 y f ( x ) también puede ha erse tan pequeña omo se quiera, omo se muestra en la tabla siguiente y en la gura 26: x 2 f (x) = x2x+1 1 − f( x )

0 0 1

−1 1 2 1 2

−2 4 5 1 5

−5

−100

25 26 1 26

10000 10001 1 10001

−1000 1000000 1000001 1 1000001

Y una manera de formalizar esto es denir el límite de f ( x ) uando x de re e indenidamente a través de valores negativos, así:

Deni ión 11. (Límite al innito negativo

−∞)

Sea f (·) una fun ión denida en un intervalo de la forma ( −∞, a ). El límite de f ( x ) uando x de re e sin límite (o tiende a menos innito) es L, y se denota l´ım f ( x ) = L

x→−∞

si para ualquier ǫ > 0, existe un número N < 0 tal que | f ( x ) − L | < ǫ siempre que

x
44


Ejemplo 38.

De manera similar a lo realizado en el ejemplo 37, basta es oger N = − x2 = 1. x→−∞ x2 + 1

para obtener que l´ım

q

1−ǫ ǫ

Nota 5.

No es difí il probar que los teoremas 10 (uni idad del límite ) y 11 (álgebra de límites fun ionales ) sobre límites se umplen también para las deni iones 10 y 11. Sin embargo, existen asos espe í os de límites al innito que son importantes por sí mismos omo se ilustra en el siguiente teorema: Teorema 15. (Límites Si

n

bási os al innito )


a)

l´ım

x→+∞

1 =0; xn

b)

l´ım

x→−∞

1 =0 xn

9

Demostra ión.

En el aso a), dado el ǫ > 0 basta es oger x > 11 ≡ N , y el resultado se sigue de ǫn la deni ión 10. En el aso b), dado el ǫ > 0 debemos es oger x < − 11 ≡ N , ǫn y de la deni ión 11 se sigue el resultado.


Ejemplo 39.

Evalúe los siguientes límites, utilizando el teorema 15: 2x + 1 x→+∞ 5x − 2

a)

l´ım

)

l´ım

x→+∞

( x − 1 )( x + 2 ) x2 + x − 5

b)

x2 − 2x + 5 x→+∞ 7x3 + x + 1

d)

x2 x→−∞ x2 + 1

l´ım l´ım

Solu ión. 2x+1 x 5x−2 x

= l´ım

x2 − 2x + 5 b) l´ım = l´ım x→+∞ 7x3 + x + 1 x→+∞

x2 −2x+5 x3 7x3 +x+1 x3

2x + 1 = l´ım x→+∞ 5x − 2 x→+∞

a) l´ım

= l´ım

x→+∞

9

1 x

−

7+

2 x2 1 x2

+ +

5 x3 1 x3

=

2+ x→+∞ 5 −

1 x 2 x

=

2 5

0 =0 7

El le tor podría omparar este resultado on uno similar ya demostrado para su esiones (teorema 6).

45

Le


) l´ım

x→+∞

( x − 1 )( x + 2 ) x2 + x − 2 = l´ ım x→+∞ x2 + x − 5 x2 + x − 5

= l´ım

x→+∞

d)

1+

1+

1 x 1 x

− −

2 x2 5 x2

=1

l´ım 1 x2 1 x→−∞ = l´ ım = =1 x→−∞ 1 + 12 x→−∞ x2 + 1 l´ım 1 + x12 x l´ım

x→−∞

Nota 6.

Aquí hemos visto que si debemos al ular límites al innito de una fun ión ra ional, es de ir, de una fra

ión de polinomios, una té ni a útil onsiste en dividir el numerador y el denominador por xn , donde n es la mayor poten ia impli ada. De esta manera, se apli a onvenientemente el teorema 15 en

onexión on las otras propiedades de los límites.

. Límites innitos Sea f (·) la fun ión denida por f( x ) =

4 , ( x − 1 )2

x 6= 1


Si se tabulan algunos valores de f (·) uando x está próximo a 1, se observa que a medida que x esté más er a de 1, f ( x ) es inmensamente grande: x 4 f (x) = (x−1) 2

2 4

3 2

5 4

16

64

1.1 400

1.01 40,000

1.001 4,000,000

De lo anterior se podría inferir que f ( x ) re e sin límite a medida que x tiende a 1 (gura 27). Veamos ómo se puede formalizar esto. y

f (x) =

4 ( x − 1 )2

1

Figura 27: Límite innito positivo

x

46


Deni ión 12. (Límite innito positivo (+∞)) Sea f (·) una fun ión que está denida en algún intervalo abierto I que ontenga al punto a, ex epto posiblemente en a. Diremos que el límite de f ( x ) uando x se aproxima al punto a es más innito, y se es ribe l´ım f ( x ) = +∞

x→a

si para ualquier número N > 0, existe δ > 0 tal que f( x ) > N

siempre que 0 < | x − a | < δ

Nota 7.

Estri tamente, el límite de f ( x ) no existe, pero lo que se quiere desta ar on la nota ión anterior es el re imiento sin ota de f ( x ) a medida que x está próximo al punto a.

Ejemplo 40.

4 = +∞ (gura 27) se ve enseguida de manera formal. Si ( x − 1 )2 4 2 N > 0 es dado, enton es > N si, y solo si, se tiene que | x−1 | < √ . 2 (x − 1) N 2 Por tanto, elijamos δ = √ y observemos que f ( x ) > N para todo x tal que N 4 0 < | x − 1 | < δ. Esto signi a que, enton es, l´ım = +∞. N x→1 ( x − 1 )2

Que l´ım

x→1


De forma similar, estable emos la siguiente deni ión:

Deni ión 13. (Límite innito negativo (−∞))

Sea f (·) una fun ión que está denida en algún intervalo abierto I que ontenga a a, ex epto posiblemente en a mismo. Diremos que el límite de f ( x ) uando x se aproxima al punto a es menos innito, y se es ribe l´ım f ( x ) = −∞

x→a

si para ualquier número N < 0, existe δ > 0 tal que f( x ) < N

siempre que 0 < | x − a | < δ

Ejemplo 41. 1 = −∞ (gura 28), omo se muestra a ontix2 −1 1 nua ión. Dado N < 0 se tiene que 2 < N si, y sólo si | x | < √ . Por x −N

Podemos probar que l´ım − x→0

47

Le


1 y observemos que f ( x ) < N para todo x tal que −N 1 0 < | x | < δ. Esto signi a que l´ım − 2 = −∞. x→0 x

tanto, elijamos δ = √

y

x

f (x) = −

1 x2

Figura 28: Límite innito negativo Nota 8.

Pueden onsiderarse también límites unilaterales que sean innitos. Por ejemplo, diremos que l´ım+ f ( x ) = +∞ si para ualquier número N > 0 existe un x→a δ > 0 tal que f ( x ) > N siempre que 0 < x − a < δ

www.fullengineeringbook.net Y se pueden dar deni iones similares para expresiones omo l´ım f ( x ) = −∞ y

l´ım f ( x ) = +∞,

x→a−

l´ım f ( x ) = −∞

x→a+

x→a−

Algunos de estos, que apare en de manera re urrente en el ál ulo explí ito de límites, son los siguientes: Teorema 16. (Límites Si

n

a)

innitos bási os )


1 l´ım n = +∞ x→0+ x

b)

1 l´ım n = x→0− x

(

−∞ +∞

si n es impar si n es par

Demostra ión.

Úni amente haremos la demostra ión del literal a). La prueba de b) queda

omo ejer i io para el le tor. Para demostrar a) debemos ver que si N > 0 existe δ > 0 tal que 1 >N xn

siempre que 0 < x < δ

48


o, equivalentemente (ya que x > 0 y N > 0), que xn <

1 N

siempre que 0 < x < δ

o, lo que es lo mismo, puesto que n ∈ N, que x<

1 N

1

n

Luego si, N > 0, tomemos δ = δ=

1

1 N

n

siempre que 0 < x < δ 1 N

1

n

y enton es tendremos que si 0 < x <

1 será n > N . De esta manera probamos que a) es ierto. x

Ejemplo 42.

Como onse uen ia del teorema 16 se tiene, laramente, que a) b)

l´ım

1 = +∞ x

)

l´ım

1 = −∞ x

d)

x→0+

x→0−

l´ım

1 = +∞ x2

l´ım

1 = +∞ x2

x→0+

x→0−


y una grá a elemental, por parte del le tor, de las fun iones f (x) = g(x) =

1 , orroboraría la arma ión. x2

1 y x

N

El siguiente teorema de límites es en extremo útil uando se trata de omparar el omportamiento (para los valores er anos a un punto a) de dos fun iones distintas:

Cierto omportamiento lo al )

Teorema 17. ( Si

a es ualquier número real y si l´ım f ( x ) = 0 y l´ım g( x ) = c, donde c es

una onstante no nula, enton es

x→a

x→a

a)

Si

b)

Si c < 0 y si f ( x ) → 0 a través de valores negativos de f ( x ) ( uando x → a) tendremos que g( x ) l´ım = +∞ x→a f ( x )

c > 0 y si f ( x ) → 0 a través de valores positivos de f ( x ) uando x → a, tendremos que g( x ) = +∞ l´ım x→a f ( x )

Le


49

) Si

c < 0 y si f ( x ) → 0 a través de valores positivos de f ( x )( uando x → a), enton es g( x ) l´ım = −∞ x→a f ( x )

d) Si

c > 0 y si f ( x ) → 0 a través de valores negativos de f ( x ) ( uando x → a), enton es g( x ) l´ım = −∞ x→a f ( x )

Demostra ión.

a) Sean

c > 0, l´ım g( x ) = c x→a

l´ım f ( x ) = 0

x→a

on

f( x ) > 0

en un intervalo

l´ım g( x ) x→a f ( x )

= +∞ debemos probar que si N > 0 es dado, enton es, es siempre posible hallar un δ > 0 tal que g( x ) si 0 < | x − a | < δ , enton es f ( x ) > N . Ahora: omo l´ ım g( x ) = c > 0, abierto alrededor de

a.

y

Para probar que

x→a

ǫ = 21 c existe δ1 > 0 tal que si 0 < | x − a | < δ1 , enton es 1 | g( x ) − c | < 2 c; es de ir, si 0 < | x − a | < δ1 enton es 12 c < g( x ) < 32 c; 1 así, existe δ1 > 0 tal que si 0 < | x − a | < δ1 enton es g( x ) > 2 c. enton es para

www.fullengineeringbook.net De otro lado, omo

l´ım f ( x ) = 0,

x→a

enton es, para ualquier

ǫ > 0,

existe

0 < | x − a | < λ, se tendrá que f ( x ) = | f ( x ) | < ǫ, f ( x ) > 0 en un intervalo abierto alrededor de a. En parti ular, c dado N > 0, para ǫ = 2N , existe λ = δ2 > 0 tal que para todo x, si c 0 < | x − a | < δ2 , enton es f ( x ) < 2N . De todo lo anterior se puede

on luir que para N > 0, al tomar δ = m´ ın{δ1 , δ2 }, si 0 < | x − a | < δ λ>0

tal que si

ya que

g( x )

enton es f ( x ) parte a).

>

1 c 2

f( x )

>

2N c

·

1 2

c=N

lo ual prueba el teorema en su

Los otros tres asos se desprenden del aso a), de los distintos límites involu rados, y de las siguientes identidades:

−g( x ) −g( x ) g( x ) g( x ) = = −( ) = −( ) f( x ) −f ( x ) f( x ) −f ( x ) Ejemplo 43.

Dibujemos, sólo utilizando los límites ne esarios,

f( x ) =

x . ( x − 1 )( x + 2 )

50


Solu ión

Observemos que: a)

l´ım f ( x ) = 0

b)

l´ım f ( x ) = −∞

d)

x→+∞

)

x→1−

e)

l´ım f ( x ) = +∞

x→1+

l´ım f ( x ) = +∞

x→−2+

f)

l´ım f ( x ) = −∞

x→−2−

l´ım f ( x ) = 0

x→−∞

La grá a de esta fun ión se ilustra en la gura 29. y f (x) =

−2

x ( x − 1 )( x + 2 ) x

1

www.fullengineeringbook.net Figura 29: Figura del ejemplo 43

Ejemplo 44.

Evaluemos los siguientes límites: a)

) e)

t+2 l´ım 2 + t→2 t − 4 1 1 l´ım − x x2 x→0+ 1 3 l´ım − s − 2 s2 − 4 s→2−

√

3 + x2 x x→0+ x2 − 3 d) l´ım+ 3 x→0 x + x2 x−2 √ f) l´ım+ x→2 2 − 4x − x2

b)

l´ım

Solu ión.

t+2 t+2 1 = l´ım = l´ım = +∞. 2 + + t→2 t − 4 x→2 ( t + 2 )( t − 2 ) x→2 t − 2 √ √ 3 + x2 b) l´ım+ = +∞ porque si g( x ) = 3 + x2 y f ( x ) = x, enton es x x→0 √ l´ım g( x ) = 3 y l´ım f ( x ) = 0.

a) l´ım+

x→0+

x→0+

1 1 x−1 − 2 = l´ım = −∞, porque si g( x ) = x − 1 y + x x x2 x→0 x→0 f ( x ) = x2 , enton es l´ım g( x ) = −1 < 0 y l´ım f ( x ) = 0.

) l´ım+

x→0+

x→0+

51

Le


x2 − 3 = −∞, ya que l´ım x3 + x2 = 0 on x3 + x2 > 0 para 3 2 + x→0 x + x x→0 x > 0 y l´ım ( x2 − 3 ) = −3 (gura 30).

d) l´ım+

x→0+

y

f (x) =

x2 − 3 x3 + x2

0

−1

x

Figura 30

1 3 e) l´ım− − = s − 2 s2 − 4 s→2 l´ım ( s − 1 ) = 1 >

s−1 = −∞, pues s→2− ( s − 2 )( s + 2 ) 0 y l´ım ( s − 2 )( s + 2 ) = 0 l´ım

www.fullengineeringbook.net s→2−

s→2−

on ( s − 2 )( s + 2 ) < 0 para s < 2 er ano. √

)( 2+ 4x−x = l´ım ( x−24−( f) l´ım+ 2−√x−2 4x−x2 ) 4x−x2 + x→2

x→2

= l´ım

x→2+

√ 2+ 4x−x2 x−2

2

)

= +∞

√

porque si g( x ) = 2 + 4x − x2 , enton es l´ım+ g( x ) = 4 y l´ım+ ( x− x→2

2 ) = 0 a través de valores positivos.

Ejer i ios 4 1) Guiándose por la gura 30, al ule, analíti amente, a) l´ım f (x)

b) l´ım− f (x)

) l´ım+ f (x)

d)

e)

f) l´ım f (x)

x→∞

x→0

l´ım f (x)

x→−1−

x→0

l´ım f (x)

x→−1+

x→−∞

x→2

52


2) Identique, si existen, los siguientes límites, e ilustre (lo mejor que pueda)

on una grá a: a)

) e)

b)

l´ım [[ x ]]

x→2−

d)

l´ım [[ x ]]

x→2

l´ım { [[ x ]] − x } √ x−2 g) l´ım+ x→4 |x| − 4 [[ x ]] i) l´ım+ x x→1 p k) l´ım 3 − 2|x| x→2+

x→0+

f)

l´ım [[ x ]]

x→2+

l´ım ([[ x ]] − x)

x→2−

l´ım ( [[ x ]] − x ) √ x−2 h) l´ım− x→4 |x| − 4 [[ x ]] j) l´ım− x x→1 p l) l´ım 3 − 2|x| x→2

x→0−

3) Dibuje, hasta donde pueda, utilizando el ál ulo de límites, las siguientes fun iones: a) f ( x ) =

x2 1+x

b) f ( x ) =

x−1 x2 − 1

) f ( x ) =

x+2 ( x − 3 )x

www.fullengineeringbook.net 4) Halle, si existen, los siguientes límites: a)

) e)

l´ım

x→0+

r 3

|x| (= 1) x

r

|x| l´ım + x x→0 √ l´ım 3 − 2x x→ 23

−

x −1 x→−1+ 1 i) l´ım+ x2 + x x→0 2 x k) l´ım+ |x − 1| x→1 x2 m) l´ım+ x→0 |x − 1| √ 3 x−1 o) l´ım+ x x→0

g)

l´ım

x2

b) d) f)

l´ım

x→0−

r 3

|x| x

r

|x| x √ l´ım 3 − 2x l´ım

x→0− x→ 23

+

x −1 x→−1− 1 j) l´ım− x2 + x x→0 2 x l) l´ım− |x − 1| x→1 x2 n) l´ım− x→0 |x − 1| √ 3 x−1 p) l´ım− x x→0

h)

l´ım

x2

53

Le


5) Cal ule, si existen, los siguientes límites: a)

)

x2 − 3x + 1 x→+∞ 2x2 + 7x − 8 l´ım

x2 + 1 x→+∞ x3 + 2x2 − 3 l´ım

x5 − 3x2 + x − 1 x→+∞ x4 + 20x2 + 4x + 8 √ x2 + x − 1 g) l´ım √ 3 x→+∞ x3 + x2 − 3 √ x2 + 1 i) l´ım x→+∞ x − 3 √ 3 x2 − x + 4 k) l´ım √ 6 x→+∞ x4 + x − 5

e)

l´ım

x2 − 3x + 1 x→−∞ 2x2 + 7x − 8

b)

l´ım

x2 + 1 x→−∞ x3 + 2x2 − 3

d)

l´ım

x5 − 3x2 + x − 1 x→−∞ x4 + 20x2 + 4x + 8 √ x2 + x − 1 h) l´ım √ 3 x→−∞ x3 + x2 − 3 √ x2 + 1 j) l´ım x→−∞ x − 3 √ 3 x2 − x + 4 l) l´ım √ 5 x→−∞ x4 + x − 5

f)

l´ım

¾Por qué ree usted que es importante al ular estos límites? [Indi a ión: No es para demostrar sus habilidades algebrai as℄.


Continuidad de una fun ión de una sola variable

Las fun iones ontinuas forman la lase bási a de fun iones que permiten ierto manejo analíti o desde el punto de vista del Cál ulo. La idea general e intuitiva de una fun ión ontinua puede obtenerse del he ho de que su grá a es

ontinua: la urva puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel (gura 31). y

y

b

a a) Continua en

a

x x=a

b) Dis ontinua en

x x=a

Figura 31: Continuidad y dis ontinuidad

Una fun ión ontinua es la des rip ión matemáti a de mu hos fenómenos naturales: pequeños ambios en la variable independiente orresponden a (relativamente) pequeños ambios en la variable dependiente de la fun ión. Por ejemplo,


54

s = f ( t ), donde s mide la distan ia y t el tiempo, se piensan omo fun iones ontinuas de la variable ontinua tiemleyes de movimiento de un uerpo omo

po : pequeños ambios en el tiempo orresponden a (relativamente) pequeños

ambios en la distan ia. Partiendo desde la épo a de los griegos, el pensamiento humano llegó a la no ión abstra ta de ontinuidad observando, además del tiempo y el espa io, a sólidos, líquidos y gases (los metales, el agua, el aire). Ahora se sabe que, en o asiones, un medio físi o puede representarse onvenientemente omo la a umula ión de un gran número de partí ulas separadas, pero uyas distan ias entre ellas son tan pequeñas en ompara ión on las dimensiones del medio en el que subya en, que mu hos de estos fenómenos pueden estudiarse on su iente aproxima ión si onsideramos el medio omo si estuviera ontinuamente distribuido sobre el espa io o upado. Pre isamente sobre hipótesis omo éstas, están basadas asi todas las ien ias físi as.

Deni ión 14. (Fun ión ontinua (Cau hy (1821), Weierstrass (1861))) f : Df −→ R

f (·) es ontinua en a si, y sólo si está denida en a y l´ ım f ( x ) = f l´ım x = f ( a ); es de ir, si para x→a x→a

ualquier ǫ > 0 existe δ > 0 tal que para todo x ∈ Df , f ( x ) − f ( a ) < ǫ siempre que | x − a | < δ .

Sea

una fun ión ualquiera. La fun ión


Cuando una fun ión no es ontinua en

a

a, se di e que es dis ontinua

en

a, o que

es un punto de dis ontinuidad de ella.

Nota 9. Observemos la diferen ia entre la deni ión

ǫ, δ

de límite (teorema 13) y la

deni ión de ontinuidad. Para esta última, el on epto de límite no es su iente: se ne esita que la fun ión esté denida en mente, | x

l´ım f ( x ) = f ( a ).

x→a

− a | < δ

x=a

y que, fundamental-

De allí que aparez a en la deni ión de ontinuidad

y no sólo 0

< | x − a | < δ

omo en la deni ión del on epto

de límite, en la que no interesa ómo esté (si lo está) denida la fun ión en el punto

a.

Ejemplo 45. Anali emos la ontinuidad de las siguientes fun iones en el punto

a)

b)

x2 − 1 x−1 ( 2x2 g( x ) = 3−x f( x ) =

si

x 6= 1,

f ( 1 ) = 0;

−1 ≤ x < 1 1 ≤ x ≤ 2;

a=1

a=1

a

indi ado:

Le


)

d)

55

x2 + x si x 6= 0, f ( 0 ) = 1; |x| √ f ( x ) = x si x > 0; a > 0 h( x ) =

a=0

Solu ión.

x2 − 1 = l´ım ( x + 1 ) = 2; pero omo f ( 1 ) = 0, x→1 x→1 x→1 x − 1 enton es f (·) es dis ontinua en x = 1. Puede verse en la gura 32 que la grá a de la fun ión está rota en el punto ( 1, 2 ). Sin embargo, si se

a) Aquí,

l´ım f ( x ) = l´ım

redene

la fun ión de la siguiente manera:

f( x ) =

x2 − 1 x−1

x 6= 1

f( 1 ) = 2

y

ésta es ahora ontinua. b)

g( x ) =

(

2x2 3−x

−1 ≤ x < 1 1≤x≤2

g( 1 ) = 3 − 1 = 2

www.fullengineeringbook.net Sabemos que

l´ım g( x )

x→1

existe si, y sólo si los límites unilaterales existen

y son iguales; aquí

l´ım g( x ) = l´ım 2x2 = 2

ya que

x<1

l´ım g( x ) = l´ım ( 3 − x ) = 2

ya que

x>1

x→1−

x→1−

x→1+

x→1+

Luego

l´ım g( x ) = 2 = g( 1 )

x→1 lo que indi a que

g(·)

es ontinua en

x=1

omo se apre ia en la gura

33.

)

h( x ) =

x2 + x |x|

Sabemos que

si

x 6= 0,

f( 0 ) = 1

l´ım h( x ) existe si, y sólo si l´ım h( x ) y l´ım h( x ) existen

x→0

y son iguales. Ahora: omo

x→0−

 2   x +x = x+1 x2 + x  x h( x ) = = 2  x +x |x|   = −x − 1 −x

x→0+

si

x>0

si

x<0


56

y

y

2

2

b

x

1

-1

1

2

x

Figura 33

Figura 32 enton es

l´ım h( x ) = l´ım ( x + 1 ) = 1

x→0+

x→0+

l´ım h( x ) = l´ım ( −x − 1 ) = −1

x→0− Luego,

x = 0.

l´ım h( x )

x→0

no

existe

x→0−

y,

por

tanto,

h(·)

es

dis ontinua

en

En la gura 34 es laro el salto en el origen.


y = x+1 y = −x − 1

-1

1

2

x

Figura 34

√ δ > 0 tal que | x − √ √ √ |x − a| √ ≤ a | < ǫ siempre que | x−a | < δ. Ahora: omo | x− a| = √ x+ a √ |x − a| √ , enton es basta tomar δ ≡ ǫ a, y así si x satisfa e |x − a| < δ a √ √ √ |x − a| δ ǫ a enton es | x − a| ≤ √ < √ = √ = ǫ. N a a a

d) Sea

a > 0.

Queremos ver que dado

ǫ>0

existe

Por el álgebra de los límites fun ionales (teorema 11) se tiene inmediatamente que:

57

Le

ión 1: El método de límites Teorema 18. (Álgebra Si

f (·)

y

g(·)

de fun iones ontinuas )

son fun iones ontinuas en

a) (f ± g)(·);

x = a,

b) (f · g)(·);

también son ontinuas en

)

x = a.

enton es

f (·) g

si g( a ) 6= 0

Ejemplo 46.

a) La fun ión f ( x ) = c es ontinua para todo x, donde c ∈ R es jo. b) La fun ión g( x ) = x es ontinua para todo x.

) Apli ando su esivamente el teorema 18, las siguientes fun iones son ontinuas para todo x: c; cx; cx2 = cx·x; cx3 = cx2 ·x; · · · ; cxn = cxn−1 ·x, donde c ∈ R es jo. Ejemplo 47. (Los polinomios son fun iones ontinuas)

Utilizando el ejemplo 46 anterior y el teorema 18 podemos on luir también que toda fun ión polinomial de grado n ai onstante, i = 0, 1, 2, · · · , n,

www.fullengineeringbook.net f ( x ) = a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an−1 x + an , a0 6= 0, es ontinua en todo punto.

Ejemplo 48. (¾Dónde son ontinuas las fun iones ra ionales?)

De a uerdo on el teorema 18, parte ), una fun ión ra ional f( x ) =

P(x) , Q( x )

donde P ( x ) y Q( x ) son polinomios

es ontinua en todo punto donde el denominador Q( x ) sea distinto de e-

x2 − x es ontinua para todo x 6= 2, y g( x ) = x−2 es ontinua para todo x 6= 1, −1, 0.

ro. Por ejemplo, f ( x ) = 1 x( x2 − 1 )

Teorema 19. (Límite Supongamos que

l´ım f ( x ) = b.

x→a

f (·)

y

de una fun ión ompuesta ) g(·)

son fun iones, donde

Enton es

l´ım g[ f ( x ) ] = g( b );

x→a o sea que

l´ım g [ f ( x ) ] = g [ l´ım f ( x )]

x→a

x→a

g(·)

es ontinua en

b

y

58


Demostra ión

La demostra ión se deja omo ejer i io para el le tor (ver el ejer i io 12 de los Ejer i ios 5). Ejemplo 49.

√

Para al ular l´ım 8x2 − 2x + 9, sea f (x) = 8x2 − 2x + 9 y g(x) = x→3 l´ım f (x) = 75 y g(·) es ontinua en 75, enton es x→3

l´ım

x→3

p

8x2 − 2x + 9 = l´ım g( f ( x ) ) = g(75) =

√

x→3

√ x. Como

75

Continuidad de la fun ión ompuesta )

Teorema 20. (

Si f (·) es ontinua en x = a y g(·) es ontinua en f ( a ), enton es la fun ión

ompuesta ( g ◦ f )(·) es ontinua en x = a. Demostra ión.

Del teorema 19 se sigue inmediatamente que l´ım g(f ( x ) ) = g( l´ım f ( x ) ) = g( f ( a ) )

x→a

x→a

Ejemplo 50.


Demostremos la ontinuidad de h( x ) = √ Solu ión

Si g( x ) =

1

x2

+1

en x = a

√ x y f( x ) =

1 , enton es x2 + 1 h( x ) = ( g ◦ f )( x ) = g( f ( x ) )

Como toda fun ión ra ional es ontinua donde el denominador no se anule, √ f (·) es ontinua en a; además, g(·) es ontinua en b = f (a) ya que l´ım x = x→b

√

b, b ≥ 0. Luego, por el teorema de ontinuidad de la fun ión ompuesta (teorema 20), ( g ◦ f )(·) = h(·) es ontinua en a (gura 35). N y

1 y= √

1 x2 +1

x

Figura 35

59

Le


Un paso adelante en la omprensión de la no ión de ontinuidad, es la siguiente deni ión:

Deni ión 15. (Dis ontinuidad esen ial y no-esen ial) Sea f : Df −→ R una fun ión ualquiera y a un punto de Df . De imos que f (·) tiene: i) Una

dis ontinuidad esen ial

en a si, y sólo si l´ım f ( x ) no existe. x→a

ii) Una dis ontinuidad no-esen ial (o removible) en a si, y sólo si l´ım f ( x ) x→a existe y, por supuesto, es distinto de f ( a ).

Ejemplo 51. Demostremos que f( x ) =

  

1

si x = 0

www.fullengineeringbook.net 1   x sen x

si x 6= 0

es dis ontinua en x = 0 (gura 16).

Solu ión. Como vimos en el ejemplo 29, el teorema del sándwi h impli a que l´ım x sen 1/x x→0 = 0. Ya que f ( 0 ) = 1, enton es f ( · ) es dis ontinua en x = 0. Esta es una dis ontinuidad no-esen ial pues si redenimos f (0) = 0, la fun ión será enton es

ontinua.

Ejemplo 52. (Una dis ontinuidad no-esen ial) x3 − 1 en x = 1 para que pueda ser x−1 x3 − 1

ontinua en el punto indi ado? La respuesta es simple: Ya que l´ım = x→1 x − 1 l´ım x2 +x+1 = 3, esta fun ión tiene una dis ontinuidad no-esen ial en x = 1.

¾Qué valor debe darse a la fun ión f ( x ) =

x→1

Por tanto, basta denir f ( 1 ) = 3 para ha erla ontinua allí (gura 36a).


60

y

y •

3−

1−

1 ◦ 1

x

x ◦ −1

Figura 36a: f (x) = x2 + x + 1

Figura 36b: f (x) =

|x| si x 6= 0 x

Ejemplo 53. (Una dis ontinuidad esen ial) ¾Será posible redenir

f( x ) =

|x| x

en

x=0

respuesta es que no es posible, puesto que (dis ontinuidad esen ial en

x = 0).

de tal forma que sea ontinua? La

l´ım f ( x ) = 1

x→0+

y

l´ım f ( x ) = −1

x→0−

Así, sin importar el valor que le asignemos


a

f( x )

en

x = 0,

la fun ión será dis ontinua allí (gura 36b).

Nota 10. Fun iones dis ontinuas omo la del ejemplo anterior apare en en numerosas o asiones omo expli a ión de fenómenos naturales. Por ejemplo, en el aso de un movimiento repentino, pare ería que la velo idad ambia en forma de salto. De he ho, mu has transi iones ualitativas en la naturaleza pare ieran darse on saltos de esta forma. Otro ejemplo es el de la antidad de alor de una por ión dada de hielo: en er anías de su punto de des ongela ión, se observa

omo si la antidad de alor ambiara en forma repentina.

Nota 11. (Existen ia de fun iones dis ontinuas en todas partes) A menudo se en uentran en el análisis matemáti o fun iones on iertas dis ontinuidades aisladas. Pero asos extremos de esto también existen: son fun iones

número de dis ontinuidades es innito. Un aso extremo es la llamada fun ión de Riemann donde el

  0     1 f( x ) =   q   

si

x es

irra ional

si

x es

ra ional de la forma

p q

redu ida a su mínima expresión

61

Le


que es dis ontinua en todos los puntos ra ionales y ontinua en todos los puntos

. Más laro aún: si alteramos ésta un tanto, y denimos la fun ión igual a 1 en los puntos irra ionales, y −1 en los puntos ra ionales, obtenemos un ejemplo de una fun ión que es ½dis ontinua en todos los puntos! (¾Podría el le tor bosquejar la grá a de la segunda fun ión?) Debe advertirse que fun iones ompli adas omo estas impulsaron notablemente el desarrollo de la teoría de fun iones de variable real durante gran parte del siglo XX. irra ionales

Ejer i ios 5 1) Sea f (·) una fun ión denida por  2   x +1 y = f( x ) = 0   3−x

si x < 1 si x = 1 si x > 1

a) ¾Es f (·) ontinua en x = 0? b) ¾Es f (·) ontinua en x = 1? Si no lo es, dena de nuevo f (·) para que lo sea.

) ¾Es f (·) ontinua en x = a on a 6= 1 ? [Indi a ión: dibuje℄.

www.fullengineeringbook.net 2) Sea f (·) la fun ión denida por

  |x| + 1 x f( x ) =  0

si x 6= 0 si x = 0

¾Es f (·) ontinua en x = 0? Si no lo es, ¾se puede redenir f (·) para que lo sea? ¾Por qué? [Indi a ión: Dibuje℄. 3) Considere la fun ión y = [[ x ]] + x. ¾Es f (·) ontinua en x = n, n ∈ N?

* 4) Se tiene la fun ión g( x ) = x2 − [[ x ]] . ¾Es g(·) ontinua en x = n, n ∈ N? [Indi a ión: una grá a podría ayudar℄. 5) En uentre, si existen, los valores de las onstantes a y b de tal manera que f (·) sea ontinua si:   ax2 + b    f( x ) = 4a     2/x

si x < 2 si x = 2 si x > 2


62

6) Demuestre que

f( x ) = x = 0.

es ontinua en

  

1   x2 sen x

7) Demuestre que

f( x ) = es dis ontinua en al número

a

x = 0,

0

  

a

1   sen x

si

x=0

si

x 6= 0

si

x=0

si

x 6= 0

independientemente de qué valor le asignemos

[Indi a ión: véase el ejer i io 5 de los Ejer i ios 3℄.

8) Dena, si es posible, las siguientes fun iones, de tal forma que sean ontinuas en el punto indi ado; en aso de no ser posible, explique laramente por qué:

x4 − 1 ; x=1 x−1 1

) f( x ) = ; x=1 x−1

a)

f( x ) =

b)

f ( x ) = x3 cos

d)

f ( x ) = tan x;

1 ; x

x=0 π 2

x=

www.fullengineeringbook.net f : Df −→ R es ontinua en un punto a de su dominio, si, y an → a enton es f ( an ) → f ( a ) uando n → ∞, donde an ∈ Df todo n su ientemente grande.

9) Pruebe que sólo si para

f (·) y g(·) son ontinuas en a, enton es, tanto máx{ f (·), g(·) }

omo m´ ın{ f (·), g(·) }, son ontinuas en a.[Indi a ión: m´ ax{ f (x), g(x) } = f ( x ) + g( x ) + | f ( x ) − g( x ) | ; ¾A qué es igual m´ ın{ f (x), g(x) }?℄ 2

10) Muestre que si

11) Pruebe que si

f (·) + g(·)

f (·)

es ontinua en

es dis ontinua en

el o iente de

f (·)

a.

a

y

g(·)

dis ontinua en

a

enton es

¾Será lo mismo ierto para el produ to y

g(·)?

y

12) Las hipótesis del teorema 19 se puede debilitar de la siguiente manera: Supongamos que

l´ım f ( x ) = b

x→a

intervalo abierto alrededor de

l´ım g(f ( x )) = l´ım g(y)

x→a

y→b

a.

,

l´ım g( y ) = L

y→b

Enton es

y

f ( x ) 6= b

l´ım g(f ( x )) = L;

esto es,

x→a

al ha er la sustitu ión

y = f (x)".

Para ver que

esta generaliza ión del teorema 19 también es ierta, tomemos

omo

l´ım g( y ) = L ,

y→b

|g(y) − L| < ǫ.

Para

existe

δ0

δ0 > 0

existe

δ1 > 0

en un

ǫ > 0;

tal que si

0 < |y − b| < δ0

enton es

tal que si

0 < |x − a| < δ1

enton es

63

Le


|f (x) − b| < δ0 . Como f (x) 6= b para x en un intervalo abierto de a (digamos de radio δ2 ) enton es tomando δ = min{δ1 , δ2 } tendremos que si 0 < |x − a| < δ enton es 0 < |f (x) − b| < δ0 y, por tanto, |g(f (x)) − L| < ǫ o, lo que es equivalente, l´ım g(f ( x )) = L". x→a

El ejer i io aquí onsiste en entender por qué este teorema es, realmente, un forma débil del teorema 19, e ilustrarlo on un ejemplo. 6.

Fun ión ontinua en un onjunto

Hasta aquí sólo hemos denido la no ión de ontinuidad en un punto x = a. Ahora estudiaremos esta propiedad globalmente ; es de ir, omo una ara terísti a de un onjunto y no de un solo punto.

Deni ión 16. (Continuidad por la dere ha y por la izquierda) a) Sea f : Df −→ R una fun ión ualquiera. Se di e que la fun ión f (·) es ontinua por la dere ha del punto a de su dominio, si, y sólo si l´ım f ( x ) = f ( a ). + x→a

b) Se di e que la fun ión f (·) es ontinua por dominio, si, y sólo si l´ım− f ( x ) = f ( b ).

del punto b de su

www.fullengineeringbook.net la izquierda

x→b

Teorema 21. Una fun ión

f (·)

es ontinua en

y por la izquierda de

x = a.

x=a

si, y sólo si es ontinua por la dere ha

Demostra ión. La demostra ión de este teorema es onse uen ia dire ta del teorema 14 (Re).

la ión límites laterales y límite

Deni ión 17. (Continuidad en un intervalo) Una fun ión se di e que es ontinua en [ a, b ] si, y sólo si es ontinua en el intervalo abierto ( a, b ) (es de ir, ontinua en ada punto de ( a, b )); ontinua por la dere ha de a; y ontinua por la izquierda de b. En este punto, es fá il enton es dar deni iones análogas para la ontinuidad de una fun ión f (·) en intervalos de la forma ( a, b ], [ a, b ), ( −∞, a ], ( −∞, a ), [ a, +∞ ), ( a, +∞ ) o en uniones de ellos. Esto se deja omo ejer i io para el le tor. Los ejemplos siguientes le ilustrarán la deni ión orre ta que podría presentar.


64

Ejemplo 54.

Determinemos si las siguientes fun iones son ontinuas o dis ontinuas en ada uno de los intervalos indi ados: a)

f ( x ) = [[ x ]],

b)

f( x ) =

)

− 12 , 12 ,

1 1 4, 2

, ( 1, 2 ), [ 1, 2 ), ( 1, 2 ]

|x − 1| , ( −∞, 1 ), ( −∞, 1 ], [ −1, 1 ], ( −1, +∞ ), ( 1, ∞ ) x−1   si −2>x  2x − 3 g( x ) = x − 5 si −2≤x≤1   si 1
Solu ión.

x ∈ −12 , 0 , enton es f ( x ) = [[ x ]] = −1 −→ −1 uando x → 0− . Si x ∈ 0, 12 , enton es f ( x ) = [[ x ]] = 0 −→ 0 uando x → 0+ . Por tanto, f (·) es dis ontinua en − 21 , 12 . 1 1 Si x ∈ 4 , 2 , enton es f ( x ) = [[ x ]] = 0; luego f (·) es onstante y, por 1 1 tanto, ontinua en ( 4 , 2 ).

a) Si

www.fullengineeringbook.net x ∈ ( 1, 2 ), ( 1, 2 ). Si

Si se in luye

ontinua en

se tiene que

x = 1,

enton es

y, por tanto,

dis ontinua en

l´ım f ( x ) = 1 = f ( 1 )

x→1+

x = 2 , f( 2 ) = 2

( 1, 2 ].

y

y

es ontinua en

f (·)

l´ım f ( x ) = 1;

x→2−

x−1 =1 |x − 1| x−1 f( x ) = =  x−1  − x − 1 = −1 x−1   

Dado que

f (·)

también es

[ 1, 2 ).

Si se in luye el punto

b)

f( x ) = 1

si

x>1

si

x<1

l´ım f ( x ) = l´ım ( −1 ) = −1

x→1−

x→1−

l´ım f ( x ) = l´ım ( 1 ) = 1

x→1+

x→1+

enton es

l´ım f ( x )

x→1

no existe

así,

f (·)

es

65

Le

ión 1: El método de límites y y= 1-

p

|x − 1| x−1

1

-1

x

-1

Figura 37a

Luego, f (·) es dis ontinua en ualquier intervalo que tenga a 1 omo punto interior. Por lo tanto, f (·) es (gura 37a): i) Continua en (−∞, 1). ii) Dis ontinua en (−∞, 1] porque f (1) no existe. iii) Dis ontinua en [−1, 1] porque f (1) no existe. iv) Dis ontinua en (−1, ∞] porque f (1) no existe. v) Continua en (1, +∞).


)

   2x − 3 g( x ) = x − 5   3−x

si si si

−2 > x −2 ≤ x≤ 1 1
Como g(·) es una fun ión polinomial a trozos, es ontinua en ( −∞, −2 ), ( −2, 1 ) y ( 1, +∞ ). De aquí que los úni os puntos a analizar son aquéllos donde g(·) ambia de forma; es de ir, en x = −2 y x = 1. i) g( −2 ) = −2 − 5 = −7 ; g( 1 ) = 1 − 5 = −4 ii) l´ım − g( x ) = l´ımx→−2− ( 2x−3 ) = −7 ; l´ım g( x ) = l´ım ( x− + + x→−2

x→−2

x→−2

5 ) = −7

Luego, x = −2.

l´ım g( x ) = −7 = g( −2 ) y g(·) es ontinua en

x→−2

De otro lado, l´ım g( x ) = l´ım ( x − 5 ) = −4; l´ım g( x ) = l´ım ( 3 − x ) = 2, y

x→1−

x→1−

x→1+

x→1+

por tanto, l´ım g( x ) no existe. Luego g(·) no es ontinua en x = 1, x→1

on una dis ontinuidad esen ial allí.

66


De i) y ii) se puede on luir que g(·) es (gura 37b): Continua en ( −∞, 1 ) •) Continua en [ −2, 1 )

•) Dis ontinua en ( −2, +∞ )

•)

•) Dis ontinua en ( −2, 1 ] y y =3−x

-2

1

x

y =x−5 y = 2x − 3

Figura 37b

www.fullengineeringbook.net Ejer i ios 6 1) Sea la fun ión f (·) denida así:    2x + 3 f ( x ) = 8 − 3x   x+3

si si si

1≥x 1
Tra e su grá a y determine dónde es dis ontinua. 2) En uentre los valores de las onstantes c y k que ha en que la siguiente fun ión sea ontinua en R, y tra e la grá a de la fun ión resultante:    x + 2c f ( x ) = 3cx + k   3x − 2k

si si si

−2>x −2≤x≤1 1
67

Le

ión 1: El método de límites 7.

Continuidad de las fun iones trigonométri as

Cono er el omportamiento (en términos de límites y ontinuidad) de las fun iones trigonométri as, es importante uando utilizamos estas fun iones en la des rip ión de fenómenos periódi os y os ilatorios. Veamos su análisis de ontinuidad. Teorema 22.

Las fun iones seno y oseno son ontinuas en R. Demostra ión.

Consideremos el ír ulo unitario (gura 38). Observamos que l´ım sen t = 0 = sen 0 = 0 y

l´ım cos t = cos 0 = 1

t→0

t→0

Luego, sen(·) y cos(·) son ontinuas en ero. Ahora: puesto que l´ım sen( x + h ) = l´ım [ sen x cos h + sen h cos x] = sen x

h→0

h→0

www.fullengineeringbook.net la fun ión sen(·) también es ontinua en ualquier x ∈ R.

Se puede demostrar análogamente que cos(·) es ontinua para todo x ∈ R. y P (cos t, sen t)

t x

Figura 38

Un resultado de límites fun ionales muy útil es nuestro siguiente teorema:

Teorema 23. (Sen t ≈

t uando t es pequeño ) l´ım

t→0

sen t =1 t

68

Matemáti as bási as para e onomistas 2: Cál ulo f (t)

t

Figura 39: f (t) =

sen t t

Demostra ión.

Sea 0 < t < π2 . Observamos, en la gura 40, el ír ulo unitario x2 + y 2 = 1 y el se tor BOP donde B(1,0) y P (cos t, sen t). El área de un se tor ir ular de radio r y ángulo entral de medida t radianes es igual a 12 r 2 t. Así, si S es el área del se tor BOP tenemos que S=

1 1 2 r t= t 2 2

ya que

r=1

Sea A1 el área del triángulo BOP . Enton es A1 = 21 | AP | | OB | = 12 sen t ya que OB = 1 y

T (1, tan t) b

www.fullengineeringbook.net b

t O

b

P (cos t, sen t)

A

B 1

x

Figura 40

Considerando el triángulo BOT tenemos que tan t =

así que

| BT | | BT | = | BT | = 1 | OB |

T = (1, tan t) =

sen t 1, cos t

Si A2 es el área del triángulo re tángulo BOT , enton es 1 1 sen t 1 sen t A2 = | BT | | OB | = ·1= 2 2 cos t 2 cos t

De la gura 40 se puede ver que A1 ≤ S ≤ A2

Le

ión 1: El método de límites o sea que

Como

0 < t < π2 ,

y

69

1 1 sen t 1 sen t ≤ t ≤ 2 2 2 cos t sen t > 0 , enton es 1≤

1 t ≤ sen t cos t

Tomando re ípro os llegamos a

cos t ≤ ya que

cos t > 0.

sen t ≤1 t

Y ahora tomando límite uando

l´ım cos t ≤ l´ım

t→0+ Y omo

l´ım cos t = 1,

t→0+

t→0+

tendremos que

sen t ≤1 t

por el teorema del sándwi h, tenemos que

l´ım

sen t =1 t

tenemos

0 < −t <

t→0+ Ahora bien: si

t → 0+

− π2 < t < 0,

π 2

y, por tanto,

www.fullengineeringbook.net − sen t sen( −t ) sen t = = t −t ( −t )

y, por tanto, apli ando el teorema 19,

l´ım

t→0− donde

h = −t.

Como

sen t sen( −t ) sen h = l´ım = l´ım =1 t −t h t→0− h→0+ l´ım

t→0+

sen t =1 t

y

l´ım

t→0−

sen t = 1, t

enton es

sen t =1 t→0 t l´ım

Ejemplo 55. Utilizando el límite del teorema 23, hallemos los siguientes límites:

a

)

)

)

e

sen 2θ θ→0 θ sen kθ l´ım , k∈R θ→0 θ 1 − cos θ l´ım θ→0 θ2 l´ım

sen 2θ θ→0 sen 3θ 1 − cos θ d) l´ım θ→0 θ 1 − sen θ f) l´ım π θ→ π2 2 −θ ) l´ım

b

70


Solu ión.

a) Debemos tener en uenta que si θ → 0, enton es 2 θ → 0. Por tanto, si φ = 2 θ , enton es l´ım

θ→0

sen φ sen 2 θ sen φ = l´ım φ = 2 l´ım =2·1=2 φ→0 φ→0 θ φ

(gura 41)

2

2

−

Figura 41: f (θ) =

sen 2θ θ

sen 2θ sen 2θ l´ım 2 · sen 2θ 2θ = 2 θ b) l´ım = θ→0 = l´ım sen 3θ θ→0 sen 3θ θ→0 sen 3θ 3 l´ım 3 · θ→0 θ 3θ

(¾por qué?)

www.fullengineeringbook.net sen kθ sen kθ = l´ım k · =k θ→0 θ kθ 1 − cos θ ( 1 − cos θ ) ( 1 + cos θ ) l´ım = l´ım d) θ→0 θ→0 θ θ ( 1 + cos θ ) sen2 θ 1 − cos2 θ = l´ım = l´ım θ→0 θ ( 1 + cos θ ) θ→0 θ ( 1 + cos θ )

) l´ım

θ→0

= l´ım sen θ · l´ım θ→0

θ→0

sen θ 1 1 · l´ım =0·1· =0 θ→0 1 + cos θ θ 1+1

(gura 42).

1−

−

-1

Figura 42: f (θ) =

1 − cos θ θ

Le

ión 1: El método de límites e)

71

1 − cos θ ( 1 − cos θ ) ( 1 + cos θ ) = l´ım 2 θ→0 θ→0 θ θ 2 ( 1 + cos θ ) 1 − cos2 θ sen2 θ = l´ım 2 = l´ım 2 θ→0 θ ( 1 + cos θ ) θ→0 θ ( 1 + cos θ ) 1 1 1 sen θ 2 2 · l´ım = (1) = = l´ım θ→0 1 + cos θ θ→0 θ 1+1 2 l´ım

f) Sea

π 2

t=

− θ.

Si

θ→

π 2 , enton es

t → 0.

Por tanto,

1 − sen ( π2 − t ) 1 − sen θ 1 − cos t = l´ ım = l´ım =0 π t→0 t→0 t t 2 −θ

l´ımπ

θ→ 2

después de apli ar el resultado d) de arriba.

Ejer i ios 7 1) Pruebe que: a)

l´ım

θ→0+

sen | θ | =1 θ

b)

sen | θ | = −1 θ

l´ım

θ→0−


)

e)

l´ım

sen( θ − 1 ) 1 = θ3 − 1 3

d)

l´ım

cos θ = +∞ θ

f)

θ→1

θ→0+

l´ım

cos 3θ 3 =− cos 5θ 5

l´ım

cos θ = −∞ θ

θ→ π2

θ→0−

2) Demuestre (utilizando algo de geometría elemental ( volumen 0: Fundamentos)) que el área del polígono regular de

n lados ins rito en un ír ulo

de radio 1 está dado por

An = Pruebe enton es que

l´ım An = π .

n→∞

2π n sen 2 n ¾Qué área hemos al ulado?

3) Demuestre, utilizando el teorema del sándwi h (si lo ne esita), que a)

)

l´ım θ 2 sen

θ→0

1 =0 θ

sen θ =0 θ→∞ θ l´ım

b)

d)

l´ım θ 2 cos

θ→0

1 =0 θ

tan θ =1 θ→0 θ l´ım


72

8.

Teoremas importantes para fun iones ontinuas

Para nales del siglo XIX, el aumento en pre isión de los on eptos de variable, fun ión, límite y ontinuidad ondujo a distintos desarrollos del análisis matemáti o que se vieron en los trabajos de Bolzano, Cau hy y Weierstrass, entre otros. Esta mayor pre isión se lograba a la par de nuevos desarrollos en álgebra y geometría, y ahora se ha ía la transi ión al estudio de fun iones más generales, en parti ular al estudio del omportamiento de las fun iones

ontinuas. Sobre esto último se obtuvieron algunos teoremas importantes que vinieron a olo ar sobre bases formales sólidas, resultados que pare ían evidentes por sí mismos". El primer teorema de estos nos di e que si una fun ión es ontinua en un punto

a

y allí es positiva, enton es será también positiva en un intervalo abierto

alrededor de ese punto. De forma similar si es negativa en

a

(gura 43).

Preserva ión del signo )

Teorema 24. ( Si

f (·) es una fun ión ontinua en a y f ( a ) > 0 (ó f ( a ) < 0), enton es existe a tal que f ( x ) > 0 para todo x ∈ I (o f ( x ) < 0 para todo x ∈ I ).

un intervalo abierto I alrededor de

www.fullengineeringbook.net f (x)

f (x)

I

a b

b

a

x

x

I

Figura 43: Preserva ión del signo Demostra ión. Supongamos, sin pérdida de generalidad, que

δ>0

f ( a ) > 0.

Para

ǫ = f( a )

existe

tal que

|x − a| < δ

| f( x ) − f( a ) | < ǫ = f( a )

x ∈ ( a − δ, a + δ ) = I, enton es −f ( a ) < f ( x ) − f ( a ) < f ( a ). −f ( a ) < f ( x ) − f ( a ) o sea que 0 < f ( x ) para todo x ∈ I que se quería probar.

Así que si

En parti ular, es lo que

impli a

73

Le


Otros dos teoremas importantes del ál ulo de fun iones ontinuas son el teorema ontinuidad impli a a otamiento (teorema 25) y, fundamentalmente, el teorema de valores extremos (teorema 26). Demos enton es las siguientes deni iones y ejemplos que nos permitan omprenderlos:

Deni ión 18. (Fun ión a otada y valores extremos) a) Se di e que una fun ión f (·) es a otada superiormente si existe M ∈ R tal que f ( x ) ≤ M para todo x ∈ Df . b) Se di e que f (·) es a otada inferiormente si existe L ∈ R tal que L ≤ f ( x ) para todo x ∈ Df .

) Se di e que f (·) es a otada si existe M > 0 tal que | f ( x ) | ≤ M para todo x ∈ Df . d) Se di e que f (·) al anza su valor máximo (o máximo absoluto ) en x = a si f ( a ) ≥ f ( x ) para todo x ∈ Df . e) Se di e que f (·) al anza su valor mínimo (o mínimo absoluto ) en x = a si f ( a ) ≤ f ( x ) para todo x ∈ Df .

www.fullengineeringbook.net Ejemplo 56 Hallemos los valores máximo y mínimo de f ( x ) = x2 + x + 1 en [ −1, 2 ].

Solu ión.

En este aso, ompletando uadrados, tendremos que 1 3 y = f( x ) = x + x + + = 4 4 2

o lo que es equivalente, 3 y− = 4

1 x+ 2

1 x+ 2

2

+

3 4

2

Como todo número elevado al uadrado es no-negativo, la fun ión al anzará su mínimo uando el término que está elevado al uadrado sea ero, lo ual o urre uando x = − 12 y su valor es f ( − 12 ) = 43 . De igual forma, el máximo se obtendrá uando el término elevado al uadrado al an e su mayor valor, lo

ual se tiene uando x = 2, que orresponde a f ( 2 ) = 7 (gura 44).

74

Matemáti as bási as para e onomistas 2: Cál ulo y 7 − y = x2 + x + 1

−1− 1 2

− 43

x

2

Figura 44 Ejemplo 57.

Veamos si las siguientes fun iones son (o no) a otadas superiormente o inferiormente: a) f ( x ) = sen x sobre R

b) f ( x ) = x3 sobre R

Solu ión

a) f ( x ) = sen x es a otada superior e inferiormente porque sabemos que −1 ≤ sen x ≤ 1 para todo x ∈ R.

www.fullengineeringbook.net b) f ( x ) = x3 denida sobre R no es a otada ni superior ni inferiormente porque para ada M ∈ R existen x1 , x2 ∈ R tales que ( x2 )3 < M < ( x1 )3 .

N

Arribamos enton es a dos de los teoremas para fun iones ontinuas que habíamos men ionado antes:

Continuidad impli a a otamiento )

Teorema 25. (

Toda fun ión ontinua f (·) en un intervalo errado

[ a, b ]

es a otada en

[ a, b ].

Demostra ión.

Sí f (·) no fuera a otada en [ a, b ] enton es podemos subdividir [ a, b ] en dos mitades, en una de la uales f (·) no fuera a otada. Se toma el subintervalo donde no lo es, y se repite el pro edimiento. Continuando indu tivamente, se

onstruye una su esión de subintervalos S1 , S2 , S3 . . . tales que [ a, b ] ⊇ S1 ⊇ S2 ⊇ S3 ⊇ · · · Como la longitud de Sn es igual a b 2−na podemos tomar x0 en la interse

ión de todos los Si 's. Ahora: omo f (·) es ontinua en x0 , existe δ > 0 tal que uando | x − x0 | < δ se tendrá que | f (x) − f (x0 ) | < 1; así, | f (x) | = | f (x) − f (x0 ) + f (x0 ) | ≤ | f (x) − f (x0 ) | + | f (x0 ) | < 1 + | f (x0 ) |. Por lo tanto, f (·) es a otada en (x0 − δ , x0 + δ ). Pero para este δ > 0 existe N ∈ N on IN ⊆ (x0 − δ , x0 + δ ) y esto nos lleva a una ontradi

ión, pues f (·) es a otada en (x0 − δ , x0 + δ ), pero no lo es en IN que está in luido en (x0 − δ , x0 + δ ). Así, f (·) sí debe estar a otada en [ a, b ].

75

Le


Teorema 26. (Teorema de valores extremos (Weierstrass (1877) )) Toda fun ión ontinua

f (·)

[ a, b ] siempre tiene un xm y xM en [ a, b ] tales

en un intervalo errado

valor máximo y un valor mínimo. Es de ir, existen que

f ( xm ) ≤ f ( x ) ≤ f ( xM ) para todo

f ( xM )

x ∈ [ a, b ].

Así,

f ( xm ) f (·)

es el valor máximo de

es el valor mínimo de

f (·)

en

[ a, b ]

y

[ a, b ].

en

Demostra ión.

Como f (·) es ontinua en [ a, b ] enton es (por el teorema 25), f (·) es a otada. Esto es, existen m, M ǫ R tales que m ≤ f ( x ) ≤ M para todo x ǫ [ a, b ]. Por tanto, existen m0 ≡ ´ınf f ( x ) y M0 ≡ sup f ( x ). Supongamos que x ǫ [a,b]

x ǫ [a,b]

x ǫ [ a, b ] tal que f ( x ) = M0 . Enton es f ( x ) < M0 para todo x ∈ [a, b]. Consideremos la fun ión denida por g( x ) ≡ M0 −1f ( x ) para todo x ǫ [ a, b ]. Enton es g(·) es ontinua y positiva en [ a, b ]. Por el teorema 30, existe M1 ≡ sup g ( x ) ; así, M0 −1f ( x ) ≤ M1 para todo x ∈ [ a, b ] . De esta no existiera

x ǫ [a,b]

1

última desigualdad se obtiene que f ( x ) ≤ M0 − para todo x ǫ [ a, b ], lo M1 que es una ontradi

ión, ya que M0 es la menor de las otas superiores de f ( x ) en [ a, b ]. La prueba de la existen ia del valor mínimo, es de ir un xm ∈ (a, b) tal que f (xm ) = m0 , es similar.

www.fullengineeringbook.net y b

máximo en [a, b]

mínimo en [a, b] b

a

b

x

Figura 45

Es fá il ver que las ondi iones del teorema de Weierstrass son exigentes para que se tenga el resultado. Consideremos los dos siguientes asos: a) Sea f ( x ) = x denida en el intervalo abierto ( 0, 1 ). Observemos que f (·) no tiene máximo ni mínimo, pues si P es tal que 0 < P < 1 siempre existen q y r on 0 < q < P < r < 1, y enton es f ( q ) = q < f ( P ) = P < f ( r ) = r < 1.


76

f : [ 0, 1 ] → R

b) Sea ahora

denida por

f( x ) =

Esta fun ión

1

no es ontinua

en el intervalo

(0, 1))

si

x 6= 0

si

x=0

en el intervalo errado

[ 0, 1 ] (aunque sí lo es

y no tiene máximo absoluto en él. Puede verse que,

M > 0, siempre 1 tomar ǫ < . N M

dado ualquier

Sólo basta

  1/x

existe

ǫ>0

tal que

f( ǫ ) =

1 > M. ǫ

Un uarto teorema fundamental para las fun iones ontinuas es el siguiente:

Teorema 27. (Teorema del valor intermedio (Bolzano (1817)) ) Una fun ión

f (·) ontinua en [ a, b ] toma todos los valores entre su máximo y su mínimo. En parti ular, si f ( a ) < 0 y f ( b ) > 0 (o vi eversa) enton es existe c ∈ ( a, b ) tal que f ( c ) = 0; esto es, f (·) tiene al menos una raíz entre a y b. Este resultado parti ular es ono ido omo el teorema de Bolzano.

www.fullengineeringbook.net y M

b

P (a1 , f (a1 ))

y = f (x) y=k

m b

a1

c

Q(b1 , f (b1 ))

b1

x

Figura 46a: Teorema del valor intermedio Geométri amente, el teorema del valor intermedio puede interpretarse en el

P = ( a1 , f ( a1 ) ) on M = f (a1 ) = valor máxif (·) en [a, b], está por en ima de la re ta horizontal y = k, y el punto Q = ( b1 , f ( b1 ) ) on m = f (b1 ) = valor mínimo de f (·) en [a, b], está por debajo de y = k , enton es la urva de la fun ión f (·) ortará la re ta y = k en algún punto de abs isa c on a1 < c < b1 , omo se ilustra en la gura 46a. sentido de que si el punto

mo de

77

Le

ión 1: El método de límites Demostra ión.

i) Probemos primero el teorema de Bolzano uando f (a) < 0 < f (b) (el otro

aso es similar). Sea A = { x ∈ [ a, b ] / f ( x ) ≤ 0 } (gura 46b); laramente, a ∈ A, y A está a otado. Por el axioma de ompletez de los números reales (volumen 0: Fundamentos) existe c = sup A (supremo de A). Evidentemente, f ( c ) ≤ 0. Que f ( c ) < 0 no es posible, es una onse uen ia dire ta de la ontinuidad de la fun ión f (·) (teorema 24 (preserva ión del signo )) y de la deni ión de supremo. En efe to, si f (c) < 0 enton es, por el teorema 24, existe δ > 0 tal que si x ∈ (c − δ, c + δ) se tendrá que f (x) < 0; luego existe x0 ∈ (c, c + δ) on f (x0 ) < 0; así que existe x0 ∈ A

on c < x0 y enton es c no sería ota superior de A. Todo lo anterior obliga a que f (c) = 0. y

c = sup A

[// a

////////////• ] c b

www.fullengineeringbook.net A

x

Figura 46b): Prueba del teorema de Bolzano.

ii) Ahora probemos la primera parte del teorema. Sea k tal que (sin pérdida de generalidad) m = f ( xm ) < k < f ( xM ) = M , y apliquemos el teorema de Bolzano a g( x ) ≡ f ( x ) − k. Como g( xm ) = f ( xm ) − k < 0 y g( xM ) = f ( xM ) − k > 0, enton es existe c ǫ ( xm , xM ) tal que g( c ) = 0 ; es de ir, que f ( c ) = k, y esto naliza la prueba. y f (x) = 2x5 + x4 + 2x + 1

y f (x) = x3 − 2x2 + x − 2

1

-1 3

x

x

0

Figura 48


Utili emos el teorema del valor intermedio para omprobar la presen ia de raí es de los siguientes polinomios en ada intervalo dado: a) f ( x ) = x3 − 2x2 + x − 2,

[ 1, 3 ]

78


b) f ( x ) = 2x5 + x4 + 2x + 1,

[−1, 0 ]

Solu ión

a) Como f ( 1 ) = 1−2+1−2 = −2 < 0 y f ( 3 ) = 27−18+3−2 = 10 > 0 y f (·) es una fun ión ontinua, enton es existe r ∈ ( 1, 3 ) tal que f ( r ) = 0 (gura 47). b) Como f ( 0 ) = 1 y f ( −1 ) = −2+1−2+1 = −2, enton es la ontinuidad de la fun ión garantiza que existe r ∈ ( −1, 0 ) tal que f ( r ) = 0 (gura 48). N Del teorema del valor intermedio se dedu e un resultado que será muy importante en dis usiones posteriores: Corolario 1. (Un

primer teorema de punto jo

)

Si f : [ 0, 1 ] −→ [ 0, 1 ] es ontinua, enton es existe x ∈ [ 0, 1 ] tal que f ( x ) = x (a un tal x se le ono e omo punto jo ). Demostra ión.

Para todo x ∈ [ 0, 1 ] se tiene que f ( x ) ∈ [ 0, 1 ]. Por tanto, f ( 0 ) ≥ 0 y f ( 1 ) ≤ 1. De he ho, podemos asumir que f (0) > 0 y f (1) < 1 (¾Por qué?). Sea ahora h : [ 0, 1 ] −→ [ 0, 1 ] denida omo h( x ) = x − f ( x ). Como f (·) es

ontinua, enton es h(·) es también ontinua. Además, h( 0 ) = 0 − f ( 0 ) < 0 y h( 1 ) = 1 − f ( 1 ) > 0. Por el teorema del valor intermedio, h( x∗ ) = 0 para algún x∗ ∈ ( 0, 1 ); es de ir, existe x∗ ∈ ( 0, 1 ) tal que f ( x∗ ) = x∗ (gura 49).


y=x

y

1 b

x∗

y = f (x)

1

x

Figura 49: x∗ es un punto jo Ejemplo 59.

Cal ulemos los puntos jos de las siguientes fun iones en el intervalo [ 0, 1 ]: 5 1 x+ 12 3

a ) f ( x ) = x3

b) f ( x ) =

) f ( x ) = sen x

d) f ( x ) = 1 − x

79

Le


Solu ión. y=x

y

1

y=x

y

1 b

y = x3

y =1−x b

b

x∗ = 0

x=1

x∗ =

x

Figura 50

1 2

1

x

Figura 51

a) x∗ ∈ [ 0 , 1 ] es un punto jo de f ( x ) = x3 si x∗ = ( x∗ )3 . Por tanto, los puntos jos en [0, 1] de esta fun ión son x∗ = 0, x∗ = 1 (gura 50). 5 b) Los puntos jos de la fun ión f ( x ) = 12 x + 31 están ara terizados por 5 ∗ x∗ = 12 x + 13 . Por tanto, el úni o punto jo en [0, 1] de esta fun ión es 4 ∗ x = 7.


) x∗ es un punto jo de f ( x ) = sen x si x∗ = sen x∗ . Por tanto, el úni o punto jo en [0, 1] de esta fun ión es x∗ = 0.

d) Los puntos jos de la fun ión f ( x ) = 1 − x satisfa en la e ua ión x∗ = 1 − x∗ . Así, el úni o punto jo de esta fun ión es x∗ = 12 (gura N 51). Para terminar, presentamos el último de los teoremas para las fun iones ontinuas que estudiaremos aquí: Teorema 28. (Teorema de la fun ión inversa para fun iones ontinuas ) Sea

f (·) una fun ión ontinua en [ a, b ];

a)

Si

f (·) es estri tamente re iente (esto es, f ( x1 ) < f ( x2 ) siempre que x1 < x2 ), enton es f : [ a, b ] → [ f ( a ), f ( b ) ] tiene inversa y la inversa

también es estri tamente re iente y ontinua.

b)

Si

f (·) es estri tamente de re iente (esto es, f ( x1 ) > f ( x2 ) siempre que x1 < x2 ), enton es f : [ a, b ] → [ f ( b ), f ( a ) ] tiene inversa y la inversa

también es estri tamente de re iente y ontinua.


80

Demostra ión. La prueba surge del he ho de que la grá a de la fun ión inversa es una reexión

y = x.

de la grá a de la fun ión original sobre la re ta

Por tanto, si la

fun ión es re iente (o de re iente) y ontinua, su reejo también tendrá estas

ara terísti as, respe tivamente. La demostra ión analíti a (que es simple) se

deja omo ejer i io para el le tor.

Ejer i ios 8

f ( x ) = x3 − 4x, halle f ( 1 ) y f ( −1 ) y demuestre punto c, on −1 < c < 1, en donde f ( c ) = 0.

1) Si

2) Cal ule

f( x ) =

explí itamente

2x3

−

x2

+x

en

3) Muestre que la e ua ión

(si

existen)

los

que existe un

puntos

jos

de

[ 0, 1 ]. x5 + 5x4 − 20x2 − 19x − 2 = 0 tiene

una raíz

omprendida entre 2 y 3, y otra entre 4 y 5.

9.

Límite

y

ontinuidad

de

una

fun ión

de

dos

www.fullengineeringbook.net variables

Mu hos de los resultados fundamentales estudiados hasta ahora para fun iones de una sola variable real de dos variables

f (· , ·).

f (·)

pueden ser extendidos on fa ilidad a fun iones

Veamos ómo.

Deni ión 19. (Límites y ontinuidad en dos variables) a)

Límites. Sea

f : Df (⊆ R2 ) −→ R

una fun ión de dos variables, donde

dominio de la fun ión. Para

( a1 , a2 ) ∈ R2

Df

es el

jo, diremos que

l´ım f ( x, y ) = L

x→a1 y→a2

a1 y y tiende a a2 de la fun ión f ( x, y ) es L) si, y sólo si, para todo ǫ > 0 existe δ > 0 tal que si ( x, y ) ∈ Df y || ( x, y ) − ( a1 , a2 ) || < δ enton es | f ( x, y ) − L | < ǫ (y se lee el límite uando

(gura 52). b)

Continuidad. Si

( a1 , a2 ) ∈ Df

y además

x

tiende a

81

Le


l´ım f ( x, y ) = f ( a1 , a2 )

x→a1 y→a2

diremos que f (· , ·) es ontinua en ( a1 , a2 ). En otro aso, diremos que es dis ontinua en ( a1 , a2 ) (gura 53).

z = f (x, y)

z = f (x, y)

L

f (a1 , a2 )

y

y

(a1 , a2 )

(a1 , a2 )

x

x Figura 52

Figura 53

www.fullengineeringbook.net Límites innitos.

)

Diremos que

l´ım f ( x, y ) = +∞

x→a1 y→a2

si, y sólo si para todo M > 0 existe δ > 0 tal que si ( x, y ) ∈ Df y || ( x, y ) − ( a1 , a2 ) || < δ, enton es f ( x, y ) > M (gura 54). De la misma forma denimos x→a l´ım f ( x, y ) = −∞. 1

d) Límites al innito. Diremos que

y→a2

l´ım f ( x, y ) = L

x→∞ y→∞

si dado ǫ > 0 existe M > 0 tal que si ( x, y ) ∈ Df y x > M, y > M enton es | f ( x, y ) − L | < ǫ (gura 55). De forma similar, de imos que

l´ım f ( x, y ) = L si dado ǫ > 0 existe

x→−∞ y→−∞

M < 0 tal que si ( x, y ) ∈ Df y x < M, y < M enton es | f ( x, y ) − L| < ǫ .


82

z

(a1 , a2 ) b

x y

Figura 54: Límite innito Teorema 29. (Álgebra

de límites )

Si x→a l´ım f ( x, y ) = L y x→a l´ım g( x, y ) = M , enton es 1

1

y→a2

a)

y→a2

l´ım [f ( x, y ) ± g( x, y )] = L ± M

x→a1 y→a2


)

l´ım [f ( x, y )g( x, y )] = L · M

x→a1 y→a2

l´ım

x→a1 y→a2

f ( x, y ) g( x, y )

=

L M

,

si

M 6= 0

Demostra ión. La demostra ión es similar a la del teorema 11.

z

x

y

Figura 55: Límite al innito

83

Le


Teorema 30. (Álgebra de fun iones ontinuas ) i)

f : Df (⊆ R2 ) −→ R, g : Dg (⊆ R2 ) −→ R dos fun iones ontinuas en un punto ( a1 , a2 ) (que pertene e a la interse

ión de los dominios de ambas Sean

fun iones); enton es

a) ( f ± g )(·) ;

b) ( f · g )(·) ;

también son ontinuas en

ii)

)

f g

(·)

si g( a1 , a2 ) 6= 0

( a1 , a2 ).

f : Df (⊆ R) −→ R es ontinua en g(a1 , a2 ) donde g : Dg (⊆ R2 ) −→ R es ontinua en (a1 , a2 ) enton es (f ◦ g)(·) es también ontinua en (a1 , a2 ). Si

Demostra ión. La demostra ión de este teorema sigue lo estable ido previamente para fun iones de una sola variable (teoremas 11 y 19).

Nota 12.


Resultados paralelos a los de una sola variable se pueden es ribir para límites innitos y límites al innito en el aso de dos variables. Esto queda omo ejer i io para el le tor.

Deni ión 20. (Continuidad en un onjunto) Diremos que f : D( ⊆ R2 ) −→ R es una fun ión ontinua sólo si es ontinua en ( a1 , a2 ) para todo ( a1 , a2 ) ∈ A.

en

A ⊆ Df si, y

Ejemplo 60. Veamos que f ( x, y ) = xy es ontinua en R2 . En efe to, sea ( a1 , a2 ) ∈ R2

ualquiera. Si x → a1 y y → a2 , enton es, por el teorema 29 literal b), xy → a1 a2 ; y así, f ( x, y ) = xy es ontinua en ( a1 , a2 ).

Ejemplo 61. a) La fun ión f ( x, y ) = x2 y 2 es ontinua en R2 (gura 56), omo se demuestra utilizando el ejemplo 60 y el teorema 29 (literal b)).

84


z

y

x

Figura 56: f (x, y) = x2 y 2

b) Mostremos que la fun ión f ( x, y ) = 1 − ( x2 + y 2 ) es ontinua en el

onjunto { ( x, y ) ∈ R2 / x2 + y 2 ≤ 1 }. Sea ( a1 , a2 ) ∈ R2 ualquiera. Si x → a1 y y → a2 , enton es, por el teorema 29 (literal b)), x2 → a1 2 y y 2 → a2 2 . Por otra apli a ión del teorema 29 (literal a)) se tiene que 1 − x2 − y 2 → 1 − a1 2 − a2 2 . Finalmente, dado que la fun ión raíz

uadrada es p ontinua en R+ , la parte ii) del teorema 30 impli a que f ( x, y ) = 1 − ( x2 + y 2 ) es ontinua en ( a1 , a2 ) (gura 57). p

www.fullengineeringbook.net z

y x Figura 57: f (x, y) =

) La fun ión f ( x, y ) = 59).

p 1 − (x2 + y 2 )

x es ontinua en { ( x, y ) ∈ R2 / y 6= 0 } (gura y

85

Le


z y α = −2

α=1 α=

α = −1

x

1 2

x

y

Figura 58: Curvas de nivel de x f (x, y) = =α y

Figura 59: f (x, y) =

x y

y

d) La fun ión f ( x, y ) = 2 es ontinua en { ( x, y ) ∈ R2 / x 6= 1, −1 } x −1 (gura 61).

www.fullengineeringbook.net y x = −1

x=1 α=2 α=1

x puntos de

puntos de

dis ontinuidad: re ta

dis ontinuidad:

x = −1

re ta

α = −2

Figura 60: Curvas de nivel de f (x, y) =

x=1

α = −1

y =α x2 − 1

86


z

x y


x2

y −1

Ejemplo 62. (Compli a iones en dos variables)

La no ión de ontinuidad para fun iones de dos variables puede traer ompli a iones que no se tienen para fun iones de una sola variable. Por ejemplo, es


x2 − y 2 que es dis ontinua en el origen, pero x2 + y 2 tiene límite 0 a lo largo de la re ta y = x (sólo reempla e y por x en la fun ión para orroborar esto); límite 1 a lo largo de eje X (es de ir, uando y = 0 en la fun ión); y límite −1 a lo largo del eje Y (es de ir, uando x = 0 en la

el aso de la fun ión f ( x, y ) =

fun ión) (gura 62).

z

x

y


x2 − y 2 x2 + y 2

87

Le


Ejer i ios 9 1) Cal ule, si existen, los siguientes límites: a)

)

l´ım

x→0 y→0

x2 y 2 1 + x2 + y 2

b)

x x→0 x − y

d)

x3 − xy 2 x→0 ( x2 + y 2 )2

f)

l´ım

y→0

e)

l´ım

x→0 2x2 y→0

x+y + y2 + 3

y 3 − x2 y x→0 ( x2 y 2 )2 l´ım

y→0

l´ım

y→0

l´ım sen xy

x→0 y→0

[Indi a ión: En los literales ), d) y e) oloque y = αx, α 6= 0 y simplique℄. 2) ¾En uáles asos del ejer i io anterior es f ( x, y ) ontinua en (0, 0)? 3) Pruebe que f ( x, y ) =

xy , on f (0, 0) = 0, no es ontinua en (0, 0). x2 + y 2


4) En ada uno de los siguientes asos, determine todos los ( x, y ) ∈ R2 en los uales la fun ión indi ada es ontinua: 1 1 − sen xy x

) f ( x, y ) = √ x−y

x sen y x2 + 1 x−y d) f ( x, y ) = x+y

b) f ( x, y ) =

a) f ( x, y ) =

e) f ( x, y ) = x2 + xy +

1 1 + 2 y y −1

f) f ( x, y ) =

x2

xy − y2

*5) ¾Será que siempre es el aso que l´ım f ( x, y ) = l´ım x→x 0

y→y0

x→x0

l´ım f (x, y) = l´ım l´ım f (x, y) ?

y→y0

y→y0

x→x0

Asuma que todos los límites involu rados existen. Si la respuesta es negativa, dé ondi iones sobre f (· , ·) para que la igualdad se tenga. [Indi a ión: Aunque Cau hy reía que esto era ierto, basta hequear algunos de los ejemplos del ejer i io 1 arriba para resolver esta pregunta℄.


88

10.

Elementos bási os de topología en

R2

Que una de las opera iones más importantes del análisis matemáti o es tomar límites, podría ser ahora laro. Y sabemos que estos están íntimamente one tados on la no ión de ontinuidad que es, sin duda, más importante omo

no ión de onjunto. Este es, pre isamente, el estudio de otra rama fundamental topología o el estudio del omportamiento global de la no ión de ontinuidad en onjuntos. de las matemáti as: la

Quizás el primer trabajo que mere e onsiderarse omo el omienzo de la topología es el

Problema de los Puentes de Königsberg des rito por Leonhard Solutio problematis ad geometriam situs

Euler en 1736 y que apare ió omo

pertinentes (la solu ión de un problema que está rela ionado on la geometría

de la posi ión", podría ser una tradu

ión). Este título mismo indi a que Euler ya re ono ía que estaba enfrentando un tipo diferente de geometría

la distan ia no era relevante.

donde

El artí ulo mostraba que el problema de ru-

zar los siete puentes de la iudad de Königsberg (Alemania) en un sólo viaje (sin ruzar un puente dos ve es) era imposible. También Euler, en 1750, probaría que en un poliedro ualquiera, el número de vérti es, menos el número de aristas, más el número de aras ½es siempre igual a 2! Y otros resultados topológi os en esta dire

ión serían extendidos por A.F. Möbius (855),


G. Riemann (1854a)) y J. H. Poin aré (1953), entre otros.

Una segunda ruta en la que la topología se desarrolló fue a través de las ideas de onvergen ia de nales de siglo XIX. Este pro eso omenzó en 1817 uando Bolzano generalizó la no ión de onvergen ia de una su esión de números a sub onjuntos a otados

ualquiera de la re ta real; posteriormente, George Can-

tor, en 1872, introdujo los on eptos de punto límite de un onjunto, onjunto

errado y onjunto abierto de una re ta real; en 1877, Weierstrass probaría el famoso teorema Bolzano-Weierstrass (que se ha dado en llamar el

de valores extremos

teorema

(teorema 26)); en 1906, M.R. Fré het llamaría onjunto

ompa to” a todo aquel que satisfa e la ondi ión de que ualquier sub onjunto innito y a otado de él tiene un punto límite (punto de a umula ión lo llamaba); el mismo Fré het generalizaría el on epto de onvergen ia en espa ios eu lidianos a espa ios métri os"que son onjuntos on una métri a similar a la distan ia eu lidiana medida por la norma de ve tores. Así fue el na imiento de la topología desde una aproxima ión axiomáti a que, a su vez, desembo aría en el análisis fun ional de prin ipios del siglo XX (volumen III, le

ión 4). Este segundo énfasis de la topología es el que desarrollaremos aquí en sus fundamentales. Para des ribir los elementos bási os de la topología, omen emos enton es observando que la no ión de su esión de números reales puede extenderse fá ilmente a su esiones de puntos de

R2 :

89

Le


Deni ión 21. (Su esiones en

R2 )

Una fun ión f (·) uyo dominio es el onjunto de todos los números naturales N (o de un sub onjunto innito de él) y uyo rango es un sub onjunto de R2 se denomina una su esión de puntos de R2 . Una su esión en R2 se notará por { ( an , bn ) }n∈N o, simplemente, { ( an , bn ) }.

Deni ión 22. (Su esiones onvergentes en

R2 )

Una su esión { ( an , bn ) } de puntos de R2 onverge al punto ( L, M ) de R2 si, y sólo si, l´ım an = L y l´ım bn = M , y se es ribirá que n→∞

n→∞

l´ım ( an , bn ) = ( L, M )

n→∞

Una su esión que no satisfaga esta ondi ión se dirá divergente o, simplemente,

no- onvergente.

Ejemplo 63. Veamos si las siguientes su esiones de puntos de R2 son o no onvergentes: a)

( an , bn ) =

1 1 , n n2

( an , bn ) =

n+1 1 , 3n n( n + 1 )

b)

n n2 + 1 ( an , bn ) = 4 + , 2 n+1 n −1 ( −1 )n ( an , bn ) = + 2, n n


)

d)

Solu ión. 1 = 0 y también n→∞ n 1 1 l´ım , 2 = ( 0, 0 ). n→∞ n n n n2 + 1 b) l´ım 4 + , = ( 5, 1 ) n→∞ n + 1 n2 − 1 n+1 1 1

) l´ım , = ,0 n→∞ 3n n( n + 1 ) 3

a) Como

l´ım

1 n→∞ n2 l´ım

=

d) Como l´ım n = +∞, enton es la su esión ( an , bn ) = n→∞

( −1 )n + 2 = 2. n→∞ n

no es onvergente, aunque l´ım

N

0,

enton es

( −1 )n + 2, n n

90


El primer on epto topológi o que estudiaremos es el de punto límite o punto adherente a un sub onjunto del plano R2 :

Deni ión 23. (Punto adherente o punto límite (Cantor (1872))) Sea S un sub onjunto de R2 . Un punto ( x0 , y0 ) ∈ R2 es adherente a (o punto límite de ) S si existe una su esión de puntos de S que onverge a ( x0 , y0 ). En otra forma, los puntos adherentes de S son los límites de las su esiones

onvergentes de S . Al onjunto de puntos adherentes de S se le a ostumbra notar por S . También a S se le llama onjunto lausura de S (gura 63). y b b

b

b

b

punto adherente a S

S

x

Figura 63: Conjunto lausura S

En parti ular, observemos que ualquier punto ( x0 , y0 ) de S es adherente a S : es su iente tomar la su esión uyos puntos son todos iguales a ( x0 , y0 ).

Deni ión 24. (Conjunto errado (Cantor (1872)))


Un sub onjunto S de R2 es errado en R2 si, y sólo si ontiene a todos sus puntos adherentes; es de ir, si S = S (gura 64). y

y

S

S

x

Nota 13.

x b) Conjunto no errado

a) Conjunto errado

Figura 64

Según la deni ión anterior, un sub onjunto S de R2 es errado si, y sólo si dada una su esión de puntos de S que onverja, su límite también será un elemento de S . De manera que para denir si un sub onjunto de R2 es (o no) errado, debe observarse si ontiene a todos los límites de su esiones del

onjunto.

Ejemplo 64. Cal ulemos los puntos límites de los siguientes onjuntos:

91

Le


a) { ( x, y ) ∈ R2 / x < y } b) { ( x, y ) ∈ R2 / | x | < 1, | y | < 1 }

) { ( x, y ) ∈ R2 / 3x + 4y ≤ 5, x ≥ 0, y ≥ 0 } d) { ( x, y ) ∈ R2 / x ≥ 0 } Solu ión.

Los onjuntos de puntos límites de estos onjuntos son, respe tivamente: i) { ( x, y ) ∈ R2 / x ≤ y } ii) { ( x, y ) ∈ R2 / | x | ≤ 1, | y | ≤ 1 } iii) { ( x, y ) ∈ R2 / 3x + 4y ≤ 5, x ≥ 0, y ≥ 0 } iv) { ( x, y ) ∈ R2 / x ≥ 0 }

Comparando a), b), ), d) arriba on, respe tivamente, i), ii), iii), iv) abajo, se apre ia laramente que los onjuntos de los literales ) y d) son errados (pues ambos onjuntos oin iden), mientras que los onjuntos de los literales a) y b) de arriba no lo son. N


El siguiente teorema des ribe una ara terísti a topológi a fundamental de los

onjuntos errados: Teorema 31.

Si X es una ole

ión de sub onjuntos errados de R2 , enton es un sub onjunto errado de R2 . Si X es nita enton es sub onjunto errado de R2 .

S

X∈ X

T

X∈ X

X es

X es también un

Demostra ión.

a) Sea {( an , bn )} una su esión de puntos de

T

X∈ X

X tal que ( an , bn ) −→

( L , M ) ∈ R2 ; enton es, {( an , bn )} ∈ X para todo X ∈ X. Como los XTson errados, enton es ( L , M ) ∈ X para todo X ∈ X. Así, ( L , M ) ∈ X. X∈ X

b) Sea {( an , bn )} una su esión (que podamos asumir

on innitud de térS minos distintos para n grande) de puntos de X , on X nito, tal que X∈ X

( an , bn ) −→ ( L , M ) ∈ R2 . Enton es al menos uno de los X tiene innitos términos de la su esión {( an , bn )} pues, en otro aso, existiría un

92


número nito de términos de la su esión y ésta, por ende, sería onstante para n su ientemente grande. Llamamos X a este onjunto de la ole

ión. Como este último es errado, y toda subsu esión de {( an , bn )} también onverge a ( L , M ) (puesto que el teorema 8 también es laramente válido para su esiones de S la forma {(an , bn )}), enton es ( L , M ) ∈ X y, por tanto, ( L , M ) ∈ X , que era lo que queríamos probar. X∈ X

Ejemplo 65. a)

∞ T

n=1

[ 1−

1 1 1 1 , 2 + 2 ] × [ 3 − 2 , 4 + 2 ] = [ 1 , 2 ] × [ 3 , 4 ] es un n n n n

onjunto errado. b)

∞ S

[

n=1

1 n 1 n3 ,2+ ]×[ 3 + 3 ,4+ 3 ] = ( 0 , 3 ) × ( 3 , 5 ) no n+1 n+1 n +1 n +1

es un onjunto errado (¾Por qué no lo es?).

Deni ión 25. (Dis o abierto en

R2 )


Un dis o abierto en R2 on entro en ( x0 , y0 ) y radio r > 0, denotado Dr ( x0 , y0 ), está denido omo Dr ( x0 , y0 ) = { ( x, y ) ∈ R2 /

p

( x0 − x )2 + ( y0 − y )2 < r }

y

b

(x0 ,y0 )

r

x

Figura 65: Dis o abierto

Deni ión 26. (Conjunto abierto (Cantor (1872))) Un sub onjunto S de R2 es abierto en R2 si para ada ( x0 , y0 ) ∈ S existe r > 0 tal que el dis o abierto Dr ( x0 , y0 ) esté totalmente ontenido en S ; es de ir, Dr ( x0 , y0 ) ⊆ S .

Le


93

y

b

x

Figura 66: Conjunto abierto Así, un sub onjunto

S

de

R2

es abierto si alrededor de ada punto de

S,

se puede olo ar un pequeño dis o (no importa qué tan pequeño) que esté

totalmente

in luido en el onjunto

S.

Claramente, un dis o abierto es un (y el

más típi o) onjunto abierto. Ejemplo 66.

Consideremos los onjuntos del ejemplo 64, y determinemos si son onjuntos abiertos (gura 67). Solu ión.


Primero evaluemos los literales ) y d). En el literal d) se tiene que el punto

( 0, 0 ) ∈ R2 pertene e a { ( x, y ) ∈ R2 / x ≥ 0 }; sin embargo, no existe r > 0 2 tal que Br ( 0, 0 ) ⊆ { ( x, y ) ∈ R / x ≥ 0 }; luego este onjunto no es abierto 2 en R . De forma similar en el literal ), para el punto ( 0, 0 ) ∈ { ( x, y ) ∈ R2 / 3x + 4y ≤ 5, x ≥ 0, y ≥ 0 } no existe r > 0 tal que Br ( 0, 0 ) ⊆ { ( x, y ) ∈ R2 / 3x + 4y ≤ 5, x ≥ 0, y ≥ 0 }; por tanto, este onjunto tampo o es abierto 2 en R . Por el ontrario, puede mostrarse que los onjuntos de los numerales a) 2 y b) sí son sub onjuntos abiertos de R , y esto queda omo ejer i io para el le tor.

y 1

y

x=y x

−1

1 −1

a)

b)

x

94

Matemáti as bási as para e onomistas 2: Cál ulo y

y

x x

)

d) Figura 67

Nota 14.

Contrario a la intui ión primaria, un sub onjunto de R2 puede no ser abierto ni errado. Este es el aso, por ejemplo, del onjunto { ( x, y ) ∈ R2 / 3x + 4y ≤ 5, x > 0, y > 0 }. Ahora: un sub onjunto de R2 puede ser abierto y errado; por ejemplo, el mismo R2 , y el onjunto va ío (∅), son sub onjuntos de R2 que son, simultáneamente, abiertos y errados ¾Podría el le tor expli ar por qué?10 El siguiente teorema muestra que la rela ión fundamental entre onjuntos abiertos y errados no se da por nega ión de la ara terísti a de uno para llegar al otro, sino a través del omplemento de onjuntos : Teorema 32.


Un sub onjunto

S

de

R2

es errado si, y sólo si su omplemento en

R2

es

abierto.

Demostra ión.

a) Supongamos que S es errado. Sea ( x0 , y0 ) ∈ R2 \ S . Veamos que existe r > 0 tal que Dr ( x0 , y0 ) ⊆ R2 \ S . 11 Pro edamos por ontradi

ión y supongamos que esto último no es ierto. Enton es para todo r > 0 existe un ( x, y ) ∈ Dr ( x0 , y0 ) tal queT( x, y ) ∈ S . Tomemos, en parti ular, rn = n1 y ( xn , yn ) ∈ Drn ( x0 , y0 ) S . Como n1 → 0, enton es ( xn , yn ) → ( x0 , y0 ) y así, ( x0 , y0 ) es adherente a S . Como S es errado, enton es ( x0 , y0 ) ∈ S . Pero esto es una ontradi

ión, ya que habíamos asumido que ( x0 , y0 ) ∈ R2 \ S . b) Supongamos que R2 \ S es abierto y probemos que S es errado. Para ello, tomemos una su esión ( xn , yn ) ∈ S y asumamos que ( xn , yn ) → ( x0 , y0 ) ∈ R2 . Debemos probar que ( x0 , y0 ) ∈ S . Supongamos, por el

ontrario, que ( x0 , y0 ) ∈ R2 \ S . Como R2 \ S es abierto, existe un r > 0 tal que Dr ( x0 , y0 ) ⊆ R2 \S . Pero, en tal aso, ( xn , yn ) ∈ Dr ( x0 , y0 ) para n su ientemente grande, y esto ontradi e la hipótesis de que ( xn , yn ) ∈ S.

10 11

Si el

le tor en uentra esto último difí il,

problemas en demostrarlo. Aquí

R2 /S

es el omplemento,

S¯,

de

S

en

utilizando

R2 .

el teorema 32

ya no tendrá

95

Le


Y una ondi ión similar a la del teorema 31 para los onjuntos errados, se da ahora para los onjuntos abiertos:

Teorema 33. Si

X

S R2 , enton es X es un X∈ X T enton es X es un sub onjunto

es una ole

ión de sub onjuntos abiertos de

sub onjunto abierto de abierto de

R2 .

Si

X

es

nita,

R2 .

X∈ X

Demostra ión. Se deja omo ejer i io (sen illo) al le tor. Utili e S T [Indi a ión: T S el teorema 31 y las leyes de De Morgan ( X) = X y( X) = X (volumen 0:

Fundamentos)℄

X∈ X

X∈ X

X∈ X

X∈ X

Otro de los on eptos topológi os fundamentales, es el siguiente:

Deni ión 27. (Punto interior) Sea S un sub onjunto de R2 . Un punto ( x0 , y0 ) ∈ S es un punto interior de o S si existe r > 0 tal que Dr ( x0 , y0 ) ⊆ S . El interior de S , notado S , es el

onjunto de puntos interiores de S . o Obsérvese que un onjunto S es abierto si, y sólo si S = S .

www.fullengineeringbook.net Ejemplo 67. Consideremos los onjuntos del ejemplo 64, y determinemos su interior.

Solu ión. Los interiores de estos onjuntos son, respe tivamente (gura 67): a) { ( x, y ) ∈ R2 / x < y } b) { ( x, y ) ∈ R2 / | x | < 1, | y | < 1 }

) { ( x, y ) ∈ R2 / 3x + 4y < 5, x > 0, y > 0 } d) { ( x, y ) ∈ R2 / x > 0 }

Deni ión 28. (Punto de frontera) Sea S un sub onjunto de R2 . Un punto ( x0 , y0 ) ∈ R2 es un punto de frontera de S si es punto límite tanto de S omo de su omplemento. La frontera de S , denotada ∂S , es el onjunto de puntos de frontera de S . Obsérvese que un onjunto es errado si, y sólo si ontiene su frontera; es de ir, si, y sólo si ∂S ⊆ S .

96


Ejemplo 68. Consideremos nuevamente los onjuntos del ejemplo 64, y determinemos su frontera.

Solu ión. Las fronteras de estos onjuntos son, respe tivamente: a) { ( x, y ) ∈ R2 / x = y } b) { ( x, y ) ∈ R2 / | x | ≤ 1, y = −1 } ∪

{ ( x, y ) ∈ R2 / | x | ≤ 1, y = 1 } ∪ { ( x, y ) ∈ R2 / x = −1, | y | ≤ 1 } ∪ { ( x, y ) ∈ R2 / x = 1, | y | ≤ 1 }

) { ( x, y ) ∈ R2 / 3x + 4y = 5, x ≥ 0, y ≥ 0 } ∪ { ( x, y ) ∈ R2 / x = 0, 0 ≤ y ≤ 45 } ∪ { ( x, y ) ∈ R2 / 0 ≤ x ≤ 35 , y = 0 }

d) { ( x, y ) ∈ R2 / x = 0 }

Deni ión 29. (Conjunto a otado)


Un sub onjunto S de R2 es a otado si está ontenido en algún dis o abierto.

Ejemplo 69. Determinemos si los onjuntos del ejemplo 64 son a otados (gura 67).

Solu ión. Los onjuntos de los literales a) y d) no están ontenidos en ningún dis o abierto y, por tanto, estos onjuntos no son a otados. Sin embargo, observemos que { ( x, y ) ∈ R2 / | x | ≤ 1, | y | ≤ 1 } ⊆ D√2 ( 0, 0 )

y

{ ( x, y ) ∈ R2 / 3x + 4y ≤ 5, x ≥ 0, y ≥ 0 } ⊆ D2 ( 0, 0 )

Por tanto, los onjuntos de los literales b) y ) sí son a otados.

Deni ión 30. (Conjunto ompa to (Fré het (1906))) Un sub onjunto S de R2 es ompa to si es errado y a otado.

Ejemplo 70. Determinemos si los onjuntos del ejemplo 64 son ompa tos.

97

Le

ión 1: El método de límites Solu ión.

El onjunto { ( x, y ) ∈ R2 / x < y } no es errado y no es a otado; por tanto, no es ompa to. El onjunto { ( x, y ) ∈ R2 / | x | < 1, | y | < 1 } no es errado, pero es a otado; por tanto, tampo o es ompa to (gura 68 a)). El onjunto { ( x, y ) ∈ R2 / 3x + 4y ≤ 5, x ≥ 0, y ≥ 0 } es errado y es a otado; por tanto, este onjunto sí es ompa to (gura 68 b)). El onjunto { ( x, y ) ∈ R2 / x ≥ 0 } es errado, pero no es a otado; por tanto, no es ompa to. N y

y

5 4

S x

S 5 3

a)

x

b)

Figura 68


Finalmente, después de mostrar esquemáti amente las no iones topológi as bási as, arribamos al teorema que muestra el omportamiento bajo transforma iones (fun iones) ontinuas de tres tipos fundamentales de onjuntos desde el punto de vista de la topología: los onjuntos abiertos, los onjuntos errados y los onjuntos ompa tos. Teorema 34. (Preserva ión de ara terísti as topológi as bajo onti-

nuidad ) Sea

f : R2 → R2

una fun ión ontinua; es de ir, si

fun iones ontinuas

f1 , f2 :

i)

Si

S

es errado en

ii)

Si

S

es abierto en

iii)

Si

T

es ompa to en

R2

R2 , R2 ,

→ R, enton es

enton es enton es

R2 ,

f −1 ( S ) f −1 ( S )

enton es

f( T )

f = (f1 , f2 )

es errado en es abierto en

para iertas

R2 .

R2 .

es ompa to en

R2 .

Demostra ión. n→∞

i) Sea {( an , bn )} −−−→ ( L, M ) ∈ R2 una su esión onvergente de puntos de f −1(S); enton es, por ontinuidad se tendrá n→∞ { f (an , bn ) } −−−→ f (L, M ). Como S es errado enton es f (L, M ) ∈ S y así, ( L, M ) ∈ f −1 (S).


98

S es abierto enton es su omplemento R2 \S es errado y por a) anterior −1 (R2 \S) es errado. Pero f −1 (R2 \S) = R2 \f −1 (S). Luego se tiene que f −1 f (S) es abierto.

ii) Si

iii) Se deja omo ejer i io para el le tor.

Ejemplo 71.

f : R2 → R2 la fun ión ontinua denida por f (x, y) = ( x2 + y 2 , 1). −1 ((1, 1)) = { ( x, y ) ∈ R2 / x2 + y 2 = 1 } y así el onjunto errado Enton es f 2 en R , {(1, 1)}, es enviado ha ia atrás"por la fun ión ontinua f (·, ·) en el Sea

onjunto errado onformado por la ir unferen ia del ír ulo de radio 1.

Ejemplo 72.

f : R2 → R2 la fun ión ontinua denida por la transforma ión lineal f (x, y) = (x + y, x − y). Enton es, el onjunto ompa to de R2 , {(1, 0)}, es enviado por esta transforma ión lineal, en la solu ión al sistema lineal x + y = 1, x − y = 0 que es el onjunto ompa to {( 12 , 12 )}.

Sea


Ejer i ios 10

1) Muestre, omo arma la Nota 14, que y

errados

∅

y

R2

son sub onjuntos

2 de R .

abiertos

2) Falso o verdadero:

a) Un onjunto errado en

R2

puede ser abierto.

b) Un onjunto abierto en

R2

puede ser errado.

) Todo onjunto errado en

R2

es a otado.

d) Todo onjunto a otado en

R2

es errado.

e) Un onjunto ompa to en

R2

puede ser abierto.

f ) Todo onjunto a otado en

R2

es ompa to.

g) La unión de dos onjuntos abiertos ( errados, ompa tos) de

R2

es

2 un onjunto abierto ( errado, ompa to) de R . h) La interse

ión de dos onjuntos abiertos ( errados, ompa tos) en

R2

es un onjunto abierto ( errado, ompa to) de

R2 .

Le


99

3) Determine si los siguientes onjuntos son onjuntos abiertos, errados, y/o ompa tos en

R2 :

a) { ( x, y ) ∈ R2 / x = 0, y > 0 }

b) { ( x, y ) ∈ R2 / x2 + y 2 = 1 }

e) { ( x, y ) ∈ R2 / x2 < y }

f)

) { ( x, y ) ∈ R2+ / x − y 2 ≥ 1}

d) { ( x, y ) ∈ R2 / x2 + y 2 < 1 }

g) { ( x, y ) ∈ R2+ / x2 y 2 ≥ 1 } 1

h) { ( x, y ) ∈ R2+ / m´ın{ x, y } ≥ 1 }

1

i) { ( x, y ) ∈ R2+ / x 2 y 2 ≥ α }, α > 0 4) Pruebe que si

S1 ⊆ S2 ⊆ R 2 ,

{ ( x, y ) ∈ R2 / y < 2x + 4 }

j)

{ ( x, y ) ∈ R2+ / 3x + 4y = 5 } o

enton es

o

S1 ⊆ S2 , S1 ⊆ S2 ,

y

∂S1 ⊆ ∂S2 .

*5) Es riba las orrespondientes deni iones topológi as (abierto, errado,

ompa to, et .) para sub onjuntos en

R. Dé ejemplos en ada

aso. Ade-

más, es riba nuevamente todos los teoremas de esta se

ión utilizando las nuevas deni iones. 6) ¾Será que la unión de una familia de onjuntos ompa tos en

R

ó

R2 ,

es

un onjunto ompa to? Si su respuesta es negativa, dé ondi iones para que el resultado se tenga. 7) Pruebe, on un ejemplo on reto de fun ión ontinua

f : R2 → R2 ,

que

f : R2 → R2 ,

que

www.fullengineeringbook.net S⊆ R2 .

si

R2 es abierto, no ne esariamente

f( S )

es un onjunto abierto de

8) Pruebe, on un ejemplo on reto de fun ión ontinua si

S⊆

R2 es errado, no ne esariamente

f ( S ) es un onjunto

errado de

R2 .

9) Pruebe, on un ejemplo on reto de fun ión ontinua

2 que si S ⊆ R es ompa to, no ne esariamente 2

ompa to de R . *10)

f −1 ( S

)

f : R2 → R2 , es un onjunto

onexo si no es la unión de dos sub onjuntos no va íos, disjuntos y errados en S donde un onjunto es errado 2 en S si él es la interse

ión de S on un onjunto errado de R . En otras palabras, un onjunto S es onexo si no puede partirse en dos sub onjuntos no va íos y errados en S . (En palabras muy vagas, un onjunto S⊆R

ó

S ⊆ R2

es un onjunto

es onexo si es de una sola pieza). a) Pruebe que los úni os onjuntos onexos de

R

son los intervalos.

2 b) Dé ejemplos de onjuntos onexos en R .

) Pruebe que si

S

es onexo en

ontinua, enton es

f (S)

R

(ó

es onexo

R2 ) y f : R(ó R2 ) → R(ó R2 ) 2 en R (ó R ).

es

100


11) Pruebe que si S ⊆ R ó S ⊆ R2 es un onjunto onvexo enton es también su onjunto lausura S es onvexo [Indi a ión: Re uerde que un onjunto S es onvexo en Rn si para todo x, y ∈ S y λ ∈ [0, 1] se tiene que λx + (1 − x)y ∈ S ℄. 12) En uentre los onjuntos

S

X∈ X

X y

siguientes familias de intervalos: 1 ,7− n2 1 b) X = { [5 − 2 , 7 − n 1

) X = { [ 0, ) }n ∈ N n 1 d) X = { [ 0, ] }n ∈ N n

a) X = { (5 −

T

X∈ X

X , si X está onformado por las

1 ) }n ∈ N n3 1 ] }n ∈ N n3

Corrobore los orrespondientes resultados de los teoremas 31 y 33, bajo las deni iones estable idas en el ejer i io 5 anterior sobre la topología de R. **13)

El siguiente es un ejer i io para el estudiante aventajado: Pruebe que un sub onjunto A de R (o de R2 ) es ompa to si, y sólo si, uando S A ⊆ X para alguna familia X de onjuntos abiertos de R (o de

www.fullengineeringbook.net X∈X

R2 ), enton es podemos en ontrar una subfamilia Y nita de X tal que S A⊆ X. X∈Y

*14) Utilizando el resultado del ejer i io 13 anterior (o el resultado que le parez a más simple al le tor), pruebe que un sub onjunto A de R o de R2 es ompa to si, y sólo si toda su esión de números o de puntos en A, tiene una subsu esión onvergente a un número o punto de A, respe tivamente (¾Re uerda el le tor el teorema 9 (teorema BolzanoWeierstrass) al omienzo de esta le

ión?). **15)

Es riba todas las deni iones topológi as de esta le

ión para sub onjuntos de Rn , y extienda los resultados y teoremas que sean sus eptibles de ello.

16) Pruebe que el simplex (unitario) de Rn , △n = {x ∈ Rn / xj ≥ 0, j = 1, 2, ..., n} es un onjunto ompa to y onvexo los simplex unitarios de R, R2 y R3 .

n P

xj = 1,

j=1 en Rn .

Dibuje

Le

ión 1: El método de límites 11. a.

101

Contexto e onómi o Una nota sobre los on eptos de fun ión y fun ión ontinua en el análisis e onómi o

Todo e onomista teóri o o apli ado se enfrenta rutinariamente a preguntas sobre

omo ¾ uál es el efe to de ¾ ómo depende

?,

de

?

Por ejemplo:

•

¾Cómo depende el onsumo del ingreso?

•

¾Cuál es el efe to del nivel de es olaridad sobre los salarios?

•

¾Cómo depende la demanda de los pre ios?

•

¾Cuál es el efe to de una inye

ión monetaria a la e onomía sobre el produ to interno bruto?

Estos son, laramente, problemas de inferen ia: ¾Qué ausa qué y ómo lo

ausa? Un ejemplo típi o de esto es tratar de interpretar la observa ión los individuos que pertene en al mismo grupo tienden a omportarse de manera similar. Esto podría expli arse on ualquiera de las dos hipótesis siguientes:


a) La propensión de un individuo a omportarse de determinada forma varía

on la prevalen ia de ese omportamiento en el grupo.

b) Los individuos en el mismo grupo enfrentan ambientes institu ionales similares y/o tienen ara terísti as similares. En el primer aso, el omportamiento de un individuo es fun ión del omportamiento (promedio) del grupo. En el segundo, el omportamiento de ese mismo individuo es fun ión del ambiente institu ional del grupo al ual pertene e. Son des rip iones ompletamente distintas y, también ada una, in ompleta: si uno no sabe algo a er a de ómo se forman los grupos y la forma en que sus miembros intera túan, no podrá distinguir entre estas hipótesis. Y distinguir la forma fun ional es esen ial. Por ejemplo, podrían tener diferentes impli a iones de políti a públi a. La situa ión señalada es muy familiar y no bien resuelta en e onomía empíri a (Fisher (1966))

12 . La forma fun ional es ogida

debería estar determinada por las hipótesis (a

priori )

apli adas sobre el mo-

delo y por la informa ión empíri a tomada en onsidera ión. A menudo, los investigadores on los mismos datos, pero on diferentes hipótesis, al anzan diferentes on lusiones todas lógi amente válidas. Pero este no es el úni o problema. También lo es el que las omunidades ientí as mantengan hipótesis 12

Fisher, Franklin (1966), Graw Hill.

The Identi ation Problem in E onometri s,

New York: M -

102


fuertes sobre las formas fun ionales que asumen. Para a larar (a aso ingenuamente) el problema, onsideremos la gura 69.

y b

b b

b b

b b

b b

b b

b

b b b b b

1

2

3

x

Figura 69

Un investigador quiere inferir y dada la variable x. Los datos disponibles en la gura 69 son 17 observa iones ( x, y ). Existen observa iones en los intervalos [ 0, 1 ] y [ 2, 3 ], pero no en el [ 1, 2 ], así que el investigador no puede inferir, a primera vista, asi nada del omportamiento de y en el intervalo [ 0, 3 ]. Un primer intento que podría ha er es one tar los segmentos en ontrados en los intervalos [ 0, 1 ] y [ 2, 3 ] para ubrir [ 1, 2 ] también de la misma forma (gura 70).

www.fullengineeringbook.net y b

b

b

b

b

b b

b b

b b

b

b b b b b

1

2

3

x

Figura 70

Al ha erlo así, el investigador está asumiendo varia iones fun ionales lineales a trozos y ontinuidad. También podría no ha erlo e inferir, por ejemplo, que el omportamiento en [ 1, 2 ] es onstante en lugar de lineal y obtener la grá a dis ontinua de la gura 71.

Le


103

y b

b

b

b

b

b b

b b

b b

b

b b b b b

1

2

3

x

Figura 71 El punto aquí es que, on todos los datos disponibles, no hay forma objetiva

de extrapola ión: la onvenien ia de las formas fun ionales ontinuas no es un problema e onómi o. Es un problema de onvenien ia matemáti a dado su buen omportamiento analíti o. De otro lado, no toda la investiga ión e onómi a se basa en la predi

ión. Los e onomistas algunas ve es ondu en sus investiga iones omo un esfuerzo por mejorar su entendimiento del problema, y arman que bien vale la pena estable er formas fun ionales

a priori

on buen omportamiento si esto permite

arrojar luz sobre el problema a mano a pesar de que posiblemente no tenga posibilidades interesantes de omproba ión empíri a. Este último punto de vista


13

está íntimamente one tado on la visión metodológi a de Milton Friedman

14 (1953) , quien armaba que el

propósito último de una ien ia positiva es el desarrollo de una teoría o hipótesis que arroje predi

iones válidas y signi ativas (es de ir, no obvias) a er a de fenómenos no observados todavía. Y agregaba: la ele

ión entre hipótesis alternativas igualmente onsistentes on la eviden ia disponible debe ser, hasta ierto punto, arbitraria, (. . .). Sin duda, aquel hasta ierto punto, arbitraria del pasaje anterior de Friedman podría llevar a ele

iones equivo adas de las formas fun ionales. Los e onomistas somos ya re ono idos por llevar a abo impresionantes predi

iones teóri as que no resultan validadas empíri amente o de alguna otra forma. La redibilidad del e onomista estriba, en última instan ia, en ofre er predi

iones teóri as que sean onsistentes on la eviden ia disponible, y la ele

ión de la forma fun ional (en o asiones,

a priori )

y de sus ara terísti as ( ontinuidad, et .) está

en el entro de la dis usión.

b.

Algunas fun iones dis ontinuas en el análisis e onómi o

Si el análisis e onómi o está interesado en utilizar sustan ial y efe tivamente las té ni as del Cál ulo es natural que asuma, por lo menos, que las formas fun13 14

Premio Nobel en E onomía en 1975, fundamentalmente por sus trabajos en e onomía monetaria. Falle ido en 2006. Friedman, Milton (1953), go Press.

Essays in Positive E onomi s. Chi ago: University of Chi a-

104


ionales sean ontinuas: de otro modo, la mayoría de resultados de este texto serían ( asi absolutamente) inútiles. Si el le tor observa uidadosamente, en ontrará que asi todas las fun iones explí itas analizadas en teoría e onómi a son ontinuas. Esta hipótesis de ontinuidad ha ausado serias dis repan ias, prin ipalmente entre e onomistas empíri os y teóri os, omo ya se men ionó en la dis usión de arriba. Y es que las fun iones dis ontinuas surgen muy naturalmente en la onstru

ión de modelos e onómi os, omo se verá en los siguientes ejemplos.

Ejemplo 71. (Fun iones de demanda dis ontinuas: un modelo de duopolio (Bertrand (1883)15 )) Dos rmas venden un produ to homogéneo y enfrentan una fun ión de demanda de mer ado D( p ). La rma 1 aptura todo el mer ado si ja un pre io menor que el de la rma 2; obtiene la mitad del mer ado si ja el mismo pre io; y vende ero unidades si ja un pre io mayor. Por tanto, su fun ión de demanda es  si p1 < p2   D( p1 ) d1 ( p1 , p2 ) =

       

D( p1 ) 2

si p1 = p2

0

si p1 > p2


Ejemplo 72. (Otra fun ión de demanda dis ontinua: la demanda de una rma ompetitiva) Una ara terísti a entral de una rma ompetitiva es que toma el pre io de mer ado del bien que produ e, denotado pM , omo dado por el mer ado ; y que si la rma ja un pre io superior al pre io de mer ado, no venderá ninguna

antidad de produ to y si ja un pre io inferior al del mer ado, la demanda será innita. Así, la urva de demanda que enfrenta una rma ompetitiva es

D( p ) =

          

0

si p > pM

ualquier antidad si p = pM ∞

si p < pM

Obviamente, un omportamiento omo éste no puede ser modelado on las herramientas que se han presentado en esta le

ión. Se requerirá de la no ión de orresponden ia que se desarrollará en el volumen III: Optimiza ión y dinámi a. 15

Bertrand, Joseph (1883), Savants, vol. 67.

Théorie Mathématique de la Ri hesse So iale, Journal des

105

Le

ión 1: El método de límites Ejemplo 73. (Un problema de mayoría)

Consideremos un grupo N de a

ionistas que desea votar ierta proposi ión a er a de su empresa. El poder de una oali ión S ⊆ N es ero (0) si el número de miembros de la oali ión es menor o igual que la mitad del número de a

ionistas, y es uno (1) si la oali ión forma una mayoría. Esta situa ión es des rita por la siguiente fun ión:

v( S ) =

n 2 n si s > 2

  0

si s ≤

 1

donde s denota el número de miembros de la oali ión S y n el número total de a

ionistas. En este aso, la mayoría ejer e poder absoluto: ninguna minoría está en posi ión de obstruir una de isión tomada por la mayoría. En la gura 72 se muestra una des rip ión extrapolada de este fenómeno. poder

v(S)

1-


S

n

n 2

medida de la oali ión

Figura 72 Ejemplo 74. (Un problema de bienes públi os)

Un bien es públi o si ninguna persona puede ser ex luida de su onsumo y si el

onsumo de ese bien por parte de una persona no redu e la antidad disponible para las demás. Supongamos que dos individuos desean aportar g1 y g2 pesos para la onstru

ión de ierto bien públi o. Si la suma de las ontribu iones es mayor o igual que el osto de produ ir el bien públi o, denotado c, éste es produ ido; mientras que si la suma de las ontribu iones es menor que c, el bien públi o no se produ e. Por tanto, la fun ión de produ

ión del bien públi o es G(g1 , g2 ) =

(

1 0

si g1 + g2 ≥ c si g1 + g2 < c

106


Ejemplo 75. (E onomías de es ala)

De imos que existen e onomías de es ala en algún intervalo del produ to si el

osto medio es de re iente en ese intervalo. Las e onomías de es ala pueden o urrir, por ejemplo, uando existe un insumo indivisible. Supongamos que el úni o insumo en ierta a tividad e onómi a es algún tipo de bien de apital indivisible (en el sentido de que es ompletamente inútil si se divide físi amente (un automóvil, por ejemplo)). La máxima antidad de produ to que este bien de apital puede produ ir es y¯, pero puede ser subutilizado para produ ir menos que y¯. La fun ión de ostos C( y ) se ilustra en la gura 73. C(y)

b

y¯

2y¯

3y¯

y

Figura 73

Para observar que existen e onomías de es ala en ada uno de los intervalos


[ 0, y¯ ], [ y¯, 2¯ y ], . . ., el le tor podría dibujar la urva de osto medio

orroborar lo que estamos armando.

C(y) y y

107

Le


Ejer i ios omplementarios 1)

a) Cal ule los primeros diez términos en ada una de las siguientes su esiones: 1

i) an = n n

ii) an = 1

3n iii) an = n

iv) an =

n! nn

n+5 n

n

b) Dibuje ( one tados mediante segmentos de re ta) los términos al ulados previamente para ada una de las su esiones de la parte a). ¾Es posible determinar la tenden ia de una su esión des ribiendo úni amente los diez primeros términos? ¾Por qué?

) ¾Podría usted intuir uáles son los límites en ada uno de los asos? 2)

|x|n

a) Pruebe que l´ım = 0 para x ∈ R jo, donde n! = 1 · 2 · 3... · n. n→∞ n! [Indi a ión: Sin pérdida de generalidad, asuma que x > 0 (¾Por qué?). Es oja luego un natural jo k tal que k > x. Enton es, para n su ientemente grande

www.fullengineeringbook.net 0<

xn xn−k k n! xk = x < xk = n! n! (n − k)! n! (n − k)!

y basta apli ar el teorema del sándwi h para obtener el resultado℄. b) Pruebe que l´ım a1/n = 1 si a > 1 es jo. [Indi a ión: Es riba n→∞

a1/n −1

= bn ; enton es a = (1+bn )n ≥ 1+nbn , y así 0 ≤ bn ≤

Con luya℄.

a−1 . n

3) Demuestre que si { an } es una su esión a otada (no ne esariamente onvergente) y { bn } es una su esión que tiende a ero, enton es la su esión { an · bn } también tiende a ero. Dé un ejemplo de esto (ojalá no obvio)

on su esiones espe í as. 4) Dé una deni ión apropiada de las igualdades: a)

) e) g)

l´ım f ( x ) = ∞

b) l´ım f ( x ) = ∞

l´ım f ( x, y ) = ∞

d)

l´ım f ( x, y ) = ∞

f)

l´ım f ( x, y ) = ∞

h) l´ım f ( x, y ) = −∞

x→∞ x→∞ y→∞

x→∞ y→−∞

x→−∞ y→−∞

x→−∞

l´ım f ( x, y ) = −∞

x→∞ y→∞

l´ım f ( x, y ) = −∞

x→∞ y→−∞ x→−∞ y→−∞


108

e ilústrelas on ejemplos. 5) Halle, si existen, los siguientes límites: a)

)

e)

g)

(n + 1)2 n→∞ 2n2 √ 3 n2 + n l´ım n→∞ n+1 √ √ 3 x4 + 3 − 5 x3 + 4 √ l´ım 3 x→∞ x7 + 1 p l´ım x2 + 1 − x l´ım

b)

l´ım

n→∞

(n + 1)3 − (n − 1)3 (n + 1)2 + (n − 1)2

x3 + 3x2 + 2x x→−2 x2 − x − 6 √ x2 − x f) l´ım √ x→1 x−1 p h) l´ ım x2 + x − x d)

x→−∞

l´ım

x→+∞

[Indi a ión: Como en mu has o asiones, fa torizar o ra ionalizar la expresión nos puede ayudar℄. 6) El famoso matemáti o del Rena imiento François Viete [1540-1603℄, al

onsiderar polígonos regulares de 4, 8, 16,... lados ins ritos en un ír ulo de radio 1, en ontró que

www.fullengineeringbook.net 2 = π

r

v v r ! u u u u 1 1u 1 1 1  + ×t + t 2 2 2 2 2

v u 1 u ×t 2

y John Wallis [1616-1703℄ en su

Álgebra

r ! 1 1 1  + × ··· 2 2 2

de 1685 en ontró que

2 × 4 × 4 × 6 × 6 × 8 × ··· π = 4 3 × 3 × 5 × 5 × 7 × 7 × ···

Muestre estas dos expresiones omo pro esos de límite onvergentes, des ribiendo, en ada aso, las su esiones explí itas. Con ellas, al ule

π

hasta seis ifras de imales sin utilizar la al uladora. 7) Suponga que

g( x ) ≤ f ( x ) ≤ h( x )

para todo

x 6= 2

y que

l´ım g( x ) = l´ım h( x ) = −5

x→2

x→2

¾Puede on luirse algo a er a de los valores de

x = 2?

¾Podría ser

f ( x ), g( x )

f (2) = 0?

8) Suponga que

f( x ) =

√  1 − x2     

1 2

si

0≤x<1

si

1≤x<2 x=2

si

y

h( x )

en

109

Le


¾En qué puntos a, existe l´ım f ( x )? Explique en detalle. x→a

9) Anali e la ontinuidad de las siguientes fun iones:  2   x −4 x−2 a) f (x) =   4  sen x  x b) f (x) =  1

si

x 6= 2

si

x=2

si

x 6= 0

si

x=0 1

10) El segundo miembro de la igualdad f (x) = 1−x sen ( ) are e de sentido x

uando x = 0. ¾Cómo elegir el valor de f (0) para que la fun ión f (.) sea

ontinua en este punto? ¾Es esto posible? *11) Sea f : R → R una fun ión ontinua tal que l´ım f (x) = +∞ y x→+∞ l´ım f (x) = −∞. Demuestre que f (·) es sobre (esto es, dado y ∈ R x→−∞ siempre existe x ∈ R tal que f (x) = y ). [Indi a ión: Dado y ∈ R existe x1 ∈ R tal que f (x1 ) > y , y existe x2 ∈ R tal que f (x2 ) < y . Utili e el teorema del valor intermedio para on luir℄.

www.fullengineeringbook.net 12) Sea f (·) una fun ión real. Cal ule l´ım

x→+∞

f 2 (x) , donde f 2 (x) = x( 1 + f 2 (x) )

f (x) · f (x) [Indi a ión: Utili e el teorema del sándwi h℄. [[ x ]]

[Indi a ión: Por deni ión, [[ x ]] ≤ x < [[ x ]] + 1 y utili e 13) Halle l´ım x→+∞ x el teorema del sándwi h℄. 14) Halle, si existen, los siguientes límites: a)

l´ım

x→1 y→0

15) Sea

x sen y x3 + 1

b)

  3 − x2   2 f( x ) =    x/2

a) Cal ule l´ım+ f ( x ) y l´ım− f ( x ) x→2

x→2

b) ¾Existe l´ım f ( x )? ¾Por qué? x→2

l´ım

x→3 y→2

si x < 2 si x = 2 si x > 2

3x2 − y 2 + 2 x2 + y 2 + 2

110


) ¾En qué puntos es f ( x ) ontinua? ¾En uáles es dis ontinua? 16) De ida si las siguientes arma iones son falsas o verdaderas y explique por qué: a) Si la fun ión produ to h( x ) = f ( x )g( x ) es ontinua en x = 0, enton es f ( x ) y g( x ) deben ser ontinuas en x = 0. b) Si f ( x ) y g( x ) son ambas ontinuas en x = 0, enton es la omposi ión f ( g( x ) ) también es una fun ión ontinua en x = 0.

) Una fun ión que nun a es ero en un intervalo, jamás ambia de signo en di ho intervalo. d) Si a =

4 enton es la fun ión 3   x2 − 1 f( x ) =  2ax

es ontinua en x = 3.

si x < 3 si x ≥ 3

17) Pruebe que si f (· , ·) y g(· , ·) son ontinuas, enton es

www.fullengineeringbook.net m´ın{ f (· , ·), g(· , ·) }

y

m´ ax{ f (· , ·), g(· , ·) }

son también ontinuas. 18) Anali e la ontinuidad de las siguientes fun iones: a)

b)

 2 2   x −y x−y f ( x, y ) =   x+y f ( x, y ) =

  

x2

si x 6= y si x = y

xy + y2

si ( x, y ) 6= ( 0, 0 )

0

si ( x, y ) = ( 0, 0 )

19) Sean f (·) y g(·) fun iones ontinuas en x = a on f ( a ) < g( a ). Muestre que existe una ve indad de a (es de ir, un intervalo alrededor de a) tal que f ( x ) < g( x ) para x en esa ve indad. 20) Demuestre que la fun ión f (x) = x5 + 5x4 − 20x2 − 14x− 2 tiene al menos una raíz.

Le


111

21) Pruebe que el onjunto de las fun iones reales ontinuas sobre un on-

A⊆R

junto no va ío jo

es un espa io ve torial, innito-dimensional.

¾Qué le indi a este resultado on respe to a la no ión de ontinuidad en fun iones? 22) ¾Podría usted estable er una extensión orrespondiente del teorema de valores extremos (teorema 24) para fun iones de dos variables? * 23) [Otro teorema de punto jo ℄ Extienda el orolario 1 de la presente le -

[ 0, 1 ]2

[ 0, 1 ] × [ 0, 1 ]). De forma más pre isa, muestre que si f : −→ [ 0, 1 ]2 es ontinua, enton es exis2 te ( x, y ) ∈ [ 0, 1 ] tal que f ( x, y ) = ( x, y ). [ Indi a ión: Sea f = ( f1 , f2 ) donde f1 : [ 0, 1 ]2 → [ 0, 1 ], f2 : [ 0, 1 ]2 → [ 0, 1 ] ; para y jo en [ 0, 1 ], onsiderar h(x) = f1 ( x, y ) − x para x ∈ [ 0, 1 ]. Una vez hallado cy tal que h(cy ) = 0 (es de ir, que f1 ( cy , y ) = cy ), onsiderar enton es g(y) = f2 ( cy , y ) − y y repetir el pro eso℄.

ión a

(produ to artesiano

[ 0, 1 ]2

* 24) Demuestre el teorema 26 (teorema de la fun ión inversa para fun iones

ontinuas ).

f : D −→ R es α ∈ R+ tal que f ( tx ) = tα f ( x ) para todo t > 0 y x ∈ D tal que tx ∈ D (volumen 0: Fundamentos). En tal

aso, se di e que f (·) es homogénea de grado α. ¾Será que una fun ión homogénea de grado α > 0 es ontinua en su dominio?

** 25) Re uerde que una fun ión (de una o dos variables)

homogénea si, y sólo si existe un

www.fullengineeringbook.net 26) Pruebe que de

f (· , ·)

l´ım f ( x, y ) = L si, y sólo si para toda su esión en el dominio

x→a1 y→a2

tal que

27) Pruebe que

( xn , yn ) → ( a1 , a2 )

f (· , ·)

es ontinua en

se tiene que

( a1 , a2 )

l´ım f ( xn , yn ) = L.

n→∞

si, y sólo si

l´ım f ( xn , yn ) = f ( a1 , a2 )

n→∞ para toda su esión

( a1 , a2 ).

{( xn , yn )}

en el dominio de

f (· , ·)

que onverja a

28) Reexione sobre la siguiente arma ión: Supongamos que el agua es un líquido ontinuo y la sal una sustan ia dis ontinua. Si los mez lamos, obtendremos una solu ión salina ontinua y esto ontradi e el he ho de que la suma de una fun ión ontinua y una dis ontinua da omo resultado otra fun ión dis ontinua ". * 29) Generali e, hasta donde pueda, los resultados de esta le

ión para fun-

n ≥ 3 −→ Rm .

iones de

f:

Rn

variables y, si es posible, para fun iones de la forma


112

30) Si

C ⊆ Rn

es errado, no va ío, y

p ∈ Rn

jo, pruebe que

f : C→R x → kx − pk es una fun ión ontinua. [Indi a ión: para todo

xn ∈ C ℄.

| ||xn −p || − || x −p || | ≤ ||xn − x||

31) Pruebe que la fun ión produ to interior

f : Rn × Rn → R (x, y) → x · y | xn . y n − x . y | = | xn . ( y n − x ) + y ( xn − x ) | ≤ || xn || ||yn − y || + || y || ||xn − x || para todo xn , yn ∈ Rn ℄ Y, es ontinua. [Indi a ión:

por tanto, deduz a que la fun ión norma

f : Rn → R x → kxk

www.fullengineeringbook.net también es ontinua.

32) (

Teorema de punto jo de Brouwer ) (Brouwer (1912)) Este teorema ar-

C es un onjunto no f : C −→ C es ontinua, enton es

ma que si

Rn y f ( x∗ ) = x∗ .

va ío, ompa to y onvexo de existe un

x∗ ∈ C

tal que

Ilustre este teorema on algunos ejemplos. [Nota: Una en uesta privada a nivel mundial mostró que el

96 %

de los matemáti os profesionales sa-

ben es ribir el teorema de punto jo de Brouwer pero sólo el

2%

sabe

probarlo℄. 33) Dibuje en

Derive, Mathemati a, Matlab

o ualquier otro programa simi-

lar, las siguientes fun iones:

a)

f ( x ) = sen

)

f ( x, y ) =

1 x

x y2

1 x x2 + y 2 d) f ( x, y ) = x−1 b)

f ( x ) = tan

* 34) El presente ejer i io es, primero, una invita ión al le tor a entender la demostra ión de que la su esión

{(1 + n1 )n } es onvergente,

para después

pedirle que pruebe, basado en este resultado, el ál ulo de iertos límites rela ionados.

Le


113

Para probarlo, observe que, por la fórmula binomial de Newton (volumen 0: Fundamentos),

1 1+ n

1 n

n

n

n 1 n(n − 1) 1 2 =1+ · + + ······+ 1 n 1·2 n n(n − 1)(n − 2) · · · (n − (n − 1)) 1 n . + 1 · 2 · 3 · ···n n

Luego

1+

1 1 1 1 2 1− + 1− 1− (1) 1·2 n 1·2·3 n n 1 1 2 n−1 ··· + 1− 1− ··· 1 − 1 · 2 · 3···n n n n

=1+1+

Así, (2)

1 1+ n+1

n+1

www.fullengineeringbook.net 1 1 1 1 2 =1+1+ 1− + 1− 1− 1·2 n+1 1·2·3 n+1 n+2 1 2 n−1 1 1− 1− ··· 1 − ··· + 1 · 2 · 3···n n+1 n+1 n+1 1 1 2 n + 1− 1− ··· 1 − 1 · 2 · 3 · · · (n + 1) n+1 n+1 n+1

Ahora: omo

1 1 1 1 1− < 1− 1·2 n 1·2 n+1 1 1 2 1 1 2 1− 1− < 1− 1− 1·2·3 n n 1·2·3 n+1 n+1 et ., enton es

1 1+ n

n

<

1 1+ n+1

n+1

on lo que hemos mostrado que la su esión es re iente estri ta. Ahora se debe demostrar que

1−

1 n

< 1;

{ 1+

1−

1 n n } es a otada. Pero debido a que

1 n

2 1− < 1; n

···


114

de la expresión (2) se obtiene que

1+

1 n

n

<1+1+

1 1 1 1 + + + ··· + 1·2 1·2·3 1·2·3·4 1 · 2 · 3 · 4···n

Y onsiderando el he ho evidente de que

1 1·2·3

<

1 ; 22

1 1·2·3·4

<

1 ; 23

···

;

1 1 < n−1 1 · 2 · 3 · 4···n 2

se obtiene que

1 1+ n

n

< 1 + [1 +

1 1 1 + 2 + · · · + n−1 ] 2 2 2 1 n

1− 2 1 − 21 " n−1 # 1 <3 <1+ 2− 2

<1+

www.fullengineeringbook.net Luego para todo

n ∈ N,

Así, queda estable ido

1 1+ n

n

<3

1 n que la su esión { 1 + } es estri tamente n

re-

iente y a otada. Su límite (que será muy importante más adelante) es,

on diez ifras de imales exa tas,

e = 2.7182818284...

El ejer i io aquí es al ular los dos siguientes límites, basándose en el límite que a abamos de determinar: a)

* 35)

l´ım

n→∞

a) Pruebe que

5 1+ n

n

1

l´ım n n = 1.

n→∞

b)

l´ım

n→∞

1 1+ 3n

[Indi a ión: Si es ribimos

n

1

n n = (1 + bn ),

n(n − 1) 2 bn + · · · + bnn ≥ n = (1 + bn )n = 1 + nbn + 2 r n(n − 1) 2 2 bn ; por lo tanto, 0 ≤ bn ≤ . Aplique luego el teo2 n−1

enton es

rema del sándwi h y on luya.℄

Le


115

{xn } determinada√ de forma re ursiva por 3+ 5 √ x1 = 0, xn+1 = xn + 1 onverge a . [Indi a ión: Primero 2 muestre que {xn } es a otada y re iente, y después tome límites en

b) Pruebe que la su esión

la fórmula re ursiva.℄

* 36) Demuestre el teorema 7 ( omportamiento

asintóti o ). [Indi a ión: Para M > 0 existe N ∈ N tal que efe to: omo an → L y L > 0

la parte a) se debe mostrar que dado si

n ≥ N

enton es

an > M. bn

En

L si n ≥ N1 ; y omo M bn → 0 2 L enton es existe N2 ∈ N tal que si n ≥ N2 enton es M bn < ; así, si 2 an L 2M n ≥ N ≡ max { N1 , N2 } enton es > ( )( ) = M . Pruebe b) bn 2 L enton es existe

N1 ∈ N

tal que

an >

de manera similar.℄ * 37) Ya sabemos que toda su esión

{an }

a otada tiene (al menos) una sub-

su esión onvergente (teorema 9). Así, podemos denir el

lim sup

de la

{an } (volumen 0: Fundamentos) omo sup de los límites de sub{an }; y el lim inf de la su esión {an } omo el inf de los de subsu esiones de {an }. El ejer i io aquí onsiste en es oger

su esión

su esiones de

www.fullengineeringbook.net límites

ejemplos de su esiones a otadas ( onvergentes y, sobre todo, no onvergentes) y al ular sus respe tivos

limsup

y

liminf

lim sup

y

lim inf .

¾Cuáles fueron los

de las su esiones que eran onvergentes? ¾Por qué son

iguales? 38) El pre io de ierta mer an ía se redu e a la mitad ada 3 años; ¾Cuál es el pre io al abo de 3 años?; ¾6 años?; ¾9 años?; ¾n años?; ¾Qué su ede

on su pre io si el tiempo trans urre indenidamente?; ¾Cuándo será el pre io

1 [Indi a ión: Pruebe que el pre io al 32 parte de su pre io ini ial? n

abo de

n

años es

Pn = P0 /(2 3 )

donde

P0

es el pre io ini ial.℄

39) Un mayorista vende azú ar a $500 el kilo en el aso de antidades hasta de 100 kilos in lusive. Si se trata de antidades superiores de 100 kilos pero no más de 200 kilos, la tarifa es de $450 el kilo. Halle la fun ión venta de azú ar en términos de kilos y muestre que tiene dos puntos de dis ontinuidad. ¾A qué razones e onómi as pueden deberse estas dis ontinuidades? 40) En una huerta de manzanas ada árbol produ e 600 manzanas al año si no se siembran más de 50 árboles por uadra. Por ada árbol adi ional plantado por uadra, el rendimiento por árbol de re e en 6 manzanas. Ex-

116


presar el número de manzanas M produ idas por año omo una fun ión del número x de árboles sembrados por uadra y analizar su ontinuidad. 41) En una n a, los naranjos (árboles) produ en ada uno 500 naranjas si no se siembran más de 60 árboles. Si se siembran hasta 30 árboles adi ionales, ada árbol adi ional redu e su rendimiento a 400 naranjas. Finalmente, si se siembran 10 árboles más, estos últimos produ en 350 naranjas ada uno. Des riba la produ

ión P de naranjas omo una fun ión del número x de árboles y analizar su ontinuidad. 42) ¾Será que las siguientes fun iones de la teoría e onómi a son ontinuas en su dominio R2++ ?: a) f ( x, y ) = xα y β , α, β > 0 1

b) f ( x, y ) = A [ α xρ + βy ρ ] ρ , A > 0, α > 0, β > 0, ρ ≤ 1 Asuma aquí, en a) y b), que α, β , A y ρ son números

ra ionales.

43) Reali e una grá a utilizando los datos que apare en en las siguientes tablas:

www.fullengineeringbook.net x y

5.21 4.75

4.08 2.15

2.94 2.35

5.20 4.80

2.96 2.41

x y

3294 3887

1103 1688

1745 3951

x y

641 9133

786 9889

826 10128

912 10489

9.3 26.82

9.6 25.13

7.6 22.60

7.6 22.59

x y

2898 3238

3.30 2.62

1431 2885

1208 2258

1141 11859

9.3

19.46

3.84 2.90

3.74 2.27

1936 2481

1426 12733

12.0

17.68

4.37 4.19

3487 3730 1756 13488

15.6

16.70

2.99 2.06

6167 6037 2087 14317

17.9 9.23

19.8 8.75

a) Utilizando estos datos reali e una extrapola ión lineal y otra nolineal. b) Utilizando estos datos reali e una extrapola ión ontinua y otra no

ontinua.

) Comente los resultados.

Le

ión 2

La derivada Introdu

ión En el siglo XVII existía mu ho interés por el estudio del movimiento y, por tanto, era fundamental determinar velo idades y a elera iones. En aquella épo a se requería al ular, por ejemplo, la velo idad y la a elera ión de un uerpo que se mueve en órbita elípti a o aún en movimientos más ompli ados. Esta fue, pre isamente, la razón del desarrollo del on epto de la derivada y, en general, del

ál ulo diferen ial.

www.fullengineeringbook.net El ál ulo

diferen ial se remonta, esen ialmente,

a los trabajos simultá-

Philosophiae Naturalis Prin ipia Mathemati a (1686); Methodus Fluxionum et Serierum Innitarum (1671); Tra tatus De Quadratura Curvarum (1704)℄ y Gottfried Wilhelm Leibniz [1646-1716℄ [A ta Eruditorum (1684,1685,1712)℄, aunque debe de irse neos (pero independientes) de Isaa Newton [16421727℄[

que habían tenido una labor preparatoria de mu hos siglos desde la épo a de los antiguos griegos (siglo III a.C.), y también fueron omplementados posteriormente (en su fundamenta ión lógi a) por matemáti os del siglo XIX omo Cau hy y Weierstrass. Pero fue el paso fundamental de Newton y Leibniz el que daría origen a lo que hoy ono emos omo Newton, en los

Prin ipia

derivada (que él llamaba

análisis matemáti o.

de 1686, presentaba su método para en ontrar la

método de uxiones )

aunque advertía que lo que

bus aba era expli arlo mas no demostrarlo on pre isión, pues onsideraba que sus resultados eran verdaderos desde el punto de vista físi o y eso, para él, era su iente. Se sentía seguro on la geometría eu lidiana (y sus pruebas eran geométri as), pero tenía dudas sobre los métodos de límites (hablaba de propor iones últimas y propor iones prin ipales) aunque los utilizaba para

al ular las uxiones, y por ello,

verdad.

apelaba a la físi a omo última instan ia de

La aproxima ión de Leibniz era diferente. En 1684 publi ó su primera versión del ál ulo de derivadas (y de integrales) en el 117

A ta Eruditorum .

La forma


118

de intentar soslayar el difí il método de límites fue utilizar lo que él llamaba antidades innitamente pequeñas o innitesimales, aunque las ríti as a este on epto fueron duras. Leibniz enton es respondía que su método difería del de Arquímedes sólo en los términos es ogidos para designar las antidades impli adas, y que el término innitesimal simplemente signi aba antidades que uno podía tomar tan pequeñas omo quisiera para demostrar que el error in urrido era menor que ualquier otro número asignado. In luso las omparaba on el uso onveniente que ha ían los algebristas de la épo a de raí es imaginarias omo

√

−1.

Hasta el nal de su vida en 1716, Leibniz ontinuó

bus ando expli a iones de lo que eran sus antidades innitamente pequeñas, sin lograrlo. Pero, omo Newton, nun a tuvo on eptos laros ni justi a ión lógi a de su ál ulo. Los fundamentos del Cál ulo (es de ir, los métodos de límites) sólo se hi ieron laros a nales del siglo XIX, omo ya dijimos, de la mano de Cau hy y Weierstrass, prin ipalmente. Y una de las razones ini iales para que esto haya tardado más de dos ientos años fue la existen ia de estas dos aproxima iones tan disímiles. Los seguidores de Newton (los ingleses) ontinuaron utilizando sus propor iones últimas, mientras que los seguidores de Leibniz (los de la Europa Continental) hablaban enton es de innitesimales y de antidades innitamente pequeñas". Cuesta reerlo, pero a raíz de esto, el siglo XIX


omenzó on una lógi a del Cál ulo (y de las ramas del análisis matemáti o

basadas en él) en un estado tal de onfusión, que los fundamentos estaban menos laros enton es que lo que estaban en el siglo de Newton y Leibniz.

1. Deni ión de la derivada Para estable er la no ión pre isa de derivada, omen emos tomando un punto

P ( x0 , f ( x0 ) ) sobre la grá a de y = f (·), y Q( x1 , f ( x1 ) ) x1 = x0 + ∆x on ∆x pequeño y f ( x1 ) = f ( x0 + ∆x ) tal que Q esté er a de P y sobre la grá a de f (·) (gura 1). La re ta se ante a la grá a de f (·) que pase por P y Q tiene enton es omo pendiente

jo ualquiera

otro punto, donde

f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) ∆y ≡ ∆x ∆x donde f ( x0 +∆x )−f ( x0 ) = ∆y . A medida que Q se mueve sobre la grá a de f (·) a er ándose ada vez más a P , la se ante va tomando distintas posi iones. Si se ontinúa este pro eso de aproxima ión de Q a P , a la re ta que tenderá 1 a o upar la posi ión de la re ta P T , la llamaremos re ta tangente a la urva en el punto P , y su pendiente estará dada por mP Q =

1

Cuando se ha e referen ia a la re ta tangente a una urva, se entiende que es una tangente en un punto espe í o sin que interese que la re ta y la urva se orten en algún otro punto.

Le

ión 2: La derivada

119

y y = f (x) b

Q

b

T

f (x0 + ∆x)

f (x0 )

P

x0

x1 = x0 + ∆x

x

Figura 1

f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) ∆x→0 ∆x

mP T = l´ım mP Q = l´ım Q→P

(1)

siempre que este límite exista. De aquí podemos ver que la e ua ión de la re ta tangente

PT

es enton es


f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) y − f ( x0 ) = l´ım ∆x→0 ∆x

( x − x0 )

(2)

Ahora: si observamos uidadosamente la e ua ión (1) podemos notar que este

tasa de varia ión de la fun ión f ( x ) en el punto x0

on respe to a la variable x. Es, de he ho, la velo idad o rapidez on la que f ( x ) se está moviendo en, exa tamente, el punto x = x0 (varia ión instan-

límite es realmente una

tánea). Podemos enton es denir, formalmente, lo siguiente:

Deni ión 1. (Re ta tangente a la grá a de una fun ión real) Dada la grá a de una fun ión real

en el punto P ( x0 , f ( x0 ) )

f (·), llamaremos re ta tangente a la fun ión

a la re ta denida mediante la e ua ión

f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) y − f ( x0 ) = l´ım [ x − x0 ] ∆x→0 ∆x si este límite existe.

120


Ejemplo 1.

Consideremos la fun ión y = f ( x ) = x2 . En el punto ( 2, 4 ) sobre la urva, hallemos la e ua ión de la re ta tangente a la grá a en este punto. ¾Cuál es la pendiente de la re ta tangente a esta fun ión en el punto x = 2? Solu ión.

De las e ua iones (1) y (2), tenemos, on x = 2, que mP T = l´ım

∆x→0

∆y f ( 2 + ∆x ) − f ( 2 ) = l´ım , ∆x ∆x→0 ∆x

donde f (2) = 4

Luego, ( 2 + ∆x )2 − 4 4 + 4∆x + ( ∆x )2 − 4 = l´ım ∆x→0 ∆x→0 ∆x ∆x

mP T = l´ım

= l´ım ( 4 + ∆x ) = 4 ∆x→0

Este número mide enton es la pendiente de la re ta tangente a la fun ión f ( x ) = x2 en el punto x = 2; y apli ando la deni ión 1, obtenemos que y − 4 = 4( x − 2 ),

o sea, 4x − y − 4 = 0


es la e ua ión de la re ta tangente pedida. Las grá as de la fun ión y su re ta tangente en ( 2, 4 ) se apre ian en la gura 2. y f (x) = x2

b

(2,4)

y = 4x − 4 x

Figura 2 Ejemplo 2.

Para la fun ión y = f ( x ) =

√

x, x > 0 :

a) Hallemos la pendiente de la re ta tangente a la grá a en ualquier punto ( x, f ( x ) ).

121

Le

ión 2: La derivada

b) ¾Cuál es la pendiente de la tangente en el punto ( 4, 2 )? ¾Qué mide este número?

) Hallemos la e ua ión de di ha tangente en ( 4, 2 ). d) Hallemos la e ua ión de la re ta tangente en el origen ( 0, 0 ). Solu ión.

a) m = l´ım ∆y = l´ım f ( x + ∆x ) − f ( x ) = l´ım

√

x + ∆x − ∆x

√ x

∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x √ √ √ √ ( x + ∆x − x)( x + ∆x + x) x + ∆x − x √ √ = l´ım = l´ım √ √ ∆x→0 ∆x→0 ∆x( x + ∆x + ∆x( x + ∆x + x) x) ∆x→0

1 1 = l´ım √ √ = √ ∆x→0 2 x x + ∆x + x

para x > 0

b) Bastará sustituir, en el numeral a), x por 4; así, mT ( 4, 2 ) = 1 √ = 14 . Este número mide la varia ión instantánea de la fun ión f ( x ) = 2 4 √ x uando x = 4.


(4,2) b

f (x) =

√

x x

Figura 3

) Como la re ta tangente a la urva pasa por ( 4, 2 ) y tiene pendiente 14 , tenemos que y−2 =

1 ( x − 4 ), 4

o sea

x − 4y + 4 = 0 √

d) La re ta tangente en el origen no tiene pendiente, ya que 1/2 x no está denida en x = 0. De la gura 3 puede verse que el eje Y es tangente a la urva en el origen. Su e ua ión es x = 0. Aquí, una pendiente innita,

omo en este aso en x = 0, indi a una varia ión instantánea muy grande para valores de x pequeños.


122

Deni ión 2. (Derivada (Newton (1686), Leibniz (1684), Cau hy (1823)))

y = f (·) una x0 ∈ I . El límite

a) Sea

fun ión denida en un ierto intervalo abierto

l´ım

∆x→0

I

y

∆y f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) = l´ım , ∆x ∆x→0 ∆x

la derivada de la fun ión f (·) en el punto x0 y se denota dy y ′ ( x0 ) o . Este mide la varia ión instantánea de la dx

si existe, se llama por

f ′ ( x0 )

o

y = f (·) en x0 . diferen iable en x0 .

fun ión o

f ′ (·)

b) A la fun ión

x=x0

En tal aso, diremos que la fun ión es

que aso ia a ada punto

existe), la llamaremos la

derivada

de

f (·).

fun ión derivada

x0 de

f ′ ( x0 )

su derivada

f (·)

derivable

(si

o, simplemente, la

También podríamos utilizar la nota ión

y′

o

la misma fun ión.

dy dx

para

Nota 1. (Nota ión para las variables)


Es laro que si

f (·)

tiene derivada en

f ′ ( x0 ) = l´ım

∆x→0

x0 ,

enton es podemos igualar

f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) f ( t ) − f ( x0 ) = l´ım t→x ∆x t − x0 0

f ( x0 + h ) − f ( x0 ) h ∆x ≡ t − x0 ≡ h, pues si ∆x → 0, = l´ım

h→0

sólo llamando su vez

h → 0.

enton es

t → x0

y a

En lo que sigue utilizaremos, en ada aso, la nota ión más

onveniente.

Nota 2. (Sobre el origen del término derivada) No se ono e, on pre isión, quién utilizó el término derivada"

por primera

vez. Algunos se lo atribuyen a Leibniz. Otros es ritores (los más), le atribuyen el término a Joseph Louis Lagrange [1736-1813℄ quien utilizara las expresiones

derivée de la fon tion y fon tion derivée de la fon tion ya en 1772 en Sur une Nouvelle Espe e de Cal ul Relatif a la Diérentiation et a lIntegra ión dy des Quantités Variables. De otro lado, la nota ión es original de Leibniz. dx dy Por su parte, Newton utilizaba la nota ión y˙ para denotar

uando t es la dt variable tiempo. También, al pare er, fue Lagrange quien en 1772 utilizó por primera vez la nota ión

y′

para la primera derivada de la fun ión

y.

Le

ión 2: La derivada

123

Ejemplo 3. Sea

y = f ( x ) = mx + b.

re ta:

l´ım

∆x→0

Observemos que

f ′( x ) = m

es la pendiente de la

∆y f ( x + ∆x ) − f ( x ) = l´ım ∆x ∆x→0 ∆x

m∆x m( x + ∆x ) + b − mx − b = l´ım =m ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x

= l´ım

Aquí, la re ta tangente

oin idirá

todo

x

enton es

y = mx + b f ( x ) = x para

on la fun ión misma; es de ir,

es también la e ua ión de la re ta tangente. En parti ular, si

f ′ ( x ) = 1.

Ejemplo 4. Hallemos la derivada de la fun ión

x0 .

y = f ( x ) = x2 + x

en un punto ualquiera

También hallemos la re ta tangente a la fun ión en el mismo punto

x0 .

Solu ión.

∆x 6= 0. Enton es ∆y = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) = ( x0 + ∆x )2 + ( x0 + ∆x ) − x20 − x0 = 2x0 ∆x + ( ∆x )2 + ∆x.

Sea

y

www.fullengineeringbook.net Por tanto,

∆y = 2x0 + ∆x + 1, ∆x

re ta tangente en (x0 , y0 )

y así,

l´ım∆x→0 luego,

∆y = l´ım∆x→0 ( 2x0 + ∆x + 1 ); ∆x dy = 2x0 + 1 dx x=x0

La re ta tangente en

(x0 , y0 )

b

(x0 , y0 )

y = x2 + x x

tendrá

enton es omo e ua ión

y − x20 + x0 = ( 2x0 + 1 )( x − x0 )

Figura 4

Ejemplo 5.

¾Cuál es la varia ión de la fun ión

x0 6= 0?

y = f ( x ) = 2/x


En ontremos también la re ta tangente a la fun ión en

Solu ión Como

f ( x0 + ∆x ) =

2 , x0 + ∆x

enton es

∆y = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) =

2 2 − x0 + ∆x x 0

x0 .


124

∆x 6= 0,

Luego, si

2 2 − ∆y f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) 2x0 − 2x0 − 2∆x x + ∆x x0 = = 0 = ∆x ∆x ∆x ∆x( x0 + ∆x )x0 =−

2 ( x0 + ∆x )x0

y así,

dy ∆y 2 2 = l´ım = l´ım − =− 2 ∆x→0 ∆x ∆x→0 dx x=x0 ( x0 + ∆x )x0 x0

La re ta tangente tiene enton es omo e ua ión

y

y=

y−

2 2 = − 2 ( x − x0 ). x0 x0

2 x

re ta tangente en (x0 , f (x0 ))

(x0 , f (x0 )) b

www.fullengineeringbook.net x

Figura 5 Ejemplo 6. Hallemos la derivada de la fun ión

y = f ( x ) = sen x


x0 . Solu ión Sea

y = f ( x ) = sen x.

Para ualquier

x0

real se tiene que

∆y = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) = sen ( x0 + ∆x ) − sen x0 y así,

2 sen ∆x cos ∆y sen ( x0 + ∆x ) − sen x0 2 = = ∆x ∆x ∆x sen ∆x ∆x 2 = cos x0 + ∆x 2 2

2x0 +∆x 2

125

Le

ión 2: La derivada y

y = sen x

π

−π

−2π

b

2π x

(x0 , f (x0 ))

re ta tangente en (x0 , f (x0 ))

Figura 6

Luego, re urriendo a los teoremas 22 y 23 de la le

ión 1, tendremos que ∆x sen 2 dy ∆y = l´ım = l´ım ∆x ∆x→0 ∆x ∆x→0 dx 2

l´ım cos

∆x→0

x0 +

∆x 2

= cos x0 .

Ejemplo 7.

√

Si y = f ( x ) = 3 x, hallemos los puntos sobre la urva de esta fun ión (si existen), donde hay tangente verti al o tangente horizontal; también hallemos la e ua ión de la re ta tangente en el punto ( 1,1 ).

www.fullengineeringbook.net Solu ión.

f ( x + ∆x ) − f ( x ) f ( x ) = l´ım = l´ım ∆x→0 ∆x→0 ∆x ′

= l´ım

∆x→0

√ 3

x + ∆x − ∆x

√ 3

x

2 √ √ √ √ √ √ 2 3 x + ∆x − 3 x [ 3 x + ∆x + 3 x + ∆x 3 x + ( 3 x ) ] h √ 2 √ √ √ 2i 3 ∆x x + ∆x + 3 x + ∆x 3 x + ( 3 x )

x + ∆x − x 1 ; = √ 2 √ √ √ √ 3 3 3 ∆x→0 ∆x[ 3 x2 x + ∆x + x + ∆x 3 x + ( 3 x)2 ]

= l´ım

1

Como l´ım f ′ ( x) = l´ım √ 3

x 6= 0

= +∞, enton es en el punto ( 0, 0 ) la urva 3 x2 √ y = 3 x tiene una tangente verti al uya e ua ión es x = 0 (eje Y ) (gura 7). x→0

x→0

126

Matemáti as bási as para e onomistas 2: Cál ulo y y=

√ 3

x

(1,1) re ta tangente en (1,1) b

b

x

tangente verti al en (0,0)

Figura 7

Ahora: puesto que √31 2 6= 0 para todo x ∈ R−{0}, no hay tangente hori3 x zontal y, dado que en ( 1, 1 ) tenemos f ′( 1 ) = 31 , enton es la e ua ión de la tangente es y − 1 = 13 ( x − 1 ), o sea, x − 3y + 2 = 0.

Deni ión 3. (Derivadas laterales)

a) Si para f (·) dada, existe el límite por la dere ha l´ım

f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) ∆x

www.fullengineeringbook.net ∆x→0+

a éste lo llamaremos la derivada por la dere ha de f ( x ) en x = x0 , y lo denotaremos por f+′ ( x0 ) (observemos que en este ál ulo los ∆x′ s son positivos).

b) De manera análoga, denimos omo

la derivada por la izquierda de

f( x )

en

x = x0 , la

f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) ∆x si este límite existe, y la denotamos por f−′ ( x0 ) (observemos que aquí los ∆x′ s son negativos). l´ım

∆x→0−

Nota 3. a) Como onse uen ia de estas deni iones de derivadas laterales de f (·) en x = x0 , f ′ ( x0 ) existe si, y sólo si, f+′ ( x0 ) y f−′ ( x0 ) existen y f+′ ( x0 ) = f−′ ( x0 ).

b) En o asiones se puede ha er referen ia sólo a la derivada por la dere ha o por la izquierda. Por ejemplo, si f (·) está denida sobre un intervalo

errado [ a, b ], el o iente f ( a + ∆x ) − f ( a ) ∆x

127

Le

ión 2: La derivada

tiene sentido sólo para valores positivos de ∆x. Por lo tanto, si f ( x ) tiene una derivada en a, esta será la derivada por la dere ha f+′ ( a ). Análogamente, el o iente f ( b + ∆x ) − f ( b ) ∆x tiene sentido sólo para valores negativos de ∆x. Por lo tanto, la derivada de f (·) en b existe sólo por la izquierda y esta es f−′ ( b ). Ejemplo 8.

a) En ontremos f+′ ( 1 ) y f−′ ( 1 ) para la fun ión denida por f( x ) =

(

x 2x − 1

si si

x≤1 x>1

¾Será f (·) derivable en x = 1? Hagamos la grá a de f (·). b) Mostremos que para f ( x ) = | x | existen f−′ ( 0 ) y f+′ ( 0 ), pero que la fun ión no es diferen iable en x0 = 0.


a)

f ( 1 + ∆x ) − f ( 1 ) ∆x 2( 1 + ∆x ) − 1 − 1 = l´ım ∆x ∆x→0+ 2∆x =2 = l´ım ∆x→0+ ∆x

f+′ ( 1 ) = l´ım

∆x→0+

f ( 1 + ∆x ) − f ( 1 ) ∆x 1 + ∆x − 1 = l´ım =1 ∆x ∆x→0−

f−′ ( 1 ) = l´ım

∆x→0−

Como f−′ ( 1 ) 6= f+′ ( 1 ) on luimos que f ′ ( 1 ) no existe. Notemos que f (·) es, sin embargo, ontinua en x = 1 (gura 8). b) Como f ( x ) = | x |, enton es f+′ ( 0 ) = l´ım

∆x→0+

f ( 0 + ∆x ) − f ( 0 ) ∆x − 0 = l´ım =1 ∆x ∆x ∆x→0+

f ( 0 + ∆x ) − f ( 0 ) −∆x − 0 = l´ım = −1 − ∆x ∆x ∆x→0 Luego f ′ ( 0 ) no existe porque f−′ ( 0 ) 6= f+′ ( 0 ) (gura 9). f−′ ( 0 ) = l´ım

∆x→0−


128

y

y

y = |x|

y = 2x − 1 (1,1) b

x

x

y=x

Figura 8

Figura 9

Ejemplo 9.

Puesto que la fun ión valor absoluto

f( x ) =

f( x ) = | x |

(

−x x

si

(

−1 1

si

si

está denida omo

x<0 x≥0

enton es

′

f (x) =

si

x<0 x>0

La fun ión valor absoluto no es diferen iable en

x=0

omo se estudió en el


ejemplo 8 b)(gura 9).

N

El siguiente teorema rela iona dos de los tres on eptos entrales del texto: Teorema 1.

(Derivabilidad impli a ontinuidad (Weierstrass (1861)))

Si una fun ión

f (·)

es derivable en

x0 ,

enton es

f (·)

es ontinua en

x0 ,

pero

el re ípro o no es ierto.

Demostra ión.

Debemos demostrar que si

f ′ ( x0 )

existe, enton es

l´ım f ( x ) = f ( x0 )

x→x0

(de-

ni ión de ontinuidad). En efe to,

l´ım [ f ( x ) − f ( x0 ) ] = l´ım

x→x0

x→x0

= l´ım

x→x0

f ( x ) − f ( x0 ) x − x0

( x − x0 )

f ( x ) − f ( x0 ) l´ım ( x − x0 ) x→x0 x − x0

= f ′ ( x0 ) 0 = 0 y esto equivale a que

l´ım f ( x ) = f ( x0 )

x→x0

y así queda demostrado el teorema.

Intuitivamente, el teorema anterior arma que si una fun ión es derivable en

x0 ,

enton es no puede tener ninguna interrup ión en

x0 .

Le

ión 2: La derivada

129

Nota 4.

El re ípro o del teorema 1, en general, no es ierto. Una fun ión

ontinua en

x0

y, sin embargo, no ser derivable en

fun ión del ejemplo 9 (f ( x )

= | x |)

x0 .

f (·) puede ser

Este es el aso de la

que es ontinua en 0, pero no es derivable

allí. Una idea esen ial que surge es que para que una fun ión tenga derivada en un punto

x0

no es su iente que la fun ión no esté rota allí ( ontinuidad).

Es ne esario, además, que la fun ión sea suave en el punto nuevamente la fun ión valor absoluto en

x0 = 0,

x0 .

Analizando

observamos lo que queremos

de ir uando nos referimos a suave: esta fun ión

no

lo es en

x0 = 0.

No deja de sorprender que en 1806 André Marie Ampére [ 17751836 ℄ hubiera reído probar que toda fun ión ontinua tenía derivada. Pero también Silvestre La roix [ 17651843 ℄ en su famoso

Integral

Traité de Cal ul Diérentiel et

(1797,1802), y asi todos los textos de Cál ulo de prin ipios del siglo

XIX, reían tener una prueba"de esto. In lusive el matemáti o y e onomista Joseph Bertrand [ 18221900 ℄ lo probó en 1864-70. Obviamente todas estas pruebas eran equivo adas. Pero para Weierstrass era ya laro en 1861 que la

ondi ión de ontinuidad no impli aba la de diferen iabilidad. En vista de que era lo opuesto a la onvi

ión largamente sostenida, fue una sorpresa uando

una fun ión que es ontinua para todos los puntos pero no es diferen iable en punto alguno ! (aunque quizás Bol-

presentó en 1872 un ejemplo extremo de ½


zano tenía ya ejemplo por 1830, pero no fue publi ado y, por tanto, no inuyó

en el desarrollo del problema). La gura lu iría, hasta donde nos es posible

2

dibujar, omo en la gura 10.

y

x Figura 10: Fun ión ontinua en todo punto, pero diferen iable en ninguno

Ejemplo 10.

Veriquemos que si

f( x ) =

√ 3

x,

enton es

f (·)

es ontinua en

x0 = 0,

pero no

es derivable en di ho punto (gura 11).

2

Para la onstru

ión explí ita de esta fun ión, re omendamos al le tor onsultar el ex elente (y ya lási o) texto de Spivak, Mi hael (1978), Cal ulus, Bar elona, Editorial Reverté S.A.


130

Solu ión.

Como

l´ım

x→0

√ 3

x=

√ 3

0 = 0 = f ( 0 ),

ejemplo 7 demostramos que punto, la tangente es la re ta

enton es

1 √ 3 3 x2 eje Y .

f ′( x ) = x=0

f (·)

ó

es ontinua en

no existe para

x0 = 0.

x = 0.

y y=

√ 3

En el

En este

x

b

tangente verti al en (0,0)

x


Que la derivada puede no existir en un punto donde la fun ión sí es ontinua, se puede ver también en la típi a fun ión de texto

www.fullengineeringbook.net   x sen 1 f( x ) = x  0

si

x 6= 0

si

x=0

y

y=x

f (x) = x sen

1 x

x

y = −x

Figura 12 Ya sabemos (ejemplo 51, le

ión 1) que esta fun ión es ontinua en

x = 0.

embargo, no es diferen iable allí, puesto que

l´ım

h→0

h sen h1 f( 0 + h ) − f( 0 ) f( h ) − f( 0 ) 1 = l´ım = l´ım = l´ım sen h→0 h→0 h→0 h h h h

Sin

131

Le

ión 2: La derivada

y este último límite, sabemos3 , no existe. El problema, visto geométri amente, es que las se antes no se aproximan a una posi ión denida en intervalos abiertos alrededor de ero: os ilan sin n. Ejemplo 12.

En ontremos los valores de a y b, tales que f ′ ( 1 ) exista si f( x ) =

(

x2 ax + b

si si

x<1 x≥1

Solu ión.

Como la ondi ión de ontinuidad es ne esaria para la derivabilidad (teorema 1), se debe umplir que l´ım f ( x ) = f ( 1 ) = a + b. Pero x→1

l´ım f ( x ) = l´ım x2 = 1

x→1−

x→1−

l´ım f ( x ) = l´ım ( ax + b ) = a + b

x→1+

x→1+

www.fullengineeringbook.net Por tanto, debe umplirse que a + b = 1. Además, f+′ ( 1 ) = l´ım

h→0+

f( 1 + h ) − f( 1 ) a( 1 + h ) + b − ( a + b ) = l´ım + h h h→0 = l´ım

h→0+

f−′ ( 1 ) = l´ım

h→0−

= l´ım

h→0−

ah =a h

f( 1 + h ) − f( 1 ) ( 1 + h )2 − ( a + b ) = l´ım h h h→0− 1 + 2h + h2 − ( a + b ) 1 + 2h + h2 − 1 = l´ım =2 h h h→0−

Como debe umplirse que f+′ ( 1 ) = f−′ ( 1 ), enton es a = 2 y, por tanto, b = 1 − a = 1 − 2 = −1. Es de ir, la fun ión debe ser (gura 13): f( x ) = 3

(

Ejer i io 5, ejer i ios 3 (le

ión 1).

x2 2x − 1

si si

x<1 x≥1


132

y = x2

y = 2x − 1

y

b

(1,1)

x

Figura 13 Ejemplo 13. También podemos resolver el problema del ejemplo 12 anterior de la siguiente forma: Para que que, además,

f ′ (1) exista, debe o urrir = f−′ (1). Ahora bien:

que las derivadas laterales existan y

f+′ (1)

f+′ ( 1 ) = l´ım

h→0+

f( 1 + h ) − f( 1 ) a( 1 + h ) + b − ( a + b ) = l´ım h h h→0+ = l´ım

ah =a h

www.fullengineeringbook.net h→0+

f−′ ( 1 ) = l´ım

h→0−

= l´ım

h→0−

Como

f−′ (1)

f( 1 + h ) − f( 1 ) ( 1 + h )2 − ( a + b ) = l´ım h h h→0− 1 + 2h + h2 − ( a + b ) h

debe existir, y puesto que el límite del denominador de la última

expresión es ero, enton es debe o urrir que el límite del numerador también es ero. O sea que

l´ım 1 + 2h + h2 − ( a + b ) = 0

h→0− y enton es

a + b = 1.

Por lo tanto, reemplazando en

f−′ (1)

se tiene que

1 + 2h + h2 − 1 h(2 + h) = l´ım =2 h→0 h→0 h h

f−′ (1) = l´ım Y omo

f+′ (1) = f−′ (1)

enton es

a = 2.

De donde

b = 1 − 2 = −1

Nota 6. (La velo idad omo una derivada) La velo idad de un movimiento no-uniforme en un tiempo dado es un on epto puramente físi o que surge de la experien ia prá ti a; y a ella se llegó omo

Le

ión 2: La derivada

133

resultado de numerosas observa iones sobre diferentes movimientos on retos. El estudio del movimiento no-uniforme de un uerpo en diferentes partes de su traye toria, la ompara ión de distintos movimientos que o urren simultáneamente, y, en parti ular, el estudio de fenómenos de olisión de uerpos, todos representaban una a umula ión de experien ia prá ti a que ondujo a estable er el on epto físi o de velo idad de un movimiento no-uniforme en un tiempo dado. Pero la deni ión exa ta de velo idad ne esariamente dependía del método de denir su valor numéri o y, ha erlo sólo fue posible on el on epto de derivada. En me áni a, la velo idad de un uerpo que se mueve de a uerdo on la regla

s = f ( t ) se dene mediante la derivada de la fun ión f ( t ) para ualquier valor de t. Antes de Newton y Leibniz, uando surgía el problema de en ontrar

la velo idad de un punto en movimiento no-uniforme, sólo se tenía un análisis empíri o y no una deni ión exa ta. Con el arribo del ál ulo diferen ial se al anzó esa deni ión exa ta de velo idad en ualquier momento omo la derivada de la distan ia on respe to al tiempo. Este resultado, tal vez sobra de irlo, fue extremadamente importante también desde el punto de vista prá ti o. Aún así, debe resaltarse de nuevo que ni Newton ni Leibniz (ni sus ontemporáneos) proveyeron de bases lógi as a la magní a herramienta de la derivada. En sus métodos de razonamiento y en sus on eptos no eran, en absoluto, laros. Aún en aquella épo a, los matemáti os eran ons ientes de ello, omo lo demuestran las batallas epistolares en ontradas en sus orresponden ias. En

ualquier aso, estos matemáti os del siglo XVII y XVIII dieron avan e, on sus herramientas imperfe tas desde el punto de vista formal, a ien ias naturales omo la físi a, la me áni a y la quími a. La arma ión de que mu hos problemas matemáti os han surgido de ne esidades prá ti as o por el deseo de entender algún fenómeno natural, tiene en el on epto de la derivada uno de sus más notables ejemplos.


Ejer i ios 1 1) Sea f ( x ) = x3 ; a) Utili e la al uladora de bolsillo para tabular los valores de f ( 8+∆x )−f ( 8 )

uando ∆x es ±1, ±0.5, ±0.1, ±0.01, ±0.001. ¾A ∆x )−f ( 8 ) qué pare e tender f ( 8+∆x

uando ∆x tiende a ero? ∆x b) Obtenga f ′ ( 8 ) mediante la deni ión de fun ión derivada.

) Compare los resultados en a) y b).


134

2) Halle, utilizando la deni ión, la derivada de las siguientes fun iones en un punto ualquiera

x0 :

a)

f ( x ) = x4

)

f ( x ) = xn , n entero

3) Halle

f ′ ( 0 ),

positivo

f ′ ( x ),

f ( x ) = x5

d)

f ( x ) = cos x

utilizando la deni ión, si

  x2 sen 1 f( x ) = x  0 4) Halle

b)

utilizando la deni ión, si

Primero, asuma

si

x 6= 0

si

x=0

f( x ) =

x2 , x 6= 0. |x|

[Indi a ión:

x > 0; y después x < 0; ¾Qué problema surge en x = 0?℄.

5) Existe la reen ia de que si una urva admite re ta tangente en un punto, enton es se pare erá, lo almente, a una re ta. Esto no es ierto.

www.fullengineeringbook.net f (x) = x2 si x es ra ional, y f (x) = 0 si x es irra ional. ′ Pruebe enton es que f (0) = 0 pero que f (·) no es ontinua en puntos distintos de 0. Dibuje lo mejor que pueda la fun ión f (·).

Por ejemplo, sea

2.

Reglas de deriva ión

Quizás el le tor ya haya omprobado por su propia experien ia que el pro eso de hallar la derivada de una fun ión a partir de la deni ión es generalmente largo y ompli ado. Afortunadamente, existen reglas simples para hallar la derivada sin re urrir a la deni ión. Estas reglas generales para la deriva ión permiten al ular de forma rápida y prá ti a la derivada de mu has fun iones aparentemente difí iles.

Teorema 2. Si

c

(Derivada de una onstante)

es una onstante y

f( x ) = c

para todo

Geométri amente, esto es evidente, porque tangente a la grá a de

f (·)

x,

enton es

f ′( x )

f ′ ( x ) = 0.

es la pendiente de la re ta

y omo ésta es horizontal, la re ta tangente en

ada punto es ella misma y tiene pendiente nula (gura 14).

135

Le

ión 2: La derivada y

c

f (x) = c x

Figura 14 Demostra ión.

Puesto que f ( x ) = c, enton es f ′ ( x ) = l´ım

t→x

f( t ) − f( x ) c−c 0 = l´ım = l´ım = l´ım 0 = 0 t→x t→x t−x t−x t − x t→x

Teorema 3. La derivada del produ to de una onstante por una fun ión derivable es igual a la onstante multipli ada por la derivada de la fun ión. Es de ir,

( cf )′ ( x ) = cf ′ ( x )

www.fullengineeringbook.net Demostra ión.

Sea g(·) la fun ión denida por g( x ) ≡ cf ( x ), donde f (·) es derivable en x. Enton es g( x + h ) − g( x ) cf ( x + h ) − cf ( x ) = l´ım h→0 h→0 h h f( x + h ) − f( x ) = l´ım c h→0 h

g′ ( x ) = l´ım

= c l´ım

h→0

f( x + h ) − f( x ) = c f ′( x ) h

Ejemplo 14.

a) Si f ( x ) = 3x2 , enton es f ′ ( x ) = 3( 2x ) = 6x b) Si f ( x ) = 4 sen x, enton es f ′ ( x ) = 4 cos x

Regla para la derivada de una suma )

Teorema 4. (

La derivada de la suma algebrai a de dos fun iones derivables es igual a la suma algebrai a de sus derivadas. Es de ir,

( f + g )′ ( x ) = f ′ ( x ) + g′ ( x )

136


Demostra ión.

Sea S( x ) ≡ f ( x ) + g( x ). Enton es S ′ ( x ) = l´ım

t→x

S( t ) − S( x ) ( f + g )( t ) − ( f + g )( x ) = l´ım t→x t−x t−x

f( t ) − f( x ) g( t ) − g( x ) f ( t ) + g( t ) − f ( x ) − g( x ) = l´ım + l´ım t→x t→x t→x t−x t−x t−x

= l´ım

= f ′( x ) + g′ ( x )

Esta propiedad puede extenderse a la suma de ualquier número nito de fun iones derivables. Corolario 1.

La derivada de la suma de un número nito de fun iones derivables es igual a la suma de sus derivadas. Ejemplo 15.

a) Si f ( x ) = x3 + x2 + 9, enton es f ′( x ) = 3x2 + 2x + 0 = 3x2 + 2x.

www.fullengineeringbook.net √

1

b) Si f ( x ) = 3 sen x + x, x > 0, enton es f ′ ( x ) = 3 cos x + √ . 2 x

Regla para la derivada de un produ to )

Teorema 5. (

La derivada del produ to de dos fun iones derivables es igual a la primera fun ión por la derivada de la segunda, más la segunda fun ión por la derivada de la primera. Es de ir, (f · g)′ ( x ) = f ( x ) g′ ( x ) + g( x ) f ′ ( x ) Demostra ión.

Sean f (·) y g(x) derivables en x y llamemos P (x) ≡ (f · g)(x). Enton es P(t) − P(x) f ( t )g( t ) − f ( x )g( x ) = l´ım t→x t→x t−x t−x

(f · g)′ ( x ) = P ′ ( x ) = l´ım

( f ( t ) − f ( x ) )g( t ) + f ( x )g( t ) − f ( x )g( x ) t→x t−x

= l´ım

= l´ım

t→x

f( t ) − f( x ) g( t ) − g( x ) · g( t ) + l´ım · f( x ) t→x t−x t−x

= f ′ ( x ) · g( x ) + g′ ( x ) · f ( x )

137

Le

ión 2: La derivada

Observemos que en el último paso de la demostra ión utilizamos el he ho de que g(·) es ontinua en x ya que es derivable allí (teorema 1). Nota 7.

La derivada del produ to de un número nito de fun iones derivables puede enton es en ontrarse por el uso reiterado de esta regla. Ejemplo 16.

a) Si u( x ) = ( x2 − 1 ) sen x, enton es sean f ( x ) = ( x2 − 1 ) y g( x ) = sen x. Como u(·) = ( f · g )(·), apli ando el teorema 5, tenemos que: u′ ( x ) = f ′ ( x ) · g( x ) + g′ ( x ) · f ( x ) = 2x sen x + x2 − 1 cos x

2 2 3 + 29 b) Si f ( x ) = 12 −9x4 + 6x3 − 1 , sean u( x ) = x − 3 x −16x 2 2 3 12 x − 3 x , v( x ) = −16x + 29 y w( x ) = −9x4 + 6x3 − 1. Enton es f = u · v · w y apli ando el teorema 5 tenemos

f ′ = u · ( v · w )′ + u′ · ( v · w )

(1)

www.fullengineeringbook.net Nuevamente, apli ando el teorema 5 a v · w, obtenemos que ( v · w )′ = v ′ · w + v · w′

(2)

Sustituyendo (2) en (1), obtenemos f ′ = u · ( v ′ · w + v · w ′ ) + u′ · ( v · w ) = u · v ′ · w + u · v · w ′ + v · w · u′

de donde ′

f ( x ) = 12

+ 12

2 x − x 3 2

2 x − x 3 2

−48x2

−9x4 + 6x3 − 1

−16x3 + 29 −36x3 + 18x2

2 4 3 + −16x + 29 −9x + 6x − 1 12 2x − 3 3

El le tor puede, nalmente, efe tuar los produ tos indi ados y sumar términos semejantes. N


138

Regla de la poten ia on enteros positivos )

Corolario 2. (

Si f (·) es la fun ión denida por f ( x ) = xn , donde n es un entero positivo, enton es f ′ ( x ) = nxn−1 . Demostra ión. Observemos que

f ( x ) = xn = xxn−1

y, por tanto, utilizando la regla del

produ to (teorema 5), obtenemos que

f ′ ( x ) = xn−1 + x

dxn−1 dx

xn−1 = x xn−2 , podemos derivar nuevamente para obtener dxn−2 dxn−2 ′ n−1 n−2 f (x) = x +x x +x = xn−1 + xn−1 + x2 dx dx n−3 n−3 dx dx = 2xn−1 + x2 xn−3 + x = 3xn−1 + x3 = ... dx dx

Y puesto que

que

= n xn−1 N

Obsérvese que la prueba de este orolario pudo haberse efe tuado también


mediante indu

ión matemáti a (volumen 0: Fundamentos)

de la siguiente

n = 1, pues si f ( x ) = x, enton es f ′ ( x ) = 1. Ahora supongamos que el teorema es ierto para n−1 y lo probamos

ierto también para n: puesto que f ( x ) = xn = xxn−1 , enton es f ′ ( x ) = dxn−1 = xn−1 + x ((n − 1)xn−2 ) = nxn−1 . xn−1 + x dx

forma: Es laro que el teorema es ierto para

Regla para la derivada de un o iente )

Teorema 6. (

La derivada del o iente de dos fun iones derivables es igual a la fun ión del denominador por la derivada de la fun ión del numerador menos la fun ión del numerador por la derivada de la fun ión del denominador, todo dividido por el

uadrado de la fun ión del denominador. Es de ir, ′ f g( x ) · f ′ ( x ) − f ( x ) · g′ ( x ) (x) = g [ g( x ) ]2

siempre que g( x ) 6= 0. Demostra ión. Sean

f (·)

y

g(·)

fun iones derivables on

g( x ) 6= 0

y sea

C( x ) ≡

f( x ) ; g( x )

Le

ión 2: La derivada

139

enton es

C( x + h ) − C( x ) C ( x ) = l´ım = l´ım h→0 h→0 h ′

= l´ım

h→0

= l´ım

h→0

= l´ım

h→0

−

f( x ) g( x )

h

f ( x + h ) · g( x ) − f ( x ) · g( x + h ) h · g( x + h ) · g( x ) f ( x + h ) · g( x ) − f ( x ) · g( x ) − f ( x ) · g( x + h ) + f ( x ) · g( x ) h · g( x + h ) · g( x ) i h i h g( x ) f ( x+hh)−f ( x ) − f ( x ) g( x+hh)−g( x ) g( x + h ) · g( x )

g( x ) l´ım

h→0

=

f ( x+h ) g( x+h )

f ( x+h )−f ( x ) h

− f ( x ) l´ım

h→0

g( x+h )−g( x ) h

g( x ) l´ım g( x + h ) h→0

=

g( x ) · f ′ ( x ) − f ( x ) · g′ ( x ) [g( x )]2

(Aquí utilizamos el teorema 1 en algún paso. ¾Dónde o urrió esto?)


Si

f( x ) =

3x − 16 , 4x4 + 11x + 1

f ′( x ) =

enton es

( 4x4 + 11x + 1 ) · 3 − ( 3x − 16 )( 16x3 + 11 ) ( 4x4 + 11x + 1 )2

=

12x4 + 33x + 3 − 48x4 − 33x + 256x3 + 176 ( 4x4 + 11x + 1 )2

=

−36x4 + 256x3 + 179 ( 4x4 + 11x + 1 )2

uando

4x4 + 11x + 1 6= 0

Ejemplo 18.

Hallemos

f ′( x )

si

sen x a) f ( x ) = tan x ≡ cos x

3

b)

f ( x ) = sec x

1 ≡ cos x

¾Podría el le tor en ontrar ( on el método que onsidere más onveniente), aquellos

x's

para los uales

4x4 + 11x + 1 = 0?

140


Solu ión.

a)

f ′( x ) =

b) f ′( x ) =

cos x cos x − sen x( − sen x ) cos2 x + sen2 x = cos2 x cos2 x 1 = = sec2 x cos2 x

−(− sen x) sen x = = sec x tan x 2 cos x cos2 x

Corolario 3. Si

f (·) es una fun ión derivable en x, enton es ′ 1 f ′( x ) (x) = − f [ f ( x ) ]2

siempre y uando

f ( x ) 6= 0.

Demostra ión.

Basta apli ar el teorema 6 a la fun ión g(·) denida por g( x ) =

1 . f( x )

www.fullengineeringbook.net Regla de la poten ia on enteros negativos

Corolario 4. ( Sea

f( x ) = x 6= 0.

xn ,

)

n

entero negativo. Demostremos que f ′ ( x )

= nxn−1 on

Demostra ión.

Como n es entero negativo, enton es m = −n es un entero positivo. Así, 1 f ( x ) = x−m = m . Por el orolario 3 y la regla de la poten ia tenemos que x

f ′( x ) = −

mxm−1 = −mxm−1−2m = −mx−m−1 ( xm )2

Como −m = n, enton es f ′( x ) = nxn−1 .

Regla de la poten ia on enteros )

Corolario 5. (

A partir de las reglas de la poten ia ( orolarios 2 y 4) se tiene que si

ualquier número entero y

f( x ) =

xn , enton es

también se es ribe así:

d n [x ] = nxn−1 , dx

n∈Z

f ′( x )

=

n es

nxn−1 . A ve es

Le

ión 2: La derivada

141

El siguiente ejemplo ilustra la apli a ión onse utiva de las reglas del o iente, del produ to y de la poten ia.

Ejemplo 19.

x3 ( x2 + 3 ) ,y x2√+ 3x − 1 −3 ± 13 x 6= . 2

Sea

y=

hallemos

dy dx

uando

x2 + 3x − 1 6= 0,

es de ir, uando

Solu ión. Utilizando la regla del o iente, se tiene que

′

f (x) =

( x2 + 3x − 1 )

d 3 2 d [ x ( x + 2 ) ] − x3 ( x2 + 2 ) [ x2 + 3x − 1 ] dx dx ( x2 + 3x − 1 )2

Y luego, utilizando la regla del produ to, se tiene que:

f ′( x ) =

d d 3 3 d 2 (x + 2) (x ) + x ( x + 2 ) ( x2 + 3x − 1 ) − x3 ( x2 + 2 ) ( x2 + 3x − 1 ) dx dx dx ( x2 + 3x − 1 )2 2

www.fullengineeringbook.net y después, utilizando la regla de la poten ia, que:

( x2 + 2 )(3x2 ) + x3 ( 2x ) ( x2 + 3x − 1 ) − x3 ( x2 + 2 )( 2x + 3 ) f (x) = ( x2 + 3x − 1 )2

′

=

( 5x4 + 6x2 )( x2 + 3x − 1 ) − ( x5 + 2x3 )( 2x + 3 ) ( x2 + 3x − 1 )2

=

3x2 ( x4 + 4x3 − x2 + 4x − 2) 3x6 + 12x5 − 3x4 + 12x3 − 6x2 = ( x2 + 3x − 1 )2 ( x2 + 3x − 1 )2

Teorema 7. (Regla para la derivada de la fun ión ompuesta o regla de la adena ) Si

g(·)

es derivable en

derivable en

x0

x0

y

f (·)

es derivable en

g( x0 ),

enton es

y, además,

( f ◦ g )′ ( x0 ) = f ′ ( g( x0 ) ) · g′ ( x0 ) o, equivalentemente,

dy dy du = · dx x=x0 du u=g( x0 ) dx x=x0

( f ◦ g )(·)

es

142


donde y = f ( u ), u = g( x ).

En la gura 15 se visualiza una interpreta ión geométri a de la demostra ión. y Q b

P T : tangente en (g( x ), f ( g( x ) )) f ( g( x + h ) ) − f ( g( x ) ) ≈ f ′ ( g( x ) )∆g( x ) b

y = f (x)

T

∆( f ◦ g )( x ) ≈ f ′ ( g( x ) )∆g( x )

R

RT = f ′ ( g( x ) )∆g( x )

P b

b

∆g(x) b

b

g(x)

g(x + h)

x

Figura 15: Regla de la adena Demostra ión.

Como y = f ( u ) y u = g( x ), enton es y + ∆y = f ( u + ∆u ) y u + ∆u = g( x + ∆x ), donde x y x + ∆x pertene en al dominio de g(·), y, u y u + ∆u pertene en al dominio de f (·). Debemos hallar la derivada en x de la fun ión

ompuesta denida por y = f ( g( x ) ). Sabemos que g(·) es ontinua en x por ser derivable allí y f (·) es ontinua en u por la misma razón. Por onsiguiente,

www.fullengineeringbook.net l´ım ∆u = l´ım [ g( x + ∆x ) − g( x ) ] = g( x ) − g( x ) = 0

∆x→0

∆x→0

Además, es laro que ∆y = 0 si ∆u = 0. Por deni ión de la derivada de una fun ión, tenemos ∆y l´ım = f ′ ( u ), ∆u→0 ∆u

y por tanto,

l´ım

∆u→0

Sea la fun ión Φ denida omo sigue:

Enton es

  ∆y − f ′ ( u ) ∆u Φ( ∆u ) =  0

si si

∆y ′ − f (u) = 0 ∆u

∆u 6= 0

(1)

(2)

∆u = 0

l´ım Φ( ∆u ) = 0 = Φ( 0 )

∆u→0

Si de la expresión (2) despejamos ∆y , tenemos ∆y = f ′ ( u ) · ∆u + Φ( ∆u ) · ∆u,

∆u 6= 0

(3)

Le

ión 2: La derivada

143

Pero (3) también es válida on

∆u = 0.

Por onsiguiente

∆y ∆u ∆u = f ′( u ) · + Φ( ∆u ) · ∆x ∆x ∆x lo ual es válido para todo

∆x → 0,

lados uando

∆u tal que x+∆x ∈ Dg . Tomando límites en ambos

obtenemos

dy du du = f ′( u ) · +0· dx dx dx o, lo que es lo mismo,

( f ◦ g )′ ( x ) = f ′ [g( x )] · g′ ( x ) = f ′ ( u ) · g′ ( x )

Nota 8. (Derivada interna)

g′ (·) se ( f ◦ g )(·)

A

le denomina la

derivada interna

es la derivada de

f (·)

( f ◦ g )(·).

de

Así, la derivada de

multipli ada por su derivada interna.

Ejemplo 20.

dy dx

www.fullengineeringbook.net Si

y = ( x2 − 7x )−3 ,

hallemos la derivada

para

x 6= 0, 7.

Solu ión. Sea

u( x ) = x2 − 7x.

Enton es

y = u−3

dy = −3u−4 du

y

y, por tanto,

du = 2x − 7 dx

Luego,

dy dy du 3( 2x − 7 ) = · = −3u−4 ( 2x − 7 ) = −3( x2 − 7x )−4 ( 2x − 7 ) = − 2 dx du dx ( x − 7x )4

Regla de la poten ia on números ra ionales )

Corolario 6. ( 1 n

Sea f ( x ) = x , n ∈ N bien denida en un intervalo abierto; enton es, allí, f ′( x ) =

1 1 −1 xn n

p

Más generalmente, si f (x) = x q , p ∈ Z, q ∈ N, enton es f ′ (x) =

p pq −1 x q

144


Demostra ión.

Por deni ión, se tiene que 1

1

f( t ) − f( x ) tn − xn f ( x ) = l´ım = l´ım t→x t→x t−x t−x n−1 1 n−2 n−3 n−1 1 1 2 t n + t n xn + t n xn + · · · + x n tn − xn n−1 = l´ım n−2 1 n−3 2 n−1 t→x ( t − x ) t n + t n xn + t n xn + · · · + x n ′

= l´ım

t→x

= =

x

(t − x) t

n−1 n

+x

1 nx

n−1 n

=

n−2 n

n−1 n

+t

n−2 n

t−x 1 n

x +t

n−3 n

2 n

x + ··· + x

1 1 n

x +x

1 1 −1 xn n

n−3 n

2

xn + · · · + x

n−1 n

n−1 n

dy

Esto muestra que si y = xN , enton es = N xN −1 también es válida si N es dx de la forma N = n1 , donde n es un entero positivo. Ahora: si N = pq , donde


p dy p p −1 p ∈ Z y q ∈ N y f ( x ) = x q , también se umple que = x q , ya que dx q h 1 ip p 4 q q si f ( x ) = x = x , pueden apli arse el teorema 7 y el orolario 5 a esta

fun ión parti ular así:

h 1 ip−1 1 h 1 i p h p 1 1 i p h p i −1 − + −1 −1 f ′( x ) = p x q xq = xq q q = xq q q q

De este modo, si f ( x ) = xN , N ∈ Q, enton es f ′ ( x ) = N xN −1

Ejemplo 21.

Si y =

4

x4

√

1 dy , hallemos para x > 3. dx 2x − 6

Re uerde el le tor que

x1/q es la raíz q -ésima de x (volumen 0: Fundamentos).

145

Le

ión 2: La derivada Solu ión. 1

Como y = x−4 ( 2x − 6 )− 2 , enton es 3 1 dy 1 −4 =x − ( 2x − 6 )− 2 · 2 + ( 2x − 6 )− 2 ( −4x−5 ) dx 2 =− =

1 x4 ( 2x

− 6)

24 − 9x

3 2

−

4 −x − 4( 2x − 6 ) √ = 3 x5 2x − 6 x5 ( 2x − 6 ) 2

3

x5 ( 2x − 6 ) 2

Ejemplo 22.

Si y = ( x + 1 )2 ( x2 + 2x )−2 , hallemos

dy para x 6= 0, −2. dx

Solu ión.

dy = 2( x + 1 )( x2 + 2x )−2 + ( x + 1 )2 ( −2 )( x2 + 2x )−3 ( 2x + 2 ) dx = 2( x + 1 )( x2 + 2x )−2 − 4( x + 1 )3 ( x2 + 2x )−3 = 2( x + 1 )( x2 + 2x )−3 x2 + 2x − 2( x + 1 )2 = 2( x + 1 )( x2 + 2x )−3 −x2 − 2x − 2

www.fullengineeringbook.net = −2( x + 1 )( x2 + 2x )−3 ( x2 + 2x + 2 )

Ejemplo 23.

Derivemos las siguientes fun iones en aquellos intervalos on los que estén bien denidas: a) y =

tan x − 1 sec x

3

b) y = sen− 4 x

Solu ión.

a)

dy sec2 x sec x − sec x tan x(tan x − 1) = dx sec2 x sec3 x − sec x tan2 x + sec x tan x = sec2 x 2 2 sec x − tan x + tan x tan2 x tan x = = sec x − + sec x sec x sec x 2 2 1 sen x 1 − sen x + sen x cos x = − + sen x = cos x cos x cos x 2 cos x + sen x cos x = cos x = cos x + sen x


146

7 dy 3 = − sen− 4 x cos x dx 4

b)

Ejer i ios 2 1) Dada la fun ión 2) Dada la fun ión

f( t ) =

t2 − 5t − 1 , t3

halle

f ′ ( −1 ), f ′ (

1 ) a

on

a 6= 0.

f ( x ) = 4−5x+12x3 −x5 , muestre que f ′ ( x ) = f ′ ( −x ).

3) Derive las siguientes fun iones: a) b)

) d)

x7 para todo x 6= 0 x8 + 1 5 1 x2 + 1 + ( x 4 − 1 )( 1 − x 3 ) para x 6= 1, −1, 0 z= 2 3( x − 1 ) 1 s= 2 para todo t ∈ R t − 3t + 6 r 1 y= 3 para todo x ∈ R 1 + x2 3 3 x +1 x +1 y = tan para cos 6= 0 2 2 z=


3.

El teorema de la fun ión inversa

A ontinua ión desarrollaremos las derivadas de las fun iones que tienen inversas y para ello utilizaremos el siguiente lema que nos permitirá demostrar un teorema fundamental del análisis matemáti o: el

teorema de la fun ión inversa.

Y aunque ya sabemos que una fun ión estri tamente re iente o de re iente tiene fun ión inversa, el siguiente resultado da

ondi iones de derivadas

para

que una fun ión sea estri tamente re iente o de re iente. Lema 1.

f : [ a, b ] −→ R una fun ión real, ontinua en [ a, b ] y derivable en ( a, b ): a) Si f ′ ( u ) > 0 para ada u ∈ ( a, b ), enton es f (·) es estri tamente

re iente en [ a, b ].

Sea

b)

Si

f ′( u ) < 0

de re iente en

para ada

[ a, b ].

u ∈ ( a, b ),

enton es

f (·)

es estri tamente

Le

ión 2: La derivada

147

y

y b

b

a

b

x

a

a)

b

x

b) Figura 16: Ilustra ión lema 1.

Demostra ión. [Úni amente demostraremos la parte a) de este lema. La demostra ión de la parte b) es ompletamente análoga, y la dejamos omo ejer i io para el le tor℄.

f ′ ( u ) > 0 para todo u ∈ ( a, b ). Veamos que f (·) es re iente estri tamente en ( a, b ). Sean x, t ∈ [ a, b ] on x < t. Como f (·) es

ontinua en [ x, t ], enton es f (·) tiene máximo y mínimo en [ x, t ]. Pero omo f ′ ( u ) > 0 para todo u ∈ ( a, b ) tales extremos no están en (x, t); pues )−f ( u ) si u ∈ ( x, t ), enton es 0 < f ′ ( u ) = l´ ım f ( v v−u y, por tanto, existe δ > 0

Supongamos que

v→u

v ∈ (u − δ, u), enton es f ( v ) < f ( u ). Si v ∈ (u, u + δ), enton es f ( v ) > f ( u ), así que f ( u ) no puede ser máximo ni mínimo de f (·) en ( x, t ). Por lo tanto, f (·) tiene máximo y mínimo en los puntos x y t. Pero tal que si

www.fullengineeringbook.net 0 < f+′ ( x ) = v→x l´ım v>x

< v < x + ρ enton es f (·) en [ x, t ] son f ( x ) Luego f ( x ) ≤ f ( t ). Si fuera f ( x ) = f ( t ),

oin idirían el máximo y el mínimo de f (·) en [ x, t ] y, enton es, f (·) sería

onstante en [ x, t ], lo que a su vez impli aría f ′ ( u ) = 0 para todo u ∈ [ x, t ]. Con luimos, pues, que f ( x ) < f ( t ). lo que impli a la existen ia de

f ( v ) > f ( x ). Esto nos indi a el mínimo, y f ( t ) el máximo.

ρ > 0

f( v ) − f( x ) v−x tal que si x

que los extremos de

El siguiente teorema no sólo es un teorema de existen ia de inversas y del

ál ulo de su derivada. Es mu ho más: es, quizás, el teorema más importante

del análisis matemáti o.

Teorema de la fun ión inversa )

Teorema 8. ( Sea

f (·) una fun ión real ontinuamente derivable en un intervalo abierto ( a, b ) (esto es, existe f ′ ( x ) para todo x ∈ ( a, b ) y f ′ (·) ontinua en ( a, b )). Si para algún x0 ∈ ( a, b ) se satisfa e f ′ ( x0 ) 6= 0, enton es existen intervalos abiertos I y J en R on x0 ∈ I tales que f : I −→ J resulta biye tiva (es de ir uno-a-uno y sobre) y la inversa f −1 (·) ontinuamente derivable en

148


J (es de ir, existe la fun ión inversa de f (·) y ésta hereda las propiedades de aquélla). Más aún,

( f −1 )′ ( y ) =

1 f ′( x )

para ada

y ∈ J , y = f( x )

Demostra ión.

Se supone f ′(x0 ) > 0 (el aso f ′ (x0 ) < 0 se analiza de manera similar). Como f ′ (·) es ontinua y f ′ (x0 ) > 0 enton es existe δ > 0 tal que f ′ (x) > 0 para todo x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) on [x0 − δ, x0 + δ] ⊆ (a, b). Así que f (·) resulta estri tamente re iente en [x0 − δ, x0 + δ] por el lema 1, y por tanto, f (·) es uno-a-uno allí. Llámese I = (x0 − δ, x0 + δ), J = (f (x0 − δ), f (x0 + δ)). Como f (·) es re iente y ontinua (f ′ (·) existe) enton es J = f (I) (verique usando el teorema del valor intermedio para fun iones ontinuas (teorema 27, le

ión 1)). Así que existe f (·)−1 : J → I , que también es ontinua (por el teorema de la fun ión inversa para fun iones ontinuas (teorema 28, le

ión 1)). Veriquemos que f (·)−1 es derivable en J . Sea pues y ∈ J . Enton es existe un úni o x ∈ I tal que y = f (x). Tómese u ∈ J tal que u 6= y , y sea t ∈ I tal que u = f (t). Enton es, f −1 (u) − f −1 (y) t−x 1 = = f (t)−f (x) u−y f (t) − f (x) t−x


Como u → y si, y sólo si t → x, enton es

1 f −1 (u) − f −1 (y) 1 = = ′ f (t)−f (x) u→y u−y f (x) l´ım t−x l´ım

t→x

1 1 donde y = ′ . Finalmente se f ′ (x) f (x) ve que (f −1 )′ es ontinua en J pues si u, y ∈ J on u = f (t), y = f (x) para x, t ∈ I (úni os), enton es

Así que existe (f −1 )′ (y) y (f −1)′ (y) =

(f −1 )′ (u) =

1

f ′ (t)

−−→ −→ u y

1

f ′ (x)

= (f −1 )′ (y)

ya que u → y si, y sólo si t → x. Ejemplo 25.

Sea f : ( 0, +∞ ) −→ ( 0, +∞ ) denida por f ( x ) = x2 . Hallemos ( f −1 )′ ( y0 ). Solu ión.

Por el teorema de la fun ión inversa se tiene que ( f −1 )′ ( y0 ) =

1 f ′( x

√ pues y0 = f (x0 ) = x20 y así x0 = y0 .

0)

=

1 1 = √ 2 ( x0 ) 2 y0

Le

ión 2: La derivada

149

Ejemplo 26. Sea

y = f ( x ) = x5 + 2x + 1.

( f −1 )′ ( 4 )

Hallemos, si existe,

(gura 17).

Solu ión. Apliquemos el teorema de la fun ión inversa on y

f ′ ( 1 ) = 5x4 + 2 x=1 = 7 6= 0,

y0 = 4.

Puesto que

f (1) = 4

enton es

( f −1 )′ ( 4 ) =

1 1 = f ′( 1 ) 7

y f ( x ) = x5 + 2x + 1 y=x

1

f −1 ( x ) x

www.fullengineeringbook.net Figura 17

Nota 9. Mere e notarse que es posible en ontrar la derivada de la fun ión inversa en uno de sus puntos, aunque no es pre iso hallar explí itamente la e ua ión que la dene. Si observamos el ejemplo 26, vemos que es imposible despejar términos de

y.

x

en

En el ejemplo 25, sin embargo, sólo orroboramos la derivada

de una fun ión ono ida:

f( x ) =

√

x

en el punto

y = y0 .

Nota 10. (La nota ión de Leibniz, de nuevo) La igualdad

( f −1 )′ ( y ) =

1 f ′ (x)

en el teorema de la fun ión inversa se es ri-

biría (abusando de la nota ión)

dx 1 = dy dy dx Esta es una muestra del porqué la nota ión de Leibniz

dy dx

para la derivada

f ′ ( x ) es tan onveniente. Por eso permane e y, seguramente, permane erá por mu ho tiempo.

150 a.

Matemáti as bási as para e onomistas 2: Cál ulo Fun iones trigonométri as inversas

Sabemos (volumen 0: Fundamentos) que las seis fun iones trigonométri as son periódi as, es de ir, si f (·) representa una fun ión trigonométri a, existe un número real T tal que f ( x ) = f ( x + T ) para todo x. De aquí es obvio que las fun iones trigonométri as no son biye tivas y, en onse uen ia, sus rela iones inversas no son fun iones. No obstante, si se restringen ade uadamente los dominios, podemos ha er que ellas sean biye tivas y enton es denir sus respe tivas inversas que, omo re ordaremos, son sus fun iones simétri as respe to a la re ta y = x. a) Consideremos (abusando un tanto de la nota ión) la fun ión y = sen x :

h

π πi − , −→ [ −1, 1 ] 2 2 dy

Enton es la fun ión sen(·) resulta biye tiva ya que = cos x > 0 para dx x ∈ − π2 , π2 . Su inversa, la fun ión seno inverso, denotada por ar sen(·) o sen−1 (·), se dene omo

www.fullengineeringbook.net h π πi sen−1 : [ −1, 1 ] −→ − , 2 2

y 7−→ x = sen−1 ( y )

Las grá as de sen(·) y sen−1 (·) se ilustran en la gura 18. Por tanto, y = sen−1 x si, y sólo si x = sen y, − π2 ≤ y ≤ π2 , −1 ≤ x ≤ 1. Por ejemplo, sen−1 12 = π6 ya que sen π6 = 21 . y

y π 2

y = sen x

y = sen−1 x

1

− π2

π 2

x

-1

1

-1

− π2

Figura 18

x

151

Le

ión 2: La derivada

b) Sea la fun ión y = cos x : [ 0, π ] −→ [ −1, 1 ]. Esta fun ión es biye tiva

dy = − sen x < 0 para x ∈ ( 0, π ). Por ello puede denirse la dx fun ión oseno inverso, denotada por ar

os(·) o cos−1 (·) , omo

ya que

x = cos−1 y : [ −1, 1 ] −→ [ 0, π ]

Luego y = cos−1 x si, y sólo si x = cos y , 0 ≤ y ≤ π , −1 ≤ x ≤ 1. Por ejemplo, cos−1 ( −1 ) = π porque cos π = −1 Las grá as de cos(·) y cos−1 (·) se muestran en la gura 19. y π

y

y = cos−1 x 1

π 2

y = cos x p π x

π 2

-1

1

x

-1


) Es natural restringir el dominio de la fun ión tangente a − π2 , π2 para que sea ontinua y biye tiva y, por tanto, poder denir su inversa. Luego, si y = tan x : [ − π2 , π2 ] −→ R, enton es la fun ión tangente inversa, denotada por ar tan(·) ó tan−1 (·), se dene así:

tan−1 : R −→ y

π π − , 2 2

y

y = tan x π 2

y = tan−1 x − π2

π 2

x

x

− π2

Figura 20


152 Luego

y = tan−1 x

x = tan y , − π2 < y <

si, y sólo si,

por ejemplo,

tan−1 ( −1 ) = − b.

π 4

π 2,

x ∈ R.

Así,

π tan − = −1 4

ya que

Derivadas de las fun iones trigonométri as inversas

a) Como

sen : [− π2 , π2 ] −→ [−1, 1]

es re iente y derivable, enton es, por el

teorema de la fun ión inversa, la fun ión

sen−1 = ar sen : [−1, 1] −→ ( −1, 1 ). Sea y = sen−1 x;

[− π2 , π2 ] es también re iente y derivable en enton es

x = sen y

y, por tanto,

dy 1 1 1 = = =p dx dx cos y 1 − sen2 y dy (se ha tomado el signo positivo en virtud de que cos Y omo

sen y = x,

y>0

enton es

dy 1 =√ dx 1 − x2

para

si

− π2 < y <

π 2 ).

|x| < 1

www.fullengineeringbook.net y = cos−1 x, enton es, dy 1 , | x | < 1. = −√ dx 1 − x2

b) De manera similar a lo realizado en a), si teorema de la fun ión inversa,

) Si

y = tan−1 x,

enton es

tan y = x

por el

y, por el teorema de la fun ión

inversa,

sec2 y es de ir,

dy =1 dx

ó

1 1 1 dy = = = ; dx sec2 y 1 + tan2 y 1 + x2

dy 1 = . dx 1 + x2

Ejemplo 27.

Cal ulemos las siguientes derivadas:

x √ a2 − x2 + a sen−1 , a | x | < a.

a)

y =

b)

y = sen−1 ( x3 − 1 ),

donde

)

y = tan−1 ( x3 + 2 )

para todo

donde

a

| x3 − 1 | < 1, x ∈ R.

es una onstante positiva y

es de ir,

0
√ 3

2.

Le

ión 2: La derivada

153

Solu ión.

a)

b)

)

1 dy x a x = −√ + ar a = −√ +√ 2 2 2 2 2 2 dx a −x a −x a − x2 x 1− 2 a r a−x a−x = =√ 2 2 a+x a −x 3x2 dy 1 3 3x2 = √ =p =√ dx −x6 + 2x3 2x − x4 1 − ( x3 − 1 )2 dy 1 3x2 = 3x2 = 6 3 2 dx 1 + (x + 2) x + 4x3 + 5

Ejemplo 28.

Derivemos las siguientes fun iones: a)

y=

cos−1

r

1 x

b)

y = tan−1

4 sen x 3 + 5 cos x

para

x>1

si

3 + 5 cos x 6= 0


a) Como

1 y = cos−1 x− 2 ,

enton es

3

− 1 x− 2 dy = −√ 2 = dx 1 − x−1 b)

3

2x 2

1 r

1−

1 x

=

1 √

√ x−1 2 x3 √ x

=

1 √ 2x x − 1

4 sen x . Enton es tenemos que 3 + 5 cos x dy dy du 1 4 cos x( 3 + 5 cos x ) − 4 sen x( −5 sen x ) = = dx du dx 1 + u2 ( 3 + 5 cos x )2     12 cos x + 20 cos2 x + 20 sen2 x 1  =   ( 3 + 5 cos x )2 16 sen2 x 1+ ( 3 + 5 cos x )2 ( 3 + 5 cos x )2 20 + 12 cos x = 9 + 30 cos x + 25 cos2 x + 16 sen2 x ( 3 + 5 cos x )2

y = tan−1 u,

=

donde

u=

4( 5 + 3 cos x ) 4 = . 2 ( 5 + 3 cos x ) 5 + 3 cos x


154

Ejer i ios 3 1) Halle los dominios donde se pueden al ular las derivadas de las siguientes fun iones y en uentre sus derivadas: a)

f ( x ) = x cos−1 ( 2x )

)

f ( x ) = sen−1 ( x2 − 1 )

2) Halle

dy dx

si

f ( x ) = tan−1 ( x2 ) 1 −1 d) f ( x ) = cos +2 x b)

y = sec−1 x, y = csc−1 x, y = cot−1 x

determinando los

dominios y los rangos de ada una de ellas.

sen−1 x y = √

on x 6= 1, −1 , 1 − x2 ( 1 − x2 )y ′ − xy = 1.

3) Verique que la fun ión e ua ión diferen ial

4.

satisfa e la

El teorema de la fun ión implí ita


x y y de la forma F ( x, y ) = 0 puede tener una y = f ( x ). Es onveniente saber uándo es posible despejar y en términos de x , y en aso de no poder ha erlo explí itamente, al menos saber uándo y es una fun ión de x (aunque sólo sea lo almente; es de ir, en la ve indad de algún punto x). En este aso se diría que y es fun ión implí ita de x, lo almente. Una e ua ión en dos variables

o más solu iones de la forma

Para a larar esto, onsideremos los onjuntos donde: a)

F ( x, y ) = ax + by + c,

b)

F ( x, y ) = x2 + y 2 − 1

)

F ( x, y ) = 2x2 + 2y 2 + 5

d)

F ( x, y ) = x2 y 5 − x3 y 2 + x − y − 27

En a), para despejar

y

a, b

y

c

( x, y ) ∈ R2 /F ( x, y ) = 0

5

son onstantes (fun ión lineal)

( ír ulo de radio 1)

en términos de

x

bastará on que

b 6= 0,

obteniendo

a c y =− x− b b 5

Observemos que este onjunto no es más que la urva de nivel ero para la fun ión de dos variables

,

F ( x, y )(volumen 0: Fundamentos).

155

Le

ión 2: La derivada

En b), y des ribe dos fun iones de x que son y = para −1 ≤ x ≤ 1.

√

√ 1 − x2 y y = − 1 − x2

En ), F ( x, y ) = 2x2 + 2y 2 + 5 = 0 no dene implí itamente ninguna fun ión, porque esta e ua ión no tiene solu ión en R2 , ya que 2x2 + 2y 2 + 5 ≥ 5. En el aso d) es imposible despejar y explí itamente en términos de x. Sin embargo, y sí es una fun ión implí ita de x en una ve indad de 1 omo lo mostrará el teorema siguiente que es otro de los teoremas fundamentales del análisis matemáti o. De he ho, se puede probar que es equivalente a ierta forma del teorema de la fun ión inversa.

Teorema de la fun ión implí ita)

Teorema 9. (

Sea F : A −→ R una fun ión donde A es un dis o abierto en R2 . Si para ada x jo la fun ión g(·) denida por g( y ) = F ( x, y ) tiene derivada ontinua para todo y , y así mismo, para y jo, la fun ión h( x ) = F ( x, y ) tiene derivada ontinua para todo x y si existe ( x0 , y0 ) ∈ A tal que F ( x0 , y0 ) = 0 y g′ ( y0 ) 6= 0, enton es también existe un intervalo abierto I = ( x0 −δ, x0 +δ )

on δ > 0 tal que y es fun ión de x para todo x en I . Es más, si tal fun ión es y(·), enton es F ( x, y( x ) ) = 0 para todo x en I , y y(·) tiene derivada

ontinua en I :

www.fullengineeringbook.net dy h′ ( x ) =− ′ dx g (y)

Demostra ión.

(Ejer i io omplementario 30). Ejemplo 29.

a) Hallemos la pendiente de la re ta tangente a la grá a de la urva 3 x2 + y2

2

= 100 xy en el punto ( 3, 1 ).

b) Veriquemos que la e ua ión de la re ta tangente a la elipse de e ua ión x2 y 2 + 2 =1 a2 b

(gura 21)

(a y b onstantes positivas) en el punto ( x0 , y0 ), está dada por xx0 yy0 + 2 =1 a2 b

156

Matemáti as bási as para e onomistas 2: Cál ulo y (x0 , y0 ) b

b x

a x2 y2 + 2 =1 2 a b


2

a) Llamemos F ( x, y ) = 3 x2 + y 2 − 100xy = 0. Para x jo, sea g( y ) = F ( x, y ). Enton es g′ ( y ) = 6( x2 + y 2 )( 2y ) − 100x. Por tanto, en el punto ( 3, 1 ) tenemos g′ ( 1 ) = 6( 32 + 12 )( 2 · 1 ) − 100 · 3 = −180. Como g′ ( 1 ) 6= 0 en x = 3, por el teorema de la fun ión implí ita (teorema 9) existe un intervalo abierto alrededor de x = 3, y una fun ión f (·) denida en ese intervalo, tal que y = f ( x ) y f (3) = 1. Por esto, F ( x, f ( x ) ) = 0, o sea que

www.fullengineeringbook.net 3 x2 + [f ( x )]2

2

− 100xf ( x ) = 0

Derivando on respe to a x, hallamos la pendiente de la re ta tangente en

ada punto ( x, y ) de la grá a de 3( x2 +y 2 )2 = 100xy (que lo almente es la grá a de y = f ( x )). Enton es 6( x2 + y 2 )( 2x + 2yy ′ ) = 100( y + xy ′ ) 12x3 + 12xy 2 + 12x2 yy ′ + 12y 3 y ′ = 100y + 100xy ′ 12x2 yy ′ + 12y 3 y ′ − 100xy ′ = 100y − 12x3 − 12xy 2 ;

de donde obtenemos que y′ =

100y − 12x3 − 12xy 2 12x2 y + 12y 3 − 100x

En el punto ( 3, 1 ) se tiene que y ′ =

13 . 9

b) Derivando on respe to a x, tenemos que 2x 2yy ′ + 2 = 0, a2 b

o sea, y ′ = −

b2 a2

x y

para y 6= 0

Le

ión 2: La derivada

157

Así que la pendiente de la re ta tangente a la urva (elipse) en el punto

( x0 , y 0 )

on

y0 6= 0

será

m = y′ = −

b2 x 0 a2 y0

Por lo tanto, la e ua ión de la re ta tangente es

b2 x 0 ( x − x0 ) a2 y0 a2 y0 y − a2 y02 = −b2 x0 x + b2 x20 y − y0 = −

y 0 y x0 x x20 y02 + = + 2 b2 a2 a2 b

Como el punto

( x0 , y 0 )

está sobre la elipse, sus oordenadas satisfa en

la e ua ión y, por tanto, la e ua ión de la tangente es,

x0 x y 0 y + 2 =1 a2 b Lo anterior es válido para todo y0

6= 0.

y0 = 0 se obtiene x = a que es x > 0 y x = −a si x < 0. Ambas si y0 = 0, enton es x0 = ±a = x Si

www.fullengineeringbook.net la e ua ión de la re ta tangente uando

x0 x y 0 y + 2 = 1, pues a2 b x0 x tendremos que = 1. a2

son de la forma y, por tanto,

N

Ejemplo 30.

a) Hallemos

y′

si

√

y+

√

x=a

b) Hallemos

y′

si

y 2 cos x = a2 sen 3x

Solu ión.

a) Derivando implí itamente, obtenemos que

1 dy 1 + √ =0 √ 2 y dx 2 x y, por tanto,

1 √ − √ y dy 2 x √ = =− 1 dx x √ 2 y

si

x 6= 0

158


b) Derivando implí itamente, tendremos que 2y

dy cos x + y 2 (− sen x) = 3a2 cos 3x dx

y, por tanto, dy 3a2 cos 3x + y 2 sen x = dx 2y cos x

si y cos x 6= 0

Ejemplo 31. (Un ejemplo típi o de libro de texto)

Consideremos un tanque óni o (gura 22) que re ibe agua a razón de 2 litros por minuto. Veamos on qué rapidez se eleva el nivel del líquido uando su altura es y0 entímetros. 50 m

100 m

x y

www.fullengineeringbook.net Figura 22 Solu ión.

Sea v el volumen de agua en el tanque en el instante t; y la altura del agua en el instante t; y x el radio de la se

ión transversal del ono en el instante t. Sabemos que 1 3

a) v = πx2 y

y 100 = x 50

b)

dy Debemos en ontrar . Observemos que dt y=y0 dv π = dt 3

Como

2xy

dx dy + x2 dt dt

=

π 3

2xy

)

dv =2 dt

dx dy dy + x2 dy dt dt

dv dx 1 =2 y = pues y = 2x, enton es dt dy 2 dy π π y 2 y 2 dy 2= xy + x2 = + 3 dt 3 2 4 dt

159

Le

ión 2: La derivada

Por tanto,

dy 8 2.54 = = 2 dt y=y0 y0 2 πy0

Ejemplo 32. (Otro ejemplo típi o de libro de texto)

Un hombre de 1.8 metros de altura se aleja a una velo idad de 3 kilómetros por hora de una luz que está a 4.5 metros sobre el nivel del piso. Cuando su distan ia horizontal de la luz es de 3.6 metros, determinemos a qué velo idad

re e su sombra y a qué velo idad se mueve la parte más alejada de la sombra

on respe to a la luz. Solu ión.

Sea x la distan ia horizontal que separa al hombre del pie de la luz y sea y la longitud de su sombra. Los triángulos BAC y BDE de la gura 23 son re tángulos y, además, semejantes entre sí. Por tanto, x+y

4.5

=

y

1.8

www.fullengineeringbook.net es de ir, y =

1.8 x. Apli ando la regla de la adena se tiene que 2.7 2 dx dy = dt 3 dt

Como z=

dx dy = 3 km/h, enton es = 2 km/h. Como z = x + y , enton es dt dt

4.5 y . Luego, 1.8

dz 5 dy = = dt 2 dt

km km 5 2 =5 2 h h C

E 4.5 1.8 y B

x D

Figura 23

A

N

160


Ejer i ios 4 dy

1) En ada uno de los siguientes ejer i ios halle, si existe, la derivada dx de la fun ión y(·) dada en forma implí ita: a) tan ( x + y ) − y = 0 b)

1 + sen ( x + y ) = 1 xy − 1

) sen( xy ) + cos( xy) = tan( x + y ) d) x − y = sen−1 x − sen−1 y

e) x5 + 3x4 y + 8xy 3 + 5xy = 4 f)

p

x2 + 3xy 2 = 6 √ g) x cos2 xy − xy = 3x2 y 2

h)

√ x2 − 3 x = sen2 y 3 y

i) x2 y 5 − x3 y 2 + x − y = 27

www.fullengineeringbook.net 2) Sea la e ua ión 2x2 −3xy+2y 2 = 2, para la ual suponga ini ialmente que dene implí itamente al menos una fun ión diferen iable y = f ( x ). Halle dy por diferen ia ión implí ita; luego, de la e ua ión original, despeje y dx en términos de x y sele

ione la fun ión parti ular que pasa por el punto dy −1, − 32 . Halle la expresión general de para esta fun ión y evalúela dx 3 en el punto −1, − 2 .

3) Un automóvil y una bi i leta parten al mediodía del mismo lugar. El automóvil va ha ia el norte on velo idad de 80 km/h, y la bi i leta va ha ia el oeste on velo idad de 30 km/h. ¾Cuál es la velo idad a la que se separan a las 4:00 p.m.? 4) Un faro giratorio situado a 3 km de una playa re ta, efe túa 2 revolu iones por minuto. Pruebe que la velo idad a la que se mueve el punto de luz en la playa uando está a 2 km distante del punto de la playa más er ano al faro, es

que

52π dx km/min. [Indi a ión: En la gura, hallar , observando 3 dt x=2

dθ = 4π rad/min℄ dt

161

Le

ión 2: La derivada faro b

θ

3

x

playa

4) Un ampo de béisbol tiene forma uadrada de 90 pies de lado. Un jugador está orriendo desde la segunda hasta la ter era base a 28 pies por segundo. Muestre que su distan ia al punto de re ep ión está ambiando a √5610 pies por segundo uando el jugador se en uentra a 30 pies de la ter era base.


Fun iones exponen iales y logarítmi as, y sus derivadas

Desde por lo menos el siglo XVII (Wallis (1685)), sabemos que si a y b son números reales positivos, y p y q son números naturales, las leyes bási as de los exponentes son: i) ap · aq = ap+q

ii) ( ap )q = ap

iv) ( a · b )p = ap · bp

v)

a p b

=

q

iii)

ap bp

ap = ap−q aq

Estas leyes de los exponentes se extienden bien a exponentes negativos y ero 1 deniendo así: a−m ≡ m ; a0 ≡ 1. Sin embargo, para extender las leyes de a los exponentes para el aso de poten ias ra ionales, se requiere, sabemos, de un teorema de existen ia de raíz n-ésima, que estable imos antes utilizando el axioma de ontinuidad de los números reales (volumen 0: Fundamentos, le

ión 4): Teorema 10.

Dado

a>0

raíz n-ésima

n ∈ N existe un úni o b > 0 tal √ 1 de a y se denota por n a o a n .

y

que

bn = a.

A tal

b

se le llama

162


Amparados en el teorema anterior, podemos enton es denir, para m ∈ Z y n ∈ N, am/n de la siguiente forma:

m n

∈ Q on

am/n ≡ (a1/n )m

A partir de esta deni ión, podemos observar lo siguiente: a) En primer lugar, el álgebra estándar de las leyes bási as de exponentes i), ii), iii), iv), v), anteriores se satisfa en, omo el le tor puede omprobar m′ fá ilmente. Por ejemplo, para probar i), tenemos que si p = m n , q = n′ ∈ Q on n, n′ ∈ N, enton es m

m′

′

′

′

′

ap · aq = a n · a n′ = (a1/nn )mn (a1/nn )m n ′

′

′

= (a1/nn )mn +m n = a

mn′ +m′ n nn′

m

m′

= a n + n′ = ap+q

b) Sea a > 1; enton es podemos mostrar la monotoni idad de la fun ión m′ ′ exponen ial para exponentes ra ionales: Si m n < n′ on m, m ∈ Z; ′ ′ n, n′ ∈ N enton es am/n < am /n . En efe to: en prin ipio, notemos ′ ′ ′ ′ que también a1/nn > 1, pues si a1/nn ≤ 1 enton es a = (a1/nn )nn = ′ ′ ′ a1/nn · a1/nn · · · a1/nn (nn′ ve es) ≤ 1 · 1 · · · 1 (nn′ ve es) = 1, lo que es una ontradi

ión. Ahora pro edemos a probar la arma ión ini ial. ′ ′ ′ Note que, por lo inmediatamente anterior, (a1/nn )m n−mn > 1 puesto ′ ′ ′ m m n−mn que de m > 0; y omo m′ n − mn′ ∈ N, enton es n < n′ se obtiene nn′

www.fullengineeringbook.net ′

′

′

′

′

(a1/nn )m n−mn = a1/nn · a1/nn · · · a1/nn >1·1···1=1

′

(m′ n − mn′ ve es)

Pero (a1/nn )m n−mn = am /n am/n (apli ando el literal a) anterior); ′ ′ luego am /n > am/n , que era lo que queríamos mostrar. ′

′

′

′

′

) Probemos también que si {rn } es una su esión de ra ionales tal que l´ım rn = 0, enton es l´ım arn = 1 para a > 0 jo. n→∞

n→∞

i) Primero, supongamos que a > 1, y probemos ini ialmente que l´ım a1/n = 1. Puesto que también a1/n > 1 (pues n1 > 0, y se apli a n→∞

el literal b) anterior) para todo n ∈ N, enton es a1/n = 1 + bn para

ierta su esión positiva {bn }; por lo tanto, a = (1 + bn )n ≥ 1 + nbn (utilizando el binomio de Newton), y así 0 ≤ bn ≤ a−1 n . Por el teorema del sándwi h (le

ión 1) se tendrá que l´ım bn = 0, y n→∞

así l´ım a1/n = 1. Ahora: Supongamos que rn ≥ 0 para todo n→∞ n ∈ N, y sea {mn } una su esión re iente de números naturales

163

Le

ión 2: La derivada

tales que rn < 0 ≤

arn

−1

1 mn para todo < a1/mn − 1; y

n; enton es, por el literal b) anterior

omo l´ım (a1/mn − 1) = 0 enton es n→∞

(nuevamente por el teorema del sándwi h) l´ım arn = 1, que era lo n→∞ que queríamos probar. El aso en que rn ≤ 0 para todo n ∈ N se 1 1 tiene también, pues l´ım arn = l´ım a−r n = 1 = 1. Y, nalmente, si n→∞ n→∞ algunos términos de la su esión {rn } son positivos y otros negativos, se divide {rn } en dos subsu esiones, {rn+ } y {rn− }, de términos positivos y negativos, respe tivamente; así, dado ǫ > 0 existe N+ ∈ N + tal que si n ≥ N+ enton es |arn − 1| < ǫ; de la misma forma, existe − N − ∈ N tal que si n ≥ N − enton es |arn − 1| < ǫ. Si tomamos N = m´ ax{N + , N − }, y n ≥ N , enton es |arn − 1| < ǫ. ii) En segundo supongamos 0 < a < 1. Enton es, por i), se tiene lugar, que l´ım

n→∞

1 a

rn

= 1; y así l´ım

1 rn n→∞ a

= 1, por lo que l´ım arn = 1. n→∞

Deni ión 4. (Fun ión exponen ial (Euler (1748)))

Sea a > 0 jo. Para x ∈ R onstruimos (utilizando la densidad de los números ra ionales (volumen 0: Fundamentos)) una su esión monótona de números ra ionales {rn } tal que l´ım rn = x. Enton es, la su esión {arn } es también n→∞ monótona (ver b) arriba) y a otada (¾por qué?); por el teorema 1 de la le

ión 1, es enton es onvergente. Denimos

www.fullengineeringbook.net ax ≡ l´ım arn n→∞

Esta deni ión no depende de la parti ular su esión {rn } es ogida, pues si existiera otra su esión de ra ionales ualquiera (no ne esariamente monótona), {sn }, tal que l´ım sn = x enton es n→∞

l´ım asn = l´ım asn −rn · arn = l´ım asn −rn · l´ım arn n→∞

n→∞

n→∞

n→∞

= 1 · ax = ax

después de apli ar lo que probamos en ) arriba.

Teorema 11. (Propiedades de la fun ión exponen ial) Sean

a > 0, x y y

números reales; enton es

a) ax ay = ax+y

) l´ım ax = 1 x→0

e) ax > 0

1 ax d) Si x < y y a > 1 enton es ax < ay

b) a−x =


164

Demostra ión. a) Sean

{xn }, {yn }

su esiones de ra ionales que onvergen a

x

y

y,

respe -

tivamente. Enton es

ax ay = l´ım axn l´ım ayn = l´ım axn +yn = ax+y n→∞

n→∞

pues b) Si

{xn + yn }

{xn }

n→∞

es una su esión que onverge a

x + y. x,

es una su esión de ra ionales que onverge a

a−x = l´ım a−xn = n→∞

) De manera similar, si

{xn }

enton es

1 1 = x l´ım axn a

n→∞

es una su esión ualquiera de números ra io-

nales que onverge a 0, enton es

l´ım axn ≡ a0 = 1

n→∞

Luego

l´ım ax = 1.

x→0


Los literales d) y e) quedan omo ejer i ios para el le tor.

Teorema 12. (Continuidad de la fun ión exponen ial)

Para a > 0 jo, la fun ión f : R → R++ denida por f (x) = ax es ontinua. Demostra ión. Sea

x0

∈

R.

Enton es

= l´ım ax−x0 . l´ım ax0 = 1 · x→x0

x→x0

) del teorema 11.

l´ım f (x)

x→x0 ax0 =

=

l´ım ax

=

x→x0

ax0 = f (x0 )

l´ım ax−x0 ax0

x→x0

después de apli ar la parte

Note ómo la ontinuidad en 0 de la fun ión exponen ial garantiza su ontinuidad en

ualquier otro punto! y

y f (x) = ax a>1

f (x) = ax a<1

1

1

x

Figura 24a: Fun iones exponen iales a

x x

165

Le

ión 2: La derivada

Es onveniente resaltar aquí que, hasta ahora, sólo utilizábamos expresiones √ 1/2 3/4 −5/8 , et .; in lusive números tales omo ( 2)1/4 numéri as √ −5/6 omo 2 , 5 , 7 ó ( 3) tenían sentido. En esta instan ia, √ π on la deni ión de la fun ión π π exponen ial, expresiones omo π , e , ( 2) , et ., también obran sentido, es de ir, son números reales bien determinados. Ahora: de todas las fun iones exponen iales ax , existe una muy parti ular que ha resultado ser muy útil y onveniente, y uya base es un número ya n estudiado antes : e = l´ım 1 + n1 (ejer i ios omplementarios, le

ión 1). n→∞ Veamos uáles son las ara terísti as que ha en de esta fun ión exponen ial ( ono ida on fun ión exponen ial natural ) una fundamental. En primer lugar, la fun ión f (x) = ex , en o asiones notada también por exp(x), tiene, omo todas las fun iones exponen iales, a R omo dominio y a R++ omo re orrido (rango), y su grá a está en la gura 24 b); y en segundo lugar, quizás lo más importante, es que su derivada es ella misma, es de ir, si f (x) = ex enton es f ′(x) = ex (ver teorema 14 adelante), y este omportamiento des ribe ( omo veremos) mu hos fenómenos físi os, quími os, pobla ionales, et ., lo que ha he ho de esta parti ular fun ión exponen ial una de las más importantes del análisis matemáti o. Sin embargo, para poder demostrar esta última arma ión, requeriremos probar una propiedad lave de la fun ión exponen ial natural f (x) = ex , y es que, de todas las fun iones exponen iales ax , ella es la úni a que tiene derivada 1 en x = 0 (esto, obviamente, es la normaliza ión que da origen al resultado). Probémosla.

www.fullengineeringbook.net Teorema 13. (Normaliza ión a la base e)

El número e = l´ım

n→∞

1+

1 n

n

es el úni o que ha e que la derivada en x = 0

de la fun ión exponen ial aso iada f (x) = ex satisfaga f (0 + h) − f (0) eh − 1 = l´ım =1 h→0 h→0 h h

f ′ (0) = l´ım

Demostra ión.

eh − 1

Para probar que l´ım = 1, tomamos ini ialmente una su esión {hn } h→0 h de números ra ionales positivos que onverja a 0. Asumamos, además, que pn hn = para pn , qn ∈ N, y denamos mn = (qn )2 para n = 1, 2, ... . Note que qn l´ım mn = +∞, y que l´ım mn hn = l´ım pn qn = +∞.

n→∞

n→∞

n→∞


166 Enton es,

l´ım

ehn

n→∞

= l´ım

−1

hn h  1+

6

=

l´ım

n→∞

mn hn mn

+

1+

1 mn

mn hn

−1

hn

(mn hn )(mn hn −1) 2

1 m2n

·

+

(mn hn )(mn hn −1)(mn hn −2) 3!

hn

n→∞ 

(mn hn )(mn hn −1)···(mn hn −(mn hn −1)) 1·2···mn hn

···+

hn

1 mn

mn hn

  − 1    

n hn −1 hn h2n hm n + +···+ ≤ l´ım 1 + hn →0 2! 3! (mn hn )! " # 1 hn hpnn qn −2 = 1 + l´ım hn + +···+ hn →0 2! 3! (pn qn )! 1 1 1 + +···+ ≤ 1 + l´ım hn hn →0 2! 3! (pn qm )! 1 1 1 ≤ 1 + l´ım hn + + · · · + pn qn −1 hn →0 2 22 2 " # 1 1 pn qn − 2 = 1 + l´ım hn 2 =1 hn →0 1 − 12

·

1 m3n

+

(∗)

www.fullengineeringbook.net Y omo también es laro, mediante

l´ım

n→∞

1+

(∗), que mn hn

1 mn

−1

hn

≥1

enton es tendremos, por el teorema del sándwi h, que

l´ım

n→∞

Finalmente, si la su esión

negativos,

enton es

1+

1 mn

mn hn

−1

hn

n→∞

{hn } −→ 0 está onformada por números ra ionales

ehn − 1 = l´ım n→∞ n→∞ hn l´ım

= l´ım

1 e−hn

1

=1·1=1

−1

hn

n→∞ e−hn

6

=1

e−hn − 1 −hn

Justi ar esta igualdad queda omo ejer i io espe ial para el le tor.

Le

ión 2: La derivada

167

¾Por qué no es ne esario onsiderar otro tipo de su esión

{hn }?

e es el úni o número que satisfa e esto, se demuestra así: Si a > 0 es ahn − 1 tal que l´ ım = 1 donde podemos asumir que {hn } es una su esión de hn →0 hn ahn − ehn = 0. Pero omo ahn − ehn = (a − ra ionales positivos, enton es l´ ım hn →0 hn Ahora: que

ahn −1 + ahn −2 e + · · · + ehn −1 = hn →0 hn

e)(ahn −1 +ahn −2 e+···+ehn−1 ) enton es (a−e) l´ım 0

y así, ne esariamente,

no existe.

a = e, pues el límite que apare e en la última igualdad

y

y = ex

1 • → re ta tangente on pendiente igual a 1 en x = 0 x

www.fullengineeringbook.net Figura 24b: Fun ión exponen ial ex

Teorema 14.

f ( x ) = ex , enton es f ′ ( x ) = ex , para todo x ∈ R. Por lo tanto, f (n) (x) = ex para todo n. Si

Demostra ión.

f( x + h ) − f( x ) ex+h − ex = l´ım h→0 h→0 h h

f ′ ( x ) = l´ım

ex eh − ex eh − 1 = ex l´ım = ex · 1 = ex h→0 h→0 h h

= l´ım

Aquí se apli ó el he ho de que

eh − 1 = 1. h→0 h l´ım

Ejemplo 33. Sea

y = eu( x ) ;

hallemos

dy dx

si

u′ ( x )

existe.

168


Solu ión. Sea v = u( x ); enton es y = ev . Mediante la regla de la adena, se tiene que dy dy dv dv = = ev = eu( x ) · u′ ( x ) dx dv dx dx

Deni ión 5. (Fun ión logaritmo natural (Mer ator (1668))) Dado que la fun ión exponen ial f ( x ) = exp (x): R −→ R++ es re iente y derivable on ontinuidad (ya que f ′ ( x ) = f ′′( x ) = ex > 0), enton es, por el teorema de la fun ión inversa (teorema 8), también existe su fun ión inversa f −1 (·) (que es re iente y derivable) y que se es ribe omo ln(·) : R++ −→ R (llamada fun ión logaritmo natural ). Puesto que exp : R −→ R++ , enton es ln : R++ −→ R; así, la fun ión ln(·) sólo está denida para números positivos (gura 25). y = ex y

y=x

y = ln x

1


Figura 25: Fun ión logarítmi a

Teorema 15. (Propiedades Si

a

y

b

del logaritmo natural )

son números positivos, enton es:

i) ln ( a · b) = ln a + ln b; ii) ln 1 = 0;

ln e = 1

iii) ln ax = x ln a,

ln

a b

= ln a − ln b

x∈R

Demostra ión. i) Sean u = ln a y v = ln b. Enton es a = eu y b = ev y, por tanto, ab = eu · ev = eu+v

Luego, u + v = ln( a · b ) y así, ln( a · b ) = ln a + ln b.

Le

ión 2: La derivada

169

a eu = v = eu−v . e a b ln a − ln b = ln . b Además, es laro que

Luego,

u − v = ln

iii)

a) Sea

y así,

b

y = ex si, y sólo si x = ln y , enton es ln 1 = 0, ln e = 1, pues exp ( 1 ) = e1 = e.

pues

n un número natural. Enton es, utilizando i), es = ln(a · a · · · a) = ln a + ln a + ln a + · · · + ln a

fá il ver que

ii) Puesto que Además,

a

e0 = 1.

ln an

(n ve es). Luego,

ln an = n ln a, b) De a uerdo on a) arriba, para

n

n

ln a = ln a n = ln

un número natural. Luego, 1

ln a n =

)

n∈N

1

an

n

1

= n ln a n

1 ln a n

0 = ln 1 = ln ( an · a−n ) = ln an + ln a−n = n ln a + ln a−n n ∈ N. Por tanto, ln a−n = −n ln a

para


d) Hasta aquí las fórmulas son válidas para enteros y exponentes de la forma

1 n,

m ln a

1 n,

m

n ∈ N. Pero es más general: omo ln a n = ln

y

1 n

ln a =

1 n

ln a,

enton es m

ln a n = Es de ir, si

r∈Q

m

=

ln ar = r ln a.

{rn } una su esión l´ım rn = x. Luego,

existe

meros ra ionales tal que

1

an

m ln a n

también se tiene

x ∈ R,

e) Finalmente, si

monótona de nú-

n→∞

7

ln ax = ln ( l´ım arn ) = l´ım ln arn = l´ım rn ln a = x ln a n→∞

n→∞

n→∞

Nota 11. (Sobre el origen de los logaritmos) La palabra logaritmo", que signi a número de propor ión" (del griego +

)

fue a uñada por Napier (o Neper, omo mejor se le ono e) en

Miri i Logarithmorum Canonis Des ripsimpli ar multipli a iones que impli asen senos de

1614 uando anun ió su invento en

tio.

7

Allí, Neper bus aba

l´ım ln arn = ln l´ım arn

n→∞

ontinua.

n→∞

ya que

ln(·)

es ontinua, pues es la inversa de una fun ión


170

ángulos, transformándolos en

sumas

de osenos de ángulos, apli ando logarit-

mos a números en general. Al pare er, el hilo ondu tor fue la antigua fórmula griega alejandrina

sen A sen B =

1 [ cos (A − B) − cos (A + B)] 2

on la que llegó a su des ubrimiento8 . El sistema de Neper estaba, por onsiguiente, diseñado para ál ulos trigonométri os. Fue Henry Briggs [1556-1631℄, amigo de Neper, el primero en apre iar inmediatamente las bondades de su trabajo. En su

Arithmeti a Logarithmi a

(es rita

mu ho antes pero sólo publi ada hasta 1624) re ono e la ne esidad (o onvenien ia) de una

base

para expresar los logaritmos. Propone enton es la base

10 y onstruye tablas de logaritmos en esta base. Es quizás 1618 el año en que apare e por primera vez el número e. Es en la edi ión de ese año del

Des riptio

de Neper donde, en un apéndi e, William Oughtred [1574-1660℄ es ribió lo que en nuestra nota ión moderna es

ln

embargo, John Speidell publi ó su así, el uso de la letra

10

∼ =

2.302584. Dos años más tarde, sin

New Logarithmes

utilizando la base

e.

Aún

para este importante número se debe a Euler (1748).

e

Derivada del logaritmo natural www.fullengineeringbook.net

Teorema 16. ( Si

y = ln x,

)

enton es

Demostra ión. Como

1 y′ = , x

para

x > 0.

y = ln x enton es x = ey . Así, utilizando el teorema de la fun ión inversa

se tiene 9

1 1 1 dy = = y = dx dx e x dy

Ejemplo 34. Si

y = ln [ u( x ) ]

y

u

es una fun ión derivable de

x,

hallemos

Solu ión. Si llamamos

v = u( x ),

que

8

enton es

y = ln v .

Por la regla de la adena se tiene

dy dy dv 1 u′ ( x ) = = u′ ( x ) = dx dv dx v u( x ) Note ómo esta fórmula transforma produ tos de números en sumas. Neper además re ono ía que si se ono en los logaritmos de los números en

erán los logaritmos de todos los otros números.

9

dy . dx

dy dx

existe, pues

ln = exp−1

es derivable y no nula.

(0, 1],

también se ono-

Le

ión 2: La derivada

171

Nota 12.

Si

u( x ) = | x |, enton es y = ln | x | =

Luego,

1 x

  

Es de ir, en general

Ejemplo 35.

que

l´ım

n→∞

1+

1 n

Solu ión.

Sea

y=

= x<0

si

d 1 ln | x | = , dx x

1 x

x 6= 0

si

x 6= 0

(Otra aproxima ión a la fun ión exponen ial(Euler (1748)))

t 1+ x

l´ım

Demostremos que

ln x x>0 ln ( −x ) x < 0

x>0

si

dy = dx   1 ( −1 ) −x

(

x→+∞ n

t 1+ x

x

= et

para ada

t ∈ R. (¾Re uerda el le tor

= e?)

x

; enton es

www.fullengineeringbook.net ln y = ln

ya que

ln 1 = 0.

1+

t x

x

= x ln

1+

x→+∞

h=

t . x

ln

De aquí se tiene que

l´ım ln y = t l´ım

Sea

t x

x→+∞

Enton es uando

x → +∞



 ln =t·  t 1+ x t x

se tiene que

t 1+ x t x

 − ln 1   

− ln 1

h→0

y, por tanto,

ln ( 1 + h ) − ln 1 d 1 l´ım ln y = t l´ım =t ln x =t =t x→+∞ h→0 h dx x x=1 x=1

Luego

ln

l´ım y

x→∞

=t

y así,

l´ım y = et

x→∞

172


Teorema 17. (a > 0 jo)

ax = ex ln a

Demostra ión. x

ax = eln a = ex ln a

donde la segunda igualdad se tiene por la parte iii) del teorema 15.

Ejemplo 36. (Derivada de la fun ión exponen ial) Si f ( x ) = ax , demostremos que f ′ ( x ) = ax ln a

Solu ión.

Por deni ión y = ax = ex ln a . Luego, dy d = ex ln a x ln a = ex ln a · ln a = ax · ln a dx dx

Deni ión 6. (Fun ión logarítmi a)

La fun ión logarítmi a de base a(6= 1), que se denota omo y = loga x, es la fun ión inversa de la fun ión exponen ial de base a; es de ir, x = ay

si, y sólo si y = loga x


Es usual denotar

loge x ≡ ln x

o

log10 x ≡ log x

Nota 13. (Propiedades del logaritmo de base a )

Se puede probar que para x, t > 0 i)

ii)

loga 1 = 0

loga a = 1 x iv) loga = loga x − loga t t

iii) loga ( xt ) = loga x + loga t v) loga xt = t loga x

Teorema 18. (Cambio Si a, b ∈ R+ ,

enton es

de base en los logaritmos ) logb u =

loga u . loga b

Demostra ión.

Sea z = logb u; enton es u = bz . Así que tomando logaritmo de base a a ambos lados de esta e ua ión, se tiene loga u = loga bz = z loga b

173

Le

ión 2: La derivada

Por tanto, z =

loga u loga u . Así que logb u = . loga b loga b

Ejemplo 37.

Demostremos que si x y t son reales, enton es es válida la expresión ( ax )t = axt

para a > 0 jo

Solu ión.

Sea y = ( ax )t . Enton es ln y = ln ( ax )t = t ln ax = x ( t ln a ) = ( xt ) ln a = ln axt

De aquí se dedu e que es de ir, ( ax )t = axt

y = axt , Ejemplo 38.

Si y = log1+x2 (sec2 x), hallemos

dy . dx

Solu ión.

Por el teorema 18,

www.fullengineeringbook.net y=

Luego,

ln (sec2 x) ln (sec x) = 2 ln ( 1 + x2 ) ln ( 1 + x2 )

2x tan x ln 1 + x2 − 1+x dy 2 ln (sec x) =2 dx ( ln ( 1 + x2 ))2 =2

( 1 + x2 ) tan x ln ( 1 + x2 ) − 2x ln ( sec x ) ( 1 + x2 ) ( ln ( 1 + x2 ))2

Ejemplo 39. (Deriva ión logarítmi a)

Sean f1 , f2 , · · · , fn fun iones derivables y positivas en un intervalo abierto. Hallemos u′ si u = f1 · f2 · · · fn . Solu ión.

Como u = f1 · f2 · · · fn , enton es ln u = ln f1 + ln f2 + · · · + ln fn . Luego, derivando a ambos lados de esta igualdad, obtenemos que u′ f′ f′ f′ = 1 + 2 + ··· + n u f1 f2 fn ′ ′ u = ( f1 · f2 · f3 · · · fn ) + ( f1 · f2′ · f3 · · · fn ) + · · · + ( f1 · f2 · · · fn−1 fn′ )

174


Nota 14.

El pro eso de deriva ión, donde primero se toman logaritmos y luego se apli an sus propiedades, para después derivar, se llama deriva ión logarítmi a. Es, esen ialmente, una té ni a para fa ilitar los pro esos de deriva ión de fun iones un tanto ompli adas a través de las propiedades de simpli a ión de la fun ión logarítmi a. Ejemplo 40.

Utilizando la deriva ión logarítmi a, hallemos Solu ión.

dy si y = ( 1 + sen2 x )tan x . dx

Puesto que y > 0, podemos tomar logaritmos naturales a ambos lados de la igualdad de arriba y se tiene que ln y = tan x ln ( 1 + sen2 x )

Derivando on respe to a x, se tiene 1 dy 2 sen x cos x . = sec2 x ln ( 1 + sen2 x ) + tan x y dx 1 + sen2 x

o, lo que es lo mismo,

www.fullengineeringbook.net dy = ( 1 + sen2 x )tan x dx

2 sen2 x sec x ln ( 1 + sen x ) + 1 + sen2 x 2

2

Ejemplo 41.

Sea y = mi a.

dy ( x2 + 1 )5 √ ; x < 1. En ontremos utilizando deriva ión logarítdx 1−x

Solu ión.

Utilizando las propiedades de los logaritmos tenemos que 1

ln y = ln( x2 + 1 )5 − ln( 1 − x ) 2 = 5 ln( x2 + 1 ) −

1 ln( 1 − x ) 2

Por tanto,

y así,

dy 2x 1 −1 10x 1 dx = 5 − = 2 + y x2 + 1 2 1−x x + 1 2( 1 − x )

dy =y dx

10x 1 + x2 + 1 2( 1 − x )

=

( x2 + 1 )5 √ 1−x

10x 1 + x2 + 1 2( 1 − x )

Le

ión 2: La derivada

175

Ejemplo 42.

Sea

y=

rítmi a.

p

x( x + 1 )

on

x>0

y en ontremos

dy dx

utilizando deriva ión loga-

Solu ión.

Utilizando las propiedades de los logaritmos tenemos que 1

ln y = ln [ x( x + 1 ) ] 2 =

1 [ ln x + ln( x + 1 ) ] 2

Por tanto, dy dx

1 = y 2

1 1 + x x+1

p x( x + 1 ) 1 dy y 1 1 1 = + = + dx 2 x x+1 2 x x+1 p x( x + 1 ) 2x + 1 2x + 1 = = p 2 x( x + 1 ) 2 x( x + 1 )

www.fullengineeringbook.net Ejer i ios 5 1) Utilizando

Matlab, Derive, Mathemati a, o ualquier otro programa si-

milar, dibuje

a)

)

1 3x f (x) = log3 x f (x) =

2) Halle las derivadas laterales en

f( x ) =

¾Será derivable en

x = 0?

 

x = 0, x 1

1 + ex  0

b)

f (x) = 3x

d)

f (x) = log 1 x 3

de si si

x 6= 0 x=0

3) Derive las siguientes fun iones utilizando el método de deriva ión que


176

onsidere más onveniente:

r

1 − sen−1 x 1 + sen−1 x

a)

y=

)

y = xx

e)

y = ln(1 + x2 )

4) Compruebe que la fun ión ren ial

xy ′ + 1 = ey .

b)

y = cos( 2x ln x ) 2

y = ex −x f) y = ln 1 + ee d)

y = ln

1 1+x

satisfa e la e ua ión dife-

6. La diferen ial (innitesimales) En 1754, D'Alembert es ribía en la famosa En y lopédie un artí ulo titulado

Limite en el ual dis utía el trabajo de Newton y de Leibniz, y de ía que un diferen ial (innitesimal) es una antidad innitamente pequeña o menor que

ualquier antidad asignable, y expli aba que utilizaba tales palabras porque


eran de uso omún. Para él, el método de límites era el lenguaje y aproxima-

ión orre tos. Una antidad es bien algo o nada; si es algo, enton es no ha desapare ido y si es nada, enton es ha desapare ido ompletamente, de ía. Sin embargo, es de reer que los ontemporáneos de D'Alembert no apre iaron bien la sugeren ia de basar el Cál ulo en el on epto de límite, aunque es muy posible que en su fundamenta ión del Cál ulo, Cau hy hubiera sido inuen iado por D'Alembert. En ualquier aso, en su Cours d'Analyse Algébrique de 1821, Cau hy denió

uidadosamente y estable ió las propiedades de las no iones bási as del Cál ulo (fun iones, límite, ontinuidad, derivada e integral). Era, en palabras del brillante matemáti o N. H. Abel [1802-1829℄, el úni o que en la épo a a tual sabe ómo deben tratarse las matemáti as. Aun así, el lenguaje utilizado por él era vago e impre iso al onstruir estas no iones, aunque sus deni iones sí eran orre tas. Esta impre isión del lenguaje lo llevó a ser uno de aquellos que reían que ontinuidad impli aba diferen iabilidad y, en onse uen ia, en mu hos teoremas asumía ontinuidad uando lo que era ne esario era diferen iabilidad. Pero aunque las ontribu iones de Cau hy a ha er riguroso el análisis matemáti o de Newton y Leibniz son indis utibles, el rédito entral pertene e a Weierstrass. Con su trabajo se ompletaría el rigor de los fundamentales del Cál ulo y, en parti ular, el fantasma de los innitesimales desapare ería del

Le

ión 2: La derivada

177

ál ulo diferen ial omo tal, para onvertirse en una herramienta que, uidadosamente utilizada, era muy onveniente y prá ti a. Veamos enton es ómo se trata hoy este on epto.

f (·)

Sea

una fun ión on derivada ontinua (diferen iable on ontinuidad) en

ierto intervalo

I.

Enton es, para

x ∈ I,

f( x + h ) − f( x ) ′ − f (x) = 0 l´ım h→0 h Luego,

f ( x + h ) − f ( x ) − f ′ ( x )h =0 h→0 h l´ım

Como el límite del o iente existe y el límite del denominador es ero uando

h → 0, enton es el límite f ( x + h ) − f ( x ) − f ′ ( x )h

del numerador también debe ser ero. O sea que

h pequeño.

está muy próximo a ero para

Es más:

omo el límite del o iente es ero, enton es el numerador es más pequeño que el denominador uando

h

se aproxima a ero. Esto impli a que el numerador

está más próximo a ero que más próximo a

f ′ ( x )h

que

h

h

a ero. Por lo tanto,

a ero.

f( x + h ) − f( x )

está

Deni ión 7. (La diferen ial o innitesimal (Leibniz (1671)))


f (·) es una fun ión derivable en x y y = f ( x ), enton es la diferen ial (o innitesimal ) de y es la fun ión dy(·), para h 6= 0, denida por dy( h ) = f ′ ( x )h.

Si

Puesto que

f (·)

dx( h ) = h para todo h al apli ar la deni ión y = f ( x ) = x, enton es obtenemos que

de

dy(·) a la fun ión

denida por

dy( h ) = f ′ ( x ) dx( h ) o, simplemente,

dy = f ′ ( x ) dx

Nota 15. En la prá ti a se a ostumbra también utilizar la versión heurísti a

Ejemplo 43.

f ( x + h ) − f ( x ) ≈ f ′( x ) h

Hallemos la diferen ial de la fun ión

para

h≈0

y = sec3 1 + sen2 x

Solu ión.

.

dy = 3 sec2 ( 1 + sen2 x ) sec( 1 + sen2 x ) tan( 1 + sen2 x )2 sen x cos x dx = 3 sec3 ( 1 + sen2 x ) tan( 1 + sen2 x ) sen( 2x ) dx

178


Ejemplo 44.

Usando diferen iales, hallemos el valor aproximado de ( 0.9987 )

0.75

.

Solu ión. 3

Consideremos la fun ión denida por f ( x ) = x 4 . Se trata de hallar f ( 0.9987 ). Ahora: f ( 0.9987 ) = f ( 1 + h ), donde h = −0.0013. Pero f ( x + h ) − f ( x ) ≈ f ′ ( x )h para h ≈ 0; y, por tanto, f ( x + h ) ≈ f ( x ) + f ′ ( x )h para h ≈ 0. En este aso, x = 1 y h = −0.0013 y 3 1 3 f ′ ( x ) = x− 4 = √ 4 44x

Enton es 3 f ( 0.9987 ) ≈ f ( 1 ) + f ′ ( 1 )( −0.0013 ) = 1 + √ ( −0.0013 ) 441 3 (0.9987 )0.75 ≈ 1 − ( 0.0013 ) = 1 − 0.000975 = 0.999025 4 Ejemplo 45.

Utilizando diferen iales, demostremos que para h ≈ 0, ( 1 + h )−1 ≈ 1 − h.


Solu ión.

1 x

1 . Por tanto, x2 h = f ( 1 + h ) ≈ f ( 1 ) + f ′ ( 1 )h = 1 − 2 1 ≈ 1−h

Consideremos f (·) denida por f ( x ) = ; enton es f ′ ( x ) = − ( 1 + h )−1 ( 1 + h )−1

Ejemplo 46. (Varia ión por entual)

La varia ión por entual en una variable y ante una varia ión por entual innitesimal en una variable x, denotada ǫyx , se dene omo ǫyx

dy = dx

y x

Veamos que también podemos es ribir, en nota ión de diferen iales, ǫyx = d ln y . d ln x

Solu ión.

Observemos que

d ln y d ln y d ln x = · dx d ln x dx

Le

ión 2: La derivada

179

Por tanto, utilizando la regla de la adena,

d ln y dy d ln y d ln x = · dy dx d ln x dx lo ual impli a que

1 dy d ln y 1 = · y dx d ln x x es de ir,

ǫyx =

d ln y d ln x

Nota 16. (Innitesimales: ¾números legítimos?) A través de los siglos XVII y XVIII, los matemáti os tuvieron mu has di ultades on el on epto innitesimal y uando lo utilizaban lo ha ían de a uerdo

on reglas arbitrarias e, in lusive, ilógi as. Y aunque el trabajo de Weierstrass en el siglo XIX lo desterró del reino del análisis, el asunto de si los operativos y onvenientes innitesimales podían ha erse legítimos dentro de las matemáti as en general, seguía preo upando. Al fundador de la teoría de onjuntos, George Cantor, le preguntaron si podría haber otras lases de números entre


los ra ionales y los reales, y respondió enfáti amente no, y en 1887 publi ó

una prueba de la imposibilidad lógi a de los innitesimales que dependía esen ialmente del axioma arquimediano (volumen 0: Fundamentos) que asegura

a, existe un número entero n tal que na es más número real dado b. Giuseppe Peano, por su parte,

que dado ualquier número real grande que ualquier otro

también publi ó una prueba que demostraba la no existen ia de los innitesimales, y Bertrand Russell en sus Prin iples of Mathemati s de 1903 estaría de a uerdo on ellos. Aun así, a pesar de estas pruebas de que los innitesimales de Leibniz deberían desapare er, algunos persistieron en bus ar onstruir una teoría lógi a on tales entidades. Felix Klein [ 18491925 ℄, de he ho, identi ó el axioma de los números reales (pre isamente el axioma arquimediano) omo el que tendría que abandonarse para obtener la nueva teoría. La ulmina ión de éste y otros trabajos, fue la rea ión de una nueva teoría que legitima a los innitesimales. Quizás el más importante de estos últimos fue el de Abraham Robinson [19181974℄. El nuevo sistema de números se llama análisis no-estándar, e in luye a los viejos números reales y a los innitesimales. Estos últimos se denen, prá ti amente, de la misma forma que Leibniz lo hizo; pero aquí son números y no variables que se aproximan a ero omo Leibniz los onsideraba. El análisis no-estándar ha abierto un nuevo amino, pero los resultados de esta posibilidad están todavía pendientes de onsolidarse.

180


Ejer i ios 6

1) Usando la deni ión, en uentre una fórmula general para ∆y , y al ule el ambio en y orrespondiente a los valores x y ∆x, si a) y = x3 , b) y =

x = −1,

1 , x2

x = 3,

∆x = 0.1 ∆x = 0.3

2) Utili e diferen iales para demostrar que las siguientes fórmulas de aproxima ión son válidas para valores pequeños de h: a) ( 1 + h )10 ≈ 1 + 10h

b)

√

1+h ≈1+

h 2

3) Cal ule las siguientes diferen iales en términos de x y de dx: a) d

1 x3

b) d

) d ( tan x3 )

p

1 + x2

d) d ln ( 1 + sec2 x )

www.fullengineeringbook.net 4) Es riba las formas fun ionales orrespondientes a los diferen iales de la suma, el produ to y el o iente de dos fun iones on derivada. 5) Utili e diferen iales para al ular que 0.625π es la antidad ne esaria de pintura al apli ar una apa de 0.05 m de espesor a una úpula hemisféri a de 50 m de diámetro. 7.

Derivadas

de

orden

superior

y

polinomios

de Taylor

Dada la fun ión f ′ (·), que a ada x le aso ia el valor f ′ ( x ), podríamos a su vez denir su derivada, es de ir, f ′( x + h ) − f ′ ( x ) h→0 h

( f ′ )′ ( x ) = l´ım

si este límite existe. A este último límite lo llamaremos segunda derivada de f (·) o derivada de segundo orden de f (·) y se puede denotar de diversas maneras: f ′′ ( x );

d dx

df dx

=

d2 f ; dx2

y ′′ ( x )

181

Le

ión 2: La derivada

Análogamente, podemos denir la derivada de ter er orden, la derivada de

uarto orden, y así su esivamente, que se denotan, respe tivamente, de la manera siguiente: 2 d3 y d d y = = y ′′′ (x) dx3 dx dx2 3 d d y d4 y (4) = y (4) (x) f (x) = 4 = dx dx dx3 f ′′′ ( x ) =

.. .

f

(n)

dn y d (x) = n = dx dx

dn−1 y dxn−1

= y (n) (x)

Ejemplo 47.

Si f ( x ) = xn , n ∈ N jo, hallemos sus derivadas de orden superior: y ′ = nxn−1 y ′′ = n( n − 1 )xn−2

.. .

www.fullengineeringbook.net y ( n ) = n( n − 1 )( n − 2 ) · · · 2 · 1

y ( n+1 ) = 0

De aquí en adelante, todas las derivadas serán ero. Ejemplo 48.

1 x

Si y = , podemos hallar fá ilmente sus derivadas de orden superior: y ′ = −x−2

y ′′ = (−1)(−2)x−3 y ′′′ = (−1)(−2)(−3)x−4

.. . y ( n ) = [(−1)n 1 · 2 · 3 · 4 · · · n]x−( n+1 ) = (−1)n n! x−( n+1 )

Ejemplo 49.

Hallemos la segunda derivada de la expresión x3 + y 3 − 3xy = 0.

182


Solu ión.

Derivando implí itamente obtenemos, después de un breve paseo algebrai o, que y − x2 dy = 2 dx y −x

si

x 6= y 2

Y derivando implí itamente de nuevo, y on otro po o de álgebra, llegamos a que 2x + 2y

dy dx

2

+ y2

d2 y dy dy d2 y − − − x =0 dx2 dx dx dx2

Sólo restaría reemplazar la primera e ua ión arriba en esta segunda, para obtener que

d2 y dx2

=

dy − 2y 2 dx

dy dx

2

− 2x

=

2y−2x2 y 2 −x

− 2y

y−x2 y 2 −x

2

− 2x

y2 − x y2 − x 2 2 2 2 2( y − x )( y − x ) − 2y( y − x ) − 2x( y 2 − x )2 = ( y 2 − x )3 y 3 − xy − x2 y 2 + x3 − y 3 + 2x2 y 2 − x4 y − xy 4 + 2x2 y 2 − x3 =2 ( y 2 − x )3 3x2 y 2 − x4 y − xy 4 − xy 2xy( 3xy − x3 − y 3 − 1 ) =2 = ( y 2 − x )3 ( y 2 − x )3 2xy , y 2 6= x N =− 2 ( y − x )3


Si nos preo upamos aquí por las derivadas de orden superior es porque, en

ierto momento de la historia, el análisis matemáti o tuvo la ne esidad de denir estas derivadas uando quiso aproximar fun iones ualquiera mediante polinomios, puesto que éstos son mu ho más dú tiles y manejables desde el punto de vista del ál ulo opera ional. Así, por ejemplo, si pensamos en la fun ión exponen ial y = f ( x ) = ex , los polinomios 1 + x,

1+x+

x2 , 2

1+x+

x2 x3 + 2 2·3

(1)

se aproximan ada vez más a la grá a de di ha fun ión, omo se apre ia en la gura 26.

Le

ión 2: La derivada

183

y

y = ex y =1+x+

x2 2

y =1+x+

x2 2

+

x3 6

y =1+x

1 x

Figura 26 De aquí se podría inferir que podríamos estar más próximos a

ex

a medida

que el grado de los polinomios orrespondientes sea mayor. Lo anterior, que se estudiará rigurosamente en la siguiente le

ión, es lo que se ono e omo el

desarrollo de la fun ión

f (·)

en polinomios de Taylor (llamados así en honor

del matemáti o inglés Brook Taylor [1685-1731℄, quien en 1715 publi ara en su Methodus In rementorum la fórmula que lleva su nombre). Esto es, para

er ano a

x

x0 :

www.fullengineeringbook.net f ( x ) = f ( x0 ) + f ′ ( x0 )( x − x0 ) + +···

+

f ′′ ( x0 ) f ′′′ ( x0 ) ( x − x0 )2 + ( x − x0 )3 2 2·3

f ( n ) ( x0 ) ( x − x0 )n + R( x, x0 , n ) 2 · 3 · 4···n

R( x, x0 , n ) mide el error en la aproxima ión del polinomio a la fun ión f ( x ). Cuando l´ım R( x, x0 , n ) = 0 (independientemente de x), se di e que el donde

n→∞

desarrollo de

f (·)

en polinomios de Taylor alrededor de

x0

onverge a

f ( · ).

No es difí il observar que los polinomios (1) son los tres primeros polinomios de Taylor para la fun ión exponen ial, omo a lararemos, aun más, en el ejemplo 51.

Ejemplo 50. (Desarrollo de sen(·) en polinomios de Taylor) a) Si

y = sen x,

hallemos todas sus derivadas de orden superior.

b) Hallemos su desarrollo en polinomios de Taylor alrededor de el grado 5.

x0 = 0 hasta


184

Solu ión. a) Notemos lo que su ede on las derivadas de esta fun ión:

y ′ = cos x y ′′ = − sen x

y ′′′ = − cos x

y (4) = sen x Observemos que de

n=4

en adelante, la derivada se repite de manera

í li a ada uatro ve es. b) El desarrollo en polinomios de Taylor hasta el grado 5 para

sen x,

on

x

y = f (x) =

er ano a 0 es:

f ′′ ( 0 ) 2 f ′′′ ( 0 ) 3 f 4 ( 0 ) 4 f 5 ( 0 ) 5 x + x + x + x 2! 3! 4! 5! sen (0) cos (0) sen (0) cos (0) = sen (0) + x cos (0) − x2 − x3 + x4 + x5 2! 3! 4! 5! 2 3 4 5 x (0) x (1) x (0) x (1) = 0 + x( 1 ) − − + + 2! 3! 4! 5! 3 5 x x =x− + 6 120

sen x ≈ f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) x +

www.fullengineeringbook.net y f (x) = x −

y = sen x

| −2π

| −π

x3 6

+

x5 120

| π

| 2π x

Figura 27 Ejemplo 51. (Desarrollo de os(·) en polinomios de Taylor) a) Si

y = cos x,

hallemos todas sus derivadas de orden superior.

b) Hallemos el desarrollo en polinomios de Taylor de esta fun ión alrededor de

x0 = 0

hasta el grado 5.

Le

ión 2: La derivada

185

Solu ión. a) Notemos primero lo que su ede on las derivadas de esta fun ión:

y ′ = − sen x

y ′′ = − cos x

y ′′′ = sen x y (4) = cos x Observemos que de

n=4

en adelante, la derivada se repite de manera

í li a ada uatro ve es. b) El desarrollo en polinomios de Taylor hasta el grado 5 para

on x er ano a 0 es:

y = cos x

f ′′ ( 0 ) 2 f ′′′ ( 0 ) 3 f 4 ( 0 ) 4 f 5 ( 0 ) 5 x + x + x + x 2! 3! 4! 5! cos (0) sen (0) cos (0) sen (0) = cos (0) − x sen (0) − x2 + x3 + x4 − x5 2! 3! 4! 5! 2 3 4 5 x (1) x (0) x (1) x (0) = 1 − x( 0 ) − + + + 2! 3! 4! 5! 4 2 x x =1− + 2 24

cos x ≈ f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) x +


f (x) = 1 −

x2 x4 + 2 24

y = cos x

| −2π

| −π

| π

| 2π x

Figura 28 Ejemplo 52. (Desarrollo de

e x en polinomios de Taylor)

Hallemos el desarrollo en polinomios de Taylor de

x0 = 0

f ( x ) = ex

alrededor de

hasta el grado 5. Supongamos que también podemos tomar allí

y al ulemos un valor aproximado de

e.

x=1

186


Solu ión

f ′′ ( 0 ) 2 f ′′′ ( 0 ) 3 f 4 ( 0 ) 4 f 5 ( 0 ) 5 x + x + x + x 2! 3! 4! 5! x2 x3 x4 x5 =1+x+ + + + 2 6 24 120

ex ≈ f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) x +

Si x = 1, enton es ex |x=1 ≈ 1 + 1 +

1 1 1 1 + + + = 2.716666 . . . ≈ 2.718281 . . . = e 2 6 24 120 y

1 b

f ( x ) = ex x y =1+x+

2

x 2

+

3

x 6

+

4

x 24

+

5

x 120


Nota 17.

Los polinomios de Taylor abren las puertas para la mayoría de ál ulos en análisis apli ado y son extremadamente útiles desde el punto de vista prá ti o. Mu hos pro esos físi os, quími os, et ., se expresan on gran aproxima ión mediante fun iones que se pueden expandir en series de Taylor. La idea de aproximar una fun ión mediante polinomios o de representarla omo la suma de un número innito de fun iones más simples ha al anzado altos desarrollos en el análisis matemáti o, al punto de que ahora onstituye una rama independiente: la teoría de aproxima ión de fun iones.

Ejer i ios 7 1) Sea y =

1 . Halle una expresión general para y (n) . x+1 2

2

2) Suponga que una urva viene des rita on la e ua ión x 3 + y 3 = 1. Halle d2 y . q dx2 1 , ( 3 )3 8

4

187

Le

ión 2: La derivada 1

1

3) Dada x 2 + y 2 = 2, pruebe que

1 d2 y = 3. 2 dx x2

4) Halle el desarrollo en polinomios de Taylor hasta el grado 7 de: 1

a) y = alrededor de x = 0. Grafíquelo y ompárelo on la 1 + x2 fun ión. b) y = ln x alrededor de x = 1 hasta el grado 5. Grafíquelo y ompárelo

on la fun ión. 5) Muestre que el desarrollo en polinomios de Taylor alrededor de 0 hasta el grado 7 de y = tan−1 x (que puede asumir válido para | x | < 1 y x = −1) es f( x ) = x −

x3 x5 x7 + − 3 5 7

y utili e este he ho para obtener una aproxima ión de π . [Indi a ión: π Re uerde que tan−1 ( −1 ) = − ℄. 4


La

no ión

de

derivada

en

fun iones

de

dos

variables

Después del desarrollo del ál ulo diferen ial en el siglo XVII, su apli a ión a problemas multidimensionales obligó a la generaliza ión del on epto de fun ión a más de una variable y al Cál ulo en varias variables. D'Alembert desarrolló y utilizó ál ulo multivariable al tratar on métodos de solu ión de e ua iones diferen iales (es de ir, e ua iones on derivadas de una fun ión des ono ida) rela ionadas on el movimiento de uerpos en un medio resistente, y fue él, quien en su Traité de Dynamique de 1743, utilizara por primera vez el on epto de derivada par ial, que es la generaliza ión inmediata, a varias variables, de la no ión ordinaria de derivada. Posteriormente, Joseph L. Lagrange [1736-1813℄ renaría los resultados de D'Alembert. En parti ular, Lagrange fue el primero en desarrollar los métodos que hoy ono emos para en ontrar máximos y mínimos en una y varias variables. Este trabajo onvergiría en la té ni a de optimiza ión ono ida omo el método de los multipli adores de Lagrange (1760-61) (le

ión 3). Posteriormente, el ál ulo multivariable tuvo aportes de Pierre S. Lapla e [1749-1827℄ en su Mé anique Celeste (1799) y también de Adrien Legendre [1752-1833℄ en ierto manus rito de 1782.


188

Pero el tratado que expandió el uso del ál ulo multivariable a las ien ias fue el texto en tres volúmenes

Traité de Cal ul Diérentiel et Integral de 1797-1802

de Silvestre F. La roix [1765-1843℄. Por su parte, Gauss ontribuiría también de forma fundamental al desarrollo del ál ulo multivariable dentro de ierto estudio en teoría de órbitas planetarias (1809). Sin embargo, al nal, sería Cau hy el que fundamentaría todos los on eptos multivariables desarrollados hasta enton es.

a.

Las derivadas para fun iones de dos variables: derivadas par iales

Ya sabíamos que, en la prá ti a, es a menudo ne esario tratar on fun iones que dependen de dos, tres o más variables. Por ejemplo, el área de un re tángulo es una fun ión

s = xy

de su base

x

y su altura

y;

la distan ia entre un punto

( x, y ) ualquiera y otro ( x0 , y0 ) jo en el plano, es una fun ión de dos variables p d = ( x − x0 )2 + ( y − y0 )2 y la fórmula

V

V =

RT P es una fun ión que expresa la dependen ia del volumen

de una antidad denida de gas a la presión

P

y a la temperatura

T

a la


que está sometida, donde

R

es una onstante.

Por su parte, la no ión de derivada en una sola variable puede extenderse fá ilmente también a fun iones de dos variables omo éstas, si interpretamos

onvenientemente la nueva situa ión. Veamos. Sea fun ión ualquiera y

( x0 , y0 ) ∈ A,

no-va ío del plano. Notemos, para

f : A(⊆ R2 ) −→ R

A(⊆ Df ) es ∆x 6= 0 pequeño, donde

una

10 y

un onjunto abierto

∆x f = f ( x0 + ∆x, y0 ) − f ( x0 , y0 ) y

∆y f = f ( x0 , y0 + ∆x ) − f ( x0 , y0 )

Deni ión 8. (Derivadas par iales (DAlembert (1743), Cau hy (1823))) Al número (si existe)

∆x f f ( x0 + ∆x, y0 ) − f ( x0 , y0 ) = l´ım ∆ x→0 ∆x ∆ x→0 ∆x l´ım

lo llamaremos la en el punto 10

derivada par ial on respe to a la primera variable

( x0 , y 0 )

de

f ( x, y )

(gura 30), y la representaremos (en nota ión original

A es un onjunto abierto de R2 si para ada punto ( x0 , y0 ) ∈ A existe un dis o abierto de radio r > 0, Dr ( x0 , y0 ) = {( x, y ) ∈ p R2 / ( x − x0 )2 + ( y − y0 )2 < r}, totalmente in luido en A (le

ión 1). Re ordemos que

189

Le

ión 2: La derivada

de A. N. Condor et(1770) y popularizada por C. G. Ja obi (1841)) mediante ∂f . ∂x ( x0 , y0 )

z = f (x, y)

plano y = y0

re ta tangente

y

x

urva f (x, y0 ) = f (x0 , y0 )

(x0 , y0 )

Figura 30: Derivada par ial

∂f ∂x

Análogamente, se dene ∆y f f ( x0 , y0 + ∆y ) − f ( x0 , y0 ) ∂f l´ım = l´ım = ∆ y→0 ∆ y ∆ y→0 ∆y ∂y ( x0 , y0 )


y la llamamos la derivada par ial on respe to a la segunda variable de f ( x, y ) en ( x0 , y0 ) (gura 31).

mediante una super ie Ahora: Como la fun ión f ( x, y ) puede representarse

∂f puede interpretarse omo ∂x ( x0 , y0 ) la pendiente de la tangente a la urva a través de la ual el plano y = y0 orta a la super ie f ( x, y ), y este número mide la varia ión de la fun ión f ( x, y ) en el punto ( x0 , y0 ) si nos movemos en el sentido del eje X (gura 30). ∂f De manera similar, la derivada par ial puede interpretarse omo la ∂y

en el espa io, enton es la derivada par ial

( x 0 , y0 )

pendiente de la tangente a la urva a través de la ual el plano x = x0 orta la super ie f ( x, y ), y mide la varia ión de la fun ión f ( x, y ) en el punto ( x0 , y0 ) si nos movemos en el sentido del eje Y (gura 31).

Observemos que para obtener la derivada par ial de f ( x, y ) on respe to a x en el punto ( x0 , y0 ) basta suponer la variable y onstante y derivar, on respe to a x, la fun ión resultante, para después evaluar el resultado uando x = x0 , y = y0 . De manera similar, para obtener la derivada par ial de f ( x, y )


190

z = f (x, y) re ta tangente plano x = x0

x (x0 , y0 )

urva f (x0 , y) = f (x0 , y0 )

y Figura 31: Derivada par ial

on respe to a

on respe to a

∂f ∂y

y en ( x0 , y0 ), suponemos la variable x onstante y derivamos, y , la fun ión resultante; después evaluamos en ( x0 , y0 ).

Ejemplo 53. Cal ulemos las derivadas par iales en

( 1, 2 )

de la fun ión

f ( x, y ) = x2 + xy +


y2 .

Solu ión.

)

a

∂f = 2x + y|( 1, 2 ) = 4 ∂x ( 1, 2 )

Por lo tanto, en el punto dire

ión positiva del eje

Y

( 1, 2 )

b

)

∂f = 2y + x|( 1, 2 ) = 5 ∂y ( 1, 2 )

esta fun ión re e más rápidamente en la

que en la dire

ión positiva del eje

X.

Nota 17. Genéri amente, diremos que

∂f ∂x

y

∂f ∂y

son las fun iones

derivadas par iales

on respe to a la primera y segunda omponente (respe tivamente) de la fun ión

f ( x, y ).

Así, en el ejemplo 52 se tiene que,

∂f = 2x + y ∂x

−→

∂f = 2y + x ∂y

−→

derivada par ial de

f ( x, y )

on respe to

a la primera omponente

derivada par ial de

f ( x, y )

a la segunda omponente

on respe to

Le

ión 2: La derivada

191

Nota 18. (Nota ión para las derivadas par iales) Las derivadas par iales tienen otras nota iones, todas equivalentes, aunque algunas, a nuestro jui io, más onvenientes. Para la derivada par ial de la

f (·, ·) on respe to a x, podemos en ontrar en los libros de texto las ∂f = fx = Dx f = D1 f = f1 = f1′ ; y para la derivada par ial siguientes: ∂x ∂f = fy = Dy f = de la fun ión f (·, ·) on respe to a y podemos en ontrar ∂y ′ D2 f = f2 = f2 . Sin embargo, aquí ( on po as ex ep iones) utilizaremos sólo ∂f ∂f las primeras nota iones: , . ∂x ∂y

fun ión

Ejemplo 54. En ontremos las derivadas par iales de las siguientes fun iones, en los puntos indi ados: a)

f ( x, y ) = xy ;

b)

f ( x, y ) =

)

f ( x, y ) =

d)

f ( x, y ) = ln(2x + 3y);

x ; y

( x0 , y0 ) = ( 1, 1 ) ( x0 , y0 ) = ( 0, 1 )

1 ; + y2

( x0 , y0 ) = ( 3, 1 )

www.fullengineeringbook.net x2

( x0 , y0 ) = ( 2, 2 )

Solu ión. a)

∂f = y; ∂x Así, en eje

b)

X

( 1, 1 )

∂f = 1; ∂x ( 1,1 )

esta fun ión re e

∂f 1 = ; ∂x y del eje

( 0, 1 ) X que

∂f x = − 2; ∂y y

∂f = 1. ∂y ( 1,1 )

idénti amente Y.

y en el sentido positivo del eje

Así, en

)

∂f = x; ∂y

∂f = 1; ∂x ( 0,1 )

esta fun ión re e

en el sentido positivo del

∂f = 0. ∂y ( 0,1 )

más rápidamente Y.

en el sentido positivo del eje

∂f 2x ∂f 2y =− 2 ; =− 2 ; 2 2 ∂x (x + y ) ∂y (x + y 2 )2 ∂f 6 6 3 =− =− =− ; ∂x ( 3,1 ) ( 9 + 1 )2 100 50 ∂f 2 1 =− =− ∂y ( 3,1 ) 100 50

en el sentido positivo

192


Esta fun ión, en ( 3, 1 ), está de re iendo en la dire

ión positiva de ambos ejes; sin embargo, de re e más rápidamente en la dire

ión positiva del eje X que en la dire

ión positiva del eje Y . ∂f 2 = ; d) ∂x 2x + 3y

∂f 3 = ; ∂y 2x + 3y

∂f 2 = ; ∂x ( 2,2 ) 10

∂f 3 = ∂y ( 2,2 ) 10

En el punto ( 2, 2 ) esta fun ión re e más rápidamente en la dire

ión positiva del eje Y que en la del eje positivo X. b.

El diferen ial total

En la se

ión anterior hemos estudiado ambios de la fun ión f ( x, y ) en el punto ( x0 , y0 ) a través de ambios en una de las variables, x ó y , manteniendo

onstante a la otra variable; es de ir, medimos la varia ión de la fun ión f ( x, y ) en ( x0 , y0 ) a través de sus ambios en las dire

iones de los ejes oordenados x ó y . Ahora abe preguntarse qué su edería si quisiéramos medir la varia ión en una dire

ión distinta a la de los ejes. La respuesta a esta pregunta está basada en la no ión de diferen ial total de f ( x, y ) en el punto ( x0 , y0 ). Este es el on epto entral de deriva ión para fun iones de dos variables.

Deni ión 9. (Derivada en dos variables)


Diremos que f (· , ·) es diferen iable (o derivable ) en el punto ( x0 , y0 ) ∈ A(⊆ Df ) (o también que tiene diferen ial total o derivada en ( x0 , y0 )) si para todo ∆x, ∆y ∈ R, la diferen ia ∆f ≡ f ( x0 + ∆x, y0 + ∆y ) − f ( x0 , y0 ) puede es ribirse

omo ∂f ∂f ∆f = ∆x + ∆y + ǫ1 ∆x + ǫ2 ∆y (1) ∂x

∂y

( x 0 , y0 )

( x 0 , y0 )

donde

l´ım ǫ1 = l´ım ǫ2 = 0

Nota 19.

∆x→0 ∆y→0

∆x→0 ∆y→0

Es fá il ver que f : A −→ R, (A ⊆ R2 abierto, no va ío) es diferen iable en ( x0 , y0 ) ∈ A si, y sólo si existe un ve tor ( a, b ) ∈ R2 tal que para todo ( ∆x, ∆y) ∈ R2 on ( x0 , y0 ) + ( ∆x, ∆y) ∈ A, se tiene que f (( x0 , y0 ) + (∆x, ∆y)) − f ( x0 , y0 ) = (a, b) · (∆x, ∆y) + ǫ(∆x, ∆y)

donde

ǫ(∆x, ∆y) =0 h→0 ||(∆x, ∆y)|| l´ım

A ǫ(∆x, ∆y) se le denomina el término identi ar ahora el ve tor (a, b)?

residual (o residuo).

¾Podría el le tor

Le

ión 2: La derivada

193

El siguiente teorema es similar al que ya teníamos para fun iones de una variable:

Teorema 19. (Derivabilidad

f( · , · ) ( x0 , y0 ).

Si

es diferen iable en

impli a ontinuidad )

( x0 , y0 ) ∈ A( ⊆ Df ),

enton es es ontinua en

Demostra ión. Basta tomar

∆ x → 0, ∆ y → 0

en la e ua ión (1) anterior

∂f ∂f ∆x + f ( x0 + ∆x, y0 + ∆y ) − f ( x0 , y0 ) = ∂x ( x0 , y0 ) ∂y ( x0 , y0 )

∆y + ǫ1 ∆x + ǫ2 ∆y

y obtener que

l´ım f ( x0 + ∆x, y0 + ∆y ) = f ( x0 , y0 ).

∆x→0 ∆y→0

En este punto, un le tor desprevenido podría reer que para que una fun ión de dos variables sea diferen iable en un punto será su iente que las dos derivadas par iales existan en el punto. Sin embargo, esto no es así: en general, se requiere más regularidad en la fun ión: derivadas par iales ontinuas en el punto en

uestión, es su iente.

Condi ión su iente para diferen iabilidad www.fullengineeringbook.net

ontinuas Teorema 20. (

)

f ( · , · ) tiene las dos derivadas par iales en A y estas son en ( x0 , y0 ) ∈ A( ⊆ Df ), donde A es abierto, enton es es diferen iable en ( x0 , y0 ).

Si

Demostra ión. Por el teorema del valor medio para una sola variable se tiene que

∂f f ( x0 + ∆x, y0 ) − f ( x0 , y0 ) = ∆x ∂x ( x′ , y0 ) 0

donde

′

x0 ∈ ( x0 + ∆x, y0 ).

Así,

∂f ∂f ∂f f ( x0 +∆x, y0 )−f ( x0 , y0 ) = ∆x+ ∆x− ∆x ∂x ( x0 , y0 ) ∂x ( x′ , y0 ) ∂x ( x0 , y0 ) 0 y, por tanto,

donde

∂f f ( x0 + ∆x, y0 ) − f ( x0 , y0 ) = ∆x + ǫ1 ∆x ∂x ( x0 , y0 ) ∆x→0 ∂f ∂f ∆y→0 ǫ1 = − − −−−→ 0 ∂x ( x′ , y0 ) ∂x ( x0 , y0 ) 0

(2)

194


(aquí hemos apli ado la hipótesis de ontinuidad de la primera derivada par ial). De manera similar, podemos es ribir ∂f f ( x0 + ∆x, y0 + ∆y ) − f ( x0 + ∆x, y0 ) = ∆y + ǫ2 ∆y ∂y ( x0 , y0 )

donde

(3)

∆x→0 ∂f ∂f ∆y→0 ǫ2 = − − −−−→ 0 ′ ∂y ( x0 +∆x, y ) ∂y ( x0 +∆x, y0 ) 0

(aquí, por su parte, hemos apli ado la hipótesis de ontinuidad de la segunda derivada par ial). De (2) y (3) obtenemos que ∆f = f ( x0 + ∆x, y0 + ∆y ) − f ( x0 , y0 ) = [f ( x0 + ∆x, y0 + ∆y ) − f ( x0 + ∆x, y0 )] + [f ( x0 + ∆x, y0 ) − f ( x0 , y0 )] " # " # ∂f ∂f = ∆y + ǫ2 ∆y + ∆x + ǫ1 ∆x ∂y ( x0 , y0 ) ∂x ( x0 , y0 ) =

∂f ∂f ∆x + ∆y + ǫ1 ∆x + ǫ2 ∆y ∂x ( x0 , y0 ) ∂y ( x0 , y0 )

Y esto naliza la prueba.


Sobre que la sola existen ia de derivadas par iales en determinado punto no garantiza la diferen iabilidad de la fun ión allí, el ejemplo lási o es xy f ( x, y ) = 2 , si ( x, y ) 6= ( 0, 0 ); f ( 0, 0 ) = 0. Esta fun ión tiene prime2 x +y

ras derivadas par iales ontinuas en todos los puntos, ex epto en ( 0, 0 ). Allí, en ( 0, 0 ), aunque tiene derivadas par iales, la fun ión misma es dis ontinua!!. Veamos esto. En primer lugar, si ( x, y ) 6= ( 0, 0 ), enton es ∂f y 3 − x2 y = ∂x (x2 + y 2 )2

∂f x3 − xy 2 = ∂y (x2 + y 2 )2

En segundo lugar, ∂f f ( 0 + ∆x, 0 ) − f ( 0, 0 ) 0−0 = l´ım = l´ım =0 ∆x→0 ∆x ∂x (0,0) ∆x→0 ∆x

Así, la derivada par ial on respe to a x en ( 0, 0 ) existe y es 0. De otro lado,

∂f f ( 0, 0 + ∆y ) − f ( 0, 0 ) 0−0 = l´ım = l´ım =0 ∆y→0 ∆y ∂y ( 0, 0 ) ∆y→0 ∆y

Así, la derivada par ial on respe to a y en ( 0, 0 ) existe y es, también, 0. En ter er lugar, se puede probar fá ilmente que:

195

Le

ión 2: La derivada

a) l´ım

x→0 y→0

∂f y 3 − x2 y = l´ım x→0 (x2 + y 2 )2 ∂x y→0

no existe. Basta on mostrar que si y =

y 3 − x2 y m(m2 − 1) = , y el límite de esto, uando ( x2 + y 2 )2 x(1 + m2 )2 ∂f x → 0 y y → 0, no existe a menos que m sea igual a 0, 1, −1; y así, ∂x no es ontinua en el punto ( 0, 0 ).

mx, enton es

∂f x3 − xy 2 = l´ım x→0 (x2 + y 2 )2 x→0 ∂y

b) l´ım

y→0

tampo o existe, pues si y = mx enton es

y→0

1−m y el límite de esto uando x → 0 y y → 0 tampo o x(1 + m2 )2 ∂f existe a menos que m = 1, y así, no es ontinua en ( 0, 0 ). ∂y f (x, y) =

) f ( x, y ) no es ontinua en ( 0, 0 ). Basta ver que si y = mx, f ( x, y ) = m xy = y el límite de éste uando x → 0 y y → 0 no es ero x2 + y 2 1 + m2 a menos que tengamos que m = 0.


Tenemos enton es una fun ión on derivadas par iales en (0, 0), pero que ni siquiera es ontinua allí (gura 32). ¾Podría el le tor expli ar el signi ado intuitivo de esto último, sólo on la observa ión de la grá a?

z = f (x, y)

y

x Figura 32: f (x, y) =

x2

xy + y2


196

Deni ión 10. (Diferen iabilidad on ontinuidad) f ( · , · ) tiene derivadas par iales ontinuas en el punto ( x0 , y0 ), diremos diferen iable on ontinuidad en ( x0 , y0 ). Si esto es ierto para todo ( x0 , y0 ) en el onjunto abierto A, diremos que f ( · , · ) es diferen iable on

ontinuidad en A.

Si

que es

Ejemplo 55. Veamos que las siguientes fun iones son diferen iables on ontinuidad: a)

f ( x, y ) = x3 + y 3

b)

f ( x, y ) = x2 y 2

Solu ión a) Las primeras derivadas par iales de

∂f = 3x2 , ∂x

f ( x, y ) = x3 + y 3 ∂f = 3y 2 ∂y

Como estas derivadas son ontinuas en todo punto de

x3

+

y 3 es diferen iable on ontinuidad en

b) Las primeras derivadas par iales de

son

R2 , enton es f ( x, y ) =

R2 .

f ( x, y ) = x2 y 2

son

www.fullengineeringbook.net ∂f = 2xy 2 , ∂x

Como

estas

f ( x, y ) =

derivadas

también

∂f = 2x2 y ∂y

son

ontinuas

en

x2 y 2 es diferen iable on ontinuidad allí.

Ejer i ios 8 1) En uentre las derivadas par iales en los siguientes asos: a) b)

)

d) e) f)

f ( x, y ) = ax2 + 2bxy + cy 2 + d x f ( x, y ) = ln , x > 0, y > 0 y x f ( x, y ) = 2 , ( x, y ) 6= ( 0, 0 ) 2x + y 2 f ( x, y ) =

ex

2 +y 2

2 f ( x, y ) = 5x3 + y 3 + 7xy 2 p f ( x, y ) = 1 − x2 − y 2 , x2 + y 2 < 1

R2 ,

enton es

197

Le

ión 2: La derivada

2) ¾Cuáles de las fun iones del ejer i io anterior son diferen iables on ontinuidad en su dominio? * 3) Según el teorema 20, toda fun ión diferen iable on ontinuidad es diferen iable. Pero ¾será que una fun ión diferen iable es también diferen iable on ontinuidad?

9.

El ve tor gradiente y la derivada dire

ional

Consideremos nuevamente la ondi ión de diferen iabilidad de la fun ión f (· , ·) en el punto ( x0 , y0 ): f ( x0 + ∆x, y0 + ∆y ) − f ( x0 , y0 ) ∂f ∂f = ∆x + ∆y + ǫ1 ∆x + ǫ2 ∆y ∂x ∂y ( x 0 , y0 )

donde

(4)

( x 0 , y0 )

l´ım ǫ1 = l´ım ǫ2 = 0

∆x→0 ∆y→0

∆x→0 ∆y→0


Ubiquémonos en el punto ( x0 , y0 ) del plano. Desde allí, si ne esitamos medir la varia ión de la fun ión f ( x, y ) en la dire

ión del eje X , basta on al ular

∂f ; y si ne esitamos medir la varia ión de la fun ión f ( x, y ) en la ∂x ( x0 , y0 ) ∂f . De he ho, esto es laro de dire

ión del eje Y es su iente al ular ∂y

la e ua ión de diferen iabilidad (4), pues:

( x 0 , y0 )

a) Si ha emos allí ∆ y = 0, obtenemos

∂f f ( x0 + ∆x, y0 ) − f ( x0 , y0 ) = ∆x + ǫ1 ∆x ∂x ( x0 , y0 )

b) Y si ha emos ∆ x = 0, obtenemos

∂f f ( x0 , y0 + ∆y ) − f ( x0 , y0 ) = ∆y + ǫ2 ∆y ∂y ( x0 , y0 )

Ahora: si ne esitamos al ular la varia ión de la fun ión f ( x, y ) en el sentido del ve tor u = ( u1 , u2 ) ∈ R2 , es natural tomar ∆x = hu1 ,

∆y = hu2

198


on h → 0; on lo ual obtenemos, de la e ua ión (4), que f ( x0 + h u 1 , y 0 + h u 2 ) − f ( x0 , y 0 ) ∂f ∂f u1 · h + u2 · h + ǫ 1 h u1 + ǫ 2 h u 2 = ∂x ( x0 , y0 ) ∂y ( x0 , y0 )

(5)

donde ǫ1 , ǫ2 → 0 uando h → 0. Así, la medida orrespondiente a esta varia ión es ∂f ∂f u1 + u2 = ∂x ( x0 , y0 ) ∂y ( x0 , y0 )

! ∂f ∂f , · ( u1 , u2 ) ∂x ( x0 , y0 ) ∂y ( x0 , y0 )

= ∇f |( x0 , y0 ) · u

donde al ve tor de derivadas par iales ∇f |( x0 , y0 ) ≡

! ∂f ∂f , ∂x ( x0 , y0 ) ∂y ( x0 , y0 )

se le ono e omo ve tor gradiente (término a uñado por H. Lamb (1897)) de la fun ión f ( x, y ) en el punto ( x0 , y0 ).


Deni ión 11. (Derivada dire

ional)

Supongamos que f (· , ·) es una fun ión diferen iable en el punto ( x0 , y0 ). Enton es la derivada de la fun ión f (· , ·) en el punto ( x0 , y0 ) ∈ A( ⊆ Df ) en la dire

ión del ve tor u (también ono ida omo la derivada dire

ional de la fun ión f (· , ·) en la dire

ión del ve tor u en el punto ( x0 , y0 )) está denida por Du f ( x0 , y0 ) ≡ ∇f |( x0 , y0 ) · u

donde asumimos que || u || = 1

Una razón de esta normaliza ión11 , || u || = 1, es bus ar ongruen ia on el he ho de que ∂f D( 0,1 ) f ( x0 , y0 ) = = ∇f |( x0 , y0 ) · ( 1, 0 ) ∂x ( x0 , y0 )

y

∂f D( 1,0 ) f ( x0 , y0 ) = = ∇f |( x0 , y0 ) · ( 1, 0 ) ∂y ( x0 , y0 )

y ambos, u = ( 1, 0 ) ó u = ( 0, 1 ), tienen norma 1. Pero también se debe a que 11

Aquí, re ordemos que

|| u || = || ( u1 , u2 ) || =

p

(u1 )2 + (u2 )2 .

199

Le

ión 2: La derivada

si u = ( u1 , u2 ) y || ( u1 , u2 ) || = 1 enton es Du f ( x0 , y0 ) = g′ (0) donde g(h) = f (( x0 , y0 ) + h( u1 , u2 )), y esta derivada ordinaria oin ide on la pendiente de la re ta tangente a la grá a de f (·) en la dire

ión del ve tor ( u1 , u2 ). Ejemplo 56.

Cal ulemos la derivada dire

ional de la fun ión f ( x, y ) = x2 + y 2 en el punto ( 1, 2 ) en la dire

ión del ve tor u = √12 , √12 (observemos que éste ya está normalizado). Solu ión

1 1 ≈ 4.24 Du f ( x0 , y0 ) = ∇f |( x0 , y0 ) · u = 2x|( 1, 2 ) , 2y|( 1, 2 ) · √ , √ 2 2

Comparamos esta varia ión de 4.24 on la varia ión en el sentido del ve tor

∂f = 2; y también on la varia ión en el sentido del ∂x ( 1, 2 ) ∂f ve tor ( 0, 1 ), es de ir, = 4. ¾Por qué esta diferen ia? Las urvas de ∂y ( 1, 0 ), es de ir, on

( 1, 2 )

nivel resuelven este interrogante: Observemos que si estamos en el punto ( 1, 2 ), dada la forma de las urvas de nivel ( ír ulos), se avanza más rápidamente si se desplaza en diagonal que a través de las dire

iones laterales! N Una pregunta válida aquí es enton es: si estamos en un punto (x0 , y0 ), ¾ uál es la dire

ión a través de la ual el re imiento es más rápido? La respuesta general es nítida:

www.fullengineeringbook.net y u = (1, 1)

(1, 2)

b

x

Figura 33: Más rápido en la dire

ión del gradiente Partiendo del punto

( x0 , y0 ),

la fun ión

f ( x, y ) re e más rápidamente, pre∇ f |( x0 , y0 ) . Para ver esto, basta

isamente en la dire

ión del ve tor gradiente

re ordar que

Du f ( x0 , y0 ) = ∇f |( x0 , y0 ) · u = || ∇f |( x0 , y0 ) || || u || cos ∢ ∇f |( x0 , y0 ) , u ;

200


y omo || u || = 1, enton es Du f ( x0 , y0 ) = || ∇f |( x0 , y0 ) || cos ∢ ∇f |( x0 , y0 ) , u

Si

(1)

queremos ha er Du f ( x0 , y0 ) máximo, tendremos que ha er cos ∢(∇ f |( x0 , y0 ) , u) = 1 ó, equivalentemente, ha er ∢(∇ f |( x0 , y0 ) , u) = 0, que signi a que u debe ser paralelo al ve tor gradiente ∇f |( x0 , y0 ) . Por lo tanto, el máximo re imiento de la fun ión f ( x, y ) en el punto ( x0 , y0 ) se

en uentra en la dire

ión del ve tor gradiente y, de (1), el valor máximo es, pre isamente, || ∇ f |( x0 , y0 ) ||; es de ir, m´ ax Du f ( x0 , y0 ) = || ∇f |( x0 , y0 ) ||

||u||=1 Ejemplo 57.

En el aso del ejemplo 55, el máximo re imiento se da en √ la dire

ión √ del 2 2 ve tor gradiente ( 2, 4 ) y la tasa máxima de re imiento es 2 + 4 = 20 = 4.47. Observemos que ésta es mayor que la tasa de re imiento en el sentido del ve tor ( 1, 1 ), que es, aproximadamente, 4.24; que la tasa de re imiento en el sentido del ve tor ( 1, 0 ), que es 2; y que la tasa de re imiento en el sentido del ve tor ( 0, 1 ), que es 4.


∇f |(1,2) = (2, 4) = dire

ión de máximo

re imiento de las urvas de nivel en (1,2). Notemos que la dire

ión (2, 4) es la

misma

dire

ión (1,2).

b

(1, 2) x

Figura 34: Ejemplo 55, de nuevo.

Ejemplo 58.

Cal ulemos la derivada dire

ional dela fun ión f ( x, y ) = xy en el punto √ 3 1 ( 3, 2 ) en la dire

ión del ve tor u = 2 , 2 , y en la dire

ión de máximo

re imiento (ve tor gradiente). Solu ión.

Du f ( x0 , y0 ) = ∇f |( x0 , y0 ) · u =

y|( 3, 2 ) , x|( 3, 2 )

·

√ ! 1 3 , 2 2

Le

ión 2: La derivada

201

√ ! 1 3 , ≈ 3.59 2 2

= ( 2, 3 ) ·

En este aso, el máximo re imiento se da en la dire

ión del ve tor gradiente

( 2, 3 )

y la tasa máxima de re imiento es

√

32 + 22 =

3.60. Observemos que

√

( 12 , 23 ), que es 3.59; que la tasa de re imiento en el sentido del ve tor ( 1, 0 ), que es 2; y que la tasa de re imiento en el sentido del ve tor ( 0, 1 ), que es 3. N ésta es mayor que la tasa de re imiento en el sentido del ve tor

Finalmente, notemos que así omo es inmediato aso iar la derivada ordinaria on la orrespondiente re ta tangente, también era de esperar que fuera posible aso iar el ve tor gradiente de las fun iones de dos variables, on el

orrespondiente plano tangente. Veamos ómo.

Deni ión 12. (Plano tangente) f (· , ·) una fun ión plano tangente a f (· , ·)

Sea

( x0 , y 0 ) z0 = f ( x0 , y0 )

diferen iable en un punto

( x0 , y0 , z0 )

de su dominio. El

www.fullengineeringbook.net en

on

se dene omo

Tf ( x0 , y0 , z0 ) = (

) ∂f ∂f ( x − x0 ) + ( y − y0 ) = z − z0 = ( x, y, z ) ∈ R3 / ∂x ( x0 ,y0 ) ∂y ( x0 ,y0 ) o n = ( x, y, z ) ∈ R3 / ∇ f |(x0 ,y0 ) · ( ( x, y ) − ( x0 , y0 ) ) = z − z0

El plano tangente es la mejor aproxima ión lineal a

f ′( x

y − y0 = 0 )( x − x0 ) es la mejor aproxima ión x0(gura 35). Claramenteel ve tor normal N a este ∂f ∂f es , , −1 . ∂x ∂y

así omo la re ta tangente lineal a

f (·)

f (· , ·) en el punto ( x0 , y0 ),

en el punto

plano en el espa io

R3 ,

Ejemplo 59.

x0 ,y0

x0 ,y0

Cal ulemos el plano tangente a las siguientes fun iones:

a)

f ( x, y ) = x2 + y 2

b)

f ( x, y ) = x3 y

en el punto

en el punto

( 1, 1 ).

( 2, 3 ).


202

z = f (x, y)

N=

∂f ∂f ∂x |(x0 ,y0 ) , ∂y |(x0 ,y0 ) , −1

plano tangente en (x0 , y0 , z0 )

z0 = f (x0 , y0 )

x

y

(x0 , y0 )

Figura 35: Plano tangente Solu ión.

a) Las derivadas primeras de

f (· , ·)

son

∂f = 2x ∂x

y

∂f = 2y . ∂y

Por tanto,

∂f ∂f = = 2. Así, el plano tangente de f (· , ·) en el punto ∂x ( 1,1 ) ∂y ( 1,1 ) ( 1, 1 ) es Tf ( 1, 1 ) = ( x, y, z ) ∈ R3 / 2( x − 1 ) + 2( y − 1 ) = z − 2 = ( x, y, z ) ∈ R3 / 2x + 2y − 2 = z

www.fullengineeringbook.net b) Las derivadas primeras de

f (· , ·)

son

∂f = 3x2 y ∂x

y

∂f = x3 . ∂y

Por tanto,

∂f ∂f = 36 y = 8. Así, el plano tangente de la fun ión f (· , ·) ∂x ( 2,3 ) ∂y ( 2,3 ) en el punto ( 2, 3 ) es Tf ( 2, 3 ) = (x, y, z) ∈ R3 / 36(x − 2) + 8(y − 3) = z − 24 = (x, y, z) ∈ R3 / 36x + 8y − 72 = z

Ejer i ios 9

1) Cal ule la derivada dire

ional de la fun ión en la dire

ión del ve tor

u,

uando:

u = ( 1, −1 )

a)

f ( x, y ) = 3x + y,

b)

f ( x, y ) = x3 + xy 2 + y 3 ,

f( · , · )

u = ( −1, −1 )

en el punto (2,2) y

203

Le

ión 2: La derivada

) f ( x, y ) = ln( xy ), u = ( 3, 2 ) 2 d) f ( x, y ) = ex , u = ( −1, 2 )

[Indi a ión: No olvide normalizar el ve tor

u

℄

2) En ada uno de los asos anteriores, al ule la tasa de máximo re imiento de la fun ión en el punto ( 1, 1 ). 3) Justique la deni ión 12 de plano tangente. 4) Cal ule el plano tangente en ada aso: a) f (x, y) = ax + by + c, en (1,1) y (0,0) b) f (x, y) = xy , en (0,0) 10.

Regla

de

la

adena

para

fun iones

de

dos

variables

Puesto que las derivadas par iales son, esen ialmente, derivadas de una sola variable, toda el álgebra bási a de derivadas (suma, produ to y o iente) estudiado en las primeras se

iones de esta le

ión, se apli a sin ningún in onveniente. Sin embargo, existe una regla de deriva ión que muestra la manera en que se generaliza la regla de la adena para una sola variable, y que es muy útil en el ál ulo de derivadas de fun iones ompuestas.

www.fullengineeringbook.net Teorema 21. (

Regla de la adena para dos variables )

R2 )

→ R una fun ión diferen iable on ontinuidad en ( x0 , y0 ) ∈ x : ( a, b ) → R y y : ( a, b ) → R son fun iones diferen iables en t = t0 ∈ ( a, b ) on x0 = x( t0 ), y0 = y( t0 ). Enton es f ( x(·), y(·) ) : ( a, b ) → R también es diferen iable en t0 ; además, ∂f dx ∂f dy df = + dt t=t0 ∂x ( x0 , y0 ) dt t=t0 ∂y ( x0 , y0 ) dt t=t0 f : A(⊆ A( ⊆ Df ); y

Sea

supongamos además que

Demostra ión.

Llamemos

∆x = x( t0 + ∆t ) − x( t0 ) ∆y = y( t0 + ∆t ) − y( t0 )

∆f = f ( x0 + ∆x, y0 + ∆y ) − f ( x0 , y0 ) x0 = x( t0 ),

y0 = y( t0 )

Como f (·, ·) es diferen iable on ontinuidad en ( x0 , y0 ), enton es ∂f ∂f ∆f = ∆x + ∆y + ǫ1 ∆x + ǫ2 ∆y ∂x ( x0 , y0 ) ∂y ( x0 , y0 )


204 donde ǫ1 , ǫ2

Ha iendo

→0

∆ x, ∆ y → 0.

Así

∂f ∆x ∂f ∆y ∆x ∆y ∆f = + + ǫ1 + ǫ2 ∆t ∂x ( x0 , y0 ) ∆t ∂y ( x0 , y0 ) ∆t ∆t ∆t

∆t → 0

obtenemos el resultado

df ∂f dx ∂f dy = + dt t=t0 ∂x ( x0 , y0 ) dt ∂y ( x0 , y0 ) dt

Ejemplo 60. Si

uando

f ( x, y ) = x2 + y 2 , x(t) = t3 + 1, y(t) = ln t (t > 0),

enton es

∂f dx ∂f dy df = + dt ∂x dt ∂y dt 1 = (2x) 3t2 + (2y) t 1 3 2 = 2 t + 1 · 3t + 2(ln t) t 2 ln t = 6 t5 + t2 + t

www.fullengineeringbook.net Otra versión de la regla de la adena )

Teorema 22. (

f ( u, v ) es una fun ión diferen iable on ontinuidad en ( u0 , v0 )

on u0 = u( x0 , y0 ), v0 = v( y0 , y0 ), u( x, y ) y v( x, y ) son diferen iables en ( x0 , y0 ). Enton es f ( u( x, y ), v( x, y ) ) es diferen iable en ( x0 , y0 ), y además Supongamos que

∂f ∂f = ∂x ( x0 , y0 ) ∂u ( u0 , v0 ) ∂f ∂f = ∂y ( x0 , y0 ) ∂u ( u0 , v0 )

Demostra ión.

∂u + ∂x ( x0 , y0 ) ∂u + ∂y ( x 0 , y0 )

El razonamiento es similar al del teorema 21.

∂f ∂v ( u0 , v0 ) ∂f ∂v ( u0 , v0 )

∂v ∂x ( x0 , y0 ) ∂v ∂y

(6)

( x 0 , y0 )

Observemos

que el sistema

(6) se puede es ribir, en forma matri ial, así:

∇f ( x, y )|( x0 , y0 ) = J( u, v )T ( x0 , y0 ) · ∇f ( u, v )|( u0 , v0 )

Le

ión 2: La derivada

205

donde

∇f ( x, y )|( x0 , y0 )

J( u, v )|( x0 , y0 )

! ∂f ∂f = , ∂x ( x0 , y0 ) ∂y ( x0 , y0 )   ∂u ∂u  ∂x ( x0 , y0 ) ∂y ( x0 , y0 )  =  ∂v ∂v ∂x ( x0 , y0 ) ∂y ( x 0 , y0 )

∇f ( u, v )|( u0 , v0 ) =

! ∂f ∂f , ∂u ( u0 , v0 ) ∂v ( u0 , v0 )

y donde la T signi a transpuesta.

Deni ión 13. (Matriz ja obiana (Sylvester (1852))) A la matriz

omo la

J( u, v )|( x0 , y0 )

matriz ja obiana

∂(u, v) | ) se le ono e ∂(x, y) (x0 ,y0 ) ( u( ·, · ), v( ·, · ) ) en el punto ( x0 , y0 ).

(también notada omo

de la fun ión

Ejemplo 61. www.fullengineeringbook.net Si

f ( u, v ) = v 2 + 3u, u = xy 2 , v = x3 + y 3 ,

enton es, en un punto

puesto que

∇f ( x, y )|( x0 , y0 ) = J( u, v )T ( x0 , y0 ) · ∇f ( u, v )|( u0 , v0 ) J( u, v )|( x0 , y0 )

y 2 ( x 0 , y0 ) = 3x2 ( x0 , y0 ) "

2xy|( x0 , y0 ) 3y 2 ( x0 , y0 )

#

y

∇f ( u, v ) = ( 3y 2 + 2v(3x2 ), 3(2xy) + 2v(3y 2 ) ) obtenemos que

∂f = 3y02 + 6x20 (x30 + y03 ) ; ∂x

∂f = 6x0 y0 + 6y02 (x30 + y03 ) ∂y

(x0 , y0 ),


206

Ejer i ios 10 1) Halle: a)

df dt

si

f ( x, y ) = x3 + xy,

b)

df dt

si

f ( x, y ) = ln( x2 + y 2 ),

2) En uentre la matriz ja obiana a) b)

)

u = xy − 3x,

1 1 − et2

x = cos 2t, y = sen2 t

J( u, v )|( x, y )

en los siguientes asos:

v = y 2 + 2xy + 2x − y

u = x2 + y 2 − 3x + y, v = x3 y 3 1 − 1 u = z 2 + w 2 2 , v = w x2 y 2 2 , z = (x + y + 1)−1 ,

11.

x = 1 + et , y =

Fun iones

w = (2x − y)−2

implí itas

para

fun iones

de

dos

www.fullengineeringbook.net variables

Ya habíamos estudiado par ialmente este problema en la se

ión 4 (teorema 9). Aquí sólo resta agregar que, on las a tuales herramientas analíti as a la mano, si

F ( x, y ) = 0

F : A(⊆ R2 ) → R es una abierto alrededor de ( x0 , y0 ) on

es una e ua ión fun ional donde

fun ión diferen iable on ontinuidad en un

∂F 6= 0, ∂y ( x0 , y0 )

enton es, en ierto onjunto abierto alrededor de

( x0 , y0 ),

y = f( x )

en la que

en ontraremos una úni a expresión fun ional de la forma

f (·)

es diferen iable en un intervalo alrededor de

se tiene que

x0 ,

y tal que en ese intervalo

∂F dy = − ∂x ∂F dx ∂y

Esta última expresión, que es sólo una rees ritura de lo que ya teníamos en el teorema 9 de esta le

ión, puede probarse fá ilmente mediante la regla de

F ( x, y ) = 0 ( x0 , y0 ), enton es,

F (· , ·)

la adena: omo

y

nuidad en

en el onjunto abierto alrededor de

es una fun ión diferen iable on onti-

tiene que

∆F =

∂F ∂F ∆x + ∆y + ǫ1 ∆x + ǫ2 ∆y = 0 ∂x ∂y

( x0 , y0 ),

se

Le

ión 2: La derivada

207

donde

l´ım ǫ1 = l´ım ǫ2 = 0

∆x→0 ∆y→0

∆x→0 ∆y→0

Luego,

Tomando

∂F ∆y ∆y ∂F =− − ǫ1 − ǫ2 ∆x ∂y ∂x ∆x ∆ x , ∆ y → 0 tendremos que ∂F dy ∂F =− dx ∂y ∂x

y así,

dy ∂F =− dx ∂x Ejemplo 62.

∂F ∂y

F ( x, y ) = x2 +y 2 −1, enton es de la e ua ión √ F ( x, y ) = 0 podemos √despe2 jar dos fun iones implí itas (y = 1−x y y = − 1 − x2 , |x| < 1) uyas derivadas se pueden al ular así: Si

∂F dy 2x x = − ∂x = − = − ∂F dx 2y y ∂y

(7)

www.fullengineeringbook.net Por ejemplo, si

y ésta oin ide Ejemplo 63.

y=

√

1 − x2 ,

sabemos que

2x x x dy =− √ = −√ = − 2 2 dx y 2 1−x 1−x √

on (7). De manera similar uando y = − 1 − x2 .

F ( x, y ) = x3 + xy 2 − exy , enton es la solu ión y = f ( x ) de la e ua ión F ( x, y ) = 0 alrededor de ( 1, 0 ) debe ser diferen iable y su derivada está dada

Si

por

Nota 20.

∂F 3x2 + y 2 − y exy dy ∂x =− =− =3 ∂F dx ( 1,0 ) 2xy − x exy ( 1, 0 ) ∂y ( 1,0 )

Observemos que, en general, no es posible (o, al menos, no es fá il) en ontrar por métodos dire tos y simples, una forma explí ita de

y = f ( x ). Sin embargo,

sí tenemos informa ión on respe to al omportamiento diferen ial

lo al

de la

fun ión y esto, en mu hos asos, es lo más que podemos aspirar a saber de ella, mediante las té ni as del ál ulo diferen ial. Este es el mensaje entral del teorema de la fun ión implí ita.

208


Ejer i ios 11

1) Cal ule

dy expli ando en qué asos no existe: dx

a) F ( x, y ) = y sen x + x cos y = 0 b) F ( x, y ) = x4 y 3 − 3x3 y + 9x2 − 2y = 0

) F ( x, y ) = yex + xey = 0

d) F ( x, y ) = x2 ln y + exy = 0 ∂F dy 2) Utili e la igualdad = − ∂x para probar que el ve tor gradiente es ∂F dx ∂y siempre ortogonal a las urvas de nivel F (x, y) = α para α jo. Conrme

esto en el ejemplo 61. ¾Cuál es la intui ión físi a de este resultado? [Indi-

∂F dy ∂F ∂F

a ión: Es ribir = − ∂x en la forma dy + dx = 0 y re ordar ∂F dx ∂y ∂x ∂y

la no ión de ortogonalidad de los ve tores

www.fullengineeringbook.net ∇f (x, y) y (dx, dy)℄.

3) Pruebe que si sen(x + y) − y = 0 enton es y ′′ = 12.

sen(x + y) [cos(x + y) − 1]3

Derivadas par iales de orden superior

∂f ∂f , en A, éstas se on∂x ∂y vierten, a su vez, en fun iones de dos variables en A sobre las uales podemos

Si f : A(⊆ R2 ) → R tiene derivadas par iales

indagar sobre su diferen iabilidad par ial. Así, si ada una de ellas puede ser diferen iada on respe to a x y y , obtendríamos uatro derivadas par iales de segundo orden: ∂2f ∂ ≡ 2 ∂x ∂x

∂f ∂x

∂2f ∂ ≡ ∂x ∂y ∂x

∂f ∂y

;

∂2f ∂ ≡ ∂y ∂x ∂y

;

∂2f ∂ ≡ 2 ∂y ∂y

∂f ∂x

∂f ∂y

209

Le

ión 2: La derivada

Sin embargo, es posible redu ir estas uatro derivadas a sólo tres, pues bajo

ondi iones de ontinuidad de las derivadas, se tiene, omo veremos, que ∂2f ∂2f = ; ∂x ∂y ∂y ∂x

es de ir, no importa el orden en el que derivemos par ialmente. Nota ión.

También las derivadas par iales de segundo orden podrían apare er en otras nota iones, todas equivalentes:

∂2f = Dxy f = D12 f = f12 = fxy ; de manera ∂x∂y

similar para las otras derivadas par iales de segundo orden. Teorema 23. Si

∂2f ∂2f , ∂x∂y ∂y∂x

Demostra ión.

son

ontinuas

en una ve indad de

( x0 , y0 ),

enton es

∂ 2 f ∂ 2 f = ∂x∂y ( x0 , y0 ) ∂y∂x ( x0 , y0 )

www.fullengineeringbook.net Sean

u( x, y ) = f ( x + ∆ x, y + ∆ y ) − f ( x, y + ∆ y ) − f ( x + ∆ x, y ) + f ( x, y ); v( x, y ) = f ( x, y + ∆ y ) − f ( x, y )

para algunos valores ∆ x, ∆ y jos y distintos de ero. Puesto que u( x, y ) = v( x + ∆x, y ) − v( x, y ), enton es, por el teorema del valor medio, ∂v u( x, y ) = ·∆x ∂x ( x, y )

(8)

on x entre x y x + ∆ x; y también se tiene, de la deni ión, que ∂v ∂f ∂f = − ∂x ( x, y ) ∂x ( x, y+∆ y ) ∂x ( x, y )

Y sustituyendo x por x en esta expresión obtenemos, de (8), que u( x, y ) =

"

# ∂f ∂f − · ∆x ∂x ( x, y+∆ y ) ∂x ( x, y )

Si nuevamente apli amos el teorema de valor medio a la expresión entre paréntesis obtenemos

210


∂ 2 f u( x, y ) = ∆y∆x ∂y∂x ( x, y )

(9)

para algún y entre y y y + ∆ y .

De manera similar, si denimos w( x, y ) = f ( x+∆ x, y )−f ( x, y ) y seguimos el mismo pro edimiento, se tiene que u( x, y ) = w( x, y + ∆ y ) − w( x, y )

y también que ∂ 2 f u( x, y ) = ∆y∆x ∂x∂y ( x∗ , y∗ )

(10)

para iertos x∗ entre x y x + ∆x y y ∗ entre y y y + ∆y . Igualando (9) y (10) se tiene que ∂ 2 f ∂ 2 f = ∂y∂x ( x, y ) ∂x∂y ( x∗ , y∗ )

www.fullengineeringbook.net Si ha emos tender ∆ x, ∆ y a ero tendríamos que x, x∗ tenderán a x; y y, y ∗ tenderán a y . La ontinuidad de las derivadas impli adas ondu e a la igualdad bus ada. Ejemplo 64.

Comprobemos que

∂2f ∂2f x2 + y 2 =

uando f ( x, y ) = ∂x∂y ∂y∂x x−y

Solu ión.

∂f ( x − y )( 2x ) − ( x2 + y 2 )( 1 ) x2 − y 2 − 2xy = = 2 ∂x (x − y) ( x − y )2 ∂f ( x − y )( 2y ) − ( x2 + y 2 )( −1 ) x2 − y 2 + 2xy = = ∂y ( x − y )2 ( x − y )2

Le

ión 2: La derivada

211

∂2f ( 2x + 2y )( x − y )2 − ( x2 − y 2 + 2xy ) 2( x − y )( 1 ) = ∂x∂y ( x − y )4 2( x + y )( x − y )2 − 2( x2 − y 2 + 2xy )( x − y ) = ( x − y )4 2( x − y ) ( x + y )( x − y ) − ( x2 − y 2 + 2xy ) = ( x − y )4 2 2( x − y ) x − y 2 − x2 + y 2 − 2xy = ( x − y )4 4xy =− (x − y)3 ∂2f ( −2y − 2x )( x − y )2 − ( x2 − y 2 − 2xy ) 2( x − y )( −1 ) = ∂y∂x ( x − y )4 −2( x + y )( x − y )2 + 2( x2 − y 2 − 2xy )( x − y ) = ( x − y )4 2( x − y ) −( x + y )( x − y ) + x2 − y 2 − 2xy = ( x − y )4 2 2( x − y ) −x + y 2 + x2 − y 2 − 2xy −4xy( x − y ) 4xy = = =− ( x − y )4 ( x − y )4 (x − y)3

www.fullengineeringbook.net Nota 22. (Derivadas par iales de orden superior)

Como puede ser ya laro en este punto después de utilizar el teorema 23, las derivadas de segundo orden son:

∂2f , ∂x2

∂2f , ∂y 2

∂2f ∂x∂y

y podríamos ontinuar diferen iando, y así obtener

orden :

y, en general, las

∂3f , ∂x3

∂3f , ∂y 3

derivadas de

∂nf ∂xp ∂y q

n-ésimo

∂3f , ∂x2 ∂y orden

p, q = 0, . . . , n

las derivadas de ter er

∂3f ∂x∂y 2

se obtienen así:

on

p+q =n

212


Ejemplo 65. Cal ulemos las derivadas de segundo y ter er orden de las siguientes fun iones: a) f ( x, y ) = ax2 + by 2 + cxy

b) f ( x, y ) = xα y β ; α, β > 0

Solu ión. a)

∂f = 2ax + cy ; ∂x ∂2f = 2a ; ∂x2 ∂3f = 0; ∂x2 ∂y

b)

∂f = 2by + cx ; ∂y ∂2f = 2b ; ∂y 2

∂3f = 0; ∂x∂y 2

∂2f = α( β )xα−1 y β−1 ; ∂x∂y

∂2f = c; ∂x∂y

∂2f =c ∂y∂x

∂3f = 0; ∂x3

∂3f =0 ∂y 3

∂3f = 0; ∂y∂x2

∂3f =0 ∂y 2 ∂x

∂2f = α( β )xα−1 y β−1 ; ∂y∂x

∂2f = α( α − 1 )xα−2 y β ; ∂x2

∂2f = β( β − 1 )xα y β−2 ∂y 2

∂3f = α( α − 1 )( α − 2 )xα−3 y β ; ∂x3

∂3f = β( β − 1 )( β − 2 )xα y β−3 ∂y 3

www.fullengineeringbook.net ∂3f = α( α − 1 )βxα−2 y β−1 ; ∂x2 ∂y ∂3f = α( α − 1 )βxα−2 y β−1 ; ∂y∂x2

∂3f = αβ( β − 1 )xα−1 y β−2 ∂x∂y 2 ∂3f = αβ( β − 1 )xα−1 y β−2 ∂y 2 ∂x

Ejemplo 66. (Un aso en el que las derivadas mixtas dieren) Que la on lusión del teorema 23 no es ierta si alguna de las hipótesis falla, lo podemos observar en el aso de la siguiente fun ión: Para

se tiene que

 2 2  xy (x − y ) para (x, y) 6= (0, 0) f ( x, y ) = x2 + y 2  0 para (x, y) 6= (0, 0)

∂2f ∂2f = −1 6= = 1 en (0, 0) (gura 36). ∂y∂x ∂x∂y

Le

ión 2: La derivada

213

z

y x


(

xy(x2 −y 2 ) x2 +y 2 ,

(x, y) 6= (0, 0) (x, y) = (0, 0)

0,

En efe to: a)

∂f f (∆x, 0) − f (0, 0) = l´ım = 0 ∆x→0 ∂x ( 0, 0 ) ∆x

b)

∂f f (0, ∆y) − f (0, 0) = l´ım = 0 ∆y→0 ∂y ( 0, 0 ) ∆y


) Llevando a abo las orrespondientes derivadas par iales de segundo orden en (0,0), obtenemos que,

∂ 2 f = l´ım ∆y→0 ∂y∂x ( 0, 0 )

∂f ∂f − ∂x ( 0, ∆y ) ∂x ( 0, 0 ) ∆y

= l´ım

∆y→0

−(∆y)5 = −1 (∆y)5

d) De manera similar,

∂ 2 f = l´ım ∆x→0 ∂x∂y ( 0, 0 )

∂f ∂f − ∂y ( ∆x, 0 ) ∂y ( 0, 0 ) ∆x

= l´ım

∆x→0

(∆x)5 = 1 (∆x)5

¾Cuál ree el le tor que es la ondi ión del teorema 23 que falla en este aso?

Ejer i ios 12 1) En uentre las derivadas par iales de primer, segundo y ter er orden de las siguientes fun iones: a)

f ( x, y ) = α ln x + β ln y

,

α, β > 0


214

b)

)

xρ y ρ f ( x, y ) = + 2 2 α f ( x, y ) = x + β y α

x4 y 3

−

1

ρ

0<ρ≤1

,

,

3x3 y 2

α, β > 0 + 9x2 − 2y

d)

f ( x, y ) =

e)

f ( x, y ) = y 2 ex

f)

f ( x, y ) = y sen x + x cos y

2) Compruebe que

∂2f ∂2f = ∂x∂y ∂y∂x

en los seis asos anteriores.


Le

ión 2: La derivada 13.

215

Contexto e onómi o

a. Deni ión de marginalidad en e onomía Desde la perspe tiva de la toma de de isiones en e onomía, un elemento re urrente (y obvio) es la valora ión substantiva sobre la onvenien ia de una u otra ele

ión: tomar tal o ual de isión, ¾ ómo ambiaría la situa ión a tual?, ¾qué informa ión adi ional permitirá obtener?, ¾agregará su ientes bene ios para que ompensen los ostos? Este tipo de preguntas está en el entro mismo de la toma de de isiones por marginalidad. Por ejemplo, una de isión se puede tomar uando pueda esperarse que, on ella, se revelará informa ión importante on respe to a la situa ión a tual, o se estará en mejor situa ión que lo que se estaba antes, et . Y una manera obvia de medir esto es a través de algunas diferen ias o de algún o iente de diferen ias ; es de ir, mediante antidades marginales.

La deni ión lási a de marginalidad en la teoría e onómi a dada originalmente por Jules Dupuit

12 [ 18041866 ℄ orresponde, en el aso de una fun ión de una

f( x + 1 ) − f( x ) 1

sóla variable, al o iente dis reto

que es la varia ión de la

www.fullengineeringbook.net fun ión e onómi a

f (·)

x, una unidad (mardy f ( x + ∆x ) − f ( x ) = l´ım ∆x→0 dx ∆x

al agregar, on respe to al estado

gen adi ional), y no al o iente innitesimal

omo usualmente se utiliza. Quizás, lo que es extraño, esto tenga que ver on la interpreta ión de que si pequeño in remento

x es muy grande, una unidad adi ional es apenas un

∆x.

Pero esta sola dis repan ia muestra el impa to que

la hipótesis de diferen iabilidad de las formas fun ionales tiene sobre el estudio de los problemas e onómi os: más que asumir ontinuidad, asumir diferen iabilidad sobre la fun ión bajo estudio es, siempre, asumir demasiado, y esto nos podría llevar a extrapola iones imprudentes desde la des rip ión dis reta a la des rip ión ontinua del fenómeno e onómi o estudiado.

Deni ión 16. (Marginalidad omo derivada) Si

f : D −→ R (D

sub onjunto de

R

o de

R2 , abierto y no-va ío)

es ualquier

forma fun ional de una variable e onómi a, enton es a las derivadas

∂f ∂f , ∂x ∂y

el aso de una so la variable); y

12

x

y a

y

(en

(en el aso de dos variables), se les

ono e omo sus fun iones marginales ( on respe to a variable, y on respe to a

f ′( x )

x

en el aso de una

en el aso de dos variables).

Dupuit, Jules (1933), De l'Utilité et de sa Mesure, Turin: ed. Marie de Bernardi.

216 b.

Matemáti as bási as para e onomistas 2: Cál ulo Una apli a ión de la no ión de marginalidad en e onomía: La do trina del osto de oportunidad

Sin duda, la prin ipal ontribu ión de la do trina del osto de oportunidad ha sido la de lari ar la esen ia, impli a iones y limita iones de la no ión de marginalidad dentro de la teoría e onómi a. Ya antes de que fuera explí itamente introdu ida por el e onomista austria o Friedri h von Wieser en 187613 (y expuesta en libros posteriores (1884, 1889))14 , 15 , el on epto de osto de oportunidad había apare ido en los trabajos de J.S. Mill (1848)16 y, fundamentalmente, en el de Léon Walras (1874)17 . También después de von Wieser, lo veríamos en los es ritos de E. von Bawerk (1889, 1894)18 , 19 , G. von Haberler (1930, 1933)20 , 21 , P.H. Wi ksteed (1910, 1914) 22 , 23 y L. Robbins (1930, 1932, 1934)24 , 25 , 26 , entre otros. La do trina del osto de oportunidad es, en prin ipio, simple de expli ar, pues arma que los pre ios relativos reejan oportunidades perdidas. Por ejemplo, en términos de inter ambios, el pre io de un bien x1 en términos del pre io de otro bien x2 , es la antidad del bien x2 que tiene que entregarse para poder


14

15 16

Von Wieser, F. (1876), Über das Verhältnis des Kosten zum Wert (On the Relation

to Cost to Value ), reimpreso en Wieser, Gesammelte Abhandlungen.

Von Wieser, F. (1884), Über den Ursprung und die Hauptgesetze des wirts haftli hen

Werthes.

Von Wieser, F. (1889), Natural Value, reimpresión de la tradu

ión de 1893, New York: Augustus M. Kelley. Mill, J.S. (1848), The Prin iples of Politi al E onomy: with some of their appli ations

to So ial Philosophy, ed. William J. Ashley, 7th Edition, London: Longmans, Green

17

and Co., 1909. Walras, L. (1874), Elements of Pure E onomi s: On the Theory of So ial Wealth,

18

Tradu

ión de la edi ión de 1926, Homewood, I11: Ri hard Irwin. Von Bawerk, E. (1984), The Ultimate Standard of Value, Annals of the Ameri an

19

A ademy, vol. V, p. 149-208. Von Bawerk, E. (1889), Capital and Interest: Volumen II - Positive Theory of Capital,

20 21

Tradu

ión de 1959, South Holland, I11: Libertarian Press. Von Haberler, G. (1930), Die Theorie der Komparativen Kosten und ihre Auswertung für die Begründung des Freihandels, Welfwirts haftli hes Ar hiv, vol. 32. Von Haberler, G.(1933), The Theory of International Trade: with Appli ations to

22

Comer ial Poli y ; tradu

ión de 1934, New York: Ma millan. Wi ksteed, P.H. (1910), The Common Sense of Politi al E onomy, London: Routledge

23

and Kegan Paul 1933. Wi ksteed, P.H. (1914), The S ope and Method of Politi al E onomy in the Light of

24 25 26

the Marginal Theory of Value and Distribution, E onomi Journal, vol. 24(1). Robbins, L.C (1930), On a Certain Ambiguity in the Con eption of Stationary Equi-

librium, E onomi Journal, vol. 40, pp.194-214. Robbins, L.C. (1932), An Essay on the Nature and Signi an e of E onomi S ien e, Edi ión de 1984, New York: New York University Press. Robbins, L.C (1934), Remarks Upon Certain Aspe ts of the Theory of Costs, E ono-

mi s Journal, vol. 44.

Le

ión 2: La derivada

217

obtener una unidad del bien

x1 .

Es de ir,

p1 ∆2 = p2 ∆1 ∆2

donde

(1)

es la oferta del bien 2 que tiene que ha er para re ibir

x1 ,

del bien 1. Así, si para obtener 3 unidades del bien entregar 15 unidades del bien del pre io del bien La e ua ión

(1)

x2

x2 ,

dx1

x1

en términos

es 5.

se a ostumbra es ribir, en nota ión marginalista,

neta innitesimal". A la derivada del lado dere ho de

28 la bautizó omo la

(1939)

27 así:

(2)

es una demanda neta innitesimal" del bien

(2),

unidades

el agente ne esita

enton es el pre io del bien

p1 dx2 = − p2 dx1 donde

∆1

−dx2 es la oferta dx2 (2), , John Hi ks dx1 entre x1 y x2 . Y a

x1

y

tasa marginal de sustitu ión

29 la bautizó omo la

ley de

Wieser www.fullengineeringbook.net la igualdad total

Maeo Pantaleoni (1889)

, a pesar de que von Wieser nun a es ribió una e ua ión de esta forma,

omo sí lo hi iera, on iertas dudas, W. S. Jevons en 1871.

teoría del inter ambio

Sin embargo, las di ultades on la idea del osto de oportunidad surgieron, no tanto en el ontexto de la

sino, en mayor medida,

al menos dos insumos

dentro del ontexto de la teoría de la produ

ión. Para ilustrarlo, supongamos

diferentes x

que en la produ

ión de ierto produ to se utilizan

1 y

x2 . Consideramos

la gura 37 en donde apare en dos fronteras

30 : una re ta

L ( uya e ua ión está denida P1′ x1 + P2′ x2 = onstante, donde P1′ , P2′ son los pre ios de mer ado de x1 y x2 , respe tivamente) y una urva CP (no nos P′ preo upe en este momento la forma de ésta). La pendiente de L es − 1′ que P2 es, pre isamente, el osto de oportunidad de x1 en términos de x2 . Pero en el de posibilidades de produ

ión

por la re ta de presupuesto

aso de la urva CP, el osto de oportunidad las ombina iones utilizadas de

27 28 29 30

x1

y

x2 .

ambia

a medida que ambian

Este es, pre isamente, el tipo de extrapola iones que pueden ondu ir a errores ( ontexto e onómi o de la le

ión 1) Hi ks, J. (1939), Value and Capital: An Inquiry into some Fundamental Prin iples of E onomi Theory, Oxford: Clarendon Press, 1946 ed.

Pantaleoni, M. (1889), Pure E onomi s, tradu

ión de 1898, London: Ma millan. Este nombre fue a uñado por Abba Lerner (1932) y Gottfried von Haberler (1933).


218

x2

x∗2

x2 P1′ x1 + P2′ x2 = onstante b

F CP b

E

L b

x∗1

G

x1

x1

Figura 37

i) Consideremos primero el aso lineal en que las ondi iones del mer ado de

P1′ es la razón de pre ios de ellos; en tal situa ión P2′ P1′ P produ iríamos en ualquier punto de la re ta L. Pero si 1 > P2 P2′ enton es ∗ iríamos al punto x2 donde todo está dedi ado a la utiliza ión de x2 y P1′ P nada a la de x1 . De manera similar, si 1 < enton es iremos a la otra P2 P2′ ∗ esquina, x1 , donde se utiliza todo de x1 y nada absolutamente de x2 . El los insumos son tales que

www.fullengineeringbook.net punto aquí es que en estas solu iones de esquina, los

pre ios relativos

no igualan al osto de oportunidad. Allí, el nivel relativo de utiliza ión de insumos estaría determinado por fa tores distintos a la demanda ( omo la teoría lási a arma que debería ser).

ii) De otro lado, supongamos que la urva es omo la

CP . Si la razón

de los

P′ pre ios son 1′ , enton es la línea de pre ios será tangente a CP en E ; si P2 P1′ son menores que P2′ , la línea de pre ios será tangente a CP en F ; y si P′ son mayores que 1′ , la línea de pre ios será tangente a CP en G. Pero, P2 de he ho,

E, F

y

G son las úni as ombina iones e ientes

orrespondientes a las rela iones de pre ios

de x1 y x2 P1 respe tivas; es de ir, son P2

sus ostos de oportunidad y están basados en la teoría de la demanda.

En suma, pare iera que para ir desde los lási os a la teoría marginalista de von Wieser sólo bastara on ambiar la te nología del sistema. Aun así esto no detendría a los lási os de bus ar (y en ontrar) el valor de los bienes de forma explí ita omo fuera mostrado por Piero Sraa en 1960 en su

of Commodities by Means of Commodities

Produ tion

(volumen 1: Álgebra lineal).

219

Le

ión 2: La derivada

.

Cara terísti as marginales de algunas fun iones del análisis e onómi o

La no ión de marginalidad ha inspirado el desarrollo de múltiples on eptos de medida y rela ión de las distintas variables e onómi as. A ontinua ión presentamos algunos de los más importantes ejemplos. 1) Marginalidad en las fun iones homogéneas

Uno de los resultados más re urrentes en el análisis e onómi o estándar es la rela ión que existe entre las fun iones marginales de una fun ión homogénea de grado α ≥ 0 en dos variables (una fun ión f (· , ·) es homogénea de grado α ≥ 0 si satisfa e f ( tx, ty ) = tα f ( x, y ) para todo t > 0): Se le ono e omo e ua ión de Euler. Teorema 24. (E ua ión de Euler (1748) ) Si

f : D( ⊆ R2 ) −→ R

α > 0

es homogénea de grado

ontinuidad en el onjunto abierto no-va ío

x

D

31 ,

y diferen iable on

enton es

∂f ∂f +y = αf ( x, y ) ∂x ∂y

www.fullengineeringbook.net Demostra ión

Sea, para ( x, y ) ∈ D jo, F ( t ) = f ( tx, ty ) on t > 0. Enton es, por la regla de la adena, se tiene que F ′( t ) = x

∂F ∂F +y ∂u ∂v

donde u = tx y v = ty . En parti ular, uando t = 1, ∂F ∂F ∂f ∂f F (1) = x + x =x +y ∂x t = 1 ∂y t = 1 ∂x ∂y

(1)

F ′ ( 1 ) = α tα−1 f ( x, y )|t=1 = αf (x, y)

(2)

′

De otro lado, omo por homogeneidad F ( t ) = tα f ( x, y ), enton es

Así, de (1) y (2), αf ( x, y ) = x

y esto prueba el teorema. 31

∂f ∂f +y ∂x ∂y

(3)

Re ordemos que esto signi a que f (· , ·) tiene sus dos derivadas par iales,

ontinuas en D.

∂f ∂x

y

∂f ∂y

,


220 En parti ular, si

f (· , ·) es homogénea

de grado

α = 1 (rendimientos

onstantes

a es ala) se tiene que

f ( x, y ) = x Obsérvese, de (3) y (4), que si

∂f ∂f +y ∂x ∂y

f (x, y ) es

(4)

una fun ión de produ

ión, este valor

∂f distribuido, de manera ponderada, en las produ

iones marginales de ∂f ∂x , ∂y ,

es

de los insumos

x, y ,

y por ello ha sido entro de dis usión en la teoría de la

distribu ión por produ tividad marginal.

2) Elasti idades Otro de los on eptos bási os de la teoría marginalista es el de

elasti idad, que

permite analizar, bási amente, por entajes de varia ión de una variable on respe to a por entajes de varia ión de otra. Y aunque existen diversos tipos de elasti idad, aquí nos on entraremos en los más utilizados por la teoría e onómi a tradi ional.

Deni ión 17. (Elasti idad (Marshall (1920)32 )) La

elasti idad

de una variable

y

mide la varia ión por entual de

on respe to a otra variable

y

x,

εyx , x (es

denotada

debido a una varia ión por entual en


de ir, ambios por entuales relativos); en lenguaje formal,

εyx

dy = dx y x

o, en forma de diferen iales,

εyx =

d ln y d ln x

Deni ión 18. (Elasti idad de sustitu ión (Hi ks (1932)))

elasti idad de sustitu ión fue a uñado por John Hi ks en su The Theory of Wages de 1932, bus ando analizar ambios en las parti ipa iones en El on epto de

el ingreso de insumos omo la mano de obra y el apital en una e onomía en expansión. Es de ir, en esen ia, el problema onsiste en bus ar una medida del grado de sustitu ión que existe entre ualquier par de fa tores en un pro eso produ tivo. La no ión atrajo inmediatamente la aten ión y estimuló varias extensiones de Robinson (1933)33 , y Ma hlup (1935).34 Desde enton es ha jugado un papel desta ado en mu has ramas de la e onomía. Veamos en qué onsiste. 32 33

Marshall, Alfred (1920), Prin iples of E onomi s, London: Ma millan. Robinson, Joan (1933), Your Position Is Thoroughly Orthodox and Entirely Wrong:

Ni holas Kaldor y Joan Robinson, 1933-1983, Journal of the History of E onomi o Thought, vol. 20, N 4 (De ember 1998). 34 Ma hlup, Fritz (1935), The Commonsense of the Elasti ity of Substitution, Review of E onomi Studies 2.

Le

ión 2: La derivada Sea

f (·)

elasti idad de sustitu ión del insumo y σ( x, y ), está denida omo    fy ( x,y ) d xy d ln( xy ) fx ( x,y )   = σyx ( x, y ) =  f ( x,y ) fy (x,y) x d fyx ( x,y ) d ln y fx (x,y)

una fun ión de produ

ión; la

on respe to al insumo

donde

221

fy =

x,

denotada por

∂f ∂f , fx = . ∂y ∂x

Es de ir, la elasti idad de sustitu ión mide la

varia ión por entual promedio en la propor ión de insumos utilizados, ante una varia ión por entual promedio en la tasa marginal de sustitu ión té ni a (dado el nivel de produ to). Lerner (1933)

35 en ontró que la elasti idad de

sustitu ión era enton es una medida de la urvatura"de una urva de nivel, pues ella mide ómo varía la propor ión de insumos ante un ambio en la pendiente de la urva de nivel. Así, si un ambio pequeño en la pendiente de la

urva de nivel genera una gran varia ión en la rela ión de insumos, la urva de nivel es relativamente plana, lo ual signi a que la elasti idad de sustitu ión es grande. Podemos entender esto en la gura 38.

y f (x, y) = f

www.fullengineeringbook.net • A′ (x′ , y ′ ) •

A(x, y)

x

Figura 38: Elasti idad de sustitu ión

A al punto A′ en la urva de nivel f (x, y) = f . En el punto A, la tasa marginal de sustitu ión es fx /fy , que es la pendiente de la re ta tangente en el punto A, mientras que la propor ión de insumos y/x es la pendiente de la re ta que one ta A on el origen. Cuando ′ nos movemos de A a A , la tasa marginal de sustitu ión es fx ′/fy ′ y la nueva ′ ′ propor ión de insumos es y /x . Por lo tanto, la elasti idad de sustitu ión ′ ′

ompara el movimiento de la propor ión y/x a la propor ión y /x on respe to al movimiento de fx /fy a fx ′/fy ′.

Supongamos que nos movemos del punto

Es inmediatamente laro que mientras más urvada sea la urva de nivel, menor será el ambio resultante en la propor ión de insumos y así la 35

elasti idad

Lerner, Abba (1933), The Diagrammati al Representation of Elasti ity of Demand,

Review of E onomi Studies.


222

de sustitu ión σ será menor para urvas de nivel muy urvadas.

Podría ser

también laro ahora que para ualquier fun ión de produ

ión, uando

σ→∞

nos aproximamos a en ontrar perfe ta sustitu ión entre fa tores; y que uando

σ→0

nos aproximamos a la no ión de no-sustitu ión entre ellos.

No sobra anotar que, aunque la no ión de elasti idad de sustitu ión fue originalmente desarrollada para la teoría de la produ

ión, también otras teorías,

omo la del onsumo, han re urrido a este y a otros on eptos marginalistas. Pero a pesar de todo lo anterior, oin idimos on Paul Samuelson (1947) quien señala que la importan ia de las elasti idades en e onomía es pequeña y que tan sólo sirven omo ejer i ios mentales para estudiantes de pregrado. Sin

embargo, este tema también es aún debatido.36

3) Marginalidad en la fun ión de onsumo, ingreso y demanda Otras aproxima iones más simples al on epto de marginalidad las en ontramos en los siguientes ejemplos: i) La fun ión lineal de onsumo de una e onomía se a ostumbra a des ribir

omo

C( y ) = α + βy ,

donde

α ∈ R, 0 < β < 1

y

y

es el ingreso total

de la e onomía. Observemos que

www.fullengineeringbook.net d C( y ) =β dy

Luego

β ∈ ( 0, 1 )

representa la varia ión en el onsumo ante una va-

ria ión en el ingreso, y se a ostumbra llamar la

onsumo (Keynes (1936))37 .

propensión marginal al

ii) La fun ión lineal de demanda de un onsumidor se a ostumbra a des ribir

omo

x( p, m ) = α + β p + c m, donde α > 0, β < 0, c > 0, p es el m es el ingreso del onsumidor. Por tanto,

pre io por unidad del bien, y

∂x( p, m ) =β, ∂p es de ir,

β

∂x( p, m ) = c; ∂m

es la varia ión en la antidad demandada del bien

varia ión marginal en su pre io y

x

ante una

c es el ambio en la antidad demandada

debido a un ambio marginal en el ingreso. 36

Ver Samuelson, Paul (1947), Foundations of E onomi Analysis, Cambridge, Mass.:

Harvard University Press. 37 Keynes, John (1936), The General Theory of Employment, Interest and Money, London: Ma millan.

Le

ión 2: La derivada

223

x( p, m ) = α + βp + c m,

iii) Otra fun ión de demanda de un onsumidor es donde

α, β , c > 0.

Luego,

∂x( p, m ) β =− 2 <0 ∂p p Por tanto, a diferen ia de la fun ión lineal de demanda, la varia ión en la antidad demandada debido a un ambio pequeño en el pre io no es

onstante. Sin embargo, la rela ión entre el pre io y la antidad demandada es inversa; es de ir, si

p

ley de la demanda ).

re e y

m

no varía,

x( p, m )

disminuye y

vi eversa (

iv) El ingreso agregado de una e onomía se des ribe en o asiones mediante

Y ( M, P ) = α + β M P , donde M es la antidad de dinero de e onomía, P es el nivel de pre ios de la e onomía, α > 0, β > 0.

la fun ión la

Observemos que

∂Y ( M, P ) =β>0 ∂( M P ) es de ir,

β

(llamado multipli ador monetario), representa la magnitud

en la que varía el ingreso agregado de la e onomía ante un ambio pe-

www.fullengineeringbook.net queño en la antidad de dinero real

M P .

4) Marginalidad en las fun iones de produ

ión Ahora pasamos al estudio de la no ión de marginalidad en el aso de las fun iones de produ

ión. Veamos esto para las fun iones de produ

ión más utilizadas dentro de la teoría e onómi a.

i).

Marginalidad en las fun iones Cobb-Douglas

La fun ión Cobb-Douglas

f ( K, L ) = K α Lβ ,

donde

forma no muy lara) las unidades de apital, y

L

K

mide (de alguna

mide las unidades

de trabajo, fue introdu ida en 1928 por Charles Cobb y Paul Douglas en su artí ulo

A Theory of Produ tion (Ameri an E onomi Review ).

Allí (aunque anti ipados por Knut Wi ksell (1901)) fun ión de produ

ión, on

α=

1 4 y

β=

38 armaban que esta

3 4 , se ajustaba bien a los datos de

la industria de manufa tura de los Estados Unidos si no se onsideraba el progreso te nológi o.

38

Wi ksell, Knut (1901),

Le tures on Politi al E onomy,

London: Routledge and Kegan Paul.

Two Volumes (1901, 1906),


224

Cara terísti as bási as Algunas de las ara terísti as marginales de las fun iones Cobb-Douglas

f ( x, y ) = xα y β , x ≥ 0, y ≥ 0, α, β > 0 omo fun iones de produ

ión son las siguientes:

•

i) ii) iii)

•

Ya sabemos que:

f (·, ·)

tiene rendimientos de re ientes a es ala si

f (·, ·)

tiene rendimientos re ientes a es ala si

f (·, ·)

tiene rendimientos onstantes a es ala si

Sus fun iones marginales de produ

ión,

∂f f ( x, y ) = α xα−1 y β = α , ∂x x

∂f ∂x

α+β <1

α+β =1

α+β >1 y

∂f , ∂y

son

∂f f ( x, y ) = β xα y β−1 = β ∂y y

(1)

Observemos que (1) impli a la e ua ión de Euler:

x

∂f ∂f +y = ( α + β )f ( x, y ) ∂x ∂y

www.fullengineeringbook.net Y también impli a produ tividades marginales de re ientes si y

β<1

pues

α<1

∂2f = α(α − 1)f ( x, y )/x2 < 0 ∂x2 ∂2f = β(β − 1)f ( x, y )/y 2 < 0 ∂y 2

Sin embargo, obsérvese que podríamos tener produ tividad marginal de re iente y, aun así, tener rendimientos re ientes a es ala: por ejemplo, basta tomar

α = 0.8, β = 0.6.

Debe entenderse bien,

enton es, que no existe ninguna rela ión de ausalidad entre la produ tividad marginal y los rendimientos a es ala.

•

Si

f (· , ·)

es homogénea de grado 1

(β = 1 − α)

y, por tanto, tie-

ne rendimientos onstantes a es ala, enton es la rela ión fun ional

f ( x, y ) = xα y 1−α

puede ahora es ribirse omo

f ( x, y ) y 1−α = ; x x

α

f ( x, y ) = y

x y

x y

α

(2)

Por tanto, de (1) y (2) se tiene que

y 1−α ∂f =α ; ∂x x

∂f =β ∂y

(3)

Le

ión 2: La derivada

•

225

De (2) y (3) tenemos que

∂f ∂x =α f ( x, y ) x es de ir,

α

∂f ∂y =β f ( x, y ) y

y

(4)

es el ambio por entual (promedio) de la fun ión Cobb-

Douglas on respe to a

x,

y

de la fun ión on respe to a

β es el ambio por entual (promedio) y . Estas son sus respe tivas elasti ida-

des.

•

De (1) se tiene que

∂f ( x, y ) βx ∂y = ∂f ( x, y ) αy ∂x

y, por tanto,


x y

α β

∂f ( x, y ) x α ∂y = y β ∂f ( x, y ) ∂x

 ∂f ( x, y )   ∂y  + ln   ∂f ( x, y )  ∂x 

www.fullengineeringbook.net ln

= ln

Esto impli a que

x d ln y σy x ( x, y ) =  ∂f ( x, y )  ∂y d  ∂f ( x, y ) ∂x

 =1   

Luego la elasti idad de sustitu ión de la fun ión Cobb-Douglas es

onstante e igual a 1.

En ma roe onomía y teoría del re imiento, los investigadores fre uentemente utilizan una fun ión Cobb-Douglas para des ribir el omportamiento de la produ

ión agregada

apital

(K)

y la mano de obra

(L)

(Y )

de una e onomía en la que el

tienen un aporte por entual igual a

través del tiempo. Sin embargo, no hay una eviden ia empíri a fuerte que apoye esta idea.

226

Matemáti as bási as para e onomistas 2: Cál ulo ii).

Marginalidad en las fun iones CES

La insatisfa

ión on la propiedad de la elasti idad de sustitu ión igual a 1 que presentan las fun iones Cobb-Douglas ondujeron a Arrow, Chenery, Minhas y Solow (1961)39 , a rear una fun ión de produ

ión más exible que tuviera a la Cobb-Douglas omo un aso espe ial. Ese fue el origen de la fun ión de produ

ión CES que después sería generalizada al

aso de n fa tores por Hirofumi Uzawa (1963)40 y por el premio Nobel en e onomía del año 2000 Daniel M Fadden (1963)41 . Supongamos enton es que la fun ión de produ

ión es ahora la fun ión CES 1

f ( x, y ) = A [ α xρ + βy ρ ] ρ , x > 0, y > 0

donde A > 0, α > 0, β > 0, ρ ≤ 1. Las produ tividades marginales de los insumos x y y son, en este aso, 1−ρ ∂f ( x, y ) = Aαxρ−1 [ α xρ + βy ρ ] ρ ∂x

y 1−ρ ∂f ( x, y ) = Aβy ρ−1 [ α xρ + βy ρ ] ρ ∂y

www.fullengineeringbook.net Por tanto,

∂f ( x, y ) α x ρ−1 ∂x = ∂f β y ( x, y ) ∂y

Luego,  1 ∂f 1 ( x, y )  1 − ρ x α ρ−1  ∂y   =  ∂f  y β ( x, y ) ∂x 

Vemos enton es que en las fun iones CES, la tasa marginal de sustitu ión (en por entajes) es propor ional a la tasa de varia ión de insumos (también en por entajes). De manera que los rendimientos marginales de los

Arrow, K. Chenery, S. Minhas, y R. Solow (1961), Capital Labor Substitution and E onomi E ien y, , vol 63, 225-250. 40 Uzawa, Hirofumi (1963), , Review of E onomi Studies, vol. 30, 105-118. 41 M Fadden, Daniel (1963), Constant Elasti ity of Substitution Produ tion Fun tions, , vol. 30. 39

Review of E onomi Studies

On a Two-Se tor Model of E onomi Growth, II


Le

ión 2: La derivada

227

insumos (en por entajes) son dire tamente propor ionales a las razones (en por entajes) de insumos utilizados. Así,

d

x y

= ∂f ( x, y )  ∂y   d  ∂f  ( x, y ) ∂x 

y, por lo tanto, σy x ( x, y )

=

1 1−ρ

α β

1 1−ρ

 ρ ∂f 1−ρ  ∂y ( x, y )      ∂f ( x, y ) ∂x 

1 1−ρ ; es de ir, la elasti idad de sustitu ión

es onstante; o, de otra forma, la elasti idad de sustitu ión no depende de los niveles de insumos utilizados. ¾Por qué la fun ión Cobb-Douglas es un aso espe ial de la CES? iii).

La fun ión Cobb-Douglas omo fun ión de produ

ión (Wi ksell (1893)): un esquema bási o de la teoría marginalista de la produ

ión y de la distribu ión del ingreso Dentro del debate de la teoría de la distribu ión de ingreso por produ tividad marginal que fuera introdu ido por John Bates Clark (1889, 1891)42 ,

www.fullengineeringbook.net 43 y John Hobson

(1891)44 ,

el e onomista sue o Knut Wi ksell (1893)45

estudia un pro eso produ tivo (Y ) que utiliza úni amente trabajo (T ) y tierra (L) des rito mediante una forma fun ional

Y = f ( T, L ) Si

w

es el salario unitario del trabajador y

r

la renta unitaria pagada al

propietario de la tierra, enton es también, ontablemente, se tiene que

Y = wT +rL f (· , ·) es una fun ión diferen iable on ontinuidad homogénea de grado 1, enton es, por el teorema de Euler,

Ahora, si

Y = 42 43 44 45

∂f ∂f T+ L ∂T ∂L

(1) en

R2++

(2)

Clark, John Bates (1889), Possibility of a S ienti Law of Wages, Publi ations of the , vol. 4(1). Clark, John Bates (1891), Distribution as Determined by a Law of Rent, Quarterly Journal of E onomi s, vol. 5(3), 289-318. Hobson, John (1891), The Law of the Three Rents, Quarterly Journal of E onomi s, vol. 5. Wi ksell, Knut (1893), Value, Capital and Rent, S. Frowein (trad.) en 1954, London: Allen and Unwin. Ameri an E onomi Asso iation

y


228

donde

∂f ≡ ∂L

produ tividad marginal de la tierra y

∂f ≡ ∂T

produ tividad

marginal del trabajo. De las igualdades (1) y (2) se estaría tentado (y esto fue lo que hizo Wi ksell) a de ir que, enton es,

w=

∂f ∂T

y

r=

y así la distribu ión del produ to neto

Y

∂f ∂L

(3)

entre trabajadores y propieta-

rios se lleva a abo por produ tividades marginales y no se deja residuo alguno. Sin embargo, ni aún en el ontexto marginalista es esto ne esa-

riamente ierto. En general, será ne esaria una ondi ión de equilibrio en la produ

ión (el ontexto e onómi o de la le

ión 3).

5) Marginalidad en las fun iones de utilidad También las no iones marginales juegan un papel entral dentro de las dis usiones sobre la ele

ión e onómi a mediante fun iones de utilidad. Mostremos

ómo opera el on epto de marginalidad en algunas fun iones de utilidad espe í as dentro del análisis e onómi o. a)

Marginalidad en las fun iones de utilidad separables

www.fullengineeringbook.net Re ordemos que una fun ión de utilidad es aditivamente separable si es

de la forma:

u( x, y ) = v( x ) + β v( y ) donde x representa el onsumo presente, y y el onsumo β < 1. En estas fun iones la utilidad marginal de ada

futuro y

0<

bien depende

úni amente del onsumo de ese bien:

∂u( x, y ) = v′ ( x ) ; ∂x

∂u( x, y ) = βv ′ ( y ) ∂y

Por tanto, la tasa marginal de sustitu ión entre onsumo presente y onsumo futuro es onstante e igual a

β.

¾Cuál es la elasti idad de sustitu-

ión de esta fun ión de utilidad? ¾Qué signi a este término, originalmente apli ado a fun iones de produ

ión, ahora apli ado a fun iones de utilidad? b)

Marginalidad en las fun iones de utilidad separables CARA 46 es de la forma

La fun ión de utilidad separable CARA

u( x, y ) = 46

−1 −αx −1 −αy e −β e , α α

α > 0, 0 < β < 1

Esta expresión proviene del inglés onstant absolute risk aversion (aversión al riesgo absoluto onstante).

Le

ión 2: La derivada

229

Las utilidades marginales de

x

y

y

son

∂u( x, y ) = e−αx ∂x

y

∂u( x, y ) = βe−αy ∂y

Y así la tasa marginal de sustitu ión entre onsumo presente y onsumo futuro es

Las derivadas de las

∂u ( x, y ) ∂y = βe−α(y−x) ∂u ( x, y ) ∂x utilidades marginales de x y y

∂ 2 u( x, y ) = −α e−αx ; ∂x2 ;

son

∂ 2 u( x, y ) = −αβe−αy ∂y 2

∂ 2 u( x, y ) ∂ 2 u( x, y ) = =0 ∂x∂y ∂y∂x

¾Cuál es la elasti idad de sustitu ión apli ada a esta fun ión de utilidad?

)

Marginalidad en las fun iones de utilidad separables CRRA La fun ión de utilidad separable CRRA47 es para

0 < β < 1, de la forma

www.fullengineeringbook.net Para

 1−γ y 1−γ  x +β 1−γ 1−γ u( x, y ) =  ln x + β ln y

γ 6=1,

las utilidades marginales de

∂u( x, y ) = x−γ ∂x

y

x

y

si

γ 6= 1 , γ > 0

si

γ=1

y

son

∂u( x, y ) = βy −γ ; ∂y

Y, por lo tanto, la tasa marginal de sustitu ión entre onsumo presente y onsumo futuro es

Las derivadas de las

∂u ( x, y ) y −γ ∂y =β ∂u x ( x, y ) ∂x utilidades marginales de x

∂ 2 u( x, y ) = −γ x−γ−1 ; ∂x2

y

y

son

∂ 2 u( x, y ) = −βγy −γ−1 ; ∂y 2

∂ 2 u( x, y ) ∂ 2 u( x, y ) = =0 ∂x∂y ∂y∂x 47

Esta expresión proviene del inglés onstant relativo onstante).

relative risk aversion

(aversión al riesgo

230


¾Cuáles son las mismas fun iones marginales si γ =1 ? ¾Cuál es la elasti idad de sustitu ión apli ada a esta fun ión de utilidad? Un análisis omparativo de esta elasti idad de sustitu ión, sería un ejer i io fundamental para el le tor en este punto.

6) Marginalidad en las fun iones de ostos En iertos análisis, una típi a fun ión de ostos de una rma es: C( w, y ) = wy α

donde w es una onstante que impli a los pre ios de insumos y de ostos jos, y y es el nivel de produ

ión. Aquí, el osto marginal aso iado ( on respe to al nivel de produ

ión) a esta fun ión de ostos es ∂C( w, y ) = αwy α−1 ∂y

La derivada del osto marginal on respe to al nivel de produ to es ∂ 2 C( w, y ) = α( α − 1 )wy α−2 ∂y 2


Observemos que si α > 1 (rendimientos de re ientes a es ala), el osto marginal es re iente en el nivel de produ to; si α < 1 (rendimientos re ientes a es ala), el osto marginal es de re iente en y ; y si α = 1 (rendimientos onstantes a es ala), el osto marginal es onstante. Las fun iones de ostos de produ

ión y su análisis fueron desarrollados por Paul Samuelson en el lási o Foundations of E onomi Analysis de 1947.

7) Marginalidad en las fun iones de bene ios La fun ión de bene io asigna el máximo nivel de bene io (π ) de la empresa, para ada nivel de pre io del produ to (p) y de los insumos (w). Para iertos análisis de la teoría e onómi a, una típi a fun ión de bene ios de una rma es la siguiente: 1

α

π( p, w ) = A p 1−α w α−1

donde A y α son onstantes. Observemos enton es que

y

α α ∂π( p, w ) A = p 1−α w α−1 > 0 ∂p 1−α 1 1 ∂π( p, w ) Aα 1−α = p w α−1 < 0 ∂w α−1

Le

ión 2: La derivada

231

Por tanto, el bene io de la rma aumenta si el pre io del produ to aumenta (dado lo demás onstante) y el bene io disminuye si el pre io del insumo aumenta (dado lo demás onstante). El primer estudio que se ono e sobre la fun ión de bene io fue el trabajo pionero de Harold Hotelling Edgeworth's Taxation Paradox and the Nature of Supply and Demand Fun tions de 1932, publi ado en el Journal of Politi al E onomy.


232


Ejer i ios omplementarios 1) Obtenga la e ua ión de la re ta tangente a la grá a de y = x2 − x − 1 en el punto ( 1, −1 ). Tra e, lo mejor que pueda, las grá as de la urva y la re ta. 2) Sea la fun ión f (·) denida mediante f( x ) =

a) b)

) d)

(

x3 3x − 2

si x ≤ 1 si x > 1

Tra e, lo mejor que pueda, la grá a de f (·). Determine si f (·) es ontinua en x = 1. ′ ′ Cal ule, si existen, f− ( 1 ) y f+ ( 1 ). Determine si f (·) es diferen iable en x = 1.

3) Determine, de ser posible, los valores de a y b, tales que f (·) sea diferen iable en x = 1 uando f( x ) =

(

3

x2 si ax + b si

0
www.fullengineeringbook.net 4) Cal ule la derivada f ′(x) en ada una de las siguientes fun iones: a) f (x) = cos x3

b) f (x) = ( 1 + cos2 x )6

) f (x) = cos( tan x )

d) f (x) =

e) f (x) = x2 cos x − 2x sen x − 2 cos x 5) Halle y ′ en los siguientes asos:

1 + sen x 1 − sen x q √ f) f (x) = cos x 1

a) y = ln ( sec2 x )

b) y = x e− x

) y = ( cos−1 x )2

d) y = ln( x−1 ) +

e) y = sen

−1

x−1 x+1

f) y = tan

−1

1 x+1

¾Para qué valores de x están bien denidas estas derivadas? 6) Halle

dy si: dx

1 ln x

Le

ión 2: La derivada

233

2x )−3

1 + 8

2 +1 x

1 2

a)

y = ln x ( 5 −

b)

y=

)

y = e3x x2 cos ( 8x )

d)

y=

e)

y = [ln( x + 1 )][( 5 − 2x2 )−6 ] + (1 − x) 2 + e2−x

f)

y=

( 1 + sen x )2 1 − cos x

g)

y=

e−2x x3 sen ( 8x2 )

7) Sea

cos2 x √ ( ex + sen x )

ln x + e−x sen x x( 1 − x3 )7 1

2 1 ln x + ln y ; 3 3

F ( x, y ) =

www.fullengineeringbook.net a) Halle su dominio, dibuje la urva de nivel qué región del plano es b) Halle

dz dt

) Cal ule

para

l´ım

t→∞

dz . dt

a)

dy por diferen ia ión implí ita en dx √ √ x + y = 4 en el punto ( 4, 4 )

b)

2y 3 + 4xy + x2 = 7

)

x + tan( xy ) = 2

x2 − y 2 = 1,

x

en el punto

en el punto

pruebe que para

10) Un uerpo de masa y la abs isa

y diga en

z = F ( x, y ), x = e3t , y = 1 + e−3t .

8) Halle

9) Si

F ( x, y ) = 0,

F ( x, y ) > 0.

m se mueve

los siguientes asos:

( 1, 1 )

( 1, π4 )

y 6= 0,

dy x = dx y

a lo largo del eje

y

d2 y 1 = − 3. 2 dx y

x. La velo idad v =

del uerpo satisfa en la rela ión

m( v 2 − v02 ) = k( x20 − x2 )

dx dt

234


donde v0 es la velo idad ini ial del uerpo, x0 es la posi ión ini ial del

uerpo on respe to a ierto punto de referen ia jo, y k es una onstante. a) Muestre que si v(·) es diferen iable, enton es v

kx dv =− dt m

(1)

b) ¾Qué evento físi o ree el le tor que se está des ribiendo? ¾Podría interpretar explí itamente la fórmula (1)? * 11) Sean x = r cos θ , y = r sen θ y r = tes urvas en oordenadas polares: a) b)

) d)

p

x2 + y 2 .

48

Considere las siguien-

La ardioide : r = a( 1 − cos θ ) La limaçon : [ r − a cos θ ]2 = b2 La espiral de Arquímedes : r = πθ La lemnis ata de Bernoulli : r2 = 2a2 cos 2θ

donde a y b son onstantes positivas. Dibuje, lo mejor que pueda, estas dr

urvas en el plano r versus θ y halle . (Si el le tor en uentra problemas dθ aquí, puede onsultar la le

ión 3 del volumen 0 (Fundamentos)).

www.fullengineeringbook.net 12) Pruebe que la e ua ión de la tangente a la óni a Ax2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0

en el punto (x1 , y1 ) es Ax1 x +

B D E (y1 x + x1 y) + Cy1 y + (x + x1 ) + (y + y1 ) + F = 0 2 2 2

13) ¾Para qué valor (o valores) de la onstante c (si existen) se tiene que la parábola y = x2 + c es tangente a la re ta y = x? Ilustre on una grá a. 14) ¾Para qué valor (o valores) de la onstante m, si existe(n), se tiene que f( x ) =

 sen 2x  mx

si x ≤ 0 si x > 0

es diferen iable en x = 0 ? Ilustre on una grá a. 48

Estas

x, y se ono en omo oordenadas polares (volumen 0: Fundamentos). Observe r y θ.

que ahora las nuevas variables son

235

Le

ión 2: La derivada

15) Cal ule (si existen) los siguientes límites: 2

ex − cos x x→0 x2

a)

b)

l´ım

ex − e−x x→0 sen x l´ım

16) Cal ule el diferen ial dy = f ′ (x)dx en los siguientes asos: ( x2 +1 )

a) f (x) = e

ln

1 x

en x = 1;

b) f (x) = cos x3 en x =

π 2

17) Cal ule la derivada de segundo orden para las fun iones del ejer i io 5. 18) Supongamos que una fun ión f (·) satisfa e las siguientes tres ondi iones: a) Dominio: R. b) f ( a + b ) = f ( a )f ( b ) para todo a, b ∈ R.

) f ( 0 ) = 1 y f ′ ( 0 ) existe. Demuestre que f ′( x ) existe para todo x, y que f ′( x ) = f ′( 0 )f ( x ) para todo x ∈ R. [Indi a ión: Es riba f ( x + h ) − f (x) = f (x)(f (h) − 1) = f (x)(f (h) − f (0)) ]


19) Cal ule las primeras derivadas par iales de las siguientes fun iones en el 1 1 punto 2 , 3 : a) f ( x, y ) = ax2 + 2bxy + cy 2 + d; b) f ( x, y ) = x2 + y 2

a, b, c, d, jos

x

) f ( x, y ) = ln , x > 0, y > 0 y x d) f ( x, y ) = 2 , ( x, y ) 6= ( 0, 0 ) 2x + y 2

e) f ( x, y ) =

ex

2 +y 2

2

f) f ( x, y ) = 5x2 + y 2 + 7xy 2 p g) f ( x, y ) = 1 − x2 − y 2 ,

x2 + y 2 < 1

20) Cal ule el ve tor gradiente en el punto ( 1, 1 ) de las fun iones a), b), ), d), e) y f) del ejer i io anterior. Cal ule también los orrespondientes planos tangentes. 21) Compruebe en las mismas fun iones del ejer i io 19 que ∂2f ∂2f = ∂x∂y ∂y∂x

236


22) Cal ule la matriz ja obiana

∂( u, v ) si ∂( x, y )

a) u = x3 − 3xy 2 ; v = x2 y − y 4 23) En uentre

dz si dt

a) z = ex cos y,

x = 2e3t + t2 − t + 2,

b) y = ln( sen( x2 y 2 − 1 ) ), 24) En uentre

b) u = x2 y 2 + 5x; v = ln xy − ex

y = 5e3t + 3t − 1 1 x = t3 − 3t2 , y = t

dz para t = 0 si dt

z = ex cos y,

x3 + ex − t2 − t = 1,

yt2 + y 2 t − t + y = 0

25) Suponga que f ( x ) y g( x ) son dos fun iones denidas en un intervalo abierto alrededor de ierto punto x0 ; que f ( x ) es diferen iable en x0 ; que f ( x0 ) = 0; y que g( x ) es ontinua en x0 . Pruebe que la fun ión produ to f ( x )g( x ) es diferen iable en x0 . 26) Las fun iones seno hiperbóli o, oseno hiperbóli o y tangente hiperbóli a , denotadas senh(·), cosh(·) y tanh(·), respe tivamente, están denidas

omo

www.fullengineeringbook.net senh( x ) =

ex − e−x ; 2

cosh( x ) =

ex + e−x ; 2

tanh( x ) =

ex − e−x ex + e−x

a) Muestre que i) cosh( x + y ) = cosh x cosh y + senh x senh y ii) senh ( x + y ) = senh x cosh y + cosh x senh y iii) ( cosh x )2 − ( senh x )2 = 1 b) Dibuje senh(·), cosh(·) y tanh(·).

) En uentre las orrespondientes derivadas. Las fun iones hiperbóli as, omo vemos, omparten mu has propiedades on las orrespondientes fun iones ir ulares. De he ho, así omo el

ír ulo de radio r puede representarse paramétri amente por x = r cos t, y = r sen t, una hipérbola re tangular (su lado dere ho) puede representarse análogamente por x = r cosh(t), y = r senh(t). Las fun iones hiperbóli as surgen en numerosos problemas físi os; por ejemplo, la fun ión

oseno hiperbóli o apare e en la des rip ión de una uerda libre olgante de sus dos extremos (a esta gura se le llama atenaria ). La fun ión tangente hiperbóli a apare e en la des rip ión de la teoría espe ial de la relatividad, y también en la me áni a estadísti a.

Le

ión 2: La derivada

237

27) Pruebe que el onjunto de las fun iones diferen iables sobre un onjunto abierto, no-va ío

A ⊆ R2 ,

es un espa io ve torial. ¾Cómo interpretaría

usted este he ho?¾Qué dimensión tiene este espa io ve torial? (volumen 1: Álgebra lineal) ** 28) ¾Será que toda fun ión homogénea es diferen iable? * 29) Generali e, hasta donde pueda, los resultados de esta le

ión para fun-

n ≥ 3 −→ Rm .

iones de

f:

Rn

variables y, si es posible, para fun iones de la forma

** 30) La demostra ión del

teorema de la fun ión implí ita

(teorema 9) la hare-

mos en dos partes: primero probaremos el teorema de la fun ión inversa en dos variables y, después, tomando este resultado omo dado, probaremos enton es el teorema de la fun ión implí ita. El propósito de este ejer i io es que el le tor aventajado se familiari e on una de las pruebas fundamentales del análisis matemáti o. a)

Teorema de la fun ión inversa de R2 en R2.

Sea f : A → R2 una fun ión on derivadas par iales ontinuas de primer orden en el onjunto abierto no va ío A de R2 . Si existe α = (a, b) ∈ A tal que Jf (α) 6= 0 donde

www.fullengineeringbook.net D1 f1 (a, b) D2 f1 (a, b) Jf (α) = D1 f2 (a, b) D2 f2 (a, b)

enton es existe un abierto V de f (α) = (f1 (α), f2 (α)) en donde podemos denir f −1 : V → f −1(V ), f −1 (·, ·), además, tiene derivadas par iales ontinuas de primer orden en el abierto V .

Demostra ión

Veamos que f (·, ·) es uno-a-uno en un abierto de α (dis o abierto de entro α = (a, b)). Para ello onsideremos la fun ión F (·, ·, ·, ·) denida por D1 f1 (x, y) D2 f1 (x, y) F (x, y, u, v) = D1 f2 (u, v) D2 f2 (u, v)

Como las derivadas par iales D1 f1 , D2 f1 , D1 f2 , D2 f2 son ontinuas en A, la fun ión F (·, ·, ·, ·) resulta ontinua en un abierto de (α, α) = (a, b, a, b) (por ser una suma nita de produ tos nitos de fun iones ontinuas). Y puesto que F (a, b, a, b) = Jf (a, b) 6= 0, enton es F (x, y, u, v) 6= 0 en una ierta ve indad de (α, α). Ahora: si f (x1 , y1 ) = f (x2 , y2 ) enton es f1 (x1 , y1 ) = f1 (x1 , y1 ) y f2 (x1 , y1 ) =

238


f2 (x2 , y2 ), y apli ando el teorema del valor medio a las fun iones reales f1 (·, ·) y f2 (·, ·), obtenemos lo siguiente: 0 = f1 (x1 , y1 ) − f1 (x2 , y2 ) = ∇f1 (c1 , c2 ) · (x1 − x2 , y1 − y2 )

0 = f2 (x1 , y1 ) − f2 (x2 , y2 ) = ∇f2 (d1 , d2 ) · (x1 − x2 , y1 − y2 )

donde (c1 , c2 ) y (d1 , d2 ) son puntos que están en el segmento que une (x1 , y1 ) on (x2 , y2 ). Luego para c = (c1 , c2 ), d = (d1 , d2 ), se tiene que 0 = D1 f1 (c)(x1 − x2 ) + D2 f1 (c)(y1 − y2 )

0 = D1 f2 (d)(x1 − x2 ) + D2 f2 (d)(y1 − y2 )

Este es un sistema lineal de dos e ua iones on las dos in ógnitas, x1 −x2 y y1 − y2 . Y puesto que el determinante del sistema es D1 f1 (a, b) D2 f1 (a, b) D1 f2 (a, b) D2 f2 (a, b) = F (c, d) = F (c1 , c2 , d1 , d2 ) 6= 0

la úni a solu ión es la trivial x1 − x2 = 0 y y1 − y2 = 0; esto es (x1 , y1 )=(x2 , y2 ). Así que f (·, ·) es uno - a - uno en un ierto onjunto abierto alrededor de α = (a, b). Ahora llamemos B el dis o abierto de

entro α = (a, b) donde se tiene simultáneamente que 0 6= Jf (x, y) = F (x, y, x, y) y f (·, ·) es uno a uno. Digamos que B tiene radio r y denotemos por C la frontera de B , o sea que C es ir unferen ia de entro (a, b) y radio r . También denotemos por C ′ la imagen de C por la fun ión f (·, ·), es de ir, C ′ = f (C). Si R es la distan ia de C ′ al punto f (a, b), enton es R 6= 0, ya que f (·, ·) es uno a uno en B .


Consideremos el dis o de radio R2 y entro f (α). Veamos que este dis o está ontenido en f (A); más pre isamente, ontenido en f (B). Sea pues (u, v) tal que ||(u, v) − f (a, b)|| < R2 , y onsideremos la fun ión G(·, ·) denida por: G(x, y) = (f1 (x, y) − u)2 + (f2 (x, y) − v)2

Si (x, y) ∈ C , enton es f (x, y) ∈ C ′ y así G(x, y) = ||f (x, y) − (u, v)||2 > R 2 . Ahora: es laro que G(a, b) = ||f (α)−(u, v)||2 < ( R2 )2 . Como G(·, ·) 2 es ontinua en B , G(·, ·) no puede tener el mínimo absoluto sobre C por las dos desigualdades últimas; así que G(·, ·) debe tener el mínimo en algún punto (x0 , y0 ) en el interior de B y enton es allí D1 G(x0 , y0 ) = 0 y D2 G(x0 , y0 ) = 0. O sea:

Le

ión 2: La derivada

239

(f1 (x1 , y0 ) − u)D1 f1 (x0 , y0 ) + (f2 (x0 , y0 ) − v)D1 f2 (x0 , y0 ) = 0

(f1 (x0 , y0 ) − u)D2 f1 (x0 , y0 ) + (f2 (x0 , y0 ) − v)D2 f2 (x0 , y0 ) = 0

Este es, de nuevo, un sistema de e ua iones lineales on in ógnitas

f1 (x0 , y0 ) − u, y, f2 (x0 , y0 ) − v . Como el determinante del sistema es Jf (x0 , y0 ) ya que

D1 f1 (x0 , y0 ) D2 f1 (x0 , y0 ) D1 f1 (x0 , y0 ) D1 f2 (x0 , y0 ) det = det D1 f2 (x0 , y0 ) D2 f2 (x0 , y0 ) D2 f1 (x0 , y0 ) D2 f2 (x0 , y0 ) y puesto que Jf (x0 , y0 ) 6= 0, la solu ión es la trivial: f1 (x0 , y0 ) − u = 0 y f2 (x0 , y0 ) − v = 0. Esto es, (u, v) = f (x0 , y0 ); luego para ada (u, v) ∈ D(f (a, b); R2 ) (dis o abierto de entro f (a, b) y radio R2 ) existe (x0 , y0 ) en el interior de B = D(a; r) tal que (u, v) = f (x0 , y0 ). Esto es, D(f (a, b); R 2 ) ⊆ f [B].


f −1 (·, ·) tiene derivadas par iales ontinuas −1 = g = (g , g ). Sea de primer orden en el D(f (α); R 1 2 2 ), y digamos que f R t ∈ D(f (α), 2 ), t = (w, s); y digamos que t = f (u, v) para algún (u, v) ∈ B ; llamemos (x, y) = f −1 (z, s) donde (z, s) ∈ D(f (α); R2 ); enton es x = g1 (z, s), y = g2 (z, s); además f (x, y) = (z, s) y enton es z = f1 (x, y), s = f2 (x, y). Apli ando el teorema del valor medio a f1 (·, ·) y a f2 (·, ·) en el segmento que une a (u, v) on (x, y), se obtiene que: Finalmente, mostremos que

z − w =f1 (x, y) − f1 (u, v) = D1 f1 (c)(x − u) + D2 f1 (c)(y − v)

0 = s − s =f2 (x, y) − f2 (u, v) = D1 f2 (d)(x − u) + D2 f2 (c)(y − v) para algunos

c y d entre (u, v) y (x, y). Resolviendo el sistema anterior

se obtiene:

z − w D2 f1 (c) det 0 D2 f2 (d) , x−u= D1 f1 (c) D2 f1 (c) det D1 f2 (d) D2 f2 (d)

D1 f1 (c) z − w det D1 f2 (c) 0 y−v = D1 f1 (c) D2 f1 (c) det D1 f2 (d) D2 f2 (d)


240

Luego, l´ım

z→w

x−u D2 f2 (d)(z − w) = l´ım z→w z−w (z − w)(D1 f1 (c)D2 f2 (d) − D1 f2 (d)D2 f1 (c)) D2 f2 (u, v) = Jf (u, v)

ya que si z → w enton es (x, y) → (u, v) y así c → (u, v) y d → (u, v). Por tanto, l´ım

z→w

g1 (z, s) − g1 (w, s) D2 f2 (u, v) = z−w Jf (u, v)

pues, x = g1 (z, s), (w, s) = t = f (u, v), de donde g(w, s) = (u, v), y así u = g1 (w, s). y−u D1 f2 (u, v) =− , y así z→w z − w Jf (u, v)

Análogamente, l´ım

g2 (z, 1) − g2 (w, 1) D1 f2 (u, v) =− z→w z−w Jf (u, v)

www.fullengineeringbook.net l´ım

Por lo tanto, D1 g1 y D1 g2 existen y son ontinuas en D(f (α); R2 ). De manera similar se demuestra que D2 g1 y D2 g2 existen y son ontinuas en D(f (α); R2 ), on lo ual on luimos que f (·, ·) tiene derivadas par iales de primer orden y son ontinuas en un abierto de f (α). b) Teorema de la fun ión implí ita.

Sea F : A → R una fun ión on derivadas par iales de primer orden

ontinuas en A, on A abierto no va ío en R2 . Sea (a, b) ∈ A tal que F (a, b) = k. Si D2 F (a, b) 6= 0, existe h(·) fun ión real on derivada

ontinua en un abierto de a tal que F (x, h(x)) = k para todo x en ese abierto. Si D1 F (a, b) 6= 0, existe h(·) fun ión real on derivada ontinua en un abierto de b tal que F (h(y), y) = k para todo y en ese abierto. Además, en el primer aso es h′ (x) = −D1 F (x, y)/D2 F (x, y), y en el segundo aso se tiene que h′ (y) = −D2 F (x, y)/D1 F (x, y). Demostra ión.

Como D2 F (a, b) 6= 0 onsideremos el sistema de e ua iones u = x y v = F (x, y). Llamemos f (·, ·) la fun ión denida por f (x, y) = (x, F (x, y)). Enton es

Le

ión 2: La derivada

241

1 0 = D2 F (a, b) 6= 0 Jf (a, b) = D1 F (a, b) D2 F (a, b) f (·, ·)

Por el teorema de la fun ión inversa,

tiene inversa on deriva-

das par iales de primer orden ontinuas en un abierto de

(a, F (a, b)) = (a, k). Luego el sistema tiene g2 (u, v) donde (g1 , g2 ) = f −1 . Tomando

la solu ión

f (a, b) =

x = g1 (u, v) = u,

v = k, el sistema u = x, k = F (x, y) tiene a:

y

y =

la siguiente solu ión

en un abierto de

x = g1 (u, k) = u,

a. Además, g2 tieh(x) = g2 (x, k); enton es F (x, h(x)) = k para x en el abierto alrededor de a. Derivan′ do respe to a x se obtiene D1 F (x, h(x)) + D2 F (x, h(x))h (x) = 0, o ′ sea que h (x) = −D1 F (x, h(x))/D2 F (x, h(x)) para x en aquel abierto alrededor de a donde está la solu ión al sistema, y además donde D2 F (x, h(x)) 6= 0. Lo último se obtiene por ontinuidad de D2 F (·, ·) y del he ho que D2 F (a, b) 6= 0. O sea que

y = g2 (x, k)

para

x

y = g2 (u, k)

en un abierto de

ne derivada ontinua en ese abierto. Llamemos

www.fullengineeringbook.net 31) Suponga que en ierta e onomía,

M( t )

taria y el nivel de pre ios en el tiempo masa monetaria real de la e onomía es

y p( t ) denotan la masa monet, respe tivamente. Enton es la M( t ) . p( t )

a) ¾Cuál es la derivada de la masa monetaria real on respe to al tiempo? b) Para mantener

M( t ) p( t )

inta ta sobre el tiempo es ne esario ha er la

derivada del numeral a) igual a ero. Haga esto y muestre la e ua ión resultante.

) De ida si la siguiente arma ión es falsa, verdadera o in ierta y explique brevemente por qué: Para mantener onstante la antidad real de dinero en una e onomía, debemos igualar los por entajes de

re imiento de la masa monetaria nominal y de los pre ios .

32) Un bus puede transportar 60 personas. El número

x

de personas por

viaje se rela iona on el pre io del pasaje (P pesos) mediante la regla

P = (3 −

x 2 ) . 40


242

a) Es riba una expresión para el ingreso total

r( x )

por viaje re ibido

por la ompañía de buses. b) ¾Cuántas personas por viaje harán que el ingreso marginal igual a ero?

dr dx

sea

) ¾Cuál es el pre io del pasaje orrespondiente? d) ¾Debería la ompañía replantear su políti a de pre ios? ¾Por qué? 33)

F ( K, L ) = K α Lβ es una fun ión de produ

ión Cobb-Douglas estándar, donde K es el apital (unidades de apital agregado) y L es el trabajo (horas-hombre) y α, β > 0,

a) Pruebe dire tamente que si

enton es, efe tivamente, se tiene la e ua ión de Euler:

K b) Si

∂F ∂K

F (K, L) = K α Lβ i)

+L

∂F ∂L

= ( α + β ) F ( K, L )

dibuje los siguientes onjuntos:

{ ( K, L ) / F ( K, L ) = 2 }

ii)

{ K / F ( K, 2 ) = 1 }

34) ¾Será ierta o falsa la siguiente arma ión?: Si

f ( x, y )

www.fullengineeringbook.net es una fun-

ión de produ

ión on produ tividades marginales de re ientes, enton es

ln f ( x, y )

también es una fun ión on produ tividades marginales de re-

ientes. Explique.

35) ¾Qué signi ado podría tener el teorema del valor intermedio uando se apli a al omportamiento de una variable e onómi a? Espe ique, si es posible, las variables e onómi as on que se ilustra el teorema.

Le

ión 3

Elementos bási os de la teoría de la optimiza ión

Introdu

ión La segunda mitad del siglo XVII y la primera mitad del siglo XVIII fueron


de grandes y duraderos ambios en las matemáti as. A las divisiones meto-

dológi as y on eptuales ya existentes entre aritméti a, geometría elemental y rudimentos de álgebra y trigonometría, se adhirieron los métodos de la geo-

metría analíti a de Des artes, el ál ulo diferen ial e integral de Newton y Leibniz, y la teoría de las e ua iones diferen iales de Euler. Era ya posible resolver problemas uyas solu iones, hasta ese momento, eran ina

esibles. Por ejemplo, ahora era posible onstruir tangentes a una urva ualquiera en un punto arbitrario on la ayuda de la derivada: hasta ese enton es sólo era posible dibujar tangentes a ír ulos y a una que otra urva parti ular, y ni se sospe haba de la existen ia de una solu ión general. Y otro problema de la mayor importan ia en la prá ti a era el de al ular los valores máximos y mínimos de una magnitud dada; es de ir, al ular los valores en los que la tangente a la urva que des ribe la magnitud es paralela al eje de las abs isas. Por ejemplo, si tenemos una barra ilíndri a de radio dado y queremos onvertirla ( ortando) en la barra re tangular de máxima resisten ia, un po o de

ál ulo diferen ial mostró que el re tángulo de la base de la barra debe tener una rela ión entre sus lados de

√

2

a 1. De manera similar, se puede mostrar

que si queremos iluminar de manera óptima el borde de un ír ulo mediante una luz en su entro, enton es basta on levantar esa luz a una altura de √1

2

ve es el radio del ír ulo. Ejemplos omo estos abundan en las ien ias físi as y naturales, y este es, par ialmente, el tema de la presente le

ión. 243

244 1.

Matemáti as bási as para e onomistas 2: Cál ulo Valores

extremos

de

una

fun ión

de

una

sola

variable

Como vimos en el teorema 26 de la le

ión 1 (teorema de valores extremos (Weierstrass) ) toda fun ión ontinua en un intervalo errado tiene máximo y mínimo absolutos; esto es, existen xM , xm ∈ [ a, b ] tales que f ( xM ) ≥ f ( x ) ≥ f ( xm ) para todo x ∈ [ a, b ]. La on lusión de este teorema no ne esariamente se umple si el intervalo no es errado o si la fun ión no es ontinua en él, omo ya se había dis utido. En lo que sigue daremos ondi iones de derivada que debe satisfa er todo punto extremo de una fun ión.

Deni ión 1. (Máximo relativo y absoluto) Se di e que f : Df → R tiene un máximo relativo (o lo al ) en un punto x0 , si existe δ > 0 tal que f ( x0 ) ≥ f ( x ) para todo x ∈ ( x0 − δ, x0 + δ ) ∩ Df ; y se di e que f (·) tiene un máximo absoluto en el punto x0 si f ( x0 ) ≥ f ( x ) para todo x ∈ Df .

Deni ión 2. (Mínimo relativo y absoluto)

Se di e que f : Df → R al anza un mínimo relativo (o lo al ) en un punto x0 , si existe δ > 0 tal que f ( x0 ) ≤ f ( x ) para todo x ∈ ( x0 − δ, x0 + δ ) ∩ Df ; y se di e que f (·) al anza un mínimo absoluto en el punto x0 si f ( x0 ) ≤ f ( x ) para todo x ∈ Df .


Deni ión 3. (Punto extremo)

Se llama punto extremo de una fun ión a un punto en el que la fun ión al anza un máximo (relativo o absoluto) o un mínimo (relativo o absoluto). y

C G

E K A

I

D

B

H

a

c

d

e

k

g

h

i

b

x

Figura 1

Nota 1. En rela ión on la gura 1, puede verse que C, E, G, I son máximos relativos al anzados en los puntos c, e, g, i, respe tivamente, y A, D, K, H, B son

Le

ión 3: Elementos bási os de la teoría de la optimiza ión

245

mínimos relativos al anzados en a, d, k, h, b, respe tivamente. El máximo absoluto es C (al anzado en c) y, el mínimo absoluto es H (al anzado en h).

Teorema 1. (Teorema

fundamental de la optimiza ión (Fermat (1679)))

Sea f (·) una fun ión denida en [ a, b ] y sea x0 ∈ ( a, b ). Si f ( x0 ) es un extremo de f (·), enton es f ′ (·) no existe en x0 ó, si existe, f ′ ( x0 ) = 0.

Demostra ión. Pueden presentarse dos asos: a) f ′(·) no existe en x0 . Enton es no hay nada qué demostrar y el teorema se umple. b) Supongamos que f ′ ( x0 ) existe y f ( x0 ) es un máximo relativo de f (·). Según la deni ión 1, existe un intervalo abierto ( x0 − δ, x0 + δ ) ⊆ ( a, b ) tal que para todo x en este intervalo f ( x0 ) ≥ f ( x ) lo que equivale a f ( x ) − f ( x0 ) ≤ 0. Si x está en ( x0 − δ, x0 ), enton es x − x0 < 0 y así para todo x ∈ ( x0 − δ, x0 ) f ( x ) − f ( x0 ) ≥0 x − x0

www.fullengineeringbook.net y, por onsiguiente,

f−′ ( x0 ) = l´ım

x→x− 0

f ( x ) − f ( x0 ) ≥0 x − x0

De manera análoga, si x ∈ ( x0 , x0 + δ ) se tiene x − x0 > 0 y, por tanto, f ( x ) − f ( x0 ) ≤0 x − x0

y enton es

f+′ ( x0 ) = l´ım

x→x+ 0

f ( x ) − f ( x0 ) ≤0 x − x0

Pero omo f ′( x0 ) existe, la úni a posibilidad es que f ′( x0 ) = 0 ya que 0 ≤ f−′ ( x0 ) = f ′ ( x0 ) = f+′ ( x0 ) ≤ 0.

Deni ión 4. (Punto ríti o) Un punto x0 del dominio de una fun ión f (·) para el ual f ′ (·) no existe o f ′ ( x0 ) = 0, se llama punto ríti o de f (·).

246


Nota 2. (Es falso que un punto ríti o sea extremo)

El re ípro o del teorema 1, en general, no es ierto. Esto es, si x0 es un punto

ríti o de f (·), no ne esariamente f ( x0 ) es un extremo de f (·). Consideremos, por ejemplo, la fun ión f (·) denida por f ( x ) = ( x − 1 )3 ; allí f ′( x ) = 3( x − 1 )2 , que se anula en x = 1. Es fá il ver que f ( 1 ) no es máximo ni mínimo de f (·), pues f ( x ) > f ( 1 ) para x > 1 y f ( x ) < f ( 1 ) para x < 1 (gura 2). Teorema 2. (Fermat (1679))

Supongamos que en x0 la fun ión f (·) denida en el intervalo errado [a, b] tiene un máximo absoluto (o mínimo absoluto). Enton es x0 es, o bien un punto ríti o de f (·), o uno de los puntos a ó b (extremos del intervalo). Demostra ión.

Si x0 es a ó b, no hay nada que probar. Si x0 no es a ni b, enton es f ( x0 ) es un extremo relativo de f (·) en ( a, b ). En este aso, el teorema 1 impli a que f ′ ( x0 ) = 0 ó f ′ (·) no existe en x0 . y

y = (x − 1)3


1

x

Figura 2

Como onse uen ia del teorema 2 y el teorema de valores extremos (teorema 26 de la le

ión 1), podemos en ontrar los valores máximo absoluto y mínimo absoluto de la fun ión ontinua f (·) denida en [ a, b ] de la siguiente manera: a) Lo ali emos los puntos ríti os de f (·) en [ a, b ]; b) En ontremos el valor de f (·) en ada uno de los puntos ríti os y en los extremos del intervalo.

) El mayor de estos valores es el máximo y, el menor, el mínimo. Ejemplo 1.

En ontremos el máximo y mínimo absolutos de f ( x ) = 2x3 − 3x2 − 12x + 15 en el intervalo errado [ 0, 3 ].

247

Le

ión 3: Elementos bási os de la teoría de la optimiza ión Solu ión.

Como f (·) es polinómi a, es ontinua en R y, por tanto, lo es en [ 0, 3 ]. En

onse uen ia, satisfa e las hipótesis del teorema de valores extremos y así, f (·) posee un valor máximo absoluto y un valor mínimo absoluto en [ 0, 3 ]. Los puntos ríti os se al ulan de la siguiente manera: f ′ ( x ) = 6x2 − 6x − 12 = 0

x2 − x − 2 = 0

∴

∴

( x − 2 )( x + 1 ) = 0

y así, x = 2 ó x = −1. Pero sólo x = 2 pertene e al intervalo, luego x = −1 se des arta. In luyendo los dos puntos extremos del intervalo, la lista de posibilidades para máximos y mínimos es x = 0, 2, 3. Evaluando la fun ión en ada uno de estos puntos tenemos f ( 0 ) = 15, f ( 2 ) = −5 y f ( 3 ) = 6. Por tanto, f ( 0 ) = 15 es el máximo absoluto de f (·) en [ 0, 3 ] y f ( 2 ) = −5 es el mínimo absoluto de f (·) en [ 0, 3 ] (gura 3). y 15

b

www.fullengineeringbook.net y = 2x3 − 3x2 − 12x + 15 b

b

3 -5

x

b

Figura 3 Ejemplo 2.

√

Hallemos los extremos absolutos de la fun ión f ( x ) = 2x + 3 3 x2 en [ −2, 1 ].

Solu ión.

Es laro que f (·) es ontinua en [ −2, 1 ] y, por tanto, posee valor máximo y también valor mínimo. Ahora: 1 2 2 f (x) = 2 + 3 x− 3 = 0 si, y sólo si 2 + 1 3 x3 ′

= 0;

luego x = −1 y f ( −1 ) = −2 + 3 = 1. En x = 0, f ′ (·)√no existe pero f ( 0 ) = 0. Ahora los extremos del intervalo: f ( −2 ) = −4 + 3 3 4 ≈ 0.76 y f ( 1 ) = 5.

248


Por tanto, el valor máximo de la fun ión en [ −2, 1 ] es f ( 1 ) = 5 y el valor mínimo es f ( 0 ) = 0 (gura 4). Nota 3.

En adelante (si esto no trae onfusión) nos referiremos al máximo absoluto y mínimo absoluto simplemente omo el máximo y el mínimo, respe tivamente. y b

5

√ 3 y = 2x + 3 x2

b b

b

-2

1

x

Figura 4


Ejer i ios 1

1) En los siguientes ejer i ios halle, si existen, los valores máximos y mínimos (relativos y absolutos) de la fun ión dada en el intervalo respe tivo: − 23 , 52 a) f ( x ) = x3 − 3x + 3; 2 b) f ( x ) = x − 3x + 2 ; [ 0, 3 ]

1 x

) f ( x ) = x + ;

d) f ( x ) =

(

x2 + 1 3−x

[ 0.01, 100 ]

si si

−1 ≤ x≤ 1 ; 1
[ −1, 3 ]

2) En uentre los valores máximos y/o mínimos, si existen, de ada una de las siguientes fun iones dentro de los intervalos indi ados: a) y = −2x2 + 4x + 9; ( −∞, ∞ ) b) y = x2 + 3; [ 0, ∞ )

) y = x3 − 3x + 5; [ 0, ∞ ) 1 x

d) y = x + ;

( −∞, 0 )

Le


249

1

e) y = 3 x 2 ; [ 0, ∞ ) f) y = x sen x; ( −∞, ∞ )

1 ( −∞, ∞ ) 3 x ; ( −∞, ∞ ) h) y = 1 + x2 i) y = e−x − ex ; ( −∞, ∞ )

g) y = − x3 − x2 + x + 10;

2.

El teorema del valor medio

A ontinua ión se estudiará uno de los teoremas más importantes del ál ulo diferen ial: el teorema del valor medio, que es, fundamentalmente, un teorema que rela iona la derivada (que es un límite de promedios) on promedios en sí mismos. Sin embargo, presentaremos primero el teorema de Rolle1 que es un

aso parti ular del teorema del valor medio, y que sirve de base a la prueba del teorema general. De he ho, se puede mostrar que es equivalente al teorema del valor medio. Teorema 3. (Teorema de Rolle (Rolle (1691)) )

Si una fun ión f (·) satisfa e las siguientes ondi iones : a) Es ontinua en el intervalo errado [ a, b ], b) Es derivable en el intervalo abierto ( a, b ) y


) f ( a ) = f ( b )

Enton es existe al menos un número

5a))

x0

en ( a, b ) tal que

f ′ ( x0 ) = 0 (gura

Demostra ión.

Si f ( x ) = f ( a ) para todo x ∈ [ a, b ], enton es f (·) es una fun ión onstante, y así f ′( x ) = 0 para todo x ∈ [ a, b ] y x0 puede ser ualquier valor en ( a, b ). Si f ( x ) > f ( a ) para algún x ∈ ( a, b ), enton es el valor máximo absoluto de la fun ión ontinua f (·) en [ a, b ] no es ni f ( a ) ni f ( b ); es de ir, existe algún número interior x0 en ( a, b ) tal que f ( x0 ) es el valor máximo absoluto de f (·) en [ a, b ]. Puesto que x0 es un punto interior de [ a, b ] y f ′( x0 ) existe (por hipótesis), enton es f ′( x0 ) = 0 (teorema 1). Si f ( x ) < f ( a ) para algún x en ( a, b ), la demostra ión es análoga a la anterior. 1

Mi hel Rolle [ 16521719 ℄, fue un matemáti o fran és un tanto os uro. Contemporáneo de Newton y Leibniz, enseñaba, por ejemplo, que el ál ulo innitesimal era simplemente una ole

ión de fala ias.

250


y

f ′ (c1 ) = 0 b

f ′ no existe en x0 = c b

b

b

f ′ (c2 ) = 0

a

c1

c2

b

x

a

c

a)

b

x

b) Figura 5

Nota 4. (Interpreta ión físi a del teorema de Rolle)

Una interpreta ión físi a del teorema Rolle es la siguiente: Si se lanza un objeto verti almente ha ia arriba desde el suelo y al abo de t segundos ae, en algún instante entre 0 y t la velo idad del objeto es ero: por la a

ión de la fuerza de gravedad, en algún instante el objeto se tiene que detener al al anzar su máxima altura para luego ini iar el des enso.


Ejemplo 3. (Caso en el que no se apli a el teorema de Rolle)

Puede verse en la gura 5b) que en x0 = c no existe la derivada. Luego no se satisfa e una de las hipótesis del teorema de Rolle. En este aso, no se umple la on lusión del teorema. Ejemplo 4.

que se umplen las hipótesis del teorema Dada f ( x ) = 4x3 − 9x, veriquemos 3 de Rolle en el intervalo 0, 2 y en ontremos un valor apropiado de x0 en 0, 32 para el ual f ′ ( x0 ) = 0. Solu ión.

a) f (·) es ontinua en 0, 32 por ser un polinomio. b) Ya que

f ′( x )

=

) f ( 0 ) = 0 y f

=4·

12x2 −9,

3 2

se on luye que f (·) es diferen iable en

3 0, 2

.

27 3 − 9 · = 0. 8 2

Como se satisfa en las hipótesis del teorema de Rolle, debe existir un x0 ∈ √ 3 ≈ 0.866 ∈ 2

( 0, 32 ) tal que f ′ ( x0 ) = 0. En efe to, 12 x20 − 9 = 0 para x0 = 0, 32 .

251

Le

ión 3: Elementos bási os de la teoría de la optimiza ión Ejemplo 5.

Para la fun ión f (·) denida por f( x ) =

(

si si

x2 − 4 5x − 8

−2≤x<1 1 ≤ x ≤ 58

a) Tra emos la grá a en el intervalo indi ado.

b) Veriquemos si se umplen las hipótesis del teorema de Rolle. En aso armativo, determinemos el (los) punto(s) en el(los) ual(es) hay tangente(s) horizontal(es). Solu ión.

a) Anali emos primero si f (·) es ontinua en 1. Como f ( 1 ) = 5 − 8 = −3 y l´ım f ( x ) = l´ım ( x2 − 4 ) = −3

x→1−

x→1−

l´ım f ( x ) = l´ım ( 5x − 8 ) = −3

x→1+

x→1+

podemos on luir enton es que f (·) sí es ontinua en −2, 85 .

y

www.fullengineeringbook.net -2

1

x

8 5

y = 5x − 8 y = x2 − 4 -4

b) Dado que

Figura 6

 2x    f( x ) − f( 1 ) f ′( x ) = l´ım  x→1 x−1   5

si si si

−2≤x<1 x=1 1
8 5

f( x ) − f( 1 ) no existe, enton es f ′(·) no existe en x = 1 (¾Podría x−1 el le tor veri arlo?). En onse uen ia, f (·) no es derivable en −2, 85

y l´ım

x→1

y, por tanto, no se umplen todas las hipótesis del teorema de Rolle.

252


Es onveniente observar, sin embargo, que en este aso, aunque no se umple una de las hipótesis del teorema de Rolle, todavía la grá a de la fun ión tiene una tangente horizontal (f ′ ( x0 ) = 0) en x0 = 0 ∈ −2, 58 . Esto se debe a que el re ípro o de este teorema no es válido; es de ir, no se puede on luir que si una fun ión f (·) es tal que f ′ ( x0 ) = 0 para algún x0 ∈ ( a, b ), enton es todas las hipótesis del teorema de Rolle se deban umplir. N El siguiente es una generaliza ión del teorema de Rolle, aunque, de he ho, omo ya dijimos, es equivalente a él. Teorema 4.

(Teorema del valor medio (Cau hy (1823)))

Sea f (·) una fun ión que umple las siguientes ondi iones : a) f (·) es

ontinua en el intervalo errado

[ a, b ]

b) f (·) es

derivable en el intervalo abierto

( a, b )

Enton es existe al menos un

f ′ ( x0 )( b − a ).

x0

∈

( a, b )

tal que

f( b ) − f( a )

=

y

www.fullengineeringbook.net B

f (b)

f (a)

A a

x0

x0 b x

Figura 7

En la gura 7, la pendiente de la re ta que pasa por los puntos A y B es f ( b )−f ( a ) . Este teorema arma que existe al menos un punto sobre la urva b−a entre A y B donde la re ta tangente es paralela a la re ta se ante que pasa por A y B ; es de ir, existe por lo menos un número x0 ∈ ( a, b ) tal que f ′ ( x0 ) =

f( b ) − f( a ) b−a

253

Le

ión 3: Elementos bási os de la teoría de la optimiza ión Demostra ión.

La e ua ión de la re ta que pasa por A y B en la gura 7 es y = f( a ) +

f( b ) − f( a ) (x − a) b−a

Con el objeto de que podamos apli ar el teorema de Rolle, sea F ( x ) la distan ia verti al entre un punto ( x, f ( x ) ) en la grá a de la fun ión f (·) y el punto

orrespondiente en la re ta se ante AB que tenga la misma abs isa. Enton es

f( b ) − f( a ) F( x ) = f( x ) − f( a ) + (x − a) b−a

La fun ión F (·) satisfa e las siguientes ondi iones: a) Es ontinua en [ a, b ] por ser la diferen ia de fun iones ontinuas en [ a, b ]. b) Es derivable en ( a, b ) por ser la diferen ia de fun iones derivables en ( a, b ).

) F ( a ) = F ( b ) = 0, omo el le tor puede fá ilmente omprobar.


Enton es F (·) umple las hipótesis del teorema de Rolle y, por tanto, existe x0 ∈ ( a, b ) tal que F ′ ( x0 ) = 0. Luego, F ′ ( x0 ) = f ′ ( x0 ) −

o, equivalentemente, f ′ ( x0 ) =

f( b ) − f( a ) =0 b−a

f( b ) − f( a ) b−a

que era lo que se quería demostrar. Nota 6.

Una interpreta ión físi a elemental del teorema del valor medio es la siguiente: Si un automóvil re orrió sin interrup iones 80 km en 2 horas enton es, en algún instante, el velo ímetro mar ó 80 2 km/h = 40 km/h, que es su velo idad promedio en el intervalo [ 0, 2 ]. Ejemplo 6.

Dado f ( x ) = x3 − 5x2 − 3x, veriquemos las hipótesis del teorema del valor medio para [ 1, 3 ], y hallemos los respe tivos puntos que lo satisfa en.

254


Solu ión.

Como f (·) es polinómi a, es derivable en R. Por tanto, se umple el teorema del valor medio en ualquier intervalo [ a, b ]. Como f ( 1 ) = −7 y f ( 3 ) = −27, enton es f ′ ( x0 ) = 3x20 − 10x0 − 3 =

−27 − (−7) = −10 3−1

si, y sólo si ( 3x0 − 7 )( x0 − 1 ) = 0

de donde obtenemos que x0 = x0 = 1? N

7 3.

¾Por qué re hazamos la solu ión

El siguiente teorema y su orolario señalan ómo el teorema del valor medio nos permite des ribir ierto omportamiento global de la derivada de ualquier fun ión:

Comportamiento global de la derivada )

Teorema 5. (

Supongamos que

f (·)

f ′( b )

λ ∈ R.

[ a, b ]

f ′( a ) < λ <

www.fullengineeringbook.net para algún

es una fun ión diferen iable en Enton es existe un

x0 ∈ ( a, b )

y que

tal que

f ′ ( x0 ) = λ.

Demostra ión.

Para probar este teorema, mostremos primero que si g(·) es una fun ión diferen iable en [ a, b ] tal que g′ ( a )g′ ( b ) < 0, enton es existe un x0 ∈ ( a, b ) tal que g′ ( x0 ) = 0. Pero esto es inmediato, pues si g′ ( a ) > 0 y g′ ( b ) < 0 enton es g(·) tiene un máximo en un punto x0 ∈ ( a, b ), y allí g′ ( x0 ) = 0. El

aso g′ ( a ) < 0 y g′ ( b ) > 0 es similar. Ya on este resultado a la mano, demostrar el teorema es inmediato, pues basta apli ar el resultado del párrafo anterior a la fun ión g( x ) = f ( x ) − λ x.

Las dis ontinuidades de la derivada son esen iales )

Corolario 1. ( Si

f (·)

es diferen iable en

.

[ a, b ],

enton es todas las dis ontinuidades de

f ′ (·),

si existen, son esen iales

Demostra ión.

Es apli a ión dire ta del teorema 5. De a uerdo enton es on el orolario 1, nun a la grá a de la derivada de una fun ión derivable podrá apare er omo en la gura 8.

255

Le


y

b

x

Figura 8

En su lugar deberá apare er, por ejemplo, omo uno de los asos de las guras 9 y 10. y

y

x


Figura 9

Figura 10

Ejer i ios 2 del 1) Sea f ( x ) = 4x3 − 9x. Verique que se umplen las hipótesis teorema de Rolle en los siguientes intervalos: − 32 , 0 , 0, 23 y − 32 , 32 . En ada

aso, halle al menos un valor de x0 para el ual f ′( x0 ) = 0. 2

2) Si f ( x ) = x 3 , muestre que no existe un número x0 en el intervalo abierto ( −2, 2 ) tal que f ′ ( x0 ) =

f ( 2 ) − f ( −2 ) 2 − ( −2 )

¾Qué parte de la hipótesis del teorema del valor medio no se umple para f (·) en [ −2, 2 ]?

3) Demuestre que la e ua ión x3 +2x+c = 0, donde c es ualquier onstante, no puede tener más de una raíz real. [Indi a ión: Suponga que existen dos raí es distintas x1 y x2 y utili e el teorema de Rolle℄.

256


4) Suponga que f (·) y g(·) son dos fun iones que umplen las hipótesis del teorema del valor medio en [ a, b ]. Además, suponga que f ′ ( x ) = g′ ( x ) para todo x en ( a, b ). Demuestre que f ( x ) − g( x ) = f ( a ) − g( a ) para todo x en [ a, b ]. 5) La e ua ión 1 + x = ex tiene una raíz en x = 0. Demuestre que esta e ua ión no puede tener ninguna otra raíz real. 6) Si f ( x ) = x3 − 5x2 − 3x, verique que las hipótesis del teorema del valor medio se satisfa en en [ 1, 3 ]. Halle todos los números x0 del intervalo ( 1, 3 ) tales que f ′ ( x0 ) =

f( 3 ) − f( 1 ) 3−1

7) Sea  3 − x2    2 f( x ) =  1   x

si 0 ≤ x ≤ 1 si 1 < x < +∞

Determine si se umplen las hipótesis del teorema del valor medio para f (·) en el intervalo [ 0, 2 ]. Si la on lusión es armativa, halle todos los números x0 ∈ ( 0, 2 ) tales que

www.fullengineeringbook.net f ′ ( x0 ) =

f( 2 ) − f( 0 ) 2−0

8) Corrobore el orolario 1 al teorema 5 (Las dis ontinuidades de la derivada son esen iales ) para las siguientes fun iones: a) f ( x ) = | x |

) f ( x ) =

3.

(

x2 x

b) f ( x ) = ln x si x ≤ 0 si x > 0

Apli a iones del teorema del valor medio

Que el teorema del valor medio es uno de los más potentes del análisis matemáti o lo muestra el onjunto de resultados importantes que de él se desprende. Después del orolario 1 anterior, tenemos uno de los resultados más útiles desde el punto de vista de las apli a iones del Cál ulo a las ien ias físi as y naturales:

Le

ión 3: Elementos bási os de la teoría de la optimiza ión Teorema 6.

257

(Teorema de Taylor (Taylor (1715), Cau hy (1840)))

Sea f : [ a, b ] −→ R una fun ión tal que f ( n+1 ) ( x ) ( on n ≥ 0) existe para

ada x ∈ ( a, b ). Fijemos x0 ∈ ( a, b ) y denamos Pn ( x ) ≡ f ( x0 )+ f ′ ( x0 )( x− x0 )+

f ′′ ( x0 ) f n ( x0 ) ( x− x0 )2 + · · · + ( x− x0 )n 2! n!

Enton es para ada x ∈ ( a, b ) existe c entre x y x0 tal que f ( x ) = Pn ( x ) +

f n+1 ( c ) ( x − x0 )n+1 ( n + 1 )!

Observemos que aquí c depende de x. Demostra ión.

a) Para n = 0, debemos en ontrar un c entre x y x0 tal que f ( x ) = f ( x0 ) + f ′ ( c )( x − x0 )

pero este es pre isamente el teorema del valor medio que ya demostramos. b) Para n = 1, debemos en ontrar un c entre x y x0 tal que f ′′ ( c ) ( x − x0 )2 2!

www.fullengineeringbook.net f ( x ) = f ( x0 ) + f ′ ( x0 )( x − x0 ) +

Supongamos, sin pérdida de generalidad, que x < x0 y denamos la siguiente fun ión: F ( t ) = f ( t ) − f ( x0 ) − f ′ ( x0 )( t − x0 ) − d( t − x0 )2

donde d es tal que F ( x ) = 0. Como F (·) es ontinua en [ x, x0 ], derivable en ( x, x0 ) y F ( x0 ) = F ( x ) = 0, enton es, por el teorema de Rolle, existe c1 entre x y x0 tal que F ′ ( c1 ) = 0. Pero observemos que F ′ ( t ) = f ′ ( t ) − f ′ ( x0 ) − 2d( t − x0 )

Y omo F ′ ( c1 ) = 0, F ′ ( x0 ) = 0, y F ′ (·) es ontinua en [ c1 , x0 ] y derivable en ( c1 , x0 ), enton es, por otra apli a ión del teorema de Rolle, existe c entre c1 y x0 tal que F ′′ ( c ) = 0, es de ir, f ′′ ( c ) − 2d = 0. Así, d=

f ′′ (c) . 2

Finalmente, dado que F ( x ) = 0, enton es f ( x ) = f ( x0 ) + f ′ ( x0 )( x − x0 ) +

que era lo que queríamos probar.

f ′′ ( c ) ( x − x0 )2 2!


258

) La demostra ión para

n>1

se puede realizar por indu

ión matemáti a

(volumen 0: Fundamentos) siguiendo los pasos para ir del aso

aso

n = 1.

n=0

al

Se deja omo ejer i io para el le tor.

Ejemplo 7. (Expansiones de Taylor fundamentales) Consideremos las siguientes fun iones: a)

y = sen x x

)

y=e

e)

y = tan−1 x,

Veamos que

|x| ≤ 1

b)

y = cos x

d)

y = ln( 1 + x ),

f)

y = ( 1 + x )α ,

| x | < 1, α ∈ R

f n+1 ( c ) n+1 x = 0 n→∞ ( n + 1 )!

l´ım Rn+1 ( x ) ≡ l´ım

n→∞

| x | ≤ 1, x 6= −1

para ada una de es-

tas fun iones y, por tanto, las aproxima iones en polinomios de Taylor son su ientemente buenas en los dominios respe tivos.

Solu ión.

sen x

a) Como el valor absoluto de todas las derivadas de

son menores o

iguales que 1, enton es

www.fullengineeringbook.net sen( n+1 ) c | x |n+1 n+1 l´ım | Rn+1 ( x ) | = l´ım x ≤ l´ım n→∞ n→∞ ( n + 1 )! n→∞ ( n + 1 )!

| x |n+1 = 0, para todo valor de x (ejer i io n→∞ ( n + 1 )! ım Rn+1 ( x ) = 0.

omplementarios, le

ión 1), enton es l´

x. Dado que l´ım

para todo

2, ejer i ios

n→∞

b) Como el valor absoluto de todas las derivadas de

cos x

son menores o

iguales que 1, enton es

cos( n+1 ) c | x |n+1 n+1 l´ım | Rn+1 ( x ) | = l´ım x ≤ l´ım n→∞ n→∞ ( n + 1 )! n→∞ ( n + 1 )! | x |n+1 = 0, n→∞ ( n + 1 )! l´ım Rn+1 ( x ) = 0.

para todo enton es

x.

Dado que

l´ım

x

jo,

n→∞

ex es una fun ión re iente ec < ex si x > 0. Luego,

) Como y

para todo valor de

|Rn+1 ( x )| <

y

c ∈ ( 0, x ),

| x |n+1 ( n + 1 )!

enton es

si

x<0

ec < 1

si

x<0

259

Le


|Rn+1 ( x )| < ex

xn+1 ( n + 1 )!

si x > 0

si x = 0

Rn+1 ( x ) = 0

| x |n+1 = 0, para todo x, enton es tendremos que n→∞ ( n + 1 )! l´ım Rn+1 ( x ) = 0.

Y dado que l´ım n→∞

ln( n+1 ) c n+1 d) De manera similar, podemos mostrar que l´ım x = 0 n→∞ ( n + 1 )!

uando | x | ≤ 1, x 6= −1. ( tan−1 )( n+1 ) c xn+1 = 0 uando e) También podemos probar que l´ım n→∞ ( n + 1 )! | x | ≤ 1.

www.fullengineeringbook.net f) Y,

la misma forma, podemos de ( ( 1 + x )α )( n+1 ) c xn+1 = 0 uando | x | < 1. l´ım n→∞ ( n + 1 )!

probar

Por tanto, abusando por ahora un tanto de la nota ión, es ribimos a) sen x = x −

x3 x5 x7 + − + · · · para todo x ∈ R (gura 11). 3! 5! 7! y

f ( x ) = sen x

−π

−2π

π

f( x ) = x −

2π x x3 3!

+

x5 5!

−

x7 7!

Figura 11: Expansión Taylor de la fun ión seno

b) cos x = 1 −

x2 x4 x6 + − + · · · para todo x ∈ R (gura 12). 2! 4! 6!

que

260


f( x ) = 1 −

x2 2!

+

x4 4!

−

x6 6!

f ( x ) = cos x | −2π

| −π

| π

| 2π x

Figura 12: Expansión Taylor de la fun ión oseno

) ex = 1 +

x x2 x3 x4 + + + + · · · para todo x ∈ R (gura 13). 1! 2! 3! 4! y

1 y = ex x y =1+

x 1!

+

x2 2!

+

x3 3!

+

x4 4!

+

x5 5!

www.fullengineeringbook.net Figura 13: Expansión Taylor de la fun ión exponen ial

d) ln( 1 + x ) = x − e) tan−1 x = x −

x2 x3 x4 x5 + − + + ··· 2 3 4 5

x3 x5 x7 + − + ··· 3 5 7

para | x | ≤ 1, x 6= −1

para | x | ≤ 1

α( α − 1 )x2 + ··· 2! α( α − 1 )( α − 2 ) · · · ( α − k + 1 )xk + + ··· k!

f) ( 1 + x )α = 1 + αx +

Aquí, si α es un entero positivo, la serie termina después de ( α + 1 ) términos. Cuando α no es un entero positivo, la serie es innita. Así, podemos obtener estima iones de algunos números mediante estas expresiones en polinomios de Taylor. Por ejemplo, 1 1 1 + + + · · · ≈ 2.71828182 2! 3! 4! 1 1 1 1 ln 2 = 1 − + − + − · · · ≈ 0.69314718 2! 3! 4! 5! π 1 1 1 = tan−1 1 = 1 − + − + · · · ≈ 0.78539816 4 3! 5! 7! e = e1 = 1 + 1 +

Le


y, por tanto, π =4−

261

4 4 4 + − + · · · ≈ 3.14159265 3! 5! 7!

Nota 7. (Un po o de historia a er a de las series de Taylor)

Las series trigonométri as a) y b) fueron obtenidas por Euler en 1748. La serie exponen ial ) fue des ubierta por Newton en 1669. Las series logarítmi as d) y f) anteriores, y la tangente inversa e) fueron des ubiertas por James Gregory en 1671, aunque al pare er Ni olaus Mer ator ya había obtenido en 1668 la serie d). El famoso teorema binomial de Newton que fue obtenido por Newton para todo natural n y probado en su tiempo para todo entero n, sirvió omo modelo para estable er la fórmula general de Taylor. No exageramos uando armamos que esta última abrió el amino para la mayoría de ál ulos del análisis apli ado, y es extremadamente importante desde el punto de vista prá ti o: mu hos pro esos físi os y quími os se expresan, on gran aproxima ión, mediante fun iones que pueden expandirse en series de Taylor. Pero también la idea de aproximar una fun ión mediante polinomios dio origen a la idea de representar una fun ión omo la suma de un número innito de fun iones más simples. Este es el aso de las representa iones de fun iones periódi as omo una serie de ombina iones de las fun iones seno y oseno, y que se ono en

omo expansiones en series de Fourier.

www.fullengineeringbook.net Ejemplo 8. (Aumento de masa a altas velo idades)

Según Albert Einstein [1879-1955℄, la masa m de un uerpo se in rementa on su velo idad de a uerdo on la e ua ión m= q

m0

1−

v2 c2

donde m0 es la masa del uerpo en reposo, v es su velo idad, y c es la velo idad de la luz (300,000 km aproximadamente). Cuando v es pequeña omparada on seg c, podemos utilizar la aproxima ión en polinomios de Taylor

ó

m= q

m0 1−

v2 c2

≈ m0 +

m − m0 ≈

1 v2 m0 2 2 c

1 v2 m0 2 2 c

para analizar el in remento en masa del uerpo que resulta de la velo idad del movimiento v. Por ejemplo, si una mujer de 50 kilogramos de peso viaja en un automóvil de Fórmula 1 a la velo idad de 300 km h , su nueva masa será 2 3 × 102 1 m = 50 + ( 50 ) ≈ [ 50 + (1.93 × 10−12 ) ] kilogramos 2 ( 108 × 107 )2

N

262


Para ontinuar ilustrando algunas de las apli a iones del teorema del valor medio, ne esitaremos la siguiente deni ión:

Deni ión 5. (Fun iones re ientes y de re ientes) a) Se di e que f (·) es re iente en un intervalo si, y sólo si para todo par de puntos x1 y x2 en este intervalo, x1 < x 2

impli a f ( x1 ) ≤ f ( x2 )

b) Se di e que f (·) es de re iente en un intervalo si, y sólo si para todo par de puntos x1 y x2 en este intervalo, x1 < x 2

impli a f ( x1 ) ≥ f ( x2 )

) En las deni iones anteriores, si las desigualdades son estri tas, se di e que f (·) es estri tamente re iente y estri tamente de re iente, respe tivamente. d) Si f (·) es re iente o de re iente en un intervalo, se di e que es monótona en di ho intervalo; y si es estri tamente re iente o estri tamente de re iente en el intervalo, diremos que es estri tamente monótona en tal intervalo.

www.fullengineeringbook.net Nota 8. Es onveniente notar que si f (·) es estri tamente re iente, es también re iente, pero que el re ípro o no es ierto. Por ejemplo, la fun ión onstante f ( x ) = K en [ a, b ] es re iente, pero no es estri tamente re iente. A ontinua ión daremos otra demostra ión del lema 1 de la le

ión 2, pero ha iendo uso del teorema del valor medio.

Teorema 7. (Derivada Sea

f (·)

a) b)

una fun ión ontinua en

f ′ ( x ) > 0 para

iente en [ a, b ].

Si

f ′ ( x ) < 0 para

iente en [ a, b ]. Si

y monotonía)

todo

todo

[ a, b ]

y derivable en

x ∈ ( a, b ),

x ∈ ( a, b ),

enton es

enton es

( a, b ):

f (·)

f (·)

es estri tamente re-

es estri tamente de re-

263

Le

ión 3: Elementos bási os de la teoría de la optimiza ión Demostra ión.

[Demostraremos úni amente la parte a) ya que la parte b) es similar℄. Sean x1 y x2 dos números ualesquiera en [ a, b ] tales que x1 < x2 . Enton es f (·) es ontinua en [ x1 , x2 ] y derivable en ( x1 , x2 ). Por el teorema del valor medio, existe c ∈ ( x1 , x2 ) tal que f ( x2 ) − f ( x1 ) = f ′ ( c )( x2 − x1 )

Como x2 − x1 > 0 y f ′( c ) > 0 (por hipótesis) se tiene que f ( x2 ) − f ( x1 ) > 0; o sea que f ( x2 ) > f ( x1 ). Luego para x1 , x2 ∈ [ a, b ], si x1 < x2 enton es f ( x1 ) < f ( x2 ); esto es, f (·) es re iente estri tamente. Ejemplo 9.

2x

Sea f ( x ) = 2 en [ −2, 2 ]. Hallemos los intervalos donde f (·) es re iente x +1 y aquéllos en los uales es de re iente. Solu ión.

Aquí, al ulamos primero la derivada de f (·): f ′( x ) =

2( 1 − x2 ) 2( x2 + 1 ) − 2x · 2x = 2 2 (x + 1) ( x2 + 1 )2


Luego f ′(·) se anula uando x = −1 ó uando x = 1. Para apli ar el teorema 7 (derivada y monotonía ) debemos analizar el signo de f ′ (·) en ada uno de los siguientes intervalos: ( −2, −1 ), ( −1, 1 ) y ( 1, 2 ). Para −2 < x < −1, se tiene que f ′( x ) < 0, y así f (·) de re e en [ −2, −1 ]; para −1 < x < 1, se tiene que f ′ ( x ) > 0, y así f (·) re e en [ −1, 1 ]; para 1 < x < 2, se tiene que f ′( x ) < 0, y así f (·) de re e en [ 1, 2 ]. Una grá a de la fun ión puede verse en la gura 14. y y=

1

-2

-1

-1

1

2

2x x2 + 1 x

Figura 14

Notemos que f (·) tiene sus extremos en −1 y 1 y son f ( −1 ) = −1 (mínimo absoluto) y f ( 1 ) = 1 (máximo absoluto).

264


Ejemplo 10.

Sea f ( x ) = 2x3 − 3x2 − 12x + 15 denida sobre R. Hallemos los intervalos donde f (·) es re iente y aquéllos en los uales es de re iente. y b

22

y = 2x3 − 3x2 − 12x + 15

2

x

-1 -5

b


Observemos que f ′ ( x ) = 6x2 −6x−12 = 6( x−2 )( x+1 ) Por tanto, f ′ ( x ) > 0 si x > 2 ó x < −1; y f ′ ( x ) < 0 si −1 < x < 2. Así, f (·) re e en los intervalos ( −∞, −1 ) y ( 2, +∞ ) y de re e en el intervalo ( −1, 2 ). Finalmente, notemos que f (·) tiene sus extremos en −1 y 2 y son f ( −1 ) = 22 (máximo absoluto) y f ( 2 ) = −5 (mínimo absoluto) (gura 15).


Teorema 8.

mo)

(Condi iones su ientes para la existen ia de un extref (·) es ontinua en ierto intervalo al ual pertex0 , y que es derivable en ada punto del mismo (ex epto

Supongamos que la fun ión ne e el punto ríti o posiblemente en

x0 ). Si al pasar por este punto de izquierda a dere ha el signo

de la derivada ambia de positivo a negativo, enton es la fun ión tiene un máximo relativo en

x0 . Si al pasar por el punto x0 de izquierda a dere ha el signo de

la derivada ambia de negativo a positivo, la fun ión tiene un mínimo relativo en

x0 . Esto es, formalmente,

i) ii)

Si

f ′ ( x ) > 0 para x < x0 , y f ′ ( x ) < 0 para x > x0 , enton es f (x0 ) es

Si

f ′ ( x ) < 0 para x < x0 , y f ′ ( x ) > 0 para x > x0 , enton es f (x0 ) es

un máximo relativo.

un mínimo relativo.

265

Le

ión 3: Elementos bási os de la teoría de la optimiza ión y

y

f ′ (c) = 0 b

f ′ (c) no existe b

c

c

x

a)

x

b)

y

y

f ′ (c) no existe

f ′ (c) = 0 b

c

b

x

)

c

x

d)

Figura 16

Demostra ión.

[Demostraremos úni amente la parte i). La demostra ión de la parte ii) es análoga y se deja omo un ejer i io adi ional para el le tor (ejer i io omplementario 7)℄.


Sea I el intervalo errado de extremos a y b on a < b y x0 ∈ I . Por el teorema 7, f (.) es re iente en [ a, x0 ] y f (·) es de re iente en [ x0 , b ]. Luego f ( x0 ) ≥ f ( x ) para todo x en un intervalo alrededor de x0 , y por tanto x0 es un mínimo relativo. Ejemplo 11.

En ontremos los valores máximo y mínimo relativos de la fun ión 1 y = f ( x ) = x3 − 2x2 + 3x + 1 3 Solu ión.

Puesto que f ′ ( x ) = x2 − 4x + 3 = ( x − 3 )( x − 1 ) enton es f ′ ( x ) = 0 uando x = 1 ó x = 3. La derivada existe para todo x y, por tanto, no existen otros puntos ríti os. Al analizar el punto ríti o x = 1 resulta que para x < 1 se tiene f ′( x ) > 0; y para x > 1 y x < 3 se tiene f ′ ( x ) < 0. De aquí que f ( 1 ) = 37 es un máximo relativo. Al analizar el segundo punto ríti o x = 3 obtenemos que para 1 < x < 3 se tiene f ′( x ) < 0; y para x > 3 se tiene f ′ ( x ) > 0. Lo anterior signi a que f ( 3 ) = 1 es un mínimo relativo (gura 17).

266


y

y = 13 x3 − 2x2 + 3x + 1

1

3

x

Figura 17

Ejemplo 12.

√

Anali emos los extremos de la fun ión y = f ( x ) = ( x − 1 ) 3 x2 en su dominio.


Solu ión.

A partir de la derivada

f ′( x ) =

√ 3

x2 +

2( x − 1 ) 5x − 2 √ = √ 3 3 x 33x

se en uentra que los valores ríti os son: a) Las raí es de f ′ ( x ), es de ir, x = 25 . b) Los puntos en los que f ′ ( x ) no existe, o sea, x = 0. Además, f ′( x ) > 0 si x < 0 y f ′( x ) < 0 si 0 < x < 52 . Luego f ( 0 ) = 0 ′ ( x ) < 0 si 0 < x < 2 es un máximo relativo. Ahora: fq y f ′( x ) > 0 5 si

4 < x; por tanto, f ( 52 ) = − 35 3 25 es un mínimo relativo. Notemos que ′ ′ l´ım f ( x ) = −∞ y l´ım f ( x ) = +∞ (gura 18). N 2 5

x→0+

x→0−

Pero si una fun ión es dos ve es diferen iable en el intervalo, el teorema 8 nos arroja, realmente, informa ión desde la segunda derivada. Y en este aso bastaría apli ar el teorema de Taylor (teorema 6) para on luir lo siguiente.

Le


267

√ 3 y = (x − 1) x2

y

2 5

p

1

x

Figura 18 Teorema 9. Si

x0

(Criterio de segunda derivada para extremos relativos)

es un punto ríti o de una fun ión

f (·)

dos ve es diferen iable en un

intervalo abierto, se tiene que:

i) Si

f ′′ ( x0 ) < 0,

enton es

f (·)

tiene un valor máximo relativo en

x0 .

ii) Si

f ′′ ( x0 ) > 0,

enton es

f (·)

tiene un valor mínimo relativo en

x0 .

Demostra ión.


[Mostremos sólo la parte i). La parte ii) es similar y se deja omo ejer i io para el le tor℄.

Asumamos, sin pérdida de generalidad,

n=2

en el intervalo

[ x0 , x0 + ∆x ],

∆x > 0.

Por el teorema de Taylor para

se tiene que

f (x0 + ∆x ) = f ( x0 ) + f ′ ( x0 )∆x + f ′′ (c) para

c

entre

x0

y

x0 + ∆x.

Como

f ′ ( x0 ) = 0,

enton es

f (x0 + ∆x ) = f ( x0 ) + f ′′ (c) Y omo

f ′′ ( x0 ) < 0,

enton es

f ′′ (c) < 0

( ∆x )2 2

para

( ∆x )2 2

∆x

su ientemente pequeño.

Por tanto,

f (x0 + ∆x ) < f ( x0 ) ∆x su ientemente x0 .

para en

pequeño; es de ir,

f (·) tiene un valor máximo relativo

Nota 9.

x = x0 P (x) = ax2 +

El trasfondo de este teorema es simple: Puesto que la fun ión en el punto se puede aproximar mediante una fun ión uadráti a de la forma

bx + c,

y

P ′′ (x) = 2a,

enton es si

a<0

la uadráti a será ha ia abajo y, por


268

lo tanto,

P (x0 )

es un máximo lo al. De manera similar, si

será ha ia arriba y, por lo tanto,

P (x0 )

a>0

la uadráti a

es un mínimo lo al.

Deni ión 6. (Con avidad y onvexidad)2 f (·) una fun ión abierto I . Enton es:

Sea

a) La fun ión

derivable dos ve es on ontinuidad en algún intervalo

f (·)

es

ón ava

en

I

f ′′ ( x ) ≤ 0

si, y sólo si

(gura 19).

y

para todo

x∈I

y b

y = f (x)

y = f (x)

c

b

c

x

a)

x

b) Figura 19: Fun iones ón avas

www.fullengineeringbook.net b) La fun ión

f (·)

es

onvexa

en

I

si, y sólo si

(gura 20).

y

f ′′ ( x ) ≥ 0

para todo

x∈I

y

y = f (x)

y = f (x) b

b

c

c

x

a)

x

b) Figura 20: Fun iones onvexas

f ′ (·) es de re iente ′ que f (·) es re iente

Obsérvese que la ondi ión a) de on avidad impli a que (no ne esariamente estri ta); y la ondi ión b) impli a (no ne esariamente estri ta). 2

Esta deni ión será generalizada más adelante (volumen 3: Optimiza ión y dinámi a; le

ión 1).

Le


269

Ejemplo 13.

Dada

f ( x ) = x4 + 43 x3 − 4x2 ,

hallemos los máximos y mínimos relativos.

Hallemos también los intervalos en donde

f (·)

es onvexa y aquéllos en donde

es ón ava.

Solu ión.

En este aso, se tiene que

f ′ ( x ) = 4x3 + 4x2 − 8x = 4x( x + 2 )( x − 1 ) a) De

f ′( x ) = 0

se tiene

x = 0, x = 1, x = −2

omo puntos ríti os.

f ′′ ( x ) = 12x2 +8x−8. Así, f ′′ ( 0 ) = −8 < 0. Por tanto, f (·) tiene un máximo relativo en 0 y su valor es f ( 0 ) = 0. Como f ′′ ( 1 ) = 12 > 0, enton es f (·) tiene un valor mínimo relativo en 1 y su valor es f ( 1 ) = − 53 . Además, f ′′ ( −2 ) = 24 > 0, lo ual impli a que f (·) tiene un valor 32 mínimo relativo en −2 y su valor es f ( −2 ) = − 3 . Como Df = R, los intervalos para el análisis de on avidad se obtienen de ha er f ′′ ( x ) = 0; √ −1± 7 y di hos intervalos son: por tanto, x = 3

b) Ahora

www.fullengineeringbook.net −1 − −∞, 3

√ ! 7

,

−1 − 3

√

7 −1 + , 3

√ ! 7

−1 + 3

,

y y = x4 + 34 x3 − 4x2

-2

1

x

Figura 21

√

7

,∞

!

270


El análisis termina on la siguiente tabla: Intervalo

−∞, −1−3

√

7

Con lusión

+

onvexa

−

ón ava

+

onvexa

√ √ −1− 7 −1+ 7 , 3 3

√ −1+ 7 , ∞ 3

Signo de f ′′( x )

Ejemplo 14

Hallemos los valores máximos y mínimos relativos de la fun ión f ( x ) = 2 sen x + cos( 2x ) Solu ión.

Como la fun ión es periódi a y on período 2π , es su iente estudiarla en el intervalo [ 0, 2π ]. a) Primero hallamos los puntos ríti os. Como f ′ ( x ) = 2 cos x − 2 sen( 2x ), enton es f ′ ( x ) = 0 uando cos x( 1 − 2 sen x ) = 0; es de ir, cos x = 0 ó π 5π sen x = 21 . Luego, x = π2 ó x = 3π 2 ó x= 6 ó x= 6 .

www.fullengineeringbook.net b) La segunda derivada de f (·) es f ′′ ( x ) = −2 sen x − 4 cos( 2x ). i) Apli ando el riterio de la segunda derivada, se tiene que f ′′

π

Por tanto, en x1 = ii) f ′′

1 1 − 4 · = −3 < 0 2 2

existe un máximo lo al que es f π 2 = −2 · 1 − 4( −1 ) = 2 > 0 y, por lo tanto, en

x2 =

π 6

hay un mínimo lo al que es

π 2

f

iii) f ′′

= −2 ·

6

5π 6 x3 = 5π 6

= −2 ·

1 2

π 2

−4·

1 2

= 2 · 1 + ( −1 ) = 1

= −3 < 0 y, por lo tanto, en

la fun ión tiene un máximo lo al que es f

5π 6

=2·

1 1 3 + = 2 2 2

π 6

= 32 .

271

Le


iv) Finalmente f ′′ 3π = −2( −1 ) − 4( −1 ) = 6 > 0 y, por tanto, en 2 el punto x4 = 3π la fun ión tiene un mínimo lo al que es 2

f

3π 2

= 2 ( −1 ) − 1 = −3

Así, f (·) tendrá máximo lo al en x = π6 que es 32 , y en 5π 6 que es también 3 π 3π . La fun ión tendrá mínimo lo al en x = y x = 2 2 2 que son 1 y −3, respe tivamente. La grá a de esta fun ión se representa en la gura 22. y

− π2

3π 2 π 6

− 7π 6

π 2

x

5π 6


Nota 10.

Puede verse que el teorema 9 no es apli able uando f ′( x0 ) = 0 y f ′′ ( x0 ) = 0. Por ejemplo, f ( x ) = 1 − x4 y g( x ) = x6 poseen un máximo lo al y un mínimo lo al, respe tivamente, en x0 = 0 y allí f ′ ( 0 ) = f ′′ ( 0 ) = 0 y g′ ( 0 ) = g′′ ( 0 ) = 0 (gura 23). y

y f (x) = 1 − x

4

g(x) = x6

x

x a)

b) Figura 23

Ejemplo 15. (Un problema de máxima ilumina ión)

Consideremos un poste, levantado en el entro de una pista ir ular de radio r , on una luz olo ada sobre el poste a la altura h (gura 24). Supongamos

272


que sabemos que la ilumina ión T en el borde del ír ulo puede expresarse mediante la fórmula T =

donde tan α =

h r

A sen α h2 + r 2

y A es ierta magnitud que ara teriza la poten ia de la luz.

h α r

Figura 24

Veamos a qué altura h deberíamos olo ar la lámpara para que el borde re iba la máxima ilumina ión. Solu ión.


El problema se redu e a en ontrar el valor de h tal que T ( h ) sea máximo. Puesto que h = r tan α, enton es un po o de álgebra nos mostrará que T =

A sen α A = 2 sen α cos2 α 2 2 h +r r

Así, el problema se transforma en en ontrar el máximo valor de T ( α ) = A sen α cos2 α para 0 < α < π2 . Para ha er esto, vemos que T ′ ( α ) = 0 uando r2 A ( cos3 α − 2 sen2 α cos α ) = 0 r2

y así tendremos que cos α = 0, o bien, cos2 α − 2 sen2 α = 0. La primera e ua ión no es ierta para α en ( 0, π2 ); en ambio, la segunda e ua ión nos di e que tan2 α = 12 y así, α ≈ 35o 15′ . Este es el valor para el ual la fun ión T ( α ) al anza su máximo, pues T ′′ ( 35o 15′ ) < 0, omo es fá il de omprobar. La altura deseada es enton es h = r tan α = √r2 ≈ 0.7r y, por tanto, la mejor ilumina ión se al anzaría a una altura aproximada de 0.7 ve es el radio. Ejemplo 16. (Un problema geométri o)

Entre todos los re tángulos ins ritos en un ír ulo de radio R, hallemos el re tángulo de máxima área (gura 25).

Le


273

y

y 2

R x 2

x

Figura 25

Solu ión.

El problema que debemos resolver es maximizar la fun ión a

x2 + y 2 = 4R2 ,

x > 0,

y > 0.

f (x, y) = xy sujeta x2 + y 2 = 4R2

Reemplazando la restri

ión

en la fun ión a maximizar, el problema puede es ribirse omo

m´ ax x x> 0

p

Aquí, la ondi ión de primer orden es jando en ésta se tiene que

x∗ =

√

4R2 − x2

√ 4R2 − x2 − √

2R.

Este

x∗

x2 = 0, 4R2 − x2

y despe-

es máximo porque la fun ión


que se está maximizando tiene su segunda derivada negativa (¾Puede el le tor

orroborar esto?). Por lo tanto, la solu ión a este problema es un uadrado de lado

√

2R.

N

El siguiente teorema, que permite utilizar derivadas para determinar on mu ha fa ilidad los límites de ierto tipo de o iente de fun iones uando

no

se

puede apli ar que el límite de un o iente es el o iente de límites, es otra apli a ión importante del teorema del valor medio. Además, omo veremos, es una herramienta muy útil para dibujar fun iones.

ˆpital (J.Bernoulli (1694), L'Ho ˆpital 3 Teorema 10. (Regla de 'Ho (1696))) f (·) y g(·) diferen iables en ierto g′ (·) 6= 0. Si se tiene uno ualquiera de los

Sean

i) ii)

l´ım f ( x ) = 0

x→a

3

siguientes asos:

l´ım g( x ) = 0;

x→a

l´ım f ( x ) = ∞ y l´ım g( x ) = ∞

x→a

iii)

y

intervalo, siendo en ese intervalo

x→a

l´ım f ( x ) = 0 y l´ım g( x ) = 0;

x→∞

x→∞

ˆ

El Marqués de L'Hopital es autor del primer texto de Cál ulo Diferen ial que se

onoz a:

Analyse des Inniment Petits pour L' Intelligen e des Courbes

de 1696.


274

iv)

l´ım f ( x ) = ∞ y l´ım g( x ) = ∞

x→∞

x→∞

l´ım

y si

x→a (x→∞)

f ′( x ) g′ ( x )

= L,

enton es

l´ım

x→a (x→∞)

f( x ) = L. g( x )

Demostra ión. [Úni amente probaremos la parte i). Las partes ii), iii) y iv) se pueden demostrar de manera análoga y se dejan omo ejer i ios para el le tor℄. Sin pérdida de generalidad, asumamos

∗ tal que g( x

f ( a ) = 0, g( a ) = 0, y tomemos x∗

jo

) 6= 0 (¾Por qué podemos asumir todo esto?). Denamos, para x ∈ ∗ ∗ [ a, b ], h( x ) = f ( x )− fg(( xx∗ )) g( x ). Es laro que h( a ) = f ( a )− fg(( xx∗ )) g( a ) = 0, ∗ ∗ ′ y h( x ) = 0. Por el teorema de Rolle, existe ξ ∈ ( a, x ) tal que h ( ξ ) = 0; f ′( ξ ) f ( x∗ ) ∗ es de ir, g ′ ( ξ ) = g( x∗ ) . Notemos que si x → a, enton es ξ → a. Por tanto,

omo

f ′( ξ ) ′ ξ→a g ( ξ )

l´ım

= L,

enton es también

f ( x∗ ) ∗ x →a g( x )

l´ ım ∗

= L.

Una de las apli a iones importantes de la regla de L'Hpital se ilustra en el siguiente ejemplo:

Ejemplo 17. (La fun ión exponen ial re e más rápidamente que

ualquier polinomio)


Probemos que

l´ım

x→∞

xn = 0, ex

n∈N

jo.

Solu ión. Por apli a iones su esivas de la regla de L'Hpital se tiene que

l´ım

x→∞

xn nxn−1 n( n − 1 )xn−2 n! = l´ ım = l´ ım = . . . = l´ım x = 0 x→∞ x→∞ x→∞ e ex ex ex

En parti ular, esto impli a que la fun ión exponen ial domina asintóti amente a ualquier polinomio (¾por qué?).

Ejemplo 18. Cal ulemos los siguientes límites utilizando la regla de L'Hpital: a)

)

e)

l´ım

x→1

x6 − 1 x3 − 1

b)

l´ım

sen x x

d)

l´ım

eax − 1 , a∈R x

f)

x→0

x→0

l´ım

ln x x

l´ım

ex , xn

n∈N

l´ım

ln x , xn

n∈N

x→∞

x→∞

x→∞

275

Le


Solu ión a) Denamos f ( x ) = x6 −1 y g( x ) = x3 −1. Observemos que l´ım x6 −1 = l´ım x3 − 1 = 0. Por la regla de L'Hˆ opital,

x→1

x→1

x6 − 1 6x5 30x4 120x3 = l´ ım = l´ ım = l´ ım = 20 x→1 x3 − 1 x→1 3x2 x→1 6x x→1 6 l´ım

b) Sean f ( x ) = ln x y g( x ) = x. Observemos que l´ım ln x = l´ım x = ∞. x→∞ x→∞ Por la regla de L'Hôpital, 1 ln x 1 x = l´ım = l´ım =0 l´ım x→∞ 1 x→∞ x x→∞ x

En onsonan ia on el ejemplo 17, ¾qué podría de ir el le tor sobre el resultado del ál ulo de este límite?

) Denamos f ( x )

= sen x y g( x ) = x. Observemos que l´ım sen x = l´ım x = 0. Por la regla de L'Hpital,

x→0

x→0

sen x cos x = l´ım =1 x→0 x→0 x 1 l´ım


orroborando así el límite trigonométri o bási o, que habíamos estudiado en la le

ión 1.

d) Denamos f ( x ) = ex y g( x ) = xn . Dado que l´ım ex = l´ım xn = ∞, x→∞ x→∞ enton es, por la regla de L'Hpital, se tiene que ex ex ex = l´ ım = l´ ım =∞ x→∞ xn x→∞ nxn−1 x→∞ n! l´ım

e) Denamos f ( x ) = eax − 1 y g( x ) = x. Como l´ım eax − 1 = l´ım x = 0, x→0 x→0 la regla de L'Hpital impli a que eax − 1 = l´ım a eax = a x→0 x→0 x l´ım

f) Sean f ( x ) = ln x y g( x ) = xn . Observemos que l´ım ln x = l´ım xn = ∞. x→∞ x→∞ Luego, la regla de L'Hpital impli a que l´ım

x→∞

ln x 1 = l´ım =0 x→∞ n xn xn

Este límite muestra que, asintóti amente, xn (para ualquier n ∈ N) domina a la fun ión logarítmi a, es de ir, re e más rápidamente que la fun ión logarítmi a.

276


Ahora, para terminar esta le

ión, aprenderemos algunos on eptos útiles uando bus amos dibujar una fun ión real.

Deni ión 7. (Punto de inexión)

El punto x0 es un punto de inexión de la fun ión dos ve es diferen iable on

ontinuidad, si existe un intervalo ( a, b ), on x0 ∈ ( a, b ), tal que la grá a de f (·) sea onvexa en ( a, x0 ) y ón ava en ( x0 , b ) o vi eversa (gura 26). y

y f ′′ (x) < 0

f ′′ (x) < 0 f ′′ (x) > 0

f ′′ (x) > 0 x0

x

x0

x

b)

a)

y

y f ′′ (x) > 0

f ′′ (x) < 0 f ′′ (x) > 0

f ′′ (x) < 0

www.fullengineeringbook.net x0

x0

x

c)

x

d)

Figura 26

Teorema 11. (Condi ión ne esaria para punto de inexión)

Si x0 es un punto de inexión de f (·), enton es f ′′ ( x0 ) = 0.

Demostra ión.

La demostra ión (que es una apli a ión simple del teorema 5 (Comportamiento global de la derivada )) se deja omo ejer i io para el le tor.

Ejemplo 19.

Determinemos los puntos de inexión de la fun ión denida por f ( x ) = x4 + 4 3 x − 4x2 , y evaluemos en qué intervalos la fun ión es ón ava o onvexa. 3

Solu ión. Aquí,

f ′ ( x ) = 4x3 + 4x2 − 8x

f ′′ ( x ) = 12x2 + 8x − 8

Por tanto, f ′′ ( x ) = 0 uando x = −1±3 de f ′′ (·) en los siguientes intervalos: −1 − −∞, 3

√ ! 7

,

−1 − 3

√

7

. Luego es ne esario analizar el signo

√ √ ! 7 −1 + 7 , , 3

−1 + 3

√

7

,∞

!

Le


277

Esto lo ha emos a través de la siguiente tabla. La grá a de la fun ión es la de la gura 27.

Intervalo o punto

−∞, −1−3

√

7

√ −1− 7 3

Con lusión

+

onvexa

0

punto de inexión

−

ón ava

0

punto de inexión

+

onvexa

√ √ −1− 7 −1+ 7 , 3 3 √ −1+ 7 3

f ( x )

√ −1+ 7 , ∞ 3 y

y = x4 + 34 x3 − 4x2

www.fullengineeringbook.net -2 b

0

1 b b

x

b

b

Figura 27

Nota 11.

El re ípro o del teorema 11 no es ierto; es de ir, si la segunda derivada de una fun ión es ero para un número x0 , no ne esariamente la grá a de la fun ión tiene un punto de inexión allí. Por ejemplo, las fun iones ya estudiadas f ( x ) = 1 − x4 y g( x ) = x6 tienen, respe tivamente, un mínimo y un máximo en x = 0 aunque f ′′( 0 ) = 0 y g′′ ( 0 ) = 0. Ejemplo 20.

Determinemos los puntos de inexión de la urva f ( x ) = 2x3 − 5x2 + 3 y hallemos los intervalos donde la urva es onvexa o ón ava.

278


Solu ión.

y y = 2x3 − 5x2 + 3 b

5 6

x

punto de inexión

Figura 28

Aquí, f ′ (x) = 6x2 − 10x y f ′′(x) = 12x − 10. La siguiente tabla nos muestra los signos de f ′′ (·): Intervalo o punto

f ′′ ( x )

Con lusión

−

ón ava

5

−∞, 6 5 6

punto de inexión

0

www.fullengineeringbook.net 5 6, ∞

onvexa

+

¾Podría el le tor ompletar la gura 28 al ulando los puntos donde f = 0 y f ′ = 0?

N

Otras herramientas, a menudo importantes al onstruir una grá a, son las siguientes:

Deni ión 8. (Asíntotas verti ales, horizontales y obli uas) a) La re ta x = a es una asíntota verti al de la urva y = f ( x ) si se umple

ualquiera de los uatro enun iados siguientes: i) iii)

ii)

l´ım f ( x ) = +∞

x→a+

iv)

l´ım f ( x ) = −∞

x→a+

l´ım f ( x ) = +∞

x→a−

l´ım f ( x ) = −∞

x→a−

b) Si se umple que l´ım f ( x ) = b o l´ım f ( x ) = b, la re ta y = b es x→+∞ x→−∞ una asíntota horizontal de la urva y = f ( x ).

) La re ta y = mx + b on m 6= 0 es una asíntota obli ua de la urva y = f ( x ) si l´ım [ f ( x ) − ( mx + b ) ] = 0

x→+∞

ó

l´ım [ f ( x ) − ( mx + b ) ] = 0

x→−∞

Le


279

Es fá il ver que, en tales asos, m y b se hallan así: m = l´ım

x→±∞

f( x ) x

b = l´ım [ f ( x ) − mx ] x→±∞

Nota 12.

Si m = 0, la asíntota será horizontal en aso de que b exista. Puede o urrir, sin f( x )

= m exista y f (·) no tenga asíntota, lo ual o urre embargo, que l´ım x→±∞ x si l´ım [ f ( x ) − mx ] no existe. x→±∞

Ejemplo 21.

En ontremos las e ua iones de las asíntotas de la urva xy 2 − y 2 − x = 0. Solu ión.

Resolviendo la e ua ión dada para y en términos de x, se tiene que y=±

r

x x−1

www.fullengineeringbook.net Lo ual denota que hay dos fun iones uyos dominios son el onjunto solu ión x ≥ 0 que orresponde al onjunto ( −∞, 0 ] ∪ ( 1, ∞ ). de la desigualdad x−1 Luego x sólo puede a er arse a 1 a través de valores mayores que 1; es de ir, l´ım y = ± l´ım

x→1+

x→1+

r

x = ±∞ x−1

Lo anterior muestra que x = 1 es una asíntota verti al de la urva. Además, l´ım y = l´ım ±

x→+∞

x→+∞

r

v u x = l´ım ±u x − 1 x→+∞ t

1 1−

1 x

= ±1

El resultado es el mismo uando x → −∞. Por tanto, las re tas horizontales y = 1 y y = −1 son asíntotas horizontales de la urva. Ahora es posible un bosquejo de la grá a on estos datos y orresponde a la gura 29. El le tor puede observar que esta urva no tiene asíntotas obli uas.

280


y

y=

q

x = −1

x−1 x

y=1 ◦

y=−

q

0 x y = −1

x−1 x


1 x

En ontremos las asíntotas de la grá a de la fun ión y = f ( x ) = x+ , x 6= 0.


Solu ión.

Es laro que la e ua ión dene una fun ión uyo dominio es todo número real diferente de ero. a) Asíntotas verti ales: La úni a asíntota verti al es x = 0 ya que l´ım

x→0+

x+

1 x

1 x+ x

= +∞

b) Asíntotas horizontales: Como l´ım y = l´ım

x→±∞

x→±∞

= ±∞

la urva no tiene asíntotas horizontales.

) Asíntotas obli uas: Como 1 1+ 2 =1 x 1 b = l´ım [ f ( x ) − mx ] = l´ım x + − x = 0 x→±∞ x→±∞ x

f( x ) m = l´ım = l´ım x→±∞ x→±∞ x

enton es la asíntota obli ua es y = x.

Le

ión 3: Elementos bási os de la teoría de la optimiza ión y

y =x+

281

y=x

1 x x

Figura 30 Ejemplo 23. 2

En ontremos, si existen, las asíntotas de f ( x ) = x 3 . Solu ión.

Vemos que l´ım

x→±∞

f( x ) 1 = l´ım 1 = 0. Por tanto, m = 0. Pero x→±∞ x x3


l´ım [ f ( x ) − mx ] = l´ım x 3 = +∞

x→±∞

x→±∞

lo que nos indi a que no tiene asíntota horizontal ni obli ua. La urva tampo o tiene asíntota verti al.

Ejer i ios 3 1) Para las siguientes fun iones determine el dominio, los intervalos de re imiento y de de re imiento, los puntos ríti os, los extremos relativos, los intervalos donde la grá a es onvexa estri ta y ón ava estri ta, los puntos de inexión y las asíntotas: a) f ( x ) = ax2 + bx + c, donde a, b, c son onstantes y a 6= 0.

1 x 6= 0 x 2x − 1

) f ( x ) = , x 6= − 12 4x + 2 1 d) f ( x ) = , sen x 6= 0 sen x

b) f ( x ) = ,

2) En uentre los máximos y los mínimos absolutos (si existen) de ada una de las siguientes fun iones en sus respe tivos dominios:

282


1 4 2 3 3 2 x − x − x +1 4 3 2 3 2 b) f ( x ) = x − 6x + 12x − 3

a) f ( x ) =

) f ( x ) =

( x + 3 )3 ( x + 2 )2

3) Utili e la regla de L'Hpital para determinar los siguientes límites: a)

l´ım

4x − 1 x→0 x

b)

sen 5x x→0 x

)

l´ım

cos x − 1 x→0 x2

d)

ln2 x x→∞ x

e)

e3x x→∞ x2

f)

tan x x→0 x

l´ım

l´ım

l´ım

l´ım

[¾Por qué ree usted que puede ser importante ha er el ál ulo explí ito de límites aparentemente ompli ados omo estos? La respuesta puede ser múltiple; una de ellas es que pueden apare er en un examen par ial, pero esa no es una respuesta orre ta℄. 4) La grá a de la derivada f ′ (·) de ierta fun ión f (·) ontinua en (−∞, ∞) es la siguiente:


x1

b

b

x2 x3

b

x4

x

a) Pruebe que f (·) tiene máximos lo ales en x1 y x3 , y tiene mínimos lo ales en x2 y x4 . b) ¾En qué intervalos es f (·) ón ava, y en uáles onvexa? 5) Pruebe las arma iones d), e), y f) del ejemplo 7. 6) Pruebe que si f (·) es ón ava en un intervalo, y f ′ (x0 ) = 0 enton es x0 es un máximo absoluto. ¾Cuál será el orrespondiente resultado si f (·) es onvexa?

Le


283

7) Pruebe que de todos los triángulos re tángulos que tienen la misma hipotenusa es el isós eles el que tiene la mayor área. 8) Muestre que el triángulo isós eles de menor área que puede ir uns ribirse a un ír ulo dado es el equilátero. 9) De todos los onos de super ie dada

√

S , mostrar que el de mayor volumen

S es aquel que tiene radio igual a 4π y generatriz (el lado que, girando, √ S genera el ono) igual a 3 4π . [Indi a ión: Si x mide el radio y y mide 2 la generatriz, enton es S = πxy + πx y, así, la altura del ono es h =

r

(

S − x)2 − x2 ]. πx

10) Pruebe que las dimensiones del ilindro ir ular re to de volumen máximo que q

se puede ins ribir en una esfera de radio

2 3 R,

y=

R

(gura abajo) son

x=

√2 R. ¾Cuál es el volumen de este ilindro? 3

www.fullengineeringbook.net R

y/2

x

[Indi a ión: Note que es

V = πx2 y ℄.

x2 +

y2 = R2 , y re uerde que el volumen del ilindro 4

11) Pruebe que el volumen máximo de un ono ir ular re to ins rito en una esfera de radio

R

es

32πR3 . 81

12) Pruebe que las dimensiones del re tángulo de máxima área que se puede ins ribir en la elipse

13) Dos n as,

A

y

B,

x2 y 2 + 2 = 1, a2 b

son an ho=

√ 2a

y alto=

√ 2b.

están situadas al mismo lado de un río re to a

1 12

km y 1 km del río, respe tivamente. La distan ia entre las n as es de

√ 17 2 km. Se desea instalar una esta ión de bombeo que surta a ambas

n as. Pruebe que el lugar sobre la ribera del río en que se debe olo ar la motobomba para que la longitud de la tubería sea mínima, es km de distan ia del punto

M

(gura).

P = 1.2

284

Matemáti as bási as para e onomistas 2: Cál ulo A

√

17/2 B

1.5

1

P M

N

[Indi a ión: Primero muestre que M N = 2 km℄. 14) Para fabri ar una aja errada y sin tapa, se toma una hoja uadrada de

artón de lado a. Después, en ada una de las uatro esquinas se orta un uadrado de lado x y se doblan los lados perpendi ularmente. Pruebe que el valor de x para que el volumen de la aja sea máximo es a/6.

4. Grá a de una fun ión Para dibujar la grá a de una fun ión se sugiere seguir los siguientes pasos: 1) En ontrar el dominio de f (·).

www.fullengineeringbook.net 2) Hallar las interse

iones on los ejes X y Y , siempre y uando esto sea posible por métodos algebrai os.

3) Determinar las simetrías on el eje X , on el eje Y y on el origen (la simetría on el eje X uando se trata de rela iones). 4) En ontrar las e ua iones de las asíntotas horizontales, verti ales y obli uas, si las hay. 5) Cal ular la derivada de la fun ión y determinar los puntos ríti os. 6) Determinar los intervalos donde la fun ión es re iente, donde es de re iente, y hallar, si existen, los máximos y mínimos relativos. 7) Determinar los intervalos donde la fun ión es onvexa, ón ava y los puntos de inexión, si los hay. 8) Dibujar la grá a aproximada y, de ella, dedu ir el rango de la fun ión. Nota 13.

a) Si tenemos una rela ión en x y y , analizamos la urva implí itamente, o bien suponiendo que y es fun ión de x, o bien suponiendo que x es fun ión de y .

Le


285

b) De la geometría eu lidiana se sabe que los puntos P y Q son simétri os respe to al eje L si L es la mediatriz del segmento P Q. De este he ho, es fá il ver que la grá a de x = f ( y ) es simétri a on respe to al eje X si dado que el punto ( a, b ) pertene e a la grá a, enton es ( a, −b ) también pertene e a la misma. O sea que para ver si x = f ( y ) es simétri a on respe to al eje X , se sustituye y por −y , y si la e ua ión no ambia hay simetrías on el eje X . De manera análoga, la grá a será simétri a respe to al eje Y si la e ua ión no ambia al sustituir x por −x. También de la geometría eu lidiana, se sabe que los puntos P y Q son simétri os

on respe to a un ter er punto O si O es el punto medio del segmento P Q. Lo anterior quiere de ir que los puntos ( a, b ) y ( −a, −b ) del plano

artesiano son simétri os respe to al origen. Por tanto, la grá a de y = f ( x ) es simétri a on respe to al origen si ella no ambia al sustituir x y y por −x y −y , respe tivamente. Ejemplo 24.

2x

Sean a) y = f ( x ) = 2 ,y x +1 siguiendo los pasos anteriores. a) Para la fun ión f (x) =

b) y = f (x) =

x . Tra emos sus grá as ex

2x tenemos que: +1

x2

www.fullengineeringbook.net 1)

2)

Dominio:

Df = R, ya que x2 + 1 6= 0 para ualquier x ∈ R.

Interse

iones: Eje

X : si y = 0, enton es

2x = 0; por tanto, x = 0, es de ir, la x2 + 1

interse

ión on el eje X o urre en el punto ( 0,0 ). Eje

Y : si x = 0, enton es y =

2·0 = 0; por tanto, la interse

ión 02 + 1

on el eje Y o urre en el punto ( 0,0 ). 3)

Simetrías:

En este ejemplo es fá il ver que si sustituimos x por −x, obtenemos 2x 2x y=− 2 , y si sustituimos y por −y , obtenemos y = − 2 . x +1 x +1 En ambos asos se obtienen e ua iones distintas. Luego no hay simetrías ni on el eje Y ni on el eje X . Pero si sustituimos x y y por −x y −y , respe tivamente, obtenemos −y =

2( −x ) 2x =− 2 ( −x )2 + 1 x +1

que es la e ua ión original. Luego, la urva sí es simétri a on respe to al origen.

286


4)

Asíntotas:

a)

: Puesto que

Horizontales

2x = l´ım + 1 x→±∞

l´ım

x→±∞ x2

2 x+

1 x

=0

la re ta y = 0 (eje X ) es asíntota horizontal de la urva. b) Verti ales: Dado que x2 + 1 6= 0 para todo x ∈ R, la urva no tiene ninguna asíntota verti al.

) Obli uas: Puesto que m = l´ım

x→±∞

f( x ) 2 = l´ım 2 =0 x→±∞ x x +1

la urva no tiene ninguna asíntota obli ua. 5)

Puntos ríti os:

f ′( x ) =

Puesto que

2( 1 + x2 ) − 2x · 2x 2 − 2x2 2( 1 − x )( 1 + x ) = = 2 2 2 2 (x + 1) (x + 1) ( x2 + 1 )2

www.fullengineeringbook.net enton es f ′ ( x ) = 0 si x = 1 ó x = −1. Luego los puntos ríti os son 1 y −1. 6)

Cre imiento y de re imiento, máximos y mínimos relativos:

Para los intervalos de re imiento y de re imiento se puede utilizar la siguiente presenta ión: Sobre una re ta numéri a que represente el dominio de la fun ión se mar an, de manera ordenada, los puntos

ríti os. En ada uno de los intervalos que resultan, se analiza el signo de la primera derivada y, según el teorema 7, si f ′ ( x ) > 0, enton es f (·) re e y si f ′( x ) < 0, enton es f (·) de re e. Esto lo representamos aquí por ր y ց , respe tivamente. De manera similar se pro ede on el riterio de la segunda derivada: si f ′′ ( x ) > 0, la

urva será onvexa y la representaremos omo ⌣; y si f ′′ ( x ) < 0, la urva será ón ava y la representaremos omo ⌢. Para nuestro ejemplo tenemos, en primer lugar, la gura 31. −−−−−−−−− b

-1

+ + + +b + + ++ b

0

1

Figura 31

−−−−−−−−−

R

287

Le


Según el teorema 8, en x = −1 hay un mínimo relativo que es f ( −1 ) = −1 y en x = 1 hay un máximo relativo que es f ( 1 ) = 1. En ( −∞, −1 ] y [ 1, ∞ ) la fun ión de re e y, en [ −1, 1 ], re e.

7) Con avidad: ′′

f (x) = =

−4x x2 + 1

2

− 2( x2 + 1 )2x( 2 − 2x2 )

( x2 + 1 ) 4 −4x( x2 + 1 ) − 8x( 1 − x2 ) ( x2 + 1 ) 3

√ √ 4x( x − 3 )( x + 3 ) = = ( x2 + 1 )3 ( x2 + 1 ) 3 √ √ Luego, f ′′ ( x ) = 0 si x = − 3, 0, 3. 4x3 − 12x

⌢ ⌣ ⌢ −−−−−−−−−−− +++++ −−−−− b

b

√

− 3

⌣ + + + + + + + + ++

b

√

0

R

3

Figura 32

√

√

√

√

Según la deni ión 7, los puntos ( − √3, − 23 ), (√0, 0 ) y ( 3, 23 ) son puntos de inexión. √ En ( −∞, √ − 3 ) y ( 0, 3 ) la grá a es

ón ava estri ta, y en ( − 3, 0 ) y ( 3, +∞ ) es onvexa estri ta.

www.fullengineeringbook.net 8) Grá a aproximada:

Con rango [ −1, 1 ], la grá a de esta fun ión apare ería omo en la gura 33. y y=

1

-1

2x x2 + 1

1 -1

Figura 33

x b) Para la fun ión y = x tenemos que: e

1) Dominio: Df = R, ya que ex está denida para ualquier x ∈ R.

x

288


2)

Interse

iones: Eje

X : Si y = 0, enton es x = 0; es de ir, la interse

ión on el eje

Eje

Y : Si x = 0, enton es y = 0; así, la interse

ión on el eje Y

X o urre en el punto ( 0,0 ).

o urre en el punto ( 0,0 ). 3)

4)

Simetrías:

Si sustituimos x por −x, ó, y por −y , obtenemos e ua iones distintas. Luego no hay simetrías ni on el eje X , ni on el eje Y . Tampo o obtenemos una e ua ión de simetría si sustituimos x y y por −x y −y , respe tivamente. Asíntotas:

a)

: Puesto que, utilizando la regla de L'Hpital, se

Horizontales

tiene que

x 1 = l´ım x = 0 x x→+∞ e x→+∞ e l´ım

b)

enton es la re ta y = 0 (eje X ) es asíntota horizontal de la x

urva. Además, obsérvese que l´ım x = −∞. x→−∞

e

: Puesto que ex está bien denida para todo x ∈ R, esta urva no tiene asíntota verti al.

) Obli uas: No tiene asíntota obli uas.

www.fullengineeringbook.net 5)

Verti ales

Puntos ríti os:

f ′ (x) =

ex − x(ex ) 1−x = 2x e ex

Así, f ′ ( x ) = 0 si, y sólo si, x = 1. El úni o punto ríti o es 1. 6)

Cre imiento y de re imiento, máximos y mínimos relativos:

Claramente, f ′ (x) > 0 si x < 1, y f ′ (x) < 0 si x > 1. Así, en (−∞, 1] la fun ión es re iente; y en [1, +∞), la fun ión es de re iente. En x = 1, según el teorema 8 (Condi iones su ientes para la existen ia de un extremo ), tiene un máximo relativo (gura 34). +++++++++++++++ + ++ b

0

7)

Figura 34

b

1

− − − − − − − − −−

Con avidad:

f ′′ (x) =

ex (−1) − (1 − x)ex x−2 = 2x e ex

R

289

Le


Luego f ′′ (x) = 0 sólo uando x = 2. Según la deni ión 7, úni amente el punto (2,2/e2 ) es de inexión. La grá a es ón ava estri ta en (−∞, 2), y onvexa estri ta en (2, +∞). 8) Grá a aproximada: Con rango (−∞, 1/e), la grá a de esta fun ión apare ería omo en la gura 35. y

1/e − 1

x

2

Figura 35: f (x) =

x ex

Ejer i ios 4

1) Dibuje, siguiendo lineamientos espe í os omo los señalados en esta le

ión, las siguientes fun iones:

www.fullengineeringbook.net a ) f ( x ) = x3 − x

) f ( x ) =

ln x − 1 , x

e) f ( x ) = x + ln x,

b ) f ( x ) = xα , x>0 x>0

g) f ( x ) = 1 − 9x − 6x2 − x3 i) f ( x ) =

3x x2 − 1

k) f ( x ) = √ 5.

1 1 , |x| < 2 2 1 − 4x

x ≥ 0, α > 0

( x + 1 )3 , x 6= 1 ( x − 1 )2 x+3 f) f ( x ) = ( x + 1 )( x − 1 ) h) f ( x ) = 3x4 − 7x3 + 2x2

d) f ( x ) =

j) f ( x ) = x3 − 4x2 l) f ( x ) = 3 −

1 x+2

Valores extremos de una fun ión de dos variables

En esta última se

ión de la presente le

ión, onsideraremos preguntas análogas para fun iones de dos variables a las ya realizadas para fun iones de sólo una variable. Supongamos enton es que f : A(⊆ R2 ) −→ R es una fun ión

ualquiera. Se tienen las deni iones siguientes:

290


Deni ión 9. (Máximo relativo y absoluto) Se di e que f (·, ·) tiene un punto de máximo relativo (o lo al ) en ( x0 , y0 ) ∈ A si f ( x, y ) ≤ f ( x0 , y0 ) para todo ( x, y ) en un dis o abierto4 alrededor de ( x0 , y0 ) dentro de A; y se di e que f ( x0 , y0 ) es un punto de máximo absoluto (o global) de f (·, ·) en A si la misma desigualdad se tiene para todo ( x, y ) ∈ A (gura 36).

z = f (x, y)

f (x0 , y0 ) = máximo absoluto

(x0 , y0 ) y

x


Deni ión 10. (Mínimo relativo y absoluto) Se di e que f (· , ·) tiene un punto de mínimo relativo (o lo al ) en ( x0 , y0 ) ∈ Df si existe un dis o abierto alrededor de ( x0 , y0 ) tal que f ( x, y ) ≥ f ( x0 , y0 ) para todo ( x, y ) en la interse

ión del dis o on el dominio Df . Y se di e que f ( x0 , y0 ) es un mínimo absoluto de f (· , ·) en Df si la misma desigualdad se da para todo ( x, y ) ∈ Df (gura 37).

Deni ión 11. (Punto extremo) Se llama punto extremo de una fun ión a un punto de máximo o de mínimo (relativo o absoluto) de ella. 4

Re ordemos de nuevo que un dis o abierto es un onjunto de la forma Dr ( x0 , y0 ) = n o p ( x, y ) ∈ R2 / ( x − x0 )2 + ( y − y0 )2 < r , donde r (el radio del dis o) es un número positivo.

291

Le

ión 3: Elementos bási os de la teoría de la optimiza ión z = f (x, y)

f (x0 , y0 ) = x

(x0 , y0 )

mínimo absoluto

y

Figura 37

Teorema 12. (Condi ión ne esaria para la existen ia de un extremo) Sea

f : A(⊆ R2 ) −→ R 5

to abierto

una fun ión diferen iable, donde

y no-va ío. Si

∇ f ( x0 , y0 ) = ( 0, 0 ).

f ( x0 , y 0 )

A

es un onjun-

es un extremo de la fun ión, enton es

Demostra ión. www.fullengineeringbook.net

Si f ( x0 , y0 ) es un extremo de f ( x, y ), enton es la fun ión f ( x, y0 ), que sólo depende de x, tiene un extremo en x0 y, por tanto (apli ando el teorema 1), ∂f ∂f = 0. De manera similar tendremos que = 0. ∂x ( x0 ,y0 ) ∂y ( x0 ,y0 )

Deni ión 12. (Punto ríti o para fun iones de dos variables)

Diremos que ( x0 , y0 ) es un punto y sólo si ∇ f ( x0 , y0 ) = (0, 0).

ríti o

de la fun ión diferen iable f ( · , · ) si,

Ejemplo 25. a) Si f ( x, y ) = x2 + y 2 , el úni o punto ríti o de esta fun ión es ( 0, 0 ), pues ∇ f |( x,y ) = ( 2x, 2y ) = ( 0, 0 ) si, y sólo si y = x = 0. Claramente es un punto de mínimo absoluto, similar al de la gura 37 después de

olo ar el vérti e en (0,0,0). b) Si f ( x, y ) = 1 − x2 − y 2 , el úni o punto ríti o también es ( 0, 0 ), pues ∇ f |( x,y ) = ( −2x, −2y ) = ( 0, 0 ) si, y sólo si y = x = 0. Es un punto de máximo absoluto, similar al de la gura 36 después de olo ar el vérti e en (0,0,1). 5

Re ordemos también que un onjunto

A

existe un dis o abierto

Dr ( x0 , y0 )

A ⊆ R2

tal que

es abierto si para todo punto

Dr ( x0 , y0 ) ⊆ A.

( x 0 , y0 ) ∈

Matemáti as bási as para e onomistas 2: Cál ulo z

292

x y Figura 38: f ( x, y ) = 1 + x2 − y 2

f ( x, y ) = 1 + x2 − y 2 , el úni o punto donde ∇ f |( x,y ) = ( 2x, −2y ) = ( 0, 0 ) es x = y = 0 omo fá ilmente se tiene. Sin embargo, este punto

) Si

ríti o no es un punto extremo de la fun ión omo se observa en la grá a de la silla de montar (gura 38).

Nota 14. (Es falso que un punto ríti o sea extremo)


Este último ejemplo ) sirve para mostrar que la ondi ión del gradiente nulo

no es su iente para garantizar que el punto sea extremo; es de ir, no todos los puntos ríti os son extremos.

Ejemplo 26. Sea

f ( x, y ) = x3 + y 3 − 3xy + 15.

El ve tor gradiente de

f (· , ·)

es

∇ f |( x,y ) = ( 3x2 − 3y, 3y 2 − 3x ) Este ve tor es igual a ero si, y sólo si

2 si, y sólo si x y

y=0

ó

2 y y

=y = x. x = 1 y y = 1.

3x2 − 3y = 0

y

3y 2 − 3x = 0;

es de ir,

Así, el ve tor gradiente es igual a ero si

x=0

Ejemplo 27.

f ( x, y ) = 1 − x2 + 4xy − y 2 . Notemos que ∇ f |( 0,0 ) = (−2x + 4y, 4x − 2y)|( 0,0 ) = ( 0, 0 ). Así, (0, 0) es un (el úni o) punto ríti o de f (·, ·). Es un Sea

punto de silla, omo se ve en la gura 39.

Le


293

z

y

x

Figura 39: f ( x, y ) = 1 − x2 + 4xy − y 2 Así omo en el aso de una sola variable, también es posible desarrollar un teorema de aproxima ión por polinomios de Taylor para fun iones de dos variables. Es el siguiente:

Teorema 13. Sea

f (· , ·)

(Teorema de Taylor para dos variables)

una fun ión ontinua en

n + 1 existen y son c ∈ ( 0, 1 ) tal que

par iales hasta de orden para ada

( x, y )

existe

( x0 , y 0 )

y tal que todas sus derivadas

( x0 , y0 ).

ontinuas en

Enton es

www.fullengineeringbook.net f ( x, y ) = f ( x0 , y0 ) + 1 2!

"

"

# ∂f ∂f ( x − x0 ) + ( y − y0 ) + ∂x ( x0 ,y0 ) ∂y ( x0 ,y0 )

# ∂ 2 f ∂2f ∂ 2 f 2 2 ( x − x0 ) + 2 ( x − x0 )( y − y0 ) + ( y − y0 ) + ∂x2 ( x0 ,y0 ) ∂x∂y ∂y 2 ( x0 ,y0 )

"

∂ 3 f ∂ 3 f 3 ( x − x0 ) + 3 ( x − x0 )2 ( y − y0 ) + ∂x3 ( x0 ,y0 ) ∂x2 ∂y ( x0 ,y0 ) # 3f ∂ 3 f ∂ 3 ( x − x0 )( y − y0 )2 + ( y − y0 )3 + · · · + ∂x∂y 2 ( x0 ,y0 ) ∂y 3 ( x0 ,y0 ) 1 ∂ ∂ n ( x − x0 ) + ( y − y0 ) f + · · · + Rn+1 ( x ) n! ∂x ∂y ( x0 ,y0 ) 1 3!

donde

1 Rn+1 ( x ) ≡ ( n + 1 )!

"

∂ ∂ ( x − x0 ) + ( y − y0 ) ∂x ∂y

n+1

# f

( cx+( 1−c )x0 , cy+( 1−c )y0 )


294

para algún

c, 0 < c < 1.

Además, si

l´ım Rn+1 ( x ) = 0

n→∞

x, se a ostumbra es ribirlo en la forma : " # ∂f ∂f f ( x, y ) = f ( x0 , y0 ) + ( x − x0 ) + ( y − y0 ) + ∂x ( x0 ,y0 ) ∂y ( x0 ,y0 ) independientemente de

1 2!

"

# 2f 2f ∂ 2 f ∂ ∂ ( x − x0 )2 + 2 ( x − x0 )( y − y0 ) + ( y − y0 )2 + ∂x2 ( x0 ,y0 ) ∂x∂y ∂y 2 ( x0 ,y0 )

1 3!

"

∂ 3 f ∂ 3 f 3 ( x − x0 ) + 3 ( x − x0 )2 ( y − y0 ) + ∂x3 ( x0 ,y0 ) ∂x2 ∂y ( x0 ,y0 )

# 3f ∂ 3 f ∂ 3 ( x − x0 )( y − y0 )2 + ( y − y0 )3 + · · · + ∂x∂y 2 ( x0 ,y0 ) ∂y 3 ( x0 ,y0 )

www.fullengineeringbook.net 1 n!

∂ ∂ ( x − x0 ) + ( y − y0 ) ∂x ∂y

n

f

( x0 ,y0 )

+ ···

que denominaremos expansión en serie de Taylor de la fun ión del punto

( x0 , y0 ).

f (· , ·) alrededor

Demostra ión.

Aplíquese el teorema de Taylor (teorema 6) a la fun ión

u

f (x0 + t(x − x0 ), y0 + t(y − y0 ))

pequeño.

para

t ∈ [−δ, δ] y δ > 0

denida por

u(t) =

Ejemplo 28.

Cal ulemos la expansión en serie de Taylor de las siguientes fun iones alrededor del punto

( 0, 0 ): f ( x, y ) = ex+y ;

f ( x, y ) = sen x sen y .

Solu ión.

a) Por un argumento similar al del numeral ) del ejemplo 7 (expansiones de Taylor fundamentales) se tiene que expansión en serie de Taylor de

f ( x, y ) =1 +

"

l´ım Rn+1 ( x ) = 0.

n→∞

f ( x, y ) =

Por tanto, la

ex+y alrededor de

# ∂f ∂f x +y + ··· ∂x ( 0,0 ) ∂y ( 0,0 )

( 0, 0 )

es

Le


1 2

"

295

# 2f 2f 2f ∂ ∂ ∂ x2 + 2xy ( 0, 0 ) + y 2 + ∂x2 ( 0,0 ) ∂x∂y ∂y 2 ( 0,0 )

" # 3 3 ∂ 3 f 1 3 ∂ 3 f 2 2 ∂ f 3 ∂ f x + 3x y + 3xy +y 6 ∂x3 ( 0,0 ) ∂x2 ∂y ( 0,0 ) ∂x∂y 2 ( 0,0 ) ∂y 3 ( 0,0 ) ∂ ∂ n 1 x +y f + ··· + ··· + n! ∂x ∂y ( 0,0 )

Observemos que todas las derivadas de f ( x, y ) = ex+y son iguales a la fun ión. Por tanto, todas las derivadas de ex+y evaluadas en ( 0, 0 ) son iguales a 1. Así, ex+y = 1 + ( x + y ) +

1 1 1 ( x + y )2 + ( x + y )3 + · · · + ( x + y )n + · · · 2! 3! n!

b) Todas las derivadas de orden impar de f ( x, y ) = sen x sen y son iguales a ero. Así, la expansión en serie de Taylor de f ( x, y ) = sen x sen y alrededor de ( 0, 0 ) es sen x sen y =

1 1 1 2xy − ( 4x3 y + 4xy 3 ) + ( 6x5 y + 20x3 y 3 + 6xy 5 ) + · · · 2! 4! 6!

www.fullengineeringbook.net N

Ahora: nuestro próximo propósito será en ontrar ondi iones su ientes que permitan lasi ar los puntos ríti os entre máximos relativos, mínimos relativos, puntos de silla y, tal vez, otros asos. Si re ordamos lo en ontrado para fun iones de una sola variable, no es de extrañar que la solu ión a este problema sea re urrir a las segundas derivadas par iales. Enun iemos primero el teorema y después anali emos por qué esto debe ser así. Teorema 14.

(Criterio de segunda derivada para extremos relativos)

Sea f : A(⊆ R2 ) −→ R una fun ión on primeras y segundas derivadas ontinuas en A. Sea ( x0 , y0 ) ∈ A tal que ∇ f |( x0 ,y0 ) = (0, 0). Llamemos ∂ 2 f a≡ , ∂x2 ( x0 ,y0 )

∂ 2 f b≡ ∂x∂y ( x0 ,y0 )

y

∂ 2 f c≡ ∂y 2 ( x0 ,y0 )

Enton es se tienen los siguientes asos: i) Si ac − b2 > 0 y a < 0, enton es ( x0 , y0 ) es un máximo relativo de f ( x, y ). ii) Si ac − b2 > 0 y a > 0, enton es ( x0 , y0 ) es un mínimo relativo de f ( x, y ).


296 iii)

Si

iv)

Si

ac − b2 < 0,

enton es

ac − b2 = 0, el

ríti o ( x0 , y0 ).

( x0 , y 0 )

es un punto de silla de

f ( x, y ).

riterio no permite determinar la naturaleza del punto

Demostra ión.

F ( t ) = f ( x0 + t∆x, y0 + t∆y ), t ∈ [ 0, 1 ]. n = 2 en el intervalo [ 0, 1 ],

Sea

Por el teorema de Taylor para

F ( 1 ) = F ( 0 ) + F ′ ( 0 )( 1 − 0 ) + F ′′ ( c ) para algún número

c

∂f ∂f ∆x + ∆y; y, ∂x ∂y ∂f ∂f ′ F (0) = ∆x + ∂x ∂y iii)

(1)

entre 0 y 1. Pero,

F (1) = f ( x0 + ∆x, y0 + ∆y );

i)

( 1 − 0 )2 2

F ′ (t) =

ii)

F (0) = f ( x0 , y0 )

por tanto,

∆y;

www.fullengineeringbook.net ( x0 ,y0 )

iv)

( x0 ,y0 )

d ∂f d ∂f F (t) = ∆x + ∆y dt ∂x dt ∂y 2 2 ∂2f ∂ f ∂2f ∂ f ∆x + ∆y ∆x + ∆y + ∆x ∆y = ∂x2 ∂y∂x ∂y 2 ∂x∂y ′′

∂2f ∂2f ∂2f 2 (∆x) + 2 ∆x ∆y + (∆y)2 ∂x2 ∂x∂y ∂y 2 ∂ 2 f ∂ 2 f ′′ 2 F (c) = (∆x) + 2 ∆x ∆y ∂x2 ( x0 +c∆x,y0+c∆y ) ∂x∂y ( x0 +c∆x,y0+c∆y ) ∂ 2 f + (∆y)2 ∂y 2 ( x0 +c∆x,y0+c∆y ) =

Así, de (1) obtenemos que

f ( x0 + ∆x, y0 + ∆y ) = f ( x0 , y0 ) +

pues

∂f ∂f = = 0. ∂x ( x0 ,y0 ) ∂y ( x0 ,y0 )

1 ′′ F (c) 2

Le


297

Ahora observemos que

∂ 2 f F ′′ ( c ) = ∂x2 (x0 +c∆x,y0 +c∆y)

+

!2 ∂ 2 f ∂ 2 f ∆x + ∆y ∂x2 (x0 +c∆x,y0+c∆y) ∂x∂y (x0 +c∆x,y0 +c∆y)

! ∂ 2 f ∂ 2 f ∂ 2 f 2 −( ) (∆y 2 ) ∂x2 (x0 +c∆x,y0 +c∆y) ∂y 2 (x0 +c∆x,y0+c∆y) ∂x∂y (x0 +c∆x,y0 +c∆y)

(2)

y, por tanto, para a) Si

∆x

ac − b2 > 0

máximo lo al

y

∆y

son su ientemente pequeños, tendremos que:

a < 0, enton es, de en t = c; esto impli a y

F ′′ ( c ) < 0 y así, f (·) tiene un f (·) tiene un máximo lo al en

(2), que

( x0 , y0 ). b) Si

ac − b2 > 0

y

mínimo lo al en

a > 0, enton es, ( x0 , y0 ).

de (2),

F ′′ ( c ) > 0

y así,

F (·)

tiene un

ac−b2 < 0 existen ombina iones de ∆x y ∆y que ha en que F ′′ ( c ) < 0, ′′ y ombina iones de ∆x y ∆y que ha en que F ( c ) > 0. Por tanto, F (·) tiene un punto de silla en ( x0 , y0 ).

) Si

www.fullengineeringbook.net d) Si

b2 − ac = 0,

para todo

sólo podemos obtener que

∆x, ∆y .

a er a del signo de

∂ 2 f F ′′ ( c ) > 0 ∂x2 (x0 +c∆x,y0+c∆y)

De manera que no es posible obtener informa ión

F ′′ ( c ).

Deni ión 13. (Matriz hessiana (Hesse (1842), Sylvester (1851))) La

matriz hessiana de la fun ión dos ve es diferen iable on ontinuidad f ( x, y ) ( x, y ), denotada H( x, y ), está denida omo  2  ∂ f ∂ 2 f  ∂x2 ∂x∂y ( x,y )  ( x,y )   ; H( x, y ) =   2  2f  ∂ f  ∂ 2 ∂y∂x ( x,y ) ∂y ( x,y )

evaluada en el punto

es de ir, la matriz hessiana es la segunda derivada de una fun ión de dos variables. Además, por el teorema 23 de la le

ión 2,

∂2f ∂2f = ; ∂y∂x ∂x∂y

así,

la


298

matriz hessiana es una matriz simétri a (volumen 1: Álgebra lineal). Utilizando esta matriz, podemos rees ribir el teorema 14 así: a)

b)

∂ 2 f Si el determinante de H( x0 , y0 ) es positivo y es negativo, ∂x2 ( x0 ,y0 ) es de ir, si la matriz hessiana es denida negativa en ( x0 , y0 ), enton es f ( x0 , y0 ) es un máximo relativo de f ( x, y ). ∂ 2 f Si el determinante de H( x0 , y0 ) es positivo y es positivo, ∂x2 ( x0 ,y0 ) es de ir, si la matriz hessiana es denida positiva en ( x0 , y0 ), enton es f ( x0 , y0 ) es un mínimo relativo de f ( x, y ). H( x0 , y0 ) f ( x, y ).

) Si el determinante de punto de silla de

es negativo, enton es

( x0 , y 0 )

es un

Ejemplo 29. (Comportamiento de las formas uadráti as) Sea

f ( x, y ) = ax2 + 2bxy + cy 2 + d; a, b, c 6= 0. ∂f = 2ax + 2by ; ∂x

Aquí,

∂f = 2bx + 2cy ∂y

(1)

www.fullengineeringbook.net ∂2f = 2a ; ∂x2

Si

b2 − ac 6= 0,

enton es el

∂2f = 2c ; ∂y 2

úni o

∂2f = 2b ∂x∂y

punto ríti o es

( 0, 0 ),

pues de (1),

2ax + 2by = 0 2bx + 2cy = 0 tiene úni a solu ión

( 0, 0 )

si, y sólo si el determinante

(2)

2a 2b 2 2b 2c = 4 ac − b

es diferente de ero. Ahora: apli ando el teorema 14, se tiene que a)

f ( 0, 0 )

es máximo lo al si

a < 0, ac − b2 > 0.

b)

f ( 0, 0 )

es mínimo lo al si

a > 0, ac − b2 > 0.

)

f ( 0, 0 )

es punto de silla si

ac − b2 < 0.

Nota 15. El he ho de que las ondi iones para extremos del teorema 14 on uerden on las ondi iones para extremos de las formas uadráti as no es oin iden ia. De he ho, la prueba del teorema es sólo la parte formal del siguiente argumento geométri o basado en la expansión de Taylor de la fun ión:

Le

ión 3: Elementos bási os de la teoría de la optimiza ión a) Si un punto

( x0 , y0 ) es de máximo lo al

de una super ie

poder ajustársele, alrededor del punto

f ( x0 , y0 ),

299

f ( x, y ), debería

una forma uadráti a

omo la de la gura 40.

z0 = f (x0 , y0 ) super ie z = f (x, y) b

forma uadráti a alrededor de f (x0 , y0 )

Figura 40 b) Y si un punto

( x0 , y 0 )

es de

mínimo lo al

de una super ie

f ( x, y )

debería también poder ajustársele una forma uadráti a omo la de la gura 41.

) De manera similar para el punto ríti o

( x0 , y 0 )

que es silla de montar.

www.fullengineeringbook.net super ie z = f (x, y)

forma uadráti a alrededor de f (x0 , y0 ) b

z0 = f (x0 , y0 )


Sea

f ( x, y ) = x2 + xy + y 2 − αx − βy .

En ontremos los máximos, los mínimos

y los puntos de silla de esta fun ión. Solu ión.

El ve tor gradiente de

f (· , ·)

es

∇ f |( x,y ) = ( 2x + y − α, x + 2y − β ) Este ve tor es igual a ero si, y sólo si

∂2f = 2; ∂x2

x=

∂2f = 2; ∂y 2

2α − β 3

y

y=

∂2f =1 ∂x∂y

2β − α . 3

Además,


300

La matriz hessiana de esta fun ión es

H( x, y ) =

2 1 1 2

∂2f = 2 y det H( x, y ) = 3 > ( x, y ) en el dominio de f (· , ·). Como ∂x2 2α − β 2β − α , es un mínimo relativo de f (· , ·). 0, enton es f 3 3 para todo

Ejemplo 31. Sea

f ( x, y ) = x3 + xy 2 + xy .

En ontremos los máximos relativos, los mínimos

relativos y los puntos de silla de esta fun ión.

Solu ión. El ve tor gradiente de

f (· , ·)

es

∇f |( x,y ) = ( 3x2 + y 2 + y, 2xy + x ) Este ve tor es igual a ero si

y=

− 21 ;

ó

x=−

√

12 12 , y

=

x=0

− 21 ;

ó

y

x=

y=0

− √112 , y

ó

=

x=0 − 21 .

y

y = −1;

ó

x=

√

12 12

y

Además,

www.fullengineeringbook.net ∂2f = 6x ; ∂x2

∂2f = 2x ; ∂y 2

∂2f = 2y + 1 ∂x∂y

La matriz hessiana es

H( x, y ) =

6x 2y + 1 2y + 1 2x

y su determinante es

| H( x, y ) | = 12x2 − ( 2y + 1 )2 ∂ 2 f Como = 0 y | H( 0, 0 ) | = −1 < 0, enton es ( 0, 0 ) es un punto de ∂x2 ( 0,0 ) silla de f (· , ·). ∂ 2 f Puesto que = 0 y | H( 0, −1 ) | = −1 < 0, enton es ( 0, −1 ) es otro ∂x2 ( 0,−1 ) punto de silla de f (· , ·). √ √ ∂ 2 f 12 √12 1 12 1 Como = y H , − = 1 > 0 , enton es f , − 12 2 12 2 ∂x2 √12 ,− 1 2 12

2

es un mínimo relativo de

f (· , ·).

Le


¾Qué su ede en el punto (−

301

√

12 1 12 , − 2 )?

Ejemplo 32.

Sea f ( x, y ) = x2 + xy + y 2 − 6x + 3. En ontremos los máximos relativos, los mínimos relativos y los puntos de silla de esta fun ión. Solu ión.

El ve tor gradiente de f (· , ·) es ∇ f |( x,y ) = ( 2x + y − 6, x + 2y )

Este ve tor es igual a ero si, y sólo si, x = 4 y y = −2. Además, ∂2f = 2; ∂x2

∂2f = 2; ∂y 2

∂2f =1 ∂x∂y

La matriz hessiana de esta fun ión es

2 1 H( x, y ) = 1 2

www.fullengineeringbook.net ∂2f

para todo ( x, y ) en el dominio de f (· , ·). Como 2 = 2 y det H( x, y ) = 3 > ∂x 0, enton es f ( 4, −2 ) es un mínimo relativo de f (· , ·) (gura 42). z (4, −2)

x

y −9

Figura 42: f (x, y) = x2 + xy + y 2 − 6x + 3 Ejemplo 33. (Un problema de fabri a ión)

Determinemos uál es la menor antidad posible de material que se requiere para ha er una aja re tangular delgada (sin tapa) de un volumen asignado v.

302


Solu ión.

Si los lados de la base de esta aja son x y y , enton es su altura será por tanto, la super ie S de la aja estará dada por

v y, xy

v ( 2x + 2y ) xy El problema enton es es minimizar S(·, ·) para x > 0, y > 0. S( x, y ) = xy +

Nuestra teoría de optimiza ión estudiada en esta le

ión nos di e que si el mínimo se al anza en ( x0 , y0 ) ∈ R2++ , enton es ∂S = 0, ∂x ( x0 ,y0 )

∂S = 0; ∂y ( x0 ,y0 )

√ 2v 2v = 0 y x0 − 2 = 0 y, por tanto, x0 = y0 = 3 2v y h = 2 x0 y0 La matriz hessiana de S( x, y ) es # " 4v 1 x30 H( x, y ) = 1 y4v3

es de ir, y0 −

r 3

v . 4

0

Luego,

2 1 H( x0 , y0 ) = 1 2

www.fullengineeringbook.net ∂ 2 f = 2 y det H( x0 , y0 ) = 3 > 0, enton es S( x0 , y0 ) es un Como ∂x2 ( x0 ,y0 ) mínimo relativo de S( x, y ). Este (x0 , y0 ) es la solu ión a nuestro problema.

Ejer i ios 5 1) En uentre, si existen, los puntos ríti os de las siguientes fun iones, y determine, utilizando el riterio del hessiano, si estos son máximos lo ales, mínimos lo ales o puntos de ensilladura: b) f ( x, y ) = 9x3 + y 3 − 4xy a) f ( x, y ) = x2 − 5xy − y 2

) f ( x, y ) = x3 − 3xy 2 + y 3 d) f ( x, y ) = x sen y 3 3 e) f ( x, y ) = x + y f) f ( x, y ) = 6x2 − 2xy + y 2 g) f ( x, y ) = 3x2 + 2xy + x2 h) f ( x, y ) = x3 y 2 ( 6 − x − y ) i) f ( x, y ) = x3 + y 3 + 3xy

j) f ( x, y ) = e−x

2 −y 2

(x2 + 2y 2 )

2) Compare el teorema 9 on el teorema 14 (versión matriz hessiana) ¾Observa elementos omunes? Explique laramente.

Le

ión 3: Elementos bási os de la teoría de la optimiza ión 6. a.

303

Contexto e onómi o Una nota sobre el individualismo metodológi o

Para la Físi a del siglo XVII y mediados del siglo XVIII, el universo estaba

onformado por pequeñas partí ulas ( uya existen ia no era expli ada) que se

omportaban de a uerdo on leyes me áni as simples: era la físi a de Galileo, Newton, Lagrange y Lapla e. Y aunque las ien ias so iales (y, en parti ular, la e onomía) son muy diferentes del punto de vista me áni o de la físi a, el individualismo metodológi o allí es un esquema teóri o análogo al de la me áni a. Según esta visión, la e onomía está onformada por agentes individuales

(partí ulas) que intera túan de a uerdo on leyes bien denidas y, así, todo

omportamiento e onómi o es una onse uen ia del omportamiento bási o de sus agentes y de sus intera

iones. Aunque el pensamiento e onómi o desde al menos la épo a de Adam Smith [1723-1790℄ tiene en su entro al individuo que toma de isiones, la formula ión de la perspe tiva individualista en e onomía se a ostumbra aso iar on la es uela austria a y, muy en parti ular, on Carl Menger [1840-1921℄. En su Prin iples of E onomi s (en alemán, Grundsatze Der Volkwirts hattslehre ) de 1871, Menger habría de plantear una ontroversia metodológi a que tendría fuertes onse uen ias en la historia de la e onomía, parti ularmente por


su desa uerdo on la es uela de e onomistas lási os que lo pre edieron. En el prefa io de su libro de ía sobre esto:Me he propuesto redu ir el omplejo

fenómeno de la a tividad e onómi a humana a los elementos más simples pero que aún puedan ser sujetos de observa ión pre isa, e investigar la forma en la

ual los fenómenos e onómi os más omplejos se dedu en de sus elementos de a uerdo on prin ipios bien denidos . No abe duda de que Menger estaba seguro de que éste era el úni o método posible de investiga ión e onómi a. Y su perspe tiva tiene una posi ión entral en los e onomistas de hoy en día. En parti ular, en su análisis nal, desembo ó en la on ep ión de que ualquier e onomía sólo puede entenderse y expli arse

en términos de onsumidores y rmas. Los on eptos agregados, in luyendo la no ión de e onomía na ional, no podrían tener existen ia ni signi ado independiente. Un punto entral en este debate es, sin duda, la ríti a de Menger a la no ión de e onomía na ional. Para Menger ésta era el produ to de mu hos

esfuerzos e onómi os individuales, y para omprenderla se requería entender las e onomías parti ulares de la na ión. Aún así, Menger no expli a laramente ni lo que es el individualismo metodológi o, omo tampo o el on epto so ial de mer ado. Re ono e que las e onomías parti ulares omer ian unas on otras

on el objeto (ha e énfasis en esto) de servir a los individuos y no a la na ión

omo unidad. Para Menger, la e onomía na ional es un omplejo de e onomías y no una e onomía en sí misma.


304

Aun así, de tiempo en tiempo, apare en lapsus de la perspe tiva del individualismo metodológi o. El desarrollo de lo que hoy llamamos ma roe onomía durante la segunda mitad del siglo XX, es de ir, la llamada revolu ión keynesiana a través de la síntesis del modelo hi ksiano del IS-LM, podría interpretarse en este sentido. De ualquier forma, las búsquedas re ientes de mi rofundamentos para la ma roe onomía keynesiana revelan una búsqueda de regreso al individualismo metodológi o ahora en la arena ma roe onómi a. De he ho, la eviden ia pare iera sugerir que, después de asi setenta años de e onomía keynesiana, los e onomistas no desean abandonar esta metodología, quizás basados en la idea de que el problema de agrega ión (el todo omo suma de sus

partes ) se debería resolver satisfa toriamente de alguna forma. Esto, de he ho, no se ha logrado y el puente dire to entre la mi roe onomía y la ma roe onomía no ha podido onstruirse. Quizás el problema radi a, pre isamente, en el enfoque metodológi o individualista.

b.

Una nota sobre la revolu ión marginalista

Por lo menos desde Epi uro [341-270 a.C.℄ y Aristóteles [384-322 a.C.℄ el término utilidad ha apare ido en la historia de la losofía y de la e onomía políti a y su primera onnota ión fue la de apa idad de un bien o servi io

6

para satisfa er un deseo . Esta no ión de deseo es, laramente, un on ep-


to subjetivo y ontrasta on el on epto objetivo de qué tan ade uado es ese bien o servi io para determinado propósito. Sin embargo, para la mayoría de los e onomistas lási os de los siglos XVIII y XIX, esta distin ión no siempre

fue lara. Por ejemplo, Adam Smith (1776) onfundía utilidad on valor de uso. Los diamantes pueden ser inútiles omo aseguraba Smith, pero podrían todavía tener utilidad en el sentido de ser deseados. Con las notables ex ep iones de Jean Baptiste Say y Nassau Senior, este argumento tan equivo ado fue a eptado por el resto de la es uela lási a. Por ejemplo, para Ri ardo (1817)

7

y otros lási os, la utilidad era una ondi ión ne esaria, pero no su iente, para que un bien tuviera valor. Además nun a tuvieron una teoría ompleta que rela ionara el on epto de utilidad on los de demanda y pre ios de mer ado, pues esto no fue de interés para ellos (la no ión que perseguían era la de pre io

natural (largo plazo) y no la de pre io de mer ado ( orto plazo)).

8 el primero en pre isar una ompleta expli-

Fue, quizás, Jules Dupuit (1844)

a ión de que la rela ión entre utilidad y demanda requería la distin ión entre utilidad total e in rementos de utilidad (utilidad marginal), y que el onsumo 6 7 8

Agradez o a Gian arlo Romano el advertirnos sobre los orígenes epi úreos del término utilidad. Ri ardo, David (1817), Prin iples of Politi al E onomy and Taxation, London: John Murray. Dupuit, Jules (1844), On the Measurement of the Utility of Publi Works, Interna-

tional E onomi Papers, No. 2. Londres: Ma millan, 1952.

Le


305

de in rementos su esivos de una mer an ía muestra in rementos de re ientes de satisfa

ión o utilidad al onsumidor (marginalidad de re iente de la utili-

9

dad) . Dupuit también mostraba que el área total bajo la urva de demanda representa la utilidad total derivada de la mer an ía (ex edente del onsumidor). Pero aunque la importan ia de Dupuit en la revolu ión marginalista es ahora bien re ono ida, no lo fue en su épo a. Tampo o lo fue para el alemán Hermann H. Gossen (1854), quien fuera uno de los e onomistas que más aportara a la teoría de la utilidad marginal en este período. Su libro de 1854 ontenía no sólo la ley de los deseos sa iados (marginalidad de re iente de la utilidad), sino también la ondi ión de que para

maximizar la utilidad (satisfa

ión) de ualquier bien apaz de satisfa er varios deseos, éste debe ser utilizado entre usos de tal manera que se igualen sus

10 . Este libro, sin embargo, sólo re ibiría aten ión hasta

utilidades marginales

1878 (veinte años después de la muerte de su autor) uando fue des ubierto a

identalmente por R. Adamson y William S. Jevons. Para esta épo a ya el análisis e onómi o, bajo la luz de la no ión de utilidad marginal, omenzaba a tener un lugar, y este ambio se a ostumbra a fe har en 1871 on la publi a ión simultánea de los trabajos de Jevons en Inglaterra y Menger en Austria,

omo también el de Walras (1874)

11 en Suiza. Todos ellos estudiaban la teoría

del valor en la ual la no ión de marginalidad de re iente de la utilidad era


entral. Pare e, sin embargo, que estos tres autores (Jevons, Menger y Walras)

llegaron a las ideas marginalistas fundamentales, no sólo independientemente, sino también sin deuda, a este respe to, on sus prede esores Dupuit y Gossen.

Este ejemplo de des ubrimiento simultáneo es lo que se ono e ahora on el nombre de la revolu ión marginalista . El premio Nobel en e onomía de 1972,

12 de ía a este respe to que la novedad esen ial en el trabajo

John Hi ks (1976),

de estos e onomistas fue que en lugar de basar su e onomía en produ

ión y distribu ión, la basaron en inter ambio . Aún así, el análisis marginal abriría el

ompás para analizar no sólo onsumo sino también produ

ión y distribu ión. Un elemento prin ipal en este ambio de dire

ión en el pensamiento e onómi o fue el paso del on epto lási o de valor de uso al on epto de utilidad hedonista (medida a través de lo que Jevons llamó grado nal de utilidad) logrado on el inter ambio de bienes para maximizar la satisfa

ión. Para Jevons (y sólo para él) la teoría de la utilidad era entral en la estru tura del análisis e onómi o (el valor depende enteramente de la utilidad, de ía; y 9 10

Esta es la no ión de on avidad de la fun ión de utilidad. Para maximizar

u( x ) − v( x ) debemos tener al menos que u′ ( x ) = v ′ ( x ), donde u(·)

11

y v(·) son fun iones de utilidad. Walras, Léon (1874), Elements of Pure E onomi s, Homewood, vol. I(11): Ri hard

12

Irwin. Hi ks, John (1976), Revolutions in E onomi s in Method and Appraisal in E onomi s, Ed. J.J. Latsis. Cambridge and New York: Cambridge University Press.


306

agregaba que la e onomía políti a debería fundarse sobre una ompleta y pre isa investiga ión de las ondi iones de utilidad(1871)

13 ). Para Walras y

Menger, la teoría de la utilidad era sólo una parte de una estru tura analíti a mu ho más grande. Para Walras (quien, quizás, fuera el más laro, el más riguroso y también el más intuitivo de los tres) el problema era el del fenómeno del mer ado y no el de la teoría del onsumo: su problema era más la satisfa

ión del onsumidor en la plaza de mer ado que en el omedor de la asa (Jaé

14 ). Para Menger el problema sí era el desarrollo de una teoría del om-

(1973)

portamiento del onsumidor pensando que los individuos bus an satisfa er sus ne esidades subjetivas de la forma más e iente posible. Fue él quien elaboró mu has de las proposi iones esen iales ono idas hoy bajo el nombre de teoría del omportamiento maximizador del onsumidor, aunque debe señalarse que Menger, más laro que Jevons, fue menos formal. Aún así, ninguno de estos pioneros de la teoría marginalista logró estable er rela iones pre isas entre, por ejemplo, la utilidad del individuo y la fun ión de demanda, o entre la demanda del mer ado y el pre io del mer ado. Este sería el

15 y Edgeworth (1899)16 . Algunas de las prin ipales

trabajo de Marshall (1890)

ríti as de la épo a a la teoría marginalista radi aban en la integra ión de la teoría de la utilidad on la psi ología hedonista y en los problemas de medir el bienestar en términos de la utilidad. En años posteriores, el problema de la


agrega ión de la utilidad también ha puesto en di ultades a los e onomistas. Ninguno de los pioneros men ionados pare ió haber advertido estos problemas.

Marshall (1890) a eptaba la idea de utilidad omo medible ardinalmente y permitía la posibilidad de ompara iones interpersonales de utilidad. La teoría de la utilidad ardinal siempre estuvo en la base de la teoría de la demanda de Marshall. Fue a partir de esta teoría de la demanda que se originó el trabajo

17 sobre e onomía del bienestar. Pigou nun a habló

de su su esor Pigou (1920)

de algo así omo utilidad agregada; en su lugar tomó el dividendo na ional de Marshall (es de ir, el ingreso agregado real) omo la ontraparte objetiva del bienestar e onómi o. Pigou aseguraba que el bienestar e onómi o sería mayor

uando el ingreso real aumentara, uando las u tua iones en su antidad se redujeran, y uando fuera distribuido de manera más equitativa entre las personas. En la dé ada de 1930, los e onomistas se mostraban muy in ómodos on la idea 13 14

15 16 17

Jevons, William S. (1871), The Theory of Politi al E onomy, New York: A.M. Kelley, 1965. Jaé, William (1973), Léon Walras's Role in the 'Marginal Revolution' of the 1870's in The Marginal Revolution in E onomi s, ed. R.D. Collison Bla k, A.W. Coats and C.D. Goodwin, Durham, NC: Duke University Press. Marshall, Alfred (1890), Prin iples of E onomi s, London: Ma millan. Edgeworth, Fran is (1899), Utility in Di tionary of Politi al E onomy, ed. R.H.I. Palgrave. vol. 3. London: Ma millan Pigou, Arthur C. (1920), The E onomi s of Welfare, London: Ma millan.

Le


307

de medida de la utilidad y on sus ompara iones interpersonales y la teoría de la utilidad mostraba signos de redu irse a una tautología estéril. En 1934, Hi ks y Allen utilizaron las té ni as de las urvas de indiferen ia de Edgeworth (desarrolladas por Pareto) para presentar una teoría del onsumidor que sólo

ompara iones ordinales de satisfa

ión. Posteriormente, la teoría de las preferen ias reveladas de Samuelson (1948)18 y la demostra ión de oninvolu rara

di iones bajo las uales un orden puede representarse mediante una fun ión

19 ) apa iguaron esta dis usión sobre las que onside-

numéri a (Debreu (1954)

raban unas dudosas hipótesis psi ológi as: se había ganado una posibilidad desde lo

empíri o que antes no tenía. Pero no fue el on epto de ex edente del

onsumidor de Dupuit, ni el tipo de e onomía del bienestar desarrollada por Marshall, Pigou, Hotelling, Lange, Allais y otros, sino el on epto de

e onómi o de Pareto

óptimo

el que se posi ionó en la teoría e onómi a moderna on

más rmeza (una posi ión es Pareto-óptima si es imposible mejorar el bienestar de algún agente sin desmejorar el de otro), para mostrar que había algo útil en la teoría marginalista. Después del fervor de los años treinta, la visión marginalista omenzó a desplazar, virtualmente, a todas las otras teorías y aproxima iones a la e onomía. La revolu ión marginalista no sólo fue algo que su edió en la dé ada de 1870, sino que requirió seis dé adas más para estable erse. A tualmente, viene de re-


iendo su impa to, pues otros paradigmas evitan su ompleto dominio. Entre

ellos están la es uela poskeynesiana, la ontrarrevolu ión lási a-sraana y la teoría de intera

iones. Las dos primeras han sido, on diferentes grado de éxito, derrotadas por los neo lási osen algunas batallas. La teoría de intera

iones, sin embargo, ha mostrado ser un ontendor más resistente y reha e ahora un nueva visión de la teoría e onómi a.

.

Ejemplos de ra ionalidad y marginalismo

El marginalismo es laramente impli ado por el que se ha dado en llamar

prin ipio de ra ionalidad

(tratar de al anzar lo máximo o lo mínimo on los

medios a disposi ión). Obviamente, la rela ión entre ra ionalidad y margina-

f (·) x0 , enton es f ′ ( x0 ) = 0; o si f (· , ·) tiene un extremo en ∇ f ( x0 , y0 ) = ( 0, 0 )). La e onomía, en un sentido estre ho,

lismo se expresa mediante los teoremas 1 y 12 de esta le

ión (es de ir, si tiene un extremo en

( x0 , y0 ), enton es

se ha onnado a iertos aspe tos de ondu ta que pueden expli arse median18

Samuelson, Paul (1947),

Foundations of E onomi Analysis, Cambridge, Mass.: Har-

vard University Press. 19 Debreu, Gerard (1954), Representation of a Preferen e Ordering by a Numeri al Fun tion, in

De ision Pro esses.

York: Wiley.

R.M. Thrall, C.H. Coombs and R.L. Davis, eds. New


308

te este prin ipio. Algunos onsideran, in luso, que desvia iones del prin ipio marginalista serían irra ionales.

a) Problemas típi os del onsumidor ra ional: máxima utilidad y mínimo gasto El

onsumidor, denido omo ualquier grupo de individuos ( on propósito uni-

ado) que omparten un ingreso que utilizan en adquirir bienes de onsumo y servi ios, es una de las institu iones bási as de la teoría e onómi a basada en el individualismo metodológi o. Los problemas típi os de un idealizado

onsumidor ra ional •

son:

x, y de tal manera maximi e su satisfa

ión, medida mediante una fun ión de utilidad hedonista u( x, y ), sujeta a su presupuesto monetario M > 0 y a los pre ios de mer ado de los bienes x y y , denotados, respe tivamente, por px > 0 y py > 0 (que asume dados por el mer ado); es de ir, el En ontrar la distribu ión de onsumo de los bienes

que

onsumidor debe resolver el problema

Maximizar

u( x, y )

www.fullengineeringbook.net sujeta a

px x + py y = M

x ≥ 0, y ≥ 0

Sustituyendo la restri

ión presupuestal en la fun ión de utilidad podemos res ribir el problema de máxima utilidad omo

m´ ax u x≥0

Asumamos que mer orden es

u(· , ·)

px M x, − x py py

(1)

es una fun ión diferen iable. La ondi ión de pri-

∂u ∂u + ∂x ∂y o, equivalentemente, si

px − py

∂u(x∗ , y ∗ ) 6= 0, ∂y

∂u( x∗ , y ∗ ) px ∂x = ; ∂u( x∗ , y ∗ ) py ∂y

=0

Le


309

es de ir, el o iente de utilidades marginales es igual a la rela ión de pre ios de los bienes. Pero este

( x∗ , y ∗ )

resuelve realmente el problema

de máxima utilidad si se satisfa e la ondi ión de segundo orden para que la fun ión (1) sea ón ava:

∂2u ∂x2

∂u ∂y

2

∂u ∂u ∂ 2 u ∂2u −2 + 2 ∂x ∂y ∂x∂y ∂y

∂u ∂x

2

<0

(¾Podría el le tor omprobar esto? Basta en ontrar la ondi ión para que la fun ión

•

(∗)

anterior sea ón ava)

En ontrar la distribu ión de onsumo de los bienes que

x, y

de tal manera

sujeto a obtener ierto nivel dado de utilidad

minimi e el gasto,

y también sujeto a los pre ios de mer ado

px > 0

y

py > 0

u

(que son

ono idos); es de ir, el problema es

px x + py y

Minimizar

u( x, y ) = u

sujeto a

x ≥ 0, y ≥ 0


A ontinua ión presentamos los resultados de este omportamiento para diferentes tipos de onsumidores (es de ir, on distintos tipos de fun iones de utilidad).

Ejemplo 34. (Máxima utilidad CRRA) Supongamos que la fun ión de utilidad de un onsumidor es

u( x, y ) = xα + βy α

0 < α, β < 1

El problema del onsumidor ra ional es enton es

xα + βy α px x + py y = M

Maximizar sujeta a

x ≥ 0, y ≥ 0 Hallemos los niveles de onsumo óptimos.

Solu ión Sustituyendo la restri

ión de presupuesto en la fun ión de utilidad, podemos res ribir el problema de máxima utilidad omo α

m´ ax x + β x≥0

M px − x py py

α


310

La ondi ión de primer orden es α−1

αx y despejando

x,

+αβ

M px − x py py

α−1

px − py

=0

se obtiene que

x=β

1 α−1

px py

1 α−1

1 M − β α−1 py

y así,

x ( px , py , M ) =

1 α−1

1

1

∗

px py

β α−1 pxα−1 M α

(2)

α

1

pyα−1 + β α−1 pxα−1

∗ α porque la fun ión que x es óptimo px M − x β es ón ava y, por tanto, py py

Este

se está maximizando

f ( x ) = xα +

tiene su segunda derivada negativa.

¾Puede el le tor orroborar esto? Sustituyendo

x∗ ( p x , p y , M )

en la restri

ión presupuestal tenemos que

y ∗ ( px , py , M ) =

M px ∗ − x ( px , py , M ) py py

www.fullengineeringbook.net α

1

β α−1 pxα−1 M M − = α α 1 py py pyα−1 + β α−1 pxα−1 py 1

M pyα−1

=

α α−1

py Observemos que, en el óptimo la utilidad marginal de y ∗ es

+β

1 α−1

(3)

α α−1

px

( x∗ , y ∗ ), la utilidad marginal de x∗

dividida por

x∗α−1 px = ∗α−1 βy py Por tanto, la

(4)

ondi ión de máxima utilidad es, por supuesto, que la rela ión de

utilidades marginales de los bienes sea igual a la rela ión de pre ios.

20

Un ejer i io fundamental para el le tor en este momento es que observe on

uidado las fórmulas (2), (3) y (4), y detalle las varia iones de, por ejemplo, y

y 20

uando, por ejemplo,

M , px

¾Por qué hemos asumido

x > 0, y > 0 ?

ó

py

varían.

x

Le


311

Ejemplo 35. (Máxima utilidad Cobb-Douglas) Consideremos un onsumidor uya fun ión de utilidad es ahora

u( x, y ) = xα y β donde

α > 0, β > 0.

El onsumidor es ra ional. Por tanto, su problema es

xα y β

Maximizar

px x + py y = M

sujeto a

x ≥ 0, y ≥ 0 Hallemos los niveles de onsumo óptimos.

Solu ión De la restri


y=

M px − x py py

Sustituyendo esta última expresión en la fun ión de utilidad podemos res ribir el problema de máxima utilidad omo

www.fullengineeringbook.net m´ a x xα x≥0

M px − x py py

β

La ondi ión de primer orden es

α−1

αx

px M − x py py

β

β−1 M px px +βx − x − =0 py py py M px px α − x +βx − =0 py py py α

x∗ ( p x , p y , M ) =

Por tanto, Sustituyendo

x∗ ( p x , p y , M )

y ∗ ( px , py , M ) =

αM ( α + β )px

en la restri


M px ∗ βM − x ( px , py , M ) = py py ( α + β )py

Observemos que, en el óptimo, la utilidad marginal de marginal de

y

es

(5)

α y∗ px = ∗ βx py

(6)

x dividida por la utilidad (7)


312

Por tanto, otra vez, la ondi ión de máxima utilidad es que la rela ión de utilidades marginales de los bienes sea igual a la rela ión de pre ios. 21 Nuevamente, un llamado a observar detenidamente las fórmulas (5), (6) y (7), y también a ompararlas on las orrespondientes a la fun ión CRRA. ¾Qué diferen ias (que usted onsidere e onómi amente substantivas) en uentra?¾Por qué ree usted que su eden estas diferen ias?

Ejemplo 36. (Mínimo gasto on utilidad separable CARA) Consideremos un onsumidor uya fun ión de utilidad es

u( x, y ) = −e−αx − βe−αy donde

0 < β < 1.

El problema del onsumidor es

px x + py y

Minimizar

− e−αx − βe−αy = u

sujeta a

www.fullengineeringbook.net x ≥ 0, y ≥ 0

Hallemos los niveles de onsumo óptimos.

Solu ión. Reemplazando la restri

ión en la fun ión objetivo, podemos es ribir el problema de este onsumidor omo

py m´ın px x − ln x≥0 α

−e−αx − u β


px = ó

py e−αx −e−αx − u

−e−αx =

px u px + py

ó ∗

x ( px , py ) = ln 21


x > 0, y > 0?

px + py − u px

1

α

Le


313

Sustituyendo x∗ ( px , py ) en la fun ión de utilidad, tenemos que  px u −u −1  px + py 1 −py u  ∗ y ( px , py ) = ln   = − ln α β α β( px + py ) 

β( px + py ) = ln − py u

1

α

Aquí se veri a que, en el óptimo, la utilidad marginal de x dividida por la utilidad marginal de y es ∗ e−α x px ∗ = −α y βe py

De nuevo tenemos la ondi ión de que la máxima utilidad se da uando la rela ión de utilidades marginales de los bienes es igual a la rela ión de pre ios22 .

b) Problemas típi os del produ tor ra ional: máximo bene io y mínimo osto Otra institu ión fundamental de la e onomía basada en el individualismo metodológi o es la rma. Esta es una entidad que utiliza insumos (mano de obra, tierra, et .) para produ ir bienes y servi ios, que a su vez ofre e a los onsumidores y a otras rmas. Los dos problemas típi os de un produ tor ra ional son:


• Determinar las antidades de insumos y de produ to, dada la te nología a

su disposi ión, de tal manera que maximi e sus bene ios, tomando omo dados los pre ios de mer ado de los insumos y del produ to, denotados w > 0, r > 0 y p > 0; es de ir, el produ tor debe resolver el problema, para q > 0 Maximizar pq − wx − ry sujeta a f ( x, y ) = q x ≥ 0, y ≥ 0

Sustituyendo la fun ión de produ

ión en los bene ios, podemos res ribir el problema de máximo bene io omo m´ ax pf ( x, y ) − wx − ry x≥0 y≥0

22


x > 0, y > 0?

314


Supongamos que f (· , ·) es diferen iable. Las ondi iones de primer orden de este problema son p

∂f ( x∗ , y ∗ ) −w = 0 ∂x

p

∂f ( x∗ , y ∗ ) − r = 0; ∂y

es de ir, el valor del produ to marginal de ada insumo es igual a su pre io. Este ( x∗ , y ∗ ) resuelve el problema de máximo bene io si ∂ 2 f <0 y ∂x2 ( x∗ ,y∗ )

∗ ∗ | H( x , y ) | =

∂ 2 f ∂x2 ( x∗ ,y∗ )

∂ 2 f ∂y∂x ( x∗ ,y∗ )

¾Podría el le tor expli ar esta arma ión?

∂ 2 f ∂x∂y ( x∗ ,y∗ ) >0 2 ∂ f ∂y 2 ∗ ∗ ( x ,y )

www.fullengineeringbook.net • En ontrar las antidades de insumos x, y de tal manera que minimi e el

osto, sujeto a obtener ierto nivel dado de produ

ión q , y sujeto a los pre ios de mer ado de los insumos w > 0 y r > 0 (también dados); es

de ir, el problema es

Minimizar w x + r y sujeta a f ( x, y ) = q x ≥ 0, y ≥ 0

A ontinua ión presentamos los resultados de este omportamiento para diferentes tipos de produ tor (es de ir, on distintos tipos de fun ión de produ

ión).

Ejemplo 37. (Máximo bene io bajo fun ión Cobb-Douglas) Consideremos un produ tor de ierto bien uya fun ión de produ

ión es f ( x, y ) = xα y β

donde α, β > 0, α + β < 1; x es la antidad utilizada del insumo 1; y es la antidad utilizada del insumo 2; y f ( x, y ) es la antidad produ ida on las antidades de insumos x, y ; es de ir, la fun ión de produ

ión es CobbDouglas on rendimientos de re ientes a es ala. Supongamos que el produ tor

Le


315

es ra ional en el sentido que desea maximizar los bene ios de su empresa (ganan ias). Su problema es enton es m´ ax[ p xα y β − wx − ry]

donde p > 0, w > 0 y r > 0 son los pre ios de mer ado del bien que produ e y de los insumos que utiliza x y y , respe tivamente. Hallemos las demandas de insumos que óptimamente debería utilizar este produ tor para maximizar sus ganan ias. Solu ión.

Asumiendo x > 0, y > 0, las ondi iones de primer orden son: α p xα−1 y β = w ;

es de ir,

β p xα y β−1 = r;

α xα−1 y β =

w p

(8)

β xα y β−1 =

r p

(9)

Como α xα−1 y β y β xα y β−1 son el produ to marginal del primer y segundo insumo al nivel de utiliza ión de insumos ( x, y ), respe tivamente, la ondi ión su iente y ne esaria para maximizar los bene ios es que el produ to marginal de ada insumo sea igual a su pre io, relativo al pre io del produ to.

www.fullengineeringbook.net De la e ua ión (8) obtenemos que y = expresión en (9), se tiene que α

βpx

Por tanto,

w α p xα−1

w α p xα−1 β−1 β

αβ−1 r β β β wβ−1 p

1 "

αβ 1 r β β β wβ−1 p

β α−1 wα αα r α−1 p

x ( p, w, r ) =

. Reemplazando esta

=r

∗

1/β

1 α+β−1

(10)

Reemplazando esta expresión en (8), se tiene que y=

w αp

β

−

Por tanto, ∗

y ( p, w, r ) =

#

1 α+β−1

1 α+β−1

(11)

316


Nuevamente estas solu iones son óptimas porque la fun ión p xα y β − wx − ry satisfa e las ondi iones de segundo orden del teorema 14. La fun ión de bene ios es π( p, w, r ) = p f ( x( p, w, r ), y( p, w, r ) ) − wx( p, w, r ) − r( p, w, r ) 1 1 1 β−1 α β α+β−1 α−1 α β α+β−1 α β α+β−1 α w r β w r w r − − = αα β β p ββ p αα p " # 1 β−1 α−1 α β α+β−1 1 α α+β−1 w r β α+β−1 − − = α 1 β p α α+β−1 ( αα β β ) α+β−1 β α+β−1 1 α β α+β−1 w r =A p

donde A ≡

1−α−β α

β

α α+β−1 β α+β−1

.

¾Qué su ede on este problema si α+β = 1 (rendimientos onstantes a es ala)? Un ejer i io esen ial aquí es que el le tor observe, on extremo uidado, las igualdades (8), (9), (10) y (11) y onsidere varia iones de los distintos parámetros para analizar el omportamiento de las fun iones.


Ejemplo 38. (Mínimo osto bajo una fun ión Cobb-Douglas)

Supongamos que la fun ión de produ

ión de un produ tor es F ( T, L ) = T α Lβ ,

T ≥0,L≥0

El problema de ostos del produ tor ra ional es Minimizar sujeto a T α Lβ = Y0 ,

wT + rL Y0 > 0 dado

T ≥ 0, L ≥ 0

Hallemos los niveles de insumos que minimizan el osto de produ

ión. Solu ión.

Asumiendo T > 0, L > 0 y sustituyendo la fun ión de produ

ión en los ostos podemos res ribir el problema de mínimo osto omo 1

m´ın wT + r T >0

Y0β

α

Tβ

317

Le



1

α Y0β w − r α+β =0 β T β α+β α r β1 T β = Y βw 0 β 1 αr α+β α+β ∗ Y0 T ( w, r ) = βw

Este T ∗ es óptimo porque la fun ión que se está minimizando, f ( T ) = wT + 1

−α β

, tiene su segunda derivada positiva. Sustituyendo en la restri

ión obtenemos que

rY0β T

∗

L ( w, r ) =

1

1

Y0β

Y0β

[ T ∗ ( w, r ) ]

α β

=

αr βw

α α+β

α β( α+β )

=

Y0

βw αr

α α+β

1

Y0α+β

El o iente de produ tos marginales de los insumos es ∂Y ∂T ∂Y ∂L

=

αL αT α−1 Lβ = α β−1 βT L βT


Observemos que, en el óptimo ( T ∗ , L∗ ), el produ to marginal de T ∗ dividido por el produ to marginal de L∗ , es

Por tanto,

α 1 ∂Y βw α+β α+β ∗ α Y 0 αr w ∂T = αL = = β ∗ 1 ∂Y βT r α+β αr Y0α+β β βw ∂L

la ondi ión de mínimo osto es que la rela ión de produ tos mar-

ginales de los insumos sea igual a la rela ión de pre ios.

¾Por qué se obtiene la misma rela ión que en el problema de maximizar los bene ios? Ejemplo 39. (Mínimo osto bajo una fun ión CES)

Supongamos que la fun ión de produ

ión de un produ tor es 1

f ( x, y ) = A [ α xρ + β y ρ ] ρ

donde A > 0, α > 0, β > 0, ρ ≤ 1. El problema de ostos del produ tor ra ional es Minimizar wx+ry 1

sujeta a A [ α xρ + βy ρ ] ρ = q,

q > 0 dado


318

x ≥ 0 ,y ≥ 0 Hallemos los niveles de insumos que minimizan el osto de produ

ión.

Solu ión. Sustituyendo la fun ión de produ

ión en los ostos podemos res ribir el problema de mínimo osto omo

m´ın w x + r x≥0

( Aq )ρ − αxρ β

ρ1

( Aq )ρ − αxρ β

1−ρ ρ


α r ρ−1 w= x β ó

β Por tanto,

βw αr

ρ 1−ρ

xρ =

q ρ − αxρ A 1

1

q α 1−ρ r 1−ρ

∗

x ( w, r, q ) =

h

A α

1 1−ρ

r

ρ 1−ρ

+β

1 1−ρ

w

ρ 1−ρ

i1

ρ


Este

x∗ es óptimo porque la fun ión que se está minimizando, w x + r

h

(

q A

)ρ −αxρ β

tiene su segunda derivada positiva. Sustituyendo en la restri

ión obtenemos que

∗

y ( w, r, q ) =

( Aq )ρ − α x∗ ( w, r, q )ρ β

1ρ

1

=

1

q β 1−ρ w 1−ρ 1 h 1 ρ ρ iρ 1 A α 1−ρ r 1−ρ + β 1−ρ w 1−ρ

El o iente de produ tos marginales de los insumos es

∂f ( x, y ) α x ρ−1 ∂x = ∂f β y ( x, y ) ∂y ∗ ∗ Observemos que, en el óptimo ( x , y ), el produ to ∗ por el produ to marginal de y es α β Por tanto,

"

1

1

1 1−ρ

1 1−ρ

q α 1−ρ r 1−ρ qβ

w

#ρ−1

=

marginal de

dividido

w r

la ondi ión de mínimo osto es que la rela ión de produ tos mar-

ginales de los insumos sea igual a la rela ión de pre ios. 23

x∗

¾Por qué asumimos

x > 0, y > 0?

23

i 1ρ

,

319

Le


La fun ión de ostos de la fun ión de produ

ión CES es, enton es, 

 c( w, r, q ) = w x∗ ( w, r, q ) + r y ∗ ( w, r, q ) = 

α h

1 1−ρ

A α

1 1−ρ

w r

ρ ρ−1 ρ ρ−1

+β +β

1 1−ρ

1 1−ρ

r w

ρ ρ−1 ρ ρ−1



 i1  q ρ

Aquí también es onveniente para el le tor el onsiderar varia iones de los distintos parámetros y estudiar el omportamiento de esta fun ión de ostos.

Ejemplo 40. (Máximo bene io bajo una fun ión CES) Consideremos un produ tor de ierto bien uya fun ión de produ

ión es 1

f ( x, y ) = A [ α xρ + β y ρ ] ρ

donde A > 0, α > 0, β > 0, ρ ≤ 1. El problema de máximos bene ios de este produ tor es 1

m´ ax p A [ α xρ + β y ρ ] ρ − wx − ry x≥0 y≥0

Es posible mostrar que si una rma maximiza bene ios, enton es minimiza los

ostos de produ

ión (ver el ejer i io 29 de los Ejer i ios Complementarios). Por tanto, utilizando la fun ión de ostos del ejemplo 39 anterior, el problema de máximo bene io del produ tor puede es ribirse omo

www.fullengineeringbook.net m´ ax p q − B q q≥0

Enton es, si B > p, q ∗ = 0 es óptimo; si B < p, no existe solu ión al problema de máximo bene io; y si B = p, ualquier nivel no negativo de produ to es una solu ión al problema de máximo bene io y genera bene ios ero.

) Problemas de intera

iones en el omportamiento del produ tor ra ional (es de ir, de la estru turas de mer ado en las que las rmas están advertidas de su mutua interdependen ia y pueden a tuar en onse uen ia) El primer modelo matemáti o de intera

iones e onómi as apare ió ha e más de 160 años: fue la teoría del oligopolio de Cournot de 1838. Esta estru tura es un mer ado que tiene po as rmas (pero no una sola) en el lado de la oferta, y un número muy grande de ompradores del lado de la demanda, uyo impa to individual en el agregado es insigni ante; el omprador toma las ondi iones de mer ado omo dadas (pues no puede afe tarlas), pero el vendedor sí impa tará el mer ado al tomar sus de isiones estratégi amente on respe to a sus

320


otros rivales vendedores. Estas ara terísti as diferen ian esta estru tura de mer ado de la ompetitiva ( onsumidores y produ tores independientes) y de la monopolísti a (solo un produ tor). Veamos en qué onsiste este modelo. Ejemplo 41. (El modelo de duopolio de Cournot (1838))

El modelo de Cournot de 1838 es, quizás, el más ono ido de los modelos de oligopolio. Además de su interés históri o, el modelo es un vehí ulo simple para la omprensión de importantes prin ipios bási os del omportamiento intera tivo de rmas en un mismo mer ado. El modelo de Cournot onsiste en una industria on un número jo de rmas. No hay entrada de nuevas rmas ni salida de alguna, aunque ualquier rma puede elegir no produ ir nada y, por lo tanto, tener un nivel de bene io igual al negativo de sus ostos jos. La rmas a túan en un mer ado de un solo período en el que toman sus de isiones simultáneamente. El bien que produ en es perfe tamente homogéneo (no diferen iado), y los onsumidores no tienen ostos de transporte. La ompeten ia de pre ios no entra en el modelo que Cournot ya que las rmas eligen un nivel de produ

ión y el pre io del mer ado está determinado por la fun ión de demanda de los onsumidores y la antidad produ ida por la industria. Ini ialmente, anali emos el aso de duopolio (oligopolio on dos rmas) bajo hipótesis muy simples. Dos empresas, 1 y 2 eligen, simultáneamente, las antidades q1 y q2 que van a produ ir de un produ to homogéneo. El osto total de produ ir qi por la empresa i (para i = 1, 2) es CTi ( qi ) = cqi , donde c > 0. El pre io de equilibrio del mer ado uando la antidad agregada en el mer ado es Q = q1 + q2 es P ( Q ) = a − Q, on Q < a, a > c. En forma general, podemos expresar la fun ión de bene ios para i = 1, 2 omo

www.fullengineeringbook.net πi ( q i , q j ) = q i [ P ( q i + q j ) − c ] = q i [ a − ( q i + q j ) − c ]

El par de antidades ( qi∗ , qj∗ ) son una solu ión del modelo de duopolio de Cournot si el bene io proveniente de elegirlas es mayor que el bene io de elegir ualquier otra estrategia y ninguna rma tiene in entivos para desviarse unilateralmente de tal par de antidades. El problema de las empresas es, enton es, es oger las antidades ( q1 , q2 ) que resuelvan m´ ax πi ( qi , qj∗ ) = [ a − ( qi + qj∗ ) − c ]qi qi ≥0

para i = 1, 2

De la ondi ión de primer orden24 tenemos ∂πi ( qi , qj∗ ) = a − 2qi − qi∗ − c = 0 ∂qi 24

Las ondi iones de primer orden son su ientes para en ontrar el máximo de la fun ión de bene ios ya que ésta es ón ava.

Le

ión 3: Elementos bási os de la teoría de la optimiza ión Luego,

Por tanto,

321

a − qj∗ − c qi = 2 ( qi∗ , qj∗ )

debe satisfa er

q1 =

a − q2∗ − c 2

q2 =

a − q1∗ − c 2

q1∗ = q2∗ = ∗ la produ

ión total es Q = 2(a − c)/3, el pre io ∗ ∗ 2 bene ios son πi ( qi , qj ) = (a − c) /9 para i =

Resolviendo simultáneamente estas dos e ua iones obtenemos que

(a − c)/3 (gura 43). Así, ∗ = (a + 2c)/3 y los es P 1, 2. En ierto sentido, este

equilibrio no pasa las pruebas de e ien ia que

podrían exigirse: omo en equilibrio el pre io del mer ado es y omo, además,

a>

P ∗ = (a + 2c)/3,

c, enton es el pre io P ∗ resulta ser mayor que el osto

marginal. (¾Por qué ree el le tor que se da esta dis repan ia on los modelos de ompeten ia perfe ta antes estudiados? Observe que allí así, al diferen iar on respe to a

q,

se tiene que

P = c′ (q)).

π = P q − c(q)

y

q2 a−c

www.fullengineeringbook.net a−c 2

q2 ( q1∗ )

( q1∗ , q2∗ ) q1 ( q2∗ ) a−c 2

a−c

q1

Figura 43: Cantidades en duopolio de Cournot Ejemplo 42. (Modelo de duopolio de Bertrand (1883)) La teoría de oligopolio de Cournot llamó (y aun sigue llamando) la aten ión desde que fuera des ubierta por Jevons en la dé ada de 1870. Algunos la ponderaron omo Edgeworth (1881)

25 y Wi ksell (1898)26 ; y otros omo Ber-

27 y Chamberlin (1956)28 , la ata aron. In lusive, posteriormente, trand (1883) 25

Edgeworth, Fran is Y. (1881), Mathemati al Psy hi s: An Essay on the Appli ation of Mathemati s to the Moral S ien es, Barrister-at-Law. London: Kegan Paul and

26 27

Co., 1881 Wi ksell, Knut (1898), Interest and Pri es, New York, Royal E onomi So iety. Bertrand, Joseph (1883), Théorie des Ri hesses: Revue de Théories Mathématiques de la Ri hesse So iale par Léon Walras et Re her hes sur les Prin ipes Mathématiques de

28

la Théorie des Ri hesses par Augustin Cournot, Journal des Savants, vol. 67, 499-508 Chamberlin, Edward (1956), The Theory of Monopolisti Competition : a Reorientation of the Theory of Value. Cambridge, Massa husetts: Harvard E onomi Studies


322

29 también reyó que el modelo de Cournot era equivo ado.

Edgeworth (1897)

Sin duda, esta ontroversia tenía dos orígenes: la onfusión entre un análisis estáti o y otro dinámi o; además de la esperada (para la épo a) falta de

omprensión de las intera

iones bási as que subya ían al modelo. Enseguida dis utiremos el modelo de Bertrand (1883). Sólo hasta 1883, uarenta y in o años después de la publi a ión del libro de Cournot, fue que el modelo de Cournot se tomó en serio omo objeto de estudio. Joseph Bertrand, también matemáti o y mejor re ordado por su trabajo sobre teoría de la probabilidad, aseguraba que la ondu ta obvia para los oligopolistas ( on bienes diferen iados o no) era la ele

ión estratégi a de los pre ios. De ía que los pre ios eran la verdadera variable de de isión y no las antidades a produ ir. El modelo de Bertrand para produ tos diferen iados, en su forma más sen illa, se des ribe así: existen dos empresas, 1 y 2, que eligen simultáneamente los pre ios

p1

y

p2

a los que estarían dispuestas a ofre er el bien que produ en.

La demanda que los onsumidores ha en a la rma

i

es

q i ( pi , pj ) = a − pi + pj ∂qi ( pi , pj ) > 0 reeja que el bien de la rma 1 es sustituto del bien de ∂pj la rma j . Supondremos que ambas rmas tienen ostos marginales onstantes e iguales a c ≥ 0. Los bene ios de la rma i dependen tanto del pre io que donde


ella ja omo del pre io jado por la otra rma. Así,

πi ( pi , pj ) = qi ( pi , pj )[ pi − c ] = [ a − pi + pj ][ pi − c ] ( p∗1 , p∗2 ) onstituyen una solu ión i = 1, 2, se tiene que p∗i resuelve

El par de pre ios para ada rma

al modelo de Bertrand si

m´ ax π( pi , p∗j ) = m´ ax[ a − pi + p∗j ][ pi − c ] pi

pi

De la ondi ión de primer orden tenemos

∂πi ( pi , p∗j ) = a − 2pi + p∗j + c ∂pi Igualando a ero y despejando

pi

obtenemos que

pi = Por tanto, 29

( p∗1 , p∗2 )

a + p∗j + c 2

deben satisfa er

Edgeworth, Fran is Y. (1897), misti, vol 40, 13-31

The Pure Theory of Monopoly, Giornale degli O ono-

Le


p∗1 =

a + p∗2 + c , 2

p∗2 =

Resolviendo estas e ua iones se tiene que

323

a + p∗1 + c 2

p∗1 = p∗2 = a + c

(gura 44). Los

pre ios de equilibrio de Bertrand son mayores que el osto marginal

y, al

igual que en el modelo de Cournot, el equilibrio no es e iente. Nuevamente preguntamos: ¾Podría el le tor dar uenta de esta dis repan ia on los modelos anteriores al ejemplo 41?

p2

p1 ( p∗2 ) p2 ( p∗1 )

a+c

( p∗1 , p∗2 )

a+c 2

www.fullengineeringbook.net a+c 2

a+c

p1

Figura 44: Pre ios en duopolio de Bertrand

Por mu hos años, la arma ión de Bertrand de que los pre ios eran la variable de de isión ade uada en el modelo oligopóli o, fue la visión general entre los e onomistas. Los defensores de Cournot, sin embargo, armaban que la esen ia de la intera

ión oligopóli a era elegantemente apturada por el modelo de Cournot a pesar de que quizás utilizaban la variable de de isión equivo ada. Y esta visión fue fortale ida por la literatura de los produ tos diferen ia-

30 y Chamberlin (1933)31 , y por los modelos de von

dos de Hotelling (1929)

Sta kelberg (1934), pues estos modelos evitaban algunas de las di ultades (dis ontinuidades en la demanda) que surgían en los modelos a la Bertrand, y que los mer ados reales no pare ían presentar. Veamos ahora el modelo de von Sta kelberg.

30

E onomi Journal, vol 39 (153), The Theory of Monopolisti Competition, Cambridge

Hotelling, Harold (1929), Stability in Competition,

41-57. 31 Chamberlin, Edward (1933),

(Ma.): Harvard University Press.


324

Ejemplo 43. (Modelo de duopolio de von Sta kelberg (1934)) Heinri h von Sta kelberg (1934)

32 onsideraba una industria ompuesta por

CTi ( qi ) = cqi , i = 1, 2, donde c > 0 y el pre io de equilibrio del mer ado P ( Q ) = a − Q, donde Q < a, a > c y Q = q1 + q2 . La rma 1 elige una antidad q1 ≥ 0, la

ual es observada por la rma 2. Luego, la rma 2 elige una antidad q2 ≥ 0. La fun ión de bene ios de la i-ésima rma es enton es

dos rmas, 1 y 2, el osto total de produ ir

qi

para la rma

πi (qi , qj ) = qi [ a − ( qi + qj ) − c ] El problema de la rma 2,

para

i

omo

i = 1, 2

una vez ono ida la antidad elegida por la rma 1,

es

m´ ax π2 (q1 , q2 ) = q2 [ a − ( q1 + q2 ) − c ] q2 ≥0


a − q1 − 2q2 − c = 0.

q2 = dado que

q1 < a − c.

Por tanto,

( a − q1 − c ) 2

Pero omo la rma 1 ono e las antidades que elegirá

la rma 2 en respuesta a las suyas, y ono e, además, los bene ios orrespon-


dientes a ada una de estas a

iones, el problema de la rma 1 es

m´ ax π1 (q1 , q2 ) = q1 ≥0

q1 [ a − q1 − c ] 2

a−c a − 2q1 − c = 0; es de ir, q1 = . Así, 2 a−c a−c , , y los bene ios que la solu ión del modelo de Sta kelberg es 2 4 ( a − c )2 ( a − c )2 obtienen las rmas son , . Como se mostró en el ejemplo 8 16 41, los bene ios que obtienen las rmas en la solu ión del modelo de Cournot ( a − c )2 ( a − c )2 son , , on lo que se veri a el poder de la rma líder 9 9 La ondi ión de primer orden es

(rma 1) en el modelo de Sta kelberg, y que no tiene en el modelo de Cournot.

Nótese que la úni a diferen ia del modelo de Sta kelberg on el modelo de Cournot onsiste en un

ambio de informa ión. Este es, quizás, el ejemplo más

simple sobre ómo un ambio en la informa ión tiene efe tos tangibles sobre las variables reales. En este aso, por ejemplo, es esto lo que lleva a la disminu ión en los pre ios on respe to a los pre ios Cournot, omo el le tor puede veri ar ha iendo los orrespondientes ál ulos elementales. 32

Von Sta kelberg, Heinri h (1934), Springer.

Marktform und Glei hgewi ht,

Vienna: Julius

Le


325

d. Una nota a er a de los debates sobre marginalismo y ra ionalidad en la teoría de la rma Un muy importante debate sobre la teoría de la rma surgió a nales de la dé ada de 1930 on la apari ión de varios trabajos. De un lado, Hall y Hit h

33 aseguraban que, empíri amente, no era laro que las empresas si-

(1939)

guieran prin ipios marginalistas de máximo bene io o mínimo osto en sus opera iones. Estos resultados fueron a ompañados por un artí ulo de Harrod

34 que armaba que quizás el pro eso de maximizar el bene io no era

(1932)

observada en las rmas, en parte porque la informa ión ne esaria para tales ál ulos era difí il de obtener. Además, agregaba, los empresarios pueden no obtener exa tamente el máximo bene io, aunque por

sele

ión natural

se

intenta al anzar. Estas dis usiones provo aron una respuesta inmediata de parte de Fritz Ma h-

35 y de George Stigler (1947)36 defendiendo el prin ipio marginalista.

lup (1946)

Ma hlup, por ejemplo, armaba que si las rmas estable ían rutinas en lugar de de isiones uidadosas y deliberadas de maximizar el bene io, era porque, simplemente, éstas habían sido mejores op iones en un tiempo pasado, pero que no habían sido a tualizadas a la luz de nuevas ir unstan ias. Así, de ía, el he ho de que las rela iones de optimiza ión no se observen en estudios empíri-


os, no signi a que no existan. Utilizando su famosa analogía sobre la de isión

de un ondu tor de sobrepasar a otro en arretera, Ma hlup armaba que onsidera iones parti ulares tales omo la velo idad del otro arro y la propia, la distan ia entre ambos, et ., tienen impa to sobre la de isión, pero que todos

estos fa tores operan en zado a

entender

un solo instante,

y el ondu tor a menudo se ve for-

rápidamente la situa ión y a tomar una de isión. De manera

similar, los empresarios se ven forzados a entender la situa ión total y a de idir, y de esta forma los investigadores empíri os no lograrían diferen iar el impa to de omponentes diferentes y aisladas en las de isiones, aunque la teoría de maximizar el bene io debería verse en ada omponente separadamente. Armen Al hian (1950)

37 se hizo del lado de Ma hlup y de los antimarginalistas.

Su argumento era que la teoría neo lási a de la rma no es a er a de las

industrias. rutinas ; pero era

rmas omo tales sino de las

Las rmas individuales, armaban,

seguían, esen ialmente,

la industria la que se adhería a los

33

Hall, R. L. y Hit h, C. J. (1939), Pri e Theory and Business Behavior, Oxford E o-

nomi Papers, vol. 2, 12-45. 34 Harrod, Roy F. (1932), De reasing Costs: An Addendum, E onomi s Journal, vol. 42. 35 Ma hlup, Fritz (1946), Marginal Analysis and Empiri al Resear h, Ameri an E ono36 37

mi Review, vol. 36.

Stigler, George (1947), Professor Lester and the Marginalists, Ameri an E onomi Review, vol. 37, 154 -157. Al hian, Armen (1950), Un ertainty, Evolution and E onomi Theory, Journal of Politi al E onomi s, vol. 58 (3), 211-221.

326


prin ipios marginalistas. Así, si los salarios aumentan, deberíamos ver que la mano de obra promedio de la industria ae. Pero esto no es porque las rmas

ambian sus té ni as de produ

ión, sino porque las rmas que tienen la rutina que orresponde a la nueva mano de obra óptima tendrán más bene ios que las que no tienen. Al hian también reía en la no ión de sele

ión natural aunque de una forma sustan ialmente diferente a la de Harrod: las rmas que tienen la rutina óptima durarán más en el mer ado que aquellas que son menos rentables (es de ir, que no tienen la rutina óptima). Así, la industria, omo un todo, se moverá ha ia la de isión óptima, no porque las rmas ambien su omportamiento, sino porque las rmas que tienen la rutina óptima serán sele

ionadas por este pro eso, y las otras desapare erán. Así, de ía Al hian, maximizar el bene io no es el resultado de de isiones de rma, sino el resultado de un pro eso evolutivo que se ondu e a un nivel de industria, no de rma. Pero entre sus detra tores se en ontraba Milton Friedman (1953) quien onsideraba esta teoría extremadamente ridí ula. Al pare er Friedman onfundía allí los bene ios logrados on los bene ios deseados

uya distin ión era entral a los argumentos evolutivos de Al hian. Para él, sí era el omportamiento maximizador aislado de la rma el que garantizaría su permanen ia en el mer ado. Posterior al antiguo debate marginalista que a abamos de reseñar, la dis usión

ambió de tono en la dé ada de 1970 on la apari ión de las teorías de ostos de agen ia, dere hos de propiedad y ostos de transa

ión. Las nuevas teorías de la rma intentaban ahora re on iliar, ya no el omportamiento de la rma

on los prin ipios marginalistas, sino la estru tura de ésta on estos prin ipios. Esta preo upa ión apare ió on Ronald H. Coase (1937)38 uando éste notó la

lara disparidad entre la no ión marginalista de que los mer ados eran organizadores e ientes de los re ursos, on la existen ia de estru turas de ontrol altamente jerárqui as dentro de las rmas. ¾Por qué existían estas estru turas de omando al interior de la rma si un me anismo omo el de pre io se suponía fun iona bien en una estru tura más ompli ada omo el mer ado? Para Coase la respuesta fue que los ostos de transa

ión dentro de las rmas (es de ir, dentro de las estru turas de omando) eran bajos on respe to de un me anismo de pre ios. Pero Al hian y Demsetz (1972)39 no reían en esta interpreta ión. Para ellos, la organiza ión interna de las rmas también era expli ada mediante rela iones de mer ado, sólo que on presen ia de ostos de agen ia (Jensen y Me kling (1976))40 , es de ir, de ostos de monitoreo de los


38 39 40

Coase, Ronald H. (1937), The Nature of the Firm,

E onomi a, vol. 4 (16), 386-405.

Al hian, A. and H. Demsetz (1972), Produ tion, Information Costs and E onomi

Ameri an E onomi Review

Organization, , vol. 62, 777-95. Jensen, Mi hael C. y William H. Me kling (1976), Theory of the Firm: Managerial Behavior, Agen y Costs and Ownership Stru ture, vol. 3.

Journal of Finan ial E onomi s,

Le


327

esfuerzos individuales dentro de la empresa. Cierta forma de la dis usión de Coase emergió de nuevo on Oliver Williamson (1986,1991)41 , 42 sobre la base del on epto de ra ionalidad a otada del premio Nobel en e onomía de (1978) Herbert Simon. Para Williamson, las rmas muestran omportamientos jerárqui os internos debido a que, aunque ex ante se rman ontratos e ientes entre las empresas y los agentes (internos y externos). Estos ontratos no tienen en uenta todos los problemas que pueden surgir en el futuro, y ello obligaría a modi arlos ontinuamente en respuesta, lo que, a su vez, impli aría mayores ostos de transa

ión. Este es el orazón de la Nueva E onomía Institu ional. Hoy en día ésta se ombina on la visión evolutiva de la rma de Al hian y Be ker: es la teoría evolutiva de la rma que se estable iera en la teoría e onómi a desde Ri hard Nelson y Sidney Winter (1982).43


41

Williamson, Oliver E. (1986), The E onomi Institutions of Capitalism, New York:

The Free Press. 42 Williamson, Oliver E. (1991), Strategizing, E onomizing, and E onomi Organiza-

43

tion, Strategi Management Journal, vol. 12, 75-94. Nelson, Ri hard y Sidney Winter (1982), The S humpeterian Tradeo Revisited, Ame-

ri an E onomi Review, vol. 72, 114-32.

328


Ejer i ios omplementarios 1) Dibuje f ( x ) = horizontales. 2) Dibuje f ( x ) = tales.

( x − 3 )( x + 1 ) analizando las asíntotas verti ales y ( x2 − 9 ) (x − 3) analizando las asíntotas verti ales y horizon( x2 − 4 )

1 x f (x) = x3 + 6x2 + 12x − 5.

3) Dibuje: a) f (x) = x2 + ; b) f (x) = 5 −

x2

1 x+1 ; ) f (x) = ; d) +1 1−x

4) En uentre, (si existe) la onstante a para que la fun ión f ( x ) = 3x2 + a + 5 tenga un mínimo relativo en x = 2. x

x2

5) Pruebe que la fun ión f (x) = , 1 ≤ x ≤ 2, x 6= 3, tiene un máximo x−2 relativo en 1 que es −1, y un mínimo relativo en 3 que es 9.

6)

a) En uentre (si existen) oe ientes a, b, c, d tales que la fun ión f ( x ) = ax3 + bx2 + cx + d tenga un máximo lo al en x = 1. b) Muestre que f (x) = 3x4 − 28ax3 + 84a2 x2 − 96a3 x + 48b2 al anza un mínimo lo al en x = a y x = 4a; y al anza un máximo lo al en x = 2a.

) Muestre que f (x) = 24a3 x−30a2 x2 +16ax3 −3x4 al anza un máximo lo al en x = 2a. ¾Qué su ede en x = a? d) Muestre que el máximo valor de y uando q satisfa e la e ua ión im4 2 2 2 3 ∗ plí ita a x = (x + y ) es y = a 3√2 3 que lo toma uando


a x∗ = p √ . 3 3

7) Pruebe la parte ii) del teorema 8 ( ondi iones su ientes para la existen ia de un extremo ). 8) En un ambiente parti ular hay ini ialmente 11 ba terias y éstas se reprodu en exponen ialmente. Al abo de 5 minutos hay 253 de ellas y enton es, para detener su re imiento, son ata adas on un antibióti o hasta uando este re imiento se estabiliza on el tras urrir del tiempo en 300 ba terias. Si N (t) es el número de ba terias que hay al abo de t minutos, enton es N (t) satisfa e la siguiente des rip ión: N (t) = At + B si 0 ≤ t ≤ 7; pero si t > 7 enton es N (t) = son onstantes. Enton es:

Ct donde A, B, C, D 2, 197t + D

Le


329

a) Con los primeros datos, veri ar que B = 10 y A = 3. b) Como N (t) tiende a 300 uando t tiende a innito, inferir que C = 300(2, 197) = 659, 100.

) Puesto que N (·) es ontinua en t = 7, dedu ir que D = −13, 279.

d) Hallar N ′ (t) para t 6= 7. e) Comprobar que N (·) no es suave (derivable) en t = 7. f) En ontrar los intervalos donde el número de ba terias re e, y también donde de re e. g) Cal ular los instantes en los uales hay mayor antidad de ba terias y menor antidad de ellas. Indique uáles son esas antidades máxima y mínima. h) Hallar N ′′ (t) para ada t 6= 7. i) En ontrar los intervalos donde el número de ba terias re e exponen ialmente, y donde de re e de manera amortiguada. j) De a uerdo on los datos obtenidos, dibuje N (t). 9) Resuelva (utilizando Cál ulo en una sola variable) el siguiente problema: Maximizar α ln x + β ln y

www.fullengineeringbook.net sujeta a px x + py y = M x>0, y>0

donde α, β , px , py , M > 0, y muestre que las solu iones x∗ , y ∗ son las mismas del problema Maximizar

xα y β

sujeta a px x + py y = M x>0, y>0

¾Podría el le tor de ir por qué su ede esto? [Indi a ión: En ambos asos, para resolver, reempla e ade uadamente la restri

ión en la fun ión objetivo a maximizar℄. 1

1

10) Pruebe que l´ım x x = 1 [Indi a ión: Haga y = x x , tome logaritmos x→∞ a ambos lados y después aplique la regla de L'Hpital℄. Luego dibuje 1 f (x) = x x . 11) En uentre los máximos, los mínimos y los puntos de silla de las siguientes fun iones:

330


a) f ( x, y ) = x3 + y 3 − 3xy + 8 b) f ( x, y ) = 5x2 − 4xy + 2y 2 + 4x − 4y + 20

) f ( x, y ) = x2 − y 2 − 2x + 4y + 5 12) En uentre el valor máximo de f ( x, y ) = −x2 − y 2 + 22x + 18y − 102, x > 0, y > 0. Espe ique por qué es máximo. 13) Halle los máximos y mínimos de f ( x, y ) = x3 + y 3 − 9xy + 27 sujeta a 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 4. [Indi a ión: Estudie el problema en el interior del

uadrado, y luego en los bordes del mismo℄. 14) Utilizando Cál ulo en una sola variable, halle los máximos y mínimos de f ( x, y ) = x2 + 2y 2 − x sujeta a x2 + y 2 = 1. [Indi a ión: Sustituya ade uadamente la restri

ión en la fun ión objetivo para redu ir ésta a una fun ión en una sola variable℄. 15) ¾Cómo debe ortarse en dos trozos un alambre de longitud L para que, formando on uno de ellos un uadrado y on el otro una ir unferen ia, la suma de las áreas sea máxima? 16) Muestre que el volumen del máximo ilindro ir ular re to ins rito en un

ono ir ular re to dado es 49 del volumen del ono.


* 17) Ya sabíamos (volumen 0: Fundamentos) que sobre el onjunto de los números omplejos C = { a + ib / a, b ∈ R }

donde i2 = −1 se pueden denir dos opera iones: a) Suma: ( a + ib ) + ( c + id ) = ( a + c ) + i( b + d ) b) Produ to: ( a + ib ) · ( c + id ) = ( ac − bd ) + i( ad + bc ) y que estas opera iones le dan a C una estru tura muy similar (desde el punto de vista algebrai o) a la de los números reales. Desde allí, desarrollar el análisis omplejo partiendo del análisis real es una tarea que ha devenido on notable éxito. Un resultado importante del análisis omplejo debido originalmente a Euler [Introdu tio in Analysis Innitorum (1748)℄ es el siguiente: si b ∈ R es ualquiera, enton es eib = cos b + i sen b

y

(1)

ea+ib = ea eib = ea ( cos b + i sen b )

De forma heurísti a, pruebe la igualdad (1) utilizando los desarrollos en series de Taylor para la fun ión exponen ial, para la fun ión seno y para la

Le


331

fun ión oseno estudiados en esta le

ión. [Indi a ión: Multiplique omo si fueran polinomios ordinarios, y no olvide que i2 = −1℄.

** 18) Generali e los resultados de esta le

ión para el aso de n ≥ 3 variables y, si es posible, para las fun iones de la forma f : Rn −→ Rm . 19) Probar que si C ⊆ Rn es errado no-va ío y p ∈ Rn es jo, enton es la fun ión f (x) = kx − pk para x ∈ Rn , al anza un valor mínimo en C .

20) Una empresa re ibe un pre io p por ada unidad de su produ

ión, paga un pre io w por ada unidad de su úni a materia prima y tiene unos

ostos jos √ F . Su produ

ión uando utiliza x unidades de materia prima es f ( x ) = x. a) Dé la expresión de las fun iones de ingresos, ostos y bene ios de la empresa. b) Es riba la expresión de la ondi ión de primer orden para maximizar el bene io, dando una interpreta ión e onómi a de ella.

) Compruebe si realmente los bene ios se ha en máximos en un punto que verique la ondi ión de primer orden. d) Explique ómo ambian las respuestas si f ( x ) = x2 .


21) Un fabri ante puede vender x artí ulos por semana a un pre io p = 200 − 0.01x, siendo c = 50x + 20,000 el osto total de produ

ión de x artí ulos. Halle el nivel de produ

ión que maximiza el bene io.

22) Considere una rma que tiene la siguiente fun ión de produ

ión: f ( x ) = ln x

x≥1

Halle la antidad de insumo y el nivel de produ to que maximizan el bene io. En uentre también la fun ión de bene ios. Asuma que p es el pre io por unidad del produ to, y w el pre io por unidad del insumo,

on w < p. 23) Resuelva (utilizando Cál ulo en una sola variable) el siguiente problema de minimizar el gasto del onsumidor ra ional: Maximizar α ln( x − γx ) + β ln( y − γy ) sujeta a

px x + py y = M x > γx , y > γx

donde α, β , px , py , M , γx , γy > 0, y muestre que la razón de las utilidades marginales de los bienes es igual a la razón de sus orrespondientes pre ios. ¾Qué signi an aquí γx y γy ?


332

24) Resuelva (utilizando Cál ulo en una sola variable) el siguiente problema del onsumidor ra ional: Minimizar sujeta a

donde

α, β , px , py , u > 0,

px x + py y xα y β = u x>0, y>0

y muestre que la ondi ión de minimizar el

gasto es que la razón de utilidades marginales de los bienes sea igual a la razón de pre ios. 25) Considere una rma que tiene la siguiente

f ( x, y ) =

fun ión de produ

ión : 2

1

1

x2 + y2

En uentre (utilizando Cál ulo en una sola variable) la antidad de insumos que minimizan el osto de produ ir pre ios de insumos

wx , wy , por

q

unidades de produ to a los

unidad. En uentre también la fun ión de

ostos. 26) Resuelva (utilizando Cál ulo en una sola variable) los dos problemas


entrales del onsumidor ra ional (maximizar la utilizad y minimizar el

gasto) regido por una fun ión de utilidad CES. También el del onsumidor ra ional regido por una fun ión de utilidad CARA.

27) Resuelva (utilizando Cál ulo en una sola variable) el problema de minimizar el gasto para un onsumidor ra ional regido por una fun ión de utilidad CRRA. * 28) Dé ondi iones para que se tenga la siguiente arma ión:Si una rma maximiza bene ios, enton es minimiza los ostos de produ

ión. 29) ¾Qué signi ado podría tener el teorema de Rolle uando se apli a al

omportamiento de una variable e onómi a? Espe ique, si es posible, las variables e onómi as on que se ilustra el teorema.

Ejemplo típi o de libro de texto ℄

30) [

osto de produ ir

q

Supongamos que en una empresa el

unidades de produ tos es

C(q1 , q2 ) = 120q − q 2 + 0.02q 3 y que el pre io de mer ado del produ to está dado por Cal ule el nivel de

q

p = 114 − 0.25q .

que haga el bene io máximo. ¾A qué pre io se

vendería el produ to en tal aso? Dibuje Interprete esto e onómi amente.

C(q).

¾Es ón ava o onvexa?

Le


333

31) [Monopolista dis riminador ℄ Un solo monopolista provee ierta mer an-

q1 = 12 − p1 , q2 = a los mer ados 1 y 2,

ía a dos mer ados aislados on demandas donde

q1 , q2

tivamente; y

son las antidades proveídas

p1 , p2

20 − p2 3

respe -

son los pre ios respe tivos. Supongamos que el osto

en que in urre el monopolista es

C(q1 , q2 ) = 3 + 2(q1 + q2 ) ¾Cuáles serán las antidades y pre ios en los que el monopolista obtendría el máximo bene io? ¾Cuál es este bene io máximo? 32) [Monopolista no-dis riminador ℄ ¾Qué su edería si el monopolista del ejemplo anterior no pudiera dis riminar pre ios para los dos mer ados; es de ir, que por razones de informa ión (u otras razones), se viera obligado a olo ar

p1

=

p2 ?

33) [Un mer ado â la Cournot ℄ Suponga que en una industria sólo hay dos rmas ompetidoras (1 y 2) on bene ios dados por las fun iones (en dos variables)

www.fullengineeringbook.net π1 = 24q1 − q12 − 2q22 − 8

π2 = 30q2 − 3q22 − 2q1 − 9

¾Cuáles son, según el modelo de Cournot estudiado en esta le

ión, las

antidades que ada una de ellas olo aría en el mer ado?

34) [Otro mer ado â la Cournot ℄ Responda la misma pregunta del ejer i io anterior si esta vez las fun iones de bene io están dadas por

π1 = 12q1 − 2q12 − q2 π2 = 6q2 − q22 − q1 ** 35) Un ejer i io muy interesante para el le tor en este punto es omparar los modelos de la teoría de juegos de von Neumann y Morgenstern (volumen 1, le

ión 8) on los de Cournot y von Sta kelberg estudiados en la presente le

ión. ¾Qué elementos fundamentales en uentra en omún? 36) [Primera aproxima ión al problema de la optimiza ión restringida: el mé-

todo de los multipli adores de Lagrange℄. Mu hos de los problemas de optimiza ión presentados en esta le

ión son sus eptibles de ser planteados de la forma


334

sujeta a

(∗)

f (x, y)

Maximizar

g(x, y) = 0

x > 0,

y>0

o de la forma, (∗∗)

f (x, y)

Minimizar

g(x, y) = 0

sujeta a

x > 0,

y>0

omo el le tor podría fá ilmente orroborar dando una ojeada ha ia atrás en la presente le

ión, parti ularmente al ontexto e onómi o. Pero si ha e esto, también observará que, sistemáti amente, re urríamos al pro-

y

edimiento de despejar

de la e ua ión

g(x, y) = 0

(y esto siempre

fue posible en los ejemplos dis utidos), para luego insertar esta fun ión objetivo sola variable

f (x, y),

(x),

y

en la

que ahora se onvertía en una fun ión de una

y después llevar a abo optimiza ión ordinaria. El pro-

blema entral on este pro edimiento es que, en o asiones, no es posible

www.fullengineeringbook.net despejar

y

g(x, y) = 0,

de la e ua ión

y esto impediría seguir adelante

(¾re uerda el le tor el teorema de la fun ión implí ita?). Para paliar esto, el método de los multipli adores de Lagrange apare e omo un algoritmo que nos permite al ular explí itamente las solu iones a los problemas

(∗)

y

(∗∗)

sin re urrir a ninguna sustitu ión. Veamos en qué onsiste.

Teorema (Lagrange (1797)) f : R2++ → R y g : R2++ → R tienen (x∗ , y ∗ ) ∈ R2++ resuelve el problema

Supongamos que

ontinuas. Si

Maximizar sujeta a

x > 0, enton es existe un número

λ 6= 0

f (x, y)

g(x, y) = 0 y>0

tal que

∇f |(x∗ ,y∗ ) = λ∇g|(x∗ ,y∗ ) siempre y uando

∇g|(x∗ ,y∗ ) 6= 0.

derivadas par iales

335

Le


La demostra ión de este teorema la pospondremos para la le

ión 2 (optimiza ión estáti a) del volumen 3. Por ahora nos limitaremos a expli ar

ómo podemos utilizarlo onvenientemente para resolver los problemas típi os (∗) y (∗∗) que estable imos antes. Por ejemplo, resolvamos, Maximizar xy sujeta a 3x + 4y = 5 x > 0,

y>0

utilizando el teorema anterior. Aquí, f (x, y) = xy y g(x, y) = 3x + 4y − 5. Las dos fun iones tienen derivadas par iales ontinuas, luego si (x∗ , y ∗ ) resuelve este problema, debe enton es existir un λ 6= 0 tal que ∇f |(x∗ ,y∗ ) = λ∇g|(x∗ ,y∗ ) (los ve tores gradiente son paralelos); es de ir, existe un λ 6= 0 tal que (y ∗ , x∗ ) = λ(3, 4); ó y ∗ = 3λ

x∗ = 4λ

www.fullengineeringbook.net Pero omo 3x∗ + 4y ∗ = 5 enton es 3(4λ) + 4(3λ) = 5. Y así, λ = 5 5 ∗ 6 , y = 8 , que es la solu ión del problema (gura 45).

5 24 ,

x∗ =

∇g

y y¯

∇f ∇f = λ∇g

1 y∗

0

x ¯

x∗ 1

x

Figura 45

El problema aquí onsiste en que, apli ando el teorema del Lagrange antes expuesto e imitando lo realizado en el ejemplo inmediatamente anterior, resuelva los siguientes problemas de optimiza ión:


336

a)

2

)

b)

2

x +y =1

sujeta a

(Solu ión:

x+y

Maximizar

sujeta a

x > 0, y > 0 1 1 ∗ ∗ (x , y ) = √ , √ ) 2 2

2

x + y2 = 1

x > 0, (Solu ión:

3x + 8y x 2 y 2 + =4 2 5 x > 0, y > 0

Maximizar sujeta a

xy

Maximizar

d)

(x∗ , y ∗ ) =

Minimizar sujeta a

y>0 1 1 √ ,√ ) 2 2

3x + 2y xy = 4

x > 0, y > 0

En ada uno de los uatro asos a), b), ), d), ilustrar el resultado on una grá a para onrmar la solu ión en ontrada al problema de optimiza ión. 37) Utilizando Cál ulo en dos variables (multipli adores de Lagrange), pruebe que las dimensiones del ilindro ir ular re to de máximo volumen que se puede es ribir en una esfera de radio

y=

R son (ver gura) x =

√2 R. 3

q

2 3 R,


y/2 x

38)

a) Utilizando Cál ulo en dos variables (multipli adores de Lagrange), pruebe que las dimensiones del re tángulo de máxima área que puede ins ribirse en un semi ír ulo de radio y altura

=

√ 3 2 R.

R

son base

=

√

2R

a) Utilizando Cál ulo en dos variables (multipli adores de Lagrange), muestre que el volumen máximo de un ono ir ular que puede ins ribirse en una esfera de radio

R

es

32 3 81 πR .

* 39) Es ribir ada uno de los problemas de optimiza ión del ontexto e onómi o en la forma

(∗) o (∗∗) del ejer i io anterior, y resolverlos utilizando

el método de los multipli adores de Lagrange.

Le

ión 4

La integral Introdu

ión El ál ulo integral (término a uñado en 1700 por Ja ob Bernoulli [1654-1705℄) y que en el lenguaje antiguo se ono e omo el problema de las uadraturas es, en prin ipio, un método para en ontrar el área en errada por una urva. Antes de la inven ión del Cál ulo, sólo era posible en ontrar el área de ier-


tas guras omo polígonos, ír ulos, se tores de ír ulos y dos o tres guras más. En la Gre ia antigua, Eudoxio y Arquímedes habían desarrollado formas ingeniosas para al ular áreas de varias guras (método de exhaus ión del área), in luyendo el área de un ír ulo y el de un segmento de parábola, que

son, bási amente, uno y el mismo método utilizado a tualmente para denir el on epto de integral. Sin embargo, al ular áreas mediante exhaus ión, omo Arquímedes, requería un estudio muy detallado del omportamiento de la gura es ogida y, en o asiones, de métodos aún más ingeniosos y difí iles.

Después de los antiguos griegos, no hubo ningún progreso importante en el problema de las uadraturas hasta el siglo XVI. Avan es omo los de Johannes Kepler [1571-1630℄, Bonaventura Cavalieri [1598-1647℄, Gilles de Roberval [1602-1675℄ y Pierre de Fermat [1601-1665℄ apuntalarían el trabajo ulmen de Newton y Leibniz en el siglo XVII. Por ejemplo, Cavalieri (inspirado en los

ál ulos de áreas de se tores de elipses que había llevado a abo Kepler en sus estudios de los movimientos planetarios) pensaba que ualquier área estaba formada por un número innito de líneas que sumadas"deberían dar por resultado el área bus ada. Roberval, por su parte, no pensaba en sumas innitas de segmentos de re ta, sino en sumas nitas de áreas de re tángulos innitamente delgados". También Fermat seguiría este amino, generalizando de una manera un po o más rigurosa (aunque sin pruebas) mu hos de los resultados sobre guras parti ulares que habían ya al anzado sus prede esores.

337

338


Los matemáti os del siglo XVII, por lo tanto, re ibieron ompla idos el he ho de que la inversión del problema de tangentes (derivada) resolviera el de

uadraturas según el teorema de Newton y Leibniz (mejor ono ido omo el teorema fundamental del ál ulo, que estudiaremos en esta le

ión), y se hizo

laro enton es que existía un método general que se ajustaba bien a un número innito de guras distintas. Lo mismo también era ierto para el ál ulo de volúmenes, super ies, longitudes de urvas, et . Después de la rea ión del ál ulo diferen ial e integral por parte de Newton y Leibniz, siguió un período de rápidos desarrollos (parti ularmente en apli a iones) en las más diversas ramas de la te nología y de las ien ias naturales. El Cál ulo reejaba propiedades muy profundas del mundo material y, por tanto, respondía a mu has preguntas prá ti as tales omo el movimiento me áni o de

uerpos sólidos, el movimiento de líquidos y gases en sus partí ulas esen iales, las leyes de ujo, la ondu

ión del alor y la ele tri idad, la traye toria de las rea

iones quími as, et . Debe a lararse, sin embargo, que los on eptos de derivada e integral, omo los presentaban Newton, Leibniz y sus ontemporáneos, no se separaban de sus orígenes físi os y geométri os de velo idad y área. De he ho, eran mitad matemáti os y mitad físi os. Las ondi iones de la épo a no eran propi ias para produ ir una deni ión puramente formal de estos on eptos: era omún que el investigador siguiera el amino matemáti amente orre to si permane ía en onta to dire to on aspe tos prá ti os de su problema.


La evolu ión de los on eptos del análisis matemáti o (derivada, integral, et .)

ontinuó, por supuesto, después de Newton y Leibniz. Un punto importante en este desarrollo se dio al omienzo del siglo XIX on los trabajos de Cau hy y Weierstrass. Ellos fueron los primeros en dar deni iones formales del on epto de límite y de usar éste omo base para sus deni iones de ontinuidad, derivada e integral. Estas deni iones (ex epto la de integral que presentaremos en esta le

ión) ya han sido introdu idas en las le

iones anteriores. Pero la gran importan ia de estos logros radi a en el he ho de que, desde enton es, fue posible operar de manera puramente formal y sin ninguna referen ia a he ho físi o alguno. 1.

La antiderivada

Probablemente el le tor está ya familiarizado on las opera iones matemáti as inversas. Cuando se denió la adi ión en los números reales, apare ió, simultáneamente, la sustra

ión; para la multipli a ión se tuvo, omo opera ión inversa, la división; y para la poten ia ión, la radi a ión. La deriva ión no es la ex ep ión: ono ida la derivada F ′ ( x ) de una ierta fun ión des ono ida

339

Le

ión 4: La integral

F ( x ), el pro eso de en ontrar una tal F (·), será su opera ión inversa. A este pro eso se le ono e omo antideriva ión o antidiferen ia ión (términos a uñados por Daniel A. Murray en 1908 y por George D. Birkho en 1906, respe tivamente). También se a ostumbra de ir que F (·) es una fun ión primitiva o integral indenida (La roix (1797, 1802)).

Deni ión 1. (La antiderivada)

Una fun ión F (·) es una antiderivada de otra fun ión f (·) en un intervalo abierto I , si F ′ ( x ) = f ( x ) para todo x ∈ I . Por ejemplo, si sabemos que f ( x ) = 3x2 +2x, es laro que F ( x ) = x3 +x2 es una antiderivada de f ( x ), ya que F ′ ( x ) = 3x2 + 2x; esto es, F ′ ( x ) = f ( x ). Pero además, G( x ) = x3 + x2 − 3, ó H( x ) = x3 + x2 + 1 también son antiderivadas de f ( x ) ya que, G′ ( x ) = H ′ ( x ) = F ′ ( x ) = f ( x ). De he ho, todas las antiderivadas de f ( x ) son de la forma F ( x )+C = x3 +x2 +C , donde C es una onstante real, omo se desprende de los dos siguientes teoremas:

Teorema 1. (Sólo

las fun iones onstantes tienen derivada nula)

Si f (·) es derivable en un intervalo abierto I y si f ′ ( x ) = 0 para todo x ∈ I , enton es f (·) es onstante en I .

Demostra ión. www.fullengineeringbook.net Fijemos y sea otro punto ualquiera. Enton es, por el teorema del a∈I

x∈I

valor medio, existe c entre a y x tal que f ′( c ) =

f( x ) − f( a ) = 0; x−a

por tanto, f ( x ) = f ( a ). Y omo esto es ierto para todo x ∈ I , la fun ión f (·) es onstante en I .

Teorema 2. Sean F (·) y G(·) dos antiderivadas de la misma fun ión f (·) en un intervalo abierto I . Enton es existe una onstante C tal que F ( x ) = G( x ) + C para todo x ∈ I .

Demostra ión.

Por hipótesis, F ′ ( x ) = f ( x ) = G′ ( x ) para todo x ∈ I . Llamemos H = F − G. Enton es H ′ ( x ) = F ′ ( x ) − G′ ( x ) = 0 para todo x ∈ I Por el teorema 1, enton es existe una onstante C ∈ R tal que H( x ) = C para todo x ∈ I ; esto es, F ( x ) = G( x ) + C para todo x ∈ I .

340


Lo anterior signi a que si F ( x ) es una antiderivada de f ( x ), todas las antiderivadas de f ( x ) están ontenidas en la familia de fun iones de la forma F ( x ) + C , donde C es ualquier onstante. Nota 1.

El símbolo

Z

denotará en adelante la opera ión de antideriva ión, y las anti-

derivadas de f ( x ) se denotarán por Z

f ( x ) dx = F ( x ) + C

Z

f ( x ) dx. Esto es, la igualdad

es ierta si, y sólo si, F ′ ( x ) = f ( x )

para todo x en algún intervalo abierto I . Ahora: sabiendo que la antideriva ión es el pro eso inverso de la deriva ión no debería sorprendernos de que esta opera ión satisfaga las mismas ondi iones de linealidad de la derivada, que estudiamos en la le

ión 2. Teorema 3.

(Álgebra de antiderivadas)

www.fullengineeringbook.net a) Para en ontrar una antiderivada de una onstante multipli ada por una fun ión, se en uentra primero la antiderivada de la fun ión y después se multipli a por la onstante. Así, Z

a f ( x ) dx = a

Z

a∈R

f ( x ) dx

b) La antiderivada de una suma de dos fun iones es la suma de las antiderivadas de las fun iones : Z

[ f ( x ) + g( x ) ] dx =

Z

f ( x ) dx +

Z

g( x ) dx

Este resultado puede generalizarse para un número nito de fun iones; es de ir, Z [ f1 ( x ) + f2 ( x ) + · · · + fn ( x ) ] dx

=

Z

f1 ( x ) dx +

para ualquier n ∈ N.

Z

f2 ( x ) dx + · · ·

Z

fn ( x ) dx

341

Le

ión 4: La integral Demostra ión.

a) Es onse uen ia de que la derivada de una onstante multipli ada por una fun ión es la onstante multipli ada por la derivada de la fun ión. b) Es onse uen ia de que la derivada de una suma de fun iones es la suma de sus orrespondientes derivadas. Quizás la primera regla para el ál ulo explí ito de antiderivadas deba ser aquella que lleva a abo este pro eso para las fun iones on exponentes fra

ionarios. Teorema 4. Si es

n

(Regla de las poten ias para las antiderivadas)

un número ra ional, enton es la antiderivada general de

xn+1 +C n+1 F(x) =  ln | x | + C  

Demostra ión.

f ( x ) = xn

es

n 6= −1 n = −1

xn+1 + C , enton es n+1

www.fullengineeringbook.net Si n 6= −1 y F ( x ) =

F ′( x ) =

( n + 1 )xn+1−1 = xn = f ( x ) n+1

Si n = −1. y F ( x ) = ln | x | + C , enton es F ′ ( x ) =

1 . x

Nota 2.

No sobra advertir que la opera ión de antideriva ión anterior sólo es válida en un intervalo abierto en el que la fun ión on exponente fra

ionario esté bien denida. Ejemplo 1.

Utilizando los teoremas 2, 3 y 4, hallemos las siguientes antiderivadas: a)

) e)

Z

Z Z

( 3x + 5 ) dx cos x dx 1 dx 1 + x2

b) d)

Z Z

1 1 +√ 3 3 x x

sec2 x dx Z 1 2 f) +x dx x

dx


342

Solu ión.

a)

Z

( 3x + 5 ) dx =

Z

Z

Z

Z

( 3x ) dx + 5 dx = 3 x dx + 5 dx 2 x = 3 + C1 + ( 5x + C2 ) 2 3 = x2 + 5x + C, donde C = C1 + C2 2

b)

Z

1 1 +√ 3 x3 x

) Puesto que

d) Como

Z Z Z 1 1 1 −3 √ dx + dx = x dx + x− 3 dx 3 x3 x 1 3√ 3 =− 2 + x2 + C 2x 2

dx =

Z

d( sen x ) = cos x dx

d( tan x ) = sec2 x dx

enton es

se tiene que

Z

Z

cos x dx = sen x + C . sec2 x dx = tan x + C .

d( tan−1 x ) 1 = . dx 1 + x2

www.fullengineeringbook.net e) En la le

ión 2 se demostró que

Z f)

Z

1 + x2 x

Por tanto,

1 dx = tan−1 x + C 1 + x2

dx = ln | x | +

x3 +C 3

Ejer i ios 1 1) Cal ule las siguientes antiderivadas: a)

Z

3

x + 8x + 10x + 5 dx

)

Z

e)

Z

g)

4

x

− 23

4 + 1+x

−1 √ dx 1 − x2 Z 5 (x − 2)− 3 +

dx

b)

Z

d)

Z

f)

2x 1 + x2

dx

h)

1 + ex + 3x5 x

3e−( 2x+5 ) dx

Z

√ 1 x+ √ x

Z

e( 5x−7 )+ln x dx

dx

dx

Le

ión 4: La integral 2.

343

La regla de integra ión por partes para antiderivadas

En este punto omenzamos a desarrollar las té ni as fundamentales para el

ál ulo de antiderivadas y, dado que ya hemos re urrido en el teorema 3 a las dos primeras reglas de la deriva ión (suma y produ to por es alar) para generar las orrespondientes reglas de antiderivadas, ahora nos orresponde mirar ha ia la regla del produ to para la deriva ión y dedu ir su orrespondiente regla de evalua ión de antiderivadas. Y ésta la obtenemos uando re ordamos la derivada del produ to de dos fun iones:

( f · g )′ ( x ) = f ( x )g′ ( x ) + g( x )f ′ ( x ) En efe to: tomando antiderivadas a ambos lados de esta igualdad, obtenemos que

Pero omo

ribir

Z

( f · g ) ( x ) dx =

Z

( f · g )′ ( x ) dx = ( f · g )( x ) = f ( x )g( x ),

′

Z

Z

′

f ( x )g ( x ) dx +

Z

Z

g( x )f ′ ( x ) dx enton es podemos es-

www.fullengineeringbook.net f ( x )g′ ( x ) dx = f ( x )g( x ) −

a la que se le ono e omo la

g( x )f ′ ( x ) dx

(1)

regla de integra ión por partes para antiderivadas.

Ejemplo 2.

Cal ulemos, utilizando el método de integra ión por partes,

Z

xex dx.

Solu ión.

f ( x ) = x, g′ ( x ) = ex . Enton es f ′ ( x ) = 1, g( x ) = ex (observe que aquí debimos haber olo ado g( x ) = ex + k para alguna onstante k , pero no lo Sea

hi imos ¾Por qué?). Ahora: apli ando la regla de la integra ión por partes (1) tendremos que

Z

x

x

xe dx = xe −

Z

[ ex · 1 ] dx = xex − ex + C = ex ( x − 1 ) + C

Ejemplo 3.

Cal ulemos

a)

Z

ln x dx

y

b)

Z

ex senx dx

.


344

Solu ión.

a) Sean

f ( x ) = ln x

y

g′ ( x ) = 1.

Por tanto,

f ′( x ) =

1 x

y

g( x ) = x.

Apli ando la regla de la integra ión por partes tendremos que

Z

ln x dx = x ln x −

b) En la antiderivada

Z

Z

x·

1 dx = x ln x − x + C x

ex senx dx, sean f (x) = senx y g′ (x) = ex ; enton es,

integrando por partes, en ontramos que

Z

ex senx dx = ex senx −

Z

ex cos x dx

(2)

Pero en este aso es ne esario integrar por partes nuevamente para alZ

ular la antiderivada

ex cos x dx.

Ha iendo

h′ (x) = ex , k(x) = cos x,

en ontramos que

Z

x

x

e cos x dx = e cos x −

Z

ex (−senx) dx

www.fullengineeringbook.net Ahora insertamos esta última igualdad en (2) para en ontrar que

Z

ex senx dx = ex senx − [ex cos x +

y así,

Z

ex senx dx =

Z

ex senx dx]

ex senx − ex cos x +C 2


) e)

Z

Z Z

2 x

x e dx x2 cos x dx x √ dx x+2

b) d) f)

Z Z

Z

x ln x dx x3

p x2 + 1 dx

x2 ln x dx

345

Le


La regla de la adena para antiderivadas: integra ión por sustitu ión

No obstante haber hallado ya ierto número de antiderivadas, mu has de las que en ontraremos no pueden al ularse por los métodos anteriores. Por eso es ne esario disponer de un mayor número de métodos explí itos y dire tos que puedan utilizarse en la determina ión de tales antiderivadas. Consideraremos ahora una té ni a onveniente que requiere la siguiente regla para la deriva ión después de la suma, produ to por es alar y produ to: la regla de la adena para derivadas. A partir de ésta se obtiene, de forma orrespondiente, una regla de antideriva ión que se ha dado en llamar regla de la adena para antiderivadas o, más omúnmente, integra ión por sustitu ión. Veamos primero on ejemplos

ómo opera. Ejemplo 4. 1

Para derivar y = 2( 3x + 1 ) 2 apli amos la regla de la adena y obtenemos i 2 1 1 1 dy d h = 2( 3x + 1 ) 2 = ( 3x + 1 )− 2 · 3 = 3( 3x + 1 )− 2 dx dx 2 1

1

Notemos que, enton es, 2( 3x + 1 ) 2 es una antiderivada de 3( 3x + 1 )− 2 . Por tanto, Z


1

3( 3x + 1 )− 2 dx = 2( 3x + 1 ) 2 + C

Para obtener este resultado más dire tamente, debemos desarrollar un pro edimiento general que pueda utilizarse en este tipo de situa iones: sea u = g( x ) = 3x + 1; luego du = g′ ( x ) dx = 3 dx, y enton es podemos es ribir Z

− 12

3( 3x + 1 )

dx =

Z

[ g( x ) ]

− 12

1

′

g ( x ) dx 1

=

Z

1

u− 2 du =

= 2u 2 + C = 2 [ g( x ) ] 2 + C 1

= 2( 3x + 1 ) 2 + C

N

La justi a ión de este pro edimiento la propor iona el siguiente teorema ono ido omo la regla de la adena para antiderivadas o, también, regla de la integra ión por sustitu ión : Teorema 5.

(Regla de la adena para antiderivadas)

Sea g(·) una fun ión diferen iable uyo rango es un intervalo I . Supongamos que f (·) es una fun ión denida en I y que F (·) es una antiderivada de f (·) en I . Enton es Z

f ( g( x ) ) g′ ( x ) dx = F [ g( x ) ] + C

346


Demostra ión.

A partir de la regla de la adena para la diferen ia ión, se tiene que d [ F ( g( x ) ) ] = F ′ ( g( x ) ) · g′ ( x ) = f ( g( x ) ) · g′ ( x ); dx

de donde se dedu e que Z

f ( g( x ) ) · g′ ( x ) dx = F [ g( x ) ] + C

Nota 3.

Del teorema 5 se tiene que Z

f ( g( x ) ) · g′ ( x ) dx = F [ g( x ) ] + C = F ( u ) + C Z Z ′ = F ( u ) du + C = f ( u ) du + C

donde u = g( x ). Por esto se justi a la identidad

www.fullengineeringbook.net Z

f ( g( x ) ) · g′ ( x ) dx =

Z

f( u ) ·

du dx = dx

Z

f ( u ) du + C

La siguiente es una generaliza ión del teorema 4 anterior, y es una de las reglas más útiles en el ál ulo explí ito de antiderivadas: Teorema 6. Si

g(·)

(Generaliza ión de la regla de la poten ia)

es una fun ión diferen iable y

n

un número ra ional tal que las expre-

siones de abajo tienen sentido, enton es:

Z

 n+1   [ g( x ) ] +C n+1 [ g( x ) ]n · g′ ( x ) dx =   ln | g( x ) | + C

si

n 6= −1

si

n = −1

Demostra ión.

Es un resultado inmediato al derivar la fun ión del lado dere ho de la igualdad y obtener la fun ión dentro del símbolo de antideriva ión.

347

Le

ión 4: La integral Ejemplo 5.

Cal ulemos las siguientes antiderivadas: √

a)

Z

)

Z

e)

Z

1 − 4x dx

1 t+ t

n

t2 − 1 t2

(a + bx) dx

dt

b 6= 0, n ∈ N

b)

Z

d)

Z

f)

Z

p x( x2 + 1 ) 4 − 2x2 − x4 dx [ ln x ]n dx, x

n entero jo

senn x cos x dx,

n∈N

Solu ión.

a) Sea u = 1 − 4x; enton es du = −4 dx y Z

√

1 − 4x dx = −

1 4

Z

√

1 − 4x ( 4 ) dx = −

1 4

Z

3

1

u 2 du = −

1 u2 +C 4 32


=−

3 1 u2 + C = − ( 1 − 4x ) 2 + C 6 6

b) Sea u = 4 − 2x2 − x4 ; enton es du = ( −4x − 4x3 ) dx = −4x( x2 + 1 ) dx y por tanto, Z

Z 3 p 1 1 1 u2 2 4 2 x( x + 1 ) 4 − 2x − x dx = − u du = − 3 + C 4 4 2 2

3

3

u2 ( 4 − 2x2 − x4 ) 2 =− +C =− +C 6 6 2 1 1 t −1

) Si v = t + , se obtiene que dv = 1 − 2 dt = dt. Por tanto, t t t2 Z

1 t+ t

t2 − 1 t2

dt =

Z

v2 1 1 2 v dv = +C = t+ +C 2 2 t

348


1 dx y así: x  n+1  Z Z  z n +C [ ln x ] n n+1 dx = z dz =  x  ln | z | + C

d) Sea z = ln x; enton es dz =

n 6= −1 n = −1

 n+1 x   ln +C n+1 =   ln | ln x | + C

n 6= −1 n = −1

e) Sea u = a + bx; enton es du = bdx, y Z

n

(a + bx) dx =

un 1 un+1 du = +C b bn+1 1 (a + bx)n+1 = +C b n+1

Z

f) Sea v =senx; enton es dv = cos xdx, y Z

senn x cos xdx =

Z

v n dv =

v n+1 +C n+1

www.fullengineeringbook.net =

senn+1 x n+1

+C


Z

)

Z

e)

Z

( 2x + 3 )( x2 + 3x )4 dx 2 x3 +10

dx

d)

x3 dx 1 + x4

f)

x e √ 4

b)

Z

dx dx ( 3x + 2 )2

x2 dx 3x3 + 7 √ Z x dx 3 ( 4 + x2 ) Z

2) (Sustitu iones trigonométri as ) En o asiones, para en ontrar antiderivadas, utilizar una sustitu ión de la forma x = a sen θ , x = a cos θ , x = a tan θ , et ., donde a 6= 0 es un número jo, y re ordar las identidades trigonométri as bási as, puede ser de mu ha utilidad debido a que, on ellas, se simpli a y a orta notablemente el pro eso de antideriva ión. Veamos un par de ejemplos.

Le

ión 4: La integral i) Evaluemos

Z

√

349

dx x2 − 1

on

|x| > 1.

x = sec θ nos ondu e a la antiderivada Z Z sec θ tan θ sec θ tan θ √ dθ dθ = 2 tan θ sec −1 Z y así, a la antiderivada sec dθ = ln | sec θ + tan θ| + C . Por onsiguiente, Observemos que, aquí, la sustitu ión

Z ii) Evaluemos

Z

√

√

p dx = ln |x + x2 − 1| + C x2 − 1

x2 dx 9 − x2

on

|x| > 3.

Podemos notar que, aquí, la sustitu ión antiderivada

y, por onsiguiente, a la

x = 3 sen θ

(9 sen2 θ)(3 cos θ) dθ 3 cos θ Z antiderivada 9 sen2 θdθ

nos ondu e a la

Z

que es, re ordando la

www.fullengineeringbook.net 1 − cos 2θ , igual a 2 Z 9 sen 2θ 1 − cos 2θ dθ = θ− +C 9 2 2 2

igualdad trigonométri a sen2 θ

=

la antiderivada

9 [θ − sen θ cos θ] + C 2 " # x x √ 9 − x2 9 sen−1 − · +C = 2 3 3 3 =

=

x xp 9 sen−1 − 9 − x2 + C 2 3 2

El problema aquí onsiste en utilizar alguna sustitu ión trigonométri a onveniente, para en ontrar las siguientes antiderivadas: a)

)

dx √ 25 + x2 Z p 64 − x2 dx Z

b) d)

dx √ 4 + x2 Z √ 2 x − 49 dx x Z


350

4.

La regla de fra

iones par iales para antiderivadas

En antideriva ión surge muy a menudo la ne esidad de separar onvenientemente una fra

ión de dos polinomios (fun ión ra ional) en una suma de fra

iones on denominadores menos ompli ados y a los que sea más fá il en ontrarles antiderivadas. Este método, llamado

para antiderivadas,

regla de fra

iones par iales

tiene un lugar dentro de las té ni as más so orridas de la

antideriva ión. Consideremos, para ilustrarla, las tres siguientes antiderivadas: a)

12x − 13 dx = x2 − x − 12

Z

Z

12x − 13 dx ( x + 3 )( x − 4 )

El método de fra

iones par iales bus a determinar unas onstantes

B

tales que

A

y

12x − 13 A B = + ( x + 3 )( x − 4 ) x+3 x−4

Para lograrlo, multipli amos a ambos lados de esta e ua ión por

(x+3)

y se tiene que

12x − 13 B( x + 3 ) =A+ x−4 x−4

www.fullengineeringbook.net Ahora ha iendo

x = −3

se puede determinar la onstante

A:

−36 − 13 =A+0 −3 − 4 A = 7. De por ( x − 4 )

Luego

forma similar, multipli ando a ambos lados de la e ua-

ión

se tiene que

12x − 13 A( x − 4 ) = +B x+3 x+3 Ha iendo

x=4

podemos determinar el valor de

B:

48 − 13 =0+B 7 Así,

Z

B = 5.

Por tanto,

12x + 13 dx = x2 − x − 12

Z

7 dx+ x+3

Z

5 dx = 7 ln | x+3 |+5 ln | x−4 |+C x−4

Z

x2 + 1 dx ( x + 2 )( x − 1 )( x + 1 )

b)

Z

x2 + 1 dx = x3 + 2x2 − x − 2

Le

ión 4: La integral

351

Debemos determinar unas onstantes

A, B

y

C

tales que

x2 + 1 A B C = + + ( x + 2 )( x − 1 )( x + 1 ) x+2 x−1 x+1 Multipli ando a ambos lados de esta e ua ión por

(x + 2)

se tiene que

x2 + 1 B( x + 2 ) C( x + 2 ) =A+ + ( x − 1 )( x + 1 ) x−1 x+1 Y ha iendo

x = −2,

se puede determinar la onstante

A:

5 = A+0+0 ( −3 )( −1 ) A = 53 . De por ( x − 1 ),

Por tanto,

forma similar, multipli ando a ambos lados de la

e ua ión

se tiene que

x2 + 1 A( x − 1 ) C( x − 1 ) = +B+ ( x + 2 )( x + 1 ) x+2 x+1 Y si ha emos

x = 1,

podemos determinar el valor de

B:

www.fullengineeringbook.net 2 = 0+B+0 ( 3 )( 2 )

B = 13 . Finalmente, ( x + 1 ), se tiene que

Por tanto,

ión por

multipli ando a ambos lados de la e ua-

A( x + 1 ) B( x + 1 ) x2 + 1 = + +C ( x + 2 )( x − 1 ) x+2 x−1 x = −1,

enton es

Por tanto,

C = −1.

Si

Z

Así,

2 =0+0+C ( 1 )( −2 )

x2 + 1 dx = 3 x + 2x2 − x − 2 =

)

Z

Z

5 dx + 3( x + 2 )

Z

1 dx − 3( x − 1 )

Z

1 dx x+1

5 1 ln | x + 2 | + ln | x − 1 | − ln | x + 1 | + C 3 3

x2 + 2x − 1 dx = (x − 1)(x2 + 1)

Z

A dx + x−1

Z

Bx + C dx x2 + 1

352


Aquí, x2 + 2x − 1 = A(x2 + 1) + (Bx + C)(x − 1) y ha iendo x = 1 obtenemos que A = 1; a su vez, efe tuando las opera iones e igualando

oe ientes, obtenemos que A + B = 1,

−B + C = 2,

A − C = −1

Por onsiguiente, B = 0 y C = 2, lo que nos lleva a que Z

x2 + 2x − 1 dx = ln |x − 1| + 2 ar tang x + C (x − 1)(x2 + 1)

Ejer i ios 4

1) Cal ule las siguientes antiderivadas utilizando el método de fra

iones par iales: a)

Z

x+3 dx x2 + 3x − 10

b)

Z

x+2 dx 3x3 − 24x

)

Z

dx 3 x + x2 − 2x

d)

Z

x3

Z

x+4 dx x2 + 5x − 6

f)

Z

x dx x3 + x2 − 12x

x dx − x2 − 6x


5.

Antiderivadas de algunas fun iones bási as

Las reglas para hallar las antiderivadas de las fun iones trigonométri as, logarítmi as, exponen iales y trigonométri as inversas son onse uen ia inmediata de las orrespondientes reglas de diferen ia ión. Aquí presentamos una tabla que podría ser útil en adelante omo onsulta rápida de antiderivadas. Teorema 7.

a)

) e) g)

Z

Z Z

Z

(Antiderivadas bási as)

xn+1 x dx = + C; n+1 n

n 6= −1

sen x dx = − cos x + C 2

csc x dx = − cot x + C csc x cot x dx = − csc x + C

b) d) f) h)

Z Z

Z

Z

cos x dx = sen x + C sec2 x dx = tan x + C sec x tan x dx = sec x + C dx √ = sen−1 x + C; | x | < 1 1 − x2

353

Le

ión 4: La integral i)

dx = arctan x + C 1 + x2

Z

cot x dx = ln |sen x| + C 1 π arc sen x dx = ln tg − x + C 2 2

Z

ex dx = ex + C

Z

k) m)

o)

Z

1 dx = ln | x | + C x Z x l) csc x dx = ln tan + C 2 Z n) ar tan x dx = x ar tan x+

j)

Z

1 ln(1 + x2 ) + C 2 Z ax p) ax dx = + C; a > 0, a 6= 1 ln a

Demostra ión.

Se deja omo ejer i io para el le tor. Solo derive la parte dere ha de ada igualdad y onrme que ésta oin ide on la fun ión que está dentro del símbolo R de antiderivada. Ejemplo 6.

Cal ulemos las siguientes antiderivadas: a)

Z

dx − x2 Z dx 2 x +x+1 Z

b)


)

Z

x2 sec2 (x3 ) dx a2

dx + x2

d)

√

a2

Solu ión.

a) Sea z = x3 . Enton es dz = 3x2 dx, y por tanto, Z

b) Z

x2 sec2 (x3 ) dx =

√

dx = 2 a − x2

Z

=

Z

1 3

r

Z

dx a2 1 − 1 a

q

sec2 (x3 ) 3x2 dx =

dx x a

1− x

= sen−1

a

x2 a2

=

2 =

+C

Z

Z

1 3

sec2 z dz =

=

1 tan(x3 ) + C 3

dx q a 1− d

q 1−

1 tan z + C 3

Z

x a

x2 a2

x 2 a


354

)

dx = a2 + x2

Z

dx

Z

1 = a

2 a2 1 + xa2 x 1 = tan−1 +C a a

x2 + x + 1 = x2 + x +

d) Como

Z

1 4

+

3 4

Z

1 a

dx

1 = x 2 a 1+ a

= x+

1 2

2

+

Z

d 1+

x a x a

2

3 4 , enton es

d x + 21 = 2 x + 2 + 34 x + 21 + 43 1 1 2 2x + 1 −1 x + 2 −1 √ √ = √ tan + C = √ tan +C 3 3 3 3

dx = 2 x +x+1

Z

2

dx 1 2

Z

2

Notemos que esta integral es una apli a ión dire ta del aso anterior.

Nota 4. (Una nota sobre antiderivadas y fun iones elementales) Como puede haberse visto de los distintos métodos para el ál ulo de antiderivadas, la lase de

fun iones elementales

(es de ir, aquéllas formadas por

ombina iones de las polinómi as, trigonométri as y exponen iales (in luidas


sus inversas)) a las que es posible al ularles una antiderivada, es muy amplia.

Sin embargo, la situa ión es más ompli ada de lo que pare e: existen fun iones

no son fun iones elementales. Por ejemplo, no 2 existen antiderivadas elementales de e−x , ln1x , senx x , entre otras. Quizás esto

elementales uyas antiderivadas

no debería sorprendernos, pues en las matemáti as fundamentales es posible

también en ontrar ejemplos en los que una opera ión dire ta puede llevarse a

abo sobre iertos números, mientras que la opera ión inversa no puede realizarse. Sin embargo, la razón del porqué esto es así, es más profunda que esta observa ión simple.


) e)

1 t cos( 4t2 ) dt 2 √ Z sec2 ( 3 t ) √ dt t Z x e + e−x dx ex − e−x Z

b) d) f)

Z Z

Z

cos x( 2 + sen x )5 dx √

ex + 7 ex dx

tan x dx

Le


355

Antideriva ión y teoría bási a de e ua iones diferen iales

Todas las e ua iones que hemos estudiado en le

iones anteriores han bus ado en ontrar determinado valor numéri o. Por ejemplo, uando se bus an los máximos y los mínimos de ierta fun ión, resolvemos una e ua ión y en ontramos los puntos donde la tasa de ambio de esa fun ión se anula. Sin embargo, en las matemáti as apli adas a menudo surge el problema de estudiar una e ua ión en la ual la in ógnita es

una fun ión (por ejemplo, al investigar el pro eso

de enfriamiento de un uerpo, es ne esario determinar su temperatura uando sólo sabemos la forma en que

varía esa temperatura). Es orriente que sea

posible onstruir la e ua ión que rige los

ambios de una fun ión y el proble-

ma sea enton es determinar la fun ión misma. Las e ua iones diferen iales (e ua iones que involu ran derivadas de fun iones des ono idas) son importantes debido, prin ipalmente, a que en la investiga ión de problemas físi os surge muy omúnmente la ne esidad de en ontrar las posibles solu iones de una determinada e ua ión que involu ra

varia iones de fun iones, y enseguida

veremos el papel que puede jugar la antideriva ión en este pro eso.

Deni ión 2. (E ua ión diferen ial)

www.fullengineeringbook.net Una

e ua ión diferen ial (ordinaria) es una e ua ión que ontiene una o varias

derivadas de una fun ión des ono ida (de una variable) que bus a determinarse

a partir de la e ua ión.

Ejemplo 7. Algunos ejemplos de e ua iones diferen iales son: a)

yx + y ′ = 0 ;

b)

x2 y ′ +

ln x = 1; y

)

y ′′ + y ′ + y = 0

y la pregunta en ada aso es: ¾ uál (o uáles) es(son) la(s) fun ión(es)

y( x )

que la satisfa e(n)?

Deni ión 3. (Solu ión de una e ua ión diferen ial) Una fun ión

y(·)

es una

solu ión de una e ua ión diferen ial (en un intervalo

abierto) si satisfa e di ha e ua ión (en ese intervalo); es de ir, si al sustituir

y( x ) ( on x en el intervalo) en la e ua ión diferen ial se obtiene una identidad.

Nota 5. (Condi iones ini iales de una e ua ión diferen ial) Fre uentemente, en los problemas que in luyen e ua iones diferen iales se desea en ontrar

solu iones parti ulares ; es de ir, solu iones que satisfagan iertas

ondi iones llamadas milia de solu iones

ondi iones ini iales. Esto signi a que, de toda la fa-

y = F ( x ),

se elige, si existe, una solu ión que satisfaga


356

la ondi ión ini ial

y 0 = F ( x0 )

x0 , y 0

para iertos

ono idos. Ilustra iones de

esto se ven en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 8.

Para ada una de las siguientes e ua iones diferen iales en ontremos la solu ión parti ular determinada por las ondi iones ini iales dadas:

a)

dy = x2 − 2x − 4; y = −6 dx

b)

dy = ( x + 1 )( x + 2 ); y = −3 dx

)

d2 y = 4( 1 + 3x )2 ; y = −1 dx2

d)

dy = ( 1 + y 2 )ex ; y = 0 dx

e)

e−x dy = √ ; y=4 dx y

f)

dy x+1 = 3 2; y = 2 dx 3x y

uando

y

x = − 23

uando

y ′ = −2

uando

uando

x=3

uando

x = −1

x=0

x=0


uando

x=1

Solu ión.

a) De la e ua ión diferen ial es fá il ver, separando variables, y es ribiendo la e ua ión on diferen iales, que tomando antiderivadas, se obtiene

y=

Z

dy = =

Dado que

C = 6.

Z

2

( x − 2x − 4 ) dx =

x3 − x2 − 4x + C 3

y = −6

dy = ( x2 − 2x − 4 ) dx

uando

x = 3,

Z

x dx −

Z

( 2x ) dx −

−6 =

27 3

− 9 − 12 + C ;

enton es

2

Luego la solu ión que bus ábamos es (gura 1)

y=

y, por tanto,

x3 − x2 − 4x + 6 3

Z

4 dx

de allí,

357

Le

ión 4: La integral

f (x)

−3 −2 −1

1

Figura 1: y =

x3 3

2

3

4

5

x

− x2 − 4x + 6

b) De la e ua ión diferen ial se obtiene, separando variables, y es ribiendo la e ua ión on diferen iales, que dy = ( x+1 )( x+2 ) dx = ( x2 +3x+2 ) dx, y enton es, tomando antiderivadas, se tiene que y=

Z

dy = =

Z

( x2 + 3x + 2 ) dx =

x3 3 2 + x + 2x + C 3 2

Z

x2 dx +

Z

3x dx +

Z

2 dx


que debe satisfa er que uando y = − 32 , enton es x = −3; esto es, C = 0. Luego, la solu ión que bus amos es y=

x3 3 2 + x + 2x 3 2

) De la deni ión de segunda derivada, obtenemos d dx

Luego,

dy dx

= 4 + 24x + 36x2

dy = 4x + 12x2 + 12x3 + C1 ; dx

pero omo

dy = −2 uando x = −1, enton es C1 = 2. Así, dx dy = 4x + 12x2 + 12x3 + 2; dx

por tanto, y=

Z

( 2 + 4x + 12x2 + 12x3 ) dx = 2x + 2x2 + 4x3 + 3x4 + C2


358 y omo

y = −1

uando

bus amos es

x = −1,

enton es

C2 = 0.

Luego la solu ión que

y = 2x + 2x2 + 4x3 + 3x4 d) De

dy = ( 1 + y 2 )ex dx

ex dx

obtenemos, separando variables, que

dy = 1 + y2

y así,

Z

dy = 1 + y2

Z

ex dx

tan−1 y = ex +C o, equivalentemente, y = tan( ex +C ). Como y = 0 uando x = 0, enton es C = −1. Luego la solu ión parti ular es y = tan( ex − 1 ). Por tanto,

dy e−x = √ dx y

e) Separando variables en la e ua ión

e−x dx.

se tiene que

√ y dy =

Por tanto,

√

Z 2

es de ir, 3

3

y 2 = −e−x + C .

Z

y dy =

Como

e−x dx;

y=4

x = 0,

uando

enton es

C= 2 19

19 3 .

www.fullengineeringbook.net Luego, la solu ión parti ular que requerimos es

f ) Separando variables en la e ua ión

x+1 dx. x3

C=

19 . 2

dy x+1 = dx 3x3 y 2

se tiene que

2

3

.

3y 2 dy =

Por tanto,

Z es de ir,

y = − 23 e−x +

y3 = −

2

3y dy =

1 1 − 2 + C. x 2x

x+1 dx; x3

Z

y = 2 uando x = 1, enton es 1 2x + 1 19 3 es y = − + . N 2x2 2

Como

Luego la solu ión parti ular

Y arribamos ahora a la e ua ión diferen ial sobre la ual se basa gran parte de la teoría fundamental: Teorema 8.

(E ua ión diferen ial fundamental)

Si = ay( x ) para todo x on a ∈ R ja, enton es y( x ) = Ceax para alguna onstante C ∈ R. y′( x )

Le

ión 4: La integral

359

Demostra ión. Sea

f( x ) =

y( x ) . eax

f ′( x ) =

Enton es

eax y ′ ( x ) − y( x ) aeax eax ( y ′ ( x ) − ay( x ) ) = =0 e2ax e2ax

Luego, por el teorema 1, existe

C∈R

tal que

y( x ) = C , y así, y( x ) = C eax . eax

Ejemplo 9. (Un ejemplo de des omposi ión radia tiva) Ciertos experimentos muestran que una sustan ia radia tiva se des ompone a una tasa propor ional a la antidad existente. Si se omienza on 2 gramos de la sustan ia, ¾ uál será la antidad que permane erá en un tiempo

t posterior?

Solu ión. Si

y( t )

t, enton es y( t ) es

es la antidad de sustan ia que permane e en el tiempo

e ua ión diferen ial que podría des ribir el omportamiento de

la

dy = ky dt

www.fullengineeringbook.net para alguna onstante

k<0

que depende de la lase de sustan ia radia tiva.

y( t ) = Cekt para alguna 0

onstante C ∈ R. Pero omo y( 0 ) = Ce = C , enton es C = 2, y así y( t ) = kt 2e es la regla de omportamiento de la antidad de sustan ia radioa tiva y( t ) en el tiempo t. De a uerdo on el teorema 8, se tiene enton es que

Ejemplo 10. (Un ejemplo de me áni a (Físi a)) Un proye til se dispara verti almente ha ia arriba desde el suelo on una velo idad de 1,600 pies/seg. Sin tener en uenta la resisten ia del aire, al ulemos su altura o distan ia desde el suelo

s( t )

en ualquier instante

t.

¾Cuál será la

mayor altura que al anza el proye til?

Solu ión. Partiendo de la segunda ley de Newton del movimiento para un objeto puntual

on masa onstante, sometido úni amente a la a

ión de la fuerza de la gravedad, se tiene

F = ma on a =

De a uerdo on la ondi ión

C1 =

dv = −32 pies/seg2 . Enton es v( t ) = −32t+C1 . dt ini ial, tenemos 1,600 = −32 · 0 + C1 , de donde

1,600. Al sustituir en la e ua ión anterior, obtenemos

v( t ) = 1,600 − 32t

360


ds

Ahora: De la igualdad v = se obtiene la e ua ión diferen ial ds dt = 1,600 dt 2 −32t, y así s( t ) = 1,600t − 16t + C2 . De a uerdo on la ondi ión ini ial, s = 0 uando t = 0, y obtenemos enton es que C2 = 0. Luego, s( t ) = 1,600t − 16t2

La altura máxima se al anza en el instante en que el objeto se detiene, es de ir, uando v = 0 = 1,600 − 32t. De allí, t = 32 = 50 seg, y enton es s( 50 ) = 40,000 pies es la mayor altura que al anza el proye til. 1,600

Ejemplo 11. (Otro ejemplo de me áni a (Físi a))

La a elera ión de la gravedad para objetos er a de la super ie de la Luna es 1.62 m/seg2 . a) Determinemos la altura máxima de una piedra que es lanzada dire tamente ha ia arriba por un astronauta en la Luna on una velo idad de 18 m/seg. b) En ontremos la altura máxima de una piedra que es lanzada dire tamente ha ia arriba por el mismo astronauta y on la misma velo idad, pero en la Tierra.


Del ejemplo anterior se dedu e que v = −gt + C1 , on v = 18 m/seg uando t = 0. De aquí que C1 = 18, y enton es v = 18 − gt

Para la Luna v = 18−1.62t y para la Tierra v = 18−9.8t. a) Como la altura máxima se obtiene uando v = 0, enton es t = ds 11.11 seg; y omo v( t ) = , enton es dt

s( t ) = 18t − 1.62

18 1.62

=

t2 + C2 2

Pero la ondi ión ini ial nos di e que s = 0 uando t = 0 y, por tanto, C2 = 0. Luego s( t ) = 18t − 0.81t2 Por lo tanto, s( 11.11 ) = 100 m.

Le

ión 4: La integral

361

b) De manera análoga al literal a), 4.9t2

s( t ) = 18t − impli a C3 = 0 y así,

Luego

+ C3

v( t ) = 0

t =

impli a que

18 9.8

=1.83.

que, de a uerdo on la ondi ión ini ial,

s( t ) = 18t − 4.9t2 ; de donde

s( 1.83 ) = 16.54

m.

Ejemplo 12.

m que se desplaza sobre una re ta oordenada s y velo idad v en el instante t, al que se le apli a una fuerza de resisten ia −kv que, por la primera ley de Newton, es propor ional al produ to

Imaginemos un uerpo on masa

on posi ión

de la masa y la a elera ión. Así, la e ua ión del movimiento es

m

dv = −kv, dt

k>0

Si resolvemos esta e ua ión utilizando el teorema

8

se obtiene que

k

v = v0 e−( m )t

(1)

www.fullengineeringbook.net donde

v0

es la velo idad ini ial del uerpo. Determinemos uánto avanzará el

uerpo antes de detenerse a partir de ierto punto

s = 0.

Solu ión.

Puesto que

v=

a t, obtenemos

ds( t ) , enton es, resolviendo la e ua ión (1) arriba on respe to dt

v0 m −( k )t e m +C k v0 m Pero omo s( 0 ) = 0, enton es C = . Luego la posi ión k instante t es v0 m −( k )t v0 m s( t ) = − e m + k k s( t ) = −

Para saber uándo es

t→∞

v = 0

(es de ir,

en (2), y obtenemos que

t → ∞

l´ım s( t ) =

t→∞

de uerpo en el (2)

en la e ua ión (1)) ha emos

v0 m k

Observemos que, en parti ular, la distan ia máxima

v0 m k

es propor ional a la

velo idad ini ial y a la masa, e inversamente propor ional a la onstante de intensidad

k.


362

Ejer i ios 6 1) Halle la solu ión de las siguientes e ua iones diferen iales: a)

) e) g) i)

dy = 3xy 2 dx √ dy x+x = √ dx y−y dy + xy = y dx dr sen θ + r cos θ = 1 dθ dy = x3 e−y dx

b) d) f) h) j)

dy + 2ex y = 2 dx dy ln x = dx y √ √ y ′ x = e y+x

ex

dv k + v = 0, k, m > 0 dt m dy + ( x + 1 )y 2 = 0 dx

2) En uentre, si existe, la solu ión parti ular de las siguientes e ua iones diferen iales determinadas por las ondi iones ini iales dadas: a)

dy = x2 − 2x − 4 si y = −6 uando x = 3 dx d2 y 3 dy = − 4 si y = 12 y = −1 uando x = 1 2 dx x dx dy + xy = x3 si y = −6 uando x = 0 dx dy t + 2y = t si y = 1 uando x = 2 dt dy y + x = 0 si y = −2 uando x = 0 dx 1−x dy = si y = 1 uando x = 1 dx y dv v = g, (g onstante) si v = v0 uando t = t0 dt √ dy x2 + 1 = xy 2 si y = 2 uando x = 0 dx


) d) e) f) g) h)

3) El volumen de agua de un lago de re e a una tasa del

5 % anual. ¾Cuándo

estarán las reservas en 1 4 de su volumen de hoy?

a = t2 + 2t on distan ia s = 1 uando el tiempo es t = 0, y distan ia s = −3 uando el tiempo es t = 2. Muestre que la velo idad v , y la distan ia re orrida s, t3 t4 t3 en términos de t, están dadas por v = 3 + t2 − 4, s = 12 + 3 − 4t + 1.

4) Una partí ula se mueve en línea re ta on a elera ión

363

Le

ión 4: La integral

5) Una pelota se lanza verti almente ha ia arriba on un velo idad ini ial de 40 m/seg desde un punto situado a 20 metros sobre el nivel del suelo. a) Si v m/seg es la velo idad de la pelota uando está a s pies del √ punto ini ial, muestre que v =+ 2, 880 − 64s (¾qué signi an aquí − los signos + ?). − b) Muestre que la velo idad de la pelota uando ésta se en uentra a 36 metros del suelo y sigue as endiendo es 24 m/s 6) El osto de una ierta pieza de maquinaria es 7, 000 dólares y su valor se dV

= −500( t + 1 )−2 , redu e on el tiempo de a uerdo on la fórmula dt donde V dólares es su valor t años después de su ompra. Pruebe que su valor tres años después de su ompra es 6, 500 dólares.

7) La tasa de re imiento natural de la pobla ión de ierta iudad es propor ional a su pobla ión. En 1955 la pobla ión era de 80,000 habitantes y en 1995 era de 160,000. a) Si y es el número de individuos de la pobla ión t años a partir de 1955, exprese y omo una fun ión de t. b) Cal ule la pobla ión para el año 2035.

www.fullengineeringbook.net ley de enfriamiento de Newton

8) La estable e que la tasa de varia ión de la temperatura de un uerpo expuesto a un medio es propor ional a la diferen ia de temperatura entre ellos. Se lleva un termómetro de una habita ión en la ual la temperatura es 25 grados entígrados ha ia el exterior donde la temperatura es de 5 grados entígrados y la le tura en el termómetro es 15 grados después de 30 segundos. a) Halle la e ua ión que des ribe la le tura en el termómetro en ualquier instante a partir del momento en que se retiró de la habita ión. b) ¾Cuál será la le tura en el termómetro después de dos minutos?

) ¾Al anzará la le tura en el termómetro el valor del exterior?

9) En un lago pueden oexistir a lo más 10,000 pe es. Se sabe que la varia ión de la pobla ión de pe es es dire tamente propor ional a la diferen ia entre el máximo que pueden oexistir y la pobla ión presente en ese instante. Si la tasa de varia ión es de 80 pe es por mes uando hay presentes 6,000 pe es, enton es: a) Verique que 50p′ (t) + p(t) − 10, 000 = 0 donde p(t) denota la pobla ión o número de pe es presentes en el instante t. b) Resuelva la e ua ión diferen ial si ini ialmente hay 2,000 pe es.

364


) ¾Qué pasa on el número de pe es si el tiempo trans urre indenidamente? d) ¾Aproximadamente uántos pe es habrá al abo de 5 años? e) ¾Aproximadamente uándo se tendrán 8,000 pe es en el lago? 7.

Sumas y series: una primera aproxima ión

Las sumas de innitos términos apare ieron desde, por lo menos, los antiguos Griegos. Por ejemplo, Zenon de Elea, en el siglo V a.C., es ribió un libro

on uarenta paradojas sobre el ontinuo y el innito, en donde de manera re urrente surgía el problema de sumar una antidad innita de números. Infortunadamente, el libro no sobrevivió a nuestras épo as, así que sólo sabemos de ella a través de otras fuentes. Las paradojas de Zenon sobre el movimiento impli aban el problema de si la suma de un número innito de términos podría ser o no un número nito, que es, en última instan ia, el problema de la onvergen ia de una serie innita de números. También el método de exhaus ión de Eudoxio y Arquímedes para medir áreas y volúmenes impli aba el problema de una suma innita on resultado nito. Pero sólo fue hasta el siglo XVIII uando el signi ado e importan ia de estos objetos matemáti os pudo ser entendido abalmente. Sin embargo, en el

amino, el tratamiento de las series innitas fue una ex elente ilustra ión de las ompli a iones que los matemáti os de los siglos XVII y XVIII enfrentaron

on el rigor en el análisis: uando Newton, Leibniz, los hermanos Bernoulli, Euler, D'Alembert, Lagrange y otros, estudiaban y apli aban series innitas,

ometían toda lase de errores, ha ían falsas pruebas y obtenían in orre tas dedu

iones. Un par de ejemplos sen illos de esto son los que presentamos a

ontinua ión.


1

se es ribe omo (1 + x)−1 , y se le apli a el teorema a) Si la fun ión 1+x binomial (volumen 0: Fundamentos), se en uentra una expresión de la siguiente forma: 1 = (1 + x)−1 = 1 − x + x2 − x3 + x4 − ... 1+x

donde los puntos suspensivos indi an que los términos ontinúan indenidamente y que siguen la forma previamente indi ada1 . Cuando x = 1, la serie se onvierte en 12 = 1−1+1−1+1.... Sin embargo, ¾qué deberíamos 1

Al pare er fue Ni olaus Mer ator [1620-1687℄ el que primero tuvo la idea de onvertir la fra

ión

1 en una serie, al realizar un pro eso pare ido a la división ordinaria de 1+x

polinomios.

Le

ión 4: La integral

365

entender por el término de la dere ha la serie di e que es forma

1 − 1 + 1 − 1 + 1..? En primer lugar,

1 2 ; pero también podríamos aso iar los términos de la

(1−1)+(1−1)+(1−1)+...

y obtener 0 ( ero) omo su suma. Aún

más, también podríamos es ribirla de la forma

1 − (1 − 1) − (1 − 1) − ... y

obtener 1 omo la suma. Observando esto, algunos llegaron a pensar que

1 2 era enton es la media aritméti a de dos eventos (1 y 0) equiprobables. Este era el argumento, por ejemplo, de los Bernoulli (Ni holas, James, John, y Daniel) y también el de Lagrange. b) En su primer trabajo sobre el Cál ulo en 1669, Newton introdu ía el uso de las series innitas para fa ilitar los pro esos. Por ejemplo, para

al ular la antiderivada de

y=

1 , 1 + x2

utilizaba la expresión binomial

1 = 1 − x2 + x4 − x6 + x8 − ... 1 + x2 y al ulaba antiderivadas término a término sin onsidera ión alguna de pro esos de límite. Para Newton, operar on series innitas omo la de arriba, era similar a operar on polinomios nitos y, por tanto, aquéllas eran simplemente una parte del álgebra. Por su parte, los matemáti os del siglo XVIII, aunque re ono ieron que debía estable erse una distin ión


entre series onvergentes (que tenían suma) y series divergentes (que no la

tenían), nun a al anzaron a lasi ar uál era la distin ión. El problema, hoy sabemos, era que, en ambos asos, enfrentaban un nuevo y difí il

on epto: el de límite.

a. Sumas nitas Bus ando entender lo que podría signi ar que la suma de innitos numeros pueda ser otro número, omenzamos aquí primero a al anzar destreza on

iertas sumas nitas y, parti ularmente (utilizando la nota ión

P

(sumatoria)

introdu ida originalmente por Euler) a es ribir algunas de ellas de manera simpli ada.

Debe, sin embargo, advertirse que esta nota ión ya ha sido utilizada previamente en los volúmenes 0 (Fundamentos) y I (Algebra Lineal), sólo que aquí la re uperamos por onvenien ia en la exposi ión.

Deni ión 4. (Suma nita) La suma

a1 + a2 + · · · + an

se leerá sumatoria

se es ribirá mediante el símbolo de Euler

desde i = 1 hasta i = n de los términos ai . a1 + a2 + · · · + an =

n X i=1

ai

n P

ai , que

i=1 Esto es,


366 El símbolo

i

de

i

se ono e omo

índi e de la sumatoria.

Observemos que en lugar

puede olo arse ualquier otra letra omo, por ejemplo,

j

ó

k.

Algunas de

las sumatorias más útiles las en ontramos en la siguiente lista: Teorema 9.

a)

)

n X

i=1 n X

(Algunas propiedades de las sumatorias) c ∈ R jo

c = nc,

( ai + b i ) =

i=1

e) g)

ai+c =

i=n−c n X

m X

n X

i=

i3 =

i=1

c ai = c

i=1 m+c X

f)

ai

h)

n X

n (n + 1) 4

j)

n X

ai i=1 m X

ai

i=n

[ ai − ai−1 ] = an − a0

i=1 n X

i2 =

n( n + 1 )( 2n + 1 ) 6

i4 =

n( n + 1 )( 6n3 + 9n2 + n − 1 ) 30

i=1

2

n X

ai−c =

i=n+c

n( n + 1 ) 2 2

n X

d)

bi

i=1

i=n

i=1

i)

ai +

i=1

m−c X

n X

n X

b)

i=1


Demostra ión.

Demostraremos úni amente algunos de los literales del teorema 9. Los demás se dejan omo ejer i ios para el le tor. a)

n P

i=1

f)

c = c + c + ··· + c n X i=1

(n ve es)

[ ai − ai−1 ] = =

n X

i=1 n−1 X i=1

g) Sea

n P

i=1

= nc

ai −

n X

ai−1 =

i=1

ai + an − a0 −

i = 1 + 2 + 3 + · · · + n = S.

n X

i=1 n−1 X i=1

ai −

n−1 X

ai

i=0

ai = an − a0

Es ribiendo la suma de adelante

ha ia atrás, tenemos que n X i=1

i = n + (n − 1) + (n − 2) + · · · + 1 = S

y sumando miembro a miembro las dos expresiones anteriores, obtenemos

( n + 1 ) + ( n + 1 ) + · · · + ( n + 1 ) = n( n + 1 ) = 2S

Le

ión 4: La integral

367

Por tanto,

S=

n X

n( n + 1 ) 2

i=

i=1

h) Puesto que

3

n =

n X

n n X X 3 3 i − (i − 1) = i − ( i − 1 )3

i=1

i=1

=

n X

enton es

n X

3

i=1

i=1

i3 − i3 + 3i2 − 3i + 1 = 3

i2 =

n3 − n + 3 3

i=1

=

n P

i

i=1

=

n X i=1

i2 −

n3 − n +

3

n X

!

i

i=1

+n

3n( n + 1 ) 2 3

2n3 − 2n + 3n2 + 3n 2n3 + 3n2 + n = 6 6 n( n + 1 )( 2n + 1 ) 6


Ejemplo 13.

En ontremos las siguientes sumas utilizando, si es ne esario, las propiedades de las sumatorias indi adas por el teorema 9: a)

5 X i=2

)

i i−1

b)

10 X ( i − 1 )3 i=1

100 X 1 1 − k k+1

d)

600 X j=3

k=1

2 j( j − 2 )

Solu ión.

a)

5 P

i 2 3 4 5 1 73 = + + + = ( 24 + 18 + 16 + 15 ) = 1 2 3 4 12 12 i=2 i − 1

b) Como

n P

i3 =

i=1 10 X i=1

n2 ( n + 1 )2 , 4

( i − 1 )3 =

9 X i=0

se tiene que

i3 =

9 X i=1

i3 =

92 ( 9 + 1 )2 = 2,025 4

368


) Observemos que 100 X 1 1 1 1 1 1 1 − = 1− + − + − + ···+ k k+1 2 2 3 3 4 k=1 1 1 100 1 − =1− = + 100 101 101 101

d) Des ompongamos

2 en fra

iones par iales; es de ir, j( j − 2 )

2 A B A( j − 2 ) + Bj = + = j( j − 2 ) j j−2 j( j − 2 )

lo que equivale a que ( A + B )j − 2A = 2 y, por tanto, A + B = 0 y −2A = 2, que tiene por solu ión A = −1 y B = 1. Luego, 600 X j=3

X 600 600 X 2 1 1 1 1 1 1 = − = − + − j( j − 2 ) j=3 j − 2 j j−2 j−1 j−1 j j=3 X 600 1 1 1 1 − + − = j−2 j−1 j−1 j j=3 j=3 1 1 1 = 1− + − = 1.49 599 2 600 600 X

www.fullengineeringbook.net b.

Series

Y ahora damos enton es el paso ha ia el on epto de suma de innitos números a través de la no ión de serie innita. Veamos en qué onsiste este importante

on epto matemáti o.

Deni ión 5. (Serie innita) Dada una su esión { an } de números, a la suma innita a1 + a2 + . . . + an + · · · + · · ·

se le llama una serie (innita ), y se denota por llama el n-ésimo término de la serie.

∞ P

n=1

an . Al número { an } se le

Le

ión 4: La integral

369

Ejemplo 14. (Algunas series) ∞ X 1 1 1 1 = 1 + + + + ··· n 2 3 4 n=1

a)

n=1

∞ X 1 1 1 1 =1+ + + + ··· 2 n 4 9 16 n=1

)

∞ X

e)

∞ X

b)

∞ X n+1 3 4 = 2 + + + ··· n 2 3 n=1

d)

∞ X ln n ln 2 ln 3 =0+ + + ··· n 2 3 n=1

f)

( −1 )n+1 = 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·

n = 1 + 2 + 3 + 4 + ···

n=1

Mediante la siguiente deni ión, basada en el on epto de límite, se hizo enton es posible lasi ar, on absoluto rigor y laridad, uándo podía de irse que una suma innita de números era otro número.

Deni ión 6. (Convergen ia de una serie) a) De imos que la serie

∞ P

n=1

an onverge

si la su esión de sumas par iales

a

S

{ Sn }

(o que es una serie

denida por

onvergente )

Sn = a1 + a2 + · · · +

www.fullengineeringbook.net an =

n P

ak ,

onverge a

S;

y se es ribe

S=

∞ P

an .

n=1

k=1

b) Una serie que no es onvergente se llama

divergente.

Nota 6. El término serie onvergente se debe a David Gregory (1668) (sobrino de James Gregory), y el término serie divergente se debe a Ni holas Bernoulli (1713). Quizás la serie fundamental de todo el desarrollo teóri o de las series innitas sea la

serie geométri a

que denimos a ontinua ión:

Deni ión 7. (Serie geométri a) Para

q∈R

jo, la serie

1 + q + q 2 + · · · + q n−1 + · · · = se llama

∞ X

q n−1

n=1

serie geométri a (nombre debido a que el o iente de ada término on q , es de ir, los términos están en progresión geométri a ).

su ante esor es igual a

370


Teorema 10. (Convergen ia de la serie geométri a (Viete (1590) )

a) Si | q | < 1, la serie geométri a

∞ P

n=1

b) Si | q | ≥ 1, la serie diverge.

q n−1 onverge a

1 . 1−q

Demostra ión.

Observemos que Sn = 1 + q + q 2 + · · · + q n−1 =

1 − qn 1−q

pues basta multipli ar el denominador de la dere ha de la igualdad por la suma de la izquierda, para obtener el mismo resultado. Ahora: si | q | > 1, enton es ∞ 1 − qn = ∞, y así la serie diverge; si q = 1, P q n−1 = 1 + 1 + 1 + · · · l´ım n→∞ 1 − q n=1 ∞ P n−1 q = 1−1+1−1+1−1+1 · · · obviamente diverge; y si q = −1 la serie es n=1

que es aquella ( que presentamos al ini io de la se

ión y que también diverge, 1 si n es impar pues Sn = y así, l´ım Sn no existe. Por lo tanto, sólo si n→∞ 0 si n es par,


| q | < 1 la serie onverge, pues l´ım q n = 0; es de ir, n→∞

∞ X

q n−1 =

n=1

1 1−q

si | q | < 1

Ejemplo 15.

Mediante el teorema anterior es fá il al ular la suma de las dos siguientes series innitas: a)

∞ n−1 X 1 n=1

2

1 = 1−

1 2

=2

b)

∞ n−1 X 1

n=1

3

=

1 1−

1 3

=

3 2

Ejemplo 16. (Serie geométri a: una apli a ión simple)

Desde una altura de a metros se deja aer una pelota sobre un piso horizontal. Cada vez que la pelota ho a ontra el suelo, después de aer desde una altura a, rebota en el mismo punto hasta al anzar la altura ra, donde r ∈ ( 0, 1 ) es el oe iente de restitu ión del material del que se ha fabri ado la pelota. Hallemos la distan ia total re orrida por ésta (gura 2).

Le

ión 4: La integral

371

ar ar 2 ar 3

a

Figura 2 Solu ión. La distan ia está dada por la serie

S = a + 2ar + 2ar 2 + 2ar 3 + · · · y así, la distan ia pedida es

S =a+

2ar 1+r =a 1−r 1−r r

www.fullengineeringbook.net Un ejer i io para el le tor podría ser variar los valores de

su edería on la distan ia

uando

S

para ver qué

en ada aso; en parti ular, ¾por qué

r → 1− ?

S → ∞

Ejemplo 17. (Serie armóni a (o de Leibniz)) Mostremos que, ontrario a lo que la intui ión podría sugerir a primera vista, la serie

∞ 1 P n=1 n

2

diverge .

Solu ión. Sea

1 2

Sn = 1 +

+

1 3

+ ··· +

1 n

la su esión de sumas par iales, y supongamos

que ésta onverge a ierto número

onverge a

S,

S2n − Sn = Por tanto,

serie

2

∞ P

1 n=1 n

S.

Enton es la subsu esión

S2n

también

y además,

1 1 1 1 1 + ··· + > + ··· + = n+1 2n 2n 2n 2

0 = l´ım ( S2n − Sn ) ≥ n→∞

1 2,

lo ual es una ontradi

ión. Luego la

diverge.

Éste es el aso en que, a pesar de que los términos de la serie serie innita

P1 va re iendo indenidamente. n

1 de re en on n, la n


372

Nota 7. Una forma de entender el anterior ejemplo es que, a pesar de que la su esión

1 { } n

onverge a ero, no lo ha e lo su ientemente rápido para evitar que las

sumas

Sn

rez an indenidamente.

Teorema 11. (Álgebra de series ) Si

∞ P

an = A

y

n=1

n=1 ∞ P

b)

bn = B ,

enton es

n=1 ∞ P

a)

∞ P

n=1

( an + bn ) = A + B k an = kA,

donde

k

es ualquier número real.

Demostra ión. Es una apli a ión dire ta de las propiedades de límites para su esiones y se

deja omo ejer i io para el le tor.

El siguiente teorema nos muestra que una ondi ión ne esaria para que una


serie onverja, es que la su esión de términos onverja a ero. Sin embargo, adelante mostramos que esta ondi ión está lejos de ser su iente.

Teorema 12. (Criterio del n-ésimo término ) Si

∞ P

an

es onvergente, enton es

n=1

l´ım an = 0.

n→∞

Demostra ión. Si

∞ P

an = A,

enton es

n=1

Nota 8. Así, series tales omo

n→∞

an + 1 = Sn+1 − Sn −−−→ A − A = 0.

∞ P

n=1

n,

∞ P

n2 ,

no pueden ser onvergentes. Sin embargo,

n=1

el re ípro o del teorema 12 no es ierto: bien puede o urrir que y

∞ P

an

l´ım an = 0

n→∞

diverge. Ése es el aso del ejemplo 17 de la serie armóni a, donde

n=1

an =

1 . n

Más allá del teorema 12 que nos ofre e una ondi ión ne esaria para la onvergen ia de una serie, los siguientes teoremas presentan ondi iones su ientes para de idir, en iertos asos, sobre la onvergen ia o divergen ia de series,

373

Le

ión 4: La integral

aunque estarán restringidos ex lusivamente al aso en que sus términos sean no negativos : Teorema 13. (Criterio de ompara ión )

Si 0 ≤ an ≤ bn para ualquier n su ientemente grande y gente, enton es también divergente, enton es Demostra ión.

∞ P

n=1

∞ P

n=1

∞ P

n=1

bn es onver-

an es onvergente. Y, por lo tanto, si

bn también es divergente.

∞ P

n=1

an es

La su esión { Sn } = { a1 + . . . + an } es monótona re iente y a otada, siendo esto último ierto puesto que y esto es equivalente a que Ejemplo 18.

∞ P

n=1 ∞ P

bn es onvergente. Luego { Sn } es onvergente,

an es onvergente.

1

1

n=1

1

1

Determinemos si la serie 1 + + + + · · · + + · · · es onvergente o 2! 3! 4! k! divergente.


Cada término de la serie es menor que el orrespondiente de la serie geométri a ∞ X

1 1 1 1 1 =1+ + + + + ··· = 2 n−1 2 2 4 8 16 n=1

Por tanto, por el riterio de ompara ión, la serie es onvergente. Teorema 14. (Criterio de la razón (D'Alembert (1742)) )

Si

∞ P

n=1

an es una serie de términos positivos tal que l´ım

n→∞

an+1 =q an

enton es la serie onverge si q < 1 y diverge si q > 1. Si q = 1 la serie puede ser onvergente o divergente. Demostra ión.

Por hipótesis, an+1 < q ∗ an para ierto q ∗ < 1 jo y n grande en adelante. Enton es an+1 < q ∗ ( q ∗ an−1 ) < q ∗2 ( q ∗ an−2 ) < . . . < q ∗n a1

374


Así, por el riterio de ompara ión on la serie geométri a ∞ X

q∗n

n=1

la serie enton es Nota 9.

∞ P

n=1 P

an onverge. Por un argumento similar mostramos que si q > 1

an diverge. Casos en que q = 1 los ilustramos enseguida.

El riterio de la razón no siempre determina denitivamente la onvergen ia de una serie. En efe to: a) Ya sabemos que la serie

∞ 1 P diverge y, sin embargo, n=1 n

l´ım

n→∞

an+1 n = l´ım =1 n→∞ n + 1 an

b) Pero también (probaremos más adelante en el ejemplo 42) la serie

∞ 1 P 2 n=1 n


onverge y todavía

an+1 n2 = l´ım =1 n→∞ an n→∞ ( n + 1 )2 l´ım

Ejemplo 19.

Utili emos el riterio de la razón para determinar si la serie es divergente o onvergente.

∞ ( n + 1 )( n + 2 ) P n! n=1

Solu ión.

Como an =

( n + 1 )( n + 2 ) ( n + 2 )( n + 3 ) , enton es an+1 = . Por tanto, n! ( n + 1 )!

( n + 2 )( n + 3 ) an+1 n!( n + 3 ) n+3 ( n + 1 )! = = = ( n + 1 )( n + 2 ) an ( n + 1 )!( n + 1 ) ( n + 1 )2 n!

Esto impli a que l´ım

n→∞

an+1 n+3 = l´ım 2 =0 n→∞ an n + 2n + 1

375

Le

ión 4: La integral

Por tanto, la serie Ejemplo 20.

∞ ( n + 1 )( n + 2 ) P es onvergente. n! n=1

Utili emos el riterio de la razón para determinar si la serie divergente o onvergente.

∞ ( 2n + 1 ) P es 4n n=1

Solu ión.

Como an =

( 2n + 1 ) ( 2n+1 + 1 ) , enton es an+1 = y, por tanto, n 4 4n+1 an+1 an

( 2n+1 + 1 ) 1 1 + n+1 n+1 + 1 n+1 2 4 2 = = = 4 ( 2n + 1 ) 4( 2n + 1 ) 2 + n+1 n 2 4

Esto impli a que l´ım

n→∞

Por tanto, la serie

an+1 1 = an 2

∞ ( 2n + 1 ) P es onvergente. 4n n=1

www.fullengineeringbook.net Nota 10.

Un ejer i io interesante en este punto es que el le tor, on su al uladora de bolsillo, estime las sumas innitas de los ejemplos 19 y 20.

Criterio de la raíz )

Teorema 15. (

Sea

∞ P

n=1

an una serie de términos positivos tal que l´ım (an )1/n = q

n→∞

Enton es la serie onverge si q < 1 y diverge si q > 1. Si q = 1, no es posible armar nada sobre la onvergen ia de la serie. Demostra ión.

a) Consideremos primero el aso q < 1. Tomemos ǫ > 0 su ientemente 1 pequeño de tal manera que q + ǫ < 1. Como l´ım an n = q , enton es 1 nn

existe N ∈ N tal que a

n→∞

< q + ǫ para n ≥ N . Por tanto, an < ( q + ǫ )n


376

para

n ≥ N.

∞ P

Como la serie geométri a ∞ P

por el riterio de ompara ión,

( q + ǫ )n

onverge, enton es,

n=N

an

onverge. Luego la serie

n=N ∞ X

an =

n=1

N −1 X

∞ X

an +

n=1

an

n=N

también onverge. 1

M ∈ N tal que an n > 1 para todo n > M . Por tanto, an > 1 para todo n > M . Por el riterio de ompara ión, la serie diverge. Ejemplos en los que q = 1 y el riterio q > 1.

b) Supongamos ahora que

Enton es existe

no permite de idir sobre la onvergen ia de la serie, los presentamos enseguida.

Nota 11.

El riterio de la raíz, de forma similar al riterio de la razón, no siempre determina la onvergen ia de una serie. En efe to: ∞ 1 P n=1 n

1

www.fullengineeringbook.net a) La serie

diverge y, sin embargo,

b) Además, la serie

l´ım

n→∞

1 2

nn

= 1.

∞ 1 P 2 n=1 n

1

l´ım an n =

l´ım

n→∞

n→∞

1

nn

onverge y, sin embargo, también

= 1.

1

l´ım an n =

n→∞

Ejemplo 21.

Utilizando el riterio de la raíz podemos determinar para qué valores de la serie

∞ P

n=1

cn 2ln n

es onvergente. En efe to: Observemos que

l´ım

n→∞

cn 2ln n

1

n

= l´ım

Aquí hemos utilizado el he ho de que

onverge si

c < 1.

n→∞

l´ım

n→∞

c 2

1 n

ln n

=c

ln n = 0. n

Por lo tanto, la serie

Ejemplo 22.

Determinemos mediante el riterio de la raíz si las series ∞ P

n=2

1 (log n)n

c > 0,

∞ P

n=1

son divergentes o onvergentes.

(2 +

1 n ) n

y

Le

ión 4: La integral

377

Solu ión.

Para la primera serie se tiene que

l´ım

n→∞

1 2+ n

n 1

n

= l´ım

n→∞

1 2+ n

=2

Por tanto, esta serie es divergente. A su vez, para la segunda serie se tiene que

l´ım

n→∞

1 (log n)n

1

n

= l´ım

n→∞

1 =0 log n

Por lo tanto, esta serie sí es onvergente. 3

Ejer i ios 7 1) Determine si, on los riterios estable idos en esta se

ión, es posible de idir sobre la onvergen ia o no de las siguientes series:

a)

∞ X 1 2n

b)

∞ X

1 n( n! )2

∞ X

1 n( ln(n + 1) )2

www.fullengineeringbook.net n=1

)

n=1

∞ X ( 2n )n n!

d)

∞ X

f)

n=1

e)

1 √ n3 + 2

n=1

g)

√ n n2 + 1

∞ X

n=1

i)

∞ X

n=1

k)

1 1 + 2−n

∞ X 22n n2 3n

n=1

n=1

h)

m)

n=1 3

∞ p X √ ( n3 + 1 − n3 ) n=1

j)

∞ X

n=1

l)

n=1

n ∞ X 1 ln 2

∞ X 2n 3n

1 1+ n

n

∞ X 2n n2 n=1

n)

∞ X 2n 5n+3 n=1

Si el le tor desea profundizar sobre el estudio de las series innitas, puede re urrir al muy buen texto Takeu hi, Yu (1976),

Su esiones y Series,

Méxi o: Limusa.

378


o)

∞ X

n=1

| sen (

1 )| n2

Además, on una al uladora de bolsillo, al ule en ada aso

10 P

n=1

an para

obtener una primera aproxima ión de la suma innita (si ésta existe).

8. La integral denida Con las herramientas desarrolladas hasta ahora en esta le

ión, podemos intentar al ular, primero, la medida del área de una región R en el plano limitada por el eje X , las re tas verti ales x = a y x = b, y la urva que tiene por e ua ión y = f ( x ), siendo f (·) ontinua y no negativa (f ( x ) ≥ 0) para todo x ∈ [ a, b ](gura 3). y R


x

b

Figura 3

Primero, denimos una región poligonal ontenida en R dividiendo el intervalo errado [ a, b ] en n subintervalos que, por ahora, tienen igual longitud

b−a ∆x. Por lo tanto, ∆x es igual a . Los puntos extremos de estos subinn tervalos los denotamos por x0 = a, x1 = a + ∆x, x2 = a + 2∆x, . . . , xi = a + i∆x, . . . , xn−1 = a + ( n − 1 )∆x, xn = b. Notemos el i-ésimo subintervalo por [ xi−1 , xi ]. Como f (·) es ontinua en el intervalo errado [ a, b ], enton es es

ontinua en ada subintervalo errado en que dividimos éste. Por el teorema de valores extremos (teorema 26, le

ión 1), existe un número ci en ada subintervalo [ xi−1 , xi ] para el ual f (·) tiene un valor mínimo absoluto. Tendremos enton es n re tángulos, ada uno on ∆x unidades de base y una altura de f ( ci ) unidades (gura 4). Sea S n unidades uadradas la suma de las áreas de estos n re tángulos; es de ir, S n = f ( c1 )∆x + f ( c2 )∆x + · · · + f ( cn )∆x =

n X i=1

n

f ( ci )∆x =

b−aX f (ci ) n i=1

379

Le

ión 4: La integral f (c1 )

y

b

fb (c3 ) f (cn ) b

x

x0 x1 x2 x3 x4 xn a b

Figura 4

Sin importar ómo se dena el área de la región R, la no ión intuitiva que de ella tenemos, nos señala que debe ser que Área de R ≥ S n Si n re e, (por ejemplo si se dupli a el número de puntos de tal manera que la base de los re tángulos se reduz a a la mitad), enton es S n aumentará y, pare erá que su valor se aproxima a la no ión de área de R que bus amos (gura 4). Ahora: si en lugar de los re tángulos ins ritos hubiéramos tomado re tángulos ir uns ritos uya altura es el máximo absoluto de f (·) en ada uno de los subintervalos y onformáramos otra suma de re tángulos:

www.fullengineeringbook.net S n = f ( d1 )∆x + f ( d2 )∆x + · · · + f ( dn )∆x =

n X

n

f ( di )∆x =

i=1

b−aX f (di ) n i=1

donde di es el punto de valor máximo en [ xi−1 , xi ], i = 1, 2, . . . , n, enton es, por las mismas razones de arriba, Area de R ≤ S n y, en denitiva,

S n ≤ Área de R ≤ S n

para todo n

Es de esperarse que si tenemos alguna no ión de área, ésta sea la que oin ida

on l´ım S n y on l´ım S n . Por lo tanto, deberíamos denir el área de f (·) n→∞ n→∞ entre x = a y x = b omo el límite omún l´ım S n = l´ım S n

n→∞

n→∞

Bus ando generalizar lo he ho hasta ahora, y también eliminar la ondi ión de

ontinuidad de la fun ión f (·) , asumiremos, en vez, que la altura del re tángulo en [ xi−1 , xi ] es f (ξi ) para algún (aunque arbitrario) número ξi de di ho subintervalo. Para ello ne esitaremos la siguiente deni ión:

380


Deni ión 8. (Suma de Riemann (1854a)) Sea f : [ a, b ] −→ R una fun ión a) Se dene una

parti ión P

a otada. Enton es:

del intervalo [ a, b ] omo el onjunto

P = { x0 , x 1 , x 2 , . . . , x n } donde a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b. Tal parti ión genera n subintervalos [ x0 , x1 ] , [ x1 , x2 ] , · · · , [ xn−1 , xn ]. La longitud del iésimo subintervalo [ xi−1 , xi ] se denotará por ∆i x (o ∆ xi ); es de ir, ∆i x ≡ xi − xi−1 . Al mayor de los números ∆1 x, ∆2 x, · · · , ∆n x se le llamará la norma de la parti ión, y se denotará por k P k; esto es, k P k = máx { ∆i x }ni=1 .

b) Ahora es ojamos un punto ualquiera en ada subintervalo de la parti ión P . Sean ξ1 el punto es ogido en [ x0 , x1 ], ξ2 el punto es ogido en [ x1 , x2 ] y, así su esivamente, sea ξi el punto es ogido en [ xi−1 , xi ]. Formemos la suma

f (ξ1 ) ∆1 x + f (ξ2 ) ∆2 x + · · · + f (ξn ) ∆n x =

n X

f (ξi ) ∆i x

i=1

www.fullengineeringbook.net suma de Riemann A tal suma se le a ostumbra llamar matemáti o Georg Bernhard Riemann [ 18261866 ℄.

, en honor del

Ejemplo 23. (Un ejemplo de suma de Riemann) Sea la fun ión f ( x ) = x2 − x + 1, denida en el intervalo [ 0, 1 ]. En ontremos la suma de Riemann para la parti ión P = { 0, 0.2, 0.5, 0.7, 1 } y los valores ξ1 = 0.1, ξ2 = 0.4, ξ3 = 0.6, ξ4 = 0.9. Dibujemos una grá a de la fun ión (gura 5) y mostremos los re tángulos uyas medidas de área son los términos de la suma de Riemann.

Solu ión. Aquí,

4 X

f ( ξi ) ∆i x = f (ξ1 ) ∆1 x + f (ξ2 ) ∆2 x + f (ξ3 ) ∆3 x + f (ξ4 ) ∆4 x

i=1

∆1 x = x1 − x0 = 0.2 − 0 = 0.2

f (ξ1 ) = 0.12 − 0.1 + 1 = 0.91

∆3 x = x3 − x2 = 0.7 − 0.5 = 0.2

f (ξ3 ) = 0.62 − 0.6 + 1 = 0.76

∆2 x = x2 − x1 = 0.5 − 0.2 = 0.3 ∆4 x = x4 − x3 = 1 − 0.7 = 0.3

f (ξ2 ) = 0.42 − 0.4 + 1 = 0.76 f (ξ4 ) = 0.92 − 0.9 + 1 = 0.91

Le

ión 4: La integral Luego,

4 P

i=1 La gura

5

381

f ( ξi ) ∆i x = 0.91 × 0.2 + 0.76 × 0.3 + 0.76 × 0.2 + 0.91 × 0.3 = 0.835. ilustra la situa ión anterior.

N

y y = x2 − x + 1

0.2

0.5

0.7

1

x

Figura 5 Y llegamos enton es a la deni ión formal de lo que signi a que una fun ión

f (·)

sea

integrable en el intervalo errado [ a, b ]:

Deni ión 9. (Fun ión integrable (Riemann (1854a))) www.fullengineeringbook.net

[ a, b ]. f (·) es integrable en [ a, b ] si existe un número L tal que para ada ǫ > 0 existe δ > 0, tal que para toda parti ión P para la ual k P k < δ y para

ualquier ele

ión de ξi en [ xi−1 , xi ], i = 1, 2, · · · , n, se tiene que n X ∆ x − L f (ξ ) <ǫ i i Sea

f (·)

una fun ión a otada uyo dominio in luye el intervalo errado

Se di e que

n=1

Es de ir,

l´ım

k P k→0

n X

f ( ξi ) ∆ i x = L

i=1

Deni ión 10. (Integral denida) a) El número

L

de la deni ión 9 se denotará por

integral denida de

f (·)

desde

a

hasta

b.

Z

b

f ( x ) dx

y se leerá

a

L existe, diremos que la fun ión f (·) es integrable en el intervalo [ a, b ] o, equivalentemente, que la integral denida de f (·) desde a hasta b, existe y es igual a L .

b) Si tal número


382

) En la nota ión para la integral denida

fun ión integrando ;

la

número

b

al número

se le llama el

a

Z

b

f ( x ) dx,

a

se le llama el

límite superior.

El símbolo

a

f (·)

se le llama

Zlímite inferior ; y al se llama signo de

integra ión (introdu ido por Leibniz en 1675) que tiene similitud on una S alargada de suma. Nota 12. Z Aunque

es el mismo símbolo utilizado previamente para la antidiferen ia-

ión, aquí tiene, en prin ipio, una onnota ión totalmente distinta. Sin embargo, omo se verá más adelante, para un amplio rango de fun iones es posible

al ular la integral denida de

f (·)

si se ono e una de sus antiderivadas. Esta

es la razón para utilizar el mismo símbolo en ambos ontextos.

Ejemplo 24 (Área de un re tángulo = base por altura) Demostremos que

Z

b

a

Solu ión.

c dx = c(b − a)


Sean

f (·)

a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b y tomemos ξi ∈ [ xi−1 , xi ]. f ( x ) = c, on x ∈ [ a, b ]. Enton es

Llamemos

la fun ión denida por

n X i=1

f ( ξi ) ∆i x = f (ξ1 ) ∆1 x + f (ξ2 ) ∆2 x + · · · + f (ξn ) ∆n x = c ∆1 x + c ∆2 x + · · · + c ∆n x = c (∆1 x + ∆2 x + · · · + ∆n x)

= c ( (x1 − x0 ) + (x2 − x1 ) + · · · + (xn − xn−1 ) = c (xn − x0 ) = c (b − a)

Luego

de

P

Z

b

c dx = l´ım a

k P k→0

n X i=1

ni de la ele

ión de los

re tángulo de altura

c (si

f ( ξi ) ∆i x = c (b − a), ξi .

Notemos que

éste es mayor que

Z

0)

pues

c(b−a)

no depende

b

c dx

es la medida del área del

a y base

b − a.

Nota 13. a) Es laro ahora que si

f (·) ≥ 0

en

[ a, b ] es integrable, enton es

oin ide on la no ión que tenemos de

área de la región

Z

b

f ( x ) dx a

delimitada por

Le

ión 4: La integral

f( x )

383

(por arriba); por

x = a, x = b

(a los lados); y por el eje

X

(por debajo). b) Si algunos de los valores de una fun ión

f (·)

ontinua son negativos y

otros positivos, la interpreta ión geométri a intuitiva de la suma de Riemann sería enton es la suma de las áreas de los re tángulos que están

X X.

arriba del eje bajo del eje

[ a, b ] en n [ a, b ] se llama parti ión regular ; esto es, ∆i x = ∆ x, para todo i = 1, 2, . . . , n. Además ∆ x = b−a ım ∆ x = 0. Por tanto, n y así l´

) Si

f (·)

menos las áreas de los re tángulos que están por de-

es integrable en

[ a, b ]

podemos dividir el intervalo

subintervalos de igual longitud. Tal parti ión del intervalo

n→∞

l´ım

n→∞

n X

f ( ξi ) ∆ x = l´ım

n→∞

i=1

n X

f ( ξi )

i=1

=

n

1X f ( ξi ) n→∞ n

= ( b − a ) l´ım Z

b−a n

b

i=1

f ( x ) dx

www.fullengineeringbook.net donde

ξi

es ualquier punto en

a

[ xi−1 , xi ].

Que tenemos una base fundamental de fun iones integrables lo asegura el siguiente (muy importante) resultado que arma, en palabras vagas, que toda fun ión ontinua tiene área:

Teorema 16. (Continuidad e integrabilidad (Riemann (1854a)) )

f (·) [ a, b ].

Si una fun ión integrable en

es ontinua en el intervalo errado

[ a, b ],

enton es

f (·)

es

Demostra ión. Esta prueba, que está dirigida al estudiante avanzado, la realizaremos en dos partes: a) La primera, onsiste en probar que toda fun ión ontinua en un in-

[a, b] es uniformemente ontinua. Esto signi a que, a diferen ia f (·) en un punto x0 , la ual arma que dado un ǫ existe un δ (que depende de ǫ y de x0 ) tal que si |x − x0 | < δ enton es |f (x) − f (x0 )| < ǫ, la deni ión de ontinuidad uniforme en [a, b] arma que, una vez es ogido el ǫ, siempre existirá el δ (independiente de x0 aunque todavía dependiendo de ǫ) tal que si x y t son dos puntos arbitrarios del intervalo, enton es, uando |x − t| < δ también se tendrá |f (x) − f (t)| < ǫ. Y, omo

tervalo errado

de la deni ión de ontinuidad de la fun ión

veremos, esta ondi ión se tiene debido a que la ontinuidad está garantizada

384


en un intervalo errado. b) Una vez probado esto último, pro ederemos a la demostra ión formal de que una fun ión ontinua en un intervalo errado también es integrable allí.(La prueba se presenta en el ejer i io 30 de los ejer i ios

omplementarios al nal de esta le

ión) Ejemplo 25.

Cal ulemos el área de la región limitada por la urva y = x2 + x, el eje X , y las re tas x = 0 y x = 2 (gura 6). Solu ión.

Como la fun ión es ontinua y, por tanto, integrable, emplearemos re tángulos ins ritos y al intervalo [ 0, 2 ] lo dividiremos en n subintervalos iguales de 2 longitud ∆x = 2−0 n = n (parti ión regular); así, x0 = 0 x1 = x0 + ∆x =

2 n

2 n 2 x3 = x0 + 3∆x = 3 · n . x2 = x0 + 2∆x = 2 ·

..

xi = x0 + i · ∆x = i ·

2 n

www.fullengineeringbook.net .. .

xn−1 = x0 + ( n − 1 )∆x = ( n − 1 ) ·

2 n

Como la urva tiene su mínimo en el extremo izquierdo de ada subintervalo, enton es f ( ci ) = f ( xi−1 ) para todo i = 1, 2, 3, . . . , n. Luego,

2 f ( ci ) = f ( xi−1 ) = f ( i − 1 ) · n

=

22 2 ( i − 1 )2 + ( i − 1 ) 2 n n

y

y = x2 + x

2

Figura 6

x

385

Le

ión 4: La integral

De la deni ión de integral se tiene que A = l´ım

n→∞

n X i=1

n X 2 4 2 2 · ( i − 1 ) + · ( i − 1 ) n→∞ n n2 n i=1 n 4 X 2 2 · (i − 1) + (i − 1) = l´ım 2 n→∞ n n i=1 " # n n X 4 2X ( i − 1 )2 + (i − 1) = l´ım 2 n→∞ n n i=1 i=1 4 2 ( n − 1 )n( 2n − 1 ) n( n − 1 ) = l´ım 2 · + n→∞ n n 6 2 4 1 1 1 = l´ım 1− 2− +2 1− n→∞ 3 n n n 14 = 3

f ( ci )∆x = l´ım

Ejemplo 26.

Cal ulemos, utilizando la deni ión, la integral

Z

2

x4 dx (gura 7).


Solu ión.

Puesto que f ( x ) = x4 , f (·) es ontinua y, por tanto, integrable, podemos

2−1 1 = , donde: x0 = n n 1, x1 = 1+ ∆ x, x2 = 1+ 2 ∆ x, . . . , xi = x0 + i ∆ x, . . . , xn = 1+ n ∆ x. O sea, xi = 1 + i ∆ x = 1 + ni . Elijamos ξi omo el extremo izquierdo en [ xi−1 , xi ], que orresponde al valor mínimo de f (·) ahí. Esto es, ξi = xi−1 , ya que f (·) es

re iente en [ 1, 2 ]. Luego, ξi = 1 + i−1 n y, por tanto,

tomar una parti ión regular; es de ir, ∆i x = ∆ x =

f (ξ1 )∆ x + f (ξ1 ) ∆ x + · · · + f (ξn ) ∆ x = 1 = n

n X i=1

1 = n

"

1 n

=

n X i=1

n+

n X i=1

f ( ξi )∆ x =

n X i=1

i−1 1+ n

4 6 4 ( i − 1 )4 1 + ( i − 1 ) + 2 ( i − 1 ) 2 + 3 ( i − 1 )3 + n n n n4

4

1 n

n n n n 4 X 6 X 4 X 1 X 1+ (i − 1) + 2 ( i − 1 )2 + 3 ( i − 1 )3 + 4 ( i − 1 )4 n i=1 n i=1 n i=1 n i=1

4 n( n − 1 ) 6 ( n − 1 )n( 2n − 1 ) 4 n2 (n − 1)2 + 2 + 3 + n 2 n 6 n 4

#

386


n(n − 1) 6( n − 1 )3 + 9( n − 1 )2 + n − 2 30n4 =1+

2( n − 1 ) ( n − 1 )( 2n − 1 ) ( n − 1 )2 + + + n n2 n2

( n − 1 )[ 6( n − 1 )3 + 9( n − 1 )2 + n − 2 ] 30n4

Por tanto, l´ım

n P

n→∞ i=1

f ( ξi ) ∆ x = 1 + 2 + 2 + 1 +

1 5

=

31 5 .

Así,

Z

2

x4 dx =

1

31 . 5

y

y = x4


2

x

Figura 7

Para onsiderar la integral denida las siguientes deni iones:

Z

b a

f ( x ) dx uando a > b o a = b, se tienen

Deni ión 11 (Orienta ión de Áreas) Si a > b y

Z

a b

f ( x ) dx existe, enton es

Ejemplo 27.

Z

b a

f ( x ) dx = −

Z

Del ejemplo 26 y la deni ión 11 se tiene que Z

1

2

4

x dx = −

Z

1

2

x4 dx = −

Deni ión 12 (El área de un punto es nula) Z

Si a ∈ Df , enton es

a

a

f ( x ) dx = 0.

31 5

N

b

a

f ( x ) dx.

387

Le

ión 4: La integral Ejemplo 28. (Una fun ión integrable pero dis ontinua)

Es fá il ver que el re ípro o del teorema 16 no es ierto en el siguiente ejemplo: Sea f : [0, 1] → R la fun ión dis ontinua denida por ( 1 si x = 12 f (x) = 0 en otro aso

Enton es, aunque ualquier suma de Riemann para esta fun ión es de la forma n P

i=1

f ( ξi ) ∆i x donde ∆i x es la longitud de un subintervalo típi o de la parti-

ión, es laro que a lo más dos términos de los n de la sumatoria no se anulan, y sin importar si en estos dos subintervalos es f (ξi ) igual a 1 ó a 0, uando la norma de la parti ión tiende a 0 se tendrá que ambos f (ξi )∆i x → 0. Por lo tanto, Z

1

f ( x ) dx = 0

0

De he ho, aún más, se puede probar (ejer i io 19 de los ejer i ios omplementarios al nal de la presente le

ión) que una fun ión a otada on un número nito de puntos de dis ontinuidad en un intervalo errado, es integrable en ese intervalo.

www.fullengineeringbook.net Ejer i ios 8 n P

1) Cal ule

i=1

f ( ci )∆x para f ( x ) =

1 en [ 1, 6 ] on 5 subintervalos y x

xi−1 + xi ci = . Dé la solu ión on tres ifras de imales. 2

2) Cal ule el área de la región limitada por y = x3 , las re tas x = −1 y x = 2 y el eje X , utilizando re tángulos ir uns ritos. 3) Obtenga el valor aproximado de las siguientes integrales denidas hallando la suma de Riemann a)

Z

b)

Z

5√

0

1

2

x dx,

x3 dx,

n P

i=1

tome ξi =

f ( ξi ) ∆ xi on parti ión regular: xi−1 + xi y n = 5. 2

tome ξi = xi−1 y n = 8.


388

4) Considerando la interpreta ión geométri a (área) de la integral denida, halle las siguientes integrales:

4

Z

a)

x dx

b)

2

)

a

Z

2

sen x dx

−a

Z ap

a2

a

( 1 f( x ) = 4

5) Si

Z

−

x2 dx,

a>0

−3

0≤x<2 , x=2

si si

d)

R2

demuestre que

0

| x | dx

f ( x ) dx = 2.

6) Demuestre que la fun ión mayor entero ontenido en es integrable en

3 2

0,

(aunque es dis ontinua allí) y que

Z

3 2

[[ x ]] dx =

0

1 . 2

f (·) denida sobre el intervalo [0, 1] omo f (x) = 1 f (x) = 0 si x es irra ional, no es integrable en [0, 1]. Existen dos tipos de ξi en ada subintervalo de integra ión,

*7) Pruebe que la fun ión

x

si

es ra ional, y

[Indi a ión:

y sus orrespondientes sumas de Riemann podrían onverger unas a 1, y otras a 0℄.


9. Propiedades de la integral denida

De los ejemplos y ejer i ios de la se

ión anterior se podría pensar que al ular el valor de una integral denida es bastante laborioso. Para mayor fa ilidad en el trabajo de al ularlas se desarrollan ahora algunas de las más importantes propiedades de la integral denida que se apoyan en las orrespondientes de las sumatorias.

Teorema 17. (Álgebra a)

Z

de integrales )

b

a

b) Si

c dx = c ( b − a ), f (·)

cf (·)

donde es una onstante.

es integrable en

es integrable en

[ a, b ]

[ a, b ]

y

y

c

Z

b

es un número real arbitrario, enton es

c f ( x ) dx = c

a

)

Si en

Z

b

f ( x ) dx. a

f (·) y g(·) son integrables en [ a, b ], enton es ( f ± g )(·) es [ a, b ] y, además, Z b Z b Z b [ f ( x ) ± g( x ) ] dx = f ( x ) dx ± g( x ) dx a

a

a

integrable

389

Le


[La demostra ión de la parte a) de este teorema se realizó en el ejemplo 24 de la se

ión anterior. Aquí úni amente probaremos la parte b). La parte ) queda omo ejer i io para el le tor℄. Sabemos que

n X

c f ( ξi ) ∆ i x

n X

f ( ξi ) ∆ i x

b

Z

c f ( x ) dx = l´ım

k P k→0

a

i=1

Por las propiedades de la sumatoria se tiene que n X

c f ( ξi ) ∆ i x = c

i=1

i=1

sin importar el número n de términos ni la ele

ión de ξi en [ xi−1 , xi ]. Tomando límite, uando k P k → 0 a ambos lados y apli ando las propiedades de los límites, se llega al resultado. Teorema 18.

f (·) [ a, b ]y,

Si

(El todo es la suma de las partes)

es integrable en

[ a, c ]

y en

[ c, b ],

enton es también es integrable en

además,


b

f ( x ) dx =

a

Z

c

f ( x ) dx +

a

Z

b

f ( x ) dx

c

Demostra ión.

La prueba se basa en las dos siguientes observa iones: P1 es una parti ión de [ a, c ] y P2 una parti ión de [ c, b ], enton es a) Si S P1 P2 es una parti ión de [ a, b ].

b)

X

f ( ξi ) ∆ i x +

P1

X

f ( ξi ) ∆ i x =

P2

X

P1

S

f ( ξi ) ∆ i x

P2

donde la primera suma de Riemann se realiza on respe to a la parti ión P1 , y la segunda suma de Riemann on respe to a la parti ión P2 . La igualdad de arriba arma que la suma de estas dos sumas de Riemann es una suma de Riemann on respe to a la parti ión de P1 ∪ P2 . Se deja al le tor nalizar la prueba. Corolario 1. Si

f (·)

es integrable en un intervalo errado uyos extremos son dos de los tres

números

a, b

y

c,

enton es

Z

b

f ( x ) dx = a

Z

a

c

f ( x ) dx +

Z

b

f ( x ) dx c

390


.

independientemente del orden de estos números

Demostra ión.

Si a, b y c son distintos hay seis posibilidades de ordenarlos. Basta elegir una de estas posibilidades para que el teorema quede probado, ya que a, b y c son independientes. Sea pues a < b < c. Enton es, por el teorema 18, Z

c

f ( x ) dx = a

Luego,

Pero sabemos que

Z

b

f ( x ) dx = a

Z

c

f ( x ) dx +

a

f ( x ) dx −

f ( x ) dx = −

b

f ( x ) dx = a

Z

Z

c

Z

c

f ( x ) dx

b

b

c

Z

b

a

Z

Por tanto,

Z

Z

f ( x ) dx

b

c

f ( x ) dx b

c

f ( x ) dx +

a

Z

b

f ( c ) dx

c


y así el teorema queda probado. Teorema 19.

(La integral preserva el orden numéri o)

Si las fun iones

g( x )

para todo

f (·) y g(·) x en [ a, b ], Z

son integrables en el intervalo

[ a, b ]

enton es

b

a

f ( x ) dx ≥

Z

y si

f( x ) ≥

b

g( x ) dx a

Demostra ión.

Dado que f (·) y g(·) son integrables en [ a, b ], ( f − g )(·) es integrable en [ a, b ] y Z

b

a

f ( x ) dx −

Z

b

g( x ) dx = a

Z

a

b

[ f ( x ) − g( x ) ] dx

Sea h(·) la fun ión denida por h( x ) = f ( x ) − g( x ) para todo x ∈ [ a, b ]. Por hipótesis h( x ) ≥ 0 para todo x ∈ [ a, b ]; enton es h( ξi ) ∆i x ≥ 0 para todo i = 1, 2, . . . , n, y de allí se tiene que n X i=1

h( ξi ) ∆i x ≥ 0

Le

ión 4: La integral

391

lo ual impli a que

l´ım

k P k→0

siendo de ir,

P Z b a

n X i=1

h( ξi ) ∆i x ≥ 0, [ a, b ].

ualquier parti ión del intervalo

[ f ( x ) − g( x ) ] dx ≥ 0. Z

Teorema 20.

Luego

b a

h( x ) dx ≥ 0;

es

Y así, utilizando la parte ) del teorema 17,

b

f ( x ) dx ≥

a

Z

Z

b

g( x ) dx

a

(Cotas para la integral)

f (·) una fun ión integrable en [ a, b ] y sean m y M valores f ( x ) ≤ M para todo x ∈ [ a, b ]. Enton es Z b m(b − a) ≤ f ( x ) dx ≤ M ( b − a )

Sea

tales que

m≤

a

Demostra ión.

Sabemos por el teorema 17 (parte a)) que b

b


a

m dx = m ( b − a )

y

Ahora bien, por el teorema 19, omo

f( x ) ≥ m

y

M ≥ f( x )

Z

a

M dx = M ( b − a )

para todo

x ∈ [ a, b ]

se tiene que

Z

b a

f ( x ) dx ≥ m ( b − a )

lo que equivale a que

m(b − a) ≤

y

Z

a

b

M (b − a) ≥

Z

b

f ( x ) dx

a

f ( x ) dx ≤ M ( b − a ).

Ejemplo 29.

Z π Z π 3 Dado que x dx = 3, x dx = , sen x dx = 2, cos x dx = 0 2 0 −1 −1 0 Z π π asumiendo que sen2 x dx = , evaluemos las siguientes integrales: 2 0 Z 2 Z −1 1 a) 2 − 5 x + x2 dx b) ( 2 x + 1 )2 dx 2 Z −1 Z2 π π

) ( 2 sen x + 3 cos x + 1 ) dx d) 3 cos2 x dx Z

0

2

2

Z

2

0

y

392


Solu ión.

a)

Z

2 −1

1 2 − 5 x + x2 2

dx =

Z

2

−1

2 dx − 5

Z

2

x dx + −1

−1 2

( 2 x + 1 )2 dx = −

Z

2

−1

= −4

Z

( 2 x + 1 )2 dx = − 2

−1

Z 2 x dx − 4

= (−4) · 3 − 4 ·

)

π

Z

( 2 sen x + 3 cos x + 1 ) dx = 2

0

Z

2 −1

Z

2

x2 dx

−1

3 1 + · 3=0 2 2

= 2 [ 2 − (−1) ] − 5 ·

b) Z

1 2

2

Z

−1

x dx −

Z

4 x2 + 4 x + 1 dx 2

−1

1 · dx

3 − 1 (2 − (−1) ) = −21 2

π

sen x dx + 3

0

Z

π

cos x dx +

0

Z

π

0

1 · dx

=2·2+3·0+π =4+π

d)

Z

π

2

Z

π

2

Z

π

Z

π

2

www.fullengineeringbook.net 3 cos x dx = 3

0

0

( 1 − sen x ) dx = 3

0

1 dx −

π =3 π− 2

=

sen x dx

0

3π 2

Ejemplo 30.

Apliquemos el teorema 20 para hallar otas (superior e inferior) para las siguientes integrales denidas, y así obtener iertas estima iones de ellas: a)

Z

6√

b)

3 + x dx

−3

Z

2

x dx x + 2 −1

Solu ión.

√

a) Dado que f ( x ) = 3 + x es ontinua en [ −3, 6 ], enton es existen los valores mínimo y máximo de f (·) en el intervalo; es de ir, existen m y M tales que m ≤ f ( x ) ≤ M para todo x en [ −3, 6 ]. Pero omo f (·) es re iente, enton es m = f ( −3 ) = 0 y M = f ( 6 ) = 3. Por esta razón, 0 ( 6 − (−3) ) ≤ 0≤

Z

6

√

−3 Z 6 √ −3

3 + x dx ≤ 3 ( 6 − (−3) ) 3 + x dx ≤ 27

393

Le

ión 4: La integral

x

b) Si f ( x ) = , enton es f (·) es ontinua en [ −1, 2 ], y el mínimo y x+2 el máximo de esta fun ión son, respe tivamente, m = f ( −1 ) = −1 y M = f (2) = 12 . Por lo tanto, apli ando el teorema 20, −1 ( 2 − (−1) ) ≤ −3 ≤

Z

Z

2 −1 2 −1

1 x dx ≤ ( 2 − (−1) ) x+2 2 x 3 dx ≤ x+2 2

Ejer i ios 9

1) Verique los siguientes resultados y a ompáñelos de una grá a: a)

Z

)

Z Z

3

x dx = 4 −1 1

0 2

( x3 − x ) dx = −

1 4

57 6

b)

Z

d)

Z Z

3

x2 dx =

−1 3

28 3

( x2 + x ) dx =

−1 1

40 3


1

( x5 − 1 ) dx =

f)

−1

( 4x3 + 3x2 − 2 ) dx = −2

2) Aplique el teorema 20 para hallar otas (superior e inferior) para la integral denida dada: a)

10.

Z

1

4

b)

| x − 2 | dx

Z

3 −1

2 3 3 2 x − x − 2x 3 2

dx

El teorema del valor medio para integrales

De manera similar a la rela ión promedio-varia ión obtenida para la derivada mediante el teorema del valor medio, también para la integral existe una rela ión similar. Veamos en qué onsiste. Teorema 21. Si

(Teorema del valor medio para integrales)

f (·) es una fun ión ontinua

en

[ a, b ], enton es

existe un número

tal que

Z

b a

f ( x ) dx = f ( c )( b − a )

c en [ a, b ]

394


Geométri amente, esto signi a que existe un re tángulo uya área es equivalente al área bajo la urva y = f ( x ), x ∈ [ a, b ], si f (·) es no negativa en di ho intervalo: la altura del re tángulo es f ( c ) y su an ho es ( b − a ) (gura 8). y y = f( x )

M f (c) m c

x

b

Figura 8 Demostra ión.

Como f (·) es ontinua en [ a, b ], satisfa e el teorema de valores extremos (le

ión 3), es de ir, existen dos números m y M que son los valores mínimo y máximo de f (·) en [ a, b ]; y , por tanto,

www.fullengineeringbook.net para todo x ∈ [ a, b ]

m ≤ f( x ) ≤ M

Por el teorema 20 de otas para la integral, se tiene que m(b − a) ≤

Z

b

f ( x ) dx ≤ M ( b − a )

a

Dividiendo por b − a > 0, tenemos 1 m≤ b−a

Z

b a

f ( x ) dx ≤ M

Del teorema del valor intermedio para fun iones ontinuas, se tiene que existe Z b Z b 1 c ∈ [ a, b ] tal que f ( c ) = f ( x ) dx o, lo que es lo mismo, f ( x ) dx =

b−a a f ( c )( b − a ), para algún c ∈ [ a, b ].

a

Ejemplo 31.

Utilizando el resultado del ejemplo 29a), en ontremos un número c que satisfaga la on lusión del teorema del valor medio para integrales.

395

Le

ión 4: La integral

Solu ión. Sabemos del ejemplo 29 a) que

Z

2

−1

2 − 5 x + 21 x2 dx = 0. Por tanto, que-

remos en ontrar un c entre −1 y 2 tal que f ( c )(2 − (−1) ) = 0, es de ir, 3 f ( c ) = 0. Así, debemos en ontrar un c tal que f ( c ) = 2 − 5c + 21 c2 = 0, y esto nos lleva a que √ c =5±

√

21

√

Pero omo 5 + 21 > 2, enton es debemos es oger c = 5 − 21 = 0.4174 ∈ [ −1, 2 ].

Nota 13. (Media aritméti a) En estadísti a, el promedio de un onjunto de n números a1 , a2 , · · · , an , se llama media aritméti a o, simplemente, media y se dene omo n

a=

a1 + a2 + . . . + an 1X = ai n n i=1

Para el aso de una fun ión f (·) ontinua, se tiene la siguiente deni ión:

Deni ión 13. (Valor promedio)


Si f (·) es una fun ión ontinua, el valor promedio de f ( x ) en [ a, b ] (o valor medio de f (·) en [ a, b ]), que se denota f ( x ), es f( x ) =

1 b−a

Z

b

f ( x ) dx a

Por el teorema del valor medio para integrales, f ( x ) es igual a f ( c ) para algún valor c ∈ [ a, b ]. Y omo la integral denida es el límite de sumas, si se toma una parti ión regular on n subintervalos, enton es f( c ) =

Y dado que ∆ x = f ( c ) = l´ım

n

n

i=1

i=1

X X 1 ∆x l´ım f ( ξi ) ∆ x = l´ım f ( ξi ) n→+∞ b − a n→+∞ b−a

n→+∞

b−a , enton es n

n X i=1

f ( ξi )

f (ξ1 ) + f (ξ2 ) + · · · + f (ξn ) b−a = l´ım n→+∞ n (b − a) n

Es de ir, f ( c ) es límite de sumas de n datos de la fun ión en f (·) dividido por n, uando n re e sin límite.

396


Ejemplo 32.

2

3 , en ontremos el valor promedio de 2 −1 f ( x ) = x en el intervalo [ −1, 2 ], y en ontremos también el valor c en el

Teniendo en uenta que

Z

x dx =

ual o urre este valor promedio. Solu ión.

1 f( x ) = b−a

Y, por tanto, f ( c ) =

Z

b

a

1 2

1 f ( x ) dx = 2 − ( −1 )

y así c = 12 . y

2

Z

x dx =

−1

1 3 1 · = 3 2 2

C b

Q b

N b

b

B

O b

b

b

M

P

D

x


A

Figura 9

Geométri amente, esto signi a que la integral

Z

2 −1

x dx, que es igual a la di-

feren ia entre las áreas de los triángulos OCD y OAB , equivale a la medida del área del trape io P QCD. Aquí la altura M N es el valor promedio de las ordenadas del segmento AC (gura 9). Ejemplo 33.

Cal ulemos el valor promedio de f ( x ) = Z

que

0

1p

promedio.

1 − x2 dx =

√

1 − x2 , para 0 ≤ x ≤ 1, si sabemos

π , y en ontremos el valor c en el ual o urre este valor 4

Solu ión.

Z 1p 1 π 1 − x2 dx = 1−0 0 4 √ √ π 16 − π 2 ∼ Luego, = 1 − c2 y así c = = 0.619. ¾Por qué el valor promedio 4 4 no es c = 0.5 si el uarto del ír ulo de la gura 10 es simétri o on respe to a la re ta y = x? f( x ) =

397

Le

ión 4: La integral y y=

√

√

1 − x2

x

16−π 2 4

Figura 10

Ejemplo 34. (Calor espe í o de un gas)

El alor espe í o C de un gas es la antidad de alor requerida para elevar en 1o C la temperatura T de una masa del gas on volumen onstante. Se estima que el alor espe í o del oxígeno satisfa e la fórmula C = 8.27 + 10−5 ( 26T − 1.87T 2 )

Hallemos el valor promedio del alor espe í o del oxígeno para 0o C ≤ T ≤ 100o C y la temperatura a la que se al anza.

Solu ión. www.fullengineeringbook.net El valor promedio del alor espe í o es

Z 100 1 C= C( T ) dt 100 − 0 0 Z 100 1 [8.27 + 10−5 ( 26T − 1.87T 2 )] dT = 100 0 = 8.22

La temperatura a la ual se al anza el valor promedio está dada por 8.22 = 8.27 + 10−5 ( 26T − 1.87T 2 )

Por tanto, T = 58.33 o C.

Ejer i ios 10 1) Halle un número c que satisfaga la on lusión del teorema del valor medio para las siguientes integrales: a)

Z

3

2

( x + 1 ) dx −1

b)

Z

π

0

sen x dx

398


2) Cal ule el valor promedio de las fun iones siguientes en los intervalos dados e interprete geométri amente los resultados: a) f ( x ) = x2 en [ −1, 3 ]

b) f ( x ) = sen2 x en [ 0, π ]

) f ( x ) = ax + b, x1 ≤ x ≤ x2 , a, b, x1 , x2 ∈ R.

d) f ( x ) = cos x en [ 0, π2 ]

3) Suponga que se deja aer una pelota que estaba en reposo, y después de t segundos su distan ia desde el punto ini ial es s pies y su velo idad es v pies/seg. Sin tener en uenta la resisten ia del aire, exprese v omo una fun ión de t y al ule el valor promedio de v en [ 0, 4 ]. 4) Pruebe que si f (·) es una fun ión integrable, el intervalo errado [ a, b ] y x ualquier número en [ a, b ], enton es la fun ión denida por F(x) =

Z

x

f (t) dt, a

www.fullengineeringbook.net es ontinua en [ a, b ].

11.

El teorema fundamental del Cál ulo

Estamos nalmente preparados para presentar el prin ipal teorema del ál ulo de Newton y Leibniz que rela iona los on eptos de derivada e integral y que, de paso, se onvierte en la herramienta lave para el ál ulo explí ito de integrales a través de antiderivadas. Teorema 22.

(Primer teorema fundamental del Cál ulo)

Sean f (·) una fun ión ontinua en el intervalo errado [ a, b ] y x ualquier número en [ a, b ]. Si F (·) es la fun ión denida por F(x) =

Z

x

f (t) dt,

a

enton es F ′ ( x ) = f ( x ) para todo x ∈ [ a, b ]. Aquí, si x = a, la derivada será la derivada por la dere ha, y si x = b, la derivada será la derivada por la izquierda.

399

Le


Asumamos, sin pérdida de generalidad, que x ∈ ( a, b ) y que ∆x > 0 es Z x+∆ x tal que x + ∆x ∈ ( a, b ). Enton es F (x + ∆ x) = f (t) dt. Por tanto, F (x + ∆ x) − F ( x ) =

Z

x+∆ x

a

f (t) dt −

Z

x

f (t) dt =

a

Z ax+∆ x x

f (t) dt. Apli ando

el teorema del valor medio para integrales a F (·) en el intervalo errado uyos puntos extremos son x y x + ∆ x (¾Por qué puedo asumir que F (·) es ontinua en este intervalo? (ejer i io 4 de la se

ión de Ejer i ios 10 anterior)), tenemos que f( c ) =

F (x + ∆ x) − F ( x ) ∆x

para algún c ∈ ( x, x + ∆x )

Si tomamos límite uando ∆ x → 0, enton es, omo c está entre x y x + ∆ x, tendremos que c → x y, por tanto, F ′ ( x ) = l´ım

∆ x→0

F(x + ∆x) − F(x) = l´ım f ( c ) = f ( x ) c→x ∆x

ya que f (·) es ontinua; es de ir, F ′ ( x ) = f ( x ).

www.fullengineeringbook.net Nota 14. (Toda fun ión ontinua tiene una antiderivada)

El teorema 22 estable e que la integral denida

Z

x

a

f (t) dt, on un límite supe-

rior variable, es una antiderivada de f (·) y, por tanto, toda fun ión ontinua tiene una antiderivada. Este teorema puede expresarse en forma equivalente

omo Z d dx

x

f (t) dt = f ( x )

a

Ejemplo 35

Utilizando el primer teorema fundamental del ál ulo, evaluemos las siguientes expresiones: a)

d dx

Z xp

)

d dx

Z

1

a2 − b2 sen2 t dt

sen x

3

1 dt 1 − t2

Solu ión.

d a) dx

Z xp 1

a2 − b2 sen2 t dt =

p

a2 − b2 sen2 x

b)

d dx

Z

x

d)

d dx

Z

x3

2

e−t dt

−x

x

dt t

400


d b) dx =

Z

x

−t2

e

−x

d dt = dx

Z

0

−t2

e

Z

dt +

−x

i Rx d h R −x −t2 2 − 0 e dt + 0 e−t dt dx

x

−t2

e

dt

0

du = −1 y dx Z x Z u Z x d d du d −t2 −t2 −t2 e dt = −e dt + e dt dx du dx dx −x 0 0

Sea u = −x; enton es

2

= −e−u (−1) + e−x 2

2

2

= e−x + e−x = 2 e−x

2

) Como en el numeral b), hagamos u = sen x y apliquemos la regla de la

adena para la deriva ión. Enton es d dx

Z

sen x 3

Z u 1 d 1 du 1 dt = dt = · cos x 2 1 − t2 du 1 − t dx 1 − u2 3 cos x cos x = = sec x 2 1 − sen x cos2 x

=

www.fullengineeringbook.net d)

d dx

"Z

x3

x

1 dt t

#

d = dx

"Z

a

d = dx

"Z

x3

=

x

a

1 dt + t

Z

1 dt − t

x3

a

Z

a

x

# 1 dt , t # 1 dt t

a>0

1 3 1 2 1 · 3 x2 − = − = x3 x x x x

Nota 15.

Observemos que si F ( x ) = derivables, enton es

Z

g( x )

h( x )

f ( t ) dt on f ( · ) ontinua y g(·) y h(·)

F ′ ( x ) = f ( g( x ) ) g′ ( x ) − f ( h( x ) ) h′ ( x ) Ejemplo 36.

Sea f : [ 1, 4 ] −→ R denida porZ f ( x ) = 2, si 1 ≤ x ≤ 3, y f ( x ) = 5, si 3 < x ≤ 4. Des ribamos F ( x ) =

de F (·).

x

1

f ( t ) dt, x ∈ [ 1, 4 ] y tra emos la grá a

401

Le

ión 4: La integral Solu ión.

Aquí, evaluando la integral F (·), tenemos que F ( x ) = 2( x − 1 ) si x ∈ [ 1, 3 ]

y

F ( x ) = ( 3 − 1 ) · 2 + ( x − 3 ) · 5 si x ∈ [ 3, 4 ]

Es de ir,

( 2x − 2 F(x) = 5 x − 11

si 1 ≤ x ≤ 3 si 3 ≤ x ≤ 4

En la gura 11 se muestran las grá as de f (·) y F (·): Obsérvese ómo la fun ión f (·) es dis ontinua(aunque integrable); sin embargo, F (·) sí es ontinua. f (x)

F (x)

5

9

2

4


3

4

x

1

3

4

x

Figura 11

Y el resultado del primer teorema fundamental del ál ulo nos ondu e a uno que es aquél que rela iona, explí itamente, el ál ulo de áreas on el ál ulo de antiderivadas. En otras palabras, on este resultado, el antiguo problema de

uadraturas se onvierte ahora en un ½problema de tangentes !

Segundo teorema fundamental del Cál ulo )

Teorema 23. ( Sean de ir,

f (·) una fun ión ontinua en [ a, b ] y F (·) una F ′ ( x ) = f ( x ) para todo x ∈ [ a, b ]. Enton es Z

a

antiderivada de

f (·),

es

b

f ( x ) dx = F ( b ) − F ( a )

Demostra ión.

Sabemos, por el primer teorema fundamental del ál ulo, que la integral deZ

nida

x

a

f ( t ) dt, on límite superior variable x, dene una nueva fun ión uya

402


derivada en [ a, b ] es f (·). Como, por hipótesis, también F ′ ( x ) = f ( x ), se dedu e que Z x F(x) =

f ( t ) dt + C

a

donde C es una onstante que vamos a determinar. Ha iendoZ primero x = b y

después x = a en esta última e ua ión, obtenemos F ( b ) = Z

a

a

Z

b

a

f ( t ) dt + C y

f ( t ) dt = 0. Luego, C = F ( a ), y esto da f ( t ) dt + C . Pero a Z b f ( t ) dt + F ( a ) o, en otra forma,

omo resultado F ( b ) = F(a) =

a

a

Z

b a

f ( t ) dt = F ( b ) − F ( a )

Nota 16.

La on lusión del segundo teorema fundamental del ál ulo se a ostumbra es ribir así: b Z b a

f ( t ) dt = F ( t ) = F ( b ) − F ( a ) a

Y esto último signi a que para al ular la integral de arriba se sustrae, del valor de ualquier antiderivada de f (·) evaluada en b, el valor de esa misma antiderivada evaluada en a. Observemos, omo debería esperarse, que si en lugar de F ( t ) se elige F ( t ) + C omo antiderivada de f (t), se obtiene el mismo resultado:


a

b

b f ( t ) dt = F ( t ) + C = [ F ( b ) + C ] − [ F ( a ) + C ] = F ( b ) − F ( a ) a

lo que muestra que se puede elegir ualquier antiderivada de f ( · ) sin afe tar el resultado nal de la integra ión. Finalmente, para ha er un uso efe tivo del teorema fundamental del ál ulo, en numerosas o asiones es muy onveniente el resultado siguiente que ya se ha utilizado, sin men ionarlo, en asos espe í os de la presente le

ión: (Teorema del ambio de variable o regla de la adena para la integra ión)

Teorema 24.

Sean f (·) una fun ión ontinua y g(·) una fun ión uya derivada es ontinua en [ a, b ]. Enton es Z

a

b

′

f ( g( x ) ) g ( x ) dx =

Z

g( b )

g( a )

f ( u ) du

Le

ión 4: La integral

403

Demostra ión. Sea

F (·)

es una antiderivada de

f (·);

por el segundo teorema fundamental del

ál ulo, se tiene que

Z

g( b )

f ( u ) du = F ( g( b ) ) − F ( g( a ) )

g( a )

Por la regla de la adena, si

G( x ) = F ( g( x ) ), enton es G′ ( x ) = F ′ ( g( x ) ) g ′ ( x ) =

′

f ( g( x ) ) g ( x )y, de nuevo, utilizando el segundo teorema fundamental del ál ulo, se tiene que

Z

b

f ( g( x ) ) g′ ( x ) dx =

a

Z

b a

G′ ( x ) dx = G( b ) − G( a ) = F ( g( b ) ) − F ( g( a ) )

lo que ompleta la prueba.

Nota 17.

u = g( x ) y denotamos

El teorema de ambio de variable se apli a así: ha emos en forma de diferen iales

Z

du =

g′ ( x ) dx;

b

luego,

′

f ( g( x ) ) g ( x ) dx =

g(b)

Z

f (u) du


donde, si

x=a

enton es

g(a)

u = g( a ),

y si

x=b

enton es

u = g(b).

Pero también podemos operar de la siguiente forma:

Z porque

′

f ( g( x ) ) g ( x ) dx =

Z

f (u) du = F (u) + C = F ( g( x ) ) + C

F ′ ( x ) = f ( x ). Finalmente, b Z b ′ f ( g( x ) ) g ( x ) dx = F ( g( x ) ) + C = F ( g(b) ) − F ( g(a) ) a

a

Ejemplo 37.

Evaluemos las siguientes integrales utilizando el teorema fundamental del ál ulo y/o el teorema del ambio de variable:

a

)

Z

3

Z

1

Z

3

3

x dx

)

b

1

)

0

e

)

−3

Z

6

Z

10

3

z dz 2 (z + 1)3 p 3 + | x | dx

)

d

1

)

f

Z

1 −2

(x2 − 2 x) dx √

5 x − 1 dx

√ (x + 1) x + 3 dx

404


Solu ión.

a)

Z

3

x3 dx = F ( 3 ) − F ( 1 ), donde F (·) es una antiderivada de x3 . Tome1 Z 3 x4 34 14 − = 20 x3 dx = mos la más simple de éstas: F ( x ) = . Luego 4 4 4 1 6 3 3 Z 6 x3 6 3 2 2 2 2 (x − 2 x) dx = −x = −6 − − 3 = 36 b) 3 3 3 3 3

z , podemos + 1)3 du pro eder así: Sea u = z 2 + 1; luego du = 2 z dz ; es de ir, z dz = . De 2

) Como se requiere hallar una antiderivada de f (z) =

(z 2

aquí que Z

3 1

z dz = (z 2 + 1)3

Z

3

(z 2 + 1)−3 z dz =

1

Z

10

u−3

2

du 1 = 2 2

1 1 1 3 1 10 − 2 = =− 2 =− 2 4u 2 4 10 2 50

u−2 −2

10 2

www.fullengineeringbook.net d) Si u( x ) = 5 x − 1, enton es Z

10

√

1

1 5 x − 1 dx = 5

Z

10 √ 1

1 5 x − 1 · 5 dx = 5

Z

49

1

u 2 du, 4

3 2 134 1 u 2 49 = (343 − 8) = = 3 5 2 4 15 3

e) Utili emos la deni ión de la fun ión valor absoluto: |x| =

(

x si x ≥ 0 −x si x ≤ 0

Luego, apli ando el teorema fundamental del ál ulo, se tiene que Z

3 −3

Z p 3 + | x | dx =

0 −3

√

3 − x dx +

Z

3√

3 + x dx

0

3 3 (3 − x) 2 0 (3 + x) 2 =− + 3 3 −3 2 2 √ 3 2 =4 3 2 −1

3 0

Le

ión 4: La integral

405

u = √ g( x ) = x + 3; es de ir, u2 = x + 3. Al derivar obtenemos 2 u du = dx y x = u2 − 3. De aquí que si x = −2, enton es u = 1; y si x = 1, enton es u = 2. Por tanto, la integral se onvierte en 5 Z 2 Z 2 u 2 3 2 4 2 2 (u − 2 u ) du = 2 − u (u − 2) u · 2 u du = 2 5 5 1 1 1 5 2 2 1 2 46 − · 23 − − = =2 5 3 5 3 15

f) Una forma de resolver esta integral es utilizando la sustitu ión

Nota 18. (Visión físi a de los teoremas fundamentales del Cál ulo) Es difí il desligar la no ión de derivada de la de velo idad, y, de he ho, éste fue el origen para Newton. Y también difí il desligar la no ión de integral de la de distan ia re orrida por un móvil una vez se ono e la velo idad, y esta

onexión la resumiría también Newton después de que mu hos matemáti os le pre edieran en algunas de las ideas fundamentales. Así, no es de extrañar que los teoremas fundamentales del ál ulo, es de ir, aquellos que estable en la rela ión inversa entre el problema de tangentes y el de uadraturas, se vea on mayor laridad uando se apli a a la des rip ión de la dinámi a de un móvil. Veamos ómo.


p(t + h) − p(t) h sería la velo idad promedio del móvil en el intervalo [t, t + h]( aso h > 0) y p( t + h ) − p( t ) ımh→0 = p′ (t). Ahora su velo idad instantánea sería v( t ) = l´ h bien: si se ono e v(t) para ada instante t on t ∈ [a, b], tómese una parti ión {t0 , t1 , ..., tn } de [a, b], y sea ξi ∈ [ti−1 , ti ]. Enton es la distan ia re orrida en el intervalo [ti−1 , ti ] sería, aproximadamente, v(ξi )∆ ti y la distan ia total Rb Pn re orrida sería es aproximadamente igual a la a v(t)dt. i=1R v(ξi )∆ ti que Rb b Luego p(b)−p(a) = a v(t)dt = a p′ (t)dt, al tomar el límite uando ada ∆ ti Rb tiende a ero. Por lo tanto, a p′ (t)dt = p(b) − p(a) que es el segundo teorema d Rx fundamental del ál ulo. Además, v(t)dt = p′ (x) = v(x), y por tanto dx a Z x d v(t)dt = v(x) dx a

Si

p(t)

es la posi ión de un móvil en el tiempo

t,

enton es

que es el primer teorema fundamental del ál ulo.

Nota 19. (Barrow antes que Newton y Leibniz) Al pare er no fueron ni Newton ni Leibniz los primeros en advertir laramente la rela ión inversa entre deriva ión e integra ión, que hoy es ribimos formalmente omo los teoremas fundamentales del ál ulo. Esta idea era ya familiar


406

a Isaa Barrow [1630-1677℄ (maestro de Newton), aunque, nun a la estable ió explí itamente, y dejaría a los otros dos pioneros todo el rédito de los más importantes teoremas del ál ulo diferen ial e integral. Probablemente, uando Newton armaba If I have seen farther than others it is be ause I have stood

on the shoulders of giants (Si he visto más allá que otros es porque me he apoyado sobre hombros de gigantes podría ser una tradu

ión) seguramente no era modestia: era un he ho. Y Barrow fue uno de aquellos gigantes.

Ejer i ios 11 1) Cal ule, utilizando los teoremas fundamentales del Cál ulo y el teorema de ambio de variable presentados en esta se

ión, las siguientes expresiones:

a)

d dx

Z

x

d dx

Z

x3

d dx

Z

0

d dx

Z

3x

0

dt √ 1 + t2

b)

d dx

Z

d dx

Z

d dx

Z

d dx

Z

x 1

cos t2 dt t

2x


)

e)

g)

cos t dt

d)

0

dt t+4

f)

cos 4t dt

h)

sen x

2x

sen t3 dt

1

sen x

cos x x2 x

dt 1 − t2

et dt t

2) Evalúe las siguientes integrales utilizando el segundo teorema fundamental del Cál ulo:

a)

)

2 Z

Z

0 3

−1

e)

Z

0

π 2

1 cos x − sen x 2

( 3x + 1 )( x − 2 ) dx

dx

b)

d)

π/4

π/3

sen( 5x ) cos( 3x ) dx

Z 1 3 1 2 − 3 x − x + 4 dx 2 −1 2 Z π/2 ( sen x − 1 )2 dx

f)

Z

0

π 4

cos x cos 5x dx

Le

ión 4: La integral

407

3) Cal ule las siguientes integrales denidas utilizando el teorema del ambio de variable:

Z

a)

Z

)

Z

e)

1

5

( 6x + 3 ) 0 5

p

x6

+ 3x dx

1

2

5

x 3 ( 4 + x 3 )6 dx

0

x3 +x−2

2

b)

Z

( 3x + 1 )e

dx

d)

2

Z

π 4

tan x sec2 x dx

0

π

sen x dx cos2 x

0

f)

Z

2 1

ln 2x dx x

*4) Pruebe, utilizando el primer teorema fundamental del ál ulo, que una deni ión alternativa para la fun ión logarítmi a es

x > 0.

x

Z

ln x ≡

1

[A esta igualdad, que se le ha llamado la uadratura de la hipér-

f (x) = 1/x

bola por razones ahora laras para el le tor (basta dibujar para

1 dx para t

x>0

y re ordar la no ión de integral), fue primero estable ida por

Ni olaus Mer ator en su

Logarithmo Te hni a de 1668. Fue pre isamente

él, quien primero llamó a esta fun ión logaritmo natural℄.


Integrales impropias

En algunas o asiones es ne esario extender la no ión de integral denida a otra lase de integrales donde el intervalo de integra ión es innito. Z Es de ir,

∞

queremos en ontrar un signi ado pre iso para expresiones omo

Z

b

f ( x ) dx, −∞

Z

∞

−∞

l´ım f (x) = ±∞

x→a−

f ( x ) dx,

y/o

y

Z

f ( x ) dx,

a

b

f ( x ) dx,

siendo este último el aso en que

a

l´ım f (x) = ±∞.

x→b+

Veamos ómo es esto posible sin ir

mu ho más allá de las no iones de límite e integral.

Deni ión 14. (Integrales impropias) f (·) una fun ión forma ( −∞, a ].

a) Sea

denida en un intervalo de la forma

i) En el primer aso, denimos

Z

∞ a

f ( x ) dx ≡ l´ım

ii) En el segundo aso, denimos

a

−∞

Z

b

Z

a

b→∞ a

estas últimas integrales y el límite de ellas existen.

Z

[ a, ∞ )

f ( x ) dx ≡ l´ım

b→−∞ b

estas últimas integrales y el límite de ellas existen.

o de la

f ( x ) dx,

f ( x ) dx,

si

si

408


iii) Si f (·) está denida en ( −∞, ∞ ), denimos l´ım

a

Z

a→∞ −a

ten.

b)

Z

∞ −∞

f ( x ) dx ≡

f ( x ) dx si estas últimas integrales y el límite de ellas exis-

i) Si f (·) está denida en ( a, b ] pero no en a y en este punto tiende a más innito o a menos innito (±∞), enton es l´ım

c→a+

Z

b

c

Z

b

f ( x ) dx =

a

f ( x ) dx si estas últimas integrales y el límite de ellas exis-

ten. ii) Si f (·) está denida en [ a, b ) pero no en b y en este punto tiende a más innito o a menos innito (±∞), enton es l´ım

c→b−

ten.

Z

c

a

Z

b

f ( x ) dx =

a

f ( x ) dx, si estas últimas integrales y el límite de ellas exis-

A todos estos límites los llamaremos integrales impropias. En el aso de que existan, diremos que la orrespondiente integral impropia es onvergente ; de otra forma, diremos que es divergente. Veamos unos uantos ejemplos que nos a laren el signi ado de este tipo de integrales.


Ejemplo 38. (Una integral impropia

onvergente) Z ∞

e−2x dx observamos que para ualquier 0 Z b Z ∞ 1 1 1 −2r b −2x b > 0, e dx = − e = − e−2b + . Por tanto, e−2x dx = 2 2 2 0 0 1 1 −2b 1 1 + = (gura 12). l´ım − e b→∞ 2 2 2

Para al ular la integral impropia

y

y = e−2x

x

Figura 12: Integral impropia onvergente

Le

ión 4: La integral

409

Ejemplo 39. (Una integral impropia divergente) Para al ular la integral impropia

b > 0, 1 2

Z

b

x

− 12

1

∞

1

x− 2 dx

observemos que para ualquier

1

b 1 dx = 2x = 2b 2 − 2, 1 2

y que, por lo tanto,

1

l´ım 2b − 2 = ∞. Luego

b→∞

Z

Z

∞

1

x− 2 dx =

1

esta integral impropia es divergente. ¾Puede el le tor

dibujar una grá a que ilustre la integral que a abamos de al ular?

Ejemplo 40. (Otra integral impropia onvergente) Para al ular la integral impropia

Z

2

dx 2

(gura 13), observamos que

( x − 1 )3 Z 2 Z 2 1 2 dx dx 3 = 3 = l´ ım = l´ ım 3( x − 1 ) 2 2 c c→1+ c ( x − 1 ) 3 c→1+ 1 ( x − 1 )3 1

Ejemplo 41. (Integral impropia onvergente) ∞

1 dx pro edemos de la siguien1 + x2 −∞ Z 1 te forma. Sea a > 0; enton es dx = ar tang x|a−a = ar tang(a) − 2 1 + x −a Z ∞ 1 dx = ar tang (−a) = 2 ar tang a. Luego 2 −∞ 1 + x π = π . ¾Podría el le tor dibujar una grá a que ilustre l´ım 2 ar tang a = 2 a→∞ 2 la integral que a abamos de al ular? N Para al ular la integral impropia

Z


y

y=

1

2

1

2

( x−1 ) 3

x

Figura 13: Integral impropia onvergente El siguiente teorema, ono ido omo el riterio de la integral rela iona los

omportamientos asintóti os de integrales impropias de la forma la serie innita

∞ P

n=1

f (n).

R∞ 1

f (x)dx

y

De esta manera, ono er el omportamiento de estas

410


series innitas nos puede ayudar a determinar el omportamiento de este típi o

aso de integrales impropias, y vi eversa. Teorema 25. (Criterio de la integral)

f (·) es ontinua en el intervalo ( 1, +∞ ) y monótona de re iente on l´ım f ( x ) = x→∞ Z ∞ ∞ P f ( n ) y la integral impropia 0, la serie f ( x ) dx son ambas onvergenSi

n=1

1

.

tes o ambas divergentes

y f (1) f (2)

1 2 3 4 5

n

x

Figura 14: Criterio de la integral Demostra ión.

Sea an = f (n) para n = 1, 2, . . .; de la gura 14 se puede observar que

www.fullengineeringbook.net a2 + a3 + · · · + an ≤

Z

n

1

f ( x ) dx ≤

Z

n+1

f ( x ) dx ≤ a1 + a2 + · · · + an

1

Apli ando el riterio de ompara ión para series de términos positivos (teorema 13) obtenemos el resultado. Ejemplo 42. (Un ejemplo importante)

Utili emos el riterio de la integral para determinar si la serie k > 0 jo, onverge o diverge. Solu ión.

Sea f ( x ) = Z

∞

x

−k

1 . Observemos que f (·) es de re iente on l´ım f ( x ) = 0, y que x→∞ xk

dx = l´ım

Z

b→∞ 1

1

b

x

−k

Además, Z

∞ 1

∞ 1 P , on k n=1 n

x

−1

dx = l´ım

b x1−k b1−k − 1 dx = l´ım = l´ ım b→∞ 1 − k 1 b→∞ 1 − k Z

b→∞ 1

b

x

−1

para k 6= 1

b dx = l´ım ln x = l´ım ln b = ∞ b→∞

1

b→∞

411

Le

ión 4: La integral

Por lo tanto, la integral

Z

k > 1, y divergen si k ≤ 1.

1

∞

x−k dx y la serie

∞ 1 P 1

onvergen a si k k−1 n=1 n

Ejemplo 43.

Probemos, on el riterio de la integral, que la serie Solu ión

∞ 2

n=2

1 diverge. n ln n

1 . Como f (·) es de re iente on l´ım f ( x ) = 0 y x→∞ x ln x

Sea f ( x ) = Z

∞ P

dx = l´ım x ln x b→∞

b

Z

2

enton es la integral

Z

b dx = l´ım ln | ln x | = l´ım ln | ln b | − ln | ln 2 | = ∞, b→∞ x ln x b→∞ 2

2

∞

∞ P 1 1 dx y la serie divergen. x ln x n=2 n ln n

N

Por último, presentamos un muy útil riterio para el ál ulo de iertas integrales impropias: es el riterio de ompara ión para integrales.

www.fullengineeringbook.net (Criterio de ompara ión)

Teorema 26.

Sea g(·) una fun ión no-negativa denida en [ a, ∞ ) uya integral

Z

∞

g( x ) dx

a

existe. Si f (·) es una fun ión integrable en ada intervalo de la forma [ a, b ] para b > Za, y además |f ( x )| ≤ g( x ) para todo x ≥ a , enton es la integral

impropia

∞

a

f ( x ) dx también existe.

Demostra ión.

Asumamos, sin pérdida de generalidad, que 0 ≤ f ( x ) ≤ g( x ) en el intervalo [ a, b ] para todo b > a. Enton es, tomando una su esión bn que tienda a inZ Z

nito, tendremos integrales

Z

bn

bn

bn

f ( x ) dx ≤

a

a

g( x ) dx; y omo, además, la su esión de

g( x ) dx es onvergente y, por tanto, a otada, enton es la su eZ bn sión de integrales f ( x ) dx es re iente (puesto que f (·) es no-negativa y, a

a

por tanto, las integrales re en) y a otada. Esto nos lleva (teorema 1, le

ión 1) a que esta su esión es también onvergente, on lo que naliza la prueba.

412


Ilustremos este teorema on el siguiente ejemplo:


Le

ión 4: La integral

413

Ejemplo 44.

De idir sobre la onvergen ia de las integrales impropias ∞

Z

a)

0

cos x dx x2 + 1

Z

b)

∞

sen x

1

x

dx

Solu ión.

a)

b)

Z cos x 1 ≤ Como y además x2 + 1 Z x2 + 1 ∞ cos x gral impropia dx existe. 2 0 x +1 Z

∞

sen x2

1

y que

x Z ∞ 1

dx

existe, puesto que

1 dx = x2

1 l´ım − b→∞ b

∞ 0

x2

π 1 dx = , +1 2

sen x 2 ≤ 1 x x2

enton es la inte-

para todo

x ≥ 1,

+ 1 = 1.

Ejer i ios 12


1) Demuestre, utilizando el riterio que onsidere más onveniente, que las siguientes integrales impropias onvergen, y dibuje las áreas evaluadas:

a)

)

Z

Z

∞ 1 ∞

5 dx x2 x2 e−x dx

∞

Z

b)

1

Z

d)

0

1

0

dx x 1 + x2 dx √ 1 − x2 √

2) Anali e la onvergen ia de las siguientes integrales impropias:

a)

Z

)

Z

e)

g)

Z

∞

sen 2x dx

b)

Z

d)

Z

0 1

x ln x dx 0 ∞ 2

Z

∞ 2

2 dx x2 − 1 √

dx x−1

f)

Z

∞ −∞ ∞ 2 1

0

h)

Z

dx x3 + 1

dx −1 dx 1 − x2

∞ π

x2

1 + cos x dx x2

414


3) Evalúe, siempre que sea posible, las siguientes integrales:

13.

a)

Z

1

)

Z

∞

−1

dx √ 3 x ( 1 + tan x ) dx

0

b)

Z

d)

Z

∞

sen x dx

0 ∞ 0

dx 1 + x3

La no ión de integral en fun iones de dos variables: la integral doble

Extender la no ión de integral a fun iones de dos variables es dire to mediante la no ión de integral doble. En esta se

ión estudiamos, en primer lugar, la no ión de integral doble de una fun ión a otada f ( x, y ) denida sobre una región re tangular R = { ( x, y ) / a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d } ⊆ R2


para después generalizar a regiones irregulares.

Deni ión 15. (Mallas; sumas de Riemann) a) Una malla para R es un onjunto nito de la forma N = P1 × P2 , donde P1 es una parti ión de [ a, b ] y P2 es una parti ión de [ c, d ]. b) Por tanto, ualquier malla N de R origina un onjunto de re tángulos

errados Aij .

) Sea N ualquier malla que divide a R en los re tángulos Aij . En ada Aij , elijamos un punto ( ξi , ηj ) ∈ Aij y formemos la orrespondiente suma de Riemann para fun iones de dos variables Sn =

X

f ( ξi , ηj ) ∆i x ∆j y

i,j

d) Cuando f ( x, y ) ≥ 0 en R, esta suma es enton es una aproxima ión al

on epto de volumen del sólido formado por la fun ión f (· , ·) por en ima del re tángulo R (gura 15).

415

Le

ión 4: La integral b

f (ζi , ηi )

volumen ≈ f (ζi , ηi )∆i x∆i y

(ζi , ηi )

∆i y

∆i x

Figura 15

Deni ión 16. (Integral doble)

La integral de f ( x, y ) sobre el re tángulo R estará denida omo ZZ

f ( x, y ) dx dy =

R

X

l´ım

||P1 ||→0 i,j ||P2 ||→0

f ( ξi , ηj ) ∆i x ∆j y

si este límite existe. En aso de que exista, diremos que f (· , ·) es integrable en (o sobre) R, y a este límite lo llamaremos la integral doble de f (· , ·) en el re tángulo R.


Las integrales dobles tienen propiedades algebrai as similares a las integrales simples. El siguiente teorema resume estas propiedades:

Teorema 27. (Álgebra de integrales dobles ) a) Si f ( x, y ) = c en el re tángulo R, enton es ZZ

c dx dy = c ( áreaR ) = c ( b − a )( d − c )

R

b) Si f (· , ·) es integrable en R, y c es un número real arbitrario, enton es cf (· , ·) es integrable en R y, además, ZZ

c f ( x, y ) dx dy = c

R

ZZ

f ( x, y ) dx dy

R

) Si f (· , ·) y g(· , ·) son integrables en R, enton es ( f +g )(· , ·) y ( f − g )(· , ·) son integrables en R y, además, ZZ R

( f ( x, y ) ± g( x, y ) ) dx dy =

ZZ R

f ( x, y ) dx dy ±

ZZ R

f ( x, y ) dx dy

416


d) Si R es la unión disjunta de dos re tángulos R1 y R2 y f (· , ·) es integrable sobre R1 y sobre R2 , enton es es integrable sobre R; además ZZ

ZZ

f ( x, y ) dx dy =

R

f ( x, y ) dx dy +

R1

ZZ

f ( x, y ) dx dy

R2

e) Si f ( x, y ) ≥ g( x, y ) para todo ( x, y ) ∈ R, y ambas son integrables en R, enton es ZZ ZZ f ( x, y ) dx dy ≥

R

g( x, y ) dx dy

R

f) Si m ≤ f ( x, y ) ≤ M para todo ( x, y ) ∈ R, y f (· , ·) es integrable en R, enton es m ( b − a )( d − c ) ≤

ZZ

f ( x, y ) dx dy ≤ M ( b − a )( d − c )

R

Demostra ión

Es similar a lo ya realizado para integrales denidas de fun iones de una sola variable.


Como es el aso para las integrales ordinarias, también aquí, en las fun iones

ontinuas sobre re tángulos, en ontramos una gama muy amplia de fun iones integrables. Eso es lo que arma el siguiente teorema: Teorema 28. Si

f (· , ·)

(Toda fun ión ontinua es integrable)

es ontinua sobre el re tángulo

R,

enton es

ZZ

f ( x, y ) dx dy

existe.

R

Demostra ión.

(Ver el ejer i io 31 de los Ejer i ios Complementarios al nal de la presente le

ión). El siguiente teorema (debido a Guido Fubini (1920)) es la herramienta más útil para el ál ulo de integrales dobles mediante integrales ordinarias, pues redu e el ál ulo de una integral doble al ál ulo de dos integrales de una sola variable. Teorema 29. Si

(Integral doble omo reitera ión)

f (· , ·) es ontinua en el re tángulo R, enton es ZZ Z dZ b Z bZ f ( x, y ) dx dy = f ( x, y ) dx dy = R

c

a

a

d

f ( x, y ) dy dx c

417

Le

ión 4: La integral

Demostra ión. (Ver ejer i io 32 de los ejer i ios omplementarios al nal de la presente le

ión).

Ejemplo 45.

Cal ulemos, utilizando la reitera ión, las siguientes integrales dobles: Z 1Z

a)

0

1 0

3 2 ( x + y 2 ) dx dy 2

b)

Z 3Z 0

3 −2

( x2 y − 2xy ) dy dx

Solu ión. a)

Z

1

0

Z

1 0

3 2 3 ( x + y 2 ) dx dy = 2 2

Z

1

3 2

Z

1

3 2

=

=

0

0

Z

1 0

x2 + y 2 dx

dy

1 Z x3 3 1 1 + xy 2 dy = + y 2 dy 3 2 0 3 0

y y3 + 3 3

1 = 3 1+1 =1 2 3 3 0


Z 3Z 0

0

−2

( x2 y − 2xy ) dy dx =

Z

3

0

0 Z 3 x2 y 2 − xy 2 dx = −2x2 + 4x dx 2 0 −2

3 −2x3 2 + 2x = 0 = 3 0

N

Ahora: La no ión de integral puede extenderse a regiones que no son, ne esariamente, re tangulares. Veamos ómo.

Deni ión 17. (Integral doble en regiones no re tangulares) Sea R una región a otada ualquiera. Diremos que una fun ión f (· , ·) denida sobre R es integrable si existe el siguiente límite: l´ım

X

||P1 ||→0 i,j ||P2 ||→0

f ( ξi , ηj ) ∆i x ∆j y

donde los re tángulos de área ∆i x ∆j y están totalmente ontenidos en R y los ( ξi , ηj ) están dentro deZ Ztales re tángulos (gura 16). De manera similar,

notaremos este límite por

f ( x, y ) dx dy .

R

418


(ξi , nj ) ∆j y

∆i x

Figura 16 Nota 20.

Como era de esperarse, todos los teoremas (teoremas 27, 28 y 29) para la integral doble sobre re tángulos se tienen, inmediatamente, para la integral doble sobre otras regiones a otadas. En parti ular, tenemos el siguiente teorema: Teorema 30.

(Teorema de Fubini (1920))

Si f (· , ·) es ontinua en una región R denida por a ≤ x ≤ b, f1 ( x ) ≤ y ≤ f2 ( x ) on f1 (·), f2 (·) ontinuas en [ a, b ], enton es

www.fullengineeringbook.net ZZ

f ( x, y ) dxdy =

Z bZ a

R

f2 ( x )

f ( x, y ) dydx

f1 ( x )

Demostra ión.

(Ver el ejer i io 33 de los ejer i ios omplementarios al nal de la presente le

ión). Ejemplo 46.

Si D es el triángulo on vérti es ( −1, −1 ), ( 2, −4 ) y ( 1, 3 ) (gura 17), y la fun ión f (· , ·) es integrable allí, enton es ZZ

f ( x, y ) dx dy =

D

ZZ

f ( x, y ) dx dy +

D1

ZZ

f ( x, y ) dx dy

D2

donde D1 y D2 son los dominios en que se ha dividido el triángulo a través de la re ta x = 1. Y allí, ZZ D1

f ( x, y ) dx dy =

Z

1 −1

Z

2x+1

f ( x, y ) dy −x−2

dx

419

Le

ión 4: La integral

ZZ

Z

f ( x, y ) dx dy =

1

D2

2 Z −7x+10

f ( x, y ) dy

−x−2

dx

que son ya integrales estándar. y b

(1, 3)

y = 2x + 1

(−1, −1)

x y = −7x + 10

D1 b

y = −x − 2

D2 b

(2, −4)

x=1

Figura 17

www.fullengineeringbook.net Ejemplo 47

Para al ular el volumen del sólido delimitado por la re ta y = x, la parábola y = x2 ; y la fun ión f ( x, y ) = xy 2 , apli amos el teorema de Fubini, para obtener que el volumen del sólido es Z

0

1Z x

Ejemplo 48.

x2

2

xy dy

dx =

Z

0

1

x Z 1 4 xy 3 x x7 dx = − dx 3 x2 3 3 0

1 x5 x8 1 = − = 15 24 0 40

Para determinar el volumen del sólido uya base es el triángulo a otado por el eje X y las re tas y = x, x = 1; y uya ara superior está en el planoZ f (Zx, y ) = 1

x

( 3− 3 − x − y , apli amos el teorema de Fubini. El volumen del sólido es 0 0 Z Z 1 x 1 y 2 3x2 x − y ) dy dx = 3y − xy − dx = 3x − dx = 1 (gura 2 0 2 0 0

18).

420

Matemáti as bási as para e onomistas 2: Cál ulo y y=x

base del sólido 1

x

Figura 18

Ejemplo 49. Sea R el uarto de ír ulo de radio 1 des rito en forma artesiana por 0 ≤ y ≤ √ 1 − x2 , 0 ≤ x ≤ 1, y sea f ( x, y ) = x2 + y 2 sobre R. Enton es ZZ

2

2

( x + y ) dxdy =

R

=

Z Z

0

0

√

1Z

1−x2

( x2 + y 2 ) dydx

0

1

1 2 32 x 1 − + (1 − x ) dx 3 1 π sen2 θ cos2 θ + cos4 θ dθ = 3 8 2

p

x2


Z

π 2

0

donde hemos realizado la sustitu ión x = sen θ , dx = cos θ dθ . Finalmente, una de las apli a iones típi as de las integrales dobles es el ál ulo de entros de masas de pla as planas. Esta es la deni ión siguiente.

Deni ión 18. (Centro de gravedad de una pla a plana) Si δ( x, y ) es la densidad de masa del punto ( x, y ) de una región plana R, enton es a) La masa de la región R estará dada por m=

ZZ

δ( x, y ) dxdy

R

b) El momento de masa de la región R on respe to al eje X estará dado por ZZ Mx =

yδ( x, y ) dxdy

R

421

Le

ión 4: La integral

) El momento por

de masa

de la región R on respe to al eje Y estará dado ZZ

My =

xδ( x, y ) dxdy

R

d) Y el entro dado por

( x¯, y¯ ) de la región R estará

de masa (o entro de gravedad)

My , m

x ¯= Ejemplo 50.

y¯ =

Mx m

Cal ulemos el entro de gravedad de una pla a delgada de densidad onstante δ formada por las urvas y = x y y = x2 en [ 0, 1 ]. Solu ión.

Puesto que un po o de ál ulo nos muestra que m=

Z

0

1Z x x2

δ δ dydx = 6 My =

;

Z

Mx =

1Z x

Z

0

1Z x

yδ dydx =

x2

xδ dydx =

δ 15

;

δ 12


enton es

x ¯=

x2

My 1 = , m 2

y¯ =

Mx 2 = m 5

Ejer i ios 13 1) Cal ule las siguientes integrales dobles: a)

Z

2π Z π

)

Z

0Z

e)

Z

2Z 2

π

( sen x + cos y ) dx dy

0

1

( x + y + 1 ) dx dy

−1 −1

1

1

ln x dx dy

0Z 1

b)

Z

d)

Z 1Z

f)

Z

−1 −1

0

0

dx dy x + y + 10

π

y cos xy dx dy 0

5Z 5p

4 + x + y dx dy

0

2) Muestre que el área de la región R a otada por y = x y y = x2 en el primer uadrante es 16 unidades uadradas. 3) Cal ule el volumen del sólido debajo de la super ie f ( x, y ) = ex cos y si 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ π2 .

422


4) Cal ule

ZZ

f ( x, y ) dx dy en los siguientes asos:

R

a) f ( x, y ) = x2 + y 2 y la región es R = { ( x, y ) ∈ R2+ / x + y ≤ 1 }. √ b) f ( x, y ) = y − x y la región R es el triángulo formado por ( 0, 0 ), ( 1, 0 ), y ( 0, 1 ). 1 y R = { ( x, y ) ∈ R2+ / 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1 }. x2 + y d) f ( x, y ) = x2 + y 2 y R es el triángulo on vérti es ( 0, 0 ), ( 1, 0 ) y ( 1, 1 ).

) f ( x, y ) =

5)

e) f ( x, y ) = x3 cos y y R = { ( x, y ) ∈ R2 / 1 ≤ x ≤ 2, π4 ≤ y ≤ π }. f) f ( x, y ) = x2 y y R = { ( x, y ) ∈ R2 / 1 ≤ x ≤ 2, 1 − x ≤ y ≤ 1 + x }. g) f ( x, y ) = x2 y y R = { ( x, y ) ∈ R2 / y 2 + x( x − 1 ) ≤ 0 }.

a) Utilizando integrales dobles, al ule el área de: i) Un se tor ir ular

ii) Una elipse

b) También al ule sus entros de masa asumiendo densidad onstante.


14.

Cambio de variables en la integral doble

El teorema del ambio de variable (o regla de la adena para la integra ión) que estudiamos en la le

ión 2, arma que si f (·) es ontinua en [a,b℄ y g(·) es una fun ión uya derivada es ontinua en el mismo intervalo, enton es Z

a

f (g(x))g′ (x)dx =

Z

g(a)

f (u)du

g(b)

b

Por su parte, para las integrales dobles existe una fórmula análoga: ZZ

Ruv

ZZ ∂(x, y) f (x(u, v), y(u, v)) f (x, y)dxdy dudv = ∂(u, v)

(1)

(2)

Rxy

donde x = x(u, v), y = y(u, v) tienen derivadas par iales ontinuas en Ru,v , y " ∂x ∂x # ∂(x, y) ∂(u, v) = det

∂u ∂y ∂u

∂v ∂y ∂v

es el valor absoluto del determinante de la matriz ja obiana de (x(u, v), y(u, v)).4 4

La prueba de este teorema requiere deni iones y resultados que están más allá de los propósitos de este texto. Para el le tor interesado, re omendamos: Kaplan, Wilfred (1991),

Advan ed Cal ulus, Addison Wesley, 4th ed.

423

Le

ión 4: La integral y

v

Rxy

Ruv x

u

Figura 19: Cambio de variables Ejemplo 51. (Coordenadas polares)

Una de las transforma iones más utilizadas uando se trata de al ular integrales dobles, es la transforma ión en oordenadas polares5 x = r cos θ, y = r sen θ . Usualmente, ella sirve bien a la simpli a ión de los ál ulos de una integral doble uando el dominio sobre el que se integra se puede des ribir mediante fun iones de tipo uadráti o, aunque esto no es ex lusivo. Con esta transforma ión, se tiene que ZZ

f ( x, y )dxdy =

(3)

f (r cos θ, r sen θ)rdrdθ

Rrθ

Rxy

pues

ZZ

www.fullengineeringbook.net " ∂x ∂x # " # cos θ −r sen θ ∂(x, y) ∂r ∂θ = ∂y ∂y = ∂(r, θ) sen θ r cos θ ∂r ∂θ ∂(x, y) 2 2 ∂(u, v) = r cos θ + r sen θ = r

Veamos, on algunos ejemplos, ómo opera la fórmula (3).

a) Corroboremos, utilizando ahora oordenadas polares, el resultado del ejemplo 49: Z

0

1Z

√

1−x2

2

2

( x + y ) dy dx = 0

Z

0

=

Z

π 2

0

π 2

Z

1

2

(r )rdrdθ =

0

1 π dθ = 4 8

Z

0

π 2

r=1 r 4 dθ 4 r=0

b) También podemos utilizar la fórmula (3) anterior √ para al ular el entro de masa de la gura ir ular R : 0 ≤ y ≤ 1 − x2 , 0 ≤ x ≤ 1, on densidad onstante δ = 1. En efe to: 5

Volumen 0 (Fundamentos), le

ión 3.

424


m=

ZZ

dx dy =

Z 1Z 0

R

√

1−x2

dy dx = 0

Z 1p 0

1 − x2 dx =

Z

π 2

cos2 θdθ =

0

π 4

Y así, 4 x= π

ZZ

4 xdx dy = π

R

Z 1Z 0

4 π

=

Z

√

1−x2

0 1

4 x dy dx = π

(z 2 ) dz =

0

Z

1 0

p x 1 − x2 dx

4 3π

Claramente, y = x, por simetría. Ejemplo 52 (Cambio

lineal

de oordenadas)

Para evaluar la integral doble ZZ

(x2 + y 2 )dx dy


donde R es la región de la gura 20, pro edemos de la siguiente forma: Observemos que, en esta gura, x = 12 (u + v), y = 21 (u − v) o, lo que es equivalente, x + y = u, x − y = v . Y esto, en forma matri ial, es la transforma ión lineal "

1

1

#" # x

1 −1

y

=

" # u v

El determinante ja obiano es enton es 1 2 1 2

Y así,

ZZ

2

(x + y )dx dy =

R

6

2

1 2

= −1 2 −1 2

Z 2Z 0

2 0

6

1 2 1 8 (u + v 2 ) du dv = 2 2 3

Si el le tor desea profundizar sobre el Cál ulo multivariado, podría onsultar también el lási o texto Courant, Ri hard (1937), New York: Wiley.

Dierential and Integral Cal ulus, vol. I-II,

Le

ión 4: La integral

425

y x+y =u x−y =v

v

2

=

=

0

u

(0, 1)

x 0

v

=

=

2

u

Figura 20: Cambio lineal de oordenadas

Quizás sea ahora laro que un ambio de variable es un útil pro edimiento

sistema des rip ión

que nos permite al ular la misma área (o volumen), utilizando un

de referen ia diferente: analíti a diferente.

es el mismo objeto geométri o pero on

Ejer i ios 14 1) Utilizando oordenadas polares, evaluar

ZZ

f (x, y)dx dy ,

donde


a)

f ( x, y ) = 5(x + y), R : x2 + y 2 ≤ 25, x ≥ 0. 2 −y 2

b)

f ( x, y ) = e−x x2 + y 2 = 4.

)

f ( x, y ) = x2 y − xy 2 + 3, R : x2 + y 2 ≤ a2

,

R :

la orona limitada por

x2 + y 2 = 1

y

2) Transforme las integrales dadas, utilizando la sustitu ión indi ada:

a)

Z 1Z 0

b)

Z 1Z 0

x 0

ln(1 + x2 + y 2 ) dy dx; x = u + v; y = u − v

1+x

ln 1−x

p

1 + x2 y 2 dy dx; x = u, y = u + v

* 3) En la le

ión 2 del volumen 1 (Álgebra lineal), armamos que el área del paralelogramo generado por los puntos (a11 , a21 ) y (a12 , a22 ) es igual al determinante de la matriz

A=

"

a11 a12 a21 a22

#

La pregunta es: ¾Por qué está esto íntimamente one tado on la fórmula de ambio de variable para integrales dobles? [Indi a ión: Primero,

426

Matemáti as bási as para e onomistas 2: Cál ulo re uerde que una matriz es, esen ialmente, una trasforma ión lineal; y después, re uerde que un paralelogramo es la imagen, bajo ierta transforma ión lineal, del uadrado

[0, 1] × [0, 1]

en el plano℄.


Le


427

Contexto e onómi o

En la historia del pensamiento e onómi o de mediados del siglo XX, la onexión entre la teoría de la fun ión de utilidad y los problemas de de isión obligó a en ontrar riterios para elegir entre diferentes alternativas basados en los niveles de preferen ia del agente. Una síntesis desde el punto de vista

7

metodológi o la ha en Lu e y Raia (1957) , quienes lasi an los problemas de de isión en tres: primero, la toma de de isiones bajo ertidumbre ; segundo, la toma de de isiones bajo riesgo ; y ter ero, la toma de de isiones bajo

8

in ertidumbre . i) Bajo ertidumbre sólo se onsideran problemas de ele

ión uyo resultado se ono e de antemano. ii) Bajo riesgo sólo se onsideran problemas de de isión basados en proba-

bilidades ono idas. No se estudia la in ertidumbre no uanti ada. iii) Bajo in ertidumbre se onsideran problemas de de isión que dependen explí itamente de eventos no ontrolados por el agente y uyas solu iones sólo son ono idas después de que se toma la de isión. Aquí, las probabilidades de los eventos se onsideran, o bien sin importan ia, o

www.fullengineeringbook.net des ono idas, o sólo on referen ia a jui ios personales.

Quizás los primeros en es ribir, matemáti amente, sobre el problema de la to-

ma de de isiones fueron Daniel Bernoulli (1738)

9 y Gabriel Cramer (1750).

Ellos bus aban expli ar por qué agentes prudentes a menudo es ogían (entre diferentes op iones riesgosas) de una forma ontraria a lo que esperaban fuese su máximo bene io. Bernoulli aseguraba que mu has de tales ele

iones podían expli arse mediante el pro eso de maximizar de la utilidad esperada de op iones riesgosas. Sin embargo, las ideas de Bernoulli sobre riesgo tuvieron efe to en la toma de de isiones e onómi as sólo hasta muy re ientemente. El prin ipio de maximizar la utilidad esperada de Bernoulli se onvirtió posteriormente en la hipótesis de la utilidad esperada de von Neumann y Morgenstern (1944). Estos mostraban, en parti ular, que la forma de la utilidad esperada también podía, en o asiones, obtenerse a través de la ompara ión de las preferen ias entre distintas op iones de in ertidumbre y no sólo de riesgo. Infortunadamente, para mu hos e onomistas pare iera que estos dos on eptos se identi an entre sí y esto no siempre es onveniente. 7 8 9

Lu e, R. D. y H. Raia (1957), Games and De isions, vol. I-II. New York: Wiley. Sin embargo, es muy omún ahora observar que los términos in ertidumbre y riesgo se utilizan equivalentemente. Bernoulli, Daniel (1738), Spe imen Theoriae Novae de Mensura Sortis, Trad. L. Sommer, E onometri a, vol. 22, 1954.

428 a.

Matemáti as bási as para e onomistas 2: Cál ulo Toma de de isiones bajo riesgo: La hipótesis de la utilidad esperada

Desde von Neumann y Morgenstern (1944), uando los e onomistas estudian las preferen ias de un agente (o la fun ión de utilidad) sobre un onjunto de alternativas jas y dadas, es ostumbre asumir, en general, que el agente forma expe tativas a er a de los estados de la naturaleza, además de pro esar óptimamente la informa ión disponible de a uerdo on prin ipios estadísti os. Más pre isamente, la teoría e onómi a estándar se basa en la hipótesis de (maximizar) la utilidad esperada de von Neumann y Morgenstern y que fuera extendida por Savage en 195410 y por Lu e y Raia en 1957. Esta hipótesis asume que todo agente que enfrenta un problema de de isión, tiene una ierta fun ión de utilidad u(·) denida sobre un onjunto dado de alternativas X = { x1 , . . . , xn } tal que si una a

ión a se realiza bajo la hipótesis de que la probabilidad de que o urra xi es pi, y otra a

ión b se realiza bajo la hipótesis de que la probabilidad de que o urra xi es qi , enton es el agente preferirá (estri tamente) la a

ión a a la a

ión b si, y sólo si n X

pi u( xi ) >

i=1

n X

qi u( xi )

i=1

Es de ir, si la utilidad esperada (estadísti a ) de realizar la a

ión a es mayor que la utilidad esperada (estadísti a) de realizar b.


Ahora: Si el onjunto de alternativas, en lugar de estar onformado por unas

uantas de ellas es, por ejemplo, un intervalo errado de números reales [ a, b ], las probabilidades dis retas se transforman enton es en distribu iones de probabilidad F ′ ( x ) de una ierta variable aleatoria X , donde F ( x ) = prob( X ≤ x ) y la utilidad esperada (estadísti a) de una a

ión determinada bajo la distribu ión F ′ (·) sobre [ a, b ] ahora será Z

b

u( x )F ′ ( x ) dx;

a

También: Si, en vez, la distribu ión está denida en todo ( −∞, ∞ ), la distribu ión ahora será Z ∞ u( x )F ′ ( x ) dx

Por supuesto, si

Q2

i=1 [ ai , bi

−∞

] es el onjunto de alternativas en R2 , enton es la

utilidad esperada (estadísti a)

de una a

ión determinada bajo la distribu ión

F ′ ( x1 , x2 ) sobre [ a, b ] será ya Z a2 Z b2 u( x1 , x2 )F ′ ( x1 , x2 ) dx1 dx2 ; a1

10

Savage, L. J. (1954),

a2

The Foundations of Statisti s, Wiley and Sons, New York.

429

Le

ión 4: La integral

o si la distribu ión está denida en todo R2 será Z

∞ −∞

Z

∞

u( x1 , x2 )F ′ ( x1 , x2 ) dx1 dx2

−∞

Así, el omportamiento ra ional bajo la ondi ión de maximizar la utilidad esperada toma la forma de es oger aquella(s) lotería(s) que tiene(n) el más alto valor total al ponderar el valor de ada uno de los posibles eventos mediante las respe tivas probabilidades de que o urran. La hipótesis de la utilidad esperada ha sido utilizada ampliamente en la teoría e onómi a y, también, en la e onomía apli ada, a pesar de que han apare ido, una y otra vez, notables ontraejemplos dentro de la literatura. Es laro que, muy a menudo, las personas no a túan en onsisten ia on el prin ipio de la utilidad esperada, pues pare e que se tienen problemas tanto en la per ep ión del riesgo omo en la utiliza ión de la informa ión que onllevan las probabilidades, al momento de tomar de isiones reales. Y aunque mu hos e onomistas siguen siendo extremadamente es épti os a er a de este prin ipio (entre ellos, uno de los más re ono idos ríti os es el premio Nobel en e onomía de 1998, Amartya Sen), otros ( omo el ha e po os años desapare ido John Harsanyi, premio Nobel en E onomía en 1994) enfatizan en la utilidad de este modelo para expli ar o prede ir el omportamiento humano.


Consideremos un individuo uya fun ión de utilidad es u( x ) = ln( x ). Cal ulemos la utilidad esperada de la lotería que le ofre e 13 de probabilidad de ganar ierta antidad de dinero h y 23 de probabilidad de perder h. Solu ión.

Si la riqueza ini ial del individuo es w, la lotería le ofre e al individuo w + h

on probabilidad 13 y w − h on probabilidad 23 . Por tanto, la utilidad esperada de esta lotería es 13 ln( w + h ) + 23 ln( w − h ). Ejemplo 54.

√

Un individuo tiene una fun ión de utilidad u( x ) = x y está onsiderando

omprar un billete de lotería. Una lotería le da $100, 000, 000 on probabilidad 0.1; $1, 000, 000 on probabilidad 0.89; y 0 pesos on probabilidad 0.01. Otra lotería le ofre e $100, 000, 000 on probabilidad 0.05; $1, 000, 000 on probabilidad 0.75; y 0 pesos on probabilidad 0.2. Cal ulemos las utilidades esperadas de estas loterías.


430

Solu ión. La utilidad esperada de la primera lotería es 0.1

p

100,000,000

p √ + 0.89 1,000,000 + 0.01 0 = 1,000

+ 890 + 0 = 1,890

La utilidad esperada de la segunda lotería es 0.05

p

100,000,000

+ 0.75

p

1,000,000

√ + 0.2 0 = 500

+ 750 + 0 = 1,250

Si el individuo maximiza la utilidad esperada, él preferirá la primera lotería.

Ejemplo 55.

u( x ) = −e−2x . El individuo quiere evaluar una lotería uyo resultado aleatorio X está distribuido uniformemente sobre ( 0, 3 ). Re ordemos que una variable aleatoria X se distribuye uniformemente sobre ( a, b ) si su fun ión de distribu ión de probabilidad Consideremos un individuo uya fun ión de utilidad es

es

F(x) =

    

0

x≤a

si

x−a  b−a    1

si

a
si

x≥b

www.fullengineeringbook.net Cal ulemos la utilidad esperada de esta lotería.

Solu ión. La utilidad esperada de la lotería es, simplemente,

Z

3 0

3 1 −e−2x 1 dx = e−2x = 3 6 6 0

e−6 − 1

Ejemplo 56. (La paradoja de San Petersburgo (N. Bernoulli (1713); D. Bernoulli (1738))) Un individuo maximiza la utilidad esperada tiene la fun ión de utilidad

x.

A este individuo se le propone el siguiente juego: Si usted paga

F

u(x) = pesos,

una moneda no argada será lanzada repetidamente hasta que resulte una y le serán pagados primera

ara.

2n

pesos, donde

n

es el número de

sellos

ara

que pre eden a la

Determinemos el mayor pre io que pagaría este individuo por

a eptar el juego.

Le

ión 4: La integral

431

Solu ión.

Puesto que la utilidad esperada que este juego le entrega al individuo es

∞

X 1 1 1 1 −F + ( 1 ) + ( 2 ) + ( 4 ) + ( 8 ) + · · · = −F + 2 4 8 16 n=1 = −F +

enton es estaría dispuesto a pagar una

antidad innita

1 2

2

=∞

∞ X 1

n=1

n

2n−1

de dinero para a

e-

der al juego. Sin embargo, algunos experimentos han revelado que la mayoría de individuos no pagarían más que unos po os pesos por la oportunidad de jugar. Debe tenerse en uenta que esta paradoja no es ni matemáti a ni lógi a sino intuitiva y empíri a, pues se basa en observa iones a er a de ómo los individuos se omportarían.

www.fullengineeringbook.net b.

Una medida del riesgo y ejemplos de toma de de isiones bajo riesgo

El oe iente Arrow-Pratt es una medida (relativa a su re imiento) de la

si mayor es el oe iente, mayor es la

on avidad (relativa a su re imiento) de la fun ión de utilidad. La on avidad

on avidad de la fun ión de utilidad:

de la fun ión de utilidad signi a que la utilidad marginal de la riqueza

re iente. Por tanto, a ualquier nivel de riqueza

x es no

x, la utilidad marginal de tener

una antidad adi ional innitesimal de riqueza es menor o igual que (el valor absoluto) de la desutilidad marginal de perder una antidad innitesimal de riqueza. Así, en este aso, no valdría la pena tomar el riesgo de jugar una lotería en la ual se gana o se pierde una unidad de riqueza on igual probabilidad. Esto se ilustra en la gura 20, donde la riqueza ini ial es 2. La utilidad de la

+ 12 u( 3 ), es menor u( 2 ) = u( 12 ( 1 ) + 21 ( 3 ) ).

lotería, ini ial

1 2 u( 1 )

que la utilidad que propor iona la riqueza

432

Matemáti as bási as para e onomistas 2: Cál ulo y u(·) u(3) 1 u(1) 2

u(2) + 12 u(3) u(1)

1

2

3

x

Figura 20: Fun ión de utilidad ón ava

Deni ión 19. (Coe ientes de Arrow (1953)-Pratt (1964)) i) Dada una fun ión de utilidad ón ava, estri tamente re iente y doblemente diferen iable u( · ), el oe iente relativo de Arrow-Pratt en x, denotado r( x, u ), está denido omo r( x, u ) = −x

u′′ ( x ) u′ ( x )

www.fullengineeringbook.net ii) Dada una fun ión de utilidad ón ava, estri tamente re iente y doblemente diferen iable u( · ), el oe iente absoluto de Arrow-Pratt en x, denotado a( x, u ), está denido omo a( x, u ) = −

u′′ ( x ) u′ ( x )

Ejemplo 57. Cal ulemos el oe iente relativo de Arrow-Pratt de las siguientes fun iones de utilidad: a) u( x ) = ln x b) u( x ) = xα donde 0 < α < 1 [fun ión CRRA℄

) u( x ) = −e−αx donde α > 0 [fun ión CARA℄

Solu ión.

1

−1

a) Si u( x ) = ln x, enton es u′ ( x ) = y u′′ ( x ) = 2 . Por tanto, r( x, ln x ) = x x 1.

433

Le

ión 4: La integral

b) Si u( x ) α(α

=

− 1 ) xα−2 .

xα , enton es u′ ( x ) = Por tanto, r( x, xα ) = 1 − α.

α xα−1

y

u′′ ( x )

=

) Si u( x ) = −e−αx , enton es u′ ( x ) = αe−αx y u′′ ( x ) = −α2 e−αx . Por tanto, r( x, xα ) = αx. ¾Cuáles son los respe tivos oe ientes absolutos de Arrow-Pratt?

Deni ión 20. (Tipos de disponibilidad al riesgo) Se di e que un individuo es averso (amante ) al riesgo si el oe iente relativo de Arrow-Pratt aso iado a su fun ión de utilidad es positivo (negativo). Si el

oe iente relativo de Arrow-Pratt es ero, se di e que el individuo es neutral al riesgo.

Ejemplo 58. (Un problema de ele

ión bajo riesgo) Consideremos un individuo averso al riesgo que tiene una riqueza ini ial w y una fun ión de utilidad u( x ) = ln x. El individuo debe de idir si asegura o no su arro y por uánto. La probabilidad de que él tenga un a

idente e in urra en una pérdida de L pesos es π ∈ ( 0, 1 ). Una unidad de seguro uesta q pesos y paga un peso si la pérdida o urre. Por tanto, si el individuo ompra x unidades de seguro, la riqueza del individuo es w − xq si no hay a

idente, y w − xq − L + x si hay a

idente. El problema del individuo es elegir el nivel óptimo de x. El problema de maximizar es, enton es,

www.fullengineeringbook.net m´ ax π ln( w − xq − L + x ) + ( 1 − π ) ln( w − xq ) x≥0

La ondi ión de primer orden es π(1 − q) q( 1 − π ) = ∗ ∗ w−x q−L+x w − x∗ q

Supongamos que q = π (esto impli a que la ompañía de seguros obtiene bene ios esperados iguales a ero). En este aso la ondi ión de primer orden puede es ribirse omo w−

x∗ q

1 1 = ∗ −L+x w − x∗ q

Luego, x∗ = L. Esto signi a que si el pre io de una unidad de seguro es tal que los bene ios esperados de las ompañías de seguros son iguales a ero, enton es el individuo se asegura ompletamente ontra todo riesgo. Así, la riqueza del

individuo en el óptimo es onstante e igual a w − L independientemente de si o urre o no el a

idente.


434

Ejemplo 59. (Otro problema de ele

ión bajo riesgo) Consideremos un individuo que maximiza la utilidad esperada uya fun ión

u(·)

de utilidad

es ón ava y estri tamente re iente. El onsumidor quiere

evaluar un a tivo uyo rendimiento aleatorio

on media

µ

y varianza

σ2 .

R

está distribuido normalmente

Por tanto, la utilidad esperada del onsumidor es

E ( u( R ) ) =

Z

∞

u( r )f ( r ) dr

−∞

1 2 1 e− 2σ2 ( r−µ ) , −∞ < r < ∞. Observemos que la utilidad 2π σ esperada depende úni amente de µ y σ 2 . Supongamos, sin pérdida de generalidad, que u( µ ) = 0. Veamos que esta fun ión es re iente en µ y no- re iente en σ 2 .

donde

f( r ) = √

Solu ión. a)

∂E ( u( R ) ) 1 = 2 ∂µ σ

Z

∞

1 σ2

Z

∞

−∞

u( r )( r − µ ) √

1

1

2π σ 2

2

e− 2σ2 ( r−µ ) dr


−∞

u( r )( r − µ )f ( r ) dr

u( r )( r − µ ) y f ( r ) son positivos para todo r , > 0. Luego, la utilidad esperada es re iente en µ.

Como los términos ∂E( u( R ) ) ton es ∂µ

en-

1 2 ( r − µ )2 e− 2σ2 ( r−µ ) 1 √ u( r ) − 3 + dr 2σ 2σ 5 2π −∞ Z ∞ 1 = 4 u( r ) ( r − µ )2 − σ 2 f ( r ) dr 2σ −∞

b)

∂E ( u( R ) ) = ∂σ 2

Como

ada

u(·)

r.

Z

es ón ava y

u( µ ) = 0,

enton es

Esto impli a que

∂E ( u( R ) ) u′ ( µ ) ≤ ∂σ 2 2σ 4 Ya que

∞

Z

∞

−∞

∞

−∞

3

( r − µ ) f ( r ) dr − σ

3

( r − µ ) f ( r ) dr = 0

∂E ( u( R ) ) ≤ 0. ∂σ 2 no- re iente en σ 2 .

se tiene que perada es

Z

u( r ) ≤ u′ ( µ )( r − µ )

y

Z

∞ −∞

2

Z

∞

−∞

( r − µ )f ( r ) dr

( r − µ )f ( r ) dr = 0,

Por tanto, la utilidad es

para

enton es

Le

ión 4: La integral

435

Ejemplo 60. (Otro problema de ele

ión bajo riesgo) Un individuo tiene una fun ión de utilidad de la forma ini ial 4. Sea

u( w ) =

√

L la lotería que ofre e un pago de 12 on probabilidad 1

w

y riqueza

1 2 y un pago

de 0 on probabilidad 2 . Si el individuo es el dueño de la lotería, determinemos el menor pre io al ual la vendería.

Solu ión. El mínimo pre io

P

al ual el onsumidor vendería la lotería es aquél que le

permite obtener la misma utilidad que la lotería; es de ir, por

Como

u( w ) =

√

está determinado

1 1 u( 4 + P ) = u( 16 ) + u( 4 ) 2 2 w,

enton es

√ Por tanto,

P

1 1 4 + P = (4) + (2) 2 2

P = 5.

Ejemplo 61. (Otro problema más de ele

ión bajo riesgo) Consideremos que hay dos a tivos: un a tivo seguro que genera un rendimiento


de un dólar por ada dólar invertido y un a tivo in ierto que genera un rendimiento aleatorio de

z

dólares por ada dólar invertido. El rendimiento

z

se

distribuye Normalmente (es de ir, on la distribu ión normal) on media 2 y varianza 1. Si media

µ

X

es una variable aleatoria que se distribuye normalmente on

σ 2 , su fun ión de distribu ión de probabilidad Z x 1 2 1 √ F(x) = e− 2σ2 ( t−µ ) dt, −∞ < x < ∞ 2π σ −∞

y varianza

es

Observemos que el rendimiento medio del a tivo in ierto es mayor que el del a tivo seguro. El individuo tiene una riqueza ini ial de

w.

sean

α

y

β

las

antidades de riqueza invertidas en el a tivo riesgoso y en el a tivo seguro, respe tivamente. Así,

w =α+β ( α, β ) que maximi e su utilidad esperada. El portafolio ( α, β ) paga αz + β . Supongamos que el individuo tiene una fun ión de utilidad Bernoulli u( x ) = −e−rx . Por tanto, el El problema del individuo es determinar el portafolio

problema de maximizar la utilidad esperada del individuo es

m´ ax

α, β≥0

∞

1 1 2 −e−r( αz+β ) √ e− 2 ( z−2 ) dz 2π −∞

Z

sujeto a

α+β =w


436


m´ ax

0≤α≤w

Z

∞

1 1 2 −e−r( w+α( z−1 ) ) √ e− 2 ( z−2 ) dz 2π −∞

Observemos que ∞

2 1 1 −e−r( w+α( z−1 ) ) √ e− 2 ( z−2 ) dz = −e−rw erα 2π −∞

Z

∞

2 1 1 e−rαz √ e− 2 ( z−2 ) dz 2π −∞

Z

= −e−rw erα e−rα( 2− = −e−rw e−rα+

rα 2

)

r 2 α2 2

Por tanto, el problema es

m´ ax −e−rw e−rα+

r 2 α2 2

0≤α≤w La ondi ión de primer orden es

−e−rw ( −r + r 2 α∗ )e−rα+

r 2 ( α∗ )2 2

=0



Por tanto,

α∗ =

1 . r

−r + r 2 α∗ = 0

Así se obtiene un resultado sensible: mientras más averso

al riesgo sea el individuo, menor será la antidad de su riqueza invertida en el a tivo in ierto.

Ejemplo 62. (Modelo de duopolio de Cournot bajo riesgo) Consideremos de nuevo el modelo de duopolio de Cournot en el que la demanda

P ( Q ) = a−Q, donde Q = q1 +q2 es la antidad agregada. CT1 ( q1 ) = cq1 , donde c > 0. La fun ión de

ostos de la rma 2 es CT2 ( q2 ) = cH q2 on probabilidad θ y CT2 ( q2 ) = cL q2

on probabilidad 1 − θ , y cL < cH . La rma 2 ono e su fun ión de ostos y la

inversa está dada por

La fun ión de ostos de la rma 1 es

de la rma 1, mientras la rma 1 ono e su fun ión de ostos y úni amente que

cH on probabilidad θ y cL on probabilidad 1 − θ . Todo lo anterior es de ono imiento omún. ∗ ∗ Sean q2 ( cH ) y q2 ( cH ) las antidades que elige la rma 2 en fun ión de su ∗

osto, y q1 la antidad elegida por la rma 1. Como la rma 2 tiene dos niveles el osto marginal de la rma 2 es

posibles de ostos marginales, sus problemas son

m´ ax [ ( a − q1∗ − q2 ) − cH ]q2 q2

m´ ax [ ( a − q1∗ − q2 ) − cL ]q2 q2

Le

ión 4: La integral

437

Las ondi iones de primer orden para ada posible valor del osto marginal son:

q2∗ ( cH ) =

a − q1∗ − cH , 2

q2∗ ( cL ) =

a − q1∗ − cL 2

Como la rma 1 no sabe uál es el osto marginal de la rma 2, debe maximizar el siguiente pago esperado:

m´ ax θ[ a − q1 − q2∗ ( cH ) − c ]q1 + ( 1 − θ )[ a − q1 − q2∗ ( cL ) − c ]q1 q1


θ[ a − q2∗ ( cH ) − c ] + ( 1 − θ )[ a − q2∗ ( cL ) − c ] 2

q1∗ =

Resolviendo las ondi iones de primer orden de las dos rmas, se tiene que

a − 2cH + c 1 − θ + ( cH − cL ) 3 6 a − 2cL + c θ q2∗ ( cL ) = + ( cH − cL ) 3 6 a − 2c + θc + ( 1 − θ )cL H q1∗ = 3

q2∗ ( cH ) =


Observemos que si no hay in ertidumbre y los ostos de ambas rmas son

iguales,

c = cH = cL ,

enton es obtenemos

q1∗ = q1∗ =

a−c 3 . Ésta es la antidad

que eligen las rmas en el modelo de Cournot desarrollado en la le

ión 3 de este volumen.

Ejemplo 63. (Una subasta de sobre sellado bajo riesgo) Consideremos una subasta en la que un objeto será vendido a uno de dos oferentes. El oferente Si él pagara

pi

i,

para

i = 1, 2,

tiene una valora ión del bien igual a

por el bien, su utilidad sería

vi − pi .

vi .

Supongamos que estas

valora iones son informa ión privada de ada uno de los oferentes y que están distribuidas independiente y uniformemente sobre el intervalo

[ 0, 1 ].

Los ofe-

rentes envían simultáneamente sus ofertas en sobres sellados. El oferente que ofrez a el pago más alto, gana el objeto y paga lo ofre ido. En aso de empate, suponemos que ada oferente re ibe el objeto on probabilidad

1 2 . Todo lo

anterior es de ono imiento omún. De a uerdo on lo anterior, la fun ión de utilidad del oferente

i

es

  v − pi   i vi − pi ui ( p1 , p2 , v1 , v2 ) =  2   0

si

pi > pj

si

pi = pj

si

pi < pj

438


Una estrategia para el jugador i es una fun ión, que denotaremos pi (·), que aso ia a ada posible tipo del oferente i una oferta. En equilibrio, la fun ión p1 (·) es una mejor respuesta a la estrategia p2 (·) del oferente 2 y vi eversa; es de ir, un par de fun iones ( p1 (·), p2 (·) ) forman un equilibrio de esta subasta si para ada vi ∈ [ 0, 1 ], pi (vi ) resuelve el siguiente problema: m´ ax ( vi − pi ) Prob{ pi > pj ( vj ) } + pi

vi − pi Prob{ pi = pj ( vj ) } 2

Determinemos, por simpli idad, si existe algún equilibrio lineal ; es de ir, un equilibrio de la forma: p1 ( v1 ) = a1 + c1 v1 p2 ( v2 ) = a2 + c2 v2

Ya que Prob{ pi = pj ( vj ) } = 0, el problema que el oferente i resuelve es máx ( vi − pi )Prob{ pi > pj ( vj ) } ≡ m´ ax ( vi − pi )Prob{ pi > aj + cj vj } pi

pi

Observemos que Prob{ pi > aj + cj vj } = Prob{ vj <

tanto, el problema puede de nuevo es ribirse omo

pi − aj pi − aj }= . Por cj cj

www.fullengineeringbook.net m´ ax ( vi − pi ) pi

pi − aj cj

v +a

j La ondi ión de primer orden de este problema es pi ( vi ) = i . Resolvien2 do este sistema de e ua iones se tiene que ai = aj = 0 y ci = cj = 12 ; es de ir, v la fun ión óptima para ada oferente es pi ( vi ) = i . Por tanto, en equilibrio, 2

ada oferente remite una oferta igual a la mitad de su valora ión. Esta fun ión se representa en la gura 21.

pi

45o

pi (vi ) =

1

Figura 21

vi 2

vi

Le

ión 4: La integral

.

439

Toma de de isiones bajo in ertidumbre

Ya habíamos men ionado que en la toma de de isiones bajo in ertidumbre se

onsideran eventos uyas probabilidades son des ono idas a priori, o solo se toman mediante jui ios personales. Hasta 1950 no existía en e onomía ninguna formula ión general para la in ertidumbre ( omo sí existía para el análisis del riesgo desde 1944 on la hipótesis de la utilidad esperada de von Neumann y Morgenstern). Fue Arrow, en 1953, en su artí ulo The Role of Se urities in the Optimal Allo ation of Risk-Bearing, quien primero permitió trasladar resultados de una e onomía on ertidumbre a una on in ertidumbre. La idea fue tomada, extendida y enrique ida por Debreu en su artí ulo E onomi s under Un ertainty de (1953, 1960), y desde allí se ha extendido a todo el análisis e onómi o estándar. Ejemplo 64. (Una e onomía walrasiana bajo in ertidumbre)

Este es el aso de una e onomía walrasiana (volumen 1: Álgebra lineal) uya a tividad se extiende sobre T intervalos de tiempo, y en la que la in ertidumbre durante estos periodos se origina en la ele

ión que la Naturaleza ha e entre ierto número nito de alternativas. Aquí, a estas alternativas se les a ostumbra a llamar eventos ; un evento en el periodo t se indi a por et , donde t = 1, 2, ..., T , y omprende ondi iones atmosféri as, desastres naturales, posibilidades té ni as, et , que podrían o urrir en el tiempo t.


Al omienzo de la fe ha t, los agentes de la e onomía tienen informa ión a er a del evento (o eventos) que podría observarse; luego, al omienzo del periodo t + 1 se obtiene informa ión, en parti ular, de lo que haya su edido en el periodo t. Así, los eventos en t = 1, 2, ..., T se pueden representar mediante los vérti es de un árbol on el vérti e en 0 orrespondiendo a la ausen ia total de informa ión que prevale e ini ialmente. Bajo este esquema: i) Se dene una mer an ía por sus ara terísti as físi as, su ubi a ión, y su evento (o vérti e del árbol que dene implí itamente la fe ha de la mer an ía). Así, los ontratos se estable en de forma que un agente se

ompromete a enviar a un segundo agente (quien a epta el envío) iertas mer an ías de ierto tipo, en el tiempo t, si el evento es, digamos, et . Si et no se obtiene, el envío no se lleva a abo. ii) Se dene el pre io ph de una mer an ía h omo un número (no ne esariamente positivo) que es la antidad a pagar, por parte del segundo agente, por el envío de la mer an ía espe i ada en i) arriba.


440

l3 b

b

l2

b

b

b

b

b

b

l1

b

e3

e2 b

b

b

b

b

b

e1 b

b

b

b

b

b

b

k3

k2 b

b

k1

b

l0 Figura 22

yj

iii) Se dene la produ

ión produ

ión del

j -esimo

iv) Se dene el onsumo

onsumo del

i-esimo

de un

produ tor j

así:

yj (et )

es el ve tor de

produ tor si el evento, en el tiempo

xi

de un onsumidor

i

así:

xi (et )

t,

es

et .

es el ve tor de

onsumidor si el evento, en el tiempo

t,

es

et .

Como veremos, esta estru tura está en el orazón de los modelos de e onomías

ompetitivas on in ertidumbre, y sobre ellas regresaremos posteriormente (vo-


lumen 3: Optimiza ión y dinámi a).

d.

Algo más sobre la ríti a a la toma de de isiones maximizando la utilidad esperada

Ya en otras le

iones hemos señalado que la mayoría de los e onomistas, típi amente, asumen que el omportamiento de mer ado (y otros omportamientos e onómi os) están motivados por la ra ionalidad. En este ontexto, ra ionalidad signi a que aquéllos que toman de isiones utilizan la informa ión disponible en una forma lógi a y sistemáti a, de tal manera que se hagan ele

iones óptimas dadas las alternativas a la mano y el objetivo por al anzar, y esto impli a que las de isiones se toman mirando ha ia el futuro y tomando en uenta futuras onse uen ias de de isiones a tuales. Sin embargo, la eviden ia disponible señala que la toma de de isiones bajo riesgo se aparta sistemáti amente de la teoría e onómi a tradi ional. En parti ular, mu has de isiones bajo riesgo divergen de la predi

iones de la teoría de la utilidad esperada. Quizás el primero en mostrar diferen ias on la teoría de la utilidad esperada de von Neumann-Morgenstern-Savage fue el premio Nobel en e onomía de 1988 Mau-

11 , quien mostró la ahora ono ida paradoja de Allais. Por

ri e Allais (1953)

ejemplo, mu hos individuos preeren una ganan ia segura de 3,000 dólares a 11

Allais, Mauri e (1953), Le Comportement de lHomme Rationel Devant le Risque: Critique des Postulats et Axioms de l'É ole Ameri aine, E onometri a, vol. 21.

Le

ión 4: La integral

441

una lotería que les da 4,000 dólares on 80 % de probabilidad y 0 dólares on 100 20 80 20 % de probabilidad (observemos que 3,000 × 100 < 100 × 4,000 + 100 ×0 = 3,200). Sin embargo, algunos de estos mismos individuos preeren ganar 4,000 dólares on probabilidad 20 % a ganar 3,000 on 25 % de probabilidad (obser20 25 vemos que 800 = 100 × 4,000 > 100 × 3,000 = 750), aunque allí lo úni o que se llevó a abo fue un ambio de es ala en las probabilidades (se bajaron ambas a su uarta parte: de 80 % a 20 % y de 100 % a 25 %). Estos omportamientos, obviamente, ontradi en la hipótesis de la teoría de la utilidad esperada. El premio Nobel en e onomía de 2002, Daniel Kahneman, también ha mostrado extensa eviden ia que se aparta de las predi

iones de la teoría de la utilidad esperada (Kahneman y Tversky (1979)12 , Tversky y Kahneman (1991, 1992)13 , 14 , Kahneman y Lovallo (1993)15 ). Uno de los más notables hallazgos es que la gente, a menudo, es mu ho más sensible a la forma en que un resultado diere del statu quo, que al resultado mismo medido en términos absolutos. Así, se

on entran más en la diferen ia que en el nivel mismo. Kahneman arma que esto bien puede estar rela ionado on ono idas leyes ognitivas estudiadas por la psi ología que arman que los humanos somos más sensibles a ambios que a niveles (por ejemplo, la temperatura o la luz). Kahneman y Tversky van más allá de la ríti a y sugieren un modelo alternativo en su artí ulo seminal Prospe t Theory: An Analysis of De isions under Risk. Mientras la teoría de la utilidad esperada es axiomáti a, la teoría prospe tiva (prospe t theory) es des riptiva. Esta última se desarrolla de una manera indu tiva a partir de observa iones empíri as, y no de manera dedu tiva a partir de un

onjunto de axiomas relativamente plausibles omo lo ha e la teoría de la utilidad esperada. Más tarde, Tversky y Kahneman (1986)16 muestran que, de he ho, se requieren las dos teorías: la teoría de la utilidad esperada para

ara terizar el omportamiento ra ional y la teoría prospe tiva para des ribir el omportamiento real. Y aunque la teoría de la utilidad esperada sí es una representa ión exa ta de ele

iones reales en problemas de de isión simples, la mayor parte de los problemas de de isión de la vida real son omplejos y ne esitan de modelos de omportamiento más ri os.


12

Kahneman, D. y A. Tversky (1979), Prospe t Theory: Analysis of De ision under

Risk. E onometri a, vol. 47. 13 Tversky, A. y D. Kahneman (1991), Loss Aversion in Riskless Choi e: A Referen e14

Dependent Model. Quarterly Journal of E onomi s, vol. 106. Tversky, A. y D. Kahneman (1992), Advan es in Prospe t Theory: Cumulative Re-

15

presentation under Un ertainty. Journal of Risk and Un ertainty, vol. 5. Kahneman, D. y D. Lovallo (1993), imid Choi es and Bold Fore asts: A Cognitive

16

Perspe tive on Risk Taking. TManagement S ien e, vol. 39. Tversky, A. y D. Kahneman (1986), Rational Choi e and Framing of De isions. Journal of Business, vol. 59.

442


Ejer i ios omplementarios 1) Cal ule las siguientes antiderivadas: a)

Z

)

Z

e)

Z

g)

Z

2 cot x − 3 sen2 x dx sen x

b)

ex √ dx 1 − e2 x

Z

d)

Z

f)

Z

dx x (ln2 x)

h)

Z

(x2 + 1)3 dx

dx dx x ln x

x se (x ) dx 2

2

tan2 x + cot2 x + x2 dx x5

p 4

7 x6 + 1 dx

2) La pendiente de la re ta tangente en ualquier punto ( x, y ) de una urva es 4 x − 3 y el punto ( 1, −1 ) está sobre la urva. Determine la e ua ión de esta urva. 3) Se lanza una piedra verti almente ha ia arriba desde el suelo on una velo idad ini ial de 19.6 m/seg. a) b)

) d)

¾Durante uánto tiempo subirá la piedra? ¾Qué tan alto llegará la piedra? ¾Cuánto tardará la piedra en llegar al suelo? ¾Con qué velo idad se golpeará la piedra ontra el suelo?

www.fullengineeringbook.net Demuestre que la rapidez del movimiento es el mismo, a la misma altura, as endiendo y des endiendo. 4) Se dispara un proye til verti almente ha ia arriba on una velo idad ini ial de 200 m/seg desde un punto situado a 25 metros del suelo. a) Si s metros es la altura del proye til desde el suelo a los t segundos después de ser disparado, exprese s en términos de t. b) ¾Qué altura desde el suelo al anzará el proye til 3 segundos después de ser disparado?

) ¾Cuánto tardará el proye til en al anzar una altura de 600 metros? 5) (Spivak (1978)) Un perro, que ini ialmente se en ontraba en el punto ( 1,0 ), ve a su amo en el punto ( 0,0 ). El amo amina a lo largo del eje Y on velo idad onstante. El perro orre dire tamente ha ia él en todo momento on el doble de la velo idad on que se desplaza el amo. La e ua ión diferen ial que p satisfa e la fun ión y que des ribe la traye toria ′′ del perro es 2xy = 1 + ( y ′ )2 . Resuelva la e ua ión deniendo p = y ′ .

Le

ión 4: La integral

443

6) Resuelva las siguientes e ua iones diferen iales on las ondi iones ini iales dadas:

a)

b)

)

d)

e)

f)

g)

dy = e−x−y−1 ; y = −2 uando x = 0 dx dy xy = x2 + x; y = 1 uando x = 1 dx dy + 2 = yx + y − 2x; y = 3 uando x = 2 dx dy 1 xy = ( y 2 + x2 ); y = 0 uando x = 1 dx 2 dy xey = ; y = 0 uando x = 1 dx 2x − 1 dy x = x + y ; y = −7.4 uando x = 1 dx √ dy 3y 2 (1 + x2 ) + x(2 + y 3 ) = 0; y = −1 uando x = e − 1 dx

7) Cal ule las siguientes sumas:

3 X

n X


)

k=−2 n X k=1

*8)

k k+3

b)

1 1 − k k+2

10i+1 − 10i

i=1 " n X

d)

1 2

k=1

k

1 2

k+2 #

a) El teorema de Leibniz sobre series de números arma que: Si

{ an }

es una su esión monótona de re iente de números positivos que onverge a ero, enton es la serie alterna

P∞

n+1 a onverge. n n=1 (−1)

Pruebe este teorema, y de ida uáles de las siguientes series onvergen:

i)

∞ X ( −1 )n+1

n=1 iii)

∞ X

n

( −1 )n+1 ln n n n=1

ii)

∞ X

( −1 )n+1

n=1 iv)

∞ X

( −1 )n+1 (

n=1

1+n ) 7+n

Además, uando usted garanti e que la serie sí es onvergente, utili e su al uladora de bolsillo para estimar, on

n = 10,

el límite.

444

Matemáti as bási as para e onomistas 2: Cál ulo ∞ P

b) Una serie ∞ P

n=1

n=1

an se di e absolutamente onvergente si, y sólo si

|an | onverge. Se puede mostrar que si una serie es absoluta-

mente onvergente enton es es onvergente (le

ión 4, volumen 3: Optimiza ión y dinámi a). Muestre un ejemplo de una serie que sea

onvergente pero que no sea absolutamente onvergente [Indi a ión: Considere la serie i) de la parte a) de este ejer i io℄. 9) Re ordando las series de Taylor (le

ión 3) para sen x, cos x, ex , ln(1 + x) y arctan x, al ule los límites exa tos de las siguientes series: a) 1 −

1 1 1 1 + − + − ... 3! 5! 7! 9!

b) 1 −

1 1 1 1 + − + − ... 2! 4! 6! 8!

) 1 +

2 2 2 2 + + + + ... 2! 3! 4! 5!

d) 1 −

1 1 1 1 + − + − ... 3 5 7 9

10) Determine la onvergen ia o divergen ia de las siguientes series: ∞ X

1 ( n + 1 )( n + 3 ) n=1

∞ X

1 ln( n + 1 ) n=1


)

∞ X

1 n( ln n )0,9

n=2

e)

∞ X sen2 n

d)

∞ X sen2 n n2

n=1

f)

2n

n=1

b)

∞ X

n=1

√

n4

1 + n3 + 2

11) Cal ule las siguientes integrales denidas e identique el área de la región plana que se está midiendo: a)

) e) g)

2

Z

b)

x dx

1

Z

π

2

3 cos x dx

0

Z

2

−1 Z 3 1

d)

| x | dx

f)

[[x]] dx

h)

Z

3

x2 dx

0

Z

Z

π/2

sen x dx

0 2

−3 Z 2 1

| x − 1 | dx [[x]] dx x

445

Le

ión 4: La integral

12) Pruebe que a)

)

Z

1

0

Z

0

1

x2 dx 9√ 64 √ = 6− 5 15 4 + 2x 2 x +1 π dx = √ x4 + x2 + 1 2 3

b)

Z

1

0

x2

dx 2π = √ −x+1 3 3

13) Utilizando la desigualdad ( otas para la integral) m(b − a) ≤

Z

b

f (x) dx ≤ M (b − a)

a

desarrollada en esta le

ión, pruebe que 0≤

Z

0

1

x(1 − x)2 dx ≤

4 27

y después onrmarlo on el ál ulo explí ito de la integral. 14) Pruebe que el valor medio de la fun ión f (x) = x sen x en el intervalo [0, π] es igual a 1. 15) Dibuje la región limitada por las urvas dadas y al ule su área:

www.fullengineeringbook.net a) y = 0, x = 1, x = 4, y = x3 b) y = x2 , y = x

) x = 0, y =

2 x, y = sen x π

16) Cal ule el área del dominio limitado por y 2 = 2x y la uerda que une los puntos ( 2, −2 ) y ( 8, 4 ) (gura 24). y y=

√

(8,4)

2x

b

x b

(2,-2)

Figura 24


446

17) Cal ule el área debajo de la urva

f( x ) =

18)

(

f( x )

x2 + 2x − 2 x

(La regla de Leibniz) Sea f ( x, t ) una

x=0

entre

y

x=2

si

0≤x≤1 x≥1

si si

fun ión ontinua y en un abierto

[a, b] × [t0 , t2 ], u( t ) y v( t ) fun iones diferen iables de t uyos valores están en [ a, b ]. Si f (·) es diferen iable on

ontinuidad en [ a, b ] on respe to a t, enton es del plano que ontiene a

Z d v( t ) f ( x, t ) dx = dt u( t ) "Z # h i v( t ) ∂f ( x, t )dx + f ( v( t ), t )v ′ ( t ) − f ( u( t ), t )u′ ( t ) u( t ) ∂t

Demostra ión

a) Probemos ini ialmente que

d dt

Z

b

b

Z

∂f (x, t)dx ∂t

www.fullengineeringbook.net f (x, t)dx =

a

a

Haremos una presenta ión esquemáti a, y el ejer i io del le tor será el llenar los detalles de la prueba. Sea

g(t) =

Z

b

a

Enton es

Z

t

g(t)dt =

t1

Z Z t1

=

Z

a

b

∂f (x, t)dx ∂t

∂f (x, t)dxdt = ∂t

para

Z

b a

t

Z

b

t1

b

a

Z

[f (x, t) − f (x, t1 )]dx =

a

t ∈ [t1 , t2 ]

∂f dtdx ∂t f (x, t)dx −

= F (t) − F (t1 ) donde

F (t) =

Z

b

f (x, t)dx

a

Si derivamos a ambos lados de la igualdad

F (t) − F (t1 ) =

Z

t

t1

g(t)dt

Z

a

b

f (x, t1 )dx

447

Le

ión 4: La integral

se obtiene que F ′ (t) = g(t) =

Z

b a

∂f (x, t)dx ∂t

b) También aquí se le pide al le tor llenar los detalles de la prueba. Sea F (t) =

v(t)

Z

u(t)

f (x, t)dx ≡ G(u(t), v(t), t);

enton es ∂G du ∂G dv ∂G dF = + + dt ∂u dt ∂v dt ∂t

y ∂G = ∂t

Z

v(t) u(t)

∂f (x, t)dx ∂t

∂ ∂G = ∂u ∂u

Z

v(t)

∂G ∂ = ∂v ∂v

Z

v(t)

(por la parte a));

f (x, t)dx = −f (u(t), t);

www.fullengineeringbook.net u(t)

f (x, t)dx = f (v(t), t)

u(t)

Utili e la regla de Leibniz para al ular las siguientes integrales: i) iii)

d dt

Z

d dt

t 1 t

Z

t

t dx x 2t

2

sen x dx

t2

ii)

d dt

Z

iv)

d dt

Z

t

t( x3 − 5x2 + x ) dx

3

e3x dx

cos t

*19) Pruebe que una fun ión a otada on un número nito de dis ontinuidades en un intervalo errado, es integrable en ese intervalo [Indi a ión: Asuma, ini ialmente, que la fun ión sólo tiene un punto de dis ontinuidad, tome una parti ión del intervalo, y pruebe que la orrespondiente suma de Riemann onverge, sólo onsiderando aquellos subintervalos que ontienen al punto de dis ontinuidad y tomando el límite uando la norma de la parti ión tiende a ero℄. ¾Qué su ede si el número de dis ontinuidades es innito? (ejer i io 7 de la se

ión Ejer i ios 8)

448


20) Cal ule las siguientes integrales dobles: a)

Z

1Z 1

e

)

Z

1Z x

dy dx

e)

Z

1 Z 1−x

0

0

1 2

x+y

dx dy

0

0

2

xy dy dx

0

b)

Z

d)

Z

f)

Z

0

1Z 1 1 2

Z

0

0

cos ( x + y ) dx dy

0

1−y

24 xy dx dy 0

1 Z 1+x

x2 e−x−y dy dx

1−x

21) Cal ule el volumen de una esfera de radio a > 0, evaluando primero la integral ZZ p a2 − x2 − y 2 dx dy

D

en el dominio D denido por las desigualdades: 0 ≤ x ≤ a y 0 ≤ y ≤ √ a2 − x2 . [Indi a ión: Utili e oordenadas polares℄ 22) En ontrar el volumen de las siguientes regiones en el plano:

www.fullengineeringbook.net a) La región debajo del plano Z = 5x − y + 8 y arriba del re tángulo

on vérti e (0, 0),(2, 0),(2, 6),(0, 6) en el plano X Y .

b) El tetraedro del primer o tante ortado por el plano 4x+2y+3z = 1. 23) Cal ule, si existen, las siguientes integrales impropias: ∞

a)

Z

)

Z

∞

e)

Z

∞

arctan x dx 1 + x2

g)

Z

0

dx x

i)

Z

k)

Z

−x

e

sen x dx

0

1 dx 2 x +1

0

0

−∞ ∞

2 x

2x e dx

−∞ 1 0

dx x − sen x

∞

b)

Z

d)

Z

f)

Z

h)

Z

j)

Z

∞

l)

Z

1

e−βx ln x dx,

0 ∞

e−3x cos 2x dx

0 1

0

dx √ x

1

x2 ln x dx

0

1

0

dx +1

x3

dx x0.99

β>0

449

Le

ión 4: La integral

24) Pruebe que

∞

Z

2

e−x dx existe utilizando el riterio de ompara ión. [In0 Z ∞ Z 1 Z ∞ 2 −x2 −x2 e dx = e dx + e−x dx enton es di a ión: Puesto que 0

0

1

basta onven erse de que si x > 1 se tendrá que e−x ≤ e−x . Y después sólo resta apli ar el riterio de ompara ión ade uadamente℄.17 2

25) Es riba formalmente el signi ado de expresiones tales omo: a)

Z

)

Z

a −∞ ∞

−∞

Z Z

b

f (x, y) dx dy −∞ ∞

b)

Z

a

∞Z ∞

f ( x, y ) dx dy

b

f ( x, y ) dx dy

−∞

**26) Generali e los resultados de esta le

ión para n ≥ 3 variables y, si es posible, para fun iones de la forma f : Rn −→ Rm . *27) Pruebe que el onjunto de fun iones integrables sobre un intervalo [ a, b ] forma un espa io ve torial. ¾Es este espa io nito-dimensional? 28) Pruebe que el onjunto de su esiones reales es un espa io ve torial innitodimensional.


29) Pruebe que el onjunto de su esiones { { an } / a2n sea onvergente } es un subespa io del espa io ve torial del ejer i io anterior. P

**30)

a)(Demostra ión de a) ) Sea ǫ > 0, y llamemos A al onjunto de todos los u ∈ [a, b], para los uales existe un δ tal que para todo x, t ∈ [a, u] si |x − t| < δ enton es |f (x) − f (t)| < ǫ. Vamos enton es a probar que:(i)A 6= φ; (ii)SupA ∈ A; y SupA = b, de lo ual se inere que f (·) es uniformemente ontinua. En efe to:

(Demostra ión del teorema 16)

(i) Como f (·) es ontinua en a, enton es, para 2ǫ , existe un δ0 > 0 tal que para ada x ∈ [a, b] si |x − a| < δ0 enton es |f (x) − f (a)| < 2ǫ . Tomemos ahora δ = δ20 , y sean x y t en [a, a + δ]. Enton es tendremos |x − t| < δ, y además |f (x) − f (t)| ≤ |f (x) − f (a)| + |f (a) − f (t)|≤ 2ǫ + 2ǫ = ǫ. Luego A + δ ∈ A, y así A 6= φ. A á asumiremos que a + δ < b, pues en otro

aso el teorema estaría ya garantizado. ii) Como A = 6 φ, y está a otado superiormente por b, enton es existe α = SupA on α ∈ [a, b]. Además, puesto que f (·) es ontinua en α, para 2ǫ existe δ1 tal que para todo x ∈ [a, b] on |x − α| < δ1 , se tiene 17

De he ho,

R∞ 0

2

e−x dx =

sado puede onsultar

√

π/2

pero esto no lo demostraremos aquí. El le tor intere-

Spivak, Mi hael (1968), Cal ulus, Editorial Reverté S.A.

450


que |f (x) − f (α)| < 2ǫ . Por lo tanto, para ada x, t ∈ (α − δ1 , α + δ1 ) se umple que |f (x) − f (t)| < ǫ. Y omo α − δ1 < α = SupA, existe u1 ∈ A tal que α − δ1 < u1 ≤ α. Además, omo u1 ∈ A, enton es existe un δ2 > 0 tal que para todo x, t ∈ [a, u1 ], si |x − t| < δ2 , enton es se

umple que |f (x) − f (t)| < ǫ. Tomando δ igual al mínimo entre δ1 y δ2 , enton es se tiene que para ada x, t ∈ [a, b] on |x − t| < δ, se tiene que |f (x) − f (t)| < ǫ. Así que α ∈ A. iii) Ya se tiene que α ≤ b. Si fuese α < b, enton es, razonando omo lo hi imos anteriormente, existe δ1 tal que para ada x ∈ [a, b], si |x−α| < δ1 enton es se umple que |f (x) − f (α)| < 2ǫ (debido a la ontinuidad de f (·) en α), y, por tanto, para ada x, t ∈ (α − δ1 , α + δ1 ) se tiene que |f (x)−f (t)| < ǫ. Además, δ1 se puede tomar de tal manera que α+δ1 < b. Y puesto α+δ1 < α = SupA, enton es existe u1 ∈ A on α−δ1 < u1 ≤ α, y, en onse uen ia, existe δ3 tal que para todo x, t ∈ [a, u1 ], si |x − t| < δ3 enton es |f (x) − f (t)| < ǫ. Tomando δ igual al mínimo entre δ1 y δ3 , tendremos que si x, t ∈ [a, α+ 2δ ] on |x−t| < δ enton es |f (x)−f (t)| < ǫ. Luego α + 2δ ∈ A on α = SupA < α + 2δ , lo que laramente es una

ontradi

ión. Así que debe ser α = b. Y on esto termina la prueba de la primera parte a).

b)(Demostra ión de b)) Probemos, ahora sí, que si f : [a, b] → R es

ontinua enton es es integrable. Para ello, sean P = {x0 , x1 , ..., xn } y Q = {x0 , x1 , ..., xn } parti iones de [a, b], y llamemos R = P ∪Q. Enton es R es también parti ión de [a, b], más na que P y que Q. Supongamos que R = {u0 , u1 , ..., ur } y sea αi ∈ [ui−1 , ui ] para i = 1, 2, ...r . Como R es más na que P , enton es para ada i existe un j ∈ {1, 2, ...n} tal que [ui−1 , ui ] ⊆ [xj−1 , xj ], y enton es se tiene que minx∈[xj−1 ,xj ] f (x) ≤ minx∈[ui−1,ui ] f (x) ≤ f (αi ) (esto porque f (·) es ontinua y por tanto tiene máximo y mínimo en ada subintervalo errado (teorema de valores extremos de Weierstrass), y además porque si A ⊆ B y A y B tienen mínimo, enton es minB ≤ minA).


Ahora: omo R es más na que Q, para ada i existe k ∈ 1, 2, ..., m tal que [ui−1 , ui ] ⊆ [tk−1 , tk ]. Enton es se umple que f (αi ) ≤ maxx∈[uj−1 ,uj ] f (x) ≤ maxx∈[ti−1 ,ti ] f (x) (esto porque si A ⊆ B y A y B tienen máximo, enton es maxA ≤ maxB ). En denitiva, se tiene que minx∈[xj−1,xj ] f (x) ≤ f (αi ) ≤ f (αi ) ≤ maxt∈[uk−1 ,tk ] f (x), para ada i ∈ {1, 2, ..., r}, j ∈ {1, 2, ...n}, k ∈ {1, 2, ...m}. De aquí se dedu e que n X j=1

minx∈[xj−1 ,xj ] f (x)∆j x, ≤

r X i=1

f (αi )∆i u ≤

m X

maxx∈[tk−1 ,kj ] f (x)∆k t

k=1

donde ∆j x = xj − xj−1, ∆i u = ui − ui−1 , y ∆k t = tk − tk−1.

Le

ión 4: La integral

451

Ahora bien: puesto que para ualquier dos parti iones

P

y

Q

de

[a, b]

se

ha demostrado que n X j=1

minx∈[xj−1 ,xj ] f (x)∆j x ≤

m X


k=1

enton es, por el axioma de ompletez de los números reales (volumen 0:Fundamentos), existe un numero n X j=1

L

tal que

minx∈[xj−1,xj ] f (x)∆j x ≤ L ≤

m X


k=1

Rb L = a f (x)dx. Sea pues ǫ > 0; por la parte b) arriba, podemos tomar δ > 0 tal que para ada x, t ∈ [a, b], ǫ si |x−t| < δ enton es se umple que |f (x)−f (t)| < b−a . En parti ular, para toda P = {x0 , x1 , ..., xn } parti ión de [a, b] on kP k < δ se umple que ǫ maxx∈[xi−1,xi ] f (x) − minx∈[xi−1 ,xi ] f (x) < b−a . Sea ahora αi ∈ [xi−1 , xi ] para i = i, 2, ..., n. Enton es Finalmente, demostremos que, de he ho,

n X

minx∈[xi−1,xi ] f (x)∆i x ≤

n X

f (αi )∆i x ≤

n X

maxx∈[xi−1 ,xi ] f (x)∆i x

www.fullengineeringbook.net i

i

i

Y omo también se tiene que n X i

minx∈[xi−1 ,xi ] f (x)∆i x ≤ L ≤

n X

maxx∈[xi−1 ,xi ] f (x)∆i x

i

enton es

n n n P P P f (αi )∆i x − L ≤ maxx∈[x ,x ] f (x)∆i x− minx∈[x ,x ] f (x)∆i x i−1 i i−1 i i i i n n P P ǫ = [maxx∈[xi−1,xi ] f (x)∆i x − minx∈[xi−1,xi ] f (x)]∆i x < b−a ∆i x i

=

ǫ b−a

n P i

i

[xi − xi−1 ] =

ǫ b−a [b

− a] = ǫ.

L en R tal que para todo ǫ > 0 existe δ > 0 tal que para ualquier P = {x0 , x1 , ..., xn } parti ión de [a, b], Pn si kP k < δ y αi ∈ [xi−1 , xi ] para i = 1, 2, ..., n, enton es | i f (αi )∆i x − Rb L| < ǫ; es de ir, L = a f (x)dx. Luego se ha demostrado que que existe un

*31) Asumiendo el resultado del ejer i io 30 anterior, pruebe el teorema 28

Toda fun ión ontinua es integrable ).

(


452

*32) Demostra ión del teorema 29 (Integral

doble omo reitera ión.)

Aquí presentaremos sólo un bosquejo de la prueba. El ejer i io onsiste en que el le tor aventajado llene los detalles que faltan para ompletar la prueba.

RR f (ξi , ηj )∆iP x∆P jy ≃ R f (x, y)dxdy . Y del otro lado, se tiene que ≃ i [ j f (ξi , ηj )∆j y]∆i x Rb Rd P Rd [ f (ξi , y)dy]∆i x ≃ a [ c f (x, y)dy]dx. Luego, en el límite, R Ri c Rb Rd R f (x, y)dxdy = a [ c f (x, y)dy]dx. RR Rd Rb Análogamente, R f (x, y)dxdy = c [ a f (x, y)dx]dy .

De un lado se tiene que

P

i,j

*33) Asumiendo el resultado del ejer i io 32 anterior pruebe el teorema 30.

34) Una ompañía de afé estima su ingreso bruto por ventas mediante la

dS 56 = t (t2 − 1)2/5 , donde S millones de dólares es el ingreso dt 5 de las ventas t años a partir de este momento. Si el ingreso bruto

fórmula bruto

de las ventas del año próximo es de 12 millones de pesos, pruebe que el ingreso bruto de las ventas esperado para dentro de 2 años a partir de ahora es de 30.62 millones.

www.fullengineeringbook.net 35) Si

I( t )

es la antidad de ierta mer an ía que una empresa tiene dispo-

nible para la venta en el tiempo t, a

I( t )

se la llama

fun ión inventario

de la empresa. Por tanto,

m( T ) = es una medida del

1 T

Z

T

I( t ) dt 0

inventario promedio

a) Si, para ierta empresa,

en un período de tiempo

I( t ) = 5,000 − 90t, 0 ≤ t ≤ 30.

T.

¾Cuál es

su inventario promedio mensual? b) ¾Y uál si

√ I( t ) = 600 − 12 5t?

= xα , donde 0 < α < 1. El individuo quiere evaluar una lotería uyo resultado aleatorio X está distribuido uniformemente sobre ( 4, 8 ). Cal ule la utilidad esperada

* 36) Considere un individuo uya fun ión de utilidad es u( x )

de esta lotería. * 37) [Ex edente

del onsumidor ℄

Suponga que la fun ión inversa de demanda

P = f ( q ), donde P es la variable pre io, q es la f ′ (·) > 0. El onsumidor paga un pre io uniforme por ada unidad omprada: si ella ompra q unidades de produ to, de un onsumidor es

variable antidad, y además

Le

ión 4: La integral paga en total de

f( q )

453

qf ( q ). Sin embargo, ella puede estar dispuesta a pagar más q ( omo lo indi a

por ada una de las unidades pre edentes a

la fun ión de demanda). La diferen ia entre esta antidad y la antidad que en realidad paga la onsumidora se llama ex edente de onsumidor ( onsumer surplus ). Más pre isamente, el ex edente del onsumidor está denido omo

Z

q

P ( t ) dt

0

Cal ule enton es el ex edente del onsumidor si las fun iones de demanda son a)

P ( q ) = 20 − 2q

)

P ( q ) = ( 16 − q ) 2

P ( q ) = 32 − 2q 2 3 d) P(q ) = q b)

1

Dibuje en ada aso e interprete e onómi amente sus resultados. El on epto de ex edente del onsumidor ha sido ontroversial desde su introdu

ión por Jules Dupuit en 1844. E onomistas omo Marshall

18 , Hotelling (1969) y Hi ks (1941, 1946)19 , 20 lo utilizaron, pero 21 fue muy ríti o del on epto omo una medida aSamuelson (1947)

(1920)

eptable del ambio en el bienestar. El punto fundamental aquí es que


para que fuera una buena medida del ambio en bienestar basado en

integrar una fun ión de demanda, debería ser traye toria-independiente ;

es de ir, no debería depender del intervalo de integra ión. ¾Podría el le tor de ir por qué? 38) Suponga que un onsumidor evalúa su onsumo de mer an ías en el tiem-

ct u(ct ).

po t mediante una variable agregada sumo le produ e la satisfa

ión

para

t = 1, 2, ...;

y que este on-

a) ¾Qué signi ado e onómi o podría tener una expresión tal omo

∞ X

β t u(ct )

i=1

donde

β

β

es un parámetro que satisfa e

0 < β < 1? ¾Qué signi aría u(·), onverge esta

en este ontexto? ¾Bajo qué ondi iones sobre

serie innita? 18 19 20 21

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b) ¾Podría usted extender esto al aso ontinuo y expli ar el signi ado e onómi o de una expresión tal omo Z

∞

e−β t u(c(t))dt ?

0

¾Bajo qué ondi iones onverge esta integral impropia? *39) Reexione sobre la siguiente arma ión:

Puesto que el entro de grave-

dad de una pla a plana, según la deni ión presentada en esta le

ión, es un punto sobre el ual podría on entrarse toda su masa para efe tos del análisis me áni o (físi o), así también en ien ias so iales y e onómi as una masa de agentes heterogéneos podría representarse onvenientemente, para efe tos del análisis so ioe onómi o, omo si existiese en algún lugar un agente representativo sobre el ual pudiera ha erse, simpli ada pero de forma ilustrativa, todo estudio .


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Respuestas Le

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1.a) La su esión {1 +

1 n

+

(−1)n n2 }

es, espe í amente, la su esión

www.fullengineeringbook.net 7 11 21 29 41 { , , , , , ...} 4 9 16 25 36

que es una su esión de números que van ha iéndose ada vez más er anos a 1, lo que permite pensar que 1 es el límite de la su esión. Sin embargo 11 21 21 29 no es monótona, pues 74 > 11 9 pero 9 < 16 ; y, nuevamente, 16 > 25 . Así, aunque de manera os ilante, se van aproximando a 1. 2.a) De |an − 1| < 0,01 obtenemos n − 1 1 n + 1 − 1 < 100 ∴

2 1 < ∴ 200 < n + 1 ∴ 199 < n n+1 100

Tómese N = 200 para que se umpla lo pedido. 2 2.b) De |an − 1| < 0,001 obtenemos n+1 < este aso se debe tomar N = 2, 000.

1 1,000

y por tanto n > 1, 999. En

n 3.a) Debemos demostrar que an < an+1 , o sea que n−1 n+1 < n+2 . Pero esto 2 último es ierto ya que (n − 1)(n + 2) = n + n − 2 < n(n + 1) = n2 + n n+1−2 2 pues −2 < 0. Además n−1 n+1 = n+1 = 1 − n+1 < 1 para todo n ∈ N, lo ual impli a que {an } es a otada superiormente. Con lo anterior, la su esión es onvergente. Ahora probamos que, efe tivamente, el límite es

477

478

Matemáti as bási as para e onomistas II: Cál ulo

1:

Sea

ǫ>0

un número ualquiera; enton es mostremos espe í amente

N

un número natural

n ≥ N , enton es n − 1 <ǫ − 1 n + 1

tal que si

2 n+1

< ǫ, y (despejando la n) esto es equivalente a que n > − 1. Basta enton es tomar N = [[ 1ǫ − 1]] + 1 (al más grande 1 entero ontenido en ǫ − 1 le sumamos 1), on lo que demostramos que el límite de la su esión sí es 1. De aquí llegamos a que

1 ǫ

Ejer i ios 2. 1.a)

n2 +1 2 n→∞ n −1

1.b)

l´ım n+1 n→∞ 3n

1. )

1 l´ım n→∞ n(n+1)

1.e)

n2 +1 3 n→∞ n

n2 +1 n2 n2 −1 n2

= l´ım

l´ım

n→∞

1 (1 n→∞ 3

= l´ım

l´ım

= l´ım

n→∞

1 n2 1− 12 n

1+

=1

+ n1 ) = 13 (1 + 0) =

1 l´ım ( 1 ) n→∞ n n→∞ n+1

= l´ım

= l´ım ( n1 + n→∞

1 ) n3

1 3

=0·0=0

=0

www.fullengineeringbook.net 1.f )

n2 − 5 = n→∞ n(4n + 6)

= l´ım 2.

1 n 4 n

5 n3 + n62 1 − n52 l´ım n→∞ 4 + 6 n

n−1 − 5n−3 = l´ım l´ım n→∞ n→∞ 4n−1 + 6n−2

=

n2 −5 3 l´ım n n→∞ 4n+6 n2

=

1 4

−

(Demostra ión del teorema del sándwi h) Supongamos que l´ım an = n→∞

L

y

l´ım bn = L

n→∞

para todo

n ≥ N1

y sea

ǫ > 0.

y existe

N2

Enton es existe tal que

N1

|bn − L| < ǫ

tal que

para todo

Por lo tanto, si

enton es, uando

n ≥ N,

N = m´ ax{N1 , N2 } se tiene que

L − ǫ < an < L + ǫ

y

L − ǫ < bn < L + ǫ

es de ir,

L − ǫ < an ≤ cn ≤ bn < L + ǫ de donde

|cn − L| < ǫ lo que es equivalente a

para todo

l´ım cn = L.

n→∞

|an − L| < ǫ

n≥N

n ≥ N2 .

Respuestas

479

3.a)

l´ım

n→∞

3.b)

3. )

p

n2 + 1 −

p

√ √ √ n( n + 1 − n) = l´ım

l´ım

sen n =0 n

n→∞

n2 + 1 − (n2 − 1) √ = l´ım √ n→∞ n2 + 1 + n2 − 1 2 √ = l´ım √ =0 n→∞ n2 + 1 + n2 − 1

√ √n(n+1−n) √ n+1+ n n→∞

l´ım

n→∞

n2 − 1

| sen n| ≤ 1,

ya que

= l´ım

n→∞

1 q

1 +1 1+ n

l´ım 0 = 0

y, por el teorema del sándwi h, puesto que

7.a) Como

1 2

y enton es

sen n 1 1 0≤ = | sen n| ≤ n n n

enton es

=

n→∞

y

1 = 0, n→∞ n l´ım

sen n l´ım =0 n→∞ n

a>1

enton es

a =1+h

h > 0,

para ierto

an = (1 + h)n = 1 + nh +

y así

n(n − 1) 2 h + · · · + hn ≥ 1 + nh 2

www.fullengineeringbook.net y dado que

(1 + nh) → ∞

uando

n → ∞,

se tiene que, también,

l´ım an = ∞

n→∞

7.b) Si

0
1 >1 a

enton es

y, apli ando el ejer i io 6 de esta se

ión,

l´ım an = l´ım

n→∞

n→∞

Ejer i ios 3.

ǫ > 0 debemos − a2 | < ǫ. Pero

1. a) Dado

|x2

hallar

δ >0

1 1 n a

=0

tal que si

0 < |x − a| < δ,

|x2 − a2 | = |(x − a)(x + a)| = |x − a||x − a + 2a|

enton es

≤ |x − a|(|x − a| + 2|a|) ≤ |x − a|2 + 2|a||x − a|

< |x − a|2 + (2|a| + 1)|x − a| ya que

2|a| < 2|a| + 1.

Así que

|x2 − a2 | < ǫ

si

|x − a|2 + (2|a| + 1)|x − a| < ǫ

480


Ahora bien:

|x − a|2 + (2|a| + 1)|x − a| < ǫ y

|x − a|2 <

si

(2|a| + 1)|x − a| <

ǫ 2

Para que se umpla lo anterior se ne esita que que

|x − a| <

ǫ 2(2|a|+1) , por lo que tomamos

Enton es observamos que si

ǫ.

Por lo tanto, dado

0 < |x − a| < δ

así, si

ǫ>0

|x−a| < δ −

a2 |

4.a)

√ 8 2

4.b)

1 √ 2 2

4. )

4.e)

nxn−1

4.f)

ny n−1

4.g)

4.i)

−1

4.j) No existe

p |x − a|
se tendrá enton es n que

δ = m´ın

podemos tomar

será |x2

ǫ 2

< ǫ.

√ 334 −1

pǫ

|x2 −a2o| <

ǫ 2 , 2(2|a|+1)

4.d)

−1

4.h)

1

y,


Ejer i ios 4.

2.a) Sabemos que

[[x]] = 1

si

1≤x<2

por tanto

2.b) Sabemos que

[[x]] = 2

si

2≤x<3

por tanto

2. ) De los asos 2.a) y 2.b) se on luye que

l´ım [[x]] = 1.

x→2−

l´ım [[x]] = 2.

x→2+

l´ım [[x]]

x→2

no existe.

2.d)

l´ım ([[x]] − x) = l´ım [[x]] − l´ım x = 1 − 2 = −1

x→2+

x→2+

x→2+

2.e)

l´ım ([[x]] − x) = l´ım [[x]] − l´ım x = 2 − 2 = 0

x→2−

x→2−

2.f) De 2.d) y 2.e) se on luye que

4.a)

4.b)

l´ım

q

|x| x

= l´ım

l´ım

q

|x| x

= l´ım

x→0+

x→0−

3

3

x→0+

x→0−

p 3 x x

p 3 x x

=1 = −1

x→2−

l´ım ([[x]] − x)

x→2

no existe.

Respuestas 4. ) l´ım+ x→0

481 q

|x| x

= l´ım

x→0+

q

px x

=1 √

q

−x ım ım −1 y 4.d) Como l´ım− |x| x = l´ x = l´ x→0 x→0− x→0− reales enton es, el límite no existe.

4.e) Como√el dominio de la fun ión f (x) = l´ım

x→ 23

−

3 − 2x = 0

√

−1 no existe en los

√ 3 − 2x es (−∞, 32 ] enton es

4.f) Como el dominio de la fun ión es (−∞, 32 ], enton es este límite no tiene sentido. x = ∞ ya que x2 − 1 → 0− −1 x 4.h) l´ım − 2 = −∞ ya que x2 − 1 → 0+ x −1 x→−1

4.g)

5.a)

l´ım

x→−1+

x2

5.b)

1 2

5.e) ∞

1 2

5.f) −∞

5. ) 0

5.d) 0

5.g) 1

5.h) −1


Es importante saber al ular límites porque nos dan informa ión sobre el omportamiento analíti o lo al de la fun ión bajo estudio. En parti ular, nos permite onstruir una grá a on ierta aproxima ión a la grá a real de la fun ión.

Ejer i ios 5.

1.a) Como l´ım f (x) = l´ım (x2 + 1) = 1 = f (0) enton es f (·) es ontinua en x→0 x→0 x = 0. 1.b) Como l´ım f (x) = l´ım (x2 + 1) = 2

x→1−

x→1−

l´ım f (x) = l´ım (3 − x) = 2

x→1+

x→1+

enton es l´ım f (x) = 2 pero f (1) = 0 por tanto x→1

l´ım f (x) = 2 6= 0 = f (1)

x→1

y, por tanto, f (·) no es ontinua en x = 1. Si denimos f (·) en x = 1 omo f (1) = 2 se obtiene que l´ım f (x) = 2 = f (1)

x→1

on lo que f será ontinua en x = 1.

482


1. ) Si a < 1

l´ım f (x) = l´ım (x2 + 1) = a2 + 1 = f (a)

x→a

x→a

Si a > 1 l´ım f (x) = l´ım (3 − x) = 3 − a = f (a)

x→a

x→a

Luego f será ontinua en x = a si a 6= 1. 3. Notemos que l´ım f (x) = l´ım [[x]] + x = n + n = 2n

x→n+

x→n+

l´ım f (x) = l´ım [[x]] + x = (n − 1) + n = 2n − 1

x→0−

x→n−

y omo el límite por la izquierda es diferente del límite por la dere ha enton es no se puede redenir la fun ión en x = n para que sea ontinua allí. 5. Para x < 2, la fun ión f (·) es polinómi a, y, por tanto, es ontinua; y para x > 2, la fun ión f (·) es ra ional, que también es ontinua; luego basta analizar la ontinuidad en x = 2, es de ir, debe umplir que l´ım f (x) = l´ım f (x) = f (2)

www.fullengineeringbook.net x→2−

x→2+

Pero

l´ım f (x) = l´ım (ax2 + b) = 4a + b

x→2−

x→2−

y

l´ım f (x) = l´ım

x→2+

x→2+

2 =1 x

Por tanto, para tener ontinuidad en x = 2 debemos tener que 4a + b = 1 y 4a = 1; de donde a = 14 y b = 1. Así que  1 2 (   4 x + 1 si x < 2 1 2 x + 1 si x < 2 f (x) = 1 si x = 2 = 42  si x ≥ 2 2 x si x > 2 x

8.a) Puesto que x4 − 1 = (x − 1)(x3 + x2 + x + 1) enton es x4 − 1 = x3 + x2 + x + 1 x−1

si x 6= 1

Por lo tanto, basta denir f (1) = 13 + 12 + 1 + 1 = 4 para ha er de esta fun ión una ontinua. 8.b) Puesto que, utilizando el teorema del sándwi h, f (x) → 0 uando x → 0 enton es basta denir f (0) = 0 para ha erla ontinua.

Respuestas

483

8. ) Puesto que f (x) tiene a +∞ uando x → 1+ , y f (x) tiene a −∞ uando x → 1− , enton es no existe l´ımx→1 f (x). Por lo tanto, no hay manera de denir f (1) para ha er ontinua la fun ión f (·). Ejer i ios 6.

1. Debido a la deni ión de f (·), sólo es ne esario analizar la ontinuidad en x = 1 y x = 2. Sabemos que f (1) = 5 y f (2) = 5 y, además, l´ım f (x) = l´ım (2x + 3) = 5

x→1−

x→1−

l´ım f (x) = l´ım (8 − 3x) = 5

x→1+

x→1+

Luego l´ım f (x) = 5 = f (1). De otro lado, puesto que x→1

l´ım f (x) = l´ım (8 − 3x) = 2

x→2−

x→2−

l´ım f (x) = l´ım (x + 3) = 5

x→2+

x→2+

y estos límites son distintos, enton es l´ım f (x) no existe y, por tanto, x→2 f (·) es dis ontinua en x = 2. La dis ontinuidad es, enton es, esen ial. 2. Como la fun ión tiene tres ramas, todas polinómi as, es ontinua en

www.fullengineeringbook.net (−∞, −2) ∪ (−2, 1) ∪ (1, ∞)

Es de ir, falta por ver si la fun ión es ontinua en x = −2 y x = 1. l´ım f (x) = l´ım (3cx + k) = −6c + k

x→−2+

x→−2+

l´ım f (x) = l´ım (x + 2c) = −2 + 2c

x→−2−

x→−2−

f (−2) = − 6c + k

Luego para que f (·) sea ontinua en x = −2 debe umplir que −6c + k = −2 + 2c

(1)

l´ım f (x) = l´ım (3cx + k) = 3c + k

x→−1−

x→−1−

l´ım f (x) = l´ım (3x − 2k) = 3 − 2k

x→−1+

x→−1+

f (1) =3c + k

Así, para que f (·) sea ontinua en 1, se debe umplir que 3c + k = 3 − 2k

(2)

484


La solu ión del sistema formado por las e ua iones (1) y (2) arrojará los valores de c y k que ha en que f (·) sea ontinua en R. Estos son c = 31 y k = 23 . Con esto f (·) estará denida por  2  x + 3 f (x) = x + 23   3x − 34

( x < −2 x + 32 −2 ≤ x ≤ 1 = 3x − 34 1
x ≤ −1 1
Ejer i ios 7.

1.a) 1

1.b) −1

1.e) ∞

1.f) −∞

1. )

1.d) − 35

1 3

2. El área del polígono regular es de n lados, An , está dada (ver gura) por 2π An = nA donde A es el área del triángulo ABC . Pero omo α = , n π π BC = 2 sen( ) y AD = cos( ), enton es An = n[ 21 (BC) (AD)] = n n n 2π sen( ). Claramente, el he ho de que An → π uando n → ∞ repre2 n senta la aproxima ión al área del ír ulo de radio 1 mediante las áreas

www.fullengineeringbook.net de los polígonos regulares ins ritos.

C 1 A

α

D

B

Ejer i ios 8.

1. Como f (1) = −3 y f (−1) = 3 enton es, por el teorema del valor intermedio, existe un c ∈ (0, 1) tal que f (c) = 0. Ejer i ios 9.

1.a) 0

1.b) 0

1. ) Si ha emos y = mx (es de ir, si nos aproximamos al origen por las distinx 1 tas re tas que pasan por allí) tendremos que x−y = 1−m , y esto muestra que el límite de nuestra fun ión en el origen, no existe: dependiendo de

ómo nos aproximemos por estas re tas al origen tendremos un límite distinto en ada aso.

Respuestas

485

1.e) No existe: en el denominador la máxima poten ia es 4, y en el numerador es 3. 2. La fun ión en a) es ontinua: evaluada en (0,0) es 0, que oin ide on el límite allí; La fun ión en b) también es ontinua: evaluada en (0,0) es 0, que oin ide on el límite allí; Las fun iones en ) y e) no son ontinuas en (0, 0) porque los orrespondientes límites no existen. 3. Re urrimos aquí al so orrido método de ha er y = mx en la fun ión a la m que le vamos a al ular el límite en (0, 0). Obtenemos que x2xy +y 2 = 1+m2 , y esto nos muestra que el límite en uestión ni siquiera existe y, por

onsiguiente, la fun ión no puede ser ontinua en (0, 0). 4.a) Es dis ontinua siempre que sen(xy) = 1. Por ejemplo, es dis ontinua π

uando xy = , lo que impli a que la fun ión es dis ontinua a lo largo 2

π . ¾Podría el le tor señalar otra urva a lo largo de 2x 1 sea también dis ontinua? la ual la fun ión 1 − sen(xy)

de la hipérbola y =

4.b) Es ontinua en todo el plano R2 porque el denominador de la fun ión, x2 + 1, nun a se anula.


4.e) Es dis ontinua uando y = 0 y uando x = 1 o x = −1. Es de ir, es dis ontinua a lo largo del eje X , y a lo largo de las re tas x = 1 y x = −1 en el plano.

Ejer i ios 10.

1. Por la misma ondi ión de ser va ío (no tener elementos), el onjunto ∅ satisfa e las deni iones de onjunto abierto y va ío. De otro lado, es

laro que el onjunto R2 es errado, y por ser el omplemento de ∅, que es un onjunto errado, también es un onjunto abierto. 2.a) Verdadero : R2 es un ejemplo de onjunto errado y abierto. Pero, además de éste y de ∅, no existe ningún otro onjunto on ambas ara terísti as. 2. ) Falso : R2 es un onjunto errado que no es a otado, y existen innumerables ejemplos de esto en R2 .

2.e) Falso : Sabemos que todo onjunto ompa to en R2 es errado y a otado; si, además, fuera abierto, enton es sería el onjunto va ío. 2.g) Verdadero : Un punto en la unión de los onjuntos está en, al menos, uno de ellos, y este último es un onjunto abierto; por lo tanto la unión de dos onjuntos abiertos es, de nuevo, un onjunto abierto. El tratamiento

486


es similar para los otros dos asos ( errado y a otado) los uales son, ambos, también verdaderos. 3.a) No es abierto, ni errado, ni ompa to. 3.b) No es abierto, sí es errado, y también es ompa to porque es a otado. 3.e) Es abierto, no es errado, no es a otado. 3.i) No es abierto, sí es errado, pero no es ompa to porque no es a otado. 6. La unión de una familia de onjuntos errados es, de he ho, un onjunto

errado. La di ultad radi a en que esta unión puede no ser un onjunto a otado a pesar de que ada uno de los onjuntos de la familia sea a otado. Una ondi ión para que la unión de la familia de onjuntos ompa tos sea, de nuevo, un onjunto ompa to es que todos los onjuntos de la familia estén ontenidos en una misma bola de R2 . 12.a) La interse

ión de la familia es el intervalo [5, 6), y la unión es (4, 7). Note que la interse

ión de esta familia de intervalos abiertos no es un intervalo abierto, pero que su unión sí lo es. Esta es, de he ho, la regla general on los intervalos abiertos (que son un aso parti ular de onjuntos abiertos).


12.d) La interse

ión de la familia es el punto {0}, y la unión es el intervalo [0, 1].

Ejer i ios omplementarios 1.a)i) Los primeros diez términos de la su esión son {1, 1,4142, 1,4422, 1,4142, 1,3797, 1,3480, 1,3204, 1,2968, 1,2765, 1,2589}

1.a)iv) Los primeros diez términos de la su esión son {6, 12,25, 18,96, 25,62, 32, 37,97, 43,50, 48,62, 53,33, 57,66 }

1.b) En el aso i) pare iera que la su esión de re e, y en el aso ii) pare iera que re e. Sin embargo, nada más allá de eso debería, prudentemente, de irse, pues no es del todo laro el omportamiento de la su esión para n mu ho más grande. 1. ) Difí ilmente alguien sin alguna experien ia en su esiones podría de ir uáles son los límites de estas su esiones. Quizás el le tor no se sorprendería si se le armara que el límite de la primera su esión es 1, pero sí lo haría si se le dijera que el límite de la segunda su esión es, aproximadamente, 148. Estos límites se estudiarán más adelante.

Respuestas 5.a)

487

1/2

5.d) Para

x 6= −2,

puesto que

x3 + 3x2 + 2x = x2 + x x+2

y

x2 − x − 6 =x−3 x+2

x3 + 3x2 + 2x x2 + x = y así, uando x → −2 x2 − x − 6 x−3 3 2 2 x + 3x + 2x → − . Es de ir, la fun ión ra ional tendremos que 2 x −x−6 5 2 x3 + 3x2 + 2x es er ana a −

uando x es er ano a −2, a pesar x2 − x − 6 5 de que la fun ión original no puede ser evaluada en x = −2. tendremos que

5.e) 8.

0

1 2

5.h)

l´ımx→a f (x)

existe en todos los puntos, ex epto en

no existe porque el límite por la izquierda es dere ha es

1.

A su vez, en

a=2

0

a = 1.

En

a=1

y el límite por la

pare iera que el límite no existe

pero esto no es ierto, ya que la fun ión sólo está denida para valores menores que

2,

así que el límite pertinente aquí es el límite

www.fullengineeringbook.net por la izquierda de

13.

1

14.a)

0

2,

14.b)

y ese límite es 1.

5 3

16.a) Esta arma ión es, en general, falsa. Por ejemplo, tome y

1 g(x) = . x

16. ) Esta arma ión es, en general,

falsa.

f (x) = x

Sin embargo, es verdadera

uando la fun ión es ontinua en el intervalo. 18.a) Esta fun ión es ontinua en todo el plano

R2 .

18.b) Claramente, esta fun ión es ontinua en todos los puntos diferentes al origen

(0, 0).

En este punto, sin embargo, la fun ión no es onti-

nua, y para verlo re urramos al típi o argumento de ha er En este aso, tendremos, para así el límite al origen

(0, 0)

(x, y) 6= (0, 0),

f (x)

x

xy x2 +y 2

=

y = mx. m 1+m2 , y

dependerá de por uál traye toria nos

aproximemos a él, es de ir, el límite en 20. Basta observar que si

que

(0, 0)

no existe.

es un número grande positivo, enton es

x es un número grande negativo, f (x) es negativo. Esto, por el teorema del valor intermedio

es positivo, pero que si

enton es

para fun iones ontinuas, inmediatamente garantiza la existen ia

488


de una raíz de f (·). De he ho, esto mismo su ede para todos los polinomios de grado impar. ¾Será también ierto para los polinomios de grado par? 41. P (x) = 500x si x ≤ 60; P (x) = 400x + 6000 si 61 ≤ x ≤ 80; y P (x) = 350x + 14, 000 si 81 ≤ x ≤ 90. 42. Tanto la fun ión Cobb-Douglas (la fun ión en el literal a)) omo la fun ión CES (la fun ión en el literal b)) son fun iones ontinuas en el dominio R2++ .

Le

ión 2: La derivada Ejer i ios 1.

2. )

f (t) − f (x) t n − xn = l´ım t→x t→x t − x t−x n−1 (t − x)(t + tn−2 x + · · · + xn−1 ) = l´ım t→x t−x n−1 n−2 = l´ım (t +t x + · · · + xn−1 )

f ′ (x) = l´ım

t→x

= xn−1 + xn−1 + · · · + xn−1 = nxn−1


h2 sen h1 − 0 f (0 + h) − f (0) 1 = l´ım = l´ım h sen = 0 h→0 h→0 h→0 h h h

f ′ (0) = l´ım

4. Puesto que f (x) = |x| si x 6= 0 enton es f ′ (x) = 1 si x > 0 y f ′(x) = −1 si x < 0. Sin embargo, aún deniendo f (0) = 0, la fun ión f (·) no es diferen iable en x = 0 ya que la derivada por la dere ha (h → 0+ ) en x = 0 es 1, pero la derivada por la izquierda (h → 0− ) es −1. Ejer i ios 2.

1. f ′(−1) = −8,

1 f ′ ( ) = a2 (3a2 + 10a − 1) a

2. f ′(x) = −5 + 36x2 − 5x4 = f ′(−x). Esto signi a que esta fun ión tiene un re imiento simétri o on respe to al eje Y . 3. )

ds 2t − 3 =− 2 dt (t − 3t + 6)2

3.d) y ′ = −

2x 4

3(1 + x2 ) 3

Respuestas

489

Ejer i ios 3.

y′

3. Como

=

√

1 − x2 + x sen−1 x

enton es

3

(1 − x2 ) 2

2

′

2

(1 − x )y − xy = (1 − x )

√

1 − x2 + x sen−1 x 3 2

x sen−1 x − √ 1 − x2

(1 − x2 ) x sen−1 x x sen−1 x √ =1+ − =1 1 1 − x2 (1 − x2 ) 2

Ejer i ios 4. 1.a)

dy sec2 (x + y) = dx 1 − sec( x + y)

1. )

y′ =

1.d)

sec2 (x + y) − y cos(xy) + y sen(xy) x cos(xy) − x sen(xy) − sec2 (x + y) p √ 1 − y 2 (1 − 1 − x2 ) ′ p y =√ 1 − x2 (1 − 1 − y 2 )

www.fullengineeringbook.net 1.f)

y′ = −

2x + 3y 2 6xy 3

1.h) y ′

3.

=

5

4x 2 y − 3y 4 1

6x 2 + 4y 4 x 2 sen y cos y

√ 20 73

km/h.

Ejer i ios 5. 2. Como

3.a)

f+′ (0) = 0, f−′ (0) = 1,

la fun ión no es derivable en

dy 1 √ =− −1 dx [1 − (sen x)2 ] 1 − x2

3.b)

dy = −2(1 + ln x) sen(2x ln x) dx

3. )

x dy ln 2(ln x − 1) = (2 ln x ) dx ln2 x

r

1 − sen−1 x 1 + sen−1 x

x = 0.

490


4. Puesto que y ′ = −

1 enton es 1+x

xy ′ + 1 = −

x −x + 1 + x 1 +1= = = ey 1+x 1+x 1+x

Ejer i ios 6.

1.a) ∆y = 3x2 ∆x + 3x(∆x)2 + (∆x)3 ; si x = −1 y ∆x = 0,1 enton es ∆y = 0,271. 1.b) ∆y = −

2x∆x + (∆x)2 ; si x = 3 y ∆x = 0,3 enton es ∆y = −0,019. x2 (x + ∆x)2

2.a) Si se denen las fun iones g(x) = (1 + x)10 y φ(x) =

√ 1 1 + x = (1 + x) 2

y tomamos x = 0 y dx = h, enton es g(h) = (1 + h)10 ≈ 1 + 10h


Ahora: φ(h) ≈ φ(0) + dφ on dφ =√φ′ (0)h = 21 (1 + 0)− 2 h = 21 h. Luego φ(h) ≈ 1 + 21 h. Pero omo φ(h) = 1 + h, enton es √

3.a) d

1 x3

√

=−

1 1+h≈1+ h 2

3 dx x4 x dx 1 + x2

3.b) d( 1 + x2 ) = √

3. ) d(tan x3 ) = 3x2 sec2 (x3 )dx 3.d) d(ln(1 + sec2 x)) =

2 sec2 x tan x dx 1 + sec2 x

5) El volumen del hemisferio es (2/3)πr 3 ; así, dV = 2πr 2 dr = 2(25)2 (0,0005)π = 0,625π metros úbi os

Respuestas

491

Ejer i ios 7. 1.

y (n) =

(−1)n n! (x + 1)n+1

2.

d2y 1 y − 12 = − dx2 2 x

3.

1

1

"

dy −y x dx 2 x

#

1

d2 y 32 √ 3 = dx2 ( 18 ,( 34 ) 2 ) 3 3 1 y − 21 =− 2 x

"

1

x( xy ) 2 − y x2

#

1 x 2 (x 2 + y 2 ) 1 = = 3 2 2 x x2 5. Si

y = arctan x i)

ii)

enton es

y(0) = 0,

y además:

1 , y ′ (0) = 1 x2 + 1 2x y ′′ = − 2 , y ′′ (0) = 0 (x + 1)2 y′ =

2(3x2 − 1) , (x2 + 1)3

iii)

y ′′′ =

iv)

y iv = −

y ′′′ (0) = −2

24x(x2 − 1) , (x2 + 1)4

y iv (0) = 0

www.fullengineeringbook.net v) vi) vii)

yv =

24(5x4 − 10x2 + 1) , (x2 + 1)5

y vi = − y vii =

y v (0) = 24

240x(3x4 − 10x2 + 3) , (x2 + 1)6

y vi (0) = 0

720x(7x6 − 35x4 + 21x2 − 1) , (x2 + 1)7

y vii (0) = −720

Basta enton es in luir estos valores en el polinomio de Taylor de

arctan x

alrededor de

x = 0:

y ′ (0) y ′′ (0) 2 y ′′′ (0) 3 y iv (0) 4 x+ x + x + x 1! 2! 3! 4! y v (0) 5 y vi (0) 6 y vii (0) 7 + x + x + x 5! 6! 7!

f (x) = y(0) +

para obtener el resultado pedido en este ejer i io.

Ejer i ios 8. 1.a)

∂f = 2ax + 2by , ∂x

∂f = 2cy + 2bx ∂y

y =

492


1. )

y 2 − 2x2 −2xy ∂f ∂f = 2 = 2 , 2 2 ∂x (y + 2x ) ∂y (y + 2x2 )2

1.e)

∂f = 15x2 + 7y 2 , ∂x

1.f )

1 ∂f = −x(1 − x2 − y 2 )− 2 , ∂x

∂f = 3y 2 + 14xy ∂y 1 ∂f = −y(1 − x2 − y 2 )− 2 ∂y

Ejer i ios 9. 1.a) El ve tor gradiente es, en ualquier punto de este plano, Re ordando que la derivada dire

ional en el punto del ve tor

u = (1, −1)

(2, 2)

∇f = (3, 1).

y en el sentido

es

Du f (2, 2) = ∇f · (

u 1 1 2 ) = (3, 1) · ( √ , − √ ) = √ kuk 2 2 2

Así, si usted está aminando sobre el plano y se ubi a en ualquier punto

2 de éste, su velo idad en la dire

ión sureste es √ . 2

∇f = ( 12 , 12 ). La derivada del ve tor u = (3, 2) es

1. ) El ve tor gradiente es

dire

ional en el punto

www.fullengineeringbook.net (2, 2)

y en el sentido

Du f (2, 2) = ∇f · (

u 1 1 3 2 5 ) = ( , ) · (√ , √ ) = √ kuk 2 2 13 13 2 13

Así, si usted está aminando sobre la super ie en el punto

(2, 2),

su velo idad en la dire

ión

f (x, y) = ln xy (3, 2) es 2√513 .

y se ubi a

4.a) Como podría esperarse, en este aso el plano tangente oin ide on el plano mismo (en ambos puntos

(0, 0

y

(1, 1)).

4.b) El plano tangente a la silla de montar plano

XY ,

es de ir, el plano

z = xy

en el punto

(0, 0)

es el

z = 0.

Ejer i ios 10. 1.a) Aquí, 2

df 2 t x et = et (3x2 + y) + dt (1 − et2 )2 y sólo faltaría reemplazar allí a

x

y a

y

según las fórmulas dadas en el problema.

omo fun iones explí itas de

t

Respuestas

493

2.a) La matriz ja obiana es

J(u, v) |(x,y) =

"

y−3 x 2y + 2 2y + 2x − 1

#

Ejer i ios 11. 1.a)

dy y cos x + cos y =− dx sen x − x sen y

3. Indi a ión:

y′ = −

1.b)

dy yex + ey =− y dx xe + ex

cos(x + y) cos(x + y) − 1

Ejer i ios 12. 1.a)

∂f α = ; ∂x x

∂f β = ; ∂y y

∂2f = 0; ∂x∂y

∂2f α = − 2; 2 ∂x x

∂3f 2α = 3 3 ∂x x

∂2f β =− 2 2 ∂y y

∂3f 2β = 3; 3 ∂y y

∂3f = 0; ∂y∂x2

∂3f =0 ∂x∂y 2

www.fullengineeringbook.net 1. )

∂f = αxα−1 ; ∂x

∂2f = α(α − 1)xα−2 ∂x2

∂f = αβy α−1 ; ∂y

∂2f ∂2f ∂3f α−2 = α(α − 1)βy = 0 = α(α − 1)(α − 2)xα−3 ; ∂y 2 ∂x∂y ∂x3 ∂3f ∂3f ∂3f α−3 ; = α(α − 1)(α − 2)βy = 0 =0 ; ∂y 3 ∂y∂x2 ∂x∂y 2 1.e)

∂f = y 2 ex ; ∂x

∂f = 2yex ; ∂y

∂2f ∂2f x = 2e = 2yex ; ∂y 2 ∂x∂y ∂3f 2yex ; = 2ex ∂x∂y 2

∂2f = y 2 ex ∂x2 ∂3f = y 2 ex ∂x3

∂3f = 0; ∂y 3

∂3f = ∂y∂x2

Ejer i ios omplementarios 2.b) Puesto que en 2. )

x = 1.

l´ımx→1+ f (x) = l´ımx→1− f (x) = 1, la fun ión f (·) es ontinua

f−′ (1) = f+′ (x) = 1 = 3.

494


2.d) Según 2. ) se tiene que

f (·)

es diferen iable en

4.a)

f ′ (x) = −3x2 sen x3

4.b)

f ′ (x) = −12(1 + cos2 x)5 cos x sen x3

4.e)

f ′ (x) = −x2 sen x √ sen x ′ f (x) = − √ p √ 4 x cos x

4.f) 5.a)

y ′ = 2 tan x

1 x |x + 1|

x = 1.

1

5.b)

y ′ = e x (1 +

5.f)

y′ = −

5.e)

y′ = √

6.a)

( 2 + 1) 2 dy 4x + 5 = − x dx x(5 − 2x) 8x(x + 2)

6. )

dy = xe3x [(3x + 2) cos(8x) − 8x sen(8x)] dx

x2

1 ) x

1 + 2x + 2

1

www.fullengineeringbook.net 6.e)

dy 24x(x + 1) ln(x + 1) − 2x2 + 5 1 = − √ − e2−x 2 7 dx (x + 1)(5 − 2x ) 2 1−x

6.e)

dy e−2x (16x2 cos(8x2 ) + (2x + 3) sen(8x2 ) =− dx x4 sen(8x2 )

8.a) 1

8. )

11. Utili e algún 14. 15.a)

−(π + 2)/4

software apropiado omo Derive o Matlab.

m=2 3/2

19.a) En el punto

15.b)

( 12 , 31 ),

19.d)

∂f 126 =− , ∂x 121

19.f)

∂f 52 =− , ∂x 9

y

y

2

se tiene que

∂f 108 =− ∂y 121 ∂f =3 ∂y

∂f 2 = (a + b), ∂x 3

y

∂f 1 = (3b + 2c) ∂y 3

Respuestas

495

22.b) La matriz ja obiana es

 2xy 2 + 5 2x2 y J(u, v) |(x,y) =  1 1  − ex x y 

23.a)

24.

dz = ex (3e3t (2 cos y − 5 sen y) + (2t − 1) cos y − 3 sen y) dt dz =1 dt

uando

32.a)

r(x) = x(3 −

32.b)

40

t = 0.

x 2 ) 40

personas, aunque

120

personas también es una solu ión de

pero esta antidad está por en ima de la apa idad del bus. 32. )

dr = 0 dx

P (4) = 4

32.d) No, a menos que busque algún otro objetivo distinto al de maximizar el ingreso. En este sentido ra ional, lo más onveniente es que viaje on


sillas va ías.

33.a) Aquí,

K

∂F = αK α−1 Lβ ∂K

∂F = βK α Lβ−1 ; ∂L

y

luego

∂F ∂F +L = K(αK α−1 Lβ ) + L(βK α Lβ−1 ) = (α + β)F (K, L) ∂K ∂L

Le

ión 3: Elementos de la teoría de la optimiza ión Ejer i ios 1. 1.a) Mínimo absoluto:

f (1) = 0;

1.b) Mínimos absolutos:

f (3);

máximo absoluto:

f (1) = 0 = f (2); f ( 32 ) = 41 .

f ( 25 ) = 11 18 .

máximos absolutos:

f (0) = 2 =

máximo relativo:

1. ) Mínimo absoluto;

f (100).

f (1) = 2;

máximos absolutos:

f (0,01) = 100,01 =

496


1.d) Máximos: 2.a)

f (1) = 2 = f (−1);

mínimo:

f (3) = 0.

y(1) = 11 es el valor máximo absoluto; no x → −∞ enton es y(x) → −∞.

tiene mínimo absoluto, ya que

si

x = −1 y x = 1. Pero solo x = 1 y(1) = 3, que es el valor mínimo máximo absoluto, ya que si x → ∞

2. ) Esta fun ión tiene dos puntos ríti os: pertene e al intervalo

[0, ∞),

y, allí,

absoluto. Esta fun ión no tiene enton es

y

2.e) Al ser

y(x) → ∞.

una fun ión estri tamente re iente, se tendrá que

y(0) = 0

es

el valor mínimo absoluto; no puede tener máximo absoluto, ya que si

x→∞

enton es

y(x) → ∞.

Note que

y

no es diferen iable en

0

pero,

aún así, el mínimo absoluto se al anza allí.

√ √ y(− 2 − 1) = 13 (25 − 4 2); √ 1) = 13 (25 + 4 2).

2.g) Mínimo relativo:

Máximo relativo:

√ y( 2 −

2.i) No tiene máximo ni mínimo.

Ejer i ios 2.

www.fullengineeringbook.net 1. Evidentemente

f (·) es ontinua y derivable sobre R ya que es polinómi a;

de esta manera se umplen las dos primeras ondi iones del teorema de Rolle. Ahora bien:

3 3 3 27 27 3 −9 − =− + =0 f (− ) = 4 − 2 2 2 2 2 f (0) = 0

3 f( ) = 4 2

3 3 3 27 27 −9 = − =0 2 2 2 2

Por tanto, se umple la ter era ondi ión del teorema de Rolle en

[0,

3 2] y

[− 23 , 32 ].

[− 23 , 0],

c tales que f ′ (x0 ) = 0, ha emos 12x20 − 9 = 0, lo √ √ 3 3 3 que nos lleva a x0 = ± 2 . Enton es en el intervalo [− 2 , 0], x0 = − 2 ; en √ 3 3 3 el intervalo [0, 3 ] , x = 0 2 2 , y en [− 2 , 2 ] ualquiera de las dos solu iones. Para hallar los valores de

2. Como tanto

1

f ′ (x) = 23 x− 3

enton es

f ′ (x0 ) =

√2 3 3 x0 , y ésta no se anula; mientras

f (2) − f (−2) =0 2 − (−2)

Respuestas

497

La razón del por qué no se umple aquí el teorema del valor medio es 3 que aunque x 2 es ontinua en [−2, 2] no es derivable en (−2, 2) porque f ′ (0) no existe. Luego la segunda hipótesis del teorema del valor medio no se umple. 3. Como f (x) = x3 + 2x + c es polinómi a, es ontinua y derivable en R. Si además existiesen c1 y c2 reales tales que f (c1 ) = 0 = f (c2 ) es de ir, c1 y c2 serían dos raí es diferentes de f (x) = 0, enton es f satisfaría las hipótesis del teorema de Rolle y, en onse uen ia, existiría c ∈ (c1 , c2 ) tal que f ′ (c) = 3c2 + 2 = 0. Pero esta última e ua ión no tiene ninguna raíz real y, así, el supuesto de que f (c1 ) = 0 = f (c2 ) es falso. 4. Sea h(x) = f (x) − g(x) donde a < x ≤ b. Enton es h satisfa e el teorema del valor medio en [a, x]. Así que existe c ∈ (a, x) tal que

h(x) − h(a) . Pero h′ (c) = f ′ (c) − g′ (c) = 0; luego h(x) = h(a) x−a y, por tanto, f (x) − g(x) = f (a) − g(a). Es de ir, si las dos derivadas h′ (c) =

oin iden en un intervalo, enton es las fun iones mismas sólo dieren en una onstante (aquí ésta es f (x) − g(x) = f (a) − g(a)).

5. Sea f (x) = ex y g(x) = 1 + x. Como f (·) y g(·) son derivables en R enton es h = f − g también es derivable en R; además h′ (x) = f ′ (x) − g′ (x) = ex − 1. Enton es h′ (x) = 0 sí, y sólo sí, x = 0. Si existiera r 6= 0 tal que h(r) = 0 = h(0) enton es existiría c entre 0 y r tal que h′ (c) = 0, lo ual es absurdo. Así que la e ua ión tiene solamente la raíz r = 0.


6. Como f (·) es polinómi a, enton es es ontinua y derivable para todo x ∈ R. Por onsiguiente se satisfa en las hipótesis del teorema del valor medio en [1, 3]. f ′ (x) = 3x2 − 10x − 3

f (1) = −7

f (3) = −27

f (3) − f (1) −27 − (−7) = = −10. Ha iendo f ′ (c) = −10 se 3−1 2 obtiene 3c2 − 10c − 3 = 10; pero omo 3c2 − 10c + 7 = (3c − 7)(c − 1) enton es c = 73 ó c = 1. Pero omo 1 ∈ / (1, 3) enton es el úni o valor que

Enton es

resuelve el problema es 73 .

7. Dado que

3−x2 2

−1 1+x = l´ım = −1 x→1− x − 1 x→1− −2 1 −1 1 f+′ (1) = l´ım x = l´ım − = −1 + − x x→1 x − 1 x→1 ′ ′ ′ f (1) = f− (1) = f+ (1) = −1 f−′ (1) = l´ım

498


y puesto que

Por tanto

f (·)

f (·)

es ontinua en

1

enton es

 −x f ′ (x) = 1 − x2

es ontinua en

[0, 2]

si

0≤x≤1

si

x>1

f ′ (x0 ) =

(0, 2). Por el x0 ∈ (0, 2) tal que

y derivable en

del valor medio, existe enton es al menos un

teorema

1 f (0) − f (0) =− 2−0 2

Y dado que

f ′ (x0 ) =

se on luye que

−x0 = −

1 2

 −x0

1 − (x0 )2

ó

−

si

0 ≤ x0 ≤ 1

si

x0 > 1

1 1 1 = − ; es de ir, x0 = 2 (x0 ) 2 2

ó

x0 =

√

2.

Ejer i ios 3.


1.b) Dominio:

R − {0}.

No tiene puntos ríti os. Es de re iente en

y también de re iente en

(0, ∞)

(−∞, 0),

(que no es lo mismo que armar que la

fun ión es de re iente en todo su dominio (¾por qué?)). Es ón ava estri ta en

y = 0;

(−∞, 0), y onvexa estri ta en (0, ∞). Tiene asíntota horizontal x = 0. No tiene puntos de inexión.

asíntota verti al

2.a) Mínimo absoluto:

− 41 3

uando

x = 3.

No tiene máximo absoluto.

2. ) No tiene máximo absoluto ni mínimo absoluto. 3.a)

2 ln 2

3. )

−1/2

3.e)

7. Como se ve en la gura, el radio jo

∞

R de la esfera, el radio x del ilindro

y la mitad de la altura del ilindro, forman un triángulo re tángulo. Por tanto se tiene que

R 2 = x2 +

y2 . 4

Como por geometría elemental (volu-

men 0 (Fundamentos)) se sabe que

V =

volumen del ilindro

= πx2 y ,

2 enton es despejamos x de la primera e ua ión, y la reemplazamos en la segunda e ua ión para obtener

V = πR2 y −

π 3 y 4

Respuestas

499

Con respe to al dominio de esta fun ión, puede verse que si y varía hasta tomar el valor el valor del diámetro, el volumen del ilindro es nulo (mínimo); igualmente si y = 0. Por tanto 0 ≤ y ≤ 2R siendo V (0) = V (2R) = 0 el mínimo absoluto. Todo lo anterior nos obliga a on luir que el máximo de V ne esariamente o urrirá en un punto ríti o. Cal ulando llegamos a 3π 2 V (y) = πR − y =0 ∴ 4 ′

2

√ 2 2 y = √ R, x = √ R 3 3

y estas son las dimensiones que dan el máximo volumen. Ejer i ios 4.

1. Utili e algún software apropiado omo las arma iones siguientes:

Derive ó Matlab para omprobar

e) La fun ión re e en su dominio (0, ∞). No tiene puntos ríti os; es ón ava estri ta en su dominio. No tiene puntos de inexión. Tiene una asíntota verti al: x = 0.

www.fullengineeringbook.net √

f) El dominio es R − {−1, 1}. Los puntos ríti os√son x = −3 ± 2 2. La fun ión úni amente

re e en el onjunto (−3 − 2 √2, −1) y en el onjunto √ (−1, −3 + 2 2). Tiene un máximo relativo de 2 − 32 que lo toma en √ √ √ −3 + 2 2, y un mínimo relativo de − 2 − 23 que lo toma en −3 − 2 2. 5 4 Es onvexa estri ta en (−2 3 − 2 3 − 3, −1) y en (1, ∞), y ón ava estri ta 5 4 en (−∞, −2 3 − 2 3 − 3) y en (−1, 1). Tiene un punto de inexión en 5 4 x = −2 3 − 2 3 − 3. Tiene asíntota verti al en x = 1 y en x = −1; tiene asíntota horizontal en y = 0. j) El dominio de esta fun ión son los números reales R. Los puntos ríti os son x = 0 y x = 83 . Los intervalos de re imiento son (−∞, 0) y ( 83 , ∞). Tiene un máximo relativo de 0 que lo al anza en x = 0; y un mínimo 8 4 relativo de − 256 27 que lo al anza en x = 3 . Es onvexa en ( 3 , ∞), y ón ava en (−∞, 43 ). No tiene asíntotas.

k) El dominio es el intervalo (− 21 , 12 ). El úni o punto ríti o es x = 0. La fun ión sólo re e en el intervalo (0, 12 ). Al anza un mínimo absoluto de 1 en x = 0. Es onvexa en todo su dominio. Tiene asíntotas verti ales x = − 12 y x = 12 .

500


Ejer i ios 5. 1.b) Los puntos ríti os son mínima). Aquí

(0, 0)

f (0, 0) = 0

1. ) El úni o punto ríti o en

y

(punto de silla) y

f(

4 4 √ , √ ) 933 339

(0, 0);

(

4 4 √ , √ ) (punto de 933 339

64 . = − 243

sin embargo,

det H(0, 0) = 0

y así, el

riterio del hessiano no de ide sobre qué ara terísti a podría tener ese punto. 1.d) Los puntos ríti os son de la forma

(0, kπ)

para

uno de ellos, tiene un punto de silla. 1.g) El úni o punto ríti o es así que

f (x, y)

(0, 0).

k ∈Z

El determinante de

tiene un punto de silla en

donde, en ada

H(0, 0)

es negativo,

(0, 0).

(0, 0), (±, 1, 0), y (0, ±1). Los (±, 1, 0) son de silla; (0, 0) es un punto de mínima (f (0, 0) = 0); 2 puntos (0, ±1) son de máxima (f (0, ±1) = e ).

1.j) Los puntos ríti os de esta fun ión son puntos y los

Ejer i ios omplementarios

software Derive Matlab www.fullengineeringbook.net 1. Utili e algún

apropiado omo

o

.

3.

software apropiado omo Derive o Matlab. Utili e algún software apropiado omo Derive o Matlab.

4.

a = 48.

2. Utili e algún

f (x) tiene una asíntota verti al en x = 2. Sin embargo, tiene 1 que es −1, pues f (x) ≤ −1 para todo x ∈ [1, 2); y también tiene un mínimo relativo en 3 que es 9, pues f (x) ≥ 9 para todo x ∈ (2, 3].

5. Esta fun ión

un máximo relativo en

9. La solu ión a ambos problemas es

x∗ =

αM (α + β)px

,

y∗ =

βM (α + β)py

La razón de que las solu iones oin idan es que la fun ión objetivo del primer problema de optimiza ión es el logaritmo natural de la fun ión objetivo del segundo problema de optimiza ión, y las solu iones no pueden ambiar si la fun ión objetivo de un problema es una transforma ión estri tamente re iente de la fun ión objetivo otro problema (manteniendo, obviamente, todas las restri

iones iguales en ambos problemas de optimiza ión). Lo que sí ambia es el

valor

óptimo.

Respuestas

501

11.b) El úni o punto ríti o es

f (0, 1) = 18.

(0, 1)

12. El valor máximo relativo es anula, y la matriz hessiana

14.

y, allí, la fun ión toma su valor mínimo:

No tiene valor máximo ni puntos de silla.

f (11, 9) = 100 , pues en (11, 9) el gradiente se −2 0 es ¾Por qué es máximo absoluto? 0 −2

f (x) = 2 − x − x2 ; el máximo es 0 y lo toma uando x = 1.

es

9 4 y lo toma uando

x = − 12 ;

el máximo

15. El área es máxima úni amente onstruyendo un ír ulo de radio

L 2π

y

sin onstruir ningún uadrado. Usted también podría observar en este ejemplo que el área es mínima uando el radio del ír ulo es igual a

L , 2(π + 4)

16. Si

H

y el lado del uadrado es

(altura) y

R

L . π+4

(radio) son las dimensiones del ono, y

h

y

r

las

respe tivas dimensiones del ilindro, el problema onsiste en maximizar

πr 2 h sujeta a

H R = , donde H −h r

la restri

ión es el resultado de apli ar

una propiedad de los triángulos semejantes. Resolviendo en ontramos que

www.fullengineeringbook.net las dimensiones del ilindro de volumen máximo son

Por lo tanto, el volumen del ilindro es

18. Si

p∈C

4 9

h=

H . 3

y la fun ión

f ·)

r=

2R 3

y

del volumen del ono.

la prueba naliza inmediatamente. Si

p∈ / C

C , enton es existe una su esión {xn } de C tales que || p − xn ||→ 0 uando n → ∞. Pero esto signi a xn → p uando n → ∞, y omo C es errado, enton es p ∈ C ,

no al anza su valor mínimo en puntos de que

lo que es una ontradi

ión, y on esto termina totalmente la prueba.

Note el le tor ómo este es un problema de optimiza ión en el que no se requirió de ninguna herramienta analíti a del ál ulo diferen ial: sólo fueron ne esarios argumentos topológi os.

x∗ = wp , y el op p rrespondiente nivel de produ

ión es f ( ) = ln . La fun ión de bew w p ∗ ∗ ∗ ne ios (óptima) es π = pf (x ) − wx = p ln w − p. Sin embargo, en

22 La antidad de insumo que maximiza el bene io es

o asiones también se le llama fun ión de bene ios a, simplemente,

π = pf (x) − wx. 24. Haga

y=(

u 1 py ( α ) β x

u β1 ) xα

y reempla e en la fun ión objetivo para obtener

px x +

omo fun ión a diferen iar e igualar a ero. Ha iendo esto, ob-

502


tiene que

αy ux px = (= ) py βx uy

La fun ión de ostos se en uentra reemplazando estos últimos valores en la fun ión wx x + wy y . 1

1

25. Haga y = (q 2 − x 2 )2 y reempla e en la fun ión objetivo para obtener 1 1 wx x+ wy (q 2 − x 2 )2 omo fun ión a diferen iar e igualar a ero. Ha iendo esto, obtiene que x=

wy2 q; (wx + wy )2

y=

wx2 q (wx + wy )2

La fun ión de ostos se en uentra reemplazando estos últimos valores en la fun ión wx x + wy y . 30. qmax = 20; pmax = 109. Aquí, C(q) es onvexa en (0, 25/2) y ón ava en (25/2, 0). 31. q1 = 5, q2 = 3, p1 = 7, p2 = 11; el bene io máximo es 49. 35. Existe una diferen ia bási a onsistente en que la teoría de juegos no ooperativa de von Neumann y Morgenstern apli a solo a los asos de dos jugadores y on pagos de suma ero (lo que gana un agente lo pierde el otro); en su lugar, los modelos de oligopolio de Cournot y Sta kelberg son estru turas que pueden in orporar más dos jugadores y, además, no existe la restri

ión de que la suma de pagos sea ero. Por otro lado, von Neumann y Morgenstern no estudiaron a fondo ningún problema de informa ión entre los jugadores; en su lugar los modelos de Cournot y Sta kelberg gozan de su iente exibilidad para in orporar algunas estru turas de este tipo.


Le

ión 4: La integral Ejer i ios 1.

1.a)

x5 + 2x4 + 5x2 + 5x + C 5

1.d) − 32 e−(2x+5) + C 1.h)

e5x−7 5 (x

− 15 ) + C

1.e) − arc sen x + C

Respuestas

503

Ejer i ios 2. 1.a)

ex (x2 − 2x + 2) + C

3

1

1.d) 15 (1 + x2 ) 2 (3x2

− 2) + C

1

2

1.e) 3 (x + 2) 2 (x − 4) + C

Ejer i ios 3. 1

1.a) 5 x10 1

1.d) 9

+ 3x9 + 18x8 + 54x7 + 81x6 +

ln |3x3 + 7| + C

243 5 5 x

+C

1

3

3 14

ln(2x + 10) + C

1.e) 3 (1 + x4 ) 4

2.a)

√ ln( 15 25 + x2 + 15 x) + C

2.d)

√ x x2 − 49 − 7 sec−1 ( ) + C 7

+C

Ejer i ios 4. 1

ln(x2 + 3x − 10) +

1

ln(

1

ln(x2 + 3x − 10) +

1.a) 2 1.d) 5

3 14

ln(2x − 4) −

x−3 )+C x+2

www.fullengineeringbook.net 1.e) 2

3 14

ln(

x−2 )+C x+5

Ejer i ios 5. 1

sen(4t2 ) + C

2

√ tan(3 t) + C

1.a) 16 1. ) 3 1.e)

−x + ln |e2x − 1| + C

1

1.b) 6 (2 + sen x)6 2

√

1.d) 3 (

+C

ex + 7)3 + C

1.f)

− ln | cos x| + C

1.d)

y 2 (x) = 2x ln x − 2x + C

1.h)

v(t) = Ce− m

Ejer i ios 6.

2 3x2 − C

1.a)

y(x) = −

1.e)

y(x) = Ce− 2 x(x−2)

1.i)

y(x) = ln( x4 + C)

2.a)

y(x) = 13 x3 − x2 − 4x + 6

1

4

kt

504


1

2.e) y 2 = 4 − x2

2

2. ) y(x) = x2 − 4e− 2 x − 2 2.g) v2 = 2g(t − t0 ) + (v0 )2 t

7.b) 320,000 habitantes

7.a) y = 80, 000(2 40 ) t

8.b) T = 6,25 grados entígrados.

8.a) T = 5 + 20(2− 30 )

8. ) La le tura en el termómetro será la de la temperatura exterior porque t 2− 30 > 0 para todo t. Ejer i ios 7.

1

1 1

1.a) Esta serie es divergente puesto que = ( ) y la serie 2n 2 n gente. 1.b) En este aso, l´ımn→∞

P1 es divern

an+1 n = l´ımn→∞ = 0, lo que, por el ritean (n + 1)3

rio de la razón, indi a que la serie es onvergente. 1.e) En este aso, √

1

1

, y omo la serie

P 1

es onvergente,

www.fullengineeringbook.net n3 + 2

≤

n

3 2

3

n2 P 1 √ también es enton es, por el riterio de ompara ión, la serie 3 n +2

onvergente. 1.h) Como

p

n3 + 1 −

√

n3 = √

1 n3 + 1 +

√

n3

<

1 3

2n 2 √ P√ 3 enton es, por el riterio de ompara ión, la serie ( n + 1 − n3 ) es

onvergente.

1.j) El término n-ésimo de la serie, (1 + n1 )n , tiende al número e y, por tanto, esta serie es divergente, ya que el término n-ésimo de una serie onvergente tiende a ero. 1.m) Por el riterio de la raíz, omo

onverge.

r n

(

1 n 1 ) = < 1, enton es la serie ln 2 ln 2

1 1 1.o) Puesto que sen 2 ≤ 2 para n su ientemente grande, enton es, por n n P el riterio de ompara ión, la serie | sen n12 | onverge.

Respuestas

505

Ejer i ios 8. 1.

3.a)

1 = 1, 766 i + 12 √ √ √ P5 √1 i=1 f (ξi )∆x = 2 (1 + 3 + 5 + 7 + 3) P5

i=1 f (ci )∆x

5. Sea

=

P5

i=1

P = {0 = x0 , x1 , ..., xn−1 , xn = 2} una parti ión ualquiera [0, 2], y sea ξi ∈ [xi−1 , xi ] para i = 1, 2, ..., n. Enton es

del

intervalo

n X

n−1 X

f (ξi )∆i x = (

Pero uando

f (ξi )∆i x) + f (ξi )∆n x

i=1

i=1

k P k→ 0

se tendrá que

0 ≤ f (ξi )∆n x ≤ 4∆n x → 0 y n−1 X

(

n−1 X

f (ξi )∆i x) = (

i=1

i=1

2

∆i x) = xn−1 → 2

www.fullengineeringbook.net lo que impli a que

Z

f (x)dx = 2.

0

Ejer i ios 9. 2.a) El mínimo de

f (·)

es

f (2) = 0,

0≤

y su máximo es

f (4) = 2.

Por lo tanto,

4

Z

|x − 2|dx ≤ 2(4 − 1) = 6

1 5

La integral es, realmente, 2 .

f ′ (x) = 0 uando x = − 12 ó x = 2, y, además, f (−1) = − 16 , 3 = f (2) = − 14 3 , f (3) = − 2 . Por lo tanto, el valor mínimo es 13 m = − 14 3 , y el valor máximo es M = 24 . Así,

2.b) Puesto que

13 24 ,

f (− 12 )

56 − ≤ 3 Ejer i ios 10. 1.a)

c=

q

7 3

3

2 3 13 ( x3 − x2 − 2x)dx ≤ 2 6 −1 3

Z

506


7

2

2.a) El valor promedio es 3 . 3. La velo idad es

2.d) El valor promedio es π .

m v = gt donde g = 9,8 seg 2

y el valor promedio de esta velo idad en

es la a elera ión de la gravedad,

[0, 4]

1 4

es

Z

4

gtdt = 2g. 0

Ejer i ios 11. 1.b)

cos x2 x

1.h)

2ex − ex x

2.a)

1

1.d)

2 sen(8x3 )

1.f)

csc x + sec x

2.b)

− 35 3

2. )

0

2.f)

1 − 12

2

3

2.d) 8 π 3.a)

+

1 4

−

√

2

16 3

3.b)

185,223 35

3.e)

3

−2

3.f) 2

ln2 2


Ejer i ios 12.

1.b) La integral onverge porque ge. Su valor es 1.d)

2.a)

1 1 0≤ √ ≤ 2, 2 x x 1+x

√ − ln( 2 − 1).

y

Z

1

1 dx, x2

onver-

dx π = l´ım sen−1 x = sen−1 1. Su valor es . 2 1 − x2 x→1− 0 Z ∞ 1 cos 2x Esta integral no onverge porque sen 2xdx = − l´ım , y este x→∞ 2 2 0 Z

√

último límite no existe. 2.b) No onverge.

2.d)

0

∞

Z

2

∞

−1/4

dx 1 x−1 1 1 ln 3 = l´ım ln − ln = x→∞ −1 2 x+1 2 3 2

x2

2.h) Converge a 3.a) 0

2. ) Converge a

0,28114. 3. ) No onverge.

Respuestas

507

Ejer i ios 13.

1.a) 2π 4.a)

1.d) 2/π

1.e) 2 ln 2 − 1

1 6

4. ) 2 arctan 2 −

√ 4.e) − 415 2

π 32 − ln( 25 ) ≈ 0,396 2

4.g) 0

Ejer i ios 14.

1.a)

π 2

Z

− π2

Z

5

5r 2 (cos θ + sen θ)drdθ =

0

1250 3

1. ) 3πa2 2.a)

Z

2.b)

Z

1 2

0

Z

1−u

2 ln(2u2 + 2v 2 + 1) dvdu

u

1Z 1

ln

p

1 + u2 (u + v)2 dvdu


1−2u

Ejer i ios omplementarios

1.b) tan x − cot x − 2x + 13 x3 + C 1.d)

2 6 105 (7x

1.f) −

5

+ 1) 4 + C

1 +C ln x

1.h)

1 7 7x

+ 53 x5 + x3 + x + C

2. y = 2x2 − 3x 3.a) 2 segundos.

3.b) 19,6 m.

3. ) 4 segundos.

3.d) 19,6 m/seg (el signo menos (−) signi a que el sentido del viaje es ha ia el suelo). 4.a) s = 25 + 200t − 4,9t2

4.b) 580,9 metros.

4. ) 3,11 segundos (subiendo) y 37,7 segundos (bajando).

508


2

dp d y 5. Sea p = y ′ ; enton es dx = dx 2 , y, por onsiguiente, después de resolver p p esta e ua ión diferen ial, se llega a que |p+ 1 + p2 | = |Cx|. Pero omo el perro, desde el punto (1, 0), ve a su amo en el punto (0, 0), enton es la tangente a la traye toria des rita por el perro tiene allí pendiente 0, o sea, p = 0 uando x = 1. Así, C = 1. De esta manera, re ordando la dy √ , por lo = p = 2x−1 deni ión de p, llegamos a la e ua ión diferen ial dx x 1

3

que 2y = 23 x 2 − 2x 2 + K para alguna onstante K . Pero dado que y = 0

uando x = 1 se tendrá que K = 43 y, por tanto, 1 1 3 2 y = x2 − x2 + 3 3

6.a) y = ln(ex + ex+1 − e) − x − 2 x2

6. ) y = e 2 +x−4 + 2 6.d) Apli ando la sustitu ión y = ux (dy = udx + xdu) y separando variables, se obtiene que y 2 = x2 − x. 6.f) Empleando la misma sustitu ión del ejer i io e) anterior, se obtiene que y = x(ln x − 37 5 ).

www.fullengineeringbook.net 6.g) y =

sr 3

e −2 1 + x2

7.b) 10n+1 − 10

7.d)

1 1 (1 − ( )2k ) 12 2

1 1 ≤ 2 , el riterio de ompara ión nos lleva a (n + 1)(n + 3) n P 1 que la serie es onvergente. (n + 1)(n + 3)

10.a Puesto que

1 1 ≤ , el riterio de ompara ión nos lleva a que n+1 ln(n + 1) P 1 la serie es divergente. ln(n + 1)

10.b Puesto que

11.a) 16.

11.d 1

3 2

Z

2

4

[(y + 4) −

11.e) 5/2

11.h) ln 2

y2 ]dy = 18; la e ua ión de la uerda es y = x − 4. 2

Respuestas 20.b)

20.f)

22.a)

2 cos 1 − cos 2 − 1

20.d)

11/16

15 + e2 12e3 Z 6Z 2 (5x − y + 8)dxdy = 120 0

23.a)

1 2

23.h)

− 19

32.

509

0

30.62

23.d)

3 13

23.i) No onverge.

23.e)

π2 8

23.l) 100

millones


Índi e alfabéti o Abel, Niels Henrik, 176 A ta Eruditorum, 117 Al hian, Armen, 325 Allais, Mauri e, 440 Ampére, André Marie, 129 Antiderivada, 338, 339 Antiderivadas álgebra de, 340 de algunas fun iones bási as, 352 y fun iones elementales, 354 Aristóteles, 304 Arquímedes, 1, 337 Arrow, Kenneth, 432 Arrow-Pratt, oe iente de, 431 Asíntotas verti ales, horizontales y obli uas, 278

Cavalieri, Bonaventura, 337 Centro de gravedad, 420 Clark, John Bates, 227 Coase, Ronald, 326 Competitiva rma, 104 Con avidad y onvexidad, 268 Condi ión ne esaria para la existen ia de un extremo, 291 Condi ión ne esaria para punto de inexión, 276 Conjunto abierto, 92 a otado, 96

errado, 90

ompa to, 96

onexo, 99 Barrow, Isaa , 406

onvexo, 100 Be ker, Gary, 327 Continuidad Bernoulli de fun iones trigonométri as, 67 de una fun ión ompuesta, 58 Ni holas, James, John y Daniel, 365 en fun iones de dos variables, 80 Bernoulli, Daniel, 427 en fun iones de una variable, 53 Bernoulli, Ja ob, 337 en un onjunto, 83 Bertrand, Joseph, 104, 129, 322 en un intervalo, 63 Bienes públi os, 105 por la dere ha y por la izquierda, 63 Birkho, George D., 339 Continuidad impli a integrabilidad, 383 Bolzano, teorema de, 76 Costo de oportunidad, do trina del, 216 Bolzano-Weierstrass Cournot, Augustin L., 320 teorema de, 24 Críti a a la toma de de isiones maximiBriggs, Henry, 170 zando la utilidad esperada, 440 Brouwer, Luitzen, 112 Cramer, Gabriel, 427 Cál ulo diferen ial, 117 Cre ientes y de re ientes, fun iones, 262 Cambio de variable, 402 Criterio Cantor, George, 179 de ompara ión, 373 Cara terísti as topológi as de ompara ión para integrales, 411 preserva ión bajo ontinuidad, 97 de la integral, 410 Cau hy, Augustin, 1 de la raíz, 375


510

Índi e alfabéti o de la razón, 373 del n -ésimo término, 372 Criterio de segunda derivada para extremos, 267 Criterio de segunda derivada para extremos relativos, 295 Cuadraturas, problema de, 1 DAlembert, Jean, 364 Debreu, Gerard, 307 Derivabilidad impli a ontinuidad, 128 Deriva ión logarítmi a, 173 Derivada de la fun ión exponen ial, 161 de la fun ión logarítmi a, 161 de orden superior, 180 de poten ias de enteros, 140 de poten ias ra ionales, 143 de trigonométri as inversas, 150 de un o iente, 138, 141 de un produ to, 136 de una onstante, 134 de una suma, 135 deni ión de, 122 dire

ional, 197, 198 en fun iones de dos variables, 187 fun ión, 122 interna, 143 lateral, 126 par ial, 188 nota ión para las, 191 par ial on respe to a la primera variable, 188 par ial on respe to a la segunda variable, 189 par ial de orden superior, 208 por la dere ha, 126 por la izquierda, 126 sobre el origen del término, 122 sobre la deni ión de, 118 teorema de omportamiento global, 254 Diferen iabilidad

on ontinuidad, 196 en fun iones de dos variables, 192 impli a ontinuidad, 193 Diferen ial, 176

511 total, 192 Dis o abierto en R2 , 92 Dis ontinuidad esen ial, 59 no esen ial, 59 Duopolio de Cournot bajo riesgo, 436 Duopolio, modelo de, 104 Dupuit, Jules, 215, 304, 453 e, número base exponen ial, 114 E onomía de es ala, 106 E onomía walrasiana bajo in ertidumbre, 439 E ua ión diferen ial, 355 E ua ión de Euler, 219 E ua ión diferen ial fundamental, 358 Edgeworth, Fran is , 306 Einstein, Albert, 261 Elasti idad de sustitu ión, 220 Elasti idades, 220 En y lopédie, 176 Epi uro, 304 Eudoxio, 1, 337 Euler, Leonhard, 88, 219, 364 Ex edente del onsumidor, 452, 453 Exhaus ión, método de, 1, 25


Fisher, Franklin, 101 Formas uadráti as

omportamiento de segundas derivadas, 298 Fré het, Mauri e René, 88, 96 Friedman, Milton, 103 Fubini, Guido, 416 Fun ión a otada, 73

ontinua, 54

ontinua en el análisis e onómi o, 101 homogénea, 111 logarítmi a, 172 logaritmo natural, 168 seno hiperbóli o, oseno hiperbóli o y tangente hiperbóli a, 236 Fun ión ontinua álgebra de, 57 álgebra en dos variables, 83

512


fun ión ra ional omo, 57 Königsberg, problema de los puentes de, 88 polinomio omo, 57 Fun ión dis ontinua Kahneman, Daniel, 441 en todos los puntos, 60 Kaldor, Ni holas, 220 Fun ión implí ita, teorema de, 155 Kepler, Johannes, 337 Fun ión implí ita, teorema en dos Keynes, John Maynard, 222 variables, 206 Klein, Felix, 179 Fun ión integrable, 381 Fun ión inversa, teorema de, 79, 146 Límite, 1 Fun iones elementales, 354 álgebra de, 17, 29 Fun iones marginales, 215 álgebra en dos variables, 82 al innito, 42 Galilei, Galileo, 26 al innito en dos variables, 81 Gossen, Hermann, 305 al innito negativo, 43 Grá a de una fun ión, 284 al innito positivo, 43 Gradiente, ve tor, 197

omportamiento asintóti o, 21 Gregory, James, 261

omportamiento lo al, 48 de una fun ión ompuesta, 57 Hall, R. L., 325 de una fun ión de una sola variable, Harrod, Roy F., 325 28 Harsanyi, John, 429 de una su esión, 7 Hesse, Ludwig, 297 deni ión mediante su esiones, 29 Hi ks, John, 217, 305, 453 en fun iones de dos variables, 80 Hipótesis de la utilidad esperada, 428 innito, 45 Hit h, C. J., 325 innito bási o, 47 Hotelling, Harold, 307, 453 innito en dos variables, 81 innito negativo −∞, 46 Individualismo metodológi o, 303 innito positivo +∞, 46 Innitesimal, 176 por la dere ha, 38 Integral por la izquierda, 38 álgebra de la, 388 uni idad del, 16 denida, 378, 381 unilateral, 38 impropia, 407 y límites laterales, 39 impropia onvergente, 408 La roix, Silvestre, 129, 188 impropia divergente, 408 Lagrange, Joseph Louis, 122, 187, 334, 364 propiedades de la, 388 Lapla e, Pierre-Simon, 187 Integral doble Legendre, Adrien, 187 álgebra, 415 Leibniz, Gottfried, 117, 406, 446

ambio de variable, 422 Lerner, Abba, 217, 221

ambio lineal de oordenadas, 424 Liminf, 115

ambio por oordenadas polares, 423 Limsup, 115

omo reitera ión, 416 Logaritmo deni ión, 414, 415

ambio de base, 172 en regiones no-a otadas, 417 de base a, propiedades, 172 Logaritmo natural Ja obiana, matriz, 205, 236 propiedades, 168 Jaé, William, 306 Logaritmos Jevons, William, 305


Índi e alfabéti o

513

origen de los, 169 Lovallo, Mario, 441 Lu e, R.Dun an, 427

Media aritméti a, 395 Menger, Carl, 303 Mer ator, Ni olaus, 168, 261, 364 Mill, John Stuart, 216 Modelo de duopolio de Bertrand, 321 Möbius, August, 88 Modelo de duopolio de Cournot, 320 Máxima utilidad, 308 Modelo de duopolio de von Sta kelberg, Máxima utilidad Cobb-Douglas, 311 324 Máxima utilidad CRRA, 309 Monopolista dis riminador de pre ios, 332 Máximo bene io, 313 Monopolista no-dis riminador de pre ios, Máximo bene io 333 bajo fun ión Cobb-Douglas, 314 Máximo bene io bajo una fun ión CES, Morgenstern, Oskar, 427 Multipli adores de Lagrange, método de, 319 334 Máximo relativo y absoluto, 244, 290 Método de Lagrange, 334 Nelson, Ri hard, 327 Mínimo osto, 313 Neper, John, 169 bajo fun ión Cobb-Douglas, 316 Newton, Isaa , 117, 406 bajo una fun ión CES, 317 Mínimo gasto, 308 Pantaleoni, Maeo, 217 Mínimo gasto on utilidad separable Paradoja de San Petersburgo, 430 CARA, 312 Pareto, óptimo e onómi o de, 307 Mínimo relativo y absoluto, 244, 290 Pareto, Vilfredo, 307 Ma hlup, Fritz, 220, 325 Peano, Giuseppe, 179 Mallas, 414 Pigou, Arthur C., 306 Marginalidad Plano tangente, 201

omo derivada, 215 Poin aré, Henri, 88 en fun iones homogéneas, 219 Polinomios de Taylor, 183 en la fun ión de onsumo, 222 Polinomios de Taylor, historia de los, 261 en la fun ión de demanda, 222 Preserva ión del signo, teorema de, 72 en la fun ión de ingreso, 222 Problema de uadraturas, 337 en la fun ión de produ

ión, 223 Problema de mayoría, 105 en las fun iones CES, 226 Problemas de intera

iones en el en las fun iones Cobb-Douglas, 223

omportamiento del produ tor raen las fun iones de bene ios, 230

ional, 319 en las fun iones de ostos, 230 Punto en las fun iones de utilidad, 228 adherente o punto límite, 90 en las fun iones de utilidad CARA,

ríti o, 245 228 de frontera, 95 en las fun iones de utilidad CRRA, de inexión, 276 229 extremo, 244, 290 en las fun iones de utilidad interior, 95 separables, 228 Punto ríti o en teoría e onómi a, 215 para fun iones de dos variables, 291 y distribu ión del ingreso, 227 Punto de silla, 298 Marginalismo y ra ionalidad, debate, 325 Punto jo, otro teorema de, 111 Marshall, Alfred, 220, 307, 453 Punto jo, teorema de, 78 Matriz hessiana, 297 Punto jo, teorema de Brouwer, 112


514


Ra ionalidad y marginalismo, ejemplos, 307

onvergente en R2 , 89 Re ta tangente, 119

re iente, 4 Regla

re iente estri ta, 4 de la adena para la integra ión, 402 de re iente, 4 de Leibniz, 446 de re iente estri ta, 4 Regla de fra

iones par iales divergente, 7, 11 para antiderivadas, 350 en R2 , 89 monótona, 4 Regla de integra ión por partes para antiderivadas, 343 monótona estri ta, 4 Sumas Regla de L'Hpital, 273 de Riemann para integrales Regla de la adena dobles, 414 para antiderivadas, 345 de Riemann para integrales ordinaRegla de la adena para dos variables, 203 rias, 380 Reglas de deriva ión, 134 nitas, 365 Revolu ión marginalista, 304 Sustitu iones trigonométri as, 348 Riemann, Georg, 88 Riesgo Tangentes amante al, 433 problema de , 1 averso al, 433 Taylor, Brook, 183 Robbins, Lionel, 216 Taylor, polinomios de, 180 Roberval, Gilles, 337 Teorema Robinson, Abraham, 179 de existen ia de extremo, 264 Rolle, Mi hael, 249 de Fubini, 418 Russell, Bertrand, 179 de L'Hpital, 273 de la fun ión implí ita Sándwi h, teorema del, 31 demostra ión, 240 Samuelson, Paul, 222, 453 de la fun ión inversa, 237 Savage, Leonard J., 428 de punto jo de Brouwer, 112 Say, Jean Baptiste, 304 de Rolle, 249 Sen, Amartya, 429 de Taylor, 257 Senior, Nassau, 304 expansiones fundamentales, 258 Serie para fun iones de dos variables, 293 álgebra, 372 del sándwi h, 27 armóni a, 371 del valor medio, 249, 252

onvergen ia de una, 369 para integrales, 393 geométri a, 369 fundamental de la optimiza ión, 245 Series innitas, 368 fundamental del Cál ulo Smith, Adam, 304 primer teorema, 398 Stigler, George, 325 segundo teorema, 401 Subasta de sobre sellado bajo riesgo, 437 visión físi a, 405 Subsu esión, 23 Toma de de isiones Su esión, 3 bajo ertidumbre, 427 a otada, 6 bajo in ertidumbre, 427, 439 a otada inferiormente, 6 bajo riesgo, 427 a otada superiormente, 6 Topología, 88

onstante, 9 Tversky, Amos, 441

onvergente, 7, 15


Índi e alfabéti o

515

Utilidad esperada, 428 Valor extremo de una fun ión de dos variables, 289 Valor extremo, fun ión de una variable, 244 Valor intermedio, teorema del, 76 Valor promedio, 395 Varia ión instantánea, 122 Varia ión por entual, 178 Ve tor gradiente, 197 Velo idad

omo una derivada, 132 Viete, François, 108, 370 von Bawerk, Eugen, 216 von Haberler, Gottfried, 216, 217 von Neumann, John, 427 Von Sta kelberg, Heinri h, 324 von Wieser,Friedri h, 216 Wallis, John, 108, 161 Walras, Léon, 216, 305 Weierstrass deni ión ǫ , δ de límite de, 33 teorema de, 12 teorema de valores extremos de, 75 Weierstrass, Karl , 1 Wi ksell, Knut, 227 Wi ksteed, Phillip, 216 Williamson, Oliver E., 327 Winter, Sidney, 327

www.fullengineeringbook.net Zenon, 1 primera paradoja de, 11

516


Matemáti as bási as para e onomistas Sergio Monsalve (editor)

Volumen 0: Fundamentos Le

ión

1.

Sobre

la

geometría,

la

Volumen 1: Álgebra lineal arit-

méti a y la trigonometría griegas.

Le

ión 1. Sistemas de e ua iones lineales: solu ión por elimina ión gaussiana.

Le

ión 2. El álgebra de los siglos XVI y

Le

ión 2. Matri es y determinantes.

XVII.

Le

ión 3. Sistemas de e ua iones linea-

Le

ión 3. La geometría analíti a de Des-

les: solu ión por matriz inversa.

artes y Fermat.

Le

ión 4. Ve tores.

Le

ión 4. Sobre los fundamentos para las

Le

ión 5. Bases y dimensión.

matemáti as ontemporáneas.

Le

ión 6. Transforma iones lineales. Le

ión 7. Diagonaliza ión en

Rn .

www.fullengineeringbook.net Le

ión 8. Conjuntos onvexos.

Volumen 2: Cál ulo

Volumen 3: Optimiza ión y dinámi a

Le

ión 1. El método de límites. Le

ión 2. La derivada.

Le

ión 1. Fun iones ón avas, onvexas,

Le

ión 3. Elementos bási os de la teoría

uasi ón avas y uasi onvexas.

de la optimiza ión.

Le

ión 2. Optimiza ión estáti a.

Le

ión 4. La integral.

Le

ión 3. Sistemas dinámi os. Le

ión 4. Optimiza ión dinámi a.



Matemáticas Básicas Para Economistas. Cálculo - Sergio Monsalve

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