MATEMÁTICAS MAT EMÁTICAS ELEMENTALES Recordemos que este periodo abarca un enorme periodo de tiempo, alrededor de 2000 años, desde los siglos VI-V a.C. hasta el siglo XVI. En el año 2! el emperador "ustiniano cerr# las escuelas griegas, pese a lo cual la ciencia griega sigui# presentando una cierta unidad. En el siglo VII el pensamiento cient$%ico griego, ampliamente di%undido, si bien no produce &a obras originales, se encuentra ampliamente con%rontado a otras tradiciones. En estas condiciones surgen los 'rabes, creando un imperio tan e(tenso como sorprendente. )as condiciones de *ida econ#micas & pol$ticas que se %ormaron, %a*orecieron el desarrollo de las matem'ticas, e(igido por las necesidades del Estado, la irrigaci#n, las construcciones, el comercio & la artesan$a, desarroll'ndose en el arsenal de los matem'ticos 'rabes, muchos procedimientos de c'lculo & algor$tmos algor$tmos especiales.
En el continente europeo, las matem'ticas no tienen tan antiguo origen como en muchos pa$ses del +edio & )eano riente, alcanando alcanando s#lo /(itos notorios en la /poca del +edie*o desarrollado & especialmente en el Renacimiento. •
Imperio Musulmán
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Europa Medieval y Renacimiento
IMPERIO MUSULMÁN. urante el primer siglo del Imperio +usulm'n no +usulm'n no se produo ning1n desarrollo desarrollo cient$%ico, &a que los 'rabes, no no hab$an conseguido conseguido el impulso intelectual necesario, mientras que el inter/s por el saber en el resto del mundo, hab$a desaparecido casi completamente. completamente. ue a partir de la segunda mitad del siglo VIII, cuando comen# el desen%renado proceso de traducir al 'rabe todas las obras griegas conocidas. 3e %undaron escuelas por todo el Imperio, entre las que destaca 4ait 5l6i7ma 8Casa de la 3abidur$a9. Entre los miembros de esta escuela destaca un nombre propio +ohammed +ohammed ibn-+usa 5l-:ho;arimi 5l-:ho;arimi que escribi# escribi# m's de media media docena de obras matem'ticas & astron#micas, dos de las cuales han tenido especial importancia en la historia. )a primera de ellas est' basada en una traducci#n 'rabe de 4rahmagupta & en la que se da una reproducci#n e(acta del sistema de numeraci#n hind1, lo que ha originado la creencia popular de que nuestro sistema de numeraci#n procede del 'rabe. El
- obtenci#n del n1mero pi con ?@ ci%ras e(actas mediante pol$gonos inscritos & circunscritos en la circin%erencia realiada por :ashi 8s. XV9. espu/s de m's de ?0 años, en ?!A, en Europa, ViBte encontr# s#lo nue*e ci%ras e(actas. 6ubo que esperar a %ines del siglo XVI & comienos del XVII para repetir el c'lculo de :ashi. - c'lculo de ra$ces por el m/todo conocido actualmente
como de Ru%%ini-6orner, posiblemente como resultado de la estrecha colaboraci#n con los matemñaticos chinos. 5dem's 5dem's %ue ad*ertida & e(presada la serie del desarrollo binomial & %ue tambi/n tambi/n enunciada la tabla de coe%icientes coe%icientes binomiales. - e(tracci#n e(tracci#n apro(imada de ra$ces, utiliando la interpolaci#n lineal. - sumaci#n de progresiones aritm/ticas & geom/tricas. 5simismo, en *irtud de la %recuente apliaci#n en los c'lculos de las irracionalidades ir racionalidades,, el l$mite entre los n1meros racionales & los irracionales comen# a di%uminarse, ampli'ndose la concepci#n de n1mero real positi*o. )a idea de una concepci#n 1nica del n1mero real obtu*o pues, en el oriente +edio cierto per%eccionamiento. per%eccionamiento. )os trabaos algebraicos 'rabes entre los siglos IX-XV adem's de la resoluci#n de ecuaciones de primer & segundo grado, grado, inclu$an tambi/n tambi/n las ecuaciones ecuaciones c1bicas. c1bicas. 5 estas 1ltimas conduc$an di%erentes tipos de problemas problemas como la di*isi#n de la es%era por un plano, la trisecci#n del 'ngulo, la b1squeda del lado de un pol$gono regular de ! lados... tra direcci#n en la resoluci#n de ecuaciones c1bicas, se basaba en la obtenci#n de la imagen geom/trica de la ra$ positi*a, por medio de la intersecci#n de secciones c#nicas, con*enientemente con*enientemente elegidas. 3in embargo el gran de%ecto del 'lgebra de esta /poca era la ausencia de una simbolog$a, lo que contu*o el desarrollo del 'lgebra. 5dem's 5dem's de la separaci#n del 'lgebra, el rasgo caracter$stico m's importante de las matem'ticas 'rabes %ue la %ormaci#n de la trigonometr$a. En relaci#n con los problemas de astronom$a, con%eccionaron con%eccionaron tablas de las %unciones trigonom/tricas con gran %recuencia & alto grado de e(actitud, tanto en trigonometr$a plana como es%/rica. Entre las obras geom/tricas destacan las de mar :ha&&am 8s. XVI9 & asir Edin 8s. XIII9, directamente in%luenciadas por las obras cl'sicas, pero a las que contribu&eron con distintas generaliaciones generaliaciones & estudios cr$ticos, como los relati*os al a(ioma euclideano del paralelismo, que pueden pueden considerarse considerarse como estudios estudios precursores de de la geometr$a no euclideana.
EUROPA MEDIEVAL MEDIEVAL Y EL RENACIMIENTO RENA CIMIENTO . En el continente europeo, las matem'ticas no tienen un origen tan antiguo como en muchos pa$ses del )eano & +edio riente, alcanando s#lo /(itos notorios en la /poca del medie*o desarrollado & especialmente en el Renacimiento. El punto de arranque de las matem'ticas en Europa %ue la creaci#n de los centros de enseñana. Con anterioridad, tan solo algunos mones se dedicaron a estudiar las obras de ciencias naturales & matem'ticas de los antiguos. Dno de los primeros centros de enseñana %ue organiado en Reims 8rancia9 por erberto 83il*estre II9 8!F0-?00A9. ua posiblemente el primero en Europa que enseñ# el uso de los numerales hind1-ar'bigos. 3in embargo hubo que esperar a que los musulmanes rompieran la barrera ling=$stica, hacia el siglo XII, para que surgiera una oleada de traducciones que pusieran en marcha la maquinaria matem'tica. El trabao de los traductores %ue sensacional. 5s$ erardo de Cremona 8???F-??G@9 traduo del 'rabe m's de G0 obras. urante el siglo XIII surgi# la %igura de )eonardo de Hisa 8??G0-?209 8??G0-?209 m's conocido como ibonacci. 5lrededor 5lrededor del año ?202 escribi# su c/lebre obra <)iber 5baci< 8el libro del 'baco9, en el que se encuentran e(puestos> el c'lculo de n1meros seg1n el sistema de numeraci#n posicional operaciones con %racciones comunes, aplicaciones & c'lculos comerciales como la regla de tres simple & compuesta, la di*isi#n proporcional, problemas sobre la determinaci#n de calidad de las monedas problemas de progresiones progresiones & ecuaciones ecuaciones ra$ces cuadradas & c1bicas... c1bicas... ibonacci ibonacci qued# inmortaliado por la %amosa
coneos. tra obra importante %ue el
NACIMIENTO: HASTA VI-V !C! El concepto de n1mero surgi# como consecuencia de la necesidad pr'ctica de contar obetos. Inicialmente se contaban con a&uda de los medios disponibles> dedos, piedras... 8basta recordar por eemplo, que la palabra c'lculo deri*a de la palabra latina calculus que signi%ica contar con piedras9. )a serie de n1meros naturales era, ob*iamente, limitada, pero la conciencia sobre la necesidad de ampliar el conunto de n1meros representa &a una importante etapa en el camino hacia la matem'tica moderna. Haralelamente a la ampliaci#n de los n1meros se desarroll# su simbolog$a & los sistemas de numeraci#n, di%erentes para cada ci*iliaci#n.
E"tu#ire$o" cutro cultur" o ci%ili&cione" , localiadas en esta misma p'gina> • •
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Antigua Civilización Egipcia Mesopotamia o Antigua Babilonia China Antigua India Antigua Grecia Clásica
ANTI'UA CIVILI(ACI)N E'IPCIA! )a in%ormaci#n disponible sobre la ci*iliaci#n desarrollada a lo largo del ilo es, lo su%icientemente %iable, como para ser considerada la primera ci*iliaci#n que alcan# un cierto desarrollo matem'tico. uestros conocimientos sobre las matem'ticas del 5ntiguo Egipto se basan principalmente en dos grandes papiros de car'cter matem'tico & algunos pequeños %ragmentos, as$ como en las inscripciones en piedra encontradas en tumbas & templos. esarrollaron el llamado
MESOPOTAMIA O ANTI'UA *A*ILONIA! 4ao esta denominaci#n se engloban los Estados situados entre el Migris & el Eu%rates & que e(istieron desde el año 2000 a.C. hasta el año 200 a.C. 5ctualmente la in%ormaci#n sobre esta ci*iliaci#n 8en cuanto a matem'ticas se re%iere9 es mucho ma&or que la e(istente sobre la ci*iliaci#n egipcia, debido a que en lugar de papiros, utiliaban escritura cunei%orme sobre tablillas de arcilla, mucho m's resistentes al paso del tiempo. e las m's de ?00.000 tablillas conser*adas, s#lo 20 tienen contenidos matem'ticos & de ellas apenas 0 tienen te(to. 5l igual que sucede con los papiros, las tablillas contienen 1nicamente problemas concretos & casos especiales, sin ning1n tipo de %ormulaci#n general, lo que no quiere decir que no e(istiera, pues es e*idente, que tales colecciones de problemas no pudieron deberse al aar. Dtiliaron el sistema de numeraci#n posicional se(agesimal, carente de cero & en el que un mismo s$mbolo pod$a representar indistintamente *arios n1meros que se di%erenciaban por el enunciado del problema. esarrollaron un e%ica sistema de notaci#n %raccionario, que permiti# establecer apro(imaciones decimales *erdaderamente sorprendentes. Esta e*oluci#n & simpli%icaci#n del m/todo %raccionario permiti# el desarrollo de nue*os algoritmos que se atribu&eron a matem'ticos de /pocas posteriores, baste como eemplo el algoritmo de e;ton para la apro(imaci#n de ra$ces cuadradas. esarrollaron el concepto de n1mero in*erso, lo que simpli%ic# notablemente la operaci#n de la di*isi#n. Encontramos tambi/n en esta /poca los primeros sistemas de dos ecuaciones con dos inc#gnitas pero sin duda la gran aportaci#n algebraica babil#nica se centra en el campo de la potenciaci#n & en la resoluci#n de ecuaciones cuadr'ticas, tanto es as$ que llegaron a la soluci#n para ecuaciones de la %orma ( 2Qp(q, pT0, qT0 & tambi/n a( 2Qb(c mediante el cambia de *ariable ta(. E%ectuaron un sin %in de tabulaciones que utiliaron para %acilitar el c'lculo, por eemplo de algunas ecuaciones c1bicas. El dominio en esta materia era tal, que incluso desarrollaron algor$tmos para el c'lculo de sumas de progresiones, tanto aritm/ticas como geom/tricas. 3u capacidad de abstracci#n %ue tal que desarrollaron muchas de las que ho& se conocen como ecuaciones dio%'nticas, algunas de las cuales est'n $ntimamente unidas con conceptos geom/tricos, terreno /ste, en el que tambi/n superaron a la ci*iliaci#n egipcia, constitu&endo los problemas de medida el bloque central en este campo> 'rea del cuadrado, del c$rculo 8con una no mu& buena apro(imaci#n de pi igual a A9, *ol1menes de determinados cuerpos, semeana de %iguras, e incluso ha& autores que a%irman que esta ci*iliaci#n conoc$a el teorema de Hit'goras aplicado a problemas particulares, aunque no, ob*iamente, como principio general.
CHINA ANTI'UA! 5unque la ci*iliaci#n china es cronol#gicamente comparable a las ci*iliaciones egipcia & mesopot'mica, los registros e(istentes son bastante menos %iables. )a primera obra matem'tica es
egipcios & babil#nicos & a di%erencia de los griegos cu&os tratados eran e(positi*os, sistem'ticos & ordenados de manera l#gica. )os problemas resumen un compendio de cuestiones sobre agricultura, ingenier$a, impuestos, c'lculo, resoluci#n de ecuaciones & propiedades de tri'ngulos rect'ngulos. El sistema de numeraci#n es el decimal erogl$%ico. )as reglas de las operaciones son las habituales, aunque destaca como singularidad, que en la di*isi#n de %racciones se e(ige la pre*ia reducci#n de /stas a com1n denominador. ieron por sentado la e(istencia de n1meros negati*os, aunque nunca los aceptaron como soluci#n a una ecuaci#n. )a contribuci#n algebraica m's importante es, sin duda, el per%eccionamiento alcanado en la regla de resoluci#n de sistemas de ecuaciones lineales. Hara todos los sistemas se establece un m/todo gen/rico de resoluci#n mu& similar al que ho& conocemos como m/todo de auss, e(presando incluso los coe%icientes en %orma matricial, tran%orm'ndolos en ceros de manera escalonada. In*entaron el
INDIA ANTI'UA! 3on mu& escasos los documentos de tipo matem'tico que han llegado a nuestras manos, pese a tener constancia del alto ni*el cultural de esta ci*iliaci#n. 5un m's que en el caso de China, e(iste una tremenda %alta de continuidad en la tradici#n matem'tica hind1 & al igual que ocurr$a con las tres ci*iliaciones anteriores, no e(iste ning1n tipo de %ormalismo te#rico. )os primeros indicios matem'ticos se calculan hacia los siglos VIII-VII a.C, centr'ndose en aplicaciones geom/tricas para la construcci#n de edi%icios religiosos & tambi/n parece e*idente que desde tiempos remotos utiliaron un sistema de numeraci#n posicional & decimal. ue, sin embargo, entre los siglos V-XII d.C cuando la contribuci#n a la e*oluci#n de las matem'ticas se hio especialmente interesante, destacando cuatro nombres propios> 5r&abhata 8s.VI9, 4rahmagupta 8s.VI9, +aha*ira 8s. IX9 & 4has7ara 57aria 8s.XII9. )a
caracter$stica principal del desarrollo matem'tico en esta cultura, es el predominio de las reglas aritm/ticas de c'lculo, destacando la correcta utiliaci#n de los n1meros negati*os & la introducci#n del cero, llegando incluso a aceptar como n1meros *alidos las n1meros irracionales. Hro%undiaron en la obtenci#n de reglas de resoluci#n de ecuaciones lineales & cuadr'ticas, en las cuales las ra$ces negati*as eran interpretadas como deudas. esarrollaron tambi/n, sin duda para resol*er problemas astron#micos, m/todos de resoluci#n de ecuaciones dio%'nticas, llegando incluso a plantear & resol*er 8s.XII9 la ecuaci#n ( 2?Qa&2, denominada ecuaci#n de Helt. Como resumen acabaremos diciendo que en la historia de la India se encuentran su%icientes hechos que ponen en e*idencia la e(istencia de relaciones pol$ticas & econ#micas con los estados griegos, egipcios, 'rabes & con China. +atem'ticamente se considera indiscutible la procedencia hind1 del sistema de numeraci#n decimal & las reglas de c'lculo.
'RECIA )a acti*idad intelectual de las ci*iliaciones desarrolladas en Egipto & +esopotamia, &a hab$a perdido casi todo su impulso mucho antes que comenara la Era Cristiana, pero a la *e que se acentuaba este decli*e, surg$an con una %uera indescriptible nue*as culturas a lo largo de todo el +editerr'neo & de entre ella, la cultura hel/nica %ue la principal abanderada en el terreno cultural. Manto es as$, que las ci*iliaciones anteriores a la 5ntigua recia se conocen como culturas prehel/nicas. El helenismo nunca logr# la unidad, ni en su /poca de m'(imo apogeo ni cuando %ue amenaado con la destrucci#n. 5hora bien, en menos de cuatro siglos, de Males de +ileto a Euclides de 5leandr$a, & lo ha&an querido o no los pensadores griegos, ri*ales de ciudades o de escuelas, constru&eron un imperio in*isible & 1nico cu&a grandea perdura hasta nuestros d$as. Este logro ins#lito se llama MAEM!ICA" . 3al*o e(cepciones, los productores se agrupaban en escuelas. En los matem'ticos de esta /poca los problemas pr'cticos relacionados con las necesidades de c'lculos aritm/ticos, mediciones & construcciones geom/tricas continuaron ugando un gran papel. 3in embargo, lo no*edoso era, que estos problemas poco a poco se desprendieron en una rama independiente de las matem'ticas que obtu*o la denominaci#n de las operaciones con n1meros enteros, la e(tracci#n num/rica de ra$ces, el c'lculo con la a&uda de dispositi*os au(iliares, c'lculo con %racciones, resoluci#n num/rica de problemas que conducen a ecuaciones de ? er & 2 grado, problemas pr'cticos de c'lculo & constructi*os de la arquitectura, geometr$a, agrimensura, etc... 5l mismo tiempo &a en la escuela de Hit'goras se ad*ierte un proceso de recopilaci#n de hechos matem'ticos abstractos & la uni#n de ellos en sistemas te#ricos. 5s$ por eemplo, de la aritm/tica %ue separada en una rama independiente la teor$a de n1meros, es decir, el conunto de conocimientos matem'ticos que se relacionan con las propiedades generales de las operaciones con n1meros naturales. En esta /poca &a resultaban conocidos los m/todos de sumaci#n de progresiones aritm/ticas simples. 3e estudiaban cuestiones sobre la di*isibilidad de los n1meros %ueron introducidas las proporciones aritm/ticas, geom/tricas & arm#nicas & di%erentes medias> la aritm/tica, la geom/trica & la arm#nica. "unto a la demostraci#n geom/trica del teorema de Hit'goras %ue encontrado el m/todo de hallago de la serie ilimitada de las ternas de n1meros
En este tiempo transcurrieron la abstracci#n & sistematiaci#n de las in%ormaciones geom/tricas. En los trabaos geom/tricos se introdueron & per%eccionaron los m/todos de demostraci#n geom/trica. 3e consideraron, en particular> el teorema de Hit'goras, los problemas sobre la cuadratura del c$rculo, la trisecci#n de un 'ngulo, la duplicaci#n del cubo & la cuadratura de una serie de 'reas 8en particular las acotadas por l$neas cur*as9. 3e descubri# de manera taante la irracionalidad, demostrando, por eemplo, la irracionalidad de la ra$ cuadrada de 2 por la *$a de reducci#n al absurdo. Este descubrimiento de la irracionalidad conduo ine*itablemente a la elaboraci#n de la teor$a de la di*isibilidad. )a etapa siguiente se caracteria por la necesidad de crear una teor$a matem'tica general tanto para los n1meros racionales como para los irracionales. Haralelamente, al ampliarse el n1mero de magnitudes medibles, debido a los n1meros irracionales, se origin# una re%ormulaci#n de la geometr$a, dando lugar al 'lgebra geom/trica. Esta nue*a rama inclu$a entre otros conceptos el m/todo de ane(i#n de 'reas, el conunto de proposiciones geom/tricas que interpretaban las cantidades algebraicas, di*isi#n 'urea, e(presi#n de la arista de un poliedro regular a tra*/s del di'metro de la circun%erencia circunscrita. 3in embargo, el 'lgebra geom/trica estaba limitada a obetos de dimensi#n no ma&or que dos, siendo inaccesibles los problemas que conduc$an a ecuaciones de tercer grado o superiores, es decir, se hac$an imposibles los problemas que no admitieran soluci#n mediante regla & comp's. )a historia sobre la resoluci#n de los tres problemas geom/tricos cl'sicos 8sobre la cuadratura del c$rculo, la trisecci#n de un 'ngulo, la duplicaci#n del cubo9 est' llena de an/cdotas, pero lo cierto es que como consecuencia de ellos surgieron, por eemplo, las secciones c#nicas, c'lculo apro(imado del n1mero pi, el m/todo de e(hauci#n como predecesor del c'lculo de l$mites o la introducci#n de cur*as trascendentes. 5simismo, el surgimiento de la irracionalidad condicion# la necesidad de creaci#n de una teor$a general de las relaciones, teor$a cu&o %undamento inicial lo constitu&# el algoritmo de Euclides.
Con"trucci+n ,io$tic #e l" Mte$tic"! )as primeras teor$as matem'ticas que se abstraeron de los problemas concretos o de un conunto de problemas de un mismo tipo, crearon las condiciones necesarias & su%icientes para el reconocimiento de la autonom$a & especi%icidad de las matem'ticas. El car'cter abstracto del obeto de las matem'ticas & los m/todos de demostraci#n matem'tica establecidos, %ueron las principales causas para que esta ciencia se comenara a e(poner como una ciencia deducti*a, que a partir de unos a(iomas, presenta una sucesi#n l#gica de teoremas. )as obras en las cuales, en aquella /poca se e(pon$an los primeros sistemas matem'ticos de denominaban )os Elementos de Euclides. <)os Elementos<, como denominaremos a esta obra a partir de ahora, est'n constituidos por trece libros, cada uno de los cuales consta de una sucesi#n de teoremas. 5 *eces se añaden otros dos, los libros ?F & ? que pertenecen a otros autores pero por su contenido, est'n pr#(imos al 1ltimo libro de Euclides.
M.to#o" in/inite"i$le"! En la construcci#n de las teor$as matem'ticas en la recia 5ntigua, mu& temprano se espec$%ico una clase espec$%ica de problemas para la soluci#n
de los cuales, era necesario in*estigar los pasos al l$mite, los procesos in%initos, la continuidad ... 5lgunos grupos de cient$%icos antiguos buscan la salida de estas di%icultades en la aplicaci#n a la matematica de las ideas %ilos#%icas atomicistas. El eemplo m's notable lo constitu&e em#crito. Igualmente %lorecieron teor$as totalmente contrarias a esta concepci#n. Mengamos en cuenta, por eemplo, las paradoas de Wen#n. tro de los m/todos m's antiguos de este g/nero es el m/todo de e(hauci#n, atribuido a Eu(odo & aplicable al c'lculo de 'reas de %iguras, *ol1menes de cuerpos, longitud de cur*as, b1squeda de subtangentes... Con el m/todo se demuestra la unicidad del l$mite, pero no se soluciona el problema sobre la e(istencia de l$mite aun as$ se considera la primera %orma del m/todo de l$mites. )os m/todos in%initesimales en la 5ntigua recia, sir*ieron de punto de partida para muchas in*estigaciones de los matem'ticos de los siglos XVI & XVII. particularmente se estudiaban los m/todos de 5rqu$medes, en especial aquellos re%eridos al c'lculo de *ol1menes. El propio )eibni escribi# que regla de e(tracci#n de ra$ces cuadradas & c1bicas c'lculo de 'reas & *ol1menes & en especial la conocida %#rmula de 6er#n para calcular el 'rea del tri'ngulo conocidos los tres lados. Igualmente son destacables los m/todos de io%anto que encontr# soluciones a m's de 0 clases di%erentes de ecuaciones, generalmente de segundo grado, denominadas ecuaciones dio%'nticas. )a %ase %inal se caracteria por la aparici#n de 'lgebra, an'lisis in%initesimal, geometr$a anal$tica, mec'nica te#rica & el m/todo a(iom'tico.
MATEMÁTICAS DE LAS VARIA*LES:
SI'LOS 0VI1 0VII Y 0VIII E"tu#ire$o" independientemente cada uno de estos siglos> • • •
3iglo XVI 3iglo XVII 3iglo XVIII
SI'LO 0VI 5 %inales del siglo XVI, Europa ccidental hab$a recuperado &a, la ma&or parte de las obras matem'ticas m's importantes de la antig=edad que se han conser*ado hasta nuestros d$as. Hor otra parte, el 'lgebra 'rabe, hab$a sido asimilada & superada, introduciendo un cierto simbolismo & la trigonometr$a, se hab$a con*ertido en una disciplina independiente. )a /poca estaba &a casi madura, para lle*ar a cabo ciertos a*ances que superaran las contribuciones tanto antiguas, como medie*ales & renacentistas. Hero la transici#n del Renacimiento al mundo moderno, se hio tambi/n a tra*/s de un considerable n1mero de %iguras intermedias> alileo, Ca*alieri, 4riggs, eper, :epler & ViBte entre otros.
SI'LO 0VII urante el siglo XVII cambi# la %orma de e(istencia de las matem'ticas. En sustituci#n de los solitarios entusiastas, aparecieron las organiaciones cient$%icas como las 5cademias de )ondres & Har$s, comenando la organiaci#n de las instituciones & sociedades cient$%icas, que se con*irtieron en una %orma %ruct$%era de trabao en equipo de los cient$%icos. Mambi/n comenaron durante este siglo las publicaciones peri#dicas. 3in embargo se produo un cambio mu& importante en la concepci#n de las matem'ticas, complementando el estudio de los n1meros & dem's magnitudes constantes, con el estudio de los mo*imientos & trans%ormaciones. En este siglo es cuando tienen comieno todas o casi todas las disciplinas matem'ticas>
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Geometría Analítica . Métodos Integrales.
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Métodos Diferenciales.
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Análisis Infinitesimal.
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Cálculo de Probabilidades.
'eo$etr2 Anl2tic: En los trabaos de Ren/ escartes 8?!L-?L09 & Hierre de ermat 8?L0?-?L9, comen# a %raguarse la geometr$a anal$tica como un m/todo de
e(presi#n de las relaciones num/ricas de las dimensiones, %ormas & propiedades de los obetos geom/tricos, utiliando esencialmente el m/todo de coordenadas. )a 1ltima parte de la %amosa obra de escartes <iscurso del +/todo< denominada </ometrie<, detalla en su comieno, instrucciones geom/tricas para resol*er ecuaciones cuadr'ticas, centr'ndose seguidamente en la aplicaci#n del 'lgebra a ciertos problemas geom/tricos. 5nalia tambi/n cur*as de distintos #rdenes, para terminar en el tercer & 1ltimo libro que compone la obra, con la construcci#n de la teor$a general de ecuaciones, llegando a la conclusi#n de que el n1mero de ra$ces de una ecuaci#n es igual al grado de la misma, aunque no pudo demostrarlo. Hr'cticamente la totalidad de la /ometrie est' dedicada a la interrelaci#n entre el 'lgebra & la geometr$a con a&uda del sistema de coordenadas. 3imult'neamente con escartes, Hierre de ermat desarroll# un sistema an'logo al de aqu/l. )as ideas de la geometr$a anal$tica, esto es, la introducci#n de coordenadas rectangulares & la aplicaci#n a la geometr$a de los m/todos algebraicos, se concentran en una pequeña obra>
M.to#o" Inte3rle": 5l comieno, estos m/todos se elaboraban, acumulaban e independiaban en el transcurso de la resoluci#n de problemas sobre el c'lculo de *ol1menes, 'reas, centros de gra*edad... %orm'ndose como m/todos de integraci#n de%inida. El primero de los m/todos publicado %ue el de las operaciones directas con in%initesimales actuales. 5pareci# en el año ?L? en las obras de :epler. Hara la demostraci#n matem'tica de las le&es de :epler %ue necesario utiliar las magnitudes in%initesimales. 3in embargo, %ue en su obra <ue*a esteriometr$a de toneles de *ino...< donde e(puso su m/todo de utiliaci#n de magnitudes in%initesimales & los %undamentos para la sumaci#n de estos. +uchos cient$%icos dedicaron sus trabaos al per%eccionamiento del lado operati*o de esta empresa, & a la e(plicaci#n racional de los conceptos que surg$an sobre esto. )a ma&or %ama la adquiri# la geometr$a de los indi*isibles, creada por Ca*alieri, pensado como un m/todo uni*ersal de la geometr$a. Este m/todo %ue creado para la determinaci#n de las medidas de las %iguras planas & cuerpos, los cuales se representaban como elementos compuestos de elementos de dimensi#n menor. 5s$, las %iguras constan de segmentos de rectas paralelas & los cuerpos de planos paralelos. 3in embargo, este m/todo era incapa de medir longitudes de cur*as, &a que los correspondientes indi*isibles 8los puntos9 eran adimensionales. Hese a ello, la integraci#n de%inida en %orma de cuadraturas geom/tricas, adquiri# %ama en la primera mitad del siglo XVII, debido a la gran cantidad de problemas que pod$an resol*er. )as ideas que inclu&en elementos de integraci#n de%inida abarcaban hacia los años L0 del siglo XVII amplias clases de %unciones algebraicas & trigonom/tricas. Era necesario s#lo un impulso, la consideraci#n total de los m/todos desde un punto de *ista 1nico, para cambiar radicalmente toda la problem'tica de integraci#n & crear el c'lculo integral.
M.to#o" Di/erencile": En las matem'ticas del siglo XVII unto a los m/todos integrales, se %ormaron tambi/n los m/todos di%erenciales, dando sus primeros pasos en la resoluci#n de problemas. Males problemas eran en aquella /poca de tres tipos> determinaci#n de las tangentes a las cur*as, b1squeda de m'(imos & m$nimos de %unciones & b1squeda de las condiciones de e(istencia de ra$ces m1ltiples de las ecuaciones algebr'icas. En el transcurso de este siglo los problemas di%erenciales, aun se resol*$an por los m/todos m's di*ersos. *eamos algunos casos. Ka en la escuela de alileo, para la b1squeda de tangentes & normales a las cur*as, se aplicaban simult'neamente los m/todos cinem'ticos, considerando di%erentes lanamientos & mo*imientos compleos, determinando la tangente en cualquier punto de la tra&ectoria. Morricelli, admirador de alileo, estudi# las tra&ectorias parab#licas que siguen los pro&ectiles disparados desde un punto %io con *elocidad inicial constante, pero con 'ngulos de ele*aci#n sobre la horiontal *ariables, descubriendo que la en*ol*ente de todas esas par'bolas era otra par'bola, la llamada par'bola de seguridad. 5l pasar de la ecuaci#n de la distancia a la de la *elocidad, ambas en %unci#n del tiempo, & rec$procamente, se dio cuenta Morricelli del car'cter in*erso que presentan los problemas de cuadraturas en determinaci#n de tangentes. 3in embargo, su muerte repentina a los A! años, trunc# lo que pod$a haber sido la in*enci#n del c'lculo in%initesimal. )a e(posici#n sistem'tica del m/todo & sus aplicaciones m's importantes las dio Rober*al en ?LF0. )a acumulaci#n de los m/todos del c'lculo di%erencial adquiri# su %orma m's clara en ermat, quien resol*i# el problema de la determinaci#n de los *alores e(tremales de una %unci#n %8(9. Mambi/n est' pr#(imo al c'lculo di%erencial su m/todo de b1squeda de las tangentes a las cur*as algebraicas, si bien las
%unciones estudiadas eran polin#micas. 6acia mediados del siglo XVII se acumul# una reser*a lo su%icientemente grande de recursos de resoluci#n de problemas, actualmente resolubles mediante le di%erenciaci#n. 3in embargo, no hab$an sido aun separados la operaci#n espec$%ica de di%erenciaci#n & los conceptos equi*alentes a los de deri*ada & di%erencial. El an'lisis matem'tico se %ormaba en los dominios & en los t/rminos del 'lgebra, la geometr$a, la mec'nica, %ormadas &a entonces como ciencias. 5s$, cada nue*o c'lculo matem'tico siempre atra*iesa un periodo de %ormaci#n en los l$mites del &a e(istente sistema de ciencias matem'ticas, utiliando sus recursos.
Anli"i" In/inite"i$l: )a aparici#n del an'lisis in%initesimal %ue la culminaci#n de un largo proceso, cu&a esencia matem'tica interna consisti# en la acumulaci#n & asimilaci#n te#rica de los elementos del c'lculo di%erencial e integral & la teor$a de las series. Hara el desarrollo de este proceso se contaba con> el 'lgebra las t/cnicas de c'lculo introducci#n a las matem'ticas *ariables el m/todo de coordenadas ideas in%initesimales cl'sicas, especialmente de 5rqu$medes problemas de cuadraturas b1squeda de tangentes... )as causas que moti*aron este proceso %ueron, en primer t/rmino, las e(igencias de la mec'nica, la astronom$a & la %$sica. En la resoluci#n de problemas de este g/nero, en la b1squeda de problemas generales de resoluci#n & en la creaci#n del an'lisis in%initesimal tomaron parte muchos cient$%icos> :epler, alileo, Ca*alieri, Morricelli, Hascal, Oalis, Rober*al, ermat, escartes, 4arro;, e;ton, )eibni, Euler,... )a 1ltima etapa del desarrollo del an'lisis in%initesimal, %ue el establecimiento de la relaci#n e in*ersibilidad mutua entre las in*estigaciones di%erenciales e integrales, & a partir de aqu$ la %ormaci#n del c'lculo di%erencial e integral. Este 1ltimo surgi# como una parte independiente de las matem'ticas, casi simult'neamente en dos %ormas di%erentes> en la %orma de teor$a de %lu(iones de e;ton & bao la %orma del c'lculo de di%erenciales de .O. )eibni. Meor$a de %lu(iones> En el m/todo de %lu(iones se estudian las magnitudes *ariables, introducidas como abstracci#n de las di%erentes %ormas del mo*imiento mec'nico continuo. Estas magnitudes *ariables se consideran cantidades que *an %lu&endo o <%luentes<. espu/s se introducen las *elocidades de la corriente de los %luentes, esto es, las deri*adas con relaci#n al tiempo. Ellas se denominan %lu(iones, que a su *e son tambi/n *ariables & poseen tambi/n sus %lu(iones & as$ sucesi*amente. )os s$mbolos de la primera, segunda... %lu(iones, si el %luente se designa por & ser'n, Hara el c'lculo de las *elocidades instant'neas, es decir, de las %lu(iones, se e(ig$an *ariaciones in%initesimales de los %luentes, denominados por e;ton momentos. El s$mbolo del momento tiempo es 0 el momento del %luente <&< se escribe ., es decir, el producto de la *elocidad instant'nea por el momento tiempo. En esencia, el momento del %luente es su di%erencial. Con esta teor$a se resuel*en dos problemas %undamentales> - determinaci#n de la *elocidad de mo*imiento en un momento de tiempo dado, seg1n un camino dado. e otro modo> determinaci#n de la relaci#n entre las %lu(iones dada la relaci#n entre los %luentes. - dada la *elocidad de mo*imiento determinar el camino
recorrido en un tiempo dado. En t/rminos matem'ticos, determinar la relaci#n entre los %luentes dada la relaci#n entre las %lu(iones. El primer problema, llamado problema directo, representa el problema de la di%erenciaci#n impl$cita de %unciones & obtenci#n de la ecuaci#n di%erencial, que e(presa las le&es %undamentales de la naturalea. El segundo, llamado problema in*erso, es el problema de la integraci#n de las ecuaciones di%erenciales. C'lculo de los di%erenciales> en el plano puramente matem'tico el c'lculo de )eibni se %orm# bao las siguientes premisas> ?. Hroblemas de sumaci#n de series & la utiliaci#n de los sistemas de di%erencias %initas. 2. Resoluci#n de problemas sobre tangentes, el tri'ngulo de Hascal & el paso gradual de las relaciones entre elementos %initos a arbitrarios & despu/s in%initesimales. A. Hroblemas in*ersos de tangentes, sumaci#n de di%erencias in%initamente pequeñas, descubrimiento de la in*ersibilidad mutua entre los problemas di%erenciales e integrales. l lleg# a la idea sobre el s$mbolo
+ediante el nue*o c'lculo los matem'ticos de %inales de siglo & comienos del XVIII lograron resol*er un n1mero, que crec$a r'pidamente, de importantes problemas di%$ciles & pr'cticos. Estos /(itos pr'cticos & la elaboraci#n del c'lculo, alcanaron tal ni*el, que a %inales de siglo 8?L!L9, apareci# el primer manual de c'lculo di%erencial & sus aplicaciones a la geometr$a <5n'lisis In%initesimal< de .. )S6opital. Dn e(tenso lugar en las obras sobre historia de las matem'ticas de esta /poca, estu*o marcado por la disputa en la prioridad del descubrimiento del c'lculo di%erencial e integral, por parte de e;ton o )eibni descubrimiento que, como se ha demostrado posteriormente tu*o lugar de %orma simult'nea e independiente
El 'lgebra sigui# rompiendo su hermandad con la geometr$a, %ortaleci/ndose el aparato simb#lico literal, alcanando gran desarrollo la teor$a de ecuaciones. )a teor$a de n1meros se enriqueci# con las %amosas in*estigaciones de ermat. En particular a /l pertenece el conocido <ran teorema de ermat<. En el año ?LL 4. Hascal %ormul# el principio de inducci#n matem'tica.
Teor2 #e Pro44ili##e": )a teor$a de probabilidades, en relaci#n con los problemas con los que se tomaban las in*estigaciones combinatorias, a mediados del siglo XVII entr# en el estadio de %ormaci#n como ciencia. )as consideraciones probabil$sticas, en las cuales las ideas intuiti*as sobre el grado de posibilidad l#gica se complementaba con los c'lculos de %recuencia te#rica, comenaron a aparecer en el siglo XVI, pero s#lo en las obras de Hascal, ermat & 6u&gens comen# a entrar en uso en relaci#n con el problema de la repartici#n de los sueldos, el concepto de esperana matem'tica. 5l parecer, en el mismo %inal del siglo XVII "o. 4ernouilli descubri# la %orma m's simple de la le& de los n1meros generales 8publicado en el año ?@?A9.
SIGLO XVIII
urante el siglo XVIII la elaboraci#n cient$%ica & matem'tica se centr# casi e(clusi*amente en Europa. radualmente %ue creciendo el papel de los centros superiores de enseñana, haci/ndose particularmente notable hacia %inales de siglo con la re*oluci#n %rancesa. 3e podr$a decir que el siglo XVIII %ue un tramite entre los siglos XVII, cuando se in*entaron la geometr$a anal$tica & el c'lculo in%initesimal & el siglo XIX, origen del rigor matem'tico & espectador de luo del brillante %lorecimiento de la geometr$a. )os matem'ticos m's importantes de la /poca %ueron casi todos %ranceses> +onge, )agrange, S5lembert, )aplace, legendre, Carnot & Condorcet. las dos grand$simas e(cepciones a esta lista %ueron Euler & auss. El concepto de an'lisis in%initesimal se complet# de nue*os hechos, encontrando las operaciones de di%erenciaci#n e integraci#n aplicaciones a una cada *e ma&or gama de %unciones, dando lugar al an'lisis %uncional & dentro de /l, al c'lculo de *ariaciones como una de las partes m's importantes del an'lisis matem'tico moderno. Comentar, por 1ltimo, que una re*isi#n del desarrollo de las matem'ticas en el siglo XVIII ser$a incompleta sin nombrar los trabaos te#ricos realiados en el terreno de la probabilidad. )a elaboraci#n cient$%ica de los problemas matem'ticos se concentr# casi e(clusi*amente en los pa$ses de Europa. "unto a la %ormaci#n de los %undamentos del an'lisis matem'tico -el c'lculo di%erencial e integral- hacia comienos de siglo surgieron resultados tambi/n en sus ramas superiores> la teor$a de ecuaciones di%erenciales & el c'lculo de *ariaciones. )a teor$a de
las ecuaciones di%erenciales ordinarias obtu*o un desarrollo sistem'tico, comenando con los trabaos de "o. 4ernoulli & ". Ricatti. )os m/todos del c'lculo aritm/tico se enriquecieron con la aparici#n de los logaritmos. 3obre la base de la ampliaci#n del concepto de %unci#n al campo compleo & de la amplia aplicaci#n del desarrollo de %unciones en serie, comen# a crearse la teor$a de %unciones de *ariable complea. 3e complet# igualmente, el conunto de las disciplinas geom/tricas &, adem's de la &a desarrollada geometr$a anal$tica, se %ormaba a %inales de siglo la geometr$a descripti*a & se pro%undiaba en el estudio de la perspecti*a. Estudiemos por separado el desarrollo de estas disciplinas> • •
Análisis Infinitesimal Análisis Matemático. Cálculo Diferencial. o Cálculo Integral. o Ecuaciones Diferenciales Cálculo de Variaciones. o
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Desarrollo de la Geometría.
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Geometría Analítica. o Geometría Diferencial. Geometría Descriptia ! Pro!ectia. o Análisis "umérico. o
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#eoría de Probabilidades.
Anli"i" In/inite"i$l: El problema de la creaci#n de la teor$a de %unciones se con*irti# en el problema preliminar del an'lisis in%initesimal. El concepto de %unci#n ten$a dos aspectos> la %unci#n como correspondencia & la %unci#n como e(presi#n anal$tica. )os /(itos pr'cticos del an'lisis in%initesimal, impulsaron a los cient$%icos a poner m's atenci#n a este tratamiento del concepto de %unci#n, el cual permit$a operar con %unciones concretas. ue en el transcurso de los años A0 & F0, en lo %undamental gracias a Euler, cuando se elabor#, sistemati# & clasi%ic# la teor$a de las %unciones elementales anal$ticas. )a e(periencia señal# a los matem'ticos que todas las %unciones conocidas, eran desarrollables mediante series de potencias. Igualmente se crearon las premisas para la teor$a de %unciones de *ariable complea. Dno de los rasgos m's caracter$sticos del an'lisis in%initesimal en el siglo XVIII era la poca claridad de sus conceptos primarios, la imposibilidad de e(plicar racionalmente la *alide de las operaciones introducidas. )as ideas de los creadores del an'lisis en esta materia no se distingu$an ni por su constancia ni por su determinaci#n. Manto e;ton como )eibni lle*aron a cabo un conunto de intentos de e(plicar sus c'lculos, sin lograr /(ito. Entre los numerosos es%ueros por encontrar una %undamentaci#n rigurosa al an'lisis in%initesimal, destacan los de Euler & S5lembert. 3eg1n Euler, el concepto %undamental no es el de di%erencial, sino el de deri*ada en lo que se re%iere a los
in%initesimales o di%erenciales, ellos son simplemente ceros e(actos. Hero esta teor$a de Euler no pudo ser reconocida como satis%actoria pues se limitaba a enmascarar los pasos reales al l$mite, los cuales pr'cticamente se lle*aban a cabo en la di%erenciaci#n de %unciones. S5lembert por su parte, pon$a obeciones a la teor$a de los ceros de Eules & sosten$a que la notaci#n de los di%erenciales no es m's que una manera *aga de hablar, que depende para su usti%icaci#n del lenguae de los l$mites. 3in embargo, la teor$a de los l$mites del siglo XVIII, no obtu*o el reconocimiento de la ma&or$a de sus contempor'neos. El trabao m's serio que re*el# la posibilidad total del c'lculo di%erencial algebraico & que determin# su destino %ue el gran trabao de )agrange,
Anli"i" Mte$tico: )a riquea real del an'lisis acumulada durante el siglo XVIII es tremenda. Veamos algunas de sus particularidades.
C'lculo i%erencial> el c'lculo di%erencial conser*# una estrecha relaci#n con el c'lculo de di%erencias %initas, originado en los trabaos de ermat, 4arro;, Oallis & e;ton entre otros. 5s$ en ?@?? e;ton introduo la %#rmula de interpolaci#n de di%erencias %initas de una %unci#n %8(9 %#rmula e(tendida por Ma&lor al caso de in%initos t/rminos bao ciertas restricciones, utiliando de %orma paralela el c'lculo di%erencial & el c'lculo en di%erencias %initas. El aparato %undamental del c'lculo di%erencial era el desarrollo de %unciones en series de potencias, especialmente a partir del teorema de Ma&lor, desarroll'ndose casi todas las %unciones conocidas por los matem'ticos de la /poca. Hero pronto surgi# el problema de la con*ergencia de las serie, que se resol*i# en parte con la introducci#n de t/rminos residuales, as$ como con la trans%ormaci#n de series en otras que %uesen con*ergentes. "unto a las series de potencias se inclu&eron nue*os tipos de desarrollos de %unciones, como son los desarrollos en series asint#ticas introducidos por 3tirling & Euler. )a acumulaci#n de resultados del c'lculo di%erencial transcurri# r'pidamente, acumulando casi todos los resultados que caracterian su estructura actual. Hor eemplo Euler demostr# que en d%8(,&9Hd(QYd& las deri*adas parciales deben satis%acer la condici#n
C'lculo Integral> los logros en este terreno pertenecieron inicialmente a ".4ernoulli, quien escribi# el primer curso sistem'tico de c'lculo integral en ?@F2. 3in embargo, %ue
Euler quien lle*# la integraci#n hasta sus 1ltimas consecuencias, de tal %orma que los m/todos de integraci#n inde%inida alcanaron pr'cticamente su ni*el actual. El c'lculo de integrales de tipos especiales &a a comienos de siglo, conlle*# el descubrimiento de una serie de resultados de la teor$a de las %unciones especiales. Entre ellas citaremos las %unciones gamma & beta, el logaritmo integral o las %unciones el$pticas. Mambi/n se desarroll# el m/todo de las sustituciones compleas. Ecuaciones i%erenciales> la teor$a de las ecuaciones di%erenciales ordinarias se hab$a desarrollado &a considerablemente antes de esta /poca, pero el problema m's di%$cil de la resoluci#n de ecuaciones en deri*adas parciales era entonces un campo abierto para los pioneros. El problema de la integraci#n de ecuaciones di%erenciales, en su inicio, se presentaba como parte de un problema m's general> el problema in*erso del an'lisis in%initesimal. 5dem's cada una de las ecuaciones estaba usti%icada por la e(istencia de un problema concreto, no e(istiendo a principios de siglo una teor$a general, con lo que la *$a utiliada, %ue la de resol*er clases de ecuaciones lo m's amplias posibles. )os primeros intentos de resoluci#n se centraron en las ecuaciones di%erenciales lineales, ad*irti/ndose resultados notables &a en los años 20 con los trabaos de Ricatti, olbach, 4ernoulli & )eibni. En el año ?@FA Euler public# el m/todo de resoluci#n de una ecuaci#n di%erencial lineal homog/neo de cualquier orden, mediante la sustituci#n &e 7( o similares. S5lembert encontr# en ?@LL que la soluci#n general de una ecuaci#n no homog/nea lineal, es igual a la suma de cierta soluci#n particular & la soluci#n general de la correspondiente ecuaci#n homog/nea. "unto a las ecuaciones di%erenciales ordinarias, %ueron encontradas las soluciones de ciertas ecuaciones en deri*adas parciales, lle*adas a cabo especialmente por Euler & S5lembert. 5s$, las ecuaciones di%erenciales en deri*adas parciales de segundo orden surgieron pre%erentemente en el curso de resoluci#n de problemas %$sicos, entre los que cabe señalar el problema de la cuerda, que conduce a la ecuaci#n> resuelta por Euler. ue a %inales de los @0 cuando )agrange estableci# la %orma de obtener soluciones singulares, as$ como la interpretaci#n de las mismas como la %amilia de en*ol*entes de las cur*as integrales. El estudio de estas %amilias de cur*as integrales & la soluci#n de problemas sobre la b1squeda de tra&ectorias en*ol*entes e isogonales dio lugar a la aparici#n de una nue*a rama dentro de la geometr$a> la geometr$a di%erencial. En resumen, el aparato del an'lisis matem'tico en el transcurso del siglo XVIII se desarroll# con rapide e(traordinaria tomando una %orma & un *olumen pr#(imo al actual. )a di%erenciaci#n & tambi/n la integraci#n mediante %unciones elementales %ueron, en lo %undamental concluidas. )as ecuaciones di%erenciales tanto las ordinarias como en deri*adas parciales, poco a poco, se con*irtieron en una parte important$sima del an'lisis matem'tico, en su tratamiento algor$tmico-operati*o. "unto a la elaboraci#n de los m/todos de resoluci#n de clases independientes de ecuaciones se %ormaron los elementos de la teor$a general.
Clculo #e Vricione": El c'lculo de *ariaciones surgido en este siglo, recibi# en los trabaos de Euler & )agrange la %orma de una teor$a matem'tica rigurosa, posibilitando la resoluci#n de un gran n1mero de problemas de car'cter pr'ctico, re%eridos a la determinaci#n de los e(tremos de las %unciones & que no admit$an resoluci#n con los medios del recientemente aparecido an'lisis in%initesimal. Entre estos problemas citaremos el de la braquist#crona, el problema isoperim/trico o el de las l$neas
geod/sicas sobre las super%icies. El primer m/todo general de resoluci#n de problemas de *ariaciones, %ue elaborado en una serie de trabaos de Euler durante los años ?@2L a ?@FF, presentando la primera %ormulaci#n general de un problema de *ariaciones unidimensionales en ?@A. Cuatro años despu/s, este m/todo %ue generaliado, publicando &a en ?@FF, el que podr$amos considerar como primer libro de la historia sobre c'lculo de *ariaciones. En el libro de Euler se citan m's de L0 eemplos que ilustran las posibilidades del nue*o m/todo. En ellos se demuestra el *alor pr'ctico del c'lculo & se establece su estrecha relaci#n con la mec'nica & la %$sica. El obeti*o de este m/todo general era la b1squeda de l$neas cur*as para las cuales cierta magnitud pre%iable, alcana su *alor m'(imo o m$nimo. Hese a la practicidad del m/todo, /ste adolec$a de cierta %alta de rigor sobre todo en cuestiones relacionadas con los pasos al l$mite. )a situaci#n cambi# como consecuencia de la puesta en com1n de ideas por parte de Euler & )agrange, al comunicar /ste 1ltimo, el m/todo general anal$tico de c'lculo de la *ariaci#n de la integral, mediante la integraci#n por partes. Este m/todo se basaba en la introducci#n de la *ariaci#n de una %unci#n & en la e(tensi#n a las *ariaciones de las reglas del c'lculo di%erencial. )agrange %ue, adem's, el primero en señalar la posibilidad de utiliar la segunda *ariaci#n para di%erenciar el tipo de e(tremal encontrado. Con posterioridad esta posibilidad %ue con*ertida en condici#n por )egendre & :. "acobi 8s. XIX9 & rea%irmada por Oeierstrass en ?G@!.
De"rrollo #e l 'eo$etr2: Hr'cticamente todas las ramas cl'sicas de la geometr$a, e(clu&endo s#lo las geometr$as no euclideanas, se %ormaron en este siglo. 3e trata de las geometr$as anal$tica, di%erencial, descripti*a & pro&ecti*a, as$ como numerosos trabaos sobre los %undamentos de la geometr$a. Entre los di%erentes problemas & m/todos de la geometr$a, tu*ieron gran signi%icado las aplicaciones geom/tricas del c'lculo in%initesimal. e ellas surgi# & se desarroll# la geometr$a di%erencial, la ciencia que ocup# durante el siglo XVIII el lugar central en al sistema de las disciplinas geom/tricas.
eometr$a 5nal$tica> bao esta denominaci#n se considera aquella parte de la geometr$a donde se estudian las %iguras & trans%ormaciones geom/tricas dadas por ecuaciones algebraicas. )as puertas a esta rama %ueron abiertas, &a en el siglo XVII por escartes & ermat, pero s#lo inclu$an problemas planos. 6ubo de ser e;ton quien en ?@0F diera un paso importante al publicar la obra, (&2Qe&5 (&5 & 25 &5. 3in embargo, lo *erdaderamente importante de esta obra %ue el descubrimiento de las nue*as posibilidades del m/todo de coordenadas, de%iniendo los signos de las %unciones en los cuatro cuadrantes. Con posterioridad a e;ton, las cur*as de tercer orden %ueron estudiadas por 3tirling, +aclaurin, icolle, +aupertius, 4rai7enridge, 3teiner, 3almon, 3il*estre, 3hall, Clebsch & otros. ue Euler quien, en ?@FG, sistemati# la geometr$a anal$tica de una manera %ormal. En primer lugar e(puso el sistema de la geometr$a anal$tica en el plano,
introduciendo adem's de las coordenadas rectangulares en el espacio, las oblicuas & polares. En segundo lugar, estudi# las trans%ormaciones de los sistemas de coordenadas. Mambi/n clasi%ic# las cur*as seg1n el grado de sus ecuaciones, estudiando sus propiedades generales. En otros apartados de sus obras trat# las secciones c#nicas, las %ormas can#nicas de las ecuaciones de segundo grado, las ramas in%initas & asint#ticas de las secciones c#nicas & clasi%ic# las cur*as de tercer & cuarto orden, demostrando la ine(actitud de la clasi%icaci#n ne;toniana. Mambi/n estudi# las tangentes, problemas de cur*aturas, di'metros & simetr$as, semeanas & propiedades a%ines, intersecci#n de cur*as, composici#n de ecuaciones de cur*as compleas, cur*as trascendentes & la resoluci#n general de ecuaciones trigonom/tricas. Modo estos aspectos se recogen en el segundo tomo de la obra
eometr$a di%erencial> esta disciplina matem'tica se encarga del estudio de los obetos geom/tricos, o sea, las cur*as, super%icies etc... 3u singularidad consiste en que partiendo de la geometr$a anal$tica utilia m/todos del c'lculo di%erencial. 5 comienos de siglo &a hab$an sido estudiados muchos %en#menos de las cur*as planas por medio del an'lisis in%initesimal, para pasar posteriormente a estudiar las cur*as espaciales & las super%icies. Este traspaso de los m/todos de la geometr$a bidimensional al caso tridimensional %ue realiado por Clairaut. 3in embargo, su obra %ue eclipsada, como casi todo en esta /poca, por los trabaos de Euler. El primer logro de Euler en este terreno, %ue la obtenci#n de la ecuaci#n di%erencial de las l$neas geod/sicas sobre una super%icie, desarrollando a continuaci#n una completa teor$a de super%icies, introduciendo entre otros el concepto de super%icie desarrollable. 5 %inales de siglo, es desarrollo de esta rama entr# en un ligero decli*e, debido principalmente a la pesade & compleidad del aparato matem'tico.
eometr$a descripti*a & pro&ecti*a> los m/todos de la geometr$a descripti*a surgieron en el dominio de las aplicaciones t/cnicas de la matem'tica & su %ormaci#n como ciencia matem'tica especial, se culmin# en los trabos de +onge, cu&a obra en este terreno qued# plasmada en el te(to </ometrie descripti*e<. En la obra se aclara, en primer lugar, el m/todo & obeto de la geometr$a descripti*a, prosiguiendo a continuaci#n, con instrucciones sobre planos tangentes & normales a super%icies cur*as. 5nalia en cap$tulos posteriores la intersecci#n de super%icies cur*as & la cur*atura de l$neas & super%icies. El per%eccionamiento de car'cter particular & la elaboraci#n de di%erentes m/todos de pro&ecci#n contitu&eron el contenido %undamental de los trabaos sobre geometr$a pro&ecti*a en lo sucesi*o. )a idea del estudio de las propiedades pro&ecti*as de los obetos geom/tricos, surgi# como un nue*o en%oque que simpli%icara la teor$a de las secciones c#nicas. )as obras de esargues & Hascal resuel*en este problema & sir*en de base a la nue*a geometr$a.
Anli"i" Nu$.rico: )a independencia de 'lgebra & geometr$a 8en contra de las ideas de escartes9 se determin# &a a comienos de siglo, cuando en ?@0@ *io la lu la <5ritm/tica Dni*ersal< de e;ton. En ella el 'lgebra se e(pon$a en estrecha relaci#n con el desarrollo de los m/todos de c'lculo, relegando las cuestiones geom/tricas al dominio de las aplicaciones. )a esencia de la obra consiste en reducir cualquier problema a la %ormaci#n de una ecuaci#n algebraica, cu&a ra$ es la soluci#n del problema. Culmina el libro con los resultados de la teor$a general de ecuaciones & adem's la resoluci#n gr'%ica de /stas, mediante la construcci#n geom/trica de las ra$ces. Este %amoso tratado contiene las %#rmulas, para las sumas de las potencias de las ra$ces de una ecuaci#n algebraica, %#rmulas conocidas habitualmente como se generalian las reglas de resoluci#n de problemas aritm/ticos se desarrolla el aparato simb#lico-literal del 'lgebra se aclaran las operaciones con n1meros, monomios, radicales & compleos se introducen los logaritmos se dan las reglas de e(tracci#n de las ra$ces de n1meros & de e(presiones algebraicas polinomiales se introducen las serie como medio de e(presi#n de las %unciones racionales %raccionarias & binomiales con e(ponentes %raccionarios & negati*os de una potencia se introducen los n1meros poligonales, las proporciones & progresiones, las %racciones decimales peri#dicas & se estudian los m/todos de resoluci#n de ecuaciones algebraicas. 5s$, en esencia, el 'lgebra se con*irti# en la ciencia sobre las ecuaciones algebraicas. En ella se inclu$a adem's, la elaboraci#n del aparato simb#lico-literal necesario para la resoluci#n de tales ecuaciones. Mambi/n se pro%undi# en el concepto de n1mero, produci/ndose de una manera de%initi*a la admisi#n de los n1meros irracionales. Igualmente se pro%undi# en las reglas de operaciones con n1meros imaginarios & compleos, pero siempre bao la premisa de la obtenci#n de ra$ces de ecuaciones. ue tambi/n Euler quien se ocup# de una manera de%initi*a de lo que ho& en d$a conocemos como teor$a de n1meros. Comen# estudiando los teoremas de ermat, para desarrollar a continuaci#n todos los aspectos de esta teor$a, pre%erentemente utiliando m/todos aritm/ticos & algebraicos, rehu&endo en la medida de lo posible del an'lisis in%initesimal. 5 /l debemos la actual teor$a de congruencias, a la que lleg# tras e(tensos trabaos sobre la di*isibilidad & tras introducir el concepto de ra$ primiti*a seg1n el m#dulo m. o de menor importancia que la teor$a de congruencias %ueron sus trabaos sobre problemas de an'lisis dio%'ntico, para cu&as necesidades elabor# & %undament# la teor$a de las %racciones continuas. 5simismo elabor# los m/todos anal$ticos para la resoluci#n de problema de la distribuci#n de n1meros primos, en la serie de los n1meros naturales & tambi/n para una serie de problemas aditi*os. El primero de estos problemas %ue tratado tambi/n por )egendre & Cheb&she*. Hara el segundo de los problemas, donde se estudia el desarrollo de los n1meros grandes en sumandos menores, cabe destacar unto a Euler los nombres de Oaring & )agrange. )a teor$a de n1meros en el siglo XVIII, se con*irti# pues, en una rama independiente,
sintetiada en los trabaos de Euler, )agrange, )egendre & )ambert entre otros, de%ini/ndose pr'cticamente los principales problemas & direcciones.
Teor2 #e Pro44ili##e": )a teor$a de probabilidades debe m's a )aplace que a ning1n otro matem'tico. esde?@@F escribi# muchos art$culos sobre el tema & los resultados obtenidos los incorpor# & organi# en su obra
MATEMÁTICAS CONTEMPORÁNEAS
SI'LO 0I0 El siglo XIX merece ser llamado m's que ning1n otro periodo anterior la edad de ro de la +atem'tica. )os progresos realiados durante este siglo superan con mucho, tanto en calidad como en cantidad, la producci#n reunida de todas las /pocas anteriores. este siglo %ue tambi/n, con la e(cepci#n de la /poca 6eroica de la 5ntigua recia, el m's re*olucionario de la historia de la +atem'tica. )as particularidades del nue*o periodo se mani%iestan &a nada m's comenar el siglo. En 'lgebra ha& que tener en cuenta los trabaos de 5bel & alois sobre la resoluci#n de ecuaciones algebraicas en radicales. Ellos promo*ieron a un primer lugar en el 'lgebra una serie de conceptos generales mu& abstractos, entre los cuales merece el primer lugar el concepto de grupo. El descubrimiento en los años 20-A0 por )obache*s7i & tambi/n por ". 4ol&ai & auss de los hechos %undamentales de la geometr$a hiperb#lica no euclideana & en los años L0@0 la b1squeda de sus interpretaciones, pro*ocaron en el sistema de ciencias geom/tricas trans%ormaciones de car'cter re*olucionario. El sistema de disciplinas que %orman parte del an'lisis matem'tico, su%ri# en sus %undamentos una mu& pro%unda reconstrucci#n sobre la base de la creada teor$a de l$mites & la teor$a del n1mero real. 5 %inales de siglo, los recursos del an'lisis se complementaban con lo que &a se ha *enido a llamar aparato epsilon, delta. "unto a este desarrollo del an'lisis matem'tico cl'sico, se separaron de /l disciplinas matem'ticas independientes> la teor$a de ecuaciones di%erenciales, la teor$a de %unciones de *ariable real & la teor$a de %unciones de *ariable complea. 5ntes de estudiar estos aspectos m's detalladamente citemos tres rasgos que tienen un car'cter general para la ma&or$a de las ciencias matem'ticas>
?. En primer lugar debe tenerse en cuenta la ampliaci#n del contenido del obeto de las matem'ticas, debido %undamentalmente a las e(igencias crecientes de las ciencias a%ines. 2. En segundo lugar la necesidad de %undamentar las matem'ticas en su conunto, produci/ndose una re*isi#n cr$tica de los conceptos primarios & a%irmaciones. A. )a tercera particularidad es la ampliaci#n considerable del campo de aplicaciones, condicionado por el aumento de posibilidades del aparato del an'lisis matem'tico. •
Ál3e4r Mo#ern!
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Meor$a eneral de Ecuaciones 5lgebraicas. Meor$a de rupos. Zlgebra )ineal. Anli"i" Mte$tico!
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Meor$a de )$mites. Meor$a de unciones. Meor$a de 1mero Real & Meor$a de Conuntos. Teor2 #e l" /uncione" #e %ri4le co$ple5!
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Trn"/or$ci+n #e l 3eo$etr2!
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Ál3e4r Mo#ern: El 'lgebra moderna es un campo e(traordinariamente amplio & rami%icado en el que se recogen un gran n1mero de disciplinas cient$%icas e independientes cu&o obeto com1n son las operaciones algebraicas, las cuales representan abstracciones leanas de las operaciones del 'lgebra elemental.
Teor2 'enerl #e l" Ecucione" l3e4ric": Este %ue el problema %undamental del 'lgebra durante el siglo XIX, entendi/ndose como la b1squeda de las ra$ces de la ecuaci#n con a&uda de operaciones racionales & la operaci#n de la e(tracci#n de la ra$. En este /poca se introdueron una serie de conceptos, entre ellos el concepto de grupo, que &acen en la base del 'lgebra moderna. Mengamos en cuenta los trabaos de :.. auss, .6. 5bel & E. alois, relati*os a la demostraci#n de la no resolubilidad en radicales de las ecuaciones de grado ma&or que cinco & la creaci#n de la teor$a de alois. :arl riedrich auss hio sus primeros descubrimientos en 'lgebra siendo mu& o*en, ad*irtiendo &a en ?@!L la relaci#n entre la b1squeda de ra$ces de la ecuaci#n ( n-?0 & la di*isi#n de la circun%erencia en partes iguales. Mres años m's tarde demostraba el teorema %undamental del 'lgebra, dando en ?G?, ?G?L & ?GF! tres nue*as demostraciones. Recordemos que la primera %ormulaci#n de este teorema, sin demostrar, %ue la dada por escartes. para la demostraci#n de este teorema necesit# construir los campos de desarrollo de los polinomios. tro de los notables descubrimientos algebraicos de comieno de siglo es la demostraci#n de la irresolubilidad en radicales de las ecuaciones de quinto grado. Hor
este camino lle*# H. Ru%%ini sus in*estigaciones a %inales del siglo XVIII, pero el primer /(ito real lo obtu*o iels 6enri7 5bel. Mras esto, 5bel reali# in*estigaciones %undamentales en el campo de la teor$a de %unciones anal$ticas, e in*estig# una serie de %unciones especiales como las el$pticas e hiperb#licas. Hero 5bel no pudo dar un criterio general de resolubilidad en radicales de las ecuaciones con coe%icientes num/ricos. 3in embargo, la soluci#n a este problema no se hio esperar largamente & se debe a E*aristo alois. El obeto %undamental de sus in*estigaciones %ue el determinar cuando son resolubles mediante radicales las ecuaciones polin#micas.El aparato algebraico introducido tu*o, sin embargo, una signi%icaci#n que sal$a de los marcos del problema indicado. 3u idea del estudio de la estructura de los campos algebraicos & la comparaci#n con ellos de la estructura de los grupos de un n1mero %inito de sustituciones, %ue la base %ruct$%era del 'lgebra moderna. la teor$a actual de alois, se ha con*ertido en una disciplina matem'tica complea & rami%icada, que inclu&e un amplio material sobre las relaciones entre las propiedades de las ecuaciones, los n1meros algebraicos & los grupos.
Teor2 #e 'rupo": alois & Ru%%ini introdueron de %orma independiente el concepto de grupo. En la primera mitad del siglo XIX, los resultados de la teor$a de grupo ugaron un papel au(iliar, especialmente en la teor$a de las ecuaciones algebraicas, %orm'ndose, predominantemente, la teor$a de los grupos %initos. Hosteriormente, &a en los años 0, en trabaos de Ca&le& & otros, comenaron a aparecer de%iniciones abstractas m's generales de grupo. este proceso se aceler# desde el año ?G@0 con los trabaos de C. "ordan, quien hio un resumen de los resultados de la teor$a de grupos %initos en su aplicaci#n a la teor$a de n1meros, teor$a de %unciones & geometr$a algebraica. 5 %inales de siglo, aparecieron las primeras aplicaciones de la teor$a de grupo, resol*i/ndose, por eemplo, el problema de la clasi%icaci#n de todas las redes cristalinas espaciales gracias a los trabaos de E.3 iedoro* . )os grupos discretos %initos, a los que pertenecen los grupos de iedoro*, obtu*ieron e(tensi#n en la teor$a de los espacios multidimensionales en relaci#n con la teor$a de los poliedros regulares en /stos. Hosteriormente se plante# la in*estigaci#n de los grupos in%initos, tanto discretos como continuos & tambi/n sobre la creaci#n de un aparato de c'lculo adaptado a las necesidades de la teor$a de grupo. los logros %undamentales sobre estas cuestiones pertenecen a los disc$pulos de C. "ordan, . :lein & 3. )ie. En la con%luencia de los siglos XIX & XX la teor$a de grupos se rami%ic# desmesuradamente, %ormando el n1cleo del 'lgebra actual. Ella se compone de una serie de teor$as altamente desarrolladas> los grupos %initos, los grupos discretos in%initos, los grupos continuos, entre ellos los grupos de )ie. )os m/todos te#ricos de grupos penetraron en una serie de disciplinas matem'ticas & sus aplicaciones. )os descubrimientos de e 4roglie, 3chr[dinger, irac & otros, en la mec'nica cu'ntica & en la teor$a de la estructura de la materia mostraron que la %$sica moderna debe apo&arse en la teor$a de los grupos continuos, en particular en la teor$a de la representaci#n de grupos por operadores lineales, la teor$a de los caracteres & otras elaboradas por Cartan, 6. Oe&l & otros cient$%icos. Has# medio siglo desde los trabaos de auss, 5bel & alois & el centro de gra*edad en las in*estigaciones algebraicas se traslad# a la teor$a de grupos, subgrupos, anillos, estructuras. En al 'lgebra comen# el periodo de las matem'ticas modernas.
Ál3e4r Linel: )a historia del 'lgebra del siglo XIX quedar$a incompleta si no atendi/semos a la %ormaci#n del 'lgebra lineal, surgida de la teor$a de los sistemas de ecuaciones lineales & relacionada con la teor$a de determinantes & matrices. urante la segunda mitad de siglo se realiaron in*estigaciones mu& importantes de la teor$a de los in*ariantes de las ecuaciones. En este camino del desarrollo, creci# la teor$a de las %ormas que encontr# aplicaci#n adem's de en el 'lgebra, en la teor$a de n1meros, la geometr$a di%erencial, la geometr$a algebraica & la mec'nica.
Anli"i" Mte$tico: El an'lisis matem'tico, hacia el siglo XIX se con*irti# en un sistema de disciplinas rami%icado & sigui# ocupando un lugar central en las matem'ticas. El %luo inagotable de nue*os resultados te#ricos & el campo de aplicaciones el cual se ampl$a continuamente, condicionaron el que en la estructura general de las matem'ticas ocuparan un lugar especial, principalmente, las disciplinas anal$ticas. )as ecuaciones di%erenciales se con*irtieron en el medio operati*o %undamental del an'lisis. El aparato del an'lisis matem'tico en este siglo era un conunto de procedimientos & m/todos de soluci#n de numerosos problemas que crec$a r'pidamente. Modos estos m/todos aun pod$an di*idirse en tres grandes grupos, constituidos en el c'lculo di%erencial, el c'lculo integral & la teor$a de ecuaciones di%erenciales que r'pidamente se independiaba de este 1ltimo. )os contornos de la teor$a en %ormaci#n de %unciones de *ariable complea, la teor$a de las %unciones especiales... se delineaban aun lentamente.
Teor2 #e L2$ite": Dno de los lugares centrales del an'lisis lo ocupa el concepto de l$mite. 3obre /l se apo&a todo el aparato de las demostraciones in%initesimales. los matem'ticos del siglo XVIII probaron un conunto de procedimientos para %undamentar el an'lisis in%initesimal, pero la insatis%actorio de casi todos estos m/todos se hio r'pidamente e*idente. 5 %inales del siglo XVIII & principios del XIX era m's que e*idente la necesidad de costrucci#n de la teor$a de l$mites como base del an'lisis matem'tico & una reconstrucci#n radical de este 1ltimo. Este proceso de reconstrucci#n se re*el# claramente en los años *einte de este siglo, sobre todo en los trabaos de 5gust$n-)uis Cauch& & en sus %amosas con%erencias, las cuales %ueron publicadas en tres libros>
di%erencial e integral de %unci#n de *ariable real, destacando la aparici#n de una demostraci#n anal$tica de e(istencia de integral de%inida de una %unci#n continua.
Teor2 #e 6uncione": En la primera mitad de siglo se reali# una in*estigaci#n pro%unda de los %undamentos del an'lisis matem'tico, utiliando los m/todos & resultados de la teor$a de conuntos & la teor$a de %unciones de *ariable real. )os m/ritos principales en este rama, corresponden a 4ernard 4olano, aunque sus resultados %undamentales *ieran la lu despu/s de su muerte. &a en ?G?@, 4olano %ormul# & demostr# el teorema de que si un conunto de n1meros reales est' acotado entonces tiene e(tremo, adelant'ndose en cuarenta años a Oeierstrass. Igualmente se adelant# a Cauch& en el estudio del criterio de con*ergencia de sucesiones & dio una de%inici#n rigurosa de continuidad de %unciones. Estudi# pro%undamente las propiedades de las %unciones continuas & demostr# en relaci#n con /stas una serie de notables teoremas, destacando el denominado teorema de 4olano> una %unci#n continua toma todos los *alores comprendidos entre su m'(imo & su m$nimo. Mambi/n ampli# la clase de cur*as continuas, aplicando el m/todo de acumulaci#n de singularidades & obtu*o, entre otras %unciones originales, la %unci#n que no tiene deri*ada en ning1n punto & conocida actualmente como %unci#n de 4olano. En otra de sus obras
Teor2" #e N7$ero Rel 8 Teor2 #e Con5unto": En el año ?G@2 surgieron una serie de trabaos, escritos por . Cantor, R. ede7ind, :. Oeierstrass, E. 6eine & Ch. +era& cu&o 1nico obeti*o era el de dotar de una teor$a rigurosa al n1mero real, problema /ste considerado *ital para una correcta %undamentaci#n del an'lisis. 5s$ ede7ind de%ini# el n1mero real como una cortadura en el conunto de los n1meros racionales, dando al conunto de los n1meros reales una interpretaci#n geom/trica en %orma de l$nea recta. Cantor, por su parte, identi%ic# al n1mero real con una sucesi#n con*ergente de n1meros racionales. )a creaci#n de la teor$a de conuntos in%initos & los n1meros trans%initos pertenece tambi/n a . Cantor. l demostr# la no equi*alencia de los conuntos de n1meros racionales & reales. urante los años ?G@! a ?GGF elabor# de %orma sistem'tica la teor$a de conuntos, introduciendo el concepto de potencia de un conunto, el concepto de punto l$mite, de conunto deri*ado... )a teor$a general de las potencias de conuntos, las trans%ormaciones & operaciones sobre conuntos & las propiedades de los conuntos ordenados constitu&eron %undamentalmente la teor$a abstracta de conuntos. )as cuestiones de %undamentaci#n de la teor$a de conuntos, unto con la in*estigaci#n de los l$mites de su aplicaci#n se con*irtieron durante el siglo XX en una ciencia especial, la reen, 3to7es, Mhomson, 6amilton, +a(;ell... Entre estas aplicaciones cabe destacar la creaci#n del aparato anal$tico para la in*estigaci#n de los %en#menos electromagn/ticos, la teor$a
matem'tica de la conducti*idad del calor, o la construcci#n del aparato matem'tico de la nue*a mec'nica.
Teor2 #e l" /uncione" #e Vri4le Co$ple5: )a teor$a actual de las %unciones de *ariable complea abarca un amplio dominio de las matem'ticas, haci/ndose di%$cil enumerar todas sus rami%icaciones. Consideremos en primer lugar las premisas acumuladas hasta este momento. El concepto de n1mero imaginario & despu/s compleo se conoc$a desde tiempos remotos, introduciendo con posterioridad el conunto de operaciones. urante los siglos XVII & XVIII se establecieron, &a de una %orma signi%icati*a, un conunto de importantes aplicaciones de los n1meros compleos en di*ersas ramas de la ciencia. 3in embargo todos los resultados en esta materia se entremeclaban sin la %ormulaci#n de una concepci#n 1nica. En el siglo XIX lleg# el momento de crear la teor$a general de las %unciones de *ariable complea. Esta etapa de la historia, &a en el siglo XIX, se caracteri# por la introducci#n de de%iniciones precisadas de los conceptos %undamentales. 5nte todo se trat# del surgimiento de las interpretaciones geom/tricas del concepto de n1mero compleo. Dn tratamiento te#rico lo su%icientemente general de la cuesti#n surgi# inicialmente, en los trabaos de auss & despu/s en los de Cauch&. En ?GA? auss public# un trabao sobre la teor$a de los residuos bicuadr'ticos donde e(puso la %undamentaci#n te#rica & la interpretaci#n geom/trica de los n1meros compleos, d'ndoles por primera *e la denominaci#n que se ha conser*ado hasta nuestros d$as. En una carta de auss al astr#nomo & matem'tico 4essel, escrita en ?G?? & publicada en ?GG0 daba la interpretaci#n precisa de los n1meros imaginarios, la de%inici#n de integral en el plano compleo, el teorema integral, 8conocido actualmente como teorema de Cauch&9 & el desarrollo de una %unci#n anal$tica en series de potencias. de estos aspectos merece especial atenci#n la integraci#n en el plano compleo, &a que la utiliaci#n de las *ariables compleas en los c'lculos de integrales de%inidas di%$ciles eerci# una grand$sima in%luencia sobre el desarrollo de la teor$a de %unciones de *ariable complea. )aplace acudi# a la interpretaci#n en *ariable complea, desarrollando el m/todo de resoluci#n de ecuaciones lineales en di%erencias & di%erenciales, conocido bao la denominaci#n de trans%ormada de )aplace. sta & otras trans%ormadas similares, permitieron resol*er de %orma e%ecti*a muchos problemas de electrotecnia, hidrodin'mica, mec'nica & conducti*idad t/rmica entre otros. ue precisamente esta presi#n de los problemas pr'cticos, lo que lle*# a la necesidad de elaborar una teor$a de %unciones de *ariable complea & a estudiar sus relaciones con las dem's partes del an'lisis in%initesimal. El cumplimiento de esta tarea %ue realiado %undamentalmente por Cauch&. 3us primeros trabaos publicados en ?G2, tu*ieron como obeti*o aplicar las magnitudes imaginarias al c'lculo de integrales de%inidas, %ormulando el teorema integral. urante los años siguientes ?G2L-?G2! cre# la teor$a de los residuos, desarroll'ndola en años posteriores & buscando nue*as aplicaciones. "unto a los trabaos de Cauch& surgieron otros muchos sobre la teor$a de %unciones de *ariable complea, entre los que cabe mencionar los realiados por 5bel, "acobi, )aurent & )iou*ille. urante los años F0 qued# superado el aislamiento de las ideas sobre %unciones de *ariable complea, merced sobre todo a los trabaos de 4. Rieman 8?G2L-?GLL9 en los cuales aparec$an amplias analog$as que *inculaban esta teor$a con otros campos de las
matem'ticas. )os resultados %undamentales de Rieman aparecen en sus obras <undamentos de la teor$a general de %unciones de *ariable complea< 8?G?9 & en la teor$a de las %unciones di%erenciales de Cauch&, las ideas geom/tricas & %$sicas de Rieman & la direcci#n anal$tica de Oeierstrass. ue a %inales de siglo & a comienos del siglo XX cuando se uni%icaron conceptos, creando una concepci#n 1nica general de la teor$a de %unciones de *ariable complea.
Trn"/or$ci+n #e l 'eo$etr2: )a geometr$a hacia comienos del siglo XIX representaba &a un amplio compleo de disciplinas surgidas del an'lisis & generaliaciones de los datos sobre las %ormas espaciales de los cuerpos. "unto a las partes elementales, se inclu&eron en la geometr$a casi todas aquellas partes que la con%orman actualmente. )a geometr$a anal$tica reali# un gran camino de desarrollo & determin# su lugar como parte de la geometr$a que estudia las %iguras & trans%ormaciones dadas por ecuaciones algebraicas con a&uda del m/todo de coordenadas utiliando los m/todos del 'lgebra. )a geometr$a di%erencial se caracteri# por la utiliaci#n de los conceptos & m/todos del c'lculo di%erencial, lo que conlle*# relaciones estables con el an'lisis matem'tico & con numerosos problemas aplicados. Dna de las caracter$sticas principales de la geometr$a que se desarroll# durante la segunda mitad del siglo XIX, %ue el entusiasmo con que los matem'ticos estudiaron una gran *ariedad de trans%ormaciones. e ellas, las que se hicieron m's populares %ueron las que constitu&en el grupo de trans%ormaciones que de%inen la denominada geometr$a pro&ecti*a. )os m/todos aparentemente detenidos en su desarrollo desde la /poca de esargues & Hascal, de estudio de las propiedades de las %iguras in*ariantes respecto a la pro&ecci#n, se con%ormaron en los años 20 del siglo XIX en una nue*a rama de la geometr$a> la geometr$a pro&ecti*a, merced sobre todo a los trabaos de ". Honcelet. tro aspecto esencial durante este siglo %ue el desarrollo de las geometr$as no euclideanas. Hodr$amos considerar %undador de esta geometr$a al matem'tico ruso icolai I*ano*ich )obache*s7i 8?@!2-?GL9. 3u obra mostraba que era necesario
re*isar los conceptos %undamentales que se admit$an sobre la naturalea de la matem'tica, pero ante el rechao de sus contempor'neos tu*o que desarrollar sus ideas en solitario aislamiento. El punto de partida de las in*estigaciones de )obache*s7i sobre geometr$a no euclideana %ue el a(ioma de las paralelas de Euclides, sin demostraci#n durante siglos. )obache*s7i, que inicialmente intent# demostrar dicho a(ioma, r'pidamente se dio cuenta que ello era imposible, sustitu&endo dicho a(ioma por su negaci#n> a tra*/s de un punto no contenido en una recta se puede traar m's de una paralela que &ace en el mismo plano que la primera. El año ?G2L puede considerarse como la %echa de nacimiento de esta geometr$a no euclideana o lobache*s7iana, siendo en ese año cuando el autor present# muchos de los trabaos que a*alaban la nue*a teor$a. En ?G2! "anos 4ol&ai 8?G02-?GL09 lleg# a la misma conclusi#n a la que hab$a llegado )obache*s7i. E incluso el mismo auss que apo&aba & elogiaba a escondidas, nunca de %orma p1blica, los trabaos de 4ol&ai & )obache*s7i, es posible que mantu*iera los mismos puntos de *ista pero los call# por temor a comprometer su reputaci#n cient$%ica. )a geometr$a no euclideana continu# siendo durante *arias d/cadas un aspecto marginal de la matem'tica, hasta que se integr# en ella completamente gracias a las concepciones e(traordinariamente generales de Rieman.
