488
Cspftulo 171 Optimización en varias variables
Comparando los valores de f en los cinco vértices de la frontera con los puntos óptimos hallados en los segmentos (I) y (V), vemos que el valor máximo de f es 27/8, que se alcanza en (3/4, 0).
Problemas 1 Sea f(x,y)
= 4x- 2x2 -
2y2 , S= {(x,y): x 2 + y 2
:::;
25 }.
(a) Calcular fi(x, y) y fi(x, y), hallando el único punto estacionario de f. (b) Hallar los puntos óptimos de
f
sobre S.
2 Hallar los máximos y de mínimos de la función siguientes:
f (x, y)
definida sobre S en cada uno de los casos
f(x, y) = x 3 + y 3 - 9xy + 27 sujeta a O :::; x :::; 4, O :::; y :::; 4. (b) f(x, y) = x 2 + 2y2 - x sujeta a x 2 + y 2 :::; l. (e) f(x, y)= 3 + x 3 - x 2 - y2 sujeta a x 2 + y 2 :::; 1, x ~O. (a)
2
2
(d) f(x, y)= (x- 2)e"' -"'(2y- 1)elY- 2 l sujeta a O:::; x:::; 2, O:::; y$ 1/2.
3 Sea h(x, y) =: x 2 y(x- y- 1) definida sobre el dominio determinado por las desigualdades 1 $ x $ 2 y O :::; y :::; x - l. Probar que h tiene puntos óptimos globales y hallarlos. 4 Sea
f(x,y) = (x+--y)e-(z+y2)/4 sobre el dominio D definido por las desigualdades x
+y
~
1, y
~
O.
(a) Dibujar en el plano xy el dominio D y hallar las parciales primeras de (b) Se sabe que
f
f.
alcanza un máximo en D. Hallar el máximo y el valor máximo.
Problemas avanzados S Resolver el problema
maximizar (x3 + y 2 ) 1/ 4 sujeta a x ~ O, y ~ O, x +y $ k donde k es un número positivo. 6 Consideremos la función
f
definida por by
f(x, y)
= 3(x2 + y2)3/2 _
4 (x2 + y2)t/2 +y
para todo (x, y)
(a) Hallar los puntos estacionarios de
f. (Recordar que (yl) 112 = !yj). + y2 :::; 1 }. Explicar por qué f
(b) Sea S = {(x, y) : x ~ O y x mínimo sobre S, y hallar los puntos correspondientes. 2
debe alcanzar un máximo y un
17.4 PUNTOS ÓPTIMOS LOCALES A veces nos interesa estudiar los puntos óptimos locales de una función. Se dice que el punto e= (e¡, ... , Cn) es un máximo local de f en S si f(x) ~ f(c) para todo x de S suficientemente próximo a c. Más precisamente, la condición es que exista un número positivo r para el cual
f(x) ~ f(c) para todo x de S con l!x- el! < r
(17~8)
Sec. 17.41 Puntos óptimos locales
489
Se define un mínimo local de la manera obvia, así como los conceptos de valores máximo y mfnimo local, puntos óptimos locales y valores óptimos locales. Nótese que estas definiciones implican que un punto óptimo global es un punto óptimo local, pero la recíproca no es cierta. El Teorema 17.4, sobre condiciones necesarias de primer orden, ha sido muy útil para la búsqueda de máximos y mínimos. El mismo resultado vale también para puntos óptimos locales: En un punto óptimo local que sea interior al dominio de una función diferenciable, todlls las parciales primeras son O. Esta observación es cierta porque la demostración del Teorema 17.4 consideraba sólo el comportamiento de la función en un entorno pequeño del punto óptimo. Estas condiciones de primer orden son necesarias para que una función diferenciable tenga un punto óptimo local. Sin embargo no son suficientes porque un punto estacionario no tiene por qué ser un punto óptimo local. Un punto estacionario e de f que no sea ni un máximo ni un mínimo local se llama un punto de siDa de f. Ejemplo 17.7 Probar que (O, O) es un punto de silla de
f(x,y)
= xz- yz
Solución: Es fácil ver que (O, O) es un punto estacionario en el cual /(0, O) O. Además, f(x, O) x 2 , luego f(x, y) toma valores positivos en puntos arbitrariamente cercanos al origen. Como /(0, y) = -y2 , también f(x, y) toma valores negativos en puntos arbitrariamente cercanos al origen. Por tanto (O, O) es un punto de siDa. La gráfica de la función es la de la Figura 17.9.
z
X
FIGURA 17.9 La gráfica de f(x, y)=
x2 - y2. El punto (O, O) es un punto de silla.
Se pueden ilustrar estos conceptos imaginándose la cordiUera del Himalaya. Toda cima es un máximo local, pero sólo la más elevada, el Everest, es el máximo global. Los puntos de máxima profundidad de los lagos son mínimos locales, y los desfiladeros de montaña son puntos de silla. Los puntos estacionarios de un función se pueden entonces clasificar en tres categorías:
l. máximos locales
2. mínimos locales 3. puntos de silla
(17.9)
490
Cspftulo 171 Optimización en varias variables
Para decidir cuándo un punto estacionario dado es de tipo 1, 2 ó 3, se puede usar el test de la derivada segunda. Consideremos ahora el caso de funciones de dos variables solamente y pospongamos el caso general hasta la Sección 17.9.
Condiciones de segundo orden para funciones de dos variables Consideremos una función z = f(x, y) definida en un dominio S. Sea (x 0 , y0 ) un punto interioF de S que sea también un punto estacionario de f, o sea que
ft(xo,Yo) =O y f~(xo, Yo) =O Entonces (x 0 , y0 ) es un máximo local, un mínimo local, o un punto de silla. ¿Cómo podemos diferenciar estos tres casos? Consideremos primero el cas.o eq que z = f(x, y) tenga un. máximo local en (x0 , y0 ). Las funciones g(x) = f(x, Yo) y h(y) = f(xo, y) describen el comportamiento de f sobre las rectas y= Yo y x = x 0 ; respectivamente (véase Figura 17.1). Esas funciones deben tener máximos locales en xo e y0 respectivamente. Por tanto g11 (x 0 ) = ft~ (xo, Yo) S O y h"(yo) = fi~(xo, Yo) S O. Por otra parte, si g"(xo)
fii
y.
fii
Se debe notar, sin embargo, que los signos de (xo, Yo) y fi~(xo, Yo) no suministran muchos datos sobre el comportamiento de la gráfica de z = f (x, y) cuando nos movemos alejándonos de (x0 , y0 ) en otras direcciones que las dos mencionadas. Veamos un ejemplo. Ejemplo 17.8 Estudiar el comportamiento de
f (x, y) = 3xy - x 2 a lo largo de las rectas y = O,
x
= Oy =
-
y2
x en un entorno del origen.
Solución: Vemos que f(x, O) = -x2 tiene un máximo en x = O y /(0, y) = -y2 tiene un máximo en y = O. Sin embargo, si hacemos y = x, entonces f (x, x) = x 2 , que tiene un mínimo en x = O. Entonces la función f tiene un máximo en el origen en las direcciones de x e y, y un mínimo en el origen en la dirección y= x. El origen es un punto estacionario de f que es un punto de silla y, sin embargo, f{i (0, O) = -2 y /~(0, O) = -2. El problema es que, si queremos tener un test correcto de derivada segunda para funciones
f(x, y) de dos variables, hay que considerar también la parcial segunda cruzada /i~(x 0 , y0 ). Se
tiene el resultado siguiente: 1 1
El Teorema 17.5 trata solamente de condiciones de segundo orden para puntos óptimos locales de una función de dos variables. En la Sección 17.8 se dan resultados sobre puntos óptimos globales de estas funciones. En la Sección 17.9 se. dan resultados para funciones de n variables, junto con sus demostraciones.
Sec. 17.41 Puntos óptimos locales
491
Teorema 17.5 (El test de la derivada segunda para funciones de dos variables) Sea J(x, y) una función con derivadas parciales continuas de primero y segundo orden en un dominio S, y sea (x 0 , y 0 ) un punto interior de S que sea un punto estacionario de J. Pongamos
A= Ji~ (xo, Yo),
B = Ji~(xo, Yo),
e= Ji~(xo, Yo)
(17.10)
Se tiene: (a) Si A< O y Ae- B 2 >O, entonces (x 0 , y 0 ) es un máximo local. (b) Si A> O y Ae (e) Si Ae - B 2
e-
B 2 >O, entonces (x 0 , y0 ) es un punto de mínimo local.
< O, entonces (x0 , y 0 ) es un punto de silla.
2
(d) Si A B punto de silla.
O, entonces (x 0 , y 0 ) puede ser un máximo local, un mínimo local, o un
Nótese que las condiciones A< O y A e B 2 > ú de (a) implican que Ae > B 2 ~O, luego Ae > O. Dividiendo esta última desigualdad por el número negativo A se deduce que e
Ejemplo 17.9 Hallar los puntos estacionarios de
J(x, y) = -x3 + xy + y2 + x y clasificarlos. · Solución: Los puntos estacionarios deben verificar las dos ecuaciones siguientes:
Ji(x,y)=-3x 2 +y+1=0
y
Ji(x,y)=x+2y
O
La segunda ecuación implica que y = -x/2. Llevando este valor a la primera ecuación se tiene que -3x2 x/2 + 1 O, ó 6x 2 + x 2 =O. Ésta es una ecuación de segundo grado, con soluciones x = 1/2 y x = -2/3. Se pueden calcular los valores de y correspondientes mediante la igualdad y = -x/2. Así se concluye que (1/2, -1/4) y (-2/3, 1/3) son los únicos puntos estacionarios. Además, Ji~ (x, y) = -6x, Ji~(x, y) = 1 y J~(x, y) 2. Una forma conveniente de clasificar los puntos estacionarios es hacer una tabla como la Tabla 17 .1. TABLA 17.1 Punto
A
e
AC-
Clasificación
(1/2, -1/4)
-3
2
-7
Punto de silla
(-2/3, 1/3)
4
2
7
Mínimo·local
B
Damos ahora un ejemplo más complicado.
51 O Capitulo 171 Optimización en varias var1ables
se obtiene suprimiendo n - r filas y las n - r colunmas con los mismos fudices, y se designa por Ar(x).
Ejemplo 17.21 Si n = 2, la matriz hessiana es H(x¡, xz)
( fi~(X¡,Xz) ff~(x¡,x2)
fi~(x¡,x2)) j~(X¡,X2)
Los menores principales de orden 1 son los elementos diagonales Ji~ (x¡, x 2 ) y fi~(x¡, Xz). Nótese que no se puede obtener el elemento Jj~(xb x 2) suprimiendo una fila y la colunma con el mismo mdice. El único menor principal de orden 2 es el dado por !H(x¡, x 2 )l = ¡g (x¡, Xz)fi~(x¡, xz) - [Jj~(x¡, xz)f Dicho brevemente, si f(x) = f(x¡, ... , Xn) es una función C 2 definida en un conjunto abierto y convexo S de Rn, entonces: fes cóncava en
S <=> para todo Ar(x) y todo x E S, (-1f Ar (x) 2: O parar= 1, ... , n.
(17.25)
fes convexa en
S <=> para todo Ar(x) y todo x E S, Ar (x) 2: O parar= 1, ... , n.
(17.26)
Sin = 2, se deduce del Ejemplo 17.21 que las condiciones de (17.25) y (17.26) son las mismas que las del Teorema 17.9.
Condiciones de segundo orden para óptimos locales Enunciamos brevemente las condiciones de segundo orden para puntos óptimos local de una función de n variables:
Teorema 17.12
(Condiciones necesarias y suficientes para puntos óptimos locales)
Sea f(x 11 ••. , Xn) una función C 2 definida en un conjunto estacionario de f interior a S, o sea
S de Rn
y sea x 0 un punto
Jt(x0)=0 (i=l, ... ,n) Sea Dk(x0 ) definido en (17.22), y designemos por Ar(x0 ) a un menor principal arbitrario de orden r de la matriz hessiana. Entonces: (a) x0 es un máximo local '* ( -l)r Ar(x0 ) orden r = 1, ... , n.
2: O para todos los menores principales Ar(x0 ) de
> O, k = 1, ... , n '* x0 es un máximo local. (e) x es un mfuimo local'* Ar(x0 ) 2: O para todos los menores principales Ar(x0 ) de orden
(b) ( -l)k Dk(x0 ) 0
r = 1, ... , n. (d) Dk(x0 ) >O, k= 1, ... , n '* x0 es un mfuimo local.