Santiago Fernández Fernández. (2005). Aula de Innovación Educativa. [Versión electrónica]. Revista Aula de Innovación Educativa 143-144
Matemáticas para pensar (mediante la resolución de problemas) Santiago Fernández Fernández Introducción
La resolución de problemas es una actividad primordial en la clase de matemáticas. No es únicamente un objetivo general que se persigue, sino que, además, es un instrumento pedagógico de primer orden. Resolver problemas es una cuestión de gran importancia para el avance de las matemáticas y también para su comprensión y aprendizaje. El saber hacer, en matemáticas, tiene mucho que ver con las habilidades de resolver problemas, de encontrar pruebas, de criticar argumentos, de usar el lenguaje matemático con cierta fluidez, de reconocer conceptos matemáticos en situaciones concretas, de saber aguantar una determinada dosis de ansiedad..., pero también de estar dispuesto a disfrutar con el camino emprendido. La habilidad para resolver problemas es una de las destrezas básicas que los estudiantes deben adquirir adquirir a lo largo de sus vidas y que tendrán que usar frecuentemente cuando dejen la escuela. Es una habilidad que se puede enseñar. Los problemas propuestos se han seleccionado y pensado para estudiantes del segundo ciclo de l a educación secundaria obligatoria. Ésta es una unidad didáctica con un marcado carácter transversal; esto quiere decir que no tiene un principio y un fin en sí misma, sino que el profesor deberá presentar aquellas situaciones problemáticas que considere más relevantes y adecuadas de acuerdo con el tema que esté trabajando. ¿Qué es un problema matemático?
Un problema matemático es una situación que supone alcanzar una meta, hay obstáculos en el camino, se requiere deliberación y se parte de un desconocimiento algorítmico. algorítmico. En términos generales, para afrontar la resolución de problemas hemos de tener en cuenta los siguientes aspectos:
Existencia de un interés, es decir, enfrentarnos enfrentarnos a problemas con un cierto atractivo. Inexistencia de un camino inmediato. Deseos de resolver el problema. Significa estar dispuestos a aceptar el reto.
En definitiva, aprender a resolver problemas, y aceptar que con frecuencia hay más de una respuesta a una pregunta y más de una forma de tratarla, constituye una parte fundamental tanto en la educación como en el proceso de aprendizaje de las matemáticas. Las ventajas del enfoque basado en la resolución de problemas, en cuanto al proceso de enseñanza y aprendizaje, son significativas por diversas razones:
Los alumnos tienen la posibilidad de pensar las cuestiones con detenimiento, hacer pruebas, equivocarse, "perder el tiempo" investigando... Existe una mayor participación y un mayor grado de comprensión por parte del alumnado. Es un tipo de "conocimiento basado en la experiencia" (es decir, el conocimiento obtenido mediante la experiencia de hacer algo); resulta más duradero y significativo para el alumno que el conocimiento transmitido por el profesor o el libro. Los alumnos se ven inmersos en la construcción de sus propios sistemas individuales de aprendizaje y de comprensión. comprensión. Incide directamente en el llamado aspecto formativo y crea, así, estructuras mentales que trascienden a las propias matemáticas. La resolución de problemas es el núcleo central de las matemáticas: hacer matemáticas no es otra cosa que resolver r esolver problemas.
Según este planteamiento, considero la resolución de problemas en su doble vertiente: como proceso que permite experimentar la potencia y la utilidad de las matemáticas en la vida diaria y como método de indagación adecuado para el aprendizaje y la enseñanza de esta ciencia. Se pretende que los alumnos sean capaces de investigar y entender contenidos matemáticos, formular problemas a partir de situaciones reales, desarrollar estrategias personales ante problemas no rutinarios, generalizar soluciones, analizar críticamente los resultados obtenidos y adquirir confianza en el uso significativo de las matemáticas. Además, hemos de tener presente que el único camino que existe para aprender a resolver problemas es enfrentarse a ellos.
Actividades: situaciones problemáticas
Para alcanzar estos objetivos, proponemos una serie de problemas y de situaciones problemáticas divididos en cuatro grupos de interés: problemas para comenzar, problemas para practicar, problemas para investigar y situaciones abiertas. Problemas para comenzar
Son problemas que a menudo se emplean "como aperitivo". En ellos, se suele dar una respuesta rápida, intuitiva, y aparecen situaciones, de tipo gráfico o visual, pertenecientes a una matemática informal. Se resuelven muchas veces empleando estrategias de bajo rango: ensayo-error, conteos simples, analogías, etc. En este tipo de problemas el tiempo necesario para resolverlos suele ser corto, aunque no siempre es así; sin embargo, el aspecto que más interesa generalmente es su posterior discusión y organización. En esta fase se persigue dar confianza y motivar a los alumnos con problemas que puedan resolver, animarlos a que generen ideas (tanto en cantidad como en originalidad) y que los problemas sirvan para abordar otras situaciones de mayor complejidad. En definitiva, son problemas pensados para resolver todavía con poco conocimiento matemático. Problemas para practicar
Son los más corrientes, el objetivo que persiguen es que los alumnos practiquen las estrategias y herramientas heurísticas, así como los modelos teóricos puestos a su alcance. Con estos problemas se pretende: Practicar cada una de las fases del problema ( 1. Comprensión del problema, 2. Elaboración de un plan de actuación, 3. Ejecución del plan, 4. Comprobación de las soluciones ) y practicar las estrategias heurísticas más corrientes ( 1. Ensayo-error, 2. Empezar por lo fácil, 3. Resolver un problema semejante más sencillo, 4. Descomponer el problema en pequeños problemas simplificar-, 5. Experimentar y extraer pautas -inducir-, 6. Resolver problemas análogos analogía-, 7. Seguir un método -organización-, 8. Hacer esquemas, tablas, dibujos representación-, 9. Hacer recuento -conteo-, 10. Utilizar un método de expresión adecuado: verbal, algebraico, gráfico, numérico -codificación, expresión, comunicación-, 11. Sacar partido de la simetría, 12. Deducir y sacar conclusiones, 13. Conjeturar, 14. Principio del palomar, 15. Analizar los casos límite, 16. Reformular el problema, 17. Suponer que no -reducción al absurdo-, 18. Empezar por el final -dar el problema por resuelto-, etc. ). Problemas para investigar
Son problemas más difíciles y con un enunciado más abierto y, en alguna ocasión, poco preciso. Para resolverlos es conveniente conocer una variedad de recursos matemáticos. El alumno se encontrará con situaciones muy diversas, en las que tendrá que emplear un ramillete de conocimientos: aplicación de distintas estrategias, conocimiento de una variedad de situaciones problemáticas, diversos procedimientos matemáticos, etc. Son situaciones muy apropiadas para plantearlas en grupo, para que los alumnos exploren nuevos caminos, discutan, se organicen, etc. En ellas, lo importante no es llegar a la solución, sino los procesos derivados del planteamiento, búsqueda y discusión de los distintos escollos, que lógicamente irán apareciendo. En definitiva, el objetivo es que se enfrenten a situaciones diversas sobre las cuales puedan trabajar y sacar conclusiones. Situaciones abiertas
Son situaciones muy similares a las anteriores, pero, si cabe, aún más abiertas. Las situaciones problemáticas o investigaciones planteadas permiten la posibilidad de investigar en un entorno numérico, geométrico, gráfico, etc., y obtener conclusiones que pueden ir más allá de las preguntas planteadas. Éste es un aspecto muy importante en matemáticas; entramos, de esta manera, en lo que denominaríamos un "filón" (situación en la que pueden existir verdaderos tesoros matemáticos a priori insospechados). Metodología y orientaciones para el profesor
Aquí propongo un método de trabajo para implementar la resolución de problemas en el aula. A continuación, presento unos consejos-recomendaciones pensados para el profesor:
Preparase adecuadamente . Significa tener contacto con el mundo de los problemas, leer
artículos y libros relacionados con la materia.
Saber que el trabajo de resolución de problemas tarda en dar sus frutos . No hay que tener
prisa; el objetivo no es alcanzar rápidamente una meta, sino hacer el camino. Resolver algunos problemas en voz alta . Este aspecto es muy interesante, ya que el profesor va trasladando a los alumnos una manera de solucionar problemas. En definitiva, una manera de pensar. Explicar a los alumnos la importancia de la resolución de problemas . Hacerles ver los objetivos que se persiguen, las dificultades que se encontrarán, etc.
Hay que señalar que la actitud del profesor es clave para llevar a "buen puerto" el trabajo en esta línea. Su intervención en clase no puede ser sustituida de ningún modo por fichas con problemas, aunque éstos sean muy buenos. En cuanto al método de trabajo con los alumnos, propongo algunos consejos: a) Dedicar un tiempo en clase a resolver genuinos problemas matemáticos. b) Plantear problemas interesantes, motivadores y lo más diversos posible. c) Seleccionar los problemas y graduar su presentación. d) Procurar que los problemas se puedan resolver por varios caminos. e) Intentar que todos los alumnos tengan cosas que decir ante cada uno de los problemas. f) Alternar los problemas: para clase, para casa, en pequeño grupo e individualmente. g) Valorar el proceso seguido frente al producto (la solución). h) Valorar la originalidad, la brevedad y la respuesta inteligente. i) Reflexionar en el grupo-clase sobre los problemas planteados. Algunas consideraciones sobre la evaluación
Si, como se ha señalado, lo que tratamos con esta unidad es que los alumnos y las alumnas desarrollen distintas estrategias de pensamiento para resolver problemas, así como una manera de actuar, puede afirmarse que una evaluación tradicional carece de sentido, tanto por el tema tratado como por la importancia que se debe dar a los procesos seguidos más que a los productos obtenidos (solución). Las primeras actividades (problemas para comenzar) pueden servir para realizar un diagnóstico inicial de los conocimientos del alumnado. Mientras que los problemas para practicar nos pueden ayudar a sondear las distintas formas que los alumnos tienen para enfrentarse a esas situaciones. Los problemas para investigar y las situaciones abiertas, en las que no hay una sola respuesta ni tampoco un único camino, también son ocasiones ideales para informarnos del nivel de profundidad alcanzado por cada alumno; además, pueden ilustrarnos acerca de los recursos cognitivos de que disponen los alumnos en este campo, así como de la capacidad de perseverancia ante un trabajo complejo. Actividades para el alumnado
A continuación, se dan ejemplos de algunos problemas que el profesor puede utilizar. Tratamos de que estén presentes las tres características que buscamos en un problema: que sea una situación que estimule el pensamiento, que sea interesante para el estudiante y que la solución no sea inmediata. Bloque 1. Problema para comenzar
1. Los números naturales Escoge dos números naturales cualesquiera. Halla su suma y su diferencia (resta el menor del mayor). Suma estos dos resultados. ¿Qué observaciones pueden hacerse? 1. Las pizzas Una pizza mediana de 20 cm de diámetro es para dos personas. ¿Cuántas personas se podrán servir con dos pizzas grandes de 40 cm de diámetro? 1. Tres amigos desconfiados Tres socios muy desconfiados quieren comprar una caja fuerte para guardar el dinero de la empresa. a) ¿Cuántas cerraduras deben poner a la caja? b) ¿Cuántas llaves deben fabricar? c) ¿Cómo deben repartirse las llaves para que uno sólo no pueda abrir la caja y sí dos cualesquiera? 1. El dado Se muestran cuatro vistas del mismo dado. ¿Qué letra falta en la cuarta vista? 1. El trozo de madera Tenemos sobre una mesa el siguiente trozo de madera. Necesitamos medir la diagonal de la caja que va de A a B. Sólo disponemos de una regla común milimetrada y no recordamos ni el teorema de Pitágoras ni ningún otro. ¿Cómo mediríamos esa diagonal, sin cortar la madera? 1. La lista de números María escribe una lista de 4000 dígitos. El primer tramo de la lista es: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13... ¿Cuál es la cifra que ocupa el lugar número 2005? Explica el método seguido. 1. El diamante numérico Averigua qué números debes colocar en los círculos en blanco para que la suma de los números sobre una misma recta del "diamante" sea la misma. 1. La moneda falsa
Un coleccionista de monedas tiene 24 de ellas que parecen idénticas, pero le comunican que una es falsa y pesa algo más que las demás. El coleccionista ha decidido encontrar la moneda falsa utilizando una balanza de dos brazos. Pero, ¡qué contrariedad!, sólo puede utilizar la balanza tres veces. ¿Cómo lo hará? 1. Los árboles de la piscina Una empresa recibe un día el encargo de modificar la piscina de un jardín. Los dueños desean que su piscina cuadrada siga siendo cuadrada, pero quieren que se duplique su superficie. Sin embargo, hay un inconveniente: en cada esquina de la piscina crece un árbol y, por supuesto, los dueños del jardín desean que sus árboles permanezcan donde están. ¿Es posible cumplir el encargo o no? 1. El ocho ¿Cuántas veces aparece la cifra 8 en los dos mil primeros números? 1. Los siete números naturales Tienes que colocar los siete primeros números naturales en la siguiente disposición de manera que la suma de los tres números (cada uno dentro de un círculo) que están alineados sea la misma. a) ¿Qué número está en el centro del dibujo?, ¿podría ser otro número distinto al que has obtenido en el apartado anterior? Bloque 2. Problemas para practicar
1. Magia con seis números Dado un número de seis dígitos, suma sus cifras por parejas y anota debajo sólo la cifra de las unidades del resultado. Sigue el mismo proceso con el resultado hasta conseguir un número de una sola cifra. Ejemplos: 341885113548 7596324892 24596271 694898 5377 84 Antes de comenzar a sumar predice el número que quedará al final. ¿Sabrías hacer tal predicción? 1. Las monedas Una persona tiene en su bolsillo estas cinco monedas: 0,10 e, 0,20 e, 0,50 e, 1e y 2 e. ¿Cuántas cantidades distintas puede formar? 1. Los números ocultos
Se han tomado dos fichas de cartón y se ha escrito un número en cada una de las cuatro caras. Las tiramos al aire, una vez en el suelo sumamos los números que quedan a la vista, los resultados obtenidos son los siguientes: 36, 41, 50, 55. Si dos de los números son el 25 y el 30, averigua los otros dos números. 1. El mosaico En una baldosa cuadrangular se han trazado los puntos medios de los lados y luego se han unido mediante segmentos a los vértices del cuadrado tal como se puede ver en la figura, de esta forma se dibuja un pequeño mosaico (zona sombreada). Calcula qué superficie ocupa en relación con la superficie del cuadrado. 1. La mosca Colocamos sobre la mesa 25 monedas iguales en la siguiente posición: Una mosca viene volando y se posa sobre una de ellas (la indicada). Se le ocurre hacer un paseo andando por las 25 monedas, pero pasando de una moneda a otra horizontalmente y verticalmente y sin repetir. ¿Lo podrá hacer? Si la mosca se posa en otra moneda, ¿existirá un paseo de esas características para esa moneda?, ¿qué itinerario sería el adecuado para cada moneda en la que se pueda posar? 1. El rompecabezas Con un rompecabezas de 15 piezas cuadradas se armó un cuadrado de 13 x 13 como muestra la figura. Cada número indica la longitud del lado de la pieza correspondiente. Amaia perdió una pieza y, con el rompecabezas formado por las 14 piezas restantes, fue capaz de armar otro cuadrado. Da el tamaño de la pieza que se perdió y muestra cómo se arma el cuadrado con las 14 piezas restantes. 1. El cubo Tenemos un cubo de madera, lo partimos mediante 4 cortes a lo largo, ancho y alto. Queremos saber: a) En el supuesto de que se formen pequeños cubitos, ¿cuántos cubitos hay? b) De todos los cubitos que has obtenido en la pregunta anterior, ¿cuántos no tienen ninguna cara al exterior? c) Si el cubo de madera inicial tuviera un metro de arista, al extender todos los cubitos del apartado (a) sobre el suelo, ¿qué área ocuparían? d) Si ponemos un cubito encima del otro hasta ponerlos todos, ¿qué altura alcanzarán? e) Si pintamos toda la parte exterior del cubo con pintura roja, ¿cuántos de los cubitos tendrán cero, una, dos, tres... caras pintadas? 1. La regla de cuadrados En esta serie hemos ido dibujando varias figuras. Hay que encontrar una regla que indique cómo se pasa de una figura a la siguiente. Después de 20 pasos, ¿cuántos cuadraditos contendrá la figura?
1. La vasija Disponemos únicamente de una vasija de 8 litros llena de agua y de dos recipientes vacíos de 5 y 3 litros. ¿Cómo podemos conseguir exactamente 4 litros en uno de los recipientes? 1. Las escaleras Observa las siguientes escaleras: ¿Cuántos cuadrados tendrá una escalera de 8 peldaños? ¿Y una de 7 peldaños? ¿Y una de 10? ¿Y una de 100? ¿Y cuántos cuadrados serían necesarios para dibujar una escalera de n peldaños? 1. Los caminos ¿Cuántos caminos se pueden seguir para formar la palabra "problema"? Bloque 3. Problemas para investigar
1. Los cuatro números seguidos Toma cuatro números naturales consecutivos y multiplícalos. ¿Qué observas? 1.2.3.4 = 24 = 25 - 1 2.3.4.5 = 120 = 121 - 1 3.4.5.6 = 360 = 361 - 1 ....................................... ....................................... ¿Serías capaz de realizar una conjetura? ¿Y de probarla? 1. División de distintas regiones Queremos investigar el máximo número de regiones en las que se puede dividir: a) El plano mediante rectas. La relación entre el número de rectas y el número de regiones del plano, las podemos representar en la tabla: b) El círculo mediante cuerdas. Si llevamos los datos a la siguiente tabla, podemos poner: c) El plano mediante circunferencias. 1. Números misteriosos Si observas: 3=1+2 6=1+2+3
7=3+4 24 = 7 + 8 + 9 Hay números que pueden ser expresados como suma de dos números consecutivos, ¿cuáles son esos números? Otros números se pueden expresar como suma de tres números consecutivos. En general, ¿qué números pueden ser expresados como suma de números consecutivos? 1. Números persistentes Si multiplicamos todos los dígitos de un número, obtenemos otro número; si seguimos ese proceso sucesivamente, llegamos al final a un número de un solo dígito. Ejemplos: 715 35 15 5 86 48 32 6 27 14 4 Denominamos "persistencia" de un número a la cantidad de eslabones necesarios para alcanzar un solo dígito. Es decir, el número 715 tiene una persistencia 3, mientras que el 27 tiene una persistencia 2. Investiga entre los números de dos cifras los que tienen mayor persistencia. Haz lo mismo entre los números de tres cifras. Bloque 4. Investigaciones
1. Números montaña y números valle
Un número se llama "número montaña" si el dígito(o dígitos) que ocupa el lugar central de dicho número es mayor que los otros dígitos que componen el número.
Ejemplos de "números montaña": 165, 4887, 234422, 3569872... a) Estudia cuántos "números montaña" hay de tres cifras, de cuatro cifras, de cinco cifras, etc. b) Entre los "números montaña" de cuatro cifras, ¿cuáles corresponden a números cuadrados perfectos?
Un número se llama "número valle" si el dígito (o dígitos) que ocupa el lugar central de dicho número es menor que los otros dígitos que componen el número.
Ejemplos de "números valle": 215, 4227, 231122, 3362871... a) Estudia cuántos "números valle" hay de tres cifras, de cuatro cifras, de cinco cifras, etc. b) Entre los "números valle" de cuatro cifras, ¿cuáles corresponden a números cuadrados perfectos? 1. Número de triángulos sobre una red En la siguiente red de puntos de 5x5 hemos dibujado dos triángulos distintos cuyos vértices están situados sobre los puntos de la red.
a) Calcula el número total de triángulos en dicha red. b) Si la red es de 7x7, ¿podrías calcular el número total de triángulos? c) En las dos redes de puntos, ¿cuántos triángulos de los calculados son rectángulos? d) ¿Cuál es el área de los triángulos más grandes?, ¿y el área de los triángulos más pequeños? 1. Generando números Con los números 2 y 5 y la operación suma obtenemos otros números (se pueden repetir dichos números tantas veces como se quiera). Ejemplos: 7=2+5 4=2+2 23 = 2 + 7 + 7 + 7 a) ¿Qué números naturales pueden obtenerse y cuáles no? ¿Cuál es el mayor número natural que no se puede obtener? b) Investiga qué pasa si ahora partimos del 4 y el 9. c) Investiga con otros dos números (pares, impares, primos, primos entre sí, etc.). d) Ahora realiza la investigación con tres números (por ejemplo, parte de 6, 8 y 11). Hemos
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Bibliografía
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