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Índice
Descomposición en Factores
4.1. Productos Notables:
4.1.1. Monomio por polinomio
4.1.2. Dos binomios cualesquiera
4.1.3. Binomio al cuadrado
4.1.4. Trinomio al cuadrado
4.1.5. Suma por diferencia de binomios con cantidades iguales
4.1.6. Binomio al cubo
4.1.7. Binomio por trinomio
4.2. Factorización:
4.2.1. Monomios
4.2.2. Binomios
4.2.3. Polinomios
4.1 Productos notables
Productos notables es el nombre que reciben multiplicaciones con expresiones algebraicas que cumplen ciertas reglas fijas, cuyo resultado se puede escribir mediante simple inspección, sin verificar la multiplicación.
Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados, y recíprocamente.
Algunas expresiones de productos notables son:
Cuadrado del binomio: El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad más el doble de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad.
Cubo del binomio: El cubo de la suma de dos números es igual al cubo del primer número, más el triple del producto del cuadrado del primer número por el cuadrado del segundo, más el triple del producto del primer número por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.
Suma por su diferencia: Es igual a la diferencia de los cuadrados de dichos monomios.
Monomio por monomio: El resultado va a ser otro monomio, se multiplican los coeficientes numéricos y se suman sus partes literales siempre y cuando tengan la misma base.
4.1.1 Monomio por polinomio
Monomio: Es una expresión algebraica en la que se utilizan exponentes naturales de variables literales que constan de un solo término
Polinomio: es una expresión que se construye por una o más variables, usando solamente las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y exponentes numéricos positivos.
MULTIPLICACION DE UN MONOMIO POR UN POLINOMIO
Usando las propiedades o propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición, se obtiene una adicción de multiplicaciones de monomios. Por último se reducen los términos semejantes.
(x) (2x+3x-x3)=
2x3+3x2-x4=
5x4-x4
4.1.2. Dos binomios cualesquiera
Para multiplicar dos números complejos se procede como en el producto de dos binomios cualesquiera
4.1.3 Binomio al cuadrado
Binomio: En álgebra, un binomio consta únicamente de dos términos, separados por un signo de más (+) o de menos (-). En otras palabras, es una expresión algebraica formada por la suma de dos monomios.
Binomio de suma al cuadrado
Un binomio al cuadrado (suma) es igual es igual al cuadrado del primer término, más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado segundo.
(a + b)2 = a2 + 2 · a · b + b2
(x + 3)2 = x 2 + 2 · x ·3 + 3 2 = x 2 + 6 x + 9
Binomio de resta al cuadrado
Un binomio al cuadrado (resta) es igual es igual al cuadrado del primer término, menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado segundo.
(a b)2 = a2 2 · a · b + b2
(2x 3)2 = (2x)2 2 · 2x · 3 + 3 2 = 4x2 12 x + 9
4.1.4 Trinomio al cuadrado
Trinomio: En álgebra, un trinomio es la suma indicada de tres monomios, es decir, un polinomio con tres términos que no puede simplificarse más.
Trinomio al cuadrado
Un trinomio al cuadrado es igual al cuadrado del primero, más el cuadrado del segundo, más el cuadrado del tercero, más el doble del primero por el segundo, más el doble del primero por el tercero, más el doble del segundo por el tercero.
(a + b + c)2 =
a2 + b2 + c2 + 2 · a · b + 2 · a · c + 2 · b · c
(x2 x + 1)2 =
= (x2)2 + ( x)2 + 12 +2 · x2 · ( x) + 2 x2 · 1 + 2 · ( x) · 1 =
= x4 + x2 + 1 2x3 + 2x2 2x =
= x4 2x3 + 3x2 2x + 1
4.1.5. Suma por diferencia de binomios con cantidades iguales
El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos el cuadrado de la segunda.
(a+b) (a-b) = a2 – b2
1) Ejemplo: (4x + 9y) (4x - 9y)= 16x2 - 81y2
a) El cuadrado del 1er término es (4x) (4x) = 16x2
b) El cuadrado del 2do término es (9y) (9y) = 81y2
Entonces (4x + 9y) (4x - 9y) = 16x2 - 81y2
2).- Ejemplo: (10x + 12y3) (10x - 12y3)= 100x2 - 44y6
a) El cuadrado del 1er término es (10x) (10x) = 100x2
b) El cuadrado del 2do término es (12y3) (12y3) = 144y6
Entonces (10x + 12y3) (10x - 12y3) = 100x2 - 144y6
4.1.6. Binomio al cubo
El cubo de un binomio es el producto de tres binomios iguales.
(a + b)3 = (a + b) (a +b) (a + b)
La regla para resolverlo es:
"El cubo de un binomio es igual al cubo del primer término, más o menos el triple producto del cuadrado del primer término por el segundo, mas el triple del producto del primer término por el cuadrado del segundo, más o menos el cubo del segundo término."
(a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3
Ejemplo 1: Resolver (x+2)3
(X+2)3 = (x)3 + 3 · (x)2 · (2) + 3 · (x) · (2)2 + (2)3
= x3 + 6x2 + 3 · (x) · (4) + 8
= x3 + 6x2 + 12x + 8
CUBO DE UNA SUMA
(a+b)3= a3+3a2b +3ab2+b3
El cubo de la suma de dos términos es igual al cubo del primer término más el triple del cuadrado del primer término por el segundo término más el triple del primer término por el cuadrado del segundo término más el cubo del segundo término.
Ejemplo
1) (2x + 4y)3 = (2x)3+ 3(2x)2(4y)+ 3(2x) (4y)2+ (4y)3
a) El cubo del 1er término es (2x) (2x) (2x) = 8x3
b) El triple del cuadrado del primer término por el segundo término
3(2x) (2x) (4y) = (6x) (2x) (4y) = (12x2) (4y) = (48x2y)
c) El triple del primer término por el cuadrado del segundo término
3(2x) (4y) (4y) = (6x) (4y) (4y) = (24xy) (4y) = (96xy2)
d) El cubo del 2do término es (4y) (4y) (4y) = 64y3
Entonces (2x + 4y)3 =8x3 +48x2y+96xy2+64y3
CUBO DE UNA DIFERENCIA
(a-b)3= a3-3a2b +3ab2-b3
El cubo de la diferencia de dos términos es igual al cubo del primer término menos el triple del cuadrado del primer término por el segundo término más el triple del primer término por el cuadrado del segundo término menos el cubo del segundo término.
Ejemplo
1) (6x - 2y)3 = (6x)3- 3(6x)2(2y)+ 3(6x) (2y)2- (2y)3
a) El cubo del 1er término es (6x) (6x) (6x) = 216x3
b) El triple del cuadrado del primer término por el segundo término
3(6x) (6x) (2y) = (18x) (6x) (2y) = (108x2) (2y) = (216x2y)
c) El triple del primer término por el cuadrado del segundo término
3(6x) (2y) (2y) = (18x) (2y) (2y) = (36xy) (2y) = (72xy2)
d) El cubo del 2do término es (2y) (2y) (2y) = 8y3
Entonces (6x - 2y)3 =216x3 - 216x2y +72xy2-8y3
4.1.7. Binomio por trinomio
¿En qué situación se aplica? Cuando se tiene que multiplicar un binomio por un trinomio, de las siguientes formas:
A+BA2-AB+B2
A-BA2+AB+B2
El primer término del trinomio es el cuadrado del primer término del binomio, el segundo término del trinomio es el producto de los términos del binomio, el tercer término del trinomio es el cuadrado del segundo término del binomio. Observa también la diferencia en los signos.
-Si el binomio lleva el signo más, el producto es la suma de cubos de los mismos términos.
-Si el binomio lleva el signo menos, el producto es la diferencia de cubos de los mismos términos.
4.2. Factorización:
4.2.1. Monomios
Monomio es una expresión algebraica en la que se utilizan exponentes naturales de variables literales que constan de un solo término (si hubiera una suma o una resta sería un binomio), un número llamado coeficiente. Las únicas operaciones que aparecen entre las letras son el producto y la potencia de exponentes naturales. Se denomina polinomio a la suma de varios monomios. Un monomio es una clase de polinomio con un único término.
Ejemplos:
Son monomios, pero:
No son monomios, porque los exponentes no son naturales.
-Elementos:
Un monomio posee una serie de elementos con denominación específica.
Dado el monomio:
Se distinguen los siguientes elementos:
Coeficiente: también incluye al signo
Parte literal (exponente natural):
Grado:
El signo te indica si es negativo (–). Se omite si es positivo (+) , y nunca puede ser cero ya que la expresión completa tendría valor cero.
La parte literal la constituyen las letras de la expresión.
El grado puede ser absoluto (la suma de los exponentes de su parte literal) o con relación a una letra.
Si un monomio carece de signo, equivale a positivo (+).
Si un monomio carece de coeficiente, este equivale a uno.
Si algún término carece de exponente, este es igual a uno.
Si alguna parte literal no está presente, pero se requiere, entonces se considera con exponente cero
4.2.2. Binomios
Diferencia de cuadrados
Un binomio de la forma a2 - b2 se conoce como diferencia de cuadrados. Para identificarlo se debe verificar que ambos términos sean cuadrados (o sea, que se pueda obtener su raíz cuadrada) y que un término sea negativo y el otro positivo. Si el término con signo negativo está escrito primero se deben reacomodar para que se escriba primero el positivo. La factorización de una diferencia de cuadrados son unos binomios conjugados y para realizarla se debe usar la identidad algebraica.
a2- b2 = (a + b)(a - b)
Ejemplo. Encontrar los factores de x2 - 9.
El primer término es un cuadrado, tiene signo positivo y su raíz cuadrada es x.
El segundo término es un cuadrado, tiene signo negativo y su raíz cuadrada (sin considerar el signo) es 3.
Por lo tanto la factorización queda:
x2- 9 = (x + 3)(x - 3)
Ejemplo. Factorizar la expresión - 25s 2 + 4.
El primer término es un cuadrado, tiene signo negativo y su raíz cuadrada (sin considerar el signo) es 5s.
El segundo término es un cuadrado, tiene signo positivo y su raíz cuadrada es 2.
Como el primer término es negativo se debe escribir después del segundo término para que la expresión quede en forma de diferencia.
De este modo la factorización queda:
- 25s2 + 4 = 4 - 25s2 = (2 + 5s)(2 - 5s)
Diferencia de cubos
Un binomio de la forma a3 -b3se conoce como diferencia de cubos. Para identificarlo se debe verificar que ambos términos sean cubos (o sea, que se pueda obtener su raíz cúbica) y que un término sea negativo y el otro positivo. Si el término con signo negativo está escrito primero se deben reacomodar para que se escriba primero el positivo. La factorización de una diferencia de cubos se realiza usando la identidad algebraica
a 3- b3 = (a2 + ab + b2)(a - b)
Ejemplo. Encontrar los factores de x3- 27.
El primer término es un cubo, tiene signo positivo y su raíz cúbica es x.
El segundo término es un cubo, tiene signo negativo y su raíz cúbica (sin considerar el signo) es 3.
Por lo tanto la factorización queda:
x3 - 27 = ((x)2+ (x)(3) + (3)2)(x - 3)
x3 - 27 = (x2 + 3x + 9)(x - 3)
Ejemplo. Factorizar la expresión - 125p3 + 8.
El primer término es un cubo, tiene signo negativo y su raíz cúbica (sin considerar el signo) es 5p.
El segundo término es un cubo, tiene signo positivo y su raíz cúbica es 2.
Como el primer término es negativo se debe escribir después del segundo término para que la expresión quede en forma de diferencia.
De este modo la factorización queda:
- 125p3 + 8 = 8 - 125p3 = ((2)2 + (2)(5p) + (5p)2)(2 - 5p)
- 125p3 + 8 = 8 - 125p3 = (4 + 10p + 25p2)(2 - 5p)
Suma de cubos
Un binomio de la forma a3 + b3 se conoce como suma de cubos. Para identificarlo se debe verificar que ambos términos sean cubos (o sea, que se pueda obtener su raíz cúbica) y que los dos términos tengan el mismo signo. Si el signo de los términos es negativo se debe sacar el factor-1 y después factorizar la suma. La factorización de una suma de cubos se realiza usando la identidad algebraica
a3 + b3 = (a2 - ab + b2)(a + b)
Ejemplo. Encontrar los factores de x3 + 27.
El primer término es un cubo, tiene signo positivo y su raíz cúbica es x.
El segundo término es un cubo, tiene signo positivo y su raíz cúbica es 3.
Por lo tanto la factorización queda:
x 3+ 27 = ((x)2 - (x)(3) + (3)2)(x + 3)
x3 + 27 = (x2 - 3x + 9)(x + 3)
Ejemplo. Factorizar la expresión - 125q3- 8.
El primer término es un cubo, tiene signo negativo y su raíz cúbica (sin considerar el signo) es 5q.
El segundo término es un cubo, tiene signo negativo y su raíz cúbica (sin considerar el signo) es2.
Como los términos son negativos se debe extraer el factor -1 y expresar el otro factor como suma de cubos.
De este modo la factorización queda:
- 125q3 - 8 = -(125q 3+ 8) = -((5q)2 - (5q)(2) + (2)2)(5q + 2)
- 125q3 - 8 = -(125q3 + 8) = -(25q2 - 10q + 4)(5q + 2)
4.2.3. Polinomios
Factorización del factor común
Este tipo de factorización se realiza encontrando un factor que sea común a todos los términos del polinomio. Generalmente ese factor común se construye a partir del máximo común divisor de los coeficientes de los términos y con las literales que se encuentran en todos los términos elevadas al menor exponente que tenga esa literal en alguno de los términos. Este tipo de factorización se justifica con la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma. Considerando a n como el factor común, la factorización se realiza de la siguiente forma:
na + nb + nc + ... = n(a + b + c + ...)
Ejemplo. Factorizar el polinomio 6x4y2z - 12x3y3z22 + 9x2y4z3 + 3xy5z4.
Por simple inspección el máximo común divisor de 6, -12, 9 y 3 es 3.
La literal x se encuentra en todos los términos y su menor exponente es 1 en el cuarto término.
La literal y se encuentra en todos los términos y su menor exponente es 2 en el primer término.
La literal z se encuentra en todos los términos y su menor exponente es 1 en el primer término.
A partir de las consideraciones anteriores el factor común es 3xy2z. Para encontrar los términos del polinomio factorizado se debe dividir cada término del polinomio original entre el factor común. Finalmente, la factorización queda:
6x4y2z - 12x3y3z22 + 9x2y4z3 + 3xy5z4.
(3xy2z)(2x3 - 4x2yz + 3xy2z2 + y3z3)
Ejemplo. Encontrar los factores de 6a3b3 + 4a2b4c2 – 2b5c.
Nuevamente por simple inspección el máximo común divisor de 6, 4 y -2 es 2.
La literal a no se encuentra en todos los términos.
La literal b se encuentra en todos los términos y su menor exponente es 3 en el primer término.
La literal c no se encuentra en todos los términos.
El factor común es 2b3. La factorización queda:
6a3b3 + 4a2b4c2 - 2b5c = (2b3)(3a3 + 2a2bc2 - b2c)